f ( x, y) 1 5y axy x xy ye dxdy לדוגמה: axy + + = a ay e 3 2 a e a y ( ) במישור. xy ואז dxdy למישור.xy שבסיסם dxdy וגבהם y) f( x, איור 25.

Transcript

1 ( + 5 ) 5. אנטגרלים כפולים., f ( המוגדרת במלבן הבא במישור (,) (ראה באיור ). נתונה פונקציה ( β α f(, ) נגדיר את הסמל הבא dd e dd 5 + e ( ) β β איור α 5. α = e d d = 5 ( ) e + = e e β α β α f (, ) d d β α במובן הבא: כלומר תחילה נבצע אנטגרל על הפונקציה ) f(, לפי משתנה כאשר, α α ו- בין הגבולות נלקח כקבוע. אנטגרל זה היא פונקציה תוצאה של ועליה מבצעים אנטגרל לפי משתנה של. β β ו- בין הגבולות גודל זה נקרא בשם אנטגרל כפול. לדוגמה: נבצע תחילה אנטגרל על 5. המשמעות הגאומטרית של האנטגרל הכפול. אם נתבונן במרחב התלת ממדי נוכל להבין את ( )f, כמשטח במרחב לכל נקודה ( (, מתאימה נקודה ( )f, במרחב. את הגודל dd ניתן להבין כאלמנט שטח אינפיניטזימלי ( f (, הוא למעשה אלמנט נפח (ראה איור). במישור. ואז dd כפי שכבר ראינו משמעות אנטגרל הוא סכום. הרי האנטגרל הכפול יהיה סכום כל אלמנטי הנפח הללו. כלומר האנטגרל z יהיה הנפח הכלוא בין המשטח ( )f, למישור. בדוגמה הקודמת הסכום יעשה על כל התיבות f(,) שבסיסם dd וגבהם ) f(, הנמצאות בתוך המלבן = β, = β, = α, = α d d איור

2 אם נ נ יח שבמיש ור, א נו מעונ ינים בתחום שהואשונה ממ לבן אז בא ו פן כל לי נ כ תוב : f (, ) dd איור 5. אנטגרל זה יתן לנו את הנפח הכלוא בין התחום לבין חלק המשטח ש- הוא הטלו. הערה : אנטגרל זה מחשב את הנפח מכיוון ששטח הבסיס של כל תיבה הוא dd שואף לאפס. לכן ניתן לכתוב הנפח כסכום של נפחים של תיבות! נשאלת השאלה איך לתאר את הגבולות כגבולות האנטגרציה במקרה כללי כאשר אינו מלבן. β α β α f (, ) dd f ( ) f( ) α α איור 5. α f ( ) α f( ) כאשר מלבן, כתבנו: אנטגרל זה מסכם קודם על תיבות לאורך ציר ואחר כך על פרוסות לאורך ציר. או: α β α β f (, ) dd אנטגרל זה מסכם קודם על תיבות לאורך ציר ואחר כך על פרוסות לאורך ציר. שני אנטגרלים אלה זהים כיון ששניהם נותנים אותו נפח. כיצד נטפל במקרה הכללי?. f ( ) f ( ) f ( ) נקח תח ילה את המקרה בו נבצע תחילה אי נטגרל על. f (, ) d f( ) f (, ) d d משתנה מ עד האנטגרל הראשון נותן פונקציה של בלבד ואז בודקים כיצד משתנה של. α. α עד רואים מהאיור ש- משתנה מ- 97

3 β β f( ) f ( ) נוכל גם לבצע תחילה את אנטגרל על. β f ( ) β f( ) f (, ) d d ואז משתנה מ- ) f( ל- ) f (. β β ל- ואילו משתנה מ- איור 5.5 שני דרכים אלו מביאות לאותה תוצאה: לנפח הכלוא בין התחום לבין חלק המשטח ( )f, ש- הוא הטלו. באנטגרל הראשון מסכמים קודם על עמודות לאורך ציר ואחר כך פרוסות לאורך ציר. באנטגרל השני מסכמים קודם על עמודות לאורך ציר ואחר כך על פרוסות לאורך ציר. הערה : נבחר את סדר האנטגרציה כך שיהיה יותר נוח. אם ניתן לכתוב את התחום כשתי פונקציות חד ערכיות באחד הצירים ( או ) נבחר ציר זה להיות אנטגרל הראשון. אם למשל יהיה באופן הבא (ראה איור) כדאי לבחור קודם את האנטגרל f ( ) על שכן רק לאורך ציר נוכל לכתוב את התחום בין שתי פונקציות חד ערכיות. דוגמאות: ) חשב את האנטגרל: f( ) dd איור 5.6 ותן לו משמעות גאומטרית. dd = d d = ( ) d = = = 6 משמעות: נתאר במישור. האנטגרל נותן את השטח בין שני הקוים. או נפח השוה לשטח הנ''ל כפול יחידה, כי ניתן לומר = ) f (, = לכל ו -. הערה: שטח כזה מצאנו גם בשיטה אחרת: איור 5.7 = d d = ( ) d 98

