חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי

Transcript

1 0 חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי I גיא סלומון

2 סטודנטים יקרים ספר תרגילים זה הינו פרי שנות ניסיון רבות של המחבר בהוראת חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי באוניברסיטת תל אביב, באוניברסיטה הפתוחה, במכללת שנקר ועוד. שאלות תלמידים וטעויות נפוצות וחוזרות הולידו את הרצון להאיר את הדרך הנכונה לעומדים בפני קורס חשוב זה. הספר עוסק בחשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי (חדו"א ) והוא מתאים לתלמידים במוסדות להשכלה גבוהה אוניברסיטאות או מכללות. הספר מסודר לפי נושאים ומכיל את כל חומר הלימוד, בהתאם לתוכניות הלימוד השונות. הניסיון מלמד כי ל תרגוּל בקורס זה חשיבות יוצאת דופן, ולכן ספר זה בולט בהיקפו ובמגוון התרגילים המופיעים בו. לכל התרגילים בספר פתרונות מלאים באתר הפתרונות מוגשים בסרטוני פלאש המלווים בהסבר קולי, כך שאתם רואים את התהליכים בצורה מובנית, שיטתית ופשוטה, ממש כפי שנעשה בשיעור פרטי. הפתרון המלא של השאלה מכוון ומוביל לדרך חשיבה נכונה בפתרון בעיות דומות מסוג זה. לדוגמאות: תקוותי היא, שספר זה ישמש מורה-דרך לכם הסטודנטים ויוביל אתכם להצלחה. גיא סלומון

3 תוכן פרק - פונקציה ממשית... פרק - גבול של פונקציה... פרק - רציפות של פונקציה, משפט ערך הביניים... פרק 4 - גזירות של פונקציה, הגדרת הנגזרת... פרק - 5 חישוב נגזרת של פונקציה... פרק - 6 בעיות משיקים... פרק - 7 כלל לופיטל... פרק - 8 חקירת פונקציה... פרק - 9 חקירת פונקציה ("שאלות מסביב" והוכחת אי שוויונים)... פרק - 0 מינימום ומקסימום מוחלטים לפונקציה... פרק - בעיות מקסימום ומינימום... פרק - פתרון משוואות (משפט ערך הביניים, משפט רול, משפט ניוטון רפסון)... פרק - משפט לגרנג'... פרק - 4 סדרות... פרק - 5 אינטגרלים מיידיים... פרק - 6 אינטגרלים כמעט מידיים בשיטת "הנגזרת כבר בפנים"... פרק - 7 אינטגרלים בשיטת אינטגרציה בחלקים... פרק - 8 אינטגרלים בשיטת ההצבה... פרק - 9 אינטגרלים של פונקציות רציונליות (פירוק לשברים חלקיים)... פרק 0 - אינטגרלים טריגונומטריים והצבות טריגומומטריות... פרק - האינטגרל המסויים (כולל אי שוויונים עם אינטגרלים וסכום רימן)... פרק - שימושי האינטגרל המסויים (חישוב שטח ואורך קשת)... פרק - שימושי האינטגרל המסויים (חישוב נפח ושטח מעטפת)... פרק - 4 המשפט היסודי של החדו"א (גזירת האינטגרל)... פרק - 5 אינטגרלים לא אמיתיים... נספח - דפי נוסחאות...

4 תרגילים - פרק פונקציה ממשית ( ) ( ) מצא את תחום ההגדרה של הפונקציות הבאות: 4+ y= y= y= ( ( 4 ( y= 4 (6 y= (5 y= (4 y= y= + y= + (9 (8 (7 + + y= e ( y= log + ( y= l( + ) (0 log y= cot 4 (5 y= t 0 (4 y= log ( + 4) ( y= rccos( + ) (8 y= rcsi( 4) (7 y= rct( + 4) (6 4. h( ) =, g( ) =, f ( ) = נתונות הפונקציות הבאות: 4 () () חשב את הפונקציות המורכבות הבאות: h( h( )) (6 f ( f ( )) (5 h( f ( )) (4 f ( g( )) ( h( g( f (5))) ( f ( g()) ( () בתרגילים הבאים הוכח שהפונקציה הנתונה היא חח"ע בתחום הגדרתה ומצא את הפונקציה ההפוכה לה. בנוסף מצא את התמונה של הפונקציה. + f ( ) = 4 ( 0) (4 f ( ) = ( f ( ) = ( f ( ) = ( (4) מצא איזה מבין הפונקציות הבאות הן אי זוגיות ואיזה זוגיות: (4 ( 4 0 ( 4 ( y= y= y= + y= y= y= + y= y= + si cos (8 l (7 (6 si (5 (5) מצא את המחזור של כל אחת מהפונקציות הבאות: y= y= y= + + y= si (4 t ( 5 si(4 ) ( si ( * רשום כל אחת מהפונקציות הבאות כפונקציה מפוצלת ושרטט את גרף הפונקציה. (4 ( ( ( y= y= + y= + y= * יש הקוראים לפונקציה "מפוצלת", פונקציה "מוטלאת" או פונקציית "תפר" או פונקציה "לפי מקרים". (6)

5 4 פתרונות - פרק (), (5 או < >(0 π k (5 4 0,, (4 < < (9 π + π k (4 0 0 ( כל (8 כל 0< ( < < 0 (8 ± ( או (7 ( כל < < 5 (7 ( כל 4 (6 0< ( (6 כל () 4 4 (6 8 (5 (4 4 ( 4 ( ( () y, f ( ) = ( y, f ( ) = (, כל y f ( ) = + ( y 4, f ( ) = + 4 (4 (4) זוגיות,,5,8 אי זוגיות,4 כלליות.6,7 (5) π (4 π ( ( π ( π (6) + y= ( y= ( < < > 0 + y= (4 y= ( < 0 + <

6 5 תרגילים - פרק גבול של פונקציה () חשב את הגבולות הבאים (הצבה): + + lim 0 (4 lim + ( lim ( lim + + ( () חשב את הגבולות הבאים (צמצום/פירוק לגורמים): lim (4 lim ( lim ( lim ( () חשב את הגבולות הבאים (כפל בצמוד): lim (4 lim ( lim ( lim ( lim (7 lim (6 lim (5 4 4 si (4) חשב את הגבולות הבאים (היעזר בגבול הטריגונומטרי = lim ): 0 cos si( ) si( ) lim ( lim ( lim ( 0 si 0 si(4 ) si cos t si cos lim (6 lim (5 lim ( cos si si cos( cos ) lim (9 lim (8 lim ( (5) חשב את הגבולות הבאים (פונקציה השואפת לאינסוף): ( ) + 4 lim (4 lim ( lim ( lim ( ( )( 5) ( ) 0 l lim e (8 lim ((l ) + l ) (7 lim l( ) (6 lim ( lim l cot ( lim ( lim (0 lim (

7 6 (6) חשב את הגבולות הבאים ( שואף לאינסוף): 4 + l lim ( lim rct + e ( lim ( e ) ( lim (6 lim (5 lim ( lim (9 lim (8 lim ( lim ( lim ( lim ( lim (5 lim (4 lim ( lim e (8 lim l (7 lim ( ( ) 4 6 lim + 5 ( lim 5 (0 lim si (9 5 ( ) ( + + ) ( + k ) ( ) b+ + 0 lim (4 lim ( lim ( lim lim b (6 ( ) (5 ( ) ( ) :( lim + = lim + = e 0 (7) חשב את הגבולות הבאים (העזר בגבול של אוילר + lim ( lim + ( lim ( + + ( + ) 0 lim si (6 lim (5 lim ( lim + t (9 lim (8 lim (7

8 7 (8) חשב את הגבולות הבאים (ע"י שימוש בכלל הסנדויץ'): + si cos(+ ) si lim ( lim ( lim ( 4+ cos cos si lim cos( l ) (6 lim si (5 lim ( rct( ) lim [ ] (9 lim (8 lim (7 4+ rct( l ) lim [ ] (0 0 lim f ( ) (9) חשב את הגבול של הפונקציות הבאות (גבול של פונקציה מפוצלת): + si 4 > > 0 = f ( ) = ( = 0 f ( ) = ( < 4+ e < 0 ( ) ( ) = f ( ) = (4 = 0 f ( ) = ( ( ) ( ) = f ( ) = (5 ( ) הערה חשובה מאוד! במרבית קורסי החדו"א לומדים בהמשך את כלל לופיטל לחישוב גבולות (ראה פרק 8). בעזרת כלל זה ניתן לחשב ללא מאמץ את הגבולות המופיעים בשאלות, ו- 4.

