خالصه درس: نویسنده:مینا سلیمان گندمی و هاجر کشاورز امید ریاضی شرطی. استقالل متغیر های تصادفی پیوسته x و y استقالل و امید ریاضی

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "خالصه درس: نویسنده:مینا سلیمان گندمی و هاجر کشاورز امید ریاضی شرطی. استقالل متغیر های تصادفی پیوسته x و y استقالل و امید ریاضی"

Αελλα Αβραμίδης
5 χρόνια πριν
Προβολές:

1 به نام خدا آمار و احتمال مهندسی هفته 21 نیمسال اول ۴9-۴9 مدرس: دکتر پرورش ۴9/24/49 نویسنده:مینا سلیمان گندمی و هاجر کشاورز خالصه درس: امید ریاضی شرطی استقالل متغیر های تصادفی پیوسته x و y استقالل و امید ریاضی توزیع تابعی از یک متغیر تصادفی بررسی دوتابع از دو متغیر تصادفی تابع مولد گشتاور گشتاورهای یک متغیر تصادفی جمع دو متغیر مستقل تابع مولد گشتاور مشترک تابع نرخ خرابی

2 امید ریاضی شرطی به کمک تابع چگالی احتمال شرطی می توان امید ریاضی شرطی را تعریف کرد. E[X Y = y] = x f X Y (x y) dx E[X A] = x f X A (x) dx E[g(x) Y = y] = g(x) f X Y (x y) dx E[g(X, Y) Y = y] = g(x, y)f X Y (x y) dx قضیه امید ریاضی کل E[X] = E[E[X Y]] E[X Y] یک تابعی از y است نکته : E[X Y] = E[X Y = y] اثبات : E[X Y = y] = x f X Y (x y) dx E[E[X Y]] = E[X Y = y] f Y (y)dy = x f X Y (x y) f Y (y) dx dy = x( f X,Y (x, y) dy)dx = E[X] همچنین E[g(x)] = E[E[g(x y)]] E[g(x, y)] = E[E[g(x, y) Y]] در نهایت P(A) = P(A Y = y)f Y (y) dy اثبات X = { 1 ; XєA 0 ; XєA

3 E[X] = f X xєa (x)dx = P(A) E[X] = E[E[X Y = y]] = E[X Y = y]f Y (y)dy = P(A Y = y)f Y (y) dy مثال : فرض کنیم یک چوب داریم به طول L به صورت تصادفی به شکل یکنواخت یک مکان از چوب را انتخاب کرده و آن را دو قطعه می کنیم.سپس برای قطعه سمت راست دو مرتبه بصورت یکنواخت یک مکان روی قطعه انتخاب می کنیم و به دو قطعه تقسیم می کنیم.متوسط طول قطعه سمت راست باقی مانده چقدر است E[X] =? E[X Y = y] = y 2 0 y L E[X] = E[E[X Y]] = E [ Y 2 ] = 1 2 E[Y] = 1 4 L : استقالل متغیرهای تصادفی X و Y X و Y مستقلند اگر داشتن Y کمکی در مورد x نکند. f Y (y) 0 با فرض f X Y (x y) = f X (x) تعریف استقالل X و : Y f X,Y (x, y) = f X (x) f Y (y) نتیجه : اگر X و Y مستقل باشند P(XєA, YєB) = P(XєA)P(YєB) اثبات : P(XєA, YєB) = f X,Y xєa,yєb (x, y) dx dy = f X xєa,yєb (x)f Y (y)dx dy = f X xєa (x)dx f Y xєb (y)dy = P (XєA)P(YєB)

4 استقالل و امید ریاضی : E[XY] = : مستقل باشند Y قضیه : اگر X و E[X] E[Y] امید ریاضی جمع : شرط خاصی روی X و Y نداریم.+ E[X] E[X + Y] = E[Y] اگر Y X آنگاه E[XY] = E[X] E[Y] E[X]E[Y] ولی اگر= E[XY] آنگاه X و Y لزوما مستقل نیستند. اثبات قضیه : فرض کنیم X Y E[XY] = xy f X,Y (x, y)dxdy = xy f X (x) f Y (y) dx dy = xf X (x)dx yf Y (y)dy = E[X] E[Y] قضیه : اگر X و Y مستقل باشند var(x + Y) = var(x) + var(y) اثبات : var( X + Y) = E[(X + Y) 2 ] (E[(X + Y)]) 2 = E[X 2 + 2XY + Y 2 ] ((E[X]) 2 + 2E[X]E[Y] + (E[Y]) 2 ) = E[X 2 ] + E[Y 2 ] + 2E[XY] ((E[X]) 2 + 2E[X]E[Y] + (E[Y]) 2 ) = var(x) + var(y) مثال : واریانس متغیر تصادفی دوجمله ای را حساب کنید. X = X 1 + X X n var(x) = var(x X n ) = var(x 1 ) + + var(x n ) = np(1 p) مثال : فرض کنید تعداد افرادی که وارد مغازه می شوند یک متغیر تصادفی باشد با میانگین 05 فرض کنیم هر نفر مستقل از دیگران بطور متوسط تومان در مغازه خرج می کند.متوسط مقدار پولی که مغازه در روز بدست می آورد

