Math-Net.Ru Общероссийский математический портал

Transcript

1 Math-Net.Ru Общероссийский математический портал А. И. Сафонов, О. В. Холостова, О периодических движениях гамильтоновой системы в окрестности неустойчивого равновесия в случае двойного резонанса третьего порядка, Вестн. Удмуртск. ун-та. Матем. Мех. Компьют. науки, 26, том 26, выпуск 3, DOI: Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подразумевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением Параметры загрузки: IP: декабря 27 г., 22:26:

2 ÂÅÑÒÍÈÊ ÓÄÌÓÐÒÑÊÎÃÎ ÓÍÈÂÅÐÑÈÒÅÒÀ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÌÅÕÀÍÈÊÀ. ÊÎÌÏÜ ÒÅÐÍÛÅ ÍÀÓÊÈ ÌÅÕÀÍÈÊÀ 26. Ò. 26. Âûï. 3 ÓÄÊ 53. c À. È. Ñàôîíîâ, Î. Â. Õîëîñòîâà Î ÏÅÐÈÎÄÈ ÅÑÊÈÕ ÄÂÈÆÅÍÈSSÕ ÃÀÌÈËÜÒÎÍÎÂÎÉ ÑÈÑÒÅÌÛ Â ÎÊÐÅÑÒÍÎÑÒÈ ÍÅÓÑÒÎÉ ÈÂÎÃÎ ÐÀÂÍÎÂÅÑÈSS Â ÑËÓ ÀÅ ÄÂÎÉÍÎÃÎ ÐÅÇÎÍÀÍÑÀ ÒÐÅÒÜÅÃÎ ÏÎÐSSÄÊÀ Ðàññìàò èâà òñß äâèæåíèß áëèçêîé ê àâòîíîìíîé ïå èîäè åñêîé ïî â åìåíè ãàìèëüòîíîâîé ñèñòåìå ñ äâóìß ñòåïåíßìè ñâîáîäû â îê åñòíîñòè ò èâèàëüíîãî àâíîâåñèß, óñòîé èâîãî â ëèíåéíîì ï èáëèæåíèè. Ï åäïîëàãàåòñß, òî â ñèñòåìå åàëèçóåòñß äâîéíîé, îñíîâíîé è êîìáèíàöèîííûé, åçîíàíñ ò åòüåãî ïî ßäêà, ï è òîì êîìáèíàöèîííûé åçîíàíñ ìîæåò áûòü ñèëüíûì èëè ñëàáûì. Â îáîèõ ñëó- àßõ â ïîëíîé íåëèíåéíîé ñèñòåìå óêàçàííîå àâíîâåñèå íåóñòîé èâî. Ï îâåäåíà íî ìàëèçàöèß ãàìèëüòîíèàíîâ âîçìóùåííîãî äâèæåíèß â ëåíàõ äî åòâå òîãî ïî ßäêà âêë èòåëüíî îòíîñèòåëüíî âîçìóùåíèé ñ ó åòîì èìå ùèõñß åçîíàíñîâ. Ðå åí âîï îñ î ñóùåñòâîâàíèè è èñëå ïîëîæåíèé àâíîâåñèß ñîîòâåòñòâó ùèõ ï èáëèæåííûõ ìîäåëüíûõ) ñèñòåì, íàéäåíû äîñòàòî íûå è íåîáõîäèìûå óñëîâèß èõ óñòîé èâîñòè. Ìåòîäîì ìàëîãî ïà àìåò à Ïóàíêà å ïîñò îåíû ïå èîäè åñêèå äâèæåíèß èñõîäíûõ ïîëíûõ ñèñòåì, îæäà ùèåñß èç ïîëîæåíèé àâíîâåñèß ìîäåëüíûõ ñèñòåì. Ðå åí âîï îñ îá èõ óñòîé èâîñòè â ëèíåéíîì ï èáëèæåíèè. Â àñòíîñòè, ïîëó åíû óñëîâèß ñóùåñòâîâàíèß â ìàëîé îê åñòíîñòè íåóñòîé èâîãî ò èâèàëüíîãî àâíîâåñèß) óñòîé èâûõ â ëèíåéíîì ï èáëèæåíèè) ïå èîäè åñêèõ äâèæåíèé. Êë åâûå ñëîâà: ãàìèëüòîíîâà ñèñòåìà, ê àòíûé åçîíàíñ, óñòîé èâîñòü, ïå èîäè åñêèå äâèæåíèß. DOI:.2537/vm63 Ââåäåíèå Ï è èññëåäîâàíèè óñòîé èâîñòè àñòíûõ äâèæåíèé ìåõàíè åñêèõ ñèñòåì, çàâèñßùèõ îò íåñêîëüêèõ ïà àìåò îâ, íå åäêè ñëó àè, êîãäà â ï îñò àíñòâå ïà àìåò îâ èìå òñß òî êè èëè ìíîæåñòâî òî åê, äëß êîòî ûõ àñòîòû ìàëûõ êîëåáàíèé ëèíåà èçîâàííûõ ó àâíåíèé âîçìóùåííîãî äâèæåíèß óäîâëåòâî ß ò ëèíåéíûì ñîîòíî åíèßì ñïåöèàëüíîãî âèäà, ò.å. êîãäà â ñèñòåìå èìå òñß åçîíàíñû. Äëß åçîíàíñíûõ ñëó àåâ ñóùåñòâåííûì îá àçîì ìåíßåòñß êàê õà àêòå óñòîé èâîñòè ñàìîãî å åíèß ïî ñ àâíåíè ñî ñëó àßìè îòñóòñòâèß åçîíàíñîâ), òàê è õà àêòå äâèæåíèé ñèñòåìû â åãî îê åñòíîñòè. Ïå âûå ïóáëèêàöèè ïî èññëåäîâàíè âëèßíèß åçîíàíñîâ íà óñòîé èâîñòü ïîëîæåíèé àâíîâåñèß ìåõàíè åñêèõ ñèñòåì ïîßâèëèñü íà óáåæå XIX è XX âåêîâ [ 3]. Ñëó àè, êîãäà â ñèñòåìå èìååòñß îäèí åçîíàíñ, èçó åíû âåñüìà ïîëíî; ñ áèáëèîã àôèåé è îáçî îì ëèòå àòó û ïî äàííîìóâîï îñóìîæíî îçíàêîìèòüñß â àáîòàõ [4 6] ïî ãàìèëüòîíîâûì è àáîòå [5] ïî íåãàìèëüòîíîâûì ñèñòåìàì. Íåëèíåéíûå êîëåáàíèß ïå èîäè åñêèõ ïî â åìåíè ãàìèëüòîíîâûõ ñèñòåì ñ îäíîé ñòåïåíü ñâîáîäû â îê åñòíîñòè ïîëîæåíèß àâíîâåñèß â åçîíàíñíûõ è áëèçêèõ ê åçîíàíñíûì ñëó àßì ïîä îáíî èññëåäîâàíû ñ ï èìåíåíèåì ìåòîäîâ ÊÀÌ-òåî èè. Îïèñàíû ïå èîäè åñêèå è óñëîâíî-ïå èîäè åñêèå äâèæåíèß ñèñòåìû, îï åäåëåíû îáëàñòè îã àíè åííîñòè äâèæåíèé äëß ñëó àåâ åçîíàíñà â âûíóæäåííûõ êîëåáàíèßõ [7], ïà àìåò è åñêîãî åçîíàíñà [8 ], åçîíàíñàõ ò åòüåãî [, 2] è åòâå òîãî [3, 4] ïî ßäêîâ. Áèôó êàöèß è óñòîé èâîñòü ïå èîäè åñêèõ å åíèé â ãàìèëüòîíîâûõ ñèñòåìàõ ñ îäíîé ñòåïåíü ñâîáîäû â ñëó àå âû îæäåíèß ãàìèëüòîíèàíà âîçìóùåííîãî äâèæåíèß â ëåíàõ åòâå òîãî ïî ßäêà) ï è íàëè èè îäíîãî èç åçîíàíñîâ äî åñòîãî ïî ßäêà âêë èòåëüíî èññëåäîâàíû â àáîòàõ [5, 6]. Â ñòàòüßõ [7] Ðàáîòà âûïîëíåíà ï è ôèíàíñîâîé ïîääå æêå Ðîññèéñêîãî ôîíäà ôóíäàìåíòàëüíûõ èññëåäîâàíèé ï îåêò 4 38).

3 Î ïå èîäè åñêèõ äâèæåíèßõ ãàìèëüòîíîâîé ñèñòåìû 49 ÌÅÕÀÍÈÊÀ 26. Ò. 26. Âûï. 3 è[8] àññìîò åíû ïå èîäè åñêèå äâèæåíèß áëèçêèõ ê ãàìèëüòîíîâûì ñèñòåìàì ñ îäíîé ñòåïåíü ñâîáîäû ï è åçîíàíñå â âûíóæäåííûõ êîëåáàíèßõ è åçîíàíñå åòâå òîãî ïî ßäêà. Â àáîòå [9] èçó åíû ïå èîäè åñêèå äâèæåíèß íåàâòîíîìíûõ ïå èîäè åñêèõ ïî â åìåíè ãàìèëüòîíîâûõ ñèñòåì ñ äâóìß ñòåïåíßìè ñâîáîäû ï è ïà àìåò è åñêîì åçîíàíñå îñíîâíîãî òèïà. Ñ àâíèòåëüíî íåäàâíî íà àòî èññëåäîâàíèå óñòîé èâîñòè ï è íàëè èè â ñèñòåìå ê àòíûõ åçîíàíñîâ. Âçàèìíîå âëèßíèå íåñêîëüêèõ åçîíàíñîâ îäíîãî ïî ßäêà íà óñòîé èâîñòü ïîëîæåíèß àâíîâåñèß èçó àëîñü äëß ìíîãîìå íûõ àâòîíîìíûõ íåãàìèëüòîíîâûõ [2 23] è ãàìèëüòîíîâûõ [24, 25] ñèñòåì. Ñëó àè äâóê àòíîãî ïà àìåò è åñêîãî åçîíàíñà â áëèçêîé ê àâòîíîìíîé ïå èîäè åñêîé ïî â åìåíè ëèíåéíîé ãàìèëüòîíîâîé ñèñòåìå ñ äâóìß ñòåïåíßìè ñâîáîäû àññìîò åíû â àáîòàõ [26 28]. Äëß êàæäîãî åçîíàíñíîãî ñëó àß ïîñò îåíû îáëàñòè óñòîé èâîñòè è íåóñòîé- èâîñòè. Â êà åñòâå ï èëîæåíèé å åí ßä çàäà äèíàìèêè ñïóòíèêîâ îòíîñèòåëüíî öåíò à ìàññ [28 3]. Â àáîòå [3] äîêàçàíà íåóñòîé èâîñòü ò èâèàëüíîãî ïîëîæåíèß àâíîâåñèß ïå èîäè åñêîé ïî â åìåíè ãàìèëüòîíîâîé ñèñòåìû ñ äâóìß ñòåïåíßìè ñâîáîäû â ñëó àßõ ê àòíûõ åçîíàíñîâ ò åòüåãî ïî ßäêà. Çäåñü æå ï îâåäåí ïîä îáíûé àíàëèç íåëèíåéíûõ êîëåáàíèé ñîîòâåòñòâó ùèõ ï èáëèæåííûõ ìîäåëüíûõ) ñèñòåì, ï è ó åòå â ãàìèëüòîíèàíàõ ñëàãàåìûõ äî ò åòüåãî ïî ßäêà âêë èòåëüíî îòíîñèòåëüíî âîçìóùåíèé. Â ñòàòüå [32] èññëåäóåòñß âçàèìíîå âëèßíèå ñëàáîãî êîìáèíàöèîííîãî åçîíàíñà ò åòüåãî ïî ßäêà è ñèëüíîãî îñíîâíîãî åçîíàíñà åòâå òîãî ïî ßäêà â çîíå åãî óñòîé èâîñòè) íà äâèæåíèß ãàìèëüòîíîâîé ñèñòåìû ñ äâóìß ñòåïåíßìè ñâîáîäû â îê åñòíîñòè ò èâèàëüíîãî àâíîâåñèß. Íàéäåíà îáëàñòü èçìåíåíèß ïà àìåò îâ çàäà è êî ôôèöèåíòîâ íî ìàëèçîâàííîãî ãàìèëüòîíèàíà), äëß êîòî ûõ âñå äâèæåíèß ìîäåëüíîé ñèñòåìû â îê åñòíîñòè àâíîâåñèß îã àíè åííû. Â àñòíîñòè, â òó îáëàñòü ïîïàäà ò ïà àìåò û çàäà è îá óñòîé èâîñòè ò åóãîëüíûõ òî åê ëèá àöèè ïëîñêîé ëëèïòè åñêîé îã àíè åííîé çàäà è ò åõ òåë â ñëó àå àññìàò èâàåìîãî ê àòíîãî åçîíàíñà [33]. Â äàííîé àáîòå èçó àåòñß áëèçêàß ê àâòîíîìíîé ïå èîäè åñêàß ïî â åìåíè ãàìèëüòîíîâà ñèñòåìà ñ äâóìß ñòåïåíßìè ñâîáîäû â îê åñòíîñòè íåóñòîé èâîãî) ïîëîæåíèß àâíîâåñèß, â ï åäïîëîæåíèè, òî â ñèñòåìå èìå òñß îñíîâíîé è êîìáèíàöèîííûé ñèëüíûé èëè ñëàáûé) åçîíàíñû ò åòüåãî ïî ßäêà. Ðå àåòñß çàäà à î ñóùåñòâîâàíèè, èñëå è óñòîé èâîñòè â ëèíåéíîì ï èáëèæåíèè) ïå èîäè åñêèõ äâèæåíèé ñèñòåìû. Â àñòíîñòè, îï åäåëß òñß îáëàñòè ïà àìåò îâ, äëß êîòî ûõ â äîñòàòî íî ìàëîé îê åñòíîñòè àâíîâåñèß èìå òñß óñòîé èâûå ïå èîäè åñêèå å åíèß..ïîñòàíîâêà çàäà è Ðàññìîò èì äâèæåíèß íåàâòîíîìíîé, 2π-ïå èîäè åñêîé ïî â åìåíè ãàìèëüòîíîâîé ñèñòåìû ñ äâóìß ñòåïåíßìè ñâîáîäû, îïèñûâàåìîé ôóíêöèåé Ãàìèëüòîíà Hq j,p j,t; ε). Çäåñü q j è p j j =, 2) μ îáîáùåííûå êîî äèíàòû è êàíîíè åñêè ñîï ßæåííûå ñ íèìè èìïóëüñû, t μ â åìß, ε μ ìàëûé ïà àìåò <ε ). Ï åäïîëàãàåòñß, òî ï è ε =ãàìèëüòîíèàí ñèñòåìû íå ñîäå æèò â åìåíè, ò. å. ñèñòåìà áëèçêà ê àâòîíîìíîé. Ïóñòü íà àëî êîî äèíàò q j =, p j =ôàçîâîãî ï îñò àíñòâà μ ïîëîæåíèå àâíîâåñèß àññìàò èâàåìîé ñèñòåìû, â îê åñòíîñòè êîòî îãî ãàìèëüòîíàí H àíàëèòè åí. Ïóñòü òî ïîëîæåíèå àâíîâåñèß óñòîé èâî â ëèíåéíîì ï èáëèæåíèè, è ñîîòâåòñòâó ùàß ëèíåà èçîâàííàß ñèñòåìà ó àâíåíèé âîçìóùåííîãî äâèæåíèß èìååò èñòî ìíèìûå õà àêòå èñòè åñêèå ïîêàçàòåëè ±iλ j. Áóäåì ñ èòàòü, òî âåëè èíû λ j, 2λ j è λ ± λ 2 íå ßâëß òñß öåëûìè èñëàìè â ñèñòåìå íåò åçîíàíñîâ ïå âîãî è âòî îãî ïî ßäêîâ). Òîãäà âûáî îì âåëè èí q j è p j j =, 2) ìîæíî äîáèòüñß òîãî, òîáû â îê åñòíîñòè àññìàò èâàåìîãî àâíîâåñèß ãàìèëüòîíèàí ï åäñòàâëßëñß â âèäå Hq j,p j,t; ε) = 2 λ q 2 + p2 )+ 2 σλ 2q2 2 + p2 2 )+H 3q j,p j,t; ε)+h 4 q j,p j,t; ε)+o 5,.) H k q j,p j,t; ε) =H ) k q j,p j )+εh ) k q j,p j,t)+oε 2 ) k =3, 4),

