Ασκήσεις στα κύματα. α) Να βρεθούν οι εξισώσεις των δύο κυμάτων που δημιουργούνται.

Transcript

1 1. Ασκήσεις στα κύματα 1. Κατά μήκος ενός ελαστικού μέσου διαδίδονται τρία διαφορετικά κύματα, τα δύο πρώτα προς τα δεξιά και το τρίτο προς τ αριστερά. Στο παρακάτω σχήμα δίνονται τα στιγμιότυπά τους για t0=0, όπου το σημείο Ο βρίσκεται στη θέση x=0. i) Ποια η φάση των σημείων Α,Β και Γ τη στιγμή αυτή. ii) Ποια η αρχική φάση κάθε κύματος;. Ένα κύμα διαδίδεται από αριστερά προς τα δεξιά κατά μήκος ενός γραμμικού ελαστικού μέσου με ταχύτητα υ=m/s. Ένα σημείο Ρ βρίσκεται στη θέση x1=4m και ταλαντώνεται σύμφωνα με την εξίσωση: y = 0,ημπt (S.Ι.) Να βρεθεί η εξίσωση του κύματος. Απάντηση : y= 0, ημπ(t+x/-) (S.Ι) 3. H πηγή ενός κύματος βρίσκεται στη θέση x1=6m και ταλαντώνεται σύμφωνα με την εξίσωση : y= 0,1 ημπt (S.Ι), οπότε δημιουργούνται κύματα με μήκος κύματος λ=m, τα οποία διαδίδονται και προς τις δύο κατευθύνσεις. α) Να βρεθούν οι εξισώσεις των δύο κυμάτων που δημιουργούνται. β) Να σχεδιάστε στιγμιότυπο των δύο κυμάτων, στο ίδιο διάγραμμα τη χρονική στιγμή t1=s. γ) Να βρεθεί η διαφορά φάσης μεταξύ δύο σημείων Β και Γ που βρίσκονται στις θέσεις xβ=4m και xγ=8m. α). 0,1ημπ(t-x/+3) (S.Ι.), 0,1 ημπ(t+x/-3) (S.Ι.), γ). 0 1

2 . Αρμονικό κύμα με αρχική φάση -π Όταν η πηγή x 0 την t 0 έχει 0 και 0 Κατά μήκος άξονα x Ox διαδίδεται, προς την θετική κατεύθυνση, εγκάρσιο αρμονικό κύμα πλάτους A 0cm και συχνότητας f 0,5Hz. Η ταχύτητα διάδοσης του κύματος είναι cm 0 s. Τη χρονική στιγμή t 0 0 το σημείο Ο δίνεται ότι την t 0 0 i) Να δώσετε την εξίσωση του κύματος. ii) iii) iv) το κύμα φτάνει στο σημείο Ο με συντεταγμένη x 0 έχει απομάκρυνση 0 και ταχύτητα 0.. Για Να γίνει η γραφική παράσταση της φάσης της ταλάντωσης του σημείου Μ με συντεταγμένη x 10cm σε συνάρτηση με το χρόνο. Να δώσετε τη γραφική παράσταση της απομάκρυνσης του σημείου Μ με συντεταγμένη x 10cm σε συνάρτηση με το χρόνο. Να κάνετε τη γραφική παράσταση της φάσης των σημείων του θετικού ημιάξονα για τη χρονική στιγμή t,5s 1 σε συνάρτηση με τη θέση x των σημείων. v) Να δώσετε το στιγμιότυπο του κύματος για τα σημεία του θετικού ημιάξονα τη χρονική στιγμή t,5s 1. vi) Να δώσετε το στιγμιότυπο του κύματος για τα σημεία του θετικού ημιάξονα τη χρονική στιγμή t,75s. Απάντηση i) Έχουμε f 40cm. Για την ταλάντωση του σημείου x 0 έχουμε :, = 0 (t0) A t , = 0 Όμως για την t0 0 Για το κύμα έχουμε: έχουμε 0, άρα t x x x, t 0 x, t 0 t [1].

