גירסה liran Home Page:

Transcript

1 גירסה סיכום באלגברה א מסמך זה הורד מהאתר.hp://uderwar.liveds.co.il אין להפיץ מסמך זה במדיה כלשהי, ללא אישור מפורש מאת המחבר. מחבר המסמך איננו אחראי לכל נזק, ישיר או עקיף, שיגרם עקב השימוש במידע המופיע במסמך, וכן לנכונות התוכן של הנושאים המופיעים במסמך. עם זאת, המחבר עשה את מירב המאמצים כדי לספק את המידע המדויק והמלא ביותר. כל הזכויות שמורות ללירן lira Home Page: hp://uderwar.liveds.co.il אנא שלחו תיקונים והערות אל המחבר

2 שדות ומספרים מרוכבים הגדרה: קבוצה F תקרא שדה אם יש ב F שתי פעולות +, שתקראנה חיבור וכפל ומתקיימות הדרישות הבאות: a,b F a+b F [סגירות לחיבור].1 a, b, c F a+(b+c) (a+b)+c = [אסוציטיביות לחיבור].2 קיים איבר נייטרלי לחיבור ב F "אפס" ויסומן '0' והוא מקיים: a a+0 = a [נייטרלי לחיבור] 3. [איבר נגדי] לכל a F יש אביר נגדי ב F שיסומן a (מינוס (a כך ש: = 0 (-a) a +. 4 a,b F a + b = b + a [קומוטטיביות בחיבור].5 a,b F a b F [סגירות לכפל]. 6 c a (b c) = (a b) [אסוציטיביות לכפל [. 7 קיים ב- F איבר נייטרלי לכפל שיקרא יחידה ויסומן '1' ומקיים: a F 1 a = a [נייטרלי לכפל] יש איבר הופכי שיסומך ב a F מקיים [איבר הופכי] לכל a F. 9-1 a a F a,b F a gb = b ga 10.[קומוטטיביות בכפל] a,b,c F a(b+c) = ab + ac 11.[דיסטריבוטיביות] agb=0 a=0 b=0 יהא F שדה אזי: 0 1. (אפס) הוא יחיד a F a g0 = F a,b כך ש a,b, N (a+b)(mod ) = [a(mod ) + b(mod )](mod ).1 (ab)(mod ) = [a(mod ) gb(mod )](mod ).2 הוא שדה אם ורק אם הוא ראשוני. קבוצת המספרים המרוכבים (שנסמן אותה ב- ) היא שדה ביחס לפעולות שהוגדרו g = g = = 2Re() - = 2Im() g = g = = = + 2 g 2 g = rr[cos( θ + θ ) + isi( θ + θ )] r = [cos( θ1 θ2) + i si( θ1 θ2)] r = rg(cosθ + isi θ ) = r g(cosθ + isi θ ) אם אז סכום שורשי היחידה שווה ל

3 a ii מטריצות מטריצה ריבועית - מטריצה.1 אלכסון ראשי של מטריצה ריבועית האיברים מטריצת אפס מטריצה שכל איבריה שווים לאפס (לדוגמא: ( מטריצת יחידה - מטריצה ריבועית שכל אברי האלכסון שווים ל- 1 ובכל מקום אחר 0. ( 1 0 (לדו גמא : 0 1 מטריצה אלכסונית מטריצה ריבועית שבה כל האיברים מחוץ לאלכסון הראשי a1 0 0 שווים לאפס. 0 0 O 0 0 a מטריצה סקלרית מטריצה אלכסונית שבה כל אברי האלכסון הראשי שווים a 0 0 a מטריצה תיקרא סימטרית אם - = מטריצה סימטרית חייבת להיות ריבועית ואבריה מקיימים a = a מטריצה תיקרא אנטי סימטרית אם = - מטריצה אנטי סימטרית חייבת להיות ריבועית ואבריה מקיימים a = a (הערה: בכל שדה שאינו מודולו- 2 יופיעו ij אפסים באלכסון הראשי) 9. מטריצה ריבועית נקראת משולשת עליונה [תחתונה] אם כל האיברים מתחת [מעל] לאלכסון הראשי הם אפסץ 10.וקטור שורה [עמודה] = מטריצה בעלת שורה [עמודה] אחת בלבד. ij ij ji,α סקלארים β, מטריצות,, ( α) = α.7 + = +.1 ( αβ)= α( β).8 (+)+ = +(+). 2 ( ± ) = ± ( α + β)= α+ β = +(-1)=0 ( ) =.11 α (+ )= α+ α. 5 ()=().1 (+)=+.2 (+)D=D+D.3 I=I=.4 0=0=0.5 () =.6 כל מטריצה מעל שדה F שקולה שורות למדורגת מצומצמת (קנונית) אחת ויחידה..3.4 ϕ() = ϕ(i) g θ () = gθ (I) מטריצה אזי: 1. אם ϕ פעולה על שורות אזי: 2. אם θ היא פעולה על עמודות אזי: - 3 -