4 42 À. È. Ñàôîíîâ, Î. Â. Õîëîñòîâà ÌÅÕÀÍÈÊÀ 26. Ò. 26. Âûï. 3 ãäå âåëè èíà σ ï èíèìàåò çíà åíèå èëè, H k μ ñîâîêóïíîñòè ñëàãàåìûõ k-é ñòåïåíè, à O 5 μ íå ìåíåå ïßòîé ñòåïåíè, îòíîñèòåëüíî q j è p j j =, 2). Åñëè âåëè èíû λ è λ 2 òàêîâû, òî m λ + m 2 λ 2 = l,.2) ãäå m, m 2, l μ öåëûå èñëà è m + m 2 =3, òî â ñèñòåìå åàëèçóåòñß åçîíàíñ ò åòüåãî ïî ßäêà. Ñëåäóß òå ìèíîëîãèè àáîò [5, 35] è ñòàòüè [3], áóäåì íàçûâàòü åçîíàíñ îñíîâíûì, åñëè â åçîíàíñíîì ñîîòíî åíèè.2) ï èñóòñòâóåò òîëüêî îäíà èç âåëè èí λ j j =, 2), èêîìáèíàöèîííûì, åñëè â.2) èìå òñß îáå âåëè èíû λ è λ 2. Ê îìå òîãî, íàçîâåì åçîíàíñ ñèëüíûì, åñëè îí ìîæåò ï èâåñòè ê íåóñòîé èâîñòè â ñèñòåìå, è ñëàáûì, åñëè åãî íàëè èå íå ï èâîäèò ê íåóñòîé èâîñòè. Â äàííîé àáîòå áóäåì ñ èòàòü, òî âåëè èíû λ è λ 2 çàäà òñß îäíèì èç íàáî îâ k, k 2 μ öåëûå èñëà) [3] λ = k + 3, λ 2 = k , λ = k + 2 3, λ 2 = k 2 + 6,.3) λ = k + 3, λ 2 = k 2 + 6, λ = k + 2 3, λ 2 = k ) Òîãäà êîìáèíàöèè 3λ, λ +2λ 2 è 3λ, λ 2λ 2 â ñëó àßõ.3) è.4) ñîîòâåòñòâåííî ßâëß òñß öåëûìè, è â ñèñòåìå åàëèçóåòñß äâîéíîé îñíîâíîé è êîìáèíàöèîííûé) åçîíàíñ ò åòüåãî ïî ßäêà. Îòìåòèì, òî â ñëó àßõ.3)è.4) öåëûìè ßâëß òñß òàêæå âåëè èíû 2λ 2λ 2 è 2λ +2λ 2 ñîîòâåòñòâåííî, òî îçíà àåò íàëè èå êîìáèíàöèîííîãî åçîíàíñà åòâå òîãî ïî ßäêà. Ðàíåå â àáîòå [3] áûëî ïîêàçàíî, òî äëß óêàçàííûõ ñëó àåâ äâîéíîãî åçîíàíñà ò åòüåãî ïî ßäêà ò èâèàëüíîå ïîëîæåíèå àâíîâåñèß ñèñòåìû íåóñòîé èâî ï è ë áîì ñîîòíî åíèè ìåæäó åçîíàíñíûìè êî ôôèöèåíòàìè. Öåëü äàííîé àáîòû μ å åíèå âîï îñà î ñóùåñòâîâàíèè â ε-îê åñòíîñòè íåóñòîé èâîãî ò èâèàëüíîãî àâíîâåñèß ñèñòåìû) ïå èîäè åñêèõ äâèæåíèé, èõ èñëå è óñòîé èâîñòè â ëèíåéíîì ï èáëèæåíèè). Â àñòíîñòè, áóäóò íàéäåíû óñëîâèß, ï è êîòî ûõ â ñèñòåìå èìå òñß óñòîé èâûå ïå èîäè åñêèå äâèæåíèß. Èññëåäîâàíèå ñîñòîèò èç ò åõ òàïîâ. Íà ïå âîì òàïå ãàìèëüòîíèàí ñèñòåìû ï è ïîìîùè ßäà êàíîíè åñêèõ ï åîá àçîâàíèé áóäåò ï èâåäåí ê âèäó, ãëàâíàß ìîäåëüíàß) àñòü êîòî îãî õà àêòå íà äëß àññìàò èâàåìûõ åçîíàíñíûõ ñëó àåâ. Äàëåå áóäåò ï îâåäåíî ïîä îáíîå èññëåäîâàíèå ñóùåñòâîâàíèß è óñòîé èâîñòè â ëèíåéíîì ï èáëèæåíèè) ïîëîæåíèé àâíîâåñèß ñîîòâåòñòâó ùèõ ìîäåëüíûõ ñèñòåì. Íàêîíåö, ï è ïîìîùè ìåòîäà ìàëîãî ïà àìåò à Ïóàíêà å áóäóò ïîñò îåíû ïå èîäè åñêèå ñ ïå èîäîì 2π) å åíèß ïîëíîé ñèñòåìû è ñäåëàíû âûâîäû îá èõ óñòîé èâîñòè â ëèíåéíîì ï èáëèæåíèè) èëè íåóñòîé èâîñòè. 2. Ï åîá àçîâàíèå ãàìèëüòîíèàíà. Ìîäåëüíûå ãàìèëüòîíèàíû Îñóùåñòâèì â ãàìèëüòîíèàíå.) ßä êàíîíè åñêèõ çàìåí ïå åìåííûõ, óï îùà ùèõ åãî ñò óêòó ó. Ñíà àëà àññìîò èì àâòîíîìíó àñòü ãàìèëüòîíèàíà è ñäåëàåì áëèçêó ê òîæäåñòâåííîé çàìåíó ïå åìåííûõ q j,p j q j, p j j =, 2), óíè òîæà ùó ôî ìó H ) 3 q j,p j ) ò åòüåé ñòåïåíè è íî ìàëèçó ùó ôî ìó H ) 4 q j,p j ) åòâå òîé ñòåïåíè. Â ïîëß íûõ êîî äèíàòàõ ϕ j, r j, çàäàâàåìûõ ôî ìóëàìè q j = 2r j sin ϕ j, p j = 2r j cos ϕ i j =, 2), ï åîá àçîâàííûé ãàìèëüòîíèàí çàïè åòñß â âèäå Hϕ j,r j,t)=λ r +σλ 2 r 2 +c 2 r 2 +c r r 2 +c 2 r 2 2 +ε ) H 3 ϕ ) j,r j,t)+ε H 4 ϕ j,r j,t)+o 5/2. 2.) Çäåñü O 5/2 μ ñîâîêóïíîñòè ñëàãàåìûõ íå ìåíåå ïßòîé ñòåïåíè îòíîñèòåëüíî r /2 j j =, 2), èìå ùèõ ïî óãëîâûì êîî äèíàòàì ϕ j è â åìåíè t ïå èîä 2π. Ïóñòü â ñèñòåìå åàëèçóåòñß ñëó àé.3). Ï è ïîìîùè áëèçêîé ê òîæäåñòâåííîé 2π-ïå- èîäè íîé ïî â åìåíè êàíîíè åñêîé çàìåíû ïå åìåííûõ óíè òîæèì â ôî ìàõ H ) k ϕ j,r j,t)

