التفسير الهندسي للمشتقة

Transcript

1 8 5 األدبي الفندقي والياحي المنير في الرياضيات الأتاذ منير أبوبكر التفير الهندي للمشتقة من الشكل نلاحظ أنه عندما تتحرك النقطة ب من باتجاه أ حتى تنطبق عليها فإن القاطع أب ينطبق على مما المنحنى عند النقطة ب ونكتب : "ص ق )( " ميل المما نها " 5y أي أن ميل المما لمنحنى الاقتران هو المشتقة الاولى للاقتران يطلب في بعض المائل إيجاد معادلة المما المار بالنقطة ) 1 ص 1 ( : ؤال كتاب : ص ص 1 م) 1 ( فجد ميل المما لمنحنى الاقتران ق عند النقطة ) -( إذا كان ق)( ميل المما ق )( م ق ) ( y ق )( 1 ق ) ( + جد معادلة المما لمنحني الاقتران : ق)( عندما 1 ميل المما م ق )( 6 + عندما y 1 م )1(6 + 8 معادلة المما : ص ص 1 م) 1 ( - + -)1( + نوجد ص 1 كما يلي : ص 1 ق) 1 ( )1( ص 8 )- 1 ( y ص )1(5 فجد معادلة المما لمنحنى الاقتران ق عندما 1 إذا كان ق)( ) +1( + y ق ) 1 ( )1(5 + م ق ) 1 ( y ق )( ) + )1 5 معادلة المما : ص ص 1 م) 1 ( نوجد ص 1 صy 1 ق) 1 ( )1(( )1+ 5 ص 5 8 ) )1 (1) 5 - ص

2 5 5 ) األدبي الفندقي والياحي المنير في الرياضيات الأتاذ منير أبوبكر ؤال كتاب : - إذا كان ق)( أ + حيث أ عدد ثابت وكان ميل المنحني عندما ياوي فجد قيمة الثابت أ 5 y 5 ق ) ( أ) ( + y ق )( أ + م ق ) ( y 18 أ 5 6 أ y 5 6 أ + مثال: إذا كان ق)( فجد معادلة المما لمنحنى الاقتران ق عندما ) ) +1()(- ) + () )1+ م ق ) 1 ( y ق )( ))1(()+)1(( -)()1+ )1(( )1+ )1(( ق ) 1 ( معادلة المما : ص ص 1 م) 1 ( )1( ق) 1 ( نوجد ص 1 1 صy ص - 1 ) )1 - + ص إذا كان ق)( فجد ميل المنحنى للاقتران ق عندما م ق ) 1 ( + 8 ق )( )1(8+ 5 )1(0 ق ) 1 ( 0 )1(5+ ق) 1 ( )1( 0 1 معادلة المما : ص ص 1 م) 1 ( 1 ص صy صy )1 10 ) 1 ص -8 (2)

3 ن أ األدبي الفندقي والياحي المنير في الرياضيات الأتاذ منير أبوبكر التفير الفيزيائي للمشتقة الرعة اللحظية هي المشتقة الأولى للمافة ف)ن( بفرض المافة ف في اللحظة ن هي ف)ن( فإن الرعة اللحظية تعطى بالعلاقة : ع)ن( ف )ن( إذا تحرك جيم بحيث كان بعده عن نقطة الأصل بالأمتار بعد ن ثانية معطى بالعلاقة : ن + فاحب رعة الجيم بعد مرور ثانيتين من بدء الحركة ف)ن( ن ن + المافة ف)ن( ن الرعة ع)ن( ف )ن( 6 ن الرعة بعد مرور ثانيتين ع) ( )(6 1 ؤال كتاب : تحرك جيم بحيث كان بعده عن نقطة الاصل بالامتار بعد ن ثانية من بدء الحركة معطى بالعلاقة : إذا كانت رعته المتوطة في الفترة الزمنية [5 أ] تاوي رعته اللحظية بعد مرور ف)ن( ن ثوان فجد قيمة أ الرعة اللحظية ع)ن( ف )ن( 5 ن y ف ) ( 5)( 1 ف)ن ( ف- )ن 1 ( 1 الرعة المتوطة ع 1k- k 1 أ yأ 6 )5( - أ) ) y 1 أ -5 ؤال كتاب : +5 يمثل المافة التي يقطعها جيم بالامتار بعد ن ثانية فجد الرعة إذا كان ف)ن( ) ن ( المقطوعة بعد مرور 5 ثوان من بدء الحركة عندما يطلب الرعة المقطوعة فالمقصود هنا الرعة اللحظية ع)ن( ف )ن( ) y ع) 5 ( )5(( )- 18 )- ()