9 8 פתרונות - פרק 40 (4 ( ( ( (4 6 ( ( ( (7 (6 (5 (4 ( 4 ( ( (9 4 (8 (7 (6 (5 (4 ( ( ( (9 φ (8 (7 (6 (5 φ (4 ( φ ( φ ( ( φ ( (0 (9 (8 (7 5 (6 0 (5 (4 4 ( ( 0 ( e (8 l (7 (6 (5 4 (4 0 ( 0.5 ( (.5 (0 b 9 5 (6 / (5 / (4 / ( k / (.5 ( (**) (0 0 (9 0 e (9 e (8 e (7 e (6 e (5 e (4 e ( ( e ( (9 4 ( (7 0 (6 0 (5 ( ( 0 ( 0 ( π () () () (4) (5) (6) (7) (8) 0 (0 (9) (5 (4 φ ( φ ( 4 ( (**) בשאלה 6 תרגיל 0 יש להפריד לשלושה מקרים: lim= 5 b 0 (I b lim = > 0, b= 0 (II lim= < 0, b= 0 (III

10 9 תרגילים - פרק רציפות ומשפט ערך הביניים רציפות * בדוק את רציפות הפונקציות הבאות ב"נקודת התפר" שלהן: (בסעיפים ו- 4 שרטט את גרף הפונקציה). si > 0 si 4 > 0 f ( ) = 0 ( f ( ) = = ( + e < + e < () + f ( ) = (4 f ( ) = ( < 5 > si 0 < 0 ( ) < f = < < (6 f ( ) = (5 = < > * נקודת התפר היא הנקודה בה נוסחת הפונקציה משתנה. למשל, נקודת התפר בתרגיל היא 0=. : () מה צריך להיות הערך של הקבוע k על מנת שהפונקציות הבאות תהינה רציפות לכל + k + f ( ) = ( f ( ) = ( 5k 6 > k = k f ( ) = (4 f ( ) = ( > 0 k = הערה: על סעיף 4 תוכל לענות רק אחרי שתלמד את כלל לופיטל (פרק 8).

11 0 b על מנת שהפונקציות הבאות תהינה רציפות מה צריך להיות הערך של הקבועים ו- () בתחום הגדרתן : + b 0 + < si f b f + 4 > cos π ( ) ( ) = + ( ( ) = 0 < < π ( > < + e ( ) l( + ) + b 0 f ( ) = + b (4 f ( ) = ( < 0 ( ) > + 4 הערה: על סעיפים ו- 4 תוכל לענות רק אחרי שתלמד את כלל לופיטל (פרק 8). (4) עבור כל אחת מהפונקציות בשאלה () רשום עבור כל נקודת אי רציפות מאיזה סוג היא. (5) הוכח או הפרך:. סכום שתי פונקציות לא רציפות הוא פונקציה לא רציפה.. הפרש שתי פונקציות לא רציפות הוא פונקציה לא רציפה.. מכפלת שתי פונקציות לא רציפות היא פונקציה לא רציפה. 4. מנתן של שתי פונקציות לא רציפות היא פונקציה לא רציפה. רציפה ו- g לא רציפה. האם f רציפה? הוכח את טענתך. + g (6) ידוע ש- f

12 משפט ערך הביניים (של קושי) (7) צטט את משפט ערך הביניים של קושי והסבר אותו גרפית. (8) הוכח שלמשוואות הבאות יש לפחות פתרון אחד: = = + = 0.5si 7 ( l ( 4 0 ( b c d (9) הוכח שלמשוואה = יש לפחות פתרון אחד. (0) הוכח שלמשוואות הבאות יש לפחות שני פתרונות: = 0 ( e 5= 0 (. f (0) =, f () = פונקציה רציפה לכל המקיימת: () תהי f = 0 f ( ) + si = הוכח שלמשוואה 4 יש לפחות פתרון אחד. () מצא קטע שאורכו אינו עולה על יחידה אחת בו למשוואה יש פתרון.. f ( ) = + () נגדיר. א. חשב () f f (0),. (0,) ב. האם ניתן להסיק לפי משפט ערך הביניים שלמשוואה + 0 = יש פתרון בקטע פתרונות - פרק = 0,, לא רציפה. k= 4 ( 5) מסוג. k = ( רציפה. (4 רציפה. (5 ) לא רציפה. ) לא רציפה. 6) רציפה בנק' =. לא רציפה בנק' רציפה בנק': ( (). =. =, b= b= =, או ) סליקה. ) סליקה. (4) (. = 0, b= ( (). = e /, b= e / ().[ 0.,] (4. k= () () בנקודה =. (4. k =. = e, b= e 6) סליקה. ( ( ראשון. א. = 5 () f. f (0) =, ב. לא.

13 תרגילים - פרק 4 גזירות של פונקציה, הגדרת הנגזרת () א. תאר שתי דרכים שונות לבדיקת גזירות של פונקציה מפוצלת בנקודת הפיצול (תפר) שלה. השתמש בבפונקציה מסעיף ב.. שלהלן כדי להדגים שתי שיטות אלה. בנוסף, הסבר מתי עליך להשתמש בכל אחת מהשיטות שתיארת. ב. בדוק גזירות הפונקציות הבאות בתחום הגדרתן בכל דרך שתבחר. בנוסף רשום נוסחה עבור הנגזרת של כל אחת מהפונקציות. 5 4 f ( ) = ( f ( ) = ( 4 < 4 < l(+ ) 0.5< < f ( ) = (4 f ( ) = ( < ( ) = + + (6 ( ) = + 4 (5 f f si > 0 si > 0 f ( ) = (8 f ( ) = ( () +. f ( ) = + < נתונה הפונקציה. א. עבור איזה ערך של הקבוע הפונקציה רציפה בנקודה = ב. עבור ערך ה- שקיבלת בסעיף א בדוק על פי הגדרת הנגזרת האם הפונקציה הנתונה גזירה בנקודה =. () 0. f ( ) = + < ( ) 0 נתונה הפונקציה. = א. האם הפונקציה רציפה? ב. בדוק על פי הגדרת הנגזרת האם הפונקציה הנתונה גזירה בנקודה

14 (4) עבור איזה ערכים של הקבועים עבור ערכים אלה, רשום נוסחה עבור הנגזרת. ו- b יהיו הפונקציות הבאות גזירות בנקודת התפר. e 0< f ( ) = + b > l 0< e f ( ) = + b > e א) ב) (5) חשב על פי הגדרת הנגזרת את נגזרות הפונקציות הבאות: f f f + ( ) = si 4 ( ( ) = ( ( ) = ( f ( ) = + 0 (6 f ( ) = l (5 f ( ) = e (4 * בתרגיל זה אסור להשתמש בכלל לופיטל. f (6) חשב את (0)' עבור כל אחת מהפונקציות הבאות: f ( ) = ( )( )( ) L( 44) ( f ( ) = ( + ) + + ( 0 4 si ( 4) ( t ) cos( si ) + + f ( ) = ( 0 ( ) ( 0) ) נתון ( z(0) =,lim z( ) = 4 : f ( ) = z( ) (4 0 f 4 ( ) = + si(0 ) (5. (7) בדוק האם הפונקציה משאלה () סעיף 4) גזירה פעמיים בנקודה 0= (8) הוכח או הפרך (אם הטענה נכונה, הוכח אותה. אם לא הבא דוגמה נגדית לטענה):. 0 f = g+ h, ו- g 0 א. אם h גזירה ב- 0 אינה גזירה ב- אז אינה גזירה ב-. 0 f = g+ h, ו- g 0 ב. אם h אינה גזירה ב- 0 אינה גזירה ב- אז אינה גזירה ב-. 0 f = g h, ו- g 0 ג. אם h אינה גזירה ב- 0 אינה גזירה ב- אז אינה גזירה ב-. 0 f = g h, ו- g 0 ד. אם h גזירה ב- 0 אינה גזירה ב- אז אינה גזירה ב-

15 4 פתרונות - פרק 4 () 5 > 4 > f '( ) = ( f '( ) = ( < < 0.5< < f '( ) = + (4 f '( ) = ( 0 < > f '( ) = (6 f '( ) = (5 4 < 0 4 < si cos > 0 si cos > 0 f '( ) = (8 f '( ) = ( < 0 לתשומת לבך! בתחומים בהם קיימת נוסחה לנגזרת, הפונקציה גזירה. בנקודות בהן הנגזרת לא קיימת הפונקציה לא גזירה. למשל, בסעיף הפונקציה גזירה עבור. ) לא גזירה. = ( () ) רציפה ) לא גזירה. (). = e, b= (4) א) b=. = / e, ב) 0 (5) f '( ) = 4cos( 4 ) ( f '( ) = ( f '( ) = + 4 ( ( + ) f '( ) = (6 f '( ) = (5 f '( ) = e ( (5 4 (4 ( 0.4 ) 0 ( ( 44! ( (6) (7) לא גזירה פעמיים.

