חשבון אינפיניטסמלי מתקדם 1 סיכומי הרצאות

Transcript

1 חשבון אינפיניטסמלי מתקדם 1 סיכומי הרצאות 13 בינואר 211 מרצה: אילון לינדנשטראוס מתרגל: רון רוזנטל סוכם ע י: אור שריר פניות לתיקונים והערות: tnidtnid@gmail.com אתר הסיכומים שלי: 1

2 תוכן עניינים תוכן עניינים תוכן עניינים 5 הרצאות I 5 על הקורס מרחבים מטרים ונורמים הגדרות אי שוויון הולדר סדרות במרחב מטרי קבוצות פתוחות וסגורות קומפקטיות מרחב שלם פונקציות במרחבים מטרים מסילות 4 16 אורך של מסילה נגזרת של מסילה הגדרת האורך לפי הנגזרת מרחב קשיר מידה אפס אינטגרציה על מסילות גזירות של פונקציות מ R n ל R m 5 45 גזירה תחת סימן האינטגרל שדות משמרים משפטי הפונקציה ההפוכה, וההעתקה הפתוחה כלל כופלי לגראנג משפט הפונקציה הסתומה אינטגרציה ב R n משפט פוביני משפט חילוף המשתנה חומר העשרה שלא למבחן

3 תוכן עניינים תוכן עניינים 83 תרגולים II 83 תרגול מנהלות מרחבים מטריים מרחבים נורמים כדורים במרחב מטרי קמירות סדרות במרחבים מטריים שקילות של נורמות תרגול המתרגל הוחלף תזכורות נקודות פנים עוצמה קומפקטיות תרגול תזכורת פונקציות רציפות שקילות של נורמות הומיאומורפיזמים תרגול מסילות 1 95 הגדרות ודוגמאות אורך של מסילה קשירות מסילתית והומוטופיה תרגול הומוטופיה ופשטות קשר 11.1 מסילות ללא אורך נפח (ג ורדן ומידת (לבג תרגול תרגול נגזרת במרחב נגזרות חלקיות נגזרת פונקציית הפולינומים הסימטריים

4 תוכן עניינים תוכן עניינים 13.4 נורמות אופרטוריות תרגול נורמות אופרטוריות , אפיון הנורמה 14.3 כלל השרשרת משפט הערך הממוצע עוד על נורמות אופרטיביות תרגול 9 לא סוכם בגלל חנוכה תרגול משפט הפונקציה ההפוכה כופלי לגראנג

5 2 מרחבים מטרים ונורמים חלק I הרצאות 1 על הקורס ספר הקורס: חשבון אינפיניטסמלי מתקדם א וב לינדנשטראוס. יהיו 13 תרגילים בסמסטר מתוכם 1 חובת הגשה. התרגילים יפורסמו בימי ראשון להגשה ביום רביעי שבוע לאחר מכן. שעת קבלה: ימי ראשון זמן לתאם באי מייל, או אחרי השיעור ובהפסקה. 2 מרחבים מטרים ונורמים 2.1 הגדרות ברוב הקורס נדבר על המרחב R, n אך תחילה נעסוק במרחבים יותר כללים כמו מחרבים מטריים. הגדרה 2.1 מרחב מטרי הוא מרחב X, עם מושג של מרחק, ביחד עם פונקציה, ( d מזוגות של נקודות ב X ל R, המקיימת את התכונות הבאות: חיוביות: y d (x, לכל x, y X ובנוסף y d (x, אם ם.x y סימטריה: x d (x, y d (y, לכל.x, y X א ש המשולש: z.d (x, z d (x, y + d (y, n.d ( x, y דוגמא: כאשר X R n והמטריקה האוקלידית 2 i (x i y במקרה זה X הוא מרחב וקטורי מעל R, והמרחק תלוי רק ב y x. הגדרה 2.2 מרחב נורמי, הוא מרחב וקטורי מעל R (או C יחד עם נורמה (פונקציה מ X ל R המקיימת 3 תכונות: חיוביות: x לכל x ובנוסף x אם ם.x הומוגניות: x, λx λ עבור x X וסקלר.λ א ש המשולש: y. x + y x + האקסיומות הנ ל על מרחב נורמי גוררות כי הפונקציה y d,x (y x תקיים את התכונות של מרחב מטרי (הוכחה בתרגיל. דוגמאות: 1. (דוגמא שחשוב לזכור X הוא מרחב כלשהו והמטריקה הדיסקרטית מטרי. y d (x, מהווים מרחב { x y 1 x y 5

6 2.2 אי שוויון הולדר 2 מרחבים מטרים ונורמים.2 n Xו ( 1 R, y d (x, y min ( x הם מרחב מטרי שלא ניתן להביע את המטריקה שלו באמצעות נורמה. x, y Y, d (x, y d (x, y ניתן להגדיר את המטריקה Y אז ל Y מרחב מטרי כלשהו ו X (X, d.3 ואז d,y הוא גם מרחב מטרי (בקורס זה לא נבדיל בין d ל d במקרים כאלו, למרות שתחום ההגדרה של הפונקציות האלו שונה. ( x הם מרחב נורמי. x i והנורמה R n אי שוויון הולדר x p ו ( x p i 1 p, 1 p + 1 q הקשורים ע י השוויון 1 1 p, q כאשר n x iy i x p y q x (כאשר 2 p זהו אי שוויון קושי שוורץ. max 1 i n x i x p משפט 2.3 (המתבסס על האי שוויון הנ ל עבור : x R n max x, y y R n, y q 1 הוכחה: על פי אי השוויון x, y x p y q. x p max y Rn, y q 1 x, y אז מתקיים y q ומכיוון ש 1, y q x p עם 1 אם x אז המקרה ברור, נניח ש x וכדי להראות שויוון נדרש למצוא y כך ש y,x וניתן להגדיר y כזה כך: y i x i p 1 x p 1 (sgn x i p y q y i q x i (p 1 1 x p p xi p 1 p p 1 x (p 1 p p 1 p נבדוק שה y הנ ל אכן מתאים לדרישות: x, y n x i y i n x i p x p 1 p x p p x p 1 x p p 6

7 2 מרחבים מטרים ונורמים 2.3 סדרות במרחב מטרי משפט 2.4 לכל p 1 מתקיים x p + y p x + y p x + y p max z Y Y ואז x + y, z max ( x, z + y, z z Y max x, z + max y, y Y z Y z x p + y p { } y R n y q הוכחה: 1 הערה 2.5 כל מה שאמרנו תקף גם באינסוף ממדים, כמו במרחב: { } l p (x 1,..., x i p < x p היא נורמה עליו. ( x p i 1 p מרחב זה הוא מרחב וקטורי והנורמה 2.3 סדרות במרחב מטרי הגדרה 2.6 סדרה x n במרחב מטרי X מתכנסת לנקודה x X אם לכל ɛ קיים N כך שאם n N אזי.d (x, x n < ɛ הערה 2.7 יש לשים לב: x mk טענה 2.8 אם x n x אזי כל תת סדרה x טענה 2.9 אם x m x וגם x n y אזי x y (יחידות הגבול. הוכחה: לכל ɛ יש N כף שאם n > N אז d (x n, x < ɛ וגם d (x n, y < ɛ ולכן d (x, y d (x n, y + d (x, x n < 2ɛ ולכן y d (x, ולכן.x y.d (x, y x y p מתי? x n x אם ם ( x i y i p 1 p.1 n X R כאשר p 1 והמטריקה. n כאשר ( x k i ( x i לכל i n 1 מתקיים 2. (d,x כאשר X קבוצה כלשהי ו d המטריקה הדיסקרטית. מתי x? n x אם ם יש N כך ש x x n לכל.n > N דוגמאות: 7

8 2.4 קבוצות פתוחות וסגורות 2 מרחבים מטרים ונורמים 2.4 קבוצות פתוחות וסגורות (d,x מרחב מטרי. הגדרה 2.1 כדור פתוח ברדיוס r סביב נקודה x: B (x, r {y d (x, y < r} הגדרה 2.11 כדור סגור ברדיוס r סביב נקודה x: B (x, r {y d (x, y r} הגדרה 2.12 קבוצה A היא פתוח אם לכל x A קיים > r כך ש A B,x (r (היה ניתן גם להשתמש בכדוירם.(B ( x, r 2 סגורים r B (x, הגדרה 2.13 קבוצה היא סגורה אם המשלים שלה פתוח. הגדרה 2.14 לפי מוסכמה, הקבוצה הריקה היא פתוחה. דוגמא: (d,x כאשר d היא המטריקה הדיסקרטית, כל קבוצה היא גם פתוחה וגם סגורה. ב (, n R רוב הקבוצות לא פתוחות ולא סגורות. טענה 2.15 מספר טענות: עבור קבוצות פתוחות: 1. איחוד מספר כלשהו (גם אינסופי לא בהכרחה בר מנייה של קבוצות פתוחות הוא פתוח. 2. חיתוך של מספר סופי של קבוצות פתוחות הוא פתוח. 3. כדור פתוח הוא פתוח. עבור קבוצות סגורות: 1. חיתוך מספר כלשהו של קבוצות סגורות הוא סגור. 2. איחוד של מספר סופי של קבוצות סגורות הוא סגור. 3. כדור סגור הוא סגור. 4. נקודה בודדת היא סגורה הוכחה: הוכחת הטענות: קבוצות פתוחות:.1 נניח Y קבוצה ולכל α Y נתון קבוצה פתוח.U α X נרצה להראות כי α Y U α פתוחה. תהי x α Y U α נקודה כלשהי. אזי קיים α כך ש.x U α מכיוון ש U α פתוחה, יש > r כך ש ( r U α B (x, ולכן.B (x, r α Y U α 8

9 2.4 קבוצות פתוחות וסגורות 2 מרחבים מטרים ונורמים.2 נניח U 1,..., U n פתוחות, ו i,x n U ולכן יש > r כך ש B (x i, r i U i לכל.i נגדיר r : min r i אזי B (x, r U i לכל i ולכן.B (x, r n U i 3. מושאר כתרגיל / המרצה דילג על הטענה קבוצות סגורות: 1. שקול ל 1 (הוכחה כתרגיל 2. שקול ל 2 (הוכחה כתרגיל 3. מושאר כתרגיל / המרצה דילג על הטענה.4 יש להראות ש { x } סגורה, כלומר המשלים פתוח. תהא y במשלים, כלומר,y x אזי > x r d (y,.b ( y, r 2 ולכן {x} X\ הערה 2.16 כל קבוצה A X הוא איחוד של קבוצות סגורות. הוכחה: ניקח,Y A וניקח עבור F α {α} α Y ואז.A α A F α עובדה מעניינת היא כי לא כל קבוצה A R n ניתנת לכתיב כ i A n 1i F כאשר Fסגורות i (לקבוצות כנ ל קוראים.(F σ טענה 2.17 קבוצה F היא סגורה אם ם לכל סדרה של נקודות x i F כך ש x i x גם.x F הוכחה: נניח A לא סגורה. נרצה למצוא סדרה x n של איברים ב A המתכנסת ל x A. מכיוון ש A לא סגורה, קיימת נקודה x X\A כך שלכל > r מתקיים A.B (x, r בפרט, לכל n טבעי יש,B והסדרה x n מתכנסת ל x סתירה. ( x, 1 n xn A הנמצאת בכדור מצד שני, נניח שיש סדרה x n של איברים של A המתכנסת לנקודה x A נראה כי A לא סגורה. נניח בשלילה כי A סגורה, כלומר X\A פתוחה, מכיוון ש X\A x יש > r כך ש X\A B.,x (r לכן לכל נקודה y A מתקיים d (x, y r בסתירה ל x.x n הערה 2.18 המרחב R n רוב הקבוצות לא פתוחות ולא סגורות. לקבוצה A כללית נתאים שתי קבוצות A A A כאשר A פתוחה (אולי ריקה ו A סגורה. הגדרה A 2.19 הוא החיתוך של כל הקבוצות הסגורות המכילות את A. הגדרה A 2.2 הוא האיחוד של כל הקבוצות הפתוחות המוכלות ב A. דוגמא: ב R מה הסגורה של.}.., 3 { 1, 1 2, 1? משפט 2.21 לכל קבוצה A, אם F היא קבוצת כל הנקודות שהן גבולות של סדרות של איברים של A, אז F A הוכחה: נראה כי A. F צריך להראות כי אם x n סדרה של איברים של A ו x x n אזי x. A בפרט x n סדרה של איברים של הקבוצה הסגורה, והטענה נובעת מהאפיון שהוכחנו של קבוצות סגורות. בכיוון ההפוך, נראה כי F קבוצה סגורה, ומכיוון ש A F אז נובע כי A. F ע פ האפיון של קבוצות סגורות: צ ל שאם x n נקודות ב F ו x x n אז.x F 9

10 2 מרחבים מטרים ונורמים 2.5 קומפקטיות כל,x i F כלומר קיימים..., i,2 x i,1,..., x איברים של A כך ש x i,j x i כאשר.j מכיוון ש x i,j x i אז.d (x i,j, x i < 1 i נסמן y i x i,j כך ש j תלוי ב i לפי המתואר לעיל. קיים j כך ש טענה: y. i x נשים לב כי d (y i, x i + d (x i, x d (y i, x y i x ולכן.x F דוגמא: נסתכל על R ואז מתקיים.}.. 3 { 1, 1 2, 1.}.. 3 {, 1, 1 2, 1 (כלומר נוסף אפס בתור גבול של הסדרה.( 1 n טענה A} 2.22 A {y A r >, B (y, r. הוכחה: תרגיל / הוסבר בכלליות בע פ... הגדרה 2.23 ההפרש \A A נקרא השפה של A ומסומן ע י A. 2.5 קומפקטיות הגדרה 2.24 קומפקטיות אם לכל סדרה של איברים x n ב F יש תת סדרה מתכנסת x. ni x F הערה 2.25 לשים לב כי קבוצה קומפקטית היא תמיד סגורה. דוגמא: X R n ו ( 1 (, F B לא סגורה. אם נתבונן באותה קבוצה עצמה במרחב המטרי (d,f היא כן סגורה. 1 n המתכנסת תחת R ל, אבל תחת (1, כיוון ש הוא לא חלק למשל נסתכל על R, הקטע (1,, והסדרה מהמרחב אז הגבול לא מוגדר. משפט 2.26 (בולצנו וויירשטרס אם A קבוצה חסומה ב R אז לכל סדרה יש תת סדרה מתכנסת. מסקנה 2.27 לכן אם A R סגורה וחסומה, אזי A קומפקטית. מסקנה 2.28 אם A R n סגורה וחסומה אז A קומפקטית. הוכחה: כדי להראות זאת, מספיק להראות כי אם A חסומה ב R n אזי לכל סדרה יש תת סדרה מתכנסת. הערה 2.29 קבוצה F במרחב מטרי כללי X נקראת חסומה אם יש x X ו r < כך ש ( r.f B (x, 1 i x (הרכיב הראשון בווקטור של x i סדרה חסומה הוכחה: (המסקנה האחרונה נניח x i סדרה של ווקטורים ב A, אזי. ( x ni 1 של ממשיים, ולכן יש תת סדרה מתכנסת 1 mi ( x מתכנס. 2 mi ( x המתכנסת מכיוון ש m i ת ס של n i ולכן גם 2 ni x סדרה חסומה, ולכן יש ת ס טענה 2.3 במרחב מטרי כללי, כל קבוצה קומפקטית חסומה. דוגמאות: X קבוצה, d המטריקה הדיסקרטית. כל קבוצה במרחב היא סגורה וחסומה. קבוצה F X היא קומפקטית אם ם היא סופית, כי אם x i סדרה כך ש x i x j במרחב הנ ל (עם המטריקה הדיסקרטית אין לה ת ס מתכנסת. 1

11 2 מרחבים מטרים ונורמים 2.5 קומפקטיות הגדרה 2.31 כיסוי פתוח של מרחב הוא אוסף. α A U α X של קבוצות פתוחות (לאו דווקא בנות מנייה כך ש U} α } α A כיסוי פתוח של קבוצה F X הוא.F α A U α {U α } α A הוא תת קבוצה α A {A α } כך ש A A שהוא עדיין כיסוי. הגדרה 2.32 תת כיסוי של משפט 2.33 (היינה בורל התנאים הבאים שקולים:.1 X קומפקטית. 2. לכל כיסוי פתוח של X יש תת כיסוי סופי. הוכחה: נניח בהתחלה כי F. X (1 2 נניח בשלילה כי x i סדרה ב x ללא ת ס מתכנסת. נייצר כיסוי פתוח של X ע י U X\ {x 1, x 2...} מכיוון שאין ל x i תת סדרה מתכנסת, אז U פתוח (כי } i x} היא קבוצה סגורה. נניח כי y. lim i x ni יש שתי אפשרויות, או שהסדרה x ni קבועה החל מאיזשהו שלב, ואז } i y x} או שהסדרה לא קבועה, ואז ניתן למצוא מתוך x ni ת ס של הסדרה x n שהיא מתכנסת סתירה! (טענה: ( מכיוון של x i אין ת ס מתכנסת, יש לכל r i,i כך ש.B (x i, r i {x 1,..., } x i אחרת, לכל n יהיה ל B xi, 1 n מספר אינסופי של נקודות ולכן לסדרה..., 1 x יש ת ס מתכנסת ל U i B (x i, r i,x i ולכן U ( U i X.X U ( N U i ולכן יש תת כיסוי סופי, ולכן לכל j גדול מ N מתקיים U x i ולכן x j U j אם ם,x j x + i כלומר הסדרה..., 1 x מתקבלת כמספר סופי של ערכים ולכןן יש ת ס מתכנסת..X כיסוי פתוח של {U α } α A למה 2.34 (בשביל הכיוון ההפוך נניח X קומפקטי, ונניח אזי קיים > ɛ כך שלכל x X יש α A כך ש ɛ B (x, ɛ U α נקרא קבוע לבק של החלוקה. ( הוכחה: נניח שלא, אזי לכל n אפשר למצוא נקודה xn כך ש (n 1 B xn, אינו מוכל באף U. α מקומפקטיות ל x n יש ת ס מתכנסת. x nk x קיים α A כך ש x U α ולכן יש > ɛ כך ש.B (x, ɛ U α ( B (x nk, 1 n k 1 אז הכדור ɛ B xnk, ɛ 2 B (x, n k ניקח n k גדול מספיק כך ש d (x, x nk < ɛ 2 וכך ש < ɛ 2 U α סתירה! למה 2.35 אם (d,x קומפקטית, אזי לכל ɛ יש אוסף סופי של כדורים ברדיוס ɛ פתוחים המכסים את X. הוכחה: נניח שלא. נבחר x 1 X כלשהו. קיימת נקודה ɛ.x 2 B (x 1, נניח בחרנו באינדוקציה נקודה x 1,..., x n כך ש d (x i, x j ɛ לכל i j n.1 x 1+n \X n (יש כזו על סמך ההנחה, והתנאי ממשיך להתקיים. נבחר נקודה ɛ B (x i, לסדרה x i אין אף ת ס מתכנסת בסתירה לקומפקטיות! {U α } α A כיסוי פתוח. הוכחה: (המשך הוכחת היינה בורל הכיוון השני יהי נבחר > ɛ על פי הלמה הראשונה, גלומר, כל ɛ כדור (כדור ברדיוס ɛ פתוח ב X מוכל בלפחות אחת מהקבוצות U. α 11

12 2.6 מרחב שלם 2 מרחבים מטרים ונורמים ע פ הלמה השנייה, יש אוסף סופי של ɛ כדורים פתוחים B 1,..., B n המכסה את X. לכל אחד יש קבוצה פתוחה B i U αi אזי n U αi n B i X {U α } α A אוסף קבוצות פתוחות ב X כך ש α A U α F, אזי מסקנה 2.36 אם F קבוצה קומפקטית ב ( d,x ו. n U α i יש תת אוסף סופי } αn {U α1,..., U כך ש F } כיסוי פתוח על המרחב (d,f, ולכן הוכחה: נתבונן במרחב המטרי d.(f, אזי Ũα U α F פתוחה ב,F לכן {Ũα.F n U α n F n ולכן U α n יש תת כיסוי סופי למה 2.37 (תרגיל d (X, מחרב מטרי,Y X אזי Ũ Y פתוחה ב Y אם ם ניתן לכתוב Ũ U Y עבור U פתוחה ב X. הערה 2.38 קומפקטיות.X U α כך ש {U α } α A לכל כיסוי פתוח יש תת כיסוי סופי כלומר {F α } α A של קבוצות סגורות כך ש α α A F, יש תת אוסף סופי F α1,..., F αn עם חיתוך ריק. לכל אוסף. α A F α אוסף של קבוצות סגורות כך שחיתוך כל מספר סופי אינו ריק אזי F} α } α A אם 2.6 מרחב שלם הגדרה x k 2.39 סדרת קושי אם לכל ɛ קיים N כך שאם k, l > N אז. d (x k, x l < ɛ טענה 2.4 במרחב קומפרטי כל סדרת קושי מתכנסת. הוכחה: לסדרה יש ת ס x nk x ואז מתקי קושי נובע כי.x x n הגדרה 2.41 דוגמא: למרחב בו כל סדרת קושי מתכנסת נקרא מחרב שלם (דוגמא R. הגדרה 2.42 נקודה x X תקרא מבודדת אם יש > ɛ כך ש ( ɛ.{x} B (x, הגדרה 2.43 קבוצה A אינה בת מניה אם לכל סדרה של איברים y 1, y 2,... A אז.}.., 2 A\ {y 1, y. דוגמא: Z בת מניה עם הסדרה... 2, 2, 1, 1,., Q בת מניה. R לא בת מניה. משפט 2.44 מרחב שלם ללא נקודות מבודדות אינו בן מניה. מסקנה R 2.45 אינו בן מניה. הוכחה: (המשפט נניח d (X, מטרי שלם,.}.., 3 X {y 1, y 2, y וב X אין נקודות מבודדות. נבחר y 1 x 1 כלשהו (ניתן לעשות זאת כי xאינה 1 נקודה מבודדת. בה כ y j y i כך ש j i או ש X סופי. נבחר > 1 r כלשהו כך ש (.y 1 B (x 1, r 1 נבחר 1 x 2 B (x 1, r שאינו שווה ל y 2 (אוטומטית.(x 2 y 2 נבחר r 2 < r1 2 כך ש (! r B (x 2, r 2 B (x 1, וכך ש (.y 2 B (x, r 2 באינדוקציה נבחר x n,..., x 1 ו r n,..., r 1 כך ש: 12

13 3 פונקציות במרחבים מטרים.i 1,..., ל n B (x i, r i B (x i 1, r i 1.1.r i ri (j i עבור y j B (x i, r i גם עפ י (1 מתקיים (ולכן i 1,..., n y i B (x i, r i.3 תנאי (1 גורר ש d (x i, x j < r i עבור j > i וע פי (2 i r ולכן x i סדרת קושי. מכיוון שהמרחב שלם, יש xכך ש : x lim x i x B (x i, r i ולכל y i B (x i, r i j ולכן.y i x 3 פונקציות במרחבים מטרים הגדרה 3.1 נניח (d,x ו ( D,Y שני מרחבים מטרים. פונקציה f : X Y תקרא רציפה בנקודה x אם לכל > ɛ קיים > δ כך שאם x נקודה ב X ו δ d (x, x < אזי.D (f (x, f (x < ɛ x. X רציפה אם היא רציפה לכל f טענה f 3.2 רציפה אם ם לכל קבוצה פתוחה f 1 (U,U Y פתוחה. הוכחה: נניח f רציפה, U Y ו ( U.x f 1 צריך הראות כי יש δ כך ש ( U.B (x, δ f 1.B (f (x, ɛ כך ש U ɛ פתוחה, ולכן יש U ולכן,f (x U מרציפות קיימת δ כך שאם d (x, x < δ אזי,f (x B (f (x, ɛ U כלומר (U x f 1 ולכן δ B (x,.f 1 (U כיוון שני נניח שלכל U Y פתוח, (Y f 1 פתוחה, ותהי.ɛ >,x X אזי ɛ f 1 (B (f (x, פתוחה, ולכן יש > δ כך ש (( ɛ,b (x, δ f 1 (B (f (x, כלומר לכל x X עם.f (x B (f (x, ɛ מתקיים d (x, x < δ טענה g : Y Z,f : X Y 3.3 רציפות אזי g f רציפה. הוכחה: אם U Z פתוחה, (U Open f 1 (Open f 1 ( g 1 (U (g f 1 כי f ו g רציפות. {.Y R d x y t D (x, וגם דוגמא: (קיצונית y d (x, y x כאשר X Rd אז 1 x y ההעתקה f (x x היא פונקציה רציפה מ ( D,Y ל ( d,x, אבל לא נכון ש Closed f (Closed או ש Open.f (Open משפט 3.4 אם F קבוצה קומפקטית ב X ו f : X Y העתקה רציפה, אזי F f קומפקטית (ובפרט סגורה. הוכחה: נניח..., 1 y סדרת נקודות ב (,f (F אזי קיימת סדרה..., 1 x ב F כך ש (.y i f (x i מכיוון ש F קומפקטית, ל x i יש ת ס מתכנסת x lim x nk ו x שייכת ל.F אזי nk fולכן (x lim f (x y k ת ז של..., 1 y המתכנסת לנקודה של (F.f 13

14 3 פונקציות במרחבים מטרים למה f : X Y 3.5 רציפה ב X x אם ם לכל סדרה x i x מתקיים כי (x.f (x i f הוכחה: (תרגיל. הגדרה (d 3.6,X ו ( d,y הם הומאומורפים אם יש העתקה רציפה חח ע ועל f : X Y כך ש 1 f גם רציפה ל f כזו קוראים הומאומופריזם. הערה 3.7 כל תכונה שניתן לאפיין ע י קבוצות פתוחות או סגורות או התכנסות וכו, נשמר תחת הומאומורפיזם (כגון קומפקטיות [אבל לא שלמות]. חשוב להדגיש גם שהתנאי ש 1 f רציפה אינו מיותר. דוגמאות: 1. העתקת הזהות מ R R. כשחושבים על ההעתקה כהעתקה מ ( D,R כאשר עם y d,x (y x היא רציפה, חח ע ועל אך לא הומאומורפיזם. (R, ל ( d D { x y 1 x y.2 2π] X [, עם המטריקה הרגילה, ונבחר } 1 z Y { z R 2 עם המטריקה המושרה מהמטריקה האוקלידית ב R. 2 נגדיר את הפונקציה (θ f. (θ (cos,θ sin היא חח ע, על, רציפה אבל לא הומאומורפיזם (ואכן Y קומפקטית אך X לא. 3. קטע פתוח (b,a הומאומורפי ל R (קטע סגור לא, כי הקטע קומפקטי אך R לא. לדוגמא tan היא ל R. ( π 2, π 2 הומאומורפיזם מ טענה 3.8 אם d (X, קומפקטי, f : X Y רציפה, חח ע ועל, אזי f הומאומורפיזם. הוכחה: צ ל כי 1 f רציפה. דרך :1 להראות שאם y y i Y אזי i.f 1 (y f 1 (y 1 1 f ( סגורה, דרך 2: כדי להראות ש 1 f רציפה, מספיק להראות שכל קבוצה סגורה F ב X, F f F אבל F קבוצה סגורה במרחב קומפקטי. מרציפות f F f קומפקטית, ולכן סגורה. הסבר: הראינו כי f : X Y רציפה (1 אם ם לכל קבוצה פתוחה V Y אז (V f 1 פתוחה.(2 אם F קבוצה סגורה ב,Y אז Y \F קבוצה פתוחה, אז \F f 1 (Y קבוצה פתוחה. אבל \F f 1 (Y (F,X\f 1 ולכן (F f 1 סגורה ולהיפך. לכן תנאי (2 אם ם לכל סגורה f 1 F F, סגורה (טכנית הראינו רק כיוון כאחד, אבל אותו טיעון עובד גם בכיוון ההפוך. הערה 3.9 הומאומורפיזם הוא יחס שקילות, כלומר: 1. רפלקסיביות: (d,x הומאומורפי לעצמו (למשל העתקת הזהות. 1 f היא הומאומורפיזם בין (d,y אם (d,x הומאומורפי ל ( d,y עם הומאומורפיזם f, אזי 1 2. סימטריות: ל ( d,x. 14