4 ن ن 5 ن ن 5 ن 6 ن 8 ن ن 6 األدبي الفندقي والياحي المنير في الرياضيات الأتاذ منير أبوبكر التارع اللحظي لجيم متحرك هو المشتقة الاولى للرعة اللحظية للجيم او المشتقة الثانية للمافة التي يقطعها الجيم أي : ت)ن( ع )ن( ف )ن( يتحرك جيم وفق العلاقة : ف)ن( +6 حيث ف المافة التي يقطعها الجيم بالأمتار + ن الزمن بالثواني جد تارع الجيم بعد مرور ثانيتين من بدء الحركة المافة ف)ن( ن الرعة ع)ن( ف )ن( 6 ن + التارع ت)ن( ع )ن( ف )ن( 1 ن+ 8 ت) ( 8+ 1 م /ث يتحرك جيم وفقا للعلاقة : ف)ن( ن + احب رعة الجيم عندما ينعدم تارعه ع)ن( ف )ن( 6 ن ت)ن(ع )ن( 1 ن y6 ت)ن( 5 1 ن y 6 5 y ن ) (6 ) (6 ) 1 ع) إذا مثل الاقتران ف )ن( المافة التي يقطعها جيم بالامتار بعد ن ثانية من بدء حركته وكان 1 ن + 0 فما رعة هذا الجيم عندما يكون تارعه 5 م /ث y 6yن ن ف)ن( ن ع)ن( ن ت)ن( ع )ن( 6 ن - y عندما ت)ن( y 5 1 )1(- ع) 1 ( )1( (4)

5 ن 8 ن ن األدبي الفندقي والياحي المنير في الرياضيات الأتاذ منير أبوبكر ؤال كتاب : y ن 8 ع)ن( ف )ن( ن y عندما ن 5 y ع) 5()5 ( 8 ف)ن( ف- )5( ن y8 ن 5- k y 8 5- k ع مثال: ن + 5 حيث ف المافة بالامتار ن الزمن بالثواني جد يتحرك جيم وفق العلاقة ف)ن( ن رعة هذا الجيم عندما يصبح تارعه 1 م /ت - ع)ن( ف )ن( ن ت)ن( ع )ن( 6 ن عندما ت)ن( 1 6 ن y 1 y ن 1 15 م /ث ع) ( )( ن + 10 حيث ف المافة بالامتار ن الزمن يتحرك جيم على خط متقيم وفق العلاقة ف)ن( ن بالثواني جد تارع هذا الجيم عندما تصبح رعته م /ث y 5 ن y1 ع)ن( ف )ن( ن ع)ن( y y - - y ن ± إما ن - مرفوض أو ن ت)ن( ع )ن( 6 ن y ت) ( )(6 1 م /ث + 0 ن + 1 حيث ف المافة التي يقطعها الجيم بالأمتار ن يتحرك جيم وفق العلاقة ف)ن( ن الزمن بالثواني جد رعة الجيم عندما يصبح تارعه 6 م /ث الحل ع)ن( ف )ن( ن +0 ت)ن( ع )ن( 6 ن y ت)ن( 6 6 ن y 6 y ن 1 ث 0+ 8 م /ث ع) 1 ( )1( (5)

6 األدبي الفندقي والياحي المنير في الرياضيات الأتاذ منير أبوبكر التزايد والتناقص المختصر المفيد في التزايد والتناقص : تطبيقات الاشتقاق لإيجاد التزايد والتناقص للاقتران ق نقوم بالخطوات التالية : 1- نشتق الاقتران ق)( - نجعل المشتقة ماوية للصفر أي ق )( صفر ثم نوجد قيم - ندر إشارة المشتقة الاولى حول أصفار هذه المشتقة 5- عندما ق )( > صفر )أي موجبة( يكون الاقتران متزايد ضمن هذه الفترة وعندما ق )( < صفر )أي البة( يكون الاقتران متناقص ضمن هذه الفترة كيف ندر إشارة المشتقة الاولى للاقتران : نرم خط الأعداد للمشتقة الأولى ونعين عليه أصفار المشتقة الأولى : بفرض الأصفار 1 ثم نأخذ قيم مفترضة من كل فترة ونعوض في المشتقة الاولى فإن كان الناتج البا وضعنا إشارة الب ضمن هذه الفترة على خط الاعداد وإن كان موجبا وضعنا إشارة موجب ضمن هذه الفترة على خط الأعداد ثم نرم أهم التزايد والتناقص ل ق ق ونكتب مايلي : يكون الاقتران ق متناقص خلال الفترة )-l 1 ] ويكون الاقتران ق متزايد خلال الفترة ] 1 ] وكذلك يكون الاقتران ق متناقص خلال الفترة ] l( إذا خط الأعداد يقم إلى ثلاثة أقام : خط الاعداد ل ق عليه أصفار المشتقة الإشارات الالبة والموجبة ل ق الناتجة بعد التعويض أهم التزايد والتناقص ل ق ( انتبهوا ل ق ولي ل ق ) l- l ق معلومة ابقة لأوانها : لاحظوا من خلال أهم التناقص والتزايد توجد قيعان وقمم النقطة عند رأ القاع تمى قيمة صغرى محلية ( عندها تتحول إشارة المشتقة من البة إلى موجبة ) النقطة عند رأ القمة تمى قيمة عظمى محلية )عندها تتحول إشارة المشتقة من موجبة إلى البة ) (6)

