ÓÄÊ 519 Èíòå íåò-ìàãàçèí ± Èçäàíèå ôèçèêà ìàòåìàòèêà áèîëîãèß íåôòåãàçîâûå òåõíîëîãèè îñóùåñòâëåíî ï è ôèíàíñîâîé ïîääå æêå Ðîññèéñ

Transcript

1 À. Î. Èâàíîâ, À. À. Òóæèëèí ÒÅÎÐÈSS ÝÊÑÒÐÅÌÀËÜÍÛÕ ÑÅÒÅÉ Ìîñêâà Èæåâñê 2003

2 ÓÄÊ 519 Èíòå íåò-ìàãàçèí ± Èçäàíèå ôèçèêà ìàòåìàòèêà áèîëîãèß íåôòåãàçîâûå òåõíîëîãèè îñóùåñòâëåíî ï è ôèíàíñîâîé ïîääå æêå Ðîññèéñêîãî ôîíäà ôóíäàìåíòàëüíûõ èññëåäîâàíèé ïî ï îåêòó Èâàíîâ À. Î., Òóæèëèí À. À. Òåî èß êñò åìàëüíûõ ñåòåé. μ Ìîñêâà-Èæåâñê: Èíñòèòóò êîìïü òå íûõ èññëåäîâàíèé, 2003, 424 ñò. Äàííàß êíèãà ï åäñòàâëßåò ñîáîé ïå âîå â Ðîññèè ñèñòåìàòè åñêîå èçëîæåíèå òåî èè àçâåòâëåííûõ êñò åìàëåé îäíîìå íûõ âà èàöèîííûõ ôóíêöèîíàëîâ. Ýòîò àçäåë ìàòåìàòèêè àêòèâíî èññëåäóåòñß â ïîñëåäíåå äåñßòèëåòèå êàê ó íàñ â ñò àíå, òàê è çà óáåæîì. Êíèãà áóäåò ïîíßòíà ñòóäåíòàì, çíàêîìûì ñ îñíîâàìè òåî èè ã àôîâ, òîïîëîãèè è äèôôå åíöèàëüíîé ãåîìåò èè. Ê îìå òîãî, îñíîâíûå åçóëüòàòû, êàñà ùèåñß ãåîìåò èè ñåòåé íà ïëîñêîñòè, ìîãóò áûòü îñâîåíû äàæå ñòà åêëàññíèêàìè. Êíèãà áóäåò èíòå åñíà è îêèì ê óãàì èòàòåëåé, èíòå åñó ùèõñß ñîâ åìåííîé ìàòåìàòèêîé. ISBN X c Èíñòèòóò êîìïü òå íûõ èññëåäîâàíèé,

3 Ï åäèñëîâèå Äàííàß êíèãà ï åäñòàâëßåò ñîáîé àñ è åííó è äîïîëíåííó âå ñè íà åé ìîíîã àôèè Branching Solutions to One-Dimensional Variational Problems, âû åä åé â èçäàòåëüñòâå World Publisher Press â2001ãîäó. Èçäàíèå â Ðîññèè ñòàëî âîçìîæíûì áëàãîäà ß ôèíàíñîâîé ïîääå æêå ÐÔÔÈ, ï îåêò Àâòî ûáëàãîäà íûà. Â. Áî- èñîâó çà ï îßâëåííó èì íàñòîé èâîñòü è èíèöèàòèâó. Îòìåòèì îñíîâíûå îòëè èß îò Branching Solutions to One-Dimensional Variational Problems. Ï åæäå âñåãî, â êíèãå ïîßâèëàñü ãëàâà, ïîñâßùåííàß îòíî åíè òåéíå à. Òàêæå ìûâêë èëè â òåêñò íåñêîëüêî íîâûõ åçóëüòàòîâ è, àçóìååòñß, èñï àâèëè àñòü íåòî íîñòåé è îïå- àòîê. Â çàêë åíèå çàìåòèì, òî äàííàß êíèãà ï åäñòàâëßåò ñîáîé ïå âîå â Ðîññèè ñèñòåìàòè åñêîå èçëîæåíèå òåî èè àçâåòâëåííûõ êñò åìàëåé îäíîìå íûõ âà èàöèîííûõ ôóíêöèîíàëîâ. Ýòîò àçäåë ìàòåìàòèêè àêòèâíî èññëåäóåòñß â ïîñëåäíåå äåñßòèëåòèå êàê ó íàñ â ñò àíå, òàê è çà óáåæîì. Êíèãà áóäåò ïîíßòíà ñòóäåíòàì, çíàêîìûì ñ îñíîâàìè òåî èè ã àôîâ, òîïîëîãèè è äèôôå åíöèàëüíîé ãåîìåò èè. Ê îìå òîãî, îñíîâíûå åçóëüòàòû, êàñà ùèåñß ãåîìåò èè ñåòåé íà ïëîñêîñòè, ìîãóò áûòü îñâîåíû äàæå ñòà åêëàññíèêàìè. Ìû íàäååìñß, òî êíèãà áóäåò èíòå åñíà è îêèì ê óãàì èòàòåëåé, èíòå åñó ùèõñß ñîâ åìåííîé ìàòåìàòèêîé. À. Î. Èâàíîâ À. À. Òóæèëèí è ëü 2003, Ìîñêâà

4 Ââåäåíèå Íàñòîßùàß ìîíîã àôèß ßâëßåòñß ââåäåíèåì â òåî è êñò åìàëüíûõ ñåòåé μ íîâûé àçäåë ìàòåìàòèêè, èçó à ùèé àçâåòâëåííûå êñò åìàëè îäíîìå íûõ âà èàöèîííûõ ôóíêöèîíàëîâ. Íàïîìíèì, òî êëàññè åñêàß çàäà à âà èàöèîííîãî èñ èñëåíèß ñîñòîèò â îïèñàíèè êñò åìàëåé âà èàöèîííûõ ôóíêöèîíàëîâ, çàäàííûõ íà ï îñò àíñòâàõ ê èâûõ, ñîåäèíß ùèõ íåêîòî ûå äâå ôèêñè îâàííûå òî êè îáúåìë ùåãî ï îñò àíñòâà. Òåî èß òàêèõ êñò åìàëåé õî î î àç àáîòàíà è âõîäèò â ñòàíäà òíûå óíèâå ñèòåòñêèå êó ñû îïòèìàëüíîãî óï àâëåíèß, äèôôå åíöèàëüíîé ãåîìåò èè è òåî åòè åñêîé ìåõàíèêè. Âîçíèêà ò åñòåñòâåííûå âîï îñû: êàê îáîáùèòü òó òåî è íà ñëó àé, êîãäà ôèêñè îâàíî íå äâå, à áîëü å òî åê îáúåìë ùåãî ï îñò àíñòâà? Êàê îáîáùèòü ïîíßòèå êñò åìàëüíîé ê èâîé? Òàê âîçíèêàåò èäåß ââåñòè â àññìîò åíèå íîâûé îáúåêò μ ñåòü,μ îäíîìå íûé êîíòèíóóì, êîòî ûé ìîæíî ï åäñòàâëßòü ñåáå êàê îáúåäèíåíèå êîíå íîãî èñëà ê èâûõ. Ýêñò åìàëüíûå ñåòè äëß ï îñòåé èõ âà èàöèîííûõ ôóíêöèîíàëîâ, òàêèõ êàê ôóíêöèîíàë äëèíû, âîçíèêàëè â òîì èëè èíîì âèäå â àçëè íûõ òåî åòè åñêèõ è ï èêëàäíûõ àç àáîòêàõ, îäíàêî ñèñòåìàòè åñêîãî èññëåäîâàíèß ï îâåäåíî íå áûëî. È òî íåñìîò ß íà êëàññè åñêó ïî ñâîåé ïîñòàíîâêå çàäà ó. Ïî-âèäèìîìó, ïå âûå ïîñòàíîâêè çàäà è òîãî òèïà âîçíèêëè ó ô àíöóçñêèõ ìàòåìàòèêîâ, ñ åäè êîòî ûõ Æå- îí, Êëàéïå îí è Ëàìå. Òàêèìè çàäà àìè èíòå åñîâàëñß òàêæå Ãàóññ, êîòî ûé â ñâîåì ïèñüìå ê óìàõå ó [50] ïîäíèìàåò âîï îñ î òîì, êàê ïîñò îèòü ê àò àé ó ñèñòåìó äî îã, ñîåäèíß ùó åòû å íåìåöêèõ ãî îäà: Ãàìáó ã, Á åìåí, Ãàííîâå è Á àóí âåéã. Îáùàß çàäà à î ïîèñêå ñâßçíîé ê àò àé åé ñåòè, ñîåäèíß ùåé äàííîå êîíå íîå ìíîæåñòâî òî åê ïëîñêîñòè, áûëà ïîñòàâëåíà SS íèêîì è Êåññëå îì [95] â 1934 è âïîñëåäñòâèè, áëàãîäà ß âû åä åé â 1941 ãîäó çíàìåíèòîé êíèãå Êó- àíòà è Ðîááèíñà [17], ñòàëà è îêî èçâåñòíà ïîä èìåíåì ï îáëåìû òåéíå à (ñì. èñòî è åñêèå îáçî ûâ [11], [67], [78] èëè[87]). Îòìåòèì, òî ó ï îáëåìû òåéíå à èìå òñß àçíîâèäíîñòè, îäíîé èç êîòî ûõ ßâëßåòñß òàê íàçûâàåìàß ï ßìîóãîëüíàß ï îáëåìà òåéíå à, ñîñòîßùàß â îïèñàíèè ñâßçíûõ ê àò àé èõ ñåòåé íà ïëîñêîñòè, åá à êîòî ûõ ï åäñòàâëß ò ñîáîé ëîìàíûå ëèíèè ñ ïà àëëåëüíûìè îñßì êîî äèíàò

5 Ââåäåíèå iii çâåíüßìè. Ýòà ï îáëåìà åñòåñòâåííî âîçíèêàåò ï è àçâîäêå ëåêò îííûõ ïå àòíûõ ïëàò (ñì. [61] è[67]). Òàêèì îá àçîì, ñàìà èäåß èçó åíèß ñåòåé âîçíèêëà íåñêîëüêîñîòåí ëåò íàçàä. Çà ï î åä åå â åìß èíòå åñ ê ï îáëåìå òåéíå à íå óãàñ. Áîëåå òîãî, ñåé àñ ñèñòåìàòè åñêîå èçó åíèå ñåòåé, óäîâëåòâî ß ùèõ òåì èëè èíûì óñëîâèßì, à îñîáåííî óñëîâèßì êñò åìàëüíîñòè, ñòàíîâèòñßåùåáîëåå àêòóàëüíûì â ñâßçè ñ áó íûì àçâèòèåì ñåòåé àçíîãî òèïà è ó îâíß, òàêèõ êàê ò àíñïî òíûå ñåòè, êîìïü òå íûå ñåòè, ñåòè, çàäàííûå õèìè åñêîé ñò óêòó îé ñëîæíûõ ìîëåêóë, ñêàæåì ìîëåêóë ÄÍÊ è ò.ä. Ï åäëàãàåìàß ìîíîã àôèß íå ï åòåíäóåò íà âñåñòî îííåå îñâåùåíèå ï îáëåìû. Ýòî îáúßñíßåòñß òåì, òî êëàññè åñêèé ìàòå èàë, ïîñâßùåííûé ï îáëåìå òåéíå à, óæå èçëîæåí â ìîíîã àôèßõ (ñì., íàï èìå, [67], à òàêæå ìîíîã àôè àâòî îâ [78]). Ãëàâíàß íà à öåëü μ äàòü íàèáîëåå è îêîå åñòåñòâåííîå îáîáùåíèå ï îáëåìû òåéíå à è âûäåëèòü êë åâûå íàï àâëåíèß èññëåäîâàíèé, êîòî ûå ìîæíî ï îâåñòè â òàêîé îáùíîñòè. Ê îìå åçóëüòàòîâ, ïîëó åííûõ àâòî àìè, ìû ñôî ìóëè óåì áîëü îå êîëè åñòâî íå å åííûõ çàäà, íàëè èå êîòî- ûõ åùå àç ïîä å êèâàåò, òî èçëàãàåìàß òåî èß íàõîäèòñß ëè ü â íà àëå ñâîåãî àçâèòèß. Ìíîãèå èç òèõ çàäà íå å åíû òîëüêî ïîòîìó, òî ó àâòî îâ ï îñòî íå õâàòèëî â åìåíè èõ å èòü. Ìûâå èì, òî çàèíòå åñîâàííûé èòàòåëü, àêòèâíî âêë èâ èñü â èññëåäîâàíèå, ñìîæåò ñäåëàòü ìíîãî ê àñèâûõ è íåîæèäàííûõ îòê ûòèé. åì îòëè àåòñß ï åäëàãàåìàß ìîíîã àôèß îò óæå èìå ùèõñß ïóáëèêàöèé? Âî-ïå âûõ, îñíîâíûå àáîòû ä óãèõ àâòî îâ, ñâßçàííûå ñ êñò åìàëüíûìè ñåòßìè, ïîñâßùåíû èçó åíè ê àò àé èõ ñåòåé, ï è åì â êà åñòâå ôóíêöèîíàëîâ àññìàò èâàåòñß èëè ôóíêöèîíàë åâêëèäîâîé äëèíûâ âåêòî íîì ï îñò àíñòâå, â îñíîâíîì, íà ïëîñêîñòè, èëè ôóíêöèîíàë ìàíõåòòåíñêîé äëèíû(ìàíõåòòåíñêàß äëèíà âåêòî à àâíà ñóììå äëèí åãî ï îåêöèé íà êîî äèíàòíûå îñè), òàêæå â îñíîâíîì íà ïëîñêîñòè (ñì. öèòè óåìó ëèòå àòó ó). Èìå òñß, êîíå íî, è íåìíîãî èñëåííûå àáîòû, ïîñâßùåííûå ä óãèì ôóíêöèîíàëàì (ñì., íàï èìå, àáîòû Ìî ãàíà è åãî ó åíèêîâ [45], [104], [105], [117], [118], àáîòû Öèñëèêà [10], [11], [13], [14] è ä óãèõ àâòî îâ). Çàäà à, êîòî ó ñòàâßò ïå åä ñîáîé àâòî û íàñòîßùåé ìîíîã àôèè, μ ïîñò îèòü îáùó òåî è ñåòåé, êñò åìàëüíûõ ïî îòíî åíè ê ï îèçâîëüíûì ôóíêöèîíàëàì â ï îèçâîëüíûõ îáúåìë ùèõ ï îñò àíñòâàõ, ñêàæåìâãëàäêèõ ìíîãîîá àçèßõ è ìíîãîîá àçèßõ ñ îñîáåííîñòßìè, òàêèõ êàê ïîâå õíîñòè ìíîãîã àííèêîâ èëè ï îñò àíñòâà À. Ä. Àëåêñàíä îâà.