4 מ V מרחבים וקטורים ותתי מרחבים קבוצה V תקרא מרחב וקטורי מעל שדה F אם קיימות שתי פעולות +, שתקראנה חיבור וכפל, חיבור בין אברי V, וכפל בין אברי V לאברי השדה. כך שמתקיימות הדרישות הבאות: u,v V u + v V [סגירות לחיבור].1 u,v,w V v+(u+w) (v+u)+w = [אסוציטיביות לחיבור].2 קיים איבר נייטרלי לחיבור ב V "אפס" ויסומן '0' והוא מקיים: v V v+ 0 = v [נייטרלי לחיבור] 3. [איבר נגדי] לכל v V יש אביר נגדי ב V שיסומן v- (מינוס v) כך ש: = 0 (v-) v +. 4 vu, V u+ v= v+ u [קומוטטיביות בחיבור] 5. v V, α F αv V [סגירות לכפל [. 6 vu, V, α F α( v+ u) = αv+ [דיסטריביוטיביות סקלר [ αu. 7 v V, α, β F ( α+ β) gv = αv+βv [דיסטריביוטיביות מ.ו]. 8 1 F, v V v 1 gv = [נייטרלי לכפל [.9 α, β F, v V βgv) ( αβ) gv = α(.10 [קומוטטיביות בכפל] יהא V מרחב וקטרי מעל שדה F. 0 V, α F 0= α g0.1 v V, 0 F 0 = 0 gv. 2 α F, v V α gv = 0 α=0 v = 0. 3 α F, v V (- α) v = α( v) = ( αv). 4 V מ.ו, U תת קבוצה, אזי U תת מרחב וקטורי אם ורק אם מתקיימות 3 הדרישות הבאות: U לא ריקה 1. u1, u2 U u1+ u2 U.2 α F, u U α gu U הגדרה: אוסף כל הצירופים הלינארים של v,..., Lv (, v,..., v) = v, נקרא המרחב v = L(s) = Sp(s), s = { v1, v2,..., v המרחב הנפרש. v 1 נסמן : }, v 2 הנפרש ע"י,..., v V מ.ו, S תת קבוצה סופית של V, אזי L(s) הוא תת מרחב וקטורי של V "הקטן" ביותר שמכיל את S (כל תת מרחב המכיל את S מכיל גם את L(s) ( מרחב הנפרש ע"י שורות של מטריצה נקרא מרחב השורות של המטריצה. (הערה: למטריצות שקולות שורה יש אותו מרחב שורות). u w.ו, u,w תתי מרחבים אזי תת מרחב וקטורי. u,w תתי מרחבים של מרחב וקטורי V, אזי: u+w גם תת מרחב וקטורי. הגדרה: סכום ישר- U,W תתי מרחבים של מרחב וקטורי, אזי U+W סכום ישר, אם כל. U איבר ב- U+W ניתן לרשום באופן יחיד בצורה u U, w W u + w נסמן: W u u,w תתי מרחבים של V מ.ו, אזי הסכום u+w הוא ישר אם ורק אם {0} = w - 4 -

