תרגול 1 חזרה טורי פורייה והתמרות אינטגרליות חורף תשע"ב זהויות טריגונומטריות

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "תרגול 1 חזרה טורי פורייה והתמרות אינטגרליות חורף תשע"ב זהויות טריגונומטריות"

Ενυώ Φιλιππίδης
6 χρόνια πριν
Προβολές:

α 3 si α si 3α) 4 3 α 3 α + 3α) 4 si 4 α 3 4 α + 4α) 8 4 α 3 + 4 α + 4α) 8 + α + α + 3α +... + α si+ )α si α si α + si α + si 3α +.

1 תרגול חזרה זהויות טריגונומטריות si π α) si α π α) α si π π ), Z si α π α) t α cot π α) t α si α cot α α α si α si α + α siα ± β) si α β ± α si β α ± β) α β si α si β si α si α α α α si α si α α α + α si α si β α β) α + β)] si α β siα + β) + siα β)] α β α + β) + α β)] si α α α + α si 3 α 3 si α si 3α) 4 3 α 3 α + 3α) 4 si 4 α 3 4 α + 4α) 8 4 α α + 4α) 8 + α + α + 3α α si+ )α si α si α + si α + si 3α si α α + )α si α e iα α + i si α e iα α + i si α, Z α eiα +e iα α eiα +e iα si α eiα e iα i si α eiα e iα i Leohrd Euer Abrhm De-Moivre

2 . השתמש בנוסחת Euer e iθ θ + i si θ ובזהות *) e ix+y) e ix e iy כדי לקבל את הזהויות הטריגונומטריות הבאות: ) siα + β) si α β + α si β b) siα β) si α β α si β c) α + β) α β si α si β d) α β) α β + si α si β e) si α + si β si ) α+β α β ) f) si α si β α+β α β ) si ) g) α + β α+β α β ) ) h) α β si α+β α β ) si ) i) si α si β α β) α + β)] j) si α β siα + β) + siα β)] k) α β α + β) + α β)] פתרון: מנוסחת Euer ושימוש בזהות,e ix+y) e ix e iy שקל לזכור אותה, נקבל: e iα±β) e iα e ±iβ ) ) α ± β) + isiα ± β) α + isi α β ± isi β ) ) α ± β) + isiα ± β) α β si αsi β + i si α β ± αsi β ומהשוואת חלק ממשי ומדומה נקבל את.,,b,c d הערה: למעשה הלכנו כאן "בכיוון הפוך". בדרך כלל מוכיחים את הנוסחה *) בעזרת נוסחאות ו c. ולכן : { x α+β y α β כלומר { α x + y β x y נבצע את שינוי המשתנים הבא : si α + si β six + y) + six y) si x y + x si y + si x y x si y ) ) si x y si si α si β six + y) six y) si x y + x si y si x y + x si y ) ) x si y si α + β x + y) + x y) x y si x si y + x y + si x si y ) ) x y α β x + y) x y) x y si x si y x y si x si y ) ) si x si y si si וקיבלנו את,e,f,g h ואת הזהויות,i,j k המתקבלות בשלב ביניים מתאים.

3 . חשב את האינטגרלים הבאים עבור :, m N si x si mx dx x mx dx { ; m π ; m א) { ; m π ; m ב) ג) dx si x mx si x si mx dx ] m)x + m)x dx פתרון: א) נניח m אזי: si x si mx dx si m)x si + m)x m + m si x dx ] x dx ונניח m אזי: x si x π x mx dx ] + m)x + m)x dx ב) נניח m אזי: x mx dx si + m)x si m)x + + m m x dx ] + x dx ונניח m אזי: x + si x ג) ניתן לחשב ישירות אבל כדאי ורצוי לשים לב כי במקרה זה האינטגרנד אי זוגי והקטע סימטרי ולכן : si x mx dx π 3

