Σειρά: ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΑ ΒΙΒΛΙΑ Tίτλος: ΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Συγγραφέας: ΦΩΤΗΣ ΚΟΥΝΑ ΗΣ

Transcript

1

2 Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Τ Α Γ Ι Α Τ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ

3 Φώτης Κουνάδης Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Τ Α Γ Ι Α Τ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ ΕΚ ΟΤΙΚΟΣ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ ΛΙΒΑΝΗ ΑΘΗΝΑ 2007

4 Σειρά: ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΑ ΒΙΒΛΙΑ Tίτλος: ΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Συγγραφέας: ΦΩΤΗΣ ΚΟΥΝΑ ΗΣ Copyright Φώτης Κουνάδης Copyright 2007: EK OTIKOΣ OPΓANIΣMOΣ ΛIBANH ABE Σόλωνος Aθήνα. Tηλ.: , Fax: Aπαγορεύεται η αναδηµοσίευση, η αναπαραγωγή, ολική, µερική ή περιληπτική, ή η απόδοση κατά παράφραση ή διασκευή του περιεχο- µένου του βιβλίου µε οποιονδήποτε τρόπο, µηχανικό, ηλεκτρονικό, φωτοτυπικό, ηχογράφησης ή άλλο, χωρίς προηγούµενη γραπτή ά- δεια του εκδότη. Nόµος 2121/1993 και κανόνες του ιεθνούς ικαίου που ισχύουν στην Eλλάδα. Παραγωγή: Eκδοτικός Oργανισµός Λιβάνη ISBN

5 Αφιερώνεται στους γονείς µου.

6 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος...9 Διαγωνίσματα Διαγώνισμα 1: Οι Φυσικοί αριθμοί...13 Διαγώνισμα 2: Τα κλάσματα...17 Διαγώνισμα 3: Οι Δεκαδικοί αριθμοί...21 Διαγώνισμα 4: Εξισώσεις και προβλήματα. Τα ποσοστά...25 Διαγώνισμα 5: Ανάλογα ποσά και αντιστρόφως ανάλογα ποσά...29 Διαγώνισμα 6: Θετικοί και Αρνητικοί αριθμοί...35 Διαγώνισμα 7: Δυνάμεις ρητών Αριθμών...41 Διαγώνισμα 8: Βασικές Γεωμετρικές έννοιες...45 Διαγώνισμα 9: Συμμετρία...53 Διαγώνισμα 10: Τρίγωνα - Παραλληλόγραμμα - Τραπέζια...59 Διαγώνισμα 11: Επαναληπτικό διαγώνισμα σε όλη την ύλη...65 Διαγώνισμα 12: Επαναληπτικό διαγώνισμα σε όλη την ύλη...71 Λύσεις Διαγωνισμάτων Διαγώνισμα 1: Οι Φυσικοί αριθμοί...77 Διαγώνισμα 2: Τα κλάσματα...81 Διαγώνισμα 3: Οι Δεκαδικοί αριθμοί...85 Διαγώνισμα 4: Εξισώσεις και προβλήματα. Τα ποσοστά...89 Διαγώνισμα 5: Ανάλογα ποσά και αντιστρόφως ανάλογα ποσά...93 Διαγώνισμα 6: Θετικοί και Αρνητικοί αριθμοί...99 Διαγώνισμα 7: Δυνάμεις ρητών Αριθμών Διαγώνισμα 8: Βασικές Γεωμετρικές έννοιες Διαγώνισμα 9: Συμμετρία Διαγώνισμα 10: Τρίγωνα - Παραλληλόγραμμα - Τραπέζια Διαγώνισμα 11: Επαναληπτικό διαγώνισμα σε όλη την ύλη Διαγώνισμα 12: Επαναληπτικό διαγώνισμα σε όλη την ύλη

7 8

8 Πρόλογος Το βιβλίο αυτό απευθύνεται στους μαθητές της Α Γυμνασίου και γράφτηκε σύμφωνα με το νέο αναλυτικό πρόγραμμα. Στο πρώτο μέρος περιέχονται 12 διαγωνίσματα, τα 10 από αυτά αντιστοιχούν στα επί μέρους κεφάλαια του νέου σχολικού βιβλίου και 2 επιπλέον είναι επαναληπτικά σε ολόκληρη την ύλη, ενώ στο δεύτερο μέρος υπάρχουν αναλυτικά οι λύσεις των διαγωνισμάτων αυτών. Επιχειρείται με συνδυαστικά θέματα αλλά και με ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής, «Σωστού Λάθους», αντιστοίχισης και συμπλήρωσης, η ενίσχυση των μαθητών στην προσπάθειά τους να επαναλάβουν την ύλη κάθε κεφαλαίου και στη συνέχεια ν αξιολογήσουν μόνοι τους το βαθμό της εμπέδωσης της ύλης αυτής. Πιστεύω ότι με τον τρόπο αυτό οι μαθητές θα αποβάλουν το άγχος των γραπτών δοκιμασιών και των ανακεφαλαιωτικών εξετάσεων και συγχρόνως θα αποκομίσουν σημαντικό όφελος για την καλύτερη κατανόηση του μαθήματος των Μαθηματικών. Τέλος, θα ήθελα και από τη θέση αυτή να ευχαριστήσω τη συνάδελφο Μαθηματικό κ. Τζωρτζίνα Νίκα για τις χρήσιμες και ιδιαίτερα εύστοχες παρατηρήσεις της. Φώτης Κουνάδης 9

9 10

10 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ 11

11 12

12 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 ο Κεφάλαιο 1 ο Μέρος Α Οι Φυσικοί αριθμοί Διάρκεια: 1 ώρα ΘΕΜΑ 1 ο Α. Να συμπληρώσετε τα κενά στις παρακάτω προτάσεις: 1. Ευκλείδεια διαίρεση λέγεται η διαδικασία κατά την οποία όταν δοθούν δύο... αριθμοί, ο Δ... και ο δ..., βρίσκονται δύο άλλοι... αριθμοί, το π... και το υ..., ώστε να ισχύει η ισότητα Δ = , με υ <... και δ.... Αν υ = 0 προκύπτει η ισότητα Δ = που λέγεται... διαίρεση. 2. α : 1 = : α = 0. α :... δεν ορίζεται. Μονάδες (1,7) Ένας φυσικός αριθμός λέγεται πρώτος όταν μοναδικοί του διαιρέτες είναι... και.... Κάθε αριθμός που δεν είναι πρώτος λέγεται.... Ο μοναδικός άρτιος που είναι και πρώτος είναι το..... Δύο φυσικοί αριθμοί α, β λέγονται πρώτοι μεταξύ τους όταν Μ.Κ.Δ. (α, β) =.... Αν ο αριθμός α διαιρεί τον αριθμό β τότε ο β είναι... του α και ο Μ.Κ.Δ. (α, β) =.... Μονάδες (1,7) 13

13 Β. Να συμπληρώσετε τον πίνακα: πράξη πρόσθεση πολλαπλασιασμός α + β α και β λέγονται. α β α και β λέγονται... ιδιότητα πρόσθεση πολλαπλασιασμός αντιμεταθετική α + β = α β = προσεταιριστική α + (β + γ) = ( ) +... α (β γ) =... α + 0 =... α... = α α 0 =... επιμεριστική α (β + γ) = α (β γ) = Μονάδες (1,6) ΘΕΜΑ 2 ο Α. Να σημειώσετε τη θέση των παρενθέσεων μια φορά, ώστε να ισχύουν οι ισότητες: = = = : 4 3 = : = 3 Μονάδες (2,5) Β. Να συμπληρώσετε τον πίνακα ώστε να προκύπτουν Ευκλείδειες διαιρέσεις: Δ δ π 7 12 υ 1 Μονάδες (2,5) 14

14 ΘΕΜΑ 3 ο Α. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση: 1. Αν α, β φυσικοί αριθμοί με α β = 1, τότε: Α. α 1 και β = 1 Β. α = 1 και β 1 Γ. α = 1 και β = 1 Δ. α = 0 και β = 1 2. Ο αριθμός: ισούται με: Α Β. 731 Γ Δ Ποια από τις παρακάτω πράξεις μας δίνουν το μεγαλύτερο αποτέλεσμα; Α Β. (5 + 0) (0 + 4) Γ. (5 0) + (0 + 4) Δ Η παράσταση: x + x + x x x x x ισούται με: Α. x 3 4 x B. x 3 x 4 Γ. 3 x 4 x Δ. 3 x x 4 5. Η ισότητα: x x x x ν = 0 αληθεύει όταν ο εκθέτης ν ισούται με: Α. 2 Β. 3 Γ. 4 Δ Πόσοι πρώτοι αριθμοί περιέχονται μεταξύ του 10 και του 30; Α. 4 Β. 5 Γ. 6 Δ. 7 15

15 7. Τα πιθανά υπόλοιπα της διαίρεσης ενός φυσικού δια του 5 είναι: Α. 5, 6, 7, 8 Β. 0, 2, 4, 6 Γ. 0, 1, 2, 3, 4, 5 Δ. 0, 1, 2, 3, 4 8. Ποια από τις παρακάτω ισότητες δεν προέκυψε από Ευκλείδεια διαίρεση; Α. 0 = Β. 40 = Γ. 83 = Δ. 91 = Μονάδες 2,4(8x0,3) Β. Να συμπληρώσετε τα ψηφία στους παρακάτω τετραψήφιους αριθμούς της στήλης Α, ώστε να διαιρούνται κάθε φορά από τους διαιρέτες της στήλης Β. Στήλη Α Στήλη Β αριθμός διαιρέτης 3_ 6 _ 2 _ 2 _ , 10 _ 3 6 _ 5, , 3, 4 3 _ 2, 3, 4, 5, 9, 10 Μονάδες (2,6) ΘΕΜΑ 4 ο Α. Να υπολογίσετε τους αριθμούς: x = (23 10) 2, y = και ω = ( ) : (15 3 5) 5. Στη συνέχεια ν αναλύσετε τον αριθμό x + y + ω, σε γινόμενο πρώτων παραγόντων. Μονάδες (2,5) Β. Αν α = Ε.Κ.Π. (6, 8) και β = Μ.Κ.Δ. (45, 60, 75) να συγκρίνετε τις τιμές των παραστάσεων: Α = (α + β) 3 και Β = α α β α 2 β + β 3 Μονάδες (2,5) 16