6 iv Ââåäåíèå Âî-âòî ûõ, ï è èçó åíèè ê àò àé èõ ñåòåé ëîêàëüíàß ñò óêòó à ñåòè, ò.å. óñò îéñòâî äîñòàòî íî ìàëûõ îê åñòíîñòåé òî åê ñåòè, îï åäåëßåòñß äîñòàòî íî æåñòêî. Åñëè æå âìåñòî ê àò àé èõ ñåòåé àññìàò èâàòü êñò åìàëè, òî âîçíèêàåò íåñêîëüêî âîçìîæíîñòåé. Îòìåòèì, òî êñò åìàëüíîñòü μ òî ñâîéñòâî ñåòè, õà àêòå èçó ùåå ïîâåäåíèå ôóíêöèîíàëà ï è ìàëûõ äåôî ìàöèßõ ñåòè. Äëß ê èâûõ äåôî ìàöèè îï åäåëß òñß äîñòàòî íî åñòåñòâåííî è, áîëåå èëè ìåíåå, îäíîçíà íî. Äëß ñåòåé ìîæíî àññìàò èâàòü íåñêîëüêî ñóùåñòâåííî àçíûõ òèïîâ äåôî ìàöèé. Ìûâûäåëßåì îâíî äâà: äåôî ìàöèè, ñîõ àíß ùèå ñò óêòó ó ñåòè, è äåôî ìàöèè, àñùåïëß ùèå âå èíû (ñì. ï èìå àñùåïëåíèß âå èíû íà èñ. 1). Çàìåòèì, òî ñåòü Γ, çàòßãèâà ùàß âå èíûêâàä àòà è èìå ùàß îâíî îäíó âíóò åíí âå èíó v, àñïîëîæåííó â öåíò å òîãî êâàä àòà, ßâëßåòñß êñò åìàëü ôóíêöèîíàëà äëèíû ïî îòíî åíè ê äåôî ìàöèßì, ñîõ àíß ùèì ñò óêòó ó ñåòè. Îäíàêî äåôî ìàöèß, àñùåïëß ùàß âå èíó v òàê, êàê ïîêàçàíî íà èñ. 1, óìåíü àåò äëèíó ñåòè Γ ñ íåíóëåâîé ñêî îñòü, ïî òîìó ñåòü Γ óæå íå ßâëßåòñß êñò åìàëüíîé ïî îòíî åíè ê òàêèì äåôî ìàöèßì. Ðèñ. 1. Ðàñùåïëåíèå âå èíû. Íàçîâåì ñåòè, êîòî ûå ï è äåôî ìàöèßõ íå ìåíß ò ñâîåé ñò óêòó- û, ïà àìåò è åñêèìè. Ñåòè, äëß êîòî ûõ àñùåïëåíèß âå èí àç å- åíû, ò.å. ñåòè, ñò óêòó à êîòî ûõ ìîæåò ìåíßòüñß ï è äåôî ìàöèßõ, íàçîâåì ñåòßìè-ñëåäàìè.â ñëåäó ùåì àçäåëå ìûï èâåäåì ôî ìàëüíûå îï åäåëåíèß òèõ òèïîâ ñåòåé. Â-ò åòüèõ, ôóíêöèîíàëûòèïà äëèíûíå çàâèñßò îò ïà àìåò èçàöèè. Êàê ñëåäñòâèå, ïîä ñåòü ìîæíî ïîíèìàòü ñâßçíûå ñîâîêóïíîñòè ê èâûõ, íå çàáîòßñü î òîì, êàê òè ê èâûå ïà àìåò èçîâàíû. Â òîì êîíòåêñòå ñåòü íà ïëîñêîñòè, ñêàæåì, ìîæíî ï åäñòàâëßòü ñåáå êàê ïëîñêèé ã àô. Â îáùåì ñëó àå, íàï èìå, äëß ôóíêöèîíàëà íå ãèè, ïà àìåò- èçàöèß âàæíà. Ïî òîìó ï è îï åäåëåíèè ñåòè â àññìàò èâàåìîé òåî èè ï èõîäèòñß àçëè àòü ñåòè, ïà àìåò èçîâàííûå ïî- àçíîìó. Òåì

7 Ââåäåíèå v ñàìûì ìû ï èõîäèì ê ïîíßòè îñíàùåííîãî ã àôà, èëè ã àôà ñ ôèêñè îâàííîé ïà àìåò èçàöèåé åáå. Â- åòâå òûõ, ñåòè ïî ñàìîé ñâîåé ï è îäå îáëàäà ò êàê ãåîìåò è- åñêèìè, òàê è êîìáèíàòî íûìè õà àêòå èñòèêàìè, èìå ò êàê íåï å- ûâíûå, òàê è äèñê åòíûå ñâîéñòâà. Ïî òîìó àç àáîòêà òåî èè êñò åìàëüíûõ ñåòåé ïîò åáîâàëà ñîçäàíèß íîâûõ ìåòîäîâ, íå èìå ùèõ àíàëîãîâ â êëàññè åñêîé òåî èè. Âîçíèê òåõíè åñêèé àïïà àò, îáúåäèíß ùèé â ñåáå ìåòîäûäèôôå åíöèàëüíîé ãåîìåò èè è êëàññè åñêîãî âà èàöèîííîãî èñ èñëåíèß, ñ îäíîé ñòî îíû, è ìåòîäûäèñê åòíîé ãåîìåò èè è êîìáèíàòî èêè, ñ ä óãîé ñòî îíû. Ê îìå òîãî, àâòî û íàäå- òñß, òî íåï å ûâíî-äèñê åòíàß ï è îäà ñåòåé ìîæåò ïîçâîëèòü ïîíîâîìó âçãëßíóòü íà çàäà è, ñâßçàííûå ñ ãåîìåò è åñêèì êâàíòîâàíèåì â ñàìîì è îêîì ñìûñëå òîãî ñëîâà: ñâîéñòâà êñò åìàëüíûõ ñåòåé (äëß ïîäõîäßùåãî âà èàöèîííîãî ôóíêöèîíàëà) ñîäå æàò èíôî ìàöè êàê î íåï å ûâíûõ (ãåîìåò è åñêèõ), òàê è î äèñê åòíûõ (êâàíòîâûõ) õà àêòå èñòèêàõ îáúåìë ùåãî ï îñò àíñòâà. Ï èâåäåííûå îñîáåííîñòè èçëàãàåìîé òåî èè ïîçâîëß ò âçãëßíóòü íà èçâåñòíûå ôåíîìåíû ñ áîëåå îáùèõ ïîçèöèé, òî àñòî ï èâîäèò ê ïîíèìàíè åàëüíûõ îñíîâ êëàññè åñêèõ åçóëüòàòîâ. Ê îìå òîãî, îáùíîñòü òåî èè äàåò âîçìîæíîñòü íàáë äàòü â àçíîîá àçíûõ ï èëîæåíèßõ ìíîãî èñëåííûå íîâûå ôôåêòû, íå õà àêòå íûå äëß ôóíêöèîíàëà äëèíû. Ñò óêòó à êíèãè òàêîâà. Ïå âàß ãëàâà ßâëßåòñß ââîäíîé. Â íåé ìû îï åäåëèì îñíîâíûå ïîíßòèß, íåîáõîäèìûå â äàëüíåé åì, òàêèå êàê òîïîëîãè åñêèå ã àôû, ïà àìåò è åñêèå ñåòè è ñåòè-ñëåäû, à òàêæå ñôî ìóëè óåì îáùó îäíîìå íó âà èàöèîííó çàäà ó äëß ñåòåé. Âî âòî îé ãëàâå ìû èçó èì ëîêàëüíó ñò óêòó ó ñåòåé, êñò åìàëüíûõ ïî îòíî åíè ê êëàññè åñêîìó âà èàöèîííîìó ôóíêöèîíàëó, ëàã àíæèàí êîòî îãî ßâëßåòñß ãëàäêèì âåçäå, ê îìå, áûòü ìîæåò, òåõ òî åê ôàçîâîãî ï îñò àíñòâà, â êîòî ûõ ñêî îñòü àâíà íóë. Åñòåñòâåííûì ï èìå îì òàêîãî íåãëàäêîãî ôóíêöèîíàëà ßâëßåòñß îáû íàß åâêëèäîâà äëèíà, òàê êàê ñîîòâåòñòâó ùèé ëàã àíæèàí L(x, ξ) = ξ,ξ íå ßâëßåòñß ãëàäêèì ï è ξ =0. Ìû ï èâåäåì ê èòå èé êñò åìàëüíîñòè ïà àìåò è åñêèõ ñåòåé è ñåòåé-ñëåäîâ è,â êà åñòâå ñëåäñòâèß, óñòàíîâèì, òî íåò èâèàëüíîñòü ï îáëåìû òåéíå à, ò.å. íàëè èå áîãàòîãî íàáî à å åíèé àçíûõ òîïîëîãè åñêèõ (êîìáèíàòî íûõ) òèïîâ, ßâëßåòñß ñëåäñòâèåì íåãëàäêîñòè ôóíêöèîíàëà äëèíû òàì, ãäå ñêî îñòü àâíà íóë. Ò åòüß ãëàâà ßâëßåòñß, íà ïå âûé âçãëßä, îòñòóïëåíèåì îò îñíîâíîé òåìû äàííîé ìîíîã àôèè: îíà ïîñâßùåíà ëèíåéíûì ñåòßì â R N

