( k) ( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) A Ω P( B) P A B P A P B תכונות: A ו- B ב"ת, אזי: A, B ב "ת. בינומי: (ההסתברות לk הצלחות מתוך n ניסויים) n.

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "( k) ( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) A Ω P( B) P A B P A P B תכונות: A ו- B ב"ת, אזי: A, B ב "ת. בינומי: (ההסתברות לk הצלחות מתוך n ניסויים) n."

Πολωνα Βιτάλη
6 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Ω קבוצת התוצאות האפשריות של הניסוי A קבוצת התוצאות המבוקשות של הניסוי A A מספר האיברים של P( A A Ω מבוא להסתברות ח' 434 ( P A B הסתברות מותנית: P( A B P( B > ( P A B P A B P A B P( B PB נוסחאת ההסתברות השלמה: PA PAB PB אם: B Ω B P( אזי: ( PB ( > PB ( Bj נוסחת בייס: P( B A P( A P( A B אם ( PB> PA אזי : P( B ובניסוח נוסף: P( B A P( A Ω A אזי: אם : A P( P( B Aj P( Aj j PA ( > P( B PA ( A ( P( A P A B P A P B P A B P( > + > P( > > B P( אזי : מאורעות בלתי תלויים: A ו- B ב"ת זה בזה אם: הערה: אם בנוסף C AB C A ו- B ב"ת אזי: A B ב "ת C C A B משתנה מקרה בדיד מודל ניסויי ברנולי עם פרמטר P בינומי: (ההסתברות ל הצלחות מתוך ניסויים מספר ההצלחות K P מספר הניסויים p q 3 B p גיאומטרי: (ההסתברות ל ניסויים עד להצלחה הראשונה PY ( p q Y Geom p j חוסר הזיכרון של הפילוג הגיאומטרי : עמוד מתוך

2 מבוא להסתברות ח' 434 N( P a< < b φ( b φ( a φ( φ( z N ( μ P e Pos פואסון : λ λ ( λ! קירוב פואסוני: כאשר גדול וp קטן (כאשר >p > אזי : B( p Pos ( λ p b משתנה מקרי רציף הוא משתנה מקרי רציף בהחלט אם קיימת ( ( הנקראת פונ' צפיפות. P a< < b a כך ש <. P < < Ω. פונק' צפיפות נקבעת ביחידות עד כדי מספר סופי או ניתן להימנות של נקודות.. 3 P( > t+ s > t P( > s פונקציית צפיפות למשתנה מקרי אחיד a< < b ( b a else פונקציית צפיפות למשתנה מקרי מעריכי/אקספוננציאלי λ λe > ( < ep λ חוסר הזיכרון של הצפיפות המעריכית : פונקציית צפיפות נורמלית כללית/גאוסית נוסחת התיקון: כללי: a b b a P( a z b P μ μ μ φ( μ < < < < φ( פונקציית צפיפות גאמה פונקציית צפיפות של סכום אקספוננציאלים r r λ λ e עבור r מתקבלת צפיפות > ( ( r! אקספוננציאלית רגילה. else Gamma r ( λ ( μ e ( π ( μ עמוד מתוך

3 מ" פונקציית התפלגות lm F. מבוא להסתברות ח' 434 P( < < lm F (. (ערך הפונקציה הוא הגבול מימין ( F פונקצייה לא יורדת (.3 F רציפה מימין (.4.5 (. 6 F פונק' רציפה אם מ"מ רציף (בהחלט אזי ( ' בנק F בערך הקפיצה P F lm F ( y c F ( F y משפט: רציף אזי: F' ( בכל בו ( גזירה. ( מ F ניסוח נוסף : u u F ( משפט: יהיה מ"מ פונק' התפלגות שלו. ( β α (נסמן α סכום הקפיצות α קיים קבוע F וקיימת פונק' התפלגות רציפה קיימת פונק' התפלגות בדידה c F ( αf ( + βf ( כך ש : y h אזי : משפט: יהי מ "מ בעל צפיפות ( ( h פונ' מונוטונית ממש וגזירה(בקטע נגדיר ( תהי ( ' Y ( y ( h ( y ( h ( y משפט: יהי מ "מ בעל צפיפות ( ( בתומך של יש מספר סופי של מקורות y גזירה כזו שלכל ' h ( אזי :... פונק תהי ' ( ( y y h y h Y תוחלת עבור מ"מ בדיד E P ( עבור מ "מ בינומי: E p E עבור מ"מ גיאומטרי: p עבור מ"מ פואסוני: E λ עמוד 3 מתוך