15 4 מסילות.3 טרנזיטיביות: אם k (X, הומאומורפי ל ( d (Y, ו ( d (Y, ל ( p (Z, כש f : X Y ו Z g : Y הם ההומאומורפיזמים המתאימים, אזי g f הוא הומאומורפיזם מ X ל Z. הגדרה 3.1 יהי D f : (X, d (Y, רציפה במ ש, אם ם לכל > ɛ יש δ כך שלכל שתי נקודות x, x X עם.D (f (x, f (x < ɛ מקיימות כי d (x, x < δ משפט 3.11 אם f פונקציה רציפה על מרחב קומפקטי, אזי f רציפה במ ש. הוכחה: נניח שלא, אזי יש > ɛ כך שלכל n יש שתי נקודות x n, x n ב X עם d (x n, x n < 1 n ו ɛ D (f (x n, f (x n..x n k אז גם x d ( x n, x n k קיימת ת ס מתכנסת x x nk ומכיוון ש D ( f ( x n k, f (xn +D (f (x n, f (x nk D ( f ( x n k, f (xnk ולכן f ( x n k f (x וגם f (x nk f (x בסתירה להנחה! הגדרה 3.12 סדרת פונקציות f n : X Y מתכנסת נקודתית ל f אם לכל x X מתקיים כי (x.f n (x f הסדרה מתכנסת במ ש אם לכל > ɛ יש N כך שאם n > N אז לכל x X מתקיים.D (f n (x, f (x < ɛ משפט 3.13 אם d (X, מרחב מטרי, f n : X Y פונקציות רציפות, ו f f n במ ש אזי f רציפה. הוכחה: (כמו באינפי 2. 4 מסילות הערה 4.1 אם לא מצויין אחרת, המטריקה מעל R n תמיד תהיה האוקלידית וכנ ל עבור הנורמה. הגדרה 4.2 מסילה על מרחב מטרי (d,x היא העתקה רציפה מקטע (סגור או חסום,a] [b R ל X. הגדרה 4.3 שתי מסילות f :,a] [b X ו X g :,c] [d יקראו שקולות אם ם יש פונקציה רציפה מונוטונית עולה ממש.f (x g (ϕ ו (( x ϕ (b ו d ϕ (a כך ש c ϕ : [a, b] [c, d] באופן יותר ציורי אך פחות מדוייק שתי מסילות הן שקולות, אם הן עוברות על אותן נקודות באותו סדר. הגדרה 4.4 תכונות על מסילה :f : [a, b] X f פשוטה אם ם f חח ע..f (a f (b היא סגורה אם ם f.f (x f (y מתקיים y ו b x חוץ מ a x < y ולכל f (a f (b היא פשוטה סגורה, אם f f : [, 2π] R 2.1 הנתונוה ע י x f (x (cos x, sin (עיגול היא מסילה פשוטה סגורה. f : [, 2π] R 2.2 הנתונה ע י 2x f (x (cos 2x, sin (עוברת על אותו עיגול פעמיים היא סגורה לא פשוטה. דוגמאות: 15

16 4 מסילות 4.1 אורך של מסילה f : [, 2π] R 2.3 הנתונה ע י x f (x (x cos x, x sin (חלק מספירלה היא פשוטה אך לא סגורה. איור 4.1: ספירלה 4.1 אורך של מסילה הגדרה 4.5 אם f :,a] [b X מסילה, אז נגדיר את האורך של המסילה ע י: { n } l (f sup d (f (t i, f (t i 1 n N, a t < t 1 <... < t n b אם < (f l אז נאמר ש f מסילה בעלת אורך. f (t ( t, t cos π t דוגמא: מסילה עם אורך אינסופי f :,] [1 R 2 כאשר איור 4.2: מסילה עם אורך אינסופי 16

17 4 מסילות 4.1 אורך של מסילה נוכיח כי אכן האורך האו אינסופי: < 1 n t < 1 או בצורה מפורשת t ו n 1 <... < t n נבחר ל n שרירותי אם החלוקה 1.t i 1 n+1 i, i 1,..., n ϕ (t t cos π t ϕ (t ϕ (t i ( 1n+1 i n + 1 i ולכן מתקיים: n d (f (t i, f (t i 1 n ϕ (t i ϕ (t i 1 n 1 i [1,δ] f שזו לפי הגדרה המסילה מ [ 1,δ] ל R 2 הנתונה ע י אותה הפונקציה, במסילה הזאת לכל > δ המסילה אך יש לה אורך!. [a,b] f אין אורך. לדוגמא, פרקטלים למינהם כמו דוגמא: יש מסילות f : [, 1] R 2 כך שלכל קטע b] [a, 1] [, ל Koch-curve מהווים מסילות שאורכן אינסופי. 17

18 4 מסילות 4.2 נגזרת של מסילה איור 4.3: פרקטל לדוגמא 4.2 נגזרת של מסילה הגדרה 4.6 מסילה f : [a, b] R n גזירה ב ( b t (a, אם קיים הגבול (t f (t (f 1 (t,..., f n כך ש f f (t + t f (t (t lim t t וזה שקול לכך שכל רכיב (t f i גזיר ב t כך ש (( t.f (t (f 1 (t,..., f n הגדרה 4.7 מסילה f ב,R n כלומר פונקציה רציפה f (f 1,..., f n : [, 1] R n (רציפות f שקולה לכך שכל הרכיבים f i רציפים. f גזירה אם כל המרכיבים גזירים, וגזירה ברציפות אם כל המרכיבים גזירים ברציפות. 18

19 4 מסילות 4.3 הגדרת האורך לפי הנגזרת הערה 4.8 באופן דומה ניתן להגדיר נגזרות חד צדדיות ב a וב b. מסילה גזירה ברציפות אם היא גזירה מימין ב a וגזירה משמאל ב b וגזירה בכל נקודה (b t,a והפונקציה המתקבלת מ [ b,a] ל R n רציפה. 4.3 הגדרת האורך לפי הנגזרת משפט 4.9 אם f :,a] [b R n מסילה גזירה ברציפות (אם לא נאמר אחרת המטריקה על R n שנשתמש בה היא.l (t b a f (t אזי היא בעלת אורך ו dt d (x, y (xi y i 2 הגדרה 4.1 פרמטר החלוקה a t < t 1 <... < t n b (סימון n,(mesh (t,..., t הינו ה i+1.max 1 i n t i t הערה 4.11 שתי הערות:.1 אם f ו g מסילות שקולות, יש להן את אותו האורך. נניח f : [a, b] X ו X g : [c, d] אז { n } d (f (t i, f (t i 1 n N, a t < t 1 <... < t n b A { n } d (g (t i, g (t i 1 n N, c s < s 1 <... < s n d B A B.2 אם a s < s 1 <... < s m b מעדנת חלוקה a t < t 1 <... < t n b עבור n m אזי מאי שיוויון המשולש m d (f (s i, f (s i 1 n d (f (t i, f (t i 1 ולכן לכל > ɛ מתקיים ( n l (f sup d (f (t i, f (t i 1 a t <... < t n b mesh (t,..., t n < ɛ הוכחה: (המשפט נסמן את הנגזרת החד צדדית בכיוון המתאים ב a וב b גם ע י (t f (כלומר לא נבדיל בסימון בין נגזרת לנגזרת חד צדדית. זו פונקציה רציפה על קטע סגור, ולכן רציפה במ ש, ולכן לכל ɛ יש δ כך שאם t t < δ אז f (t f (t < ɛ ובפרט f i (t f i (t < ɛ לכל.i מכך נובע כי אם t t < δ אז t f i (t f i (t f i (t (t t (f i (s f i (t ds t t t f i (s f i (t ds < ɛ (t t < ɛδ 19

20 4 מסילות 4.3 הגדרת האורך לפי הנגזרת ולכן t f (t f (t f (t (t t n ɛ (t ובחרנו כי t t < δ ולכן f (t f (t f (t t t nɛ t t < nδɛ ולכן המשפט מתקיים. הוכחה: (שוב נוכיח מכיוון ש f רציפה, היא רציפה במ ש ולכן לכל ɛ יש δ כך שאם t 1 t 2 <δ אז < 2 f (t 1 f (t. f i (t 1 f i (t 2 < ɛ i ובפרט לכל ɛ בנוסף, רציפות f גוררת ש f רציפה, ולכן אינטרגבילית רימן, ולכן קיים >,δ כך שאם a t <... < t n b עם mesh קטן מ δ. b n f dx f (t i (t i t i 1 < ɛ a נעריך לחלוקה a t < t 1 <... < t n b עם mesh < δ כלשהו את n b f (t i f (t i 1 f? < cɛ וגמרנו. ti f j (t i f j (t i 1 f i (s dx t i 1 (t i t i 1 f j (t i + R ji a l (f b a f אם זה נכון, אז על פי הלמה < cɛ לכל i n 1 ולכל j d 1 מתקיים. f ( לכל s בתחום, מכיווון ש ( δ > mesh (t,..., t n ומהרציפות במ של f (והבחירה של j (s f j (t i < ɛ (δ n f (t i f (t i 1 f (t i f (t i 1 (t i t i 1 f (t i + R i R d i R ji < dɛ (t i t i 1 n f (t i t i t i 1 n כש ( i 1 R ji < ɛ (t i t ומכאן כי R i < dɛ (b a. b מכיוון שלחלוקה t,..., t n יש mesh < δ סכום רימון המופיע בנוסחה למעלה, רחוק לכל היות ב ɛ מ f a תזכורת: האורך של מסילה f תלויה רק במחלקת השקילות של,f כלומר אם f 1 f 2 אזי 2.l (f 1 l (f ולכן הגדרה 4.12 אם קיימת מסילות f : [a, b] X ו X g : [b, c] כך ש ( b,f (b g אז ניתן להגדיר מסילה חדש f g : [a, c] X ע י { f (t a t b f g (t g (t b t c ובגלל התנאי המסילה החדשה רציפה. 2

21 4 מסילות 4.4 מרחב קשיר טענה (g 4.13.l (f g l (f + l הוכחה: (תרגיל הערה 4.14 אם f : [a, b] X ו X g : [c, d] כך ש ( c f (b g נסמן לפעמים,f g כשבעצם נתכוון לכך שנבחר.f ב g ונתבונן השקול ל g g : [b, b ] הגדרה 4.15 נאמר שמסילה f היא גזירה ברציפות למקטעים אם היא שרשור של מספר סופי של מסילות גזירות ברציפות.. l (f b מסקנה 4.16 (מהטענה הקודמת שלא הוכחנו ומהמשפט נובע שאם f גזירה ברציפות למקוטעין אז f a 4.4 מרחב קשיר הגדרה 4.17 מרחב d (X, הוא קשיר מסילתית אם לכל שתי נקודות x 1, x 2 X יש מסילה f : [, 1] X כך ש.f ( x 1, f (1 x 2 דוגמא: R d מרחב קשיר מסילתית: אם x 1, x 2 R d אז המסילה f (t (t 1 x 1 + tx 2 עונה להגדרה לעיל. טענה 4.18 אם (d,x ו ( D,Y הומאומורפים, אזי X קשיר מסילתית אם ם Y קשיר מסילתית. הוכחה: נניח X קשיר מסילתית, ו ϕ : X Y ההומאומורפיזם ו.y 1, y 2 Y אזי 1 x 1 ϕ 1 (y ו ( x 2 ϕ 1 (y 2 נמצא מסילה f : [, 1] X המקשרת בין x 1 ל x 2 ואזי ϕ f : [, 1] Y היא מסילה שמקשרת את y 1 ו y. 2 דוגמא: האם הקטע (1,1 קשיר מסילתית? כן. באופן כללי, קבוצה קמורה ב R n קשירה מסילתית. תזכורת: קבוצה K R n קמורה אם לכל x 1, x 2 K הקטע {λx 1 + (1 λ x 2 λ [, 1]} K ומהגדרה ברור שהיא קשירה מסילתית. הגדרה 4.19 באופן יותר כללי, קבוצה S R d תקרא קבוצה כוכבית סביב נקודה p R d אם לכל x S הקטע המחבר בין p ל x נמצא ב S. מסקנה 4.2 קבוצה כוכבית היא גם תמיד קשירה מסילתית. דוגמא: {} \ (1,1 לא קשירה מסילתית (כי מסילה חייבת להיות רציפה ולא ניתן לעבור דרך ה. לעומת זאת, {(,} \ 2 (1,1 (כלומר ריבוע בלי נקודת האפס במרכז כן קשירה מסילתית. טענה ( 1, אינו הומאומורפי ל 1 2.( 1, הוכחה: נניח 1 (1, 12 ( 1, : ϕ הוא הומאומורפיזם, אזי \{} 2 ( 1,1 ϕ תהיה הומאומורפיזם מה { } \ 2 1 ( 1, ל { } \ 1.( 1, אך זה לא ייתכן, כי {( ϕ} (1,1 לא קשירה ו { } \ 2 (1,1 כן קשירה..1 האם 1 2 ( 1, הומאומורפי ל { } \ 2 1?( 1, שאלות למחשבה: 21

22 4 מסילות 4.4 מרחב קשיר רעיון לפתרון:.2 האם 1 2 ( 1, הומאומורפי 1 3?( 1, 1. דדד 2. אין הומאומורפיזם (יותר פשוט להראות ב [1 3,1 ] לא הומאומורפי ל [1 2,1 ] כי ניתן להפריד את [1 2,1 ] ע י קו חוצץ וכך תת המרחב לא יהיה קשיר\ אך ב [1 3,1 ] הוא יהיה קשיר. אם נוריד מ (1 2,1 את התמונה של המסילה של עיגול (נסמן ב f נקבל קבוצה שאינה קשיר מסילתית. אם נוכל להראות כי (f \Image 3 (1,1 קשיר לכל מסילה פשוטה סגורה נקבל סתירה לקיום ϕ כנ ל. משפט 4.22 (ג ורדן מסילה פשוטה סגורה ב R 2 מחלקת את המישור לשתי קבוצות קשירות מסילתות זרות. הגדרה 4.23 מרחב קשיר מסילתי הוא פשוט קשר קשר אם כל מסילה פשוטה סגור ניתנת לכיווץ באופן רציף למסילה קבועה. כלומר: נניח f : [a, b] X פשוטה סגורה, אזי f ניתנתן לכיווץ למסילה קבועה אם יש H : [, 1] [a, b] X כך ש: H (, t f (t.1.h (1, t c.2.3 b s, H (s, a H (s, (כלומר המסילה נסגרת על עצמה לכל אורך הכיווץ. הערה 4.24 (שלי הפונקציה H מייצגת למעשה את כל שלבי הביניים בין המסילה הההתחלתית ב s למסילה הקבוע 1 s. אפשר לחשוב על H כאל התמונות בשלבים של אנימציה של המסילה f המביעה אותה למצב הסופי של מסילה קבועה מבלי לקרועה אותה. דוגמא: קבוצה כוכבית היא פשוטת קשר אם יש p S כך שלכל x S הקטע בין x ל p מוכל ב S. הוכחה: תהי f מסילה, ונגדיר H (s, t (1 s f (t + sp וזאת פונקציה רציפה המקיימת את התכונות לעיל. דוגמא: {} \ 2 (1,1 (או {} \ 2 R כי כל מסילה שהתמונה שלה עיגול סביב נקודה האפס לא ניתן לצמצם אותה לנקודה. נניח הייתה פונקציה H כזו, אז כיוון שהמסילה פשוטה קשורה בכל שלב, הנקודה (, תמיד נמצאת בתוך המסילה, ולכן כיוון ש H שואפת לנקודה ובכל שלב האפס מוכל בה, אז {} \ 2 (1,1 (, H סתירה! הגדרה 4.25 שתי מסילות סגורות f : [a, b] X, g : [a, b] X יקראו הומוטופיות אם יש H : [, 1] [a, b] X רציפה כך ש : H (, t f (t.1 H (1, t g (t.2 H (s, a H (s, b.3 הערה 4.26 (שלי בדומה להגדרה הקודמת, H היא אנימציה המעבירה בצורה רציפה ממסילה קשורה אחת למסילה קשורה אחרת. טענה 4.27 אם f : [a, b] X ו X g : [a, b] שקולות, אזי הן הומוטופיות. 22

23 4 מסילות 4.4 מרחב קשיר הוכחה: נאמר כי g f ϕ כאשר b] ϕ : [a, b] [a, מונוטונית עולה ϕ (b b, ϕ (a a נגדיר H (s, t f ((1 s t + sϕ (t מוגדר היטב עבור 1 s ו b a t כאשר a (1 s t + sϕ (t b הפונקציה רציפה כהרכבה של פונקציות רציפוה, כאשר (t H (, t f ו ( t H (1, t g וכן מכיוון ש a ϕ (a ו b ϕ (b ולכן לכל s מתקיים H (s, a f (a H (s, b f (b f (a הגדרה 4.28 (לאור הטענה נגדיר כי מסילות f :,a] [b X ו X g :,c] [d הומוטופיות אם יש g השקולה ל g כך ש f ו g הומוטופיות ע פ ההגדרה הקודמת. (שקול לתנאי הכביכול יותר חזק כי כל g :,a] [b X השקול ל g הומוטופית ע פ ההגדרה הישנה. טענה 4.29 הומוטופיות היא יחס שקילות (גם יותר משקילות בין מסילות. 1. אם f מסילה סגורה אז f הומוטופית לעצמה. 2. אם f הומוטופית ל g אזי g הומוטופית ל f 3. אם f הומוטופית ל g ו g הומוטופית ל h אז f הומוטופית ל h. הוכחה: נוכיח את הטענות..1 (t H (s, t f כשהתנאים מתקיימים באופן טריוויאלי..2 נניח H : [, 1] [a, b] X הומוטופית כי (t H (, t f והמסילה t H (1, שקולה ל g ז א g ϕ (t H (1, t H (s, t H ( 1 s, ϕ 1 (t אזי הומוטופיה..3 נניח f : [a, b] X הומוטופית ל X g : [c, d] ו g הומוטופית ל X h : [α, β] אזי f הומוטופית ל h. נניח כי H 1 : [, 1] [a, b] X הומוטופיה כך ש ( t H (, t f ו ( t.h (1, t g ϕ נניח כי H 2 : [, 1] [a, b] X הומוטופיה כך ש ( t H 2 (, t g ϕ ו ( t.h 2 (1, t h ψ נגדיר { H 1 (2s, t s 1 H (s, t 2 1 H 2 (2s 1, t 2 s 1 23

24 4 מסילות 4.4 מרחב קשיר מסקנה 4.3 במרחב פשוט קשר, כל שתי מסילות סגורות הן הומוטופיות. הוכחה: נניח f ו g מסילות סגורות, אזי ע פ התנאי f הומוטופית למסילה מהטיפוס h 1 (t c 1 עבור c, 1 X ו g הומוטופית למסילה מהטיפוס h 2 (t c 2 עבור c 2 X ונותר להראות כי h 1 ו h 2 הן הומוטופיות. המרחב X קשיר מסילתית לכן יש מסילה γ : [, 1] X כך ש γ ( c 1 ו γ (1 c 2 ואזי (s H (s, t γ הומוטופיה בין המסילה הקבועה h 1 ומסילה הקבועה h. 2 השאלה: הראינו כי [1,] אינו הומאומורפי ל [1 2,] ולכן אין מסילה פשוטה [1 2,] [1,] : f שהתמונה שלה היא כל.[, 1] 2 האם יש מסילה כלשהי [1 2,] [1,] : f שהתמונה שלה היא הכל. תשובה: יש כאלו מסילות הנקראות עקוב פיאנו.(Peano הגדרה 4.31 עקום פאנו היא מסילה ϕ :,] [1 R 2 כך שהתמונה של ϕ היא ריבוע (נאמר הריבוע [1 2,] ואין מסילה פשוטה כזאת. מוטיבציה: נתחילה בשאלה יותר קלה: האם יש העתה (לא בהכרח רציפה מ [ 1,] על [1 2,]? ניקח [1,] x ונפתח אותו לפי בסיס 2 x.x 1 x 2 x 3... כאשר כל xספרה i (אחד או שתיים ונשים לב כי ניתן להביע כל מספר בשתי צורות למשל , ואני נבחר לכל מספר צורה אחת. נגדיר (x ϕ להיות ϕ (x (.x 1 x 3 x 5...,.x 2 x 4 x 6... ונשים לב כי כל נקודה מתקבל לפחות פעם אחת אבל יש נקודות המתקבלות פעמיים (בדיוק בגלל שניתן לייצג כל מספר בשתי צורות למשל (.x 1 x 3 x 5...,.1... (.x 1 x 3 x 5..., x 1 1x 3 x 5....x 1 x 3 1x נמשיך בשיעור הבא, אך זוהי הנוסחה לשאלה המקורית: x x < x 4 f (x 5 x 4 x < 5 5 x < 8 ונמשיך אותה כך ש ( x.f (x + 8 f מתכנס במ ש וכיוון ש f רציפה אז הטור רציף. מכיוון ש 1 (x f לכל,x הטור x n1 2 n f (8 n גם הוא רציף. באותו האופן גם הטור 2 + x n1 2 n f (8 n מכיוון ש 1 f אז מתקיים 2 n f (8 n x 2 n 1 n1 n1 24

25 4 מסילות 4.4 מרחב קשיר ( ψ (t 2 n f (8 n t, n1 עתה נוכל להגדיר את המסילה ϕ : [, 1] R 2 ע י 2 n f (8 n t + 2 n1 מכך התמונה של ϕ מוכל ב [1 2,]. טענה 4.32 התמונה של ϕ מזדהה עם 1] 2,[, כלומר לכל 1 t s, יש 1 x כך ש ( t.ϕ (x (s, הוכחה: נפתח את s ואת t בפיתוח לפי בסיס,2 כלומר... 2.s.s 1 s כאשר, 1 i s ובאותו אופן עבור... 2,t.t 1 t ולכן מתקיים t n1 t n 2 n, s s n 2 n t i \s i n1 עתה נגדיר את x i ע פ הטבלה הבאה: אזי אם + 1 i x i ξ x אז f (ξ s i f (ξ + 2 t i אם נצייר את גרף הפונקציה של f נקבל איור 4.4: הגרף ממנו נבנה את עקום פאנו 25

26 4 מסילות 4.4 מרחב קשיר x n1 x x n 8 n n1 7 8 n 1 ולכן בשימוש בטבלה נוכל להגדיר 8 n i x i 8 n x x n ξ טענה: t.ϕ (x (s, הוכחה: יהי x כנ ל, אזי f (8 n x s n ו f (8 n x + 2 t n ונכתוב n 1 8 n i x i + ξ 8 j x j+n 1 x n + 8 j x j+n 1 j x n + j1 x n ξ x n j x n + 1 j1 f (8 n x f (ξ s n ( ע פ ההגדרה של x. n באותו האופן f (8 n x + 2 f (ξ + 2 t n ( ( ϕ (x 2 n f (8 n x, 2 n f (8 n x n s n, 2 n t n (s, t n1 n1 ומכאן.f (Ω [, מקיימת את 1] 2 Ω { x n הערה 4.33 בעצם הראינו שכבר התמונה של הקבוצה } 7 1, 3, 5, n n1 8 n, x איך Ω ניראת?(תמונה במצלמה Ω כאשר כל F n היא איחוד של 4 n קטעים באורך n 8 והיא קבוצה קומפקטית לא 1n F ניתנת להצגה כ n Ω ריקה וללא נקודות מבודדות, ולכן אינה בת מניה. 1 n הערה 4.34 קבוצת קנטור היא בניה מאותו טיפוס שמכל קטע מורידים את השליש האמצעי. שאלה: האם יש עקום פיאנו בעל אורך? תשובה: לא. לדוגמא ניתן לחלק את הריבוע לשריג בעל n n נקודות, והמרחק בין כל שני נקודות הוא לכל הפחות ולכן חסם תחתון על האורך הוא n, ולכן האורך שואף לאינסוף. הערה 4.35 מה ϕ שלנו ניתן להגדיר גם עקום סופר פיאנו מ [ 1,] ל R 3 כך שהתמונה היא [1 3,], ע י g (t (a (t, a (b (t, b (b (t 26

27 4 מסילות 4.5 מידה אפס 4.5 מידה אפס הגדרה 4.36 תיבה פתוחה ב R d הוא מכפלה B I 1... I d כאשר I j קטע פתוחה. הגדרה 4.37 תיבה סגורה ב R d היא תיבה כנ ל רק כאשר I j קטע סגור..vol (B d הגדרה 4.38 נפח של תיבה B הוא j j1 (Length of I הגדרה 4.39 קבוצה A R d היא בעלת מידה אפס אם לכל > ɛ ניתן למצוא אוסף סופי או בן מניה של תיבות פתוחות. i vol (B i ו ɛ A i B כך ש i B 1, B 2,... משפט 4.4 מספר טענות:.1 אם A בעלת מידה ו A A אזי A בעלת מידה..A 1.2 אם A 1, A 2 בעלות מידה אפס, אזי גם A2 בעלת מידה אפס..3 אם..., 2 A 1, A סדרה של קבוצות בעלות מידה אפס אזי A i הוכחה: נוכיח את הטענות: 1. ברור מהגדרה..2 נובע מ ( 3 ע י הגדרת... 4.A 3 A.3 יהא נתון >.ɛ לכל i נכסה את A i ע י אוסף.}.., i,2 {B i,1, B (בן מניה או סופי של תיבות פתוחות עם. j vol (B i,j < ɛ 2 i. vol (B ij i j vol (B ij i ɛ 2 ɛ הוא אוסף בן מניה של תיבות פתוחות B} i ij } ij אזי 1. היא בעלת מידה אפס (ב R. d R. d היא בעלת מידה אפס (ב {x} כל קבוצה בת מניה היא בעלת מידה אפס (ב R. d יש לה מידה אפס ב R. (Ω { x n.4 לקבוצה Ω שהגדרנו לפניכן } 7 1, 3, 5, n n1 8 n, x.8 n קטעים סגורים באורך e n איחוד של F כאשר Ω הוכחה: ע פ הבנייה 1n F n n קטעים פתוחים באורך 4 n מוכלת באיחוד של F n לכן לכל Ω n ניתנת לכיסוי ע י אוסף קטעים פתוחים כך ש Lengths 4n n 2 n דוגמאות: d (R שהוא קטן כרצונינו. משפט 4.41 לתיבה ב R n אין מידה אפס. למעשה נראה את הטענה היותר חזקה הבאה: 27