8 vi Ââåäåíèå (ñåòü íàçûâàåòñß ëèíåéíîé, åñëè åå åá à μ ï ßìîëèíåéíûå îò åçêè). Îäíàêî, êàê áóäåò âèäíî èç ïîñëåäó ùèõ ãëàâ, ìíîãèå íåò èâèàëüíûå åçóëüòàòû, êàñà ùèåñß êñò åìàëåé äëß ôóíêöèîíàëà äëèíûâ åâêëèäîâîì ï îñò àíñòâå R N, âûòåêà ò èç îáùèõ ñâîéñòâ ëèíåéíûõ ñåòåé. Îòìåòèì, òî ò åòüß ãëàâà èìååò è ñàìîñòîßòåëüíûé èíòå åñ äëß ñïåöèàëèñòîâ ïî òåî èè ã àôîâ. Â åòâå òîé ãëàâå ìûèññëåäóåì ëîêàëüíûå è ãëîáàëüíûå ñâîéñòâà ïà àìåò è åñêèõ ñåòåé, êñò åìàëüíûõ îòíîñèòåëüíî ôóíêöèîíàëà èìàíîâîé äëèíû è âçâå åííîé èìàíîâîé äëèíû (â ïîñëåäíåì ñëó àå çíà åíèå ôóíêöèîíàëà íà ñåòè àâíî ëèíåéíîé êîìáèíàöèè äëèí åáå ñ çàäàííûìè ïîëîæèòåëüíûìè êî ôôèöèåíòàìè μ âåñàìè åáå ). Àíàëèçè óß ëîêàëüíó ñò óêòó ó, ìûáóäåì äîïóñêàòü, òî íåêîòî ûå åá à ñåòè ìîãóò âû îæäàòüñß, ò.å. ßâëßòüñß òî å íûìè ê èâûìè. Ýòî äîïóùåíèå íàì áóäåò íóæíî â äàëüíåé åì äëß èçó åíèß êñò åìàëüíûõ ñåòåé-ñëåäîâ, òàê êàê ìûáóäåì ìîäåëè îâàòü àñùåïëåíèå âå èí ñåòè-ñëåäà ñ ïîìîùü èìåííî òàêèõ ïà àìåò è åñêèõ ñåòåé ñ âû îæäåíèßìè. Îòìåòèì, òî íàëè èå âû îæäåííûõ åáå ñóùåñòâåííî óñëîæíßåò ê èòå èé êñò åìàëüíîñòè ïà àìåò è åñêîé ñåòè. Ðåçóëüòàòû î ãëîáàëüíîé ñò óêòó å ìûï èâåäåì íà ï èìå å ñåòåé èç R N.Çäåñüáóäåò îïèñàíî ñåìåéñòâî âñåõ ñåòåé ñ äàííîé ã àíèöåé è ôèêñè îâàííîé òîïîëîãè åñêîé ñò óêòó îé (ìûïîêàæåì, òî êîíôèãó àöèîííîå ï îñò àíñòâî òàêèõ ñåòåé îá àçóåò âûïóêëûé ìíîãîã àííèê, è îïè åì õà àêòå íûå ïà àìåò û òîãî ìíîãîã àííèêà); äàëåå ìûïîêàæåì, êàê ñâßçàíû ñâîéñòâà êñò åìàëüíûõ ñåòåé ñî ñâîéñòâàìè êîíå íûõ ìíîæåñòâ, êîòî ûå îíè çàòßãèâà ò (áóäóò ï èâåäåíû ãåîìåò è åñêèå èíâà èàíòû êîíå íûõ ïîäìíîæåñòâ, å åç êîòî ûå ìîæíî îöåíèòü ñëîæíîñòü çàòßãèâà ùèõ èõ êñò åìàëüíûõ ñåòåé). Îòìåòèì, òî èäåè, ï èâåäåííûå â ïîñëåäíåì ñëó àå, èìå ò ï àêòè åñêèé âûõîä: èñïîëüçóß èõ, ìîæíî ñóùåñòâåííî óìåíü èòü ïå åáî ï è ïîñò îåíèè ê àò àé èõ êîììóíèêàöèîííûõ ñåòåé, òî âàæíî ï è êîìïü òå íîì ìîäåëè îâàíèè òàêèõ ñåòåé. Ïßòàß ãëàâà ïîñâßùåíà ñåòßì-ñëåäàì, êñò åìàëüíûì ïî îòíî åíè ê ôóíêöèîíàëó åâêëèäîâîé äëèíû. Çäåñü ìû àññìîò èì ñåòèñëåäûíå òîëüêî â åâêëèäîâûõ ï îñò àíñòâàõ, íî è íà åâêëèäîâûõ ìíîãîîá àçèßõ, òàêèõ êàê ïëîñêèé òî èëè ïëîñêàß áóòûëêà Êëåéíà, à òàêæå íà ïîâå õíîñòßõ ìíîãîã àííèêîâ è íà ïîâå õíîñòßõ ïîñòîßííîé ê èâèçíû. Ýòîò àçäåë íîñèò îáçî íûé õà àêòå, è â íåì ï èâåäåíûâ îñíîâíîì åçóëüòàòûàâòî îâ è èõ ó åíèêîâ, ïîëó åííûå çà ïîñëåäíèå äåñßòü ëåò. Âàæíîñòü äàííîãî àçäåëà ñîñòîèò â îïèñàíèè î èãèíàëüíûõ èäåé è ìåòîäîâ, èñïîëüçîâàííûõ ï è èññëåäîâàíèè ñåòåé â åâêëè-

9 Ââåäåíèå vii äîâîì ñëó àå, êîòî ûå ìîãëè áû áûòü ï èìåíåíû è â îáùåé òåî èè. Êñòàòè ñêàçàòü, íåêîòî ûå èç òàêèõ ï èëîæåíèé îïèñûâà òñß â ñëåäó- ùåì àçäåëå. Â åñòîé ãëàâå ìû àñ è èì êëàññ èçó àåìûõ âà èàöèîííûõ ôóíêöèîíàëîâ. Îò ëàã àíæèàíîâ ãëàäêèõ âåçäå, ê îìå òî åê, ñîîòâåòñòâó- ùèõ íóëåâûì ñêî îñòßì, ìû ïå åéäåì ê àññìîò åíè ëàã àíæèàíîâ, èìå ùèõ è ä óãèå îñîáåííîñòè. Â êà åñòâå ïå âîãî àãà åñòåñòâåííî àññìîò åòü ëàã àíæèàíû, çàäàííûå íåêîòî îé íî ìîé. Êëàññè åñêèì ï èìå îì ëàã àíæèàíà òàêîãî òèïà ßâëßåòñß ìàíõåòòåíñêàß íî ìà, èìå ùàß îñîáåííîñòè íå òîëüêî â íóëå, íî è íà êîî äèíàòíûõ ïëîñêîñòßõ. Íàëè èå äîïîëíèòåëüíûõ îñîáåííîñòåé ó ëàã àíæèàíîâ ï èâîäèò ê ñóùåñòâåííî íîâûì ôôåêòàì. Îäíèì èç òàêèõ ôôåêòîâ ßâëßåòñß òîò ôàêò, òî óñëîâèß êñò åìàëüíîñòè ñåòè ïå åñòà ò áûòü ëîêàëüíûìè: â îòëè èå îò êñò åìàëåé ôóíêöèîíàëîâ ñ ëàã àíæèàíàìè ãëàäêèìè âåçäå, ê îìå íóëåé ñêî îñòåé, äëß êîòî ûõ êñò åìàëüíîñòü ñåòè àâíîñèëüíà êñò åìàëüíîñòè êàæäîãî äîñòàòî íî ìàëîãî ô àãìåíòà òîé ñåòè, äëß îáùèõ íî ì èç êñò åìàëüíîñòè ìàëûõ ô àãìåíòîâ óæå íå ñëåäóåò êñò åìàëüíîñòü ñåòè â öåëîì. Ìûï èâåäåì ê èòå- èé êñò åìàëüíîñòè ñåòè â íî ìè îâàííîì ï îñò àíñòâå è, íà ï èìå- å ìàíõåòòåíñêîé íî ìû, ïîêàæåì, êàêèå ãëîáàëüíûå ãåîìåò è åñêèå è òîïîëîãè åñêèå îã àíè åíèß íàêëàäûâàåò íà ñåòü óñëîâèå åå êñò åìàëüíîñòè. Çàêë èòåëüíàß ñåäüìàß ãëàâà ïîñâßùåíà îòíî åíè òåéíå à. Ýòà âàæíàß õà àêòå èñòèêà ìåò è åñêîãî ï îñò àíñòâà ïîêàçûâàåò, íà ñêîëüêî äëèíà ê àò àé åé ñåòè ìîæåò îòëè àòüñß îò äëèíûìèíèìàëüíîãî îñòîâíîãî äå åâà. Èíòå åñ ê âû èñëåíè îòíî åíèß òåéíå à îáóñëîâëåí òåì, òî ìèíèìàëüíûå îñòîâíûå äå åâüß îáû íî èñïîëüçó- òñß â êà åñòâå ï èáëèæåííûõ å åíèé çàäà è î ïîèñêå ê àò àé åé ñåòè. Ìûï èâåäåì îáçî ñîâ åìåííûõ åçóëüòàòîâ íà òó òåìó, âêë - àß íåäàâíèå åçóëüòàòûàâòî îâ îá îòíî åíèè òåéíå à èìàíîâûõ ìíîãîîá àçèé, à òàêæå îáñóäèì ëàêóíûâ èçâåñòíîì äîêàçàòåëüñòâå Äó è Õâàíãà [28], [30] ãèïîòåçûãèëáå òà Ïîëëàêà[52] îá îòíî åíèè òåéíå à åâêëèäîâîé ïëîñêîñòè. Â Äîïîëíåíèè ìûï èâåäåì è îêèé ñïèñîê åùå íå å åííûõ çàäà. Îòîá àííûå íàìè çàäà è ìîæíî àññìàò èâàòü êàê îò àæåíèå ï åäñòàâëåíèé àâòî îâ î âîçìîæíûõ íàï àâëåíèßõ àçâèòèß èçëàãàåìîé òåî èè. Êíèãà àññ èòàíà íà ñàìûå è îêèå ê óãè èòàòåëåé: ñòóäåíòîâ è àñïè àíòîâ ôèçèêî-ìàòåìàòè åñêèõ ñïåöèàëüíîñòåé, èíòå åñó ùèõñß ñîâ åìåííûìè âà èàöèîííûìè ìåòîäàìè â ãåîìåò èè è òîïîëîãèè,

10 viii Ââåäåíèå à òàêæå èõ ï èëîæåíèßìè â ôèçèêå, áèîëîãèè, êîíîìèêå è ä óãèõ íàóêàõ. Êíèãà òàêæå áóäåò èíòå åñíà è ñïåöèàëèñòàì â ïå å èñëåííûõ îáëàñòßõ. Íà îñíîâå êíèãå ìîæåò áûòü ï î èòàí ñïåöèàëüíûé êó ñ äëß ñòóäåíòîâ-ìàòåìàòèêîâ (àâòî ûíåñêîëüêî ëåò èòà ò òàêîé êó ñ â Ìîñêîâñêîì ãîñóäà ñòâåííîì óíèâå ñèòåòå). Ìû ñ óäîâîëüñòâèåì ïîëüçóåìñß ñëó àåì âû àçèòü ñâî ãëóáîêó è ñå äå íó áëàãîäà íîñòü íà åìó ó èòåë àêàäåìèêó ÐÀÍ À. Ò. Ôîìåíêî, ñôî ìè îâàâ åìó íà è ìàòåìàòè åñêèå èíòå åñû, çà åãî íåóñòàííó ïîääå æêó è ïîñòîßííîå âíèìàíèå ê íà åé àáîòå. Ìû î åíü ï èçíàòåëüíû âñåì ìíîãîóâàæàåìûì êîëëåãàì-ìàòåìàòèêàì, ñ êîòî ûìè ìû ìíîãîê àòíî è ïëîäîòâî íî îáñóæäàëè âîçíèêà ùèå çàäà è. Âîò èõ äàëåêîíåïîëíûé ñïèñîê: Ñ. Â. Àëå èí (ÌÃÓ), À. À òûêáàåâ (Òà êåíò), È. Ê. Áàáåíêî (ÌÃÓ), Ë. Áå á àå (Èç àèëü), Â. Áå åñòîâñêèé (Îìñê), À. Áîáåíêî (Áå ëèí), À. Â. Áîëñèíîâ (ÌÃÓ), Í. Áîêàí (Áåëã àä), À. À. Áî èñåíêî (Õà üêîâ), À.. Áî èñîâè (Ãäàíüñê),. Ã. Áî èñîâè (Âî îíåæ), Â. Ì. Áóõ òàáå (ÌÃÓ),. Ã. Áó àãî (Ñ.-Ïåòå áó ã), Â. Â. Âå èíèí (Íîâîñèáè ñê), Ý. Á. Âèíáå ã (ÌÃÓ), Ã. À. Ãàëüïå èí (Ñ À), Â. Ë. Ãîëî (ÌÃÓ), Ì. È. Ã èí óê (ÌÃÓ), Í. Ï. Äîëáèëèí (ÌÈÐÀÍ), Ð. Æèâàëüåâè (Áåëã àä), Â. À. Çàëãàëëå (Ñ.-Ïåòå áó ã), Ì. È. Çåëèêèí (ÌÃÓ), Â. À. Çî è (ÌÃÓ), Î. Ì. Êàñèì-Çàäå (ÌÃÓ), Á. Ñ. Ê óãëèêîâ (ÌÃÒÓ), Â. Á. Êóä ßâöåâ (ÌÃÓ), Å. À. Êóä ßâöåâà (ÌÃÓ), Î. À. Ëàäûæåíñêàß (Ñ.-Ïåòå áó ã), Î. Á. Ëóïàíîâ (ÌÃÓ),. È. Ìàíèí (Ãå ìàíèß), Î. Â. Ìàíòó îâ (ÌÃÏÓ), Ñ. Â. Ìàòâååâ ( åëßáèíñê), À. Â. Ìèõàëåâ (ÌÃÓ), À. Ñ. Ìèùåíêî (ÌÃÓ), Î. Ð. Ìóñèí (Ìîñêâà), Í.. Íåöâåòàåâ (Ñàíêò-Ïåòå áó ã), À.. Îëü àíñêèé (ÌÃÓ), À. Ë. Îíèùèê (ÌÃÓ), À. À. Î åìêîâ (ÌÃÓ), À. Â. Ïîãî åëîâ (Õà üêîâ), Ç. Ðàêè (Áåëã àä),. Ã. Ðå åòíßê (Íîâîñèáè ñê), È. Õ. Ñàáèòîâ (ÌÃÓ), À. Á. Ñêîïåíêîâ (Ìîñêâà),. Ï. Ñîëîâüåâ (ÌÃÓ), À. Ì. Ñòåïèí (ÌÃÓ), Á.. Ñòå íèí (ÌÃÓ), Â. Â. Ò îôèìîâ (ÌÃÓ), Í. Í. Ó àëüöåâà (Ñ.-Ïåòå áó ã), Å. À. Ôîìèíûõ ( åëßáèíñê), À. Â. å íàâñêèé (ÌÃÓ), Â. Â. à êî (Êèåâ), Â. Å. àòàëîâ (ÌÃÓ), È. Ô. à ûãèí (Ìîñêâà), À. È. àôà åâè (ÌÃÓ), Å. Â. èêèí (ÌÈÐÀÍ), À. Ë. ìåëüêèí (ÌÃÓ), Ì. È. òîã èí (ÌÈÐÀÍ), A. C. Asperti (Á àçèëèß), L. Barbosa (Á àçèëèß), M. Bern (Ñ À), R. BΞohme (Ãå ìàíèß), M. do Carmo (Á àçèëèß), D. Cieslik (Ãå ìàíèß), M. Deza (Ô àíöèß), D. Z. Du (Ñ À), A. Gray (Ñ À), C. Gorodski (Á àçèëèß), D. Gromoll (Ãå ìàíèß), P. M. Gruber (Àâñò èß), M. Hasewinkel (Ãîëëàíäèß), S. Hildebrandt (Ãå ìàíèß), F. Hwang (USA), L. Jorge (Á àçèëèß), J. Jost (Ãå ìàíèß), H. Karcher (Ãå ìàíèß), T. L. Kunii (SSïîíèß), Le Hong Van (Ãå ìà-