4 מבוא להסתברות ח' 434 ( ± q p p + q q λ! e λ ( q נוסחאת הבינום : ' תוחלת עבור מ"מ רציף * E בתנאי שהאינטגרל מוגדר היטב (יכול לקבל את הערך a ( b a עבור מ"מ אחיד: E (אמצע הקטע E עבור מ"מ אקספוננציאלי: λ עבור מ "מ גאוסי: E μ למה: אם צפיפות ( ( סימטרית סביב מספר כלומר a ( a+ ( E ( ( c β ( אם התוחלת קיימת אזי: a ( F( E F( + ( F ( F תוחלת עבור מ"מ מעורב F αf + F ( c E αey + βez אזי: Y F אם מ"מ מעורב כאשר EY h EY קיימת אזי: Z F Y h אם ( ( ( p תוחלת של פונקצייה של מ"מ מ "מ בעל צפיפות EY h m o m (!! eve N משפט : עבור מקרה בדיד : m m ( מומנטים E( תכונות יסודיות של תוחלת E( + a E + a E( c ce + + E g h Eg Eh עמוד 4 מתוך

5 מבוא להסתברות ח' 434 שונות Var E E m ( m שונות של מ"מ בדידים: λ λ Var pos ( Var pq B p q Var Geom( p p שונות של מ"מ רציפים: ( b a [ ] Var U a b Var ep( λ λ Var N μ תכונות של השונות Var : מ"מ מנוון אמ"מ cost Var ( + a Var ( Var ( c c Var (. s s Ee c c פונקציה יוצרת מומנטים אם מ"מעבור s נגדיר. s מוגדרת לכל ( s s יכולה להיות סופית או אינסופית. I { s ( s נסמן: {>. ( I לכל I קטע רציף הכולל את. s s e אם ל- יש צפיפות ( ( אזי: (התמרת לפלס של הצפיפות. Δ פעמים ברציפות ב- E משפט (נגזרות של פונקציה יוצרת מומנטים: ננחי ש I מכיל קטע פתוח סביב s וש- s ( גזירה ( ( m אזי קיים המומנט מסדר של ו- m! אזי : c ( s cs ( s אם ניתן לכתוב את כטור : δ δ < s < עמוד 5 מתוך

6 מבוא להסתברות ח' 434. Eh( ( ϕ ( פונקציה אופיינית t t מ"מ אזי: ( t Ee e ( t אם תכונות : ϕ ( t ( t ϕ ( מוגדר וסופי לכל ϕ ( ( ( ϕ m ( μ > a P ϕ קיימת אזי: בהנחה ש משפט: אי-שיוויון צ'בישב יהי מ"מ בעל תוחלת μ וסטיית תקן : P( μ > b b ניסוח נוסף כאשר : b a a משפט: אי-שיוויון ינסן יהי מ"מ ו- ( h פונק' קמורה בהנחה שהתוחלות קיימות וסופיות : E h.. תוספת:אם קיים קטע I כך ש- I P ו- h( קמורה בקטע עדיין מתקיים המשפט. ווקטור אקראי פונקציית ההסתברות של ו"א בדיד... ( נתונה ע"י: P... P... כלומר לחיתוך של פונקציות ההסתברויות הבדידות.... P P Y בדיד בדיד Y בדיד ( P P y P P... Y... y... אם הערה:מפונקציית ההסתברות המשותפת ניתן לחשב את פונקציות ההסתברות השוליות אך לא ניתן ע"י פונקציות ההסתברות השוליות (אפילו לא ע"י כולן לחשב את המשותפת. ( נקראת פונקציית הצפיפות המשותפת של... ווקטור אקראי רציף... (... בעלת (... (( P A... (... נקבעת ביחידות עד כדי קבוצות של שנפחן במימד הוא עמוד 6 מתוך

