Ï åäèñëîâèå Â êîíöå 5-õ, íà àëå 6-õ ãîäîâ ï î ëîãî âåêà â òåî èè êîíäåíñè îâàííîãî ñîñòîßíèß ( àùå íàçûâàâ åéñß òîãäà òåî èåé òâå äîãî òåëà è êâàíòîâû

Transcript

1 ÄÈÀÃÐÀÌÌÀÒÈÊÀ Ëåêöèè ïî èçá àííûì çàäà àì òåî èè êîíäåíñè îâàííîãî ñîñòîßíèß Èçäàíèå âòî îå, ïå å àáîòàííîå è äîïîëíåííîå Ì. Â. Ñàäîâñêèé Èíñòèòóò ëåêò îôèçèêè Ó Î ÐÀÍ, Åêàòå èíáó ã, 66, Ðîññèß, c Ì.Â.Ñàäîâñêèé, 5

2 Ï åäèñëîâèå Â êîíöå 5-õ, íà àëå 6-õ ãîäîâ ï î ëîãî âåêà â òåî èè êîíäåíñè îâàííîãî ñîñòîßíèß ( àùå íàçûâàâ åéñß òîãäà òåî èåé òâå äîãî òåëà è êâàíòîâûõ æèäêîñòåé) ï îèçî åë ïå åâî îò, ñâßçàííûé ñ ï èìåíåíèåì ìåòîäîâ, àç àáîòàííûõ äåñßòèëåòèåì àíü å â êâàíòîâîé òåî èè ïîëß, â îñíîâíîì ìåòîäà ôåéíìàíîâñêèõ äèàã àìì. Ñ òåõ ïî òè ìåòîäû ñîñòàâëß ò îñíîâó äàííîãî àçäåëà òåî åòè åñêîé ôèçèêè, èõ çíàíèå íåîáõîäèìî êàæäîìó ã àìîòíîìó òåî åòèêó. Ñóùåñòâóåò ßä õî î èõ êíèã è ó åáíèêîâ, ãäå äîñòàòî íî ïîä îáíî èçëàãàåòñß îáùàß ñòî îíà äåëà ââåäåíèå äèàã àììíîãî ïîäõîäà äëß àçëè íûõ òèïîâ âçàèìîäåéñòâèé [, ]. Ðàçóìååòñß, â òèõ êíèãàõ èçëàãà òñß è êîíê åòíûå ï èëîæåíèß ê òåì èëè èíûì ôèçè åñêèì çàäà àì. Âìåñòå ñ òåì, äî íàñòîßùåãî â åìåíè ï àêòè åñêè îòñóòñòâó ò êíèãè, â êîòî ûõ äîñòàòî íî ïîä îáíî, ñî âñåìè äåòàëßìè âû èñëåíèé è ìåòîäè åñêèõ ï èåìîâ, àçáè àëèñü-áû ï èìå û ï èìåíåíèß òîé òåõíèêè ê å åíè êîíê åòíûõ çàäà íà ó îâíå, çàâåäîìî äîñòóïíîì äëß íà- èíà ùåãî òåî åòèêà. Çà ï î åä èå äåñßòèëåòèß òàêèõ çàäà å àëîñü âåëèêîå ìíîæåñòâî è åçóëüòàòû àçá îñàíû ïî ìíîãî èñëåííûì î èãèíàëüíûì ñòàòüßì, îáçî àì è ìîíîã àôèßì. Öåëü íàñòîßùèõ ëåêöèé ßâëßåòñß èìåííî äåìîíñò àöèß òîãî, êàê äèàã àììíûå ìåòîäû ï èìåíß òñß ê å åíè êîíê åòíûõ çàäà òåî èè êîíäåíñè îâàííîãî ñîñòîßíèß, êîòî ûå óæå äîñòàòî íî äàâíî âî ëè â çîëîòîé ôîíä òîé òåî èè, à ñîîòâåòñòâó ùèå ïîíßòèß è ï èåìû ñîñòàâëß ò àáî èé ôîëüêëî ñîâ åìåííîãî òåî åòèêà. Âûáî ï èìå îâ îáóñëîâëåí êàê èõ âàæíîñòü, òàê è ëè íûìè íàó íûìè èíòå åñàìè àâòî à. Ìíîãèå èç òèõ çàäà åùå íå å åíû äî êîíöà è äàëüíåé åå àçâèòèå åçóëüòàòîâ, èçëàãàåìûõ ïî òè â êàæäîì àçäåëå, ìîæåò ñîñòàâèòü ï åäìåò ñàìîñòîßòåëüíîãî èññëåäîâàíèß. Ìû ñîçíàòåëüíî îã àíè èëèñü òîëüêî èçá àííûìè çàäà àìè ëåêò îííîé òåî èè òâå äîãî òåëà, îïóñòèâ âîï îñû òåî èè áîçå æèäêîñòè, áîëü èíñòâî çàäà òåî èè ìàãíåòèçìà è òåî è ê èòè åñêèõ ßâëåíèé. Íóæíî åòêî ïîíèìàòü, òî êàæäàß èç ãëàâ òèõ ëåêöèé ìîãëà-áû ñîñòàâèòü ï åäìåò ñàìîñòîßòåëüíîãî ñïåöêó ñà è, â òîì ñìûñëå, íà å èçëîæåíèå íå ï åòåíäóåò íà ñêîëüêî íèáóäü çàìêíóòûé îáçî òèõ íàï àâëåíèé òåî èè. Ðàçóìååòñß, ï èìåíåíèå ïîëåâûõ ìåòîäîâ â òåî èè êîíäåíñè îâàííîãî ñîñòîßíèß íå èñ å ïûâàåòñß òîëüêî äèàã àììíûìè ìåòîäàìè. Â àñòíîñòè, âåëèê áûë ñîáëàçí óäåëèòü âíèìàíèå ìåòîäàì, îñíîâàííûì íà ôóíêöèîíàëüíîì èíòåã è îâàíèè è åíî ìàëèçàöèîííîé ã óïïå. Òåì íå ìåíåå, ìû å èëè îã àíè èòüñß òîëüêî äèàã àììíûì ïîäõîäîì è çàäà àìè, êîòî ûå å à òñß â àìêàõ òåî èè âîçìóùåíèé, ï àêòè åñêè îïóñêàß ñîâ åìåííûå âîï îñû òåî èè ñèëüíî êî åëè îâàííûõ ñèñòåì. Äëß ïîíèìàíèß ëåêöèé íåîáõîäèìî âëàäåíèå îñíîâàìè äèàã àììíîé òåõíèêè, ï èìå íî â îáúåìå Ãë. II è III çíàìåíèòîé êíèãè ÀÃÄ [], èçëîæåíèå â êîòî ûõ äî ñèõ ïî îñòàåòñß íåï åâçîéäåííûì îá àçöîì. Â íàñòîßùåì íîâîì èçäàíèè ëåêöèé, ïóáëèêóåìîì íà àíãëèéñêîì ßçûêå â èçäàòåëüñòâå World Scientific, ñóùåñòâåííî àñ è åíî Ââåäåíèå, ãäå ê àòêî èçëàãà òñß îñíîâû ìåòîäà ôóíêöèé Ã èíà, òî äåëàåò èçëîæåíèå áîëåå çàìêíóòûì. Ñóùåñòâåííûå äîïîëíåíèß ñäåëàíû òàêæå â Ãëàâå 6 è â Ï èëîæåíèè. Èñï àâëåíû çàìå åííûå â ïå âîì èçäàíèè îïå àòêè è óñò àíåí ßä íåòî íûõ óòâå æäåíèé. Ì.Â.Ñàäîâñêèé, Åêàòå èíáó ã, 5ã. Àâòî ó èçâåñòíà òîëüêîîäíà òàêàß ïîïûòêà[3],îñòàâàâ àßñß äîëãîå â åìß íå îïóáëèêîâàííîé. Ïî òè âñåîáúåìë ùèé îáçî ï èìåíåíèé ïîëåâûõ ìåòîäîâ ê àçëè íûì çàäà àì òåî èè òâå äîãî òåëà è êâàíòîâûõ æèäêîñòåé ñîäå æèòñß â [4], íî òî èìåííî îáçî, à íå ó åáíèê.

3 3. Íåîáõîäèìî ï åîäîëåòü ìèñòèöèçì â îòíî åíèè òåõíèêè... Ï åäñåäàòåëü Ìàî-Öç äóí Oh? The man works and doesn't tell his assistant what he is doing...? He will never give that seminar. W.Pauli to R.P.Feynman

4 4 Ë.Ï.Ãî üêîâ, À.À.Àá èêîñîâ, È.Å.Äçßëî èíñêèé, Argonne, USA, 998

5 Îãëàâëåíèå ÂÂÅÄÅÍÈÅ 7. Êâàçè àñòèöû è ôóíêöèè Ã èíà Äèàã àììíàß òåõíèêà. Ó àâíåíèå Äàéñîíà Ôóíêöèè Ã èíà ï è êîíå íûõ òåìïå àòó àõ ÝËÅÊÒÐÎÍ ÝËÅÊÒÐÎÍÍÎÅ ÂÇÀÈÌÎÄÅÉÑÒÂÈÅ 9. Ï àâèëà äèàã àììíîé òåõíèêè Ýëåêò îííûé ãàçñêóëîíîâñêèì âçàèìîäåéñòâèåì Ïîëß èçàöèîííûé îïå àòî äëß ãàçà ñâîáîäíûõ ëåêò îíîâ ï è T =. 4.4 Äè ëåêò è åñêàß ï îíèöàåìîñòü ëåêò îííîãî ãàçà Ñîáñòâåííî íå ãåòè åñêàß àñòü, ôôåêòèâíàß ìàññà è çàòóõàíèå êâàçè àñòèö Ýôôåêò Ðóäå ìàíà Êèòòåëß Ëèíåéíûé îòêëèê Ìèê îñêîïè åñêèå îñíîâû òåî èè ôå ìè æèäêîñòè Âçàèìîäåéñòâèå êâàçè àñòèö â ôå ìè æèäêîñòè Íåôå ìèæèäêîñòíîå ïîâåäåíèå ÝËÅÊÒÐÎÍ ÔÎÍÎÍÍÎÅ ÂÇÀÈÌÎÄÅÉÑÒÂÈÅ Ï àâèëà äèàã àììíîé òåõíèêè Ñîáñòâåííî íå ãåòè åñêàß àñòü ëåêò îíà Òåî åìà Ìèãäàëà Ñîáñòâåííî íå ãåòè åñêàß àñòü è ñïåêò ôîíîíà Ïëàçìåííàß ìîäåëü ìåòàëëà Ôîíîíû è ôëóêòóàöèè ÝËÅÊÒÐÎÍÛ Â ÍÅÓÏÎÐSSÄÎ ÅÍÍÛÕ ÑÈÑÒÅÌÀÕ Äèàã àììíàß òåõíèêà äëß àññåßíèß íà ï èìåñßõ Îäíî ëåêò îííàß ôóíêöèß Ã èíà Ìîäåëü Êåëäû à Ï îâîäèìîñòü è äâóõ àñòè íàß ôóíêöèß Ã èíà Ó àâíåíèå Áåòå Ñîëïèòå à, äèôôóçîí è êóïå îí Êâàíòîâûå ïîï àâêè, ñàìîñîãëàñîâàííàß òåî èß è ïå åõîä Àíäå ñîíà Êâàíòîâûå ïîï àâêè ê ï îâîäèìîñòè Ñàìîñîãëàñîâàííàß òåî èß ëîêàëèçàöèè Ò åóãîëüíàß âå èíà Ðîëü ëåêò îí ëåêò îííîãî âçàèìîäåéñòâèß

6 6 Îãëàâëåíèå 5 ÑÂÅÐÕÏÐÎÂÎÄÈÌÎÑÒÜ Ôåíîìåí Êóïå à Ó àâíåíèß Ãî üêîâà Ñâå õï îâîäèìîñòü â íåóïî ßäî åííîì ìåòàëëå Ðàçëîæåíèå Ãèíçáó ãà Ëàíäàó Ýëåêò îìàãíèòíûå ñâîéñòâà ñâå õï îâîäíèêîâ ÝËÅÊÒÐÎÍÍÛÅ ÍÅÓÑÒÎÉ ÈÂÎÑÒÈ È ÔÀÇÎÂÛÅ ÏÅÐÅÕÎ- ÄÛ Íåóñòîé èâîñòü ôîíîííîãî ñïåêò à Ïàéå ëñîâñêèé äè ëåêò èê Ðàçëîæåíèå Ãèíçáó ãà Ëàíäàó äëß ïàéå ëñîâñêîãî ïå åõîäà Âîëíû çà ßäîâîé è ñïèíîâîé ïëîòíîñòè â ìíîãîìå íûõ ñèñòåìàõ, êñèòîííûé èçîëßòî Ïñåâäîùåëü Ôëóêòóàöèè ïàéå ëñîâñêîãî áëèæíåãî ïî ßäêà Ýëåêò îí â ñëó àéíîì ïîëå ôëóêòóàöèé Ýëåêò îìàãíèòíûé îòêëèê Ìîäåëü Òîìîíàãà Ëàòòèíæå à è íåôå ìèæèäêîñòíîå ïîâåäåíèå A Ïîâå õíîñòü Ôå ìè, êàê òîïîëîãè åñêèé îáúåêò. 73 B Ýëåêò îí â ñëó àéíîì ïîëå è èíòåã àëû ïî ò àåêòî èßì. 77

7 Ãëàâà ÂÂÅÄÅÍÈÅ Õî î î èçâåñòíà îï åäåëß ùàß îëü, êîòî ó â ñîâ åìåííîé òåî èè êîíäåíñè îâàííîãî ñîñòîßíèß èã àåò êîíöåïöèß êâàçè àñòèö. Ïîëíîå îáîñíîâàíèå òà êîíöåïöèß ïîëó àåò â àìêàõ ôî ìàëèçìà ôóíêöèé Ã èíà, êîòî ûé ßâëßåòñß ñòàíäà òíûì àïïà àòîì ñîâ åìåííîé òåî èè ñèñòåì ìíîãèõ àñòèö. Ìåòîä ôóíêöèé Ã èíà äàåò âîçìîæíîñòü åòêî ñôî ìóëè îâàòü ê èòå èè ñóùåñòâîâàíèß êâàçè àñòèö â êîíê åòíûõ ñèñòåìàõ, à òàêæå ï åäñòàâëßåò ñîáîé óíèâå ñàëüíûé ìåòîä ï îâåäåíèß àñ åòîâ ï àêòè åñêè ë áûõ ôèçè åñêèõ õà àêòå èñòèê ìíîãî àñòè íûõ ñèñòåì ñ ó åòîì àçëè íûõ òèïîâ âçàèìîäåéñòâèé. Äàííûé ìåòîä âîçíèê â ñâßçè ñ çàäà àìè êâàíòîâîé òåî èè ïîëß, ãäå âïå âûå áûë ñôî ìóëè îâàí åçâû àéíî ôôåêòèâíûé è óäîáíûé ïîäõîä, îñíîâàííûé íà èñïîëüçîâàíèè äèàã àìì Ôåéíìàíà. Ïîñëåäó ùåå ïå åíåñåíèå òèõ èäåé è ìåòîäîâ â òåî è ñèñòåì ìíîãèõ àñòèö, ïî ñóòè äåëà, è ï èâåëî ê ñîçäàíè ñîâ åìåííîé òåî èè êîíäåíñè îâàííîãî ñîñòîßíèß [, ]. Â àìêàõ äàííîãî êó ñà ìû íå ï èâîäèì ïîñëåäîâàòåëüíîå èçëîæåíèå ñàìîãî ìåòîäà ôóíêöèé Ã èíà, íà åé öåëü ßâëßåòñß îáó èòü èñïîëüçîâàíè òîãî ìåòîäà äëß å åíèß êîíê åòíûõ çàäà. Ï åäïîëàãàåòñß, òî îñíîâíûå ï èíöèïû ïîñò îåíèß äèàã àììíîé òåõíèêè äëß àçëè íûõ âèäîâ âçàèìîäåéñòâèé, òàêæå êàê è îáùèå ñâîéñòâà ôóíêöèé Ã èíà èòàòåë èçâåñòíû, êàê â ôî ìàëèçìå íóëåâîé òåìïå àòó û T =,òàê è äëß ñëó àß êîíå íûõ òåìïå àòó (ìàöóáà îâñêèå ôóíêöèè Ã èíà)[]. Ñò óêòó à êó ñà ßñíà èç îãëàâëåíèß. Îòäåëüíûå ãëàâû ïîñâßùåíû àññìîò åíè îñíîâíûõ âèäîâ âçàèìîäåéñòâèé, èçó àåìûõ â àìêàõ ëåêò îííîé òåî èè òâå äîãî òåëà, à òàêæå ßäó îñíîâíûõ òèïîâ ëåêò îííûõ íåóñòîé èâîñòåé (ôàçîâûõ ïå åõîäîâ). Êàê ï àâèëî, ñíà àëà ìû ôî ìóëè óåì ï àâèëà äèàã àììíîé òåõíèêè, à çàòåì àññìàò èâàåì àçëè íûå çàäà è, ïî âîçìîæíîñòè ï èâîäß äîñòàòî íî ïîä îáíî âñå äåòàëè âû èñëåíèé. Ï è òîì ìû, ï àêòè åñêè âñ äó, ñòà- àëèñü ñëåäîâàòü ï àâèëàì è îáîçíà åíèßì, èñïîëüçóåìûì â êíèãå [], õîòß ïîëíîãî îòñóòñòâèß àçíîáîß â îáîçíà åíèßõ òåõ èëè èíûõ ôèçè åñêèõ âåëè èí èçáåæàòü â ßä-ëè óäàëîñü. Êàæäàß ãëàâà, òàêèì îá àçîì, ìîæåò àññìàò èâàòüñß êàê íåêîòî îå ââåäåíèå â ê óã ñîîòâåòñòâó ùèõ ï îáëåì äàííîãî àçäåëà òåî èè òâå äîãî òåëà. Â òîì ñìûñëå îíè ìîãóò èòàòüñß íåçàâèñèìî, íî ñëåäóåò èìåòü â âèäó, òî âñå èçëàãàåìûå âîï îñû, íà ñàìîì äåëå, âåñüìà òåñíî ñâßçàíû ä óã ñ ä óãîì. Ïîäáî öèòè óåìîé ëèòå àòó û íå ï åòåíäóåò íà ïîëíîòó, ï èâîäßòñß ññûëêè ëè ü íà òå èñòî íèêè, èç êîòî ûõ çàèìñòâîâàí ñîîòâåòñòâó ùèé ìàòå èàë, ï è åì ï åäïî òåíèå îêàçûâàëîñü àáîòàì îáçî íîãî è ó åáíîãî õà àêòå à. Ñîîòâåòñòâåííî, ññûëêè íà àáîòû ï èî èòåòíîãî õà àêòå à ï àêòè åñêè îòñóòñòâó ò, â íàèáîëåå âàæíûõ ñëó àßõ òàêîãî îäà ìû ññûëàåìñß ï îñòî íà ôàìèëèè àâòî îâ. Ñëåäóåò èìåòü â 7

8 8 Ãëàâà. ÂÂÅÄÅÍÈÅ âèäó, òî ìíîãèå àçäåëû ëåêöèé îñíîâàíû íà ñîáñòâåííûõ àçáî êàõ àâòî à, â òàêèõ ñëó àßõ ññûëêè íà èñòî íèê, êàê ï àâèëî, ï îñòî îòñóòñòâó ò. Îñíîâíàß èäåß äèàã àììíîãî ïîäõîäà â òåî èè êîíäåíñè îâàííîãî ñîñòîßíèß ñîñòîèò â ï îâåäåíèè ñóììè îâàíèß áåñêîíå íîãî ßäà ôåéíìàíîâñêèõ äèàã àìì äëß îäíî àñòè íîé èëè ìíîãî àñòè íûõ ôóíêöèé Ã èíà (âå èííûõ àñòåé). Ï è òîì å ü èäåò, êàê ï àâèëî, î ñóììè îâàíèè îï åäåëåííûõ ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòåé ïîëíîãî ßäà òåî èè âîçìóùåíèé (òèïîâ äèàã àìì), äà ùèõ äîìèíè ó ùèé âêëàä ïî òîìó èëè èíîìó ïà àìåò ó çàäà è (áåç àçìå íàß êîíñòàíòà ñâßçè, ïëîòíîñòü èñëà àñòèö, ä óãèå êîìáèíàöèè ïà àìåò îâ, õà àêòå èçó ùèõ ñèñòåìó). Â áîëü èíñòâå èçó àâ èõñß çàäà, òàêèå ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòè áûëè âûßâëåíû óæå íà àííåì òàïå àçâèòèß òåî èè [, ], è ìû àññìîò èì öåëûé ßä õà àêòå íûõ ï èìå îâ è ñëåäó ùèõ èç íèõ ôèçè åñêèõ âûâîäîâ. Â î åíü åäêèõ ñëó àßõ, äëß åçâû àéíî óï îùåííûõ (ìîäåëüíûõ)çàäà óäàåòñß ï îñóììè îâàòü ïîëíûé ôåéíìàíîâñêèé ßä (âñå äèàã àììû). Òàêèå ñëó àè ãî àçäî ìåíåå èçâåñòíû, íî, êàê ï àâèëî, âåñüìà ïîó èòåëüíû. Ìû àññìîò èì íåñêîëüêî ï èìå îâ òàêèõ ìîäåëåé, êàê äëß èëë ñò àöèè òåõíè åñêîé ñòî îíû äåëà, òàê è ñëåäó ùèõ èç íèõ íåò èâèàëüíûõ âûâîäîâ, ñâßçàííûõ ñ âîçìîæíîñòü àç ó åíèß ñàìîé êîíöåïöèè êâàçè àñòèö, êîòî àß, íåñìîò ß íà åå óñïå íîñòü, åñòåñòâåííî èìååò îã àíè åííûå ï åäåëû ï èìåíèìîñòè è íå äîëæíà ñ èòàòüñß ñàìîî åâèäíîé. Ï àêòè åñêè âñ äó ìû èñïîëüçóåì ñèñòåìó åäèíèö = c =, âîññòàíàâëèâàß è c òîëüêî â íåêîòî ûõ èòîãîâûõ ôî ìóëàõ è îöåíêàõ. Ïîñòîßííàß Áîëüöìàíà k B =âñåãäà.. Êâàçè àñòèöû è ôóíêöèè Ã èíà. Õîòß ìû è íå ñîáè àåìñß äàâàòü ïîëíûé è ñèñòåìàòè åñêèé âûâîä äèàã àììíîãî ïîäõîäà â òåî èè ìíîãî àñòè íûõ ñèñòåì, íà íåì, âñå æå, ñ ê àòêîãî ââåäåíèß ëåìåíòà íûõ ïîíßòèé è îï åäåëåíèé, äàáû ñäåëàòü èçëîæåíèå îòíîñèòåëüíî çàìêíóòûì è íàïîìíèòü èòàòåë îñíîâíûå èäåè, ëåæàùèå â îñíîâå ï èìåíåíèß ìåòîäà ôóíêöèé Ã èíà â òåî èè êîíäåíñè îâàííîãî ñîñòîßíèß. Ðàññìîò èì ñíà àëà ñëó àé òåìïå àòó û T =,êîãäà àññìàò èâàåìàß ñèñòåìà íàõîäèòñß â îñíîâíîì ñîñòîßíèè. Íà íåì ñ ëåìåíòà íîé çàäà è îá îäíîé êâàíòîâîé àñòèöå, äâèæóùåéñß â íåêîòî îì (íå çàâèñßùåì îò â åìåíè)âíå íåì ïîòåíöèàëå (ïîëå). Ýòà ñèòóàöèß îïèñûâàåòñß îáû íûì (íå çàâèñßùèì îò â åìåíè)ó àâíåíèåì åäèíãå à ñ ñîîòâåòñòâóùèì ãàìèëüòîíèàíîì H: i ψ(r,t) t Hψ(r,t)= (.) Âìåñòî òîãî, òîáû íåïîñ åäñòâåííî å àòü òî ó àâíåíèå (ñ êàêèì ëèáî íà àëüíûì óñëîâèåì äëß âîëíîâîé ôóíêöèè), ââåäåì ó àâíåíèå åäèíãå à äëß ôóíêöèè Ã èíà G(r,t; r,t ),çàâèñßùåé îò äâóõ çíà åíèé â åìåíè è êîî äèíàò: i G t HG = iδ(r r )δ(t t ) (.) ñíà àëüíûì óñëîâèåì G(r,t+;r,t)=δ(r r ). Ôèçè åñêè, ôóíêöèß Ã èíà ï åäñòàâëßåò ñîáîé àìïëèòóäó âå îßòíîñòè ïå åõîäà àñòèöû èç (íà àëüíîé)òî êè r â ìîìåíò â åìåíè t âíåêîòî ó òî êó r â ìîìåíò t. Êâàä àò ìîäóëß òîé àìïëèòóäû äàåò âå îßòíîñòü òàêîãî ïå åõîäà. Ýòî ëåãêî ï îâå ßåòñß åñëè ìû âû àçèì

9 .. Êâàçè àñòèöû è ôóíêöèè Ã èíà. 9 ψ ôóíêöè â ìîìåíò t + τ å åç ψ ôóíêöè â ìîìåíò t êàê: ψ(r,t+ τ) = dr G(r,t+ τ; r t)ψ(r,t) (.3) Ëåãêî âèäåòü, òî òî âû àæåíèå äëß ψ(r,t + τ) óäîâëåòâî ßåò ó àâíåíè åäèíãå à (.), à äëß τ îíî ñîâïàäàåò ñ ψ(r,t)á ñ ó åòîì íà àëüíîãî óñëîâèß G(r,t+;r,t)=δ(r r ). Î åâèäíî, òî ìû äîëæíû ïîëîæèòü G =ï è τ<, òîáû îáåñïå èòü âûïîëíåíèå ï èíöèïà ï è èííîñòè. Ââåäåì òåïå ü íåêîòî ûé (ïîëíûé)íàáî ñîáñòâåííûõ ôóíêöèé ñòàöèîíà íîãî ó àâíåíèß åäèíãå à: Hϕ λ (r) =ε λ ϕ λ (r) (.4) Â çàâèñèìîñòè îò àññìàò èâàåìîé çàäà è, êâàíòîâûå èñëà λ ìîãóò èìåòü àçëè íûé ôèçè åñêèé ñìûñë. Åñëè çàäà à (ãàìèëüòîíèàí) ò àíñëßöèîííî èíâà èàíòíà λ p, ò.å. ñâîäèòñßêèìïóëüñó àñòèöû. Äëß ñèñòåìû ëåêò îíîâ âî âíå íåì ìàãíèòíîì ïîëå λ ï åäñòàâëß ò ñîáîé íàáî êâàíòîâûõ èñåë Ëàíäàó. Äëß àñòèöû, äâèæóùåéñß â íåêîòî îì ï îèçâîëüíîì (ñëó àéíîì)ïîòåíöèàëå òî ñóòü (â îáùåì ñëó àå íàì íåèçâåñòíûå)êâàíòîâûå èñëà ñîñòîßíèé, äèàãîíàëèçè óùèõ ãàìèëüòîíèàí. Ðàññìîò èì ï îñòåé èé ñëó àé àñòèöû, äâèæóùåéñß â íåêîòî îì çàäàííîì ïîòåíöèàëå: H = p + V (r) (.5) m Ë áîå å åíèå ó àâíåíèß åäèíãå à (.)ìîæåò áûòü àçëîæåíî ïî ïîëíîé ñèñòåìå ñîáñòâåííûõ ôóíêöèé (.4): ψ(r,t)= λ c λ (t)ϕ λ (r) (.6) Òîãäà ìû ìîæåì ïå åïèñàòü (.3)â âèäå ó àâíåíèß äëß êî ôôèöèåíòîâ òàêîãî àçëîæåíèß: c λ (t + τ) = λ G λλ (τ)c λ (t) (.7) è íàéòè: G λλ (τ) = d 3 rd 3 r G(r, r τ)ϕ λ (r)ϕ λ (r ) (.8) ôóíêöè Ã èíà â ï åäñòàâëåíèè êâàíòîâûõ èñåë λ. Ïîñêîëüêó ϕ λ òî íîå ñîáñòâåííîå ñîñòîßíèå (íå çàâèñßùåãî îò â åìåíè)ãàìèëüòîíèàíà H, ïå åõîäîâ â ä óãèå ñîñòîßíèß íåò, òàê òî c λ (t + τ) =e iε λτ c λ (t), ò.å. G λλ (τ) =G λ (τ)δ λλ = e iε λτ θ(τ) (.9) ãäå θ(τ) =äëß τ è θ(τ) =äëß τ<. Ðàññìîò èì òåïå ü ôó üå îá àç : G λ (ε) = i dτe iετ G λ (τ) (.) Îòìåòèì äîïîëíèòåëüíûé ôàêòî i, êîòî ûé ìû ââåëè â (.), (.), à òàêæå íèæå â (.9), êîòî ûé ãà àíòè óåò ñîîòâåòñòâèå ñî ñòàíäà òíûìè îáîçíà åíèßìè ÀÃÄ. Îáû íî òîò ôàêòî ï îñòî âêë àåòñß â îï åäåëåíèå ôóíêöèè Ã èíà [].

10 Ãëàâà. ÂÂÅÄÅÍÈÅ dε G λ (τ) =i π e iετ G λ (ε) (.) Òîãäà, ïîñëå ëåìåíòà íîãî èíòåã è îâàíèß ïîëó àåì: G λ (ε) =, δ + (.) ε ε λ + iδ Çíàê δ âûá àí òàê, òîáû ãà àíòè îâàòü âûïîëíåíèå óñëîâèß G λ (τ) =ï è τ<. Äåéñòâèòåëüíî: dε e iετ G λ (τ) =i π ε ε λ + iδ { e iε λ τ for τ> = for (.3) τ< òîáû óáåäèòüñß â òîì çàìåòèì, òî ïîäèíòåã àëüíîå âû àæåíèå çäåñü èìååò ïîë ñ ï è ε = ε λ iδ. Òîãäà äëß τ > ìîæíî çàìêíóòü êîíòó èíòåã è îâàíèß â íèæíåé ïîëóïëîñêîñòè êîìïëåêñíîé ïå åìåííîé ε (ïîñêîëüêó ôàêòî e iετ îáåñïå èâàåò êñïîíåíöèàëüíîå óáûâàíèå ïîäèíòåã àëüíîãî âû àæåíèß íà áåñêíå íî óäàëåííîé ïîëóîê óæíîñòè â íèæíåé ïîëóïëîñêîñòè), òàê òî ïîë ñ ïîäèíòåã àëüíîãî âû àæåíèß ïîïàäåò âíóò ü êîíòó à èíòåã è îâàíèß è, èñïîëüçóß òåî åìó Êî- è, ïîëó àåì åçóëüòàò, ï èâåäåííûé â (.3). Äëß τ<, äëß îáåñïå åíèß íóëåâîãî âêëàäà îò ïîëóîê óæíîñòè íóæíî çàìêíóòü êîíòó èíòåã è îâàíèß â âå õíåé ïîëóïëîñêîñòè ε. Òîãäà âíóò è êîíòó à èíòåã è îâàíèß ïîë ñà íåò è èíòåã àë àâåí íóë. Â ñìå àííîì (r,ε) ï åäñòàâëåíèè ïîëó àåì: G(r, r,ε)= λ,λ G λλ (ε)ϕ λ (r)ϕ λ (r )= = λ ϕ λ (r)ϕ λ (r ) ε ε λ + iδ (.4) Çäåñü ñóììà ïî λ âêë àåò ñóììè îâàíèå ïî âñåì ñâßçàííûì ñîñòîíèßì è èíòåã è- îâàíèå ïî íåï å ûâíîé àñòè ñïåêò à. Âèäì, òî G(r, r,ε) îáëàäàåò ïîë ñàìè ï è çíà åíèßõ ε àâíûõ ε λ,ò.å. íå ãèßì ñâßçàííûõ ñîñòîßíèé, à òàêæå àç åç (êîíòèíóóì ïîë ñîâ)íà àñòè äåéñòâèòåëüíîé îñè ε, ñîîòâåòñòâó ùåé íåï å âíîìó ñïåêò ó. Ïå åéäåì ê àññìîò åíè ìíîãî àñòè íîé ñèñòåìû. Îã àíè èìñß îáñóæäåíèåì ñèñòåìû (ìíîãèõ)ôå ìèîíîâ. Àíàëîãè íûé àíàëèç ìîæíî ï îâåñòè è äëß ñèñòåìû áîçå àñòèö, íî ìû åãî îïóñòèì, îòñûëàß èòàòåëß ê îáùèì êó ñàì [, ]. Ðàññìîò- èì ñíà àëà ñëó àé íåâçàèìîäåéñòâó ùèõ ôå ìèîíîâ (ôå ìè ãàç). Ýëåìåíòà íûå âîçáóæäåíèß â òîì ñëó àå ï åäñòàâëß ò ñîáîé ïà û âîçáóæäåííûõ àñòèö (íàä ïîâå õíîñòü Ôå ìè)è äû îê (ïîä ïîâå õíîñòü Ôå ìè). Îï åäåëèì ôóíêöè Ã èíà äëß âîçáóæäåííîé àñòèöû G λλ (τ), ò.å. àìïëèòóäó ïå åõîäà àñòèöû èç íåêîòî îãî ñîñòîßíèß λ â ñîñòîßíèå λ (äëß ñëó àß íåâçàèìîäåéñòâó ùèõ ôå ìèîíîâ). Ï è òîì ìû äîëæíû ó åñòü îã àíè åíèß, ñâßçàííûå ñ ï èíöèïîì Ïàóëè, ò.å. èñêë èòü ïå åõîäû â çàíßòûå ñîñòîßíèß. Ýòî ìîæåò áûòü îáåñïå åíî ïóòåì ââåäåíèß â îï åäåëåíèå ã èíîâñêîé ôóíêöèè äîïîëíèòåëüíîãî ôàêòî à ( n λ ),ãäå { for ελ ε n λ = F for (.5) ε λ >ε F

11 .. Êâàçè àñòèöû è ôóíêöèè Ã èíà. èñëî àñòèö â ñîñòîßíèè λ ( àñï åäåëåíèå Ôå ìè äëß T =). Òîãäà èìååì: { G + e λλ (τ) =( n iε λ τ for τ> λ)δ λλ for (.6) τ< Íàéäåì òåïå ü àíàëîãè íîå âû àæåíèå äëß äû îê. Ïîñêîëüêó èñëî ñâîáîäíûõ ìåñò äëß äû îê â ñîñòîßíèè λ ï îñòî àâíî n λ, ìû ïîëó àåì: { G e λλ (τ) =n iε λ τ for τ> λδ λλ for (.7) τ< ãäå ìû ó ëè, òî íå ãèß äû êè (îòñ èòàííàß îò ó îâíß Ôå ìè)ï îòèâîïîëîæíî ïî çíàêó íå ãèè àñòèöû. Óäîáíî ââåñòè ôóíêöè Ã èíà G λ (τ), îï åäåëåííó êàê äëß τ >, òàê è äëß τ<: { G + G λ (τ) = λ (τ) for τ> G λ ( τ) for τ< (.8) Ôó üå îá àç òîé ôóíêöèè ëåãêî íàõîäèòñß â âèäå: G λ (ε) = i( n λ ) = n λ ε ε λ + iδ + n λ ε ε λ iδ dτe iε λτ +iετ + in λ dτe iε λτ +iετ = (.9) ãäå íåîáõîäèìî ââåñòè δ + äëß îáåñïå åíèß ñõîäèìîñòè. Óäîáíî ïå åïèñàòü òî âû àæåíèå êàê: G λ (ε) = { = ε ε λ + iδsignε λ = ε ε λ +iδ for ε λ >ε F ε ε λ iδ for ε λ <ε F (.) ãäå ìû ââåëè çíàêîâó ôóíêöè : sign(x) =äëß x> è sign(x) = äëß x<. Çàìåòèì, òî ôó üå îá àç òàêîé ôóíêöèè Ã èíà èìååò ïîë ñ ï è ε àâíîì íå ãèè àñòèöû (äû êè). Ïå åéäåì òåïå ü ê àññìîò åíè ñèñòåìû âàçèìîäåéñòâó ùèõ ôå ìèîíîâ. Îäíî àñòè íàß ôóíêöèß Ã èíà â òîì ñëó àå îï åäåëßåòñß êàê: G + (rt; r t ) t>t =< ˆψ(rt) ˆψ + (r t ) > (.) ãäå > òî íîå îñíîâíîå ñîñòîßíèå ( âàêóóì ) àññìàò èâàåìîé ñèñòåìû, ñîîòâåòñòâó ùåå çàïîëíåííîé ôå ìè ñôå å, ˆψ(rt) âòî è íî êâàíòîâàííûé îïå àòî ôå ìèåâñêîãî ïîëß â ãåéçåíáå ãîâñêîì ï åäñòàâëåíèè []: ˆψ(rt) =e iht ˆψ(r)e iht (.) ãäå H ãàìèëüòîíèàí àññìàò èâàåìîé ñèñòåìû (âçàèìîäåéñòâó ùèõ) àñòèö. Îïå- àòî ˆψ(r) ìîæåò áûòü ñòàíäà òíûì îá àçîì âû àæåí å åç îïå àòî û óíè òîæåíèß àñòèö a λ âñîñòîßíèè λ (òîãäà êàê ˆψ + àíàëîãè íûì îá àçîì âû àæàåòñß å åç îïå àòî û îæäåíèß a + ): λ ˆψ(r) = a λ ϕ λ (r) (.3) λ

12 Ãëàâà. ÂÂÅÄÅÍÈÅ Ó àâíåíèå (.)î åâèäíî äàåò àìïëèòóäó ïå åõîäà äëß àñòèöû, àñï îñò àíß ùåéñß èçòî êè(r t ) â (rt). Àíàëîãè íîå âû àæåíèå ìîæåò áûòü çàïèñàíî è äëß àñï îñò àíåíèß äû êè: G (rt; r t ) t>t =< ˆψ + (rt) ˆψ(r t ) > (.4) ãäå ó òåíî, òî óíè òîæåíèå àñòèöû â çàäàííîé òî êå êâèâàëåíòíî îæäåíè äû êè. Îáà âû àæåíèß (.) è (.4) îï åäåëåíû äëß t>t. Óäîáíî çàïèñàòü åäèíîå âû àæåíèå, êîòî îå ï è t>t îïèñûâàåò àñï îñò àíåíèå àñòèöû, à ï è t<t àñï îñò àíåíèå äû êè (àíàëîãè íî (.8)): { G(rt; r t G )= + (rt; r t ) for t>t G (r t ; rt) for (.5) t<t Ä óãèì ñïîñîáîì ìîæíî çàïèñàòü òî êàê : G(x, x )=< T ˆψ(x) ˆψ + (x ) > (.6) ãäå ââåäåíî îáîçíà åíèå x =(rt), à ñèìâîë T óïî ßäî åíèß îçíà àåò, òî îïå àòî- û, ñòîßùèå ñï àâà îò T àñïîëàãà òñß âïî ßäêå âîç àñòàíèß â åìåííûõ à ãóìåíòîâ, òàê òî îïå àòî û, ñîîòâåòñòâó ùèå áîëåå ïîçäíèì ìîìåíòàì â åìåíè ñòîßò ñëåâà îò òåõ, êîòî ûå ñîîòâåòñòâó ò áîëåå àííèì ìîìåíòàì, à îáùèé çíàê âû àæåíèß îï åäåëßåòñß åòíîñòü ïå åñòàíîâîê ôå ìèåâñêèõ îïå àòî îâ (íåîáõîäèìûõ äëß åàëèçàöèè ï àâèëüíîãî ïî ßäêà àñïîëîæåíèß îïå àòî îâ ïî â åìåíè). Ôî ìàëüíîå îï åäåëåíèå îïå àöèè T óïî ßäî åíèß, çàèìñòâîâàííîå èç êâàíòîâîé òåî èè ïîëß, èìååò âèä: { F (t T {F (t )F (t )} = )F (t ) for t >t F (t )F (t ) for (.7) t <t äëß ôå ìèåâñêèõ îïå àòî îâ, è T {B (t )B (t )} = { B (t )B (t ) for t >t B (t )B (t ) for t <t (.8) äëß áîçåâñêèõ îïå àòî îâ. Ôóíêöèß Ã èíà, îï åäåëåííàß â (.6)îáû íî íàçûâàåòñß ôåéíìàíîâñêîé èëè ï è èííîé (T óïî ßäî åííîé) 3. Ï è àññìîò åíèè áåñêîíå íîé îäíî îäíîé (ò àíñëßöèîííî èíâà èàíòíîé) ñèñòåìû G(rt; r t )=G(r r,t t ) èóäîáíî âûïîëíèòü ôó üå ï åîá àçîâàíèå êàê ïî t t,òàê è ïî r r : G(pτ) = d 3 rg(rτ)e ipr (.9) Ñòàíäà òíîå îï åäåëåíèå ÀÃÄ îòëè àåòñß äîïîëíèòåëüíûì ìíîæèòåëåì i, êîòî ûé ìû ó ëè âû å â ï è âûïîëíåíèè ôó üå ï åîá àçîâàíèß. 3 Çàìåòèì, òî òî îï åäåëåíèå íå ñîâïàäàåò ñ îï åäåëåíèåì òàê íàçûâàåìîé äâóõâ åìåííîé ôóíêöèè Ã èíà Áîãîë áîâà Òßáëèêîâà, êîòî àß ââîäèòñß â òåî èè ëèíåéíîãî îòêëèêà [], äàæå åñëè ìû ïå åéäåì â íåé ê ï åäåëó íóëåâîé òåìïå àòó û. Ï åèìóùåñòâî èñïîëüçîâàíèß ôåéíìàíîâñêèõ ôóíêöèé ñîñòîèò â âîçìîæíîñòè ïîñò îåíèß äëß íèõ äèàã àììíîé òåõíèêè, äà ùåé óíèâå ñàëüíûé ìåòîä âû èñëåíèß òèõ ôóíêöèé ïî òåî èè âîçìóùåíèé. Äëß ã èíîâñêèõ ôóíêöèé Áîãîë áîâà Òßáëèêîâà íèêàêîé (óäîáíîé) äèàã àììíîé òåõíèêè ïîñò îèòü íå óäàåòñß. Èìååòñß ßä òî íûõ ñîîòíî åíèé è ìåòîäîâ, ïîçâîëß ùèõ âû àçèòü ôóíêöèè Ã èíà òåî èè ëèíåéíîãî îòêëèêà å åç ôåéíìàíîâñêèå ôóíêöèè ï è T =èëè å åç ñîîòâåòñòâó ùèå èõ îáîáùåíèß äëß ñëó àß êîíå íûõ òåìïå àòó (ìàöóáà îâñêèé ôî ìàëèçì), òî áóäåò ïîä îáíî îáñóæäàòüñß íèæå [, ].

13 .. Êâàçè àñòèöû è ôóíêöèè Ã èíà. 3 ãäå { < ap e G(pτ) = ihτ a + p >eieτ τ> (.3) < a + p e ihτ a p >e ieτ τ< Çäåñü E íå ãèß îñíîâíîãî ñîñòîßíèß (â íà åì ñëó àå ï îñòî àâíàß íå ãèè Ôå ìè E F ). Ïîíßòèå êâàçè àñòèöû ßâëßåòñß îñìûñëåííûì, åñëè îäíî àñòè íó ôóíêöè Ã èíà àññìàò èâàåìîé ñèñòåìû ìîæíî ï åäñòàâèòü â âèäå (τ >): G(pτ) Ze iξ(p)τ γ(p)τ +... and γ(p) ξ(p) (.3) ãäå ξ(p) =ε(p) E F, ò.å. âûäåëèòü â íåé âêëàä, àíàëîãè íûé ïî ôî ìå ã èíîâñêîé ôóíêöèè ãàçà ñâîáîäíûõ (íåâçàèìîäåéñòâó ùèõ)ôå ìèîíîâ. Ó àâíåíèå (.3) îçíà àåò íàëè èå (ñ àìïëèòóäîé Z â îñíîâíîì ñîñòîßíèè)âîëíîâîãî ïàêåòà, ñîîòâåòñòâó ùåãî êâàçè àñòèöå ñ íå ãèåé ξ(p) è çàòóõàíèåì γ(p). Ìû äîëæíû òàêæå ïîò åáîâàòü âûïîëíåíèå óñëîâèß γ(p) ξ(p), ò.å. ìàëîñòè çàòóõàíèß, òîáû êâàçè àñòèöû áûëè õî î î îï åäåëåíû 4. Àíàëîãè íûì îá àçîì, ï è τ < ìîæíî îï åäåëèòü ã èíîâñêó ôóíêöè êâàçèäû êè. Îêîí àòåëüíî, ìû ï èõîäèì ê âûâîäó, òî â ñèñòåìå (ôå ìèîíîâ)ñ õî î î îï åäåëåíííûìè êâàçè àñòèöàìè ôó üå îá àç ôóíêöèè Ã èíà (.6)ìîæåò áûòü çàïèñàí êàê: { G(pε) =Z = n p ε ξ(p)+iγ(p) + n p ε ξ(p) iγ(p) } + G reg (pε) = Z ε ξ(p)+iγ(p)sign(p p F ) + G reg(pε) (.3) Âèäèì, òî ïîë ñà òîãî âû àæåíèß îï åäåëß ò ñïåêò êâàçè àñòèö è èõ çàòóõàíèå. Ýòî îáùåå ñâîéñòâî ôóíêöèé Ã èíà, ïîçâîëß ùåå îï åäåëèòü ñïåêò êâàçè àñòèö â ìíîãî àñòè íîé ñèñòåìå. Âåëè èíà G reg â (.3)îï åäåëßåòñß ìíîãî àñòè íûìè âîçáóæäåíèßìè è, â áîëü èíñòâå ñëó àåâ, íå èã àåò îñîáîé îëè. Îäíàêî â ñèñòåìàõ ñ ñèëüíûìè êî åëßöèßìè (âçàèìîäåéñòâèßìè) ìû ìîæåì âñò åòèòüñß ñ ñèòóàöèåé, êîãäà êâàçè àñòè íûõ ïîë ñîâ â ôóíêöèè Ã èíà ï îñòî íåò, ñîîòâåòñòâåííî íåò è îäíî àñòè íûõ âîçáóæäåíèé (êâàçè àñòèö), âñå îï åäåëßåòñßêàê àç âêëàäîì G reg, òî äåëàåò àíàëèç ãî àçäî áîëåå ñëîæíûì. Çà åì íóæíû ôóíêöèè Ã èíà? Ï åæäå âñåãî, îíè äà ò íàì îáùèé ìåòîä èçó åíèß ñïåêò à âîçáóæäåíèé ìíîãî àñòè íûõ (âçàèìîäåéñòâó ùèõ)ñèñòåì. Îêàçûâàåòñß òàêæå, òî çíàíèå ôóíêöèé Ã èíà ïîçâîëßåò àññ èòàòü ñ åäíèå ïî îñíîâíîìó ñîñòîßíè (T =)ï îèçâîëüíûõ ôèçè åñêèõ õà àêòå èñòèê òàêèõ ñèñòåì. Ðàññìîò- èì ï îñòûå ï èìå û. Èñïîëüçóß ââåäåííó âû å îäíî àñòè íó ôóíêöè Ã èíà ìîæíî àññ èòàòü ñ åäíèå ïî îñíîâíîìó ñîñòîßíè îò îïå àòî îâ, êîòî ûå ìîãóò áûòü ï åäñòàâëåíû êàê ñóììû îäíî àñòè íûõ âêëàäîâ (îäíî àñòè íûå îïå àòî û) [5, ]: Â = Â i (x i, p i ) (.33) i ãäå x i ï åäñòàâëßåò êàê ï îñò àíñòâåííûå, òàê è ñïèíîâûå ïå åìåííûå, à p i èìïóëüñû (îïå àòî û!) îòäåëüíûõ àñòèö, ñîñòàâëß ùèõ íà ó ñèñòåìó. Òèïè íûå ï èìå û: n(r) = δ(r r i ) (.34) i 4 Ýòî óñëîâèå, êàê ìû óâèäèì íèæå, óäîâëåòâî ßåòñß â òåî èè ôå ìè æèäêîñòè Ëàíäàó, ãäå âáëèçè ïîâå õíîñòè Ôå ìè èìååì: ξ(p) v F ( p p F ), òîãäà êàê γ(p) ( p p F ) (v F ôå ìèåâñêàß ñêî îñòü).

