À ø ƒø ø ƒπ ª π ø πø π π ø ƒπ ªø

Transcript

1 º π 6 À ø ƒø ø ƒπ ª π ø πø π π ø ƒπ ªø Οαριθµ ς είναι έννοια πολ πλοκη και πολ πλευρη. Η βαθιά καταν ηση του αριθµο, µια σχεσιακή καταν ηση, έχει να κάνει µε πολλές διαφορετικές ιδέες, σχέσεις και δεξι τητες. Η εµπειρία υποδεικν ει τι αυτές οι σχέσεις δεν αναπτ σσονται αυτ µατα, γι αυτ δουλειά µας είναι να εφοδιάσουµε τα παιδιά µε µια πλο σια ποικιλία δραστηριοτήτων που θα τα βοηθήσουν να δοµήσουν αυτ το πλήθος των ιδεών που σχετίζονται µε τον αριθµ. µ π π 1. apple Ú ıìëûë Ì Ï ÂÈ applefi applefiû appleú ÁÌ Ù appleô- ÙÂÏÂ Ù È Ó Û ÓÔÏÔ. 2. OÈ ÚÈıÌÔ Û Ó ÔÓÙ È ÌÂÙ Í ÙÔ Ì appleôïï Î È appleôèî ÏÂ Û ÛÂÈ. 3. OÈ ÚÈıÌÔ Ô Ó È ÊÔÚÂÙÈÎ Í Â fiù Ó Û Ó Ô- ÓÙ È Ì appleú ÁÌ ÙÈÎ ÓÙÈΠÌÂÓ Î È ÌÂÙÚ ÛÂÈ. È apple Ú ÂÈÁÌ, 5 ÂÏ Ê ÓÙÂ Â Ó È ÌÈ ÌÂÁ ÏË appleôûfi- ÙËÙ, ÏÏ 5 ÎËÚÔÌappleÔÁÈ ÌÈÎÚ, Ó Î È Ô ÚÈıÌfi Â Ó È Ô ÈÔ Ø Ù 12 ÏÂappleÙ ÂÓ Â Ó È appleôï appleâúèûûfi- ÙÂÚ applefi Ù 10 ÏÂappleÙ, ÏÏ Â Ó È appleôï appleâúèûûfiùâ- Ú applefi Ù 30  ÙÂÚfiÏÂappleÙ. ƒø π æ ø ƒπ ªø Η Howden (1989) περιγράφει την αντίληψη των αριθµών ως µια «καλή διαίσθηση σχετικά µε τους αριθµο ς και τις σχέσεις τους. Αναπτ σσεται σταδιακά ως αποτέλεσµα της διερε νησης των αριθµών, της νοερής τους απεικ νισης σε ποικίλα περιβάλλοντα και της αλληλοσυσχέτισής τους µε τρ πους που δεν περιορίζονται απ τους παραδοσιακο ς αλγ ριθµους» (σ. 11). Αυτ ς ο ορισµ ς µπορεί να είναι ο καλ τερος ακ µη και έπειτα απ µια δεκαετία. Το Principles and Standards ζητάει απ τα παιδιά απ τα προνήπια µέχρι τη Β δηµοτικο να κατανοο ν τους αριθµο ς, να διαθέτουν τρ πους για να τους αναπαριστο ν και να διερευνο ν τις σχέσεις ανάµεσα στους αριθµο ς. Καθ λη τη διάρκεια των σχολικών χρ νων θα πρέπει να αναπτ σσεται αδιάλειπτα η ευέλικτη, διαισθητική συλλογιστική ως προς τους αριθµο ς, καθώς µεγαλ τεροι αριθµοί, τα κλάσµατα, οι δεκαδικοί και τα επί τοις εκατ ποσοστά θα προστίθενται σταδιακά στο «ρεπερτ ριο» των παιδιών. Η καλλιέργεια, µως, της αίσθησης των αριθµών πρέπει να αρχίσει απ το νηπιαγωγείο, καθώς αποτελεί το θεµέλιο των αριθµητικών ιδεών οι οποίες πρ κειται να συσσωρευτο ν κατά τα σχολικά έτη. Σε αυτ το Κεφάλαιο θα επικεντρωθο µε µ νο σε ένα µικρ αλλά σηµαντικ κοµµάτι της αντίληψης των αριθµών, τις