4 .3 חשב את האינטגרלים הבאים עבור :, m N si πx πx si mπx mπx dx dx si πx { ; m ; m א) { ; m ; m ב) mπx ג) dx פתרון: ניתן לפתור ישירות ע"י זהויות טריגונומטריות כמו בתרגיל.,, ], π] ו "dx πx או, לחילופין, ניתן לבצע החלפת משתנים : z ואז dz" π si πx πx si πx si mπx mπx mπx dx dx dx si z si mz π dz π z mz π dz π { ; m π ; m { ; m π ; m שוב נשים לב כי במקרה זה האינטגרנד אי זוגי ולכן : { ; m ; m { ; m ; m si πx ) πx ) si.4 חשב את האינטגרלים הבאים עבור :, m N ; m dx א) ; m mπx ) mπx ) si πx ) dx ; m ב) ; m mπx ) ג) dx "dx b π dz" ואז z πx ) b פתרון: שוב נבצע החלפת משתנים : ו π],, b], ונקבל: 4

5 si si πx ) πx ) πx ) si mπx ) mπx ) mπx ) dx dx dx π si z si mz π dz { ; m π ; m z mz π dz si z mz π dz ; m ; m ; m ; m 5. חשב את האינטגרלים הבאים: fx) si x dx, fx) א) x si x dx { ; x, ] x ; x, π] ב) ג) x si x dx ד) x x dx ה) si x x dx χ,p] x)e ix dx, χ,p] x) { ; x, p] ; x p, π] ו) π < p < π פתרון: x si x dx x x + א) נפתור ע"י אינטגרציה בחלקים : x dx )+ π fx) si x dx x si x dx )+ π ב) נפריד לתחומים: 5

6 ג) האינטגרציה על פונקציה אי זוגית בקטע סימטרי ולכן: dx x si x ד) האינטגרנד זוגי בקטע סימטרי ולכן נקבל : x x dx x x dx x ) ) si x 4 ; k ; k si x x dx ה) ניתן לפתור ישירות ע"י איטגרציה בחלקים או ע"י זהויות טריגונומטריות, אבל הכי פשוט לשים לב שהאיטגרנד הוא פונקציה אי זוגית בקטע סימטרי ולכן: si x x dx ו) הפונקציה,b] χ היא הפונקציה המציינת על הקטע b], כלומר x) χ,b] לכל x ב b], { ו x) χ,b] לכל x אחר. ux) Re φx) כמו כן חישוב אינטגרציה עבור פונקציה מרוכבת ux)+ivx) φx) כאשר vx) Im φx) x x ) ux) + ivx) dx : ux)dx + i x vx)dx מוגדר ע"י : x x x ובתרגיל הנתון : χ,p] e ix dx p x i si x)dx p p x dx i si x dx si x ] p i x ] p si p + i p i ) i e ip i ) 6

7 6. חשב את הסכומים הבאים עבור : x R א) si x ב) x פתרון: si x א) עבור : x πk עבור : x πk { N } { N } { } si x Im e ix Im e ix ) e ix e inx ) Im e ix } { {e in+)x e inx e inx ) Im Im e ix e ix Im { e in+)x } Nx si si x x e in+)x N+)x si si Nx si x NN + ) } Nx si si x x N + )x si x ב) עבור : x πk עבור : x πk x d N ) si x d x N + )x ) dx dx si x si x + N + ) sin + )x) si x x N + )x) x si x si x x + N + ) sin + )x si x + N + )x x si x + N sin + )x si x + sin + )x si x + N + )x x si x + ) N Nx N + )x + Nx si x + N + ) Nx N N + )x 4 si x 7

Σχετικά έγγραφα

חורף תש''ע פתרון בחינה סופית מועד א'

מד''ח 4 - חורף תש''ע פתרון בחינה סופית מועד א' ( u) u u u < < שאלה : נתונה המד''ח הבאה: א) ב) ג) לכל אחד מן התנאים המצורפים בדקו האם קיים פתרון יחיד אינסוף פתרונות או אף פתרון אם קיים פתרון אחד או יותר