5 מערכות של משוואות לינאריות תהא x=0 מערכת הומוגנית עם נעלמים מעל שדה F, אזי אוסף כל הפתרונות הוא תת מרחב של F מסקנה: למערכת הומוגנית מעל שדה אינסופי, יש פתרון יחיד או אינסוף פתרונות. X=a 0 תהא x=b מערכת משוואות לינאריות, נניח כל הפתרונות של המערכת הוא: } d פותר מסקנה: תהא x=b מעל שדה אינסופי, אינסוף פתרונות. הוא פתרון למערכת, אזי אוסף T = { X = a 0+ d x = 0 אזי או שאין פתרון או שיש פתרון יחיד תהא x=b מערכת משוואות לינאריות עם נעלמים מעל שדה F אזי: יש פתרון אם ורק אם r(*) r() = 1. אם יש פתרון, מספר הנעלמים שניתן לבחור שרירותית הוא -r() 2. יש פתרון יחיד אם ורק אם r(a) = r(*) = 3. או שיש מטריצות הפיכות הגדרה: מטריצה ריבועית תקרא הפיכה אם יש מטריצה ריבועית אחרת כך ש = = I אם יש כזאת היא תקרא ההופכית של ותסומן ב -1 אם מטריצה הפיכה אזי יש לה הופכית יחידה 1. אם, הפיכות מאותו סדר אז גם הפיכה ומתקיים 2. () = אם הפיכה אזי גם הפיכה ומתקיים ) ( ( ) = תהא מטריצה הפיכה.1 r() =.2 I שקולה שורות ל 3. מעל שדה F. שלושת התנאים הבאים שקולים: בסיסים ומימדים V מ.ו, v1, v2,..., v איברים ב V אזי v1, v2,..., v יקראו αv= α1v1 + α2v ולא כל α1, α2,..., α סקלרים כך ש 0 הגדרה: (תלוי לינארית) תלויים לינארית אם קיימים.α = 0 הגדרה: (בלתי תלוי לינארית) V מ.ו,,v1,...,v2 v איברים ב V אזי,v1,...,v2 v יקראו בלתי תלויים לינראית אם כל שיוויון = 0 v α1v1 + α2v α גורר בהכרח α1 = α2 =... = α = 0-5 -

6 מ V ו. V מ.ו מעל שדה F. 1. כל קבוצה שמכילה 0 היא תלוייה לינארית. 2. קבוצה שמכילה קבוצה תלוייה לינארית גם היא תלוייה לינראית 3. קבוצה מוכלת בקבוצה בלתי תלוייה לינארית גם היא בלתי תלוייה לינארית.,v1,...,v2 v תלויים לינראית אם ורק אם לפחות אחד מהם הוא צירוף לינארי של.4 האחרים.,v1,...,v2 v תלויים לינארית ושונים ומאפס אם לפחות אחד מהם הוא צירוף לינארית.5 של קודמיו.,v1,...,v2 v תלויים לינארית אם ורק אם הוא פורפוציונלים (כלומר אחד מהם הוא.6 כפולה של האחר בסקלר). 7. שורות שונות מאפס של מטריצה מדוגרת הן בלתי תלוייות לינארית. הגדרה: בסיס למרחב וקטורי הוא קבוצה פורשת ובלתי תלויה לינארית. הגדרה: מרחב וקטורי שיש לו בסיס עם מספר סופי של איברים נקרא מרחב מימד סופי. V מ.ו, קבוצה פורשת בת m איברים, קבוצה בלתי תלוייה לינארית בת. m איברים, אזי מסקנה: V מ.ו אזי בכל בסיס יש אותו מספר איברים. הגדרה: מספר האיברים בבסיס של מ.ו V נקרא המימד של V, סימון:.dim(V) יהא V מ.ו, בסיס אזי כל אבירי V ניתן לרשום כצרוף לינארי של אברי באופן יחיד. אזי α, α,..., α נקראים 1 2 V = α α α 1v1, 2v2,..., v v1, V, ={ מ, v2,..., v הגדרה: { הקואורדינטות של V בבסיס. שלושת התנאים הבאים שקולים: בסיס.1 קבוצה בלתי תלוייה לינארית מכסימלית (כלומר כל קבוצה שמכילה אותה תהיה 2. כבר תלוייה לינארית) קבוצה פורשת מינימלית (פורשת, אף כל תת קבוצה אמיתית אינה פורשת) 3. יהא V מ.ו ממימד אזי: כל 1+ איברים ב V הם תלויים לינארית. 1. כל קבוצה בלתי תלוייה לינארית בת איברים היא בסיס. 2. כל קבוצה פורשת בת איברים היא בסיס. 3. כל קבוצה בלתי תלוייה לינארית ניתנת להשלמה לבסיס. 4. (המימדים ה- I ).ו,, uw תתי מרחבים אזי dim( u+ w) = dim( u) + dim( w) dim( u w) מימד מרחב השורות במטריצה שווה למימד מרחב העמודות. r( ) = r( ניסוח אחר: ) - 6 -