7 מבוא להסתברות ח' 434 ל - יש צפיפות : יש צפיפות משותפת הצפיפות האחידה ב- : D D A c צפיפות שולית: אם ל... ( עבור צפיפות אחידה- אם D תחום ב- בעל נפח (... D else VOL A P ( A ( D פונקציית התפלגות של ווקטור אקראי F... P Y Y ( ( y ( Y ( y lm F or ( lm F y P F y ( ( lm F y P Y y F ( ( ( + ( F b F b c F a b F a c Y y a b F u... u u... u Y Y... ( y F... F y y ווקטור אקראי בלתי תלוי F... (... (... F F F במקרה הרציף :... ב"ת אמ"מ ( במקרה הבדיד:... ב"ת אמ"מ P (... P... עבור ווקטור אחיד- הרכיבים לא יהיו ב"ת אם תחום האחידות לא יהיה מלבן (מקביל לצירים. קונבולוציה הגדרה: נתונות שתי פונקציות אינטגרביליות הפעולה: U V U V נקראת הקונבולוציה של U * V U+ V U u V u u U * V V * U Gamma ( r + s λ Gamma ( r λ * Gamma ( s λ PU חיוביים רק ב- שלם אזי : ( PV ( P + P ( P ( עבור מקרה בדיד: UV בדידים וב"ת U V U V עמוד 7 מתוך

8 י" מבוא להסתברות ח' 434 A Pos ( λ * Pos ( λ Pos ( λ+λ B ( p * B( m p B( + m p תוחלת של פונקצייה של ווקטור אקראי ( ו"א בעלת צפיפ h( Y אזי : ות יהי... ו-... ( ( (... E + Y E + EY EY... h ( E( Y אם ו- Y לא מתואמים אזי: E EY טרנספורמציה של ווקטור אקראי (... יהי ו"א בעלת צפיפות... y... ו-( y ( ( ( ( uv J uv S uv UV S Y S (... ( נתונה ע... (... (... (... הטרנספורמציה ההפוכה y y y y J y y S y y Y Y S ( Y ( עבור UV : U U ( Y ( U V ( Y JS U V J U V ( UV Y Y V V U V Y ({ < } P( A P A F A P < A Y ( y YA התפלגות מותנית מאורע עבור בדיד: > A P מ"מ אזי: ({ } P( A P Y y A P y A P y Y A ( y ( Y A F A A A A הגדרה : A E A A אם ו"א בעל צפיפות משותפת אזי: ( y Y ( Y EY ( y ובהתאם : yy ( Y C C נוסחאת התוחלת השלמה: ( ( + ( ( ( E E A P A E A P A Y Y y y Y ( y נוסחאת הצפיפות השלמה : ( y y y Y Y Y ( משפט: עמוד 8 מתוך

9 מבוא להסתברות ח' 434 E ( E( Y משפט ההחלקה: E קווריאנס Y cov ( Y E ( μ( Y μy הגדרה : בהנחה כי : < EY E < cov ( var ( cov Y E Y EEY אם Y בלתי מתואמים : cov Y E Y EEY + Y + Y cov ( + Y cov ( Y + cov ( Y cov ( a Y a cov ( Y cov ( Y cov ( Y cov ( + CY cov ( Y var ( + Y var + vary + cov ( Y ( Y cov Y Y Y משפט: לכל Y cov ( Y cov ( cov ( Y צורה נוספת : (Y ( corr Y קורלציה Y cov ( Y ρ Y הגדרה: Y Y > > : cov מוגדרת רק אם בנוסף להנחה של ρ Y Y ρ Y ρ Y ρy ρ ay sg a ρ Y ρ + C Y ρ Y עמוד 9 מתוך