14 4 Ãëàâà. ÂÂÅÄÅÍÈÅ îïå àòî ïëîòíîñòè àñòèö â òî êå r, j(r) = e p i δ(r r i ) (.35) m i ïëîòíîñòü òîêà â òî êå r èò.ä. Îïå àòî Â â ï åäñòàâëåíèè âòî è íîãî êâàíòîâàíèß ìîæåò áûòü çàïèñàí êàê: Â = dxψ + (x)a(x, p)ψ(x) (.36) Ðàññìîò èì ôóíêöè Ã èíà (.5), (.6) ï è t = t : G(x, x,τ) τ = < ψ + (x )ψ(x) > (.37) Òîãäà ñ åäíåå çíà åíèå Â ïîñ îñíîâíîìó ñîñòîßíè ìîæåò áûòü çàïèñàíî êàê: <A>= dxa(x, p)g(x, x,τ = ) x=x = SpAG τ = (.38) Òàêèì îá àçîì, âåëè èíà G τ =, ñ òî íîñòü äî çíàêà, ñîâïàäàåò ñ îäíî àñòè íîé ìàò èöåé ïëîòíîñòè ï è T =: ρ(x,x)=< ψ + (x )ψ(x) >= G τ = (.39) Äëß îï åäåëåíèß ñ åäíåãî çíà åíèß äâóõ àñòè íûõ îïå àòî îâ: ˆB = ik B ik (x i p i ; x k p k ) (.4) íåîáõîäèìî èñïîëüçîâàòü äâóõ àñòè íó ôóíêöè Ã èíà, îáû íî îï åäåëßåìó êàê: G (, ; 3, 4) =< Tψ()ψ()ψ + (3)ψ + (4) > (.4) è ò.ä. Â îáùåì ñëó àå, ï îáëåìà íàõîæäåíèß ñ åäíèõ çíà åíèé ìíîãî àñòè íûõ îïå- àòî îâ ò åáóåò çíàíèß ñîîòâåòñòâó ùèõ ìíîãî àñòè íûõ ìàò èö ïëîòíîñòè [5], êîòî ûå ìîãóò áûòü âû àæåíû å åç ñîîòâåòñòâó ùèå ìíîãî àñòè íûå ôóíêöèè Ã èíà.. Äèàã àììíàß òåõíèêà. Ó àâíåíèå Äàéñîíà. Äèàã àììû Ôåéíìàíà äà ò ëåãàíòíîå ã àôè åñêîå ï åäñòàâëåíèå ï îèçâîëüíûõ ëåíîâ ßäà òåî èè âîçìóùåíèé äëß ôóíêöèé Ã èíà. Ñòàíäà òíûé ìåòîä ïîëó åíèß êîíê åòíûõ äèàã àìì ñâîäèòñß ê èçó åíè àçëîæåíèß â ßä òåî èè âîçìóùåíèé S ìàò èöû (ìàò èöû àññåßíèß)è èñïîëüçîâàíè òåî åìû Âèêà [, ]. Îñíîâíûå ã àôè åñêèå ëåìåíòû ë áîé äèàã àììíîé òåõíèêè μ ëèíèè ôóíêöèé Ã èíà è âå èíû âçàèìîäåéñòâèß, èç êîòî ûõ, ïî îï åäåëåííûì ï àâèëàì, ñîñòàâëß òñß äèàã àììû Ôåéíìàíà òîé èëè èíîé òîïîëîãèè, çàâèñßùåé îò òèïà àíàëèçè óåìîãî âçàèìîäåéñòâèß. Íèæå ìû ñôî ìóëè óåì òàêèå ï àâèëà â ßâíîì âèäå [] äëß öåëîãî ßäà êîíê åòíûõ âçàèìîäåéñòâèé, êîòî ûå áóäóò èçó àòüñß â òèõ ëåêöèßõ. Çàìå àòåëüíîé îñîáåííîñòü ôåéíìàíîâñêîé äèàã àììíîé òåõíèêè ßâëßåòñß âîçìîæíîñòü ï îâåäåíèß ã àôè åñêîãî ñóììè îâàíèß áåñêîíå íûõ (ïîä)ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé

15 .. Äèàã àììíàß òåõíèêà. Ó àâíåíèå Äàéñîíà. 5 Ðèñ..: Äèàã àììíûé âûâîä ó àâíåíèß Äàéñîíà. äèàã àìì. Ðàññìîò èì ï îñòåé èé (íî è íàèáîëåå âàæíûé!)ï èìå òàêîãî ñóììè- îâàíèß, äà ùèé âûâîä òàê íàçûâàåìîãî ó àâíåíèß Äàéñîíà [, ]. Îáîçíà èì òî íó ôóíêöè Ã èíà æè íîé (èëè îäåòîé )ëèíèåé, à ôóíêöè Ã èíà ñâîáîäíîé àñòèöû òîíêîé ëèíèåé. Ïîëíàß àìïëèòóäà ïå åõîäà (ôóíêöèß Ã èíà)èç òî êè âòî êó, î åâèäíûì îá àçîì, äàåòñß ñóììîé âñåõ âîçìîæíûõ àìïëèòóò òàêîãî ïå åõîäà, âîçíèêà ùèõ âî âñåõ ïî ßäêàõ òåî èè âîçìóùåíèé, ò.å. ñóììîé âñåâîçìîæíûõ ôåéíìàíîâñêèõ äèàã àìì äëß ôóíêöèè Ã èíà. Ï îêëàññèôèöè óåì òè äèàã àììû ñëåäó ùèì îá àçîì. Ï åæäå âñåãî, âûäåëèì äèàã àììó (ëèíè ), ñîîòâåòñòâó ùó àñï îñò àíåè ñâîáîäíîé àñòèöû. Îñòàëüíûå äèàã àììû èìå ò ñëåäó èé âèä: äî íåêîòî îé òî êè àñòèöà àñï îñò àíßåòñß êàê ñâîáîäíàß, çàòåì ï îèñõîäèò àññåßíèå (âçàèìîäåéñòâèå), ï èâîäßùåå ê îæäåíè è óíè òîæåíè íåñêîëüêèõ àñòèö è äû îê (èëè æå àñòèöà ï îñòî àññåèâàåòñß ä óãèìè àñòèöàìè, íàõîäßùèìèñß â ôå ìèåâñêîì ìî å ïîä ïîâ õíîñòü Ôå ìè), çàòåì àñòèöà ñíîâà àñï îñò àíßåòñß ñâîáîäíî, ïîòîì ï îöåññû àññåßíèß (âçàèìîäåéñòâèß)ïîâòî ß òñß èò.ä. Îáîçíà èì å åç Σ ñóììó âñåõ äèàã àìì, êîòî ûå íå ìîãóò àçäåëåíû íà äâå àñòè ïóòåì àç åçàíèß îäíîé ôå ìèîííîé ëèíèè. Òàêîé áëîê Σ íàçûâàåòñß íåï èâîäèìîé ñîáñòâåííî íå ãåòè åñêîé àñòü àñòèöû (ôå ìèîíà). Òåïå ü ëåãêî óáåäèòüñß, òî ïîëíàß ôóíêöèß Ã èíà îï åäåëßåòñß ó àâíåíèåì Äàéñîíà, ïîêàçàííûì ã àôè åñêè íà Ðèñ... Â àíàëèòè åñêîì âèäå òî ñâîäèòñß ê èíòåã àëüíîìó ó àâíåè âèäà: G(, ) = G (, ) + dτ 3 dτ 4 G (, 3)Σ(3, 4)G(4, ) (.4) Èòå è óß òî ó àâíåíèå ïîëó àåì ïîëíûé ßä òåî èè âîçìóùåíèé äëß ôóíêöèè Ã èíà. Ïîñëå ï åîá àçîâàíèß Ôó üå ó àâíåíèß Äàéñîíà ñâîäèòñß ê àëãåá àè åñêîìó: G(pε) =G (pε)+g (pε)σ(pε)g(pε), (.43) êîòî îå ñ àçó æå å àåòñß: G(pε) = ε ε(p) Σ(pε) (.44) Çäåñü ìû ó ëè ßâíûé âèä ôóíêöèè Ã èíà ñâîáîäíîé àñòèöû G (pε). SSñíî òî ñîáñòâåííî íå ãåòè åñêàß àñòü Σ(pε) îï åäåëßåò â êîìïàêòíîì âèäå âñå èçìåíåíèß äâèæåíèß àñòèöû, ñâßçàííûå ñ åå âçàèìîäåéñòâèåì ñ îñòàëüíûìè àñòèöàìè, ñîñòàâëß ùèìè íà ó ñèñòåìó. Â îáùåì ñäó àå, ñîáñòâåííî íå ãåòè åñêàß àñòü ßâëßåòñß êîìïëåêñíîé, ò.å. ñîäå æèò äåéñòâèòåëüíó è ìíèìó àñòè (èìåííî ïî- òîìó ìû îïóñòèëè â (.44)áåñêîíå íî ìàëûé ìíèìûé âêëàä îò ñâîáîäíîé àñòèöû

16 6 Ãëàâà. ÂÂÅÄÅÍÈÅ iδsign(ε ε F )).Ðå àß ó àâíåíèå Äàéñîíà â êàêîì ëèáî ï èáëèæåíèè (èëè, â åäêèõ ñëó àßõ, òî íî)ìîæíî îï åäåëèòü íå ãåòè åñêèé ñïåêò ñèñòåìû èç ìíîãèõ âçàèìîäåéñòâó ùèõ àñòèö..3 Ôóíêöèè Ã èíà ï è êîíå íûõ òåìïå àòó àõ. Ôî ìàëèçì ôóíêöèé Ã èíà ïî òè íåïîñ åäñòâåííî îáîáùàåòñß íà ñëó àé êîíå íûõ òåìïå àòó T []. Íàïîìíèì îñíîâíûå ïîëîæåíèß ñîîòâåòñòâó ùåãî (ìàöóáà- îâñêîãî)ôî ìàëèçìà, îïßòü îã àíè èâàßñü, â îñíîâíîì, ñëó àåì ôå ìèîíîâ. Òàê íàçûâàåìàß òå ìîäèíàìè åñêàß (ìàöóáà îâñêàß)ôóíêöèß Ã èíà îï åäåëßåòñß êàê: G(p,τ τ )= i <T τ a p (τ )a + p (τ ) > (.45) ãäå ìû èñïëüçóåì ï åäñòàâëåíèå âçàèìîäåéñòâèß äëß îïå àòî îâ ñëåäó ùåãî âèäà: a p (τ) =e (H µn)τ a p e (H µn)τ (.46) ãäå ìàöóáà îâñêîå â åìß < τ,τ < β = T, à µ õèìè åñêèé ïîòåíöèàë. Ò åóãîëüíûå ñêîáêè îáîçíà à ò óñ åäíåíèå ïî áîëü îìó êàíîíè åñêîìó àíñàìáë Ãèááñà, êîòî îå óäîáíî çàïèñàòü â ñëåäó ùåì âèäå: <A>= SpρA Spρ where ρ = e β(h µn) (.47) ãäå Z = Spρ. Ï è èíà, ïî êîòî îé ìàöóáà îâñêàß ôóíêöèß Ã èíà G ìîæåò áûòü ï åäñòàâëåíà (ï àêòè åñêè)òåì æå ñàìûì äèàã àììíûì àçëîæåíèåì, êàê è êâàíòîâîìåõàíè åñêàß ôóíêöèß Ã èíà G, ñîîòâåòñòâó ùàß ñëó à T =, ñîñòîèò â ñëåäó ùåì. Ìû çíàåì, òî äèàã àììíîå àçëîæåíèå äëß G íåïîñ åäñòâåííî ñëåäóåò èç çàâèñßùåãî îò â åìåíè ó àâíåíèß åäèíãå à. Íî ñòàòèñòè åñêèé îïå àòî ρ, çàïèñàííûé â âèäå (.47), óäîâëåòâî ßåò òàê íàçûâàåìîìó ó àâíåíè Áëîõà: ρ β = (H µn)ρ (.48) òî ëåãêî ï îâå ßåòñß ï ßìûì äèôôå åíöè îâàíèåì. Âèäíî, òî ñóùåñòâóåò íåïîñ åäñòâåííîå ñîîòâåòñòâèå ìåæäó ó àâíåíèåì åäèíãå à (.)è ó àâíåíèåì Áëîõà (.48): ψ ρ H H µn it β (.49) Ïî òîìó, ï îñòàß çàìåíà H H µn it τ (.5) âî âñåõ ñîîòíî åíèßõ ï åäûäóùèõ àçäåëîâ ïîçâîëßåò ñ àçó æå ïîëó èòü âñå ôî ìàëüíûå ñîîòíî åíèß (è äèàã àììíó òåõíèêó)äëß ìàöóáà îâñêèõ ôóíêöèé Ã èíà G ï àêòè åñêè â òîì æå ñàìîì âèäå, êàê è â ôî ìàëèçìå T =äëß êâàíòîâîìåõàíè åñêèõ ôóíêöèé Ã èíà G. Çàìåíà H H µn ï èâîäèò ê ï îñòîìó èçìåíåíè íà àëà îòñ åòà íå ãèè àñòèö íà âåëè èíó µ: H µn = p (ε(p) µ)a + p a p (.5)

17 .3. Ôóíêöèè Ã èíà ï è êîíå íûõ òåìïå àòó àõ. 7 Õîòß ìàöóáà îâñêèå ôóíêöèè Ã èíà G çàâèñßò îò ìíèìîãî â åìåíè τ 5, ìû âñåãäà ìîæåì âå íóòüñß ê åàëüíîìó â åìåíè ïóòåì çàìåíû (â êîíå íûõ âû àæåíèßõ) τ it, èëè, ñò îãî ãîâî ß, ïóòåì àíàëèòè åñêîãî ï îäîëæåíèß ìàöóáà îâñêèõ âû- àæåíèé ñ îñè ìíèìîãî íà îñü äåéñòâèòåëüíîãî â åìåíè. Êàê ìû óæå îòìåòèëè âû å, âåëè èíû τ è τ â (.45)èçìåíß òñß íà èíòå âàëå îò äî β. Ñîîòâåòñòâåííî, äëß òîãî òîáû âûïîëíèòü ï åîá àçîâàíèå Ôó üå ïî τ, ìû äîëæíû ââåñòè ôóíêöè G ïå èîäè åñêè ï îäîëæåííó íà èíòå âàë îò äî. Òîãäà ìîæíî çàïèñàòü ï åîá àçîâàíèå Ôó üå â âèäå: G(pτ) = β n= e iωnτ G(pω n ) (.5) ãäå ñóììè îâàíèå âåäåòñß ïî äèñê åòíîìó íàáî ó (ìàöóáà îâñêèõ) àñòîò ω n = πnt. Òîãäà: G(pω n )= β β dτe iωnτ G(pτ) (.53) Ðàçíîñòü â åìåí τ = τ τ èçìåíßåòñß íà èíòå âàëå ( β,β), ïîñêîëüêó êàê τ, òàê è τ èçìåíß òñß íà èíòå âàëå (,β). Ôóíêöèß G(pτ) ïå èîäè åñêè ïîâòî ßåòñß íà èíòå âàëàõ ( β,β), (β,3β), (3β,5β),..., ( 3β, β),... Äëß ñèñòåìû, ñîñòîßùåé èç ôå ìèîíîâ, åòíûå çíà åíèß n âûïàäà ò èç ßäà äëß G(pτ) èç çà íåîáõîäèìîñòè óäîâëåòâî èòü óñëîâèå àíòèïå èîäè íîñòè : G(p,τ)= G(p,τ + β) for τ< (.54) Ñï àâåäëèâîñòü òîãî ñîîòíî åíèß ëåãêî ï îâå ßåòñß ñ èñïîëüçîâàíèåì ñâîéñòâà ïó à SpAB = SpBA. Äëßτ τ> èìååì: èëè G(p,τ τ )= i Z Spe β(h µn) a + p (τ )a p (τ) = = i Z Spa p(τ)e β(h µn) a + p (τ )e = = i Z Spe β(h µn) e β(h µn) a p (τ)e β(h µn) a + p (τ )= = i Z Spe β(h µn) a p (τ + β)a + p (τ ) (.55) G(p,τ τ )= G(p,τ τ + β) (.56) òî ï è τ =è äàåò íàì (.54). Çíàê ìèíóñ ïîßâëßåòñß çäåñü èç çà àíòèêîììóòàòèâíîñòè ôå ìèåâñêèõ îïå àòî îâ. Ïîäñòàâëßß (.54)â (.5)âèäèì, òî âñå âêëàäû ñ åòíûìè n îá àùà òñß â íóëü. Òàêèì îá àçîì, äëß ôå ìèîíîâ ìû âñåãäà äîëæíû àáîòàòü ñ íå åòíûìè ìàöóáà îâñêèìè àñòîòàìè: ω n = (n +)π β =(n +)πt (.57) 5 Âåëè èíà τ áûëà âûá àíà âû å äåéñòâèòåëüíîé, íî ôóíêöèß Ã èíà G ìîæåò áûòü ïîëó åíà èç G çàìåíîé it τ, òàê òî â ôî ìàëèçìå òå ìîäèíàìè åñêèõ ôóíêöèé Ã èíà ìû èìååì äåëî ñ ïå åõîäîì ê t = iτ, ò.å. ê ìíèìîìó â åìåíè.

18 8 Ãëàâà. ÂÂÅÄÅÍÈÅ Äëß áîçîíîâ, àíàëîãè íûì îá àçîì, â ßäó Ôó üå äëß òå ìîäèíàìè åñêîé ôóíêöèè Ã èíà îñòà òñß òîëüêî âêëàäû îò åòíûõ àñòîò: ω n = nπ β =nπt (.58) Âîçâ àùàßñü ê âû àæåíèßì (.6), (.7) è (.8) äëß ã èíîâñêèõ ôóíêöèé ñâîáîäíûõ àñòèö ï è T =,ìû ìîæåì áåç ò óäà âûïèñàòü ìàöóáà îâñêó ôóíêöè Ã èíà: G (p,τ τ )= i{θ(τ τ )( n(p)) θ(τ τ )n(p)}e (ε(p) µ)(τ τ) (.59) ãäå n(p) =[e β(ε(p) µ) +] àñï åäåëåíèå Ôå ìè ï è êîíå íîé òåìïå àòó å T. Òàêèì îá àçîì, ñòóïåí àòûå ôóíêöèè, âõîäßùèå â îï åäåëåíèå G ï è T = àçìûâà òñß ôôåêòàìè êîíå íîé òåìïå àòó û, òî ï èâîäèò ê îäíîâ åìåííîìó ïîßâëåíè àñòèö è äû îê â ñîñòîßíèè ñ çàäàííûì èìïóëüñîì p. Ïîäñòàâëßß (.59)â (.53)íàõîäèì 6 : G (pω n )= i iω n ε(p)+µ, ω n =(n +)πt (.6) Ñ åäèíñòâåííûì îòëè èåì, ñâßçàííûì ñ ïå åõîäîì ê äèñê åòíûì àñòîòàì, äèàã àììíàß òåõíèêà äëß ìàöóáà îâñêèõ ôóíêöèé Ã èíà ï è êîíå íûõ T ï àêòè åñêè èäåíòè íà ñ êâàíòîâîìåõàíè åñêîé äèàã àììíîé òåõíèêîé ï è T =. Ïîëíàß ôóíêöèß Ã èíà îï åäåëßåòñß èç ó àâíåíèß Äàéñîíà: G(pω n )= i iω n ε(p)+µ Σ(pω n ), ω n =(n +)πt (.6) Ïîä å êíåì îäíàêî, òî ìàöóáà îâñêèå ôóåêöèè Ã èíà íå èìå ò ñìûñëà êàêèõ ëèáî àìïëèòóä ïå åõîäà (ôóíêöèé àñï îñò àíåíèß)êâàíòîâîé òåî èè (ïîëß). Ï îâîäß àñ åòû ìàöóáà îâñêèõ ôóíêöèé Ã èíà, ìû ìîæåì, â ï èíöèïå, íàéòè ë áûå òå ìîäèíàìè åñêèå õà àêòå èñòèêè ìíîãî àñòè íûõ ñèñòåì, íàõîäßùèõñß â àâíîâåñíîì ñîñòîßíèè. Îïèñàíèå ï îèçâîëüíûõ íå àâíîâåñíûõ ï îöåññîâ ìîæåò áûòü ï îâåäåíî íà îñíîâå îáùåãî ôî ìàëèçìà ã èíîâñêèõ ôóíêöèé Êåëäû à [] è àç àáîòàííîé èì ñïåöèàëüíîé äèàã àììíîé òåõíèêè. Îäíàêî îáñóæäåíèå íå àâíîâåñíûõ ï îöåññîâ íå âõîäèò â çàäà è íà åãî êó ñà. 6 Çäåñü ñíîâà ââåäåí äîïîëíèòåëüíûé (ïî ñ àâíåíè ñî ñòàíäà òíûìè îáîçíà åíèßìè ÀÃÄ ) ìíîæèòåëü i, êîòî ûé ïîßâèëñß âû å â (.45).

19 Ãëàâà ÝËÅÊÒÐÎÍ ÝËÅÊÒÐÎÍÍÎÅ ÂÇÀÈÌÎÄÅÉÑÒÂÈÅ. Ï àâèëà äèàã àììíîé òåõíèêè. Ðàññìîò èì ñèñòåìó âçàèìîäåéñòâó ùèõ (íå åëßòèâèñòñêèõ) ôå ìè àñòèö. Â äàëüíåé åì, â áîëü èíñòâå ñëó àåâ, èìååòñß â âèäó ñèñòåìà ëåêò îíîâ â ìåòàëëå. Ãàìèëüòîíèàí âçàèìîäåéñòâèß çàïè åì â âèäå: H int = dr dr ψ α + (r )ψ + β (r )V (r r )ψ β (r )ψ α (r ) (.) ãäå V (r) ïîòåíöèàë (ñòàòè åñêîãî)âçàèìîäåéñòâèß àñòèö, ψ + α (r),ψ α(r) îïå àòî û îæäåíèß è óíè òîæåíèß ôå ìèîíîâ â òî êå r, α ñïèíîâûé èíäåêñ. Îáùèå ï àâèëà äèàã àììíîé òåõíèêè äëß âû èñëåíèß ïîï àâîê ïî âçàèìîäåéñòâè ê îäíî àñòè íîé ôóíêöèè Ã èíà â èìïóëüñíîì ï åäñòàâëåíèè G(p) ñôî ìóëè îâàíû â []. Ï èâåäåì èõ ñâîäêó äëß ñëó àß íóëåâîé òåìïå àòó û T =: Äèàã àììà n ãî ïî ßäêà ïî âçàèìîäåéñòâè ñîäå æèò n âå èí, n + ñïëî íûõ ( ëåêò îííûõ) ëèíèé è n âîëíèñòûõ ëèíèé âçàèìîäåéñòâèß. Âñåì ëèíèßì ï èïèñûâà òñß îï åäåëåííûå 4 èìïóëüñû, êîòî ûå ñîõ àíß òñß â âå èíàõ âçàèìîäåéñòâèß. Ýëåêò îíó (ôå ìèîíó)ñîïîñòàâëßåòñß ñïëî íàß ëèíèß, êîòî îé ñîïîñòàâëßåòñß âû àæåíèå äëß ñâîáîäíîé ôóíêöèè Ã èíà: ï è åì G (p) = δ αβ ε ξ(p)+iδsignξ(p) ãäå δ + (.) ξ(p) = p m µ v F ( p p F ) (.3) íå ãåòè åñêèé ñïåêò ñâîáîäíûõ ôå ìèîíîâ, íå ãèß êîòî ûõ îòñ èòûâàåòñß îò ó îâíß Ôå ìè (õèìè åñêîãî ïîòåíöèàëà µ), p F è v F èìïóëüñ è ñêî îñòü íà ïîâå õíîñòè Ôå ìè. 9

20 Ãëàâà. ÝËÅÊÒÐÎÍ ÝËÅÊÒÐÎÍÍÎÅ ÂÇÀÈÌÎÄÅÉÑÒÂÈÅ Âîëíèñòîé ëèíèè ñîïîñòàâëßåòñß ôó üå îá àç ïîòåíöèàëà V (q). Ï îâîäèòñß èíòåã è îâàíèå ïî n íåçàâèñèìûì èìïóëüñàì è àñòîòàì (4 èìïóëüñàì). Âîçíèê åå âû àæåíèå óìíîæàåòñßíà(i) n (π) 4n (s+) F ( ) F,ãäå F èñëî çàìêíóòûõ ôå ìèîííûõ ïåòåëü, à s ñïèí ôå ìèîíà (äëß ëåêò îíà s =/, òàê òî ó íàñ âñåãäà s +=). Äëß ñëó àß êîíå íûõ òåìïå àòó, â ìàöóáà îâñêîé òåõíèêå [], ñîîòâåòñòâó ùèå ï àâèëà äëß âû èñëåíèß ïîï àâêè k ãî ïî ßäêàäëßG(ε n (p)), ôî ìóëè ó òñßòàê: Äèàã àììà k ãî ïî ßäêà èìååò k âå èí, k + ñïëî íûõ ( ëåêò îííûõ)ëèíèé è k âîëíèñòûõ ëèíèé (âçàèìîäåéñòâèß). Ëèíèßì ñîïîñòàâëß òñß èìïóëüñû è (ìàöóáà îâñêèå) àñòîòû, óäîâëåòâî ß ùèå â êàæäîé âå èíå çàêîíàì ñîõ àíåíèß. àñòîòû áîçåâñêèõ ëèíèé âñåãäà åòíûå (ω m =πmt), à àñòîòû ôå ìèåâñêèõ ëèíèé íå åòíûå (ε n =(n +)πt). Ïî âñåì íåçàâèñèìûì èìïóëüñàì è àñòîòàì äèàã àììû ï îèçâîäèòñß èíòåã è îâàíèå è ñóììè îâàíèå. Êàæäîé ñïëî íîé ëèíèè ñèìïóëüñîì p è àñòîòîé ε n ñîïîñòàâëßåòñß âû àæåíèå: δ αβ G (ε n p)= (.4) iε n ξ(p) àêàæäîé âîëíèñòîé ëèíèè ñ èìïóëüñîì q è àñòîòîé ω m ñîïîñòàâëßåòñß V (q). Ïå åä ïîëó åííûì âû àæåíèåì ñòàâèòñßìíîæèòåëü ( ) k T k (s+) F ( ) F, (π) ãäå 3k F ñíîâà îáîçíà àåò èñëî ôå ìèîííûõ ïåòåëü äèàã àììû, à s ñïèí ôå ìèîíà ( ëåêò îíà).. Ýëåêò îííûé ãàç ñ êóëîíîâñêèì âçàèìîäåéñòâèåì. Åñëè ïîïûòàòüñß çàíßòüñß ï ßìûìè âû èñëåíèßìè ïîï àâîê ê ôóíêöèè Ã èíà ëåêò îíà â íî ìàëüíîì ìåòàëëå, óêîâîäñòâóßñü ñôî ìóëè îâàííûìè âû å ï àâèëàìè äèàã àììíîé òåõíèêè, òî ñ àçó îêàæåòñß, òî ñîîòâåòñòâó ùèå âû àæåíèß àñõîäßòñß èç-çà ñèíãóëß íîãî õà àêòå à êóëîíîâñêîãî âçàèìîäåéñòâèß ï è ìàëûõ ïå åäàâàåìûõ èìïóëüñàõ q: V (q) = 4πe q (.5) òî ßâëßåòñß íåïîñ åäñòâåííûì ñëåäñòâèåì äàëüíîäåéñòâó ùåãî õà àêòå à êóëîíîâñêîãî âçàèìîäåéñòâèß. Ýòà ï îáëåìà óñò àíßåòñß ñóììè îâàíèåì áåñêîíå íîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè äèàã àìì, îïèñûâà ùåé ê àíè îâàíèå êóëîíîâñêîãî ïîòåíöèàëà ñâîáîäíûìè ëåêò îíàìè. Äëß òîãî ââîäèòñß ôôåêòèâíîå âçàèìîäåéñòâèå, èçîá àæàåìîå æè íîé âîëíèñòîé ëèíèåé, êîòî àß îï åäåëßåòñß ïîñëåäîâàòåëüíîñòü äèàã àìì, ïîêàçàííîé íà Ðèñ.., ãäå ïîëß èçàöèîííûé îïå àòî äàåòñß ñóììîé äèàã àìì, ïîêàçàííûõ íà Ðèñ... Âàæíî ïîä å êíóòü, òî â àçëîæåíèè, ïîêàçàííîì íà Ðèñ.., îòñóòñòâó ò ã àôèêè, àç åçàåìûå ïî îäíîé ëèíèè âçàèìîäåéñòâèß, òèïà ïîêàçàííîãî íà

21 .. Ýëåêò îííûé ãàç ñ êóëîíîâñêèì âçàèìîäåéñòâèåì. Ðèñ..: Ã àôè åñêîå îï åäåëåíèå ôôåêòèâíîãî âçàèìîäåéñòâèß. Ðèñ..: Äèàã àììû äëß íåï èâîäèìîãî ïîëß èçàöèîííîãî îïå àòî à. Ðèñ..3: Ï èìå ï èâîäèìîé äèàã àììû.

22 Ãëàâà. ÝËÅÊÒÐÎÍ ÝËÅÊÒÐÎÍÍÎÅ ÂÇÀÈÌÎÄÅÉÑÒÂÈÅ Ðèñ..3, òàê òî òî àçëîæåíèå îï åäåëßåò íåï èâîäèìûé ïîëß èçàöèîííûé îïå- àòî. Òîãäà àçëîæåíèå, ïîêàçàííîå íà Ðèñ.. àíàëîãè íî ïî ñìûñëó ó àâíåíè Äàéñîíà. Â àíàëèòè åñêîì âèäå ôôåêòèâíîå âçàèìîäåéñòâèå çàïèñûâàåòñß êàê: V(qω) =V (q)+v (q)π(qω)v(qω) (.6) Ýôôåêòèâíîå âçàèìîäåéñòâèå V(qω) ßâëßåòñß, âîîáùå ãîâî ß, çàâèñßùèì îò àñòîòû ω, òî ñîîòâåòñòâóåò ó åòó ôôåêòîâ çàïàçäûâàíèß, ñâßçàííûõ ñ õà àêòå íûì â åìåíåì ëåêò îííîãî îòêëèêà íà ìãíîâåííîå êóëîíîâñêîå âçàèìîäåéñòâèå. Ðå àß ó àâíåíèå (.6), ïîëó àåì: V(qω) = V (q) V (q)π(qω) V (q) ɛ(qω) ãäå ââåëè äè ëåêò è åñêó ôóíêöè (ï îíèöàåìîñòü): (.7) ɛ(qω) = V (q)π(qω) (.8) Òàê íàçûâàåìîå ï èáëèæåíèå õàîòè åñêèõ ôàç (RPA) ñîîòâåòñòâóåò èñïîëüçîâàíè ï îñòåé åãî âà èàíòà ïîëß èçàöèîííîãî îïå àòî à, ïîñò îåííîãî íà ñâîáîäíûõ ôóíêöèßõ Ã èíà (ò.å. èçîá àæàåìîãî ï îñòåé åé äèàã àììîé Ðèñ..4(a)) : Π (qω) = i d 4 p (π) 4 G (p + q)g (p) (.9) Ñîîòâåòñòâó ùåå ôôåêòèâíîå âçàèìîäåéñòâèå îï åäåëßåòñß òîãäà ã àôèêàìè Ðèñ..4(b). Ýòî ó àâíåíèå äëß ôôåêòèâíîãî âçàèìîäåéñòâèß ìîæíî ï åäñòàâèòü åùå è ä óãîì âèäå, ïîêàçàííîì íà Ðèñ..5(a), ãäå ââåäåí ï èâîäèìûé ïîëß èçàöèîííûé îïå àòî Π(qω), îï åäåëßåìûé ã àôèêàìè Ðèñ..5(b): V = V + V ΠV (.) Èç Ðèñ..5(b)ßñíî, òî: Π Π = (.) V Π Òîãäà èç (.), ñ èñïîëüçîâàíèåì (.), ïîëó àåì: ( V = V ( + ΠV )=V + Π ) V = V Π V = = V (.) V Π ɛ òî ñîâïàäàåò ñ (.7), ñ äè ëåêò è åñêîé ï îíèöàåìîñòü, âçßòîé â ï èáëèæåíèè RPA. Âû àæåíèå (.)îïèñûâàåò ïîëíó ïîëß èçóåìîñòü ñèñòåìû. Àíàëîãè íûì îá àçîì ìîæíî ïîëó èòü è RPA âû àæåíèå äëß ìàãíèòíîé âîñï èèì èâîñòè. Äëß òîãî íóæíî àññìîò åòü îòêëèê ñèñòåìû íà áåñêîíå íî ñëàáîå âíå íåå ìàãíèòíîå ïîëå, ïå åâî à èâà ùåå ëåêò îííûé ñïèí. Îïóñêàß òåõíè åñêèå äåòàëè, çàìåòèì, òî äëß òîãî äîñòàòî íî àññìîò åòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü äèàã àìì, ïîêàçàííó íà Ðèñ..6. Åñëè èìåòü ââèäó ïîïóëß íó ìîäåëü ñ (òî å - Ýòà òå ìèíîëîãèß íîñèò èñòî èñòî è åñêèé õà àêòå. Çàìåòèì, òî â ëèòå àòó å àñòî èñïîëüçóåòñß îï åäåëåíèå Π(qω), îòëè à ùååñß çíàêîì [5], ìû æå ï èäå æèâàåìñß îáîçíà åíèé êíèãè []

23 .. Ýëåêò îííûé ãàç ñ êóëîíîâñêèì âçàèìîäåéñòâèåì. 3 Ðèñ..4: Ï èáëèæåíèå õàîòè åñêèõ ôàç (RPA)äëß ïîëß èçàöèîííîãî îïå àòî à è ôôåêòèâíîãî ( ê àíè îâàííîãî)âçàèìîäåéñòâèß. Ðèñ..5: Ï åäñòàâëåíèå ôôåêòèâíîãî âçàèìîäåéñòâèß å åç ï èâîäèìûé ïîëß èçàöèîííûé îïå àòî Π.

24 4 Ãëàâà. ÝËÅÊÒÐÎÍ ÝËÅÊÒÐÎÍÍÎÅ ÂÇÀÈÌÎÄÅÉÑÒÂÈÅ Ðèñ..6: Äèàã àììû äëß ìàãíèòíîé âîñï èèì èâîñòè. ± îáîçíà à ò íàï àâëåíèå ñïèíà. íûì) õàááà äîâñêèì âçàèìîäåéñòâèåì ëåêò îíîâ H int = Un i n i òè äèàã àììû ëåãêî ñóììè ó òñß è äà ò: χ(qω) = ãäå χ (qω) ï îïî öèîíàëüíî Π (qω) èç (.9): χ (qω) +UΠ (qω) (.3) χ (qω) = 4 g µ B Π (qω) Π (qω) = 4 g µ χ (qω) (.4) B ãäå g ãè îìàãíèòíîå îòíî åíèå (îáû íî g =). Îòìåòèì èçìåíåíèå çíàêà â çíàìåíàòåëå (.3) ïî ñ àâíåíè ñ (.8). Ýòî ñâßçàíî ñ òåì ôàêòîì, òî ï è àñ åòå ɛ(qω) ìû èìåëè äåëî ñ ôóíêöèåé îòêëèêà òèïà ïëîòíîñòü ïëîòíîñòü è ñóììè- îâàëè ïåòëè (êàæäîé èç êîòî ûõ ñîïîñòàâëßëñß)äîïîëíèòåëüíûé ìíîæèòåëü. Çäåñü æå, ï è àñ åòå ëèíåéíîãî îòêëèêà, ìû ñóììè óåì (ñì. Ðèñ.(.6)) ëåñòíè íûå äèàã àììû (ïåòëè çàï åùåíû èç-çà ñîõ àíåíèß ñïèíà ëèíèè àñòèö è äû îê íà Ðèñ.(.6)ñîîòâåòñòâó ò àçíûì íàï àâëåíèßì ñïèíà). Òåì íå ìåíåå, âû àæåíèß äëß ɛ(qω) è χ(qω) âïîëíå àíàëîãè íû è îï åäåëß òñß, ôàêòè åñêè, îäíîé è òîé æå âåëè èíîé Π (qω) èç (.9)..3 Ïîëß èçàöèîííûé îïå àòî äëß ãàçà ñâîáîäíûõ ëåêò îíîâ ï è T =. Ï èñòóïèì ê àñ åòó Π (qω), îï åäåëßåìîãî âû àæåíèåì (.9). Ýêâèâàëåíòíàß çàïèñü èìååò âèä: d 3 p dε Π (qω) = i (π) 3 π G (ε + p + )G (ε p ) (.5) ãäå ε ± = ε ± ω, p ± = p ± q. Â àññìàò èâàåìîì èíòåã àëå íàèáîëåå ñóùåñòâåííû îáëàñòè èíòåã è îâàíèß âáëèçè ïîâå õíîñòè Ôå ìè, ïî òîìó ï è q p F ìîæíî íàïèñàòü p ± = p ± q cos θ, ãäå θ óãîë ìåæäó âåêòî àìè p è q. Òîãäà: ãäå G (ε ± p ± )= ε ± ξ ± (p)+iδsignξ ± (p) (.6) ξ ± (p) =ξ(p ± )=ξ(p) ± v F q cos θ (.7) Èíòåã è îâàíèå ïî ε â (.5) ìîæíî ï îâåñòè, çàìûêàß êîíòó èíòåã è îâàíèß â âå õíåé ïîëóïëîñêîñòè êîìïëåêñíîé ïå åìåííîé ε è àñêëàäûâàß ï îèçâåäåíèå äâóõ

25 .3. Ïîëß èçàöèîííûé îïå àòî äëß ãàçà ñâîáîäíûõ ëåêò îíîâ ï è T =. 5 G íà ï îñòåé èå ä îáè. Èíòåã àë îòëè åí îò íóëß, åñëè ïîë ñà îáåèõ ôóíêöèé Ã èíà G ëåæàò â àçíûõ ïîëóïëîñêîñòßõ. Â èòîãå ïîëó àåì: dε (ε + ω ξ + + iδsignξ + )(ε ω ξ + iδsignξ ) = πi(n(ξ ) n(ξ + )) = (.8) ω v F q cos θ + iδ(signξ + signξ ) ãäå: { ï è ξ n(ξ) = ï è (.9) ξ> ôå ìèåâñêàß ôóíêöèß àñï åäåëåíèß ï è T =. Ïîñêîëüêó íàñ èíòå åñó ò ìàëûå q, àçíîñòü n(ξ ) n(ξ + ) îòëè íà îò íóëß â òîíêîì ñëîå âáëèçè ïîâå õíîñòè Ôå ìè. Ïî òîìó, âìåñòî ïîëíîãî èíòåã àëà ïî p ìîæíî ñ èòàòü èíòåã àë ïî ëèíåà- èçîâàííîìó ñïåêò ó ξ, ïîëüçóßñü ï îñòûì ï àâèëîì: d 3 p (π) 3... ν F dξ d(cos θ)... (.) ãäå ν F = mp F (.) π 3 ïëîòíîñòü ñîñòîßíèé íà ó îâíå Ôå ìè â àñ åòå íà îäíó ï îåêöè ñïèíà. Â çàâèñèìîñòè îò çíàêà cos θ âîçìîæíû äâà ñëó àß:. cos θ > òîãäà âû àæåíèå (.8) îòëè íî îò íóëß ï è vf q cos θ < ξ < v F q cos θ, ï è åì n(ξ ) n(ξ + )=;. cos θ < òîãäà âû àæåíèå (.8) îòëè íî îò íóëß ï è vf q cos θ < ξ < vf q cos θ, ï è åì n(ξ ) n(ξ + )=. Â åçóëüòàòå, îñòàåòñß ñëåäó ùèé èíòåã àë ïî óãëàì: v F q cos θ Π (qω) =ν F d cos θ ω v F q cos θ + iδsignω Ýòîò èíòåã àë âû èñëßåòñß íåïîñ åäñòâåííî, ñ èñïîëüçîâàíèåì ñîîòíî åíèß: (.) xdx = A + ib (.3) x x + iδsignx A = +x ln x + ï è x > x B = πx ï è <x < πx ï è <x < Â èòîãå ïîëó àåì: { Π (qω) = ν F ω v F q ln ω + v F q ω v F q + iπ Äëß ω =èìååì: ãäå ââåëè: ( ω v F q θ ω )} v F q (.4) Π (qω =)= ν F = N(E F ) (.5) N(E F )=ν F = mp F π 3 (.6)

26 6 Ãëàâà. ÝËÅÊÒÐÎÍ ÝËÅÊÒÐÎÍÍÎÅ ÂÇÀÈÌÎÄÅÉÑÒÂÈÅ ïëîòíîñòü ñîñòîßíèé íà ó îâíå Ôå ìè äëß îáåèõ ï îåêöèé ñïèíà. Ï è ω v F q èìååì: Π (qω) N(E F ) v ( F q 3 ω + 3 v ) F q (.7) 5 ω Ïîëó åííûå ôî ìóëû áóäóò íåîäíîê àòíî èñïîëüçîâàòüñß â äàëüíåé åì..4 Äè ëåêò è åñêàß ï îíèöàåìîñòü ëåêò îííîãî ãàçà. Èñïîëüçóß (.5)â (.8)ïîëó àåì äè ëåêò è åñêó ï îíèöàåìîñòü, ñîîòâåòñòâó ùó îáû íîé (äåáàåâñêîé èëè òîìàñ ôå ìèåâñêîé) ê àíè îâêå: ãäå êâàä àò îá àòíîãî àäèóñà ê àíè îâàíèß åñòü: ɛ(q, ) q =+ κ D q (.8) κ D =4πe N(E F )= 4e mp F π = 6πne E F (.9) ãäå n = p3 F 3π ïëîòíîñòü ëåêò îíîâ. Òîãäà ôó üå îá àç ôôåêòèâíîãî âçàèìîäåéñòâèß åñòü: V(q, ) = 4πe (.3) q + κ D Âêîî äèíàòíîì ï åäñòàâëåíèè òî ñîîòâåòñòâóåò ïîòåíöèàëó âèäà: V(r) = e r e κdr (.3) Åñëè èñïîëüçîâàòü â (.8)àñèìïòîòèêó (.7), òî â ï åäåëå q ïîëó èì: ɛ(ω) = ω p ω (.3) ãäå êâàä àò ïëàçìåííîé àñòîòû îï åäåëßåòñß îáû íûì âû àæåíèåì: ω p = 4πne m (.33) Ó èòûâàß âêëàä âòî îãî ñëàãàåìîãî â (.7), èç ó àâíåíèß ɛ(qω) =íàõîäèì ñïåêò ïëàçìîíîâ â âèäå: ω (q) =ω p v F q (.34) Áîëåå àêêó àòíûé àíàëèç, ñ ó åòîì ìíèìîé àñòè ïîëß èçàöèîííîãî îïå àòî à, ïîçâîëßåò ï îàíàëèçè îâàòü èõ çàòóõàíèå [5, ]. Ï è îñòå q ñïåêò (.34)ïîïàäàåò â îáëàñòü íå ãèé îäíî àñòè íûõ âîçáóæäåíèé (ïà àñòèöà äû êà), êàê òî ïîêàçàíî íà Ðèñ..7(a), ãäå âîçíèêàåò ñèëüíîå çàòóõàíèå è ïëàçìîí èñ åçàåò êàê õî î î îï åäåëåííîå êîëëåêòèâíîå âîçáóæäåíèå ñèñòåìû. Ýíå ãèß âîçáóæäåíèß ïà û àñòèöà äû êà â ñèñòåìå ñâîáîäíûõ ôå ìèîíîâ: ω pq = ξ p+q ξ p = (p + q) m p m = qp m + q m (.35)