28 4 מסילות 4.5 מידה אפס משפט 4.42 אם B תיבה סגורה, ו..., 2 B 1, B הוא אוסף בין מנייה או סופי של תיבות פתוחות המכסות את B, אזי vol (Bi vol (B אבחנה: בה כ מותר להניח כי,..., 2 B 1, B הוא אוסף סופי, כי B i קבוצות פתוחות, ולכן } i B} הוא כיסוי פתוח לקבוצה הקומפקטית B, ולכן יש תת כיסוי סופי וע י מעבר לתת כיסוי רק נקטין את i vol B. n (b i α i אזי [α, β] N הוכחה: (ל R צריך להראות שאם i (a i, b קטעים פתוחים כך ש i (a i, b,β α ובה כ אין קטע i (a i, b שמוכל בקטע אחר j (a j, b ולכן אם נסדר את הקטעים ע פ הקואורדינטה a i אז מתקיים a 1 a 2 b 1 a 3 b 2 a 4 b 3... (bi a i b n a 1 β α ולכן הוכחה: (אותה הוכחה רק עם קצת יותר הסברים יש לנו קטעים n (a 1, b 1,..., (a n, b המכסים את הקטע β].[α, נגדיר } n,f {α, β, a 1, a 2,..., a n, b 1, b 2,..., b ונסדר את הקבוצה כך ש { 2n+1,F {t < t 1 <... < t ונגדיר גם α t i1 ו.β t i2 β α n (b i a i i 2 ji 1+1 2n+1 j1 (t j t j 1 n j (t j t j 1 כאשר n j הוא מספר הקטעים i (a i, b המכסים את j (t j 1, t (לשים לב כי j (t j 1, t הוא יכול להיות או קטע זר ל( (a i, b i או מוכל ממש. מכיוון ש ( (a i, b i מכסים את β (α, לכל i 1 < i i 2 אז הקטע i t (המוכל i 1, t ב ( β ((α, חייב להיות מוכל בלפחות אחד מהקטעים i (a i, b ולכן 1 i n עבור.i 1 < i i 2 n (b i a i 2n+1 j1 i 2 ji 1+1 n j (t j t j 1 (t j t j 1 β α הוכחה: (למקרה הכללי נניח בה כ כי A.,] [1 d הרעיון הכללי להוכחה הוא לבנות רשת (אולי בעלת מספר מימדים המחלקת את הגרף לתחומים לפי הגבולות של הקוביות המכסות את A ובאותו אופן כמו בהוכחה למקרה של R, נוכל לבצע סכימים דומה של הנפחים של כל תחום, ולתת לו אינדקס המציין את מספר הקוביות החופפות לאותו תחום. 28

29 4 מסילות 4.5 מידה אפס א( הקוביה בשחור ובכתום הקוביות המכסות אותה ב( הקובייה המפורקת לתחומים איור 4.5: איור להמחשה (k F ונסדר { }, 1, a (k 1, b(k 1,..., a(k N, b(k N [ i B ונגדיר d k1 (k t כאשר בינם נמצאים ו 1. וכמו קודם (לשים לב להבדל ש D D { d N k1 ( t (k i k 1, t(k i k vol (B i D D ( vol [, 1] d a (k i ], b (k i,a N באופן פורמלי, נניח כי 1i B i <... < t (k את (k F ונקבל את הנקודות 1+2N } יהי D אוסף התיבות + 1 2N i 1 <... < i d 1 ; הוא איבר ב D. n (D vol (D [,1] d D D כאשר (D n הוא מספר התיבות B i שמכילות את D vol (D D [, 1] d כך ש D D לכל D B i או ש B i מכיוון ש 1] d B i [, ומכיוון שלכל D D וכל i או ש D ו 1 (D n ולכן מתקיים כי N vol (B i D D n (D vol (D [,1] d D D vol (D vol ([, 1] d דוגמא: הקטע 1} t I {(, t ב R 2 הוא בעל מידה אפס. דוגמא: {R,} (t t ב R 2 יש לו מידה אפס כאיחוד בן מנייה של קבוצות של הדוגמא הקודמת. משפט 4.43 אם (d 2 f : [a, b] R d מסילה בעלת אורך אזי b] f ([a, היא קבוצה במידה אפס ב.R D 29

30 4 מסילות 4.5 מידה אפס הערה 4.44 נשים לב כי התנאי שהמסילה בעלת אורך הוא הכרחי, למשל עקום פיאנו אשר הוא לא בעל אורך והתמונה שלו היא [1 2,] שהראינו שהוא לא ממידה אפס..ϕ (t l (f [a,t] הגדרה 4.45 פרמטריזציית האורך אם f :,a] [b X מסילה בעלת אורך, אז נגדיר ( ( l אזי (t ϕ פונקציה (f [a,t] l f [a,t1] + l f [t1,t] הערה 4.46 מכיוון שעבור a t 1 t b מתקיים כי מונוטונית לא יורדת, אלא אם כן f קבועה בקטע [t t] 1, ואז היא מונוטונית ממש (t ϕ. t 1 < ϕ זאת כי אם יש t 1 s t כך ש ( t f (s f > ( {}}{{}}{ l f [t1,t] d (f (t 1, f (s + d (f (s, d (t > בניות עזר להוכחת משפט: נגדיר מסילה חדשה (f] g : [, l כך ש ( s.g (ϕ (s f אם המסילה f לא קבועה באף קטע, אז ϕ מונוטונית עולה ממש ורציפה (נראה בהמשך ואז יש ל ϕ הופכית רציפה שקולה ל f. g ובמקרה זה g f ψ ואז ψ אם ל f יש קטעים עליה f קבועה, צריך להסביר מדוע g אכן מגדיר מסילה. ϕ (t l רציפה. (f [a,t] טענה 4.47 הוכחה: יהי > ɛ ונבחר חלוקה a t < t 1 <... < t n b כך ש (( i 1 ɛ > d (f (t i, f (t וכך d (f (ti, f (t i 1 l (f ɛ l (f [t,s] אם t i 1 s t i אז ( ( l (f l f [t,t i] + l f [ti,s] + d (f (s, f (t i+1 + d (f (t i+1, t i d (f (t j 1, f (t j + j l (f n i j1 n ji+1 d (f (t j, f (t j+1 l (f + d (f (t i 1, f (t i (l (f ɛ 2ɛ d (f (t j 1, f (t j ולכן על כל קטע בחלוקה t a < t 1 <... < t n אז (s ϕ שמתנה בלכל היותר.2ɛ נגדיר δ להיות הקבוע של החלוקה t < t 1 <... < t n אם s s < δ אז ϕ (s ϕ (s < 4ɛ כי s ו s נמצאים בקטעים עם לפחות קצה אחד משותף לחלוקה. ϕ (t l (f [a,t] למה 4.48 (סיכום הטענות שהוכחו עד כה אם f :,a] [b R d מסילה בעלת אורך, אזי הפונקציה מקיימת 1. (t ϕ מונוטונית לא יורדת..2 אם 2 ϕ (t 1 ϕ (t עבור t 1 < t 2 אזי 2] f [t1,t קבוע. 3

31 4 מסילות 4.5 מידה אפס.3 (t ϕ רציפה. הוכחה: (חזרה על הוכחת (3 יהא >.ɛ נבחר δ 1 כך ש: אם ξ 1 ξ 2 < δ 1 אז f f (ξ 1 f (ξ 2 < ɛ רציפה גורר רציפות במ ש ונבחר חלוקה a t < t 1 <... < t n b δ 1 δ 2 וגם נגדיר,max t i t i 1 mesh ({t i } < וכך ש δ 1 n כך ש f (t i f (t i 1 > l (f ɛ.min t i t i 1.l i f (t i f (t i 1 וגם l (f ( n l i וכך l i : l f [ti 1,t i] נסמן מהמשוואות שמסומנות נובע כי l i l j i l i f (t i f (t i 1 + ɛ j i l i f (t i f (t i 1 + ɛ 2ɛ עכשיו נניח שקיימים b] ξ 1, ξ 2 [a, עם, ξ 1 ξ 2 < δ 2 וע פ הגדרת δ 2 נובע שיש j n 2 כך ש ] j.ξ 1, ξ 2 [t j 2, t מכאן, ( ( ϕ (ξ 2 ϕ (ξ 1 l f [a,ξ2] l f [a,ξ1] ( l l f [ξ1,ξ 2] ( f [tj 2,t j] l j 1 + l j 4ɛ מסקנה 4.49 אם ϕ מוגדר כמו בלמה אז (f].ϕ ([a, b] Image ϕ [, l משפט 4.5 (משפט פרמטריזציית האורך לכל מסילה בעלת אורך f : [a, b] R k יש מסילה f : [, l (f] R k בעלת אורך כך ש l (f [,s] s.1.2 לכל b] t [a, מתקיים כי (t.f (ϕ (t f 3. אם אין קטע עליו f קבוע, אז f ו f שקולות..Image (f Image (f.4 הוכחה: נוכיח את הטענות: (2 בעצם מגידירם את.f זאת כי כל (f] s [, ( l (היא ( בתמונה של.ϕ,[t 1, t 2 ] קבועה על הקטע f אזי t 1 < עבור t 2 l f [a,t1] l f [a,t2] ובנוסף, אם 2 ϕ (t 1 ϕ (t (ז א ובפרט 2,f (t 1 f (t ולכן (2 מגדיר היטב פונקציה.f (3 + (4 ברורים (האומנם? בשלב זה. 31

32 4 מסילות 4.5 מידה אפס נניח t a < t 1 <... < t n t חלוקה של t] [a, עבור.t < b נניח s s 1... s n s חלוקה של s] [, עבור (f.s l כך ש ϕ (t i s i לכל i (ז א החלוקה } i {t קובעת את } i {s ויתכן ולחלוקה } i {s יהי יותר מאפשרות אחת לבחור } i t} אבל יש לפחות אחת. אזי ע פי (2 מתקיים n f (s i f (s i 1 n f (t i f (t i 1 ולכן מתקיים כי (בהנחה ש ( t s ϕ { n } sup f (s i f (s i 1 s... s n s l (f [,s] { n } sup f (t i f (t i 1 a t <... < t n t l לכל [b t,a] ולכן מכיוון ש ϕ על אז (1 מתקיים. (f [,ϕ(t] ( f (s 2 f (s 1 l l f [s1,s 2] ( f [,s2] s 2 s 1 l l (f [a,t] l (f [a,t] במילים אחרות, (t ϕ ( f [,s1] בנוסף, אם < s 1 < s 2 < l אז ולכן לא רק ש f רציפה (כלומר מסילה, היא גם מקיימת את תנאי ליפשיץ עם קבוע 1. תזכורת: תנאי ליפשיץ כימות של רציפות במ ש. פונקציה (d f :,X (d,y מקיימת את תנאי ליפשיץ עם קבוע c אם לכל x, y X מתקיים D (f (x, f (y < c d (x, y משפט 4.51 אם (d 2 f : [a, b] R d מסילה בעלת אורך אזי b] f ([a, היא קבוצה במידה אפס ב.R D הוכחה: תהי f : [, l (f] R d כמו במשפט פרמטריזצית האורך. מכיוון ש ( f Image מזדהה ל ( (f Image אז נעבוד עם f. יהי N מספר שלם כלשהו, ונחלק את המסילה ל N חלקים ונסתכל על f [ (j 1l(f N, j l(f N ] B ( f ( (j 1 l (f N מדוע? כי s. f (s 1 f (s s 1 לכן Image (f ( ( (j 1 l (f B f, l (f N N 32, l N

33 4 מסילות 4.5 מידה אפס.N ( 3l(f N d וסה כ הנפח הוא ( 3l(f N כל כדור כזה (סגור מוכל בקובייה פתוחה עם צלע d לכן, f Image מוכלת באיחוד N תיבות בפתוחות, כאשר כל אחת בנפח. 3l(f N מכיוון ש 2 d אז הנפח שואף לאפס כאשר N שואף לאינסוף ולכן f Image במידה אפס ולכן (f Image במידה אפס. הערה 4.52 (על פרמטריזציית האורך נשים לב כי יכול להיות ש f רציפה אבל f לא רציפה. דוגמא: נסתכל על f : [, 2] R 2 המוגדרת ע י ( (1 t 2, t 1 f (t (, (t t 2 ומסילה זאת היא גזירה ברציפות, כאשר ב 1 t הנגזרת שווה לאפס. מהי?f l (f 2 ולכן f : [, 2] R 2 מוגדרת ע י { f (1 t, t 1 (t (, t 1 1 t 2 ו f לא גזירה ב 1 t (כי יש בנקודה זאת פינה במסילה כתלות ב t. מסקנה 4.53 אם 1] 2 [, b] f : [a, בעלת אורך אזי f לא על. וריאציה קלה: אם f : [a, b] S 2 (כאשר } 1 x (S 2 { x R 3 בעלת אורך אז f לא על. משפט } x S 2 { x R 3 פשוטת קשר., S 1 כלומר מעגל היחידה ב R, 2 אינו פשוט קשר. S 2 פשוט קשר אם ם {} \ 3 R פשוט קשר. הערה 4.55 טענה 4.56 הוכחה: נניח ש S 2 פשוט קשר, ונוכיח כי {} \ 3 R פשוט קשר. נניח {} \ 3 γ : [a, b] R מסילה. γ(t.h (s, t (1 s+s γ(t לפי מסילה של (S2 (זו γ (t γ(t γ(t γ הומוטופית למסילה מההנחה קיימת ב S 2 הומוטופייה t H 2 (s, בין γ למסילה הקבועה, ולכן כיוון ש R 3 \ {} S 2 אז H 2 היא הומוטופיה גם ב { } \ 3.R מכיוון שהומוטופיה היא יחס שקילות, אז γ היא הומוטופית למסילה הקבועה ולכן {} \ 3 R פשוט קשר. הכיוון השני מאוד דומה. עכשיו נראה כי S 2 פשוטת קשר. למה 4.57 (מושאר כתרגיל כל מסילה ב S 2 הומוטופית למסילה בעלת אורך. מסקנה 4.58 כל מסילה ב S 2 הומוטופית למסילה שהתמונה שלה אינה כל S. 2 בה כ ניתן להניח כי Image γ 1 (,,. תהי π : S 2 \ {,, 1} R 2 הטלה סטריאוגרפית ואז H (s, t π 1 (s (π γ (t היא הומוטופיה בין γ למסילה הקבועה. נראה בקרוב כי {} \ 2 R אינו פשוט קשר, ומכאן למשל נובע כי R 2 ו R 3 הם לא הומאומורפים. 33

34 4 מסילות 4.6 אינטגרציה על מסילות 4.6 אינטגרציה על מסילות b תזכורת: איך מגדירים? f (x dx לכל חלוקה a t < t 1 <... < t n b מגדירים סכום רימן עליון וסכום רימן a קיימת חלוקה כך שההפרש בין הסכום העליון לסכום התחתון קטן מ ɛ. ɛ קיים אם לכל b תחתון., ו f a (mesh חלוקה עם פרמטר a t < t 1 <... < t n b כך שאם δ יש > ɛ קיים, אז לכל > b מסקנה 4.59 אם f a קטן מ δ, ואם ] i ξ i [t i 1, t ל n i 1,..., אזי S (f, {t i }, {ξ i } n f (ξ i (t i t i 1 הגדרה 4.6 שדה ווקטורי על R d A הוא פונקציה מ A ל R. d איור 4.6: שדה וקטורי שדה וקטורי הוא התאמה של וקטור לכל נקודה במרחב. f (( x1 x 2 ( x 2 x 2 x 1 x 2 דוגמא: {} \ 2 A R אז איור 4.7: השדה הוקטורי בדוגמא 34

35 4 מסילות 4.6 אינטגרציה על מסילות נרצה להגדיר שדה וקטור F שמוגדר על A R d ולמסילות (בעלות אורך γ כך ש F d x γ γ d F i dx i הגדרה 4.61 עבור,γ : [a, b] R d האינטגרל F d x קיים ושווה ל I אם לכל > ɛ קיימת > δ כך שלכל חלקוה a t < t 1 <... < t n b עם פרמטר קטן מ δ ולכל בחירה של ] i ξ i [t i 1, t לכל i n,1 וסכום רימן מוגדר ע י S (F, γ, {t i }, {ξ i } F (γ (ξi ( γ (t i γ (t i 1 אז מתקיים כי. S (F, γ, {t i }, {ξ i } I < ɛ.i I קיים ו I.1 אם γ γ אזי I γ F d x קיים אם ם γ F d x הוכחה: נניח γ γ ϕ כש [ d ϕ : [a, b] [c, מונוטונית עולה ממש, ו γ : [c, d] R k ו.γ : [a, b] R k נניח ש I קיים. יהי > ɛ ו > δ כבהגדרת האינטגרל המסילתי, ונמצא δ 1 כך שאם s 1 s 2 < δ 1 אז ϕ 1 (s 1 ϕ 1 (s 2 < δ. אזי אם תכונות: a s < s 1 <... < s n b c ϕ 1 (s < ϕ 1 (s 1 <... < ϕ 1 (s n d חלוקה עם,mesh < δ אזי חלוקה של d] [c, עם,mesh < δ ולכן לכ בחירה של ] i ξ i [s i 1, s מתקיים כי S (F, γ, {s i }, {ξ i } S ( F, γ, { ϕ 1 (s i }, { ϕ 1 (ξ i } ומכיוון ש } i { ϕ 1 (s עם פרמטר > δ הסכום הנ ל בטווח ɛ.(i ɛ, I +.2 נניח γ : [a, b] R k מסילה, ונניח η : [a, b] R k המסילה ההפוכה bx,η (x γ (a + אז I γ F d x קיים אם ם I η F d x קיים ו I I נובע ישירות מההגדרה. η γ.3 אם γ : [a, b] R k ו η : [a, b] R k עם (b γ (b η אזי F d x F d x + F d x γ η טענה 4.62 נניח γ : [a, b] R k מסילה, F שדה וקטורי המוגדר על תמונת,γ אזי γ F d x (אם קיים מקיים { } F d x l (γ sup F (p p Image (γ 35

36 4 מסילות 4.6 אינטגרציה על מסילות הוכחה: (ברמת סכומי הרימן תהי a t < t 1 <... < t n b חלוקה, ] i ξ i [t i 1, t אזי n S ({t i }, {ξ i } F ( γ (ξ i ( γ (t i γ (t i 1 n F (γ (ξ i γ (t i γ (t i 1 sup ( F (p p Image (γ n γ (t i γ (t i 1 ( sup F (p p Image (γ l (γ משפט 4.63 אם F רציפה על תמונת γ ו γ בעלת אורך, אזי γ F d x קיים. למה 4.64 אם F ו γ כמו במשפט, אזי לכל ɛ קיים δ כך שאם a t <... < t n b חלוקה עם פרמטר קטן מ δ אז b t <... < t m b עידון של חלוקה זו, ואם ] i ξi [t i 1, t ו t ξ i [ t i 1, i] אזי ( ( S F, γ, {ti }, {ξ i } S F, γ, {t i }, {ξ i} < ɛ הוכחה: (הלמה יהיה נתון > ɛ. מכיוון ש F רציפה על תמונה F γ γ, רציפה, ולכן רציפה במ ש, לכן > δ כך שאם. F γ (r F γ (r < ɛ אז r r < δ יהיו נתונים חלוקה i} {t עם פרמטר > δ ועידון } i,{t ונקודות ביניים i} {ξ ו { {ξ i כמתואר בלמה..t k i מכיוון ש j} { t עידון של } i {t אז קיימים k < k 1 <... < k n m כך ש t i נסתכל על ההפרש בין סכומי רימן עבור כל שתי נקודות עוקבות בחלוקה של } i t}: i {}} { k i ( F (γ (ξ i ( γ ( t ( j γ t j 1 F (ξ i γ (t i γ (t i 1 jk i 1+1 γ (t i γ (t i 1 ( γ ולכן t k i γ (ti ו ( γ (t γ (t ע פי הגדרה i 1 ki 1 k i jk i 1+1 (γ (t i γ (t j 1 ɛ k i jk i 1+1 k i ik i 1+1 ({ ( ( }}{ F γ ξ j F (γ (ξj (γ ( t ( j γ t j 1 γ (t i γ ( t i 1 ɛli ולכן ( שווה ל 36

37 4 מסילות 4.6 אינטגרציה על מסילות (.ξ i, ξ j [t i 1, t i ] כי ו הוא בערך מוחלט קטן מ ɛ,l i l γ [ti 1,t i] כש ולכן S ({t i }, {ξ i } S ({t i}, {ξ i} n i n i ɛ l i ɛl (γ מסקנה 4.65 (מהלמה F ו γ כמו במשפט, אזי לכל > ɛ יש > δ כך שאם a t <... < t n b ו a s <... < s n b ולשתי החלוקות פרמטר קטן מ δ, ξ i [t i 1, t i ] ו [ ξ j [s j 1, s j אזי S ({t i }, {ξ i } S ({s i }, {ξ i} < 2ɛ הוכחה: (המסקנה נשתמש בלמה פעמיים, פעם עם } i t} ועם עידון משותף } i r} של שתי החלוקות הנ ל, ופעם עם } i s} ואותו עידון משותף, ונקבל את הנטען. (k ξ בחירת נקודות ביניים סדרת חלוקות עם פרמטר ו i ({ S k S t (k i { } {, t (k i ξ (k i } } הוכחה: (המשפט ע פי המשקנה מהלמה, אם [ ] (k (ξ אזי i t (k מתאימות (ז א i 1, t(k i היא סדרת קושי, ולכן I lim S k קיים. מהמסקנה של הלמה, מופעלת שוב נקבל כי לכל ɛ יש δ כך שאם t i חלוקה עם פרמטר > δ, אזי לכל k מספיק גדול S k S ({t i }, {ξ i } < ɛ I S ({t i }, {ξ i } ɛ ולכן γ F d x b a משפט 4.66 אם F רציפה, γ גזירה ברציפות למקוטעין, אזי F (γ (t γ (t dt הוכחה: מקרבים בסכומי הרימן הרלוונטים i 1 γ (t i γ (t ע י i 1 (t i t i 1 γ (t (ההוכחה המלאה תוצג בתרגיל. 37

38 5 גזירות של פונקציות מ R n ל R m. θ ו 2π R R + עבור γ (θ (R cos θ, R sin ו ( θ (R 2 \ {} על (מוגדר F ( x2 x 2, γ (θ ( R sin θ, R cos θ ( sin θ F (γ (θ R, cos θ R F (γ (θ γ (θ sin 2 θ + cos θ 2 1 2π F dx dt 2π γ x 1 דוגמא: x 2 ( F (דוגמא לשדה משמר ואותה מסילה כמו מקודם, ולכן 2 F 2 (γ ( cos θ R, sin θ R F 2 (γ γ 2π F 2dx dt γ x 1 x 2, x 2 דוגמא: x 2 הגדרה 4.67 שדה F על קבוצה פתוחה Ω R d יקרא משמר אם לכל מסילה סגורה בעלת אורך d x γ. F. הגדרה 4.68 שדה F יקרא שדה משמר לוקלית אם γ סגורה, אז לכל γ הומוטופית ל γ אז γ F d x γ F d x אזהרה: (!! נניח יש סדרת מסילות γ n : [a, b] R 2 ו γ : [a, b] R 2 ונניח כי γ n γ במ ש ונניח כי F שדה רציף שמוגדר על כל R. 2. γ n F d x F עדיין אין סיבה ש γ d x,γ n (t 1 n ו ( x F (x, y ( y, ולכן F d x n ( sin n 3 t, cos n 3 t ( sin n 3 t, cos n 3 t dt ( cos ( דוגמא: t n 3 t, sin ( n 3 n 2π dt 2πn אבל האינטגרל של המסילה הקבועה ב הוא תמיד אפס (בגלל המכפלה הסקלרית. הערה 4.69 כזכור, הראינו כי n l (γ lim inf l γ וקיימים מקרים בהם מתקיים אי שוויון חזק ואף מקרים בהם הגבול של n l γ כלל לא קיים ולכן העובדה לעיל לא מפתיעה.. γ n F טענה 4.7 אם γ n γ במ ש ו γ γ n במ ש, ו γ γ, גזירות ברציפות וגם F רציפה אז γ F f (x lim h f (x + h f (x h 38 5 גזירות של פונקציות מ R n ל R m תזכורת: f : R R גזירה ב x אם קיים הגבול

39 5 גזירות של פונקציות מ R n ל R m f (x + h f (x + f (x h + o (h ובניסוח שקול, f גזירה ב x (עם נגזרת (f (x אם הגדרה f : A Rn R m 5.1 ו Å x אזי f גזירה ב x אם קיימת העתקה לינארית T : R n R m כך שלכל h A מתקיים כי f (x + h f (x + T h + r (x, h f (x + h f (x + T h + r (x, h h lim או בניסוח שקול r(x,h h כאשר אז T תקרא הנגזרת (או הדיפרנציאל של f ב x ונסמן [(.[Df x הגדרה 5.2 (הגדרה שקולה f : R n R m גזירה ב x אם יש העתקה T (תסומן ע י (D f (x כך שלכל > ɛ יש > δ כך שאם x x < δ אזי f (x f (x T (x x < ɛ x x. f 1 f 1 x n x f m x 1... f m x n והמטריצה המתאימה להעתקה לינארית T היא מסקנה 5.3 משתמע מההגדרה ש T כנ ל יחידה ונוכיח זאת. הוכחה: לכל v R n נסמן tv,h v (t f (x + ו h v מוגדרת על קטע פתוח המכיל את אפס. מהשוויון בהגדרה נובע כי h v ( f (x + tv f (x lim t t t T (v + r (x, tv lim t t { }} { lim T (v + t T (v r (x, tv t מכיוון ש f קובעת את T v לכל v R m ולכן יש לכל היותר העתקה לינארית אחת T : R n R m המקיימת את ההגדרה. קיום נגזרת מבטיח את קיום הנגזרות הכיווניות ההפך לא נכון!.f i : A R כאשר f (x f 1 (x. f m (x הערה 5.4 קל לראות מההגדרה שאם f : A R m נתונה ע י f גזירה ב x אם ם כל הרכיבים f i גזירים. 39