16 5 תרגילים - פרק 5 גזירה של פונקציה () גזור פעמיים את הפונקציות הבאות (בסעיפים 7-9 גזור פעם אחת): f ( ) = ( f ( ) = ( f ( ) = ( ( + ) f ( ) = (6 f ( ) = (5 f ( ) = (4 ( + ) 4 l l f ( ) = l (9 f ( ) = (8 f ( ) = (7 f = + f = f = ( ) l l ( ( ) l ( ( ) l (0 f ( ) = ( + ) e (5 f ( ) = e (4 f ( ) = l + ( l ( ) = (8 ( ) = (7 ( ) = (6 f f f e f f f 4 ( ) = cos( ) ( ( ) = si( ) (0 ( ) = ( ) (9 f = f = f = ( ) l(cos ) (4 ( ) t( ) ( ( ) si ( si f = + f = f = ( ) ( ) (7 ( ) rct( ) (6 ( ) rcsi (+ ) (5 f ( ) = cos (9 f ( ) = si (8 l ( ) ( )

17 6 פתרונות - פרק 5 ( ( f '( ) =, f ''( ) = f '( ) =, f ''( ) = (+ 0) (+ 0) 4 (4 ( ( ) 4 ( + 4) 4 4( ) f '( ) =, f ''( ) = f '( ) =, f ''( ) = 4 ( 4) ( 4) ( + ) ( + ) (6 (5 6( + ) ( + )( + ) ( + ) 6 f '( ) =, f ''( ) = f '( ) =, f ''( ) = ( ) ( ) ( + ) ( + ) (8 (7 l l 8 l l f '( ) =, f ''( ) = f '( ) =, f ''( ) = (0 (9 f '( ) = (l + ), f ''( ) = l + f '( ) = l +, f ''( ) = ( ( l f '( ) = (l + ), f ''( ) = f '( ) =, f ''( ) = ( ) (4 ) ( ( l ) (l ) (l ) (l ) f '( ) =, f ''( ) = 4 (l ) (l ) (5 5 + f '( ) = e, f ''( ) e = 4 (4 + f '( ) = e, f ''( ) e = 4 (6 f '( ) = e ( 4 ), f ''( ) = 4 e ( 4 ) (7 f '( ) =, f ''( ) = 4 9 (8 f '( ) =, f ''( ) = 5/ ( ) ( ) ( f '( ) =, f ''( ) = 9 4 (0 4 f '( ) = cos( ), f ''( ) = 9 si( ) + 6 cos( )

18 7 ( f '( ) = si( ) 4, f ''( ) = 6 cos( ) si( ) ( f '( ) = si cos, f ''( ) = 6si cos si ( cos ( ) 8 cos( )si( ) f '( ) =, f ''( ) = 4 cos ( ) cos ( ) (4 4 f '( ) = t( ) ( ), f ''( ) = t( ) cos ( ) (5 + f '( ) =, f ''( ) = ( ) / (7 (6 4 si 6 '( ) si f = cos l( + ) + f '( ) =, f ''( ) = (9 l l(cos ) f '( ) = ( cos ) t l ( ) (8 f '( ) = si l(si ) + cot ( ) ( )

19 8 תרגילים - פרק 6 בעיות משיקים (המשמעות הגיאומטרית של הנגזרת) b ואת נקודת ההשקה. b ואת נקודת ההשקה. ). f ( מצא את = e משיק לגרף הפונקציה y = + () הישר b 4+ y= משיק לגרף הפונקציה + = ). f ( מצא את () הישר b (. f ( מצא את b ואת נקודת ההשקה. () הישר y = משיק לגרף הפונקציה = + b. c ו- מצא את. בנקודה = 0 g( ) (4) הישר + =y משיק לגרף הפונקציה = + c. = (5) מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה f ( ) = l בנקודה e. (6) מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה + f ( ) = בנקודה = 0. (,4) + y = 5 (7) מצא את משוואת המשיק למעגל בנקודה k ו- y= + k משיקות זו לזו. מצא את ואת נקודת ההשקה. y= (8) הפונקציות (9) מצא את נקודת ההשקה ואת משוואת המשיק לגרף העקומה העובר דרך הנקודה הנתונה. (,) y= (, ) y= + א) ב) (0) מצא את משוואת המשיקים המשותפים לפונקציות הבאות:. y 4 = y= ו- 5. y= g( ) = y= f ( ) = () מצא את הזווית בין הפונקציות ו-. y = + y = 8 () מצא את הזווית בין המעגל והפרבולה נחתכות בזוית ישרה. y = + y () הוכח שהאליפסה = 8 וההיפרבולה

20 9 פתרונות - פרק 6. y= + () נקודת ההשקה היא (0,) ומשוואת המשיק היא. y= 4+ () נקודת ההשקה היא (,5 ( ומשוואת המשיק היא 9 () נקודת ההשקה היא (4,) ו- = 4 b. (4) נקודת ההשקה היא ),0) ומשוואת המשיק היא +. =y 8. y= (5) משוואת המשיק היא e. (6) משוואת המשיק היא =y 5 y= (7) משוואת המשיק היא., נקודת ההשקה (,) k=.5 (8) y= 6 5, (4,9), y= +, (0,) 9) א) ( ב). y= + המשיק: (9,), 6 y=, y= (0) 7.57 o () 7.56 o ()

21 0 () חשב את הגבולות הבאים: תרגילים - פרק 7 כלל לופיטל 50 6 lim ( lim ( lim ( lim (6 lim (5 lim ( e lim (9 lim (8 lim (7 0 e e b lim ( lim ( lim (, b> 0) ( l lim (5 lim (4 lim ( l ( + ) + l si( ) si( ) t lim (8 lim (7 lim (6 0 0 si( b) b 0 + si cos t si si lim ( lim (0 lim (9 si si( ) e si ( + ) cos( cos ) lim (4 lim ( lim ( rct( + ) l(cos ) lim th (7 lim (6 lim ( rcsi( 4 ) + cosh si lim (0 lim (9 lim sih 0 cos (8 lim (l ) l l e ( lim ( lim ( e

22 lim e e l(si ) (6 lim (5 lim ( l(t ) lim 0 + t (9 lim (8 lim l (7 l e lim ( 9) l( ) (4 lim l (4 lim( cos ) cot ( lim (45 lim + (44 lim l (4 0 si [ ] l lim + + (48 lim l( ) l(si 5 ) (47 lim (46 0+ lim ( ) ( > 0) (5 lim (50 lim ( si + lim (54 lim (5 lim ( ) (5 4 t lim(cos ) (57 lim (56 lim(+ t ) ( cot t t lim( ) (60 lim (59 lim (si ) ( si cot t lim (6 lim ( + ) (6 lim ( + si ) (

23 () כל אחד מהגבולות הבאים הוא מן הסוג לופיטל אינו ישים, לבסוף חשב את הגבול.. הראה זאת והסבר מדוע למרות כך, כלל + + si lim ( lim ( lim ( 4 4 cos פתרונות - פרק 7 () (7 (6 (5 4 (4 ( ( ( (4 ( ( ( l (0 (9 (8 6 b ( (0 (9 (8 (7 (6 (5 6 b b (8 (7 (6 (5 (4 ( ( (5 (4 0 ( ( ( (0 (9 0 (4 0 (4 0 (40 0 (9 0 (8 0 (7 ( 6 (49 l ( (47 0 (46.5 (45 6 (44 0 (4 5 (56 e (55 (54 (5 (5 e (5 (50 e e e e / / (6 (6 (6 (60 (59 (58 (57 e /6 (65 e (64 () 0.75 ( 0.5 ( (

24 תרגילים - פרק 8 חקירת פונקציה () חקור את הפונקציות הבאות חקירה מלאה לפי הפירוט הבא: תחום הגדרה ורציפות, נקודות ** * חיתוך עם הצירים, זוגיות, אסימפטוטות אנכיות, אופקיות ומשופעות, נקודות קיצון, תחומי *** עליה וירידה, נקודות פיתול, תחומי קמירות וקעירות, גרף. f f f 4 ( ) = ( ( ) = ( ( ) = ( 9) ( f ( ) = (6 f ( ) = (5 f ( ) = (4 ( + ) 4 ( + ) 4+ + f ( ) = (9 f ( ) = (8 f ( ) = (7 4 ( )( 5) l l f ( ) = ( f ( ) = ( f ( ) = (0 ( ) l l ( f = + 5 f ( ) = l (4 f ( ) = l ( f ( ) = e (8 f ( ) = l + (7 f ( ) = 4l 4l (6 l f ( ) = e ( f ( ) = ( + ) e (0 f ( ) = e (9 ( ) f ( ) = (4 f ( ) = ( ) ( f ( ) = ( + f ( ) = rct (7 f ( ) = (6 f ( ) = (5 ( ) 8cos cos (0 ( ) cos si (9 ( ) rcsi(si ) (8 f = + f = f = ( 0 π) ( 0 π) הערות: * בשאלה 7 אין צורך למצוא חיתוך עם ציר. בשאלה 8 מצא את החיתוך רק לאחר השרטוט. ** בתרגילים,,8,9,0 אין צורך למצוא אסימפטוטות (וגם אין). *** בתרגילים 9,7 אין צורך למצוא נקודות פיתול אלא אם כן למדתם ניוטון רפסון. בתרגיל 8 אין צורך למצוא נקודות פיתול אלא אם כן למדתם לפתור משוואה ממעלה שלישית.

25 4 פתרונות - פרק 8 () y ( y ( y (4 y ( y (6 y (5 y (8 y (7

26 5 y (0 y (9 y ( y ( y (4 y ( y (6 y (5

27 6 y (8 y (7 y (0 y (9 y ( y ( y (4 y (

28 7 y (6 y (5 y (8 y (7 y (0 y (9

29 8 תרגילים - פרק 9 חקירת פונקציה - "שאלות מסביב" (). f ( ) = + א) נתונה הפונקציה. ידוע שהנקודה = נקודת קיצון. מצא את הקבוע (,) נקודת קיצון. f ( ) = + b ב) נתונה הפונקציה. ידוע שהנקודה., מצא את הקבועים b. f ( ) = + ג) נתונה הפונקציה. ידוע שהנקודה = נקודת פיתול. מצא את הקבוע. ידוע שהנקודה (,) נקודת פיתול. f ( ) = + b ד) נתונה הפונקציה., מצא את הקבועים b = הוא. f ( ) = + ה) נתונה הפונקציה שיפוע המשיק לגרף הפונקציה בנקודה מצא את. (,9) הוא. f ( ) = + b ו) נתונה הפונקציה. שיפוע המשיק לגרף הפונקציה בנקודה., מצא את b y=4 f ( ) = ז) נתונה הפונקציה. ידוע שהישר אסימפטוטה לגרף הפונקציה. מצא את. y= ידוע שהישר f ( ) = + b+ 4 ח) נתונה הפונקציה אסימפטוטה לגרף הפונקציה. מצא את ואת. b f ( ) = ט) נתונה הפונקציה ידוע שהישר = אסימפטוטה לגרף הפונקציה. מצא את.

30 9 () לפניך גרף הפונקציה f ( ) = א. ב. ג. ד. ה. ו. ז. ח. מהו מספר הפתרונות של המשוואה = 5 ). f ( מהו מספר הפתרונות של המשוואה = ). f ( מהו מספר הפתרונות של המשוואה = 0.5 ). f ( ( f ( יש בדיוק פתרון אחד. עבור איזה ערך של k למשוואה = k ( f ( יש בדיוק שני פתרונות. עבור איזה ערך של k למשוואה = k ( f ( יש בדיוק שלושה פתרונות. עבור איזה ערך של k למשוואה = k ) f ( אין פתרון. האם קיים ערך של k עבורו למשוואה = k מצא את התחומים בהם הפונקציה היא חח"ע. () הוכח את אי השוויונים הבאים לגבי התחום הרשום לידם: π ( ) ( ) 4 0< < < si ( < < ( 0 l( + ) (4 > 0 + < + ( ( ) ( ) פתרונות - פרק 9 = ב) = 4. b= 6, ג) = () א) = b=,. = ד) =. b=, ה) ו) = 7 = 0.5 ז) = 8 ח) ט) ג) ב) () א) < k <. k =±. k < ד) k> או ה) ו) < < לא ז) ח) > או או>

31 0 תרגילים - פרק 0 מקסימום ומינימום מוחלטים של פונקציה () מצא את נקודות המינימום המוחלט והמקסימום המוחלט של הפונקציות הבאות בתחומים הרשומים לידן (אם יש כאלה): ( ) ( ) = ( ( ) = + ( 4 < f = f = ( )( ) 7 ( ) ( ) f f / ( ) (4 0 ( ) (0 ) ( < < = = f ( ) (6 5 f ( ) 9 (5 ( ) ( ) ( ) < < f = + ( ) 9 (7 () הוכח את אי השוויונים שמימין לגבי התחום הרשום בסוגריים משמאל. ( ) 0 e ( ( 0 ) e ( (לכל ( e 7 e ( פתרונות - פרק 0 () מינימום מוחלט, (,9) מקסימום מוחלט. (, 7) ( מינימום מוחלט, מינימום מוחלט, (,) מקסימום מוחלט. (5,0) (,0) ( מינימום מוחלט, מינימום מוחלט, (48,8) מקסימום מוחלט. (0, 0) (0,0) ( מינימום מוחלט, (,) מקסימום מוחלט. (.5, 0.5) (4 מינימום מוחלט, (5,7 ( מקסימום מוחלט. (,) (5 (4, ( מקסימום מוחלט. אין מינימום מוחלט. (6 7) אין מקסימום ואין מינימום. הערת סימון: [, b) < b, (, b) < < b, [, b] b

32 תרגילים - פרק בעיות מקסימום ומינימום הערה: בפרק זה, סומנו התרגילים הקשים יותר בכוכבית * בעיות בהנדסת המישור () בטרפז שווה-שוקיים (AB CD) ABCD אורך השוק D C הוא 4 ס"מ ואורך הבסיס הקטן הוא 6 ס"מ. DE הוא הגובה מקדקוד D (ראהציור). מה צריך להיות אורך הקטע DE כדי ששטח הטרפז A E B יהיה מקסימלי? נתון מלבן. ABCD נסמן ב- את אחת מצלעות () המלבן (ראה ציור). A B א) אם היקף המלבן הוא 60 ס"מ בטא באמצעות את שטח המלבן. ב) אם היקף המלבן הוא p מצא מה צריכים להיות D אורכי צלעות המלבן כדי ששטחו יהיה מקסימלי C (הבע את אורכי הצלעות באמצעות ). p () נתון מלבן ABCD כך ש- 5 ס"מ = BC, AD = A P B 0 ס"מ = CD. AB = על צלעות המלבן מקצים Q S AP= AQ= CS= CR= קטעים : מה צריך להיות ערכו של כדי ששטח (ראה ציור). D R C המקבילית PQRS יהיה מקסימלי?

33 E ( C= 90 ) במשולש ישר זווית ABC סכום (4) A אורכי הניצבים הוא 8 ס"מ. על היתר AB בונים ריבוע.ABDE מה צריכים להיות אורכי הניצבים, D כדיששטח המחומש AEDBC יהיה מינימלי. C B בחצי עיגול שרדיוסו 8 ס"מ חוסמים מלבן (5), ABCD כך שהצלע AB של המלבן מונחת על הקוטר, והקדקודים C ו- D מונחים על הקשת(ראה ציור). מה צריך להיות אורך הצלע AB כדי ששטח המלבן יהיה מקסימלי? A B= (, סכום 90 ) (6) במשולש ישר-זווית ABC אורכי הניצבים הוא 0 ס"מ. AD הוא תיכון לניצב BC (ראה ציור). B D C חשב מה צריכים להיות אורכי הניצבים, על מנת שריבוע אורך התיכון יהיה מינימלי. 8 בחוברת פרסום, שטח כל עמוד הוא 600 סמ"ר. רוחב השוליים בראש העמוד ובתחתיתו הוא 8 ס"מ, ורוחב השוליים בצדדים הוא ס"מ. מצא מה צריך להיות האורך והרוחב של כל עמוד, (7) כדי שהשטח המיועד לדפוס יהיה מקסימלי (השטח המקווקו בציור).

34 (8) בריבוע ABCD הנקודות G, F, E נמצאות על הצלעות CF =CG, BE =BF כך ש- DCבהתאמה,, BC, AB (ראה ציור). A E B נתון כי האורך של צלע הריבוע הוא 6 ס"מ. F א. סמן ב- את BFואת, BE והבע באמצעות את הסכום של שטחי המשולשים EBF ו- FCG (השטח המקווקו בציור). D G C ב.. מצא את שעבורו סכום שטחי המשולשים הוא מינימלי. ב.. חשב את הסכום המינימלי של שטחי המשולשים. E נתון ריבוע ABCDשאורך צלעו 0 ס"מ. Eהיא נקודה * ( 9) A M N B כלשהי מחוץ לריבוע, כך שהמשולש DECהוא שו"ש AB שוקי המשולש חותכים את הצלע.(ED =EC) בנקודות Mו- N (ראה ציור). מצא מה צריך להיות אורך הקטע AMכדי שהסכום של שטחי המשולשים D C BNCיהיה, AMD, EMN מינימלי. נתון מעגל שרדיוסו. R במעגל זה חסום טרפז שו"ש, * ( 0) כך שהבסיס הגדול של הטרפז הוא קוטר במעגל (ראה ציור). מבין כל הטרפזים החסומים באופן זה, הבע באמצעות R מקסימלי. את אורך הבסיס הקטן בטרפז ששטחו

35 4 O נתונה גזרה של רבע עיגול שמרכזו O ורדיוסו 0 ס"מ. בונים מלבן,ABCD כך שרבע המעגל משיק לצלע DC * ( ) A D C B בנקודת האמצע שלה, והקודקודים A ו- Bנמצאים על הרדיוסים התוחמים את הגזרה (ראה ציור). מבין כל האלכסונים של המלבנים ABCDשנוצרים באופן זה, מצא את אורך האלכסון הקצר ביותר. A ABCDE הוא מחומש המורכב ממשולש ABE וממלבן EBCD (ראה ציור). * ( ) E B 4 ס"מ = =AE. AB, נתון: ס"מ = BC מצא את השטח של המחומש ששטחו מקסימלי. D C A מתבוננים בכל המשולשים ישרי הזווית ABC החוסמים חצי מעגל שרדיוסוRכמתואר בציור. מהן זוויות המשולש שסכום הניצבים שלו הוא * ( ) B C מינימלי? 7 במעגל שרדיוסוRחסומים משולשים כך שהגודל של אחת הזוויות בכל אחד מהמשולשים הוא. π 5 מצא את הזוויות במשולש בעל ההיקף המקסימלי. * ( 4)

36 5 בעיות בהנדסת המרחב (5) גובהו של "מגדל" הבנוי שמתי קוביות( לאו דווקא שוות) הוא 8 ס"מ. מה צריך להיות אורך המקצוע ש הקובייה התחתונה כדי שנפח המגדל (סכום נפחי הקוביות) יהיה מינימלי? (6) בונים תיבה שגובהה y ס"מ, ובסיסה ריבוע, שאורך צלעו ס"מ (ראה ציור), כך שההיקף של כל אחת מהדפנות הצדדיות שווה ל- ס"מ. מה צריך להיות אורך צלע הבסיס כדי שנפח התיבה יהיה מקסימלי? (7) יש לבנות תיבה פתוחה מלמעלה, שבסיסה ריבוע ושטח פניה 75 סמ"ר ) במקרה זה שטח הפנים מורכב מבסיס אחד ומארבע פאות צדדיות). מכל התיבות שאפשר לבנות, מצא את ממדי התיבה (צלע הבסיס וגובה) שנפחה מקסימלי. (8) יש להכין מחוט תיל "שלד" (מסגרת) של תיבה, שבסיסה ריבוע ונפחה 000 סמ"ק. מהו האורך המינימלי של החוט הנחוץ ליצירת התיבה? (9) מחוט שאורכו ס"מ יש לבנות מנסרה משולשת ישרה, שבסיסה הוא משולש שווה צלעות. מצא איזה חלק מאורך החוט יש להקצות לצלע הבסיס ואיזה חלק לגובה yכדי שיתקיים: א. שטח המעטפת של המנסרה יהיה מקסימלי. ב. נפח המנסרה יהיה מקסימלי.