16 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 2 ο Κεφάλαιο 2 ο Μέρος Α Τα κλάσματα Διάρκεια: 1 ώρα ΘΕΜΑ 1 ο Α. Να συμπληρώσετε τα κενά στις παρακάτω προτάσεις: i) Τα κλάσματα α γ και β δ είναι ομώνυμα όταν... =... και ετερώνυμα όταν.... Από δύο ομώνυμα κλάσματα μεγαλύτερο είναι αυτό που έχει... αριθμητή, ενώ από δύο κλάσματα με ίσους αριθμητές μικρότερο είναι αυτό που έχει τον ii) > < 7 7 iii) Το γινόμενο δύο κλασμάτων είναι ένα κλάσμα που έχει για αριθμητή το γινόμενο των... και παρονομαστή το... Τα κλάσματα α β και β α λέγονται... και το γινόμενο τους ισούται με.... Μονάδες (2,6) 17

17 Β. Να βρείτε ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές (Σ) και ποιες είναι λανθασμένες (Λ), όταν λ 0: i. α α + = λ β β + λ ii. α α = λ β β λ 2 α α iii. = 2 β β iv. α = α:λ β β:λ v. α + λ 1 α = + λ λ vi. α β είναι ανάγωγο όταν Μ.Κ.Δ. (α,β) = 1 Μονάδες 2,4(6x0,4) ΘΕΜΑ 2 ο Α. Να συμπληρώσετε τα κενά στον πίνακα: α β α + β Μονάδες (2) Β. Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε να προκύπτουν αληθείς σχέσεις: 2 2 =, =, 21 =, x = x, < <, < < 5 5 Μονάδες 3 (6x0,5) 18

18 ΘΕΜΑ 3 ο Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση: Η τιμή της παράστασης + ισούται με: Α. 1 Β. 1 Γ. 3 Δ Το γινόμενο ισούται με: 3 Α. 2 Β. 1 Γ. 7 Δ Το σύνθετο κλάσμα ισούται με: Α Β Γ Δ Το γινόμενο 0 ισούται με: Α Β Γ. 86 Δ Το κλάσμα x + 5 x+ 6 είναι: Α. < 1 Β. > 1 Γ. = 1 Δ. = 0 6. Το κλάσμα 2(x + 3) 2x + 6 είναι: Α. < 1 Β. > 1 Γ. = 1 Δ. = 0 7. Η παράσταση 3 1 : ισούται με: Α. 4 3 Β. 12 Γ. = 1 Δ. 5 4 Μονάδες 5 (7x0,7) 19

19 ΘΕΜΑ 4 ο Α. Τα 2 3 των μαθητών μιας τάξης είναι 18 μαθητές. Να βρείτε πόσους μαθητές έχει συνολικά η τάξη. Μονάδες (2,5) Β. Δίνονται οι παραστάσεις: Α = + (1 ) : και Β ( 2 ) : = Δείξτε ότι Α = Β. Μονάδες (2,5) 20

20 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 3 ο Κεφάλαιο 3 ο Μέρος Α Οι Δεκαδικοί αριθμοί Διάρκεια: 1 ώρα ΘΕΜΑ 1 ο Α. Ν αντικαταστήσετε το με τον κατάλληλο αριθμό ώστε να προκύπτουν αληθείς ισότητες: : = 1, = 57, = 0, : 0,01 = 5. 0, = 6. : 10 4 = 0, = 7, = 0,5 9. 0, = = 11, Μονάδες 2,5(10x0,25) 21

21 Β. Να στρογγυλοποιήσετε τους παρακάτω αριθμούς στο ψηφίο με το κόκκινο χρώμα: αριθμός ψηφίο στρογγυλοποίησης προσέγγιση 17,024 εκατοστό 17, , , , χιλιάδα Μονάδες 2,5 ΘΕΜΑ 2 ο Α. Να συμπληρώσετε τον πίνακα για τα ορθογώνια παραλληλόγραμμα όταν γνωρίζουμε ότι η περίμετρός τους είναι Π = 2 (α + β), όπου α το μήκος και β το πλάτος. Μήκος α Πλάτος β Περίμετρος Π 1 ο ορθογώνιο 3,2dm 8dm 2 ο ορθογώνιο 20cm 160cm 3 ο ορθογώνιο 5m 180dm 4 ο ορθογώνιο 400mm 80cm m Μονάδες 2 (4x0,5) Β. Να γραφούν τα παρακάτω μήκη από το μικρότερο στο μεγαλύτερο. α. 5,23m 0,703m 2,023m 2m 0,7003m 0,052m β. 0,023km 12,3m 134dm 1004cm 11011mm Μονάδες 1 (2x0,5) 22

22 Γ. α. Ν αντιστοιχίσετε τα κλάσματα που είναι στη στήλη Α με ίσους τους δεκαδικούς αριθμούς της στήλης Β. ΣΤΗΛΗ Α ΣΤΗΛΗ Β , ,0523 5,23 Μονάδες 0,8 (4x0,2) β. Να συμπληρωθεί ο πίνακας. κλάσμα Δεκαδικός αριθμός Δεκαδικό κλάσμα Μονάδες 1,2 (6x0,2) 23

23 Α = δ 2 (α 3 : β + γ 2 : ε) και Β = (α 3 β γ) α + δ : ε (α 3 : α 4 ) 2 Μονάδες 5 ΘΕΜΑ 3 ο Στο διπλανό τρίγωνο δίνονται οι πλευρές του x και y καθώς και η περίμετρός του Π σε cm, ως εξής: x = ,02 (4,6 + 5,4) 3 y = 0, και η περίμετρος Π = (0,1 + 0, ,1 3 ) Να υπολογίσετε την πλευρά ω. Μονάδες 5 ΘΕΜΑ 4 ο Αν α = 2, β = 0,8, γ = 0,5, δ = 9,6, ε = 0,01, να υπολογίσετε τις τιμές των παραστάσεων: 24

24 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 4 ο Κεφάλαια 4 ο και 5 ο Μέρος Α 1. Εξισώσεις και προβλήματα 2. Τα ποσοστά Διάρκεια: 1 ώρα ΘΕΜΑ 1 ο (εξισώσεις) Να αντιστοιχίσετε τις εξισώσεις της στήλης Α με τις λύσεις τους στη στήλη Β: Α. ΣΤΗΛΗ Α ΣΤΗΛΗ Β ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΛΥΣΕΙΣ 1. x + α = β α. x = β : α 2. x α = β β. x = α β 3. α x = β γ. x = β α 4. α x = β δ. x = β α 5. x : α = β ε. x = α : β 6. α : x = β στ. x = α + β Α Β Μονάδες 2,5 25

25 Β. ΣΤΗΛΗ Α ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΤΗΛΗ Β ΛΥΣΕΙΣ 1. x 4 = 0 α x + 12 = 1 β (x 3) = 8 γ. αδύνατη x = 7x 15 δ. αόριστη ή ταυτότητα 5. x = 1 ε : x = 1:3 στ (7 7)x = 0 ζ (4 3 1)x = 2 η. 8 A B Μονάδες 2,5 ΘΕΜΑ 2 ο (εξισώσεις) Α. Στο ορθογώνιο του διπλανού σχήματος η μια του διάσταση είναι διπλάσια της άλλης ενώ η περίμετρος του είναι 60 cm. 1. Να επιλέξετε την εξίσωση που αποδίδει το πρόβλημα: Α. x 2 + 2x = 60 B. x 2x = 60 Γ. x + 2x + x + 2x = 60 Δ. ( )x = 60 26

26 2. Να γράψετε σε πιο απλή μορφή την εξίσωση που επιλέξατε. 3. Να λύσετε την εξίσωση και να βρείτε τις δυο διαστάσεις του ορθογωνίου. 4. Να υπολογίσετε το εμβαδό του ορθογωνίου. Μονάδες 2,5 Β. Αν α = , β = ( ) 5 και γ = ( ) 3 : να λύσετε την εξίσωση: (α + β + γ) x = α 2 + β 2 + γ 2. Μονάδες 2,5 ΘΕΜΑ 3 ο (ποσοστά) Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση : 1. το ποσοστό 31,4% παριστάνει το κλάσμα: Α. 31,4 B. 31,4 Γ Δ το 200% του 200 είναι : Α. 200 Β. 400 Γ Δ το κλάσμα 4 5 γράφεται ως ποσοστό : Α. 40% Β. 50% Γ. 60% Δ. 80% 4. για να βρούμε το α% του β εκτελούμε την πράξη: α Α. β Β. α β 100 Γ. α α : β Δ. β : το 3% του 1m είναι : Α. 3m B. 3dm Γ. 3 cm Δ. 3 mm 6. όταν ένα είδος αυξήθηκε από 50 σε 80 η αύξηση σε ποσοστό είναι : Α. 30% Β. 40% Γ. 50% Δ. 60% 7. όταν από τους 32 μαθητές μιας τάξης τα 14 είναι αγόρια τότε αυτά αντιπροσωπεύουν το ποσοστό: Α. 40% Β. 43,75% Γ. 42,15% Δ. 49,12% Μονάδες 5 (7x0,7) 27

27 ΘΕΜΑ 4 ο (ποσοστά) Ένα είδος κόστιζε αρχικά 500. Στις 12 Φεβρουαρίου αυξήθηκε 10% αλλά στις 12 Μαρτίου η νέα τιμή του αυξήθηκε πάλι κατά 8%. Μπορούμε να πούμε ότι τελικά η αρχική τιμή αυξήθηκε κατά 10% + 8% = 18%; Αν όχι να βρείτε το σωστό ποσοστό της αύξησης. Μονάδες 5 28

28 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 5 ο Κεφάλαιο 6 ο Μέρος Α Ανάλογα ποσά και αντιστρόφως ανάλογα ποσά Διάρκεια: 1 ώρα και 30 ΘΕΜΑ 1 ο Α. Να συμπληρώσετε τα κενά: Δύο ποσά x και y λέγονται ανάλογα όταν πολλαπλασιάζοντας τις τιμές του ποσού x με έναν αριθμό, τότε οι αντίστοιχες τιμές του άλλου ποσού y... με τον ίδιο αριθμό. Το πηλίκο των αναλόγων ποσών x και y λέγεται... και είναι πάντα.... Τα ανάλογα ποσά x και y συνδέονται με την ισότητα.... Τα ζευγάρια των τιμών (x, y) παριστάνουν σημεία που βρίσκονται πάνω σε... γραμμή που διέρχεται από το σημείο.... Β. Ποια από τα παρακάτω ποσά x και y είναι ανάλογα και γιατί; Μονάδες (2,5) 1. x y