7 , מטריצות כך ש מוגדרת. אזי העמודות של העמודות של. הן צירופים לינאריים של r( ) r( ).1 r( ) r( ). 2 אם הפיכה אז ) r( ) = r(.1 אם הפיכה אז ) r( ) = r(.2 טרנספורציות לינאריות הגדרה: W,V שני מ.ו מעל אותו שדה F. פונקציה T : V W תיקרא טרנספורציה לינארית [העתקה לינארית] אם: 1. Tv ( 1+ v2) = Tv ( 1) + Tv ( 2) v1, v2 V 2. T( αv) = αt( v) α F, v V תהא T : V W טרנספורציה לינארית, v V T (0) = 0.1 T( v) = T( v). 2 אזי: ker( T) = { v V T( v) = 0} Im( T) = { T( v) v V} ker( T) V Im( T) W ker( T ) = {0} Im( T ) הגדרה: הגרעין של T : V W שיסומן ב Ker(T) יוגדר כך: התמונה של T : V W שתסומן ב Im(T) תוגדר כך: תהא T : V W טרנספורציה לינארית.V תת מרחב של ker( T ).1.W תת מרחב של Im( T ).2 Im( v) = W על אם ורק אם T 3. ( Tv ( ) = Tv ( ) אם ורק אם v= v ) חד חד ערכית T ( Tv Tv (,..., 1), פורשים את 2),..., Tv (,v1 פורשים את V אזי ) אם v2 v (המימדים ה- II ) V,W מ.ו מעל שדה F. תהא T : V W טרנספורציה לינארית אזי : dim( V) = dim(ker( T)) + dim(im( T)) הגדרה: מימד התמונה של T טרנספורציה לינארית נקרא הדרגה של r(t) = T 2.5 m מעל שדה F. נגדיר תהא מטריצה מרחב העמודות של המטריצה 1. r( ) = r( T).2 T : F F ע"יv Tv () = אזי : m - 7 -