37 6 מכל הפירמידות המרובעות, המשוכללות והישרות, * ( 0) שאורך המקצוע הצדדי שלהן הוא, מצא את נפחה של הפירמידה בעלת הנפח המקסימלי. מכל הפירמידות הישרות, שבסיסן ריבוע ושטח * ( ) הפנים שלהן הוא 00 סמ"ר, חשב את נפחה של הפירמידה בעלת הנפח המקסימלי. () אלכסון החתך הצירי של גליל ישר הוא ס"מ (ראה ציור). מצא מה צריכים להיות גובה הגליל ורדיוס בסיסו כדי שנפחו יהיה מקסימלי. () נתון מיכל גלילי פתוח מלמעלה שקיבולו 64 מ"ק. המיכל עשוי כולו מפח. הראה כי שטח הפח הוא 4 מינימלי כאשר רדיוס הבסיס הוא מטר. π (4) מבין כל החרוטים שאורך הקו היוצר שלהם הוא 0 0 ס"מ (ראה ציור), מהו נפח החרוט שנפחו מקסימלי?

38 7 בעיות בפונקציות וגרפים (5) מנקודה, A הנמצאת על גרף הפונקציה y= + 5, מורידים אנכים לצירים כך שנוצר מלבן ABOC (ראה ציור). א. מה צריכים להיות שיעורי הנקודה A כדי שהיקף המלבן יהיה מקסימלי? ב. מה צריכים להיות שיעורי הנקודהAכדי שהיקף המלבן יהיה מינימלי? y= 9 בפרבולה חוסמים מלבן, ABCD כך (6) שהצלע ABמונחת על ציר ה- (ראה ציור). מה צריך להיות אורך הצלע CD כדי ששטח המלבן יהיה מקסימלי? y= 9 טרפז ABCD חסום בין גרף הפרבולה לבין ציר ה- (ראה ציור). (7) א. מה צריכים להיות שיעורי הנקודהAכדי ששטח הטרפז ABCD יהיה מקסימלי? ב. חשב את השטח המקסימלי של טרפז.ABCD

39 8 (8) נתונה הפרבולה +. =y ישר המקביל לציר ה- חותך את הפרבולה בנקודות A ו- B (ראה ציור). מחברים את הנקודות A ו- B עם ראשית הצירים, O. א. מה צריך להיות אורך הקטע ABכדי ששטח המשולש AOB יהיה מקסימלי? ב. מהו השטח המקסימלי של המשולש? AOB y = e לפניך גרף של הפונקציה וגרף של הישר (9). =y e ישר המקביל לציר ה- yחותך את הגרפים בנקודות Aו- B (ראה ציור). א. מצא לאילו ערכי אורך הקטע AB יהיה מינימלי. ב. האם יש ערך של שעבורו אורך הקטע ABהוא מקסימלי? (0) נתונים הגרפים של שתי פרבולות :. y= +, y= קו מקביל לציר ה- yחותך את שתי הפרבולות בנקודות Pו- Q (ראה ציור). מבין כל הקטעים המתקבלים באופן זה, מצא את האורך המינימלי של הקטע.PQ

40 9 =y. על ציר ה- נתונה נתון גרף הפונקציה () הנקודה 0) A(4.5, (ראה ציור). מצא על גרף הפונקציה נקודה M, כך שריבוע המרחק AMיהיה מינימלי. f ( ) = מצא על הישר 4 את הנקודה הקרובה (). ביותר לנקודה (0,) בציור שלפניך מתוארים הגרפים של הפונקציות: * ( ). g( ) = 6 6, f ( ) = מלבן חסום בין הגרפים של הפונקציות ובין ציר ה-, כמתואר בציור. מצא את השטח הגדול ביותר האפשרי למלבן שחסום באופן זה. דרך איזו נקודה על הפרבולה =y + צריך * ( 4) להעביר משיק, כדי ששטח הטרפז, הנוצר על ידי = 0, המשיק והישרים: = ו- y= 0 (השטח המקווקו שבציור) יהיה מינימלי?

41 40 נקודה Bנמצאת על גרף הפונקציה =y ברביע * ( 5) הראשון. A היא הנקודה (,0) כאשר ידוע כי < 0.5 (ראה ציור). א. בטא באמצעות את שיעורי הנקודה B, שעבורה המרחק AB הוא מינימלי. ב. מצא עבור איזה ערך של המרחק המינימלי. הוא =y, ונתון משיק לפרבולה 6. y= בנקודה ) t ( t, שעל 9 נתונה הפרבולה שמשוואתו היא * ( 6) הפרבולה מעבירים משיק נוסף לפרבולה. המשיקים נחתכים בנקודה M (ראה ציור). א. הבע את משוואת המשיק הנוסף באמצעות ב. מצא את tשעבורו אורך הקטע, המחבר את. t הנקודהMעם קודקוד הפרבולה יהיה מינימלי. במערכת צירים נתונות הנקודות (,)A ו- * ( 7) (,)B. ראשית הצירים היא בנקודה M O. היא נקודה על ציר ה- בתחום 0<. מה צריכים להיות שיעורי הנקודה,M כדי שהסכום: OM + MA + MB יהיה מינימלי?

42 4 פתרונות - פרק. =.75 cm () () א. ) (0. ב. כל צלע שווה ל p. AE=.7 cm () (7) אורך: 40 ס"מ. B= 6, BC = 4 cm cm (6). AB= cm (5). AC = BC= 4 cm (4). AM = 5/. ב.. =. ב.. 9 סמ"ר. (9) S = רוחב: 5 ס"מ. (8) א.. 45, 45, 90 סמ"ר. () (). 4 5 cm (). R (0) בסיס קטן = 4 ס"מ. (7) צלע הבסיס: 5 ס"מ. גובה:.5 4 ס"מ. (6) (5). π, π, π (4). 4 7 (0). 40. סמ"ק. = y= 9 (4) y=. =, ב ס"מ. (9) ס"מ. (8) א. גובה: ס"מ. רדיוס: ס"מ. () סמ"ק. 500 ().. A(,8) (7). CD= (6) א. 6) A(,. ב. 0) A(0, או A(5,5). א. ב. (5). PQ=4 =. ב. אין. (0) (9). S = 6 AOB א. AB=4. ב. א. (8).(0.5,0.75) (4).8 (). (.5, 0.5) (). M (4, ) (). t= / 7 ב.. y= t t (6) ב א. (5) א. ) /,( ). B( ( ) /. M (0.845,0) (7)

43 4 תרגילים - פרק פתרון משוואות (משפט ערך הביניים, מונוטוניות (משפט רול), ניוטון רפסון ( () הוכח שלמשוואות הבאות יש בדיוק פתרון אחד: + + = = = + = (4 0.5si 7 ( l ( 4 0 (. b ונתון כי < c b c d () נתונה המשוואה = מהו מספר הפתרונות של המשוואה? הוכח את תשובתך. () עבור כל אחת מהמשוואות הבאות מצא את מספר הפתרונות ופתור אותה. + si = cos (4 l( + 5) 4 = ( rct = 0 ( = ( e. f '( ), f (0) =, f () = פונקציה גזירה לכל המקיימת: (4) תהי f f ( ) + si = הוכח שלמשוואה 4 יש בדיוק פתרון אחד. (5) הוכח שלמשוואות הבאות יש בדיוק שני פתרונות: + 4 = 8 ( = 0 ( e 5= 0 ( 4 (6) בכל אחת מהמשוואות הבאות מצא קשר בין הפרמטרים על מנת שלמשוואות יהיה בדיוק פתרון אחד (הנח שכל הפרמטרים שונים מאפס). b c d b c = 0 ( + + = 0 ( > + + = + = 4 ( 4, ) odd b c d 0 (4 cos( b) ( (7) פתור את המשוואות הבאות (סעיפים, בשיטת ניוטון רפסון): + + = + = + + = ( 4 8 ( ( פתרונות - פרק = 0. (4 = 4 ( = 0 ( () פתרון יחיד. () ( = או < b b > ( b c 4 < 0 ( b 4c= 0 ( (6) b c ( ) 4 ( 4) < 0 (4 = , =.967. ) פתרון מדויק = ) פתרונות מקורבים (7) ( פתרון מקורב =