7 األدبي الفندقي والياحي المنير في الرياضيات الأتاذ منير أبوبكر مثال: جد فترات التزايد والتناقص للاقتران : ق)( l أولا : نشتق ق)( y ق )( + 5 ثانيا : نجعل ق )( صفر y + 5 صفر y 5- y - ثالثا : ندر إشارة ق حول : نأخذ قيمة أقل من - )>- ( ولتكن - ونعوض في ق فنجد : ق )- ( )-( < صفر يكون الاقتران متناقص خلال هذه الفترة نأخذ قيمة أكبر من - ( < -( ولتكن صفر ونعوض في ق فنجد : ق ) 5 ( )5( +5 5 > صفر يكون الاقتران متزايد خلال هذه الفترة ق نرم خط الأعداد : 2- l يكون الاقتران ق منتاقص خلال الفترة )- l -] ويكون الاقتران ق متزايد خلال الفترة ] - l( ) مثال: جد فترات التزايد وفترات التناقص للاقتران ق)( ) 58 ق)( 58 ق )( 58 y 16 ± 5 ق )( صفر 58 y صفر 58 y y ندر إشارة ق من خلال خط الأعداد l l )l 5+ ] [5- يكون الاقتران ق متناقصا في الفترتين )-l [5+ 5- ويكون الاقتران ق متزايد خلال الفترة ] ()

8 ) األدبي الفندقي والياحي المنير في الرياضيات الأتاذ منير أبوبكر ؤال كتاب : اعتمادا على الشكل الذي يمثل منحنى الاقتران ق المعرف على مجموعة الأعداد الحقيقية ح جد فترات التزايد والتناقص للاقتران ق. نلاحظ من المنحنى ما يلي : يكون الاقتران ق متناقص خلال الفترة )-l 5] ويكون الاقتران ق متزايد خلال الفترة ] 5 +] ويكون الاقتران متناقص خلال الفترة ] + l( 5 مثال : إذا كان ق)( جد مجالات التزايد والتناقص للاقتران ق)( 5 ) ق)( ) )5-5 ( - ( ق )( ) صفر )5-5 ( - ( ق )( صفر ) y ± y صفر y 5 صفر y )5-5 ( ( ندر إشارة ق من خلال خط الأعداد l- - + l )l + ] [- يكون الاقتران ق متزايدا في الفترتين )-l [+ - ] ويكون الاقتران ق متناقص خلال الفترة (8)

9 األدبي الفندقي والياحي المنير في الرياضيات الأتاذ منير أبوبكر يوجد نوعين للقيم القصوى : القيم القصوى ق)( _ أولا : قيمة عظمى محلية هي ق) 1 ( عند النقطة الحرجة ) 1 ق) 1 ( 1 ثانيا : قيمة صغرى محلية هي ق) 1 ( عند النقطة الحرجة ) 1 ق) 1 ( _ لايجاد القيم القصوى للاقتران ص ق)( نقوم بما يلي : 1- نشتق الاقتران ق)( - نجعل المشتقة ماوية للصفر أي ق )( صفر ثم نحل المعادلة ونوجد قيم - ندر إشارة المشتقة الاولى حول أصفار هذه المشتقة 5- إذا تغيرت إشارة المشتقة الاولى عند نقطة معينة من موجبة إلى البة فإن هذه النقطة تمثل قيمة عظمى محلية للاقتران ق وإذا تغيرت إشارة المشتقة الاولى عند نقطة معينة من البة إلى موجبة فإن هذه النقطة تمثل قيمة صغرى محلية للاقتران ق + 1 ق)( مثال: + 1 جد النقط والاعداد الحرجة والقيم القصوى المحلية )إن وجدت( للاقتران ق)( ق )( - 5 y y 1 ق )( صفر y ق)( توجد قيمة حرجة عند 1 يوجد للاقتران قيمة صغرى محلية عندما صفر وأن قيمتها هي ق) 1 ( )1( Ε النقطة الحرجة هي ( 1 ق) 1 (( 1( )5 والقيمة الصغرى المحلية هي ق) 1 ( 5 l ق )( l- 1 (9)