5 Î ïå èîäè åñêèõ äâèæåíèßõ ãàìèëüòîíîâîé ñèñòåìû 42 ÌÅÕÀÍÈÊÀ 26. Ò. 26. Âûï. 3 ñëàãàåìûå ñ íå åçîíàíñíûìè ãà ìîíèêàìè è ï èâåäåì ãàìèëüòîíèàí ê âèäóçà ïå åìåííûìè îñòàâëßåì ï åæíèå îáîçíà åíèß) { Ĥ = λ r + σλ 2 r 2 + c 2 r 2 + c r r 2 + c 2 r2 2 + ε ar 3/2 cos[3ϕ 3λ t +3ϕ ]+ + br /2 r 2 cos[ϕ +2σϕ 2 λ +2λ 2 )t + ϕ +2σϕ 2] + + εdr r 2 cos[2ϕ 2σϕ 2 2λ +2λ 2 )t +2ϕ ]+O 5/2, 2.2) ãäå a, b, d, c kl, ϕ j, ϕ μêîíñòàíòû. Ïå åéäåì â ε-îê åñòíîñòü íà àëà êîî äèíàò, äåëàß â 2.2) êàíîíè åñêó çàìåíó ïå åìåííûõ ñ âàëåíòíîñòü ε 2 ) r j = ε 2 R j, ϕ j =Φ j, j =, 2). Îñóùåñòâèì çàòåì çàìåíó ïå åìåííûõ Φ j, R j Φ j, Rj j =, 2) ïî ôî ìóëàì R j = R j, Φ =Φ + ϕ λ t, Φ2 =Φ 2 + ϕ 2 σλ 2 t. 2.3) Ýòî óíèâàëåíòíîå êàíîíè åñêîå ï åîá àçîâàíèå, çàäàâàåìîå ï îèçâîäßùåé ôóíêöèåé S =Φ + ϕ λ t) R +Φ 2 + ϕ 2 σλ 2t) R 2. Â åçóëüòàòå çàìåíû 2.3) ëèíåéíàß ïî R j j =, 2) àñòü ãàìèëüòîíèàíà óíè òîæèòñß, â ñëàãàåìûõ ñ åçîíàíñíûìè ãà ìîíèêàìè ò åòüåãî è åòâå òîãî ïî ßäêà ïî R /2 j ) èñ åçàåò â åìß, è ãàìèëüòîíèàí 2.2) ï åîá àçóåòñß ê âèäó [ H = ε 2 3/2 /2 a R cos 3 Φ + b R R 2 cos Φ +2σ Φ ] 2 )+c 2 R 2 + c R R 2 + c 2 R2 2 + Oε 3 ). 2.4) Ñëàãàåìîå O 5/2 â 2.4) àíàëèòè íî ïî ïå åìåííûì Φ j, R /2 j j =, 2) è t, ïå èîäè íî ïî Φ j ñ ïå èîäîì 2π èïît ñ ïå èîäîì 2π. Ïå èîä 2π ïîëó åí êàê íàèìåíü åå îáùåå ê àòíîå èñåë 2π è 2π/λ j j =, 2), ñì. ñîîòíî åíèß 2.3),.3),.4). Çàìåòèì, òî êî ôôèöèåíòû c, a è b â 2.4) ìîæíî ñ èòàòü ïîëîæèòåëüíûìè. Äåéñòâèòåëüíî, åñëè c <, òîêàíîíè åñêàß çàìåíà Φ j Φ j ñ âàëåíòíîñòü ) ìåíßåò çíàê c. Äàëåå ïóòåì ñäâèãà ïî óãëîâûì ïå åìåííûì ìîæíî äîáèòüñß ïîëîæèòåëüíîñòè åçîíàíñíûõ êî ôôèöèåíòîâ a è b. Ñäåëàåì åùå îäíóêàíîíè åñêó çàìåíó ïå åìåííûõ ñ âàëåíòíîñòü ξ ) âèäà } R j = ξ ˆR j, Φj = ˆΦ j j =, 2), ξ = b2 c 2 2.5) è ââåäåì íîâó íåçàâèñèìó ïå åìåííó τ ïî ôî ìóëå τ =ε 2 b 2 /c ) t. Ï åîá àçîâàííûé ãàìèëüòîíèàí ï èíèìàåò âèä 3/2 ˆΓ = ˆR cos 3ˆΦ + ˆR /2 ˆR 2 cosˆφ +2σ ˆΦ 2 )+γ 2 ˆR2 + ˆR ˆR2 + ˆR2 2 + Oε), 2.6) = a b, γ 2 = c 2 c, = c 2 c. Â ñëó àå.4) ï åîá àçîâàíèå ãàìèëüòîíèàíà 2.) ï îâîäèòñß àíàëîãè íûì îá àçîì; â åçóëüòàòå ïîëó àåòñß ãàìèëüòîíèàí âèäà 2.6), â êîòî îì íàäî ïîìåíßòü íà ï îòèâîïîëîæíûé çíàê ï è σ. Ïîëàãàß â ïîëó åííûõ ãàìèëüòîíèàíàõ σ = è σ =, ïîëó èì äâà ãàìèëüòîíèàíà, õà àêòå íûõ äëß àññìàò èâàåìûõ ñëó àåâ äâîéíîãî åçîíàíñà ò åòüåãî ïî ßäêà çíàêè ˆ íàä ïå åìåííûìè îïóñêàåì): Γ = R 3/2 cos 3Φ + R /2 R 2 cosφ +2Φ 2 )+γ 2 R 2 + R R 2 + R2 2 + Oε), 2.7) Γ 2 = R 3/2 cos 3Φ + R /2 R 2 cosφ 2Φ 2 )+γ 2 R 2 + R R 2 + R2 2 + Oε). 2.8)

6 422 À. È. Ñàôîíîâ, Î. Â. Õîëîñòîâà ÌÅÕÀÍÈÊÀ 26. Ò. 26. Âûï. 3 Ãàìèëüòîíèàí 2.7) îòâå àåò ñëó à äâóõ ñèëüíûõ îñíîâíîãî è êîìáèíàöèîííîãî) åçîíàíñîâ ò åòüåãî ïî ßäêà, à ãàìèëüòîíèàí 2.8) μ ñëó à ñèëüíîãî îñíîâíîãî è ñëàáîãî êîìáèíàöèîííîãî åçîíàíñîâ. Ýòè ãàìèëüòîíèàíû çàâèñßò îò ò åõ ïà àìåò îâ, γ 2 è.ðåçîíàíñíûé êî ôôèöèåíò â 2.7) è 2.8) ñ èòàåì ïîëîæèòåëüíûì, êî ôôèöèåíòû γ 2 è â ëåíàõ åòâå òîé ñòåïåíè îòíîñèòåëüíî R /2 j ìîãóò ï èíèìàòü çíà åíèß ë áîãî çíàêà. 3.Ïîëîæåíèß àâíîâåñèß ìîäåëüíûõ ñèñòåì Îòá àñûâàß â 2.7) è 2.8) ñëàãàåìûå Oε), ïîëó àåì ï èáëèæåííûå ìîäåëüíûå) ãàìèëüòîíèàíû: Γ = R 3/2 cos 3Φ + R /2 R 2 cosφ +2Φ 2 )+γ 2 R 2 + R R 2 + R 2 2, 3.) Γ 2 = R 3/2 cos 3Φ + R /2 R 2 cosφ 2Φ 2 )+γ 2 R 2 + R R 2 + R ) Äëß äàëüíåé åãî èññëåäîâàíèß óäîáíî ââåñòè îáîçíà åíèß Ψ =3Φ, Ψ 2 =Φ ± 2Φ ) Ï èáëèæåííûå ñèñòåìû ó àâíåíèé, îïèñûâà ùèå èçìåíåíèß ïå åìåííûõ Ψ j, R j j =, 2), èìå ò âèä dψ dˆτ = 9 2 R/2 dψ 2 dˆτ = R/2 R 2 cos Ψ R /2 3 2 cos Ψ ± 2cosΨ 2 cos Ψ 2 +6γ 2 R +3R 2, ) + 2 dr dˆτ = R/2 3R sin Ψ + R 2 sin Ψ 2 ), dr 2 dˆτ = ±2R/2 R 2 sin Ψ 2, R 2 R /2 2 cos Ψ 2 +2γ 2 ± )R +± 4 )R 2, ãäå âå õíèé è íèæíèé çíàêè ñîîòâåòñòâó ò ãàìèëüòîíèàíó 3.) è3.2). Íàéäåì ïîëîæåíèß àâíîâåñèß ìîäåëüíûõ ñèñòåì. Ï è àâíßâ íóë ï àâûå àñòè ñèñòåì 3.4), ïîëó èì, òî, ê îìå íåóñòîé èâîãî) ò èâèàëüíîãî ïîëîæåíèß àâíîâåñèß, èìå òñß ïîëîæåíèß àâíîâåñèß, äëß êîòî ûõ R 2, à àâíîâåñíûå çíà åíèß âåëè èí Ψ è R îïèñûâà òñß ñîîòíî åíèßìè 3 sin Ψ =, 2 δ +2γ 2 R /2 = δ =cosψ = ±, δ γ 2 < ). Ýòîò ñëó àé ñâîäèòñß ê ñèñòåìå ñ îäíîé ñòåïåíü ñâîáîäû ï è íàëè èè åçîíàíñà ò åòüåãî ïî ßäêà [2, 36], â àìêàõ òîé ñèñòåìû óêàçàííûå ïîëîæåíèß àâíîâåñèß óñòîé èâû. Íàéäåì ïîëîæåíèß àâíîâåñèß ìîäåëüíûõ ñèñòåì, îòëè íûå îò îïèñàííûõ. Äëß îáåèõ ñèñòåì äîëæíû âûïîëíßòüñß óñëîâèß sin Ψ j =, j =, 2, à àâíîâåñíûå çíà åíèß âåëè èí R è R 2 çàäà òñß ñèñòåìîé äâóõ àëãåá àè åñêèõ ó àâíåíèé 3 2 R/2 δ + 2 R 2 R /2 δ 2 +2γ 2 R + R 2 =, δ 2 R /2 + R +2 R 2 =, ãäå ââåäåíû îáîçíà åíèß δ j =cosψ j, δ j = ±,j =, 2). Ï è ïîìîùè âòî îãî ó àâíåíèß ñèñòåìû 3.5) èñêë àåì R 2 èç ïå âîãî ó àâíåíèß è ïå åïè åì ñèñòåìóâ âèäå 3.4) 3.5) 24g )R +32δ δ 2 )R /2 =, g = γ 2, 3.6) R 2 = δ 2 + R /2. 3.7)

7 Î ïå èîäè åñêèõ äâèæåíèßõ ãàìèëüòîíîâîé ñèñòåìû 423 ÌÅÕÀÍÈÊÀ 26. Ò. 26. Âûï. 3 Ó àâíåíèå 3.6) ßâëßåòñß êâàä àòíûì îòíîñèòåëüíî R /2. Íåîáõîäèìî íàéòè óñëîâèß, ï è êîòî ûõ îíî èìååò íåîò èöàòåëüíûå âåùåñòâåííûå êî íè. Ê îìå òîãî, íàéäåííûå êî íè äîëæíû îáåñïå èâàòü íåîò èöàòåëüíîñòü âåëè èíû R 2 èç 3.7). Ïîñëåäíåå óñëîâèå äàåò ñëåäó ùèå îã àíè åíèß íà ïà àìåò û çàäà è è âåëè èíó R : >, δ 2 = : R < ; <, δ 2 =: R > ; <, δ 2 = : R >. 3.8) Ï è >, δ 2 =âåëè èíà R 2 èç 3.7) îò èöàòåëüíà, è íå àâåíñòâî R 2 > å åíèß íå èìååò. Ðàññìîò èì ó àâíåíèå 3.6). Åãî äèñê èìèíàíò èìååò âèä êâàä àòíîãî ò åõ ëåíà ïî : êîòî ûé, â ñâî î å åäü, èìååò äèñê èìèíàíò, àâíûé D =36γ δ δ 2 +32g +, 3.9) D = 52γ2 2 4g). Íàéäåì óñëîâèß, ï è êîòî ûõ äèñê èìèíàíò D ïîëîæèòåëåí. Åñëè D <, ò.å. g >, òî, â ñèëó ïîëîæèòåëüíîñòè ñòà åãî êî ôôèöèåíòà â 3.9), 4 âåëè èíà D ïîëîæèòåëüíà ï è âñåõ çíà åíèßõ. Ïóñòü D, ò.å. g,òîãäà êâàä àòíûé ò åõ ëåí D èìååò äâà âåùåñòâåííûõ êî íß 4,2 = 3δ δ 2 ± 2 2γ2 2 4g), > 2. 6γ 2 2 Àíàëèçè óß àñïîëîæåíèß òèõ êî íåé îòíîñèòåëüíî íóëß ñ ó åòîì óñëîâèß >, íàéäåì îáëàñòè çíà åíèé ïà àìåò îâ g, è, âêîòî ûõ âûïîëíåíî íå àâåíñòâî D>. Ýòè îáëàñòè ï åäñòàâëåíû â òàáëèöå. Òàáëèöà. Ðå åíèå íà àâåíñòâà D> g ) δ,δ 2 ) 4, δ,δ 2 ) 32, ) 4, ) 32 > < > <, ), ), ), ), ), ), ), ) > << 2, > δ,δ 2 ) > Â íàéäåííûõ îáëàñòßõ áûëè ï îâå åíû óñëîâèß ïîëîæèòåëüíîñòè êî íåé R /2 ó àâíåíèß 3.6) èóñëîâèß 3.8). Ï è òîì àñòü å åíèé áûëà îòá î åíà, à íà ïà àìåò â ßäå ñëó àåâ ïîëó åíû äîïîëíèòåëüíûå îã àíè åíèß. Â ï îñò àíñòâå ïà àìåò îâ g, è âûßâëåíû îáëàñòè ñ àçëè íûì èñëîì îò íóëß äî äâóõ) äåéñòâèòåëüíûõ ïîëîæèòåëüíûõ å åíèé ñèñòåìû 3.5), óäîâëåòâî ß ùèõ óñëîâèßì 3.8); òè îáëàñòè îïèñàíû â òàáëèöå 2.