44 4 תרגילים - פרק משפט לגרנג' () הוכח את אי השוויונים הבאים בתחום הרשום לידם: ( ) ( ) ( ) b b b 0< < < l < ( b ( b) b b 0 < < b < b < ( b ( ) π b b 0< < b< < t b t < ( cos cos b b b < b ( b) e < e e < ( b) e (4 b b 0< < b < rct b rct < (5 + b + b b 0< < b< < rcsi b rcsi < (6 b b rcsih( b) rcsih( ) b 0 < < < < (7 + b b + ( b) b b 0< < b< < rc th( b) rc th( b) < (8 b ( ) b b 0 < < b b < b < (9 b ( ) b( b ) b + ( b ) < < < l (0 < b ( b) ( ) ( ) ( ) () הוכח את אי השוויונים הבאים בתחום הרשום לידם: π > 0 < rct < ( 0 t ( < < < < + cos > 0 < rc sih( ) < (4 0< < < rcsi < ( + > 0 < l( + ) < (6 0< < < rc th( ) < (5 + ( ) ( ) ( ) ( ) > 0 si (8 > 0 + < e < + e (7 π < < > + < < ( ) * 0 rct l( ) ( 0 0 t < 4 (9

45 44 () הוכח את אי השוויונים הבאים: cos cos ( si si ( * t y t 8 si si y ( 4 rct y rct < y ( (4) הוכח את אי השוויונים הבאים: + < <.5 ( < l < ( π π π 4 π + < rcsi( 0.6 ) < + (4 + < rct < + ( f '( ) 5 (5) א. תהי ) f ( פונקציה גזירה לכל המקיימת. f () = 8 ידוע כי = 8 (4) f f () =,. הוכח כי. f '( ) 7 ב. תהי ) f ( פונקציה גזירה לכל המקיימת. 4 f () 0 ידוע כי = 8 (4) f f () =,. הוכח כי * תרגיל סעיף 0 ותרגיל סעיף 4 עוסקים במשפט קושי שהוא הכללה של משפט לגרנג', ולפיכך רלוונטיים רק אם למדת משפט זה.

46 45 תרגילים - פרק 4 סדרות () חשב את הגבולות הבאים: l lim ( lim ( lim ( e ) ( lim (6 lim (5 lim ( lim (9 lim (8 lim ( lim l ( lim ( lim ( ( + ) + b+ lim 5 (5 lim 5 (4 4 lim e + 0 ( ( ) 4 k ( ) lim( + + ) (8 lim + + (7 lim + ( b) lim + ( lim (0 lim ( (6 + + lim (4 lim ( lim ( lim + t (7 lim (6 lim (5 + si cos(+ ) si lim (0 lim (9 lim (8 4+ cos + rct( ) + + si rct( l ) + cos lim 4 ( lim ( lim ( הערה חשובה מאוד! בפתרון המלא, יופיע במקום המשתנה. יש להתייחס אל כאל מספר טבעי!, המשתנה בנוסף, יש לזכור שסדרה היא פונקציה (מהטבעיים לממשיים) ולכן לעיתים אומר פונקציה במקום סדרה.

47 46 () חשב את הגבולות הבאים: ( )!! lim ( lim ( lim ( (!)! ( ) 4! +! lim + (6 lim (5 lim ( lim (9 lim (8 lim si ( ( ) π 4 si ( lim ( lim si (0 () חשב את הגבולות הבאים: 5 ( ) lim ( lim ( 4 6 ( + ) lim... (4 lim ( * רמזים: סעיף - =. סעיף - הוכח כי < + ( + ) + (4) בתרגילים הבאים נתונה סדרה בעזרת נוסחת נסיגה (רקורסיה). הוכח שהסדרה מתכנסת וחשב את גבולה.. + = +, = ( + =, = ( + = +, = ( (5) נתונה הסדרה =. = +, =, + lim b. b הוכח שהגבול = + b א.. נגדיר סדרה חדשה על ידי: קיים וחשב אותו.. בעזרת התוצאה של הסעיף הקודם הוכח שהסדרה שואפת לאינסוף. מצא ביטוי סגור עבור הסדרה (כלומר נוסחה לא רקורסיבית). ב... ענה שוב על סעיף א.. בעזרת הביטוי הסגור שמצאת.. הוכח באינדוקציה שהביטוי הסגור שמצאת בסעיף הקודם הוא אכן נכון.

48 47 (6) על סמך ההגדרה של גבול של סדרה הוכח כי: + si lim = + + lim = 4 + א. ב. lim = + ג. cos lim = 0 + lim = + ( ) ד. = lim + ז. = lim ה. lim = + + ח. 4= + lim ו. ט. ( ) lim log = lim e + = lim log(+ 5) = י. יא. יב. (7) הוכח או הפרך: אם ) סדרה חסומה אז יש לה גבול.. lim b = lim b = b אם סדרה לא חסומה אז או (. lim c = k lim c = k lim c = k אם אז או ( d אם 4) סדרה עולה אז היא לא חסומה. ( b ) ( + b ) b אם ל- ו- אין גבול אז גם ל- וגם ל- אין גבול. (5 ( / b ) b אם ל- ו- אין גבול אז גם ל- אין גבול. (6 ( b ) b אם מתכנסת ו- מתבדרת, אז מתבדרת. (7 ( b ) b אם מתכנסת ו- מתבדרת, אז מתכנסת. (8. lim = L lim אם = L אז (9. lim < lim b לכל < b אם אז (0. lim b = b lim ואם אם = חסומה אז (. k < lim אם = k ואם < אז לכל ( lim אם = אז = ). lim( (

49 48 פתרונות - פרק 4 סדרות,. (.4 (0.0.5 (9. 5 ( lim = ) ( > 0, b= 0) 0.5. e (0 ( b (9. (9.0.5 ( הגבול. (0 (8 (4) (8 ( (8, (8..5 (7. (6.-5 (5.0 ( lim 5 / ) ( 0 = b b ) (7. e k. (7 (6 0. e..5 (6 (5.. e (4. (4 ( /. e.4 ( (.0 (. l () ( ( lim = ) ( < 0, b= 0) (5. e (4. e (7. (6. (5. (4.4 (.0 (.0 ( ().4 (. ( 4e 4 (0 אין גבול. ( אין גבול. (. () (. (.0 (. (4.. = ( ) 6. ב..) (5) א..) הגבול ( הגבול. (. ( ( הגבול.

50 49 תרגילים - פרק 5 האינטגרל הלא מסויים (אינטגרל מיידי) חשב את האינטגרלים הבאים: 4 d ( d ( 4 d ( 0 4 d (6 d (5 d (4 4 ( ( ( + )( + ) (0 0 0 d (5 ( + ) d (4 (4+ ) d ( 5 4 ( ) 4 ( + ) d (9 ( + ) d (8 ( + ) d ( d d d 4 ( ) 0 d (8 d (7 4 0 d ( ( ) 4 d d d ( (0 ( d d d 4 (4 ( + ) ( ( 4+ + e + e d d d ( ) (7 (6 ( e d (0 d (9 e d (8 e 5 d ( d ( d ( si 4+ cos d (6 si d (5 cos 4 d (4 * בדוק תשובתך על ידי גזירה!

51 50 תרגילים - פרק 6 האינטגרל הלא מסויים (הנגזרת כבר בפנים) חשב את האינטגרלים הבאים: d ( cot d ( d ( e d (6 d (5 t d (4 e + l t e e d (9 d (8 e d (7 cos cos(l ) d d + d ( cos(si ) cos ( cos( ) 4 (0 si d + d + d 4 (5 si( ) (4 cos(0 ) ( l(t ) rct l d (8 d (7 d (6 cos + cos ( (0 (9 si + + d d d rct + l d d ( + 4 d ( * הערה: את האינטגרלים בפרק זה ניתן לפתור גם בעזרת שיטת ההצבה. * בדוק תשובתך על ידי גזירה!

52 5 תרגילים - פרק 7 האינטגרל הלא מסויים (אינטגרציה בחלקים) () חשב את האינטגרלים הבאים: d d e d 4 si ( l ( ( d d + + d si 4 (5 cos (4 ( ) l (4 4 l d (8 l d (7 e d (6 d 5 l ( rcsi (0 rct (9 l rct (4 d ( d ( cos l d (7 l d (6 l( + ) d (5 d (0 e si 4 d (9 e cos d (8 e ( + ) 4 ( + ) + d t d ( d ( 4. e d א. מצא נוסחת נסיגה עבור e d באשר טבעי. ב. חשב (). 4 cos d א. מצא נוסחת נסיגה עבור cos d באשר טבעי. ב. חשב (). 4 cos d א. מצא נוסחת נסיגה עבור si d באשר טבעי. ב. חשב (4). ( + ) 4 d ( + ) א. מצא נוסחת נסיגה עבור d באשר טבעי. ב. חשב (5) * בדוק תשובתך על ידי גזירה!

53 5 תרגילים - פרק 8 האינטגרל הלא מסויים (שיטת ההצבה) () חשב את האינטגרלים הבאים (הצבות רגילות): ( + ) cos (l ) d ( 4 d ( d ( e d (6 d (5 d (4 4 l l e + d e d e d ( + ) (9 (8 (7 d d + d 4 4 ( ( ) ( cos( ) 4 (0 d d + 8 (5 l (4 d ( + 4 d rct l (8 d (7 d (6 l l(l ) + d d ( d (0 rct d (9 ( ) e (4 ( cos(l ) ( ( + ) 5 + d d d הערה: בחלק מהתרגילים, לאחר ההצבה, תידרש לאינטגרציה בחלקים. * בדוק תשובתך על ידי גזירה!