10 األدبي الفندقي والياحي المنير في الرياضيات الأتاذ منير أبوبكر ليكن ق)( - جد القيم العظمى والصغرى إن وجدت y )- ()+ 1 ( 5 ومنه ق )( ق )( 5 y - صفر + 1 صفر 1- توجد أعداد حرجة عندما النقط الحرجة هي : ( ق) (( 1-( ق)- 1 (( )(- )( - ق) ( )( )1-(- )1-( - ق)- 1 ( )1-( هي ق) ( من جدول الإشارات نلاحظ أن للاقتران ق قيمة عظمى محلية عندما -1 هي 5 6 ق)- 1 ( وقيمة صغرى محلية عندما ق)( ق )( l- l 1-5 y ± 1 جد القيم العظمى والصغرى )أن وجدت( للاقتران ق)( y 5 1- y 5 ق )( y 1- ق )( توجد اعداد حرجة عندما - النقط الحرجة هي )- ق)- (( ( ق) (( )-(1- ق)- ( )-( ق )( )(1 ق) ( )( l l- 2- توجد قيمة عظمى محلية عندما - هي ق)- ( 16 2 توجد قيمة صغرى محلية عندما هي ق) 16-) ق)( (11)

11 6 األدبي الفندقي والياحي المنير في الرياضيات الأتاذ منير أبوبكر ؤال كتاب : ق)( قيم الحرجة هي 0 لان ق ) ( ق ) 0 ( هي قيم حرجة ق )( نرم خط الاعداد بناءا على منحنى ق )( ونلاحظ أن الاقتران ق يكون متناقص في الفترتين l- 2 5 l ) l 0] [ l-( ويكون متزايد في الفترة ] [ 0 كذلك من جدول الإشارات نلاحظ وجود قيمة صغرى محلية عند هي ق) ( وتوجد قيمة عظمى محلية عند 0 هي ق) 0 ( ملاحظة هامة : من منحنى ق)( فإن الفرع الذي يكون تحت محور الينات يكون الب على خط أعداد ق )( والفرع الذي يكون فوق محور الينات يكون موجب على خط أعداد ق )( ؤال كتاب : 1 أ +5 قيمة حرجة عندما فجد قيمة الثابت أ إذا كان للاقتران ق)( ق )( 6 أ ق )( صفر أ صفر yأ 6 بما أن ق ) ( صفر أ ي عندما y أ 6 (11)

12 6 األدبي الفندقي والياحي المنير في الرياضيات الأتاذ منير أبوبكر اختبار المشتقة الثانية للقيم القصوى : عندما نلجأ لاختبار المشتقة الثانية للقيم القصوى فلا داعي لرم جدول الإشارات للمشتقة الاولى ويتلخص اختبار المشتقة الثانية كما يلي : نقوم بإيجاد المشتقة الأولى للاقتران ق ونجعلها ق )( صفر وبالتالي إيجاد قيم الحرجة بفرض ج ثم نقوم بإيجاد المشتقة الثانية وتعويض قيم الحرجة بها فإذا كانت ق )ج( > صفر فإن ق)ج( هي قيمة صغرى محلية للاقتران ق وإن كانت ق )ج( < صفر فإن ق)ج( هي قيمة عظمى محلية للاقتران ق + مثال: باتخدام اختبار المشتقة الثانية جد القيم القصوى المحلية )إن وجدت( للاقتران ق)( ق )( 1 y ± 1 ق )( صفر y صفر y y ق )( 6 y ق )-1( < صفر توجد نهاية عظمى محلية للاقتران ق )1-( عندما - 1 هي ق)- 1 ( )-1( كذلك ق )1( > صفر توجد نهاية عظمى محلية للاقتران ق عندما 1 هي ق) 1 ( )1( - )1( صفر - إذا كان ق)( ق )( 1 ق )( صفر 1 y ق )( - فجد القيم العظمى والصغرى )إن وجدت( للاقتران ق 1 5 y ± صفر y y ق ( - ) > صفر توجد قيمة صغرى محلية عندما هي ق)- ( - 1 )-( ق )( -6-1 < صفر توجد قيمة عظمى محلية عندما هي ق) ( 1 )( ( 12)