11 Ââåäåíèå ix íèß), M. Lustig (Ãå ìàíèß), F. Mercuri (Á àçèëèß), F. Morgan (Ñ À), R. S. Palis (Á àçèëèß), K. Polthier (Ãå ìàíèß), A. Rigas (Á àçèëèß), Rodriges (Á àçèëèß), A. Ross (Èñïàíèß), H. Rubinstein (Àâñò àëèß), F. Tomi (Ãå ìàíèß), H. H. Torriani (Á àçèëèß), J. Wood (Âåëèêîá èòàíèß), N. Wormald (Àâñò àëèß), H. Zieschang (Ãå ìàíèß). Ìû õîòèì òàêæå ïîáëàãîäà èòü íà èõ ó åíèêîâ, ïîñòîßííûé êîíòàêò ñ êîòî ûìè î åíü äëß íàñ ïîëåçåí. Îñîáó áëàãîäà íîñòü ìûâû àæàåì ï îôåññî ó Ô åíêó Ìî ãàíó, ï èãëàñèâ åìó îäíîãî èç àâòî îâ âûñòóïèòü íà ñåìèíà å â Princeton University, Ñ À, è åêîìåíäîâàâ åìó îïóáëèêîâàòü ìîíîã àôè ïî òåìå äîêëàäà. Ï è àáîòå íàä òåî èåé êñò åìàëüíûõ ñåòåé ìû ïîëüçîâàëèñü àñòè íîé ïîääå æêîé, ï åäîñòàâëåííîé ÐÔÔÈ (ï îåêòû , , , ); Ã àíòàìè Ï åçèäåíòà ÐÔ ïîääå æêè âåäóùèõ íàó íûõ êîë (ï îåêòû , , Í ), Ã àíòîì Ï åçèäåíòà ÐÔ ïîääå æêè ìîëîäûõ äîêòî- î íàóê (ï îåêòû , ÌÄ , ÌÄ ), ÈÍ- ÒÀÑ (ï îåêòû , ), Deutshen Forschungsgemeinschaft (SFB 256); FAPESP, Sao Paulo, Brasil (93/0249 3, 93/0248 7); Íàöèîíàëüíûì öåíò îì íàó íûõ èññëåäîâàíèé Ô àíöèè ( ); Ìåæäóíà îäíûì íàó íûì ôîíäîì Äæ. Ñî îñà ( ); Ôîíäîì Ìàêñà Ïëàíêà (1999). Àâòî ûî åíü ï èçíàòåëüíûâñåì òèì î ãàíèçàöèßì. Ìûòàêæå õîòåëè áûïîáëàãîäà èòü Î ãàíèçàöèîííûå êîìèòåòûêîíôå åíöèè ïî ãåîìåò è åñêîé âèçóàëèçàöèè â Òîêèî (1993), Ìåæäóíà îäíîãî ìàòåìàòè åñêîãî êîíã åññà â Ö èõå (1994), Êîíôå åíöèè ïî äèôôå åíöèàëüíûì ó àâíåíèßì â àñòíûõ ï îèçâîäíûõ è èõ ï èëîæåíèßì â ãåîìåò èè è ôèçèêå â Ò èåñòå, ICTP (1995), Ìåæäóíà îäíîé êîíôå åíöèè ïî äèôôå åíöèàëüíîé ãåîìåò èè â Ðèî-äå-Æàíåé î (1996), Êîíôå åíöèè ïî ò åõìå íîé òîïîëîãèè â Ðó ñêîì óíèâå ñèòåòå (Áîõóì, Ãå ìàíèß, 1996), Ñåìèíà à ïî òîïîëîãèè CW-êîìïëåêñîâ (óíèâå ñèòåò Àéçó, SSïîíèß, 1997), Ìåæäóíà îäíîãî ìàòåìàòè åñêîãî êîíã åññà â Áå ëèíå (1998), Êîíôå åíöèè ïî ìàëîìå íîé òîïîëîãèè ( åëßáèíñê, 1999) çà ï åäîñòàâëåííó ôèíàíñîâó ïîääå æêó. Íàêîíåö, ìûõîòèì âû àçèòü ñå äå íó ï èçíàòåëüíîñòü íà èì ñåìüßì çà ïîñòîßííó ìî àëüíó è ìàòå èàëüíó ïîääå æêó. À. Î. Èâàíîâ À. À. Òóæèëèí è ëü 2003, Ìîñêâà

12 Îãëàâëåíèå Ï åäèñëîâèå Ââåäåíèå Ãëàâà 1. Ï åäâà èòåëüíûå ñâåäåíèß Ã àôû Òîïîëîãè åñêèå è îñíàùåííûå ã àôû, èõ êâèâàëåíòíîñòü Îïå àöèè íàä ã àôàìè Ã àíèöà ã àôà, ëîêàëüíûé ã àô Ãëàäêàß ñò óêòó à íà òîïîëîãè åñêîì ã àôå Ïà àìåò è åñêèå ñåòè Îñíîâíûå îï åäåëåíèß Êëàññûãëàäêîñòè ñåòåé Ñåòè-ñëåäû Ñåòè-ñëåäûè èõ êàíîíè åñêèå ï åäñòàâèòåëè Ïîñòàíîâêà âà èàöèîííîé çàäà è Êîíñò óêöèß åáå íûõ ôóíêöèîíàëîâ Êîíñò óêöèß åáå íûõ ôóíêöèîíàëîâ äëß ñåòåé ôèêñè îâàííîé òîïîëîãèè Ãëàâà 2. Ê èòå èè êñò åìàëüíîñòè ñåòåé Ëîêàëüíàß ñò óêòó à êñò åìàëüíûõ ïà àìåò è åñêèõ ñåòåé Ëîêàëüíàß ñò óêòó à êñò åìàëüíûõ ñåòåé ñëåäîâ Ãëàäêèå ëàã àíæèàíû Êâàçè åãóëß íûå ëàã àíæèàíû Ãëàâà 3. Ëèíåéíûå ñåòè Âçàèìíî ïà àëëåëüíûå ëèíåéíûå ñåòè ñ äàííîé ã àíèöåé Ãåîìåò èß ïëîñêèõ ëèíåéíûõ äå åâüåâ èñëî â àùåíèß âëîæåííîãî ïëîñêîãî ëèíåéíîãî äå åâà i ii

13 Îãëàâëåíèå xi Îñíîâíàß òåî åìà Ê äîêàçàòåëüñòâó òåî åìû Ïëîñêèå ëîìàíûå I: ñëó àé îáùåãî ïîëîæåíèß Ïëîñêèå ëîìàíûå II: îáùèé ñëó àé èñëî â àùåíèß ïëîñêîãî ëèíåéíîãî äå åâà Äîêàçàòåëüñòâî òåî åìû Ñëó àé p = q Ñëó àé p<q Ýêñò åìàëè ôóíêöèîíàëîâ òèïà äëèíû: ñëó àé ïà àìåò è åñêèõ ñåòåé Ýêñò åìàëüíûå ïà àìåò è åñêèå ñåòè äëß ôóíêöèîíàëà èìàíîâîé äëèíû Ëîêàëüíàß ñò óêòó à âçâå åííûõ êñò åìàëüíûõ ïà àìåò è åñêèõ ñåòåé Ìíîãîã àííèê âçâå åííûõ êñò åìàëüíûõ ñåòåé â R N ñ çàäàííûìè òèïîì è ã àíèöåé Ñò óêòó à ìíîæåñòâà âçâå åííûõ êñò åìàëüíûõ ñåòåé Ïîã óæåííûå âçâå åííûå êñò åìàëüíûå ñåòè òåéíå à íà ïëîñêîñòè Ãëîáàëüíîå óñò îéñòâî ïëîñêèõ âçâå åííûõ êñò åìàëüíûõ äå åâüåâ Í. Ñ. Ãóñåâ. Î âûïóêëûõ åàëèçàöèßõ ïëîñêèõ ëèíåéíûõ äå åâüåâ Ãåîìåò èß ïëîñêèõ âëîæåííûõ êñò åìàëüíûõ âçâå åííûõ áèíà íûõ äå åâüåâ èñëî â àùåíèß ïëîñêîãî âëîæåííîãî âçâå åííîãî áèíà íîãî äå åâà Ãëàâà 4. Ýêñò åìàëè ôóíêöèîíàëà äëèíû: ñëó àé ñåòåé ñëåäîâ Ëîêàëüíî ìèíèìàëüíûå ñåòè íà åâêëèäîâîé ïëîñêîñòè Ñîîòâåòñòâèå ìåæäó ïëîñêèìè áèíà íûìè äå åâüßìè è äèàãîíàëüíûìè ò èàíãóëßöèßìè Ñò óêòó íûå ëåìåíòûäèàãîíàëüíûõ ò èàíãóëßöèé Ïà êåòíàß åàëèçàöèß áèíà íûõ äå åâüåâ ñ íå ï åâîñõîäßùèì ïßòè èñëîì â àùåíèß Ïà êåòûè èõ ñâîéñòâà Ñò óêòó íûå ëåìåíòûñêåëåòîâ èç WP Ãëàâà 5.