5 Y = X X n E[Y] = E[10000n] = 10000E[n] = توزیع تابعی از یک متغیر تصادفی : f X(x) فرض کنیم X چگالی احتمال دارد و g(x) Y.می = خواهیم چگالی احتمال متغیر تصادفی Y را بدست آوریم. روش اول : به کمک تابع CDF چگالی احتمال تجمعی مرحله اول : یافتن CDF متغیر تصادفی Y F Y (y) = P(Y y) = f X (x)dx مرحله دوم : مشتق گیری از تابع CDF مثال : فرض کنید X توزیع یکنواخت در بازه [0,1] دارد آنگاه چگالی احتمال Y = X را بدست آورید. مرحله اول : f Y (y) = P(Y y) = P(0 X y 2 ) = y 2 0 y 2 1 مرحله دوم : f Y (y) = d dy F Y(y) = { 2y ; 0 y2 1 0 ; otherwise مثال : فرض کنیم X توزیع( x ) f X دارد.آنگاه چگالی احتمال Y=aX+b را بیابید. F Y (y) = P{Y y} = P(aX + b y) = P (X f Y (y) = d dy F Y(y) = 1 a f y b X ( a ) y b a ) = F y b X ( a ) ; a > 0 P (X y b ) = 1 F a X ( y b ) ; a < 0 a مرحله اول : مرحله دوم : روش دوم : فرض کنیم Y=g(x) صعودی است.آنگاه چگالی احتمال Y را بدست می آوریم.

6 اگر بخواهیم چگالی احتمال Y را بدست آوریم P(y Y y + δ y ) f Y (y)δ y P(g 1 (y) X g 1 (y) + δ x f X (g 1 (y)) + δ x δ y = g(x + δ x ) g(x) g(x) + g (x)δ x g(x) g (g 1 (y))δ x f Y (y) = f X ( (g 1 (y)) g (g 1 (y)) حال فرض کنیم g(x) نزولی باشد.

7 P(y < Y < y + δ y ) f Y (y)δ y P(X + δ x X x) f X (x)δ x = f X (x) g (g 1 (y)) δ y δ y = g(x) g(x + δ x ) g(x) g(x) g (x)δ x = g (g 1 (y))δ x f X (x) f Y (y) = g (g 1 (y)) فرض کنیم y=g(x) یک تابع یک به یک باشد f Y (y) = f X(g 1 (y)) g (g 1 (y)) حالت کلی :

8 g 1 (y) = {x 1, x 2., x n } P(y Y y + δ y ) = f X (x i )δ xi = f X(x i ) g (x i ) N = {x 1,, x n } f Y (y) = f X(x i ) g (x i ) i i i δ y g 1 (y) اگر آنگاه مثال : فرض کنیم X توزیع یکنواخت دارد در [1,1-] و. Y = X 2 چگالی احتمال Y را بدست آورید.

g 1 (y) = { y, y} f Y (y) = f X( y) g ( y) g(x) = و x 2 g (x) = 2x f X (x) { 1 ; 1 x 1 2 0 ; otherwise 1 ; 0 < y < 1 f Y (y) = { 2 y 0 ; otherwise بررسی دو

9 g 1 (y) = { y, y} f Y (y) = f X( y) g ( y) g(x) = و x 2 g (x) = 2x f X (x) { 1 ; 1 x ; otherwise 1 ; 0 < y < 1 f Y (y) = { 2 y 0 ; otherwise بررسی دو تابع از دو متغیر تصادفی : u = g(x, Y) { v = h(x, Y) اگر متغیرهای تصادفی X وY چگالی احتمال مشترک (y f X,Y,x) داشته باشند چگالی احتمال مشترک u و v را بیابید.