13 األدبي الفندقي والياحي المنير في الرياضيات الأتاذ منير أبوبكر y تطبيقات تطبيقات على القيم القصوى معلومات عامة تفيد في حل المائل : ماحة المربع الضلع الضلع محيط المربع الضلع 5 ماحة المتطيل الطول العرض محيط المتطيل )الطول + العرض ) ماحة المثلث ( القاعدة الارتفاع ) محيط المثلث مجموع أضلاعه حيث نق نصف قطر الدائرة ماحة الدائرة t نق محيط الدائرة t نق حجم المكعب الطول العرض الارتفاع حجم متوازي المتطيلات الطول العرض الارتفاع ملاحظة هامة في حل المائل : في هذه المائل يقم الؤال إلى قمين : القم الاول : هو قم المعطيات الذي على أاه نضع الفرضيات مثلا : ما العددان الموجبان اللذان مجموعهما y 05 هذه هي المعطيات نفرض العدد الاول والعدد الثاني ص ثم نوجد ص بدلالة فيكون ص 05 الفرضيات القم الثاني : الطلبات والتي على أاها نشكل المعادلة تتمة للمثال الابق : وحاصل ضربهما أكبر ما يمكن y هذه هي الطلبات بفرض ح حاصل ضربهما تكون المعادلة : ح ) 05 ) هذه هي المعادلة إذا كان الطلب في المألة هو) أكبر مايمكن ) نبحث عن قيمة عظمى محلية وإذا كان الطلب في المألة )أصغر ما يمكن ) نبحث عن قيمة صغرى محلية هذه هي (1)

14 ص ص 65 ص الأتاذ منير أبوبكر المنير في الرياضيات األدبي الفندقي والياحي مثال: ما العددان الصحيحان الموجبان اللذان مجموعهما 65 وحاصل ضرب احدهما في مربع الاخر أكبر ما يمكن ونفرض العدد الثاني ص فيكون + ص 65 y 65 ص- نفرض العدد الاول 65( - ص( ص ح ص بفرض ح هو حاصل ضرب أحدهما بمربع الآخر ح)( -65( ص( ص y ح)ص( ص ح )ص( 15 ص y ح )ص( 15 ص y 5 إما ص 5 مرفوض او ص 55 y 5 ص) 15 - ص( 5 ح )ص( -15 ص 6 y ح )55( 15 )55( <15- صفر توجد قيمة عظمى محلية عند ص 55 Ε العدد الاول ص 55 والثاني ما العددان الصحيحان الموجبان اللذان مجموعهما 58 وحاصل ضربهما أكبر ما يمكن بفرض العدد الاول والثاني ص وبما أن + ص 58 فيكون ص 58 بفرض ح هو حاصل جداء العددان : ح )( ص ( 58 ( y ح)( 58 y ح )( صفر 58 y 5 y 5 نختبر المشتقة الثانية ح )( 58 ح )( - < صفر توجد قيمة عظمى محلية عندما 5 Ε العدد الاول 5 والعدد الثاني إذا كان مجموع طول ضلعي القائمة في مثلث قائم الزاوية ياوي نفرض طول الضلع القائمة الاولى ماحة المثلث القائم )طول ضلعي القائمة ) م ) 55 - ( 5-55 م فجد أكبر ماحة ممكنة للمثلث وطول الضلع القائمة الثانية ص فيكون ص 55 م 5 y م صفر 5 y 5 y 5 نختبر المشتقة الثانية ( 14)