8 424 À. È. Ñàôîíîâ, Î. Â. Õîëîñòîâà ÌÅÕÀÍÈÊÀ 26. Ò. 26. Âûï. 3 Òàáëèöà 2. Ïîëîæåíèß àâíîâåñèß g < > êî åíü R + ) : êî åíü R + : 4,, ), >;, ), >;, ), >;, ), << ; 8, ) 4, ) 8 ) 32,, ) 32, ), > ; êî åíü R :, ), >; P 3 :, ), << pm ; P 4 :, ), mp êî åíü R + :, ), << pm, ), mp êî åíü R :, ), >; P 5 :, ), << ; P 4 :, ), mp êî åíü R + :, ), mp êî åíü R :, ), > ; P 4 :, ), mp êî åíü R + :, ), mp êî åíü R :, ), > ; P 4 :, ), mp êî åíü R + :, ), mp ; êî åíü R + :, ), >;, ), << ; êî åíü R + :, ), >;, ), êî åíü R :, ), << mm << mm êî åíü R + :, ), > ;, ), << mm, ), << ; êî åíü R :, ), << mm P :, ), << ; êî åíü R + :, ), > ; P 2 :, ), pm << ; êî åíü R :, ), pm << Äåéñòâèòåëüíàß îñü çíà åíèé ïà àìåò à g àçäåëåíà íà ïßòü èíòå âàëîâ ïå âûé ñòîëáåö òàáëèöû), îñü ïà àìåò à μ íà äâà èíòå âàëà < è > âòî îé è ò åòèé ñòîëáöû). Äëß êàæäîé îáëàñòè èçìåíåíèß ïà àìåò îâ g è óêàçàíû âîçìîæíûå ïà û èñåë δ,δ 2 ) è îòâå à ùèé èì äèàïàçîí èçìåíåíèß ïà àìåò à, â êîòî îì ñóùåñòâó ò àâíîâåñíûå òî êè. Äëß ã àíè íûõ çíà åíèé ââåäåíû îáîçíà åíèß pp j = j δ =,δ 2 =, pm j = j δ =,δ 2 =, mp j = j δ =,δ 2 =, mm j = j δ =,δ 2 =, = 4 3 γ 2 j =, 2). Â ß åéêàõ òàáëèöû óêàçàíû îäíî èëè äâà ñîîòâåòñòâó ùèõ àññìàò èâàåìîìó ñëó à àâíîâåñíûõ çíà åíèß R = R ±, çàäàâàåìûõ àâåíñòâàìè R ± = 32δ δ 2 ) ± ) 2 D, 3.) 4 4g) ãäå D μ äèñê èìèíàíò 3.9). Êàæäîìóçíà åíè R + èëè R îòâå àåò åäèíñòâåííîå àâíîâåñíîå çíà åíèå R 2 = R 2, âû èñëßåìîå ïî ôî ìóëå 3.7).

9 Î ïå èîäè åñêèõ äâèæåíèßõ ãàìèëüòîíîâîé ñèñòåìû 425 ÌÅÕÀÍÈÊÀ 26. Ò. 26. Âûï. 3 Äëß çíà åíèé ïà àìåò îâ, íå óêàçàííûõ â òàáëèöå 2, ïîëîæåíèß àâíîâåñèß àññìàò èâàåìîãî âèäà îòñóòñòâó ò. Â ñëåäó ùèõ àçäåëàõ áóäåò ï îâåäåíî èññëåäîâàíèå óñòîé èâîñòè íàéäåííûõ ïîëîæåíèé àâíîâåñèß. 4.Äîñòàòî íûå óñëîâèß óñòîé èâîñòè ïîëîæåíèé àâíîâåñèß Ââåäåì âîçìóùåíèß êîî äèíàò è èìïóëüñîâ ìîäåëüíûõ ñèñòåì ñ ãàìèëüòîíèàíàìè 3.) è 3.2) ïîôî ìóëàì Φ =Φ + x, Φ 2 =Φ 2 + x 2, R = R + y, R 2 = R 2 + y 2, ï è åì àâíîâåñíûå çíà åíèß Φ j j =, 2) âû èñëß òñß, ñ ó åòîì ñîîòíî åíèé 3.3), ïî ôî ìóëàì Φ = Ψ 3, Φ 2 = Ψ 2 Ψ ), Ψ j = arccos δ j. 2 3 Êâàä àòè íàß àñòü ãàìèëüòîíèàíîâ âîçìóùåííîãî äâèæåíèß èìååò âèä: Γ,2 = 9 2 R3/2 δ ) 2 R/2 R 2δ 2 x 2 ± 2R /2 R 2δ 2 x x 2 2R /2 R 2δ 2 x R /2 δ ) 8 R 2R 3/2 δ 2 y ) 2 R /2 δ 2 y y 2 + y2 2, 4.) ãäå âå õíèé è íèæíèé çíàê ñîîòâåòñòâó ò 3.) è3.2). Äîñòàòî íûå óñëîâèß óñòîé èâîñòè ïîëîæåíèé àâíîâåñèß áóäåì àññìàò èâàòü êàê óñëîâèß çíàêîîï åäåëåííîñòè êâàä àòè íûõ ôî ì Γ,2, ï îâå ßåìûå ï è ïîìîùè ê èòå èß Ñèëüâåñò à. Íåñëîæíûé àíàëèç ïîêàçûâàåò, òî äëß îáåèõ ñèñòåì óñëîâèß ïîëîæèòåëüíîé îï åäåëåííîñòè ôî ì 4.) ñâîäßòñß ê ñîîòíî åíèßì >, δ = δ 2 =, à óñëîâèß îò èöàòåëüíîé îï åäåëåííîñòè μ ê ñîîòíî åíèßì <, δ = δ 2 =. Â òàáëèöå 2 èìå òñß åòû å àâíîâåñíûå òî êè, óäîâëåòâî ß ùèå ï èâåäåííûì óñëîâèßì. Ñîîòâåòñòâó ùèå èì ñò î êè â ß åéêàõ âòî îãî è ò åòüåãî ñòîëáöàõ âûäåëåíû â òàáëèöå 2 æè íûì èôòîì è çàêë åíû â äâîéíûå àìêè. 5. Íåîáõîäèìûå óñëîâèß ïîëîæåíèé àâíîâåñèß Äëß îñòàëüíûõ àâíîâåñíûõ òî åê êâàä àòè íûå ôî ìû Γ,2 íå ßâëß òñß çíàêîîï åäåëåííûìè. Äëß å åíèß âîï îñà îá èõ óñòîé èâîñòè àññìîò èì õà àêòå èñòè åñêîå ó àâíåíèå ëèíåà èçîâàííîé ñèñòåìû ó àâíåíèé âîçìóùåííîãî äâèæåíèß, èìå ùåå âèä Åñëè âûïîëíåíû óñëîâèß λ 4 + pλ 2 + q =. 5.) p>, q >, D = p 2 4q >, 5.2) òî êî íè ó àâíåíèß 5.) èñòî ìíèìûå, è èññëåäóåìîå ïîëîæåíèå àâíîâåñèß óñòîé èâî â ëèíåéíîì ï èáëèæåíèè. Íå àâåíñòâà 5.2) ñîñòàâëß ò íåîáõîäèìûå óñëîâèß óñòîé èâîñòè. Åñëè äëß àññìàò èâàåìîãî ïîëîæåíèß àâíîâåñèß õîòß áû îäíî èç òèõ íå àâåíñòâ âûïîëíßåòñß

10 426 À. È. Ñàôîíîâ, Î. Â. Õîëîñòîâà ÌÅÕÀÍÈÊÀ 26. Ò. 26. Âûï. 3 ñ ï îòèâîïîëîæíûì çíàêîì, òî õà àêòå èñòè åñêîå ó àâíåíèå èìååò êî íè ñ ïîëîæèòåëüíîé âåùåñòâåííîé àñòü, è ïî òåî åìå Ëßïóíîâà îá óñòîé èâîñòè ïî ïå âîìóï èáëèæåíè äàííîå ïîëîæåíèå àâíîâåñèß íåóñòîé èâî, ï è åì íå òîëüêî â ëèíåéíîì ï èáëèæåíèè, íî è â ïîëíîé íåëèíåéíîé çàäà å. Äëß îáîèõ ãàìèëüòîíèàíîâ êî ôôèöèåíòû ó àâíåíèß 5.) èìå ò âèä: p = 28 4g ) 3 γ2 2 ±ˆp D + p ), q = ±9δ δ 2 R 3/2 R 2 D, 5.3) ãäå D μ äèñê èìèíàíò 3.9), âå õíèé è íèæíèé çíàêè ñîîòâåòñòâó ò âå õíåìó è íèæíåìó çíàêàì âåëè èíû R ± èç ôî ìóëû 3.). Âåëè èíû ˆp è p â âû àæåíèè äëß p èç 5.3) àâíû ) ) ˆp = ±648γ2δ 3 +4g 3 36δ 2 γ2 2 32γ2 2 ± g 2 ± ) ± 6δ 32g γ2 2 ± )g ± γ2 2 ) δ ± 8 )g γ2 2 ± 2 3)g ++32γ2 ) ) p = 7776γ2 4 +4g δ 2 γ2 3 δ 2γ2 2 ± +g + 3 ) 44γ2 256g γ2 2 ± )g ± γ ) + 92δ δ 2 82 ± 4 )g 2 +43± 2 +36γ2)g ± 5) 372g 3 24 ± ) ± 8 )g γ )g +2+64γ 2 2, ï è åì âå õíèé è íèæíèé çíàê ñîîòâåòñòâóåò ãàìèëüòîíèàíàì Γ è Γ 2 èç 4.). Âñå ïîëó åííûå âû å äîñòàòî íûå óñëîâèß óñòîé èâîñòè ïîëîæåíèé àâíîâåñèß ßâëß òñß òàêæå è íåîáõîäèìûìè óñëîâèßìè. Íàéäåì ñëó àè, êîãäà âûïîëíåíû òîëüêî íåîáõîäèìûå óñëîâèß óñòîé èâîñòè, à òàêæå óñëîâèß íåóñòîé èâîñòè. Óñëîâè q > ñîîòâåòñòâó ò ïßòü ïîëîæåíèé àâíîâåñèß, îáîçíà èì èõ å åç P i i = =,...,5); â òàáëèöå 2 ñîîòâåòñòâó ùèå èì ñò î êè çàêë åíû â àìêè. Íèæå äëß êàæäîé àâíîâåñíîé òî êè P i i =,...,5) áóäóò ï îàíàëèçè îâàíû ïå âîå è ò åòüå óñëîâèß èç 5.3). Ðàñï åäåëåíèå òî åê P i i =,...,5) â ïëîñêîñòè ïà àìåò îâ g è ïîêàçàíî íà èñóíêå. Äëß êàæäîé òî êè óñëîâèå q > åàëèçóåòñß äëß çíà åíèé ïà àìåò à, óêàçàííûõ âòàáëèöå 2. g P 3 P 5 P 4 P P 4 32 P P 2 Ðèñ.. Ðàñïîëîæåíèå ïîëîæåíèé àâíîâåñèß, óäîâëåòâî ß ùèõ óñëîâè q> Äëß îñòàëüíûõ ïîëîæåíèé àâíîâåñèß íå çàêë åííûõ â àìêè è íå âûäåëåííûõ æè íûì èôòîì â òàáëèöå 2) âûïîëíßåòñß óñëîâèå q<, è èìååò ìåñòî íåóñòîé èâîñòü.

11 Î ïå èîäè åñêèõ äâèæåíèßõ ãàìèëüòîíîâîé ñèñòåìû 427 ÌÅÕÀÍÈÊÀ 26. Ò. 26. Âûï. 3 Îòìåòèì, òî ñäåëàííûå âûâîäû âå íû äëß ãàìèëüòîíèàíîâ îáîèõ òèïîâ, òàê êàê ñâîáîäíûé ëåí q â õà àêòå èñòè åñêîì ó àâíåíèè äëß íèõ îäèíàêîâ. 5.. Íåîáõîäèìûå óñëîâèß óñòîé èâîñòè àâíîâåñíûõ òî åê P i i =,...,5). Ï îäîëæèì èññëåäîâàíèå óñòîé èâîñòè òî åê P i i =,...,5). Áóäåì ï îâîäèòü åãî ïî ñëåäó ùåé ñõåìå. Ñíà àëà â ò åõìå íîì ï îñò àíñòâå ïà àìåò îâ èùåì ñëó àè ïå åñå åíèß ïîâå õíîñòåé p =è D =ñ âå õíåé è íèæíåé ã àíèöàìè =,g), îï åäåëåííûìè â òàáëèöå 2. Èç ïîñëåäó ùåãî àíàëèçà ñëåäóåò, òî óêàçàííûå ïå åñå åíèß èìå òñß òîëüêî íà òåõ ã àíèöàõ, íà êîòî ûõ âûïîëíåíî àâåíñòâî q =, à çíà èò, íà íèõ óñëîâèß p =è D =âûïîëíß òñß îäíîâ åìåííî. Ãåîìåò è åñêîå ìåñòî òî åê ïå åñå åíèß ñò îèì â âèäå ê èâûõ â ïëîñêîñòè ïà- àìåò îâ, g. Âûäåëßåì êà åñòâåííî àçëè íûå ñëó àè, äëß êàæäîãî èç íèõ àññìàò èâàåì ñå åíèß ï îñò àíñòâà ïà àìåò îâ ïëîñêîñòßìè g =const. Â ñå åíèßõ, â ïëîñêîñòè ïà àìåò- îâ,, èñëåííî è àíàëèòè åñêè ñò îèì ã àíè íûå ê èâûå èññëåäóåìîé îáëàñòè, àòàêæå ê èâûå p =è D =. Ýòè ê èâûå àçáèâà ò îáëàñòü íà íåñêîëüêî ïîäîáëàñòåé, â êàæäîé èç êîòî ûõ çíàêè âåëè èí p è D ñîõ àíß òñß. Â ïîäîáëàñòßõ, äëß êîòî ûõ âûïîëíåíû óñëîâèß p> è D >, èññëåäóåìûå àâíîâåñíûå òî êè óñòîé èâû â ëèíåéíîì ï èáëèæåíèè, â îñòàëüíûõ ïîäîáëàñòßõ íåóñòîé èâû. Òî êè P. Äëß òî åê P ñèñòåì ïå âîãî è âòî îãî òèïà ïå åñå åíèé ïîâå õíîñòåé p =è D =ñâå õíåé ã àíèöåé = èññëåäóåìîé îáëàñòè íåò. Ãåîìåò è åñêîå ìåñòî òî åê ïå åñå- åíèß ïîâå õíîñòåé p =è D =ñ ã àíèöåé =ñîâïàäà ò è ï åäñòàâëß ò ñîáîé ê èâûå, ïîêàçàííûå íà èñ. 2, à è èñ. 3, à äëß ñèñòåì ïå âîãî è âòî îãî òèïîâ ñîîòâåòñòâåííî. Íà èñóíêå 2, à âûäåëåíû òî êè A, ), B 5+3 3)/32, 4 3 3)/64 ), C, /36), à îòìå åííûå íà èñóíêå 3, à òî êè òàêîâû: A, /36), B /6, /32), C /4, ), D /6, /36). A g 3 36 C B á) â) 32 à) ) ã) Ðèñ. 2. Òî êà P ñèñòåìû ïå âîãî òèïà. Äëß ñèñòåìû ïå âîãî òèïà àññìàò èâàåì êà åñòâåííî àçëè íûå ñëó àè g /32, /36), g = /36 è g /36, ). Õà àêòå íûé âèä èññëåäóåìûõ ñå åíèé g =constï åäñòàâëåí íà èñóíêàõ 2, á ã ñîîòâåòñòâåííî. Çäåñü è íà ïîñëåäó ùèõ àíàëîãè íûõ èñóíêàõ òîíêèìè ëèíè-