29 2. x 6 15 y Η πλευρά του τετραγώνου και η περίμετρός του. 4. Η πλευρά του τετραγώνου και το εμβαδόν του. 5. y = x 6. y = 3 7 x 7. y = 3 x Μονάδες 2,5 (10x0,25) 30

30 ΘΕΜΑ 2 ο Α. Να συμπληρώσετε τα κενά: Δύο ποσά x και y λέγονται αντιστρόφως ανάλογα όταν πολλαπλασιάζοντας τις τιμές του ποσού x με έναν αριθμό οι αντίστοιχες τιμές του άλλου ποσού y... με τον ίδιο αριθμό. Το... των αντιστρόφως αναλόγων ποσών x και y είναι σταθερό και τα ποσά συνδέονται με την ισότητα.... Τα ζευγάρια των τιμών (x,y) παριστάνουν σε αυτή τη περίπτωση σημεία του επιπέδου που βρίσκονται πάνω σε καμπύλη γραμμή που ονομάζεται... και που δεν τέμνει ποτέ τους.... Μονάδες 2,5(5x0,5) Β. Δίνεται ο πίνακας τιμών: x y ,5 Αφού διαπιστώσετε ότι τα ποσά x και y είναι αντιστρόφως ανάλογα να συμπληρώσετε... την ισότητα που τα συνδέει y =. Στη συνέχεια να κάνετε με τη βοήθεια του πίνακα τιμών τη γραφική παράσταση των ποσών x αυτών. Μονάδες 1,1 Γ. Ποια από τα παρακάτω ποσά x και y είναι αντιστρόφως ανάλογα και γιατί; 1. Ο αριθμός των εργατών και ο χρόνος που απαιτείται για την ολοκλήρωση ενός έργου. 2. Οι διαστάσεις ορθογωνίου με εμβαδό 12 cm

31 5. y x = y = 2 x 7. y = 0,01 x Μονάδες 1,4 (7x0,2) ΘΕΜΑ 3 ο Θεωρούμε τα παρακάτω ισόπλευρα τρίγωνα: περίμετρος = 10,5 Αν με x συμβολίσουμε την πλευρά και με y την περίμετρο του κάθε ισοπλεύρου τριγώνου, τότε: α) Να συμπληρώσετε τον πίνακα: x = πλευρά y = περίμετρος 6 10,5 β) Τι συμπεραίνεται για τα ποσά x και y; Γράψτε την ισότητα που τα συνδέει. Μονάδες (2) Μονάδες (2) 32

32 γ) Τοποθετώντας τα ζεύγη των τιμών (x,y) του πίνακα από το α) ερώτημα, να κάνετε τη γραφική παράσταση των ποσών x και y. Μονάδες (1) ΘΕΜΑ 4 ο Ένα αυτοκίνητο διανύει μια απόσταση με σταθερή ταχύτητα 120 χιλιομέτρων την ώρα σε 50 λεπτά. α) Πόσο πρέπει να αυξήσει τη ταχύτητά του ώστε να διανύσει την ίδια απόσταση σε 40 λεπτά; Μονάδες (2,5) β) Πόσο πρέπει να μειώσει την αρχική του ταχύτητα (των 120 χιλ. την ώρα) για να διανύσει τη συγκεκριμένη απόσταση σε 1 ώρα; Μονάδες (2,5) 33

33 34

34 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 6 ο Κεφάλαιο 7 ο Μέρος Α Θετικοί και Αρνητικοί αριθμοί Διάρκεια: 1 ώρα και 30 ΘΕΜΑ 1 ο Α. Να συμπληρώσετε τα κενά: Απόλυτη τιμή ενός αριθμού, ονομάζεται η..... του σημείου που παριστάνεται στον άξονα από τον αριθμό αυτόν, από το σημείο. Η απόλυτη τιμή ενός αριθμού α, συμβολίζεται με.. και δεν μπορεί να είναι.. αριθμός. Από δύο αρνητικούς αριθμούς μεγαλύτερος είναι αυτός που έχει την..... απόλυτη τιμή. Για να προσθέσουμε δύο ετερόσημους αριθμούς αφαιρούμε από τη μεγαλύτερη... τιμή, την.. και στο άθροισμα βάζουμε το πρόσημο του. με την. απόλυτη τιμή. Για να πολλαπλασιάσουμε δύο ομόσημους αριθμούς πολλαπλασιάζουμε τις. και στο γινόμενο βάζουμε πρόσημο. Β. Να απαντήσετε στις παρακάτω ερωτήσεις: Μονάδες 1,8 (9x0,2) 1. Ποιο είναι το πρόσημο δύο ρητών αριθμών που έχουν αρνητικό άθροισμα και θετικό πηλίκο; 35

35 2. Υπάρχουν αριθμοί που να είναι συγχρόνως αντίθετοι και αντίστροφοι; 3. Το γινόμενο πέντε ρητών αριθμών είναι αρνητικό. Να γράψετε όλες τις δυνατές περιπτώσεις για τα πρόσημα των παραγόντων του. Μονάδες 1,2 (3x0,4) Γ. Θεωρούμε ένα γινόμενο πολλών παραγόντων. Ν αντιστοιχίσετε τα στοιχεία της στήλης Α με τα κατάλληλα στοιχεία της στήλης Β: ΣΤΗΛΗ Α ΣΤΗΛΗ Β 1. Ένας παράγοντας είναι 0 α. Το γινόμενο είναι αρνητικό 2. Το πλήθος των αρνητικών παραγόντων είναι άρτιο 3. Το πλήθος των αρνητικών παραγόντων είναι περιττό β. Το γινόμενο είναι θετικό γ. Το γινόμενο είναι μηδέν Α Β Μονάδες 1 Δ. Θεωρούμε το πηλίκο: α β με τους όρους του α και β να είναι ετερόσημοι αριθμοί. Ανάλογα αν τα παρακάτω είναι σωστά ή λάθος, να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις ως Σωστή, επιλέγοντας Σ ή ως Λανθασμένη επιλέγοντας Λ: Σ Λ 1. το β μπορεί να πάρει οποιαδήποτε τιμή 2. το πηλίκο αυτό είναι η λύση της εξίσωσης αx = β 3. είναι ο αντίστροφος του αριθμού β α 4. α β > 0 5. λέγεται και λόγος του α προς το β Μονάδες 1 (5x0,2) 36

36 ΘΕΜΑ 2 ο Α. Να συμπληρώσετε τον πίνακα: Αριθμός α Αντίθετος του α Απόλυτη τιμή του α Απόσταση του α στον άξονα από το Ο + 12, , Μονάδες 2 (4x0,5) Β. Ν αντιστοιχίσετε την κάθε παράσταση της στήλης Α με την ίση της χωρίς τις παρενθέσεις της στήλης Β: ΣΤΗΛΗ Α 1. ( + 2) + ( 3) ( + 3) 2. ( 2) ( 3) + ( + 3) 3. ( + 2) ( + 3) + ( 3) 4. ( ) 5. ( ) 6. + ( ) ΣΤΗΛΗ Β Α Β Γ Δ Ε Στ Α Β Μονάδες 3 (6x0,5) ΘΕΜΑ 3 ο Α. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση: 1. Αν α = 2, τότε ο αριθμός α: Α. ισούται μόνο με + 2 Β. ισούται μόνο με 2 Γ. ισούται με + 2 ή με 2 Δ. δεν υπάρχει τέτοιος αριθμός 37

37 2. Αν α = 3, τότε ο αριθμός α: Α. ισούται μόνο με + 3 Β. ισούται μόνο με 3 Γ. ισούται με + 3 ή με 3 Δ. δεν υπάρχει τέτοιος αριθμός α 3. Η σωστή σειρά των αριθμών από τον μικρότερο στον μεγαλύτερο είναι η: 3 Α. 8,64 < < 1000 < 0 < < + 4 < Β < 8,64 < < 0 < < + 4 < Γ < < 8,64 < 0 < < + 4 < Δ < < 8,64 < < 0 < + 4 < Ο αντίθετος του αντιστρόφου του Α. 5 Β Γ. 3 Δ. 5 3 είναι ο: Αν οι ρητοί αριθμοί α,β είναι ετερόσημοι με α = β Τότε: Α. α = β Β. α > β Γ. α + β = 0 Δ. α β = 1 6. Αν 5 < x < 8, τότε οι ακέραιες τιμές που μπορεί να πάρει ο αριθμός x είναι: Α. 4 Β. 5 Γ. 6 Δ. 7 Β. Να συμπληρώσετε τον πίνακα: Μονάδες 3 (6x0,5) α β α + β α β α β α:β Μονάδες 2 38

38 ΘΕΜΑ 4 ο Α. Να συμπληρωθούν τα κενά ώστε να προκύπτουν αληθείς ισότητες: 1) ( 8) ( 2) ( 1) = ) [( 5) ( 3)] : [( + 1) ( 1)] = 15 3) ( 4) ( 5) = + 4) ( + 3) ( 1) 5 = 0 5) = 20 6) (7 10) = ) : ( ) =5 3 B. 1. Nα υπολογίσετε τους αριθμούς: 4 4 α= , ,2 3 3 ( 1)( + 3)( 4) β = 6 18 γ = 4 + ( 10) Μονάδες 2,1 (7x0,3) Μονάδες 1,2 (3x0,4) 2. Με τις τιμές που βρήκατε στο προηγούμενο ερώτημα, να υπολογίσετε τη τιμή του κλάσματος: α β (α+ 2γ) Α = (β α) (α 2β) 3. Να λύσετε την εξίσωση: Α : x= α β γ, όπου Α, α, β και γ οι τιμές που υπολογίσατε στα προηγούμενα ερωτήματα. Μονάδες 1 Μονάδες 0,7 39