15 5 األدبي الفندقي والياحي المنير في الرياضيات الأتاذ منير أبوبكر < صفر توجد قيمة عظمى محلية عندما 1- م 5 م م والثاني Ε طول ضلغي القائمة الاول قطعة أرض متطيلة الشكل محيطها 655 م ما بعدا قطعة الأرض اللذان يجعلان ماحتها أكبر ما يمكن بفرض أبعاد المتطيل ص ماحة المتطيل )م( الطول العرض محيط المتطيل )الطول + العرض ) ص 655 )+ص( + ص y ص 55 الماحة : م 55( ) 55 م 55 عندما م صفر 55 y 5 y 105 نختبر المشتقة الثانية م - < صفر توجد نهاية عظمى عندما 105 Ε الماحة أكبر ما يمكن عندما 105 م ص م يملك مزارع قطعة أرض تقع على ضفة نهر متقيم فإذا اشترى المزارع 55 متر من الألاك الشائكة فما أبعاد أكبر جزء متطيل من قطعة الأرض يمكن تييجه بها من دون تييج البعد الواقع على ضفة النهر بفرض أبعاد المتطيل هي ص المحيط مجموع أطوال الأضلاع الميجة ص 55 + ص + + ص ومنه - 55 الماحة الطول العرض y م 5 55 y 5 5 y 50 نختبر المشتقة الثانية م )55 - ( 55 م 55 م -5 < صفر توجد قيمة عظمى محلية عندما 50 Ε الماحة أكبر ما يمكن عندما 105 م ( 15) ص 55 )50(- 105 م ص

16 6 6 األدبي الفندقي والياحي المنير في الرياضيات الأتاذ منير أبوبكر صندوق على شكل متوازي متطيلات قاعدته مربعة الشكل ومجموع أبعاده الثلاثة 15 م جد أبعاده التي تجعل حجمه أكبر ما يمكن حجم الصندوق ( ح( الطول العرض الارتفاع نفرض أبعاد الصندوق : ص) الطول العرض لأن القاعدة مربعة( ح ص ص ولكن حب الفرض + + ص 15 y + ص 15 ص 15 ح )( ) -15 ( 15 y5 6 ) 55 ( y 5 ح )( 55 عندما ح )( صفر 55 y أما 5 مرفوض لأنه طول 55 نختبر المشتقة الثانية ح )( 55 1 ح )5( 55< صفر قيمة صغرى محلية مرفوض لأنه المطلوب أكبر ما يمكن ح )55( <55- صفر توجد قيمة عظمى محلية عندما 55 الحجم أكبر ما يمكن عند 55 م ص م 05 صحيفة ورقية متطيلة الشكل ماحتها 05 م يراد طباعة إعلان عليها إذا كان عرض كل هامش في رأ الورقة وأفلها 1 م وفي كل جانب 5.0 م فجد بعدي الورقة اللذين يجعلان الماحة المطبوعة أكبر مايمكن نفرض بعدي الصحيفة الورقية ص فيكون بعدي منطقة الطباعة : ص 1 ماحة منطقة الطباعة م ) - ()ص 1( نوجد ص من ماحة الصحيفة الورقية 05 ص y ص ( 16)

17 y األدبي الفندقي والياحي المنير في الرياضيات الأتاذ منير أبوبكر )1 م )( )- () م )( y y y 5 م )( م )( مرفوض لأنه طول ولايجوز ان يكون الب م )15( 55 < صفر توجد قيمة عظمى محلية عندما م ومنه ص تكون الماحة المطبوعة أكبر ما يمكن عندما بعدا الورقة 15 م 0 م أراد إبراهيم أن يفتح نافذة متطيلة في جدار إحدى غرف منزله بحيث يكون محيط النافذة 6 م جد بعدي النافذة اللذين يمحان لاكبر كمية ممكنة من الضوء بدخول الغرفة نفرض بعدي النافذة ص محيط المتطيل ) الطول + العرض( 6 ( +ص( y + ص y ص ماحة النافذة م ص م )( ( ) م )( م )( 5 y 5 y y م )( - < صفر توجد قيمة عظمى محلية عندما نختبر المشتقة الثانية م م - ص بعدي النافذة اللذين يمحان لأكبر كمية من الضوء بدخول الغرفة : م م ص ( 1)

18 1 - م 2 مثال: األدبي الفندقي والياحي المنير في الرياضيات الأتاذ منير أبوبكر حجم العلبة الطول العرض الارتفاع بفرض أبعاد العلبة 1 1 ح )( ) -1 () -1 ( ح)( ) 1 - ) 1 ح )( -1( ( - +)1 - ( نقم على ح )( ح )( صفر y صفر y )- 6 ()- ( 5 ومنه ق )( 6 من جدول الإشارات نلاحظ 6 مرفوض لأن عندها قيمة صغرى محلية ق )( عندها قيمة عظمى محلية قيمة التي يكون حجم العلبة أكبر l- l ما يمكن هو يراد تصميم بركة قاعدتها متطيلة الشكل وماحتها 6 م ثم إحاطتها بممر خارجي منتظم عرضه متران جد أبعاد البركة المراد تصميمها بحيث تكون الماحة الكلية للبركة والممر أقل ما يمكن بفرض أبعاد البركة دون الممر ص فتكون أبعاده مع الممر + 5 ص+ 5 من الفرض 6 ( 18) 6 ص y ص