14 xii Îãëàâëåíèå Îïå àöèè åäóêöèè è àíòè åäóêöèè Áîêîâèíûè èõ ñâîéñòâà Òåî åìà êëàññèôèêàöèè ñêåëåòîâ èç WP Ðàñïîëîæåíèå íà îñòîâ â ïà êåòàõ, ï èíàäëåæàùèõ WP 5,íàèõñêåëåòàõ Òåî åìà åàëèçàöèè Ëîêàëüíî ìèíèìàëüíûå áèíà íûå äå åâüß ñ ï àâèëüíîé ã àíèöåé Íà îñòûè ëèíåéíûå ó àñòêè ëîêàëüíî ìèíèìàëüíûõ ñåòåé ñ âûïóêëûìè ã àíèöàìè Êâàçèï àâèëüíûå ã àíèöû, êîòî ûå íåëüçß çàòßíóòü íè îäíèì ëîêàëüíî ìèíèìàëüíûì áèíà íûì äå åâîì Íåâû îæäåííûå ëîêàëüíî ìèíèìàëüíûå ñåòè ñ âûïóêëîé ã àíèöåé. Öèêëè åñêèé ñëó àé Çàìêíóòûå ëîêàëüíî ìèíèìàëüíûå ñåòè íà çàìêíóòûõ ïîâå õíîñòßõ ïîñòîßííîé ê èâèçíû Ëîêàëüíî ìèíèìàëüíûå ñåòè íà ïîâå õíîñòßõ ïîñòîßííîé ïîëîæèòåëüíîé ê èâèçíû Êëàññèôèêàöèß çàìêíóòûõ ìèíèìàëüíûõ ñåòåé íà ïëîñêèõ òî àõ Êëàññèôèêàöèß çàìêíóòûõ ìèíèìàëüíûõ ñåòåé íà ïëîñêèõ áóòûëêàõ Êëåéíà Çàìêíóòûå ñåòè íà äâóìå íûõ ïîâå õíîñòßõ îò èöàòåëüíîé ê èâèçíû Çàìêíóòûå ëîêàëüíî ìèíèìàëüíûå ñåòè íà ïîâå õíîñòßõ ìíîãîã àííèêîâ Îáùèå ñâîéñòâà ëîêàëüíî ìèíèìàëüíûõ ñåòåé íà ìíîãîã àííèêàõ Ìåò è åñêèå è òîïîëîãè åñêèå îã àíè åíèß íà óñò îéñòâî çàìêíóòûõ ëîêàëüíî ìèíèìàëüíûõ ñåòåé Êëàññèôèêàöèß çàìêíóòûõ ëîêàëüíî ìèíèìàëüíûõ ñåòåé íà ï àâèëüíîì òåò à ä å Àëãî èòì àçìíîæåíèß çàìêíóòûõ ëîêàëüíî ìèíèìàëüíûõ ñåòåé íà ìíîãîã àííèêàõ Çàìêíóòûå ãåîäåçè åñêèå íà êóáå Ì. Â. Ï îíèí. Èíäåêñû Ìî ñà ëîêàëüíî ìèíèìàëüíûõ ñåòåé Ââåäåíèå Èíäåêñíàß ôî ìà

15 Îãëàâëåíèå xiii Ëîêàëüíî ìèíèìàëüíûå ñåòè íà ìíîãîîá àçèßõ íåïîëîæèòåëüíîé ê èâèçíû Ëîêàëüíî ìèíèìàëüíûå ñåòè íà ñôå å Òåî åìà îá èíäåêñå Ã. À. Êà ïóíèí. Ìèíèìàëüíûå ñåòè è êîìáèíàòî íàß òåî èß Ìî ñà Ââåäåíèå Ìèíèìàëüíûå ñåòè Êîìáèíàòî íàß òåî èß Ìî ñà Ãëàâà 6. Ýêñò åìàëè ôóíêöèîíàëîâ, çàäàííûõ íî ìàìè Íî ìûîáùåãî âèäà Ëîêàëüíî ìèíèìàëüíûå è êñò åìàëüíûå ñåòè Ôî ìóëà ïå âîé âà èàöèè äëèíûîò åçêà â íî ìè- îâàííîì ï îñò àíñòâå Óñò îéñòâî êñò åìàëüíûõ ê èâûõ Ëîêàëüíàß ñò óêòó à êñò åìàëüíûõ ëèíåéíûõ ïà àìåò è åñêèõ ñåòåé Ê èòå èé êñò åìàëüíîñòè ëèíåéíûõ ñåòåé ñëåäîâ Óñòîé èâîñòü êñò åìàëüíîãî áèíà íîãî äå åâà ï è äåôî ìàöèßõ ã àíè íîãî ìíîæåñòâà Ïëîñêèå íî ìû ñî ñò îãî âûïóêëûìè ãëàäêèìè îê óæíîñòßìè Ê èòå èé êñò åìàëüíîñòè ñåòåé ñëåäîâ Ãåîìåò èß êñò åìàëüíûõ ñåòåé ñëåäîâ Ìàíõåòòåíñêèå ëîêàëüíî ìèíèìàëüíûå è êñò åìàëüíûå ñåòè Îáùèå ñâîéñòâà Ýêñò åìàëüíûå ñåòè è ëèíåéíûå ñåòè Ýêñò åìàëüíûå ìàíõåòòåíñêèå ñåòè íà ïëîñêîñòè Ä. Ï. Èëü òêî. N-íî ìè îâàííûå ïëîñêîñòè Ëîêàëüíî ìèíèìàëüíûå ñåòè íà n-íî ìè îâàííûõ ïëîñêîñòßõ Ýêñò åìàëüíûå ñåòè íà n-íî ìè îâàííûõ ïëîñêîñòßõ, ãäå 2n 1(mod 3) Ãëàâà 7. Îòíî åíèå òåéíå à Îòíî åíèß òåéíå à îáùèõ ìåò è åñêèõ ï îñò àíñòâ Îòíî åíèå òåéíå à èìàíîâûõ ìíîãîîá àçèé Îòíî åíèå òåéíå à íî ìè îâàííûõ ï îñò àíñòâ

16 xiv Îãëàâëåíèå Ñëåäñòâèß îáùåé òåî èè Èññëåäîâàíèå îòíî åíèß òåéíå à ñ ïîìîùü àññòîßíèß Áàíàõà Ìàçó à Ï îñò àíñòâà ñ l p -íî ìîé l-ãåîìåò èè Îòíî åíèå òåéíå à è ä óãèå çàäà è äèñê åòíîé ãåîìåò èè èñëî íãà Óïàêîâêè è ïîê ûòèß Ï îáëåìà Òàììà Ï èëîæåíèå. Íåêîòî ûå íå å åííûå çàäà è Ñïèñîê èëë ñò àöèé Àëôàâèòíûé óêàçàòåëü

17 Ãëàâà 1 Ï åäâà èòåëüíûå ñâåäåíèß Â äàííîé ãëàâå ñîá àíûîñíîâíûå îï åäåëåíèß è ï åäâà èòåëüíûå åçóëüòàòû, íåîáõîäèìûå äëß äàëüíåé åãî èçëîæåíèß Ã àôû Äëß òîãî òîáû îáîáùèòü êëàññè åñêó âà èàöèîííó çàäà ó íà ñëó àé, êîãäà ã àíè íîå ìíîæåñòâî M ñîñòîèò áîëåå åì èç äâóõ òî- åê, íàì ï åæäå âñåãî ïîíàäîáèòñß îï åäåëèòü àíàëîã ê èâîé, äëß êîòî îãî M ìîæíî àññìàò èâàòü êàê ã àíèöó. Äëß òîãî ï åäñòàâëßåòñß åñòåñòâåííûì çàìåíèòü ê èâó íà êîíå íûé íàáî ê èâûõ, ñêëååííûõ ïî ñâîèì êîíöåâûì òî êàì. Òàê êàê ê èâàß, ïî îï åäåëåíè, μ òî íåï å ûâíîå îòîá àæåíèå îò åçêà, òî òàêîé íàáî ê èâûõ ìîæåò áûòü îï åäåëåí êàê íåï å ûâíîå îòîá àæåíèå íåêîòî îãî òîïîëîãè åñêîãî ï îñò àíñòâà, ñêëååííîãî èç îò åçêîâ. Ïîñëåäíåå åñòü íå òî èíîå, êàê îäíîìå íûé êëåòî íûé êîìïëåêñ, êîòî ûé, ñ êîìáèíàòî íîé òî êè ç åíèß, ìîæíî àññìàò èâàòü êàê îáû íûé ã àô. òîáû ïîä å êíóòü òîïîëîãè åñêó ï è îäó àññìàò èâàåìûõ îäíîìå íûõ êîìïëåêñîâ, ìû èíîãäà áóäåì íàçûâàòü èõ òîïîëîãè åñêèìè ã àôàìè. Â ñëó àå êîãäà âà èàöèîííûé ôóíêöèîíàë çàâèñèò îò ïà àìåò èçàöèè, íåîáõîäèìî, âîîáùå ãîâî ß, àçëè àòü ê èâûå, îòëè à ùèåñß âûáî îì ïà àìåò à. Òåì ñàìûì ìû ï èõîäèì ê íåîáõîäèìîñòè àññìàò- èâàòü îñíàùåííûå îäíîìå íûå êîìïëåêñû, ò.å. êëåòî íûå êîìïëåêñû, äëß êîòî ûõ ôèêñè îâàíûõà àêòå èñòè åñêèå îòîá àæåíèß èõ êëåòîê. Òàêèå êîìïëåêñûìûíàçûâàåì îñíàùåííûìè ã àôàìè. Íèæå ìû ï åäïîëàãàåì èçâåñòíûìè ñòàíäà òíûå ïîíßòèß òîïîëîãèè, òàêèå êàê òîïîëîãè åñêîå ï îñò àíñòâî, åãî õàóñäî ôîâîñòü, çàìûêàíèå cl Y, âíóò åííîñòü Y èã àíèöà Y ïîäìíîæåñòâà òîïîëîãè- åñêîãî ï îñò àíñòâà, íåï å ûâíîå îòîá àæåíèå òîïîëîãè åñêèõ ï îñò àíñòâ, ãîìåîìî ôèçì. èòàòåëè, íåçíàêîìûå ñ òèìè ïîíßòèßìè, ìîãóò îá àòèòüñß ê[115].

18 2 Ãëàâà 1. Ï åäâà èòåëüíûå ñâåäåíèß Òîïîëîãè åñêèå è îñíàùåííûå ã àôû, èõ êâèâàëåíòíîñòü Íàïîìíèì (ñì., íàï èìå [43]), òî õàóñäî ôîâî òîïîëîãè åñêîå ï îñò àíñòâî K íàçûâàåòñß êëåòî íûì êîìïëåêñîì (èëè êëåòî íûì ï îñò àíñòâîì, èëè CW-êîìïëåêñîì), åñëè çàäàíî åãî ï åäñòàâëåíèå â âèäå îáúåäèíåíèß n=0 i I n e n i ïîïà íî íåïå åñåêà ùèõñß ìíîæåñòâ (êëåòîê), ï è åì äëß êàæäîé êëåòêè e n i ñóùåñòâóåò íåï å ûâíîå îòîá àæåíèå ϕ ñòàíäà òíîãî çàìêíóòîãî n-ìå íîãî äèñêà D n R n â K, íàçûâàåìîå õà àêòå èñòè åñêèì îòîá àæåíèåì êëåòêè e n i, òàêîå, òî ñóæåíèå ϕ íà âíóò åííîñòü int D n äèñêà D n åñòü ãîìåîìî ôèçì ϕ: intd n e n i. Ê îìå òîãî, ï åäïîëàãà òñßâûïîëíåííûìè ñëåäó ùèå äâå íåçàâèñèìûå àêñèîìû. (C) Ã àíèöà e n i = (cle n i ) \ en i êëåòêè e n i ñîäå æèòñß â îáúåäèíåíèè êîíå íîãî èñëà êëåòîê e m i àçìå íîñòè m<n. (W) Ìíîæåñòâî F K çàìêíóòî â K òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà äëß ë áîé êëåòêè e n i ïå åñå åíèå F cl e n i çàìêíóòî â K. Ï åäñòàâëåíèå ï îñò àíñòâà K â âèäå îáúåäèíåíèß êëåòîê íàçûâàåòñß êëåòî íûì àçáèåíèåì. Îã àíè åíèå ϕ S n 1 õà àêòå èñòè åñêîãî îòîá àæåíèß ϕ êëåòêè e n i íà ã àíèöó S n 1 äèñêà D n íàçûâàåòñß ï èêëåèâà ùèì îòîá àæåíèåì. èñëî n íàçûâàåòñß àçìå íîñòü êëåòêè e n i, à íàèìåíü àß âå õíßß ã àíü àçìå íîñòåé âñåõ êëåòîê êîìïëåêñà K μ àçìå íîñòü K. Ãîâî ßò, òî êîìïëåêñ êîíå åí, åñëè îí ñîñòîèò èç êîíå íîãî èñëà êëåòîê. Ïîäêîìïëåêñîì íàçûâàåòñß çàìêíóòîå ïîäìíîæåñòâî êëåòî íîãî êîìïëåêñà K, ßâëß ùååñß îáúåäèíåíèåì êëåòîê èç K. SSñíî, òî êàæäûé ïîäêîìïëåêñ μ òî êëåòî íûé êîìïëåêñ. Åñëè K = n=0 i I n e n i μ êëåòî íûé êîìïëåêñ, òî ëåãêî âèäåòü, òî ìíîæåñòâî K m = m n=0 i I n e n i ßâëßåòñß çàìêíóòûì ïîäìíîæåñòâîì â K, ò.å. ßâëßåòñß ïîäêîìïëåêñîì. Ïîäêîìïëåêñ K m íàçûâàåòñß m-ìå íûì îñòîâîì êîìïëåêñà K. Äàëåå, íåï å ûâíîå îòîá àæåíèå ϕ êëåòî íîãî êîìïëåêñà X â êëåòî íûé êîìïëåêñ Y íàçûâàåòñß êëåòî íûì, åñëè ϕ(x m ) Y m äëß ë áîãî m. Êëåòî íîå îòîá àæåíèå íàçûâàåòñß êëåòî íîé êâèâàëåíòíîñòü, åñëè îíî îá àòèìî, ï è åì îá àòíîå îòîá àæåíèå μ òàêæå êëåòî íîå. Äâà êëåòî íûõ ï îñò àíñòâà íàçûâà òñß êëåòî íî êâèâàëåíòíûìè, åñëè ñóùåñòâóåò êëåòî íàß êâèâàëåíòíîñòü îäíîãî èç íèõ íà ä óãîå. Êëåòî íûå êîìïëåêñû ñ ôèêñè îâàííûìè õà àêòå èñòè åñêèìè îòîá àæåíèßìè íàçûâà òñß îñíàùåííûìè. Êëåòî íàß êâèâàëåíò-