3 Άρα η εξίσωση του κύματος είναι: x 0 t, x 0t x,t 0 0, x 0t x, cm, t s x t, x 0t x,t 0 0, x 0t ii) Η φάση του κύματος είναι 3 t t t t Για το σημείο Μ: 3 t t t 0,5s Άρα Η γραφική παράσταση είναι:. x cm, t s με 10 0t t 0,5s ή. 0, t 0,5s t 3 t, t 0,5s. 0, t 0,5s t 3 0t, t 0,5s iii) Για την απομάκρυνση του σημείου ισχύει: Άρα: 3

4 x 3 x iv) Για τη φάση την χρονική στιγμή t,5s x,5 x έχουμε: x 5 x x x 50cm x 0,5 x 50cm ή 0 0 με Άρα 3 x, x 50cm x 0 0, x 50cm Η γραφική παράσταση είναι: v) Για το στιγμιότυπο του κύματος την χρονική στιγμή t,5s έχουμε: 3 x 0, x 50cm x 0 0, x 50cm Άρα: x 7 x vi) Για τη φάση την χρονική στιγμή t,75s x,75 x έχουμε: x 11 x με x 0,75 x x x 55cm 55cm ή

5 Για το στιγμιότυπο του κύματος την χρονική στιγμή t,75s έχουμε: 7 x 0, x 55cm x 4 0 0, x 55cm Για την κατασκευή του στιγμιότυπου είναι πολύ χρήσιμα τα στρεφόμενα διανύσματα. Πράγματι το σημείο Σ, το οποίο είναι το πρώτο σημείο δεξιά της πηγής Ο x 0 που βρίσκεται σε απομάκρυνση 0cm, έχει φάση μικρότερη κατά π/4. Από τη σχέση της διαφοράς φάσης έχουμε: [] O do do do 5cm Το στιγμιότυπο είναι: Σχόλια: [1]. Το σημείο με συντεταγμένη x 0 θα βρεθεί για πρώτη φορά στη θέση ισορροπίας του με θετική ταχύτητα τη στιγμή για την οποία ισχύει πως ο ταλαντωτής είχε φάση μηδενική τη στιγμή t αρχίζει την στιγμή t 0. []. Η σχέση θέλει απόδειξη. 0 t 0 t 1s. Για 0 δηλώνουμε 1s. Όμως η κίνηση του σημείου x 0 3. Από ένα στιγμιότυπο φάσεις και εξισώσεις κύματος. Κατά μήκος ενός γραμμικού ελαστικού μέσου διαδίδεται ένα αρμονικό κύμα, από τα αριστερά προς τα δεξιά, με A B Γ Δ Ε συχνότητα 0,5 Ηz και στο σχήμα βλέπετε ένα d στιγμιότυπο του κύματος, κάποια στιγμή t0. Δίνονται οι αποστάσεις (ΑΒ)=(ΒΓ)=(ΓΔ)=(ΔΕ)= d=1 m, ενώ η απόσταση μεταξύ των δύο ακραίων 5

