קיבול (capacitance) וקבלים (capacitors)

Transcript

1 קיבול (cpcitnce) וקבלים (cpcitors) קבל (pcitor) הוא התקן חשמלי האוגר אנרגיה ומטען חשמליים. הקבל עשוי משני לוחות מוליכים שביניהם חומר מבודד או ריק. הלוחות הם נושאים מטענים שווים והפוכי סימן. המטען הכללי של קבל הוא תמיד אפס.

2 q q V הגדרת הקיבול כשאנו טוענים קבל אנו מוצאים כי המטען על לוחותיו תמיד פרופורציוני להפרש הפוטנציאלים V בין לוחותיו. V q Nm 8.85 [ ] F ( fr ) Volt L ~ km R ~ 6 km Nm q () לפיכך הגדרגו את היחס הקבוע בין V דוגמה: מהו גודל של קבל אם הקיבול = F ומרחק בין הלוחות? = mm q V המטען להפרש הפוטנציאלים כקיבול הקבל (cpcitnce)

3 חישוב הקיבול לחישוב קיבולת מבצעים את השלבים הבאים:. טוענים את המוליכים במטען q±.. מחשבים את השדה החשמלי הנוצר מהטעינה. 3. מחשבים, בעזרת, את הפרש הפוטנציאלים V בין המוליכים 4. מחשבים את מהיחס בין המטען q והפרש הפוטנציאלים V. q חישוב השדה V s חישוב הפרש הפוטנציאלים V:

4 מחוק גאוס )בקירוב טבלאות אינסופיות ) ומעקרון הסופרפוזיציה נקבל כי השדה בתוך הקבל )מחוץ לקבל הוא כמובן אפס(. קבל טבלאות מקבילות q () V s q (3) q (4) V הפרש הפוטנציאלים הוא:

5 קבל כדורי הקבל הכדורי מורכב מכדור פנימי בעל רדיוס ומקליפה כדורית חלולה שרדיוסה הפנימי הוא b. V q r q b s 4 r 4 b b q 4 r ( < r < b) b 4 b b (5) 4 R (6) גם כאן רואים כי הקיבול הוא תכונה גיאומטרית. אם R מקבלים קיבולת של כדור בודד שרדיוסו b

6 תרגיל : מה קיבולו של כדור הארץ בהנחה שהו כדור אחיד שרדיוסו.R=637km פתרון: נוכל לייחס קיבול לכדור יחיד המבודד מסביבתו על ידי כך שנניח כי "הלוח החסר" הוא קליפה כדורית מוליכה שרדיוסה אינסופי. מנוסחה )6( נקבל 4 R 7 F

7 קבל גלילי: נתון קבל גלילי שאורכו L ומורכב משני גלילים קואקסיאליים בעלי רדיוס )פנימי( ו b )חיצוני(. נתון כי L << b )אין תופעות קצה(. משטח גאוסי בצורת גליל שרדיוסו r ואורכו L. q ( rl) q Lr q r q b V s ln( ) L r b b L q L (7) V ln( b )

8 קבל עם חומר דיאלקטרי: ניסוי פרדי חיבור קבל למקור מתח גורם לטעינת הקבל במטען q לפי הנוסחה q V מילוי החלל בין הטבלאות בחומר מבודד, הקרוי גם חומר דיאלקטרי מגדיל את הקיבולת פי k, שהוא הקבוע הדיאלקטרי של החומר. כלומר = k אשר הוא הקיבול ללא החומר הדיאלקטרי. מילוי הקבל בחומר שהקבוע שלו κ גורם לקבל להטען במטען גדול יותר לפי q ' k V k q q המטען הנוסף נמסר לקבל ע"י מקור המתח. מצד שני ' q ' ' V '?

9 אם טוענים את הקבל במטען q ומנתקים את מקור המתח, הפרש הפוטנציאלים על הקבל יהיה ממלאים כעת את הקבל בחומר דיאלקטרי κ. הפרש הפוטנציאלים על הקבל יקטן ויהיה V q V ' V k k ' V q V ' V k k ' ' q? מצד שני

10 חוק גאוס בחומר q k q חוק גאוס בקבל טבלאות ללא חומר דיאלקטרי נותן מילוי החלל בין הטבלאות בחומר דיאלקטרי יוצר מטען מושרה q ומקטין שדה בפקטור k q q' k q k כאשר q הוא המטען החופשי בלבד ולא מטען מושרה. q' q k מטען מושרה

11 נחזור ל ניסוי פרדי ' ' q' q V k k ' ' q k k k ' V ' V k k

12

13 חומר מבודד )דיאלקטרי( בשדה חשמלי: תמונה מיקרוסקופית. חומרים דיאלקטריים פולריים )קוטביים( כגון מולקולות של מלח ו מים.. חומרים דיאלקטריים לא פולרים

14 חיבור קבלים כאשר מחברים שני קבלים ניתן להחליפם בקבל שווה ערך. כל קבל מורכב משני מוליכים. כלומר נתונים 4 מוליכים בסידור נתון. ננסה לחשב את ערכו של הקבל שווה הערך. קיימים שתי דרכים לחיבור קבלים. b b חיבור טורי חיבור מקבילי

15 חיבור טורי במקרה זה שני מוליכים מחוברים )מקוצרים( והשניים האחרים נשארים חופשיים לחיבור למקור המתח במעגל החשמלי. באופן סימבולי חיבור טורי מתואר b נתון קבל טבלאות מקבילות. + - נכניס לתוך הקבל לוח מוליך דק את המרחק לשני חלקים המחלק.