40 5 גזירות של פונקציות מ R n ל R m h אזי ההעתקה לינארית ניתנת לייצוג ככפל מטריצות, כלומר קיימת מטריצה f (x + h f (x + A ( h + o h h 1. h n f ו f 1. f m אם נכתוב ij A (a כך ש אם e 1,..., e n הבסיס הרגיל ל,R n אזי העמודה ה j של A נתונה ע י.Ae j הגדרה 5.5 נגדיר נגזרת חלקית עבור g : R k R g g (y 1,..., y i + h,..., y n g (y 1,..., y n (y 1,..., y n lim x i h h f i x i a 1j. a mj f i x j גזירה ב x אזי כל הנגזרות החלקיות x f (x + te i f (x T e i lim i t h ש f 1. f m f 1 עפ י החישבו למעלה, אם f גזירה ב x אז f 1 x j. f m x j טענה 5.6 (נובע ישירות מההגדרות אם f : R n R m קיימות והמטריצה שמתאימה להעתקה לינארית Df x היא f 1 x n x f m x 1 h 1. h n f (x + h f (x + f m x n ההפך לא בהכרח נכון! דוגמא: אם f : R n R ו f גזירה ב x אז מקבלים כי עבור n f x i h i + o ( h f ואז נקבל f (x + h f (x + f h + o ( h f x 1. f x n לפעמים כותבים כאשר למעשה בכתיבה זו נחבאת ההנחה כי בחרנו מערכת צירים ומכפלה פנימית עבורה אנו מגדירים את הביטוי לעיל. 4

41 5 גזירות של פונקציות מ R n ל R m ( fi x j i,j משפט 5.7 תהי f : A R m ו A x נקודה פנימית. נניח כי f רציפה בסביבת,A והנגזרות החלקיות קיימות ורציפות בסביבת x אזי f גזירה ב x..i, j לכל fi x j (x fi x j הוכחה: לכל ɛ נבחר δ כך שאם x x < δ ו ɛ (x < אזי אם n x (ξ 1,..., ξ ו ( y (η 1,..., η n אז f (y f (x f (η 1,..., η n f (ξ 1, η 2,..., ξ n + f (ξ 1, η 2,..., ξ n... + f (ξ 1, ξ 2,..., ξ n 1, η n f (ξ 1,..., ξ n n i i : f (ξ 1,..., ξ i 1, η i, η i+1,..., ξ n f (ξ 1..., ξ i, η i+1,..., η n ולכן מתקיים כי i i f (ξ i (η i ξ i x i ηi 1 f (x dx i x i f (t f (ξ i dt x i x i δ (η i ξ i ξ i 1 הוכחה: (הוכחה אלטרנטיבית / ברורה יותר רדוקציה של הבעיה: מכיוון ש f גזירה ב X אם ם כל הרכיבים f i גזירים ב x, מותר לעבוד על כל רכיב בנפרד מותר להוכיח עבור 1 m. נוכיח עבור 2.n יהיו 2 x (ξ 1, ξ ויהא >.ɛ.i לכל f x i (x + h f x i קיים δ כך שאם h R 2 מקיים h < δ אזי (x < ɛ כעת עבור h < δ נחשב כי f (x + h f (x f (ξ 1 + h 1, ξ 2 + h 2 f (ξ 1 + h, ξ 2 +f (ξ 1 + h, ξ 2 f (ξ 1, ξ 2 f x 2 (ξ 1 + h, η 2 h 2 + f x 1 (η 1, ξ 2 h 1 ועל פי משפט ערך הממוצע ניתן לכתוב עבור η 2 בין ξ 2 ל h ξ 2 + ו η 1 בין ξ 1 ל h.ξ 1 + Reminder {}}{ f (x h 1 + f (x h 2 + R x 1 x [ 2 f R (η 1, ξ 2 f ] (η 1, ξ 2 h 1 x 1 x 1 [ f + (ξ 1 + h, η 2 f ] (ξ 1, ξ 2 x 2 x 2 R ɛh 1 + ɛh 2 2ɛ h h 2 עפ י הגדרת δ מתקיים כי 41

42 5 גזירות של פונקציות מ R n ל R m ולכן הפונקציה גזירה ב x. אם יש ל f : A R m ו A פתוחה ב R n ונניח ש f גזירה בכל נקודה של A. נקבל פונקציה Df מ A למרחב ההעתקה הלינאריות מ R n ל R. m הגדרה 5.8 מרחב ההעתקה הלינאריות מ R n ל R m שיסומן ע י m Hom(R n, R הוא מרחב וקטורי ממימד.n m הגדרה 5.9 (נורמה של העתקה על m Hom R n, R ניתן להגדיר נורמה טבעית בצורה הבאה T : sup { T v v 1} ההעתקה (x x Df רציפה (עפ י נורמה זו אם ם כל אחת מהקואורדינטות, מקדמי המטריצה, והנגזרות החלקיות רציפות. בזכות המשפט נובע: טענה 5.1 אם A R n פתוחה, f : A R n גזירה ברציפות ב A אם ם הנגזרות החלקיות קיימות בכל נקודה של A והן רציפות. הגדרה 5.11 את אוסף הפונקציות הגזירות ברציפות על A נסמן ב ( A C, 1 ובאותו אופן (A C k הוא אוסף הפונקציות הגזירות ברציפות k פעמים. דוגמא: נדגים פונקציה שכל הנגזרות החלקיות שלה קיימות אבל היא לא גזירה. y x f (x, y ( 2 sin x x y y < π, y x y π, y הנגזרות החלקיות קיימות בכל נקודה אך היא לא רציפה. קיימים ורציפים בסביבת x אז ( f x i x j וגם ( f x i x j ( f x j משפט 5.12 נניח f : A R ו A Rn ו Å.x x i נניח ש f גזירה ברציפות בסביבה של x ובנוסף ש ( ( f x j x i.df מסמנים Df (x ולפעמים מסמנים במקום, i f מסמנים f x i. 2 f x i x i ב x i x j ונהוג לסמן את f הערה 5.13 לפעמים מסמנים במקום הוכחה: בה כ 2,n,i 1, j 2 כלומר f : B R 2 R ו B x ונרצה להראות עבור y f (x, שתחת תנאי הרציפות שצויינו במשפט מתקיים כי 2 f y x (x 2 f x y (x 2 f קיימות, וגם לכל h > δ מתקיים כי y x וגם 2 f יהא נתון >.ɛ ניקח > δ כך שב ( δ f B (x, גזירה, ו x y 2 f y x (x 2 f y x (x + h < ɛ 42

43 5 גזירות של פונקציות מ R n ל R m ובאותו אופן עבור נבחר y h ( x, כך ש δ h < ו y x, ונסתכל על f (x + x, y + y f (x, y + y f (x + x, y + f (x, y x y. 2 f x y g(x+ x g(x ונמשיך להעריך את הביטוי x y נגדיר y g (t f (t, y + y f (t, ולכן הביטוי הנ ל שווה ל g (ξ y h(y+ y h(y 1 {}}{{}}{ f f (ξ, y + y (ξ, y y x x h (η 2 f (ξ, η y x ממשפט הערך הממוצע עבור h נקבל כי אם היינו מפעילים את הטיעון כשמתחילים מ ( t g (t f x +,x (t f,x אז היינו מקבלים כי אותו הביטוי שווה 2 f כשגם η (ξ, כמו η (ξ, תחומים בתוך x < ξ, ξ < x + x ו y,y < η, η < y + ולכן נקבל ל ( η x y (ξ, 2 f x y (x f y x (x <ɛ {}}{{}}{ 2 f x y (x 2 f x y (ξ, η + 2 f y x (x 2 f (ξ, η y x {}}{ + 2 f x y (ξ, η 2 f (ξ, η y x 2ɛ <ɛ. 2 f x y (x 2 f y x מכיוון ש ɛ שרירותי אז מתקיים כי. df(g(t dt תזכורת: הראינו בעבר באינפי 1 את כלל השרשרת לפיו (t f (g (t g משפט f : B R m,g : A B 5.14 ו A R n ו B Rk ו Å g (x B,x ונניח בנוסף כי g גזירה ב,x ו f גזירה ב ( g. x אזי מתקיים כי (x f g (x f (g גזירה ב,x ומתקיים כי D (f g (x Df (f (x Dg (x הוכחה: יהא נתון >.ɛ קיים > 1 δ כך שאם x x < δ 1 אזי אם נגדיר r 1 (x g (x g (x D g (x (x x 43

44 5 גזירות של פונקציות מ R n ל R m g (x g (x < M {}}{ ( D g (x + 1 x x אזי r 1 (x ɛ x x ובפרט נגדיר y g (x ונכל קיימת δ 2 כך שאם y y < δ 1 ונגדיר r 2 (y : f (y f (y Df (y (y y אז מתקיים. r 2 (y < ɛ y y δ min { δ 1, δ2 אזי x x < δ 1 וגם g (x g (x < δ 2 אזי מתקיים כי M } אם ניקח f g (x f g (x + D f (y (g (x g (x + r 2 (g (x f g (x + D f (y (D g (x (x x + r 1 (x + r 2 (g (x f g (x + D f (y D g (x (x x + r 3 (x r 3 (x D f (x r 1 (x + r 2 (g (x D f (x r 1 (x + ɛ g (x g (x ɛ D f (x x x + ɛm x x ɛm x x טענה 5.15 נניח A R n,f : A R n פתוחה, x, y A כך שהקטע I {λx + (1 λ y λ 1} A ונניח כי f גזירה על I וש M D f (z לכל,z I אזי f (x f (y < M x y הוכחה: טריקה רדוקציה h : [, 1] R ע י h (t f (y f (x, f (ty + (1 t x f (x h ( h (1 f (y f (x 2 ע פי כלל השרשרת נחשוב על (t h בתור הרכבה של הפונקציות: ϕ : t f (ty + (1 t x f (x ψ : u f (y f (x, u x t {}}{ ϕ (t D ϕ (t D f ty + (1 t x (y x ואז D ψ ( u ( ω f (y f (x, ω 44

45 5 גזירות של פונקציות מ R n ל 5.1 R m גזירה תחת סימן האינטגרל כאשר השוויון הראשון מתקבל בגלל ש { x t }} { ϕ (t + t f ((t + t y + (1 (t + t x f ty + (1 t x + t (y x f (x t + td f (y x + o ( t y x נרכיב ונקבל כי h (t f (y f (x, D f (x t (y x f (y f (x D f (x t y x M f (y f (x y x ממשפט ערך הביניים מתקיים כי עבור [1,] ξ כי f (y f (x h (1 h ( h (ξ M f (y f (x x y הכללה: נניח A פתוחה, f גזירה על A ו A,x y ו ϕ מסילה גזירה ברציפות המחברת את x ו y ונניח כי לכל z של תמונת ϕ מתקיים, D f (z < M אזי f (x f (y < M l (ϕ תזכורת: אם T : R n R m אז מגדירים 1} x T max { T x ולכן מתקיים גם T y y T y y y T I (t b a F (t, s ds 5.1 גזירה תחת סימן האינטגרל הקדמה: נניח (t I היא הפונקציה הבאה. di dt ואנו רוצים לחשב את I (t b a F (t, s ds t תחת תנאים מסויימים מתקיים כי.S (t b F (t,i a t S (t b אז ia אנלוגיה: אם i F (t, 45

46 5 גזירות של פונקציות מ R n ל 5.2 R m שדות משמרים משפט 5.16 תהי s F F (t, פונקציה רציפה על קבוצה פתוחה U R 2 שמכילה את הקטע b}.j {(t, s a < s I (t b גזירה a F (t, s ds אזי הפונקציה (t δ, t + δ [a, b] קיימת ורציפה על F t נניח כי הנגזרת החלקית ב t והנגזרת שווה ל I (t b a F (t, s ds t הוכחה: נתבונן בביטוי I (t + t I (t t b a F (t + t, s ds b F (t, s ds a F (t + t, s F (t, s ds t b a תחת התנאי שצויינ מתקיים (צריך לבדוק!! ש F (t + t, s F (t, s t F (t, s t הביטוי שואף במ ש על s כאשר t כלומר שלכל ɛ קיים > 1 δ כך שאם b] s [a, ו t < δ 1 אזי ( ɛ > F (t + t, s F (t, s F (t, s t t קיימת ורציפה על b],[ t δ 2, t + 2] δ [a, היא רציפה במ ש שם, ולכן לכל ɛ יש < δ 1 < δ 2 F t מכיוון שהנגזרת החלקית כך שאם t t < δ 1 ו [ b s [a, אז ( ɛ > F (t, s t F (t + t, s F (t, s t F (t, s t F t (ξ, s לכל δ 1 כנ ל, וממשפט הערך הממוצע כאשר ξ תוי ב t וב s, אך נמצא בין t ל t t + ולכן ( גוורת את ( שגורר כי I (t + t I (t t b a F (t, s ds t דוגמא: הפונקציה (ts F,t (s sin מקיימת את התנאים הנ ל ואפשר לבדוק כי הטענה אכן מתקיימת. 5.2 שדות משמרים נחזור למסילות, ועבור A R n פתוחה וקשירה מסילתית, F שדה וקטורי רציף על A. הגדרה F 5.17 שדה משמר אם ם לכל מסילה סגורה בעלת אורך γ מתקיים כי d x γ. F 46

47 5 גזירות של פונקציות מ R n ל 5.2 R m שדות משמרים טענה F 5.18 שדה משמר אם ם לכל שתי מסילות בעלות אורך γ : [a, b] R n ו γ : [c, d] R n עם (c γ (a γ ו ( d γ (b γ אז F dr F d x γ γ הוכחה: נגדיר η להיות המסילה ההפוכה ל γ (כלומר c.(η (x γ (d x + התנאי על הקצוות של γ ו γ גורר שניתן להרכיב γ η והמסילה שמקבלים סגורה מכיון ש F משמר ולכן F d x F dx + F d x γ η γ η F dx F d x γ γ F d x F dx γ γ מהכיוון השני ניקח γ להיות מסילה קבועה והאינטגרל עליה שווה לאפס. משפט A R n 5.19 פתוחה קשירה מסילתית, F שדה ווקטורי רציף. F משמרת אם ם קיימת פונקציה גזירה ברציפות g : A R כך שלכל x A מתקיים (x,f (x g ובמקרה כזה לכל מסילה בעלת אורך γ : [a, b] A כך ש F d x g (γ (b g (γ (a γ הערה 5.2 לפונקציה g כנ ל קוראים פוטנציאל לשדה. יש לשים לב ש g היא יחיד עד כדי תוספת קבוע, כלומר אם g F g אז.g g const דוגמא: אם E הוא שדה חשמל (כלומר אם q מטען ו x המיקום שלו אז (x q E הוא הכוח הפועל על החלקיק, אז Edx ϕ (γ (b ϕ (γ (a γ הוכחה: נוכיח את המשפט: 1. : נניח ש F משמרת ונראה ש g כנ ל קיים. נבחר a A ונגדיר g (b γ F dx כאשר γ מסילה בעלת אורך מ a ל b (מוגדר היטב מכיוון ש F משמר, אז לכל מסילה שנבחר מ a ל b אז (b g זהה. (א מדוע קיימת γ בין a ל b שהיא בעלת אורך? למה: אם A R n פתוחה ו A γ :,a] [b מסילה, אז יש מסילה בעלת אורך (מסילה פוליגונית ב A שמתחילה ב ( a γ ומסתיימת ב ( b γ. הוכחה: γ ([a, b] K היא קבוצה קומפקטית ו R n \A F היא קבוצה סגורה, אזי F d d (K,.inf {d (x, y x K, y F } > קיימת > δ כך שאם t s < δ אז γ (t γ (s < d 2 47

48 5 גזירות של פונקציות מ R n ל 5.2 R m שדות משמרים ולכן כל הקטע המחבר בין (t γ ו ( s γ נמצא ב A. נבחר חלוקה a t 9 < t 1 <... < t n b עם mesh < δ ונגדיר את γ להיות המסילה הפוליגונלית העוברת דרך γ (t, γ (t 1,..., γ (t n ולכן קיימת מסילה בעלת אורך בין a ל b. g קיים ושווה ל F i בבכל x i (ב נסתכל על מסילה γ : [c, d] R n כך ש b γ (c a, γ (d ונראה ש.x A g רציפות, ולכן g גזירה. x i מכיוון שהנחנו כי F רציף, אז נובעי כי כל ה נסמן ב e i את וקטור היחידה בכיוון i. g g (x + te i g (x lim x i t t מהו (x?g (x + te i g תהי γ 1 מסילה בעלת אורך מ a ל x ו γ 2 המסילה γ 2 (s x + se i עבור t מספיק קטן. γ 2 ([, t] A המסילה γ γ 2 γ 1 מחברת את a ל,x + te i ולכן F d x + F d x γ 2 { g(x }} { g (x + te i F d x γ 2 γ 1 g (x + ולכן נקבל כי g (x + te g (x γ 2 F d x t t t F (x + se i γ 2 (s ds t t F (x + se i e i ds t t F i (x + se i ds t 1 t (הראינו באינפי 2 דרך המשפט היסודי כך שאם מרציפות F i נקבל כי (x t F i (x + se i ds F i.(i (t g (t אז I (t t g (s ds γ F dx g (γ (b g (γ משמר ו ( 2 ש (( a F ונראה (1 ש F i g x i 2. : נניח שיש g גזירה ברציפות כך ש לכל,γ : [a, b] A וברור כי 2 גורר את.1 γ F d x b a b a F γ dt n g (γ (t dγ i (t dt x i dt (א נניח תחילה ש γ גזירה ברציפות 48

49 5 גזירות של פונקציות מ R n ל 5.2 R m שדות משמרים d dt g (γ (t [D g (γ (t] (γ (t n g dγ i x i dt כעת נשים לב ש γ F d x b a dg (γ (t dt dt g (γ (t g (γ (a ולכן מתקיים כי γ (ב עתה נניח ש γ גזירה ברציפות למקוטעין, אז γ γ m... γ 1 ולכן F d x F d x i γ i (g (end of γ i g (start of γ i i g (γ (b g (γ (a (ג ע י קירוב מסילה בעלת אורך כללית עם מסילה פוליגונלית, אפשר להראות כי הנוסחה המבוקשת מתקיימת גם עבור מסילות בעלות עורך כלליות. למה: A פתוחה, γ : [a, b] A בעלת אורך, אזי לכל > ɛ קיים > δ כך שאם < 1 t a < t < t n b... חלוקה של [b,a] עם קבועה חלוקה הקטן מ δ, ואם γ המסילה הפוליגונלית המקיימת ש ( γ t i γ t i ו γ עושה אינטרפולציה לינארית (כלומר בין כל שתי נקודות יש קו ישר, אזי F d x F d x < ɛ γ γ הוכחת הלמה מושארת כתרגיל, ובעזרתה המקרה הכללי נובע מהשלבים הקודמים. מסקנה 5.21 (מהמשפט A פתוחה, קשירה מסילתית ב F R, n שדה וקטורי גזיר ברציפות ומשמר, אזי F i x j F j x i F i x j 2 g x j x i 2 g x i x j F j x i F i g ולכן x i הוכחה: תחת התיאורים הנ ל, 49

50 5 גזירות של פונקציות מ R n ל 5.2 R m שדות משמרים F (x, y G (x, y ( x x 2 + y 2, y x 2 + y ( 2 y x 2 + y 2, x x 2 + y 2 דוגמאות: נסתכל על {} \ 2 A R ו F הוא שדה משמר עם פוטנציאל 2 g (x, y 1 2 ln ( x 2 + y אז F 1 g x 1 2x 2 x 2 + y 2 x x 2 + y 2 F 1 y F 2 x 2xy (x 2 + y 2 2 2xy (x 2 + y 2 2 לעומת זאת, G הוא לא שדה משמר (הראינו בדוגמא קודמת כי קיימת מסילה סגורה שהאינטרגל עליה לא שווה לאפס. G 1 y G 2 x 1 x 2 + y 2 + 2y 2 (x 2 + y 2 2 y 2 x 2 (x 2 + y 2 2 x2 y 2 (x 2 + y 2 2 G 1 x 1 ולכן מסקנה מדוגמא זו היא שהמשפט האחרון לא נכון בכיוון השני. הגדרה A 5.22 קבוצה פתוחה ב F R, n שדה וקטורי גזיר ברציפות. F תקרא משמרת מקומית, אם מתקיים כי לכל i, j n 1 כי F i x j F j x i הערה 5.23 ראינו בעבר כי ב { } \ 2 R יש שדה משמר מקומית שאינו משמר. משפט 5.24 (המשפט העיקרי לגבי שדות משמרים מקומית אם γ 1 מסילה סגורה בעלת אורך והומוטופית למסילה γ 2. γ 1 F d x γ 2 סגורה ובעלת אורך, ואם F שדה משמר מקומית ב A, אזי F d x בפרט אם A פשוטת קשר, כל שדה משמר מקומית הוא משמר. משפט 5.25 (מקרה פרטי של משפט סטוקס A R n פתוחה, F משמרת מקומית, γ, γ 1 מסילות סגורות בעלות אורך והומוטופיות, אזי F d x F d x γ γ 1 מסקנה 5.26 אם A פשוטת קשר כל שדה משמר מקומית משמר. 5

51 5 גזירות של פונקציות מ R n ל 5.2 R m שדות משמרים (y F,x משמר מקומית אך לא משמר. ( y x x 2 +y, 2 x 2 +y דוגמא: {} \ 2 R אינה פשוטת קשר כי 2 משפט 5.27 (אותו משפט תחת הנחות נוספות נניח שתנאי המשפט המקורי מתקיימים ובנוסף γ, γ 1 :,a] [b R d גזירות ברציפות, ויש הומוטופיה H : [, 1] [a, b] R d כך ש t γ H (, ו ( t γ 1 H (1, ו H גזירה פעמים ברציפות על b] [a, 1],[, אזי b a F dγ b a F dγ 1 תזכורת: בהוכחה נעשה שימוש מספר פעמים בכלל השרשרת D f g D f D g ובצורה אחרת ( ( ( fi g fi gl x j i,j g l x j f i g d f i g k x j y k x i k1 I (t b a F d γ t ( הוכחה: נגדיר s γ t (s H (t, עבור a s b ואז מתקיים כי b a F (H (t, s { [ }}{ b I (t F (H (t, s ] H (t, s ds a t s [ d ] ( F i (H (t, s H i (t, s t s b a ( i d d t F i (H (t, s H i d j1 b a s + d F i H j (t, s H i x j t s + F i (H (t, s F i (H (t, s H i t dγ t ds {}}{ H (t, s ds s (t I פונקציה רציפה, ולכל < 1 t < מתקיים F i (H (t, s 2 H i (t, s t s { ( }} { d,g i(s H i t (t,s dg i ds {}}{ 2 H i (t, s t s sb (t, s sa ds F i (H (t, s 2 H i (t, s t s נתבונן באינטגרציה של הביטוי הימני (**: b H i a t (t, s s F i (H (t, s ds 51

52 5 גזירות של פונקציות מ R n ל 5.2 R m שדות משמרים I (t F i (H (t, b H i t (t, b F i (H (t, a H i (t, a t נביט בחלק מהביטוי השוויון מתקיים מכיוון ש ( b H,t (a H,t (תנאי שכל הומוטופיה נדרשת לקיים, ולכן b a ( i b a b a b a d d j1 d d j1 d d j1 b a b a H i t (t, s s F i (H (t, s ds d H i F i H j t x j s ds j1 ( Fi H j H i x j t s F i H i H j ds x j t s ( Fj H i H j x i t s F i H i H j ds x j t s ( Fj F i H i H j x i x j t s ds ולכן מתקיים כי השוויון האחרון הוא כיוון שהשדה משמר מקומית. מסקנה A 5.28 קבוצה פתוחה (קשירה מסילתית ב F R, d שדה משמר מקומית. כך שהמשולש בינהם מוכל ב A,x,y z A { t 1 x + t 2 y + t 3 z } t i 1, t i A תהי γ המסילה המקיפה את המשולש הנ ל, מ x ל y ל z וחזרה ל x, אזי d x γ. F γ (s הוכחה: נגדיר מסילה שקולה ל γ הגזירה ברציפות α (t 3t 2 2t 3 ומתקיים α ( α (1 1 α ( α (1 ו α היא מונוטונית בין ל 1, ואז נוכל להגדיר x (1 α (s + α (s y s 1 y (1 α (s 1 + α (s 1 z 1 s 2 z (1 α (s 2 + α (s 2 x 2 s 3 γ 1 (s x + y + z, s 3 3 H (t, s x + y + z (1 t γ (s + t 3 התנאים למשפט מתקיימים, וכיוון שהאינטגרל המסילתי על מסילה קבועה הוא אפס, אז F γ. 52

53 5 גזירות של פונקציות מ R n ל 5.2 R m שדות משמרים תזכורת: הראינו את הלמה הבאה: אם γ :,a] [b A מסילה בעלת אורך, F שדה רציף, אזי לכל ɛ קיימת δ כך שאם t a < t 1 <... < t n b חלוקה עם פרמטר >,δ אזי F dx F dx < ɛ γ γ כאשר γ המסילה הפוליגונלית ה עוברת דךר (b.γ (a, γ (t 1,..., γ (t n 1, γ הוכחה: עתה נוכיח את המשפט המקורי המלא בלי ההנחות המקלות..1 נניח γ, γ 1 : [a, b] A ומכיוון ש ( s H (t, רציפה, יש > r כך ש d ( image (H, R d \A > r 2. יהא נתון > ɛ ונבחר δ כך ש (א δ טןב בשביל הלמה עבור.γ, γ 1 (ב אם (s, t (s, t δ אזי. H (s, t H (s, t > r 2 3. נחלק את המלבן [b,a] [1,] למלבנים שווים בקוטר δ (כלומר שהאלכסון המלבן באורך δ, ונחלק כל מלבן לשני משולשים לפי האלכסונים. נסמן את קודקודי המשולשים הנ ל ב ( (α i, α i, α i כאשר כל α היא נקודה ב [ b [a, 1].[, נמצא ב A. H (α i בחירת δ מבטיחה שלכל משולש בציר, המשולש הנפרש ע י i, H (α i, H (α 4. נסמן ב H :,] [1,a] [b R d את הפונקציה המתלכדת עם H על קודקודי המשולש הנ ל ובתוך כל משולש i, נפעיל אינטרפולציה לינארית, כלומר H (t 1 α i + t 2 α i + t 3 α i t 1 H (α i + t 2 (α i + t 3 H (α i t 1 + t 2 + t 3 1 t i 5. נגדיר את η בתור המסילה המקיפה את המלבן [b,a] [1,] נגד כיוון השעון, ו η המסילה המקיפה את המשולש. מהי H η? שרשור של, γ מסילה פוליגונלית,ϕ ההיפוך של γ 1 וההיפוך של.ϕ לכן F d x F d x F d x F d x H η γ γ 1 for every triangle השוויון השמאלי הוא לפי המסקנה הקודמת.. γ γ 1.6 ע פ הלמה < αɛ 53