6 θέσεων της ταλάντωσης του σημείου Α είναι 0,4 m. i) Να σχεδιάστε το στιγμιότυπο του κύματος μετά από χρονικό διάστημα,5 s. ii) Να βρεθεί η φάση των σημείων Α, Β, Γ, Δ και Ε τη στιγμή t0, καθώς και τη χρονική στιγμή t0+,5 s. iii) Αν το παραπάνω στιγμιότυπο δείχνει την εικόνα του μέσου τη χρονική στιγμή t0=0, ενώ για να γράψουμε την εξίσωση του κύματος, ορίζουμε ως αρχή του άξονα (x=0) το σημείο Α, να βρεθεί η εξίσωση του κύματος. iv) Ποια θα ήταν αντίστοιχα η εξίσωση του κύματος, αν αλλάζαμε την αρχή του άξονα και παίρναμε x=0, το σημείο Γ; Απάντηση: i) Με βάση το σχήμα, η απόσταση d, είναι ίση με μισό μήκος κύματος, άρα λ=d= m. Αλλά τότε η ταχύτητα διάδοσης του κύματος είναι ίση: υ=λ f= 0,5 m/s=1 m/s. Αλλά τότε σε χρονικό διάστημα,5s το κύμα θα έχει διαδοθεί προς τα δεξιά κατά: Δx=υ Δt=1,5 m =,5 m A B Γ Δ Ε A d B Γ t 0 t0, 5s Δ Ε Φτάνοντας στο μέσον του τμήματος ΔΕ, χωρίς να αλλάζει μορφή, οπότε το αντίστοιχο στιγμιότυπο θα είναι αυτό του διπλανού σχήματος. ii) Τη χρονική στιγμή t0 έχουμε για τις φάσεις των σημείων: Το σημείο Β, μόλις ξεκινά την ταλάντωσή του, κινούμενο προς τη θετική κατεύθυνση, συνεπώς η φάση του είναι μηδενική ( φβ=0). Αλλά τότε το σημείο Α, έχει ήδη εκτελέσει μισή ταλάντωση, έχοντας φάση φα=π. Τα σημεία Γ, Δ και Ε δεν συμμετέχουν σε καμιά ταλάντωση και δεν έχει νόημα να μιλήσουμε για την φάση (σε μια ανύπαρκτη ταλάντωση ). Τη χρονική στιγμή t0+,5 s, με την ίδια λογική βρίσκουμε: rad, 3 rad, B rad, 5 7 A rad, Ενώ δεν έχει νόημα να μιλήσουμε για τη φάση του σημείου Ε. iii) Το σημείο Β, που βρίσκεται στη θέση x=1 m, εκτελεί αρμονική ταλάντωση με εξίσωση: y B At A( ft ) y A 0,0 B P E x y B 0, ( t ) (S.Ι.) 6

7 Αν πάρουμε ένα τυχαίο σημείο Ρ, δεξιά του Β, στη θέση x. Για να φτάσει το κύμα στο σημείο Ρ, θα περάσει χρονικό διάστημα οπότε η εξίσωση ταλάντωσης του τυχαίου σημείου Ρ, θα είναι: y 0, ( t t1 ) 0, t x 1 y 0, με t x 1 t ( x 1) 0, t x 1 ή t ( x 1)s (1) d x 1 t1 s ( x 1)s 1, iv) Ας πάρουμε ξανά ένα τυχαίο σημείο Ρ, δεξιά του Β, στη θέση x. Για να φτάσει το κύμα στο σημείο Ρ, θα περάσει χρονικό d x 1 t1 s ( x 1)s διάστημα 1, οπότε η εξίσωση ταλάντωσης του τυχαίου σημείου Ρ, θα είναι: A B y 0,0 P E x y 0, ( t t1 ) 0, t x 1 t ( x 1) 0, t x 1 y 0, με t x 1 ή t ( x 1)s () Σχόλια: 1) Ας έρθουμε να απαντήσουμε στο ερώτημα ii) με βάση τις εξισώσεις κύματος που βρήκαμε παραπάνω. i) α)τη στιγμή t=0 η φάση κάθε σημείου του μέσου, με βάση την εξίσωση (1), έχει συνάρτηση: t x 1 x 1 στα σημεία όπου Με αντικατάσταση: 7 ( x 1) 0 ή x 1 m 0 1 φα=, φβ=0 ενώ για τα υπόλοιπα σημεία δεν έχει νόημα να το συζητάμε. β) Τη στιγμή t=0 η φάση κάθε σημείου του μέσου, με βάση την εξίσωση (), έχει συνάρτηση: t x 1 x 1 στα σημεία όπου Με αντικατάσταση: ( x 1) 0 ή x -1 m 1 φα=, φβ=0 ενώ για τα υπόλοιπα σημεία δεν έχει νόημα να το συζητάμε. ii) Αν πάρουμε τώρα τη στιγμή t= t0+,5s =,5s αντίστοιχα θα βρούμε: α) Η φάση κάθε σημείου του μέσου, με βάση την εξίσωση (1), έχει συνάρτηση:

8 t x 1 t x 3, 5 x στα σημεία όπου x 3,5 m Με αντικατάσταση: A 3, 5 x 3, 5 rad, B 3, 5, 5 rad, 3, 5 1, 5 rad, 3, 5 3 0, 5 rad, ενώ για τo σημείο Ε δεν έχει νόημα. β) Τη στιγμή t=,5s η φάση κάθε σημείου του μέσου, με βάση την εξίσωση (), έχει συνάρτηση: t x 1, 5 x 1 1, 5 x στα σημεία όπου x 3,5 m Με αντικατάσταση: A 1, 5 x 15, ( ) 3, 5 rad, B 1, 5 ( 1), 5 rad, 1, 5 0 1, 5 rad, 1, 5 1 0, 5 rad, ενώ για τo σημείο Ε δεν έχει νόημα. Αν κάποιος δει τις εξισώσεις κύματος (1) και () θα διαπιστώσει ότι για τη φάση έχουμε: t x 1 και t x 1 Έχει κανένα νόημα να μιλάμε για αρχική φάση του κύματος στην πρώτη περίπτωση ίση με π και στη δεύτερη π; Θεωρώ ότι οι τιμές αυτές δεν εκφράζουν τίποτα άλλο, παρά τη θέση του άξονα. Οι φάσεις ταλάντωσης των σημείων, έχουν φυσικό νόημα. Προσέξτε ότι στο ii) ερώτημα τις υπολογίσαμε, χωρίς καν να πάρουμε εξίσωση κύματος. Αλλά μπορεί επίσης να διαπιστώσει κανείς ότι και με τις δύο αυτές διαφορετικές εξισώσεις κύματος, οι φάσεις των σημείων, σωστά υπολογίστηκαν. Αλλά τι σημαίνει αρχική φάση κύματος; Υπάρχει ορισμός στο σχολικό βιβλίο, που να μας δεσμεύει; Νομίζω όχι. Υπάρχει ορισμός στην αρχική φάση μιας ταλάντωσης και εδώ, κάθε σημείο που ταλαντώνεται έχει αρχική φάση μηδενική. Γιατί να μην πούμε, ανεξάρτητα, πού βάλαμε αυθαίρετα την αρχή του άξονα, ανεξάρτητα πότε πήραμε ότι t=0, ότι η αρχική φάση κάθε σημείου που φτάνει το κύμα, και κατά συνέπεια του κύματος είναι μηδέν; 4. Αν δίνεται η εξίσωση ενός εγκάρσιου αρμονικού κύματος. 8