19 م 6 5 األدبي الفندقي والياحي المنير في الرياضيات الأتاذ منير أبوبكر )5+ 6 ماحة البركة مع الممر : م )( )+ 5 ()ص+ 5 ( )+ 5 () م )( م )( عندما م )( صفر l y y y 6 6- مرفوض - 5 من جدول الإشارات نلاحظ وجود قيمة صغرى محلية عندما أبعاد البركة المراد تصميمها والتي تكون عندها أصغرما يمكن l 6 6 هي : 6 م ص ق )( ق )( ( 19)

20 5 5 األدبي الفندقي والياحي المنير في الرياضيات الأتاذ منير أبوبكر بفرض أن : ك)( :التكلفة الكلية د)( الإيراد الكلي ر)( الربح تطبيقات اقتصادية على التفاضل د)( ر)( + ك)( وهي المشتقة الاولى للتكلفة الكلية) معدل التغير في التكلفة ) ك )(التكلفة الحدية وهو المشتقة الاولى للإيراد الكلي )معدل التغير في الإيراد( د )( الإيراد الحدي وهو المشتقة الأولى للربح ( معدل التغير في الربح ) ر )(الربح الحدي د )( ر )( + ك )( لحفظ القانون : احفظوا كلمة ( درك (بعد الدال ضعوا )( بعد الراء ضعوا )+(فيكون)د ر+ ك( الربح الإيراد الكلي التكلفة الكلية y ر)( د)( ك )( ولكن د )( ) ر)( ( ر)( ر)( 6 ر )( 56 - نجعل ر )( y 56 y 58 نختبر المشتقة الثانية ر )( - < صفر توجد قيمة عظمى محلية عندما 58 Ε يكون الربح أكبر ما يمكن عندما يبيع المصنع 58 ثلاجة ملاحظة هامة : الإيراد الكلي دائما هو عدد القطع ( لعبة ثلاجة جهاز ( بتكلفة القطعة الواحدة (21)

21 5 األدبي الفندقي والياحي المنير في الرياضيات الأتاذ منير أبوبكر الربح الإيراد الكلي التكلفة الكلية ) ( ر)( ر)( 5-5 نجعل ر )( صفر 5 ر )( 0 نختبر المشتقة الثانية y 5 5 y ر )( < صفر توجد قيمة عظمى عندما 0 يكون الربح أكبر ما يمكن عندما وحدات مبيعة الإيراد الكلي 85 الربح الإيراد الكلي التكلفة الكلية ر)( ( ) نختبر المشتقة الثانية ر)( ر )( نجعل ر )( y ر )( < صفر توجد قيمة عظمى محلية عندما 0555 جهاز Ε يكون الربح أكبر ما يمكن عندما 0555 جهاز (21)

22 األدبي الفندقي والياحي المنير في الرياضيات الأتاذ منير أبوبكر الأئلة الربح الحدي )ر )(( المشتقة الأولى للربح الكلي ر)( د)( ك )( 55( 165 ( ر)( 85 + ر)( د)( ك)( حيث د)( )55 ( ر)( 55( ( ) 05 ) ر)( - ر )( نجعل ر )( صفر y 105 y 50 نختبر المشتقة الثانية ر )( - < صفر توجد قيمة عظمى محلية عندما 50 جهاز Ε يكون الربح الابوعي أكبر ما يمكن عندما 50 جهاز ر)( ر )( -85 ر)( د)( ك)( حيث د)( 05 (22)

23 8 8 األدبي الفندقي والياحي المنير في الرياضيات الأتاذ منير أبوبكر ر)( ( ) ر)( ر )( نجعل ر )( صفر صفر y 155 نختبر المشتقة الثانية ر )( - < صفر توجد قيمة عظمى عندما 155 Ε يكون الربح أكبر ما يمكن عندما 155 جهاز ر)( د)( ك)( ( 5 ( ر)( ر)( 0 ر )( - + ر)( د)( ك )( )10 ( ر)( ر)( - ر )( 5 نجعل ر )( صفر نختبر المشتقة الثانية y 5 6 y ر )( < صفر توجد قيمة عظمى محلية عند يكون الربح أعظم ما يمكن عندما 5 وحدة Ε تم حل هذه المألة في بداية الدر (2)