54 5 גזירות של פונקציות מ R n ל 5.2 R m שדות משמרים מסקנה 5.29 נניח יש שתי מסילות γ, γ 1 בעלות אורך המחברות שתי נקודות,p, q A כלומר γ, γ 1 : [a, b] A המקיימות (a γ (a γ 1 ו ( b.γ (b γ 1 בנוסף נניח שיש הומוטופיה של מסילות בין p ל q ע י H : [, 1] [a, b] A כך ש ( s H (1, s γ 1 (s,h (, s γ ו q.h (t, a p, H (t, b. (ההבדל בין המסקנה לבין המשפט הוא שהמסילות לאו דווקא γ F d x γ 1 נניח F משמר מקומת ב A אזי F dx סגורות. η 1 η { γ (s s 1 γ 1 (2 s { 1 s 2 γ (s s 1 γ (2 s 1 s 2 הוכחה: נגדיר F d x η F dx η 1 γ γ ומתקיים כי F dx F dx γ F dx F dx γ 1 נגדיר הומוטופיה בין η ל η 1 ע י H (t, s { γ (s s 1 H (t, 2 s 1 s 2 η 1 ולכן ונשים לב שמתקיים ש ( s H (, s η ו ( s H (1, s η1 ולכן מכיוון ש F שדה משמר מקומית אז F γ F dx F dx γ 1 משפט 5.3 (המשפט היסודי של האלגברה תחת המספרים המרוכבים למשוואה 1 x 2 + יש פתרון x, i± בעוד שתחת הממשיים לא קיים פתרון. השדה C סגורה אלגברית לכל פולינום p (z a +...+a n z n עם מקדמים ב C יש פתרון מרוכב למשוואה (z.p הוכחה: בשביל להוכיח את המשפט נעזר בזהויות הבאות: (cos θ + i sin θ (cos ϕ + i sin ϕ cos (θ + ϕ + i sin (θ + ϕ z x + iy z : x 2 + y 2 zz z z יהיה נתון p (z a a n z n ובה כ נניח ש,a כי אז z הוא פתרון אחד, וניתן לחלק ב z את הפולינום בשביל למצוא את השורשים הנותרים. לכל t נגדיר γ t (s p (t (cos s + i sin s, s 2π γ (s p ( 54

55 5 גזירות של פונקציות מ R n ל 5.2 R m שדות משמרים בהנחה של (z p לא קיימים פתרונות, אז כל המסילות γ t הומוטופיות אחת לשנייה ב { } \C R 2 \ {} (בתור מרחב נורמי. באופן מפורש נוכל להגדיר הומוטופיה בין γ ל γ R ע י 2π לכל R (כי הן הומוטופיות למסילה H (t, s p (tr (cos s + i sin s F (x, y נזכר בשדה שהראה לנו כי {} \ 2 R אינו פשוט קשר ( y x 2 + y 2, x x 2 + y 2 משמר מקומית ב { } \ 2 R ולכן אם אין ל (z p פתרונות לכל R ו F dγ R הקבועה עבורה האינטגרל אפס. מצד שני: עבור R גדול s z R (cos s + i sin מתקיים כי a n z n a n R n 2n max a i R n 1 2 ( a + a 1 z a n 1 z n 1 i n 1 ועבור ( R > 2n max a i a n מתקיים כי ( < (. עבור ה R הזה אז a + a 1 z a n 1 z n 1 a + a 1 R a n 1 R n 1 ( n 1 n max a i R a n R n נתבונן ב γ R וב ( ns. γ R (s a n R n (cos ns + i sin נטען כי שתי המסילות האלו הומוטופיות ב { } \ 2 R. מתקיים תמיד כי γ R (t a + a 1 R (cos s + i sin s a n R n (cos ns + i sin ns עבור R המקיים את ( מתקיים כי γ R ו γ R הן הומוטופויות לפי H (t, s a n R n (cos ns + i sin ns + t ( a n 1 R n 1 (cos (n 1 s + i sin (n 1 s a עבור t מלתכד עם γ R ועבור 1 t מתלכד עם γ, R ומכיוון ש R נבחר כך ש a n R n (... > 2 an 1 R n 1 (cos (n 1 s + i sin (n 1 s a אז (s H,t לכל,t, s ולכן ל R כזה, מתקיים כי 2π F dγ R 2π F d γ R 55

56 5 גזירות של פונקציות מ R n ל 5.2 R m שדות משמרים נכתוב ϕ a n a n (cos ϕ + i sin ואז 2π γ R a n R n (cos (ns + ϕ + i sin (ns + ϕ γ R n a n R n ( sin (ns + ϕ, cos (ns + ϕ F d γ R n n 2π 2π 2π 2π F ( γ R (s γ R (s ds n ( a n R n 2 sin 2 (ns + ϕ ( a n R n 2 + n cos 2 (ns + ϕ ds sin 2 (ns + ϕ + cos 2 (ns + ϕ ds ds 2πn ולכן סתירה להנחה! הערה 5.31 הסבר ויזואלי להוכחה: (s f,r (s γ R היא פונקציה שהתמונה שלה היא כל המרחב C, ולכן לאמר ש ((s p γ R לכל R ו s הוא לאמר שכל המסילות ((s p γ R לא מקיפות את ראשית הצירים אחרת ממשפט ערך הביניים (כי p פולינום ולכן היא רציפה אז קיימת מסילה ((s p γ R שכן עוברת דרך הראשית. אם כל המסילות הן כמו המסילה הכחולה, אז קל לראות שניתן לכווץ אותן לנקודה ב { } \ 2 R, ומספיק שאחת המסילות מקיפה את הראשית ואז היא לא הומוטופית לנקודה ולכן גם לא למסילות שלא מקיפות את הראשית (ותחת ההנחה ש p אז יש לפחות אחת קבוע כזאת. I (γ 1 ydx+xdy הוא מספר 2π γ x 2 +y הערה 5.32 עוד על אופן ההוכחה לכל מסילה סגורה ב { } \ 2 R ניתן להראות כי 2 שלם נקרא האינדקס של γ והוא מספר הסיבובים ש γ עושה סביב הראשית. דוגמא: שימוש נוסף למשפט על שדות משמרים מקומית ( F (x, y e y2 x 2 cos 2xy, e y2 x 2 sin 2xy 56

57 5 גזירות של פונקציות מ R n ל R m 5.3 משפטי הפונקציה ההפוכה, וההעתקה הפתוחה F 1 y F 2 x (F (x, y ( ( R e (x+iy2 ( (בעצם ניתן לכתוב (x+iy2, I e השדה הנ ל משמר מקומית (ולכן משמר ב R 2 שהיא קבוצה פשוטת קשר. בדיקה: 2ye y2 x 2 cos 2xy 2xe y2 x 2 sin 2xy 2xe y2 x 2 sin 2xy 2ye y2 x 2 cos 2xy נשתמש בשימור למסילה γ המקיפה את המלבן [b,] [a,] נגד כיוון השעון, ואז האינטגרל על המסילה ניתן לפירוק לפי מעבר על כל צלע, ונסמן את הצלעות ב,I. II, III, IV a e x2 dx I II III IV I II II b a e y2 a 2 sin 2aydy e b2 x 2 cos 2bxdx e x2 dx e x2 cos bxdx e b2 e b2 x 2 cos 2 bx e x2 dx e b2 π 2 כאשר a אז ולכן 5.3 משפטי הפונקציה ההפוכה, וההעתקה הפתוחה משפט 5.33 משפט הפונקציה ( ההפוכה A R n פתוחה, f : A R n גזירה ברציפות. המכילה את x U אזי יש קבוצה פתוחה Dהפיך, f(x (כלומר J f (x det fi x j נניח כי (x i,j1,...,n g (f U גזירה 1 : V U חח ע ועל וההופכית f U וקבוצה פתוחה V המכילה את f (x כך ש : U V ברציפות ומתקיים D g(f(x [ ] 1 D f(x. dy dx ( 1 dx dy תזכורת: תחת תנאים מסויימים בהינתן (x y f אז 57

58 5 גזירות של פונקציות מ R n ל 5.3 R m משפטי הפונקציה ההפוכה, וההעתקה הפתוחה הערה 5.34 יהי,U V R n פתוחות, ונניח שיש f גזירה מ U ל V וההופכית לה g מ V ל U שגם גזירה, אזי id g f : U U ומכלל השרשרת מתקיים ש ( f(x.id D id D g(f(x D תזכורת: g : A R m R n גזירה (ברציפות, x, y A כך שהקטע 1} λ,a J {λx + (1 λ y : אזי.M sup z J Df(z כאשר g (x g (y < M x y הוכחה: (המשפט נוכיח את המשפט בשלבים:.1 נמצא > r כך ש f תהיה חח ע על הכדור r.b (x, T אבל לרוב יהיה 1 T 1.1 c (יש לשים לב שמתקיים ש 1+ D 1 1 f(x 2(D f(x 1 (א נגדיר פער משמעותי בינהם. > c לכל r.x B (x, נפעיל את הלמה (התזכורת על הפונקציה Df(x D f(x (ב ניקח r כך ש.g (x f (x f (x D f(x (x x מכיוון ש ( r B (x, קבוצה קמורה, אז ע פ הלמה לכל r x, y B (x, מתקיים ש g (x g (y M x y M sup Dg(z z J (x,y sup Df(z D f(x c f (x f (y g (x + D f(x (x x g (y D f(x (y x Df(x (x y g (x g (y x y ( 1 c x y D f(x x y 2 ( 1 D f(x T ולכן 1 T x ולכן הראינו ש f חח ע כי (y f (x f אם ם x y (הערה: x T 1 T x x T 1 לכל x מתקיים x ( T בעצם קיבלנו הערכה בונוס כי לכל (r,x y B x, מתקיים ש f (x f (y c 1 x y c 1 : 1 2 ( D f(x לכן.2 נראה כי r f (B (x, מכילה סביבה ρ B (f (x, סביב.f (x הקבוצה r f ( B (x, היא קבוצה קומפקטית, ומהחח ע של f על הכדור r B (x, וש (( r f (x f ( B (x, אז קיים ρ כך ש ( ρ.f ( B (x, r B (f (x, 58

59 5 גזירות של פונקציות מ R n ל R m 5.3 משפטי הפונקציה ההפוכה, וההעתקה הפתוחה.(ρ d (f ( B (x, r, y גם להגדיר (אפשר f (B (x, r B ( y, ρ 2 נסמן,y f (x ונראה כי B q ונגדיר 2 i F (x f (x q 2 (f i (x q וזו פונקציה גזירה ברציפות על ( y, ρ 2 תהא r B (x, ובפרט רציפה. תזכורת: F פונקציה רציפה, ולכן מקבלת מינימום ב ( r B x, (כדור סגור וקומפקטי. עבור (r z B,x מתקיים ש F (z q f (z y y q > ρ 2,F (x f (x q 2 < ρ2 ולכן כל נקודת מינימום של F על r B (x, היא 4 > (z,f ומאידך ρ2 ולכן 4 ב ( r.b (x, תהי x 1 נקודת מינימום כנ ל, אז (כמו באינפי 1 נובע כי (x1 D. F דרך אחת לראות זאת: לכל ווקטור יחידה e R n נתבונן ב ( te G. (t F x 1 + ל G חייבת להיות מקסימום ב t, ולכן G (t t D F (x1 (e (i 1,..., n, F x i ( x 1 F x i 2 n (f j (x q j 2 j1 x i מכיוון ש e שרירותי אז (x1 D, F ולכן x x1 n f j x i (f j ( x 1 q j x x1 j1 ( fi (f 1 ( x 1 q 1,..., f n ( x n q n x j i,j1,...,n }{{} Matrix representation for D f(x1 ולכן מכיוון ש ( f(x D הפיך ו r נבחר כך ש ( f(x1 D קרוב ל ( f(x D וגם f(x1 D הפיך. Df(x1 D f(x 1 < 2 ( 1 D f(x D f(x1 (y D f(x (y ( D f(x1 D f(x y > ולכן לכל y מתקיים סיכום: (א הגענו למסקנה כי יש r x 1 B (x, כך ש.f ( x 1 q (.B y, ρ ( 2 f (B (x, r על כך הראינו ש q B x, ρ (ב מה הנחנו על q? רק 2 ( 1 ( (V U f 1 ומתקיים ש U פתוחה כחיתוך B (x, r f B(x,r (V ונגדיר V B y, ρ.3 נגדיר 2 של קבוצות פתוחות, וע פ הגדרה, f (V f (B (x, r V V ו f חח ע על f : U V :U חח ע ועל כמו 59

60 5 גזירות של פונקציות מ R n ל R m 5.3 משפטי הפונקציה ההפוכה, וההעתקה הפתוחה שרצינו. g (f U מקיימת את בנוסף, ההערכה y f (x f (y c 1 x ל ( r x, y B (x, מספרת לנו כי 1 תנאי לפשיץ g (ξ g (η 1 c 1 ξ η 4. נניח כי f : U V ונראה ש 1 f גזירה ב V (נשתמש ב ניחוש שלנו מה הנגזרת אמורה להיות. נבחר y 1 V ו ( y 1 f (x 1 עבור.x 1 U ניקח > ɛ שרירותי ונבחר > δ כך שאם x x 1 < δ אז ( ɛ x x 1 > f (x f (x1 D f(x1 (x x 1 אנו רוצים להבין את,f 1 (y x ך h + y y 1 קרוב ל y 1 נבחר h < c 1 δ ואזי < 1 f 1 (y 1 + h f 1 (y δ ולכן מ ( נקבל ש y y 1 D f(x1 ( f 1 (y f 1 (y 1 < ɛ f 1 (y f 1 (y 1 < ɛ c 1 y y 1 ולכן אם h y y 1 < c 1 δ אז ( ( 1 ( ( D f(x1 y y1 D f(x1 f 1 (y f 1 ( 1 y 1 < Df(x1... c 2 ɛ y y 1 ( f 1 (y f 1 (y 1 ( 1 D f(x1 (y y1 ומצד שני מתקיים ש ולכן 1 f גזירה ב y 1 ומתקיים ש ( ( 1 Df 1 (y 1 Df(x1 מכיוון ש f גזירה ברציפות על U ו f(x det D על U, אז D f העתקה רציפה מ U ל ( R GL n ולכן D f 1 (y ( 1 D f(f 1 (y יש לשים לה שזה הרכבה של שלוש פונקציות רציפות ולכן זה רציף. הערה 5.35 הערות: f U הייתה גם גזירה k פעמים.1 אם f : A R n הייתה גזירה k פעמים ברציפות (כלומר (A,(f C k אזי 1 ברציפות. f (x, y (e x cos y, e x sin y 2. נסתכל על הדוגמא הבאה: 6

61 5 גזירות של פונקציות מ R n ל R m 5.4 כלל כופלי לגראנג (במונחים של מספרים מרוכבים, זו בעצם ההעתקה z e z נחשב את f(x,y D ( e D f(x,y x cos y e x sin y e x sin y e x cos y ונשים לב שהיעקוביין הוא.J f(x,y e 2x cos 2 y + e 2x sin 2 y e 2x f (x, y לא חח ע כאשר f בכל מקום אך J f קשר עם (פשוט R 2 היא העתקה גזירה ברציפות R 2 f (2π f,x y + ולכן לא ניתן להשתמש במשפט רק באופן מקומי. משפט 5.36 משפט ההעתקה הפתוחה תהי f : A R n R m העתקה גזירה ברציפות, כאשר m n (נניח כי f(x rank ( D לכל,(x A אזי (A f פתוחה כמובן 1 fפתוחה (A לכל A 1 A פתוחה, כלומר f העתקה m פתוחה. הוכחה: כדי להראות ש ( A f פתוחה, צריך להראות כי לכל x A מתקים ש ( A f מכילה סביבה של (x f. f(x1 rank ( D אז יש T : R m R n כך ש D f(x1 T : R m R m הפיכה (תרגיל!. מכיוון ש m g(y ( D הפיכה, ולכן ( Df(x1 לכן, אם נגדיר y g (y f (x 1 + T זו העתקה מ R m ל R m ע פ כלל השרשרת: T ע פ משפט ההעתקה ההפוכה (בעצם ע פ שלב 2 של ההוכחה, אם U סביבה קטנה של ב R, m אז V g סביבה של.(x 1 + T U A מספיק קטנה אז U אם פתוחה, שמכיוון ש A (וכמובן R m ב f (x 1 לכן (A f מכילה סביבה פתוחה של 1.f (x 5.4 כלל כופלי לגראנג f : B R n R עבור B פתוחה, ונתונים גם g 1,..., g k : B R n R כאשר A {x B : g 1 (x... g k (x } איזה תנאי יבטיח שנקודה a, A תהווה מקסימום או מינימום לוקאלי של f ביחס לערכים של f ב A. א( התחום ב( תחום יחד עם התמונה איור 5.1: המחשב של כופלי לגראנג הגדרה a A 5.37 ייקרא מקסימום (מינימום לוקאלי של f ביחס לערכי f ב A אם יש סביבה U B כך ש U a.max x U ו ( a A f (x f 61

62 5 גזירות של פונקציות מ R n ל 5.4 R m כלל כופלי לגראנג משפט 5.38 תהי B R n פתוחה ו R f, g 1,..., g k : B פונקציות גזירות ברציפות ו { (x A {x B : g 1 (x... g k g 1. אז אם a A נקבה בה f מקבל מקסימום או מינימום מקומי ביחס לערכי f ב A אז דרגת המטריצה g k f קטנה מ 1 + k. F : U R n R ונגדיר k+1 f (a max x U הוכחה: בה כ a מקסימום לוקאלי, ולכן קיימת U B כך ש ( x A f כך ש (( x.f (x (g 1 (x,..., k k (x, f אם נניח בשלילה שדרגת המטריצה ב a היא + 1 k אז (a F נקודת פנים של (U F (לפי משפט ההעתקה הפתוחה, אז 2, f (a + δ,..., (, נקודה (a F (a (,,...,, f ויש > δ כך ש ( U B (F (a, δ F ובפרט הנקודה 2 F (x (,,...,, f (a + δ ובפרט (x g 1 (x... g k ולכן ב ( U F. מכאן נובע שיש x U כך ש x A U וגם f (x f (a + δ 2 סתירה למקסימליות! מסקנה 5.39 (כלל כופלי לגראנג בתנאים של המשפט ה קודם, אם בנוסף (a g 1 (a,..., g k בת ל אז יש k λ 1,..., λ. f (a k λ i g i כופלי לגראנג כך ש ( a (הנקראים R הערה 5.4 מספר הערות: 1. התנאי של משפט כופלי לגראנג כי (a g i בת ל אינו הכרחי כדי שיהיה מקסימום או מינימום לוקאלי. f (a k זה.2 המשפט אומר שאם a נקודת מינימום או מקסימום לוקאלי ו ( a g i ב ת, אז (a λ i g i לא עובד בכיוון ההפוך. שימוש במשפט: אם הגרדיאנטים בת ל בכל נקודה ב B, אז המשוואות שצריך לפתור הן: g 1 (x. g k (x f (x k λ i gi (x כאשר יש במערכת זו n + k נעלמים k x 1,..., x ו.(λ 1,..., λ k טענה 5.41 (או דוגמא מבין ההתפלגויות על n אפשרויות, זאת בעלת האינטרופיה המקסימלית, הינה ההתפלגות האחידה. בהינתן וקטור הסתברות n (p 1,..., p (כלומר i p ו 1 i i p,( האנטרופיה מוגדרת ע י H (p 1,..., p n n p i log p i (עבור i p נתייחס לביטוי i.(p i log p.g (p 1,..., p n ( n הוכחה: נתייחס ל H פשוט כאל הפונקציה,H : {(p 1,..., p n : p i } R ונגדיר i 1 p g (1, 1,..., 1 62

63 5 גזירות של פונקציות מ R n ל 5.5 R m משפט הפונקציה הסתומה ולכן (p g בת ל בכל נקודה,p B ואם יש מקסימום לוקלי אז n (p 1,..., p וגם (p f (p λ g. f (p ( log p 1 1,..., log p n 1 λ (1,..., 1 1 i n, log p i λ n p i e λ ne 1 ולכן קיבלנו ש 1 λ p i e ואם נציב זאת באילוץ n e λ 1 ne λ 1 p i e λ 1 e 1 e λ e 1 ne 1 1 n טענה 5.42 ל H יש מקסימום ב A כאשר 1} i.a {p B : p הוכחה: A קבוצה קומפקטית ו H רציפה ולכן חסומה ומשיגה את חסמיה. הערה 5.43 אפשר להראות שאם i n 1 כך ש i pאז ( 1 H (p 1,..., p n H n,..., 1 log n n H (1,,..., n p i log p i ניקח,..., (1, n (p 1,..., p ואז ולכן המקסימום לא מתקבל בשפה של התחום. 5.5 משפט הפונקציה הסתומה פונקציה סתומה, היא שוויון בין מספר משתנים, למשל 1 2 x 2 + y (משוואת המעגל או 1 z x + y + (משוואת מישור וכדומה, כלומר באופן כללי, בהינתן f : R n R אז n f (x 1,..., x היא פונקציה סתומה. משפט 5.44 תהי A R n+m קבוצה פתוחה. f : A R m (יש כאן n + m נעלמים ואנו מחפשים תנאי שיציג באמצועת m המשוואות, m נעלמים ע י n האחרים, ונניח ש f גזירה ברציפות, ונניח ש ym f ( x 1,..., x n, y1,...,.f (x, y ( (x 1,..., x m ע י y 1,..., y m בה אפשר להציג את (x, y הפיכה, אז יש סביבה של הנקודה fi אם m y j i,j1 (x,y במובן הבא: יש U סביבה של x ב,R n וסביבה V של (x, y ב R n+m והעתקה גזירה,g : U R m כך ש {(x, y (x : x U} {(x, y : f (x, y } V כלומר אוסף הנקודות (x, y V כך ש y f (x, הוא אוסף הנקודות מהצורה (x (x, y כאשר.x U 63

64 6 אינטגרציה ב R n הוכחה: נגדיר + R F : A T R n+m כאשר A} A T {(y, x : (x, y ו m coordinates {}}{ n coordinates {}}{ F (y, x f (x, y, x D F (y, x כאשר F גזירה ברציפות כי f גזירה ברציפות, ובנוסף f 1 f y f 1 f y m x x n.... f 1 f y f 1 f y m x x n (( m ( mn fi fi y j x i,j1 j i,j1 I n ( m fi הפיכה ולכן D F (x, y הפיכה (כזוכר הדטרמיננטה של מטריצת בלוקים, y מתקיים ש (y j בפרט בנקודה, x i,j היא מכפלת הדטרמיננטות של הבלוקים על האלכסון הראשי, ולכן ממשפט הפונקציה ההפוכה יש סביבה U של y, x וסביבה W של F (y, x (, x ושתיהן ב,R n+m כך ש F : U W חח ע על ועם הופכית גזירה ברציפות. נסמן } W,V {x R n : (, x כאשר V פתוחה כי W פתוחה. נגדיר P : R n+m R M ע י P (y R m, x R n y אז עבור x V נגדיר x.g (x P F 1 (, g (x אז F 1 (, x (y, x מתקייים כי x V גזירה ברציפות, וכעת עבור g ולכן,P גזירה ברציפות וגם F 1.P F 1 (, x P (y, x y לכן x F 1 (, x (y, x (g (x, ולכן עבור (y, x U מתקיים כי y f (x, אם ם (הכיוון מהגדרה ו מהחח ע x F (y, x (, אם ם x (y, x F 1 (, אם ם x F 1 (, x (g (x, אם ם (שוב מחח ע.g (x y דוגמא: u F (x, y, u u 3 +2u+e 4 x2 y 2 cos ( x 2 + 4xy אז יש u כך שבסביבה, y, אז u הוא פונקציה של (y,x ואכן F (,, u u 3 + 2u + e u cos (u lim F (,, u u F (,, u + lim u F u (,, u 3u sin (u 3u ובפרט u F (,, חח ע ולכן יש uיחידה כך ש.F (,, u,, u וסביבה של ואז ממשפט הפונקציה הסתומה יש סביבה של (, ב R 2 F בנוסף 1 u (,, u ב R 3 כך ש u ניתן להצג כפונקציה של,x y בסביבה זו. 6 אינטגרציה ב R n m (Q וכזכור הגדרנו נפח של תיבה ע י,Q n הגדרה 6.1 (תזכורת בהינתן תיבה Q ב,R n כלומר ] i [a i, b. n (b i a i 64

65 6 אינטגרציה ב R n.a i t i <... < t i k i הגדרה 6.2 (חלוקה של תיבה לכל i תהיא P i חלוקה של ] i [a i, b ע י b i Q j1,...,j n (בהגדרה זו האינדקסים לא לגמרי [ t i j i, t i j i+1 ] (P i n מגדירות חלוקה P של Q לתיבות לפי מדוייקים, אבל הכוונה היא לרשת את התיבה, ובין כל נקודות חיתוך להגדיר קוביות ונקבל כמובן ש (Q m. j 1,...,j n m (Q j1,...,j n הגדרה 6.3 תהא Q R n תיה, ותהא f : Q R פונקציה חסומה, ותהא P חלוק של Q לתיבות. לכל Q j P יהיה M j sup x Qj ו ( x m j inf x Qj f ואז נגדיר f (x S (f, P j I m (Q j M j s (f, P j I m (Q j m j כאשר S נקרא הסכום העליון ו s הסכום התחתון. הגדרה 6.4 חלוקה P היא עידון של חלוקה P, אם החלוקה המושרת ע י P על כל אחד מהקטעים ] i a], i, b מעדנת את החלוקה של P על הקטעים. s (f, P s (f, P S (f, P S (f, P למה 6.5 אם P עידון של P אז.P i I,j J i Q ij ואז,Q i j J i הוכחה: נסמן P i I Q i ואז Q ij בנוסף נסמן m i inf f (x x Q i m ij inf f (x x Q ij אזי ברור כי m ij m i (כי לכל j מתקיים כי x Q ij נמצא גם,(x Q i ולכן s (f, P m i m (Q i m i m (Q ij i I i I j J i m ij m (Q ij s (f, P i I j J i והוכחנו את אי השוויון השמלי, והימני מוכחל באותו אופן, והאמצעי נובע מההגדרה. הערה 6.6 לכל שתי חלוקות יש עידון משותף. הגדרה 6.7 נגדיר את האינטגרל העליון ע י f dx inf Q P S,f P ואת האינטגרל התחתון באותו אופן P Q f dx sup s (f, P 65

66 6 אינטגרציה ב R n Q הגדרה 6.8 פונקציה חסומה f : Q R תיקרא אינטגרבילית רימן אם f dx fdx f dx Q Q תרגיל: f : Q R חסומה היא אינטגרבילית רימן אם ם לכל > ɛ יש חלוקה P עבור כך ש ɛ.s (f, P < s (f, P + תרגיל:. fdx ( f dx טענה 6.9 יהיו f, g : Q R פונקציות אינטגרביליות, והיא R c אזי:. (f + g f + אינטגרביליות ו g f + g.1 Q Q Q. c f c אינטגרבילית ו f c f.2.3 אם f אזי f..4 הפונקציה 1 (x h אינטגרבילית ו ( Q m 1. Q הוכחה: נוכיח חלק מהטענות: s (f, P 1 + ɛ > f > S (f, P 1 ɛ.1 יהא > ɛ ונבחר P 1 כך ש s (g, P 2 + ɛ > g > S (g, P 2 ɛ ונבחר P 2 כך ש s (f, P + ɛ > s (g, P + ɛ > ויהא P עידון משותף של P, 1, P 2 ולכן מתקיים כי f > S (f, P ɛ f > S (f, P ɛ נניח כי P i I Q i ו ( x m f i inf x Qi f ו ( x M f i sup x Qi f ו ( x m g i inf x Qi g ו M g i (x,sup x Qi g בנוסף נגדיר גם M i sup (f + g Q i m i inf (f + g Q i אזי מתקיים כי m i m f i + mg i M i M f i + M g i 66