27 .4. Äè ëåêò è åñêàß ï îíèöàåìîñòü ëåêò îííîãî ãàçà. 7! (a) plasmon Im χ(q;!) (b) allowed particle-hole excitations k F q qv F! Ðèñ..7: (a)- Çà ò èõîâàíà îáëàñòü àç å åííûõ çíà åíèé íå ãèè âîçáóæäåíèß ëåêò îí äû î íûõ ïà â ôå ìè-ñèñòåìå îáëàñòü çàòóõàíèß ïëàçìîíîâ. (b)- ìíèìàß àñòü îáîáùåííîé âîñï èèì èâîñòè ïëîòíîñòü ïëîòíîñòü â êàíàëå àñòèöà äû êà. Ñïåêò òèõ âîçáóæäåíèé ñ èìïóëüñîì q îá àçóåò êîíòèíóóì, ëåæàùèé â ï åäåëàõ: qp F m ω pq qp F m + q m ï è q<p F + q m ω pq qp F m + q m ï è q>p F (.36) Ýòà îáëàñòü è ïîêàçàíà çà ò èõîâàííîé íà Ðèñ..7(a). Â äàëüíåé åì ìû åùå ïîêàæåì, òî ìíèìàß àñòü (.4), ï è ω>, ñ òî íîñòü äî çíàêà ñîâïàäàåò ñ ìíèìîé àñòü ôóíêöèè îòêëèêà (îáîáùåííîé âîñï èèì èâîñòè) ïëîòíîñòü ïëîòíîñòü, òî ïîêàçàíî íà Ðèñ..7(b). Ïî ñìûñëó ï îâåäåííîãî âû å àñ åòà ßñíî, òî âû àæåíèå (.4) ñï àâåäëèâî òîëüêî â îáëàñòè ìàëûõ ω è q. Ôàêòè åñêè, ïîëß èçàöèîííûé îïå àòî ìîæåò áûòü àññ èòàí äëß ï îèçâîëüíûõ q è ω (J.Lindhardt, 954). Ï èâåäåì åçóëüòàòû ñîîòâåòñòâó ùèõ àñ åòîâ [5]. Ñòàòè åñêàß äè ëåêò è åñêàß ï îíèöàåìîñòü äàåòñß ñëåäó ùèì âû àæåíèåì: ( ) ɛ(q, ) = + 4me p F q u = ãäå πq p F ( ) /3 ( ) ( 4 r s =+ 9π 4 x u(x) =+.66r pf q s u q p F u(x) = {+ } x x ln +x x ) (.37) (.38) Â (.37) ââåäåíî ñòàíäà òíîå â òåî èè ëåêò îííîãî ãàçà îáîçíà åíèå r s,êîòî îå îï åäåëßåòñß ñîîòíî åíèåì 4πr3 s a3 =,ãäå 3 n n ïëîòíîñòü ëåêò îíîâ, a = áî îâñêèé àäèóñ. Òàêèì me îá àçîì âåëè èíà r s ï åäñòàâëßåò ñîáîé ñ åäíåå àññòîßíèå ìåæäó ëåêò îíàìè â åäèíèöàõ áî- îâñêîãî àäèóñà. Ïà àìåò îì ìàëîñòè àññìàò èâàåìîé òåî èè (RPA) ßâëßåòñß îòíî åíèå õà àêòå íîé êóëîíîâñêîé íå ãèè ê íå ãèè Ôå ìè: V C E F e p F p F m e a r s (.39) v F p F a a Âìåòàëëàõ îáû íî èìååì <r s < 5, òàê òî RPA ï èáëèæåíèå ßâëßåòñß äëß íèõ, â ï èíöèïå, äîñòàòî íî ïëîõèì. Îíî õî î î àáîòàåò äëß ñèëüíî ñæàòîãî ãàçà ëåêò îíîâ è ïî òîìó àñòî íàçûâàåòñß ï èáëèæåíèåì âûñîêîé ïëîòíîñòè. Ã àôèê ôóíêöèè u(x) ïîêàçàí íà Ðèñ..8. Ï è q îòñ äà, åñòåñòâåííî, ïîëó- àåì ï îñòîé îòâåò (.8). Ñóùåñòâåííî îáñóäèòü îáëàñòü q p F. Èç (.37)è (.38)

28 8 Ãëàâà. ÝËÅÊÒÐÎÍ ÝËÅÊÒÐÎÍÍÎÅ ÂÇÀÈÌÎÄÅÉÑÒÂÈÅ Ðèñ..8: Ã àôèê ôóíêöèè u(x). Ï îèçâîäíàß òîé ôóíêöèè èìååò ëîãà èôìè åñêó îñîáåííîñòü ï è x =. âèäíî, òî âåëè èíà ï îèçâîäíîé ɛ(q,) q ï è q p F. Ýòî ï èâîäèò ê ßäó àíîìàëèé ôèçè åñêèõ âåëè èí. Íàï èìå, ï îñò àíñòâåííàß çàâèñèìîñòü ê àíè- îâàííîãî ïîòåíöèàëà âçàèìîäåéñòâèß íå ñâîäèòñß ê ï îñòîé ôî ìóëå òèïà (.3). Äåëî â òîì, òî àñèìïòîòè åñêîå ïîâåäåíèå ôó üå èíòåã àëà òèïà dqe iqr f(q) îï åäåëßåòñß îñîáûìè òî êàìè (ñèíãóëß íîñòßìè) f(q) è åå ï îèçâîäíûõ, ïîïàäà ùèìè âíóò ü èíòå âàëà èíòåã è îâàíèß. Íàï èìå, åñëè f(q) â òî êå q = q, ñêàæåì f(q) δ(q q ), òî â f(r) âîçíèêàåò îñöèëëè ó ùèé âêëàä e iqr. Àíàëîãè íûì îá àçîì, ñèíãóëß íîñòü ï îèçâîäíîé ɛ ï è q q =p F ï èâîäèò ê òîìó, òî â ïîòåíöèàëå âçàèìîäåéñòâèß âîçíèêàåò äàëüíîäåéñòâó ùèé è îñöèëëè ó ùèé âêëàä âèäà: V(r) r cos(p F r + φ) (.4) r 3 Ñîîòâåòñòâåííî, ê àíè ó ùèé çà ßä âîê óã, íàï èìå, çà ßæåííîé ï èìåñè, òàêæå îñöèëëè óåò ñîãëàñíî (.4)(ô èäåëåâñêèå îñöèëëßöèè). Åùå áîëåå âàæåí àíàëîãè íûé ôôåêò â òåî èè ìàãíèòíûõ âçàèìîäåéñòâèé â ìåòàëëàõ. Âû å ìû âèäåëè, òî ïà àìàãíèòíàß âîñï èèì èâîñòü ëåêò îííîãî ãàçà, ôàêòè åñêè, îï åäåëßåòñß òîé æå ïîëß èçàöèîííîé ïåòëåé (ñì. (.4)). Òîãäà: χ (qω =)= 3g µ B n ( ) q u (.4) 8E F p F Ñîîòâåòñòâåííî, ñïèíîâàß ïëîòíîñòü s(r) íà íåêîòî îì àññòîßíèè r îò ìàãíèòíîé ï èìåñè ñî ñïèíîì S a,êîòî àß îï åäåëßåòñß âû àæåíèåì: s(r) = J g µ χ (q)e iqr S a (.4) B q áóäåò îñöèëëè îâàòü àíàëîãè íî (.4). Çäåñü J îï åäåëßåò êîíòàêòíîå îáìåííîå âçàèìîäåéñòâèå ìåæäó ï èìåñü è ëåêò îíàìè ï îâîäèìîñòè: JS a s. Åñëè òåïå ü ïîìåñòèòü â ìåòàëë ä óãó ìàãíèòíó ï èìåñü S b,òîîíàáóäåò âçàèìîäåéñòâîâàòü ñ ëåêò îíàìè ï îâîäèìîñòè àíàëîãè íûì îá àçîì, à ñîîòâåòñòâåííî âîçíèêíåò è

29 .5. Ñîáñòâåííî íå ãåòè åñêàß àñòü, ôôåêòèâíàß ìàññà è çàòóõàíèå êâàçè àñòèö.9 ôôåêòèâíîå îáìåííîå âçàèìîäåéñòâèå ñïèíîâ ï èìåñåé å åç ëåêò îíû ï îâîäèìîñòè (âçàèìîäåéñòâèå Ðóäå ìàíà Êèòòåëß Êàñóéß Èîñèäû). Ýòî âçàèìîäåéñòâèå (ÐÊÊÈ)èìååò âèä: J RKKY (r a r b )= J g µ χ (q)e iq(ra rb) J cos(p F r ab + φ) B E F rab 3 q (.43) è îñöèëëè óåò,êàê ôóíêöèß àññòîßíèß ìåæäó ï èìåñßìè r ab.èçòàêîé îñöèëëßöèîííîé ôî ìû âçàèìîäåéñòâèß ëîêàëèçîâàííûõ ñïèíîâ â ìåòàëëå âîçíèêàåò öåëûé ßä ñëåäñòâèé. Âîçíèêíîâåíèå â (.43) îáëàñòåé (â êîî äèíàòíîì ï îñò àíñòâå) ñ àçíûìè çíàêàìè (ò.å. âçàèìîäåéñòâèé ôå îìàãíèòíîãî è àíòèôå îìàãíèòíîãî òèïîâ) ï èâîäèò ê ïîßâëåíè ñëîæíûõ ìàãíèòíûõ ñò óêòó, íàï èìå â ñîåäèíåíèßõ, ñîäå æàùèõ åäêîçåìåëüíûå ëåìåíòû (ñïè àëè, ãåëèêîèäû) [6]. Åñëè æå å ü èäåò î ï èìåñßõ, ñëó àéíî àñïîëîæåííûõ â íåìàãíèòíîì ìåòàëëå, òî âçàèìîäåéñòâèå (.43) ï èâîäèò ê âîçíèêíîâåíè ñîâå åííî íåîáû íîãî ìàãíèòíîãî ñîñòîßíèß μ ñïèíîâîãî ñòåêëà [7]..5 Ñîáñòâåííî íå ãåòè åñêàß àñòü, ôôåêòèâíàß ìàññà è çàòóõàíèå êâàçè àñòèö. Âêîíå íîì èòîãå, íà åé çàäà åé ßâëßåòñß àñ åòîäíî àñòè íîé ôóíêöèè Ã èíà â ñèñòåìå ñ êóëîíîâñêèì (èëè êàêèì ëèáî ä óãèì)âçàèìîäåéñòâèåì, êîòî àß âñåãäà ìîæåò áûòü çàïèñàíà â äàéñîíîâñêîì âèäå: G(pε) = ε ε p Σ(pε) (.44) ãäå äëß ñîáñòâåííî íå ãåòè åñêîé àñòè Σ(pε) èñïîëüçóåòñßêàêîå ëèáî ï èáëèæåíèå. òî èç òîãî ìîæíî ïîëó èòü? Ìû çíàåì, òî ôóíêöèß Ã èíà ñâîáîäíûõ ëåêò îíîâ G (pε) èìååò ïîë ñ ï è ε p = p m µ. Ï åäïîëîæèì, òî è â ñèñòåìå ñ âçàèìîäåéñòâèåì ôóíêöèß Ã èíà èìååò ïîë ñíûé âèä: G(pε) ε ε p (.45) ãäå ε p ï åäñòàâëßåò ñîáîé ñïåêò ïå åíî ìè îâàííûõ êâàçè àñòèö. Ñ àâíåíèå ñ (.44)ïîêàçûâàåò, òî ñïåêò ε p îï åäåëßåòñß ó àâíåíèåì: ε ε p ReΣ(pε) = èëè ε p ε p ReΣ(p ε p )= (.46) ãäå äëß ï îñòîòû àññóæäåíèé ìû (ïîêà!) ï åíåá åãëè ImΣ, îï åäåëß ùåé çàòóõàíèå êâàçè àñòèö. Ï îâåäåì â (.44) àçëîæåíèå â îê åñòíîñòè ïîë ñà: G(pε) = Ñ ó åòîì (.46)ïå åïè åì (.47)â âèäå: ε ε p Σ(pε) = ε ε p Σ(p ε p ) Σ ε ε= ε p (ε ε p ) (.47) G(pε) = ε ε p Σ ε ε= ε p (ε ε p ) = Σ ε ε=εp ε ε p Z p ε ε p (.48)

30 3 Ãëàâà. ÝËÅÊÒÐÎÍ ÝËÅÊÒÐÎÍÍÎÅ ÂÇÀÈÌÎÄÅÉÑÒÂÈÅ ãäå ââåäåí âû åò â ïîë ñå : Z p = Σ ε (.49) ε=ε p Èíîãäà âåëè èíó Z p íàçûâà ò òàêæå ôàêòî îì ïå åíî ìè îâêè âîëíîâîé ôóíêöèè. Èç îáùèõ ñîîá àæåíèé ßñíî, òî Z p, ï è åì àâåíñòâî çäåñü èìååò ìåñòî òîëüêî äëß èäåàëüíîãî ôå ìè ãàçà. Ñïåêò àëüíàß ïëîòíîñòü, ñîîòâåòñòâó ùàß ôóíêöèè Ã èíà (.48): A(pε) =Z p δ(ε ε p ) (.5) è èìååò (êàê è â èäåàëüíîì ãàçå)âèä áåñêîíå íî óçêîãî ïèêà ï èε = ε p ( íå ãèè êâàçè àñòèöû). Ôàêòè åñêè, íå àâåíñòâî Z p <, îçíà àåò, òî â ñèñòåìå ñ âçàèìîäåéñòâèåì êâàçè àñòè íûé âêëàä â A(pε) íåñêîëüêîïîäàâëåí, íî äîïîëíèòåëüíî âîçíèêàåò ìíîãî àñòè íûé (íåêîãå åíòíûé)âêëàä â ñïåêò àëüíó ïëîòíîñòü [8], îòá î åííûé ï è ï îâåäåííîì íàìè óï îùåííîì àññìîò åíèè. Ï åíåá åæåíèå çàòóõàíèåì êâàçè àñòèö ï îßâèëîñü çäåñü â òîì, òî êâàçè àñòè íûé âêëàä â A(pε) èìååò δ îá àçíûé âèä, çàòóõàíèå (êàê ìû óâèäèì íèæå) ï èâîäèò ê ïîßâëåíè êîíå íîé è èíû òîãî ïèêà. Ï åäïîëîæèì òåïå ü, òî ñïåêò ïå åíî ìè îâàííûõ êâàçè àñòèö ìîæåò áûòü îïèñàí â ï èáëèæåíèè ôôåêòèâíîé ìàññû: Òîãäà íåò óäíî ïîëó èòü: èëè òàê òî m = ε p (p ) = ε p = p m µ (.5) ε { p Σ (p ) + (p ) + Σ ε p Σ ) + Σ = m + m ( p m } ε p (p = ) ε ε p ε= ε p (p ) ( m Σ ) ε ε= ε p = ( + Σ ) m ε p (.5) (.53) m m = Σ ε ε= ε p + Σ = (.54) Z ε p p + Σ ε p òî äàåò âàæíó ñâßçü ïå åíî ìè îâêè ìàññû m /m ñ âû åòîì â ïîë ñå ôóíêöèè Ã èíà Z p. Â ï îñòåé åì ñëó àå, êîãäà ñîáñòâåííî íå ãåòè åñêàß àñòü íå çàâèñèò îò èìïóëüñà p (èëè, òî òî æå, îò ε p ), òà ñâßçü èìååò îñîáåííî ï îñòîé âèä: m m = Z p (.55) òàê òî ôôåêòèâíàß ìàññà â ñèñòåìå ñ âçàèìîäåéñòâèåì óâåëè èâàåòñß, ïî ñ àâíåíè, ñî ñëó àåì èäåàëüíîãî ãàçà. Îáùåå ïîâåäåíèå çàòóõàíèß, ñâßçàííîãî ñ ImΣ, áóäåò ïîä îáíåå àññìîò åíî ïîçæå, íî óæå íà òîì ï îñòåé åì ó îâíå àññóæäåíèé ßñíî, òî ïîëó åííûå ôî ìóëû ïîçâîëß ò àññ èòàòü ôôåêòèâíûå õà àêòå èñòèêè ìíîãî àñòè íîé ñèñòåìû (êâàçè àñòèö), èñõîäß èç òîãî èëè èíîãî êîíê åòíîãî ï èáëèæåíèß äëß ñîáñòâåííî íå ãåòè åñêîé àñòè (ïîëó à ùåãîñß èç àññìîò åíèß êîíê åòíûõ äèàã àìì òåî èè âîçìóùåíèé).

31 .5. Ñîáñòâåííî íå ãåòè åñêàß àñòü, ôôåêòèâíàß ìàññà è çàòóõàíèå êâàçè àñòèö.3 Ðèñ..9: Ï îñòåé èå õà ò èåâñêèå äèàã àììû, îïèñûâà ùèå âçàèìîäåéñòâèå ëåêò îíîâ ìåæäó ñîáîé è ñ ïîëîæèòåëüíûì ôîíîì èîíîâ (ôóíêöèß Ã èíà èîíîâ ïîêàçàíà ïóíêòè îì). Ðèñ..: Ñîáñòâåííî íå ãåòè åñêàß àñòü ëåêò îíà â RPA ï èáëèæåíèè. Ñàìîäåéñòâèå ïîñ åäñòâîì ê àíè îâàííîãî êóëîíîâñêîãî âçàèìîäåéñòâèß. Â êà åñòâå ï èìå à, âå íåìñß ê çàäà å î ñèëüíî ñæàòîì ãàçå ëåêò îíîâ. Ðàññìîò èì ï îñòåé èå âêëàäû â ñîáñòâåííî íå ãåòè åñêó àñòü ëåêò îíà. Ôàêòè åñêè, õà ò èåâñêèå äèàã àììû ó èòûâàòü íå íàäî, îíè ñîê àùà òñß ñó åòîì âêëàäà âçàèìîäåéñòâèß ëåêò îíîâ ñ ï îñò àíñòâåííî îäíî îäíûì ôîíîì ïîëîæèòåëüíûõ èîíîâ, ââîäèìûì äëß îáåñïå åíèß ëåêò îíåéò àëüíîñòè. Â ñàìîì äåëå, àññìàò èâàß ñóììó ï îñòåé èõ äèàã àìì òàêîãî òèïà, ïîêàçàííó íà Ðèñ..9, èìååì â î åâèäíûõ îáîçíà åíèßõ: dp i (π) 4 V dp ()G(p ) i (π) 4 V ()G i(p )= dp dε =i (π) 3 π V dp dε ()G(εp ) i (π) 3 π V ()G i(εp )= [ ] dp =V () (π) 3 n dp p (π) 3 ni p =V ()(n n i )= (.56) òàê, òî ï îèñõîäèò èõ ïîëíàß êîìïåíñàöèß (ïëîòíîñòü (çà ßäà) ëåêò îíîâ n àâíà ïëîòíîñòè (çà ßäà)èîíîâ ôîíà n i ). Òàêèì îá àçîì, â RPA ï èáëèæåíèè äåëî ñâîäèòñß ê àñ åòó ã àôèêà äëß ñîáñòâåííî íå ãåòè åñêîé àñòè, ïîêàçàííîãî íà Ðèñ.., ãäå æè íàß âîëíèñòàß ëèíèß ñîîòâåòñòâóåò ôôåêòèâíîìó ( ê àíè îâàííîìó) êóëîíîâñêîìó âçàèìîäåéñòâè Ðèñ..4(b):

32 3 Ãëàâà. ÝËÅÊÒÐÎÍ ÝËÅÊÒÐÎÍÍÎÅ ÂÇÀÈÌÎÄÅÉÑÒÂÈÅ Σ(p) =i d 4 q (π) 4 V(q)G (p + q) (.57) Õîòß G (p) è V(q) èçâåñòíû òî íî, ñîîòâåòñòâó ùèå èíòåã è îâàíèß âåñüìà ã îìîçäêè è ìû èõ îïóñêàåì, ï èâîäß ëè ü îêîí àòåëüíûå îòâåòû (J.J.Quinn, R.A.Ferrell, 958)[5]. Îêàçûâàåòñß, òî íå ãèß êâàçè àñòèö, îòñ èòàííàß îò ó îâíß Ôå ìè E F, â àññìàò èâàåìîì ï èáëèæåíèè èìååò âèä: ε p = E F { p p F.66r s [ p p F (ln r s +.3) + ln r s.8 ]} E F (.58) Äëß çàòóõàíèß êâàçè àñòèö â òîì ï èáëèæåíèè ïîëó àåòñß: ( ) p γ p = E F (.5rs / ) (.59) p F òàê òî îíî ìàëî ï è p p F, â ñìûñëå âûïîëíåíèß íå àâåíñòâà ε p γ p, òî íàõîäèòñß â ïîëíîì ñîîòâåòñòâèè ñ îáùèìè âûâîäàìè ôåíîìåíîëîãè åñêîé òåî èè ôå ìè æèäêîñòè Ëàíäàó [, 9, ]. Ýòî îáñòîßòåëüñòâî è ïîçâîëßåò ãîâî èòü î õî î î îï åäåëåííûõ êâàçè àñòèöàõ âáëèçè ïîâå õíîñòè Ôå ìè. Èç (.58)è (.59) ßñíî, òî â RPA ï èáëèæåíèè ïîíßòèå êâàçè àñòèöû èìååò ñìûñë òîëüêî â îáëàñòè ε p <E F /5. Èç (.58) íåñëîæíî ïîëó èòü è âû àæåíèå äëß ôôåêòèâíîé ìàññû ëåêò îíà: m = ε p p F p p=p F = m [.83r s(ln r s +.3)] (.6) Êàê èçâåñòíî, ëåêò îííàß òåïëîåìêîñòü ï îïî öèîíàëüíà m.òîãäà èç (.6)ñëåäóåò åçóëüòàò, âïå âûå ïîëó åííûé Ãåëë Ìàííîì (957)[5]: c c =+.83r s (ln r s +.3) (.6) ãäå c òåïëîåìêîñòü èäåàëüíîãî ôå ìè ãàçà. Â çàêë åíèå íàïîìíèì, òî âñå âûïèñàííûå åçóëüòàòû ñï àâåäëèâû äëß ñèëüíî ñæàòîé ñèñòåìû ëåêò îíîâ, êîãäà r s. Â åàëüíûõ ìåòàëëàõ <r s < 5, òàê òî ïîëüçîâàòüñß RPA ï èáëèæåíèåì íàäî ñ îñòî îæíîñòü!.6 Ýôôåêò Ðóäå ìàíà Êèòòåëß. Âå íåìñß ê áîëåå äåòàëüíîìó àññìîò åíè ôôåêòà Ðóäå ìàíà Êèòòåëß [3]. Ïóñòü èìååòñß ëîêàëèçîâàííûé (â íà àëå êîî äèíàò)ñïèí S, îê óæåííûé èäåàëüíûì ôå ìè ãàçîì ëåêò îíîâ, è âçàèìîäåéñòâó ùèé ñ èõ ëîêàëüíîé ñïèíîâîé ïëîòíîñòü ïîñ åäñòâîì êîíòàêòíîãî (òî å íîãî)âçàèìîäåéñòâèß âèäà: H int = J drs i δ(r)ψ + (r)ˆσ i ψ(r) (.6) Ñ èòàß îáìåííûé èíòåã àë J ìàëûì, ïîïûòàåìñß íàéòè ïîëß èçàöè ëåêò îííûõ ñïèíîâ: σ i (r) =<ψ + (r)ˆσ i ψ(r) > (.63) êàê ôóíêöè àññòîßíèß r îò ñïèíà S. Ï îâåäåì ñíà àëà àññìîò åíèå ï è T =. Âûïè åì ñíà àëà ôóíêöè Ã èíà ñâîáîäíîãî ëåêò îíà â êîî äèíàòíîì ï åäñòàâëåíèè. Â ìåòîäè åñêèõ öåëßõ, è

33 .6. Ýôôåêò Ðóäå ìàíà Êèòòåëß. 33 òîáû îöåíèòü òî íîñòü àñòî èñïîëüçóåìûõ ï èáëèæåíèé, ï îäåëàåì òî äâóìß ñïîñîáàìè. Íà íåì ñ èíòåã è îâàíèß ïî óãëàì: G(ε, r) = π dpp sin θdθ π ε ξ(p)+iδsignε = = dpp sin pr π r ε ξ(p)+iδsignε e ipr cos θ (.64) Ïå âûé è ï îñòåé èé ñïîñîá äàëüíåé åãî âû èñëåíèß μ ïå åéòè îò èíòåã è îâàíèß ïî p ê èíòåã è îâàíè ïî ëèíåà èçîâàííîìó (âáëèçè ïîâå õíîñòè Ôå ìè) ñïåêò ó ξ è âçßòü èíòåã àë âû åòàìè: G(ε, r) dξ sin(p F + ξ/v F )r π p F r v F ε ξ + iδsignε = m πr eir(signεpf + ε /vf ) (.65) Âèäèì, òî ôóíêöèß Ã èíà îñöèëëè óåò ñ ïå èîäîì àâíûì ôå ìèåâñêîé äëèíå âîëíû λ F = π p F. Èç-çà ôôåêòîâ ôå ìèåâñêîé ñòàòèñòèêè ôàçà òèõ îñöèëëßöèé ìåíßåò çíàê íà ó îâíå Ôå ìè (ï è ε =). Âòî îé ñïîñîá ñîñòîèò â òîì, òîáû âûïîëíèòü èíòåã è îâàíèå ïî p òî íî. Ïîëüçóßñü åòíîñòü ïîäèíòåã àëüíîãî âû àæåíèß â (.64), àñï îñò àíèì èíòåã àë ïî p íà âñ âåùåñòâåííó îñü è ïîäåëèì ïîïîëàì, òàê òî: G(ε, r) = 4π r dpp sin pr ε p m + E F + iδsignε (.66) Ðàçëàãàß çäåñü ïîäèíòåã àëüíîå âû àæåíèå íà ï îñòåé èå ä îáè, ï îâîäèì èíòåã è îâàíèå è ïîëó àåì: G(ε, r) = m [ 4π dp sin pr r κ p ] = m κ + p πr eisignεκr (.67) ãäå κ = m(ε + E F + iδsignε). Ñ àâíèâàß ñ (.65)âèäèì, òî óï îùåííûé ñïîñîá èíòåã è îâàíèß ïî ξ äàåò õî î ó òî íîñòü ï è ε E F, ò.å. ï è àññìîò åíèè íåïîñ åäñòâåííîé îê åñòíîñòè ïîâå õíîñòè Ôå ìè. Ïå åéäåì òåïå ü ê àñ åòó ñïèíîâîé ïîëß èçàöèè (.63). Çàïè åì òî âû àæåíèå å åç òî íó ôóíêöè Ã èíà (ó èòûâà ùó âçàèìîäåéñòâèå ëåêò îíîâ ñ ëîêàëèçîâàííûì ñïèíîì): ˆσ i (r) = i lim t t+r=r Spˆσi G(rt; r t ) (.68) ïó çäåñü âû èñëßåòñß ïî ñïèíîâûì èíäåêñàì ˆσ i è G. Ôóíêöè Ã èíà G âîçüìåì â ïå âîì ïî ßäêå ïî âçàèìîäåéñòâè (.6): G () αβ (ε, r, r )= σ i αβ G (εr)g (ε, r )JS i (.69) Òîãäà ïîäñòàâëßß (.69)â (.68)è ó èòûâàß Spσ i σ j =δ ij, ïîëó èì: σ i (r) =ijs i dε π G (εr) (.7)

34 34 Ãëàâà. ÝËÅÊÒÐÎÍ ÝËÅÊÒÐÎÍÍÎÅ ÂÇÀÈÌÎÄÅÉÑÒÂÈÅ òî ôàêòè åñêè ñîâïàäàåò ñ âûïèñàííûì âû å âû àæåíèåì (.4). Âîñïîëüçóåìñß çäåñü âû àæåíèåì (.65)è íàéäåì (äëß p F r ): dε π G (εr) = ( m ) dε (e ) iε ipf r+ v r iε ipf r+ F v r + e F = π πr = i mp F cos p F r (.7) (π) 3 r 3 òàê òî äëß ñïèíîâîé ïëîòíîñòè ïîëó àåì ìåäëåííî çàòóõà ùèå îñöèëëßöèè ñ ïå- èîäîì π/p F : σ i (r) = JS i mp F cos p F r (.7) 4π 3 r 3 Áîëåå àêêó àòíîå âû àæåíèå äëß ñïèíîâîé ïëîòíîñòè â òî êå r ìîæíî ïîëó èòü, èñïîëüçóß òî íó r çàâèñèìîñòü ôóíêöèè Ã èíà (.67) è ï îèíòåã è îâàâ åå êâàä àò â (.7) ïî ε. Òîãäà ïîëó àåòñß: σ i (r) = JS i mp4 F cos pf r π 3 (p F r) 3 sin p F r (.73) (p F r) 4 Â àñèìïòîòè åñêîì ï åäåëå p F r âû àæåíèå (.73) âñå áîëåå ï èáëèæàåòñß ê (.7), òî ñîãëàñóåòñß ñ èäåîëîãèåé èíòåã è îâàíèß ïî ξ. Îòìåòèì åùå, òî ñèíãóëß íîñòü òî íîãî âû àæåíèß (.73) ï è ìàëûõ r èìååò õà àêòå /r. Ïî òîìó ï è âçßòèè èíòåã àëà ïî d 3 r àñõîäèìîñòè ïîëíîé ïîëß èçàöèè íå âîçíèêàåò. Âû àæåíèå (.7) áîëåå ñèíãóëß íî ï è r, îäíàêî â òîé îáëàñòè îíî íåï èìåíèìî, ïîñêîëüêó èíòåã è îâàíèå ïî ξ ãà àíòè óåò ï àâèëüíîñòü îòâåòà ëè ü íà áîëü- èõ àññòîßíèßõ. Ï îâåäåì òåïå ü àíàëîãè íîå àññìîò åíèå äëß ñëó àß êîíå íûõ òåìïå àòó. Ñíîâà âû èñëèì ñâîáîäíó (ìàöóáà îâñêó!)ôóíêöè Ã èíà â êîî äèíàòíîì ï åäñòàâëåíèè, àíàëîãè íî (.65): = ν F ipr G(ε n r)= d 3 p (π) 3 ( e ipr iε n ξ(p) = ν sin F dξ pr dξ ei(pf +ξ/vf )r i(pf +ξ/vf )r e iε n ξ ) p F + ξ v F r iε n ξ = m πr ei(pf +iεn/vf )rsignεn (.74) Òî íî òàêæå, êàê è âû å, âû àçèì ïëîòíîñòü ñïèíà å åç òî íó ôóíêöè Ã èíà. Âñå âûêëàäêè îòëè à òñß ëè ü çàìåíîé i òóò è òàì íà. Â èòîãå èìååì: òî äàåò: σ i (r) = JS i T σ i (r) = JS i T ε n G (ε n,r) (.75) { ( m ) ipf r εnr/vf e + } e ipf r+εnr/vf πr ε n> ε n< Ñóììû ïî àñòîòàì âû èñëß òñß ëåìåíòà íî è ìû ïîëó àåì: = (.76) σ i (r) = JS i m T π r cos p F r sh πtr v F (.77) Ï è T òî âû àæåíèå ïå åõîäèò â ïîëó åííîå àíåå. Äëèíà, íà êîòî îé ï îèñõîäèò çàòóõàíèå îñöèëëßöèé, îêàçûâàåòñß òåïå ü àâíîé vf πt (ñ. à ãóìåíò ãèïå áîëè åñêîãî ñèíóñà!). Òàêèì îá àçîì, ï è êîíå íûõ òåìïå àòó àõ, îñöèëëßöèè ÐÊÊÈ ñîõ àíß òñß íà àññòîßíèßõ, íå ï åâû à ùèõ òåïëîâó äëèíó l T = vf T è êñïîíåíöèàëüíî ìàëû ï è r>l T.

35 .7. Ëèíåéíûé îòêëèê Ëèíåéíûé îòêëèê. Çàäà à âû èñëåíèß ëèíåéíîãî îòêëèêà ìíîãî àñòè íîé ñèñòåìû íà âíå íåå âîçìóùåíèå ßâëßåòñß îäíîé èç öåíò àëüíûõ â òåî èè êîíäåíñè îâàííîãî ñîñòîßíèß. Ïîñìîò èì, êàê òà çàäà à å àåòñß â àìêàõ ôî ìàëèçìà ôåéíìàíîâñêèõ (ìàöóáà îâñêèõ)ôóíêöèé Ã èíà. Âå íåìñß ê àññìîò åíè äè ëåêò è åñêîé ï îíèöàåìîñòè. Ñò îãî ãîâî ß, ï îíèöàåìîñòü, îï åäåëåííàß â (.8), íå ßâëßåòñß ôóíêöèåé îòêëèêà! Îíà, â àñòíîñòè, íå îáëàäàåò ï àâèëüíûìè àíàëèòè åñêèìè ñâîéñòâàìè, ïîñêîëüêó (ñì. (.4)) ó íåå èìå òñß îñîáåííîñòè è â ïîëóïëîñêîñòè Imω >, åãî íå äîëæíî áûòü. Ýòî æå âèäíî è èç (.8), ãäå, â çàâèñèìîñòè îò çíàêîâ ξ + è ξ ïîë ñ ïî ω ìîæåò îêàçàòüñß â âå õíåé ïîëóïëîñêîñòè, â íèæíåé, èëè íà âåùåñòâåííîé îñè. Ýòî àâòîìàòè åñêè ï èâîäèò ê íà ó åíè ï èíöèïà ï è èííîñòè (ñîîòíî åíèé Ê àìå ñà Ê îíèãà)[]. Äåëî çäåñü â òîì, òî ï è âû èñëåíèè ïîëß èçàöèîííîé ïåòëè (ï è T =)èñïîëüçó òñß ï è èííûå (ôåéíìàíîâñêèå)ôóíêöèè Ã èíà, ñîîòâåòñòâåííî Π( ω) =Π(ω), òîãäà êàê îáîáùåííàß âîñï èèì èâîñòü (çàïàçäûâà ùàß ôóíêöèß îòêëèêà)äîëæíà óäîâëåòâî ßòü óñëîâè χ( ω) =χ (ω).ïî òîìó,çàäà à âû èñëåíèß ï àâèëüíûõ ôóíêöèé îòêëèêà ò åáóåò ñïåöèàëüíîãî îáñóæäåíèß. Ñòàíäà òíûé ìåòîä àáîòû ñ âîñï èèì èâîñòßìè èñïîëüçóåò òåìïå àòó íó òåõíèêó è ïîñëåäó ùåå àíàëèòè åñêîå ï îäîëæåíèå ñ ìíèìûõ äèñê åòíûõ àñòîò íà äåéñòâèòåëüíûå âåùåñòâåííûå, òî, êàê ï àâèëî, è äàåò ñîîòâåòñòâó ùó çàïàçäûâà ùó ôóíêöè Ã èíà (âîñï èèì èâîñòü). Êàê òî äåëàåòñß âäîñòàòî íî îáùåì âèäå ìû åùå óâèäèì, íî åñëè àññìàò èâàåòñß ñèñòåìà íåâçàèìîäåéñòâó ùèõ àñòèö, òî àíàëèç ñóùåñòâåííî óï îùàåòñß [3]. Âîñï èèì èâîñòü âåëè èíû A ïî îòíî åíè ê âåëè èíå B (ãäå A è B íåêîòî- ûå êâàíòîâûå îïå àòî û)äàåòñß ôî ìóëîé Êóáî [, ]: χ AB (ω) =i dte iωt < [Â(t), ˆB()] > (.78) Ñòîßùèé çäåñü êîììóòàòî (óñ åäíåííûé ïî îñíîâíîìó ñîñòîßíè èëè ïî Ãèááñó) ï åäñòàâëßåò ñîáîé âêëàä îò ñîîòâåòñòâó ùåé çàïàçäûâà ùåé äâóõâ åìåííîé ôóíêöèè Ã èíà Áîãîë áîâà Òßáëèêîâà [, ] 3. òîáû íàéòè ñ åäíåå ïî â åìåíè îò òîãî êîììóòàòî à ïî îñíîâíîìó ñîñòîßíè (T =)ñèñòåìû íåâçàèìîäåéñòâó- ùèõ àñòèö, çàïè åì îïå àòî û Â è ˆB â ï åäñòàâëåíèè âòî è íîãî êâàíòîâàíèß, èñïîëüçóß èçâåñòíûå (ïî ï åäïîëîæåíè!)ñîáñòâåííûå ôóíêöèè ψ m è ñîáñòâåííûå çíà åíèß (ó îâíè) íå ãèè E m íà åé ñèñòåìû 4 : Â(t) = mk A mk â + mâke i(e k E m)t (.79) ˆB(t) = mk B mk â + mâ k e i(e k E m)t (.8) ãäå A mk è B mk ñîîòâåòñòâó ùèå ìàò è íûå ëåìåíòû íà èõ îïå àòî îâ ïî ôóíêöèßì ψ m è ψ k,àâ + m, â k ôå ìèåâñêèå îïå àòî û îæäåíèß è óíè òîæåíèß â ñîîò- 3 Âõîäßùàß â îï åäåëåíèå òîé ôóíêöèè θ(t) ï èâåëà ê âîçíèêíîâåíè â (.78) èíòåã àëà ïî â åìåíè îò t =äî t =. 4 Íàï èìå äëß èäåàëüíîãî ôå ìè - ãàçà μ òî ï îñòî ïëîñêèå âîëíû, äëß òàêîãî æå ãàçà âî âíå íåì ìàãíèòíîì ïîëå μ òî ó îâíè Ëàíäàó, äëß ëåêò îíà â ñëó àéíîì ïîòåíöèàëüíîì ïîëå μ òî âñåãäà ñóùåñòâó ùèå (íî íåèçâåñòíûå íàì!) òî íûå âîëíîâûå ôóíêöèè è ó îâíè íå ãèè ëåêò îíà äëß êîíê åòíîé åàëèçàöèè òîãî ñëó àéíîãî ïîëß, è ò.ï.

36 36 Ãëàâà. ÝËÅÊÒÐÎÍ ÝËÅÊÒÐÎÍÍÎÅ ÂÇÀÈÌÎÄÅÉÑÒÂÈÅ âåòñòâó ùèõ ñîñòîßíèßõ. Ïîäñòàâëßß òè âû àæåíèß â < [Â(t), ˆB()] > è íåïîñ åäñòâåííî âû èñëßß êîììóòàòî, èñïîëüçóß òåî åìó Âèêà, ïîëó àåì: χ AB (ω) = mk A mk B km n(e m ) n(e k ) E k E m ω iδ (.8) ãäå n(e k )=< â + k âk > ñîîòâåòñòâó ùàß ôóíêöèß Ôå ìè. Â ñëó àå, êîãäà ñîáñòâåííûå ôóíêöèè íåèçâåñòíû (íàï èìå, êîãäà å ü èäåò îá ó îâíßõ â êîíê åòíîé åàëèçàöèè ñëó àéíîãî ïîòåíöèàëà), ïîëåçíî âû àçèòü âîñï èèì èâîñòü å åç ëåêò îííûå ôóíêöèè Ã èíà. Íàïîìíèì, â ñâßçè ñ òèì, îï åäåëåíèß çàïàçäûâà ùåé è îïå åæà ùåé ôóíêöèé Ã èíà G R (ε) è G A (ε). Ýòè ôóíêöèè ñâßçàíû ñ ï è èííîé (ôåéíìàíîâñêîé)ôóíêöèåé Ã èíà ñëåäó ùèì îá àçîì []: { G(t, t G )= R (t, t ) t>t (.8) G A (t, t ) t<t Ïîñëå ôó üå ï åîá àçîâàíèß: G R(A) (εp) = ε ξ(p) ± iδ òàê òî â ôåéíìàíîâñêîé ôóíêöèè Ã èíà âîçíèêà ò âêëàäû îò àñòèö è äû îê: ãäå G(εp) =( n(p))g R (εp)+n(p)g A (εp) = = n(p) ε ξ(p)+iδ + n(p) ε ξ(p) iδ n(p) = (.83) (.84) { p pf p>p F (.85) ôå ìèåâñêîå àñï åäåëåíèå ï è T =. òîáû âû àçèòü âîñï èèì èâîñòü å åç G R (ε) è G A (ε), ï åäñòàâèì íå ãåòè åñêèé çíàìåíàòåëü â (.8)â âèäå èíòåã àëà ïî âñïîìîãàòåëüíîé ïå åìåííîé: E k E m ω iδ = πi dε (ε ω E m iδ)(ε E k + iδ) = = πi dεg A m (ε ω)gr k (ε) (.86) Ïîäñòàâëßß òî âû àæåíèå â (.8), ïîëó àåì îáùåå îïå àòî íîå âû àæåíèå äëß âîñï èèì èâîñòè: χ AB (ω) = πi dεsp([ĝr (ε) ˆB,ĜA (ε ω)â]ˆρ) (.87) ãäå ˆρ ìàò èöà ïëîòíîñòè (â äèàãîíàëüíîì ï åäñòàâëåíèè èìååì ρ mk = n(e m )δ mk ). Îñíîâíîå ï åèìóùåñòâî âû àæåíèß (.87) ïî ñ àâíåíè ñ (.8) â òîì, òî îíî âå íî â ï îèçâîëüíîì áàçèñå è, ïî òîìó, ìîæåò áûòü èñïîëüçîâàíî äàæå åñëè òî íûå îäíî àñòè íûå ôóíêöèè íåèçâåñòíû. Ï îâåäåííîå âû å àññìîò åíèå èñïîëüçîâàëî òåõíèêó T =. Ï è T > ñëåäóåò èñïîëüçîâàòü ìàöóáà îâñêó òåõíèêó. Ìîæåò ïîêàçàòüñß, òî äëß àññìîò åíèß äèíàìèêè â åàëüíîì â åìåíè t ( òî ò åáóåòñß äëß àñ åòà (.78)) ìàöóáà îâñêèé

37 .7. Ëèíåéíûé îòêëèê. 37 ôî ìàëèçì áåñïîëåçåí, ïîñêîëüêó â íåì ìû èìååì äåëî ñ ìíèìûì â åìåíåì τ. Òåì íå ìåíåå, êàê ìû ñåé àñ óâèäèì, ñ ïîìîùü ìàöóáà îâñêîé òåõíèêè àññ èòàòü ëèíåéíûé îòêëèê äîñòàòî íî ëåãêî. Ââåäåì òàê íàçûâàåìó ìàöóáà îâñêó âîñï èèì èâîñòü (ω m =πmt): χ (M) AB (ω m)= β dτ < T τ Â(τ) ˆB() >e iωmτ (.88) β Îêàçûâàåòñß [], òî ìîæíî ñôî ìóëè îâàòü ñëåäó ùåå çàìå àòåëüíîå óòâå æäåíèå: Ôóíêöèß χ (M) AB (ω m), àíàëèòè åñêè ï îäîëæåííàß ñ äèñê åòíîãî ìíîæåñòâà òî- åê íà ïîëîæèòåëüíîé ìíèìîé ïîëóîñè ω = iω n (n>), íà âåùåñòâåííó îñü Imω =, äàåò â òî íîñòè èíòå åñó ùó íàñ χ AB (ω). Ýòà òåî åìà ïîçâîëßåò íàõîäèòü âîñï èèì èâîñòü χ AB (ω) ñ ïîìîùü χ (M) AB (ω m), êîòî ó ìîæíî âû èñëßòü ñ ïîìîùü ìàöóáà îâñêîé äèàã àììíîé òåõíèêè.  îòñóòñòâèå âçàèìîäåéñòâèß, ìàöóáà îâñêàß âîñï èèì èâîñòü äàåòñß âñåãî îäíîé äèàã àììîé μ ïåòëåé (èëè ïîëß èçàöèîííûì îïå àòî îì) ñ îïå àòî àìè Â è ˆB â âå èíàõ.  òåõíèêå T =âîñï èèì èâîñòü è ïîëß èçàöèîííûé îïå àòî èìå ò àçíûå àíàëèòè åñêèå ñâîéñòâà. Íî ñîãëàñíî ï èâåäåííîé òåî åìå, äëß ïîëó åíèß âîñï èèì èâîñòè äîñòàòî íî âû èñëèòü ïîëß èçàöèîííó ïåòë ñ ìàöóáà îâñêèìè ôóíêöèßìè à èíà, à çàòåì ï àâèëüíî ï îäîëæèòü åå íà âåùåñòâåííûå àñòîòû. Äîêàæåì òåïå ü íà å îñíîâíîå óòâå æäåíèå. Ìû äîëæíû àññ èòàòü êóáîâñêó âîñï èèì èâîñòü: χ AB (ω) =i dte iωt < [Â(t), ˆB()] > (.89) ãäå <... >= Sp(e βh...)/sp(e βh ) óñ åäíåíèå ïî Ãèááñó, Â(t) = e ith Âe ith îïå àòî â ãåéçåíáå ãîâñêîì ï åäñòàâëåíèè. Íåò óäíî âèäåòü, òî (.89)ìîæíî çàïèñàòü êàê: χ AB (ω) = i Z dte iωt e (e βen iωnmt <n  m ><m ˆB n > mn e iωnmt <n ˆB m ) ><m  n > (.9) ãäå ω nm = E n E m, Z = Spe βh, ï è åì n è m çäåñü íóìå ó ò òî íûå ó îâíè ìíîãî àñòè íîé ñèñòåìû (ñ ó åòîì âçàèìîäåéñòâèß!). Ïå åñòàâëßß âî âòî îì ëåíå ñóììû èíäåêñû m è n è èíòåã è óß ïî t, ïîëó àåì: χ AB (ω) = Z mn e βen e βem ω nm ω iδ <n A m ><m B n > (.9) Ìíèìàß àñòü iδ âîçíèêëà çäåñü èç-çà ìíîæèòåëß e δt, êîòî ûé íàäî äîáàâèòü â ôî ìàëüíî àñõîäßùèéñß èíòåã àë ïî t äëß îáåñïå åíèß åãî ñõîäèìîñòè. Òåïå ü âû èñëèì àíàëîãè íûì îá àçîì ìàöóáà îâñêèé îòêëèê: χ (M) AB (ω m)= β dτe iωmτ <T τ Â(τ) ˆB() > (.9) β

38 38 Ãëàâà. ÝËÅÊÒÐÎÍ ÝËÅÊÒÐÎÍÍÎÅ ÂÇÀÈÌÎÄÅÉÑÒÂÈÅ ãäå Â(τ) =eτh Âe τh. Èìååì: χ (M) AB (ω m)= Z + Z β dτe iωmτ e βen e ωnmτ <n A m ><m B n >+ mn dτe iωmτ e βen e ωnmτ <n B m ><m A n > (.93) β mn Îïßòü ìåíßß ìåñòàìè èíäåêñû âî âòî îé ñóììå, ñ ó åòîì ω m β =πm, è âûïîëíßß èíòåã è îâàíèå ïî τ, ïîëó àåì: χ (M) AB (ω m)= e βen e βem <n A m ><m B n > (.94) Z ω mn mn iω m Òåïå ü âñå ãîòîâî! Âîñï èèì èâîñòü χ AB (ω) ï åäñòàâëßåò ñîáîé àíàëèòè åñêó ôóíêöè ω â âå õíåé ïîëóïëîñêîñòè àñòîòû. Ýòî åñòü ñëåäñòâèå òîãî, òî îíà ï åäñòàâëßåò ñîáîé ï åîá àçîâàíèå Ôó üå îò ôóíêöèè, îòëè íîé îò íóëß ëè ü ï è t> []. Çíà èò åå ìîæíî ï îäîëæèòü ñ âåùåñòâåííîé îñè íà ìíèìó ïîëîæèòåëüíó ïîëóîñü. Ï è òîì â òî êàõ ω m =πmt îíà ñîâïàäåò ñ χ (M) AB, òî î åâèäíî èç ï ßìîãî ñ àâíåíèß (.9)è (.94). Ï åäïîëîæèì, òî ñóùåñòâóåò àíàëèòè åñêîå ï îäîëæåíèå χ (M) AB ñ âå õíåé ìíèìîé ïîëóîñè íà âñ âå õí ïîëóïëîñêîñòü ω. Òîãäà òî àíàëèòè åñêîå ï îäîëæåíèå äîëæíî ñîâïàñòü ñ χ AB (ω),ïîñêîëüêó, ñîãëàñíî èçâåñòíîé òåî åìå òåî èè ôóíêöèé êîìïëåêñíîãî ïå åìåííîãî, äâå ôóíêöèè, àíàëèòè åñêèå â íåêîòî îé îáëàñòè êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè è ñîâïàäà ùèå íà áåñêîíå íîì ìíîæåñòâå äèñê åòíûõ òî åê (èìå ùåì ï åäåëüíó òî êó, m ), ñîâïàäà ò âî âñåé îáëàñòè. Çàìåòèì, òî è ñëó àé T =èíîãäà óäîáíåå àññìàò èâàòü â ìàöóáà îâñêîé òåõíèêå. Ï è òîì ï îèñõîäèò ïå åõîä îò ñóììè îâàíèß ïî ìàöóáà îâñêèì ê èíòåã è îâàíè ïî íåï å ûâíûì (ìíèìûì) àñòîòàì, ïîñêîëüêó ï è T òî êè iω m ñëèâà òñß â ìíèìó îñü íà ïëîñêîñòè êîìïëåêñíîé ïå åìåííîé ω, ñîîòâåòñòâåííî T m... dω π... Ï è òàêîì ñïîñîáå âû èñëåíèé íå âîçíèêàåò ñëîæíîñòåé ñ îáõîäîì ïîë ñîâ ôóíêöèé Ã èíà, ïîñêîëüêó íàï àâëåíèå îáõîäà îêàçûâàåòñß ï àâèëüíûì àâòîìàòè åñêè. Ïîñìîò èì êàê âñå òî àáîòàåò íà ï èìå å âû èñëåíèß ïîëß èçàöèîííîãî îïå àòî à ãàçà ñâîáîäíûõ ëåêò îíîâ è, ñîîòâåòñòâåííî, äè ëåêò è åñêîé ï îíèöàåìîñòè (ôóíêöèè îòêëèêà!)â RPA ï èáëèæåíèè. Èìååì: Π (M) (ω m, q) =T n d 3 p (π) 3 G(ε np)g(ε n + ω m, p + q) (.95) Ñíà àëà âûïîëíèì ñóììè îâàíèå ïî ε n. Ï åäñòàâèì èíòå åñó ùó íàñ ñóììó â ñëåäó ùåì âèäå: = T n T iε n n + iω m ξ(p + q) iε n ξ(p) = ( ) iω m ξ(p + q)+ξ(p) iε n ξ(p) iε n + iω m ξ(p + q) (.96) Âî âòî îì ñëàãàåìîì ìîæíî òåïå ü ñäåëàòü ñäâèã ïå åìåííîé ñóììè îâàíèß n n m, ï è êîòî îì èç íåãî èñ åçíåò ω m. Â êàæäîì èç ñëàãàåìûõ â ñêîáêàõ âåùåñòâåííàß àñòü ñóììû ñõîäèòñß, à ìíèìàß ôî ìàëüíî àñõîäèòñß. Â òîæå â åìß

39 .7. Ëèíåéíûé îòêëèê. 39 òà ìíèìàß àñòü íå åòíà ïî n, à ïîòîìó ñîê àùàåòñß ï è ñóììè îâàíèè ëåíîâ ñ ï îòèâîïîëîæíûìè n. Ñëåäîâàòåëüíî, íàì äîñòàòî íî âû èñëèòü ñóììó: S(ξ) =T n ξ ε n + ξ (.97) Åå ìîæíî âû èñëèòü ñ ïîìîùü èçâåñòíîãî òîæäåñòâà 5 : Òîãäà: n= (n +) π + x = x thx (.99) S(ξ) = th ξ T = n(ξ) (.) ãäå n(ξ) =(e ξ T +) ôóíêöèß Ôå ìè. Â åçóëüòàòå ïîëó àåì òîæäåñòâî, êîòî îå î åíü óäîáíî èñïîëüçîâàòü ï è âû èñëåíèè ïîëß èçàöèîííîãî îïå àòî à è ä óãèõ âîñï èèì èâîñòåé â ôå ìè ãàçå: T n n(ξ(p + q)) n(ξ(p)) = (iε n + iω m ξ(p + q))(iε n ξ(p)) iω m ξ(p + q)+ξ(p) (.) Èñïîëüçóß òî òîæäåñòâî â (.95), ïîëó àåì: Π (M) (ω m q)= d 3 p (π) 3 n(ξ(p + q)) n(ξ(p)) iω m ξ(p + q)+ξ(p) (.) Ðàññìîò èì òåïå ü ï åäåë T =. Â òîì ñëó àå èìååì n(ξ) =θ( ξ). Ïå åéäåì îáû íûì îá àçîì ê èíòåã è îâàíè ïî ξ è àññìîò èì ìàëûå q p F.Òîãäà èìååì: Π (M) d 3 p n vq dω (ω m q)= (π) 3 ξ(p) iω m vq =ν v F q F (.3) 4π iω m v F q Âû èñëßß èíòåã àë ïî óãëàì òàêæå, êàê òî áûëî ñäåëàíî â (.), ïîëó àåì: { Π (M) (ω m q)= ν F + iω m v F q ln iω } m v F q (.4) iω m + v F q Äëß òîãî, òîáû àíàëèòè åñêè ï îäîëæèòü òî âû àæåíèå íà âåùåñòâåííó îñü àñòîòû, äîñòàòî íî ñäåëàòü çàìåíó iω m ω + iδ. Â åçóëüòàòå ïîëó èì: { Π R (ω + iδq) = ν F + ω v F q ln ω v } F q + iδ (.5) ω + v F q + iδ òî è îï åäåëßåò äè ëåêò è åñêó ï îíèöàåìîñòü ëåêò îííîãî ãàçà â RPA ï èáëèæåíèè (êàê ôóíêöè îòêëèêà íà âíå íåå ëåêò è åñêîå ïîëå). 5 Ýòó ôî ìóëó ìîæíî ïîëó èòü, íàïèñàâ ρ ff (n +) π + x = x x + iπ(n +) + = x iπ(n +) Z = dze xz [e iπ(n+)z + e iπ(n+)z ] (.98) x è ï îñóììè îâàâ ï îã åññè ïîä çíàêîì èíòåã àëà.