39 40

40 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 7 ο Κεφάλαιο 7 ο Μέρος Α Δυνάμεις ρητών Αριθμών Διάρκεια: 1 ώρα και 30 ΘΕΜΑ 1 ο Α. Να συμπληρώσετε τα κενά: 1. Αν ν φυσικός αριθμός, ν > 1, η δύναμη α ν διαβάζεται και και ισούται με.... Η δύναμη α 2 διαβάζεται και... Όταν λέμε α στον κύβο εννοούμε την δύναμη α 1 =. α ο =., όταν α 0 α ν =, όταν α 0 3. Αν α > 0 τότε α ν..0 Αν α < 0 και α ν < 0 τότε ο εκθέτης ν είναι Αν α < 0 και α ν > 0 τότε ο εκθέτης ν είναι 4. α μ α ν =.. 5. α μ : = α μ ν, α 0 6. α ν β ν =. 41

41 7. Για να υψώσουμε ένα γινόμενο σ έναν εκθέτη υψώνουμε κάθε α = ν β Για να υψώσουμε ένα πηλίκο σ έναν εκθέτη υψώνουμε κάθε ( α )... μν =... Μονάδες 2,5 (10x0,25) Β. Να χαρακτηρίσετε καθεμία από τις παρακάτω προτάσεις ως Σωστή, επιλέγοντας Σ ή ως Λανθασμένη επιλέγοντας Λ. 1. x 5 : x 3 = x 2 2. x 5 = x 5 3. x 3 x 4 = x (x 3 ) 2 = x 5 5. ( x) 4 = x 4 Σ Λ Μονάδες 2,5 (5x0,5) ΘΕΜΑ 2 ο Α. Nα επιλέξετε τη σωστή απάντηση: 1. Αν α, β αντίθετοι τότε (α + β) 2008 ισούται με: Α. 1 Β. α + β Γ. 0 Δ Αν (α β) 3 < 0, τότε: Α. α, β ομόσημοι Β. α, β ετερόσημοι Γ. α, β αντίστροφοι Δ. α = β = 0 3. Η τιμή της παράστασης Α=( 1) 0 + ( 1) 1 + ( 1) 2 + ( 1) 3 ισούται με: Α. 0 Β. 1 Γ. 2 Δ. 3 42

42 4. Η λύση της εξίσωσης x : = είναι: Α Β Γ Δ Η λύση της εξίσωσης: 0,00001 x = 10 7 είναι: Α Β Γ Δ Μονάδες 2,5 (5x0,5) Β. Να αντιστοιχίσετε τις εξισώσεις της στήλης Α με τις τιμές του εκθέτη ν της στήλης Β: ΣΤΗΛΗ Α ισότητα 1. 2 ν = ν = ( 2) ν = 8 4. ( 2) ν = (2 ν ) 3 = 64 ΣΤΗΛΗ Β τιμή του ν Α. ν = 2 Β. ν = 0 Γ. ν = 2 Δ. ν = 3 Ε. ν = 4 Α Β Μονάδες 2,5 (5x0,5) ΘΕΜΑ 3 ο Nα επιλέξετε τη σωστή απάντηση: 1 παράσταση προτεινόμενες τιμές Α Β Γ ( 3)

43 5 ( 3) (5 6 ) ( 3) Αν ν άρτιος ( 1) ν + 1 ν Μονάδες 5 (10x0,5) ΘΕΜΑ 4 ο Α. Να υπολογίσετε τη τιμή της παράστασης: x = ( 3) 2 [2 3 ( 3) 3 ] : 7 B. Στη συνέχεια με την τιμή που βρήκατε να υπολογίσετε τη τιμή της παράστασης: Α= 9 x x x x x + 3 Μονάδες 5 (2x2,5) 44

44 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 8 ο Κεφάλαιο 1 ο Μέρος Β Βασικές Γεωμετρικές έννοιες Διάρκεια: 1 ώρα και 30 ΘΕΜΑ 1 ο Α. Να συμπληρώσετε τα κενά: 1. Η ημιευθεία που έχει για αρχή την κορυφή μιας γωνίας και τη χωρίζει σε δύο ίσες γωνίες ονομάζεται της γωνίας. 2. Κάθε γωνία που είναι μικρότερη από την ορθή λέγεται. Αμβλεία ονομάζεται η κυρτή γωνία που είναι. από την ορθή. Το μέτρο της είναι μεγαλύτερο από.. μοίρες και μικρότερο από. μοίρες. 3. Δύο γωνίες που έχουν κοινή κορυφή και οι πλευρές τους είναι αντικείμενες ημιευθείες λέγονται.. Οι γωνίες αυτές είναι.. 4. Παράλληλες ονομάζονται δύο ευθείες του ίδιου επιπέδου που.... Δύο ευθείες του ίδιου επιπέδου που δεν είναι παράλληλες υποχρεωτικά. και το κοινό τους σημείο λέγεται σημείο. 5. Το μήκος του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ λέγεται και... του σημείου Α από το. Μονάδες 2,5 (5x0,5) 45

45 Β. Στις παρακάτω προτάσεις να επιλέξετε Σ αν είναι σωστές ή Λ αν είναι λανθασμένες: 1. Στο σχήμα οι γωνίες α και β είναι κατακορυφήν Σ Λ 2. Στο σχήμα οι γωνίες ΑΒΓ και ΑΒΔ είναι εφεξής 3. Η διχοτόμος μιας γωνίας τη χωρίζει σε δύο εφεξής γωνίες 4. Δύο εφεξής και παραπληρωματικές γωνίες έχουν τις μη κοινές πλευρές τους αντικείμενες ημιευθείες 5. Η παραπληρωματική γωνία μιας οξείας γωνίας είναι αμβλεία 6. Δύο συμπληρωματικές γωνίες είναι οξείες 7. Δύο γωνίες που έχουν τις παραπληρωματικές τους γωνίες ίσες είναι και αυτές ίσες 8. Μια μη κυρτή γωνία είναι αμβλεία 9. Δύο ευθείες του ίδιου επιπέδου μπορεί να μην τέμνονται αλλά και να μην είναι παράλληλες 10. Δύο τεμνόμενες ευθείες μπορούν να είναι κάθετες σε μια άλλη ευθεία Μονάδες 2,5 (10x0,25) 46

46 ΘΕΜΑ 2 ο Α. Να αντιστοιχίσετε κάθε στοιχείο της στήλης Α με το κατάλληλο στοιχείο της στήλης Β: ΣΤΗΛΗ Α ΣΤΗΛΗ Β 1. οξεία γωνία Α. Β. 2. αμβλεία γωνία 3. ορθή γωνία Γ. Δ. 4. μη κυρτή γωνία Ε. 5. ευθεία γωνία 47

47 Στ. 6. παραπληρωματικές γωνίες Ζ. 7. συμπληρωματικές γωνίες Η. 8. κατακόρυφην γωνίες Θ. 9. διαδοχικές γωνίες Α Β Μονάδες 1,8 (9x0,2) 48

48 B. Nα υπολογίσετε το x σε κάθε περίπτωση: 1. ΑΒ = 12cm Μ το μέσο του ΑΒ Ο το μέσο του ΑΜ x = 2. x= x= x=... Μονάδες 3,2 (4x0,8) ΘΕΜΑ 3 ο A. Nα επιλέξετε τη σωστή απάντηση: 1. Η απόσταση του σημείου Α από την ευθεία ε, είναι το μήκος του ευθυγράμμου τμήματος: Α. ΑΒ Β. ΑΓ Γ. ΑΔ Δ. ΑΕ 49

49 2. Τα 3/10 μιας πλήρους γωνίας είναι: Α. 54 ο Β. 98 ο Γ. 102 ο Δ. 108 ο 3. Οι προσκείμενες γωνίες στη πλευρά ΑΒ του τριγώνου ΑΒΓ στο σχήμα είναι: Α. η Α και η Β Β. η Α και η Γ Γ. ηβ και η Γ Δ. η Α, η Β και η Γ 4. Η παραπληρωματική μιας γωνίας είναι τριπλάσια από τη συμπληρωματική της, η γωνία είναι: Α. 45 ο Β. 65 ο Γ. 90 ο Δ. 120 ο 5. Το μέτρο μιας γωνίας ισούται με τα 2/5 μιας ευθείας γωνίας. Η συμπληρωματική της ισούται με: Α. 8 ο Β. 18 ο Γ. 72 ο Δ. 108 ο Μονάδες 2,5 (5x0,5) Β. Στο σχήμα η ευθεία ε είναι διχοτόμος της γωνίας xoy. Να υπολογίσετε τις γωνίες α, β, γ και δ δικαιολογώντας την απάντησή σας. Μονάδες 2,5 ΘΕΜΑ 4 ο Α. Να συμπληρώσετε τα κενά: 1. Μία επίκεντρη γωνία έχει την κορυφή της Το μέτρο της επίκεντρης γωνίας ισούται με το μέτρο του αντίστοιχου.. 50 Μονάδες 0,5 (2x0,25)

50 Β. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση: 1. Δύο τόξα 70 ο είναι πάντοτε ίσα 2. Ο κύκλος είναι το αντίστοιχο τόξο πλήρους επίκεντρης γωνίας Σ Λ Μονάδες 0,5 (2x0,25) Γ. Θεωρούμε κύκλο (Ο,2cm). Με x ονομάζουμε την απόσταση μιας ευθείας ε από το κέντρο Ο του κύκλου. Να συμπληρώσετε τον πίνακα: Απόσταση x Μικρότερη των 2 cm Ονομασία της ευθείας ε Eξωτερική του κύκλου Πλήθος κοινών σημείων ευθείας κύκλου. 1 Μονάδες 1 Δ. Να βρείτε το x σε μοίρες στις παρακάτω περιπτώσεις: 1. x = 2. x = 51

51 3. x = 4. x = 5. x = Μονάδες 1,5 (5x0,3) E. Στο σχήμα η γωνία ΒΟΓ = 50 ο και ΟΔ, ΟΕ διχοτόμοι των γωνιών AΟΓ αντίστοιχα. Πόσες μοίρες είναι το τόξοεδ ; ΒΟΓ και Μονάδες 1,5 52

52 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 9 ο Κεφάλαιο 2 ο Μέρος B Συμμετρία Διάρκεια: 1 ώρα και 30 ΘΕΜΑ 1 ο Α. Να συμπληρώσετε τα κενά: 1. Τα συμμετρικά σχήματα, τόσο ως προς ευθεία, όσο και ως προς σημείο είναι Μεσοκάθετος ευθυγράμμου τμήματος λέγεται η ευθεία που είναι... προς αυτό και διέρχεται από το.... Κάθε σημείο της μεσοκαθέτου ευθυγράμμου τμήματος... από τα άκρα του. 3. Δύο σημεία Α και Α είναι συμμετρικά ως προς σημείο Ο, όταν το Ο είναι Μονάδες 1,5 (3x0,5) 53