54 5 תרגילים - פרק 9 האינטגרל הלא מסויים (פונקציות רציונליות) () חשב את האינטגרלים הבאים: d ( ( d ( d 4 ( + ) ( 4) d (5 d (4 d ( ( ) ( ) d (8 d (7 d (6 + + d ( d (0 d (9 ( + )( 4+ 4) d (4 d ( d ( ( + )( ) d (7 d (6 d (5 ( + ) ( + )( + 4) ( + )( + ) d (0 d (9 d (8 + 4 ( )( + 4) d ( ( ( 4 d d ( ) () חשב את האינטגרלים הבאים: d d d ( ( ( e d (6 d (5 d (4 + e + * בדוק תשובתך על ידי גזירה!

55 54 תרגילים - פרק 0 האינטגרל הלא מסויים (אינטגרלים טריגונומטריים והצבות טריגונומטריות) אינטגרלים טריגונומטריים (בעזרת זהויות בלבד) () חשב את האינטגרלים הבאים: ( d ( (si 4cos ) d ( si 0 cos ( ) ( ) (si cos ) d (6 cos si d (5 cos si d (4 (si cos ) d (9 t d (8 si cos cos d ( (si cos ) d ( (cos cos si si ) d ( si 7 cos5 d (0 cos d (5 si 4 d (4 cos d ( 4 4 si d (8 cos d (7 si 4 d (6 si cos + si 5 si + cos d ( d (0 d (9 si + cos + si 4 si cos + cos si 4 si cos d (4 d ( d ( cos cos

56 55 אינטגרלים טריגונומטריים (בעזרת הצבה טריגונומטרית) זכור: si = t f ( si ) cos d= = f ( t) dt ( = rcsi t) cos = t f ( cos ) si d= = f ( t) ( = rccost) ( dt) () חשב את האינטגרלים הבאים: cos d ( (cos + cos )si d ( (si + si + )cos d ( si cos d (6 si cos d (5 si d (4 d d d cos 5 5 (9 t (8 cos (7 si d ( si ( (0 cos + 4cos + 7 si cos d e d אינטגרלים טריגונומטריים (בעזרת הצבה טריגונומטרית) זכור: t= t t t f ( si, cos ) d= = f, dt + t + t + t ( = rct t) () חשב את האינטגרלים הבאים: cos d d ( ( ( cos + si + cos + si

57 56 אינטגרלים עם שורשים (בעזרת הצבה טריגונומטרית) f f f = sit ( ) d= = f ( cost) ( costdt ) ( + ) ( t= rcsi ) = tt d= = f dt ( t rct ) = cost cos t = sit ( ) d cost f ( t t) = = dt cos t ( t= rccos ) (4) חשב את האינטגרלים הבאים : 4 d ( d ( ( + d d / ( + + 5) ( 4+ ) d (6 (5 (4 4 d d (9 (8 6 d (7 d * בדוק תשובתך על ידי גזירה!

58 57 תרגילים - פרק האינטגרל המסויים () חשב את האינטגרלים הבאים: 4 4+ e d ( d ( ( 4+ ) d ( π 4 e 4 l cos 0 d (6 d (5 d ( d (8. 0 < f ( ) = כאשר 4 0 f ( ) d (7 () חשב את האינטגרלים הבאים: π / 4 si si d ( d ( si + cos + cos π. הוכח: () נתונה פונקציה רציפה f. f ( ) d= f ( ) d 0 א. אם f זוגית אזי. ב. אם f f ( ) d= אי-זוגית אזי 0 (4) חשב את האינטגרלים הבאים: 4 si + cos ( d (

59 58 (5) הוכח את אי השוויונים הבאים: 4 d e d e ( 6 + d 6 7 ( 4 ( π / 4 0 π 0 0 l 0 π d d e d (6 0.9 (5 e < d< ( si π 4 si π l d d d rct (9 si (8 (7 (6) חשב את הגבולות הבאים: lim ( si + si si lim ( lim ( lim ( lim ( lim (6 /

60 59 (7) חשב את האינטגרלים הבאים על פי ההגדרה (של רימן): π si d ( d ( d ( d ( * תוכל להיעזר בזהויות הבאות: = 0.5 ( + ) = ( + )(+ ) = ( + ) 4 si α si siα + si α si α = + α si α

61 60 פרק שימושי אינטגרל המסוים (שטח ואורך קשת) חישוב שטחים נתונות שתי פונקציות: f ( ) = g ( ) = () א. מצא את נקודת החיתוך בין שתי הפונקציות. ב. מצא את השטח המוגבל על ידי הגרפים של שתי הפונקציות, על ידי ציר ה- ועל ידי הישרים = ו- - = (השטח המקווקו בציור). y נתונה הפונקציה = (ראה ציור). () א. מצא את השיעורים של נקודת המקסימום של הפונקציה. ב. מהי משוואת הישר המשיק לגרף הפונקציה בנקודת המקסימום שלה? ג. מצא את השטח המוגבל על ידי המשיק בנקודת המקסימום, על ידי הצירים ועל ידי גרף הפונקציה (השטח המקווקו בציור). f ( ) = ( ) נתונה הפונקציה ונתון הישר () +0.5 =y (ראה ציור). מצא את השטח 0.5 המוגבל על ידי גרף הפונקציה, הישר וציר ה- (השטח המקווקו בציור).

62 6 נתונות הפונקציות: f ( ) = g( ) = + 8 הגרפים של הפונקציות נחתכים בנקודות A ו- B (4) (ראה ציור). א. מצא את שיעורי ה- של הנקודות Aו- B. ב. חשב את השטח ברביע הראשון המוגבל על ידי הגרפים של שתי הפונקציות, על ידי ציר ה- ועל ידי הישר = 4. (5) נתונות שתי פונקציות: y = + + y = + א. מצא את שיעורי ה- של נקודות החיתוך בין הגרפים של שתי הפונקציות. ב. מצא את השטח המוגבל על ידי הגרפים של שתי הפונקציות, השטח המקווקו בציור.. f ( ) (6) נתונה הפונקציה = + y A הפונקציה עוברת דרך הנקודה (,8)A ציור). (ראה א. מצא את ערך הפרמטר. ב. הפונקציה חותכת את ציר (0,0)O בנקודה O B ובנקודה. B מצא את שיעורי הנקודה B. ג. חשב את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה, על ידי המיתר AB ועל ידי ציר ה-.

63 6 בציור שלפניך נתונות שתי הפונקציות : (7) f ( ) = e g( ) = e + א. מצא את נקודות החיתוך של הפונקציות עם ציר. y ב. מצא את נקודת החיתוך בין הפונקציות. S ג. חשב את היחס (ראה ציור). S. f ( ) = (8) נתונה הפונקציה e העבירו ישר המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה = (ראה ציור). א. מצא את משוואת המשיק. ב. חשב את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה, על ידי המשיק ועל ידי הצירים (השטח המקווקו בציור). 0 y= בתחום 4 נתונה הפונקציה cos (ראה ציור). π ישר משיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה =. 4 א. מצא את משוואת המשיק. (9) ב. מצא את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה, על ידי המשיק ועל ידי ציר ה-. y

64 6 (0) חשב את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה ועל ידי הישרים = ו- y= y= (השטח המקווקו בציור).. f ( ) () נתונה הפונקציה = e e לפונקציה יש מינימום כמתואר בציור. א. מצא את שיעור ה- של נקודת המינימום של הפונקציה. ב. מנקודת המינימום של הפונקציה העבירו אנך לציר ה-. נתון כי השטח, המוגבל על ידי גרף הפונקציה, על ידי ציר ה-, על ידי האנך ועל ידי הישר, כאשר e e שווה ל-, =. מצא את הערך של. <l0.5 f ( ) = e + נתונה הפונקציה (ראה ציור). () שיפוע הישר, המשיק לגרף הפונקציה בנקודה A, e הוא. א. מצא את שיעורי הנקודה. A ב. מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודה A. ג. חשב את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה, על ידי המשיק ועל ידי ציר ה-. y ()

65 64. > 0 8 נתונה הפונקציה = ) f ( בתחום מעבירים ישר המשיק לגרף הפונקציה בנקודה (,)A (ראה ציור). א. מצא את משוואת המשיק. ב.חשב את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה, על ידי המשיק ועל ידי ציר ה- (השטח המקווקו בציור). (4) נתונות הפונקציות : f ( ) = si ; 0 π g( ) = cos ; 0 π א. תאר במערכת צירים את הגרפים של שתי הפונקציות הנתונות. ב. קווקוו את השטח המוגבל בין הגרפים של שתי הפונקציות הנתונות וחשב את גודלו. f ( ) = נתונה הפונקציה tg π. < בתחום 0 (5) π א. מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה =. 4 tg d= tg + ב. הראה כי c המשיק ועל ידי ציר ה-. ומצא את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה, על ידי. y = דרך הנקודה (8,0)A העבירו משיקים לפרבולה (6) א. מצא את משוואות המשיקים. ב. חשב את השטח הכלוא בין שני המשיקים והפרבולה.