16 אם המוליך המרכזי דק מאוד השדה במוליך המרכזי הוא אפס. כדי לקבל מצב זה מטענים מושרים על שני צדדיו ששווים למטענים המקוריים. נוצרו לנו שני קבלים המחוברים בטור. מסקנה נוספת ש על כל הקבלים בחיבור טורי יש אותו מטען. הפרש הפוטנציאלים עליהם שונה, תוצאה של V=q/ ז"א

17 b כאן מחברים את ארבעת המוליכים בזוגות וכל זוג למקור המתח. החיבור המקבילי נתבונן שוב בקבלי טבלאות. נחבר את הטבלאות. קיבלנו קבל ששטח הטבלאות הוא סכום שטחי הטבלאות של הקבלים המקוריים דרך אחרת: q = V = q +q = V + V = +

18 חיבור טורי חיבור מקבילי i i

19 רשתות פשוטות של קבלים תרגיל : א. מצא את הקיבול השקול של הרשת אם נתון: F, 5.3 F, F ב. מצא את המטען שקול של כל המערכת ואת המטען על אם לרשת ניתן מתח של.5V. b b b t 3 3

20 קבלים ו מחוברים במקביל ולכן קיבולם השקול הוא סכומם. = +,צירוף זה מחובר בטור עם 3 ולכן: T q V T T b 3 T 3.57 F q q V V V V V b 3 b 3 3 V V Vb 3 3 q V Vb 3 3

21 W +q - q q' W V ' q' q' q q q' q' אנרגיה אגורה בשדה חשמלי -q קבל טעון אוגר בתוכו אנרגיה, או במילים אחרות מקור המתח ביצע עבודה בטעינת הקבל. האנרגיה האגורה בקבל ניתנת למחזור כאשר נאפשר לקבל להתפרק. כדי לטעון קבל יש לעשות עבודה. טעינת קבל היא מעבר מטען שלילי q מהקוטב החיובי לשלילי. q V U k p mv m qv pv

22 אנלוגיה עם התנגשות פלסטית: V Q m v p גודל לא נשמר גודל נשמר k = mv / p = mv התנגשויות תנע אנרגיה קינטית U = V / Q = V חשמל מטען אנרגיה חשמלית

23 u U V V u צפיפות האנרגיה: בכל מטר מעוקב של קבל טעון אגורה אנרגיה התלויה ברבוע השדה החשמלי. זוהי תוצאה כללית: אם השדה החשמלי אינו אחיד נוכל באמצעות אינטגרל נפחי לחשב את האנרגיה במערכת: U ( V ) V נעיר כי למרות העובדה השנוסחא הזות פותחו עבור קבל היה כללית ותקפה תמיד!!

24 אפשר להכליל את התוצאות של הכנסת חומר דיאלקטרי בנפח מלא בחומר דיאלקטרי בעל קבוע דיאלקטרי κ כל המשוואות האלקרוסטטיות שמופיע בהם ε צריכות להשתנות בכך שמופיע בהם האבר.ε=κε שדה סביב מטען נקודתי בתוך חומר שדה מחוץ לפני מוליך בתוך חומר אנרגיה חשמלית q 4k r U k ( V ) V

25 Q תרגיל: לפני חיבור: קבל טעון במטען. Q מחברים אותו במקביל לקבל אחר. חשבו את האנרגיה החשמלית האגורה במערכת לפני ואחרי החיבור. U U U U Q Q Q ( )? אחרי חיבור :

26 לתוך קבל לוחות רגיל הכניסו פרוסה עבה של נחושת בעלת שטח ועובי b. א( מה הקיבול של הקבל לאחר הכנסת הפרוסה? ב( אם יש בקבל כמות מטען שנשמרת בזמן פעולת החדרת הנחושת, מה יהיה היחס בין האנרגיה של הכבל לפני ואחרי הפעולה? ג( כמה אנרגיה צריך כדי להכניס את הנחושת? האם יש לדחוף אותה פנימה או שהיא תמשך לתוך הקבל? b U f b U i b U f Ui Ui

27 תרגיל נתונה טבעת כדורית שרדיוסה הפנימי והחיצוני b. בתוך הטבעת מצוי חומר דיאלקטרי שקבועו משתנה לפי k,כאשר r הוא המרחק ממרכז המערכת ו הוא קבוע e / r מספרי. מצא את הקיבול של הטבעת. k q e r r q b 4 q 4 r kq r נחשב את הפרש הפוטנציאלים בין ל b: V b kq br kq b s ln b r q V b b k ln נציב בהגדרת הקיבול ונקבל:

28 פתרון בדרך ב': ניתן להתייחס לבעיה כאל סופרפויציה של קבלי לוחות ששטחם הוא =4r ועוביים,r המחוברים בטור. r r r kr k 4 (4 r ) r r r b kr k b ln r q V b k b ln

29 לקבל של טבלות מקבילות הוכנס חומר דיאלקטרי כמוראה בתרשים. נתון ששטח לוחות הקבל הוא והמרחק בין הלוחות. חישבו את הקיבול הקבל

30 קבל של טבלאות מקבילות ממולא בשני חומרים דיאלקטרים שקבועם היחסי הינו א. ב. ו-. כל אחד משני החומרים תופסים מחצית מנפח הקבל באופן המתואר באיור שמשמאל )מעל ומתחת למישור החוצה אלכסונית את נפח התיבה(. אורך לוחות הקבל הוא, L רוחבם w והמרחק בניהם הוא חשבו את קיבול הקבל.. הראו כי עבור תצטמצם התוצאה של סעיף א' לנוסחת הקיבול של קבל לוחות בעל חומר דיאלקטרי אחד, היינו L w wl ln..4