Το φαινόμενο Doppler

Transcript

1 Το φαινόμενο Doppler Η προσωπική μου άποψη είναι ότι και οι δύο αποδείξεις του σχολικού βιβλίου που αφορούν το φαινόμενο Doppler είναι λάθος. Ο κύριος λόγος για την ανωτέρω θέση μου είναι η χρήση της θεμελιώδους εξίσωσης της κυματικής (υ=λf) τόσο στο σύστημα ηρεμίας της πηγής όσο και στο σύστημα ηρεμίας του παρατηρητή. Η θεμελιώδης εξίσωση της κυματικής ισχύει μόνο στο σύστημα ηρεμίας του μέσου διάδοσης. Μιλώντας ποιοτικά ορίζουμε το μήκος κύματος ως την απόσταση που διαδίδεται η διαταραχή σε χρόνο ίσο με την περίοδο του κύματος και με απλή άλγεβρα καταλήγουμε στην σχέση υ=λf. Ολόκληρος ο υπολογισμός κυριαρχείται από το γεγονός ότι το σύστημα αναφοράς μας είναι το σύστημα ηρεμίας του μέσου διάδοσης. Σε ποιο αυστηρό επίπεδο η κατάσταση είναι η εξής: Ο φυσικός νόμος που διέπει την διάδοση ενός κύματος είναι η κυματική εξίσωση. Την κυματική εξίσωση την εξάγουμε, εφαρμόζοντας τον 2 ο νόμο του Newton για κάθε στοιχειώδες τμήμα του μέσου. Προφανώς για να γράψουμε τον 2 ο νόμο της κίνησης χρειαζόμαστε ένα αδρανειακό σύστημα αναφοράς. Στο σημείο αυτό είναι εύλογο το εξής ερώτημα: Είναι όλα τα αδρανειακά συστήματα ισοδύναμα για την περιγραφή της κυματικής διάδοσης; Η απάντηση στο ανωτέρω ερώτημα είναι αρνητική: Στο μόνο σύστημα συντεταγμένων, στο οποίο η μαθηματική σχέση που περιγράφει την κυματική διάδοση είναι η κυματική εξίσωση, είναι το σύστημα συντεταγμένων στο οποίο το μέσο ηρεμεί. Απαιτώντας αρμονική λύση της κυματικής εξίσωσης ημ(ωt-kx) προκύπτει ως αναγκαία συνθήκη η σχέση ω=kυ ισοδύναμη με την υ=λf. Επομένως η χρήση της σχέσης υ=λf σε συστήματα συντεταγμένων τα οποία κινούνται ως προς το μέσο διάδοσης είναι τυπικά λάθος. Μια δεύτερη ένσταση έχει σχέση με την ορολογία. Τι σημαίνει η πηγή εκπέμπει μέγιστα; Η όλη φρασεολογία θυμίζει διακριτή εκπομπή ενέργειας και όχι συνεχή. Ας δούμε μια άλλη απόδειξη των σχέσεων που αφορούν το φαινόμενο Doppler, κάνοντας χρήση της σχέσης υ=λf μόνο στο σύστημα ηρεμίας του μέσου διάδοσης. Οι όροι που θα χρησιμοποιηθούν αφορούν την περίπτωση εγκαρσίου κύματος που διαδίδεται σε γραμμικό μέσο. Η περίοδος του κύματος είναι το χρονικό διάστημα μέσα στο οποίο ένα σημείο του μέσου θα βρεθεί σε δύο διαδοχικές θέσεις μέγιστης απομάκρυνσης. Η περίοδος που μετρά ο παρατηρητής είναι το χρονικό διάστημα μέσα στο οποίο ο παρατηρητής θα βρεθεί σε δύο διαδοχικές θέσεις μέγιστης απομάκρυνσης. Σε ό,τι ακολουθεί υ είναι η ταχύτητα διάδοσης του κύματος, λ το μήκος κύματος, f η συχνότητα ταλάντωσης των σημείων του μέσου. 1