9 Ένα εγκάρσιο αρμονικό κύμα διαδίδεται κατά μήκος ενός γραμμικού ελαστικού μέσου από αριστερά προς τα δεξιά, το οποίο περιγράφεται από τη μαθηματική εξίσωση: y= 0, ημπ(t-,5x+4,5) t,5x-4,5 μονάδες στο S.Ι. i) Να υπολογισθεί η ταχύτητα διάδοσης του κύματος. ii) Να βρεθεί η φάση της απομάκρυνσης της ταλάντωσης του σημείου Ο, στη θέση x=0, σε συνάρτηση με το χρόνο και να γίνει η γραφική της παράσταση. iii) Να βρεθεί η θέση μέχρι την οποία έχει διαδοθεί το κύμα στη στιγμή t1=1s. iii) Να βρεθούν οι θέσεις των σημείων, τα οποία τη στιγμή t=0 έχουν μέγιστη κατά μέτρο ταχύτητα ταλάντωσης, στην περιοχή -0,5m x 0,5 m. iv) Να σχεδιάστε το στιγμιότυπο του κύματος τη χρονική στιγμή t1=1s. Η κατεύθυνση προς τα δεξιά, αλλά και η απομάκρυνση προς τα πάνω, θεωρούνται θετικές. Απάντηση: i) Η παραπάνω εξίσωση γράφεται: y= 0, ημπ(t-,5x+4,5) =0, ημ(πt-5πx+9π) t,5x-4,5 μονάδες στο S.Ι. Αλλά τότε ωt=πt ω=π ή f=1ηz και οπότε υ=λ f=0,4m/s. x 5x λ=0,4m, ii) Η φάση της απομάκρυνσης της ταλάντωσης του σημείου Ο στη θέση x=0 είναι: rad φ=πt-5πx+9π = πt+9π (rαd) ) t -4,5 s. Η ζητούμενη γραφική παράσταση είναι με βάση τα παραπάνω, αυτή του διπλανού σχήματος. iii) Τη χρονική στιγμή t1 το κύμα έχει φτάσει σε κάποιο σημείο, έστω Σ, το οποίο ξεκινά την ταλάντωσή του. Αλλά αν πάρουμε την εξίσωση της φάσης: φ=t-,5x+4,5 t,5x-4,5 και θέσουμε t =,5x-4,5 παίρνουμε, φ=,5x-4,5-,5x+4,5=0 πράγμα που σημαίνει ότι σε κάθε σημείο που φτάνει το κύμα, ξεκινά την ταλάντωσή του προς τη θετική κατεύθυνση. Αλλά τότε και το σημείο Σ έχει τη στιγμή t1=1s φάση απομάκρυνης φσ=0, οπότε: φ=t-,5x+4,5 =0 1-,5x+4,5=0 x=,m. iv) Τα υλικά σημεία του μέσου τα οποία έχουν μέγιστη κατά μέτρο ταχύτητα, είναι αυτά που 9 4,5 9 0,0 t( s )

10 διέρχονται από τη θέση ισορροπίας τους. Θέτοντας στην εξίσωση του κύματος λοιπόν t=0 και y=0, έχουμε: 0, ημπ(t-,5x+4,5)=0 ημπ(4,5-,5x)=0 9π-5πx=kπ x= 1,8-0,k οπότε αφού θέλουμε -0,5m x 0,5 m, πρέπει: -0,5 1,8-0,k 0,5 -,3-0,k -1,3 6, 5 k 115, Άρα οι δυνατές ακέραιες τιμές του k είναι: k= 7, 8, 9, 10 και 11. Οπότε οι θέσεις των υλικών σημείων θα είναι: x1=0,4m, x=0,m, x3=0,0m, x4=-0,m και x5=-0,4m. v) Αντικαθιστώντας την τιμή t1=1s στην εξίσωση του κύματος παίρνουμε: y=0, ημπ(1-,5x+4,5)=0, ημ(π-5πx+9π)=0, ημ(11π-5πx) y=0, ημ(π-5πx)=0, ημ(5πx) ενώ με βάση την απάντηση στο iii) ερώτημα x,m Η γραφική παράσταση της παραπάνω συνάρτησης είναι αυτή του παρακάτω σχήματος. y 0, ( m ) 0,0 0, 4 0, 8 1, 1, 6, 0, x( m ) 5. Δίνεται το στιγμιότυπο : Διαφορές στο στιγμιότυπο απλού αρμονικού και στάσιμου κύματος. 10

11 cm Α B Μ Β A Λ Κ - cm Από το παραπάνω στιγμιότυπο να υπολογίσετε: 1. Το πλάτος του απλού αρμονικού κύματος καθώς και το πλάτος των κοιλιών, αν πρόκειται: α) Για στιγμιότυπο του ενός από τα δύο κύματα που δημιουργούν το στάσιμο κύμα. β) Για στιγμιότυπο στάσιμου κύματος με όλα τα σημεία σε ακραία θέση.. Να βρείτε τη διαφορά φάσης μεταξύ των σημείων Α και Β, αν πρόκειται: α) Για στιγμιότυπο απλού αρμονικού κύματος. β) Για στιγμιότυπο στάσιμου κύματος. 3. Να σχεδιάσετε το στιγμιότυπο του κύματος μετά από χρόνο Τ/4, αν πρόκειται: α) Για στιγμιότυπο απλού αρμονικού κύματος που διαδίδεται κατά τον θετικό ημιάξονα. β) Για στιγμιότυπο στάσιμου κύματος με όλα τα σημεία σε ακραία θέση. 4. Ποιο είναι το πρόσημο της ταχύτητας των σημείων Κ,Β,Λ αν η ταχύτητα του σημείου Μ είναι αρνητική, αν πρόκειται: α) Για στιγμιότυπο απλού αρμονικού κύματος. 11