40 4 Ãëàâà. ÝËÅÊÒÐÎÍ ÝËÅÊÒÐÎÍÍÎÅ ÂÇÀÈÌÎÄÅÉÑÒÂÈÅ Îòäåëßß â (.5)äåéñòâèòåëüíó è ìíèìó àñòè (è ìåíßß îáùèé çíàê), ïîëó- àåì ôóíêöè îòêëèêà ïëîòíîñòü ïëîòíîñòü â âèäå: { Reχ(ωq) =ν F + ω } v F q ln ω v F q ω + v F q (.6) ω Imχ(ωq) =πν F v F q θ(v F q ω ) (.7) Âîòëè èå îò àíàëîãè íîãî âû àæåíèß (.4)(âîçíèê åãî èç äèàã àìì ôåéíìàíîâñêîé òåõíèêè ï è T =), çäåñü âûïîëíåíû âñå ò åáîâàíèß àíàëèòè íîñòè, íàëàãàåìûå íà ôóíêöèè îòêëèêà [] 6.  àñòíîñòè, âûïîëíßåòñß ñîîòíî åíèå Ê àìå ñà Ê îíèãà: χ(ω) = dω Imχ(ω ) (.8) π ω ω iδ Òàêèì îá àçîì, äè ëåêò è åñêàß ï îíèöàåìîñòü ñèñòåìû, àññìàò èâàåìàß êàê ôóíêöèß îòêëèêà, îï åäåëßåòñß êàê: ɛ(qω) =+ 4πe χ(qω) (.9) q ãäå χ(qω) çàïàçäûâà ùàß ôóíêöèß îòêëèêà ïëîòíîñòü ïëîòíîñòü [], ïîëó- à ùàßñß (ñ òî íîñòü äî çíàêà) àíàëèòè åñêèì ï îäîëæåíèåì ìàöóáà îâñêîãî ïîëß èçàöèîííîãî îïå àòî à. Äè ëåêò è åñêàß ï îíèöàåìîñòü íåïîñ åäñòâåííî îï åäåëßåò è ï îâîäèìîñòü ñèñòåìû []: σ(qω) = iω ie ( ɛ(qω)) = ωχ(qω) (.) 4π q  ñàìîì äåëå, ïëîòíîñòü òîêà, âîçíèêà ùåãî â ñèñòåìå ïîä äåéñòâèåì ëåêò è åñêîãî ïîëß E = ϕ (ϕ ñêàëß íûé ïîòåíöèàë) àâíà: j(qω) =σ(qω)e(qω) = iσ(qω)qϕ(qω) (.) Çàêîí ñîõ àíåíèß çà ßäà èìååò âèä: e n(rt)+ j(rt) = (.) t èëè â ôó üå êîìïîíåíòàõ: iωeδn(qω) +iqj(qω) = (.3) ãäå δn îòêëîíåíèå ïëîòíîñòè îò ï îñò àíñòâåííî îäíî îäíîãî àâíîâåñíîãî çíà åíèß n. Ýòî îòêëîíåíèå îï åäåëßåòñß â òåî èè ëèíåéíîãî îòêëèêà êàê []: δn(qω) =eχ(qω)ϕ(qω) (.4) Êîìáèíè óß (.) (.4), íåìåäëåííî ïîëó àåì (.).  êñïå èìåíòå îáû íî èìååì äåëî ñ ï åäåëîì q (îäíî îäíîå âíå íåå ïîëå). Òîãäà ï îâîäèìîñòü îï åäåëßåòñß êàê: σ(ω) = lim q ie ωχ(qω) (.5) q  àññìîò åííîì âû å ï îñòåé åì ñëó àå, êîãäà âû èñëßëñß ïîëß èçàöèîííûé îïå àòî ãàçà ñâîáîäíûõ ëåêò îíîâ, äëß âû èñëåíèß ï åäåëà q ï è êîíå íûõ ω èñïîëüçóåì (.7)è ïîëó àåì (ω ω + iδ, δ +): ie σ(ω) = lim q q ω ν F vf q 3 ω = p3 F 3π m ie ω = ne i m ω + iδ 6 Èìåííî (.7) ïîêàçàíà íà Ðèñ..7 (b). (.6)

41 .8. Ìèê îñêîïè åñêèå îñíîâû òåî èè ôå ìè æèäêîñòè. 4 ò.å. îáû íó ôî ìóëó Ä óäå äëß ï îâîäèìîñòè áåññòîêíîâèòåëüíîãî ãàçà ñâîáîäíûõ ëåêò îíîâ (èäåàëüíûé ï îâîäíèê!). Â àñòíîñòè: Reσ(ω) = ω 4π Imɛ(ω) =ne πδ(ω) (.7) m ãäå ó ëè ω+iδ = ω iπδ(ω). Ôåíîìåíîëîãè åñêèé ó åò ñòîëêíîâåíèé ñâîäèòñß ê ââåäåíè êîíå íîé àñòîòû àññåßíèß δ γ = τ (ãäå τ â åìß ñâîáîäíîãî ï îáåãà)..8 Ìèê îñêîïè åñêèå îñíîâû òåî èè ôå ìè æèäêîñòè. Â åàëüíûõ ìåòàëëàõ ñ r s 3, âçàèìîäåéñòâèå ëåêò îíîâ íå ßâëßåòñß ñëàáûì, òàê òî íåëüçß îã àíè èòüñß ñóììè îâàíèåì êàêîé ëèáî ñïåöèàëüíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè äèàã àìì (òèïà RPA, ñï àâåäëèâîãî â ï åäåëå r s ). Â òîæå â åìß, ôåíîìåíîëîãè åñêàß òåî èß ôå ìè æèäêîñòè Ëàíäàó Ñèëèíà [] ßâëßåòñß âïîëíå óñïå íîé ï è îïèñàíèè ñâîéñòâ ôå ìè ñèñòåì ñ ñèëüíûì âçàèìîäåéñòâèåì. Ðàññìîò èì âîï îñ î ìèê îñêîïè åñêîì îáîñíîâàíèè òîé òåî èè [, 8, 9]. Ëàíäàó ôàêòè åñêè ïîñòóëè îâàë, òî îñíîâíîå ñîñòîßíèå ôå ìè æèäêîñòè êà- åñòâåííî íå îòëè àåòñß îò îñíîâíîãî ñîñòîßíèß ôå ìè ãàçà, à ñëàáî âîçáóæäåííûå ñîñòîßíèß ìîãóò áûòü îïèñàíû êàê êâàçè àñòèöû, àíàëîãè íûå àñòèöàì è äû êàì â ôå ìè ãàçå, íåñìîò ß íà ñèëüíîå âçàèìîäåéñòâèå â ñèñòåìå åàëüíûõ ôå ìèîíîâ ( ëåêò îíîâ â ìåòàëëå, àòîìîâ He 3, íóêëîíîâ â ßä å è ò.ï.). Âàæíåé èì, ï è òîì, ßâëßåòñß ï åäïîëîæåíèå î ñóùåñòâîâàíèè õî î î îï åäåëåííîé ïîâå õíîñòè Ôå ìè ñ àäèóñîì p F,óäîâëåòâî ß ùèì ãàçîâîìó ñîîòíî åíè : n = N V = p3 F 3π 3 (.8) ñâßçûâà ùåìó åãî ñ ïîëíîé ïëîòíîñòü àñòèö â ñèñòåìå. Ýòî óòâå æäåíèå, ôàêòè åñêè, ìîæåò áûòü äîêàçàíî â êàæäîì ïî ßäêå òåî èè âîçìóùåíèé ïî âçàèìîäåéñòâè ñ èñïîëüçîâàíèåì îáùèõ ñâîéñòâ ôóíêöèé Ã èíà è èçâåñòíî êàê òåî åìà Ëàòòèíæå à (J.M.Luttinger, 96) [, ]. Ñîîòâåòñòâó ùåå äîêàçàòåëüñòâî äîñòàòî íî ã îìîçäêî è ìû åãî íå ï èâîäèì 7. Íàäî åòêî ïîíèìàòü, òî îñíîâíîå ñîñòîßíèå íî ìàëüíîé ôå ìè æèäêîñòè íå ßâëßåòñß åäèíñòâåííûì âîçìîæíûì ñîñòîßíèåì ñèñòåìû âçàèìîäåéñòâó ùèõ ëåêò îíîâ (ôå ìèîíîâ). Íàï èìå, ìû çíàåì, òî ñèñòåìà ìîæåò íàõîäèòüñß â ñâå õï îâîäßùåì (ñâå õòåêó åì) ñîñòîßíèè, êîãäà òåî åìà Ëàòòèíæå à íå âûïîëíßåòñß è ïîâå õíîñòè Ôå ìè íåò (îíà çàê ûòà íå ãåòè åñêîé ùåëü!). Â íàñòîßùåå â åìß, êîãäà îñîáîå âíèìàíèå óäåëßåòñß àññìîò åíè ñèñòåì ñ ñèëüíûìè êî åëßöèßìè, àêòèâíî îáñóæäà òñß àçëè íûå ñöåíà èè ôî ìè îâàíèß íåôå ìèæèäêîñòíîãî ïîâåäåíèß òàêèõ ñèñòåì. Çäåñü, îäíàêî, ìû ñêîíöåíò è óåìñß íà àññìîò åíèè ìèê îñêîïè åñêèõ îñíîâ òåî èè íî ìàëüíîé ôå ìè æèäêîñòè [8, 9]. Îñíîâíîé ôèçè åñêîé ï è èíîé òîãî, òî â ñèñòåìå âçàèìîäåéñòâó ùèõ ôå ìèîíîâ ñîõ àíß òñß å òû ïîâåäåíèß, òèïè íîãî äëß ãàçà ñâîáîäíûõ ôå ìèîíîâ, ßâëßåòñß ï èíöèï Ïàóëè. Èìåííî îí, êàê ìû ñåé àñ óâèäèì, ïîçâîëßåò ââåñòè õî î î îï åäåëåííûå êâàçè àñòè íûå âîçáóæäåíèß âáëèçè ó îâíß (ïîâå õíîñòè)ôå ìè. Â 7 Â Ï èëîæåíèè À ï èâîäßòñß òîïîëîãè åñêèå ñîîá àæåíèß äîñòàòî íî îáùåãî õà àêòå à, ïîäòâå æäà ùèå óñòîé èâîñòü ïîâå õíîñòè Ôå ìè ê àäèàáàòè åñêîìó âêë åíè âçàèìîäåéñòâèß ìåæäó àñòèöàìè (Ã.Å.Âîëîâèê, 999).

42 4 Ãëàâà. ÝËÅÊÒÐÎÍ ÝËÅÊÒÐÎÍÍÎÅ ÂÇÀÈÌÎÄÅÉÑÒÂÈÅ Ðèñ..: Ï îöåññ îæäåíèß ò åõ êâàçè àñòèö. áåñêîíå íîé îäíî îäíîé ñèñòåìå ôóíêöèß Ã èíà G αβ (p) äèàãîíàëüíà ïî ñïèíî íûì èíäåêñàì èîäèíàêîâà äëß îáîèõ çíà åíèé ï îåêöèè ñïèíà (â îòñóòñòâèå ìàãíèòíîãî ïîëß èëè ñïîíòàííîé íàìàãíè åííîñòè), ïî òîìó äàëåå òè èíäåêñû îïóñêà òñß. Ââåäåì, êàê îáû íî ñîáñòâåííî íå ãåòè åñêó àñòü è çàïè åì ó àâíåíèå Äàéñîíà: G (εp) =ε p + µ Σ(εp) (.9) m Ïîñìîò èì òî òóò ìîæíî ñêàçàòü èç îáùèõ ñîîá àæåíèé. Îöåíèì âêëàä â ìíèìó àñòü Σ îò ï îöåññîâ îæäåíèß ò åõ êâàçè àñòèö μ ï îñòåé èé ï îöåññ òàêîãî òèïà (ï èâîäßùèé ê êîíå íîìó â åìåíè æèçíè êâàçè àñòèöû) ñâîäèòñß (ñì. Ðèñ..)ê âîçáóæäåíè ä óãîãî ëåêò îíà èç ïîäïîâå õíîñòè Ôå ìè, ò.å. ê îæäåíè ëåêò îí äû î íîé ïà û. Èìååì îáû íûå çàêîíû ñîõ àíåíèß: ï è åì â äàííîì ñëó àå: p + p = p 3 + p 4 ε + ε = ε 3 + ε 4 (.) p, p 3, p 4 p F, à p p F ε,ε,ε 4, à ε (.) Îòñ äà ßñíî, òî ï è p p F, äëß âñåõ îñòàëüíûõ àñòèö òàêæå p, p 3, p 4 p F,àèçε + âûòåêàåò, òîèε α (α =, 3, 4). Êîãäà p íåñêîëüêî âû å p F, âñå îñòàëüíûå ( p α p F ) îäíîãî ïî ßäêàñ( p p F ). Ñîîòâåòñòâåííî, âå îßòíîñòü ï îöåññà, îïèñûâàåìîãî àññìàò èâàåìîé äèàã àììîé, ï îïî öèîíàëüíà: W = τ δ(ε + ε ε 3 ε 4 )dp dp 3 (.) Â ñàìîì äåëå, èìïóëüñ p çàäàí, à p 4 = p + p p 3,òàê òî îñòàåòñß òîëüêî äâà íåçàâèñèìûõ èìïóëüñà èíòåã è îâàíèß, êàê è ïîêàçàíî â (.). Ïîñêîëüêó p è p 3 áëèçêè ê p F, èìååì ( p,3 p F ) ( p p F ). Äîïóñòèìûå îáëàñòè èçìåíåíèß ìîäóëåé p è p 3 åñòü: p F <p 3 <p +p p F è p F p <p <p F. Óãîë ìåæäó p è p 3 ìîæåò áûòü ë áûì, à óãîë ìåæäó p 3 è p + p îï åäåëßåòñßèçóñëîâèß ñîõ àíåíèß íå ãèè è èíòåã àë ïî òîìó óãëó ñíèìàåò δ ôóíêöè â (.). Cîîòâåòñòâåííî èíòåã àë ïî dp dp 3 áå åòñßï èp p 3 p F è äàåò äëß (.)îöåíêó ( p p F ). Ïî òîìó îá àòíîå â åìß æèçíè ëåêò îíà ñ èìïóëüñîì p îöåíèâàåòñß êàê: τ ImΣ (p p F ) ε (.3)

43 .8. Ìèê îñêîïè åñêèå îñíîâû òåî èè ôå ìè æèäêîñòè. 43 Íåò óäíî óáåäèòüñß, òî ñòàòèñòè åñêèé âåñ ñîñòîßíèé ñ áîëü èì èñëîì êâàçè àñòèö íà èíàåòñß ñ áîëåå âûñîêèõ ñòåïåíåé ε. Íàï èìå ImΣ 5 ε 3 ε [8]. Ï è êîíå íûõ òåìïå àòó àõ, àçìûòèå ôå ìèåâñêîãî àñï åäåëåíèß T, òîï èâîäèò ê âêëàäó â çàòóõàíèå îò òå ìè åñêè âîçáóæäåííûõ êâàçè àñòèö T E F. Ñîîòâåòñòâåííî, îáúåäèíßß èõ ñ (.3), èìååì: ε τ = A + T Max E F E F ε E F, T E F ãäå A const. Åñëè âîñïîëüçîâàòüñß îáû íîé ôî ìóëîé Ä óäå äëß ï îâîäèìîñòè: (.4) σ = ne m τ (.5) è âçßòü τ = A T E F, òî (èñïîëüçóß òàêæå (.8)) ïîëó èì îöåíêó ñîï îòèâëåíèß â âèäå: R = σ T m E F p 3 = T F e e p F E F (.6) Òàêèì îá àçîì, õà àêòå íàß òåìïå àòó íàß çàâèñèìîñòü ñîï îòèâëåíèß, âûçâàííîãî ëåêò îí ëåêò îííûì àññåßíèåì R T (Ë.Ä.Ëàíäàó, È.SS.Ïîìå àí óê, 937). Òèïè íàß îöåíêà p F a (ãäå a ìåæàòîìíîå àññòîßíèå) äàåò R a e T E F 3 Îì ñì T E F, òî äàåò ï åíåá åæèìî ìàëûé âêëàä â ñîï îòèâëåíèå ï è òèïè íûõ çíà åíèßõ T,êîòî ûé ïîëíîñòü ìàñêè óåòñß ä óãèìè ìåõàíèçìàìè àññåßíèß (íàï èìå íà ôîíîíàõ). Ðåàëüíîå íàáë äåíèå T âêëàäà â ñîï îòèâëåíèè ìåòàëëîâ âîçìîæíî òîëüêî â óëüò à èñòûõ îá àçöàõ ï è T < K, êîãäà ìîæíî ï åíåá å ü àññåßíèåì íà ôîíîíàõ. Ýòî ï îñòîå îáñòîßòåëüñòâî àñòî çàáûâàåòñß â ñîâ åìåííîé ëèòå àòó å. Òàêèì îá àçîì, âáëèçè ïîë ñà ε = ε(p) ôóíêöèè Ã èíà (.9)ìû âñåãäà èìååì Reε(p) v F (p p F ) Imε(p) τ (p p F ), òî è îçíà àåò ñóùåñòâîâàíèå õî- î î îï åäåëåííûõ êâàçè àñòèö âáëèçè ó îâíß Ôå ìè. Áîëåå àêêó àòíî (íåæåëè, íàï èìå, òî äåëàëîñü â (.45) (.49))íóæíî äåéñòâîâàòü ñëåäó ùèì îá àçîì. Â îäíî îäíîé è èçîò îïíîé ñèñòåìå (ôå ìè æèäêîñòè) âåëè èíà ReΣ(εp) çàâèñèò òîëüêîîòìîäóëß p = p. Îï åäåëèì èìïóëüñ Ôå ìè p F â ñèñòåìå ñ âçàèìîäåéñòâèåì ñ ïîìîùü ñëåäó ùåãî ó àâíåíèß: p F m +Σ(p F, ) = µ (.7) Ðàçëàãàß Σ(pε) â ßä ïî ñòåïåíßì p p F è ε, ïîëó àåì âû àæåíèå äëß G(pε), ñï àâåäëèâîå âáëèçè ïîâå õíîñòè Ôå ìè (ε, p p F ) â ñëåäó ùåì âèäå: ( ) ( ) G (εp) ε p Σ Σ m + µ Σ(p F, ) (p p F ) ε + iα ε ε = p F ε F [ ( ) ] [ ( ) ] Σ pf Σ = ε ε F m + (p p F )+iα ε ε p F (.8) ãäå ó ëè (.3)è îáåñïå èëè ï àâèëüíó ñìåíó çíàêà ìíèìîé àñòè (ôåéíìàíîâñêîé)ôóíêöèè Ã èíà ï è ε =. Òàêèì îá àçîì óáåæäàåìñß, òî ôóíêöè Ã èíà âçàèìîäåéñòâó ùåé ñèñòåìû ôå ìèîíîâ âáëèçè ïîâå õíîñòè Ôå ìè ìîæíî çàïèñàòü êàê [8]: Z G(εp) = ε v F (p p F )+iα ε ε + Greg (εp) (.9) ãäå G reg (εp) åãóëß íàß àñòü, íå èìå ùàß ïîë ñîâ âáëèçè ïîâå õíîñòè Ôå ìè (è ñâßçàííàß ñ ìíîãî àñòè íûìè âîçáóæäåíèßìè â ñèñòåìå [8]). Ï è òîì â (.9)

44 44 Ãëàâà. ÝËÅÊÒÐÎÍ ÝËÅÊÒÐÎÍÍÎÅ ÂÇÀÈÌÎÄÅÉÑÒÂÈÅ ìû ââåëè ñëåäó ùèå îáîçíà åíèß: Z = äëß âû åòà â ïîë ñå ôóíêöèè Ã èíà, è ( ) v F = p Fm + ( G ε Σ p ) F ( ) Σ = ε F F ( = ( ( ) G ) G p G ε ) ε F F F (.3) ; α = Zα (.3) äëß ñêî îñòè íà ïîâå õíîñòè Ôå ìè. Âû àæåíèå (.9)îï åäåëßåò îáùèé âèä îäíî àñòè íîé ôóíêöèè Ã èíà â ñèñòåìå âçàèìîäåéñòâó ùèõ ôå ìè àñòèö (ôå ìè æèäêîñòè). Ëåãêî âèäåòü, òî îáñóæäàâ èåñß âû å àñòíûå âû àæåíèß, ñëåäó ùèå èç RPA, èìå ò èìåííî òàêîé âèä (ïîâåäåíèå). Òåïå ü íåò óäíî óáåäèòüñß, òî èç (.9) íåïîñ åäñòâåííî ñëåäóåò ñóùåñòâîâàíèå (ï è T =) ñêà êà â àñï åäåëåíèè àñòèö ïî èìïóëüñàì äàæå â ñèñòåìå âçàèìîäåéñòâó ùèõ ôå ìèîíîâ (À.Á.Ìèãäàë, 957). Â ñàìîì äåëå, âû èñëèì àçíîñòü çíà åíèé ôóíêöèè àñï åäåëåíèß n(p) ïî îáå ñòî îíû îò ïîâå õíîñòè Ôå ìè, ò.å. ï åäåë àçíîñòè n(p F + q) n(p F q) ï è q +. Ðàñï åäåëåíèå àñòèö ïî èìïóëüñàì, êàê èçâåñòíî, âû àæàåòñß å åç ôóíêöè Ã èíà ñëåäó ùèì èíòåã àëîì []: dε n(p) = i lim t π e iεt G(εp) (.3) Âîñïîëüçóåìñß çäåñü (.9). Ââèäó åãóëß íîñòè ôóíêöèè G reg (εp) çà àíåå ßñíî, òî àçíîñòü èíòåã àëîâ îò íåå áóäåò ñò åìèòüñß ï è q ê íóë. Ïî òîìó äîñòàòî íî àññìîò åòü àçíîñòü èíòåã àëîâ òîëüêî îò ïîë ñíîãî âêëàäà â (.9). Òîãäà èìååì: n(p F q) n(p F + q) = i { dε π Z ε + v F q iδ } Z ε v F q + iδ (.33) ãäå ó ëè, òî âáëèçè ïîë ñà signε = sign(p p F ),àòàêæå òî, òî ââèäó ñõîäèìîñòè òîãî èíòåã àëà îò àçíîñòè, ìíîæèòåëü e iεt (ï è t )ìîæíî îïóñòèòü. Çàìûêàß òåïå ü êîíòó èíòåã è îâàíèß áåñêîíå íî óäàëåííîé ïîëóîê óæíîñòü (âñå àâíî â âå õíåé èëè íèæíåé ïîëóïëîñêîñòè), íàõîäèì: Ïîñêîëüêó n(p), îòñ äà ñëåäóåò òî: n(p F ) n(p F +)=Z (.34) <Z (.35) ï è åì Z =äîñòèãàåòñß ëè ü â ï åäåëå èäåàëüíîãî ôå ìè ãàçà. Òàêèì îá àçîì àñï åäåëåíèå àñòèö ïî èìïóëüñàì â ôå ìè æèäêîñòè ï è T = èìååò, êàê è â ãàçå, ñêà îê íà ïîâå õíîñòè Ôå ìè, êàê òî êà åñòâåííî ïîêàçàíî íà Ðèñ... Â îòëè èå îò ñëó àß ãàçà, âåëè èíà ñêà êà ìåíü å åäèíèöû, à ñàìà ôóíêöèß àñï åäåëåíèß n(p) îñòàåòñß êîíå íîé è â îáëàñòè p>p F ( àñòèöû âûòàëêèâà òñß â òó îáëàñòü âçàèìîäåéñòâèåì!). Ôàêòè åñêè, ñóùåñòâîâàíèå ñêà êà ôóíêöèè àñï åäåëåíèß è ïîçâîëßåò ââåñòè ñàìî ïîíßòèå ïîâå õíîñòè Ôå ìè â ñèñòåìå âçàèìîäåéñòâó ùèõ ôå ìèîíîâ.

45 .9. Âçàèìîäåéñòâèå êâàçè àñòèö â ôå ìè æèäêîñòè. 45 Ðèñ..: Êà åñòâåííûé âèä ôóíêöèè àñï åäåëåíèß àñòèö â ôå ìè æèäêîñòè ï è T =. Ñïåêò àëüíàß ïëîòíîñòü A(pε) = signε π ImG(εp), ñîîòâåòñòâó ùàß ôóíêöèè Ã èíà (.9) èìååò âèä àçìûòîãî çàòóõàíèåì êâàçè àñòè íîãî ïèêà ï è ε = ε p ( íå ãèè êâàçè àñòèöû), íà ñ àâíèòåëüíî ïëàâíîì ôîíå îò ìíîãî àñòè íûõ âîçáóæäåíèé, êàê òî ïîêàçàíî íà Ðèñ..3 (b), òîãäà êàê â èäåàëüíîì ãàçå îíà ñâîäèòñß ê ñîîòâåòñòâó ùåé δ ôóíêöèè, ïîêàçàííîé íà Ðèñ..3 (a). Çàìåòèì, òî ñïåêò àëüíàß ïëîòíîñòü ëåêò îíîâ â åàëüíûõ ñèñòåìàõ âçàèìîäåéñòâó ùèõ ëåêò îíîâ, ôàêòè åñêè, ìîæåò áûòü èçìå åíà â êñïå èìåíòàõ ïî ôîòî ìèññèè ñ óãëîâûì àç å åíèåì (ARPES) 8, âêîòî ûõ òàêæå óäàåòñß èçó èòü è åàëüíûé âèä ïîâå õíîñòåé Ôå ìè, â òîì èñëå äëß âåñüìà ñëîæíûõ ñîåäèíåíèé 9. Ï îâåäåííûå â ïîñëåäíèå ãîäû èçìå åíèß ïîäòâå äèëè êà åñòâåííûå ï åäñêàçàíèß òåî èè ôå ìè æèäêîñòè äëß áîëü èíñòâà ìåòàëëè åñêèõ ñèñòåì. Íàáë äàåìûå îòêëîíåíèß îò ôå ìèæèäêîñòíîãî ïîâåäåíèß îáû íî ñâßçûâà ò ñ ï îßâëåíèßìè ôôåêòîâ ñèëüíûõ êî åëßöèé [3]..9 Âçàèìîäåéñòâèå êâàçè àñòèö â ôå ìè æèäêîñòè. Âçàèìîäåéñòâèå êâàçè àñòèö, ôàêòè åñêè, îïèñûâàåòñß äâóõ àñòè íîé ôóíêöèåé Ã èíà [8]: K =< Tψ()ψ()ψ + (3)ψ + (4) > (.36) êîòî àß îï åäåëßåòñß ñóììîé âñåõ ã àôèêîâ, ïå åâîäßùèõ äâå àñòèöû èç òî åê (, ) â òî êè(3, 4). Òóò, ï åæäå âñåãî, ìîæíî âûäåëèòü ã àôèêè áåç âçàèìîäåéñòâèß ìåæäó îáåèìè àñòèöàìè, íî ñî âñåìè âîçìîæíûìè âçàèìîäåéñòâèßìè êàæäîé èç àñòèö ñ ôîíîì, òèïà ïîêàçàííûõ íà Ðèñ..4. Î åâèäíî, òî çäåñü âîçíèêàåò 8 J.C.Campuzano, M.R.Norman, M.Randeria. Photoemission in the High T c Superconductors. ArXiv: cond-mat/ A.Damascelli, D.H.Lu, Z.-X.Shen. From Mott insulator to overdoped superconductor: Evolution of the electronic structure of cuprates studied by ARPES. Rev. Mod. Phys. 75, 473 (3)

46 46 Ãëàâà. ÝËÅÊÒÐÎÍ ÝËÅÊÒÐÎÍÍÎÅ ÂÇÀÈÌÎÄÅÉÑÒÂÈÅ Ðèñ..3: Ñïåêò àëüíàß ïëîòíîñòü â ôå ìè ãàçå (a)è ôå ìè æèäêîñòè (b). Ðèñ..4: Íåçàâèñèìîå àñï îñò àíåíèå äâóõ àñòèö â ôå ìè æèäêîñòè.

47 .9. Âçàèìîäåéñòâèå êâàçè àñòèö â ôå ìè æèäêîñòè. 47 Ðèñ..5: Ã àôè åñêîå îï åäåëåíèå áëîêà V.Çà å êíóòû ã àôèêè, àç åçàåìûå ïî äâóì ëèíèßì àñòèö. äâå íåçàâèñèìûõ ñîâîêóïíîñòè ã àôèêîâ, êàæäàß èç êîòî ûõ ñâîäèòñß ê ïîëíîé îäíî àñòè íîé ôóíêöèè Ã èíà G. Ñîîòâåòñòâåííî èìååì: K = G(, 3)G(, 4) G(, 4)G(, 3) (.37) Çíàê ìèíóñ ïå åä âòî ûì (îáìåííûì) ëåíîì ñâßçàí çäåñü ñî ñâîéñòâîì àíòèñèììåò èè ôå ìèîíîâ ï è ïå åñòàíîâêàõ. Âñå îñòàëüíûå ã àôèêè äëß K ñîäå æàò àêòû âçàèìîäåéñòâèß àñòèö ä óã ñ ä óãîì. Îáîçíà èì å åç V ñîâîêóïíîñòü òàêèõ ã àôèêîâ âçàèìîäåéñòâèß, êîòî ûå íå ìîãóò áûòü àçäåëåíû íà àñòè, ñîåäèíåííûå äâóìß ëåêò îííûìè ëèíèßìè, êàê òî ïîêàçàíî íà Ðèñ..5. Òîãäà äëß äâóõ àñòè íîé ôóíêöèè Ã èíà K ìîæíî íàïèñàòü ó àâíåíèå: K = K GGV K (.38) ïîñêîëüêó ñóììà âñåõ ã àôèêîâ, ñëåäó ùèõ ïîñëå V, ñíîâà îá àçóåò K. Ðàçóìååòñß, ó àâíåíèå (.38), íà ñàìîì äåëå, èíòåã àëüíîå, à îïå àòî íîå óìíîæåíèå ôóíêöèé Ã èíà îáîçíà àåò çäåñü (è äàëåå â àíàëîãè íûõ ñëó àßõ)ñîîòâåòñòâó ùèå èíòåã è- îâàíèß. Äëß îïèñàíèß ñàìîãî ï îöåññà âçàèìîäåéñòâèß àñòèö óäîáíî ââåñòè âå èííó àñòü (àìïëèòóäó àññåßíèß) Γ ñ ïîìîùü ñëåäó ùåãî ñîîòíî åíèß: K K = GGΓGG (.39) Âåëè èíà Γ ï åäñòàâëßåò ñîáîé ñóììó âñåõ ã àôèêîâ, íà èíà ùèõñßè êîí à ùèõñß âçàèìîäåéñòâèåì ìåæäó àñòèöàìè, ò.å. â íåå íå âêë à òñß âõîäßùèå è âûõîäßùèå ëèíèè àñòèö (îá óáëåíû âíå íèå êîíöû). Ïîäñòàâëßß (.39) â (.38), ïîëó àåì: K K = GGΓGG = GGV K = GGV K + GGV GGΓGG (.4) Èñïîëüçóåì î åâèäíîå ñîîòíî åíèå: GGV K = GG(V Ṽ )GG (.4) ãäå Ṽ îáîçíà àåò V ñ ïå åñòàâëåííûìè âûõîäßùèìè êîíöàìè. Òîãäà èç (.4), ïîñëå óìíîæåíèß ñï àâà è ñëåâà íà (GG), ïîëó àåì: Γ=V Ṽ VGGΓ (.4)

48 48 Ãëàâà. ÝËÅÊÒÐÎÍ ÝËÅÊÒÐÎÍÍÎÅ ÂÇÀÈÌÎÄÅÉÑÒÂÈÅ Ðèñ..6: Ã àôè åñêèé âèä ó àâíåíèß äëß âå èíû Γ ñ âûäåëåíèåì êàíàëà àñòèöà àñòèöà. Ðèñ..7: Ã àôè åñêîå îï åäåëåíèå áëîêà U. Çà å êíóòû ã àôèêè, àç åçàåìûå ïî ëèíèßì àñòèöû è äû êè. Èç îï åäåëåíèß Γ è K ñëåäóåò, òî Γ(, ; 3, 4) = Γ(, ; 3, 4) = Γ(, ; 4, 3) Γ(, ; 3, 4) = Γ(3, 4;, ) (.43) òî îò àæàåò àíòèñèììåò è âîëíîâûõ ôóíêöèé â ñèñòåìå ôå ìèîíîâ. Ó àâíåíèå (.4)äëß Γ ìîæíî ïîëó èòü è íåïîñ åäñòâåííî, íå èñïîëüçóß ó àâíåíèå äëß K. Âûäåëßß áëîê V, íåò óäíî ïîëó èòü ã àôè åñêîå ó àâíåíèå, ïîêàçàííîå íà Ðèñ..6, ñèììåò èçàöèß êîòî îãî äàåò (.4). Äëß îáîñíîâàíèß ôåíîìåíîëîãè åñêîé òåî èè ôå ìè æèäêîñòè óäîáíî çàïèñàòü ó àâíåíèå äëß Γ â ä óãîì âèäå. Âû å ìû âûäåëßëè áëîê V,êîòî ûé íåëüçß áûëî àç åçàòü ïî äâóì ëèíèßì â êàíàëå àñòèöà àñòèöà (ò.å. áëîê, íåï èâîäèìûé â äàííîì êàíàëå). Ìîæíî ïîñòóïèòü èíà å è âûäåëèòü èç âñåé ñîâîêóïíîñòè ã àôèêîâ äëß Γ áëîê U, íåï èâîäèìûé â êàíàëå àñòèöà äû êà, êîòî ûé íåëüçß àçáèòü íà àñòè, ñîåäèíåííûå ëèíèßìè àñòèöû è äû êè. Ñîîòâåòñòâó ùèå ã àôèêè ïîêàçàíû íà Ðèñ..7. Òîãäà äëß Γ ìîæíî íàïèñàòü ã àôè åñêîå ó àâíåíèå, ïîêàçàííîå íà Ðèñ..8, èëè â àíàëèòè åñêîì âèäå: Γ=U + UGGΓ (.44)

49 .9. Âçàèìîäåéñòâèå êâàçè àñòèö â ôå ìè æèäêîñòè. 49 Ðèñ..8: Ã àôè åñêèé âèä ó àâíåíèß äëß âå èíû Γ ñ âûäåëåíèåì êàíàëà àñòèöà äû êà. Ðèñ..9: Ó àâíåíèß äëß âå èí â ïà êåòå. Â èìïóëüñíîì ï åäñòàâëåíèè àçíîñòü 4-èìïóëüñîâ, âõîäßùèõ çäåñü â ôóíêöèè Ã èíà G (è óäîâëåòâî ß ùèõ çàêîíó ñîõ àíåíèß p +p = p 3 +p 4 ), àâíà ïå åäàâàåìîìó èìïóëüñó q = p p 3 = p 4 p,êîòî ûé àâåí ñóììà íîìó èìïóëüñó â êàíàëå àñòèöà äû êà è îäèíàêîâ â êàæäîì ñå åíèè òîãî êàíàëà. Â ó àâíåíèè, ïîêàçàííîì íà Ðèñ..6, ñóììà èìïóëüñîâ, âõîäßùèõ â Γ, àâíà ïîëíîìó èìïóëüñó ñèñòåìû èç äâóõ àñòèö q = p +p = p 3 +p 4 èîäèíàêîâà â êàæäîì ñå åíèè êàíàëà äâóõ àñòèö. Âûäåëåíèå òåõ èëè èíûõ áëîêîâ, òèïà ï îâåäåííîãî âû å, îêàçûâàåòñß óäîáíûì, êîãäà âûäåëåííûé áëîê îêàçûâàåòñß ñëàáî çàâèñßùèì îò ñâîèõ ïå åìåííûõ (èìïóëüñîâ), òîãäà îí ìîæåò áûòü çàìåíåí ôôåêòèâíîé êîíñòàíòîé. Îòñòóïëåíèå î ïà êåòå. Â íåêîòî ûõ ñëó àßõ óäîáíî ââåñòè áëîê W, íå àç åçàåìûé ïî äâóì ëèíèßì êàê â êàíàëå äâóõ àñòèö, òàê è â êàíàëå àñòèöà äû êà. Òîãäà íà ßäó ñ ó àâíåíèßìè (.6) è (.8) íóæíî åùå íàïèñàòü ó àâíåíèß, ñâßçûâà ùèå áëîêè U è V ñ áëîêîì W, êàê òî ïîêàçàíî íà Ðèñ..9. Ñîâìåñòíî ñ ó àâíåíèßìè Ðèñ..6 è Ðèñ..8, ó àâíåíèß Ðèñ..9 îá àçó ò ñèñòåìó òàê íàçûâàåìûõ ïà êåòíûõ ó àâíåíèé. Çäåñü ïîä W ïîíèìàåòñß ñèììåò èçîâàííîå âû àæåíèå, ò.å. äëß ôå ìè àñòèö àçíîñòü W αβγδ (p,p ; p 3,p 4 ) W α,β,δ,γ (p,p ; p 4,p 3 ). Â àíàëèòè åñêîì âèäå: V Ṽ = W + UGGΓ (.45)

50 5 Ãëàâà. ÝËÅÊÒÐÎÍ ÝËÅÊÒÐÎÍÍÎÅ ÂÇÀÈÌÎÄÅÉÑÒÂÈÅ U = W VGGΓ (.46) Èñïîëüçóß ó àâíåíèå äëß Γ â ôî ìå Ðèñ..8, ïîëó àåì èç (.45): U + V Ṽ = W +Γ (.47) Ýòî æå ïîëó èòñß èç (.46), åñëè äëß Γ èñïîëüçîâàòü ó àâíåíèå Ðèñ..6. Ýòè ó àâíåíèß ïîçâîëß ò âû àçèòü Γ å åç íåï èâîäèìó âå èíó W. Â åçóëüòàòå âîçíèêàåò ñëåäó ùåå íåëèíåéíîå (èíòåã àëüíîå) ó àâíåíèå: Γ=W + WGGΓ ΓGG(Γ + W )GGΓ (.48) Áëîê W â èìïóëüñíîì ï åäñòàâëåíèè îáû íî ñëàáî çàâèñèò îò âõîäßùèõ è âûõîäßùèõ èìïóëüñîâ, òîãäà êàê ñîãëàñíî (.46), áëîê U ï è ìàëîì ñóììà íîì èìïóëüñå çàâèñèò îò íåãî ñóùåñòâåííî. Àíàëîãè íî, áëîê V, ñîãëàñíî (.45), ñóùåñòâåííî çàâèñèò îò ïå åäàâàåìîãî èìïóëüñà q. Áëîê U öåëåñîîá àçíî ââîäèòü äëß èçó åíèß ñâîéñòâ Γ ï è ìàëûõ ïå åäàâàåìûõ èìïóëüñàõ, òîãäà êàê âûäåëåíèå áëîêà V (è èñïîëüçîâàíèå ó àâíåíèß Ðèñ..6)óäîáíî, êîãäà ìàë ñóììà íûé èìïóëüñ àñòèö (ñì. íèæå àíàëèç êóïå îâñêîé íåóñòîé èâîñòè!). Â òåî èè íî ìàëüíîé ôå ìè æèäêîñòè Ëàíäàó ó àâíåíèå Ðèñ..8 èã àåò âûäåëåííó îëü. Èñõîäíî, òî ó àâíåíèå ñîäå æèò (âî âòî îì ëåíå â ï àâîé àñòè) èíòåã è îâàíèå ïî îáëàñòßì êàê áëèçêèì, òàê è äàëåêèì îò ïîâå õíîñòè Ôå ìè. Ëàíäàó ïîêàçàë, òî ï è ìàëûõ ïå åäàâàåìûõ èìïóëüñàõ ìîæíî èç òîãî ó àâíåíèß ïîëó èòü ä óãîå ( ïå åíî ìè îâàííîå )ó àâíåíèå äëß Γ ñ èìïóëüñàìè âáëèçè ïîâå õíîñòè Ôå ìè è íå ñîäå æàùåå èíòåã è îâàíèé ïî îáëàñòßì, äàëåêèì îò ó îâíß Ôå ìè (ò.å. ïîëó èòü çàìêíóòîå ó àâíåíèå äëß Γ íà ïîâå õíîñòè Ôå ìè.). Çàïè åì ó àâíåíèå Ðèñ..8 â ßâíîì âèäå â èìïóëüñíîì ï åäñòàâëåíèè: Γ(p, p,q)=u(p, p,q) i d 4 p ( (π) 4 U(p, p,q)g p + q ) ( G p q ) Γ(p,p,q) (.49) ãäå îáîçíà àåò ñóììè îâàíèå ïî ñïèíîâûì èíäåêñàì âíóò åííèõ ëèíèé, à ñîîòâåòñòâó ùèå èíäåêñû ìû, äëß ê àòêîñòè, íå âûïèñûâàåì. Çäåñü òàêæå ââåäåíû îáîçíà åíèß: Γ(p,p,p 3,p 4 )=Γ(p, p,q)(π) 4 δ(p + p + p 3 + p 4 ) U(p,p,p 3,p 4 )=U(p, p,q)(π) 4 δ(p + p + p 3 + p 4 ) (.5) ï è åì âõîäßùèå (p,p ) èâûõîäßùèå (p 3,p 4 ) 4-èìïóëüñû ñâßçàíû ñ p è p êàê: p = p + q p 3 = p q p = p q p 4 = p + q (.5) òîáû ïå åäàâàåìûé èìïóëüñ àâíßëñß q =(q,ω) è âûïîëíßëñß çàêîí ñîõ àíåíèß p + p = p 3 + p 4.Âïå âîìïî ßäêå òåî èè âîçìóùåíèé ïî âçàèìîäåéñòâè èìååì: U(p, p,q)= d(r r )e iq(r r) V (r r ) (.5) ãäå V (r r ) μ ïîòåíöèàë ìåæ àñòè íîãî âçàèìîäåéñòâèß. Âû å â (.9)ìû âûïèñàëè îáùèé âèä îäíî àñòè íîé ôóíêöèè Ã èíà â òåî èè ôå ìè æèäêîñòè: Z G(p) = ε ε(p)+iγ(ε) + Greg (p) (.53)

51 .9. Âçàèìîäåéñòâèå êâàçè àñòèö â ôå ìè æèäêîñòè. 5 ãäå ε(p) =v F (p p F ), ( ) G Z = ε F ; γ(ε) ε signε (.54) Ï è q ïîë ñà äâóõ ôóíêöèé Ã èíà â ó àâíåíèè (.49) ñáëèæà òñß è â ïîäèíòåã àëüíîì âû àæåíèè ôôåêòèâíî âîçíèêàåò δ îá àçíûé ìàêñèìóì âáëèçè ïîâå õíîñòè Ôå ìè. Ñîîòâåòñòâåííî, ï îèçâåäåíèå ôóíêöèé Ã èíà, â ñìûñëå åãî îëè â ßä å èíòåã àëüíîãî ó àâíåíèß (.49), ìîæíî çàïèñàòü â âèäå (âñå íå ãèè îòñ èòûâà òñß îò ó îâíß Ôå ìè, ò.å. îò ε = E F =): ( G p + q ) ( G p q ) Z δ(ε) ( dεg p + q ) ( G p q ) + B(p, q) (.55) ãäå G (p) = ; γ + (.56) ε ε(p)+iγsign(ε) ôàêòè åñêè, ñâîáîäíàß ôóíêöèß Ã èíà. Èíòåã àë, âõîäßùèé â (.55)íàìè óæå ôàêòè åñêè âû èñëßëñß â (.8). Ïîëüçóßñü ïîëó åííûì òàì åçóëüòàòîì, èìååì: ãäå ( dεg p + q ) ( G p q ) n(p) = Îòñ äà ëåãêî ïîëó èòü (ñ. (.8), (.) è ò.ä.): ( G p + q ) ( G p q ) q n (p + q/) n (p q/) = πi ω ε (p + q/) + ε (p q/) + iγsignω (.57) { ï è p pf ï è p >p F (.58) = iz qv δ(ε)π ω qv + iγsignω δ( p p F ) m + B(p, q) p F A + B (.59) ãäå v = ε(p)/ p = pf m p/p ñêî îñòü êâàçè àñòèö íà ïîâå õíîñòè Ôå ìè, m ôôåêòèâíàß ìàññà, à ôóíêöèß B(p, q) íå ñîäå æèò ñèíãóëß íîñòåé è, ñ òî íîñòü äî ëåíîâ ïî ßäêà q /p F è ω /E F ìîæåò ñ èòàòüñß íåçàâèñßùåé îò q. Âîçâ àùàßñü ê ïîëíîé âå èíå Γ, çàïè åì ó àâíåíèå (.44)â âèäå: Γ=U +ΓGGU = U +Γ(A + B)U = U + U(A + B)Γ (.6) Ýòî àâåíñòâî ïîëó àåòñß èç ã àôè åñêîãî ó àâíåíèß äëß Γ, åñëè ñîá àòü ã àôèêè â îá àòíîì ïî ßäêå. Ââåäåì òåïå ü àìïëèòóäó Γ ω, îï åäåëßåìó ó àâíåíèåì: Ëåãêî âèäåòü, òî Γ ω åñòü ï åäåë: Γ ω = U + UBΓ ω = U +Γ ω BU (.6) Γ ω = lim Γ (.6) ω, q ω Ïî ßäîê ï åäåëüíûõ ïå åõîäîâ çäåñü âåñüìà âàæåí μ ñíà àëà q, à óæå ïîòîì ω (Ë.Ä.Ëàíäàó, 958). Ï è òîì âåëè èíà A â (.6)ñò åìèòñß êíóë, òî è ï èâîäèò ó ó àâíåíè (.6).