8 מ V ח T Tv ( ) = w 1 1 Tv ( ) = w M 2 2 Tv ( ) = w V,W שני מ.ו מעל שדה F. W איברים כלשהם ב w1, w2,... w יהיה v, v,..., v בסיס ל.V יהיו אזי קיימת T טרנספורציה לינארית אחת ויחידה כך ש:. 1 2 הגדרה: V,W מ.ו מעל שדה F. אוסף כל הטרנספוציות הלינאריות מ- V ל W יסומן ב Hom(V,W) Hom(V,W) הוא מ.ו ביחס לחיבור וכפל בסקלר שהגדרנו. המימד של Hom(V,W) הוא dim(v)*dim(w) כפל טרנספוציות לינאריות בסקלר: תהא T : V W טרנספורציה לינארית αt : V W ( αt)( u) = αt( u) V ST, : טרנספורציות לינאריות חיבור טרנספוציות לינאריות: יהיו W ( S + T): V W ( S + T)( u) = S( u) + T( u) הרכבת טרנספוציות לינאריות: V,W,U מ.ו מעל שדה F, ST טרנספורמציות לינאריות. נגדיר: S T V W U TS : V U ( TS)( v) = T ( S( v)) הגדרה: הגדרה:.ו, I( v) = v v V תיקרא טרנספורצמית הזהות שתקיים I: V V T 1 T 1 : V V וגם הגדרה: T : V V נניח ש T טרנספורציה לינארית. ח.ח.ע ועל אזי יש פונקציה הפוכה T על T : V V אזי: T הפיכה.ח.ע הגדרה: תהא T : V W טרנספורציה לינארית שהיא ח.ח.ע ועל (בפרט הפיכה) ניקראת איזומורפיזם. שני מרחבים וקטורים W,V נקראים איזומורפים אם קיים איזומופיזם בניהם. סימון: V W R R P [ ] 3 לדוגמא : x V W אם ורק אם W) dim( V) = dim( - 8 -

9 מ V יצוג טרנספורציות ע"י מטריצות מטרה: נתונה, T : V W בסיס ל, V בסיס ל.W V (כאשר V = T() מחפשים מטריצה כך ש v וקטור קואורדינטות לפי = { e, e,..., e } 1 2 = { f, f,..., f } 1 2 [ ] m m [ ] [ ] וקטור קואודינטות של הטרנספורציה לפי בסיס ( Te ( ) = a f+ a f a f m 1m Te ( ) = a f+ a f a f M m 1m Te ( ) = a f+ a f a f m ( ) ( ) [ ] a11 K a1 m M O M = a 1 a L m [ ] Tv () בסיס, ו [ T ] = [ ] = [ ] [ T] g[ V] = [ T() v ] T : V V, T T r T = r T אזי.W בסיס ל, V בסיס ל, T : V W הערה : מסקנה: מסקנה: לכל המרטיצות המייצגרות של ט.ל יש אותה דרגה. 1. [ T ] + S = [ T ] + [ S ] b 2. [ αt] = α[ T] S, T, בסיס לV, בסיס לW אזי : hom( v, w) משפט : [ v+ u] = [ v] + [ u] vu, V.ו, בסיס לV, אזי m מטריצה V מ v =.ו ממימד, בסיס. אזי בהכרח = 0.. אם עבור כל v V מתקיים [ ] 0 מטריצות, בסיס ל- V. אם לכל v V מתקיים, D m m מסקנה: מ V.ו ממימד [ אזי בהכרח. = D v ] = D[ v] D בסיס ל U. אזי: [ TS ] [ T ] [ S ] D = D g W, בסיס ל בסיס לV, כך ש V, W S T U I : V V טרנספורצמית הזהות, בסיס ל V אזי [ I = I ] ([ ] ) 1 1 T = T אזי בסיס לV טרנספורציה לינארית הפיכה, T : V V - 9 -