12 428 À. È. Ñàôîíîâ, Î. Â. Õîëîñòîâà ÌÅÕÀÍÈÊÀ 26. Ò. 26. Âûï. 3 ßìè ïîêàçàíû ã àíè íûå ê èâûå èññëåäóåìîé îáëàñòè, ïóíêòè íîé ëèíèåé μ ê èâûå p =è ïîëóæè íîé ëèíèåé μ ê èâûå D =. Îòìåòèì, òî, êàê ïîêàçûâà ò àñ åòû â òîì è âî âñåõ ïîñëåäó ùèõ ñëó àßõ, ê èâûå p =âñåãäà ëåæàò â îáëàñòè, ãäå D < â îáëàñòè íåóñòîé- èâîñòè). Îáëàñòè, â êîòî ûõ âûïîëíåíû íåîáõîäèìûå óñëîâèß óñòîé èâîñòè, íà èñóíêàõ çà ò èõîâàíû. Íà èñóíêàõ 2, á ã âî âñåõ ñå åíèßõ èìååòñß îäíà âåòâü ê èâîé p =è ò è âåòâè ê èâîé D =ñ îäíîé òî êîé ñàìîïå åñå åíèß). Âìåñòå ñ âå õíåé ã àíè íîé ê èâîé èçîá àæåííûå ê èâûå íåîã àíè åííî, ï è è, ï èáëèæà òñß êîñßì êîî äèíàò. Â òî êå g = /36 õà àêòå êà òèíû ñêà êîîá àçíî ìåíßåòñß. Íà èñ. 2, â äâå âåòâè ê èâîé D =è ê èâàß p =èìå ò îáùó òî êó, /3) íà îñè î äèíàò. Äëß ìåíü èõ çíà åíèé ïà àìåò à g îáùàß òî êà ê èâûõ èñ åçàåò, è îíè àñèìïòîòè åñêè ñò åìßòñß ê îñè î äèíàò èñ. 2, á). Äëß á îëü èõ çíà åíèé g â ñêîëü óãîäíî ìàëîé îê åñòíîñòè çíà åíèß g = /36) îáùàß òî êà ê èâûõ ïå åñêàêèâàåò íà îñü èñ. 2, ã). Ýòîò ôàêò ïîäòâå æäàåòñß àíàëèòè- åñêè: â îê åñòíîñòè òî êè =, g = /36, =/3 ñîîòíî åíèß p =è D =ìîãóò áûòü àç å åíû îòíîñèòåëüíî ïà àìåò à è ï åäñòàâëåíû â âèäå = p,g) è = D,g) ñîîòâåòñòâåííî, ãäå 36g + p = f ) + F,g), D = 36g +)2 ˆfγ2 ) + ˆF,g). 5.4) Ï è òîì f), ˆf), F /36, ) = ˆF /36, ) = /3. Èç ïîëó åííûõ àçëîæåíèé 5.4) ñëåäóåò, òî ï è g /36 èìååì p +, ï è g /36 + èìååì p òà àñòü âåòâè p = âûõîäèò çà ï åäåëû èññëåäóåìîé îáëàñòè è íå ïîêàçàíà íà èñ. 2, ã), à ï è g = /36 ïîëó àåì p =/3. Ýòè æå åçóëüòàòû îòíîñßòñß è ê ê èâîé = D,g). g 4 C 36 A D 32 B à) 6 á) 6 4 â) Ðèñ. 3. Òî êà P ñèñòåìû âòî îãî òèïà Ï è äàëüíåé åì óâåëè åíèè ïà àìåò à g èñ. 2, ã) îáùàß òî êà ê èâûõ p = è D = =ñêîëüçèò ïî îñè àáñöèññ â ñòî îíó óâåëè åíèß êîî äèíàòû. Äîéäß äî ìàêñèìàëüíîãî çíà åíèß = 5+3 3)/32, îíà äâèæåòñß â ñòî îíóóìåíü åíèß äî íóëß ñì. èñ. 2, à). Âî âñåõ àññìîò åííûõ ñå åíèßõ èìå òñß äâå îáëàñòè óñòîé èâîñòè â ëèíåéíîì ï èáëèæåíèè àâíîâåñíîé òî êè P äëß ñèñòåìû ïå âîãî òèïà. Äëß èññëåäîâàíèß óñòîé èâîñòè àâíîâåñíîé òî êè P ñèñòåìû âòî îãî òèïà èíòå âàë èçìåíåíèß ïà àìåò à g àçîáüåì íà òå æå ïîäûíòå âàëû. Ï è g /32, /36) ê èâûå p =è D =èìå ò äâå îáùèå òî êè íà îñè àáñöèññ, ñêîëüçßùèå ïî íåé â àçíûå ñòî îíû ñ îñòîì g. Ï è òîì â äîïóñòèìîé àñòè ïëîñêîñòè ïà àìåò îâ èìå òñß ò è îáëàñòè óñòîé èâîñòè â ëèíåéíîì ï èáëèæåíèè èñ. 3, á). Ï è g = /36 ëåâàß ã óïïà ê èâûõ âû îæäàåòñß â îñü î äèíàò è ï è ïå åõîäå å åç òóòî êóèñ åçàåò. Îäíîâ åìåííî ñ òèì ï îïàäàåò ëåâàß îáëàñòü óñòîé èâîñòè.

13 Î ïå èîäè åñêèõ äâèæåíèßõ ãàìèëüòîíîâîé ñèñòåìû 429 ÌÅÕÀÍÈÊÀ 26. Ò. 26. Âûï. 3 Äëß çíà åíèé g èç èíòå âàëà g /36, ) èñ. 3, â) îáùàß òî êà ê èâûõ p =è D = =íà íèæíåé ã àíèöå =ñêîëüçèò ïî îñè àáñöèññ â ñòî îíó óâåëè åíèß, äîõîäß äî ìàêñèìàëüíîãî çíà åíèß =/4 ï è g =. Òî êè P 2. Êàê è äëß òî åê P, äëß çíà åíèé ïà àìåò îâ, ñîîòâåòñòâó ùèõ àâíîâåñíûì òî êàì P 2 ñèñòåì îáîèõ òèïîâ, ïîâå õíîñòè p =è D =íå èìå ò ïå åñå åíèé ñ âå õíåé ã àíè íîé ïîâå õíîñòü = èññëåäóåìîé îáëàñòè. Íà íèæíåé ã àíèöå = pm óñëîâèß p =è D = åàëèçó òñß îäíîâ åìåííî) äëß òî åê, ãåîìåò è åñêîå ìåñòî êîòî ûõ â ïëîñêîñòè ïà àìåò îâ,g) èçîá àæåíî íà èñ. 4, à è èñ. 5, à äëß ñèñòåì ïå âîãî è âòî îãî òèïîâ ñîîòâåòñòâåííî. Íà èñ. 4, à èìååì õà àêòå íûå òî êè A, 7/), B.29,.373), C, /4), à íà èñ. 5, à μ òî êè A, 7/), B /6, /32), C /, 7/), D, /4). Êà åñòâåííî àçëè íûìè äëß ñèñòåì îáîèõ òèïîâ ßâëß òñß ñëó àè g, /4), g = /4, g /4, 7/), g = 7/ è g 7/, /32). Õà àêòå íûé âèä ñå åíèé g =constèññëåäóåìîé àñòè ï îñò àíñòâà ïà àìåò îâ äëß òî êè P 2 ñèñòåìû ïå âîãî òèïà ïîêàçàí íà èñ. 4, á ä. Äëß âñåõ çíà åíèé ïà àìåò à g g < /32) èìå òñß äâå ïîäîáëàñòè âûïîëíåíèß íåîáõîäèìûõ óñëîâèé óñòîé èâîñòè. Ýâîë öèß òèõ ïîäîáëàñòåé è ïîäîáëàñòåé íåóñòîé èâîñòè ñîîòâåòñòâóåò èñ. 4, à. g 32 7 A B pm á) pm â) 4 C à) pm ã) pm ä) Ðèñ. 4. Òî êà P 2 ñèñòåìû ïå âîãî òèïà Ï è g, /4) è g /4, 7/) ê èâûå p =è D =èìå ò îäíó îáùó òî êó íà íèæíåé ã àíèöå îáëàñòè èñ. 4, á). Äëß ã àíè íîé òî êè g = /4 òèõ äâóõ èíòå âàëîâ î äèíàòà îáùåé òî êè ê èâûõ p =è D =íåîã àíè åííî âîç àñòàåò, è ê èâàß p =èñ åçàåò èñ. 4, â). Âíóò è èíòå âàëà g /4, 7/) ï è óâåëè åíèè ïà àìåò à g êà òèíà ìåíßåòñß: ê èâàß p =ï èîá åòàåò èçãèá è îäíîâ åìåííî âîçíèêàåò åùå îäíà âåòâü ê èâîé D = èñ. 4, ã). Ï è ïîäõîäå ê ã àíè íîìó çíà åíè g = 7/ îáùàß òî êà ê èâûõ p =è D =íà íèæíåé ã àíèöå îáëàñòè ñíîâà óõîäèò íà áåñêîíå íîñòü, è ï è g [ 7/, /32) îáùèõ òî åê ó ê èâûõ íåò; õà àêòå íûé âèä ñå åíèé äëß çíà åíèé g èç òîãî èíòå âàëà ïîêàçàí íà èñ. 4, ã. Äëß òî êè P 2 ñèñòåìû âòî îãî òèïà ñëó àè g, /4), g = /4, g /4, 7/), g = 7/ è g 7/, /32) ñîîòâåòñòâó ò èñ. 5, á å.

14 43 À. È. Ñàôîíîâ, Î. Â. Õîëîñòîâà ÌÅÕÀÍÈÊÀ 26. Ò. 26. Âûï g A B C 4 D à) pm á) pm â) pm ã) 3 pm ä) pm å) Ðèñ. 5. Òî êà P 2 ñèñòåìû âòî îãî òèïà Êà åñòâåííûé âèä ñå åíèé äëß èíòå âàëà g, /4) òàêîé æå, êàê äëß ñèñòåìû ïå âîãî òèïà ñ. ñ èñ. 4, á); â ñå åíèßõ èìå òñß äâå îáëàñòè âûïîëíåíèß íåîáõîäèìûõ óñëîâèé óñòîé èâîñòè. Ñ îñòîì g î äèíàòû òî åê ïå åñå åíèß ê èâûõ p =è D =è ñàìîïå åñå åíèß äâóõ âåòâåé ê èâîé D = àñòóò è ï è g = /4 ñòàíîâßòñß íåîã àíè åííûìè, ï è òîì ê èâàß p =ï îïàäàåò ñì. èñ. 5, â). Äàëåå, ï è g [ /4, 7/] èñ. 5, â ä), âåòâè ê èâîé D =íå èìå ò òî åê ñàìîïå åñå åíèß. Ï è ïå åõîäå å åç òî êó g = /4 íà íèæíåé ã àíèöå îáëàñòè ê èâûå p =è D = âíîâü èìå ò îáùó òî êó, àáñöèññà êîòî îé àñòåò ñ óâåëè åíèåì g è äîñòèãàåò ìàêñèìàëüíîãî çíà åíèß =. ï è g = 7/ èñ. 5, ã, ä). Äëß çíà åíèé g èç èíòå âàëà 7/, /32) ïîßâëß òñß åùå îäíà âåòâü ê èâîé D =ïå åñåêà ùàßñß ñ ó æå èìå ùåéñß àíåå âåòâü D = =) è âòî àß âåòâü ê èâîé p =. Ýòè íîâûå ê èâûå âûõîäßò èç îáùåé òî êè íèæíåé ã àíèöû îáëàñòè èñ. 5, å), âìåñòå ñ èõ ïîßâëåíèåì â ñå åíèè âîçíèêàåò ò åòüß îáëàñòü óñòîé èâîñòè. C g 4 D g 4 pm E A à) B 8 á) 8 â) Ðèñ. 6. Òî êà P 3 ïå âîãî òèïà Òî êè P 3. Äëß àâíîâåñíîé òî êè P 3 ñèñòåìû ïå âîãî òèïà ãåîìåò è åñêèå ìåñòà îáùèõ) òî åê ïå åñå åíèß ïîâå õíîñòåé p = è D = ñ íèæíåé è âå õíåé ã àíè íû-