66 65 + f ( ) = בתחום נתונה הפונקציה 4. 0 (ראה ציור) (7) א. מצא את משוואת הישר העובר דרך הנקודה ( 0,0 )ומשיק לגרף הפונקציה הנתונה. ב. חשב את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה הנתונה, על ידי המשיק ועל ידי ציר ה-. y. (8) א. חשב את הנגזרת של הפונקציה f ( ) = cos y= cos ב. חשב את השטח המוגבל על ידי ציר ה- ועל ידי גרף הפונקציה si. π בתחום π * לסטודנטים במקצועות ריאליים, ענו על סעיף ב ללא סעיף א. y חשב את השטח הכלוא בין הפרבולה =. y= + והישר 6 (9). y= 8 = y + חשב את השטח הכלוא בין הפרבולה והישר (0). y dy. ב. 0 d () חשב את האינטגרלים הבאים: א. חישוב אורך עקום (קשת) () חשב את אורך העקום הנתון בסעיפים הבאים: 5 4 y= + ( 8 y= ( y= + ( / ( ) ( ) ( ) + y = y= y= + ( ) ( ) ( ) / / / 8 4 (6 0 ( ) (5 0 ( ) (4 ( ) ( ) ( ) y= y= y = y / (9 l (8 0 4 (7

67 66 פרק שימושי אינטגרל המסוים (חישוב נפח גוף סיבוב, שטח מעטפת של גוף סיבוב ונפח של גוף) נפח של גוף סיבוב y () רשום את הנוסחאות לחישוב נפח גוף סיבוב, סביב ציר וסביב ציר, בשיטת הדיסקות (cvlieri) ובשיטת הקליפות הגליליות... y =y מסתובב סביב ציר ו- y= () השטח הכלוא בין גרף הפונקציה חשב את נפח הגוף המתקבל בשתי דרכים: א. שיטת הדיסקות.(cvlieri) ב. שיטת הקליפות הגליליות. =y מסתובב סביב ציר ו- y= () השטח הכלוא בין גרף הפונקציה חשב את נפח הגוף המתקבל בשתי דרכים: א. שיטת הדיסקות.(cvlieri) ב. שיטת הקליפות הגליליות. (4) השטח הכלוא בין גרף הפונקציה והצירים מסתובב סביב: א. ציר ד. ציר f ( ) =. ג. הישר y=. ב. הישר y=.. ו. הישר =. ה. הישר =. y מהו נפח הגוף המתקבל? (5) נסח והוכח את הנוסחה לחישוב נפח גליל. (6) נסח והוכח את הנוסחה לחישוב נפח חרוט. (7) נסח והוכח את הנוסחה לחישוב נפח כדור. y= (8) השטח הכלוא בין גרף הפונקציה( si( π והישרים: y=0, π =, = 6 מסתובב סביב ציר. y מהו נפח הגוף המתקבל.

68 (8) השטח הכלוא בין גרף הפונקציה π והישרים: 67 y = e y=0, π =, = 6 מסתובב סביב ציר. y מהו נפח הגוף המתקבל. (9) השטח הכלוא בין גרף הפונקציה, f ( ) = l המשיק לגרף בנקודה (e (,e וציר מסתובב סביב ציר. מהו נפח הגוף המתקבל? שטח מעטפת של גוף סיבוב. y (0) רשום את הנוסחאות לחישוב שטח מעטפת של גוף סיבוב סביב ציר וסביב ציר. מסתובבת סביב ציר עבור y= 4 () הפונקציה מהו שטח המעטפת של הגוף שנוצר? () נסח והוכח את הנוסחא לחישוב שטח מעטפת של חרוט. () נסח והוכח את הנוסחא לחישוב שטח מעטפת של כדור. y מסתובבת סביב ציר y 9 =, עבור y (4) הפונקציה מהו שטח המעטפת של הגוף שנוצר? חישוב נפח. (5) מצא נוסחה לחישוב נפח פירמידה ישרה, אשר גובהה h ובסיסה הוא ריבוע שאורך צלעו. c וגובהה b (6) מצא נוסחה לחישוב נפח פירמידה שבסיסה משולש ישר זוית שניצביו ו-

69 68 פרק 4 גזירת האינטגרל () צטט את המשפט היסודי (השני) של החדו"א. ) ( ), b( גזירות, אזי: () על סמך המשפט היסודי הוכח כי אם ( f ( רציפה ו- b( ) ) I( ) = f ( t) dt I '( ) = f ( b( )) b'( ) b( ) ) I( ) = f ( t) dt I '( ) = f ( b( )) b'( ) f ( ( )) '( ) ( ) () גזור את הפונקציות הבאות: + dt lt 4 + t t I( ) = (4 I( ) = t l tdt ( I( ) = dt ( I( ) = e dt ( t (4) חשב את הגבולות הבאים: tdt cost lim ( lim si ( lim ( t 0 e dt tdt si F( ) = ( t+ ) ( t ) dt 0 (5) חקור את הפונקציה לפי הפירוט הבא: תחום הגדרה, נקודות קיצון ותחומי עליה וירידה, נקודות פיתול ותחומי קמירות וקעירות.

70 69 פרק 5 אינטגרלים לא אמיתיים (מוכללים) () חשב את האינטגרלים הבאים: d d d d (4 si ( ( ( ( + ) ( + ) (8 (7 (6 e d e (5 + 5 () בדוק את התכנסות או התבדרות האינטגרלים הבאים: si l rct d (4 d ( d ( d ( ( + ) e + d (8 d (7 d (6 d ( הישר =, y= e () חשב את השטח בין גרף הפונקציה וציר עבור. = 5 ציר ה-, y y= (4) חשב את השטח בין גרף הפונקציה, ציר ה- והישר

71 70 נוסחאות - גבולות 0 y= = 0 =, = = y e e 0 e e = = = = y= l + l(0 ) = l( ) = π π y= rct t( ) = t(0) = 0 t( ) = y= 0, > = 0 = = y= = = = 0, 0< < 0 y= si si 0= 0 y= cos cos 0= si y= 0 0 t y= y= + e (from right) e y= ( + ) e + y= 0 = 0 = y = = = 0 0 Defied Limits: =, ( ) =, + =, ± =, ( ± ) =±, / ( ± ) =± Udefied Limits : 0,,, 0,, 0, 0 0 0

72 7 נוסחאות - נגזרות. y= y ' = 0. y= f y ' = f f '. y= e f y ' = e f f ' 4. y= f y ' = f f ' l 5. y= l f y ' = f ' f 6. y= si f y ' = cos f f ' 7. y= cos f y ' = si f f ' 8. y= t f y ' = f ' cos f 9. y= cot f y ' = f ' si f 0. y= rcsi f y ' = f ' f. y= r cos f y ' = f ' f. y= rct f y ' = f ' + f. y= r cot f y ' = f ' + f 4. y= sih f y ' = cosh f f ' 5. y= cosh f y ' = sih f f ' 6. y= th f y ' = f ' cosh f 7. y= coth f y ' = f ' sih f = = g ( ) g( ) 8. y f ( ) y ' f ( ) ( g( ) l( f ( ))'

73 7 נוסחאות - אינטגרלים d= + c + + ( + b) d= + c ( + b) d= + c + + d= l + c d l b c = b + b + b e d= e + c e d= e + c k + b k d= + c + b k l k k d= + c l k cosd = si + c cos( + b) d= si( + b) + c si d= cos+ c si( + b) d= cos( + b) + c td= l cos + c t( + b) d= l cos( + b) + c cot d= l si + c cot( + b) d= l si( + b) + c d= t + c d t( b) c cos = + + cos ( + b) d= cot + c d= cot( + b ) + c si si ( + b) d= l + t + c d l cot c cos cos = + si si d= rct + c d= l + c + + d= rcsi + c d= l + ± + c ± f ' = + f = + d l f c f f ' d f c f f e f ' d= e + c cos f f ' d= si( f ) + c f ' si f f ' d= cos( f ) + c d= f + c f f f ' d= f + c u v' d= u v u ' vd

74 si α cos α + = 7 נוסחאות - טריגו siα tα = cosα cosα cotα = siα si α = siα cosα α α α α α + t α = cos α + cot α = si α si α = ( cos α) cos α ( cos α) = + siα cosβ = ( si( + β ) + si( α β) ) siα siβ = ( cos( β ) cos( α+ β )) cosα cosβ = ( cos( + β ) + cos( α β )) cos = cos si = si = cos = α+ π k si = siα = ( π α) + π k = α+ π k cos = cosα = α + π k t = tα = α+ π k cot = cotα = α+ π k si = 0 = π k π cos = 0 = + π k

75 74 נוסחאות - אלגברה ( + b) = + b+ b + b = ( + b) b ( b) = b+ b b = ( b)( + b) + = = + + ( b) = b+ b b b = ( b)( + b + b) ( + b) = + 4 b+ 6 b + 4b + b b = ( + b ) b ( b) = 4 b+ 6 b + 4b + b b = ( b )( + b ) ( b) b b b b ( b)( b b) m m+ > 0, b> 0 = m l + l b= l b m = l l b= l m m ( ) = b l= 0, l e= ( b) = b l e = = l = l ( > 0) b b l e = 0 = b bl = e k = l = k = e m m =, = = b = l b if 0 = = if 0 b < = d b c b = b c d = b b b c e f d f d e < < < d e f = b + c h i g i g h > < or > g h i

76 75 נוסחאות - טורי מקלורן של פונקציות חשובות תחום התכנסות טור מקלורן e = = !!!! = 0 < < si = ( ) = < < (+ )!! 5! 7! = cos = ( ) = < < ( )!! 4! 6! = l( + ) = ( ) = = 0 < rct = = ( ) = = = < < = 0... m m( m )... ( m + ) ( + ) = + =! m( m ) m( m )( m ) = + m+ + +!!... ( m> 0) < ( < m< 0) < < ( m ) m 0,,,,...