10 فرض کنیم تابع یک به یک است )دستگاه جواب یکتا دارد(

11 P(x < X < x + δ x ; y < Y < y + δ y ) f X,Y (x, y)δ x δ y δ s در ناحیه v احتمال اینکه u و قرار گیرند. P((u, v) δ s ) = f u,v (u, v)δ s = P(x X x + δ x ; y Y y + δ y ) f X,Y (x, y)δ x δ y (x, y) f U,V (u, v) = (u, v) f X,Y(x, y) f X,Y(x, y) (u, v) (x, y) به کمک ژاکوبین : (u, v) (x, y) = u x v x u y v y مثال : فرض X و Y متغیرهای تصادفی مستقل باشند با چگالی احتمال حاشیه ای (x) f X و( y ) f Y چگالی احتمال Z=X+Y را بیابید. w = h(x, Y) = X f Z,W (z, w) = f X,Y(x, y) (z, w) (x, y) (z, w) (x, y) = z x w x z y w = = 1 y z = x + y y = z w w = x f z,w (z, w) = f X,Y(w, z w) 1 = f X (w)f Y (z w) برای یافتن چگالی احتمال Z

12 f Z (z) = f z,w (z, w)dw = f X (w)f Y (z w)dw f Z (z) = f X (z) f Y (z) مستقل باشند و Z=X+Y آنگاه قضیه : اگر X و Y f Z (z) = f X (z) f Y (z) فرض کنید X n.., X 2, X 1 همگی مستقلند و چگالی احتمال( x ) f X است آنگاه چگالی احتمال + 2 Y = X 1 + X + X n را بررسی کنید.فرض کنیم ل( x ) f X یکنواخت در ] 2 [ 1 2, 1 اگر تعداد X i تابع مولد گشتاور : هایی که جمع میکنیم زیاد شود شکل نهایی به سمت چگالی احتمال نرمال میل می کند. M X (S) = E[e sx ] برای متغیر تصادفی X تعریف می کنیم برای متغیرهای تصادفی گسسته داریم M X (S) = e sx i P X (x) x i

13 برای متغیرهای تصادفی پیوسته M X (S) = esx f X (x)dx X توزیع نمایی دارد تابع مولد گشتاور را بیابید. مثال : f X (x) = λe λx x 0 M X (S) = e sx 0 λe λx dx = λ λ s s < λ مثال : X توزیع نرمال استاندارد f X (x) = 1 x 2 2π e 2 M X (S) = e sx 1 x 2 2π e 2 dx = e s2 2 فرض کنیم تابع مولد گشتاور X برابر( S ) M X باشد تابع مولد گشتاور Y=aX+b بصورت M ax+b (s) = e sb M X (as) مثال : تابع مولد گشتاور نرمال Y = x μ σ فرض کنیم X نرمال با میانگین μ وواریانس σ 2 است.آنگاه نرمال استاندارد است. M X (S) = e sμ M Y (σs) = e sμ e (σs)2 2 گشتاور های یک متغیر تصادفی E[x] :گشتاور اول متغیر تصادفی ] 2 : E[x گشتاور دوم متغیر تصادفی ] n :E[x گشتاور N ام متغیر تصادفی قضیه:از روی گشتاورها می توان توزیع احتمال X رایافت وبالعکس. تابع مولد گشتاور ] sx M X (s) = E[e از روی تعریف :

14 M X (s) = e sx f X (x)dx M X (0) = f X (x)dx = 1 = E[X ] d ds M X(s) s=0 = xe sx f X (x)dx s=0 = E[X] d 2 ds 2 M X(s) s=0 = x 2 e sx f X (x)dx s=0 = E[X 2 ] d n ds n M X(s) s=0 = x n e sx f X (x)dx s=0 = E[X n ] مشتق های تابع مولد گشتاور درs=0 گشتاورهای متغیر تصادفی X M X (s) = λ λ s مثال:برای توزیع نمایی E[X]= d ds M X(s) s=0 d λ = λ ds λ s (λ s) 2 s=0 = 1 λ =E[X] d 2 ds 2= λ (λ s) 3 s=0 = 2 λ 2=E[X2 ] var(x)= E[X 2 ]-E[X] 2 = 2 λ 2-1 λ 2 = 1 λ 2 نکته: (0)=1 X M lim M X (s) = P(X = 0) S اگرX مقادیر صحیح غیر منفی بگیرد. M X (s)= قضیه:تابع مولد گشتاور به طور یکتا تابع چگالی جمعیCDFرامشخص میکند.اگر (s) Mدر X یک بازه a],a>0 a-] متناهی باشد pe s 1 (1 p)e s مثال:فرض کنیم تابع مولد گشتاور متغیر تصادفی x برابر تابع زیر است. توزیع چگالی احتمال xرا بیابید. M X (s)=pe s +(1-p) pe 2s + (1 p) 2 pe 3s +(1 p) 3 pe 4s + = k=1 (1 p) k 1 pe ks = xi P X (x i )e x is P X (k)= (1 p) k 1 p k=1,2,3,.... توزیع هندسی دارد. جمع دو متغیر تصادفی مستقل: Xو Y مستقل اند. Z=X+Y تابع مولد گشتاور Z M Z (s)=e[e ZS ]=E[e s(x+y) ]=E[e sx e sy ]= E[e sx ]E[ e sy ] چون مستقل اند M Z (s)= M X (s) M Y (s)