10 צפיפות גאוסית רב-מימדית הגדרה : ו"א ( נקרא גאוסי סימטרי אם קיימת מטריצה סימטרית A... מבוא להסתברות ח' 434 A a : j j j C e. A כך ש: הרכיבים ב "ת A אלכסונית. לא כל A יכולה לשמש לתבנית ריבועית. (... ( הגדרה:מטריצה A מוגדרת חיובית אם והשיוויון מתקיים רק עבור ( צפיפות C e A מוגדרת חיובית. A טענה: מטריצה A מוגדרת חיובית אמ"מ כל הערכים העצמיים של < A מטריצה A מוגדרת חיובית אמ "מ כל המינוריים הראשיים של < A N אם ( ווקטור גאוסי אזי:... מ"מ גאוסי ( ווקטור גאוסי סימטרי אזי : גם יהיה ווקטור גאוסי סימטרי. לא סינגולרית et... ווקטור גאוסי סימטרי Y מטריצה ( y y C et e Y אם (... (... y A Y ווקטור גאוסי סימטרי: ( cost אזי: מסקנה:לכל מטריצה מוגדרת חיובית A יש מטריצה B מוגדרת חיובית כך שA B B A A Y A A ווקטור גאוסי סימסטרי עם ( ( N N( A A A A I ווקטור גאוסי עם מטריצה Y A A N ( j j ( עבור מטריצת קווריאנס ווקטור אקראי נגדיר את המטריצה מ"מ גאוסי Y Z YZ Y YY YZ עבור 3 : Z ZY ZZ מטריצה סימטרית. באלכסון מופיעות השונויות. עמוד מתוך

11 עבור (צירוף לינארי של הרכיבים: מסקנה: מטריצת הקווריאנס מוגדרת אי שלילית. E כתיבה אחרת של מטריצת הקווריאנס: נהפוך כל חלק לחוד מבוא להסתברות ח' 434 ( j Z j j j j j Z a a var Z cov Z Z cov a a aa j cov j aa a a Y אזי: ו- m m m m j j E ( E( E אם ל- יש מטריצת קווריאנס ווקטור גאוסי (לא בהכרח סימטרי ce ( μ A( μ A E μ אבל לא בהכרח להיפך. Y הערה כללית: אם Y ( ב"ת Y ( בלתי מתואמים כלומר שלבי פתרון:. זיהוי A :לדוגמא עבור : ( a E + b y EY + c E y EY a c ( a + b y + c y+... Y ce A Y ce c b ו μ ע"י מציאת נקודות קריטיות של הפונק' (בעצם מספיק של ה. ep b a b c a : c a bc Σ כללי להפיכת מטריצה:. זיהוי : A הפיכת מטריצה טרנספורמציה: a b לדוגמא: U a + by V c + Y c a b a c UV מתקבלת ע"י: ומטריצת הקווריאנס של Y c b UV עמוד מתוך

12 חזאי כללי Y ווקטור גאוסי מבוא להסתברות ח' 434 ( ( ( g כך שלכל h מתקיים: E( Y g( אם Y בלתי תלויים cost a a המינימום יושג עבור (Y E E Y g E Y h Yˆ L ( μ + μy Y μ ES E EY חזאי לינארי אופטימלי החזאי הלינארי האפוטימלי של Y באמצעות נתון ע"י: Yˆ μy L Y ρ Y ( μ כתיבה אחרת: עבור ווקטור גאוסי החזאי האופטימלי הוא הלינארי. סדרת משתנים מקריים בלתי תלויים מפולגים זהה- נסמן באופן כללי: E μ var ES S נגדיר: Y S S var S var var vary var var S μ S lm P μ > δ : δ > חוק המספרים הגדולים תהי ( סדרה של משתנים מקריים S בהסתברות כלומר μ אזי לכל S ; E μ;var ( משפט הגבול המרכזי ( סדרה של מ" יהי מ בלתי תלויים מפולגים זהה. S ( N μ נניח א. כלומר פונקציית ההתפלגות האופייניות של בהתפלגות. שואפות לזו של N S S μ S N μ ( μ כללי: N ( ב. מ "מ בעל תוחלת μ ושונות ויש סיבה להתייחס אליו כסכום של מספר גדול של משמעות : אם (. N μ אזי: עמוד מתוך

Σχετικά έγγραφα

{ } { } { A חוקי דה-מורגן: הגדרה הסתברות מותנית P P P. נוסחת בייס ) :(Bayes P P נוסחת ההסתברות הכוללת:

{ } { } { A חוקי דה-מורגן: הגדרה הסתברות מותנית P P P. נוסחת בייס ) :(Bayes P P נוסחת ההסתברות הכוללת: A A A = = A = = = = { A B} P{ A B} P P{ B} P { } { } { A P A B = P B A } P{ B} P P P B=Ω { A} = { A B} { B} = = 434 מבוא להסתברות ח', דפי נוסחאות, עמוד מתוך 6 חוקי דה-מורגן: הגדרה הסתברות מותנית נוסחת