12 β) Για στιγμιότυπο στάσιμου κύματος. Απάντηση: 1. α) Αν είναι στιγμιότυπο του ενός από τα δύο κύματα που δημιουργούν το στάσιμο κύμα, τότε: Α=cm ενώ το πλάτος της κοιλίας είναι: Α max =Α=4cm. β) Αν είναι στιγμιότυπο στάσιμου κύματος με όλα τα σημεία σε ακραία θέση, τότε : Α max=a=cm ενώ Α=1cm. α) Αν πρόκειται για στιγμιότυπο απλού αρμονικού κύματος. Η διαφορά φάσεις μεταξύ των δύο σημείων υπολογίζεται από τη σχέση: πδx πλ ΔΦ π rad λ λ β) Αν είναι στιγμιότυπο στάσιμου κύματος, παρατηρούμε ότι μεταξύ των σημείων Α και Β υπάρχουν δύο δεσμοί άρα η διαφορά φάσης είναι ΔΦΑΒ=0. 1

13 3. α) Αν είναι στιγμιότυπο απλού αρμονικού κύματος με ταχύτητα διάδοσης κατά τον θετικό ημιάξονα σε χρόνο Δt=T/4 θα έχει μετατοπιστεί προς τα δεξιά κατά λ/4. β) Αν είναι στιγμιότυπο στάσιμου με όλα τα σημεία σε ακραία θέση, μετά από Τ/4 όλα τα σημεία θα είναι στη θέση ισορροπίας. 4. α) Αν είναι στιγμιότυπο απλού αρμονικού κύματος και το πρόσημο της ταχύτητας του σημείου Μ είναι αρνητικό (vm<0), το κύμα διαδίδεται προς τα δεξιά. Το σημείο Κ έχει αρνητική ταχύτητα (vk<0), το Λ έχει αρνητική ταχύτητα (vλ>0), ενώ το σημείο Β βρίσκεται σε ακραία θέση οπότε είναι στιγμιαία ακίνητο (vb=0). β) Αν πρόκυπτε για στιγμιότυπο στάσιμου, τα σημεία Λ,Β,Μ είναι συμφασικά άρα έχουν όλα το ίδιο πρόσημο ταχύτητας vλ<0, vb<0 και vm<0, ενώ το σημείο Κ είναι δεσμός οπότε παραμένει συνεχώς ακίνητο. 13