67 6 אינטגרציה ב R n m (Q i m i + 2ɛ ( m (Q i m f i + mg i + 2ɛ i I s (f + g, P + 2ɛ i I (s (f, P + ɛ + (s (g, P + ɛ f + g ומכאן נובע כי (f + g f + g מכיוון שאפסילון שרירות, אז נקבל ש ובאותו אופן נקבל ש (f + g f + g ולכן קיבלנו ש (g + g (f + g f + g. מסקנה 6.1 מסקנות מהטענות הנ ל:.1 אם f, g אינטגרבליליות על Q ו f g אז. g f.2 אם f M אז (Q. f M m תרגיל: נניח Q 1 Q 2 תיבות. f אזי f (x אינטגרבילית על.Q 1 f Q1.1 אם f : Q 2 R אינטגרבילית על Q 2 אז : Q 1 R { f (x x Q 1.2 אם f : Q 1 R אינטגרבילית על Q 1 ונגדיר f : Q 2 R ע י x Q 1. Q 2 f Q 1 אינטגרבילית על Q 2 ו f טענה 6.11 נניח Q Q 1 Q2 תיבות (כך ש Q 2 נמצאת בדיוק מעל Q 1 ו (.(m (Q 1 m (Q 2. Q f Q 1 f Q1 + Q 2 f Q2 f Qj אינטגרבילית על Q, i אזי F אינטגרבילית ו נניח f : Q R פונקציה חסומה כך ש { { x Q 1 f (x x Q 1 f Qi אינטגרבילית על (x, f 2 ומכיוון ש (x f 1 ו הוכחה: נגדיר f (x x Q 2 \Q 1 x Q 2 \Q 1 Q. אינטגרבילית על f i אז מהתרגילים נובעי כי Q u. Q f Q f 1 + Q f 2 Q f Q 1 + Q f Q 2 מהטענה הקודמת נובע כי f f 1 + f 2 אינטגרבילית ו למה 6.12 נניח f : Q R אינטגרבילית ו R g : Q חסומה, ו f g פרט לקבוצה בעלת נפח, אזי g אינטגרבילית. ו f g Q Q הוכחה: (יוכח בהמשך 67

68 6 אינטגרציה ב R n טענה 6.13 תהא f : Q R רציפה, אזי f אינטגרבילית. הוכחה: f רציפה, Q קומפקטית ולכן f רציפה במ ש על,Q כלומר בהינתן > ɛ קיימת > δ כך ש δ x 1 x 2 < אזי. f (x f (y < ɛ תהא P חלוקה של התיבה Q לתיבות קטנות עם קוטר קטן מ δ (קוטר של קבוצה מוגדר ע י q.(diam (A sup p,q A p m i inf Qi f, M i sup Qi ולכן, m i M i < ɛ ולכן נניח ש P i I Q i ו f S (f, P s (f, P i I m (Q i (M i m i ɛ i I m (Q i ɛm (Q לכל ɛ, ולכן f אינטגרבילית. ולכן Q f Q f < ɛ משפט 6.14 פונקציה חסומה f על תיבה Q היא אינטגרבילית לפי רימן אם ם קבוצת נקודות אי הרציפות היא בעלת מידה אפס. v f (x lim ɛ sup f B(x,ɛ inf f B(x,ɛ הוכחה: נסמן ל Q x ולכן f רציפה ב x אם ם (x v f (הגדרה אנלוגית לאוסילציה כפי שנלמד באינפי 2. תהא N קבוצת נקודות אי הרציפות של f, ובשימוש בהגדרה החדשה נקבל N n N N n { { }}{ x : v f (x > 1 } n ולכן ל N מידה חיובית (כלומר יותר ממידה אפס אז יש n עבורו ל N n מידה חיובית. נניח כי N איננה ממידה אפס, אזי יש n עבורו N n לא ממידה אפס. לכן יש > δ כך שלכל כיסוי של N n ע י תיבות, סכום נפחי התיבות < δ. J אזי {i I : Q } תהא P i I Q i חלוקה כלשהי של,Q ונסמן J I ע י i Nn m (Q i > δ i J M i sup Qi אזי לכל i J מתקיים כי M i m i > 1 n ולכן אם m i inf Qi f ו f S (f, P s (f, P i I m (Q i (M i m i i J m (Q i (M i m i i J m (Q i 1 n δ n ולכן f איננה אינטגרבילית. לא סיכמתי את ההרצאה ב

69 6 אינטגרציה ב R n משפט 6.15 (משפט לבג A תיבה סגורה ב R d ו R f : A חסומה. fdx קיים אם ם נקודה אי הרציפות של f ממידה אפס. A.Bad (n { } ( תזכורת: הגדרנו ωf (x lim δ sup B(x,δ f inf B(x,δ f ו x A : ω f (x 1 n.m sup A f וסימנו n 1 הוכחנו את הכיוון. התחלנו עם > ɛ, הגדרנו ɛ בעזרת התנאי (נקודות אי הרציפות ממידה אפס, מצאנו אוסף סופי B 1,..., B N של תיבות פתוחות כך ש. N m (B i < ɛ וגם Bad (n N B i בחרנו > ( δ (את החלק הזה ( נעדכן בהמשך וננניח ] d A [a 1, b 1 ]... [a d, b וכל B k נתון ע י k B. α (k 1, β(k 1... α (k d, β(k d [a i, b i ] שנמצאות בקטע α (1 i, β (1 i,..., α (N i, β (N בחרנו חלוקות P i של ] i [a i, b עם mesh < δ וכך של הנקודות i הן נקודות בחלוקה P i והגדרנו.P P 1... P d אם } m {C 1,..., C התיבות שמתאימות ל,P אזי בשל הבחירה המיוחדת של,P לכל C i בדיוק אחת משתי N B זרה ל i C i להם ריבועים רעים או ש ( 2 (נקרא C i N האופציות הבאות מתקיימות: (1 או ש 1i B i (נראה להם ריבועים טובים. לצורך בחירת δ, נוכיח תחילה את הלמה הבאה: הגדרה K 6.16 קבוצה קומפקטית,,f : K R ונניח כי ω f (x < c לכל.x L אזי יש > δ כך שלכל x, y עם d (x, y < δ אז. f (x f (y < c הוכחה: נניח שלא, אז לכל n טבעי יש x n, y n K כך ש d (x n, y n < 1 n אבל. f (x n f (y n c מכיוון ש K קומפקטית, יש ל x n ת ס מתכנסת x, x nk וגם x.y nk אבל אז לכל > δ מתקיים sup B(x,δ f inf B(x,δ f lim sup (f (x nk f (y nk c k ולכן לכל δ שרירותי נקבל ω f (x c בסתירה! Bad (n מכיוון ש.A\ N נחזור להוכחת המשפט. הוכחה: (המשפט הוכחת משפט לבג בתור K ניקח את 1i B i. f (x f (y < 1 n,ω f (x < 1 n לכן יש > δ כך שאם x, y K אז x y < 2dδ אזי,K על, N B i נתבונן ב S (f, P S (f, P M ( m (C k Good C k (... + f C k sup f inf C k Bad C k (... כל C k היא תיבה שהיא מכפלה של קטעים באורך > δ, ולכן קוטר כל C k הוא לכל היותר.dδ ע פי הבחירה של δ, אם,sup Ck f inf Ck f 1 n ɛ ולכן על כל תיבה טובה, f (x f (y < 1 n C k תיבה טובה, אז לכל,x, y C k אז ולכן הסכום הטוב m (A ɛ ( m (C k sup f inf f C Good C k C k k 2 sup A f m (C k 2 sup A Bad C k f N m (B i 2 sup f ɛ A הסכום הרע חסום ע י ולכן קיבלנו ש ɛ.s (f, P S (f, P c 69

70 6 אינטגרציה ב R n מסקנה 6.17 מספר מסקנות:.1 אם f, g : A R אינטגרבילית, כך גם,f a זאת כי f, g חסומות ולכן fg חסומה, ומכיוון שגם f וגם g רציפות בכל נקודה םפרט לקבוצה בעלת מידה אפס, ומכיוון שאם f רציפה ב x ו g רציפה ב x גם fg רציפות ב x, אז f g רציפה חוץ מקבוצה בעלת מידה אפס ולכן אינטגרבילית (יש לשים לב שהשתמשתנו בכל שאיחודה שתי קבוצות בעלות מידה אפס היא קבוצה בעלת מידה אפס..2 באופן דומה, אם f 1,..., f k : A R אינטגרביליות, ו R ψ : R k היא פונקציה רציפה, אזי k ψ (f 1,..., f האי אינטגרבילית (1 היא מקרה פרטי עם ψ. xy זהירות: אפילו במימדה אחד, ניתן למצוא f : [, 1] R אינטגרבילית על הקטע 1] [, ו [ 1 [, 1] [, : ψ רציפה, כך ש ψ f אינה אינטגרבילית. {.(A חסומה (מוכלת בתיבה S R d 1 x S (x f (x 1 S כאשר דוגמא: ניקח x S נקודות אי הרציפות של f הן בדיוק השפה, ולכן 1 S אינגרבילית (על A אם ם S היא קבוצה ממידה אפס. קבוצה חסומה שהשפה שלה ממידה אפס תיקרא מדידה ג ורדן או בעלת נפח, ונגדיר את הנפח שלה להיות.v (S A 1 S (x dx דוגמא: דוגמא לקבוצה מדידה ג ורדן היא תיבה, וקל לבדוק (תרגיל כי אם B תיבה, A B תיבה המכילה אותה אז.v (B A 1 B m (B. עוד דבר שראוי לבדוק (טענה: אם S מדידה ג ורדן, ו A,A שתי תיבות המכילות את S, אזי A 1 S A 1 S רדוקציה: מספיק להוכיח במקרה ש A A (ע י בניית תיבה המכילה את שתיהן. אם A A, ניתן לחלק את.B 1 A כאשר B 1,..., b 3 s תיבות, אולי חלקן מנוונות 3 d ל A A 1 S 3 d A B i 1 S 1 S + 3 d i2 1 S Bi ע פי תכונת האינטגרל, הטענה תינבא מהלמה הפשוטה הבאה: B תיבה, f : B R חסומה, (x f לכל x B אז f. B סימון: אם S מדידה ג ורדן, A f, : S R תיבה המכילה את S, אז נמאר ש f אינטגרבילית עלל S אם הפונקציה (מוגדר היטב אתה בדיקה שכבר { S f : A f ונגדיר,A אינטרגבילית על f f (x x X (x Otherwise עשינו. דוגמא: דוגמא לקבוצה פתוחה ב 1] 2 [, שאינה מדידה ג ורדן.נסדר את הנקודות הרציונוליות ב 1] 2 [, בסדרה..., 2.a 1, a. U A A\U תרגיל:.U B ( 1 ai, נגדיר 2 i אילו ל U הייתה מידה אפס, היינו יכולים לכסות אותה עם סדרת תיבות בשטח כולל > ביחד עם הכדורים מהגדרת U (או אולי תיבות קצת יותר גדולות שמכילות אותן, היינו מקסלים כיסוי של [1 2,] 1 2 (סתירה להוכחה כי [1 2,] אינה ממידה אפס, ולכן U פתוחה, ואינה מדידה ע י סדרת תיבות עם שטח כולל > ג ורדן. 7

71 6 אינטגרציה ב 6.1 R n משפט פוביני A 6.1 משפט פוביני משפט 6.18 (פוביני A 1.A A 1 A 2 תיבה ב R n ו A 2 תיבה ב.R m נניח ש R f : A אינטגרבילית (ב,(R n+m אזי ( f dx f (x 1, x 2 dx 2 dx 1 A 1 A 2 ( A 2 f (x 1, x 2 dx 2 dx1 A 1 1] 2 [, A כלומר 1] [, 1] [,,A ונגדיר את הפונקציה { y 1 f (x, y 2 g (x y 1 2 דוגמא: ללא תלות ב g מתקיים כי f אינטגרבילית. אם נשים g לא אינטגרבילית, אז ב 2 1 y f (x, y dx לא קיים. לא סיכמתי את ההרצאות ב וב משפט חילוף המשתנה משפט 6.19 (המקרה החד מימדי I קטע ו I g :,α] [β גזירה ברציפות ו R f : I רציפה אז f (g (t g (t dt f (x dx [α,β] I משפט 6.2 (המקרה הכללי S R n פתוחה..1 יהי g : S R n מקיימת: (א g חח ע. (ב g דיפרנציבילית ברציפות ב S. (ג (t J g לכל.t S.2 אז עבור (S A g קומפקטית ובעלת נפח, אז בהינתן f : A R רציפה מתקיים f (x dx f (g (t J g (t dt A g 1 (A טענה ( A 6.21 ( g 1 (A g 1 (מספיק ש g חח ע רצייפה, ו 1 g רציפה, כלומר g הומיאומורפיזם. 71

72 6 אינטגרציה ב 6.2 R n משפט חילוף המשתנה הוכחה: נוכיח בשלבים: 1. תחילה נפרק את הביטוי לחלקים ומהגדרת השפה מתקיים ( g 1 (A g 1 (A\ g 1 (A g 1 (A ( c g 1 (A g 1 ( A g 1 ( A Å c כיוון שפונקציה הפיכה מכבדת חיתוכים, איחודים ומשלימים אז מתקיים כי ( g 1 A Å c g 1 ( A 1 ( c g 1 Å ( c (Å c. g 1 (A g g וגם נראה עתה ש A (A g ( 1 (א (A g 1 הקבוצה הסגורה הקטנה ביעותר שמכיל את (A,g 1 אבל (A g 1 מכילה את (A g 1 וגם סגורה כי g רציפה. g וזה נובע מאותו טיעון כמו במקרה הקודם. (Å (ב (A (g קיבלנו לכן כי ( A ( g 1 (A g 1. ולכן נחליף תפקידים ובמקום A ניקח את (A g 1 ובמקום 1 g ניקח את g ולכן מתקיים כי A ( g ( g 1 (A g ( ( g 1 (A g 1 ( A ( g 1 (A דוגמא: קואורדינטות פולאריות (קוטביות. איור 6.1: דוגמא 72

73 6 אינטגרציה ב 6.2 R n משפט חילוף המשתנה נרצה לייצג נקודה במישור ע י הזווית מציר ה x והמרחק מראשית הצירים, ולכן מתקיים כי x r cos θ y r sin θ r x 2 + y 2 tan θ y x כאשר r ו 2π θ <, ולכן נוכל להגדיר את הפונקציה לשינוי המשתנה ע י ( r cos θ g (r, θ r sin θ יש לשים לב שכמו שהגדרנו את הפונקציה, היא לא מקיימת את תנאי המשפט, אך נראה בהמשך מדוע כן ניתן להשתמש במשפט למרות זאת. דוגמא: נחשב את A{(x,y:x 2 y+ 2 {1 ex2 y+ 2 dxdy ודרך אחת לפתור זאת היא ע י משפט פוביני 1 ( 1 x 2 1 e x 2 +y 2 dy 1 x 2 במקום זאת נפתור את האינטגרל ע י מעבר לקואורדינטות פולאריות, בהן הגבולות הן פשוט 1 r < ו. θ < 2π נשים לב ש A היא בעלת נפח וגם { g 1 (A (r, θ, (r cos θ 2 + ( r sin 2 θ } r 2 1 < r 1 היא בעלת נפח, ונשתמש במשפט חילוף המשתנה (שוב, כרגע אנו לא עומדים בתנאי המשפט, ונפתור זאת בהמשך e x2 +y 2 dxdy e r2 J g (r, θ drdθ A 1 2π g 1 (A dx D g(r,θ ( cos θ r sin θ sin θ r cos θ J g(r,θ r e r2 rdrdθ 2π 1 π (e 1 e r2 rdr 2π ] 1 [e r2 2 טענה 6.22 עתה נראה מדוע ניתן להשתמש במשפט חילוף המשתנה על [2π g, :,] [,] למרות שאף אחד מהתנאים לא מתקיים. נצמצם את תחום הפונקציה ל g : (, (, 2π R 2 ולכן } x.g ((, (, 2π R 2 \ {(x, : אם 2π A g ((, (, קומפקטית ובעלת נפח אז המשפט עובד. נניח ש (( 2π A g ((, (, ונגדיר ( A n A\ (B, 1 { (x, y : x >, arctan y 1 } 2 x n 73

74 6 אינטגרציה ב R n 6.2 משפט חילוף המשתנה lim V ol (A\A n lim n A n סדרה קונמפקטית ובעלית נפח ומוכלת ב (( 2π g, (, ולכן לכל n מתקיים כי f (x, y dxdy f (r cos θ, r sin θ rdrdθ A n g 1 (A n lim V ol n ( ((B V ol n lim V ol n (B (, 1 n π lim n n 2 + 2R n lim n A (B (, 1 n נסתכל עכשיו על הגבול של האינטגרל, 1 { (x, y : x >, arctan y < 1 } A n x n ({ + V ol (x, y : x >, arctan y < 1 } A x n אבל A קומפקטית ולכן יש > R כך שלכל (x, y A מתקיים כי x R ולכן + V ol ({(x, y : R > x >, 1n x < y < 1n } x ולכן f : A R רציפה, ולכן יש M כך ש M f (x לכל.x A f (x, y dxdy f (x, y dxdy lim f (x, y dxdy A n n A\A n lim M V ol (A\A n n lim f (r cos θ, r sin θ rdrdθ f (r cos θ, r sin θ rdrdθ n g 1 (A g 1 (A n lim f (r cos θ, r sin θ rdrdθ n g 1 (A\g 1 (A n M max { r : (r, θ g 1 (A \g 1 (A n } V ol ( g 1 (A \g 1 (A n ובאותו אופן כאשר כיוון ש g רציפה ו A קומפקטי, אז המקסימום הוא גודל סופי. נותר להוכיח ש n.v ol ( g 1 (A \g 1 (A דוגמא: (סיבובים נגדיר g : R 2 R 2 ונקבע θ ולכן ( ( cos θ sin θ x g (x, y sin θ cos θ y היא העתקה סיבוב של הוקטור (y,x. דוגמא: (קואורדינטות גליליות 74

75 6 אינטגרציה ב R n 6.2 משפט חילוף המשתנה איור 6.2: קואורדינטות גליליות נגדיר את ההעתקה g (r, θ, z (r cos θ, r sin θ, z r x 2 + y 2 tan θ y x z z דוגמא: (קואורדינטות כדוריות 75

76 6 אינטגרציה ב 6.2 R n משפט חילוף המשתנה איור 6.3: קואורדינטות כדוריות g (r, θ, ϕ (r sin θ cos ϕ, r sin θ sin ϕ, r cos θ r x 2 + y 2 + z 2 x2 + y tan θ 2 z tan ϕ y x J g r 2 sin θ נגדיר את ההעתקה B(,1 ( x 2 + y 2 ( x 2 + y 2 + z 2 dxdydz דוגמא: נחשב את האינטגרל הבא כאשר נגדיר } 1 2 A B (, 1 { (x, y, z, x 2 + y 2 + z ולכן g 1 (A { (r, θ, ϕ : r 2 1 } 76

77 6 אינטגרציה ב 6.2 R n משפט חילוף המשתנה 1 π 2π ( r 6 sin 3 θ dϕdθdr 2π 1 2π 2π 8π π r 6 sin 3 θdθdr π r 6 sin θ ( 1 cos 2 θ dθdr r 6 [ cos θ + cos3 θ 3 r 6 dr 8π 21 ] π dr ולכן. דוגמא: e x2 dx π הגדרה 6.23 אינטגרלים לא אמיתיים רב מימדיים. 1. תהי f : R d R פונקציה כך שנקודות אי הרציפות של f הינן קבוצה בלעת מידה אפס, ונניח כי על כל קבוצה קומפקטית ב R d אז f חסומה. בנוסף נניח כי f. 2. תחת ההנחות הנ ל אז f קיים לכל קבוצה B מדידה ג ורדן (כלומר חסומה, B בעלת מידה אפס ותחת B ההנחות הנ ל התנאים הבאים שקולים:.lim R.lim R J(r {}}{ (א < dx [ R,R] d f I(r { }}{ (ב < dx f (x B(,R }.sup (ג < measurable { B f (x dx : B is jordan 3. הערך המתקבל בביטויים הנ ל מזדהה (במקרה כזה נאמר ש f אינטגרבילית על R. d dr (.I (R J (R I ולכן B (, R [ R, R] d B, מכיוון ש dr הערה 6.24 אם f אינה אי שלילית, אין כל סיבה מדוע (3, (2, (1 יהיו שקולים. עבור f כללית, נדרוש כי f אינטגרבילית, ובמקרה כזה אם נכתוב f f f + אז + f f, יקיימו את התנאים ממקודם. באופן יותר כללי, אם f : R d R רציפה חוץ מקבוצה בעלת מידה אפס, אם } { > sup f : B is jordan measureable and f is bounded on B B. f sup R d B B f + sup B ואז נגדיר f B 77

78 6 אינטגרציה ב 6.2 R n משפט חילוף המשתנה e x2 y 2 dxdy [ R,R] R R R R R דוגמא: f (x, y e x2 y 2 היא פונקציה אינטגרבילית על.R 2 R e x2 y 2 dydx R e x2 e y2 dydx R ( 2 R ( 2 e dx x2 e dx x2 R lim R lim R lim R lim R 2π B(,R B(,R R 2π R e x2 y 2 dxdy e r2 rdrdθ e r2 rdrdθ re r2 dr [ lim π e r2] R ( lim π 1 e R2 π R R ע פ הדיון ממקודם ולכן קיבלנו ש e x2 dx π תזכורת: משפט שינוי המשתנה: U R n פתוחה, g : U R n חח ע, גזירה ברציפות ו (x J g על.x U יש קבוצה A קומפקטית, מדידה ג ורדן המוכלת ב ( U g.. A f (x dx g 1 (A f g (y J g (y dy רציפה, אז f : A R הערה 6.25 המשפט גורר בפרט ש g הומאומורפיזם מ U ל ( U g (משפט ההעתקה ה פתוחה. הערה: המשפט הכללי נבע מהמשפט עבור 1 f. ראשית צריך להשתכנע ש ( y f g (y J g אינטגרבילית על (A g. 1 ניקח את B להיות תיבה המכילה את A, אז ע פי הגדרה לכל > ɛ יש חלוקה P של B, נאמר לתיבות B 1,..., B N כך ש S (f 1 A, P S (f 1 A, P < ɛ 78

79 6 אינטגרציה ב R n 6.2 משפט חילוף המשתנה f f g (y J g (y dy g 1 (A A B N f1 A N B A g 1 (B i A f g (y J g (y dy f sup Bi A f(t N {}}{ J g (y sup f g (t t g 1 (B i A N V ol (B i A sup f S (f, P B i A ולכן B d. אז h : U R d העתקה חח ע, גזירה ברציפות והיעקוביאן שונה מאפס, למה [α i, β i ] U 6.26 ומתקיים (.h נניח כי יש (R T GL d כך ש D h(x T < ɛ לכל x B אז ( ( T (αi + δ, β i δ h (B T (αi δ, β i + δ det (T V ol (B ( d β i α i 2δ β i α i V ol (h (B det (T V ol (B.δ diam (B T כאשר ɛ 1 מסקנה 6.27 תחת התנאים הנ ל מתקיים כי d β i α i + 2δ β i α i h (x h ( + D h( x + err (x err (x sup D h(ξ D h( x ξ [,x] הוכחה: נוכיח את הלמה. ואת (x err אנחנו יודעים לחסום ע י בשביל ההכלה הראשונה ( צריך להשתמש בכך ש h היא הומאומורפיזם מ U ל ( U h. נניח ש y h (B ונתבונן בקטע המחבר את ל y, ויהי t 1 sup {t : ty h (B}, < t 1 < 1 קל לראות כי ((B,y y h בזכות העובדה ש h הוא הומאומורפיזם. ( B t, y h לכל נקודה x B מתקיים כי d (h (x, T ( B < ɛdiam (B ɛdiam (B < d ( (T B 1, (T B אם B 1 B כך ש כי אנו יודעים ש ( B.T B 1 h המשפט לא שלם, והשלמתו מושארת כתרגיל. 79

80 6 אינטגרציה ב 6.3 R n חומר העשרה שלא למבחן 6.3 חומר העשרה שלא למבחן משפט 6.28 משפט נקודת השבת של ברוואר. כל העתקה רציפה (1, B T : B, (1 יש לה נקודת שבת ( (x T.(x משפט 6.29 (גרסה חלשה של משפט ברוואר תהי T העתקה גזירה ברציפות מסביבה פתוחה של (1, B ב R d ל R d כך ש ( 1 (, B T (B (, 1 אזי ל T יש נקודת שבת. הערה 6.3 ניתן להסיק את המשפט החזק מהחלש בשימוש בלמה הבאה למה 6.31 אם 1 (, B,T : B (, 1 אזי לכל > ɛ קיימת פונקציה גזירה ברציפות T : R d R d כך ש.max B(,1 T (x T (x < ɛ הערה 6.32 משפט וויירשטרס (שלא יוכח בקורס אומר שאפשר אפילו לקחת את T כך שלכל קואורדינטוה של T היא פולינום ב.x 1,..., x d הוכחה: (הרדוקציה לגרסה החלשה נניח (1, B T : B, (1 רציפה ושאין לא נקודת שבת ולכן קיים ɛ כך ש ומהגרסה החלשה של המשפט ɛ min T (x x > x B(,1. T ניקח T : R d R d גזירה ברציפוה כל שעל 1 (, B מתקיים כי (x T (x < ɛ 3 T B (, 1 B (, 1 שהיא העתקה רציפה וגזירה ברציפות המקיימת T T (x 1+ נגדיר ɛ 3 יש 1 (, B x כך ש T (x x ואז מתקיים {}} {{ ( }}{ ɛ d (x, T x d (x, T x + d T x, T { ( }} { x + d T x, T x < ɛ 3 ɛ 3 < 2ɛ 3 ולכן סתירה! טענה 6.33 אין העתקה S : A B (, 1 R k המוגדרת וגזירה ברציפות כך ש ( 1 (, B S (B (, 1 וכך שעל (1, B מתקיים ש S היא הזהות. מסקנה 6.34 הטענה גוררת את הגרסה החלשה של משפט ברוואר. הוכחה: (המסקנה אם T גזירה ברציפות יחד עם שאר תנאי המשפט, ואין לה נקודת שבת, אז נגדיר (x S ע י החיתוך של הקרן היוצאת מ x T לכיוון x עם (1, B, וניתן להראות ש S גזירה ברציפות והיא גם הזהות על הספרה בסתירה לטענה. הוכחה: (הטענה תהי S : U R d העתקה כמו בניסוח הטענה ו ( 1 (, B S (B (, 1 ו S הזהות על 1 (,. B נגדיר משפחה של העתקות U R d ונגדיר S t (x (1 t x + t S (x x + t G (x G (x S (x x 8