σχέσεις των αριθµών περίπου έως και το 20. Επιδίωξή µας θα είναι να βοηθήσουµε τα παιδιά να οικοδοµήσουν µια ποικιλία σηµαντικών σχέσεων πάνω σε αυτο ς τους αριθ- µο ς και τις συνδέσεις τους µε τον πραγµατικ κ σµο. Πρ κειται για τις σχέσεις που συνιστο ν το ίδιο το θεµέλιο µεγάλου µέρους της µαθηµατικής σκέψης και της ανάπτυξης της αριθµητικής αντίληψης. 121

2 122 ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΤΩΝ ΠΡΩΤΩΝ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ΚΑΙ ΤΗΣ ΑΙΣΘΗΣΗΣ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 À ø ƒπ ªø ƒo π π O π ø πo Οι γονείς βοηθο ν τα παιδιά να µετρήσουν τα δάχτυλά τους, τα παιχνίδια τους, τους ανθρώπους στο τραπέζι και άλλα µικρά σ νολα αντικει- µένων. Ερωτήσεις σχετικά µε το «Ποιος έχει περισσ τερα;» ή «Είναι αρκετά;» είναι µέρος της καθηµερινής ζωής των παιδιών ήδη απ την ηλικία των 2 ή των 3 ετών. Μεγάλος αριθµ ς δεδοµένων υποδεικν ει τι αυτά τα πολ µικρά παιδιά διαθέτουν κάποιο είδος καταν ησης των αριθµών και της απαρίθµησης (Baroody, 1987 Fuson & Hall, 1983 Gelman & Gallistel, 1978 Gelman & Meck, 1986 Ginsburg, 1977). Στο σχολείο, η εννοιολογική γνώση των αριθ- µών αναπτ σσεται ταυτ χρονα µε τις αλληλένδετες διαδικαστικές δεξι τητες της απαρίθµησης, της αναγνώρισης και της γραφής των ψηφίων. Οι διαδικαστικές δεξι τητες γίνονται εργαλεία που τα παιδιά χρησιµοποιο ν για να εµβαθ νουν τις γνώσεις τους αναφορικά µε τις αριθµητικές έννοιες. OÈ ÛÂÈ «ÂÚÈÛÛfiÙÂÚÔ», «ÈÁfiÙÂÚÔ» Î È «ÿ ÈÔ» Οι έννοιες «περισσ τερο», «λιγ τερο» και «ίδιο» είναι βασικές σχέσεις που συµβάλλουν στη συνολική έννοια του αριθµο. Το ξεκίνηµα αυτών των ιδεών γίνεται πριν ακ µη πάνε τα παιδιά στο σχολείο. Ένα παιδί που πηγαίνει για πρώτη φορά στο νηπιαγωγείο είναι σχεδ ν πάντα σε θέση να διαλέξει το σ νολο που είναι περισσ τερο, αν του δείξουν δ ο σ νολα µε προφανή αριθµητική διαφορά. Μάλιστα, ο Baroody δηλώνει τι «ταν ένα παιδί δεν µπορεί να χρησιµοποιήσει έτσι διαισθητικά το περισσ τερο, τ τε η µ ρφωσή του διατρέχει σοβαρ κίνδυνο» (1987, σ. 29). Οι δραστηρι τητες της τάξης θα πρέπει να βοηθο ν τα παιδιά να οικοδοµήσουν πάνω σε αυτή τη βασική αντίληψη και να τη βελτιώσουν. Μολον τι η έννοια «λιγ τερο» είναι λογικά ισοδ ναµη µε την έννοια «περισσ τερο» (επιλέγοντας το σ νολο που είναι περισσ τερο είναι το ίδιο σαν να µην επιλέγουµε το σ νολο που είναι λιγ τερο), η λέξη λιγ τερο αποδεικν εται πιο δ σκολη για τα παιδιά απ,τι η λέξη περισσ τερο. Μια πιθανή εξήγηση είναι τι τα παιδιά έχουν πολλές ευκαιρίες να χρησιµοποιήσουν τη λέξη περισσ τερο, ενώ εκτίθενται πολ πιο σπάνια στη λέξη λιγ τερο. Για να βοηθήσετε τα παιδιά µε την έννοια «λιγ τερο», να το συνδυάζετε τακτικά µε τη λέξη περισσ τερο και να κάνετε σκ πιµα ερωτήσεις του τ που «Ποιο είναι λιγ τερο;» καθώς και «Ποιο είναι περισσ τερο;». Για παράδειγµα, ας υποθέσουµε τι η τάξη σας έχει επιλέξει σωστά, απ τα δ ο που έχετε δώσει, το σ νολο που έχει τα περισσ τερα. Τ τε να θέσετε αµέσως το ερώτηµα «Ποιο είναι λιγ τερο;». Έτσι ο λιγ τερο οικείος ρος και η λιγ τερο οικεία έννοια θα συνδεθο ν µε τη γνωστή ιδέα. Και για τις τρεις παραπάνω έννοιες (περισσ τερο, λιγ τερο, ίδιο) τα παιδιά θα πρέπει να κατασκευάσουν σ νολα χρησιµοποιώντας πο λια, καθώς και να κάνουν συγκρίσεις ή επιλογές ανάµεσα σε δ ο δοσµένα σ νολα. Οι δραστηρι τητες που περιγράφουµε εδώ περιλαµβάνουν και τους δ ο τ πους. Αυτές οι δραστηρι τητες θα πρέπει να διεξάγονται µε διερευνητικ πνε µα και να συνοδε ονται, ταν είναι δυνατ ν, απ κάποια απαίτηση για επεξήγηση. «Γιατί νοµίζετε τι αυτ το σ νολο έχει λιγ τερα;» 6.1 ºÙÈ ÍÙ ÓÔÏ Ì ÂÚÈÛÛfiÙÂÚ / ÈÁfiÙÂÚ / ÿ È Â Ó ÙÚ apple È, ÒÛÙ appleâú appleô Ô ÙÒ Î ÚÙ ÌÂ Û - ÓÔÏ ÙˆÓ 4 ˆ 12 ÓÙÈÎÂÈÌ ÓˆÓ, Ó Û ÓÔÏÔ applefi ÌÈ- ÎÚ appleô ÏÈ Î Ô Î È ÌÂÚÈÎ Î ÚÙÂ Ï ÍÂˆÓ appleô Ó ÁÚ ÊÔ Ó «ÂÚÈÛÛfiÙÂÚÔ», «ÈÁfiÙÂÚÔ» Î È «ÿ ÈÔ». appleï Û Πıâ Î ÚÙ, ÏÙ ÙÔ Ì ıëù Ó ÊÙÈ - ÍÔ Ó ÙÚÂÈ Û ÏÏÔÁ applefi appleô ÏÈ : Ó Û ÓÔÏÔ Ì appleâ- ÚÈÛÛfiÙÂÚ, Ó Û ÓÔÏÔ Ì ÏÈÁfiÙÂÚ ÎÈ Ó Û ÓÔÏÔ Ì ٠È. OÈ Î Ù ÏÏËÏ ÂÙÈÎ Ù ÙÔappleÔıÂÙÔ ÓÙ È apple Óˆ ÛÙ Û ÓÔÏ ( Ï. Ì 6.1). ÈÁfiÙÂÚ ÿ È ÂÚÈÛÛfiÙÂÚ Ã ª 6.1 Ù ÛÎÂ Û ÓfiÏˆÓ appleô Â Ó È ÚÈıÌËÙÈÎ appleâúèûûfiùâú, ÏÈÁfiÙÂÚ È. Στη ραστηρι τητα 6.1, τα παιδιά δηµιουργο ν ένα σ νολο µε πο λια, το οποίο τους παρέχει την