2 Περίπτωση 1: Ακίνητη πηγή κινούμενος παρατηρητής Ας υποθέσουμε ότι την στιγμή t 1 =0 ο παρατηρητής βρίσκεται σε μια κοιλία του κύματος. Σε χρονικό διάστημα T θα συναντηθεί με την επόμενη κοιλία η οποία την στιγμή t=0 απέχει από τον παρατηρητή απόσταση λ. Σε αυτό το χρονικό διάστημα ο παρατηρητής διανύει απόσταση x 2 =υ Α T και το κύμα διαδίδεται σε απόσταση x 1 =υt. Ισχύει ότι x1x2 T T f Επειδή η πηγή ηρεμεί ως προς το μέσον διάδοσης ισχύει ότι f=f. Συνεπώς, Περίπτωση 2: Κινούμενη πηγή ακίνητος παρατηρητής Υποθέτουμε ότι η πηγή του κύματος κινείται κατά μήκος του μέσου με ταχύτητα υ. Επειδή ο παρατηρητής ηρεμεί ως προς το μέσον διάδοσης ισχύει ότι f=f. t 1 =0 Γ υ d t 2 =T Γ Z υ Δ x λ Έστω ότι την στιγμή t 1 =0 η πηγή βρίσκεται στο σημείο Γ του μέσου και η απομάκρυνση από την θέση ισορροπίας της είναι μέγιστη. Υποθέτοντας άμεση απόκριση του μέσου, το σημείο Γ την στιγμή αυτή βρίσκεται σε όρος του κύματος Θεωρούμε ένα σημείο Δ το οποίο απέχει από το Γ απόσταση d=υ T. Δηλαδή το Δ υστερεί χρονικά του Γ κατά T s. Συνεπώς την στιγμή t 2 =T s το σημείο Δ βρίσκεται σε όρος του κύματος. Την ίδια χρονική στιγμή η πηγή βρίσκεται στο σημείο Ζ απέχοντας από το Γ απόσταση x =υ T. 2

3 Την στιγμή t 2 η πηγή βρίσκεται σε θέση μέγιστης απομάκρυνσης και επομένως και το σημείο Ζ βρίσκεται σε όρος του κύματος. Το μήκος κύματος, ως απόσταση δύο διαδοχικών ορέων, είναι η απόσταση ΖΔ. Επομένως dx T T Επειδή ο παρατηρητής ηρεμεί ως προς το μέσο διάδοσης ισχύει ότι f=f. Επομένως Περίπτωση 3: Κινούμενη πηγή κινούμενος παρατηρητής υ υ Συνδυάζουμε τα αποτελέσματα των περιπτώσεων 1 και 2. Ισχύει ότι Επομένως T και T T ( )T ( )T 3

4 Ένας ποιο συστηματικός τρόπος απόδειξης, ο οποίος κάνει χρήση των μετασχηματισμών Γαλιλαίου είναι ο παρακάτω: Περίπτωση 1: Ακίνητη πηγή κινούμενος παρατηρητής Ένας 2 ος απλούστερος αλλά εκτός ύλης τρόπος είναι ο παρακάτω: Θεωρούμε δύο συστήματα συντεταγμένων: Το Ox ακίνητο ως προς το μέσο διάδοσης και το Ο x Ακίνητο ως προς τον παρατηρητή. υ Α O ( πηγή) O ( παρατηρητής) Στο σύστημα ηρεμίας του μέσου διάδοσης η εξίσωση του κύματος είναι: 0( t kx) με ω=ω s και ω=kυ. Σύμφωνα με τους μετασχηματισμούς Γαλιλαίου ισχύει ότι: xx t x x t Αντικαθιστώντας στην εξίσωση του κύματος έχουμε: ( tkxk t) ( t kx ), όπου 0 0 k Περίπτωση 2: Κινούμενη πηγή ακίνητος παρατηρητής Θεωρούμε δύο συστήματα συντεταγμένων: Το Ox ακίνητο ως προς την πηγή και το Ο x ως προς to μέσο διάδοσης δηλαδή τον παρατηρητή. υ O ( πηγή) O ( παρατηρητής) Στην περίπτωση αυτή ισχύει ότι 0( t kx ) με k. Σύμφωνα με τους μετασχηματισμούς Γαλιλαίου ισχύει ότι: Αντικαθιστώντας στην εξίσωση του κύματος έχουμε: ( tk t kx) 0 4 x x t

5 Η πηγή (x=0) ταλαντώνεται με εξίσωση 0( t). Επομένως, 0 ( tkt) 0 ( t) k ( ) Περίπτωση 3: Κινούμενη πηγή κινούμενος παρατηρητής 1 2 υ υ Α O 1 ( πηγή) O ( μέσο διάδοσης) O 2 ( παρατηρητής) Θεωρούμε τρια συστήματα συντεταγμένων. Το Οx ακίνητο ως προς το μέσο διάδοσης και τα O 1 x 1 1 και O 2 x 2 2 ακίνητα ως προς την πηγή και τον παρατηρητή αντιστοίχως. Στο σύστημα ηρεμίας του μέσου διάδοσης ισχύει ότι: 0( t kx) με k. Από τους μετασχηματισμούς Γαλιλαίου έχουμε: x x t x x t 2 2 Αντικαθιστώντας στην εξίσωση του κύματος προκύπτει ότι: ( t kx) ( t k t kx) ( t kx) όπου k Από τους μετασχηματισμούς Γαλιλαίου έχουμε: x1 xt x x1 t Αντικαθιστώντας στην εξίσωση του κύματος προκύπτει ότι: 1 0( t kx) 0( t kt kx) 0( t kx) όπου k Επομένως, korfiatis@sch.gr 5