10 { } שינוי בסיסים { } f = f1, f2,..., f, e= הגדרה: יהא V מ.ו, נקח שני בסיסים:,e1,...,e2 e. f לבסיס e תיקרא מטריצת המעבר מבסיס P f1 = a11e1+ a12e a1 e a11 a12 K a1 f2 = a21e1+ a22e a2e a21 a22 a2 P K = M M M M f = a 1e1+ a2e ae a1 a2 K a 1. Pv [ ] = [ v] f e 2. P 1 [ v] = [ v] e f [ T] = P 1 [ T] P אזי: V בסיסים של,e f טרנספורציה לינארית, T : V V f e = 1 P P הגדרה:, מטריצות נקראות דומות אם קיימת מטריצה P הפיכה כך ש. ( ) ( ) 1 למטריצות דומות יש אותה דרגה, כלומר = P P r = r הגדרה: סכום אברי האלכסון הראשי של מטריצה נקרא העקבה של יסומן ב (. r( משפט : אם, מטריצות ריבועיות אזי ). r ( ) = r( מסקנה: למטריצות דומות יש אותה עקבה. דטרמיננטות. de( ) הגדרה: דטרמיננטה של מטריצות ריבועיות תסומן ב או הגדרה: הדטרמיננטה של מטריצה המתקבלת ממטריצה ע"י מחיקת שורה j,i של ותסומן ב. נקראת המינור ה- j i ועמודה M ij =. ( 1) i + j aij כל מה שנכון עבור שורות של דטרמיננטה נכון גם עבור עמודות כלומר אפשר לפתח דטרמיננטה לפי כל שורה/עמודה. האיבר ה,i הוא j כללים לחישוב דטרמננטים: 1. אם אחת השורות/עמודות היא אפסים אזי הדטרמננטה שווה לאפס. 2. הדטרמיננטה של מטריצה משולשת שווה למכפלת אברי האלכסון הראשי. 3. אם מחליפים שתי שורות/עמודות זו בזו סימן הדטרמיננטה מתחלף. 4. אם יש שתי שורות/עמודות שוות הדטרמיננטה שווה לאפס. 5. ניתן להוציא גורם משותף משורה/עמודה. 6. אם יש שתי שורות/עמודות פורפוציונליות אזי הדטרמיננטה שווה לאפס. 7. אם נוסיף לשורה/עמודה כפולה של שורה/עמודה אחרת הדטרמיננטה לא משתנה

11 א) מסקנה: אם השורות/עמודות תלויות לינארית אזי הדטרמיננטה שווה לאפס. הערה : אם, שקולות שורה אזי = 0 אם ורק אם = 0 משפט : 0 = אם ורק אם השורות של הם תלויות לינארית. מסקנה : הפיכה אם ורק אם 0 דטרמיננטות ומטריצות הפיכות ), adj( האיבר ה הגדרה: תהא מטריצה נגדיר מטריצה ששמה,i במטריצה j ( 1) i +. j M ij adj הוא ( ). 1 1 = adj( ) gadj( ) = gi 1 g adj( ) מסקנה: אם 0 = I כלומר דטרמיננטות ומשוואות לינאריות הגדרה : (הכלל של קרמר) תהא x = b מערכת משוואות של משוואות עם נעלמים. נניח 0 כלומר פתרון יחיד. נסמן = אזי: i הדטרמיננטה של לאחר שהעמודה ה i הוחלפה בעמודה b תיקרא 1 x1 = x1 2 x2 = x2 M אם = x אזי M x x = דטרמיננטה של מכפלה =, מטריצות ריבועיות מאותו סדר ( זי = 1 1 מסקנה: אם הפיכה אזי