53 Β. Να συμπληρώστε τον πίνακα όπως το παράδειγμα: Σχήμα Ευθύγραμμο Τμήμα Γωνία Ισοσκελές τρίγωνο Ισόπλευρο τρίγωνο Παραλληλόγραμμο Ορθογώνιο Ρόμβος Τετράγωνο Κύκλος Άξονες συμμετρίας Ευθείες που είναι άξονες συμμετρίας 2 1. Η ευθεία του ευθυγράμμου τμήματος. 2. Η μεσοκάθετος. Κέντρα συμμετρίας Σημεία που είναι κέντρα συμμετρίας 1 Το μέσο του ευθυγράμμου τμήματος. Μονάδες 3,5 ΘΕΜΑ 2 ο Α. Στο ορθογώνιο σύστημα αξόνων να τοποθετήσετε τα σημεία Α(1,3), Β(2,0), Γ(0,4), M(4,4) και στη συνέχεια να συμπληρώσετε τον πίνακα: Σημείο Α(1,3) Β(2,0) Γ(0,4) M(4,4) Συμμετρικό ως προς το σημείο Μ Συμμετρικό ως προς τη διχοτόμο ε της γωνίας xoy Μονάδες 2,5 54

54 Β. Δίνεται κύκλος με κέντρο Ο και ακτίνα 3 cm και χορδή του ΑΒ = 4cm. Να σχεδιάσετε τη μεσοκάθετο του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ η οποία θα τέμνει τον κύκλο στα σημεία Γ και Δ (Γ στο μεγάλο τόξο ΑΒ). α) Να δικαιολογήσετε γιατί η μεσοκάθετος ΓΔ διέρχεται από το κέντρο του κύκλου Ο. β) Να δικαιολογήσετε γιατί το σημείο Κ που είναι συμμετρικό του Α ως προς το Ο, είναι σημείο του κύκλου. γ) Τι είδους τρίγωνο είναι το ΑΓΒ; δ) Αν το τόξο AΔ = 40 ο να υπολογίσετε τη γωνία BOK. Μονάδες 2,5 ΘΕΜΑ 3 ο Α. Να συμπληρώσετε τα κενά: 1. Δυο παράλληλες ευθείες που τέμνονται από τρίτη σχηματίζουν εντός εναλλάξ γωνίες και εντός εκτός και επί τα αυτά γωνίες που είναι Μονάδες 1 Οι γωνίες β και λ λέγονται.... Οι γωνίες γ και λ λέγονται.... Τα ζευγάρια των εντός εναλλάξ γωνιών είναι:...,... και...,.... Αν ε // ζ, τότε α =... Αν ε // ζ, τότε δ + κ =... Αν γ = κ, τότε οι ευθείες ε και ζ είναι.... Μονάδες 1 55

55 Β. Στο σχήμα οι ευθείες ε και ζ είναι παράλληλες. Να συμπληρώσετε τον πίνακα: γωνία ν κ λ μ α β γ Μέτρο γωνίας 120 ο δ Μονάδες 2 Γ. Στο παρακάτω σχήμα να εξηγήσετε γιατί η ΑΒ είναι παράλληλη της ΓΔ: Μονάδες 1 ΘΕΜΑ 4 ο Α. Στο σχήμα είναι ζ//η. Να υπολογίσετε τις γωνίες που είναι σημειωμένες. Μονάδες 1,5 56

56 Β. Να υπολογίσετε τις γωνίες Α, B, Γ και Δ του παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ. Μονάδες 1,5 Γ. Στο σχήμα η//ζ και η γωνία ΒΑΓ είναι ορθή. Να υπολογίσετε τις γωνίες κ, λ, μ, ν. Μονάδες 2 57

57 58

58 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 10 ο Κεφάλαιο 3 ο Μέρος B Τρίγωνα - Παραλληλόγραμμα - Τραπέζια Διάρκεια: 1 ώρα και 30 ΘΕΜΑ 1 ο Α. Να συμπληρώσετε τα κενά: 1. Τα κύρια στοιχεία του τριγώνου είναι... ενώ τα δευτερεύοντα είναι Το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου είναι ίσο με... μοίρες. 3. Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο οι οξείες του γωνίες είναι Το τρίγωνο που έχει... πλευρές... λέγεται ισοσκελές. Οι γωνίες που είναι προσκείμενες στη βάση του είναι.... Η διάμεσος που αντιστοιχεί στη βάση του είναι... και Στο ισόπλευρο τρίγωνο όλες οι πλευρές του είναι.... Κάθε του γωνία είναι... μοίρες. Κάθε διάμεσός του είναι... και..... Μονάδες 2 (5x0,4) 59

59 Β. Με τη βοήθεια του παρακάτω σχήματος ν αντιστοιχίσετε τα στοιχεία των δύο στηλών: ΑΗ διάμεσος ΑΔ διχοτόμος ΑΜ ύψος Μονάδες 1 Γ. Να επιλέξετε Σ αν η πρόταση είναι σωστή ή Λ αν είναι λανθασμένη : 1. Η γωνία ω λέγεται εξωτερική της γωνίας φ 2. οι γωνίες φ και 90 ο είναι συμπληρωματικές 3. ω = 90 ο + ψ 4. ω = φ + ψ Σ Λ Μονάδες 2 (4x0,5) ΘΕΜΑ 2 ο Α. Να συμπληρώσετε τον πίνακα όπου με Α,B, Γ έχουμε δείξει τις γωνίες τυχαίου τριγώνου ΑΒΓ, όταν αυτό υπάρχει. Α ΥΠΑΡΧΕΙ B Γ ΤΕΤΟΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ; 80 ο 40 ο 110 ο 75 ο 60 ο 30 ο 60 ο 60 ο 92 ο 40 ο 45 ο 45 ο 100 ο 40 ο 52 ο 52 ο Μονάδες 1,4 Είδος τριγώνου ως προς τις γωνίες του Είδος τριγώνου ως προς τις πλευρές του 60

60 Β. Σε κάθε περίπτωση να υπολογίσετε το μέτρο της γωνίας x x = x = x = x =... x =... 61

61 6. x =... Μονάδες 3,6 (6x0,6) ΘΕΜΑ 3 ο Α. Σ ένα τρίγωνο ΑΒΓ η γωνία Α είναι τα 2/5 της ορθής γωνίας και η γωνία B είναι τριπλάσια της γωνίας Γ. Δείξτε ότι το τρίγωνο είναι αμβλυγώνιο και ισοσκελές. Μονάδες 2,5 Β. Στο σχήμα οι ευθείες ε και ζ είναι παράλληλες. Να υπολογίσετε τις γωνίες α,β, γ και δ. Μονάδες 2,5 Α. Να αντιστοιχίσετε κάθε στοιχείο της στήλης Α με ένα μόνο στοιχείο της στήλης Β. ΣΤΗΛΗ Α ΤΕΤΡΑΠΛΕΥΡΑ Ορθογώνιο ΣΤΗΛΗ Β ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ Τραπέζιο με τις μη παράλληλες πλευρές του ίσες. Τραπέζιο Παραλληλόγραμμο με όλες τις γωνίες του ορθές. Ισοσκελές τραπέζιο Ρόμβος Τετράγωνο Οι διαγώνιες του είναι ίσες και κάθετες. Μόνο οι δύο απέναντι πλευρές του είναι παράλληλες. Παραλληλόγραμμο με όλες τις πλευρές του ίσες. Μονάδες 2,5 (5x0,5) 62

62 Β. Να γράψετε τους ομόκεντρους κύκλους (Ο,2cm) και (Ο,4cm). Να φέρετε ΑΒ τη διάμετρο του μικρού κύκλου και ΓΔ τη διάμετρο του μεγάλου κύκλου χωρίς να βρίσκονται όμως στην ίδια ευθεία. Να χαράξετε τα ευθύγραμμα τμήματα ΑΓ, ΓΒ, ΒΔ, ΔΑ. Τι σχήμα είναι το τετράπλευρο ΑΓΒΔ; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. Μονάδες 2,5 63

63 64

64 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 11 ο Επαναληπτικό διαγώνισμα σε όλη την ύλη Διάρκεια: 2 ώρες ΘΕΜΑ 1 ο Α. Να συμπληρώσετε τα κενά: 1. Όταν πολλαπλασιάζουμε ή διαιρούμε τους όρους ενός κλάσματος με τον ίδιο φυσικό αριθμό 0 προκύπτει... κλάσμα. 2. Τα ομώνυμα κλάσματα έχουν... παρονομαστές. Τα κλάσματα που δεν είναι ομώνυμα λέγονται Το κλάσμα του οποίου οι όροι είναι επίσης κλάσματα λέγεται... κλάσμα. 4. Το άθροισμα ενός φυσικού αριθμού και ενός κλάσματος λέγεται... αριθμός. 5. Αντίθετοι λέγονται δύο αριθμοί που έχουν την ίδια... αλλά διαφορετικό Για να αφαιρέσουμε δύο ρητούς αριθμούς προσθέτουμε στον μειωτέο τον... του... Δηλαδή: α β = α Για να διαιρέσουμε δύο ρητούς αριθμούς πολλαπλασιάζουμε το διαιρετέο με τον... του... Δηλαδή: α : β = α. 8. Μια δύναμη με βάση αριθμό 0 και εκθέτη αρνητικό αριθμό είναι ίση με κλάσμα που έχει αριθμητή... και παρονομαστή τη δύναμη του ίδιου αριθμού με τον... εκθέτη. Δηλαδή: α ν =.... Μονάδες 2,4 (8x0,3) 65