14 6. Πόσο έχουμε μάθει να δουλεύουμε τα κύματα; Έστω δυο σημεία Β και Γ ενός γραμμικού ελαστικού μέσου, (ας θεωρήσουμε του άξονα x x) κατά μήκος του οποίου διαδίδεται ένα εγκάρσιο αρμονικό κύμα της μορφής: y A t T x με t 0 και x t Η οριζόντια απόσταση ΒΓ είναι ίση με d = 5λ/4, όπου λ το μήκος του κύματος, ενώ το κύμα διαδίδεται από το Β προς το Γ. Κάποια χρονική στιγμή t0 το κύμα φτάνει στο σημείο Γ, ενώ το σημείο Β βρίσκεται στη μέγιστη θετική απομάκρυνσή του. i) Να σχεδιάσετε τμήμα του στιγμιότυπου του κύματος από το Β μέχρι το Γ τη χρονική στιγμή t0. Η εξίσωση ταλάντωσης του σημείου Β είναι: yβ = 0,1ημ(5πt -π) (μονάδες στο S.I.) ii) Να βρεθεί το πλάτος, η συχνότητα του κύματος, όπως επίσης και το χρονικό διάστημα που απαιτείται για να διαδοθεί το κύμα από το Β στο Γ. iii) Να βρείτε την εξίσωση της απομάκρυνσης χρόνου για το σημείο Γ. iv) Αν τη χρονική στιγμή t1=t0+0,1s το κύμα έχει φτάσει σε ένα σημείο Δ το οποίο απέχει κατά 1m από το Γ (στη διεύθυνση του άξονα) να βρείτε την εξίσωση του κύματος και να κάνετε το στιγμιότυπο του κύματος τη στιγμή t1 κατά μήκος του θετικού ημιάξονα x. Απάντηση: i) Η εξίσωση του κύματος που μας δόθηκε: y A t T x με t 0 και x λt/τ αντιστοιχεί με κύμα που διαδίδεται προς τα δεξιά και τη στιγμή t=0, φτάνει στη θέση x=0, ενώ το σημείο που φτάνει το κύμα, ξεκινά την ταλάντωσή του από τη θέση ισορροπίας του, κινούμενο προς τη θετική κατεύθυνση (εδώ προς τα πάνω). Επομένως τη στιγμή t0 που το κύμα φτάνει στο Γ η μορφή του μέσου από το Β μέχρι το Γ είναι όπως στο παρακάτω διάγραμμα. B t 0 x ii) Από την εξίσωση ταλάντωσης του σημείου Β: yβ = 0,1ημ(5πt -π) προκύπτει ότι το πλάτος του κύματος είναι Α=0,1m, ενώ πft=5πt, από όπου f=,5ηz. Εξάλλου από την εξίσωση 14

15 ορισμού της ταχύτητα του κύματος παίρνουμε: 5 s s d 5 5 t B 4 s 0,5s t υ f 4 f 4,5 iii) Το σημείο Γ, καθυστερεί να αρχίσει την ταλάντωσή του, σε σχέση με το σημείο Β κατά χρονικό διάστημα t1=0,5s, οπότε η εξίσωση της απομάκρυνσής του θα έχει τη μορφή: yγ = 0,1ημ(5π(t-t1) -π) = 0,1 5 (t 0,5 ) 0,1 5t 3, 5 (S.Ι.) iv) Σε χρονικό διάστημα t1-t0=0,1s το κύμα διαδίδεται κατά απόσταση 1m (η απόσταση μεταξύ Γ και Δ), συνεπώς η ταχύτητα του κύματος είναι ίση με: s t 1m 0,1s Οπότε f y A 10m / s t T 10,5 m 4m και η εξίσωση του κύματος παίρνει τη μορφή: x x 0,1,5t - 4 Η διαφορά φάσης μεταξύ των σημείων Β και Γ είναι: Δφ=φΒ-φΓ = xb x,5t -,5t Γ (S.I.) με t 0 και x 10t x 4. Αλλά τη στιγμή t0, η φάση του σημείου Γ, το οποίο ξεκινά την ταλάντωσή του, είναι μηδενική, οπότε η φάση του σημείου Β είναι: 5 x 4, 5 φβ= 4 4 (rαd). Οπότε με αντικατάσταση στην εξίσωση για την απομάκρυνση του Β, που μας δόθηκε: yβ = 0,1ημ(5πt -π) παίρνουμε φβ=5πt0-π=,5π ή t0=0,7s, άρα t1=t0+0,1s=0,8s. Με αντικατάσταση τώρα στην εξίσωση του κύματος t=t1=0,8s παίρνουμε: x x x y 0,1,5t - 0,1,5 0,8-0,1 4π - π x y 0,1 π με x υt ή x 8m. ή Με βάση αυτά το ζητούμενο στιγμιότυπο είναι όπως στο σχήμα: y 0,1 ( m ) 0,0 4 8 x( m ) 15

16 16