15 Î ïå èîäè åñêèõ äâèæåíèßõ ãàìèëüòîíîâîé ñèñòåìû 43 ÌÅÕÀÍÈÊÀ 26. Ò. 26. Âûï. 3 ìè ïîâå õíîñòßìè = è = pm ïîêàçàíû íà íà èñ. 6, à è 6, á ñîîòâåòñòâåííî. Îòìå åííûå íà òèõ èñóíêàõ òî êè èìå ò êîî äèíàòû A ) 5)/6, /8, B ) 5)/6, /8, C /4, /4), D, /4), E.89,.922). Õà àêòå íûé âèä èññëåäóåìûõ ñå åíèé íà âñåì èíòå âàëå g /8, /4) ñóùåñòâîâàíèß òî åê P 3 êà åñòâåííî íå ìåíßåòñß è èìååò âèä, ï åäñòàâëåííûé íà èñ. 6, â; â êàæäîì ñå åíèè èìå òñß äâå îáëàñòè âûïîëíåíèß íåîáõîäèìûõ óñëîâèé óñòîé èâîñòè. A g 4 pm B - 2 à) 8 á) Ðèñ. 7. Òî êà P 3 âòî îãî òèïà Äëß ñèñòåìû âòî îãî òèïà ïîâå õíîñòè p =è D =èìå ò îáùèå) òî êè ïå åñå åíèß òîëüêî ñ âå õíåé ã àíè íîé ïîâå õíîñòü, ãåîìåò è åñêîå ìåñòî êîòî ûõ ïîêàçàíî íà èñ. 7, à, êîî äèíàòû òî åê A è B òàêîâû: A = /2, /4), B =.468,.228). Â èññëåäóåìûõ ñå åíèßõ èìååòñß îäíà îáëàñòü óñòîé èâîñòè èñ. 7, á). mm 2 Ðèñ. 8. Õà àêòå íûé âèä ã àôèêîâ ï è ôèêñè îâàííîì g òî êè P 4 ïå âîãî è âòî îãî òèïà Òî êè P 4. Äëß ñèñòåìû ïå âîãî òèïà õà àêòå íûé âèä ñå åíèé g =constíà èíòå âàëå g, /4) ï åäñòàâëåí íà èñ. 8; èìå òñß äâå îáëàñòè âûïîëíåíèß íåîáõîäèìûõ óñëîâèé óñòîé èâîñòè. Ï è ïå åõîäå å åç òî êó g = /4 è äàëåå íà èíòå âàëå g /4, /4) âå õíßß âåòâü ê èâîé D =èñ åçàåò âìåñòå ñ âå õíåé îáëàñòü óñòîé èâîñòè òîò ñëó àé íà èñ. 8 íå ïîêàçàí). Ñ îñòîì g àáñöèññà îáùåé òî êè ê èâûõ p = è D = íà íèæíåé ã àíèöå àññìàò èâàåìîé îáëàñòè àñòåò, åå ìàêñèìàëüíîå çíà åíèå ï è g =/4) àâíî. Äëß ñèñòåìû âòî îãî òèïà õà àêòå íûå ñå åíèß êà åñòâåííî òàêèå æå, êàê è äëß ñèñòåìû ïå âîãî òèïà. Ìàêñèìàëüíîå çíà åíèå àáñöèññû îáùåé òî êè ê èâûõ p =è D =íà íèæíåé ã àíèöå îáëàñòè àâíî /2. Òî êè P 5. Äëß òî êè P 5 ñèñòåìû ïå âîãî òèïà ïîâå õíîñòè p =è D =èìå ò îáùèå òî êè ïå åñå åíèß ñ íèæíåé ã àíè íîé ïëîñêîñòü =, à â èññëåäóåìûõ ñå åíèßõ μ äâå îáùèå òî êè íà îñè àáñöèññ; ï è òîì â ñå åíèè èìå òñß äâå îáëàñòè âûïîëíåíèß íåîáõîäèìûõ óñëîâèé óñòîé èâîñòè èñ. 9, à).

16 432 À. È. Ñàôîíîâ, Î. Â. Õîëîñòîâà ÌÅÕÀÍÈÊÀ 26. Ò. 26. Âûï. 3 Äëß òî êè P 5 ñèñòåìû âòî îãî òèïà ïîâå õíîñòè p =è D =íå ïå åñåêà òñß ñ ã àíè íûìè ïîâå õíîñòßìè; â ñå åíèßõ, õà àêòå íûé âèä êîòî ûõ ï åäñòàâëåí íà èñ. 9, á, èìååòñß îäíà îáëàñòü óñòîé èâîñòè. à) á) Ðèñ. 9. Õà àêòå íûé âèä ã àôèêîâ ï è ôèêñè îâàííîì g òî êè P 5 ïå âîãî è âòî îãî òèïà Ã àíè íûå çíà åíèß ïà àìåò à g. Ðàññìîò èì ò è çíà åíèß ïà àìåò à g, ëåæàùèå íà ã àíèöàõ èññëåäóåìûõ èíòå âàëîâ. Â ñëó àå g =/4 ó àâíåíèå 3.6) ñòàíîâèòñß ëèíåéíûì îòíîñèòåëüíî R /2 è èìååò åäèíñòâåííîå å åíèå ˆR /2 = 3 2δ δ 2 ). 5.5) Óñëîâèß ïîëîæèòåëüíîñòè âåëè èí ˆR j j =, 2) íàëàãà ò ñëåäó ùèå îã àíè åíèß íà ïà- àìåò û çàäà è: >, δ =, δ 2 =, > ; 5.6) >, δ =, δ 2 =, << 3 ; 5.7) <, δ =, δ 2 =, > 2 ; 5.8) <, δ =, δ 2 =, 3 << ) Âêàæäîì èç òèõ ñëó àåâ ó ñèñòåì îáîèõ òèïîâ èìååòñß åäèíñòâåííîå ïîëîæåíèå àâíîâåñèß. Èññëåäóß êâàä àòè íûå ôî ìû ãàìèëüòîíèàíîâ âîçìóùåííîãî äâèæåíèß, íàéäåì, òî äîñòàòî íûå óñëîâèß óñòîé èâîñòè ñâîäßòñß ê ñîîòíî åíèßì >, δ = δ 2 =, </2 ), êîòî ûì óäîâëåòâî ßåò ñëó àé 5.7). Äëß îñòàâ èõñß ïîëîæåíèé àâíîâåñèß èññëåäóåì íåîáõîäèìûå óñëîâèß óñòîé èâîñòè. Äëß îáåèõ ñèñòåì ñâîáîäíûé ëåí ñîîòâåòñòâó ùåãî õà àêòå èñòè åñêîãî ó àâíåíèß 5.) âû èñëßåòñß ïî ôî ìóëå 3/2 q =27ˆR ˆR 2 2δ δ 2 )δ δ 2. Îòñ äà ñëåäóåò, òî äëß ïà àìåò îâ çàäà è, óäîâëåòâî ß ùèõ óñëîâèßì 5.6), 5.8), 5.9), ñï àâåäëèâî ñîîòíî åíèå q<, ïî òîìó ñîîòâåòñòâó ùèå ïîëîæåíèß àâíîâåñèß íåóñòîé èâû. Â ñëó àå g =/8 ã àíèöû pm g=/8 = g=/8 = mm 2 g=/8 ñîâïàäà ò, îáîçíà èì èõ å åç. Â îáëàñòè, çàäàâàåìîé óñëîâèßìè >, << δ = δ 2 = ), èìååòñß îäíî ïîëîæåíèå àâíîâåñèß, äëß êîòî îãî âûïîëíß òñß äîñòàòî íûå óñëîâèß óñòîé- èâîñòè ñì. òàáëèöó 2).

17 Î ïå èîäè åñêèõ äâèæåíèßõ ãàìèëüòîíîâîé ñèñòåìû 433 ÌÅÕÀÍÈÊÀ 26. Ò. 26. Âûï. 3 Ï è èññëåäîâàíèè íåîáõîäèìûõ óñëîâèé óñòîé èâîñòè çàìåòèì, òî äëß îáîèõ ãàìèëüòîíèàíîâ çíà åíèå g =/8 ßâëßåòñß ã àíè íûì ìåæäó òî êàìè P 3 è P 5 ñì. òàáëèöó 2). Êàê ñëåäóåò èç èñ. 6, á è 7, à, ï è g /8 îáùàß òî êà ê èâûõ p =è D =íà âå õíåé ã àíèöå óõîäèò â îáëàñòü íåîã àíè åííûõ îò èöàòåëüíûõ çíà åíèé, ï è òîì äëß ñèñòåìû ïå âîãî òèïà èñ. 6, â ïå åõîäèò â èñ. 9, à, à äëß ñèñòåìû âòî îãî òèïà èñ. 7, á ïå åõîäèò â èñ. 9, á. Îáëàñòè íåîáõîäèìûõ óñëîâèé óñòîé èâîñòè è íåóñòîé èâîñòè äëß àññìàò èâàåìîé àâíîâåñíîé òî êè èëë ñò è ó ò èñ. 9, à, á. Çíà åíèå g =/8 ëåæèò òàêæå âíóò è îáëàñòè ñóùåñòâîâàíèß àâíîâåñíîé òî êè P 4 ;ñîîòâåòñòâó ùåå ñå åíèå èìååò âèä, ïîêàçàííûé íà èñ. 8. Â ñëó àå g = /32 íà ã àíèöàõ èìååì: pm g= /32 = mm 2 g= /32 =.Ñîãëàñíî òàáëèöå 2, àñòü ïîëîæåíèé àâíîâåñèß, äëß êîòî ûõ òè çíà åíèß ßâëß òñß âå õíèìè ã àíèöàìè èçìåíåíèß, ï îïàäà ò. Â àñòíîñòè, äëß àññìàò èâàåìîãî ñëó àß íåò ïîëîæåíèé àâíîâåñèß, äëß êîòî ûõ âûïîëíß òñß äîñòàòî íûå óñëîâèß óñòîé èâîñòè. 6 Ðèñ.. Õà àêòå íûé âèä ñå åíèß òî êè P,2 äëß ãàìèëüòîíèàíîâ Γ 2 Èññëåäóåì íåîáõîäèìûå óñëîâèß óñòîé èâîñòè. Çíà åíèå g = /32 ßâëßåòñß ã àíè íûì ìåæäó àâíîâåñíûìè òî êàìè P è P 2 ñì. òàáëèöó 2). Íèæíßß ã àíèöà èññëåäóåìîé îáëàñòè â òîì ñå åíèè ñîâïàäàåò ñ îñü àáñöèññ. Äëß ñèñòåìû ïå âîãî òèïà êà åñòâåííûé âèä ñå åíèß, îòâå à ùèé äàííîìó ñëó à, èìååò âèä êàê íà èñ. 2, á. Äëß ñèñòåìû âòî îãî òèïà, â ñîîòâåòñòâèè ñ èñ.3, à è 5, à, ê èâûå p =è D =èìå ò íà íèæíåé ã àíèöå =îäíó îáùó òî êóñ àáñöèññîé =/6 ñì. èñ. ). Çíà åíèå g = /32 ñîäå æèòñß òàêæå âíóò è îáëàñòè ñóùåñòâîâàíèß àâíîâåñíîé òî êè P 4, âèä ñîîòâåòñòâó ùåãî ñå åíèß ï åäñòàâëåí íà èñ Ïå èîäè åñêèå äâèæåíèß Ïóñòü Ψ j =Ψ j = arccos δ j, R j = R j j =, 2) μ îäíî èç àññìîò åííûõ ïîëîæåíèé àâíîâåñèß ñèñòåìû 3.4). Âåëè èíà R âû èñëßåòñß ïî ôî ìóëå 3.) èëè 5.5)), à âåëè èíà R 2 ñâßçàíà ñ R ñîîòíî åíèåì 3.7). Ãàìèëüòîíîâûì ñèñòåìàì ñ ìîäåëüíûìè ãàìèëüòîíèàíàìè 3.), 3.2) óêàçàííîìóïîëîæåíè àâíîâåñèß îòâå àåò ïîëîæåíèå àâíîâåñèß Φ j =Φ j, R j = R j j =, 2), ãäå, ñîãëàñíî 3.3), Φ = Ψ 3, Φ Ψ2 2 = ± 2 Ψ ). 6 Ðàññìîò èì ïîëíûå ñèñòåìû ñ ãàìèëüòîíèàíàìè 2.7), 2.8). Â îê åñòíîñòè îïèñàííûõ ïîëîæåíèé àâíîâåñèß ï èáëèæåííîé ìîäåëüíîé) ñèñòåìû ïîëíó ñèñòåìó ìîæíî àññìàò èâàòü êàê êâàçèëèíåéíó ñ âîçìóùåíèßìè ïî ßäêà ε, èìå ùèìè ïî τ ïå èîä T ε 2. Ï è òîì êî íè õà àêòå èñòè åñêèõ ó àâíåíèé ëèíåà èçîâàííûõ ó àâíåíèé âîçìóùåííîãî äâèæåíèß ìîäåëüíûõ ñèñòåì èìå ò ïî ßäîê åäèíèöû, à àñòîòû âîçìóùåíèé μ ïî ßäîê ε 2. Òàêèì îá àçîì,