65 Β. Ν απαντήσετε στις επόμενες ερωτήσεις βάζοντας ΝΑΙ ή ΟΧΙ στο αντίστοιχο πλαίσιο: 1. Από δύο ομώνυμα κλάσματα μεγαλύτερο είναι αυτό που έχει το μικρότερο αριθμητή; 2. α + λ = α ; λ 3. α β α + + = β ; γ δ γ + δ 4. Ένας θετικός αριθμός είναι τοποθετημένος στον άξονα των ρητών δεξιότερα από κάθε αρνητικό; 5. Για να πολλαπλασιάσουμε δύο κλάσματα αυτά πρέπει να είναι ομώνυμα; 6. Η εξίσωση που δεν έχει λύση λέγεται ταυτότητα ή αόριστη; 7. Δύο ρητοί με θετικό πηλίκο μπορεί να είναι αντίθετοι; 8. Η μόνη περίπτωση μια δύναμη να είναι θετικός αριθμός, είναι η βάση της να είναι θετικός αριθμός; 9. Για να υψώσουμε μια δύναμη σ έναν εκθέτη υψώνουμε τη βάση της στο γινόμενο των εκθετών; 10. Για να προσθέσουμε δύο ομόσημους αριθμούς προσθέτουμε τις απόλυτες τιμές τους και στο αποτέλεσμα βάζουμε πάντα τo πρόσημο + ; 11. Αν α, β αντίθετοι αριθμοί, τότε α 2 = β 2 ; 12. Ο αριθμός διαιρείται συγχρόνως με το 3, το 5 και το 9; 13. Αν x = 4, τότε x x + x + 2 = 6; Μονάδες 2,6 (13x0,2) 66

66 ΘΕΜΑ 2 ο Α. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση: 1. Οι μοναδικοί ακέραιοι αριθμοί α, β με α β = 1 είναι οι: Α. α = 1 και β = 1 Β. α = 0,5 και β = 2 Γ. α=+ 1 και β=+ 1 ή α = 1 και β = 1 Δ. δεν υπάρχουν τέτοιοι ακέραιοι αριθμοί 2. Οι αριθμοί 120 και 350 όταν αναλυθούν σε γινόμενο πρώτων παραγόντων γράφονται: 120 = και 350 = Τότε ο Μ.Κ.Δ.(120,350) είναι: Α. 2 5 Β Γ Δ Το Ε.Κ.Π.(120,350) είναι: Α. 2 5 Β Γ Δ Σε ποια από τις παρακάτω παραστάσεις μπορούμε ν απαλείψουμε τις παρενθέσεις χωρίς να βλάψουμε τη τιμή της: Α. (12 5) 2 Β. 3 (4 5 6 : 7) Γ. 2 ( ) Δ. 7 + (2 5)+(3 : 4) 4. Έχουμε ένα τετράγωνο πλευράς 5cm. Αν διπλασιάσουμε τη πλευρά του, κατά πόσο τοις εκατό(%) θα αυξηθεί η περίμετρός του; Α. 100% Β. 200% Γ. 300% Δ. 400% 5. Αν α 3α + 5β = 2, η τιμή της παράστασης ισούται με : β β Α. 3 Β. 5 Γ. 8 Δ Το τετράπλευρο του σχήματος είναι παραλληλόγραμμο, τότε η τιμή του x είναι ίση με : Α. x = 2 B. x = 3 Γ. x = 4 Δ. x = 5 67

67 7. Το αποτέλεσμα των πράξεων ποιας παράστασης ισούται με 1; ( 1) ( 2) ( 3) Α ( 1) ( 3) Β. ( 3) Γ Δ :15 8. Τα λ ν του 36 είναι 12, τότε : Α. λ = 2 και ν = 12 Β. λ = 2 και ν = 3 Γ. λ = 1 και ν = 3 Δ. λ = 2 και ν = 4 9. Αν ( 2) ( 3) (+4) κ ( 2)> 0, τότε: Α. κ > 0 Β. κ < 0 Γ. κ = 0 Δ. Δεν μπορούμε να προσδιορίσουμε το κ. 10. Η σωστή διαδικασία για τον υπολογισμό της αριθμητικής παράστασης Α = είναι: Α = 8 9 = 72 2 Β = = 26 Γ = = Δ. (10 2 3) = (10 6) = 4 = 16 B. Μονάδες 2,4 (10x0,24) 1. Σε μια Ευκλείδεια διαίρεση ο διαιρέτης είναι 5 και το πηλίκο είναι ίσο με το διαιρέτη. Να βρείτε τις δυνατές τιμές που μπορεί να πάρει ο διαιρετέος συμπληρώνοντας τον πίνακα: υπόλοιπο πηλίκο διαιρέτης Διαιρετέος Μονάδες 1,3 68

68 2. Με τη βοήθεια της μεταβλητής x να συμπληρώσετε τον πίνακα: πρόβλημα εξίσωση λύση Δύο διαδοχικοί φυσικοί αριθμοί έχουν άθροισμα 15 Από το πενταπλάσιο ενός αριθμού αφαιρούμε 2 και βρίσκουμε διαφο- 3 ρά 7 3 Διαιρούμε το 4 με έναν αριθμό και βρίσκουμε πηλίκο 2 5 Μονάδες 1,3 ΘΕΜΑ 3 ο Α. Να υπολογίσετε τις τιμές των παραστάσεων: x= + 4 και y= (3 ) και να γράψετε τον αριθμό x στην ακέραια μορφή του. Μονάδες 2 Β. Χρησιμοποιώντας τις τιμές που βρήκατε στο Α ερώτημα να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης y 2 : x 2. Μονάδες 1 Γ. Από τους 20 μαθητές μιας τάξης το x% πήρε σ ένα μάθημα βαθμολογία κάτω από τη βάση, ενώ τα y x της τάξης πήρε άριστα. (Οι αριθμοί x και y έχουν προκύψει από το Α. ερώτημα). Να βρείτε: i. Πόσοι μαθητές πήραν βαθμό κάτω από τη βάση. ii. Το ποσοστό τοις εκατό (%) που πήρε άριστα. Μονάδες 2 69

69 ΘΕΜΑ 4 ο Στο σχήμα ΑΒ//ΓΕ και το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές με βάση ΒΓ. Η γωνία Α του τριγώνου ΑΒΓ ισούται σε μοίρες με την αριθμητική τιμή της παράστασης: A = (2 2 7) [(2 2 ) : 2 6] 5 μοίρες. Να υπολογίσετε τις γωνίες ω,φ και x. Μονάδες 5 70

70 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 12 ο Επαναληπτικό διαγώνισμα σε όλη την ύλη Διάρκεια: 2 ώρες ΘΕΜΑ 1 ο Α. Να βρείτε το x σε κάθε περίπτωση: x 3 7 =, x = ( 1)( 2)( 3) x + ( 1)( 2)( 3)( + 5) = 0, x = (6 x) : 9 = 0, x = (x 3): 3 = 1, x = x 5 = 5 3, x = x 3 = 1 7, x = x 10 = 0,0001, x = x =, x = x =, x = x 1 = 9, x... = ή x =... Μονάδες 2,6 (10x0,26) 71

71 Β. Επιλέξτε σε καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις Σ αν είναι σωστή ή Λ αν είναι λάθος: 1. Το άθροισμα μιας ευθείας και μιας οξείας γωνίας είναι μια αμβλεία γωνία. 2. Το διπλάσιο μιας ευθείας γωνίας είναι μια πλήρης γωνία. 3. Υπάρχει τρίγωνο με μια οξεία, μια ορθή και μια αμβλεία γωνία. 4. Ένα ισόπλευρο τρίγωνο μπορεί να είναι και ορθογώνιο. 5. Στο σχήμα το συμμετρικό του ΑΒ ως προς την ευθεία ε είναι το ίδιο το τμήμα ΑΒ. Σ Λ 6. Υπάρχει ισοσκελές τρίγωνο με μια γωνία της βάσης του αμβλεία. 7. Το άθροισμα των εξωτερικών γωνιών ενός τριγώνου ισούται με 180 ο. 8. Στο ισοσκελές τρίγωνο κάθε διάμεσός του είναι ύψος και διχοτόμος. Μονάδες 2,4 (8x0,3) ΘΕΜΑ 2 ο Α. Με τη βοήθεια του σχήματος να συμπληρώσετε τα κενά όταν δίνεται ότι η γωνία ΖΟΕ =40 ο : 1. Η γωνία AOB ονομάζεται... γωνία. 2. Το τόξο ΓΔ είναι το αντίστοιχο τόξο της γωνίας Το τόξο ΖΕ =... μοίρες. 4. Το τόξο ΔΗ =... μοίρες. 5. Τα τόξα ΑΒ και ΓΔ είναι και τα δύο... μοιρών, όμως δεν είναι... γιατί δεν είναι τόξα... κύκλου ή... κύκλων. Μονάδες 1,5 (5x0,3) 72

72 Β. Να συμπληρώσετε τον πίνακα τοποθετώντας ένα + στην κατάλληλη θέση: ΤΕΤΡΑΠΛΕΥΡΑ ΤΟ ΣΗΜΕΙΟ ΤΟΜΗΣ ΕΙΝΑΙ ΚΕΝΤΡΟ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑΣ ΠΑΡΑΛ/ΓΡΑΜΜΟ + ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΡΟΜΒΟΣ ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΔΙΑΓΩΝΙΩΝ ΤΟΥ ΕΙΝΑΙ ΑΞΟΝΕΣ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑΣ ΙΣΕΣ ΚΑΘΕΤΕΣ ΔΙΧΟΤΟΜΟΙ ΤΩΝ ΓΩΝΙΩΝ Μονάδες 1,5 (5x0,3) Γ. Σχήμα ΑΒ//ΓΕ. Να σημειώσετε: α. Τα ευθύγραμμα τμήματα. β. Τα ζεύγη των αντικείμενων ημιευθειών. γ. Τα ζεύγη των γωνιών που είναι κατακορυφήν, παραπληρωματικές και εντός εναλλάξ. δ. Να υπολογίσετε τη γωνία x. Μονάδες 2 (4x0,5) ΘΕΜΑ 3 ο Το τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι ισοσκελές τραπέζιο με Δ = Γ = 45 ο. Η μεγάλη του βάση ΓΔ ισούται σε cm όσο η λύση της εξίσωσης 30:(x-2)=5, ενώ το ύψος του ΑΕ είναι σε cm όσο η λύση της εξίσωσης: 2 2 y = Ε.Κ.Π. (2, 3, 10) + Μ.Κ.Δ. (2, 6, 10). 73