81 6 אינטגרציה ב 6.3 R n חומר העשרה שלא למבחן,U ו U B (, 1 U U בקבוצה פתוחה U נחליף את (אחרת > M sup y U DS(y בה כ נניח כי ובנוסף U קומפקטית כי החסומה ולכן מתקבל מקסימום ממש ובפרט הוא קטן מאינסוף. < 1 t מתקיים ש לכל 1+M DSt(y I t DG(y t + t DS(y t (M + 1 < 1.U היא הומאומורפיזם על S t מתקיים כי t < 1 כלומר עבור M+1,U הפיכה על D S t ולכן (ע פ התרגול < 1 t מתקיים ש ( 1 (, B S t (B (, 1 ובמילים אחרות, אין נקודה 1 (,,x B (, 1 \S t (B אזי עבור 1+M אם 1 (, y S t (B (, 1 B אז יש ξ בקטע בין x ל y שהיא 1 (,. S t (B מצאנו 1 (, B ξ שהוא גם ב (( 1 (,,. B (, 1 S t ( B (, 1 S t (B עתה כיוון ש V ol (B (, 1 small t V ol (S t (B (, 1 det ( 1 + t D G(x dx small t B(,1 B(,1 p(t {}}{ 1 + ta 1 (x t d a d (x dx p (1 det ( D S(x dx B(,1 לכן (t p הוא הפולינום הקבוע ולכן d S i (x Si(x x j אבל S(x det D על 1 (, B וזאת כי 1 (x S (x, S (כי תמונת (x S היא הספירה ולכן וזו תלות לינארית בין עמודות D. S מסקנה 6.35 אין העתקה רציפה 1 (, B S : B (, 1 כך ש x Sx על השפה. הוכחה: ניקח (x T (x S ול T אין נקודת שבת. משפט 6.36 נניח 1 (, B T : B (, 1 העתקה רציפה כך ש ( 1 (, B T ( B (, 1 ולכל x מתקיים ש.T (B (, 1 B (, 1 אזי,T x x הוכחה: ע י מעבר T T משפט שקול הוא כנ ל עם התנאי T x x במקום.T x x כי אם 1 (, (B x B (, 1 \T והעתקה (x T היא נקודה על 1 (, B בקרן היוצאת מ x דרך T x היא ללא נקודת שבת. משפט 6.37 עבור n אי זוגי, F העתקה רציפה מ ( 1 (, B ל R n כך ש σ f (σ לכל 1 (, B,σ אזי יש σ כך ש (σ.f עבור n זוגי ניקח 2n 1.F (x 1,..., x 2n 1, x 2n (x 2, x 1, x 4, x 3,..., x 2n, x 81

82 6 אינטגרציה ב R n 6.3 חומר העשרה שלא למבחן הוכחה: נניח בשלילה כי יש F כזו ונגדיר (σ m. min (,1B F נמצא פולינום P (רב מימדי כך ש 1 F (σ P (σ < m לכל 1 (, B,σ ואז אם ניקח (σ Q (σ P σ, P (σ σ אזי על 1 (, B ו σ Q (σ וכן ( 2 Q (σ 2 P (σ 2 σ, P (σ 2 9m m > 4 5 m Q(.Ω {v } גזירה ברציפות בתחום G ואז G (v v v v נגדיר v Q( v נבחר a < b ונסמן DG(x M sup x A כאשר b} A {a x וכמו בהוכחה למשפט הקודם נגדיר H t (v v + tg (v ( מתקיים ש G(v D Ht(v I + td הפיכה, ובנוסף הפונקציה H t חח ע על,A ולכן לכל v A ועבור t קטן t < 1 M V ol (H t (A det ( D Ht(x dx A det ( I + td G(x dx A 1 + ta 1 (x t n a n (x dx H t A H t (v 2 v 2 + t 2 G (v 2 v 2 ( 1 + t 2 ולכן זהו פולינום ב t. מצד שני, מכאן נובע ש r.h t ( B (, r B (, 1 + t 2 למה: r H t ( B (, r B (, 1 + t 2 עבור < t < 1 M ו b.a r H t פתוחה. הוכחת הלמה: נזגור כי Ht det D על A ולכן (Å בנוסף, חישוב הקליפות שלנו מראה כי ל b a < r < מתקיים ש Compact Open {}}{{}}{ ( B (, r H t Å B, 1 + t 2 r נזכיר שהראינו בתרגילים שאם X מרחב מטרי קשיר מסילתית, אז אי אפשר לכתוב את X A B כש B,A פתוחות, זרות ולא ריקות. בתור מרחב מטרי ניקח את r B (, 1 + t 2 (עם המטריקה המושרה, ו (( r H t ( B (, קבוצה קומפקטית ב X ולכן סגורה. מאידף ממשפט ההעתקה הפתוחה, יש קבוצה פתוחה U R n כך ש X H t B, ((r U ולכן הקבוצה הנ ל פתוחה בטופולוגיה המושרה. H t ( B (, r X ולכן,n קשירה עבור 2 X B (, 1 + t 2 r V ol (H t (A ( 1 + t 2 n 2 V ol (A מסקנה: H t (A 1 + t 2 A ולכן + t (2 n 2 1 ( הוא פולינום ב t, אבל זהו אינו פולינום (למשל כי אם n זוגי אז אין סתירה, אבל עבור n אי זוגי קיבלנו ש לכל פולינום קיים k כך שהנגזרת ה k מקיימת,p(k אבל זה לא המצב עבור פולינום זה כי. n 2 Z 82

83 7 תרגול חלק II תרגולים 7 תרגול מנהלות מורן כוהן, moranshi@gmail.com חומר הקורס יהיה באתר מודל וגם באתר. שעת קבל בימי שני בין בקנדה עליון. יהיו 13 תרגילים שמתוכם 1 הם חובת הגשה (מהווים %15 מהציון הסופי. התרגיל יפורסם באתר בתחילת השבוע ויש להגישו עד יום רביעי בשבוע לאחר מכן, בתרגול עצמו (לא משנה באיזה תרגול. ספר הקורס: חשבון אינפיניטסמלי מתקדם א וב לינדנשטראוס. 7.2 מרחבים מטריים הגדרה 7.1 מרחב מטרי הוא זוג: d,x כאשר x קבוצה לא ריקה, ו R d : X X (נקרא מטריקה המקיימת: סימטריות: d (x, y d (y, x d לכל.x, y X חיוביות: y d (x, תמיד ו y d (x, אם ם.x y אי שוויון המשולש: לכל,x,y z X מתקיים d (x, z d (x, y + d (y, z R עם המטריקה y d (x, y x (נכון גם עבור המישור המרוכב. d (x, y { x y 1 x y דוגמאות: מטריקה דיסקרטית קבוצה X אז d (x, y n (x i y i 2 מטריקה אוקלידית על R: n 83

84 7 תרגול מרחבים נורמים d (x, y + d (y, z d p (x, y d (x, y מטריקת p על :R n נניח ש < p 1 אז ניתן להגדיר ( n x i y i p 1 p n max x i y i עבור p נגדיר: פשוט לראות כי המטריקה מקיימת את הסימטריה והחיוביות ונוכיח את א ש המשולש: n max x i y i + max n y i z i max n ( x i y i + y i z i n max x i z i d (x, z 7.3 מרחבים נורמים הגדרה 7.2 מרחב נורמי הוא זוג (,V, כאשר V מרחב וקטורי מעל R או C ו היא פונקציה מ V ל R. חיוביות: x לכל x V וכן x אם ם.x הומוגניות: x λx λ לכל.λ F א ש המשולש: y x + y x +. הערה 7.3 כל נורמה משרה מטריקה ע י הגדרתה כ y d.,x (y : x תחת הגדרה זו מתקיימות התכונות: d (λx, λy λ d (x, y אינווריאנטיות להזזה y d (x + z, y + z d (x,. x p דוגמא: ניתן להגדיר לפי מטריקת p נורמה p ע י (x d p, x p x ( n n max x i x i p 1 p. x p ( x i p 1 p n1 l p {{x n } ועליו מוגדר דוגמא: נגדיר מרחב :l p מרחב נורמי כאשר } < p x i החיוביות וההומוגניות ברורים, ובשביל להוכיח את א ש המשולש, נדרש להוכיח את א ש מינקובסקי (יוכח כחלק מהתרגיל: ( n 1 ( p n 1 ( p n 1 p x i p + y i p x i + y i p 84

85 7 תרגול כדורים במרחב מטרי 7.4 כדורים במרחב מטרי הגדרה 7.4 הכדור הסגור ברדיוס r סביב x X מוגדר ע י B (x, r {y X d (x, y r} הגדרה 7.5 הכדור הפתוח ברדיוס r סביב x X מוגדר ע י B (x, r {y X d (x, y < r} B (x, r { {x} r < 1 X r 1 דוגמא: אם נסתכל על d,x מרחב דיסקרטי דוגמא: כדורי היחידה 1 (, B לפי מטריקות d d 1, d 2, ב.R 2 1 y y 1 + y 2 d 1 (, ומבחינה גיאומטרית נקבל ריבוע (מסובב התחום בתוך הכדור. עבור d 2 נקבל y y ונקבל מבחינה גיאומטרית עיגול (לפי הנוסחה הידועה. עבור d נקבל 1 } 2 max { y 1, y ונקבל מבחינה גואמטרית ריבוע (רגיל התוחם את הכדור. קמירות 7.5 הגדרה 7.6 קבוצה V A V מ ו מעל.(F תיקרא קמורה אם ם tx + (1 t y A לכל x, y A ולכל 1 t. טענה 7.7 במרחב נורמי (,V, כדור היחידה הוא קבוצה קמורה. הוכחה: יהיו 1 (, B x, y ולכן מתקיים < 1 y, x < 1, ויהי 1] [, t אזי מתקיים tx + (1 t y tx + (1 t y t x + 1 t y < t + (1 t 1 d (x, x n 7.6 סדרות במרחבים מטריים } n {x מתכנסת לגבול x X אם ם n n1 הגדרה 7.8 סדרה d X, הגדרה 7.9 סדרה } n {x תיקרא סדרת קושי אם ם m.lim m,n d (x n, x טענה 7.1 אם סדרה x n x ב R n, d p אם ם x i m x i לכל i n 1 (כאשר x i הוא קואורדינטה ה i של.(x x i m x i p < x i m x i p < ɛ p מתכנסת, כלומר מתקיים x m ונניח כי הסדרה x m x p הוכחה: נניח ש ɛ <.x i m x i ולכן x i ולכן m x i < ɛ הכיוון השני מושאר כתרגיל. 85

86 8 תרגול שקילות של נורמות 7.7 שקילות של נורמות 1 יקראו שקולות אם קיימים קבועים <,m M כל שמתקיים:, 2 הגדרה 7.11 נורמות m x 1 x 2 M x 1 יש לשים לב שהגדרה זו היא סימטרית. למשל מתקיים עבור הכדורים עם מטריקות 1 ו 2 כי B 1 (x, m B 2 (x, 1 B 1 (x, M 1 שקולות., 2, טענה 7.12 הנורמות x 1 x 1 n n x i n max x i x x i n n max x i n x הוכחה: n שהוא מקרה פרטי של אי שוויון x iy i ( x 2 1 ( 2 i yi תזכורת: אי שוויון קושי שוורץ:,x y R n ומתקיים הלדר. 8 תרגול המתרגל הוחלף מייל: ron.rosenhal@mail.huji.ac.il שעות קבל: ימי ראשון במתמטיקה 315 בשעות 16 : 18 : וימי רביעי בקנדה עליון ב.16 : 18 : 8.2 תזכורות הגדרה d 8.1 (x, מרחב מטרי. כדור פתוח הוא r} B (x, r {y X d (x, y < וכדור סגור r}.b (x, r {y X d (x, y הגדרה 8.2 קבוצה A X תיקרא פתוחה אם לכל x A יש > r כך ש.B (x, r A קבוצה A X תיקרא סגורה אם X\A קבוצה פתוחה. הערה 8.3 התכונות פתוחה וסגורה הן שליליות משלימות קבוצתית ולא לוגית. יש קבוצות פתוחות וסגורות, רק פתוחות ורק סגורות, וכאלו שאינן פתוחות ואינן סגורות. 86

87 8 תרגול נקודות פנים טענה 8.4 האיחוד של אוסף כלשהו של קבוצות פתוחות הוא פתוח. חיתוך סופי של פתוחות הוא פתוח. חיתוך כלשהו של סגורות הוא סגור. איחוד סופי של סגורות הוא סגור. טענה C X 8.5 סגורה אם ם לכל סדרה {x n } C שמתכנסת ל x כלשהו אזי.x X 8.3 נקודות פנים הגדרה 8.6 יהי d (x, מרחב מטרי ו X,A נקודה x A תיקרא נקודת פנים של A אם יש > r כך ש A.B (x, r סימון: נסמן ב A את אוסף נקודות הפנים של A. טענה 8.7 מספר טענות: A A.1.2 A קבוצה פתוחה. 3. U A U A ובפרט A היא הקבןצה הפתוחה המקסימלית שמקיימת את (1 ו ( 2, כלומר אם B מקיימת את (1 ו ( 2 אז.B A.4 A A אם ם A פתוחה. הוכחה: נוכיח את הטענות..1 ברור. כי A} A {x A r >, B (x, r..2 תהי,y A ולכן קיים > r כך ש A.B (y, r נותר להראות כי.B (y, r A תהי r.z B (y, נראה ש A B (z, r d (y, z ולכן z A מה שיראה כי.B (y, r A ניקח z w B (z, r d (y, ואז d (w, y d (w, z + d (z, y < r d (y, z + d (z, y r ולכן.w B (z, r A x פתוחה כך ש U U A אז קיימת x U A U מצד שני אם. A open U A 3. מ ( 1 ו ( 2 נובע כי U ולכן יש > r כך ש A B (x, r U ולכן x נקודת פנים ו A.x open U 4. אם A A לכל נקודה יש כדור מתאים (A פתוחה ולכן A פתוחה. אם A פתוחה לכל נקודה יש כדור מתאים ולכן A A A ולכן.A A 87

88 8 תרגול עוצמה הגדרה d 8.8 (x, מ מ ו X A ונגדיר את A ( A סגור להיות אוסף הנקודות x X כך שקיימת סדרה {x n } A ו x.x n טענה 8.9 מספר טענות: A A.1 2. A קבוצה סגורה..3 F A Closed A F ובפרט היא הקבוצה המינימלית שמקיימת את (1 ו ( 2. A הן קבוצות סגורות ולכן גם החיתוך שלהן היא c A A A אבל A ו c.4 A A אם ם A סגורה. הגדרה 8.1 השפה של A מוגדרת להיות. A A\ A טענה A 8.11 קבוצה סגורה. הוכחה: ניזכר כי A\B A B c ולכן קבוצה סגורה. טענה 8.12 (תרגיל x A אם ם לכל כדור פתוח סביב x יש נקודות מ A ונקודות מ A. c.1 דוגמאות מעל.(R, דוגמאות: (א R היא פתוחה וסגורה. (ב (1,] לא פתוחה ולא סגורה.. (ג Q לא סגורה ולא פתוחה. 2. בכל מרחב מטרי (d,x לכל x X הקבוצה {x} היא סגורה.. ( R 2, d 2.3 (א } {(, \ 2 A R פתוחה ו. A {(, }, A A, A R 2 (ב } y A { (x, y x 2 אז. A, { (x, y x 2 y } A { (x, y x 2 < y }, A A. A ולכן R 2 A, A ואז R 2 A Q 2 (ד A R 2 ואז A R 2 ו A R 2 ו A. (ג 8.4 עוצמה הגדרה 8.13 נאמר שב A יש n איברים אם קיימת העתקה חח ע וכל מ { n,...,1} ל A. נאמר שב A וב B יש אותו מספר איברים אם קיימת f : A B חח ע ועל, ונאמר של A ו B יש את אותה עוצמה. סימון: נסמן את העוצמה של A ע י A. הגדרה 8.14 סוגי עוצמות: 88

89 8 תרגול קומפקטיות קבוצה שעוצמתה זהה לעוצמה של {n,...,1} תיקרא מעוצמה n (או גודל n. קבוצה A שעוצמתה זהה לעוצמה של N תיקרא בת מנייה ותסומן A N ℵ (עוצמת המנייה..f (x 2x כי קיימת ההעתקה 2N ℵ.1 { 2x x f (x 2x + 1 x < Z ℵ.2 Q ℵ.3 לא יוכח רשמית. דוגמאות: טענה 8.15 ל N ול [ 1,] (מעל R אין את אותה עוצמה. הוכחה: (האלכסון של קנטור נניח בשלילה כי יש [1,] N f : כך ש f היא חח ע ועל. f (1 x 1.x 1 1x f (2 x 2.x 2 1x k x ואז קיבלנו כי לכל x N מתקיים. { 1 x k k 1 נראה ש f לא על ע י שנגדיר... 2 x.x 1x כך ש 1 k 2 x k f (k x k x ולכן f לא על. הערה 8.16 את העוצמה של R מסמנים R ℵ (עוצמת הרצף. (כלומר איחוד בן מנייה ואיחוד של קבוצות לא בנות מנייה. n1 A n U A הערה 8.17 יש לשים לב כי U.A x A האם שאלה: הראינו בהרצאות כי כל קבוצה ב A במרחב מטרי היא איחוד של קבוצות סגורות כאשר {x} את Q ניתן לכתוב כחיתוך בן מנייה של קבוצות פתוחות? האם אפשר לכתוב את R\Q כחיתוך בן מנייה? תשובה: אם ניקח סידור של הרציונליים } n q} ונסמן } n U n \R q} קבוצה פתוחה כי המשלים סנגלטו ולכן U n (R\ {q n } R\Q n1 n1 8.5 קומפקטיות הגדרה (d 8.18,x מרחב מטרי ו X K תיקרא קומפקטית אם לכל x} n } K יש תת סדרה מתכנסת לאיבר ב K. טענה F 8.19 קומפקטית גורר F סגורה וחסומה. טענה 8.2 ב F R n סגורה וחסומה אם ם F קומפקטית. 89

90 8 תרגול קומפקטיות X N n1 X n {(x 1,..., x N x n X n 1 n N} מרחבים מטריים קומפקטיים, ונגדיר {(x n, d n } N n1 טענה 8.21 יהיו עם המטריקה ( d {x i } N, {y i} N N 1 d i (x i, y i 2 i 1 + d i (x i, y i מתקיימות הטענות הבאות: 1. הפונקציה d היא מטריקה על X. 2. התכנסות של x n x לפי d אם ם יש התכנסות קואורדינטה קואורדינטה..3 d (X, היא קומפקטית. הוכחה: נוכיח את.(3 נניח ש X {xn } סדרה כלשהי N.x n (x n 1, x n 2,..., x n.(x 1, d 1 ב ( x n k 1 ש x 1 x }כך n k נסתכל על.{x n 1 } X 1 מכיוון ש X 1 קומפקטית, יש תת סדרה } 1 x} n k זאת תת סדרה של } 2 x} n שהיא בעצמה סדרה ב X 2 וכיוון ש X 2 קומפקטית, יש לה תת סדרה נסתכל על X 2 } 2 המתכנסת לאיזשהו.x 2 {x n k l } x n k l כל תת סדרה של סדרה מתכנסת מתכנסת בעצמה לאותו איבר. 2 ו x 2 x n k l נשים לב ש x 1 1 x n k מתכנסת ל x i עבור i M 1 ונראה שאפשר למצוא תת סדרה נניח שמצאנו תת סדרה } k n} של טבעיים כך ש i שבה זה יהיה נכון עבור + 1 M i.1 } { } { } { x n k l מתכנסות. 1,..., x n k l M+1 x n k l ואז M+1 { x n k וניקח תת סדרה מתכנסת שלה M+1} נסתכל על הסדרה שמתקבלת עבור M N היא תת סדרה שבה יש התכנסות בכל הקואורדינטות ולכן יש התכנסות ב d. טענה 8.22 לא כל קבוצה סגורה וחסומה היא קומפקטית. הוכחה: שני דוגמאות נגדיות: 1. כל קבוצה אינסופית במטריקה הדיסקרטית. A X אזי A סגורה (כי כל קבוצה במרחב זה היא סגורה, והיא חסומה., 1] ([, (C והקבוצה 1 (, B A.A חסומה כי היא מוכלת בכדור, וסגורה כי היא כדור 2. נסתכל על סגור. f f n ואז (x lim n sup f n (x f כלומר נראה ש A לא קומפקטית. נניח f n f ולכן התכנסות במרחב היא התכנסות במ ש. f lim n f n אז f n f במ ש ובפרט { לדוגמא.f n (x x n נניח שיש 1] [, C f כך ש 1 x 1 (x g ומכיוון שהגבול יחיד אז,f g אבל x נקודתית כאשר 1 f n g נקודתית. מצד שני f n f לא מתכנסת במ ש ל g. f n היא לא רציפה ולכן g הערה 8.23 אם (,V מרחב נורמי אז V לא קומפקטי כי V לא חסום. 9

91 9 תרגול תרגול תזכורת משפט 9.1 (היינה בורל יהי (d,x מ מ (מרחב מטרי כך ש X K אז כל התנאים הבאים שקולים:. x המתכנסת ל K {x nk } קיימת תת סדרה K {x n } קומפקטי לכל סדרה K.1 U} α } α A של K קיים תת כיסוי סופי. 2. לכל כיסוי פתוח. n C α i K {C α } α A סגורות ו α α A C אז קיימת C α1,..., C αn כך ש 3. אם הגדרה x X 9.2 תיקא נקודה מבודדת אם קיים > r כך ש { x } B.,x (r אם x לא מבודדת כל כדור פתוח סביבה מכיל אינסוף נקודות. משפט 9.3 מרחב קומפקטי ללא נקודות מבודדות אינו בן מנייה. משפט 9.4 מרחב קומפקטי שכל נקודתיות מבודדות הוא סופי. הוכחה: אם X לא סופי, אז קיימת סדרה {x n } X כך ש x n x m אם n m ואז אם ש x x nk אבל x מבודדת ולכן הסדרה קבועה החל משלב מסויים סתירה! x nk תת סדרה שלה ונניח למה צריך את היינה בורל? אנחנו רוצים לאפיין הכל ע י קבוצות פתוחות וסגורות מבלי להשתמש במטריקה. U} α } α A הוא אוסף הקבוצות הפתוחות, אז באמצעות הטענות הבאות וההגדרות שלמדנו ניתן לדעת אם X מידע רב על המרחב ותכונותיו: 1. איחוד כלשהו של קבוצות פתוחות הוא פתוח. 2. חיתוך סופי של פתוחות הוא פתוח..3 X, הן פתוחות. טענה (d 9.5,X מרחב מטרי. תת קבוצה סגורה של קבוצה קומפקטית היא קומפקטית. U} α } α A הוא כיסוי פתוח של C. מכיוון ש C סגורה אז הוכחה: יהי K X קומפקטית ו K C סגורה. נניח ש.K ובפרט של X כיסוי פתוח של {U α } α A {X\C} פתוחה ולכן X\C {U α i אבל אז {U αi } n מכסה את C ולכן C קומפקטית. } n מכיוון ש K קומפקטית, יש תת כיסוי סופי {X\C} הוכחה: (אלטרנטיבית בשימוש בסדרות נניח ש K x} n } C סדרה. מכיוון ש K קומפקטית אז יש x K ותת סדרה x nk כך ש x.x nk אבל C סגורה, ומכיוון ש C {x nk } אז.x C הערה על מטריקות מושרות. x, y A, d A (x, y d (x, y ע י (A, d A יהי (d,x מ מ ו X A, וניתן להגדיר מרחב מטרי חדש. נגדיר עכשיו בהינתן U A אפשר לשאול:.1 האם U פתוחה ב ( d (X,? 91

92 9 תרגול פונקציות רציפות.B ( 1, 1 2 { x [, 1] d (x, 1 < 1 2?(A, d A 2. האם U פתוחה ב ( דוגמא: (R, ו [ 1 [, A. U האם U פתוחה ב ( (R,? לא. } ( 1 האם U פתוחה ב ( A,A d? כן. כל המרחב תמיד פתוח כי [1 2, (A, d A, אזי: טענה d 9.6 (X, מ מ A X ו (.V A כך ש U (X, d פתוחה V X אם ם יש (A, d A.1 A U פתוחה ב (.D A כך ש C (X, סגורה ב ( d D X אם ם יש (A, d A.2 A C סגורה ב (.(X, קומפקטית ב ( d K אם ם (A, d A הערה 9.7 בקבוצות קומפקטית המצב הרבה יותר טוב: K A קומפקטית ב ( 9.2 פונקציות רציפות הגדרה (d 9.8,X ו ( ρ,y הם שני מ מ ו f : X Y תיקרא רציפה אם אחד מהתנאים השקולים הבאים מתקיים: x X ɛ > δ δ (x, ɛ >, d (x, y < δ, ρ (f (x, f (y < ɛ.1.2 לכל U Y פתוחה אז (U f 1 פתוחה ב X..3 לכל C Y סגורה, אז (C f 1 סגורה ב X..4 לכל x n x ב X אז (x f (x n f ב.Y.1, n f : (x, d (R ו (( x f (x (f 1 (x,..., f n ואז f רציפה אם ם לכל i n 1 מתקיים כי (R, f i : (X, d רציפה. ( ( f F (f ( f (, והפונקציה 1 n,..., f n 1 n, f (1 2, n+1 F : (C [, 1], ( R כאשר.2 הזו רציפה. 2 ואז f n f במ ש ב [ 1,] ובפרט יש התכנסות נקודתית ולכן נוכיח את הרציפות: נניח כי f n f ב f m ולכן ההתכנסות קואורדינטה קואורדינטה ולכן כל קואורדינטה רציפה ולכן ( k n f ( k n k n F רציפה. F (f (F (f, F 1 (f,..., F n (f ( k F k (f f n.f m ( k n f ( k n וראינו ש ( f Fk (f m F k כי.3 ההרכבה של פונקציות רציפות היא רציפה. D,(X, d f (Y, ρ g (Z, כאשר f, g רציפות וצ ל כי g f רציפה. הוכחה: אם U Z פתוחה, אז (U g 1 פתוחה ב Y ואז (U f 1 ( g 1 פתוחה ב X ולכן (U (g f 1 פתוחה ולכן היא רציפה. דוגמאות/טענות: 4. Y f : X רציפה אם ם המקור של כל פתוחה פתוח אם ם המקור של כל סגורה סגור. לא ניתן להחליף את המילה מקור ב תמונה. העובדה שלכל U X פתוחה (U f פתוחה, לא גורר ש f פתוחה. אם ρ f : (X, d (Y, וב Y קבוצות של נקודה אחת לא פתוחות ו f מוגדרת ע י f (x y עבור y Y קבוע לכל.x X נשים לב ש f רציפה, אבל f מעבירה קבוצות פתוחות ללא פתוחות כי {y} f (X (כאשר X פתוחה ו y לא. 92