19 1.1. Ã àôû 3 íîñòü, óâàæà ùàß îñíàùåíèß, íàçûâàåòñß îñíàùåííîé êâèâàëåíòíîñòü. Îï åäåëåíèå. Îáîáùåííûì ã àôîì G íàçîâåì ï îèçâîëüíûé îäíîìå íûé êëåòî íûé êîìïëåêñ. Êëåòêè àçìå íîñòè 0 íàçûâà òñß âå - èíàìè ã àôà G, à êëåòêè àçìå íîñòè 1 μ åá àìè.çàìû êàíèß åáå ã àôà G áóäåì íàçûâàòü çàìêíóòûìè åá àìè. Êîíå íûé îáîáùåííûé ã àô íàçûâàåòñß òîïîëîãè åñêèì ã àôîì. Çàìå àíèå. Êàæäûé êëåòî íûé êîìïëåêñ K ìîæåò áûòü ïîñò îåí èç çàìêíóòûõ à îâ ñ ïîìîùü ï èêëåèâà ùèõ îòîá àæåíèé. Â ñàìîì äåëå, ïóñòü óæå ïîñò îåí (n 1)-é îñòîâ K n 1,èϕ α : Dα n K μõà àêòå èñòè åñêîå îòîá àæåíèå, ñîîòâåòñòâó ùåå n-ìå íîé êëåòêå e n α êîìïëåêñà K. Ïîñêîëüêó ϕ( Dn α ) Kn 1, îï åäåëåíî îòîá àæåíèå Φ íåñâßçíîãî îáúåäèíåíèß S = αsα n 1,ãäå Sα n 1 = Dα n,âkn 1,à èìåííî, Φ S n 1 = ϕ α α S n 1.Ïóñòü D = α αdα n.òîãäà î åâèäíî, òî Kn = D Φ K n 1, ò.å. n-é îñòîâ K n ïîëó àåòñß èçk n 1 ï èêëåèâàíèåì âñåõ n-ìå íûõ êëåòîê ïî èõ ï èêëåèâà ùèì îòîá àæåíèßì. Â àñòíîñòè, êàæäûé îáîáùåííûé ã àô μ òî òîïîëîãè åñêîå ï îñò àíñòâî, ñêëååííîå èç íàáî à îò åçêîâ ïî íåêîòî îé êâèâàëåíòíîñòè, îòîæäåñòâëß ùåé êîíöåâûå òî êè òèõ îò åçêîâ. Îï åäåëåíèå. Êëåòî íàß êâèâàëåíòíîñòü, çàäàííàß íà îáîáùåííûõ ã àôàõ, íàçûâàåòñß êâèâàëåíòíîñòü ã àôîâ. Ã àôû G 1 è G 2 íàçûâà òñß êâèâàëåíòíûìè, åñëè ñóùåñòâóåò êâèâàëåíòíîñòü ϕ: G 1 G 2. Ñ òî êè ç åíèß òåî èè ã àôîâ, êâèâàëåíòíûå ã àôû óñò îåíûîäèíàêîâî, è èõ, êàê ï àâèëî, íå àçëè à ò. Ïîñêîëüêó êàæäûé ã àô íàäåëåí êàê ñò óêòó îé ã àôà, òàê è ñò óêòó îé òîïîëîãè åñêîãî ï îñò àíñòâà, âñß òîïîëîãè åñêàß òå ìèíîëîãèß è âñß òå ìèíîëîãèß òåî èè ã àôîâ áóäåò ï èìåíßòüñß â äàëüíåé åì áåç êîììåíòà èåâ. Ñîîòâåòñòâó ùèå îï åäåëåíèß ìîãóò áûòü íàéäåíû, íàï èìå, â [43], [120] è[39]. Åñëè ó ã àôà G ôèêñè îâàíî íåêîòî îå îñíàùåíèå, òî òàêîé ã àô áóäåì íàçûâàòü îñíàùåííûì. Àíàëîãè íî, åñëè íà ã àôå ôèêñè îâàíà êàêàß-íèáóäü ä óãàß äîïîëíèòåëüíàß ñò óêòó à, ñêàæåì, î èåíòàöèß èëè âåñîâàß ôóíêöèß íà åá àõ ã àôà, òî ìûáóäåì äîáàâëßòü ñîîòâåòñòâó ùåå ï èëàãàòåëüíîå: íàï èìå, ìûáóäåì ãîâî èòü îá î èåíòè îâàííûõ è âçâå åííûõ ã àôàõ. Ãîâî ß îá êâèâàëåíòíîñòè ã àôîâ, íàäåëåííûõ äîïîëíèòåëüíîé ñò óêòó îé, ìûâñåãäà áóäåì ï åäïîëàãàòü, òî òà êâèâàëåíòíîñòü ñîõ àíßåò äîïîëíèòåëüíó ñò óêòó ó. Çàìå àíèå. Êàæäîå îñíàùåíèå îáîáùåííîãî ã àôà ïî îæäàåò åñòåñòâåííó î èåíòàöè òîãî ã àôà â ñèëó òîãî, òî âñå ïà àìåò èçó ùèå îò åçêè î èåíòè îâàíû îò íà àëà ê êîíöó. Â äàëüíåé åì ìû áóäåì òèì ïîëüçîâàòüñß, íå îãîâà èâàß ñïåöèàëüíî.

20 4 Ãëàâà 1. Ï åäâà èòåëüíûå ñâåäåíèß Â äàëüíåé åì ìû, êàê ï àâèëî, áóäåì àáîòàòü ñ òîïîëîãè åñêèìè (ò.å. ñ êîíå íûìè) ã àôàìè. Ïî òîìó, åñëè íå îãîâî åíî ï îòèâíîå, âñå àññìàò èâàåìûå ã àôû ï åäïîëàãà òñß êîíå íûìè Îïå àöèè íàä ã àôàìè Ñíà àëà ìû ï èâåäåì ñïèñîê îïå àöèé, êî åêòíî îï åäåëåííûõ êàê äëß îñíàùåííûõ ã àôîâ, òàê è äëß ã àôîâ áåç ôèêñè îâàííîãî îñíàùåíèß. Ïîñëå òîãî ìû îïè åì ñïåöèôè åñêèå îïå àöèè, ï èìåíèìûå ëè ü ê ã àôàì áåç îñíàùåíèß. Ïóñòü G 1 è G 2 μ òîïîëîãè åñêèå ã àôû(îñíàùåííûå èëè íåò). Îáúåäèíåíèå G 1 G 2 òîïîëîãè åñêèõ ï îñò àíñòâ G 1 è G 2 íàäåëßåòñß åñòåñòâåííîé ñò óêòó îé ã àôà, à èìåííî, ìíîæåñòâî âå èí ( åáå ) ã àôà G 1 G 2 μ òî îáúåäèíåíèß ìíîæåñòâ âå èí ( åáå ) ã àôîâ G i. Ã àô G 1 G 2 íàçîâåì îáúåäèíåíèåì èëè ñóììîé ã àôîâ G 1 è G 2. Ïóñòü G μ íåêîòî ûé òîïîëîãè åñêèé ã àô (îñíàùåííûé èëè íåò). Âûáå åì â G ï îèçâîëüíîå åá î e è àññìîò èì ïîäï îñò àíñòâî G â G,ïîëó åííîå âûêèäûâàíèåì èç G òîãî åá à. SSñíî, òî G ßâëßåòñß ïîäã àôîì â G. Îïèñàííàß òîëüêî òî ïå åñò îéêà ã àôà G íàçûâàåòñß âûêèäûâàíèåì èç G åá à e è îáîçíà àåòñß å åç G \ e. Ïóñòü v μ ï îèçâîëüíàß âå èíà ã àôà G. Ïà ó (G, v) íàçîâåì îòìå åííûì ã àôîì. Ïóñòü (G, v) è (G,v ) μ äâà îòìå åííûõ ã àôà, è I =[a, b] μîò åçîê. Ñêëåèì G, I è G (êàê òîïîëîãè åñêèå ï îñò àíñòâà) ñëåäó ùèì îá àçîì. Òî êó a I îòîæäåñòâèì ñ v, à òî êó b I îòîæäåñòâèì ñ v. Ïîëó åííîå òîïîëîãè åñêîå ï îñò àíñòâî G íàäåëèì ñò óêòó îé ã àôà, âûá àâ â êà åñòâå âå èí âñå âå èíûèç G è G,àâêà åñòâå åáå μ âñå åá à èç G è G,àòàêæå âíóò åííîñòü îò åçêà I (òî íåå, åãî îá àçà ï è ñêëåéêå). Ýòà îïå àöèß íàçûâàåòñß ñêëåéêîé îòìå åííûõ ã àôîâ (G, v) è (G,v ), à åá î e,ïîëó åííîå èç îò åçêà I,μ åá îì ñêëåéêè. Ã àô, ïîëó åííûé â åçóëüòàòå òàêîé ñêëåéêè, áóäåì îáîçíà- àòü å åç (G, v)# e (G,v ). Ïóñòü v μ ï îèçâîëüíàß âå èíà ñòåïåíè d > 1 ã àôà G. Ïîñò îèì íîâûé ã àô G, ïå åñòàâ îòîæäåñòâëßòü òå êîíöû îò åçêîâ, ïà àìåò- èçó ùèõ èíöèäåíòíûå v åá à, êîòî ûå ñêëåèâà òñß â âå èíó v. Ãîâî ßò, òî ã àô G ïîëó åí èç G àç åçàíèåì ïî âå èíå v. SSñíî, òî G èìååò ñòîëüêî æå åáå, ñêîëüêî èg, àêîëè åñòâî âå èí ó G áîëü å, åì ó G íà d 1. Îòìåòèì, òî ó ã àôà G èìååòñß îâíî d âå èí, êîòî ûå âîçíèêëè ï è àç åçàíèè âå èíû v (â ã àôå G îíè âñå ñêëåèâà òñß â âå èíó v).

21 1.1. Ã àôû 5 Ïóñòü e μ ï îèçâîëüíîå åá î ã àôà G, èi =[a, b] μ îò åçîê, ïà àìåò èçó ùèé òî åá î. Ïóñòü v è v μ âå èíûã àôà G, èíöèäåíòíûå åá ó e ( òè âå èíû ìîãóò ñîâïàäàòü, åñëè e μ ïåòëß). Äëß îï åäåëåííîñòè, ï åäïîëîæèì, òî òî êà a I îòîæäåñòâëßåòñß ñ v, à òî êà b I μñv. Âûáå åì íà e (ôàêòè åñêè, íà (a, b)) íåêîòî ó òî êó A è àññìîò èì äâà îò åçêà: I 1 =[a, A] è I 2 =[A, b]. Âûá îñèì èç G åá î e èêïîëó åííîìó ã àôó G \ e ï èêëåèì îò åçêè I 1 è I 2,îòîæäåñòâèâ âå èíó v ñ òî êîé a I 1, à âå èíó v μ ñ òî êîé b I 2.Ïîëó åííîå òîïîëîãè åñêîå ï îñò àíñòâî íàäåëèì ñò óêòó îé ã àôà, îáúßâèâ âå - èíàìè âñå âå èíûèç G \ e, àòàêæå äâå àçíûå òî êè A 1 = A I 1 è A 2 = A I 2 ;âêà åñòâå åáå âîçüìåì âñå åá à èç G \ e, ïë ñ âíóò åííîñòè îò åçêîâ I 1 è I 2. Îïèñàííàß îïå àöèß íàçûâàåòñß àç åçàíèåì ã àôà G ïî òî êå A è îáîçíà àåòñß å åç G \ A. Åñëè íàì áåç àçëè íî,ïî êàêîé èìåííî òî êå A åá à e ï îèçâîäèòñß àç åçàíèå (îáû íî òî èìååò ìåñòî äëß íåîñíàùåííûõ ã àôîâ), ìû áóäåì ãîâî èòü ï îñòî î àç åçàíèè ã àôà ïî åá ó e è îáîçíà àòü ã àô G \ A å åç G e. Åñòåñòâåííûå âëîæåíèß îò åçêîâ I 1 è I 2 â îò åçîê I ïî îæäà ò (òîïîëîãè åñêîå) ïîã óæåíèå ã àôà G \ A â ã àô G; ï è òîì òî êè A 1 è A 2 ïå åõîäßò â îäíó òî êó A e.ðåá î e áóäåì íàçûâàòü åá îì àç åçà,à òî êó A μ òî êîé àç åçà. Òàêæå ñêàæåì, òî åá î e ï è àç åçàíèè ïî òî êå A àñïàäàåòñß íà äâà åá à e 1 è e 2, ïà àìåò èçîâàííûõ, ñîîòâåòñòâåííî, îò åçêàìè I 1 è I 2,àòî êà A àñïàäàåòñß íà äâå âå èíû A 1 è A 2 ã àôà G \ A. Ïóñòü (G, v) è (G,v ) μ äâà îòìå åííûõ ã àôà. Ñêëåèì G è G (êàê òîïîëîãè åñêèå ï îñò àíñòâà), îòîæäåñòâèâ òî êè v è v. Ïîëó åííîå òîïîëîãè åñêîå ï îñò àíñòâî G íàäåëèì ñò óêòó îé ã àôà, âûá àâ â êà åñòâå âå èí âñå âå èíûèç G è G,îòëè íûå îò v è v,àòàêæå âå èíó w, âîçíèê ó â åçóëüòàòå îòîæäåñòâëåíèß v è v.âêà åñòâå åáå âîçüìåì âñå åá à èç G è G.Ýòà îïå àöèß íàçûâàåòñß ñêëåéêîé (G, v) è (G,v ) ïî îòìå åííûì âå èíàì, àâå èíà w μ âå èíîé ñêëåéêè. Ã àô, ïîëó åííûé â åçóëüòàòå òàêîé ñêëåéêè, áóäåì îáîçíà- àòü å åç (G, v)#(g,v ). Ïóñòü H μ ï îèçâîëüíûé ïîäã àô â ã àôå G. Ôàêòî -ï îñò àíñòâî G/H åñòåñòâåííûì îá àçîì íàäåëßåòñß ñò óêòó îé ã àôà. Ã àô K = G/H íàçûâàåòñß ôàêòî -ã àôîì ã àôà G ïî ïîäã àôó H. Åñòåñòâåííó ï îåêöè π : G G/H íàçîâåì ï îåêöèåé ã àôà G íà K. Â àñòíîñòè, ïóñòü ã àô G ïîëó åí èç ã àôà G àç åçàíèåì ïî âå - èíå v ñòåïåíè d,èv 1,...,v d μ âå èíûã àôà G, âîçíèê èå ï è òîì àç åçàíèè. Â êà åñòâå ïîäã àôà H â G âûáå åì ã àô ñ âå èíàìè v 1,...,v d,íåñîäå æàùèé åáå, ò.å. ïóñòîé ã àô íà âå èíàõ v 1,...,v d.