24 ن 6 م م ن 6 األدبي الفندقي والياحي المنير في الرياضيات الأتاذ منير أبوبكر ر)( د)( ك)( حيث د)( ) ( ر)( ر)( ر )( حل أئلة الوحدة الثالثة ع)ن( ف )ن( y 05 ن y 5 1 y 5 1 ع )ن( 6 ن عندما ع)ن( ث - مرفوض لأنه زمن ن ن ت)ن( ع )ن( 1 ن 6 م /ث 1 ت) ( م ع)ن( ف )ن( م)ن-ا( م ن 5 م 1 6 م y 1 y ع) 5 ( (24)

25 5 ص األدبي الفندقي والياحي المنير في الرياضيات الأتاذ منير أبوبكر نفرض بعدا المتطيل ص م ص ص 505 ص y ص 505 التكلفة ) (5+ ك )( ص y 5 نجعل ك )( ومنه ك )( 05 y مرفوض y ك )( > صفر توجد قيمة صغرى محلية عندما م م ص ك )05( Ε تكون الكلفة أقل ما يمكن عندما ق )( ق)( l- 1 4 l 5 y 5 ق )( y 5 نقم على y ق)( 6 ق )( 1-5 ومنه ) 5 ) إما أو ( 25)

26 6 6 6 األدبي الفندقي والياحي المنير في الرياضيات الأتاذ منير أبوبكر آ( نلاحظ من خط الاعداد أن الاقتران ق متناقص في الفترتين )-l l( [5 5] ومتزايد خلال الفترة [5 5] ب(ومن جدول الإشارات نلاحظ وجود قيمة صغرى محلية عند 5 هي ق) 5 ( 5 وقيمة عظمى محلية عند 5 هي ق) 5 ( ر)( د)( ك )( ) ( ر)( - 5. ر)( ر )( أ(ق )( 6-5 ق )( 5 - y 1-5 نقم على 6 y )- ()+ 1 ( 5 ومنه -1 نختبر المشتقة الثانية ق )( 1-6 ق )-1( < صفر توجد قيمة غظمى محلية عند -1 هي ق)- 1 ( 1 ق )( > صفر توجد قيمة صغرى محلية عند هي ق) ( 10-1 ومنه 1-1 نختبر المشتقة الثانية 5 y ب(ق )( ق )( 5 y ق )( 6 ق )-1( < صفر توجد قيمة غظمى محلية عند -1 هي ق)- 1 ( ق )1( > صفر توجد قيمة صغرى محلية عند 1 هي ق) 1 ( 0 ( 26)

27 6 األدبي الفندقي والياحي المنير في الرياضيات الأتاذ منير أبوبكر ميل المما يمثل المشتقة الاولى للاقتران + - ) ق )( ) ق )( 5 16 وهو ميل المما ق ) 1 ( معادلة المما : ص م) 1 ) ص 1 5 ق) 1 ( 1 عندما 1 فإن ص ( ومنه ص ص ) نفرض العدد الاول والثاني ص + ص 05 y ص 05 ج )( ص y ج )( )05- ( y ج )( 05 ج )( 05 نجعل ج )( y 05 y 0 نختبر المشتقة الثانية ج )( - < صفر توجد قيمة عظمى محلية عند 0 Ε يكون الجداء أكبر ما يمكن عند 0 ص ك )( 6 85 دينار 5 6 ك ) 5 ( 5 )5- (y 6 )5- (y6 )5- ( عندما y ± - 5 )5- ( عندما - y - 5 ( 2)

28 األدبي الفندقي والياحي المنير في الرياضيات الأتاذ منير أبوبكر أ أ ق )( 6 6 y1 أ yأ 5 1- y 5 ق ) ( عند 1 1- y 1 ) 5 y 1 1 ميل المما للاقتران المشتقة الاولى للاقتران ص ولكن ص (5 -( ص (5 ( -5) 5 5 y ق )( 5 y ق )( 5 y ق )( > صفر توجد قيمة صغرى محلية عندما 1 y 5 - y 5 ق )( - yق )( l- 1 l ( 28)

29 6 ن األدبي الفندقي والياحي المنير في الرياضيات الأتاذ منير أبوبكر عندما ت)ن( صفر y ع)ن( ف )ن( 1 ن ت)ن( ع )ن( 1 6 ن 1 6 ن 5 6y ن 1 y ن )( ف) ( )(6 6 نقم الطرفين على ق )( أ - أ ق ) 1 ( صفر أ 6 5 y أ أ عندما 1 y ( 29)