93 9 תרגול שקילות של נורמות.f (R (, 1] וראינו באינפי שזאת פונקציה רציפה כאשר,f : R R היא פונקציה f (x 1 1+x 2.5 הגדרה f : X Y 9.9 תיקרא פונקציה פתוחה (סגורה אם התמונה של כל קבוצה פתוחה (סגורה היא פתוחה (סגורה. טענה f : X Y 9.1 רציפה ו X A רומפקטית אז (A f קומפקטית. טענה f : X R 9.11 רציפה ו X A קומפקטית אז f חסומה על A ומקבלת את חסמיה. תזכורת: אם f :,a [b R ו [ b,a] סגור חסום ו f רציפה, אז f חסומה ומשיגה את חסמיה. הוכחה: f (A R קומפקטית (לפי הטענה הקודמת שהוכחה בהרצאות ולכן f (A B חסומה (כי כל קומפקטית היא סגורה וחסומה. נסמן (A. a sup B sup f מהגדרה יש סדרה (A f (x n f ומתכנסת ל a, אבל B סגורה ולכן,a A ולכן יש x X כך ש a f (x (באותו אופן למינימום. 9.3 שקילות של נורמות הגדרה X 9.12 מ נ (מרחב נורמי עם שתי נורמות 2, 1. נמאר כי הן שקולות אם יש (, M,m כך שלכל.m x 2 x 1 M מתקיים כי x 2 x X x max { x i 1 i n} הן שקולות כי מתקיים, 1 דוגמא: תחת המ נ R n אז n x i x 1 x 1 n max { x i 1 i n} n x ולכן הן שקולות כאשר 1 m. M n, משפט 9.13 כל שתי נורמות ב R n הן שקולות. הוכחה: נוכיח בשלבים: 1 (נובע מטרנזיטיביות. 1. מספיק להוכיח שכל נורמה שקולה ל.2 תהי נורמה כלשהי ב. R n בתרגיל הראינו שהיא פונקציה : R n R רציפה. x 1 S 1 {x R n אז S 1 קומפקטית כי היא סגורה וחסומה..3 נגדיר 1} 1 רציפה, אז x lim 1 lim n x n 1. אם x n x ו x n S 1 אז מכיוון ש.4 n S 1 R ו R : R n רציפה. התמונה של S 1 לפי חסומה ומקבלת את חסמיה, כלומר קיימים < M,m כל שלכל x R n שמקיים.m x מתקיים ש M x 1 1 y (נובע מההומוגניות של הנורמה. x x.5 עבור x R n כללי, מתקיים ש S 1 1 x 1 אז מתקיים x 1 m (נשים לב שעבור המקרה x M x 1 מ ( 4 ידוע כי m y M ולכן שוויון ממש 6. מספיק להראות ש > m. אם הוא אפס אז יש x S 1 כך ש x (מקבל את החסם התחתון אבל אז.x ולכן S 1 1 x 1 x ולכן 93

94 9 תרגול הומיאומורפיזמים טענה 9.14 לא כל שתי נורמות הן שקולות. לא שקולות.. 1 ו דוגמא: נסתכל על [1,] C עם הנורמות f lim f n ולכן f 1 lim f n אבל 1,f n (x x n טענה: אם f אז lim f n f n 1 lim 1 f n (x f (x dx lim 1 x n dx lim n.n N לכל f n f ולכן הומיאומורפיזמים הגדרה d 9.15 (X, ו ( ρ (Y, מ מ f : X Y תיקרא הומיאומורפיזם אם f חח ע, על, f רציפה ו 1 f רציפה. הגדרה f : X Y 9.16 תיקרא איזומטריה על אם f על, ו (( y d (x, y ρ (f (x, f לכל.x, y X מסקנה 9.17 איזומטריה היא בפרט הומיאומורפיזם..f (x d c b a x (a + c הומיאומורפיים עם הפונקציה הם הם קטעים סופיים ב R,c ו ( d,a (b 1..f (x tan ( π 2 (x ו ( 1,1 הם הומיאומורפיים עם הפונקציה R 2. דוגמאות: הערה 9.18 תכונה של חסימות לא עוברת בהומיאומורפיזם. הערה 9.19 יש סיבה טובה לדרוש גם ש 1 f תהיה רציפה. למשל המעגל } 1 2,x (y x 2 + y { אז הוא שקול ל } (2π { e iθ θ,] אבל הפונקציה ההופכית לא רציפה (קופצת מ 2π ל איך מראים ששני מרחבים הם לא הומיאומורפיים? דוגמאות: 1. R לא הומיאומורפי למרחב דיסקרטי. } { המתכנסת לאפס, ולכן 1 n אם (d,x דיסקרטי ו X f : R הומיאומורפיזם, אז נסתכל על הסדרה n N.f ( 1 n f ( f קבועה החל ממקום מסויים סתירה לחח ע של f ( 1 n X דיסקרטי ולכן הסדרה 2. (1, ו [ 1,] לא הומיאומורפים כי הומיאומרפיזם מעביר קומפקטיות אך [1,] קומפקטי ו ( 1, לא..3 R ו R 2 הם לא הומיאומורפיים. אם f : R R 2 אז גם (} {f f : R\ {} R 2 \ הומיאומורפיזם, ונסמן ( 1 f x ו ( 1.y f קיים (} {f γ : [, 1] R 2 \ מסילה כך ש x γ ( ו y.γ (1 אבל אז {} R\ f 1 γ : [, 1] פונקציה רציפה, אבל 1 ( γ f 1 ו 1 (1 γ f 1 ולכן קיבלנו פונקציה רציפה שלא יכולה לעבור ב בסתירה למשפט ערך הביניים. 94

95 1 תרגול מסילות 1 תרגול מסילות 1.1 הגדרות ודוגמאות הגדרה 1.1 פונקציה d γ : [a, b] (X, כשהיא רציפה תיקרא מסילה. תכונות: פשוטה: אם γ חח ע סגורה: אם (b.γ (a γ [a,b] γ חח ע. סגורה ופשוטה: סגור ו הגדרה d 1.2 γ : [a, b] (X, ו ( d γ : [c, d] (X, יקראו שקולות אם יש d] ϕ : [a, b] [c, מונוטונית עולה ממש ורציפה כך ש γ. γ ϕ הערה 1.3 למעשה אנו חושבים על t ב ( t γ כפרמטר זמן, ולכן מסילות שקולות אם הן עוברות את אותו מסלול (אותה סדרת נקודות רק בזמן אחר. הערה 1.4 מספר הערות על שקילות מסילות: 1. זהו יחס שקילות. 2. הגדרה: מסילה תיקרא קטע (קטע בין x ל y ב X אם היא שקולה למסילה y x מהצורה tx + 1 (t y כאשר 1 t (מעל מרחב נורמי. g (t ( t, 1 t 2, 1 שהתמונה שלה היא חצי מעגל ונגדיר גם t π כאשר γ (t (cos t, sin t.1 1 t שהיא מסילה העוברת על אותו מסלול רק ב קצב שונה. g ϕ γ (t, t 2π (g ϕ 1 (t cos t ϕ : [, π] [ 1, 1] ϕ (t cos t g ϕ γ ϕ 1 (t arccos ( t g γ ϕ 1 דוגמאות:.2 נסתכל על t γ (t (cos (π t, sin (π ביחס ל γ ממקודם, כאשר המסילה החדשה נע על אותו מסלול רק בכיוון ההפוך ולכן נקודות ההתחלה והסיום של המסילות שונות ולכן הוא לא שקולות למרות שהתמונות שלהן זהות..3 2π γ (t (cos t, sin t, t ו 4π γ (t (cos t, sin t, t שיש להם את אותה נקודת סיום, אותה נקודה התחלה ואותה תמונה אך הן לא שקולות כי γ עוברת על כל נקודה ב ( t γ פעמיים..4 X γ : [3, 7] כאשר x X ו γ (t x היא המסילה הנמצאת בנקודה אחת לכל t והיא נקראת המסילה הקבועה. 95

96 1 תרגול מסילות 1.2 אורך של מסילה הגדרה 1.5 אם f : [a, b] X ו X g : [c, d] מסילות ו ( c f (b g אז אפשר להגדיר מסילה חדשה שנקראת הצירוף של המסילות והיא g f : [a, b + d c] X המוגדרת ע י { f (t t [a, b] g f (t g (t b t [b, b + d c] הגדרה 1.6 מסילה נקראת קו פוליגונלי אם היא צירוף סופי של קטעים. 1.2 אורך של מסילה הגדרה 1.7 עבור f : [a, b] X מוגדר { n } l (f sup d (f (t i, f (t i 1 a t < t 1 <... < t n b is a partition of f אומרים של f יש אורך אם < (f l. הגדרה T 1.8 עידון של T אם (f l T (f l T כך ש i 1 (T max n t i t. הגדרה 1.9 נאמר ש C l (f אם לכל > ɛ קיים > δ כך שלכל חלוקה T של b] [a, כך ש δ (t < מתקיים. l T (f c < ɛ דוגמא: נרצה למצוא את האורך של קטע γ (t tx + (1 t y במרחב.(X, תהי T חלוקה כלשהי של 1] [, אז l T (γ n n d (γ (t i, γ (t i γ (t i γ (t i 1 n t i x + (1 t i y t i 1 x (1 t i 1 y n (t i t i 1 (x y ( n (t i t i 1 x y l (γ x y טענה 1.1 מספר טענות: 1. למסילות שקולות אותו אורך. l (g f l (g + l (f.2 2, n X (R ונתון γ : [a, b] R n ולכן ניתן לכתוב (t γ (t (γ 1 (t,..., γ n כאשר הערה 1.11 נסתכל על. γ i (t : [a, b] R 96

97 1 תרגול מסילות 1.2 אורך של מסילה. d dt γ (t ( d dt γ 1,..., d dt γ n הגדרה γ 1.12 תיקרא גזירה ב t אם γi גזירה ב t לכל i n 1 ונסמן טענה 1.13 מספר טענות: 1. למסילה γ :,a] [b R n יש אורך אם ם לכל תת מסילה שלה יש אורך. לאורך של מסילה לתוך R קוראים גם השתנות חסומה..l (γ b.2 אם γ גזירה ברציפות אז a γ (t dt דוגמא: תהי γ המסילה הנוצרת ע י הליכה נגד כיוון השעון מהנקודה (,1 על המסילה שנוצרת ע י 1 3 x y 2 (נקרא האסטרואיד. 1. מצאו פרמטריזציה למסלול. 2. חשבו את אורכו. x כאשר x 1 3 x 2 + y 2 אם ם 1 x y 2 3 ונשים לב כי 1 A A {( } x 1 1 3, y 3 x 2 + y 2 1 γ (t (cos t, sin t, t 2π γ ( cos 3 t, sin 3 t, t 2π { } (x, y R 2 x y ו y y 1 3 והן חח ע ועל ולכן.1 פתרון: והצורה של המסילה היא 97

98 1 תרגול מסילות 1.2 אורך של מסילה איור 1.1: האסטרואיד t, π 2,,π 3π 2 המסילה לא גזירה, אך היא כן גזירה ברציפות למקוטעין ולכן נוכל לחלק את 2. בנקודות 98

99 1 תרגול מסילות 1.2 אורך של מסילה המסילה לחלקים (לפי רבעים שבה היא גזירה ברציפות, ונשים לב כי המסילה סימטרית בכל רביע ולכן l (γ 2π γ (t 2 dt γ (t ( 3 cos 2 t sin t, 3 sin 2 t cos t l (γ 4 6 2π 2π 2π π 2 π 2 9 cos 4 t sin 2 t + 9 sin 4 t cos 2 tdt 9 cos 2 t sin 2 t ( cos 2 t + sin 2 t dt 3 sin t cos t dt 3 sin t cos tdt sin (2t dt 3 cos (2t π 2 6 γ (t (cos t, sin t, t 2π 2π l (γ sin 2 t + cos 2 t l (γ 2π sin t + cos t dt 4 2π π 2 דוגמא: מהו האורך של עמגל בנורמה 2 ובנורמה 1: dt 2π sin t + cos tdt 8 ולכן קיבלנו כי האורך של המעגל בנורמה 1 הוא אורך הריבוע התוחם אותו פרמטריזציית אורך קשת l (f [a,t] הגדרה 1.14 עבור f : [a, b] X נאמר ש f בפרמטריזציית אורך קשת אם לכל a t b מתקיים כי t (כלומר האורך מזמן a עד t שווה ל t. טענה 1.15 אם f :,a] [b x מסילה שאינה קבועה על אף קטע סגור לא טריוויאלי, אז יש לה פרמטריזציית אורך קשת. s (t l וצ ל ש s רציפה, s עולה ממש ואם f לא קבועה באף קטע כנ ל (f [a,t] הוכחה: נגדיר s : [a, b] R כך ש אז S עולה ממש. l (f l (f [3,t] 5t t 3 s (t 5t 15 t s + 15 t 99 דוגמא: f : [3, 7] R ו t f (t ולכן

100 1 תרגול מסילות 1.3 קשירות מסילתית והומוטופיה t+15 ϕ (t ולכן 5 נגדיר g f ϕ כאשר 7] [3, 2] [, : ϕ ע י ( ( t + 15 t + 15 g (t f ϕ f t r t f (g [,t] g (t dt dt t γ (t קשירות מסילתית והומוטופיה הגדרה A X 1.16 תיקרא קשירה מסילתית אם לכל,x y A קיימת γ xy מסילה ב A בין x ל y.. ty + (1 t x, t קיים קטע 1 x, y R n קשיר מסילתית כי בין כל R n.1.2 {} \ n R כאשר 2 n קשיר. דוגמאות: (א אם x λy אז הקטע בינהם לא יעבור בראשית ולכן היא מסילה במרחב. (ב אם הם כל על אותו קטע {R y {λx λ אז ניקח נקודה שלישית z שלא נמצאת על הישר ונעביר קטע בין x ל z ובין z ל y ונחבר את הקטעים למסילה אחת..3 } y R 2 \ {(x, y לא קשיר. אם יש מסילה γ בין 5 (, ל ( 3 (, אז γ 2 (t : [, 1] R היא רציפה כאשר 3 (1 2 γ 2 ( 5, γ ולכן סתירה למשפט ערך הביניים. טענה 1.17 תמונה רציפה של קבוצה קשירה מסילתית היא קשירה מסילתית. f : X Y רציפה, A X קשירה מסילתית וכך גם (A f. מסקנה 1.18 קשירות מסילתית נשמרת ע י הומאומורפיזם. הגדרה 1.19 שתי מסילות סגורות d f : [a, b] (X, ו ( d g : [c, d] (X, ייקראו הומוטופיות אם יש f : [α, β] X ו X g : [α, β] כך ש f שקולה ל f ו ỹ שקולה ל g וקיימת H : [, 1 [α, β] X הנקראת הומוטופיה כך ש.1 H רציפה H (, t f (t.2 H (1, t g (t.3 H (x, α H (x, β.4 דוגמא: המסילה t γ 1 (t (cos t, sin ו 2π t והמסילה (1, (t γ 2 כאשר t 2π הומוטופיות. (cos t, (1 2s sin t s 1 2 (cos t, t 2π 2s H (x, t (cos s, 2π 2s t 2s (cos t, 2s t 2π H (s, t (1 + (1 s (cos t 1, (1 s sin t הומוטופיה נוספת: 1

101 11 תרגול הגדרה 1.2 מרחב X נקרא פשוט אם כל שתי מסילות הן הומוטופיות או כל מסילה הומוטופית למסילה הקבועה. טענה 1.21 הומוטופיה היא יחס שקילות. טענה 1.22 פשוט קשר הוא קשיר מסילתית. טענה 1.23 פשוט קשר גם עבורת ע י הומאומורפיזם. 11 תרגול הומוטופיה ופשטות קשר הגדרה 11.1 אם (d,x מ מ (מרחב מטרי אז X קשיר מסילתית נקרא פשוט קשר אם כל שתי מסילות ב X הן הומוטופיות. טענה 11.2 ההגדרה שקולה לדרישה שכל מסילה הומוטופית למסילה הקבועה. הוכחה: : מקרא פרטי של ההגדרה. : מכיוון שהומוטופיות היא יחס שקילות אז מטרנזיטיביות אם כל שתי מסילות הומוטופיות למסילה הקבועה, אז בפרט הן הומוטופיות אחת לשנייה. הערה 11.3 זה נותן דרך נוחה לבדוק שמרחב לא פשוט קשר. דוגמאות: 1. כל קבוצה קמורה ב R n או כוכבית היא פשוטת קשר. 2. } R n \ x} כאשר 1 n אז המרחב הוא לא פשוט קשר, עבור 2 n הוא לא פשוט קשר אבל כן קשיר מסילתית, עבור 3 n המרחב הוא פשוט קשר. אז S 1,S 2 { (x, y, z R 3 x 2 + y 2 + z 2 1 } ו S 1 { (x, y R 2 x 2 + y 2 1 } כאשר S 1, S 2.3 לא פשוט קשר אך S 2 הוא כן פשוט קשר. טענה 11.4 פשטות קשר עוברת ע י הומיאומורפיזם. אם f : X Y הומאומורפיזם, אז X פשוט קשר אם ם Y פשוט קשר. הוכחה: מספיק להראות כיוון אחד, כי אחרת נסתכל על 1 f g, ולכן נניח ש X פשוט קשר. יהיו γ 1 : [a, b] Y, γ 2 : [a, b] Y שתי מסילות סגורות, ואז f 1 γ 1 ו f 1 γ 2 שתי מסילות סגורות ב X (הן רציפות וסגורות כי 1 f חח ע ורציפה. מכיוון ש X פשוט קשר אז יש הומיאוטופיה H בין f 1 γ 1 ו f 1 γ 2 ואז f H תהיה הומוטופיה בין γ 1 ל γ 2 (צ ל כי התכונות אכן מתקיימות, אבל זה נובע מהרציפות וחח ע של f. 11

102 11 תרגול מסילות ללא אורך 11.2 מסילות ללא אורך טענה 11.5 קיימת 1] 2 [, 1] [, : γ שהיא על (עקומת (Peano (הוכח בהרצאות. טענה 11.6 לא קיימת מסילה 1] 2 [, 1] [, : γ שהיא על ופשוטה. הוכחה: הראינו כי אם f : X Y ו X קומפקטית, רציפה, חח ע ועל אז גם 1 f רציפה, ולכן γ תהיה הומאומורפיזם. טענה 11.7 (הטענה בתוך ההוכחה הקודמת אם f : X Y ו X קומפקטית, רציפה, חח ע ועל אז גם 1 f רציפה. 1 1 f ( סגורה, כלומר (F f סגורה. הוכחה: צריך להוכיח שלכל F X סגורה F מכיוון ש F סגורה ו X קומפקטית אז F קומפקטית, ואז F f קומפקטית ובפרט סגורה עקומת קוך (פתית השלג של קוך מתחילים עם קטע רציף. נחלק את הקטע לשלושה חלקים שווים ואת האמצעי נחליף בבשני קטעים ששוים לו באורכם ונצמיד אותם למשולש שווה צלעות. באותו אופן נמשיך עבור כל קטע ישר במסילה, ונקבל את המסילה הבאה: 12

103 11 תרגול מסילות ללא אורך איור 11.1: פרקטל לדוגמא אם נסמן את המסילה בכל שלב ב γ n : [, 1] R 2 אז γ n γ (במ ש. 4 3 (הקטע חולק ל 3 ונוסף שליש נוסף לייצירת המשולש. נניח שהתחלנו עם קטע באורך 1 אז מה האורך של γ? 1. ( 4 n ובסה כ האורך בשלב ה n הוא אם היו n קטעים באורך I אז בשלב הבא נקבל 4n קטעים באורך I אם γ n γ נשים לב שנקודות הקצה של קטעים מרגע שנוצרו לא משתנות ולכן יהיו אותן נקודות ב γ, אבל האורך של.l (γ ובפרט l (γ n l (γ מתקיים כי n N נמדד בין נקודוה הקצה של הקטעים, ולכן לכל γ n משפט 11.8 (ג ורדן לכל מסילה פשוטה סגורה γ ב R 2 ניתן להגדיר קבוצה שתהיה הפנים של γ וקבוצה שתהיה החוץ של γ. דוגמא: ניתן לחפש באינטרנט על,Horned Sphere שהוא דוגמא למרחב ב R 3 שלא מקיים את המשפט. 13

104 נפח ג ורדן( ומידת לבג( תרגול איור Horned Sphere : נפח ג ורדן( ומידת לבג( N הגדרה B Rn 11.9 תיקרא מנפח אפס אם לכל > קיימת תיבות {Ai } כך ש Ai PN <. V ol (Ai הגדרה B Rn 11.1 תיקרא ממידה אפס אם לכל > יש תיבות {Ai } כך ש Ai. S SN B ו B ו < V ol (Ai P תכונות :.1 אם B C ול C מידה נפח( אפס אז כך גם ל.B.2 אם ל B נפח אפס אז ל B מידה אפס..3 אם B קומפקטית ממידה אפס אז היא מנפח אפס היינה בורל(. SN N.4 אם {Bi } מנפח אפס כך גם. Bi i P S i כי אם Aj j1 כיסוי של תיבות ל Bi כך ש < j1 V ol Aj.5 אם {Bi } ממידה אפס, כך גם Bi P P 2 i אז Aij i,j1 היא כיסוי לאיחוד <. j1 V ol Aij SN PN N.6 אם B מנפח אפס אז B חסומה כי יש {Ai } כך ש B Ai ו V ol (Ai < 1 וכיוון שלכל i מתקיים כי Ai חסומה, אז גם.B Qn.7 נקודה x Rn היא מנפח וגם ממידה אפס כי A xi 2, x + 2 וכאשר < 1 אז vol (A <. n S מכך נובע כי } N {n גם ממידה אפס, מצידה שני N לא מנפח אפס כי היא לא חסומה(. הערה המידה תלויה במימד, למשל ] [, 1 הוא לא ממידה אפס, אבל } [, 1] { היא כן ממידה אפס. 14

105 11 תרגול נפח (ג ורדן ומידת (לבג קבוצת קנטור K 1 K \ [ 1 הגדרה נבנה את הקבוצה כך ש [ 1,] K, בקטע הבא נוריד את שליש הקטע כך ש 2 [3 3, ] [ וכך הלאה לכל תת קטע בתוך הקבוצה., 1 [ 2 3 3, 1] C נקראת קבוצת קנטור. הקבוצה n k n איור 11.3: קבוצת קנטור תכונות: 1. C סגורה ולמעשה קומפקטית.. C C ולכן C.2.3 כל נקודה ב C היא נקודה הצטברות, כלומר לכל x C יש {x n } C כך ש x x n ולכל n N מתקיים כי.x n x. C ℵ.4 5. לקבוצת קנטור מידה אפס ולמעשה נפח אפס. הוכחה: נוכיח את התכונות: 1. C הוא החיתוך של k n וכל k n היא סגורה, וכיוון ש C סגורה וחסומה אז היא קומפקטית. 2. (וגם עבור 3 ו 4 הבסיס הטבעי לקבוצת קנטור הוא בסיס 3 אם עובדים בבסיס 3, כלומר כל [1,] x נכתוב.a n {, 1, 2} כאשר x a n בתור n1 3 n נבנה פונצקציה f : C [, 1] {, 2} N ע י f (x 1 2 x n1 n1 a n 3 n h : {, 2} N C h ({a i } a i 3 i 15 a n 2 n {a i}

106 11 תרגול נפח (ג ורדן ומידת (לבג h היא חח ע ועל (אם כי צריך לפתור את הבעייה כאשר , אך נתעלם מכך כרגע. a n {, 2}, x a n ואז לכל > ɛ בכדור ɛ B (x, ɛ (x ɛ, x + אפשר למצוא יהי n1 3 n.x C.x ɛ B (x, כך ש ( ɛ x ɛ C 1 נבחר n כך ש ɛ < ואז ניקח מספר שזהה ל x עד הספר ה N ובספר ה 1 + N שווה ל 1, ואז 3 N 1 x ɛ n1 b n 3 n, b n { a n n N n N + 1 d (x, x ɛ x x ɛ a N+1 3 N+1 b N+1 3 N N+1 < ɛ אבל אז b n C וגם a n m n.a n m 2 m n 2 m n x n a n m כאשר 3. נעזר בסעיף הקודם, ונגדיר 1m 3 m ( 2 n ולכן סכום ה נפחים הוא n C k ו k n n הוא אוסף של 2 n קטעים שאורך כל אחד מהם הוא הערה ניתן לבנות את קבוצת קנטור גם במימדים > 1 n. למשל ב 2 n ניתן לחלק ריבוע ל 9 חלקים שווים ולשמור רק את החלקים בפינות הריבוע. איור 11.4: קבוצת קנטור בדו מימד 16

107 12 תרגול נפח של גרף של פונקציה טענה f : S R n R רציפה, S קומפקטית, אזי ל Γ f {(x, f (x x S} R 2 יש מידה אפס. הוכחה: תהי A תיבה המכילה את S. מכיוון ש S קומפקטית, f רציפה במ ש, ולכן לכל > ɛ יש בכל נקודה שאם. f (x f (y < אז x y < ו δ x, y S ɛ V ol(a. P {A i } L תהי P חלוקה של התיבה A, כאשר diam (A i sup x,y Ai { x y } < ונבחר חלוקה מספיק עדינה כך ש δ V ol (A L טענה i vol (A לכל i L 1. [ a i, a i + δ ] [ a i + 2n δ 2N, a i + 2δ ] [b ] i, b i 2N A n ולכן הוכחה: ] i [a i, b δ וכך גם הקוטר [ והנפח של קוביה כזו קטן ממש ממש (ממש! מ N ] N a i + kiδ 2N, a i + (k+1iδ 2N תיבא היא מהצורה כאשר.N > n עתה נוכך לכתוב כי L [ ] Γ f A i min f (x, max f (x x A i S x A i,a i S vol (Γ f < L,A i S vol ( [ ] A i min f (x, max f (x x A i S x A i S L ( vol (A i min f (x max f (x x A i S x A i S,A i S L ɛ vol (A i vol (A,A i S ɛ L vol (A i ɛ vol (A אבל אז מתקיים כי 12 תרגול הגדרה A R n 12.1 קבוה כלשהי. שדה וקטור ה A הוא פונקציה.f : A R n הדרישה היחידה היא שהמימד בתחום ובטוו יהיה זהה. 17

108 12 תרגול דוגמא: איך נצייר?f : R n R עבור f : R R הוא פשוט גרף של פונקציה. עבור 2 f : R אז נקבל משטח תלת מימדי איור 12.1: שדה סקלרי דו מימדי (y f,x ובציור נוכל לתאר את f כוקטורים עבור שדות ממימדים גדולים יותר נקבל משטח ב 4 מימדים. ( y, x דוגמא: נסתכל על f : R 2 \ {} R 2 אז x 2 +y 2 x 2 +y 2 היוצאים מנקודות במרחב. איור 12.2: שדה וקטורי הגדרה A R n 12.2 קבוצה כלשהי. f : A R n שדה וקטורי, γ : [a, b] A מסילה. T {t i } m נאמר כי האינטגרל המסילתי של f לאורך γ קיים ושווה ל I אם לכל > ɛ קיים > δ כך שלכל חלוקה 18