18 434 À. È. Ñàôîíîâ, Î. Â. Õîëîñòîâà ÌÅÕÀÍÈÊÀ 26. Ò. 26. Âûï. 3 èìååò ìåñòî íå åçîíàíñíûé ñëó àé òåî èè Ïóàíêà å â çàäà å î ïå èîäè åñêèõ å åíèßõ êâàçèëèíåéíûõ ñèñòåì [34], è èç êàæäîãî ïîëîæåíèß àâíîâåñèß ìîäåëüíîé ñèñòåìû îæäàåòñß åäèíñòâåííîå, T -ïå èîäè åñêîå ïî τ, àíàëèòè åñêîå ïî ε å åíèå ñîîòâåòñòâó ùåé ïîëíîé ñèñòåìû ñ ãàìèëüòîíèàíîì 2.7) èëè2.8), èìå ùåå âèä Φ j = Φ j τ) =Φ j + Oε), R j = R j τ) =R j + Oε) j =, 2). Ï îâîäß â îá àòíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè çàìåíû ïå åìåííûõ, îïèñàííûå â è 2, íàéäåì îòâå à ùåå åìó ïå èîäè åñêîå äâèæåíèå ñèñòåìû ñ èñõîäíûì ãàìèëüòîíèàíîì.), àíàëèòè åñêîå ïî ε è èìå ùåå ïî t ïå èîä, àâíûé 2π. Ýòî äâèæåíèå èìååò âèä êîíñòàíòà ξ îï åäåëåíà â2.5)) q j = ε 2ξR j sin ϕ j + Oε 2 ), p j = ε 2ξR j cos ϕ j + Oε 2 ) j =, 2), ϕ = λ t +Φ ϕ, ϕ 2 = σλ 2 t +Φ 2 ϕ 2. 6.) Â ñîîòíî åíèßõ 6.) ßâíî âûïèñàíû ãëàâíûå ïî ßäêà ε) àñòè ïå èîäè åñêèõ äâèæåíèé, êàæäàß èç êîòî ûõ ñîäå æèò òîëüêî ñâîè ãà ìîíèêè ñèíóñû è êîñèíóñû) âåëè èí λ j t.âòî æå â åìß ñëàãàåìûå Oε 2 ) â âû àæåíèßõ äëß q j, p j ñîäå æàò, âîîáùå ãîâî ß, ë áûå ãà ìîíèêè âåëè èí nt, n λ t, n 2 λ 2 t n, n, n 2 μ öåëûå èñëà). Íåóñòîé èâûå ïîëîæåíèß àâíîâåñèß ìîäåëüíûõ ñèñòåì ïå åõîäßò â íåóñòîé èâûå ïå èîäè åñêèå äâèæåíèß ïîëíûõ ñèñòåì. Ïîëîæåíèß àâíîâåñèß, àññìîò åííûå äëß çíà åíèé ïà àìåò îâ èç îáëàñòåé âûïîëíåíèß äîñòàòî íûõ èëè òîëüêî íåîáõîäèìûõ óñëîâèé óñòîé èâîñòè, ïå åõîäßò â ïå èîäè åñêèå äâèæåíèß ïîëíûõ ñèñòåì, óñòîé èâûå â ëèíåéíîì ï èáëèæåíèè. Ýòè óòâå æäåíèß ñëåäó ò èç ñâîéñòâà íåï å ûâíîñòè ïî ε õà àêòå èñòè åñêèõ ïîêàçàòåëåé ñîîòâåòñòâó ùèõ ëèíåà èçîâàííûõ ó àâíåíèé âîçìóùåííîãî äâèæåíèß. ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ. Korteweg D.J. Sur certaines vibrations d'ordre sup erieur et d'intensit e anomale, vibrations de relation, dans les me Uchanismes'a plusieurs degres de libert e //Archives Neerlandaises des Sciences Exactes et Naturelles Ser. 2. Tom.. P Beth H.I.E. Les oscillations autour d'une position d'equilibre dans le cas d'existence d'une relation lin eaire simple entre les nombres vibratoires // Archives Neerlandaises des Sciences Exactes et Naturelles. 9. Ser. 2. Tom. 5. P Beth H.I.E. Les oscillations autour d'une position d'equilibre dans le cas d'existence d'une relation lin eaire simple entre les nombres vibratoires suite) // Archives Neerlandaises des Sciences Exactes et Naturelles. 92. Ser. 3A. Tom.. P Ìà êååâ À.Ï. Òî êè ëèá àöèè â íåáåñíîé ìåõàíèêå è êîñìîäèíàìèêå. Ì.: Íàóêà, ñ. 5. Êóíèöûí À.Ë., Ìà êååâ À.Ï. Óñòîé èâîñòü â åçîíàíñíûõ ñëó àßõ // Èòîãè íàóêè è òåõíèêè. Ñå èß Îáùàß ìåõàíèêà Ò. 4. Ñ Ìà êååâ À.Ï. Óñòîé èâîñòü ãàìèëüòîíîâûõ ñèñòåì // Íåëèíåéíàß ìåõàíèêà. Ì.: Ôèçìàòëèò, 2. Ñ Õîëîñòîâà Î.Â. Î äâèæåíèè ãàìèëüòîíîâîé ñèñòåìû ñ îäíîé ñòåïåíü ñâîáîäû ï è åçîíàíñå â âûíóæäåííûõ êîëåáàíèßõ // Èçâåñòèß Ðîññèéñêîé àêàäåìèè íàóê. Ìåõàíèêà òâå äîãî òåëà Ñ Ìà êååâ À.Ï. Î ïîâåäåíèè íåëèíåéíîé ãàìèëüòîíîâîé ñèñòåìû ñ îäíîé ñòåïåíü ñâîáîäû íà ã àíèöå îáëàñòè ïà àìåò è åñêîãî åçîíàíñà // Ï èêëàäíàß ìàòåìàòèêà è ìåõàíèêà Ò. 59. Âûï. 4. Ñ Ìà êååâ À.Ï. Ïà àìåò è åñêèé åçîíàíñ è íåëèíåéíûå êîëåáàíèß òßæåëîãî òâå äîãî òåëà â îê åñòíîñòè åãî ïëîñêèõ â àùåíèé // Èçâåñòèß Ðîññèéñêîé àêàäåìèè íàóê. Ìåõàíèêà òâå äîãî òåëà Ñ Õîëîñòîâà Î.Â. Ïà àìåò è åñêèé åçîíàíñ åçîíàíñ â çàäà å î íåëèíåéíûõ êîëåáàíèßõ ñïóòíèêà íà ëëèïòè åñêîé î áèòå // Êîñìè åñêèå èññëåäîâàíèß Ò. 34. Âûï. 3. Ñ Ìà êååâ À.Ï. Ðåçîíàíñ ò åòüåãî ïî ßäêà â ãàìèëüòîíîâîé ñèñòåìå ñ îäíîé ñòåïåíü ñâîáîäû // Ï èêëàäíàß ìàòåìàòèêà è ìåõàíèêà Ò. 58. Âûï. 5. Ñ Õîëîñòîâà Î.Â. Î íåëèíåéíûõ êîëåáàíèßõ ñïóòíèêà ï è åçîíàíñå ò åòüåãî ïî ßäêà // Ï èêëàäíàß ìàòåìàòèêà èìåõàíèêà Ò. 6. Âûï. 4. Ñ

19 Î ïå èîäè åñêèõ äâèæåíèßõ ãàìèëüòîíîâîé ñèñòåìû 435 ÌÅÕÀÍÈÊÀ 26. Ò. 26. Âûï Ìà êååâ À.Ï. Î ê èòè åñêîì ñëó àå åçîíàíñà åòâå òîãî ïî ßäêà â ãàìèëüòîíîâîé ñèñòåìå ñ îäíîé ñòåïåíü ñâîáîäû // Ï èêëàäíàß ìàòåìàòèêà è ìåõàíèêà Ò. 6. Âûï. 3. Ñ Õîëîñòîâà Î.Â. Î íåëèíåéíûõ êîëåáàíèßõ ãàìèëüòîíîâîé ñèñòåìû ñ îäíîé ñòåïåíü ñâîáîäû ï è åçîíàíñå åòâå òîãî ïî ßäêà // Ï èêëàäíàß ìàòåìàòèêà è ìåõàíèêà Ò. 62. Âûï. 6. Ñ Õîëîñòîâà Î.Â. Î áèôó êàöèßõ è óñòîé èâîñòè åçîíàíñíûõ ïå èîäè åñêèõ äâèæåíèé ãàìèëüòîíîâûõ ñèñòåì ñ îäíîé ñòåïåíü ñâîáîäû ï è âû îæäåíèè ãàìèëüòîíèàíà // Íåëèíåéíàß äèíàìèêà. 26. Ò. 2.. Ñ DOI:.2537/nd65 6. Õîëîñòîâà Î.Â. Î åçîíàíñíûõ ïå èîäè åñêèõ äâèæåíèßõ ãàìèëüòîíîâûõ ñèñòåì ñ îäíîé ñòåïåíü ñâîáîäû ï è âû îæäåíèè ãàìèëüòîíèàíà // Ï èêëàäíàß ìàòåìàòèêà è ìåõàíèêà. 26. Ò. 7. Âûï. 4. Ñ Õîëîñòîâà Î.Â. Î äâèæåíèè áëèçêîé ê ãàìèëüòîíîâîé ñèñòåìû ñ îäíîé ñòåïåíü ñâîáîäû ï è åçîíàíñå â âûíóæäåííûõ êîëåáàíèßõ // Ï èêëàäíàß ìàòåìàòèêà è ìåõàíèêà Ò. 6. Âûï. 3. Ñ Õîëîñòîâà Î.Â. Î äâèæåíèè áëèçêîé ê ãàìèëüòîíîâîé ñèñòåìû ñ îäíîé ñòåïåíü ñâîáîäû ï è åçîíàíñå åòâå òîãî ïî ßäêà // Èçâåñòèß Ðîññèéñêîé àêàäåìèè íàóê. Ìåõàíèêà òâå äîãî òåëà Ñ Õîëîñòîâà Î.Â. Î ïå èîäè åñêèõ äâèæåíèßõ íåàâòîíîìíîé ãàìèëüòîíîâîé ñèñòåìû ñ äâóìß ñòåïåíßìè ñâîáîäû ï è ïà àìåò è åñêîì åçîíàíñå îñíîâíîãî òèïà // Ï èêëàäíàß ìàòåìàòèêà è ìåõàíèêà. 22. Ò. 66. Âûï. 4. Ñ Êóíèöûí À.Ë. Îá óñòîé èâîñòè â ê èòè åñêîì ñëó àå èñòî ìíèìûõ êî íåé ï è âíóò åííåì åçîíàíñå // Äèôå åíöèàëüíûå ó àâíåíèß. 97. Ò Ñ Õàçèíà Ã.Ã. Íåêîòî ûå âîï îñû óñòîé èâîñòè ï è íàëè èè åçîíàíñîâ // Ï èêëàäíàß ìàòåìàòèêà èìåõàíèêà Ò. 38. Âûï.. Ñ Êóíèöûí À.Ë., Ìåäâåäåâ Ñ.Â. Îá óñòîé èâîñòè ï è íàëè èè íåñêîëüêèõ åçîíàíñîâ // Ï èêëàäíàß ìàòåìàòèêà èìåõàíèêà Ò. 4. Âûï. 3. Ñ Êóíèöûí À.Ë., Òà èìîâ Ë.Ò. Íåêîòî ûå çàäà è óñòîé èâîñòè íåëèíåéíûõ åçîíàíñíûõ ñèñòåì. Àëìà-Àòà: Ãûëûì, ñ. 24. Õàçèí Ë.Ã. Îá óñòîé èâîñòè ïîëîæåíèß àâíîâåñèß ãàìèëüòîíîâûõ ñèñòåì äèôôå åíöèàëüíûõ ó àâíåíèé Âçàèìîäåéñòâèå åçîíàíñîâ ò åòüåãî ïî ßäêà). Èíñòèòóò ï èêëàäíîé ìàòåìàòèêè ÀÍ ÑÑÑÐ. Ï åï èíò 33. Ì., ñ. 25. Õàçèí Ë.Ã. Âçàèìîäåéñòâèå åçîíàíñîâ ò åòüåãî ïî ßäêà â çàäà àõ óñòîé èâîñòè ãàìèëüòîíîâûõ ñèñòåì // Ï èêëàäíàß ìàòåìàòèêà è ìåõàíèêà Ò. 48. Âûï. 3. Ñ Ìà êååâ À.Ï. Î ê àòíîì åçîíàíñå â ëèíåéíûõ ñèñòåìàõ Ãàìèëüòîíà // Äîêëàäû Ðîññèéñêîé Àêàäåìèè Íàóê. 25. Ò Ñ Ìà êååâ À.Ï. Î ê àòíîì ïà àìåò è åñêîì åçîíàíñå â ñèñòåìàõ Ãàìèëüòîíà // Ï èêëàäíàß ìàòåìàòèêà è ìåõàíèêà. 26. Ò. 7. Âûï. 2. Ñ Ìà êååâ À.Ï. Ëèíåéíûå ãàìèëüòîíîâû ñèñòåìû è íåêîòî ûå çàäà è îá óñòîé èâîñòè äâèæåíèß ñïóòíèêà îòíîñèòåëüíî öåíò à ìàññ. Ì. Èæåâñê: Ðåãóëß íàß è õàîòè åñêàß äèíàìèêà, Èíñòèòóò êîìïü òå íûõ èññëåäîâàíèé, ñ. 29. Ìà êååâ À.Ï. Îá îäíîì îñîáîì ñëó àå ïà àìåò è åñêîãî åçîíàíñà â çàäà àõ íåáåñíîé ìåõàíèêè // Ïèñüìà â Àñò îíîìè åñêèé æó íàë. 25. Ò Ñ Ìà êååâ À.Ï. Ê àòíûé åçîíàíñ â îäíîé çàäà å îá óñòîé èâîñòè äâèæåíèß ñïóòíèêà îòíîñèòåëüíî öåíò à ìàññ // Ïèñüìà â Àñò îíîìè åñêèé æó íàë. 25. Ò Ñ Õîëîñòîâà Î.Â. Î äâèæåíèßõ ãàìèëüòîíîâîé ñèñòåìû ñ äâóìß ñòåïåíßìè ñâîáîäû ï è íàëè èè ê àòíûõ åçîíàíñîâ ò åòüåãî ïî ßäêà // Íåëèíåéíàß äèíàìèêà. 22. Ò Ñ DOI:.2537/nd Õîëîñòîâà Î.Â. Î âçàèìîäåéñòâèè åçîíàíñîâ ò åòüåãî è åòâå òîãî ïî ßäêîâ â ãàìèëüòîíîâîé ñèñòåìå ñ äâóìß ñòåïåíßìè ñâîáîäû // Íåëèíåéíàß äèíàìèêà. 25. Ò.. 4. Ñ DOI:.2537/nd Kholostova O. Stability of triangular libration points in a planar restricted elliptic three body problem in cases of double resonances // International Journal of Non-Linear Mechanics. 25. Vol 73. P DOI:.6/j.ijnonlinmec Ìàëêèí È.Ã. Íåêîòî ûå çàäà è òåî èè íåëèíåéíûõ êîëåáàíèé. Ì.: Ãîñòåõèçäàò, ñ. 35. SSêóáîâè Â.À., Ñòà æèíñêèé Â.Ì. Ïà àìåò è åñêèé åçîíàíñ â ëèíåéíûõ ñèñòåìàõ. Ì.: Íàóêà, ñ. 36. Õîëîñòîâà Î.Â. Èññëåäîâàíèå íåëèíåéíûõ êîëåáàíèé ãàìèëüòîíîâûõ ñèñòåì ñ îäíîé ñòåïåíü ñâîáîäû ï è åçîíàíñàõ. Ó åáíîå ïîñîáèå. Ì.: Èçä-âî ÌÀÈ, ñ.