12 ו( ו( [ T ] הגדרה: ערכים עצמיים T : V V טרנספורציה לינראית תיקרא לכסינה אם קיים בסיס ל V כך ש מטריצה מייצגת לפי בסיס היא אלכסונית. הגדרה: מטריצה ריבועית תיקרא לכסינה אם דומה למטריצה אלכסונית. הגדרה: (ו.ע, ע.ע) T : V V טרנספורציה לינארית, 0 v v V, יקרא וקטור עצמי (ו.ע) אם קיים α F כך ש Tv ( ) = αv ואז α יקרא ערך עצמי (ע.ע) של T המתאים לוקטור העצמי. v 0 v v F, יקרא וקטור עצמי, F מטריצה ריבועית מעל שדה הגדרה:.ע, ע.ע).ע) של אם קיים α F כך ש v = αv ואז αיקרא ערך עצמי (ע.ע) של המתאים לוקטור עצמי. v [ T ] T : V V טרנספורציה לינראית, בסיס ל,V אברי הם וקטורים עצמיים (ו.ע) של T. אלכסונית אם ורק אם כל מטריצה ריבועית אזי אלכסונית אם ורק אם קיימים וקטרים עצמיים (ו.ע) בלתי תלויים לינארית ל-. דטרמיננטה של = T ([ T ] T,V בסיס ל, טרנספורציה לינראית T : V V [ T ] הגדרה: דטרמיננטה של אחת מהמטריצות המייצגות (עם זוג בסיסים זהה הגדרה: (פ.א) T αi - הפולינום האופייני (פ.א) של T. הגדרה : (מ.ע) יהא α0 ערך עצמי (ע.ע) של T, אוסף כל הוקטורים העצמיים (ו.ע) של α0.α 0 סימון: בצירוף האפס נקרא המרחב העצמי (מ.ע) של Vα 0 T : V V טרנספורציה לינראית אזי: 1. הערכים העצמיים (ע.ע) הם השורשים של הפולינום האופייני (פ.א) 2.. הוקטורים העצמיים (ו.ע) של ערך עצמי (ע.ע) α הם האיברים השונים מאפס של ker( T α I). V הוא תת מרחב וקטורי של V α V α בפרט = ker( T α I). 3 וקטורים עצמיים (ו.ע) של ערכים עצמיים (ע.ע) שונים הם בלתי תלויים לינראית. v 1 וקטורים עצמיים (ו.ע) בלתי תלויים, v 2,..., v מטריצה ריבועית לכסינה. יהיו P= ( v1, v2,... v אזי: α2,...,. α1, נסמן : ) α לינארית של שמתאימים לערכים עצמיים (ע.ע ( α1 0 L 0 0 α 1 2 P P M = M O M 0 K K α

13 ר( ר( מסקנות: אם למטריצה למטריצה אלכסונית). יש ערכים עצמיים (ע.ע) שונים אזי היא לכסינה (כלומר דומה הגדרה: (ר.א, ר.ג) T : V V טרנספורציה לינארית, α ערך עצמי (ע.ע) של T. 1. הריבוי של α בפולינום האופיני (פ.א) נקרא הריבוי האלגברי (ר.א) של α. 2. מספר הוקטורים העצמיים (ו.ע) הבלתי תלויים לינארית של α נקרא הריבוי הגאומטרי.ג) של α..א) של 0 T : V V טרנספורציה לינארית α ערך עצמי (ע.ע) של T אזי הריבוי האלגברי α0 גדול או שווה מהריבוי הגאומטרי (ר.ג). [מתקיים ר.א ר.ג 1 [ מסקנה: T לכסינה אם ורק אם עבור כל ערך עצמי (ע.ע) הריבוי האלגברי (ר.א) שווה לריבוי הגאומטרי (א.ג). [כלומר לכל ע.ע : ר.א = ר.ג T לכסינה]. משפט : מטריצה ריבועית. אזי הפיכה אם ורק אם = 0 α אינו ערך עצמי (ע.ע) שלה. משפט : תהא α 0 ערך עצמי (ע.ע) של. אזי ערך עצמי (ע.ע) של מטריצה ריבועית הפיכה, יהא 1 α 0 1. הוא למטריצות דומות יש אותו פולינום אופייני (פ.א) ולכן אותם ערכים עצמיים (ע.ע). ל ול יש אותם ערכים עצמיים (ע.ע).. מטריצה ריבועית.. r( ) 1. סכום הערכים העצמיים (ע.ע) של = העקבה של = 2. מכפלת הערכים העצמיים (ע.ע) של = הדטרמיננטה של = מטריצה ריבועית שבה סכום כל אברי השורה [או עמודה] הוא קבוע. אזי הסכום 1 1 הקבוע הזה הוא ערך עצמי (ע.ע) ששייך לוקטור העצמי (ו.ע) הבא :. M 1 ל ול יש אותו פולינום אופייני (פ.א) ולכן אותם ערכים עצמיים (ע.ע). מסקנה: אם סכום האיברים בכל עמודה הוא קבוע K אזי K הוא גם ערך עצמי.. f( ) אזי = 0 משפט (קיילי-המילטון): אם (x )f הוא פולינום אופייני (פ.א) של מטריצה