52 5 Ãëàâà. ÝËÅÊÒÐÎÍ ÝËÅÊÒÐÎÍÍÎÅ ÂÇÀÈÌÎÄÅÉÑÒÂÈÅ Óìíîæàß (.6)ñëåâà íà +Γ ω B, ïîëó èì: Â ñàìîì äåëå, èìååì: Γ=Γ ω +Γ ω AΓ=Γ ω +ΓAΓ ω (.63) ( + Γ ω B)Γ =(+Γ ω B)U +(+Γ ω B)U(A + B)Γ = =Γ ω +Γ ω (A + B)Γ = Γ ω +Γ ω AΓ+Γ ω BΓ ïîä å êíóòûå ëåíû ñîê àùà òñß è ìû ïîëó àåì (.63). Âå èíà Γ ω çàâèñèò îò p, (p ), pp è ε, ε (ïîêà îòâëåêàåìñß îò ñïèíîâ!), íî íà ïîâå õíîñòè Ôå ìè èìååì p = p = p F, ε = ε =,òàê òî Γ ω çàâèñèò òîëüêî îò óãëà ìåæäó âåêòî àìè p è p. Âåëè èíà Γ íà ïîâå õíîñòè Ôå ìè çàâèñèò åùå è îò ïå åäàâàåìîãî èìïóëüñà. Ïîñêîëüêó èíòåã è îâàíèå â (.63)(â ñèëó ßâíîãî âèäà A èç (.59)) ï îèñõîäèò ïî ïîâå õíîñòè Ôå ìè, òî ï è p = p = p F è ε = ε =îíî ï åäñòàâëßåò ñîáîé çàìêíóòîå ó àâíåíèå äëß îï åäåëåíèß Γ íà ïîâå õíîñòè Ôå ìè (Ë.Ä.Ëàíäàó, 958). Ï è âûâîäå ìû ï åäïîëàãàëè, òî áëîê U íå èìååò îñîáåííîñòè ï è ïå åäàâàåìîì èìïóëüñå q. Ïî òîìó, ñò îãî ãîâî ß, íà å àññìîò åíèå íå ãîäèòñß äëß ñëó àß êóëîíîâñêîãî âçàèìîäåéñòâèß ìåæäó ôå ìèîíàìè (ò.å. íàï èìå, äëß ëåêò îíîâ â ìåòàëëå!), íî ï èìåíèìî äëß ôå ìè æèäêîñòåé ñ êî îòêîäåéñòâèåì, òèïà æèäêîãî He 3. Íåîáõîäèìîå îáîáùåíèå íà ñëó àé äàëüíîäåéñòâèß áóäåò åùå ï îâåäåíî íèæå. Çàïè åì ó àâíåíèå (.63)â ßâíîì âèäå, îã àíè èâàßñü ñëó àåì ìàëûõ q. Ðàññìîò èì ñíà àëà ñëó àé, êîãäà Γ ω íå çàâèñèò îò ñïèíîâûõ ïå åìåííûõ àñòèö. Òîãäà ñóììè îâàíèå ïî ñïèíîâûì èíäåêñàì âíóò åííèõ ëèíèé ( àñòèöû è äû êè)ï èâîäèò ï îñòî ê ïîßâëåíè ìíîæèòåëß (äëß ôå ìèîíîâ ñî ñïèíîì /). Èñïîëüçóß ßâíîå âû àæåíèå äëß A èç (.59), ïîëó èì: + Z p F m π Γ(n, n, q) =Γ ω (n, n )+ Γ ω (n, n qv ) ω qv + iγ(ω) Γ(n, n, q) dω 4π (.64) ãäå γ(ω) =γsignω, (γ +), n, n, n μ åäèíè íûå âåêòî û íàï àâëåíèé p, p è v. Èíòåã è îâàíèå â (.64)ï îèñõîäèòïîóãëàì âåêòî à v. Ðàññìîò èì â êà åñòâå ï èìå à ñëó àé, êîãäà Γ ω (n, n ) íå çàâèñèò îò óãëà ìåæäó n è n.òîãäà è Γ íå çàâèñèò îò òîãî óãëà è ñ àçó æåíàõîäèòñß èç ó àâíåíèß (.64): Γ ω Γ(qω) = Φ dx qvx ω qvx+iγ(ω) (.65) ãäå Φ = Z Γ ω m p F π. Âåëè èíà m p F π çäåñü åñòü ï îñòî ïëîòíîñòü ñîñòîßíèé íà ó îâíå Ôå ìè. Èíòåã àë â (.65) âû èñëßåòñß òàêæå, êàê è âû å â (.) è (.4), òàê òî ïîëó àåì: Γ ω Γ(qω) = } +Φ { ω qv ln ω+qv (.66) ω qv + iπ ω qv θ(qv ω ) Â ñëó àå êóëîíîâñêîãî âçàèìîäåéñòâèß, ï è q ñ åäè ã àôèêîâ, îï åäåëß ùèõ áëîê U (ñì. Ðèñ..7)äîñòàòî íî (â ïå âîì ï èáëèæåíèè)îñòàâèòü òîëüêî ñàìûé ïå âûé ã àôèê, íàïèñàâ: U = 4πe q V q (.67)

53 .9. Âçàèìîäåéñòâèå êâàçè àñòèö â ôå ìè æèäêîñòè. 53 îá àùà ùèéñß â áåñêîíå íîñòü ï è q. Ïîëàãàß Z =è îòá àñûâàß íåïîë ñíûé âêëàä â GG, ïîëó àåì: Ï è ω vq îòñ äà èìååì: V q Γ(qω) = [ ] + mpf π V q ω qv ln ω+qv (.68) ω qv + iπ ω qv θ(qv ω ) 4πe Γ(qω) = q mpf π 4πe 3 v q ω = V q ( ωp ω ) (.69) ò.å. ɛ(ω) = ω p ω, ãäå ω p = 4πne m êâàä àò ïëàçìåííîé àñòîòû. Ï è vq ω ïîëó àåì îáû íó äåáàåâñêó ê àíè îâêó: Γ(qω =)= 4πe q + κ D (.7) ãäå κ D = 4e mp F π. Ýòè ôî ìóëû, åñòåñòâåííî, ñîâïàäà ò ñ ñ ïîëó åííûìè âû å â RPA. Ï îâåäåííûé âû å îáùèé àíàëèç ïîä àçóìåâàë îòñóòñòâèå ñèíãóëß íîñòè áëîêà U ï è q, õà àêòå íîãî äëß êóëîíîâñêîãî âçàèìîäåéñòâèß. Ïî òîìó êî åêòíûé ó åò êóëîíîâñêîãî âçàèìîäåéñòâèß â àìêàõ îáùåé òåî èè ôå ìè æèäêîñòè ò åáóåò, âîîáùå ãîâî ß, ñïåöèàëüíîãî îáñóæäåíèß (Â.Ï.Ñèëèí, 957; P.Nozieres, J.M.Luttinger, 96) [9, ]. Ðàññìîò èì ï îèçâîëüíó äèàã àììó äëß âå èííîé àñòè Γ. Íàçîâåì äèàã àììó ïîäõîäßùåé [9], åñëè ìàëûé èìïóëüñ ïå åäà è q íå ïîßâëßåòñß íè â îäíîé èç åå ëèíèé âçàèìîäåéñòâèß. Â ï îòèâíîì ñëó àå êëàññèôèöè óåì äèàã àììó êàê íåïîäõîäßùó. Ñîîòâåòñòâó ùèå ï èìå û ïîêàçàíû íà Ðèñ... Ïîäõîäßùèå äèàã àììû äà ò åãóëß íûå âêëàäû ï è q. Îáîçíà èì å åç Γ ñóììó âñåõ ïîäõîäßùèõ äèàã àìì äëß âå èííîé àñòè. Îíà, î åâèäíî, òàêæå åãóëß íà ï è q. Òîãäà ßñíî, òî ï îèçâîëüíûé âêëàä â ïîëíó âå èíó èìååò ñò óêòó ó, ïîêàçàííó íà Ðèñ... Òàêèì îá àçîì ìîæåì çàïèñàòü: Γ= Γ+ T V T (.7) ãäå äèàã àììû äëß áëîêîâ V ( ê àíè îâàííîå âçàèìîäåéñòâèå!) è T ïîêàçàíû íà Ðèñ... Â àíàëèòè åñêîì âèäå (Ðèñ..(a)): V = V q + V q ΠVq + V q ΠVq ΠVq +... (.7) ï è åì Π, òàêæå êàê è T (Ðèñ..(b)) íå ñîäå æàò íåïîäõîäßùèõ äèàã àìì. SSñíî, òî: V q V = (.73) V q Π òàê òî Γ= Γ+ TV q T (.74) V q Π Âåëè èíû Γ, T, Π îáëàäà ò õî î î îï åäåëåííûìè ï åäåëàìè ï è q (òèïà Γ ω ). Ïî òîìó, âñå îáùèå ó àâíåíèß äëß àìïëèòóä àññåßíèß (âå èí) òåî èè ôå ìè æèäêîñòè, âûâåäåííûå âû å, îñòà òñß, ôàêòè åñêè, ñï àâåäëèâûìè äëß ïîäõîäßùèõ âå èí (àìïëèòóä), òàê òî ï è íàëè èè êóëîíîâñêîãî âçàèìîäåéñòâèß íàä

54 54 Ãëàâà. ÝËÅÊÒÐÎÍ ÝËÅÊÒÐÎÍÍÎÅ ÂÇÀÈÌÎÄÅÉÑÒÂÈÅ Ðèñ..: Ï èìå û íåïîäõîäßùèõ (a) è ïîäõîäßùèõ (b) äèàã àìì â çàäà å ñ êóëîíîâñêèì âçàèìîäåéñòâèåì. Ðèñ..: Îáùàß ñò óêòó à ï îèçâîëüíîãî âêëàäà â ïîëíó âå èíó â çàäà å ñ êóëîíîâñêèì âçàèìîäåéñòâèåì.

55 .9. Âçàèìîäåéñòâèå êâàçè àñòèö â ôå ìè æèäêîñòè. 55 Ðèñ..: Äèàã àììû äëß ôôåêòèâíîãî ( ê àíè îâàííîãî)âçàèìîäåéñòâèß (a) è îï åäåëåíèå áëîêà T (b). íèìè íàäî ï îñòî ïîñòàâèòü çíàê òèëüäû. Ôèçè åñêè òî îçíà àåò, òî ìû àçäåëßåì ïîëíó âå èíó Γ íà êî îòêîäåéñòâó ùó àñòü Γ è àñòü, âêë à ùó ñàìîñîãëàñîâàííîå ïîëå Γ long : Γ= Γ+Γ long (.75) êàê òî ïîêàçàíî íà Ðèñ..3. Âåëè èíà Γ long â òî íîñòè ñîîòâåòñòâóåò ôôåêòèâíîìó ñàìîñîãëàñîâàííîìó ïîë (ñêàëß íîìó ïîòåíöèàëó), êîòî îå ââîäèòñß â òåî èè Ëàíäàó Ñèëèíà [, 9, ]. Ï è òîì âåëè èíà Γ îïèñûâàåò êî îòêîäåéñòâó ùèå êî åëßöèîííûå ôôåêòû, äëß íåå â êóëîíîâñêîé (ìåòàëë)ôå ìè æèäêîñòè ïè óòñß òåæå ôåíîìåíîëîãè åñêèå âû àæåíèß, òî è â ôå ìè æèäêîñòè ñêî îòêîäåéñòâèåì (òèïà He 3 )(ñì. íèæå). Â ï îñò àíñòâåííî îäíî îäíîé ñèñòåìå âêëàä Γ long ï è q =ïîëíîñòü êîìïåíñè óåòñß ïîëîæèòåëüíûì ôîíîì (èîíîâ). Åãî îëü ñóùåñòâåííà â êèíåòè åñêîì ó àâíåíèè Ëàíäàó Ñèëèíà, îïèñûâà ùåì êîëëåêòèâíûå êîëåáàíèß ìåòàëëè åñêîé ôå ìè æèäêîñòè []. Èç ï åäûäóùåãî àññìîò åíèß ßñíî, òî èìåííî âåëè èíà Z Γ ω è èã àåò îëü àìïëèòóäû àññåßíèß êâàçè àñòèö â ôå ìè æèäêîñòè. Çàìåòèì, òî âåëè èíà Γ ω (ï è ω )âåùåñòâåííà ( ìèòîâà ïî ñïèíîâûì èíäåêñàì). Â ñàìîì äåëå, Γ ω ï åäñòàâëßåò ñîáîé àìïëèòóäó àññåßíèß äâóõ àñòèö â ñ åäå (æèäêîñòè)íà íóëåâîé óãîë (vq E F ). Ìíèìàß àñòü àìïëèòóäû àññåßíèß âïå åä, ñ ïîìîùü îïòè åñêîé òåî åìû êâàíòîâîé òåî èè àññåßíèß, âû àæàåòñß å åç ïîëíîå ñå åíèå àññåßíèß àñòèö. Íî ñå åíèå àññåßíèß àñòèö îá àùàåòñß â íóëü, êîãäà èìïóëüñû àñòèö ñò åìßòñß ê èìïóëüñó Ôå ìè, ïîñêîëüêó â òîì ñëó àå ñò åìèòñß êíóë ôàçîâûé îáúåì êîíå íûõ ñîñòîßíèé. Èìåííî äëß Γ ω èââîäèòñß îáû íîå ôåíîìåíîëîãè åñêîå ï åäñòàâëåíèå (Ë.Ä.Ëàíäàó, 958): Z Γ ω m p F π f(pσ; p σ )=f s +( σ σ )f a (.76) ï è åì f s è f a çàâèñßò çäåñü òîëüêî îò óãëà ìåæäó p è p (êîòî ûå ëåæàò íà

56 56 Ãëàâà. ÝËÅÊÒÐÎÍ ÝËÅÊÒÐÎÍÍÎÅ ÂÇÀÈÌÎÄÅÉÑÒÂÈÅ Ðèñ..3: Ïîëíàß âå èíà â òåî èè ôå ìè æèäêîñòè ñ êóëîíîâñêèì âçàèìîäåéñòâèåì. Âòî îå ñëàãàåìîå â ï àâîé àñòè ï åäñòàâëßåò ôôåêòèâíîå ñàìîñîãëàñîâàííîå ïîëå (ñêàëß íûé ïîòåíöèàë). ïîâå õíîñòè Ôå ìè), òàê òî îáû íî ââîäßò àçëîæåíèå ïî ïîëèíîìàì Ëåæàíä à: π f s,a (θ) = m p F l= F s,a l P l (cos θ) (.77) ãäå F s,a áåç àçìå íûå ïà àìåò û (êîíñòàíòû) Ëàíäàó, îïèñûâà ùèå ôå ìè æèäêîñòíîå (êî åëßöèîííîå)âçàèìîäåéñòâèå êâàçè àñòèö. Ðå åíèå èíòåã àëüíîãî ó àâíåíèß (.64)äëß Γ ìîæíî, ï è òîì, èñêàòü òàêæå ââèäå: Z m p F π Γ=ϕ +( σ σ )ψ (.78) Òîãäà äëß ϕ è ψ âîçíèêà ò ñëåäó ùèå ó àâíåíèß: + ϕ(n, n, q) =f s (n, n )+ f s qv (n, n ) ω qv + iγ(ω) ϕ(n, n, q) dω 4π (.79) + ψ(n, n, q) =f a (n, n )+ f a qv (n, n ) ω qv + iγ(ω) ψ(n, n, q) dω 4π (.8) Åñëè èíòå åñîâàòüñß êîëëåêòèâíûìè âîçáóæäåíèßìè â ôå ìè æèäêîñòè, òî ñëåäóåò èìåòü â âèäó, òî îíè îï åäåëß òñß ïîë ñàìè äâóõ àñòè íîé ôóíêöèè Ã èíà â êàíàëå àñòèöà äû êà, êîòî àß îï åäåëßåòñß ó àâíåíèåì (.39): K = K GGΓGG (.8) Â àìêàõ ôåíîìåíîëîãè åñêîãî ïîäõîäà òè êîíñòàíòû ïîäëåæàò îï åäåëåíè èç êñïå èìåíòà.

57 .9. Âçàèìîäåéñòâèå êâàçè àñòèö â ôå ìè æèäêîñòè. 57 Ñëàãàåìîå K çäåñü èìååò ïîë ñ, ñîîòâåòñòâó ùèé òîëüêî ñóììà íîé íå ãèè äâóõ ñâîáîäíûõ àñòèö, òàê òî ïîë ñà K, ñîîòâåòñòâó ùèå êîëëåêòèâíûì âîçáóæäåíèßì, èìå òñß òîëüêî â Γ. Âáëèçè òàêîãî ïîë ñà â (.44)ìîæíî ï åíåá å ü íåîäíî- îäíûì ëåíîì è íàïèñàòü: Γ=UGGΓ (.8) Åñëè òåïå ü îã àíè èòüñß âîçáóæäåíèßìè ñ ìàëûìè q p F è ω E F,òîìîæíî âîñïîëüçîâàòüñß ïå åíî ìè îâàííûì ó àâíåíèåì äëß Γ: Γ=Γ ω +Γ ω AΓ (.83) å åíèå êîòî îãî ñëåäóåò èñêàòü â âèäå (.78). Ñîîòâåòñòâåííî, â ñèñòåìå âîçìîæíû çâóêîâûå êîëåáàíèß (íóëåâîé çâóê), îïèñûâàåìûå ϕ, èñïèíîâûå âîëíû, îïèñûâàåìûå ψ. Ðàññìîò èì ïîä îáíåå ñëó àé íóëåâîãî çâóêà. Èç ó àâíåíèß (.79), âáëèçè ïîë ñà, ïîëó àåì: ϕ(n, n, q) = f s qv (n, n ) ω qv + iγ(ω) ϕ(n, n, q) dω (.84) 4π Âáëèçè ïîë ñà, ñîîòâåòñòâó ùåãî êîëëåêòèâíûì êîëåáàíèßì ñî ñïåêò îì ω q, âåëè- èíà ϕ ìîæåò áûòü çàïèñàíà â âèäå: ϕ(n, n )= χ(n)χ(n ) ω ωq ω q (.85) Òàêàß ñò óêòó à å åíèß ìîæåò áûòü îï àâäàíà èç îáùèõ ñîîá àæåíèé [8], äëß íàñ äîñòàòî íî ñêàçàòü, òî ìû ï îñòî èùåì å åíèå â òàêîì âèäå. Òîãäà äëß χ(n) âîçíèêàåò ó àâíåíèå: χ(n) = f s qv (n, n ) ω qv + iγ(ω) χ(n ) dω (.86) 4π Ââåäåì, ïî îï åäåëåíè, âåëè èíó: ρ(n) = Äëß íåå èç (.86)âîçíèêàåò ó àâíåíèå: (ω vq)ρ(n) =vq vq χ(n) (.87) ω vq + iγ(ω) f s (n, n )ρ(n ) dω 4π (.88) êîòî îå ñîâïàäàåò ñ êèíåòè åñêèì ó àâíåíèåì ôåíîìåíîëîãè åñêîé òåî èè Ëàíäàó äëß èçìåíåíèß ôóíêöèè àñï åäåëåíèß êâàçè àñòèö []. Ïîßñíèì òî ïîä îáíåå. Ìàëîå èçìåíåíèå ôóíêöèè àñï åäåëåíèß ôå ìè ãàçà (à êâàçè àñòèöû â ôå ìè æèäêîñòè, ôàêòè åñêè, îá àçó ò èìåííî òàêîé ãàç)ï è ìàëûõ q è ω ïîä èíßåòñß êèíåòè åñêîìó ó àâíåíè âèäà: (ω vq)δf q (p) = q f p V q(p) (.89) Äëß ï îñòîòû ìû ñåé àñ îã àíè èâàåìñß àññìîò åíèåì ôå ìè æèäêîñòè ñ êî îòêîäåéñòâèåì. Ôèçè åñêè íóëåâîé çâóê ï åäñòàâëßåò ñîáîé íå ï îñòî êîëåáàíèß ïëîòíîñòè æèäêîñòè, à îñöèëëßöèè ôî ìû ïîâå õíîñòè Ôå ìè []

58 58 Ãëàâà. ÝËÅÊÒÐÎÍ ÝËÅÊÒÐÎÍÍÎÅ ÂÇÀÈÌÎÄÅÉÑÒÂÈÅ ãäå f àâíîâåñíàß (ôå ìèåâñêàß)ôóíêöèß àñï åäåëåíèß, à ñàìîñîãëàñîâàííîå ïîëå (ïîòåíöèàë) V q (p) ñâßçàíî ñ èçìåíåíèåì ôóíêöèè àñï åäåëåíèß ñëåäó ùèì ñîîòíî åíèåì : V q (p) = U(p, p )δf q (p ) dp (.9) (π) 3 ãäå U(p, p ) àìïëèòóäà âçàèìîäåéñòâèß ìåæäó àñòèöàìè â èìïóëüñíîì ï åäñòàâëåíèè. Èñïîëüçóß òåïå ü: f p = p p δ( p p F ) (.9) è ïå åïèñûâàß íå àâíîâåñíó äîáàâêó ê ôóíêöèè àñï åäåëåíèß êàê: ïîëó àåì: (ω vq)ρ(n) =vq m p F π ï è p = p = p F. Ñ àâíåíèå ñ (.88)äàåò: U(p, p )= δf q (p) =δ( p p F )ρ(n) (.9) U(p, p )ρ(n ) dω 4π (.93) π m p F f s (n, n )=Z Γ ω s (p, p ) (.94) ãäå å åç Γ ω s îáîçíà èëè áåññïèíîâó àñòü àìïëèòóäû. Ðàññìîò èì å åíèå (.88)äëß ï îñòåé åãî ñëó àß, êîãäà f s (n, n )=F,ò.å. ñâîäèòñß ê åäèíñòâåííîé êîíñòàíòå. Òîãäà (.88)ñâîäèòñß ê: ρ(n) = vq ω vq F ρ(n ) dω (.95) 4π Âûïîëíßß èíòåã è îâàíèå ïî óãëàì (êàê ìû òî óæå äåëàëè àíü å), ïîëó àåì ó àâíåíèå: = ω F vq ln ω + vq ω ω vq + iπ θ(vq ω ) (.96) vq å åíèå êîòî îãî è äàåò çàêîí äèñïå ñèè íóëåâîãî çâóêà. Âåùåñòâåííàß àñòîòà (îòñóòñòâèå çàòóõàíèß)ñîîòâåòñòâóåò îáëàñòè ω >vq, èëè, åñëè îáîçíà èòü ω q = svq: = s s + ln, ãäå s> (.97) F s Íåò óäíî âèäåòü, òî ï àâàß àñòü çäåñü ïîëîæèòåëüíà, ïî òîìó íóëåâîé çâóê âîçìîæåí òîëüêî ï èf >. Â ï åäåëüíûõ ñëó àßõ: s F =+e F s F = F /3 (.98) Â çàêë åíèå, ï èâåäåì áåç äåòàëåé âûâîäà ßä îñíîâíûõ ñîîòíî åíèé ñòàíäà òíîé òåî èè ôå ìè æèäêîñòè []. Â àñòíîñòè, ñ èñïîëüçîâàíèåì ãàëèëååâîé èíâà èàíòíîñòè, ìîæíî ïîêàçàòü, òî ôôåêòèâíàß ìàññà m îï åäåëßåòñß ï îñòûì ñîîòíî åíèåì: m s m =+F (.99) 3 Èìåííî ê V q(p) â òåî èè Ëàíäàó Ñèëèíà íóæíî åùå äîáàâèòü âêëàä ñàìîñîãëàñîâàííîãî ñêàëß íîãî ïîòåíöèàëà, îï åäåëß ùåãî ëåêò è åñêîå ïîëå, êîòî ûé îï åäåëßåòñß ñîâìåñòíûì å åíèåì êèíåòè åñêîãî ó àâíåíèß è ó àâíåíèß Ïóàññîíà.

59 .. Íåôå ìèæèäêîñòíîå ïîâåäåíèå. 59 Ñîîòâåòñòâåííî, òåïëîåìêîñòü ôå ìè æèäêîñòè (ï è T =): ãäå c òåïëîåìêîñòü ôå ìè ãàçà. Ìàãíèòíàß âîñï èèì èâîñòü: χ = m m c = m m c (.) +F a χ (.) ãäå χ âîñï èèì èâîñòü èäåàëüíîãî ôå ìè ãàçà. Àíàëîãè íûì îá àçîì, ñæèìàåìîñòü ôå ìè æèäêîñòè åñòü: κ = m m +F s κ (.) ãäå κ ñæèìàåìîñòü ôå ìè ãàçà. Èñïîëüçóß òè ñîîòíî åíèß ìîæíî ï èéòè ê íåêîòî ûì îáùèì âûâîäàì. Íàï èìå èç (.) è (.)ñ àçó ñëåäó ò óñëîâèß óñòîé èâîñòè îäíî îäíîé ôå ìè æèäêîñòè: +F a > ; + F s > (.3) Â ñàìîì äåëå, +F s < ï èâåëî áû ê îò èöàòåëüíîé ñæèìàåìîñòè ( òî ìîæåò îçíà àòü, òî â ñèñòåìå ï îèñõîäèò ñò óêòó íûé ôàçîâûé ïå åõîä, êîòî ûé ïå åâîäèò ñèñòåìó â íîâîå óñòîé èâîå ñîñòîßíèå!). Îáùèé àíàëèç óñòîé èâîñòè ôå ìè æèäêîñòè (È.SS.Ïîìå àí óê, 957)äàåò ñëåäó ùèå íå àâåíñòâà, êîòî ûå äîëæíû óäîâëåòâî ßòüñß äëß âñåõ l: + l + F s,a l > (.4) Íàï èìå, äëß l =óñëîâèå (.4)ãà àíòè óåò ïîëîæèòåëüíîñòü m èç (.99). Èç (.)âèäíî, òî äëß ñèñòåì, áëèçêèõ ê ìàãíèòíîé íåóñòîé èâîñòè, ìîæåò áûòü +F a. Âåëè èíó òîãî ïà àìåò à ìîæíî êñïå èìåíòàëüíî îï åäåëèòü èç èçìå åíèé âîñï èèì èâîñòè è òåïëîåìêîñòè, íàõîäß òàê íàçûâàåìîå îòíî åíèå Âèëüñîíà: R W = π χt 3µ B c = +F a. Íåôå ìèæèäêîñòíîå ïîâåäåíèå. (.5) Ê îìå íî ìàëüíîé ôå ìè æèäêîñòè ñóùåñòâóåò åùå öåëûé ßä òèïîâ îñíîâíîãî ñîñòîßíèß ìíîãî ëåêò îííûõ ñèñòåì. Â àñòíîñòè, ñèñòåìà ìîæåò ïå åéòè â ñâå õï îâîäßùåå ñîñòîßíèå, âîçìîæíû àçëè íûå òèïû ìàãíèòíîãî óïî ßäî åíèß èëè ñîñòîßíèß ñ íåîäíî îäíûì àñï åäåëåíèåì çà ßäà (âîëíîé çà ßäîâîé ïëîòíîñòè CDW). Íåêîòî ûå èç òèõ ñîñòîßíèé ìîãóò áûòü äè ëåêò è åñêèìè. Ìíîãèå èç òèõ âîçìîæíîñòåé ìû åùå áóäåì îáñóæäàòü íèæå. Íî ñóùåñòâóåò è îáùèé ï èíöèïèàëüíûé âîï îñ μ ßâëßåòñß-ëè ôå ìè æèäêîñòü Ëàíäàó åäèíñòâåííûì âîçìîæíûì ñîñòîßíèåì íî ìàëüíîãî ìåòàëëà, â êîòî îì íå âîçíèêàåò êàêîé ëèáî äàëüíèé ïî ßäîê? Ýòà ï îáëåìà àêòèâíî îáñóæäàåòñß â ïîñëåäíèå ãîäû, îñîáåííî â ñâßçè ñ ôèçèêîé âûñîêîòåìïå àòó íûõ ñâå õï îâîäíèêîâ (ÂÒÑÏ)íà îñíîâå îêñèäîâ ìåäè. Íåôå ìèæèäêîñòíîå ïîâåäåíèå, êàê ï àâèëî, åàëèçóåòñß â îäíîìå íûõ ìîäåëßõ, îñíîâîïîëàãà ùèé ï èìå ìîäåëè Òîìîíàãà Ëàòòèíæå à áóäåò àññìîò åí

60 6 Ãëàâà. ÝËÅÊÒÐÎÍ ÝËÅÊÒÐÎÍÍÎÅ ÂÇÀÈÌÎÄÅÉÑÒÂÈÅ Ðèñ..4: Ñîáñòâåííî íå ãåòè åñêàß àñòü â òåî èè ìà ãèíàëüíîé ôå ìè æèäêîñòè. â ñàìîì êîíöå íà èõ ëåêöèé. ÂÒÑÏ ñèñòåìû îòíîñßòñß ê ïîã àíè íîìó ñëó à äâóìå íûõ (êâàçèäâóìå íûõ)ñèñòåì, âîï îñ îá èõ îñíîâíîì ñîñòîßíèè îñòàåòñß, â çíà èòåëüíîé ìå å, îòê ûòûì. Ï è òîì äëß íèõ ñóùåñòâóåò öåëûé ßä ñöåíà èåâ ôî ìè îâàíèß íåôå ìèæèäêîñòíîãî ïîâåäåíèß. Çäåñü ìû îñòàíîâèìñß òîëüêî íà î åíü ê àòêîì îáñóæäåíèè ìîäåëè òàê íàçûâàåìîé ìà ãèíàëüíîé ôå ìè æèäêîñòè [3]. Â òîé òåî èè ï åäïîëàãàåòñß 3, òî ïîëß èçàöèîííûé îïå àòî ëåêò îííîé ñèñòåìû Π(qω) íå èìååò çàìåòíîé çàâèñèìîñòè îò q, à åãî àñòîòíàß çàâèñèìîñòü åãî ìíèìîé àñòè èìååò âèä: { N(EF ) ImΠ(qω) = ω T ï è ω T N(E F ) ï è (.6) T ω ω c Çäåñü ω c îï åäåëåííàß àñòîòà îá åçàíèß, ï è åì ï åäïîëàãàåòñß, òî ω c E F. Èñïîëüçóß äèñïå ñèîííûå ñîîòíî åíèß Ê àìå ñà Ê îíèãà, ìîæíî âîññòàíîâèòü âèä äåéñòâèòåëüíîé àñòè Π, ñîîòâåòñòâó ùèé (.6): ( ω ) ReΠ(qω) N(E F )ln (.7) T Ñ ïîìîùü òèõ ñîîòíî åíèé ìîæíî îöåíèòü ñîáñòâåííî íå ãåòè åñêó àñòü ëåêò îíà, îï åäåëßåìó äèàã àììîé Ðèñ..4: Σ λε [ln xωc + i π ] signε (.8) ãäå x = Max(ε, T ), à λ íåêîòî àß êîíñòàíòà âçàèìîäåéñòâèß. Òîãäà, èñïîëüçóß (.49)ñ àçó æå ïîëó àåì: Z = ReΣ ε ( ) (.9) x λ ln ω c Òàêèì îá àçîì ïîëó àåòñß, òî âû åò â ïîë ñå ôóíêöèè Ã èíà ñò åìèòñß ê íóë ï è ïå åõîäå íà ñàìó ïîâå õíîñòü Ôå ìè, òàê òî êàê àç íà íåé êâàçè àñòèöû óæå íå îï åäåëåíû! Çàòóõàíèå êâàçè àñòèö, îï åäåëßåìîå ìíèìîé àñòü Σ (.8) ëèíåéíî ïî íå ãèè, îòñ èòàííîé îò ó îâíß Ôå ìè: γ ε. Ïî òîìó êâàçè àñòèöû îï åäåëåíû òîëüêî ìà ãèíàëüíî (â îòëè èå îò òåî èè Ëàíäàó, â êîòî îé, êàê ìû âèäåëè, èìååì îöåíêó γ ε ). 3 Ýòè ï åäïîëîæåíèß ñîîòâåòñòâó ò êà åñòâåííîìó ïîâåäåíè ëåêò îííûõ ñâîéñòâ ÂÒÑÏ êóï- àòîâ â íî ìàëüíîì ñîñòîßíèè.

61 .. Íåôå ìèæèäêîñòíîå ïîâåäåíèå. 6 òî ìîæåò ï èâåñòè ê òàêîìó ïîâåäåíè â íàñòîßùåå â åìß íå âïîëíå ßñíî, õîòß ôåíîìåíîëîãèß ìà ãèíàëüíîé ôå ìè æèäêîñòè íåïëîõî îïèñûâàåò îñíîâíûå àíîìàëèè ëåêò îííûõ ñâîéñòâ ÂÒÑÏ â íî ìàëüíîé ôàçå. Ïî òîìó, â àñòíîñòè, îíà ïîëüçóåòñß îï åäåëåííîé ïîïóëß íîñòü ï è ïîäãîíî íîì îïèñàíèè êñïå èìåíòîâ [3]. Çàìåòèì, òî îáñóæäàåìàß ï îáëåìà òåñíî ñâßçàíà ñ ïîíèæåííîé àçìå íîñòü èçó àåìûõ ñèñòåì. Êàê óæå îòìå àëîñü, â îäíîìå íûõ ìîäåëßõ âçàèìîäåéñòâó ùèõ ëåêò îíîâ òåî èß ôå ìè æèäêîñòè Ëàíäàó íå àáîòàåò íèêîãäà. Ìíîãèå òåî åòèêè ñ èòà ò, òî àíàëîãè íàß ñèòóàöèß åàëèçóåòñß è â äâóìå íîì ñëó àå, õà àêòå íîì äëß ÂÒÑÏ ñèñòåì. Ï è òîì ñ èòàåòñß, òî ôèçè åñêàß ï è èíà àíîìàëüíîãî ïîâåäåíèß ñâßçàíà ñ íàëè èåì ñèëüíûõ ìåæ ëåêò îííûõ êî åëßöèé,êîòî ûå íå óäàåòñß îïèñàòü â îáû íîì ôå ìèæèäêîñòíîì ïîäõîäå, òàê èëè èíà å ñòà òó ùåì ñ êà òèíû îñíîâíîãî ñîñòîßíèß òèïà èäåàëüíîãî ôå ìè ãàçà. Â òîæå â åìß, öåëûé ßä äåòàëüíûõ èññëåäîâàíèé ïîêàçàë, òî, ñêî åå âñåãî, ôå ìè æèäêîñòíîå îïèñàíèå ñîõ àíßåòñß è äëß äâóìå íûõ (êâàçèäâóìå íûõ)ñèñòåì.

62 6 Ãëàâà. ÝËÅÊÒÐÎÍ ÝËÅÊÒÐÎÍÍÎÅ ÂÇÀÈÌÎÄÅÉÑÒÂÈÅ

63 Ãëàâà 3 ÝËÅÊÒÐÎÍ ÔÎÍÎÍÍÎÅ ÂÇÀÈÌÎÄÅÉÑÒÂÈÅ 3. Ï àâèëà äèàã àììíîé òåõíèêè. Ôîíîíû ï åäñòàâëß ò ñîáîé êâàíòû êîëåáàíèé ê èñòàëëè åñêîé å åòêè. Ôîíîíû áûâà ò àêóñòè åñêèå è îïòè åñêèå. Îòëè èå ìåæäó íèìè ñîñòîèò â òîì, òî àñòîòà àêóñòè åñêèõ ôîíîíîâ îá àùàåòñß â íóëü ï è k, à àñòîòà îïòè åñêèõ ôîíîíîâ îñòàåòñß â òîì ï åäåëå êîíå íîé. Àêóñòè åñêèå ôîíîíû ñóùåñòâó ò âñåãäà òî, ôàêòè åñêè, ãîëäñòîóíîâñêàß ìîäà, ñâßçàííàß ñ íà ó åíèåì ò àíñëßöèîííîé èíâà èàíòíîñòè ñèñòåìû. Îïòè åñêèå ôîíîíû ñóùåñòâó ò òîëüêî â ê èñòàëëàõ,ñîäå æàùèõ áîëåå îäíîãî àòîìà â ëåìåíòà íîé ß åéêå. Äëß îïèñàíèß ñïåêò à ôîíîíîâ àñòî ïîëüçó òñß óï îùåííûìè ìîäåëßìè Äåáàß è Ýéí òåéíà. Â ìîäåëè Äåáàß ñïåêò ôîíîíîâ ïîëàãàåòñß àâíûì ω (k) =ck (c ñêî îñòü çâóêà)ï è âñåõ k<k D.Âìîäåëè Ýéíùòåéíà àñòîòà ôîíîíîâ ïîëàãàåòñß íå çàâèñßùåé îò âîëíîâîãî âåêòî à: ω (k) =Ω ï è âñåõ çíà åíèßõ k. Äåáàåâñêèå ôîíîíû óï îùåííàß ìîäåëü àêóñòè åñêèõ ôîíîíîâ, à éí òåéíîâñêèå îïòè åñêèõ. Èç-çà òîãî, òî ßä à ê èñòàëëè åñêîé å åòêè çà ßæåíû, ôîíîíû ìîãóò âçàèìîäåéñòâîâàòü ñ ëåêò îíàìè. Ï è êîëåáàíèßõ å åòêè ëåêò è åñêîå ïîëå ßäå, äåéñòâó ùåå íà ëåêò îíû, îòêëîíßåòñß îò ñ åäíåãî. Ïîòåíöèàë âîçíèêà ùåãî äîáàâî íîãî ïîëß ï èíßòî íàçûâàòü äåôî ìàöèîííûì ïîòåíöèàëîì. Â ï èíöèïå, èççà òîãî, òî êóëîíîâñêèå ñèëû äàëüíîäåéñòâó ùèå, âçàèìîäåéñòâèå ëåêò îíîâ ñ ôîíîíàìè ìîãëî áû áûòü ñèëüíî íåëîêàëüíûì. Â äåéñòâèòåëüíîñòè, êàê ìû âèäåëè âû å, òî ëåêò è åñêîå ïîëå (â ìåòàëëå) õî î î ê àíè óåòñß, ïî òîìó, â áîëü- èíñòâå ñëó àåâ, ëåêò îí ôîíîííîå âçàèìîäåéñòâèå ìîæíî ñ èòàòü ëîêàëüíûì. Ñâßçü äåôî ìàöèîííîãî ïîòåíöèàëà ñî ñìåùåíèåì å åòêè àçëè íà äëß îïòè åñêèõ è àêóñòè åñêèõ ôîíîíîâ. Ï è àêóñòè åñêèõ êîëåáàíèßõ ñîñåäíèå àòîìû ñìåùà òñß ïî òè îäèíàêîâî. Ïî òîìó ëåêò è åñêîå ïîëå ïî òè íå ìåíßåòñß. Åãî èçìåíåíèå ï îïî öèîíàëüíî àçíîñòè ñìåùåíèé ñîñåäíèõ àòîìîâ, à äåôî ìàöèîííûé ïîòåíöèàë U d ac divu, ãäå u(r) ñìåùåíèå. Â ñëó àå îïòè åñêèõ ôîíîíîâ ñîñåäíèå àòîìû êîëåáë òñß â ï îòèâîôàçå, òàê òî U d op u(r). òîáû ï åäñòàâèòü âçàèìîäåéñòâèå åäèíûì îá àçîì, ââåäåì ( ìèòîâ!)îïå àòî ôîíîííîãî ïîëß 63

64 64 Ãëàâà 3. ÝËÅÊÒÐÎÍ ÔÎÍÎÍÍÎÅ ÂÇÀÈÌÎÄÅÉÑÒÂÈÅ â âèäå []: ˆϕ(rt) =i k ω (k) V [ˆbk e ikr iω(k)t ˆb + k e ikr+iω(k)t] (3.) ãäå ˆb +, ˆb k k îïå àòî û îæäåíèß è óíè òîæåíèß ôîíîíîâ, V îáúåì ñèñòåìû. Òîãäà ϕ(r) u(r) äëß àêóñòè åñêèõ ôîíîíîâ è ϕ(r) u(r) äëß îïòè åñêèõ ôîíîíîâ. Ñîîòâåòñòâåííî, ãàìèëüòîíèàí âçàèìîäåéñòâèß ëåêò îíîâ ñ ôîíîíàìè çàïèñûâàåòñß ñëåäó ùèì îá àçîì []: H int = g dr ˆψ + (r) ˆψ(r)ˆϕ(r) (3.) ãäå g êîíñòàíòà ëåêò îí ôîíîííîãî âçàèìîäåéñòâèß. Ãàìèëüòîíèàí (3.)ñîäå æèò ï îñòî ï îèçâåäåíèå ëåêò îííîé ïëîòíîñòè íà äåôî ìàöèîííûé ïîòåíöèàë. Ï àâèëà äèàã àììíîé òåõíèêè äëß ëåêò îíîâ è ôîíîíîâ âûãëßäßò ïî òè òàêæå, êàê è äëß äâóõ àñòè íîãî âçàèìîäåéñòâèß []. Äëß àñ åòà ëåêò îííîé ôóíêöèè Ã èíà ï è T =èìååì: Îòëè íû îò íóëß òîëüêî äèàã àììû åòíîãî ïî ßäêà ïî âçàèìîäåéñòâè. Äèàã àììà ïî ßäêà n ñîäå æèò 3n +âíóò åííèõ ( ëåêò îííûõ è ôîíîííûõ) ëèíèé è n âå èí, òî ñîîòâåòñòâóåò 3n (n ) = n íåçàâèñèìûì èíòåã è îâàíèßì. Âñåì ëèíèßì ï èïèñûâà òñß îï åäåëåííûå 4 èìïóëüñû, êîòî- ûå ñîõ àíß òñß â âå èíàõ âçàèìîäåéñòâèß. Ýëåêò îíó ñîïîñòàâëßåòñß ñïëî íàß ëèíèß, êîòî îé îòâå àåò âû àæåíèå äëß ñâîáîäíîé ôóíêöèè Ã èíà: ï è åì G (p) = δ αβ ε ξ(p)+iδsignξ(p) ãäå δ + (3.3) ξ(p) = p m µ v F ( p p F ) (3.4) íå ãåòè åñêèé ñïåêò ñâîáîäíûõ ôå ìèîíîâ, íå ãèß êîòî ûõ îòñ èòûâàåòñß îò ó îâíß Ôå ìè (õèìè åñêîãî ïîòåíöèàëà µ), p F è v F èìïóëüñ è ñêî îñòü íà ïîâå õíîñòè Ôå ìè. Ïóíêòè íîé ëèíèè ñîïîñòàâëßåòñß ôó üå îá àç ôîíîííîé ôóíêöèè Ã èíà: D (k) = ω (k) ω ω (k)+iδ ãäå δ + (3.5) Ï îâîäèòñß èíòåã è îâàíèå ïî n íåçàâèñèìûì èìïóëüñàì è àñòîòàì (4 èìïóëüñàì). Ðåçóëüòàò óìíîæàåòñß íàêî ôôèöèåíò (g) n (π) 4n (i) n (s +) F ( ) F,ãäå F èñëî çàìêíóòûõ ôå ìèîííûõ ïåòåëü, à s ñïèí ôå ìèîíà (äëß ëåêò îíà s =/, òàê òî ôàêòè åñêè ó íàñ âñåãäà s +=). Ï è T> âñå àíàëîãè íî: Êàæäîé ñïëî íîé ( ëåêò îííîé) ëèíèè ñ èìïóëüñîì p è ìàöóáà îâñêîé àñòîòîé ε n =(n +)πt ñîïîñòàâëßåòñß âû àæåíèå: G (ε n p)= δ αβ iε n ξ(p) (3.6)

65 3.. Ï àâèëà äèàã àììíîé òåõíèêè. 65 Êàæäîé ôîíîííîé (ïóíêòè íîé)ëèíèè ñ èìïóëüñîì k è àñòîòîé ω m =πmt ñîïîñòàâëßåòñß: D (k) = ω (k) ωm + ω (k) (3.7) Ðåçóëüòàò óìíîæàåòñß íà êî ôôèöèåíò g n ( ) n (π) (s +) F ( ) F, ãäå F 3n îïßòü îáîçíà àåò èñëî ôå ìèîííûõ ïåòåëü äèàã àììû, à s = / ñïèí ëåêò îíà. Ï èâåäåííûé â äèàã àììíûõ ï àâèëàõ âèä ôîíîííîé ôóíêöèè Ã èíà ñîîòâåòñòâóåò ï èíßòîé â (3.) íî ìè îâêå ôîíîííîãî îïå àòî à [] : r ω (k) ϕ(k) = (b k + b + k ) (3.8) Â ëèòå àòó å àñòî èñïîëüçóåòñß è ä óãàß íî ìè îâêà [5]: Òîãäà ôóíêöèß Ã èíà ñâîáîäíûõ ôîíîíîâ ï èíèìàåò âèä [5]: D (kω) = T n ϕ(k) =b k + b + k (3.9) ω ω (k)+iδ ω + ω (k) iδ = ω (k) ω ω (k)+iδ (3.) Ñîîòâåòñòâåííî, ï è èñïîëüçîâàíèè àçíûõ íî ìè îâîê, âîçíèêà ò îï åäåëåííûå îòëè èß â çàïèñè ìàò è íûõ ëåìåíòîâ ëåêò îí ôîíîííîãî âçàèìîäåéñòâèß, êîòî ûå êîìïåíñè ó ò òè àçëè- èß, òàê òî ôèçè åñêèå åçóëüòàòû îñòà òñß îäèíàêîâûìè. Ýòî âàæíî ïîíèìàòü ï è ñ àâíåíèè åçóëüòàòîâ àçëè íûõ àâòî îâ. Ï è èñïîëüçîâàíèè (3.9) ãàìèëüòîíèàí âçàèìîäåéñòâèß (3.) çàïèñûâàåòñß êàê [5] (äëß ê àòêîñòè ïîëàãàåì çäåñü V =): H int = X pk ḡ k a + p+k ap(b k + b + k ) (3.) Íî åñëè èñïîëüçîâàòü íî ìè îâêó (3.8), òî èìååì: X r ω (k) H int = g a + p+k ap(b k + b + k ) (3.) pk òî ï èâîäèò ê àçëè è â îï åäåëåíèè êîíñòàíò ëåêò îí ôîíîííîãî âçàèìîäåéñòâèß. Â àñòíîñòè, äëß ñîîòâåòñòâó ùåé áåç àçìå íîé êîíñòàíòû â îòå åñòâåííîé ëèòå àòó å àùå èñïîëüçó ò []: ζ = g ν F (3.3) òîãäà, êàê â çàïàäíîé ëèòå àòó å îáû íî ïè óò: Ï ßìîå ñ àâíåíèå (3.) è (3.) äàåò: λ = ḡ k ν F ω (k) (3.4) r ω (k) ḡ k = g (3.5) Â äàëüíåé åì ìû ñòà àåìñß ï èäå æèâàòüñß îáîçíà åíèé []. Âû èñëåíèå ñîáñòâåííî íå ãåòè åñêîé àñòè ëåêò îíà ïîçâîëßåò, â ï èíöèïå, íàéòè ñïåêò ëåêò îíîâ ñ ó åòîì ëåêò îí ôîíîííîãî âçàèìîäåéñòâèß. Äëß îï åäåëåíèß ñïåêò à ôîíîíîâ íóæíî íàéòè ïîë ñà ôîíîííîé ôóíêöèè Ã èíà D(ωk). Êàê è äëß ôóíêöèè Ã èíà ëåêò îíîâ G(Ep), äëß ôîíîííîé ôóíêöèè Ã èíà ìîæíî ï îâåñòè âûäåëåíèå ñîáñòâåííî íå ãåòè åñêîé àñòè, êîòî àß ôàêòè åñêè ßâëßåòñß ïîëß èçàöèîííûì îïå àòî îì Π(ωk) ñ ïîï àâêàìè îò ëåêò îí ôîíîííîãî âçàèìîäåéñòâèß, êàê òî ïîêàçàíî íà Ðèñ. 3.. Ó àâíåíèå Äàéñîíà äëß ôîíîííîé Äîòî íîìó èòàòåë ïîëåçíî óáåäèòüñß â ôèçè åñêîé êâèâàëåíòíîñòè çàïèñåé, ï èíßòûõ â (3.) è (3.8.)