73 1. Να υπολογίσετε τις γωνίες του τραπεζίου. 2. Να υπολογίσετε τη μικρή βάση του ΑΒ. Μονάδες 5 (2χ2,5) ΘΕΜΑ 4 ο Στο σχήμα η περίμετρος του ορθογωνίου ΑΒΓΔ είναι 16 cm ενώ ΑΒ = x + 2 και ΑΔ = x σε cm. Το τόξο ΑΒ = 140 ο. 1. Να υπολογίσετε τις πλευρές του ορθογωνίου. Μονάδες 2,8 2. Να υπολογίσετε τα μέτρα των γωνιών α, β, γ, δ, ε, ζ, η, θ, ι, καθώς και τα μέτρα των τόξων ΒΓ και ΓΔ. Μονάδες 2,2 74

74 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ

75 76

76 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 ο Οι Φυσικοί Αριθμοί ΘΕΜΑ 1 ο Α. 1. Ευκλείδεια διαίρεση λέγεται η διαδικασία κατά την οποία όταν δοθούν δύο φυσικοί αριθμοί, ο Διαιρετέος και ο διαιρέτης βρίσκονται δύο άλλοι φυσικοί αριθμοί, το πηλίκο και το υπόλοιπο, ώστε να ισχύει η ισότητα Δ = δ π + υ, με υ < δ και δ 0. Αν υ = 0 προκύπτει η ισότητα Δ = δ π που λέγεται τέλεια διαίρεση. 2. α : 1 = α 0 : α = 0 α : 0 δεν ορίζεται Ένας φυσικός αριθμός λέγεται πρώτος όταν μοναδικοί του διαιρέτες είναι ο εαυτός του και η μονάδα. Κάθε αριθμός που δεν είναι πρώτος λέγεται σύνθετος. Ο μοναδικός άρτιος και πρώτος είναι το 2. Δύο φυσικοί αριθμοί α και β λέγονται μεταξύ τους πρώτοι όταν Μ.Κ.Δ. (α, β) = 1. Αν ο αριθμός α διαιρεί τον β τότε ο β είναι πολλαπλάσιο του α και ο Μ.Κ.Δ. (α, β) = α. 77

77 Β. πράξη πρόσθεση πολλαπλασιασμός όροι ή προσθετέοι παράγοντες ιδιότητα πρόσθεση πολλαπλασιασμός αντιμεταθετική α + β = β + α α β=β α προσεταιριστική α + (β + γ) = (α + β) + γ α (β γ) = (α β) γ α + 0 = 0 α 1 = α και α 0 = 0 επιμεριστική α (β + γ)=α β + α γ α (β γ) = α β α γ ΘΕΜΑ 2 ο Α. 2 5 (4 + 4) = 2, πράγματι: = 10 8 = 2 2 (5 4) + 4 = 6, πράγματι: = = 6 ( ) 0 = 0, πράγματι: (4 + 8) 0 = 12 0 = 0 (5 + 7) : 4 3 = 0, πράγματι: 12 : 4 3 = 3 3 = 0 (9 + 9) : = 3, πράγματι: 18 : = = 3 Β. Δ δ π υ Δ δ υ = 5 13 = π 2. Δ = = =

78 3. Δ = δ π + υ, υ < δ 100 = δ 12 + υ, υ < δ Δ δ υ = 4 8 = π ΘΕΜΑ 3 ο Α. 1. Γ 2. Γ, γιατί = = Β, γιατί: Α) = 9, Β) 5 4 = 20, Γ) = 4, Δ) Δ 5. Β, γιατί: x 3 x ν = 0 ή x 3 = x ν, άρα ν = Γ, γιατί περιέχονται οι αριθμοί: 11, 13, 17, 19, 23, Δ, πρέπει υ <5, υ φυσικός, οπότε υ = 0 ή 1 ή 2 ή 3 ή Δ, γιατί υ = 11, δ = 10 (ή 8) και υ > δ. Β. Στήλη Α αριθμός Παρατήρηση: Η συμπλήρωση των κενών με τα ψηφία που λείπουν είναι ενδεικτική. Υπάρχουν και άλλοι συνδυασμοί. ΘΕΜΑ 4 ο Α. x = 13 2 = 26 y = = 98 ω = (8 + 10) : (15 15) 5 = 18 : = 18 : = = 2 x + y + ω = = 126 =

79 Β. 6 = 2 3, 8 = 2 3 άρα Ε.Κ.Π. (6, 8) = = 3 8 = 24, α = = 3 2 5, 60 = , 75 = 3 5 2, άρα Μ.Κ.Δ. (45, 60, 75) = 3 5 = 15, β = 15 Α = ( ) 3 = 39 3 = Β = = = = = Άρα Α = Β. 80

80 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 2 ο Τα κλάσματα ΘΕΜΑ 1 ο Α. i) Τα κλάσματα α και β είναι ομώνυμα όταν γ = δ και ετερώνυμα όταν γ δ. γ δ Από δύο ομώνυμα κλάσματα μεγαλύτερο είναι αυτό που έχει μεγαλύτερο αριθμητή, ενώ από δύο κλάσματα με ίσους αριθμητές μικρότερο είναι αυτό που έχει τον μεγαλύτερο παρονομαστή. ii) Για παράδειγμα: > < iii) Το γινόμενο δύο κλασμάτων είναι ένα κλάσμα που έχει για αριθμητή το γινόμενο των αριθμητών και παρονομαστή το γινόμενο των παρονομαστών. Τα κλάσματα α και β λέγονται αντίστροφα και το γινόμενο τους ισούται με 1. β α Β. i. Λ ii. Σ iii. Λ iv. Σ v. Σ γιατί: α+ λ α λ α 1 1 α = + = + = + λ λ λ λ λ vi. Σ 81

81 ΘΕΜΑ 2 ο Α. α β α+β ΕΚΠ(6,8) = α+ β = + = + = + = : 5 4 β = = = = : 5 5 ΕΚΠ(16,12) = α = = = = Β. 1, γιατί 2 2 = 1 6, γιατί 3, γιατί : 4 5 = = : : 7 3 = = : , γιατί 4 3 x = x 1= x 3 4 6, 11 γιατί 5 < 6 < Μετατρέπουμε τα κλάσματα σε ισοδύναμα με μεγαλύτερος όρους: για παράδειγμα: 1 1 = 4 = 4 και 2 2 = 4 = 8, άρα ένα τέτοιο κλάσμα είναι το:

82 ΘΕΜΑ 3 ο 1. Γ: 2. Γ: 3. Β: 4. Δ ΕΚΠ(2,4) = = + = + = = 3= ΕΚΠ(4,3) = = 4 3 = = 12 = = 1 1 ΕΚΠ(2,6) = Α, αφού x + 5 < x Γ, αφού 2 (x + 3) = 2x Δ: : = = + : : 4 4 = + = = + : = + : = = + = + = ΘΕΜΑ 4 ο Α. Αφού τα 2/3 των μαθητών της τάξης είναι 18 μαθητές το 1/3 θα είναι 18 : 2 = 9 μαθητές και τα 3/3 που είναι ολόκληρη η τάξη θα είναι 3 9 = 27 μαθητές. 83

83 Β A = [ + (1 ) ]: = = [ + ( ) ]: = ( + ): = Ε.Κ.Π.(5,4) = = ( + ): ( ): = + = = ( + ): = : 5 3 = = = = : Β = ( + 2 ): = ( + ): = = : = = Άρα Α = Β. 84

84 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 3 ο Οι Δεκαδικοί αριθμοί ΘΕΜΑ 1 ο Α : 100 = 1, , = 57, ,001 = 0, : 0,01 = , = : = 0, ,0001 = 7, : 10 = 0, : = 0, : 10 3 = 11,092 Β. αριθμός στρογγυλοποίηση προσέγγιση 17,024 εκατοστό 17, δεκάδα ,9156 δέκατο 0,9 304,9999 χιλιοστό εκατοντάδα ,302 μονάδα χιλιάδα

85 ΘΕΜΑ 2 ο Α. Γνωρίζουμε ότι η περίμετρος Π του ορθογωνίου δίνεται από τον τύπο Π = 2 (α + β) ή Π = 2α + 2β. Για το 1 ο ορθογώνιο: Π = 2 (3,2+8) = 2 11,2 = 22,4dm Για το 2 ο ορθογώνιο: α = 20cm Επειδή Π = 2(α + β), έχουμε: 160 = 2(20 + β) 160 : 2 = 20 + β 80 = 20 + β β = = 60cm Για το 3 ο ορθογώνιο: Π = 180dm = 180:10 = 18 m Αφού Π = 2(α + β), α + β = Π : 2, α + β = 18 : 2 = 9, τότε α + β = 9 δηλαδή α + 5 = 9, άρα α = 4 m. Για το 4 ο ορθογώνιο: α = 400mm = 400 : 1000 = 0,4m β = 80cm = 80 : 100 = 0,8m Π = 2 (0,4 + 0,8) = 2 1,2 = 2,4m μήκος πλάτος περίμετρος 1 ο ορθογώνιο 3,2dm 8dm 22,4dm 2 ο ορθογώνιο 20cm 60cm 160cm 3 ο ορθογώνιο 4m 5m 180dm 4 ο ορθογώνιο 400mm 80cm 2,4m B. α. 0,052m < 0,7003m < 0,703m < 2m < 2,023m < 5,23m β. Επιλέγουμε μια μονάδα μέτρησης π.χ. m και μετατρέπουμε όλες τις μονάδες σε αυτήν: 0,023km = 0, = 23m 12,3m = 12,3m 86

86 134dm = 134 : 10 = 13,4m 1004cm = 1004 : 100 = 10,04m 11011mm = : 1000 = 11,011m Τώρα μπορούμε να τοποθετήσουμε τα μήκη αυτά από το μικρότερο στο μεγαλύτερο: 10,04m < 11,011m < 12,3m < 13,4m < 23m ή 1004cm < 11011mm < 12,3m < 134dm < 0,023km. Γ. α. ΣΤΗΛΗ (Α) ΣΤΗΛΗ (Β) Γιατί: , : = = : 100 5, = = , : 6 6, = = , = 523 : = = 0,0523 β. κλάσμα Δεκαδικός αριθμός Δεκαδικό κλάσμα : 5 = 0,6 21 : 25 = 0,84 3 : 800 = 0,

