תרגול 5 פוטנציאל חשמלי ואנרגייה חשמלית

Transcript

1 תרגול 5 פוטנציאל חשמלי ואנרגייה חשמלית כפי שהשדה החשמלי נותן אינדקציה לכח שיפעל על מטען בוחן שיכנס למרחב, כך הפוטנציאל החשמלי נותן אינדקציה לאנרגיית האינטרקציה החשמלית. הפוטנציאל החשמלי מוגדר על פי מינוס אינטגרל מסליתי על השדה החשמלי מאיפה שהפוטנציאל מכוייל להיות אפס ) 0 ),לנקודה בו אנחנו מעונינים( ). () φ( ) = 0 Ed = φ( ) φ( 0 ) = φ( ) תכונה שנובעת מההגדרה: אם הפוטנציאל הינו אינטגרל על השדה החשמלי אזי הפוטנציאל בהכרח רציף (השדה הינו רציף למקוטעין), חשוב לבדוק כי התכונה הזאת מתקיימת עבור כל פוטנציאל. הערה חשובה: הנקודה בו הפוטנציאל מכוייל להיות אפס הוא נקודה שרירותית, בדר"כ אנו נבחר נקודה נוחה להגדיר את הפוטנציאל להיות אפס בו. עבור מטענים בעלי כמות מטען סופית במרחב, נהוג לכייל את הפוטנציאל להיות אפס באינסוף (לא חובה), אך עבור התפלגות מטען אינסופית לא רצוי לכייל באינסוף שהפוטנציאל יהיה אפס, מכיוון שלרוב נקבל התבדרות מסויימת בפוטנציאל, בד"כ אין משמעות פיסיקלית לערכים מתבדרים. מתח חשמלי: () V ba = b a Ed = φb φ a ; [V ] = Joul C = V olt הפרש הפוטנציאל (או מתח) בין שני נקודות זה העבודה שצריך לבצע כדי להביא מטען בוחן מנקודה a לנקודה b במרחב (כמו בפיסיקה : d ( W = b F a רשת החשמל הינה olt] V]0. מתקיים גם הקשר ההפוך: עבודה חשמלית: (3) E( ) = φ( ) = x φ( )ˆx y φ( )ŷ z φ( )ẑ (4) W a b = qv = b a F d = Ub U a פוטנציאל של חלקיק נקודתי כאשר הוא מכוייל כך שבאינסוף יהיה אפס: עבור הרבה מטענים (עקרון סופרפוזציה): (5) φ( ) point chage = 0 Ed = kq = kq (6) φ( ) = i kq i i ניתן גם להסיק הגדרה נוספת הנגזרת מפוטנציאל של חלקיק נקודתי: (7) φ( ) = kq φ( ) = dφ = kdq

2 כעת כל מה שנותר זה לסכום ע"י אינטגרל בתחום מערכת המטענים שלנו במרחב. הערה חשובה: הגדרה זאת נגזרת ממטען נקודתי בו הפונציאל מוגדר להיות אפס באינסוף, לכן עדיין הפוטנציאל הינו אפס באינסוף. כמו כן בדר"כ לא ניתן להשתמש בביטוי הזה עבור מערכת מטענים אינסופית (נמצא את השדה {בדר"כ מחוק גאוס} ואז נבצע אינטגל עבור הפוטנציאל). לפעמים יהיה יותר קל לחשב את הפוטנציאל בדרך אחת מאשר השנייה. מוליך: במוליך המטענים מסתדרים כך שהשדה החשמלי בתוכו יהיה אפס, ושקול לומר כי הפוטנציאל עליו היינו קבוע. חיבור שני מולכים זה לזה משווה בינהם את הפוטנציאל. הארקה: חיבור בין גוף מוליך לבין "כדור הארץ" (מקום בו הפוטנציאל שווה לאפס), כלומר הפונציאל על המוליך הינו אפס.

3 403 נתונה מערכת מטענים ) 3 q), q, q היושבים בקדקטדי משולש שווה צלעות שאורך כל צלע בו הוא l ס"מ. א. מהי העבודה הדרושה לבניית המערכת? ב. מהו הפוטנציאל החשמלי בנקודה A הנמצאת האמצע הצלע התחתונה? ג. כמה עובדה יש להשקיע על מנת להעביר מטען של q מאינסוף לנקודה? A פתרון סעיף א: העבודה הנדרשת עבור מטענים נקודתיים היא העבודה הנדרשת לבהיא כל זוג מטענים. () W = i,j φ i jq i = i,j kq iq j i j () W = W + + W +3 + W +3 = k L (q q + q q 3 + q q 3 ) (3) φ A = φ + φ + φ 3 (4) φ = kq 3 L (5) φ = kq L (6) φ 3 = kq3 L סעיף ב: לפי עקרון סופרפוזציה:

4 (7) φ A = k L ( q 3 + q + q 3 ) (8) W q A = qφ A = kq L ( q 3 + q + q 3 ) סעיף ג:

5 403 נתונה טבעת דקה בעלת רדיוס R הטעונה במטען,Q כמתואר בציור: א. מהו הפוטנציאל בנקודה P הנמצאת במרחק z ממרכז בטבעת, על הציר הניצב למישור הטבעת והעובר במרכזה? ב. מהי העבודה הדרושה להעתקת מטען q מהנקודה P לנקודה O הנמצאת במרכז הטבעת? פתרון () φ( ) = kdq () dq = Q π dϕ (3) = zẑ (4) = Rˆ = R(cosϕ, sinϕ, 0) (5) φ( ) = π 0 k Q π dϕ R +z = kq R +z (6) W P O = q(φ O φ P ) = kqq( R R +z ) סעיף א: סעיף ב:

6 406 נתונות שתי קליפות מוליכות קונצנטריות ברדיוס R,R טעונות.Q,Q מחברים את הקליפות בחוט מוליך דק, כמה מטען יעבור בין הקליפות? פתרון אם נחבר שני מוליכים יהיה להם פוטנציאל שווה, לכן נשווה בין הפוטנציאלים שלהם כדי לדעת מהו סך המטען העובר. נמצא את הפוטנציאל דרך השדה, שדה של קליפה טעונה: () E = { kqi ˆ 0 > R i < R i פוטנציאל של קלפיה כאשר נכייל את האינסוף להיות אפס: () φ( ) = 0 Ed = kq i = { kqi kq i R i > R i < R i (3) φ( ) = 0 Ed = kq i = כעת עבור שני הקליפות הפוטנציאל ולפי עקרון סופרפוזציה: kq R kq kq + kq R < R + kq R, R < < R + kq, > R כעת לאחר החיבור הפוטנציאלים יהיו שווים והמטען שימצא בכל אחד מהקליפות יהיה שונה נסמן את המטען החדש Q i Q i (4) φ R = φ R (5) k Q R + k Q R = k Q R + k Q R

7 קיבלנו כי (6) Q R = Q R (7) Q = Q + Q = Q + Q (8) Q = Q לא ייתכן כי הרדיוסים שווים לכן המטען Q הוא אפס, וכל המטען הכולל עבר לקליפה החיצונית. המטען שעבר הינו מסומן ב Q

8 4304 נתונה מערכת של ארבעה לוחות טעונים באופן אחיד. נתונים: σ σ, (חיוביים), a ו b. ניתן להניח כי המרחק בין הלוחות קטן מאוד ביחס למימדים שלהם וגם כי σ. < σ א. מהו השדה החשמלי בכל אחד מחמשת האיזורים? ב. משחררים פרוטון (מטען e+ ( מהלוח σ. כמה אנרגיה הוא "ירוויח" מהמערכת בהנחה שהוא מסוגל לעבור דרך הלוחות מבלי לאבד בהם אנרגיה? ג. מה תהיה מהירותו כשיצא מהמערכת? () E = σi sign(x)ˆx () E = פתרון סעיף א: שדה חשמלי של לוח הטעון ליחידת שטח σ i אינסופי שנמצא ב( z,0):,y E ˆx = σ ˆx E 3ˆx = σ ˆx + σ E 4ˆx = σ ˆx E ˆx = E 5ˆx = 0 לכן לפי עקרון סופרפוזציה (נמקם את הראשית בלוח σ+): ˆx, a + b < x < a + b, a < x < a + b, 0 < x < a, else

9 סעיף ב: כעת נמצא כמה אנרגייה ירוויח הפרוטון: (5) U = (U f U i ) = e(φ f φ i ) = (6) e( x f x i (7) e E dx) = e a+b a E 3 dx + e a+b E a+b 4 dx ( ) σ σ (a + b a) + eσ (a + b (a + b)) = e (8) E i = K i + U i (9) E f = K f + U f (0) K f = U i U f ( ) σ σ b + e σ a דגש חשוב: העבודה שמבצע הגוף עצמו כדי להגיע ממקום למקום היא מינוס העבודה שיש להשקיע עליו (לכן פקטור הסימן). סעיף ג: שימור אנרגייה :E i = E f הגוף מתחיל ממנוחה לכן אין אנרגייה קינטית התחלתית ( ) () mpv f σ = e σ b + e σ a K = mv אנרגייה קינטית () v f = e m p [b (σ σ ) + σ a]