66 66 Ãëàâà 3. ÝËÅÊÒÐÎÍ ÔÎÍÎÍÍÎÅ ÂÇÀÈÌÎÄÅÉÑÒÂÈÅ Ðèñ. 3.: Ã àôèêè äëß ñîáñòâåííî íå ãåòè åñêîé àñòè ôîíîíà. ôóíêöèè Ã èíà èìååò âèä: D(ωk) =D (ωk)+d (ωk)g Π(ωk)D(ωk) (3.6) è èìååò å åíèå: D (ωk) =D (ωk) g Π(ωk) (3.7) Ñîîòâåòñòâåííî, ñïåêò ôîíîíîâ îï åäåëßåòñß ó àâíåíèåì: D (ωk) =g Π(ωk) (3.8) Åñëè ââåñòè áåç àçìå íó êîíñòàíòó ëåêò îí ôîíîííîãî âçàèìîäåéñòâèß êàê ζ = g ν F (ν F = mpf π - ïëîòíîñòü ñîñòîßíèé íà ó îâíå Ôå ìè â àñ åòå íà îäíó ï îåêöè ñïèíà), òî 3 îöåíêà èç îáùèõ ñîîá àæåíèé äàåò îáû íî ζ. Ïî òîìó, êàçàëîñü áû, ñâßçü ëåêò îíîâ ñ ôîíîíàìè âñåãäà ßâëßåòñß äîñòàòî íî ñèëüíîé. Íî îêàçûâàåòñß, êàê ìû óâèäèì íèæå, â àññìàò èâàåìîé çàäà å ñóùåñòâóåò äîïîëíèòåëüíûé ïà àìåò ìàëîñòè, ïîçâîëß ùèé íàéòè äîñòàòî íî ï îñòîå å åíèå áåç ï åäïîëîæåíèß î ìàëîñòè g. Ýòî òàê íàçûâàåìûé ïà àìåò àäèàáàòè íîñòè ω D E F m M (çäåñü ω D - äåáàåâñêàß àñòîòà, m ìàññà ëåêò îíà, à M ìàññà èîíà). Äåëî â òîì, òî èîíû, ââèäó èõ áîëü îé ìàññû, äâèãà òñß ãî àçäî ìåäëåííåå, íåæåëè ëåêò îíû. Ñîîòâåòñòâåííî, ëåêò îíû íå ìîãóò àñêà àòü å åòêó, âìåñòî òîãî îíè ïîäñò àèâà òñß ïîä åå ëîêàëüíó êîíôèãó àöè. Ìû óâèäèì, òîâ åçóëüòàòå ëåêò îí ôîíîííîå âçàèìîäåéñòâèå íå ï èâîäèò ê àç ó åíè ôå ìèæèäêîñòíîé êà òèíû. 3. Ñîáñòâåííî íå ãåòè åñêàß àñòü ëåêò îíà. Ðàññìîò èì [3] ï îñòåé èé âêëàä â ñîáñòâåííî íå ãåòè åñêó àñòü ëåêò îíà, îï åäåëßåìûé ã àôèêîì Ðèñ. 3.. Ñîîòâåòñòâó ùåå àíàëèòè åñêîå âû àæåíèå èìååò âèä (äëß ñëó àß âçàèìîäåéñòâèß ñ àêóñòè åñêèìè ôîíîíàìè): Σ(Ep) = ig (π) 4 dωd 3 k c k E ω ξ(p k)+iδsignξ(p k) ω c k + iδ (3.9) Çäåñü èìå òñß ïîë ñà ï è ω = E ξ(p k)+iδsignξ(p k) è ω,3 = ±(ck iδ). Ìîæíî çàìêíóòü êîíòó èíòåã è îâàíèß òàê, òîáû âíóò è íåãî îêàçàëñß òîëüêî îäèí èç ïîë ñîâ ôîíîííîé ôóíêöèè Ã èíà. Èíòåã àë ïî áåñêîíå íî óäàëåííîé ïîëóîê óæíîñòè îá àùàåòñß âíóëü. Ñîîòâåòñòâåííî, ïîñëå ëåìåíòà íûõ âûêëàäîê ïîëó àåì: Σ(Ep) = g d (π) (Zξ 3 k 3 p k < E + ck ξ(p k) iδ = g c 6π 3 (Zξ p k > c k ( )ck Zξ p k > kd 3 k E ck ξ(p k)+iδ + Zξ p k < d 3 k E ck ξ(p k)+iδ ) c k = ck kd 3 k E + ck ξ(p k) iδ ) =

67 3.. Ñîáñòâåííî íå ãåòè åñêàß àñòü ëåêò îíà. 67 Ðèñ. 3.: Ï îñòåé èé âêëàä â ñîáñòâåííî íå ãåòè åñêó àñòü ëåêò îíà îò ëåêò îí ôîíîííîãî âçàèìîäåéñòâèß. = g c 6π 3 (Z p k >p F Z kd 3 k E ck v F ( p k p F )+iδ + p k <p F ) kd 3 k E + ck v F ( p k p F ) iδ Îáîçíà èì å åç x êîñèíóñóãëà ìåæäó âåêòî àìè k è p,òîãäà èìååì p = p k = p + k pkx è d 3 k =πk dkdx, òàê òî p dp = pkdx. Òîãäà (3.)çàïèñûâàåòñß êàê: Σ(Ep) = g c 8π p (Z Z k dkdp p p >p F E ck v F (p p F )+iδ + ) k dkdp p p <p F E + ck v F (p p F ) iδ (3.) Îñíîâíîé âêëàä â èíòåã àëû çäåñü äàåò îê åñòíîñòü ïîë ñîâ, íî â íåé ìîæíî ïîëîæèòü p p p F,ïîñêîëüêó ω D E F. Ïî òîìó ìîæíî ï åíåá å ü îòëè èåì p îò p è çàïèñàòü: Σ(E) = g c 8π (Z Z k dkdp p >p F E ck v F (p p F )+iδ + Òîãäà äëß ìíèìîé àñòè Σ(E) ïîëó àåì: (Z ImΣ(E) = g c 8π ) k dkdp p <p F E + ck v F (p p F ) iδ (3.) ) δ(e ck v F (p p F ))k dkdp δ(e + ck v F (p p F ))k p >p F Zp<pF dkdp (3.3) Ïå âîå ñëàãàåìîå çäåñü (îòëè íîå îò íóëß ï è E>)äàåò â åìß æèçíè ëåêò îíîâ, à âòî îå (îòëè íîå îò íóëß ï è E<) â åìß æèçíè äû îê. Ðàññìîò èì òåïå ü ï åäåëüíîå ïîâåäåíèå çàòóõàíèß ï è E ω D è E ω D. (3.) Ñëó àé E ω D Ï è E>âêëàä äàåò òîëüêî ïå âûé ëåí â (3.3), ãäå èíòåã è îâàíèå ïî k íóæíî ï îâîäèòü ïî îáëàñòè k<e/c,èíà å p, îï åäåëßåìûé à ãóìåíòîì δ-ôóíêöèè, îêàæåòñß ìåíü å p F. Ïî òîìó èìååì: ImΣ(E) = g c 8π ck<e k dk = g ce 3 (3.4) v F 4πv F c 3 Ââîäß áåç àçìå íó êîíñòàíòó ëåêò îí ôîíîííîãî âçàèìîäåéñòâèß ζ = g ν F, ïîëó àåì: ImΣ(E) = ζπe3 (3.5) p F c

68 68 Ãëàâà 3. ÝËÅÊÒÐÎÍ ÔÎÍÎÍÍÎÅ ÂÇÀÈÌÎÄÅÉÑÒÂÈÅ Ï è E < âêëàä äàåò òîëüêî âòî îé ëåí â (3.3). Âû èñëßß èíòåã àë, ñíîâà ïîëó àåì (3.5) èç-çà ëåêò îí äû î íîé ñèììåò èè çàäà è (ñï àâåäëèâîé ï è E E F )ìíèìàß àñòü ImΣ(E) ßâëßåòñß íå åòíîé ôóíêöèåé E. Âèäèì, òî ï è E èìååì ImΣ(E) E,òàê òî ëåêò îí ôîíîííîå âçàèìîäåéñòâèå íå àç ó àåò ôå ìèæèäêîñòíó êà òèíó, ï è åì â ñèëó E 3 çàâèñèìîñòè çàòóõàíèß îëü ôîíîíîâ ï è E âîîáùå ñòàíîâèòñß ï åíåá åæèìîé ïî ñ àâíåíè ñ îáñóæäàâ èìñß âû å çàòóõàíèåì îò ëåêò îí ëåêò îííûõ ñòîëêíîâåíèé, êîòî îå E.Âòîæå â åìß ßñíî, òî òî óòâå æäåíèå ñï àâåäëèâî ëè ü ï è E (T ). Ñëó àé E ω D Â òîì ñëó àå èíòåã è îâàíèå ïî p â (3.3)íå ñîçäàåò îã àíè åíèé íà îáëàñòü èíòåã è îâàíèß ïî k,êîòî àß àñï îñò àíßåòñß òåïå ü âïëîòü äî k = k D. Âû èñëßß èíòåã àë òèïà (3.4), ïîëó èì: ImΣ(E) = g 8πv F c k3 D 3 signe = g k 3 D mc 4πp F signe (3.6) Âû àæàß îïßòü çàòóõàíèå å åç áåç àçìå íó êîíñòàíòó ζ, èìååì: ImΣ(E) = ζπk3 D c p signe (3.7) F Íåò óäíî âèäåòü, òî â äàííîì ï åäåëå ImΣ ζω D.Òàêèì îá àçîì äàæå ï è ζ ôîíîííàß ïå åíî ìè îâêà ìàëà â ñèëó ω D E F. ãäå Ïå åéäåì òåïå ü ê àñ åòó ReΣ(E). Èç (3.)èìååì: (Z Z ReΣ(E) = g c k dkdp 8π p >p F E ck v F (p p F ) + k dkdp = p <p F E + ck v F (p p F ) Z = g c 8π dkk I (k) (3.8) k<k D dp I (k) = p >p F E ck v F (p p F ) + dp p <p F E + ck v F (p p F ) ) (3.9) Ôî ìàëüíî ïå âûé èíòåã àë àñõîäèòñß, íî òà àñõîäèìîñòü íåôèçè åñêàß, ïîñêîëüêó ï è áîëü îé àçíèöå p è p íóæíî ó èòûâàòü îòêëîíåíèå ëåêò îííîãî ñïåêò à îò èñïîëüçóåìîãî íàìè ëèíåéíîãî ï èáëèæåíèß (à òàêæå èêîíå íó è- èíó çîíû). Ïî òîìó ìîæíî ï îñòî îá åçàòü èíòåã è îâàíèå íà p = p p F. Òî íûé âûáî òîãî ïà àìåò à îá åçàíèß íåñóùåñòâåí, îí íå âëèßåò íà âû àæåíèå äëß ñïåêò à, à ï èâîäèò ëè ü ê ïå åíî ìè îâêå õèìïîòåíöèàëà (âêëàäó â ReΣ()). Òàêèì îá àçîì ïîëó àåì: I (k) = ln E + ck v F E + ck + v F p F + ln v F E ck v F (p p F ) E ck (3.3) Âû èòàß ïå åíî ìè îâêó õèìïîòåíöèàëà δµ =Σ(), ïîëó àåì: Re(Σ(E) Σ()) = g c 8π dkk m ln E ck p F E + ck (3.3)

69 3.. Ñîáñòâåííî íå ãåòè åñêàß àñòü ëåêò îíà. 69 Õà àêòå íàß îñîáåííîñòü ñîáñòâåííî íå ãåòè åñêîé àñòè ëåêò îíà, îáóñëîâëåííîé ëåêò îí ôîíîííûì âçàèìîäåéñòâèåì μ îòñóòñòâèå çàâèñèìîñòè îò èìïóëüñà p. Ýòî ñâßçàíî ñ ìåäëåííîñòü ôîíîíîâ, ïî ñ àâíåíè ñ ëåêò îíàìè, ï èâîäßùåé ê ëîêàëüíîñòè ï îöåññîâ ïîãëîùåíèß è èñïóñêàíèß. Ðàññìîò èì ñíîâà ï åäåëüíîå ïîâåäåíèå ï è E ω D è E ω D. Ñëó àé E ω D Â òîì ñëó àå ìîæíî ëîãà èôì â (3.3) àçëîæèòü, ñ èòàß, òî E ck. Òîãäà èìååì: Re(Σ(E) Σ()) = mg E 8π p F kd ãäå ââåëè êîíñòàíòó ïå åíî ìè îâêè λ = ζk D 4p F Ñëó àé E ω D dkk = mg kd 8π E = ζ kd p F 4 p E λe (3.3) F ζ. Òåïå ü èìååì E ck, òàê òî ñíîâà àçëàãàåì ëîãà èôì â (3.3)è ïîëó àåì: Re(Σ(E) Σ()) = mg c 4π p F kd k 3 dk E = mg c k 4 D 6π p F E = ζc k 4 D 8p F E (3.33) òàê òî ï è E ω D îñò ReΣ(E) ñ íå ãèåé ñìåíßåòñß óáûâàíèåì. Ñïåêò êâàçè àñòèö â îáëàñòè E ω D îï åäåëßåì èç ó àâíåíèß: ãäå ξ(p) = p m µ. Òîãäà ñ àçó æå ïîëó àåì: E ξ(p) =Re(Σ(E) Σ()) (3.34) E = p m E F ãäå ôôåêòèâíàß ìàññà îï åäåëßåòñß êàê: E F = p F m (3.35) m m =+ζk D 4p F +λ (3.36) Ïî òîìó, îï åäåëåííó òàêèì îá àçîì λ ìîæíî íàçâàòü êîíñòàíòîé ïå åíî ìè îâêè ìàññû. Òàêèì îá àçîì, ëåêò îí çà ñ åò âçàèìîäåéñòâèß ñ ôîíîíàìè ôôåêòèâíî óòßæåëßåòñß. Ñîîòâåòñòâåííî ïîä àñòàåò ïëîòíîñòü ñîñòîßíèé íà ó îâíå Ôå ìè ( m ) è ëåêò îííûé âêëàä â òåïëîåìêîñòü. Ðàññìîò èì òåïå ü ïîâåäåíèå ñîáñòâåííî íå ãåòè åñêîé àñòè ëåêò îíà ï è êîíå íûõ òåìïå àòó àõ. Ýòî ïîëåçíî è ìåòîäè åñêè, ïîñêîëüêó ï è òîì ìû èçó èì îáùèé ìåòîä ñóììè îâàíèß ïî ìàöóáà îâñêèì àñòîòàì. Èìååì: Σ(εp) = g T (π) 3 Âñå àñòîòû çäåñü ìàöóáà îâñêèå! ε d 3 p G(ε p )D(ε ε, p p ) (3.37)

70 7 Ãëàâà 3. ÝËÅÊÒÐÎÍ ÔÎÍÎÍÍÎÅ ÂÇÀÈÌÎÄÅÉÑÒÂÈÅ Ðèñ. 3.3: Êîíòó èíòåã è îâàíèß, èñïîëüçóåìûé ï è ñóììè îâàíèè ïî ìàöóáà îâñêèì àñòîòàì. Îáùèé ìåòîä âû èñëåíèß ñóìì ïî ìàöóáà îâñêèì àñòîòàì îñíîâàí íà èñïîëüçîâàíèè ñëåäó ùåãî ï èåìà [5]. Ðàññìîò èì ñëó àé ñóììè îâàíèß ïî íå åòíûì (ôå ìèîííûì) àñòîòàì iε n = i(n +)πt. Ñîîòâåòñòâó ùó ñóììó ìîæíî çàïèñàòü â âèäå êîíòó íîãî èíòåã àëà â êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè àñòîòû ε: T n= F (iε n )= dε F (ε) πi C e βε + = πi C F (ε) dε e βε + = 4πi C dεf (ε)th ε T (3.38) ãäå êîíòó èíòåã è îâàíèß C îê óæàåò ìíèìó îñü, êàê òî ïîêàçàíî íà Ðèñ. 3.3 è âíóò è êîòî îãî, ïî ï åäïîëîæåíè, íåò íèêàêèõ îñîáåííîñòåé ôóíêöèè F (ε). Ñï àâåäëèâîñòü (3.38)âûòåêàåò èç òåî åìû Êî è è òîãî îáñòîßòåëüñòâà, òî e βε + è e βε + (ãäå, êàê îáû íî, β = ) èìå ò ï îñòûå íóëè â òî êàõ T ε = iε n, òî ï èâîäèò ê ñóùåñòâîâàíè ñîîòâåòñòâó ùèõ ï îñòûõ ïîë ñîâ ïîäèíòåã àëüíîãî âû àæåíèß (3.38)â ñîîòâåòñòâó ùèõ òî êàõ íà ìíèìîé îñè. Àíàëîãè íàß ñèòóàöèß âîçíèêàåò è ï è èñïîëüçîâàíèè th ε T â ïîñëåäíåì àâåíñòâå â (3.38). Äëß âû èñëåíèß ñóìì ïî åòíûì (áîçîííûì) àñòîòàì iω m = iπtm ìîæíî âîñïîëüçîâàòüñß ñîâå åííî àíàëîãè íûì àâåíñòâîì: T m= F (iω m )= dω F (ω) πi C e βω = πi C dω F (ω) e βω = 4πi C dωf (ω)cth ω T (3.39) ãäå ïîë ñà ïîäèíòåã àëüíîãî âû àæåíèß àñïîëîæåíû â òî êàõ iω m = iπtm. Äàëüíåé èé ï èåì, êàê ï àâèëî, ñîñòîèò â òîì, òî êîíòó èíòåã è îâàíèß C àñòßãèâàåòñß íà áåñêîíå íîñòü, ï è òîì âîçíèêà ò ïîäëåæàùèå âû èñëåíè âêëàäû îò îñîáåííîñòåé ôóíêöèé F (ε) èëè F (ω), êîòî ûå îáõîäèò àñòßíóòûé êîíòó C. Â áîëü èíñòâå ñëó àåâ, îñòà ùèéñß èíòåã àë ïî îê óæíîñòè áåñêîíå íîãî àäèóñà èñ åçàåò èç-çà áûñò îãî óáûâàíèß F (ε) è F (ω) íà òîì êîíòó å.

71 3.. Ñîáñòâåííî íå ãåòè åñêàß àñòü ëåêò îíà. 7 Ðèñ. 3.4: Êîíòó èíòåã è îâàíèß, èñïîëüçóåìûé ï è ñóììè îâàíèè ïî ìàöóáà îâñêèì àñòîòàì â ñîáñòâåííî íå ãåòè åñêîé àñòè ëåêò îíà. Ï îèëë ñò è óåì òàêîé ìåòîä ñ åòà íà ï èìå å âû èñëåíèß (3.37). Çäåñü íàì íóæíî âû èñëèòü ñóììó ïî àñòîòàì ñëåäó ùåãî âèäà: S = T ε G(ε p )D(ε ε, p p ) (3.4) ãäå ñóììè îâàíèå èäåò ïî ôå ìèîííûì àñòîòàì iε n = i(n+)πt.ïî òîìó, íóæíî ïîñòóïèòü â äóõå (3.38). Äëß îï åäåëåííîñòè áóäåì ñ èòàòü, òî ε ëåæèò â âå õíåé ïîëóïëîñêîñòè.ðàññìîò èì ôóíêöè : f(z) =G(z,p )D(ε z,p p )th z (3.4) T êîòî àß èìååò ïîë ñà ï è çíà åíèßõ z = iε n = i(n +)πt è âû èñëèì èíòåã àë: I = dzf(z) (3.4) C âçßòûé ïî êîíòó ó C,ïîêàçàííîìó íà Ðèñ. 3.4, ãäå îáõîäßòñßï ßìûå Im(ε ε )= è Imε =, ñîîòâåòñòâó ùèå àç åçàì òî íûõ ôóíêöèé Ã èíà â (3.4) 3. Âî âñåé êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè, ê îìå òèõ àç åçîâ, ôóíêöèß f(z) àíàëèòè íà. Èíòåã àë (3.4) ìîæíî òåïå ü ïîñ èòàòü âû åòàìè. Âû åò f(z) â ïîë ñå z n = i(n +)πt àâåí ï îñòî: Res z=zn f(z) =TG(z n, p )D(ε z n, p p ) (3.43) òàê òî èíòåã àë (3.4)ñâîäèòñßêI =4πiS è îï åäåëßåò èíòå åñó ùó íàñ ñóììó (3.4). Ñ ä óãîé ñòî îíû, ìû ìîæåì ïå åéòè ê àñòßíóòîìó êîíòó ó èíòåã è îâàíèß, ïîêàçàííîìó íà Ðèñ Òåïå ü íà èíòåã àë ñâîäèòñß ê èíòåã àëàì ïî Âêîíå íîì ñ åòå ìû õîòèì ñäåëàòü àíàëèòè åñêîå ï îäîëæåíèå iε n ε + iδ! 3 Àíàëèòè åñêîå ï îäîëæåíèå èç âå õíåé è íèæíåé ïîëóïëîñêîñòåé äàåò àçíûå ôóíêöèè Ã èíà G R è G A ñîîòâåòñòâåííî [].

72 7 Ãëàâà 3. ÝËÅÊÒÐÎÍ ÔÎÍÎÍÍÎÅ ÂÇÀÈÌÎÄÅÉÑÒÂÈÅ Ðèñ. 3.5: Ðàñòßíóòûé êîíòó èíòåã è îâàíèß, èñïîëüçóåìûé ï è ñóììè îâàíèè ïî ìàöóáà îâñêèì àñòîòàì â ñîáñòâåííî íå ãåòè åñêîé àñòè ëåêò îíà. ï ßìûì, ïîêàçàííûì íà Ðèñ. 3.5 è èäóùèì âäîëü àç åçîâ, òàê òî âêëàä àçíûõ áå åãîâ êàæäîãî èç àç åçîâ îï åäåëßåòñß ñîîòâåòñòâó ùèìè ñêà êàìè: { I = dε (G R (ε p ) G A (ε p ))D A (ε ε, p p )th ε T G R ( ε + ε, p )(D R (ε, p p ) D A (ε, p p ))th ε ε } (3.44) T Ó èòûâàß, òî ε = i(n +)πt, ìîæåì íàïèñàòü th ε ε ε T = cth T. Ê îìå òîãî, ìû èñïîëüçóåì: G R (εp) G A (εp) =iimg R (εp) (3.45) è äèñïå ñèîííîå ñîîòíî åíèå []: G R(A) (εp) = ImG R(A) (ωp) dω (3.46) π ω ε iδ Ïîäñòàâëßß òè ñîîòíî åíèß â (3.44), ïîëó àåì: { Σ(εp) = g ImG (π) 4 dε dωd 3 R (ε p )ImD R (ωp p p ) th ε π ω ε + ε iδ T + + ImGR (ωp )ImD R (ε p p ) cth ε } ω ε + ε iδ T (3.47) Ìåíßß ìåñòàìè ïå åìåííûå èíòåã è îâàíèß ε è ω âî âòî îì ñëàãàåìîì, çàïè åì îêîí àòåëüíî: Σ(εp) = g (π) 4 dε dωd 3 ImG R (ε p )ImD R (ωp p p ) ( th ε π ω ε + ε iδ T + cth ω ) (3.48) T

73 3.3. Òåî åìà Ìèãäàëà. 73 Çäåñü èíòåã è îâàíèå óæå âåäåòñß ïî âåùåñòâåííûì ε è ω. Ïîñëå äîñòàòî íî ã îìîçäêîãî àíàëèçà [], ìîæíî ïîêàçàòü, òî èç (3.48)ï è ε T ω D (ïîñëå àíàëèòè åñêîãî ï îäîëæåíèß iε n ε + iδ)ñëåäóåò: ImΣ R (ε) ζ T 3 (3.49) c p F òàê òî, ôàêòè åñêè, çàòóõàíèå ëåêò îíîâ çà ñ åò ëåêò îí ôîíîííîãî âçàèìîäåéñòâèß ï è ε ω D è T ω D ìîæíî çàïèñàòü åäèíûì îá àçîì êàê (âñïîìíèì (3.5)): ImΣ R (ε) ζ Max[T 3,ε 3 ] (3.5) c p F Ï è ε ω D èç (3.48)ñëåäóåò: ImΣ R (ε) =const ω D (3.5) Èç òèõ ôî ìóë ßñíî, òî çàòóõàíèå êâàçè àñòèö ( ëåêò îíîâ) ñ àâíèâàåòñß ñèõ íå ãèåé ï è ε ω D.Âòîæå â åìß ßñíî, òî ï è äàëüíåé åì îñòå íå ãèè âîçáóæäåíèé çàòóõàíèå çà ñ åò âçàèìîäåéñòâèß ñ ôîíîíàìè ïå åñòàåò àñòè è ñòàíîâèòñß îïßòü ìåíü å íå ãèè êâàçè àñòèö. Òàêèì îá àçîì èìååòñß äâå îáëàñòè, â êîòî ûõ ïîíßòèå êâàçè àñòèö èìååò ñìûñë: ε ω D è ε ω D. Â îáåèõ òèõ îáëàñòßõ íå ãèß ëåêò îíîâ èìååò âèä v F (p p F ), íî ñêî îñòè v F ( ôôåêòèâíûå ìàññû) àçëè íû. 3.3 Òåî åìà Ìèãäàëà. Âû å, ï è àñ åòàõ ñîáñòâåííî íå ãåòè åñêîé àñòè ëåêò îíà çà ñ åò ëåêò îí ôîíîííîãî âçàèìîäåéñòâèß, ìû îã àíè èëèñü ï îñòåé èì âêëàäîì, ïîêàçàííûì íà Ðèñ. 3.. Êàçàëîñü áû íóæíî ó åñòü è ä óãèå ã àôèêè, ñâßçàííûå ñ ïîï àâêàìè êîäíîé èç âå èí òîé äèàã àììû. Ôàêòè åñêè, òîãî äåëàòü íå íàäî, ïîñêîëüêó ñîîòâåòñòâó ùèå ïîï àâêè ê âå èííîé àñòè ìàëû ïî àäèàáàòè åñêîìó ïà àìåò- ó ωd E F m M (òåî åìà Ìèãäàëà) (À.Á.Ìèãäàë, 957). Ïîêàæåì òî, îöåíèâ ï îñòåé ó ïîï àâêó ê âå èíå, îï åäåëßåìó ã àôèêîì Ðèñ Çàïè åì, àíàëèòè åñêîå âû àæåíèå, ñîîòâåòñòâó ùåå òîé äèàã àììå: Γ () = g 3 G(p ε )G(p + k,ε + ω)d(ε ε, p p ) d3 p dε (3.5) (π) 4 Ï îâåäåì ã óáó îöåíêó òîãî âû àæåíèß. Ðàññìîò èì ñíà àëà èíòåã àë ïî ε. Ïîëàãàß, òî õà àêòå íàß ïå åäà à èìïóëüñà çà ñ åò îáìåíà ôîíîíîì ïî ßäêà k D p F, è ó èòûâàß, òî D(ε ε ) êâàä àòè íî ñïàäàåò â îáëàñòè ε ε ω D, ïîëó àåì, òî îñíîâíîé âêëàä â èíòåã àë äàåò îáëàñòü ε ε ω D. Òîãäà èíòåã àë ïî ε ïî ßäêà ω D, è ìû ìîæåì íàïèñàòü: Γ () g 3 d 3 p ω D (ε ξ(p )+iδsignξ(p ))(ε + ω ξ(p + k)+iδsignξ(p + k)) (3.53) Ðàññìîò èì îñòàâ èéñß èíòåã àë ïî p. Õà àêòå íàß ïå åäà à èìïóëüñà è çäåñü ïî ßäêà k D p F. Ïî òîìó ìîæíî ñ èòàòü âñå çíàìåíàòåëè E F, à d 3 p p 3 F. Òîãäà èìååì: Γ () g 3 ω D p F v F E F E F p F g 3 ω D (3.54) v F E F

74 74 Ãëàâà 3. ÝËÅÊÒÐÎÍ ÔÎÍÎÍÍÎÅ ÂÇÀÈÌÎÄÅÉÑÒÂÈÅ Ðèñ. 3.6: Ï îñòåé àß ïîï àâêà ê âå èíå ëåêò îí ôîíîííîãî âçàèìîäåéñòâèß. Ðèñ. 3.7: Ï îñòåé àß ïîï àâêà ê âå èíå ëåêò îí ôîíîííîãî âçàèìîäåéñòâèß â èìïóëüñíî â åìåííîì ï åäñòàâëåíèè. Îòíîñèòåëüíàß âåëè èíà òîé ïîï àâêè: Γ () g p F g ω D ζ ω D v F E F E F m ζ M (3.55) ãäå èñïîëüçîâàëè ωd E F m M. Ýëåêò îíû ìíîãî ëåã å èîíîâ (ßäå ), ïî òîìó àññìîò- åííàß ïîï àâêà ê âå èííîé àñòè äåéñòâèòåëüíî ï åíåá åæèìî ìàëà! Ï îâåäåííîå àññìîò åíèå íå ñîâñåì ñò îãî, íàï èìå, îíî î èáî íî ï è ω v F k è ω ω D, êîãäà ïîë ñà ôóíêöèé Ã èíà â (3.53)ñáëèæà òñß è íàäî ï îâîäèòü áîëåå àêêó àòíûé àíàëèç. Îäíàêî, â áîëü èíñòâå ñëó àåâ, âêëàä òîé îáëàñòè íåñóùåñòâåíåí â ñèëó c v F. òîáû ëó å ïîíßòü ñìûñë ï îèñõîäßùåãî, ï îâåäåì îöåíêó âå èííîé ïîï àâêè â ñìå àííîì èìïóëüñíî â åìåííîì ï åäñòàâëåíèè. Ýòî ïîçâîëèò ï îñëåäèòü îëü àçíûõ ìàñ òàáîâ â åìåíè. Â ñâßçè ñ òèì, ââåäåì ñíà àëà ñîîòâåòñòâó ùèå

75 3.4. Ñîáñòâåííî íå ãåòè åñêàß àñòü è ñïåêò ôîíîíà. 75 ôóíêöèè Ã èíà ôîíîíà è ëåêò îíà: dω D(kt) = π D(ωk)e iωt = ick e ick t (3.56) G(pt) = ie iξ(p)t { θ(ξ(p)) ï è t> θ( ξ(p)) ï è t< (3.57) Çàìåòèì, òî D(kt) ßâëßåòñß ãî àçäî áîëåå ìåäëåííî ìåíß ùåéñß ôóíêöèåé t, åì G(pt). Çàïè åì òåïå ü âå èííó ïîï àâêó Ðèñ. 3.7 â àíàëèòè åñêîì âèäå: d Γ () = g 3 3 p (π) 3 dtg(p,t t )G(p + k,t t)d(p p,t t ) (3.58) Ï è p p F ëåêò îííûå ôóíêöèè Ã èíà ñóùåñòâåííî ìåíß òñß çà õà àêòå íîå â åìß E. Ïî òîìó ìîæíî ñ èòàòü, òî â (3.58) F t t t t t t E. F Ôîíîííàß ôóíêöèß Ã èíà çà òàêèå â åìåíà ï àêòè åñêè íå ìåíßåòñß è åå ìîæíî âçßòü ï è t t. Ïî òîìó îíà ï îñòî ï îïî öèîíàëüíà c p p ω D, òî è ï èâîäèò ê âîçíèêíîâåíè ïà àìåò à ìàëîñòè ωd E F. Èíûìè ñëîâàìè, ëåêò îíû áûñò î (çà â åìß E F )ïîãëîùà ò ôîíîí, ïîäñò àèâàßñü ïîä äåôî ìàöè å åòêè. Ï è òîì îíè íå óñïåâà ò çà ñ åò ñâîåãî äâèæåíèß àñêà àòü å åòêó íà òî ò åáóåòñß â åìßω D. Ýòî åñòü ï îßâëåíèå àäèàáàòè íîñòè äâèæåíèß èîíîâ å åòêè â ñèëó ñâîåé áîëü îé ìàññû èîíû äâèæóòñß ìåäëåííî è ëåêò îíû âñåãäà óñïåâà ò ïîäñò îèòüñß ïîä èõëîêàëüíó êîíôèãó àöè. Òåî åìà Ìèãäàëà âàæíà èìåííî ïîòîìó, òî ïîçâîëßåò âûäåëèòü èç ìíîæåñòâà äèàã àìì òîëüêî ñóùåñòâåííûå âêëàäû áåç èñïîëüçîâàíèß ï åäïîëîæåíèß î ìàëîñòè ñàìîé êîíñòàíòû ëåêò îí ôîíîííîãî âçàèìîäåéñòâèß. 3.4 Ñîáñòâåííî íå ãåòè åñêàß àñòü è ñïåêò ôîíîíà. Âå íåìñß ê àññìîò åíè ó àâíåíèé äëß ôîíîííîé ôóíêöèè Ã èíà (3.6), (3.7) è (3.8), îï åäåëß ùèõ ñïåêò ôîíîíîâ â ñèñòåìå ñ âçàèìîäåéñòâèåì (ìåòàëëå). Âîñïîëüçóåìñß ï îñòåé èì ï èáëèæåíèåì äëß ïîëß èçàöèîííîãî îïå àòî à ëåêò îííîãî ãàçà è çàïè åì: g Π (ωk) = ig ded 3 p (π) 4 (E ξ(p)+iδsignξ(p))(e + ω ξ(p + k)+iδsignξ(p + k)) (3.59) Âû å ìû óæå ï îâåëè àñ åò òàêîãî ïîëß èçàöèîííîãî îïå àòî à è ïîëó èëè âû- àæåíèå (.4), èñïîëüçóß êîòî îå èìååì: g Π (ωk) = g mp F π { ω v F k ln ω + v F k ω v F k + iπ ω ( v F k θ ω v F k )} (3.6) Ìû óæå âèäåëè â (3.7), òî ôîíîííàß ôóíêöèß Ã èíà â ñèñòåìå ñ âçàèìîäåéñòâèåì îï åäåëßåòñß èç ó àâíåíèß Äàéñîíà âèäà: D (ωk) =D (ωk) g Π(ωk) (3.6)

76 76 Ãëàâà 3. ÝËÅÊÒÐÎÍ ÔÎÍÎÍÍÎÅ ÂÇÀÈÌÎÄÅÉÑÒÂÈÅ Ñîîòâåòñòâåííî, ñïåêò ôîíîíîâ îï åäåëßåòñß ó àâíåíèåì D (ωk) =.Ïîñêîëüêó ñêî îñòü çâóêà ãî àçäî ìåíü å ñêî îñòè ëåêò îíîâ íà ïîâå õíîñòè Ôå ìè, òî ìîæíî ñïîêîéíî ñ èòàòü, òî ω v F k.òîãäà ïîëß èçàöèîííûé îïå àòî, îï åäåëß ùèé ôîíîííó ñîáñòâåííî íå ãåòè åñêó àñòü, äîñòàòî íî âçßòü â ñòàòè åñêîì ï åäåëå (ω =)èíàïèñàòü: g Π g mp F π = ζ (3.6) Ñîîòâåòñòâåííî (3.6)ñâîäèòñß ê: D (ωk) =D (ωk) g Π= ω c k c k +ζ (3.63) ãäå c çàò àâî íàß ñêî îñòü çâóêà, à ïå åíî ìè îâàííûé ñïåêò ôîíîíîâ èìååò âèä ω = ck, ãäå ñêî îñòü çâóêà îï åäåëßåòñß êàê: c = c ( ζ) (3.64) Âèäèì, òî çà ñ åò ëåêò îí ôîíîííîãî âçàèìîäåéñòâèß ï îèñõîäèò ñìßã åíèå å åòêè (óìåíü åíèå íå ãèè ôîíîíîâ), â ñèëó áûñò îãî ïîäñò àèâàíèß ëåêò îíîâ ïîä äåôî ìàöè å åòêè, ï îèñõîäèò èõ ñêàïëèâàíèå â ìèíèìóìàõ äåôî ìàöèîííîãî ïîòåíöèàëà ñ îáùèì ïîíèæåíèåì íå ãèè ñèñòåìû. Ìîæåò ïîêàçàòüñß, òî èç (3.64) ñëåäóåò íåóñòîé èâîñòü å åòêè (ω <!) ï è ζ>/. Îäíàêî, ôàêòè åñêè, òà íåóñòîé èâîñòü íåôèçè åñêàß. Äåëî â òîì, òî áîëåå äåòàëüíûé àíàëèç [4] ïîêàçûâàåò, òî èñòèííàß êîíñòàíòà ëåêò îí ôîíîííîãî âçàèìîäåéñòâèß λ ñâßçàíà ñ ââåäåííîé âû å êîíñòàíòîé âçàèìîäåéñòâèß ζ ñëåäó ùèì ñîîòíî åíèåì: λ = ζ ω ω = ζ (3.65) ζ Èç òîãî âû àæåíèß ßñíî, òî λ ζ ï è ζ, íî ï è óâåëè åíèè ζ êîíñòàíòà ñâßçè λ íåï å- ûâíî âîç àñòàåò, îá àùàßñü âáåñêîíå íîñòü â ñàìîé òî êå íåóñòîé èâîñòè. Ïî òîìó óñëîâèå ζ < /, ôàêòè åñêè, íå íàêëàäûâàåò îã àíè åíèé íà âåëè èíó λ. Âîîáùå, íàäî çàìåòèòü, òî óñëîâèå ζ</, âíåêîòî îì ñìûñëå, áåññîäå æàòåëüíî, ïîñêîëüêó â àìêàõ îáû íîé ìîäåëè Ô åëèõà ëåêò îí ôîíîííîãî âçàèìîäåéñòâèß íå ñóùåñòâóåò ìåòîäà îï åäåëåíèß òîé âåëè èíû, à åàëüíî íàáë äàåìîé ßâëßåòñß èìåííî ïå åíî ìè îâàííàß êîíñòàíòà λ. Èç (3.65) ìîæíî íàïèñàòü îá àòíó ñâßçü: ζ = λ (3.66) +λ èç êîòî îé âèäíî, òî ï è ë áûõ λ> ìû, ôàêòè åñêè, èìååì ζ</. Ôèçè åñêèé ñìûñë çàò àâî íûõ ïà àìåò îâ ìîäåëè Ô åëèõà, â îñîáåííîñòè, àñòîòû ω (k) = c k, íå âïîëíå ßñåí, à åàëüíûé ñïåêò ôîíîíîâ îï åäåëßåòñß àññìîò åííûì âû å ó àâíåíèåì Äàéñîíà äëß ôîíîííîé ôóíêöèè Ã èíà, ó èòûâà ùèì âçàèìîäåéñòâèå ñ ëåêò îíàìè, êîòî îå äàåò: ω D(ωk) = (k) (3.67) ω ω (k)+iδ ãäå ω(k) èñòèííûé ôîíîííûé ñïåêò. Òîãäà èñòèííàß êîíñòàíòà ëåêò îí ôîíîííîãî âçàèìîäåéñòâèß îï åäåëßåòñß [4] èíòåã àëîì ïî k îò D(ω =, k): Z pf dkk ω λ = ζ (k) (3.68) p F ω (k) Åñëè òåïå ü ï åíåá å ü îòíîñèòåëüíî ñëàáîé çàâèñèìîñòü Π îò k è âîñïîëüçîâàòüñß (3.6), òî èç (3.68) íåìåäëåííî ñëåäóåò (3.65). Ï èíßòî ñ èòàòü, òî èìåííî λ âõîäèò, íàï èìå, â èçâåñòíó ôî ìóëó ÁÊ äëß òåìïå àòó û ñâå õï îâîäßùåãî ïå åõîäà [4]. Äëß òîãî, òîáû íàéòè çàòóõàíèå ôîíîíîâ, ó òåì òåïå ü è ìíèìó àñòü ïîëß- èçàöèîííîãî îïå àòî à (3.6): g ImΠ (ωk) = πζ ω kv F (3.69)

77 3.4. Ñîáñòâåííî íå ãåòè åñêàß àñòü è ñïåêò ôîíîíà. 77 Ðèñ. 3.8: Êà åñòâåííîå ïîâåäåíèå ñòàòè åñêîãî ïîëß èçàöèîííîãî îïå àòî à (â çàâèñèìîñòè îò q) ãàçà ñâîáîäíûõ ëåêò îíîâ äëß àçëè íûõ àçìå íîñòåé ï îñò àíñòâà. Ïîäñòàâëßß òî âû àæåíèå â ó àâíåíèå Äàéñîíà äëß ôîíîííîé ôóíêöèè Ã èíà, â êîòî îì òåïå ü íóæíî èñêàòü å åíèå äëß ñïåêò à â âèäå ω = ck + iγ, íåò óäíî ïîëó èòü: γ = π ζ c k = π v F ζ c ω (3.7) v F Õîòß çàòóõàíèå è îêàçûâàåòñß ï îïî öèîíàëüíûì àñòîòå, ôàêòè åñêè îíî ìàëî ïî ñ àâíåíè ñ Reω ïî ïà àìåò ó c/v F m/m. Â îáû íûõ æèäêîñòßõ è ãàçàõ çàòóõàíèå çâóêà ïî ïî ßäêó âåëè èíû àâíî: γ ηω (3.7) ρc 3 ãäå η âßçêîñòü ñ åäû, à ρ åå ïëîòíîñòü. Ïî òîìó ìîæíî ñêàçàòü, òî â ëåêò îí ôîíîííîé ñèñòåìå ôôåêòèâíàß âßçêîñòü ëåêò îííîãî ãàçà àñòåò ñ óìåíü åíèåì àñòîòû: η(ω) ω.ôèçè åñêè, áîëü àß ôôåêòèâíàß âßçêîñòü çäåñü ñâßçàíà ñ âûñîêîé ïëîòíîñòü ëåêò îí äû î íûõ âîçáóæäåíèé ñ íå ãèåé ω<ck,êîòî ûå âîçáóæäà òñß ôîíîíàìè. Â ï åäûäóùåé ãëàâå óæå îòìå àëîñü, òî ï è q =p F ïîëß èçàöèîííûé îïå- àòî Π (q) èìååò ëîãà èôìè åñêó îñîáåííîñòü â ï îèçâîäíîé Π(q) q q=pf.ýòà îñîáåííîñòü ñòàíîâèòñß áîëåå çàìåòíîé äëß äâóìå íîé ñèñòåìû d =è, îñîáåííî, â îäíîìå íîì ñëó àå d =, êîãäà èìååòñß ëîãà èôìè åñêàß îñîáåííîñòü â ñàìîì ïîëß èçàöèîííîì îïå àòî å Π (q) (À.Ì.Àôàíàñüåâ,.Ì.Êàãàí, 96): Π (q) ln q p F (3.7) Êà åñòâåííîå ïîâåäåíèå Π (q) äëß àçëè íûõ àçìå íîñòåé ïîêàçàíî íà Ðèñ Íàëè èå òàêèõ îñîáåííîñòåé ï èâîäèò ê âàæíûì ñëåäñòâèßì. Â ñàìîì äåëå, ñóòü ï åäûäóùåé äèñêóññèè ñâîäèòñß ê òîìó, òî ôîíîííàß ôóíêöèß Ã èíà, ñ ó åòîì âçàèìîäåéñòâèß ñ ëåêò îíàìè, èìååò âèä: D(ωq) = (ωq) g Π (ωq) = ω (q) ω ω (q) g ω (q)π (ωq) D òàê òî ñïåêò ôîíîíîâ èìååò âèä: (3.73) ω (q) =ω (q)[ + g Π (ωq)] (3.74) Òîãäà èç Π (q) ï è q = p F (äëß ñëó àß d = ) ßñíî, òî àñòîòà ôîíîíà ñ q = p F ñòàíîâèòñß ìíèìîé (ω < ), ï è ë áîì (äàæå ñêîëü óãîäíî

78 78 Ãëàâà 3. ÝËÅÊÒÐÎÍ ÔÎÍÎÍÍÎÅ ÂÇÀÈÌÎÄÅÉÑÒÂÈÅ Ðèñ. 3.9: Èçî íå ãåòè åñêèå ïîâå õíîñòè, ñîîòâåòñòâó ùèå ï îñòîé ìîäåëè ñïåêò à ñèëüíîé ñâßçè äëß êâàä àòíîé å åòêè. ìàëîì)çíà åíèè êîíñòàíòû âçàèìîäåéñòâèß g. Ýòî îçíà àåò íåóñòîé èâîñòü ñèñòåìû, ï èâîäßùó ê âîçíèêíîâåíè ñïîíòàííîé (êîíå íîé)ñòàòè åñêîé äåôî ìàöèè (ñâå õñò óêòó û)ñ âîëíîâûì âåêòî îì Q =p F (ò.å. ñ ïå èîäîì L = π Q ). Ýòî òàê íàçûâàåìàß ïàéå ëñîâñêàß íåóñòîé èâîñòü, ê äåòàëüíîìó àññìîò åíè êîòî îé ìû åùå âå íåìñß â ïîñëåäíåé ãëàâå 4.Äàæåäëßd =3,êîãäà îñîáåííîñòü åñòü òîëüêî ó ï îèçâîäíîé ïîëß èçàöèîííîãî îïå àòî à, âñå àâíî âîçíèêàåò àíîìàëèß ôîíîííîãî ñïåêò à ï è q =p F (W.Kohn, 959)(òàê íàçûâàåìàß êîíîâñêàß àíîìàëèß, äëß d =èíîãäà ãîâî ßò î ãèãàíòñêîé êîíîâñêîé àíîìàëèè). Òàêèå àíîìàëèè äåéñòâèòåëüíî íàáë äà òñß â ôîíîííûõ ñïåêò àõ ìåòàëëîâ â êñïå èìåíòàõ ïî íåóï óãîìó àññåßíè íåéò îíîâ. Äî ñèõ ïî, ìû âñåãäà èìåëè â âèäó ñèòóàöè ñ èçîò îïíûì ëåêò îííûì ñïåêò îì òèïà ε(p) = p m.âòîæå â åìß, â åàëüíûõ ìàòå èàëàõ, ëåêò îííûé ñïåêò ìîæåò áûòü àíèçîò îïíûì, à ñîîòâåòñòâó ùèå ïîâå õíîñòè Ôå ìè íå îáßçàòåëüíî ßâëß òñß ñôå àìè (d =3)èëè îê óæíîñòßìè (d =). àñòî îíè èìå ò äîâîëüíî ñëîæíó ôî ìó. Â àñòíîñòè, íà ïîâå õíîñòè Ôå ìè ìîãóò âîçíèêàòü ïëîñêèå ó àñòêè. Íàï èìå, äëß d =è êâàä àòíîé å åòêè, â ï èáëèæåíèè ñèëüíîé ñâßçè èìååì ñïåêò âèäà: ε(p) µ = t(cos p x a +cosp y a) µ (3.75) ãäå t èíòåã àë ïå åíîñà, êîòî ûé ñ èòàåòñß îòëè íûì îò íóëß òîëüêî äëß áëèæàé èõ ñîñåäåé. Èçî íå ãåòè åñêèå ïîâå õíîñòè â çîíå Á èëë íà, ñîîòâåòñòâó- ùèå òàêîìó ñïåêò ó ï è àçëè íûõ çíà åíèßõ õèìïîòåíöèàëà µ (êîíöåíò àöèè ëåêò îíîâ), ïîêàçàíû íà Ðèñ Â àñòíîñòè, äëß µ =(ïîëóçàïîëíåííàß çîíà, îäèí ëåêò îí íà àòîì), ïîâå õíîñòü Ôå ìè èìååò âèä êâàä àòà. Äîñòàòî íî ï îñòîé àñ åò ïîêàçûâàåò, òî â òîì ñëó àå Π (q) èìååò ï è q ( π a, ) π a îñîáåííîñòü îäíîìå íîãî òèïà: Π (q) ln q Q, ãäå Q = ( π a, ) π a, òî îïßòü ï èâîäèò ê ãèãàíòñêîé êîíîâñêîé àíîìàëèè ôîíîííîãî ñïåêò à è ñò óêòó íîìó ïå åõîäó ïàéå ëñîâñêîãî òèïà (óäâîåíè ïå èîäà å åòêè). Â áîëåå îáùåé ñèòóàöèè, äëß âîçíèêíîâåíèß ïîäîáíûõ ãèãàíòñêèõ àíîìàëèé ò åáóåòñß ñïåöèàëüíîå ñâîéñòâî ïîâå õíîñòè Ôå ìè, èìåíóåìîå íåñòèíãîì (nesting). 4 Äëß d = òàêàß íåóñòîé èâîñòü ï èâîäèò ê îá àçîâàíè ùåëè â íå ãåòè åñêîì ñïåêò å ëåêò îíîâ ï è ±p F,ò.å. ê ïå åõîäó ìåòàëëè åñêîé öåïî êè â äè ëåêò è åñêîå ñîñòîßíèå.