87 ΘΕΜΑ 3 ο x = , = , = = 35 cm y = 0, = 0,4 100 = 40 cm Π = (0,1 + 0,01 + 0,001) 1000 = 0, = 111 cm ω = Π (x + y) = 111 ( ) = = 36 cm. ΘΕΜΑ 4 ο Α = 9,6 2 (2 3 : 0,8 + 0,5 2 : 0,01) = 9,6 2 (8 : 0,8 + 0,25 : 0,01) = 9,6 2 ( ) = = 9, = 92,16 35 = 57,16. Β = (2 3 0,8 0,5) 2+9,6:0,01 (2 3 :2 4 ) 2 = (8 0,8 0,5) 2+9,6:0,01 (8:16) 2 = = (8 0,4) 2 + 9,6 : 0,01 0,5 2 = 7, ,6 : 0,01 0,25 = = 15, ,25 = 975,2 0,25 = 974,95. 88

88 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 4 ο 1. Εξισώσεις και προβλήματα 2. Τα ποσοστά ΘΕΜΑ 1 ο Α. Από τη θεωρία του σχολικού βιβλίου έχουμε: Α Β γ στ β α δ ε Β. 1. Ένα κλάσμα είναι ίσο με το 0 όταν ο αριθμητής του είναι 0, άρα : x 4 = 0, x = 4. Επιλέγουμε την απάντηση (β). 2. Ένα κλάσμα ισούται με 1 όταν οι όροι του είναι ίσοι, άρα έχουμε την εξίσωση: x + 12 = 20, x = = 8. Επιλέγουμε την απάντηση (η). 3. Με την επιμεριστική ιδιότητα έχουμε : 2x 6 = 8 δηλ. 2x = ή 2x = 14 ή x = 14 : 2 = 7. Επιλέγουμε την απάντηση (ε). 4. Με δοκιμή βρίσκουμε ότι ο αριθμός που επαληθεύει την εξίσωση αυτή είναι το x = 3. Πράγματι για x = 3 έχουμε: = ή 12 6 = ή 6 = 6 που είναι μια αληθής ισότητα. Επιλέγουμε την απάντηση (α). 5. Με δοκιμή προκύπτει ότι η λύση είναι ο αριθμός 2 αφού : = 1, δηλ. + = 1, δηλ. = 1, που ισχύει. Επιλέγουμε την απάντηση (ζ)

89 6. Κάνοντας χιαστί πολλαπλασιασμό έχουμε: 3 = 1 ή 1 x= 3 3 ή x = 9. Επιλέγουμε x 3 την απάντηση (στ). 7. Η εξίσωση γράφεται: 0x = 0 που επαληθεύεται για όλες τις τιμές και λέγεται αόριστη ή ταυτότητα. Επιλέγουμε την απάντηση (δ). 8. Η εξίσωση γράφεται 0x = 2, που δεν έχει λύση και χαρακτηρίζεται ως αδύνατη. (γ). Συμπληρώνουμε επομένως τον πίνακα: A B β η ε α ζ στ δ γ ΘΕΜΑ 2 ο Α. 1. Η περίμετρος του ορθογωνίου ισούται με το άθροισμα των πλευρών του. Επομένως επιλέγουμε την απάντηση Γ. 2. Στο 1 ο μέλος εφαρμόζουμε επιμεριστική ιδιότητα, οπότε προκύπτει η εξίσωση: 6 x = x = 60 : 6 = 10 cm. Τότε η μικρή διάσταση είναι 10 cm και η μεγάλη 20 cm. 4. Ε = = 200 cm 2. B. α = = 20 β = (4 + 2) 5 = 6 5 = 30 γ = (8 4) 3 : = 4 3 : = 64 : = = 50 Είναι: α + β + γ = = 100 α 2 + β 2 + γ 2 = = 3800 Επομένως: 100 x = 3800 ή x = 3800 : 100 = 38. ΘΕΜΑ 3 ο 1. Δ γιατί: 314 = 314 : 10 = 31,4 = 31,4 % :

90 2. Β γιατί: για να βρούμε το 200% του 200 κάνουμε τον πολλαπλασιασμό = = 3. Δ γιατί: 4 4 = 20 = 80 = 80 % Β 5. Γ γιατί το 1m = 100cm και τα 3% των 100cm είναι 6. Δ γατί η αύξηση είναι 30 οπότε σχηματίζουμε το κλάσμα: = = = 60 % ,75 7. Β γιατί: = 14 : 32 = 0,4375 = = 43,75 % = cm ΘΕΜΑ 4 ο Στις 10 Φεβρουαρίου η αύξηση σε ήταν: = = Η τιμή διαμορφώθηκε σε = 550. Στις 12 Μαρτίου έγινε νέα αύξηση 8% επί της αξίας των 550 αυτή τη φορά: = = 44 και επομένως η τελική τιμή είναι = 594, δηλ. αύξηση = Παίρνουμε επομένως το κλάσμα: 94 = 94 : 5 = 18,8 = 18,8 % αύξηση και όχι 18% :

91 92

92 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 5 ο Ανάλογα ποσά και αντιστρόφως ανάλογα ποσά ΘΕΜΑ 1 ο Α. Δύο ποσά x και y λέγονται ανάλογα όταν πολλαπλασιάζοντας τις τιμές του ποσού x με έναν αριθμό, τότε οι αντίστοιχες τιμές του άλλου ποσού y πολλαπλασιάζονται με τον ίδιο αριθμό. Το πηλίκο των αναλόγων ποσών x και y λέγεται συντελεστής αναλογίας και είναι πάντα σταθερό. Τα ανάλογα ποσά x και y συνδέονται με την ισότητα y = α x Τα ζευγάρια των τιμών (x, y) παριστάνουν σημεία που βρίσκονται πάνω σε ευθεία γραμμή που διέρχεται από το σημείο Ο. Β. 1. ΝΑΙ, γιατί το πηλίκο των αντίστοιχων τιμών είναι σταθερό: 60 = 120 = 180 = ΟΧΙ, γιατί: ΝΑΙ, αν με x ονομάσουμε την πλευρά του τετραγώνου, η περίμετρός του θα ισούται με 4x και ο λόγος τους θα είναι: περίμετρος = 4χ = 4 σταθερός αριθμός. πλευρά χ 93

93 4. ΟΧΙ, αν x η πλευρά του τετραγώνου, αυτή μπορεί για παράδειγμα να πάρει τις τιμές: 1, 2, 3, 4,..., τότε το εμβαδόν που ισούται με x 2, θα παίρνει αντίστοιχα τις τιμές: 1 2 = 1, 2 2 = 4, 3 2 = 9, 4 2 = 16,... Το πηλίκο τότε του εμβαδού προς την αντίστοιχη πλευρά δεν είναι σταθερό: πλευρά εμβαδόν εμβαδόν πλευρά ΝΑΙ, η ισότητα y = x είναι ισότητα αναλόγων ποσών. 6. ΝΑΙ, για τον ίδιο λόγο. 7. ΟΧΙ, η ισότητα δεν είναι της μορφής y = αx που έχουν δύο ανάλογα ποσά x και y. 8. ΟΧΙ, η γραφική παράσταση δύο αναλόγων ποσών x και y είναι ευθεία που διέρχεται από την αρχή των αξόνων. 9. ΟΧΙ, δεν είναι ευθεία. 10. ΝΑΙ, είναι ευθεία που διέρχεται από την αρχή των αξόνων. ΘΕΜΑ 2 ο Α. Δύο ποσά x και y λέγονται αντιστρόφως ανάλογα όταν πολλαπλασιάζοντας τις τιμές του ποσού x με έναν αριθμό οι αντίστοιχες τιμές του άλλου ποσού y διαιρούνται με τον ίδιο αριθμό. Το γινόμενο των αντιστρόφως αναλόγων ποσών x και y είναι σταθερό και τα ποσά α συνδέονται με την ισότητα y = x Τα ζευγάρια των τιμών (x, y) παριστάνουν σε αυτή τη περίπτωση σημεία του επιπέδου που βρίσκονται πάνω σε καμπύλη γραμμή που ονομάζεται υπερβολή και που δεν τέμνει ποτέ τους ημιάξονες Οx, Οy. 94

94 Β. y x = 6, άρα 6 y = x Γ. 1. ΝΑΙ, αν 10 εργάτες για παράδειγμα θα χρειάζονταν 6 ώρες για την ολοκλήρωση του έργου, οι 20 εργάτες μπορούμε να υποθέσουμε ότι θα χρειαστούν 3 ώρες. 2. ΝΑΙ, εμβαδό Ε = x y Ε = x y = 12 = σταθερό. 95

95 Συμπληρώνουμε ενδεικτικά τον πίνακα: x y E = x y ΟΧΙ, η καμπύλη πρέπει να είναι υπερβολή. 4. ΝΑΙ, η καμπύλη είναι υπερβολή. 5. ΝΑΙ, το γινόμενο των ποσών x και y είναι σταθερό και ίσο με ΟΧΙ, η ισότητα μεταξύ του x, y δεν έχει τη μορφή α y =,α 0. x 7. ΝΑΙ, η ισότητα των ποσών x, y έχει τη μορφή α y =,α 0που χαρακτηρίζει τα αντι- x στρόφως ανάλογα ποσά. ΘΕΜΑ 3 ο α) Αν x η πλευρά του ισοπλεύρου τριγώνου, τότε η περίμετρός του y είναι y = 3x. x = πλευρά 2 3 3,5 4 y = περίμετρος ,5 12 β) επειδή: ,5 12 = 3, = 3, = 3, = 3, 2 3 3,5 4 συμπεραίνουμε ότι τα ποσά x και y είναι ανάλογα και ισχύει για αυτά η ισότητα: y 3 x = ή y = 3x. 96

96 γ) Θα προκύψει μία ευθεία που θα διέρχεται από την αρχή των αξόνων: ΘΕΜΑ 4 ο Τα ποσά ταχύτητα και χρόνος προφανώς είναι αντιστρόφως ανάλογα. α) Έστω ότι ο οδηγός πρέπει ν αυξήσει κατά x χιλιόμετρα τη ταχύτητά του αυτοκινήτου του. Τότε θα πρέπει ν αναπτύξει ταχύτητα 120+x χιλιομέτρων την ώρα για να καλύψει συντομότερα την ίδια απόσταση. Συμπληρώνουμε τον πίνακα: Ταχύτητα (χιλ./ώρα) x Χρόνος (λεπτά) Aφού τα ποσά είναι αντιστρόφως ανάλογα έχουν τα γινόμενα των αντιστοίχων τιμών τους ίσα: 40 (120 + x) = x = x = x = 1200 x = 1200 : 40 = 30 97