20 436 À. È. Ñàôîíîâ, Î. Â. Õîëîñòîâà ÌÅÕÀÍÈÊÀ 26. Ò. 26. Âûï. 3 Ïîñòóïèëà â åäàêöè Ñàôîíîâ Àëåêñåé Èãî åâè, àñïè àíò, êàôåä à òåî åòè åñêîé ìåõàíèêè, Ìîñêîâñêèé àâèàöèîííûé èíñòèòóò íàöèîíàëüíûé èññëåäîâàòåëüñêèé óíèâå ñèòåò), 25993, Ðîññèß, ã. Ìîñêâà, Âîëîêîëàìñêîå îññå, 4. lexafonov@mail.ru Õîëîñòîâà Îëüãà Âëàäèìè îâíà, ä. ô.-ì. í., ï îôåññî, êàôåä à òåî åòè åñêîé ìåõàíèêè, Ìîñêîâñêèé àâèàöèîííûé èíñòèòóò íàöèîíàëüíûé èññëåäîâàòåëüñêèé óíèâå ñèòåò), 25993, Ðîññèß, ã. Ìîñêâà, Âîëîêîëàìñêîå îññå, 4. kholostova_o@mail.ru A. I. Safonov, O. V. Kholostova On the periodic motions of a Hamiltonian system in the neighborhood of unstable equilibrium in the presence of a double three-order resonance Citation: Vestnik Udmurtskogo Universiteta. Matematika. Mekhanika. Komp yuternye Nauki, 26, vol. 26, no. 3, pp in Russian). Keywords: Hamiltonian system, multiple resonance, stability, periodic motion. MSC2: 7H5, 7H4, 7H5, 7K45 DOI:.2537/vm63 The paper considers the motion of a near-autonomous time-periodic two-degree-of-freedom Hamiltonian system in a neighborhood of trivial equilibrium being stable in the linear approximation. The third-order double resonance fundamental and Raman) is assumed to occur in the system, at that Raman resonance can be strong or weak. In both cases the equilibrium considered is unstable in a full nonlinear system. Normalization of Hamiltonians of the perturbed motion is carried out in the terms up to the fourth order with respect to disturbance, taking into account the existing resonances. The problem of the existence and number of equilibrium positions of the corresponding approximate model) systems is solved, and sufficient and necessary conditions for their stability are obtained. By Poincare s small parameter method, periodic motions of the initial full systems generated from the equilibrium positions of the model systems are constructed. The question of their stability in the linear approximation is solved. In particular, the conditions of the existence of stable in the linear approximation) periodic motions in a small neighborhood of the unstable trivial equilibrium are obtained. REFERENCES. Korteweg D.J. Sur certaines vibrations d ordre supérieur et d intensité anomale, vibrations de relation, dans les me Uchanismes a plusieurs degres de liberté, Archives Neerlandaises des Sciences Exactes et Naturelles, 898, ser. 2, tom., pp Beth H.I.E. Les oscillations autour d une position d equilibre dans le cas d existence d une relation linéaire simple entre les nombres vibratoires, Archives Neerlandaises des Sciences Exactes et Naturelles, 9, ser. 2, tom. 5, pp Beth H.I.E. Les oscillations autour d une position d equilibre dans le cas d existence d une relation linéaire simple entre les nombres vibratoires suite), Archives Neerlandaises des Sciences Exactes et Naturelles, 92, ser. 3A, tom., pp Markeev A.P. Tochki libratsii v nebesnoi mekhanike i kosmodinamike Libration points in celestial mechanics and cosmodynamics), Moscow: Nauka, 978, 32 p. 5. Kunitsyn A.L., Markeev A.P. Stability in resonant cases, Itogi Nauki i Tekhniki. Seriya Obshchaya Mekhanika, 979, vol. 4, pp in Russian). 6. Markeev A.P. Stability in Hamiltonian systems, Nonlinear mechanics, Moscow: Fizmatlit, 2, pp. 4 3 in Russian). 7. Kholostova O.V. On motions of a Hamiltonian system with one degree of freedom under resonance in forced oscillations, Izv. Ross. Akad. Nauk. Mekh. Tverd. Tela, 996, no. 3, pp in Russian).

21 Î ïå èîäè åñêèõ äâèæåíèßõ ãàìèëüòîíîâîé ñèñòåìû 437 ÌÅÕÀÍÈÊÀ 26. Ò. 26. Âûï Markeyev A.P. The behaviour of a non-linear Hamiltonian system with one degree of freedom at the boundary of a parametric resonance domain, Journal of Applied Mathematics and Mechanics, 995, vol. 59, issue 4, pp DOI:.6/ )63-9. Markeev A.P. Parametric resonance and nonlinear oscillations of a heavy rigid body in the neighborhood of its planar rotations, Izv. Ross. Akad. Nauk. Mekh. Tverd. Tela, 995, no. 5, pp in Russian).. Kholostova O.V. Parametric resonance in the problem of nonlinear oscillations of a satellite in an elliptic orbit, Cosmic Research, 996, vol. 34, no. 3, pp Markeyev A.P. Third-order resonance in a Hamiltonian system with one degree of freedom, Journal of Applied Mathematics and Mechanics, 994, vol. 58, issue 5, pp DOI:.6/ ) Kholostova O.V. The non-linear oscillations of a satellite with third-order resonance, Journal of Applied Mathematics and Mechanics, 997, vol. 6, issue 4, pp DOI:.6/S ) Markeyev A.P. The critical case of fourth-order resonance in a hamiltonian system with one degree of freedom, Journal of Applied Mathematics and Mechanics, 997, vol. 6, issue 3, pp DOI:.6/S ) Kholostova O.V. Non-linear oscillations of a hamiltonian system with one degree of freedom and fourthorder resonance, Journal of Applied Mathematics and Mechanics, 998, vol. 62, issue 6, pp DOI:.6/S )3-5. Kholostova O.V. On bifurcations and stability of resonance periodic motions of Hamiltonian systems with one degree of freedom caused by degeneration of the hamiltonian, Russian Journal of Nonlinear Dynamics, 26, vol. 2, no., pp DOI:.2537/nd65 6. Kholostova O.V. Resonant periodic motions of Hamiltonian systems with one degree of freedom when the Hamiltonian is degenerate, Journal of Applied Mathematics and Mechanics, 26, vol. 7, issue 4, pp DOI:.6/j.jappmathmech Kholostova O.V. The motion of a system close to Hamiltonian with one degree of freedom when there is resonance in forced vibrations, Journal of Applied Mathematics and Mechanics, 996, vol. 6, issue 3, pp DOI:.6/S )5-8. Kholostova O.V. On motions of a one-degree-of-freedom system close to a Hamiltonian system under resonance of the fourth order, Izv. Ross. Akad. Nauk. Mekh. Tverd. Tela, 999, no. 4, pp in Russian). 9. Kholostova O.V. The periodic motions of a non-autonomous Hamiltonian system with two degrees of freedom at parametric resonance of the fundamental type, Journal of Applied Mathematics and Mechanics, 22, vol. 66, issue 4, pp DOI:.6/S )7-2. Kunitsyn A.L. The stability in the critical case of pure imaginary roots, with internal resonance, Differ. Uravn., 97, vol. 7, no. 9, pp in Russian). 2. Khazina G.G. Certain stability questions in the presence of resonances, Journal of Applied Mathematics and Mechanics, 974, vol. 38, issue, pp DOI:.6/ ) Kunitsyn A.L., Medvedev S.V. On stability in the presence of several resonances, Journal of Applied Mathematics and Mechanics, 977, vol. 4, issue 3, pp DOI: DOI:.6/ ) Kunitsyn A.L., Tashimov L.T. Nekotorye zadachi ustoichivosti nelineinykh rezonansnykh sistem Some problems of stability in nonlinear resonant systems), Alma-Ata: Gylym, 99, 96 p. 24. Khazin L.G. Ob ustoichivosti polozheniya ravnovesiya gamil tonovykh sistem differentsial nykh uravnenii Vzaimodeistvie rezonansov tret ego poryadka) On stability of equilibrium in Hamiltonian systems of differential equations Interaction of resonances of the third order)), Institute of Applied Mathematics of Academy of science of USSR, Preprint, no. 33, Moscow, 98, 2 p. 25. Khazin L.G. Interaction of third-order resonances in problems of the stability of hamiltonian systems, Journal of Applied Mathematics and Mechanics, 984, vol. 48, issue 3, pp DOI:.6/ ) Markeev A.P. On a multiple resonance in linear Hamiltonian systems, Doklady Physics, 25, vol. 5, no. 5, pp DOI:.34/ Markeyev A.P. Multiple parametric resonance in Hamiltonian systems, Journal of Applied Mathematics and Mechanics, 26, vol. 7, issue 2, pp DOI:.6/j.jappmathmech Markeev A.P. Lineinye gamil tonovy sistemy i nekotorye zadachi ob ustoichivosti dvizheniya sputnika otnositel no tsentra mass Linear Hamiltonian systems and some problems of stability of satellite motion relative to the center of mass), Moscow Izhevsk: RCD, Institute of Computer Science, 29, 396 p. 29. Markeev A.P. On one special case of parametric resonance in problems of celestial mechanics, Astronomy Letters, 25, vol. 3, no. 5, pp DOI:.34/ Markeev A.P. Multiple resonance in one problem of the stability of the motion of a satellite relative to the center of mass, Astronomy Letters, 25, vol. 3, no. 9, pp DOI:.34/