22 6 Ãëàâà 1. Ï åäâà èòåëüíûå ñâåäåíèß Î åâèäíî, ã àô G /H êâèâàëåíòåí èñõîäíîìó ã àôó G. Ñîîòâåòñòâó- ùó ï îåêöè G G = G /H ìûîáîçíà èì å åç ν è íàçîâåì âîññòàíàâëèâà ùèì îòîá àæåíèåì. Åñëè ã àô G ïîëó åí èç G àç åçàíèåì ïî íåñêîëüêèì âå èíàì, òî âîññòàíàâëèâà ùåå îòîá àæåíèå îï åäåëßåòñß àíàëîãè íî. À èìåííî, â òîì ñëó àå ã àô G ïîëó àåòñß ïîñëåäîâàòåëüíûì ï èìåíåíèåì îïå àöèè àç åçàíèß ïî îäíîé âå - èíå, è òîãäà âîññòàíàâëèâà ùåå îòîá àæåíèå åñòåñòâåííî îï åäåëèòü êàê êîìïîçèöè ñîîòâåòñòâó ùèõ âîññòàíàâëèâà ùèõ îòîá àæåíèé. Íà ßäó ñî ñòàíäà òíûì ïîíßòèåì ôàêòî èçàöèè, íàì ïîíàäîáèòñß ñëåäó ùåå åãî îñëàáëåíèå. Ïóñòü ñíîâà H μ ï îèçâîëüíûé ïîäã àô â ã àôå G, èh 1,...,H k μ ñâßçíûå êîìïîíåíòûã àôà H. Ðåçóëüòàò ïîñëåäîâàòåëüíîé ôàêòî èçàöèè ã àôà G ïî ïîäã àôàì H i, i =1,..., k, íàçîâåì ñëàáûì ôàêòî -ã àôîì ã àôà G ïî ïîäã àôó H è îáîçíà èì å åç G H. Îòìåòèì, òî G/H = G H, åñëè è òîëüêî åñëè ïîäã àô H ñâßçåí. Åñòåñòâåííó ï îåêöè π : G G H íàçîâåì ñëàáîé ï îåêöèåé ã àôà G íà K = G H. Ê îìå òîãî, áóäåì ãîâî èòü, òî ã àô G ìîæíî ñëàáî ñï îåêòè îâàòü íà ã àô K, åñëè K êâèâàëåíòåí G H äëß íåêîòî îãî ïîäã àôà H â G. Ï èâåäåì òåïå ü îïå àöèè íàä íåîñíàùåííûìè ã àôàìè, êîòî ûå íå âñåãäà ìîæíî ïå åíåñòè íà ñëó àé ã àôîâ ñ ôèêñè îâàííûìè îñíàùåíèßìè. Ïóñòü G μ íåîñíàùåííûé ã àô. Ï åäïîëîæèì, òî G ñîäå æèò âå èíó v ñòåïåíè 2, è ïóñòü e 1 è e 2 μ èíöèäåíòíûå v åá à. Îáúåäèíèì êëåòêè e 1, v è e 2 âîäíó îäíîìå íó êëåòêó ( àññìîò åâ ï è òîì êàêîå-íèáóäü õà àêòå èñòè åñêîå îòîá àæåíèå). Òàê ïå åñò îåííîå êëåòî íîå àçáèåíèå ï îñò àíñòâà G çàäàåò íîâûé òîïîëîãè åñêèé ã àô G, ñîäå æàùèé íà îäíó âå èíó è íà îäíî åá î ìåíü å, åì èñõîäíûé ã àô G. Áóäåì ãîâî èòü, òî G ïîëó åí èç G ñêëåéêîé åáå e 1 è e 2 â âå èíå v èëè ñòè àíèåì âå èíû v ñòåïåíè 2. Ìîäèôèöè óåì òåïå ü îïå àöèè ñêëåéêè äëß íåîñíàùåííûõ îòìå- åííûõ ã àôîâ (G, v) è (G,v ) âñëó àå, êîãäà ñòåïåíè îòìå åííûõ âå - èí v è v àâíû 1. Äëß òîãî çàìåòèì, òî â åçóëüòàòå ñêëåéêè òèõ ã àôîâ âîçíèêà ò âå èíûñòåïåíè 2. Ñîò åì òè âå èíû, êàê áûëî òîëüêî òî îïèñàíî. Òàê ïîäï àâëåííûå îïå àöèè ïî-ï åæíåìó áóäåì íàçûâàòü ñêëåéêàìè èñîõ àíèì äëß íèõ ââåäåííûå âû å îáîçíà åíèß. Ê îìå òîãî, åñëè e è e μ åá à ã àôîâ G è G, èíöèäåíòíûå èõ âå èíàì v è v ñòåïåíè 1, òî îïå àöè ñêëåéêè ã àôîâ (G, v) è (G,v ) ïî âå èíå óäîáíî èíîãäà òàêæå íàçûâàòü ñêëåéêîé ïî åá àì e è e è îáîçíà àòü ïîëó åííûé ã àô (G, v)#(g,v ) å åç (G, e)#(g, e ).

23 1.1. Ã àôû Ã àíèöà ã àôà, ëîêàëüíûé ã àô Ï åäïîëîæèì, òî â ã àôå G âûäåëåíî íåêîòî îå ïîäìíîæåñòâî B ìíîæåñòâà åãî âå èí. Òàêîé ã àô G ìûáóäåì íàçûâàòü ã àôîì ñ ã àíèöåé G = B. Âå èíûèç G áóäåì íàçûâàòü ã àíè íûìè èëè íåïîäâèæíûìè, à âñå îñòàëüíûå âå èíû μ âíóò åííèìè èëè ïîäâèæíûìè. Ðåá à ã àôà, èíöèäåíòíûå ã àíè íûì âå èíàì, òàêæå íàçîâåì ã àíè íûìè, à åá î, íå èíöèäåíòíîå íèêàêîé ã àíè íîé âå èíå, íàçîâåì âíóò åííèì. Ïóñòü G μ íåêîòî ûé ã àô ñ ã àíèöåé B. Îáîçíà èì å åç ĜB ïîäã àô â G, ïî îæäåííûé âñåìè ïîäâèæíûìè âå èíàìè ã àôà G. Ïîäã àô ĜB íàçûâàåòñß ïîäâèæíûì ïîäã àôîì ã àôà G ïî îòíî åíè ê ã àíèöå B. Îòìåòèì, òî ïîäâèæíûé ïîäã àô ñîñòîèò â òî íîñòè èç âñåõ âíóò åííèõ åáå ã àôà G. Âû å ìû îï åäåëèëè (îñíàùåííó ) êâèâàëåíòíîñòü ã àôîâ. Â äàëüíåé åì, àññìàò èâàß ã àôû ñ ã àíèöåé, ìû âñåãäà áóäåì ï åäïîëàãàòü, òî êâèâàëåíòíîñòü ã àôîâ ñ ã àíèöåé âçàèìíî îäíîçíà íî îòîá- àæàåò ã àíèöó îäíîãî ã àôà íà ã àíèöó ä óãîãî. Ïóñòü G μ ï îèçâîëüíûé ã àô ñ ã àíèöåé G (âîçìîæíî, ïóñòîé), è P G μ íåêîòî àß åãî òî êà. Äîïóñòèìîé îê åñòíîñòü U G òî êè P ã àôà G íàçûâàåòñß çàìûêàíèå ñâßçíîé îê åñòíîñòè òîé òî êè, íå ñîäå æàùåå âå èí ã àôà G, îòëè íûõ îò P, åñëè P μ âå - èíà, è íå ñîäå æàùåå ïåòåëü èç G. Íàäåëèì îê åñòíîñòü U ñò óêòó- îé ã àôà (îñíàùåííîãî èëè òîïîëîãè åñêîãî, â çàâèñèìîñòè îò òîãî, êàêèì ßâëßåòñß èñõîäíûé ã àô G), îáúßâèâ âå èíàìè âñå òî êè èç U {P }, à åá àìè μ âíóò åííîñòè îò åçêîâ â U, ñîåäèíß ùèõ òè òî êè. Ïîëó åííó çâåçäó îáîçíà èì å åç G U è áóäåì íàçûâàòü ëîêàëüíûì ã àôîì ñ öåíò îì â òî êå P. Îï åäåëèì êàíîíè åñêó ã àíèöó G U ëîêàëüíîãî ã àôà G U, âêë èâ â íåå âñå âå èíû èç U, àòàêæå âå èíó P, åñëè P μ ã àíè íàß âå èíà ã àôà G. Ä óãèìè ñëîâàìè, G U = ( G U ) ( G U ). Îòìåòèì, òî êîëè åñòâî åáå ï îèçâîëüíîãî ëîêàëüíîãî ã àôà G U ñ öåíò îì â âå èíå v ã àôà G àâíî ñòåïåíè òîé âå èíûâ ã àôå G. Ïóñòü G μ íåêîòî ûé ã àô ñ ã àíèöåé G. Ðàç åæåì ã àô G ïî âñåì ã àíè íûì âå èíàì ñòåïåíè, áîëü å 1, è îáîçíà èì å åç G i ïîëó åííûå ñâßçíûå êîìïîíåíòû. Ïóñòü, êàê è âû å, ν μ òî âîññòàíàâëèâà ùåå îòîá àæåíèå ã àôà G i íà G.Äëßêàæäîé êîìïîíåíòû G i îï åäåëèì ã àíèöó G i êàê ìíîæåñòâî âñåõ òåõ âå èí èç G i ñòåïåíè 1, êîòî ûå ëåæàò â ï îîá àçå ν 1 ( G) ã àíèöû G ï è âîññòàíàâëèâà ùåì îòîá àæåíèè ν. Êàæäàß êîìïîíåíòà G i ñ ã àíèöåé G i íàçûâàåò-