4 פרופ' שלמה הבלין מתמטיקה לפיזיקאים = = הוא השטח באיור. איור 5.8 ( חשב dd כאשר dd = ( ) ( ) ( ) d = = 6 d d = d = ) חשב: cosθ cosθ ρ cos θ sinθdρdθ = sinθdθ = sinθ d θ = - cos θ = + = על ידי + = ) מצא את הנפח הנחתך מהגליל המישורים. z =, z = ולכן ס''כ הנפח יהיה: dd לאלמנט שטח dd שייך נפח z dd = d = = U du = d נציב 5 איור 5.9 = du U = U U = אפשר גם כמובן לבצע את האנטגרל קודם על ואח'יכ על ואז יראה האנטגרל: איור dd = = + = 6 6 הוא כאשר d = = 6 ( = ) dd 5) חשב השטח ברבוע הראשון החסום ע''י הקווים = והישר. =. =, = ; =, הישר והעקומה נחתכים בנקודות : = נפתור בשני דרכים.

5 דרך א': אנטגרציה נבצע תחילה לאורך רצועה אופקית (קודם על ( מ- = עד. עד = = ואח''כ נסכם על כל הרצועות לפי מ- = = = dd = ( ) d = = איור 5. 5 = 5 = = 5 = דרך ב': = עד = - נבצע אנטגרל על פני רצועה אנכית תחילה (קודם על ואח ''כ על מ- עד. = = איור 5. מ) ( ) = dd = d = 5 5 = = 5 דוגמאות פיזיקליות: מרכז המסה: מרכז כובד של גוף מישורי בעל מסה אחידה נקבע על פי נוסחה: = C איור 5. dm dm הסבר: = = ואם נציב dm = ρ dm dm ונניח ρ קבוע נקבל הנוסחה הנ"ל. מרכז הכובד הוא אותה נקודה שאפשר לראות בה את כל המסה מרוכזת ונותנת אותו מומנט כמו רצף המסה (ראה איור). בעזרת האנטגרל הכפול נוכל למצוא עתה מרכזי מסה של גופים שאינם סימטריים. )מצא את מרכז המסה של השטח המישורי המוגבל ע''י. וציר ה- = הפרבולה: ברור שמבחינה סימטרית ש- יהיה.

6 נחשב: dd = = = dd ( ) d ( ) d איור 5. = ( ) d = dd = = = ( ) 6 = = d = 5 + = 6 + = 8 = = 5 I = Δm i i i 5 ( ρ ) I = dm= ρ dm =. (, ) = (, 5) נחשב את : מרכז הכובד בציר הוא : נקודת מרכז הכובד היא איפה: מומנט התמדה: נראה עתה כיצד מחשבים מומנט התמדה של שטחים מישוריים. Δm i מומנט התמדה ביחס לציר מוגדר ע"י סכום של מכפלת כל אלמנט מסה : i ברבוע המרחק מציר, במסה רציפה נקבל בכתיבת אנטגרלית :

7 cos d = איור 5.6 ( + cos) אם נניח ρ קבוע = נקבל : I לציר ביחס = באותו אופן מומנט התמדה ביחס לציר יהיה : ביחס לציר I = דוגמה: מצא מומנט ההתמדה איור 5.5 של דיסקית שרדיוסה ביחס לציר וביחס לציר העובר בראשית ונצב לדיסקית. משואת המעגל: + = I = = dd = + = ( ) d נציב: = sinθ d = cosθ dθ I = ונקבל: d cos θcosθ θ [ cos cos ] d = d + d + d = sin sin sin + + ( + cos d ) = I = + sin + sin = 8 cos d נחשב תוצאה שודאי נפגשתם כבר בפיסיקה. דרך זו היא מסובכת למדי בהמשך נראה דרך קלה ביותר להגיע לאותה תוצאה. נחשב עתה את מומנט ההתמדה ביחס לציר העובר דרך הראשית: I = ( + ) = ( + ) dd = I + I I I = I = I = = אבל מסימטריה ולכן