15 M Z (s)= M X1 (s) M X2 (s) M Xn (s) در حالت X2 و X1 و...و Xn مستقل باشندو Z=X1+X2+ +Xn کلی اگر مثال:تابع مولد گشتاور دو جمله ای برنولی مستقل X=Xتوزیع 1 X X+ n دوجمله ای M Z (s)= M X1 (s) M X2 (s) M Xn (s) -1) s M Xi (s)=e[e sx i]=(1-p) e sx 0+p e sx 1=1+P(e محاسبه مولد گشتاور برنولی M X (s)=(1 + p(e s 1)) n محاسبه مولد گشتاور دو جمله ای Z=X+Y ) 2( مثال:جمع دو متغیر تصادفی پواسن ) λ X )0 و λ Y مستقل M Z (s)= M X (s) M Y (s) M X (s)=e λ 1(e s 1) M Y (s)=e λ 2(e s 1) M Z (s)= e λ 1 (es 1) e λ 2(e s 1) =e (λ 1+λ 2 )(e s 1) +2 λ توزیع پواسن دارد با پارامتر 0 نتیجه می گیریم λz σو 1 X وY مستقل باشند. 2 مثال: X نرمال با میانگین μوواریانس 1 Z=X+Y σو 2 2 نرمال با μوواریانس 1 M Z (s)= M X (s) M Y (s) M X (s)=e μ 1s+( σ 1s 2 )2 M Y (s)=e μ 2s+( σ 2s 2 )2 M Z (s)=( e μ 1s+( σ 1s 2 )2 )( e μ 2s+( σ 2s 2 )2 )=e (μ 1+μ 2 )s+(σ1 2 /2+σ2 2 /2) 2 Yمیانگین σ 1 یک توزیع نرمال با میانگین μ 1 +μ 2 واریانس و + σ تابع مولد گشتاور مشترک اگر X 1, 2 X n,.., X توزیع احتمال مشترک ) n f X1,X2,X3,..,Xn (x 1,x 2,,x داشته باشند. M X1,X2,.Xn (S 1, S 2,..,S n ) E[ e S 1X 2 +S 2 X 2 + +S n X n ] گشتاور =(s) 1 2 M X باشد چگالی احتمال X را به دست آورید s 4 1 تمرین: اگر تابع مولد X 1 s

16 M X (s)= 1 4 نمایی s 4 1 s M X (s)= λ مولد گشتاور λ s = 0 λنمایی با پارامتر = 2 λ نمایی با پارامتر تابع نرخ خرابی فرض کنیم متغیر X نشان دهنده طول عمر یک قطعه باشد با تابع چگالی احتمال (x) fو X توزیع تجمعی (x). F X نرخ (t) λ: X به شرط آنکه قطعه تا زمان tعمر کرده باشد احتمال اینکه در بازه t+dt] t ]خراب, شود. تصادفی خرابی λ X (t)δ(t) P(X (t, t + δt) X > t) به شرط تا لحظهt سالم بودن در این بازه خراب شود λ X (t)δ(t) P(X (t,t+δt),x>t) P(X>t) λ X (t) δ(t) f X(t) 1 F X (t) = f x(t)δ(t) 1 F X (t)

Σχετικά έγγραφα

تخمین با معیار مربع خطا: حالت صفر: X: مکان هواپیما بدون مشاهده X را تخمین بزنیم. بهترین تخمین مقداری است که متوسط مربع خطا مینیمم باشد:

تخمین با معیار مربع خطا: حالت صفر: X: مکان هواپیما بدون مشاهده X را تخمین بزنیم. بهترین تخمین مقداری است که متوسط مربع خطا مینیمم باشد: تخمین با معیار مربع خطا: هدف: با مشاهده X Y را حدس بزنیم. :y X: مکان هواپیما مثال: مشاهده نقطه ( مجموعه نقاط کنارهم ) روی رادار - فرض کنیم می دانیم توزیع احتمال X به چه صورت است. حالت صفر: بدون مشاهده