24 8 Ãëàâà 1. Ï åäâà èòåëüíûå ñâåäåíèß ñß íåâû îæäåííîé êîìïîíåíòîé ã àôà G. Ã àô, ñîâïàäà ùèé ñî ñâîåé åäèíñòâåííîé íåâû îæäåííîé êîìïîíåíòîé, íàçîâåì íåâû îæäåííûì Ãëàäêàß ñò óêòó à íà òîïîëîãè åñêîì ã àôå Ïóñòü G μíåêîòî ûé òîïîëîãè åñêèé ã àô. Ïóñòü íà G çàäàíî äâà îñíàùåíèß. Òîãäà äëß êàæäîãî åá à e èç G èìååòñß äâà õà àêòå èñòè- åñêèõ îòîá àæåíèß, êîòî ûå ïî îæäà ò ãîìåîìî ôèçì âíóò åííîñòè îäíîãî ïà àìåò èçó ùåãî åá î e îò åçêà íà ä óãîé, ï è åì òîò ãîìåîìî ôèçì ï îäîëæàåòñß äî ãîìåîìî ôèçìà îò åçêîâ â öåëîì. Ïîñò îåííûé ãîìåîìî ôèçì ïà àìåò èçó ùèõ îò åçêîâ íàçîâåì çàìåíîé îñíàùåíèß åá à e. Ìàêñèìàëüíûé ïî âêë åíè êëàññ îñíàùåíèé òîïîëîãè åñêîãî ã àôà G òàêîé, òî äëß ë áûõ äâóõ îñíàùåíèé èç òîãî êëàññà çàìåíû îñíàùåíèé âñåõ åáå ã àôà G ßâëß òñß äèôôåîìî ôèçìàìè ñîîòâåòñòâó ùèõ îò åçêîâ, íàçîâåì ãëàäêîé ñò óêòó îé íà ã àôå G. Ã àô G ñ çàäàííîé íà íåì ãëàäêîé ñò óêòó îé íàçûâàåòñß ãëàäêèì. Åñëè ν : G 1 G 2 μ êâèâàëåíòíîñòü òîïîëîãè åñêèõ ã àôîâ, è íà ã àôå G 1 çàäàíà ãëàäêàß ñò óêòó à, òî îòîá àæåíèå ν èíäóöè óåò ãëàäêó ñò óêòó ó íà ã àôå G 2. Îòîá àæåíèå ν â òîì ñëó àå íàçûâàåòñß êâèâàëåíòíîñòü ãëàäêèõ ã àôîâ G 1 è G 2. Ëåãêî âèäåòü, òî ë áûå äâå ãëàäêèå ñò óêòó û íà ã àôå G ìîãóò áûòü ïîëó åíûä óã èç ä óãà ñ ïîìîùü òîé êîíñò óêöèè. Ýêâèâàëåíòíîñòü ãëàäêèõ ã àôîâ íàçûâàåòñßòàêæå äèôôåîìî ôèçìîì ã àôîâ Ïà àìåò è åñêèå ñåòè Â äàííîì àçäåëå ìû îï åäåëèì ôóíäàìåíòàëüíîå ïîíßòèå ïà àìåò è åñêîé ñåòè íà òîïîëîãè åñêîì ï îñò àíñòâå, ßâëß ùååñß íåïîñ åäñòâåííûì îáîáùåíèåì íåï å ûâíîé ê èâîé Îñíîâíûå îï åäåëåíèß Îï åäåëåíèå. Ïóñòü G μ ï îèçâîëüíûé ã àô. Ïà àìåò è åñêîé ñåòü òîïîëîãèè G íà òîïîëîãè åñêîì ï îñò àíñòâå X íàçûâàåòñß íåï å ûâíîå îòîá àæåíèå Γ èç G â X. Òîïîëîãè åñêèé ã àô G â òîì ñëó àå íàçûâàåòñß ïà àìåò èçó ùèì ã àôîì ïà àìåò è åñêîé ñåòè Γ èëè åå òîïîëîãèåé.

25 1.2. Ïà àìåò è åñêèå ñåòè 9 Âñß òå ìèíîëîãèß òåî èè ã àôîâ, òîïîëîãè åñêèõ ï îñò àíñòâ è èõ îòîá àæåíèé íåïîñ åäñòâåííî ïå åíîñèòñß íà ïà àìåò è åñêèå ñåòè. Íàï èìå, îã àíè åíèå îòîá àæåíèß Γ íà âå èíû, åá à, çàìêíóòûå åá à, ã àíèöó, ïîäã àô ïà àìåò èçó ùåãî ã àôà, è ò.ä. íàçûâà òñß âå èíàìè, åá àìè, çàìêíóòûìè åá àìè, ã àíèöåé, ïîäñåòü èò.ä. ïà àìåò è åñêîé ñåòè Γ. Ê îìå òîãî, åñëè ã àô G îñíàùåííûé, î èåíòè îâàííûé, âçâå åííûé, íåâû îæäåííûé, àçáèò íà íåâû îæäåííûå êîìïîíåíòûè ò.ä., òî ñîîòâåòñòâó ùàß ïà àìåò è åñêàß ñåòü íàçûâàåòñß îñíàùåííîé, î èåíòè îâàííîé, âçâå åííîé, íåâû îæäåííîé, àçáèòîé íà íåâû îæäåííûå êîìïîíåíòû èò.ä. Â äàëüíåé åì, òàì, ãäå òî íå âûçîâåò íåäî àçóìåíèé, ìû èíîãäà áóäåì îòîæäåñòâëßòü âå èíû, åá à, çàìêíóòûå åá à, ã àíèöó ñåòè ñ èõ îá àçàìè. Íàï èìå, ìû áóäåì ãîâî èòü, òî ã àíèöà ñåòè ï åäñòàâëßåò ñîáîé ï àâèëüíûé ìíîãîóãîëüíèê, ïîä àçóìåâàß ï è òîì, òî îá àç ñîîòâåòñòâó ùåãî îòîá àæåíèß μ ìíîæåñòâî âå èí ï àâèëüíîãî ìíîãîóãîëüíèêà. Ðåá î ñåòè íàçûâàåòñß âû îæäåííûì, åñëè îíî ßâëßåòñß îòîá àæåíèåì â òî êó. Íåòî å íîå åá î ñåòè íàçûâàåòñß íåâû îæäåííûì. Äàëåå, åñëè M X μ îá àç ã àíè íîãî îòîá àæåíèß Γ, òî ãîâî ßò, òî ïà àìåò è åñêàß ñåòü Γ çàòßãèâàåò ìíîæåñòâî M (ïî îòîá àæåíè Γ). Çàìå àíèå. Âû å ìû ï åäñòàâèëè êàæäûéã àôêàê íàáî îò åçêîâ, ôàêòî èçîâàííûé ïî íåêîòî îé êâèâàëåíòíîñòè, îòîæäåñòâëß ùåé êîíöåâûå òî êè òèõ îò åçêîâ. Òî íî òàê æå, ïà àìåò è åñêó ñåòü ìîæíî ï åäñòàâèòü êàê íàáî íåï å- ûâíûõ ê èâûõ â òîïîëîãè åñêîì ï îñò àíñòâå, íåêîòî ûå êîíöåâûå òî êè êîòî ûõ îòîæäåñòâëåíû. Äâå ïà àìåò è åñêèõ ñåòè Γ i : G i X íàçîâåì êâèâàëåíòíûìè, åñëè ñóùåñòâóåò êâèâàëåíòíîñòü ν : G 1 G 2 òàêàß, òî Γ 1 =Γ 2 ν. Â òîì ñëó àå ìûòàêæå áóäåì ãîâî èòü, òî îäíà èç ïà àìåò è åñêèõ ñåòåé ïîëó åíà èç ä óãîé çàìåíîé ïà àìåò èçàöèè. Ê îìå òîãî, åñëè ñåòè Γ i íàäåëåíû äîïîëíèòåëüíîé ñò óêòó îé, òàêîé êàê îñíàùåíèå, î èåíòàöèß, âåñîâàß ôóíêöèß è ò.ä., òî ìû áóäåì ï åäïîëàãàòü, òî êâèâàëåíòíîñòü ν ñîõ àíßåò òó ñò óêòó ó. Ïóñòü Γ: G X μ ï îèçâîëüíàß ñåòü, è T μíåêîòî àß çàìêíóòàß îáëàñòü â R k ñ îòìå åííîé òî êîé t 0 T. Îï åäåëåíèå. Íåï å ûâíîå îòîá àæåíèå Ψ: G T X òàêîå, òî Ψ(g, t 0 )=Γ(g) äëß âñåõ g G, íàçûâàåòñß (k-ïà àìåò è åñêîé) äåôî ìàöèåé ñåòè Γ.

26 10 Ãëàâà 1. Ï åäâà èòåëüíûå ñâåäåíèß Êëàññû ãëàäêîñòè ñåòåé Ïóñòü òåïå ü X = W μ ãëàäêîå ìíîãîîá àçèå, è G μ îñíàùåííûé ã àô. Îñíàùåííàß ïà àìåò è åñêàß ñåòü Γ: G W íàçûâàåòñß ãëàäêîé ( åãóëß íîé, êóñî íî-ãëàäêîé, êóñî íî- åãóëß íîé), åñëè îã àíè åíèå îòîá àæåíèß Γ íà êàæäîå çàìêíóòîå åá î îñíàùåííîãî ã àôà G ßâëßåòñß òàêîâûì. Äàëåå, ïóñòü òåïå ü G μ ãëàäêèé ã àô. Ïà àìåò è åñêàß ñåòü Γ: G W íàçûâàåòñß ãëàäêîé ( åãóëß íîé, êóñî íîãëàäêîé, êóñî íî- åãóëß íîé), åñëè äëß íåêîòî îãî (à çíà èò, èäëßë áîãî) îñíàùåíèß èç ãëàäêîé ñò óêòó û ñîîòâåòñòâó ùàß îñíàùåííàß ñåòü ßâëßåòñß òàêîâîé. Îòìåòèì, òî ïîíßòèå ãëàäêîé ïà àìåò è åñêîé ñåòè åñòåñòâåííûì îá àçîì îáîáùàåò ïîíßòèå ãëàäêîé ê èâîé. Êóñî íî- åãóëß íûå ñåòè, äëß ê àòêîñòè, àñòî áóäåì íàçûâàòü ïîã óæåííûìè. Ïîã óæåííó ñåòü íàçîâåì âëîæåííîé, åñëè îòîá àæåíèå Γ âçàèìíî îäíîçíà íî ñ îá àçîì. Îòìåòèì, òî òàê êàê ã àô G êîìïàêòåí, òî ë áàß âëîæåííàß ñåòü îñóùåñòâëßåò ãîìåîìî ôèçì ñ îá àçîì. Òàêèì îá àçîì, âëîæåííàß ñåòü μ òî òîïîëîãè åñêîå âëîæåíèå ã àôà â ìíîãîîá àçèå, îã àíè åíèå êîòî îãî íà êàæäîå çàìêíóòîå åá î μ êóñî íî- åãóëß íàß ê èâàß. Ïîã óæåííó ñåòü Γ íàçîâåì ëîêàëüíî âëîæåííîé, åñëè äëß êàæäîé òî êè ïà àìåò èçó ùåãî ã àôà èìååòñß îê åñòíîñòü U òàêàß, òî îã àíè åíèå îòîá àæåíèß Γ íà U âçàèìíî îäíîçíà íî ñ îá àçîì (îòìåòèì, òî çàìåíà ò åáîâàíèß âçàèìíîé îäíîçíà íîñòè íà ãîìåîìî ôíîñòü ï èâîäèò ê êâèâàëåíòíîìó îï åäåëåíè ). Ïîã óæåííó ñåòü Γ íàçîâåì åáå íî âëîæåííîé, åñëè âñå åå åá à ßâëß òñß âëîæåííûìè ê èâûìè, ï è åì êàæäîå åå åá î γ íå ïå åñåêàåò ñåòü Γ \ γ (íàïîìíèì, òî åá à ñåòè ñ èòà òñß îòê ûòûìè, ò.å. îíè ïà àìåò èçîâàíûèíòå âàëàìè, à íå îò åçêàìè). Ï èìå îì åáå íî âëîæåííîé ñåòè ìîæåò ñëóæèòü îáúåäèíåíèå íåâû îæäåííûõ êîìïîíåíò âëîæåííîé ñåòè. Îñîáîå âíèìàíèå ìû áóäåì óäåëßòü ñåòßì íà ïëîñêîñòè èëè ïëîñêèì ñåòßì. Êàê ï àâèëî, ìûáóäåì èìåòü äåëî ñ åáå íî âëîæåííûìè ïëîñêèìè ñåòßìè, ïî òîìó, åñëè íå îãîâî åíî ï îòèâíîå, ìû, äëß ê àòêîñòè, ïîä ïëîñêîé ñåòü èëè ïëîñêèì ã àôîì áóäåì ïîíèìàòü èìåííî åáå íî âëîæåííó ñåòü íà ïëîñêîñòè. Îòìåòèì, òî òî åñòåñòâåííîå àñ è åíèå ò àäèöèîííîãî ïîíßòèß ïëîñêîãî ã àôà (âëîæåííîé ïëîñêîé ñåòè) îñòàâëßåò ñï àâåäëèâûìè âñå íåîáõîäèìûå íàì óòâå æäåíèß òåî èè ïëîñêèõ ã àôîâ è ïîçâîëßåò ïîëó èòü òå æå åçóëüòàòû, îïè àßñü íà áîëåå ï îñòûå ïîñò îåíèß. Ï èâåäåì äèàã àììó òèïîâ ñåòåé (íåêîòî ûå èç òèõ òèïîâ áóäóò îï åäåëåíûâ ñëåäó ùèõ àçäåëàõ), ñì. èñ. 1.1.