79 3.5. Ïëàçìåííàß ìîäåëü ìåòàëëà. 79 Ýòî ñâîéñòâî îçíà àåò, òî îï åäåëåííûå ó àñòêè ïîâå õíîñòè Ôå ìè íàêëàäûâà- òñß ä óã íà ä óãà (êîíã ó íòíû) ï è ñäâèãå íà îï åäåëåííûé âåêòî Q (âåêòî íåñòèíãà). Â ï èâåäåííîì âû å ï èìå å Q = ( π a, ) π a, íî âîçìîæíû è áîëåå îáùèå ñëó àè. Ìàòåìàòè åñêè ò åáóåòñß òîëüêî âûïîëíåíèå ñëåäó ùåãî óñëîâèß íà ñïåêò ëåêò îíîâ: ε(p + Q) µ = ε(p)+µ (3.76) òî è íàçûâà ò óñëîâèåì íåñòèíãà. Âèäèì, íàï èìå, òî ñïåêò (3.75)óäîâëåòâî- ßåò òîìó óñëîâè äëß µ =(ïîëóçàïîëíåííàß çîíà)è Q = ( π a, ) π a. Àíàëîãè íûì îá àçîì, òîìó óñëîâè óäîâëåòâî ßåò ñïåêò ï èáëèæåíèß ñèëüíîé ñâßçè äëß ÏÊ å åòêè (d =3), àíàëîãè íûé (3.75): ε(p) µ = t(cos p x a +cosp y a +cosp z a) µ (3.77) ï è µ =è Q = ( π a, π a, π a ). Ïîâå õíîñòü Ôå ìè â òîì ñëó àå îáëàäàåò ñâîéñòâîì íåñòèíãà, õîòß è íå èìååò ïëîñêèõ ó àñòêîâ. Âî âñåõ ñëó àßõ ñ íåñòèíãîì, âû èñëåíèå ïîëß èçàöèîííîãî îïå àòî à ï èâîäèò ê ïîßâëåíè àñõîäèìîñòè ï è q = Q è, ñîîòâåòñòâåííî, ê ïîßâëåíè ãèãàíòñêîé êîíîâñêîé àíîìàëèè ôîíîííîãî ñïåêò à è ñîîòâåòñòâó ùåé íåóñòîé èâîñòè å åòêè (ñò óêòó íîìó ôàçîâîìó ïå åõîäó ñ âîçíèêíîâåíèåì ñâå õñò óêòó û ñ âîëíîâûì âåêòî îì Q.) 3.5 Ïëàçìåííàß ìîäåëü ìåòàëëà. Ðàññìîò èì ï îñòåé ó ïîñëåäîâàòåëüíó ìîäåëü ìåòàëëà è ëåêò îí ôîíîííîãî âçàèìîäåéñòâèß [5, 4].Íà íåì ñ ïëàçìû, ñîñòîßùåé èç ëåêò îíîâ è èîíîâ ñ íå ê àíè îâàííûì êóëîíîâñêèì âçàèìîäåéñòâèåì. Ñîáñòâåííûìè ìîäàìè êîëåáàíèé â òàêîé ñèñòåìå ßâëß òñß, ôàêòè åñêè, ñîîòâåòñòâó ùèå ïëàçìåííûå êîëåáàíèß ëåêò îíîâ è èîíîâ. Ïîêàæåì êàê ïîñëåäîâàòåëüíûé ó åò ëåêò îííîé ê àíè îâêè ïîçâîëßåò ââåñòè îáû íûå ôîíîíû è îïèñàòü âîçíèêà ùåå ï è òîì ëåêò îí ôîíîííîå âçàèìîäåéñòâèå. Èñõîäíûé ëåêò îí èîííûé ãàìèëüòîíèàí èìååò âèä: H = E k a + k a k + ( Ω qλ b + qλ b qλ + ) + k qλ + kk λ g kk λa + k a k ( bk k λ + b + k kλ) + + V q a + p+q a+ k q a ka p (3.78) pkq ãäå V q = 4πe q, à E k íå ãèß áëîõîâñêîãî ëåêò îíà, îï åäåëßåìàß ó àâíåíèåì åäèíãå à: { k m + } V ei (r R n )+U H (r) ψ k (r) =E k ψ k (r) (3.79) n ãäå V ei (r R n ) μ ïîòåíöèàë ëåêò îí èîííîãî âçàèìîäåéñòâèß, U H (r) μõà ò èåâñêèé âêëàä îò ìåæ ëåêò îííîãî âçàèìîäåéñòâèß, Ω qλ μ çàò àâî íûå àñòîòû êîëåáàíèé ïëàçìû èîíîâ.

80 8 Ãëàâà 3. ÝËÅÊÒÐÎÍ ÔÎÍÎÍÍÎÅ ÂÇÀÈÌÎÄÅÉÑÒÂÈÅ Â ï îñòåé åé ìîäåëè æåëå,âêîòî îé èîíû ñ èòà òñß îäíî îäíîé áåññò óêòó íîé ñ åäîé, èìååì: Ω qλ = 4πn(Ze) (3.8) M ãäå n ïëîòíîñòü èîíîâ, Z èõ çà ßä, à M èõ ìàññà. Â ìîäåëè æåëå òî åñòü åäèíñòâåííàß (ï îäîëüíàß)ìîäà èîííûõ êîëåáàíèé 5. Êîíñòàíòà çàò àâî íîãî ëåêò îí ôîíîííîãî âçàèìîäåéñòâèß g kk λ îï åäåëßåòñß êàê: ( ) / n g kk λ = MΩ < k i V ei k > e qλ, (q = k k ) (3.8) kλ ãäå e qλ âåêòî ïîëß èçàöèè çàò àâî íûõ ôîíîíîâ. Íåò óäíî ïîíßòü, òî â ï îñòåé åé ìîäåëè òèïà æåëå òà çàò àâî íàß êîíñòàíòà, òî íåå g kk λ, èìååò ñèíãóëß íîñòü êóëîíîâñêîãî òèïà: g kk λ (k k ) (3.83) Òåïå ü íóæíî ïå åéòè ê ïå åíî ìè îâàííûì âåëè èíàì, ñ ó åòîì ê àíè îâêè, óñò àíß ùåé òàêèå ñèíãóëß íîñòè. Äëß êóëîíîâñêîãî âçàèìîäåéñòâèß ëåêò îíîâ, êàê ìû âèäåëè âû å, ìîæíî ñ àçó íàïèñàòü RPA âû àæåíèå: ãäå V(qω) = 4πe q ɛ e (qω) (3.84) ɛ e (qω) = 4πe q Π (qω) (3.85) äè ëåêò è åñêàß ï îíèöàåìîñòü ãàçà ñâîáîäíûõ ëåêò îíîâ. Ñîîòâåòñòâó ùåå äèàã àììíîå ï åäñòàâëåíèå ï èâåäåíî íà Ðèñ..4(b). Àíàëîãè íûì îá àçîì, êàê òî ïîêàçàíî íà Ðèñ. 3., ìîæíî îïèñàòü è ê àíè îâàíèå ëåêò îí ôîíîííîé âå èíû: g(q, λ) g(q, λ) =g + gv q Π + gv q Π V q Π +... = (3.86) ɛ e (qω) à äëß îï åäåëåíèß èñòèííîãî ôîíîííîãî ñïåêò à íàïèñàòü ó àâíåíèå Äàéñîíà, ïîêàçàííîå íà Ðèñ. 3.: ãäå D (qλ, ω) =D (qλ, ω) g Π (qω) g Π (qω)v q Π (qω)... = ( ) = D (qλ, ω) g (q, λ) V q ɛ e (qω) D (qλ, ω) = (3.87) Ω qλ ω Ω qλ + iδ (3.88) 5 Â ê èñòàëëå ñóùåñòâóåò ò è âåòâè èîííûõ êîëåáàíèé λ =,, 3. Èç íèõ äâå ïîïå å íûå èìå- ò çâóêîâîé õà àêòå, à çàò àâî íàß ï îäîëüíàß âåòâü èìååò õà àêòå îïòè åñêîãî ïëàçìåííîãî êîëåáàíèß. Ï è òîì âûïîëíßåòñß ï àâèëî ñóìì: X λ Ω qλ = 4πn(Ze) M (3.8)

81 3.5. Ïëàçìåííàß ìîäåëü ìåòàëëà. 8 Ðèñ. 3.: Ýê àíè îâêà âå èíû ëåêò îí ôîíîííîãî âçàèìîäåéñòâèß. Ðèñ. 3.: Ó àâíåíèå Äàéñîíà äëß ôîíîííîé ôóíêöèè Ã èíà â îáîáùåííîé ìîäåëè æåëå.

82 8 Ãëàâà 3. ÝËÅÊÒÐÎÍ ÔÎÍÎÍÍÎÅ ÂÇÀÈÌÎÄÅÉÑÒÂÈÅ Òîãäà èç (3.85), (3.87)è (3.88)íåìåäëåííî ïîëó àåì: D(qλ, ω) = ω g (qλ)ω qλ V qɛ e(q) Ω qλ Ω qλ [ g (qλ) V q ] + iδ (3.89) Â òîì âû àæåíèè ìû ï åíåá åãëè àñòîòíîé çàâèñèìîñòü ɛ e (qω), ïîñêîëüêó ï è ìàëûõ ω ïî ßäêà ôîíîííûõ àñòîò òà çàâèñèìîñòü íåñóùåñòâåííà. Â ï îñòîé ìîäåëè æåëå, êàê ëåãêî âèäåòü èç (3.8)è (3.8), âûïîëíßåòñß àâåíñòâî: g (qλ) V q = (3.9) Â òîì ñëó àå (3.89)óï îùàåòñß äî: D(qλ, ω) = Ω qλ ω Ω qλ ɛ e(q) + iδ (3.9) Ïîë ñà òîãî âû àæåíèß îï åäåëß ò àñòîòû ïå åíî ìè îâàííûõ ôîíîíîâ (D.Bohm, T.Staver, 95): ω (qλ) = Ω qλ ɛ e (q) Ω qλ + κ D q = mz 3M v F q (3.9) ãäå ó ëè (.8) è (.9), ãäå ïëîòíîñòü ëåêò îíîâ ñëåäóåò âçßòü àâíîé Zn (äëß îáåñïå åíèß ëåêò îíåéò àëüíîñòè). Âèäèì, òî ïå åíî ìè îâàííûå ôîíîíû â ìîäåëè æåëå èìå ò àêóñòè åñêèé çàêîí äèñïå ñèè ñî ñêî îñòü çâóêà c = ( ) mz / 3M vf. Â òîì æå ìîæíî óáåäèòüñß è â áîëåå îáùåì ( åì ìîäåëü æåëå)ñëó àå, êîãäà ïîòåíöèàë V ei (q) îòëè àåòñß îò èñòî êóëîíîâñêîãî, ïîñêîëüêó ï è ìàëûõ q èç óñëîâèß ëåêò îíåéò àëüíîñòè ñëåäóåò, òîv ei (q) âñå àâíî àâåí ï îñòî Ze /q. Â àññìàò èâàåìîé ìîäåëè ìîæíî åùå îï åäåëèòü è ïîëíîå ( ôôåêòèâíîå)ìåæ- ëåêò îííîå âçàèìîäåéñòâèå, êîòî îå íóæíî, íàï èìå, äëß âû èñëåíèß ñâå õï îâîäßùèõ ñâîéñòâ ìåòàëëîâ. Ýòî âçàèìîäåéñòâèå èçîá àæàåòñß äèàã àììàìè, ïîêàçàííûìè íà Ðèñ. 3. è àâíî: Ω qλ V eff (qω) = 4πe q ɛ e (qω) + g (qλ) ɛ e (q) ω ω (qλ) ãäå ω (qλ) ñïåêò ïå åíî ìè îâàííûõ ôîíîíîâ, ñëåäó ùèé èç (3.87): { ( ω (qλ) =Ω qλ g (qλ) )} V q ɛ e (q) Âìîäåëè æåëå V eff (qω) ñâîäèòñß ê: V eff (qω) = 4πe q ɛ eff (qω) ãäå ɛ eff (qω) ïîëíàß äè ëåêò è åñêàß ï îíèöàåìîñòü: (3.93) (3.94) (3.95) ɛ eff (qω) =ɛ e (qω) Ω qλ ω (3.96)

83 3.6. Ôîíîíû è ôëóêòóàöèè. 83 Ðèñ. 3.: Ýôôåêòèâíîå âçàèìîäåéñòâèå ëåêò îíîâ â ìåòàëëå. Â áîëåå îáùåì ñëó àå ( åì ìîäåëü æåëå), ìåæ ëåêò îííîå âçàèìîäåéñòâèå òàêæå ñâîäèòñß ê âèäó (3.95), íî ɛ eff (qω) èìååò âèä: ɛ eff (qω) =ɛ e (qω) g (qλ) V q ω Ω qλ Ω qλ [ g (qλ) V q ] (3.97) Óñëîâèå óñòîé èâîñòè å åòêè ñâîäèòñß ê ò åáîâàíè ω (qλ) >, òàê òî èç (3.94) ïîëó àåì: + g (qλ) ɛ e (q) > (3.98) V q ɛ e (q) Èç òèõ ôî ìóë ìîæíî îï åäåëèòü, êîãäà ôôåêòèâíîå âçàèìîäåéñòâèå â ìåòàëëå ìîæåò ñòàòü ï èòßãèâà ùèì, â àñòíîñòè äëß q p F, òî íåîáõîäèìî äëß ôî ìè îâàíèß ñâå õï îâîäßùåãî ñîñòîßíèß [4]. Ðàçóìååòñß, â åàëüíûõ ìåòàëëàõ ò åáóåòñß âûõîä çà àìêè èñïîëüçîâàâ åãîñß íàìèrpa. Âû àæåíèå (3.94) äëß ôîíîííîãî ñïåêò à ìîæíî çàïèñàòü â áîëåå îáùåì âèäå êàê: ω (qλ) =Ω qλ Φ +g (qλ)χ(q, ω(qλ)) Ψ (3.99) ãäå ââåäåíà îáîáùåííàß âîñï èèì èâîñòü ëåêò îííîé ïîäñèñòåìû, ñâßçàííàß ñ ñîîòâåòñòâó ùåé äè ëåêò è åñêîé ï îíèöàåìîñòü ñîîòíî åíèåì: χ e(qω) = V q ɛ (3.) e(qω) è ó òåíà çàâèñèìîñòü îò ω, êîòî îé âû å ï åíåá åãàëîñü, òî ñîîòâåòñòâîâàëî àäèàáàòè åñêîìó ï èáëèæåíè äëß ïëàçìåííîé ìîäåëè ìåòàëëà. Ðàñ åò ïîï àâîê íà íåàäèàáàòè íîñòü ñëåäóåò îñóùåñòâëßòü ïóòåì å åíèß ò àíñöåíäåíòíîãî ó àâíåíèß (3.99). Íåò óäíî óáåäèòüñß, òî èç-çà ìàëîñòè ñêî îñòè èîíîâ, ïî ñ àâíåíè ñ ôå ìèåâñêîé ñêî îñòü, ó åòq çàâèñèìîñòè χ e(qω) îò àñòîòû ï èâåäåò ê èçìåíåíè ôîíîííûõ àñòîò íà ìàëó âåëè èíó m. M Îòñ äà ßñíî, òî ñìßã åíèå àñòîò åàëüíûõ ôîíîíîâ è íåóñòîé èâîñòü å åòêè ìîæíî ñâßçàòü ñ èçìåíåíèåì ôôåêòèâíîãî ìåæèîííîãî âçàèìîäåéñòâèß, îáóñëîâëåííûì, â ñâî î å åäü, èçìåíåíèåì ñòàòè åñêîé äè ëåêò è åñêîé ï îíèöàåìîñòè ëåêò îíîâ. Òàêîâà, íàï èìå, ñèòóàöèß âîäíîìå íûõ è êâàçèîäíîìå íûõ ìåòàëëè åñêèõ ñèñòåìàõ (à òàêæå âóñëîâèßõ íåñòèíãà ï èd =, 3), ãäå, êàê óæå îòìå àëîñü âû å, ïîëß èçàöèîííûé îïå àòî, à ñ íèì è ɛ e(qω) ï è T =èìå ò ëîãà èôìè åñêó îñîáåííîñòü è îá àùàåòñß â áåñêîíå íîñòü ï è q =p F. Â òîì ñëó àå ôîíîííàß àñòîòà è ôó üå êîìïîíåíòà ôôåêòèâíîãî ìåæèîííîãî âçàèìîäåéñòâèß ï è q =p F îá àùà òñß âíóëü. 3.6 Ôîíîíû è ôëóêòóàöèè. Ðàññìîò èì, ñëåäóß [3], êî åëßöèîííó ôóíêöè àòîìíûõ ñìåùåíèé: C T (r) = αβ <u α (r)u β () > (3.) è èçó èì åå àñèìïòîòèêó íà áîëü èõ àññòîßíèßõ r. Âåëè èíó (3.)ìîæíî âû àçèòü å åç ñîîòâåòñòâó ùó ìàöóáà îâñêó ôóíêöè Ã èíà ôîíîíîâ. Ï è

84 84 Ãëàâà 3. ÝËÅÊÒÐÎÍ ÔÎÍÎÍÍÎÅ ÂÇÀÈÌÎÄÅÉÑÒÂÈÅ òîì íóæíî ó åñòü, òî ñòàíäà òíàß ôîíîííàß ôóíêöèß Ã èíà [] îï åäåëßåò, ôàêòè åñêè, êî åëßòî ã àäèåíòîâ ñìåùåíèé, òî îáåñïå èâàåò óäîáíó çàïèñü ãàìèëüòîíèàíà ëåêò îí ôîíîííîãî âçàèìîäåéñòâèß. Ôóíêöèß Ã èíà àòîìíûõ ñìåùåíèé ïîëó àåòñß äåëåíèåì òîé ôóíêöèè Ã èíà íà âåëè èíó ρω k (ãäå ρ ïëîòíîñòü ñïëî íîé ñ åäû, ñîïîñòàâëßåìîé ê èñòàëëó)è ñìåíîé çíàêà 6.Òîãäà èìååì: C T (r) = T ρ m d d k (π) d e ikr ω m + ω k (3.) ãäå ω k ñïåêò ôîíîíîâ. Ñóììè îâàíèå ïî ( åòíûì) ìàöóáà îâñêèì àñòîòàì â (3.)âûïîëíßåòñß ñ ïîìîùü ñîîòíî åíèß: Â åçóëüòàòå ïîëó àåì: m= C T (r) = ρ m + a = π cthπa (3.3) a d d k (π) d ω k cth ω k T eikr (3.4) Îòñ äà ìîæíî ïî îòäåëüíîñòè âûäåëèòü âêëàäû òåïëîâûõ è êâàíòîâûõ (íóëåâûõ) (T =)ôëóêòóàöèé (êîëåáàíèé)ñ ïîìîùü ôî ìóëû: cth ω T = + n B(ω) (3.5) ãäå n B (ω) = e ω T ôóíêöèß Áîçå. Î åâèäíî, òî n B ï è T, òàê òî ñîîòâåòñòâó ùèé âêëàä îï åäåëßåò òåïëîâûå ôëóêòóàöèè 7. Èòàê, âûïè åì äâà âêëàäà â èñêîìûé êî åëßòî : C (r) =C T = (r) = ρ C(r, T )= ρ d d k e ikr (3.6) (π) d ω k d d k (π) d n B (ω k ) ω k e ikr (3.7) Íàñ èíòå åñóåò ïîâåäåíèå òèõ ôóíêöèé ï è r. Ïî òîìó â C(r, T ) äà ò âêëàä òîëüêî ñàìûå ìàëûå k, òàêèå òî r ω k T. Ïî òîìó áîçå ôóíêöè ìîæíî àïï îêñèìè îâàòü êàê n B (ω k ) T ω k è çàïèñàòü: C(r, T ) T ρ d d k e ikr (π) d ωk (3.8) SSñíî, òî òà ôî ìóëà ßâëßåòñß ï îñòûì ñëåäñòâèåì çàêîíà àâíî àñï åäåëåíèß [] êëàññè åñêîé ñòàòèñòèêè. Äàëüíåé èå àñ åòû ï îâåäåì äëß àçëè íûõ àçìå íîñòåé ï îñò àíñòâà. Ñíà- àëà àññìîò èì C (r). 6 Â òîìíåò óäíî óáåäèòüñß, ñ àâíèâàß ôî ìóëû (7.9), (7.) è (7.3) â êíèãå [] 7 Çàìåòèì òî, âñå òè ôî ìóëû ìîæíî âûâåñòè è íå èñïîëüçóß ìàöóáà îâñêèå ôóíêöèè Ã èíà, à ï îñòî óñ åäíßß âòî è íî êâàíòîâàííûå îïå àòî û ñìåùåíèé ñ ãèááñîâñêîé ìàò èöåé ïëîòíîñòè.

85 3.6. Ôîíîíû è ôëóêòóàöèè. 85 Òàáëèöà 3.: Àñèìïòîòèêà (r ) êî åëßöèîííîé ôóíêöèè êâàíòîâûõ è òåïëîâûõ ôëóêòóàöèé àòîìíûõ ñìåùåíèé äëß àçëè íûõ àçìå íîñòåé ï îñò àíñòâà. d C (r) C T (r) 3 r T r r T ln L r ln L r TL Äëß d =3èìååì: C (3) 4π dkk sin kr (r) = (π) 3 ρ ck kr 4π ρcr (3.9) ãäå ââåëè îá åçàíèå ôî ìàëüíî àñõîäßùåãîñß íàâå õíåì ï åäåëå èíòåã àëà ï è k r, ïîñêîëüêó ï è áîëü èõ k îñöèëëßöèè ïîäèíòåã àëüíîãî âû àæåíèß ãàñßò ä óã ä óãà. Äëß d =: C () (r) = π dθ 4πρc π dke ikr cos θ = 4πρc ãäå J (r) ñîîòâåòñòâó ùàß ôóíêöèß Áåññåëß. Íàêîíåö äëß d =èìååì: C () (r) = 4πρc dk k eikr = πρc dk k dkj (kr) = 4πρcr cos kr = πρc ln L r (3.) (3.) Ï è âû èñëåíèè ïîñëåäíåãî èíòåã àëà áûëî ñíîâà (àíàëîãè íî (3.9)) ï îèçâåäåíî îá åçàíèå ëîãà èôìè åñêîé àñõîäèìîñòè íà âå õíåì ï åäåëå ï è k, à íà r íèæíåì ï è k L (L àçìå ñèñòåìû). Ðàññìîò èì òåïå ü òåïëîâûå ôëóêòóàöèè. Äëß d =3èìååì: Äëß d =: C (3) T (r) = T π ρc r C () T (r) = T (π) ρc π dk k sin kr = T 4πρc r (3.) dk dθ k eikr cos θ (3.3) Ýòîò èíòåã àë òàêæå àñõîäèòñß è åãî íóæíî îá åçàòü, àíàëîãè íî òîìó, êàê òî äåëàëîñü ï è àñ åòå C (r). Â èòîãå ïîëó èì: Äëß d =, àíàëîãè íûì îá àçîì: C () T (r) = T πρc ln L r (3.4) C () T (r) = T πρc dk cos kr = ConstL (3.5) k

86 86 Ãëàâà 3. ÝËÅÊÒÐÎÍ ÔÎÍÎÍÍÎÅ ÂÇÀÈÌÎÄÅÉÑÒÂÈÅ Â òîì ñëó àå èíòåã àë ï è ìàëûõ k àñõîäèòñß ñòåïåííûì îá àçîì è îï åäåëåíèå êî ôôèöèåíòà â îáùåì âèäå íåâîçìîæíî â àñòíîñòè îí çàâèñèò îò ã àíè íûõ óñëîâèé, à òàêæå îò òîãî, êàê òî êè ñ åäû, â êîòî ûõ èçìå ß òñß ñìåùåíèß, àñïîëîæåíû ïî îòíî åíè ê ã àíèöàì. Èòîãè íà èõ âû èñëåíèé ñâåäåíû â ï èâåäåííîé âû å Òàáëèöå. Ýòè åçóëüòàòû ïîçâîëß ò èçó èòü âîï îñ î àç ó åíèè äàëüíåãî (â äàííîì ñëó àå ê èñòàëëè åñêîãî!)äàëüíåãî ïî ßäêà êâàíòîâûìè è òåïëîâûìè ôëóêòóàöèßìè (êîëåáàíèßìè). Â ñàìîì äåëå, äëß òîãî, êàê àç, äîñòàòî íî àññìîò åòü àñèìïòîòèêè C(r) ï è r. Åñëè ï è òîì C(r), òî äàëüíèé ïî ßäîê (ê èñòàëëè åñêàß å åòêà) ôëóêòóàöèßìè íå àç ó àåòñß äàæå çíà èòåëüíîå îòêëîíåíèå u() îò ñ åäíåãî çíà åíèß íå ï èâîäèò ê ñèëüíîìó èçìåíåíè u(r). Íî åñëè C(r), òî òî îçíà- àåò, òî äàëüíèé ïî ßäîê èñ åçàåò. Òàêàß ñèòóàöèß èìååò ìåñòî äëß êâàíòîâûõ ôëóêòóàöèé ï è d =, à äëß òåïëîâûõ μ ï è d =,!

87 Ãëàâà 4 ÝËÅÊÒÐÎÍÛ Â ÍÅÓÏÎÐSSÄÎ ÅÍÍÛÕ ÑÈÑÒÅÌÀÕ 4. Äèàã àììíàß òåõíèêà äëß àññåßíèß íà ï èìåñßõ. Ðàññìîò èì ëåêò îí, äâèæóùèéñß â ï îñò àíñòâå â ïîëå, ñîçäàâàåìîì N i àññåèâàòåëßìè ( ï èìåñßìè ), êîòî ûå àñïîëîæåíû ñëó àéíûì îá àçîì (õàîòè åñêè) ñ ôèêñè îâàííîé ïëîòíîñòü (êîíöåíò àöèåé) ρ i = Ni V, ãäå V îáúåì ñèñòåìû. Ñóììà íûé ïîòåíöèàë (ñëó àéíîå ïîëå!), ñîçäàâàåìûé ï èìåñßìè åñòü: N i V (r) = v(r R j ) (4.) j= ãäå v(r R j ) ïîòåíöèàë îòäåëüíîãî àññåèâàòåëß, àñïîëîæåííîãî â (ñëó àéíîé!) òî êå R j. Àáñîë òíî ñëó àéíîå àñï åäåëåíèå àññåèâàòåëåé â ï îñò àíñòâå ñîîòâåòñòâóåò èõ ôóíêöèè àñï åäåëåíèß âèäà: P{R j } = V Ni (4.) Äëß çàäàííîé êîíôèãó àöèè àññåèâàòåëåé ôóíêöèß Ã èíà ëåêò îíà óäîâëåòâî ßåò ó àâíåíè : i t + N i m v(r R j ) G(rr t{r j })=δ(r r )δ(t) (4.3) j= è çàâèñèò ôóíêöèîíàëüíî îò âñåõ R j. Îáû íî, â òåî èè íåóïî ßäî åííûõ ñèñòåì ï åäïîëàãàåòñß [5], òî ôèçè åñêèå âåëè èíû (èçìå ßåìûå íà êñïå èìåíòå)îï åäåëß òñß êàê ñ åäíèå ïî àíñàìáë îá àçöîâ ñî âñåìè âîçìîæíûìè ïîëîæåíèßìè ï èìåñåé (óñ åäíåíèå ïî ï èìåñßì). Òàêèì îá àçîì, íàñ èíòå åñó ò, ï åæäå âñåãî, óñ åäíåííàß ôóíêöèß Ã èíà, êîòî àß îï åäåëßåòñß êàê: G(r r,t)=<g(rr t) >= V Ni Ni dr j G(rr t{r j }) (4.4) j=

88 88 Ãëàâà 4. ÝËÅÊÒÐÎÍÛ Â ÍÅÓÏÎÐSSÄÎ ÅÍÍÛÕ ÑÈÑÒÅÌÀÕ Ðèñ. 4.: Ðàññåßíèå ëåêò îíà íà ïîòåíöèàëå, ñîçäàâàåìîì ôèêñè îâàííîé êîíôèãó àöèåé àññåèâàòåëåé. Ñ èòàß ïîòåíöèàë àññåèâàòåëåé ñëàáûì, ìîæíî àçâèòü òåî è âîçìóùåíèé, çàïèñàâ âòî è íî êâàíòîâàííûé ãàìèëüòîíèàí âçàèìîäåéñòâèß ëåêò îíà ñ ïîëåì (4.)êàê: H int = drψ + (r)v (r)ψ(r) (4.5) Òàêàß òåî èß âîçìóùåíèé (ïî âíå íåìó ïîë [])î åíü ï îñòà. Ñîîòâåòñòâó ùèé ßä òåî èè âîçìóùåíèé äëß ôóíêöèè Ã èíà (4.3)èìååò õî î î èçâåñòíûé âèä: G(, )=G (, )+ dg (, )V ()G (, )+ + dd3g (, )V ()G (, 3)V (3)G (3, )+... (4.6) ãäå =(r,t), =(r,t ) è ò. ä. Ã àôè åñêè òî àçëîæåíèå ï åäñòàâëßåòñß äèàã àììàìè, ïîêàçàííûìè íà Ðèñ. 4.. Íî íàñ èíòå åñóåò óñ åäíåííàß ôóíêöèß Ã èíà <G(rr t) >, îï åäåëåííàß â (4.4). Ñîîòâåòñòâåííî, ï è óñ åäíåíèè ßäà (4.6) ïî (4.), âîçíèêà ò ñ åäíèå âèäà: <V() >, < V ()V (3) >, < V ()V (3)V (4) >,... (4.7) Äëß ñëó àéíî àñïîëîæåííûõ ï èìåñåé (ñëó àéíîãî ïîëß (4.) è àñï åäåëåíèß (4.)) âñå òè ñ åäíèå ìîæíî àññ èòàòü â îáùåì âèäå. Äëß òîãî, ï åæäå âñåãî, ââåäåì ôó üå ï åäñòàâëåíèå: V (r) = v(p)e ip(r R j) (4.8) p j ãäå v(p) μ ôó üå îá àç ïîòåíöèàëà îòäåëüíîãî àññåèâàòåëß, v( p) =v (p). Äëß ï îñòîòû áóäåì ñ èòàòü, â áîëü èíñòâå ñëó àåâ, òîò ïîòåíöèàë òî å íûì, òàê òî v(p) = v = const. Ýòî îã àíè åíèå ñîâå åííî íåï èíöèïèàëüíî. Ñ ó åòîì (4.8), çàäà à âû èñëåíèß ñ åäíèõ òèïà (4.7) ñâîäèòñß ê âû èñëåíè âåëè èí òèïà: M s (p, p,..., p s )=<ρ(p )ρ(p )...ρ(p s ) >... exp( i p j R lj ) (4.9) l j Óäîáíî ïå åéòè ê àññìîò åíè íåñêîëüêî èíîãî (íåñêîëüêî áîëåå îáùåãî è åàëèñòè åñêîãî!)âà èàíòà íà åé ìîäåëè. Ïóñòü N i àññåèâàòåëåé (ï èìåñåé) àñï åäåëåíû ñëó àéíûì îá àçîì ïî N óçëàì åãóëß íîé (äëß ï îñòîòû êóáè åñêîé) å åòêè. Òîãäà âìåñòî ââåäåííîé âû å àçìå íîé ïëîòíîñòè ρ i ââåäåì áåç àçìå íó êîíöåíò àöè ï èìåñåé ρ = Ni N, êîòî àß ìîæåò èçìåíßòüñß â èíòå âàëå îò l l s

89 4.. Äèàã àììíàß òåõíèêà äëß àññåßíèß íà ï èìåñßõ. 89 äî. Òîãäà åçóëüòàò óñ åäíåíèß ï îèçâîëüíîé ñóììû ïî ïîëîæåíèßì ï èìåñåé î åâèäíî ñâîäèòñß ê: l i... N i N l drl... = ρ a 3... = ρ i dr l... (4.) ãäå âòî àß ñóììà óæå áå åòñß ïî âñåì óçëàì íà åé å åòêè, à âåëè èíà a îáîçíà àåò ïîñòîßííó å åòêè. Ï è òîì ìû ó ëè, òî ââåäåííàß âû å àçìå íàß ïëîòíîñòü àññåèâàòåëåé ρ i = Ni V = Ni Na = ρa 3.Ïå åõîä ê àññìàò èâàâ åéñß âû- å íåï å ûâíîé ìîäåëè ñîîòâåòñòâóåò 3 a, òàê òî ôèêñè îâàííîå çíà åíèå ρ ñîîòâåòñòâóåò ï åäåëó ρ i. Â òîæå â åìß, åñëè ôèêñè îâàòü ρ i, òî ï åäåë a îçíà àåò ρ = ρ i a 3.Åñëèæå, êàê òî àñòî ï èíèìàåòñß â òåî èè òâå äîãî òåëà, ïîëîæèòü îáúåì ñèñòåìû V =,òîn = a 3, òî àçëè èß â îï åäåëåíèè êîíöåíò àöèé ï îñòî èñ åçà ò. Ïî òîìó â äàëüíåé åì ìû èñïîëüçóåì äëß íåå åäèíîå îáîçíà åíèå ρ. Ïîñëåäó ùèå âû èñëåíèß äîñòàòî íî ï îñòû, íàäî òîëüêî àêêó àòíî âûäåëèòü ñïåöèàëüíûå ñëó àè, êîãäà ï îèñõîäèò ñîâïàäåíèå èíäåêñîâ ñóììè îâàíèß (ï èìåñåé)â (4.9). Ï ßìîé ñ åò äàåò (äëß å åòî íîé ìîäåëè): M (p) = exp( ipr l ) = ρ dre ipr =(π) 3 ρδ(p) (4.) l M (p, p )= exp[ i(p + p )R l ]+ exp[ (p R l + p R m )] = l m l =(π) 3 ρδ(p + p )+ρ [(π) 3 δ(p )(π) 3 δ(p ) (π) 3 δ(p + p )] = =(π) 6 ρ δ(p )δ(p )+(π) 3 (ρ ρ )δ(p + p ) < ρ(p ) > c <ρ(p ) > c + <ρ(p )ρ(p )) > c (4.) ãäå ââåëè, ïî îï åäåëåíè, êóìóëßíòû <... > c. Àíàëîãè íûì îá àçîì ïîëó àåì: M 3 (p, p, p 3 )=<ρ(p ) > c <ρ(p ) > c <ρ(p 3 ) > c + <ρ(p ) > c <ρ(p )ρ(p 3 ) > c + + <ρ(p ) > c <ρ(p )ρ(p 3 ) > c + <ρ(p 3 ) > c <ρ(p )ρ(p ) > c + <ρ(p )ρ(p )ρ(p 3 ) > c (4.4) Â èòîãå, ïîñëå óñ åäíåíèß àçëîæåíèß (4.6)âîçíèêà ò ñëåäó ùèå ëåìåíòû íîâîãî (óñ åäíåííîãî) ßäà òåî èè âîçìóùåíèé: v<ρ(p ) > c =(π) 3 ρvδ(p ) (a) (4.5) v <ρ(p )ρ(p ) > c =(π) 3 (ρ ρ )v δ(p + p ) (b) (4.6) v 3 <ρ(p )ρ(p )ρ(p 3 ) > c =(π) 3 v 3 (ρ 3ρ +ρ 3 )δ(p + p + p 3 ) (c) (4.7) v 4 <ρ(p )ρ(p )ρ(p 3 )ρ(p 4 ) > c =(π) 3 v 4 (ρ 7ρ +ρ 3 6ρ 4 )δ(p +p +p 3 +p 4 ) (d) (4.8) êîòî ûì ñîïîñòàâëß òñß äèàã àììû, ïîêàçàííûå íà Ðèñ. 4. (a-d). Êóìóëßíòû áîëåå âûñîêèõ ïî ßäêîâ èìå ò åùå áîëåå ã îìîçäêèé âèä. Ôî ìàëüíîå ñîîòíî åíèå ìåæäó ñ åäíèìè ìîìåíòàìè è êóìóëßíòàìè äàåòñß àâåíñòâîì: * exp X j α j ρ(p j ) + =exp * exp 4 X j α j ρ(p j ) c (4.3)

90 9 Ãëàâà 4. ÝËÅÊÒÐÎÍÛ Â ÍÅÓÏÎÐSSÄÎ ÅÍÍÛÕ ÑÈÑÒÅÌÀÕ Ðèñ. 4.: Ã àôèêè, ñîïîñòàâëßåìûå àçëè íûì êóìóëßíòàì â óñ åäíåííîì ßäå òåî- èè âîçìóùåíèé. 4. Îäíî ëåêò îííàß ôóíêöèß Ã èíà. Èòîã ï åäûäóùåé äèñêóññèè ñâîäèòñß ê òîìó, òî äèàã àììíîå àçëîæåíèå äëß îäíî ëåêò îííîé ôóíêöèè Ã èíà, óñ åäíåííîé ïî ñëó àéíûì êîíôèãó àöèßì àññåèâàòåëåé (ï èìåñåé), ï åäñòàâëßåòñß â âèäå, ïîêàçàííîì íà Ðèñ Èíîãäà ãîâî ßò, òî ëèíèè âçàèìîäåéñòâèß ñ ï èìåñßìè ñîáè à òñß â ïó êè, îáúåäèíßåìûå ê åñòàìè ( ê åñòîâàß äèàã àììíàß òåõíèêà (S.F.Edwards, 958)). Ï è ìàëîé êîíöåíò àöèè (ρ ) ï èìåñåé (èëè â íåï å ûâíîé ìîäåëè) ìû ìîæåì îã àíè èòüñß çäåñü ëåíàìè ëèíåéíûìè ïî ρ. Òîãäà, ñ ó åòîì ï åäïîëàãàåìîé ìàëîñòè ïîòåíöèàëà (v ), ìîæíî îã àíè èòüñß òîëüêî âêëàäàìè îò (4.5), (4.6), èëè, ñîîòâåòñòâåííî, ã àôèêàìè äëß êóìóëßíòîâ (âçàèìîäåéñòâèé), ïîêàçàííûìè íà Ðèñ. 4. (a,b). Ï è òîì âêëàä îò (4.5) ò èâèàëåí è ñâîäèòñß ê êîíñòàíòå, ï èâîäßùåé ê ñäâèãó íà àëà îòñ åòà íå ãèè ëåêò îíà íà âåëè èíó ρv (èëè ê ñîîòâåòñòâó ùåé ïå åíî ìè îâêå õèìïîòåíöèàëà). Âòî îé æå êóìóëßíò (Ðèñ. 4. (b)) ñâîäèòñß ï è òîì ê (π) 3 ρv δ(p +p ).Òîãäà àçëîæåíèå äëß óñ åäíåííîé ôóíêöèè Ã èíà ñâîäèòñß ê ñóììå ã àôèêîâ, ïîêàçàííûõ íà Ðèñ Ýòîìó ñëó à ñîîòâåòñòâóåò ï îñòåé àß ôàêòî èçàöèß êî åëßòî îâ ñëó àéíîãî ïîëß (4.7) ïî Âèêó : <V()V () > <V() >= <V()V ()V (3) >= èò. ä. äëß âñåõ íå åòíûõ ñòåïåíåé, <V()V ()V (3)V (4) >=< V()V () >< V (3)V (4) > + <V()V (4) >< V ()V (3) > èò. ï. äëß âñåõ åòíûõ ñòåïåíåé. (4.9) Ïî òîìó, ìîæíî ï îñòî ñ èòàòü, òî â (4.7) <V() >= è îòñ èòûâàòü íå ãè îò ñ åäíåãî ó îâíß ñëó àéíîãîïîëß. Â ñàìîì äåëå, îã àíè èâàßñü äëß ñîáñòâåííî íå ãåòè åñêîé àñòè ëåêò îíà âêëàäîì äèàã àììû Ðèñ. 4. (a) èìååì R Σ=ρv() = ρ drv(r) è, ñîîòâåòñòâåííî, ôóíêöè Ã èíà: G(ε np) = iε n ξ(p) ρv(), òî è äîêàçûâàåò ñäåëàííîå óòâå æäåíèå.

91 4.. Îäíî ëåêò îííàß ôóíêöèß Ã èíà. 9 Ðèñ. 4.3: Äèàã àììíîå àçëîæåíèå óñ åäíåííîé ôóíêöèè Ã èíà ñëó àéíîì ïîëå îáùåãî âèäà. òî, ñ òî êè ç åíèß ìàòåìàòèêè, îï åäåëßåò ãàóññîâî ñëó àéíîå ïîëå 3. Â àññìàò èâàåìîé çàäà å äâóõòî å íûé êî åëßòî ñëó àéíîãî ïîëß â êîî äèíàòíîì ï îñò àíñòâå èìååò âèä: <V(r )V (r ) >= (π) 3 ρv d d p (π) 3 eipr d d p (π) 3 eipr δ(p + p )= = ρv d d p (π) 3 eip(r r) = ρv δ(r r ) (4.) Ïî òîìó îáû íî ãîâî ßò, òî çäåñü àññìàò èâàåìàß çàäà à ñâîäèòñß ê èçó åíè äâèæåíèß ëåêò îíà â ãàóññîâîì ñëó àéíîì ïîëå ñ êî åëßòî îì òèïà áåëîãî óìà. Ðàçëîæåíèå Ðèñ. 4.3 ìîæíî çàïèñàòü â âèäå ó àâíåíèß Äàéñîíà: G(, )=G (, )+ dd3g (, )Σ(, 3)G(3, ) (4.) èëè, â èìïóëüñíîì ï åäñòàâëåíèè (ìàöóáà îâñêàß òåõíèêà) 4 : G(pε n )=G (pε n )+G (pε n )Σ(pε n )G(pε n ) (4.) ãäå ñîáñòâåííî íå ãåòè åñêàß àñòü Σ(, ) ï åäñòàâëßåòñß ã àôèêàìè, ïîêàçàííûìè íà Ðèñ Ðàññìîò èì âêëàä ïå âîé äèàã àììû íà Ðèñ. 4.5, ñîîòâåòñòâó - 3 Ìîæíî ïîêàçàòü, òî òîò æå åçóëüòàò âîçíèêàåò èç âñåãî ßäà òåî èè âîçìóùåíèé äëß íåï å- ûâíîé ìîäåëè àñï åäåëåíèß ï èìåñåé â ôî ìàëüíîì ï åäåëå ρ i, v,íîρ i v const! 4 Óñ åäíåííàß ôóíêöèß Ã èíà <G(rr ε n) >= G(r r ε n) çàâèñèò òîëüêîîò r r óñ åäíåíèå âîññòàíàâëèâàåò ò àíñëßöèîííó èíâà èàíòíîñòü ñèñòåìû.

92 9 Ãëàâà 4. ÝËÅÊÒÐÎÍÛ Â ÍÅÓÏÎÐSSÄÎ ÅÍÍÛÕ ÑÈÑÒÅÌÀÕ Ðèñ. 4.4: Äèàã àììíîå àçëîæåíèå óñ åäíåííîé ôóíêöèè Ã èíà â ãàóññîâîì ñëó àéíîì ïîëå. Ðèñ. 4.5: Äèàã àììû äëß ñîáñòâåííî íå ãåòè åñêîé àñòè ëåêò îíà â ñëó àéíîì ïîëå.

93 4.. Îäíî ëåêò îííàß ôóíêöèß Ã èíà. 93 ùåé, êàê ìû ñåé àñ óâèäèì, ïå âîìó áî íîâñêîìó ï èáëèæåíè äëß àññåßíèß íà ï èìåñßõ (BA)(v( p) =v (p)): Σ BA (ε n p)=ρ q v(q) iε n ξ(p q) = ρ p v(p p ) iε n ξ(p ) (4.3) ãäå, êàê âñåãäà, ξ(p) =ε p µ v F ( p p F ). Â òèïè íûõ ìåòàëëàõ E F 7eV 8K è â áîëü èíñòâå ñëó àåâ íàñ èíòå åñó ò ëåêò îíû âáëèçè ó îâíß Ôå ìè E F µ. Íàï èìå, äëß T < 8K èìååì T E F <. Òàêèì îá àçîì, íàì íàäî çíàòü Σ BA (ε n p) ï è p p F è 5 iε n ε + isign(ε n )δ E F. Ê îìå òîãî, èç ï îâåäåííîãî âû å àññìîò åíèß ê àíè îâêè êóëîíîâñêîãî âçàèìîäåéñòâèß ëåêò îíîâ ßñíî, òî ñîâå åííî àíàëîãè íûì îá àçîì ê àíè óåòñß è ïîòåíöèàë ï èìåñè, òàê òî, ôàêòè åñêè, v(p p ) ßâëßåòñß äîñòàòî íî ïëàâíî ìåíß ùåéñß ôóíêöèåé íà èíòå âàëå < p p < p F. Ñ ó åòîì ñäåëàííûõ çàìå àíèé è ï îâåäåì ïîñëåäó ùèå âû èñëåíèß. Èìååì: Σ BA (p,ε+ isign(ε n )δ) =ρ v(p p ) ε ξ(p )+isign(ε n )δ = p = ρ { v(p p ) ε ξ(p } ) (ε ξ(p )) + δ isign(ε n)πδ(ε ξ(p )) p (4.4) Ïîñêîëüêó v(p p ) ìåíßåòñß äîñòàòî íî ìåäëåííî è íàñ èíòå åñó ò ε ξ(p ) E F µ, ìû èìååì êà åñòâåííó êà òèíó, ïîêàçàííó íà Ðèñ Â àñòíîñòè, èç ε ξ(p òîãî îáñòîßòåëüñòâà, òî ) (ε ξ(p )) +δ ßâëßåòñß íå åòíîé ôóíêöèåé ε ξ(p ), ñëåäóåò, òî ReΣ BA (pε n ) 6.Òîãäà (4.4)ñâîäèòñß ê èñòî ìíèìîìó âû àæåíè : Σ BA (pε) = iπsign(ε n ) p ãäå, ñ ó åòîì ε ξ(p) (âáëèçè ïîë ñà!)ââåëè ρ v(p p ) δ(ε ξ(p )) i ε n i ε n ε n τ p ε n γ p (4.5) τ p =γ p =π p ρ v(p p ) δ(ξ(p) ξ(p )) (4.6) μ àñòîòó àññåßíèß ëåêò îíà íà ï èìåñßõ, ïîñ èòàííó â áî íîâñêîì ï èáëèæåíèè ( çîëîòîå ï àâèëî Ôå ìè). Åñëè, äëß ï îñòîòû, ñ àçó ââåñòè òî å íûé ïîòåíöèàë ï èìåñè v(p) =v è ëèíåà èçîâàííûé ñïåêò ëåêò îíîâ âáëèçè ïîâå õíîñòè Ôå ìè, òî âñå âû èñëåíèß óï îùà òñß è ìû íåìåäëåííî ïîëó àåì: Σ BA (pε n )=ρv iε n ξ(p ) ρv ν F dξ iε n + ξ ε p n + = ξ = iρv ν F arctg ξ ε n ε n ε n = i ε n ε n πρv ν F (4.7) 5 Ó òåì, òî, â êîíöå êîíöîâ, íàì íóæíî âûïîëíèòü àíàëèòè åñêîå ï îäîëæåíèå íà âåùåñòâåííó îñü èç âå õíåé ïîëóïëîñêîñòè ε n >, ò.å. iε n ε + iδ, èëè èç íèæíåé ïîëóïëîñêîñòè, ãäå ε n <, ò.å. iε n ε iδ. 6 Ñò îãî ãîâî ß, èíòåã àë ïî p â ïå âîì ëåíå (4.4) ìîæåò áûòü àçáèò íà äâå àñòè: ïî p äàëåêèì îò p F èïîp âáëèçè p F. Ï åäåëû âòî îãî èíòåã àëà ìîæíî âçßòü ñèììåò è íûìè ïî p p F, òî è äàñò íóëü (â ï åíåá åæåíèè èçìåíåíèåì v(p p ) âáëèçè p F ). Èíòåã àë ïî äàëåêèì îáëàñòßì äàåò äåéñòâèòåëüíó êîíñòàíòó, êîòî ó îïßòü ìîæíî âêë èòü â ïå åíî ìè îâêó õèìïîòåíöèàëà.

94 94 Ãëàâà 4. ÝËÅÊÒÐÎÍÛ Â ÍÅÓÏÎÐSSÄÎ ÅÍÍÛÕ ÑÈÑÒÅÌÀÕ Ðèñ. 4.6: (a) ñ àâíåíèå ρ v(p) ε ε è ôóíêöèè p+µ (ε ε p+µ) +δ,âõîäßùåé â ReΣ BA (pε). (b) ñ àâíåíèå ρ v(p) δ èôóíêöèè (ε ε p+µ) +δ,âõîäßùåé â ImΣ BA (pε). òî, ïî ñóòè äåëà, ñîâïàäàåò ñ (4.5), ï è åì: γ p = πρv ν F (4.8) è ßâëßåòñß ï îñòî êîíñòàíòîé, îï åäåëßåìîé ïîòåíöèàëîì ï èìåñè è ïëîòíîñòü ëåêò îííûõ ñîñòîßíèé íà ó îâíå Ôå ìè. Òàêèì îá àçîì, â àññìàò èâàåìîì ï èáëèæåíèè, ïîëó àåì óñ åäíåííó îäíî- ëåêò îííó ôóíêöè Ã èíà â âèäå: G BA (pε n )= òî, ïîñëå ï îäîëæåíèß iε n z, äàåò: { G BA (pz) = iε n ξ(p)+iγ p signε n (4.9) z ξ(p)+iγ p Imz > z ξ(p) iγ p Imz < (4.3) è ï è z ε ± iδ (ãäå δ +)îï åäåëßåò G R(A) (pε). Òàêèì îá àçîì, â ñîîòâåòñòâèè ñ îáùèìè ò åáîâàíèßìè [], G BA (pz) èìååò àç åç âäîëü äåéñòâèòåëüíîé îñè è àíàëèòè íà (ïî îòäåëüíîñòè)â âå õíåé è íèæíåé ïîëóïëîñêîñòè z. Ïîñëå ëåìåíòà íîãî ï åîá àçîâàíèß Ôó üå èìååì: è àíàëîãè íî: G R (pt) = G R (rε) = dε e i(ε+iδ)t = iθ(t)e iξ(p)t e γpt (4.3) π ε ξ(p)+iγ p d 3 p e ipr (π) 3 = πν F r ε ξ(p)+iγ p p F r eikf e r/lp (4.3) ãäå l p = v F τ 7 p. Òàêèì îá àçîì γ p = τ p îï åäåëßåò â åìåííîå è ï îñò àíñòâåííîå (íà äëèíå l p, àíàëîãè íîé äëèíå ñâîáîäíîãî ï îáåãà) çàòóõàíèå óñ åäíåííîé ôóíêöèè Ã èíà. 7 Â ñàìîì äåëå, (4.3) ìîæíî çàïèñàòü êàê (âîñïîëüçóåìñß p p F = ξ/v F ): Z G R (rε) = ν F sin pr dξ p F r ε ξ + i = τ p

95 4.. Îäíî ëåêò îííàß ôóíêöèß Ã èíà. 95 Ñïåêò àëüíàß ïëîòíîñòü, ñîîòâåòñòâó ùàß (4.3), èìååò âèä ï îñòîãî ëî åíòöèàíà ñ è èíîé γ p : A(pε) = π ImGR (pε) = π (ε ξ(p)) + γp γ p (4.34) òî, åñòåñòâåííî, ïå åõîäèò â A(pε) =δ(ε ξ(p)) ãàçà ñâîáîäíûõ ëåêò îíîâ ï è γ p. Ðàññìîò èì òåïå ü îëü îòá î åííûõ äèàã àìì è âîçìîæíûå îáîáùåíèß. Ìîæíî ââåñòè ïîëíîå áî íîâñêîå ï èáëèæåíèå, òî íîå â íèç åì ïî ßäêå ïî êîíöåíò àöèè ï èìåñåé ρ, è ó èòûâà ùåå ìíîãîê àòíîå àññåßíèå ëåêò îíà íà îäíîé ï èìåñè. Ñîîòâåòñòâó ùèå äèàã àììû äëß ñîáñòâåííî íå ãåòè åñêîé àñòè ïîêàçàíû íà Ðèñ. 4.7 (a). Ñîîòâåòñòâó ùåå âû àæåíèå èìååò âèä: Σ FBA (pε n )=t pp (ε n ) (4.35) èñâîäèòñß ê äèàãîíàëüíîìó ëåìåíòó ìàò èöû àññåßíèß (t-ìàò èöû) t pp,êîòî àß îï åäåëßåòñß ó àâíåíèåì, ï åäñòàâëåííûì â ã àôè åñêîì âèäå íà Ðèñ. 4.7 (b), èëè, â àíàëèòè åñêîì âèäå: t pp (ε n )=ρv()δ pp + p v(p p )G (p )t p p(ε n ) (4.36) Çàäà à îïßòü ñóùåñòâåííî óï îùàåòñß äëß ëåêò îíîâ âáëèçè ïîâå õíîñòè Ôå ìè. Äåéñòâèòåëüíàß àñòü äèàãîíàëüíîãî ëåìåíòà t-ìàò èöû t pp (iε n ) ï àêòè åñêè ßâëßåòñß ï è p p F êîíñòàíòîé è ìîæåò áûòü âêë åíà â îï åäåëåíèå µ. Òîãäà îñòàåòñß àññìîò åòü Imt pp (iε n ). Ï èìåíßß îïòè åñêó òåî åìó êâàíòîâîé òåî èè àññåßíèß 8 Imt pp = Im t + pp G (p )t p p (4.38) p èìååì: ImΣ FBA (pε n )=Imt pp (ε n )=Im t pp iε n ξ(p ) = signε nπ t pp δ(ε ξ(p )) p p (4.39) ãäå â ïîñëåäíåì àâåíñòâå iε n ε+iδsignε n. Âû àæåíèå (4.39)ñîâïàäàåò ïî ôî ìå ñ (4.5), ñ ó åòîì çàìåíû ρ v(p p ) íà t pp : ãäå Σ FBA (pε n )= isignε n τ p = isignε n γ p (4.4) τ p =γ p =π p t pp δ(ξ(p) ξ(p )) (4.4) Z = ν F dξ exp(ip F r + i ξ r) exp( ip v F r i ξ r) F v F ip F r ε ξ + i τ p = πν F p F r eip F r e v F τp (4.33) 8 Èìååì èç (4.36): t = v + vg t, v + = v, òàê òî v = t + G + v + t+ è t = v +(t + G t t + G + vg t) è, â ñèëó ìèòîâîñòè v è t + G + vg t, ïîëó àåì: òî è ñâîäèòñß ê (4.38). Imt pp = Im < p t + G t p >= Im X p t + pp G t p p (4.37) r

96 96 Ãëàâà 4. ÝËÅÊÒÐÎÍÛ Â ÍÅÓÏÎÐSSÄÎ ÅÍÍÛÕ ÑÈÑÒÅÌÀÕ Åñëè â (4.6) çàìåíèòü ρ v(p p ) íà t pp, òî èìåííî òî è ïîëó èì. Â òîì ñìûñëå, ìîæíî îã àíè èòüñß òîëüêî âòî îé äèàã àììîé íà Ðèñ. 4.7 (a), êàê òî è äåëàëîñü âû å, íî ïîä àçóìåâàòü, òî v(p p ) ï åäñòàâëßåò ñîáîé ìàò è íûé ëåìåíò àìïëèòóäû àññåßíèß íà îäíîé ï èìåñè. Òåïå ü ìîæíî ïå åéòè ê àññìîò åíè ñàìîñîãëàñîâàííîãî áî íîâñêîãî ï èáëèæåíèß, ñâîäßùåãîñß ê ï îöåäó å óæè íåíèß âíóò åííèõ ëåêò îííûõ ëèíèé â ñîáñòâåííî íå ãåòè åñêîé àñòè, êàê òî ïîêàçàíî íà Ðèñ. 4.7 (c). Â àíàëèòè åñêîì âèäå ïîëó àåì: Σ SCBA (pε n )=ρv()δ pp + p v(p p )G(p ε n )t p p (4.4) ãäå, ïî ñ àâíåíè ñ (4.36), ï îèçî ëà çàìåíà ôóíêöèè Ã èíà G,íà: G(pε n )= iε n ξ(p) Σ(pε n ) (4.43) òàê òî, ôàêòè åñêè, âîçíèêàåò ï îöåäó à ñàìîñîãëàñîâàíèß äëß îï åäåëåíèß ñîáñòâåííî íå ãåòè åñêîé àñòè (ôóíêöèè Ã èíà). Äàëåå ëîãèêà íà åãî àññìîò åíèß ïîâòî ßåòñß. Ïîëüçóåìñß òåì, òî t pp ñëàáî çàâèñèò îò íå ãèè ï è p p F è ε E F,àòàêæå, òî àññåßíèå ßâëßåòñß óìå åííûì, â ñìûñëå âûïîëíåíèß íå àâåíñòâà Σ SCBA E F, ñíîâà ïîëó àåì åçóëüòàò òèïà (4.39). Ï è òîì îëü èã àåò òîëüêî ImΣ, à ReΣ ìîæåò áûòü ñï ßòàíà â õèìïîòåíöèàë µ. Â èòîãå ïîëó àåì: ImΣ SCBA (pε n )=Imt pp = Im p t pp iε n ξ(p ) iimσ SCBA (p ε n ) sign(ε n ImΣ SCBA )π p t pp δ(ε ξ(p )) (4.44) ãäå ï èáëèæåííîå àâåíñòâî ñï àâåäëèâî ï è ìàëûõ ImΣ SCBA. Äëß ñàìîñîãëàñîâàííîñòè íàäî ï îñòî âçßòü ImΣ SCBA (iε n ) sign(ε n ), òî ï îâå ßåòñß ï îñòîé ïîäñòàíîâêîé. Ðàçíèöà ìåæäó àññìîò åííûì âû å áî íîâñêèì ï èáëèæåíèåì è åãî ñàìîñîãëàñîâàííûì âà èàíòîì âîçíèêàåò òîëüêî â ñëó àå äîñòàòî íî ñèëüíîãî àññåßíèß, êîãäà δ ôóíêöèß â (4.44)çàìåíßåòñß ëî åíòöèàíîì êîíå íîé è èíû, òî â ìîäåëè ñ òî å íûì àññåßíèåì (ñ. (4.7)) íå ìåíßåò âîîáùå íè åãî. Èòàê èìååì îïßòü çíàêîìûé îòâåò: Σ SCBA (pε n )= isign(ε n ) τ p = isign(ε n )γ p (4.45) ãäå τ p è γ p îï åäåëß òñßêàê â (4.4), à äëß ñëó àß òî å íûõ ï èìåñåé âû àæåíèåì òèïà (4.8) 9. Íà å ï èáëèæåíèå, òàêèì îá àçîì, ñîîòâåòñòâóåò â àçëîæåíèè ôóíêöèè Ã èíà ó åòó, ïîêàçàííîì íà Ðèñ. 4.4, ó åòó âñåõ äèàã àìì áåç ïå åñå åíèé ëèíèé âçàèìîäåéñòâèß. Ïî åìó è ï è êàêèõ óñëîâèßõ ìîæíî ï åíåá å ü ïå åê åñòíûìè ã àôèêàìè. Ðàññìîò èì òîò âîï îñ ïîä îáíî íà ï èìå å ñ àâíåíèß äâóõ äèàã àìì, ïîêàçàííûõ íà Ðèñ Ï è àñ åòå âêëàäà äèàã àììû Ðèñ. 4.8 (a)èìïóëüñû èíòåã è îâàíèß p è p ìîãóò ï èíèìàòü ë áûå çíà åíèß â ñôå è åñêîì ñëîå òîëùèíîé 9 Ï è àññìîò åíèè çîíû êîíå íîé è èíû, â òîì ñëó àå ν F îáîçíà àåò ïëîòíîñòü ñîñòîßíèé íà ó îâíå Ôå ìè, ñ ó åòîì âëèßíèß ôôåêòîâ àññåßíèß.

97 4.. Îäíî ëåêò îííàß ôóíêöèß Ã èíà. 97 Ðèñ. 4.7: (a) ã àôèêè äëß ñîáñòâåííî íå ãåòè åñêîé àñòè, ó èòûâà ùèå ìíîãîê àòíîå àññåßíèå íà ï èìåñè. (b) ó àâíåíèå äëß t ìàò èöû. (c) ã àôèêè äëß ñîáñòâåííî íå ãåòè åñêîé àñòè â ñàìîñîãëàñîâàííîì ï èáëèæåíèè, ñ ó åòîì ìíîãîê àòíîãî àññåßíèß.

98 98 Ãëàâà 4. ÝËÅÊÒÐÎÍÛ Â ÍÅÓÏÎÐSSÄÎ ÅÍÍÛÕ ÑÈÑÒÅÌÀÕ Ðèñ. 4.8: Äèàã àììà áåç ïå åñå åíèß ëèíèé âçàèìîäåéñòâèß (a)è ñ ïå åê åñòàìè (b). Ïîêàçàíû òàêæå ñîîòâåòñòâó ùèå îáëàñòè èíòåã è îâàíèß â èìïóëüñíîì ï îñò àíñòâå. k /l. Ñîîòâåòñòâó ùèé ôàçîâûé îáúåì Ω a (4πp F k). Â ñëó àå äèàã àììû Ðèñ. 4.8 (b) ñóùåñòâó ò òàêèå æå îã àíè åíèß íà çíà åíèß p è p, íî ê îìå òîãî, äîëæíî åùå âûïîëíßòüñß óñëîâèå p + p p p F. Ï è ôèêñè îâàííîì p èçìåíåíèå p îã àíè åíî îáëàñòü ïå åñå åíèß åãî ñëîß è ñîîòâåòñòâó ùåãî ñëîß èìïóëüñà p + p p, òî ñîîòâåòñòâóåò äâàæäû çà ò èõîâàííûì îáëàñòßì íà Ðèñ. 4.8 (b). Ôàçîâûé îáúåì òîãî êîëüöà, îá àçîâàííîãî ïå åñå åíèåì äâóõ ñôå è åñêèõ ñëîåâ, åñòü Ω b (4πp F k)(πp F k ). Ïî òîìó, îòíî åíèå âêëàäà äèàã àììû ñ ïå åê åñòàìè ê íåïå åê åñòíîé åñòü, ïî ïî ßäêó âåëè èíû, Ω b Ω a k p F = p F l ( ñëàáûé áåñïî ßäîê ñîîòâåòñòâóåò äîñòàòî íî áîëü îé äëèíå ñâîáîäíîãî ï îáåãà, p F l/ ). Òàêèì îá àçîì, ïà àìåò ìàëîñòè íà åé òåî èè åñòü p F l, òî, î åâèäíî, êâèâàëåíòíî òàêæå óñëîâè E F τ p. Ñ ó åòîì p F /a (ãäå a ìåæàòîìíîå àññòîßíèå), ìàëîñòü òîãî ïà àìåò à ñîîòâåòñòâóåò âûïîëíåíè óñëîâèß l a, òàê òî äëèíà ï îáåãà äîëæíà ñóùåñòâåííî ï åâû àòü ìåæàòîìíîå àññòîßíèå. Ôàêòè åñêè, òî åñòü îáû íîå óñëîâèå ï èìåíèìîñòè êèíåòè åñêîé òåî èè. 4.3 Ìîäåëü Êåëäû à. Ê èòå èé p F l/ (l a) ïîçâîëßåò, êàê ìû âèäåëè òîëüêî òî, îã àíè èòüñß íåêîòî îé ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü äîìèíè ó ùèõ äèàã àìì (äèàã àììû áåç ïå åñå åíèé ëèíèé âçàèìîäåéñòâèß) ôåéíìàíîâñêîãî ßäà òåî èè âîçìóùåíèé. Â áîëü èíñòâå çàäà, å àåìûõ äèàã àììíûì ìåòîäîì, ï èõîäèòñß ïîñòóïàòü èìåííî òàêèì îá àçîì, ò.å. îòáè àòü (ïîëüçóßñü íåêîòî ûì ôèçè åñêèì ê èòå èåì)áåñêîíå íó ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü äèàã àìì, êîòî ó óäàåòñß ï îñóììè îâàòü. Ñ òî êè ç åíèß ìàòåìàòèêè òî, êîíå íî, íå î åíü õî î î! Îòá î åííûå äèàã àììû (õîòß îíè è ìàëû ïî ôèçè åñêîìó ïà àìåò ó)òîæåñîñòàâëß ò áåñêîíå íó ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü ïîëíîãî ßäà è âêëàä èõ îñòàåòñß, ñò îãî ãîâî ß, íåèçâåñòíûì. Â íåêîòî ûõ (î åíü åäêèõ!) ñëó àßõ óäàåòñß ï îñóììè îâàòü âåñü ßä ôåéíìàíîâ-

99 4.3. Ìîäåëü Êåëäû à. 99 ñêèõ äèàã àìì è ïîëó èòü, òàêèì îá àçîì, òî íîå å åíèå çàäà è. Ê ñîæàëåíè òî óäàåòñß, êàê ï àâèëî, ñäåëàòü ëè ü â î åíü óï îùåííûõ ( èñòî ìîäåëüíûõ!) çàäà àõ. Òåì íå ìåíåå, âûâîäû, ïîëó åííûå èç òàêèõ ìîäåëåé ìîãóò áûòü âåñüìà ïîëåçíû. Âêà åñòâå ï èìå à àññìîò è ìîäåëü äâèæåíèß ëåêò îíà â ãàóññîâîì ñëó àéíîì ïîëå, êîãäà äèàã àììíûé ßä äëß ôóíêöèè à èíà èìååò âèä, ïîêàçàííûé íà Ðèñ. 4.4, ñ ìîäåëüíûì ïà íûì êî åëßòî îì, çàäàâàåìûì â èìïóëüñíîì ï åäñòàâëåíèè âû àæåíèåì W (q) =(π) 3 W δ(q).  òîì ñëó àå èìïóëüñ, ïå åäàâàåìûé ëåêò îíó êàæäîé ëèíèåé âçàèìîäåéñòâèß àâåí íóë.  êîî äèíàòíîì ï åäñòàâëåíèè òî ñîîòâåòñòâóåò ïà íîìó êî åëßòî ó ñëó àéíûõ ïîëåé âèäà: <V(r)V (r ) >= d 3 q ) (π) 3 eiq(r r (π) 3 W δ(q) =W (4.46) òî ñîîòâåòñòâóåò ñëó à ï åäåëüíî äàëüíîäåéñòâó ùèõ êî åëßöèé ñëó àéíîãî ïîëß V (r), ò.å. ï îòèâîïîëîæíîìó ï åäåëüíîìó ñëó à, ïî ñ àâíåíè ñ êî åëßòî- îì òèïà áåëîãî óìà (4.). Îêàçûâàåòñß, òî â òîé ìîäåëè ìîæíî ëåãêî ï îñóììè îâàòü âåñü ôåéíìàíîâñêèé ßä (Ë.Â.Êåëäû, 965). Âå íåìñßê ßäó äëß íåóñ åäíåííîé ôóíêöèè à èíà, ïîêàçàííîìó íà Ðèñ. 4.. Ï è óñ åäíåíèè ïî ãàóññîâó ñëó àéíîìó ïîë, ëèíèè âçàèìîäåéñòâèß ñ âíå íèì ïîëåì îáúåäèíß òñß ïîïà íî âñåìè âîçìîæíûìè ñïîñîáàìè è ìû ïîëó àåì äèàã àììíûé ßä Ðèñ Ñîîòâåòñòâåííî â n-ì ïî ßäêå ïî êî - åëßòî ó ãàóññîâà ïîëß â êàæäîì ëåíå àçëîæåíèß óñ åäíåííîé ôóíêöèè à èíà èìååòñß n âå èí, ñîåäèíåííûõ ïîïà íî ëèíèßìè âçàèìîäåéñòâèß (âñå äèàã àììû òîãî ïî ßäêà ïîëó à òñß, åñëè ïå åá àòü âñå ïîïà íûå ñîåäèíåíèß ëèíèé âçàèìîäåéñòâèß â ëåíå ïî ßäêà n íà Ðèñ. 4.). Åñëè êàæäàß ëèíèß âçàèìîäåéñòâèß ïå åäàåò ëåêò îíó íóëåâîé èìïóëüñ, òî âêëàäû âñåõ äèàã àìì â äàííîì ïî ßäêå òåî èè (âêë àß ïå åê åñòíûå!)âîçìóùåíèé ï îñòî àâíû.  åçóëüòàòå, àçëîæåíèå ôóíêöèè à èíà ï åäñòàâëßåòñß â âèäå: { } G(εp) =G (εp) + n= A n W n G n (εp) (4.47) ãäå A n ïîëíîå èñëî äèàã àìì â n-ì ïî ßäêå òîãî ßäà (â ïî ßäêå n ïî àìïëèòóäå âçàèìîäåéñòâèß W). Âêëàä ï îèçâîëüíîé äèàã àììû ï îñòî àâåí: W n G n+ (εp) (4.48) òî ñîîòâåòñòâóåò n âå èíàì (ìíîæèòåëü W n ), ñîåäèíåííûì ïîïà íî ïóíêòè íûìè ëèíèßìè, à òàêæå ï îèçâåäåíè n+ ñâîáîäíûõ ôóíêöèé à èíà. Ìíîæèòåëü A n ëåãêî îï åäåëèòü èç êîìáèíàòî íûõ ñîîá àæåíèé μ òî èñëî ñïîñîáîâ, êîòî- ûìè ìîæíî ïîïà íî ñîåäèíèòü n âå èí ïóíêòè íûìè ëèíèßìè âçàèìîäåéñòâèß. Ëåãêî âèäåòü, òî A n =(n )!! (4.49)  ñàìîì äåëå, â êàæäîé äèàã àììå èìååòñß n âå èí è n + ëåêò îííàß ëèíèß. Âûáå åì ï îèçâîëüíó âå èíó. Åå ìîæíî ñîåäèíèòü n ñïîñîáîì ñ ë áîé èç îñòàëüíûõ n âå èí. Ïîñëå òîãî ó íàñ â àñïî ßæåíèè îñòàåòñß åùå n  îáùåì ñëó àå, êî åëßòî <V(r)V (r ) > õà àêòå èçóåòñß íåêîòî îé êî åëßöèîííîé äëèíîé ξ ôëóêòóàöèé ñëó àéíîãî ïîëß. Áåëûé óì ñîîòâåòñòâóåò ξ, â àññìàò èâàåìîé çäåñü ìîäåëè ξ

100 Ãëàâà 4. ÝËÅÊÒÐÎÍÛ Â ÍÅÓÏÎÐSSÄÎ ÅÍÍÛÕ ÑÈÑÒÅÌÀÕ ñâîáîäíûõ âå èí. Ñíîâà áå ß ë áó èç íèõ, ìîæåì ñîåäèíèòü åå ñ îñòàâ èìèñß n 3 ñïîñîáàìè. Ïîñëå òîãî îñòàåòñß n 4 ñâîáîäíûõ. Ë áó èç íèõ ìîæíî ñîåäèíèòü ñ îñòàâ èìèñß n 5 ñïîñîáàìè, è ò. ä. Òàêèì îá àçîì, ïîëíîå èñëî ñïîñîáîâ ñîåäèíèòü n âå èí â äàííîì ïî ßäêå àâíî(n )(n 3)(n 5)... = (n )!!, òî è äàåò (4.49). Òåïå ü ìîæíî âîñïîëüçîâàòüñß èçâåñòíûì èíòåã àëüíûì ï åäñòàâëåíèåì : (n )!! = π dtt n e t (4.54) Òîãäà (4.47)ñâîäèòñß ê: { } G(εp) =G (εp) + dtt n e t W n G (εp) n = n= π = { } dte t G (εp) + t n W n G n (εp) = π n= = dte t G (εp) {+ t G (εp)w } π t G (εp)w (4.55) ãäå, ïî õîäó äåëà, ìû ïîìåíßëè ìåñòàìè ñóììè îâàíèå è èíòåã è îâàíèå, è ï îñóììè îâàëè âîçíèê ó ï îã åññè. Ïîñëå ëåìåíòà íûõ ï åîá àçîâàíèé ïîëó àåì: = π G(εp) = π dte t G (εp) òàê òî îêîí àòåëüíî: G R (εp) = π dte t dte t G (εp) t W G (εp) = { } tw G (εp) + +tw G (εp) G (εp) tw G (εp) = π dte t (4.56) ε ε p tw + iδ (4.57) ãäå ó ëè ßâíûé âèä G R (εp) = ε ε p+iδ, è äàëåå ïîä àçóìåâàåòñß ε p = p m Ïî îï åäåëåíè : (n)!! = (n) = n n!. Àíàëîãè íî: (n )!! = (n ) = n π Γ n + 3. Ïîñëå (4.5) Ïîëüçóßñü èíòåã àëüíûì ï åäñòàâëåíèåì Γ-ôóíêöèè: Z Γ(z) = dxx z e x (4.5) ëåãêî ïîëó èòü âåñüìà ïîëåçíîå, äëß äàëüíåé åãî, ñîîòíî åíèå: Z n! =Γ(n +)= dxx n e x (4.5) àòàêæå Z Γ n + Z = dxx n / e x = dxx n e x (4.53) òî ïîñëå çàìåíû x t /, è ñ ó åòîì (4.5), äàåò (4.54). Èñïîëüçîâàííûé çäåñü ï èåì â ìàòåìàòèêå íàçûâàåòñß ñóììè îâàíèåì ïîáî åë. 3 Îï åäåëèì ôóíêöè êîìïëåêñíîé ïå åìåííîé z: Z Ψ(z) = dte t π z t (4.58)

101 4.3. Ìîäåëü Êåëäû à. Ðèñ. 4.9: Äèàã àììû äëß òî íîé ñîáñòâåííî íå ãåòè åñêîé àñòè ëåêò îíà â ãàóññîâîì ñëó àéíîì ïîëå (a)è îï åäåëß ùåé åå âå èííîé àñòè (b). ïå åîáîçíà åíèß tw = V ïå åïè åì (4.57)â áîëåå íàãëßäíîì âèäå: G R (εp) = πw dv e V W ε p m V + iδ (4.6) Ôèçè åñêèé ñìûñë òîãî åçóëüòàòà î åâèäåí μ ëåêò îí äâèæåòñß â ï îñò àíñòâåííî îäíî îäíîì ïîëå V, âåëè èíà êîòî îãî àñï åäåëåíà ïî Ãàóññó ñ è èíîé W. Óñ åäíåííàß ôóíêöèß Ã èíà îïèñûâàåò àíñàìáëü îá àçöîâ, â êàæäîì èç êîòî ûõ ïîëå V ïîñòîßííî âäîëü âñåãî îá àçöà, íî âåëè èíà åãî â êàæäîì èç îá àçöîâ ( ëåìåíòîâ àíñàìáëß)ñëó àéíà. Ï èâåäåì åùå îäèí âà èàíò âûâîäà òîãî ê àñèâîãî åçóëüòàòà (Ë.Â.Êåëäû, 965, À.Ë.Ýô îñ, 97). Çàïè åì ó àâíåíèå Äàéñîíà: G (εp) =ε p Σ(εp) (4.6) m ãäå ñîáñòâåííî íå ãåòè åñêàß àñòü ìîæåò áûòü ï åäñòàâëåíà ã àôèêîì Ðèñ. 4.9 (a)è â àíàëèòè åñêîì âèäå èìååò âèä: Σ(εp) = d 3 q (π) 3 Γ(p, p q, q)g(εp q)w (q) (4.6) Çäåñü Γ(p, p q, q) òî íàß âå èííàß àñòü, îï åäåëßåìàß äèàã àììàìè, ïîêàçàííûìè íà Ðèñ. 4.9 (b) 4. Ñ ó åòîì òîãî, òî â àññìàò èâàåìîé çàäà å W (q) = Òîãäà (4.57) ìîæíî çàïèñàòü: G(εp) = W Ψ WG (εp) (4.59) 4 Çàìåòèì, òî îáà ëåêò îííûõ êîíöà òîé âå èíû ñîîòâåòñòâó ò çàïàçäûâà ùåé (îïå åæà ùåé) ôóíêöèè Ã èíà G R(A), â ñîîòâåòñòâèè ñ òåì, êîòî àß èç òèõ ôóíêöèé îï åäåëßåòñß èç (4.6). Èìåííî òî îáñòîßòåëüñòâî ïîçâîëßåò âîñïîëüçîâàòüñß äëß âû èñëåíèß âå èíû Γ(p, p, ) ï îñòûì äèôôå åíöèàëüíûì òîæäåñòâîì Óî äà (4.64)

102 Ãëàâà 4. ÝËÅÊÒÐÎÍÛ Â ÍÅÓÏÎÐSSÄÎ ÅÍÍÛÕ ÑÈÑÒÅÌÀÕ (π) 3 W δ(q), ó àâíåíèß (4.6), (4.6) ñâîäßòñß ê: ε p m G (εp) =W G(εp)Γ(p, p, ) (4.63) Âå èíà Γ(p, p, ) óäîâëåòâî ßåò òîæäåñòâó Óî äà âèäà: Γ(p, p, ) = dg (εp) (4.64) dε êîòî îå ëåãêî âûâîäèòñßï ßìûì äèôôå åíöè îâàíèåì äèàã àììíîãî ßäà äëß ñîáñòâåííî íå ãåòè åñêîé àñòè Σ(εp). Òîãäà èç (4.63)âîçíèêàåò äèôôå åíöèàëüíîå ó àâíåíèå äëß ôóíêöèè Ã èíà: W dg dx + Gx = (4.65) ãäå ââåëè x = ε p m + iδ. Ï ßìîå å åíèå (4.65)ñ ã àíè íûì óñëîâèåì G(x) = x ï è x íåìåäëåííî äàåò (4.6). Ðåçóëüòàò (4.6), ïîëó åííûé òî íûì ñóììè îâàíèåì âñåãî ôåéíìàíîâñêîãî ßäà (4.47)äîâîëüíî ïîêàçàòåëåí. Íàï èìå, ñïåêò àëüíàß ïëîòíîñòü, ñîîòâåòñòâó ùàß (4.6), èìååò âèä: A(εp) = ) ( dv e V W π δ (ε p πw m V = π πw exp (ε p ) m ) W (4.66) è ï åäñòàâëßåò ñîáîé àçìûòûé ãàóññîâ ïèê. Âîîáùå, íóæíî çàìåòèòü, òî âû àæåíèå (4.6), ñ î åâèäíîñòü, íå ñâîäèòñß ê åìó òî òèïà (4.3), ò.å. ê ôóíêöèè Ã èíà ñ àçìûòûì êâàçè àñòè íûì ïîë ñîì, îíà âîîáùå íå èìååò ïîë ñîâ. Èç (4.6)è (4.66)íåò óäíî àññ èòàòü ïëîòíîñòü ëåêò îííûõ ñîñòîßíèé: d 3 p d 3 p N(ε) = π = πw (π) 3 ImGR (εp) = dv e V W d 3 p (π) 3 δ (π) 3 A(εp) = ) (ε p m V ãäå ìíîæèòåëü ï îèñõîäèò îò ñóììè îâàíèß ïî ñïèíó. Ñîîòâåòñòâåííî: N(ε) = 3/4 m 3/ W / ( ) ε π 3 G W ãäå áåç àçìå íàß ôóíêöèß G (x) îï åäåëåíà êàê: G (x) = π x à âèä åå ïîêàçàí íà Ðèñ. 4.. Ï è ε> è ε W, èìååì: (4.67) (4.68) dye y (x y) / (4.69) N(ε) =N (ε) (m)3/ W 6π 3 ε 3/ (4.7) ãäå âòî îå ñëàãàåìîå ï åäñòàâëßåò ñîáîé ìàëó ïîï àâêó ê ïëîòíîñòè ñîñòîßíèé ñâîáîäíûõ ëåêò îíîâ (ïóíêòè íà Ðèñ. 4.): N (ε) = (m)3/ π 3 ε (4.7)

103 4.3. Ìîäåëü Êåëäû à. 3 Ðèñ. 4.: Ôóíêöèß G(x), îï åäåëß ùàß ïëîòíîñòü ñîñòîßíèé â ìîäåëè Êåëäû à. Íàèáîëåå ñóùåñòâåííîé îñîáåííîñòü ïîëó åííîãî òî íîãî å åíèß ßâëßåòñß ïîßâëåíèå õâîñòà ïëîòíîñòè ñîñòîßíèé â îáëàñòè ε<. Ï è ε< è ε W äëß õâîñòà ïîëó àåì ãàóññîâó àñèìïòîòèêó: N(ε) = /4 m 3/ W 4π 3 ( W ε ) 3/ ( ) exp ε W (4.7) Îá àçîâàíèå õâîñòà ïëîòíîñòè ñîñòîßíèé â çàï åùåííîé çîíå ßâëßåòñß îáùèì åçóëüòàòîì ëåêò îííîé òåî èè íåóïî ßäî åííûõ ñèñòåì [5]. Ðàçóìååòñß, êîíê åòíûé âèä ïëîòíîñòè ñîñòîßíèé â òîé îáëàñòè íå ãèé íå ßâëßåòñß óíèâå ñàëüíûì è çàâèñèò îò ìîäåëè ñëó àéíîãî ïîëß ( áåñïî ßäêà ). Â àñòíîñòè, õâîñò ïëîòíîñòè ñîñòîßíèé ó ê àß çîíû ï îâîäèìîñòè âîçíèêàåò è â àññìîò- åííîé âû å ìîäåëè áåëîãî óìà. Óäàåòñß ïîêàçàòü, òî â òîé ìîäåëè (äëß d =3) ï èε < [5]: ( N(ε) exp const ε / 3 m 3/ ρv ) (4.73) ï è ε E sc m 3 (ρv )/ 6, òî ñîîòâåòñòâóåò óñëîâè ε γ(ε), ãäå γ(ε) = πρv N (ε) ρv m3/ ε. Äëß 3 ìîäåëè ãàóññîâà ñëó àéíîãî ïîëß ñ êî åëßòî îì, õà àêòå èçó ùèìñß êîíå íîé êî åëßöèîííîé äëèíîé ξ, âîçíèêà ò õà àêòå íûå îáëàñòè íå ãèè, ïîêàçàííûå íà Ðèñ. 4., ãäå äëß ï îñò àíñòâà àçìå íîñòè d<4 íå ãèß E sc, îï åäåëß ùàß àçìå û îáëàñòè ñèëüíîé ñâßçè (èç óñëîâèß γ(ε) =ε) îï åäåëßåòñß êàê (Ì.Â.Ñàäîâñêèé, 977): E sc = m d 4 d d (ρv ) 4 d (4.74) Ê îìå òîãî, â òîé çàäà å âîçíèêàåò åùå îäíà õà àêòå íàß íå ãèß: E mξ (4.75) Ï è òîì ôî ìà õâîñòà ïëîòíîñòè ñîñòîßíèé â îáëàñòè E sc ε E îï åäåëßåòñß âû àæåíèåì, îáîáùà ùèì (4.73) (Ì.Â.Ñàäîâñêèé, 979): ( ) ( ε d d ε d ) N(ε) exp A d ρv =exp A d (4.76) E sc

104 4 Ãëàâà 4. ÝËÅÊÒÐÎÍÛ Â ÍÅÓÏÎÐSSÄÎ ÅÍÍÛÕ ÑÈÑÒÅÌÀÕ Ðèñ. 4.: Õà àêòå íûå îáëàñòè íå ãèé â çàäà å îá ëåêò îíå â ñëó àéíîì ïîëå. ãäå A d = const, çàâèñßùàß òîëüêî îò d. Â îáëàñòè ε E àñèìïòîòèêà õâîñòà ñòàíîâèòñß ãàóññîâîé: ff N(ε) exp ρ ξd ρv E (4.77) òî àíàëîãè íî ïîëó åííîìó âû å åçóëüòàòó (4.7). 4.4 Ï îâîäèìîñòü è äâóõ àñòè íàß ôóíêöèß Ã èíà. Ï îäîëæèì àññìîò åíèå çàäà è îá ëåêò îíå â ïîëå ñëó àéíûõ ï èìåñåé (ãàóññîâîì ñëó àéíîì ïîëå ñ êî åëßòî îì òèïà áåëîãî óìà ). Âàæíåé èé âîï îñ îáùèé ìåòîä àñ åòà ï îâîäèìîñòè òàêîé ñèñòåìû. Âû å ìû óæå âèäåëè, òî äëß âû èñëåíèß ï îâîäèìîñòè íóæíî çíàòü ôóíêöè îòêëèêà òèïà ïëîòíîñòü ïëîòíîñòü χ(qω), òîãäà ìîæíî èñïîëüçîâàòü (.)è (.5). Ï è òîì ìû óáåäèëèñü, òî òà ôóíêöèß îòêëèêà (ñ òî íîñòü äî çíàêà)ìîæåò áûòü ïîëó åíà àíàëèòè åñêèì ï îäîëæåíèåì (iω m ω + iδ) ìàöóáà îâñêîãî ïîëß èçàöèîííîãî îïå àòî à Π(iω m q) ëåêò îííîãî ãàçà: σ(ω) = lim q ie ωχ(qω) = lim q q ie q ωπ(qiω m ω + iδ) (4.78) Ìû àññìàò èâàåì ñâîáîäíûå (íåâçàèìîäåéñòâó ùèå ìåæäó ñîáîé) ëåêò îíû â ïîëå ñëó àéíûõ ï èìåñåé 5. Ñ òî êè ç åíèß êâàíòîâîé ìåõàíèêè çàäà à ßâëßåòñß îäíî àñòè íîé, äëß òàêîãî ëåêò îíà âñåãäà ñóùåñòâó ò íåêîòî ûå (íåèçâåñòíûå íàì!) òî íûå ñîáñòâåííûå ôóíêöèè è íå ãèè â ïîëå, çàäàâàåìîì çàäàííîé (ôèêñè îâàííîé)êîíôèãó àöèåé ï èìåñåé 6 : ãäå Hϕ n (r) =ε n ϕ n (r) (4.79) { H = drψ + (r) m + i } v(r R i ) ψ(r) (4.8) 5 Îáùåå îáñóæäåíèå èçëàãàåìîãî íèæå ïîäõîäà ìîæíî íàéòè â [6, 7]. 6 Èìåííî îáñóæäàâ àßñß âû å ï îöåäó à óñ åäíåíèß ï èäàåò çàäà å ôî ìàëüíî ìíîãî àñòè íûé âèä, íî óñ åäíåííûå ôóíêöèè Ã èíà óæå íå ßâëß òñß ôóíêöèßìè Ã èíà êâàíòîâîìåõàíè- åñêîé çàäà è! Îíè îïèñûâà ò êà òèíó, óñ åäíåííó ïî ñòàòèñòè åñêîìó àíñàìáë îá àçöîâ ñî âñåâîçìîæíûìè êîíôèãó àöèßìè àññåèâàòåëåé.