3 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΤΩΝ ΠΡΩΤΩΝ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ΚΑΙ ΤΗΣ ΑΙΣΘΗΣΗΣ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 123 ευκαιρία να προβληµατιστο ν για τα σ νολα και να τα αναπροσαρµ ζουν καθώς εργάζονται. Η επ - µενη δραστηρι τητα εκτελείται χωρίς πο λια. Αν και πραγµατε εται τις ίδιες βασικές ιδέες, προσφέρει ένα διαφορετικ πρ βληµα. ÙfiÙÂ Ô apple ÎÙË Ì ٠ÏÈÁfiÙÂÚ ÎÂÚ ÂÈ Î È ÓÙ - ÛÙÚÔÊ ( Ï. Ì 6.2). 6.2 µúâ Ù ÙËÓ ÿ È ÔÛfiÙËÙ ÒÛÙ ÛÙ apple È È ÌÈ Û ÏÏÔÁ applefi Î ÚÙ ÌÂ Û ÓÔ- Ï. ªÈ appleèı ÓfiÙËÙ Â Ó È ÔÈ Î ÚÙ Ì ÎÔ ÎÎ Â ( Ï. ÙÔ ŒÙÔÈÌÔ ÁÈ Ó apple ÁˆÁ ÀÏÈÎfi ÛÙÔ Ù ÏÔ ÙÔ È- Ï Ô ). µ ÏÙ ٠apple È È Ó ÂappleÈÏ ÍÔ Ó ÌÈ ÔappleÔÈ appleô- Ù ΠÚÙ applefi ÙË Û ÏÏÔÁ Î È appleâèù Ó ÚÔ Ó ÌÈ ÏÏË Î ÚÙ Ì ÙËÓ È appleôûfiùëù ÒÛÙÂ Ó Ô Ó Ó Â Á ÚÈ. Ó ÛÙÂ Ó Ú ÛÎÂÙ ÎÈ ÏÏ Â ÁË. ÈÁfiÙÂÚÔ ÂÚÈÛÛfiÙÂÚÔ Ã ª 6.2 ªÈ Û Ô Ú «ÏÈÁfiÙÂÚÔ»/«appleÂÚÈÛÛfiÙÂÚÔ». Η ραστηρι τητα 6.2 µπορεί να µεταβληθεί αναθέτοντας στα παιδιά να βρουν κάρτες µε κουκκίδες οι οποίες είναι «περισσ τερες» ή «λιγ τερες». Προσέξτε πώς κάνουν οι µαθητές και οι µαθήτριες τη δραστηρι τητα. Τα παιδιά µε αριθµητικές ιδέες συνδεδεµένες µε την αρίθµηση και τίποτα άλλο θα επιλέξουν κάρτες στην τ χη και θα µετρήσουν τις κουκκίδες µία µία. Άλλα θα αρχίσουν επιλέγοντας µια κάρτα η οποία φαίνεται να διαθέτει τον ίδιο περίπου αριθµ απ κουκκίδες. Πρ κειται για ένα σηµαντικά υψηλ τερο επίπεδο καταν ησης. Παρατηρήστε επίσης πώς απαριθ- µο νται οι κουκκίδες. Είναι ακριβείς; Κάθε κουκκίδα µετριέται µ νο µια φορά; Άλλο ένα σηµαντικ επίπεδο καταν ησης έχουµε ταν τα παιδιά αρχίζουν να αναγνωρίζουν µικρά σ νολα µε πρ τυπα χωρίς καµία απαρίθµηση. Οι ίδιες έννοιες του «περισσ τερο», «λιγ τερο» και «ίδιο» αναπτ σσονται στο παιχνίδι που ακολουθεί. 6.3 «ª Ë» ÙÔ ÂÚÈÛÛfiÙÂÚÔ Î È ÙÔ ÈÁfiÙÂÚÔ Ô ÁÓˆÛÙfi apple È Ó È ÙË «Ì Ë» ÌappleÔÚÂ Ó apple È Ù Ì ÙÈ Î ÚÙ Ì ÎÔ ÎÎ Â ÔappleÔÈÂÛ appleôùâ Î ÚÙ appleô Ó apple ÚÈÛÙÔ Ó Û ÓÔÏ Ø ÌappleÔÚ Âapple ÛË Ó apple È- ÙÂ Î È Ì ÓÙfiÌÈÓÔ. ªÈ ÏÏË apple Ú ÏÏ Á Â Ó È Ó Á Ú ÂÙ Πıâ ÊÔÚ ÌÈ Û Ô Ú ˆÚÈÛÌ ÓË ÛÂ Ô Ì ÚË Ì ÙÈ ÂÓ Â ÍÂÈ «ÂÚÈÛÛfiÙÂÚÔ» Î È «ÈÁfiÙÂ- ÚÔ» Û Πıâ ÌÈÛfi. Ó Ë Û Ô Ú Â ÍÂÈ «ÈÁfiÙÂÚÔ», ÚÒÙË apple Ú ıìëûë Ουσιαστικές δραστηρι τητες απαρίθµησης µπορεί να ξεκινήσουν κατά την προσχολική περίοδο και να συνεχίσουν στο νηπιαγωγείο. Σε γενικές γραµµές, στη µέση της χρονιάς στο νηπιαγωγείο τα παιδιά θα πρέπει να έχουν κατανοήσει επαρκώς την απαρίθµηση, αλλά να έχουν δοµήσει µ να τους αυτή την ιδέα. εν γίνεται να τους την επιβάλουµε. Μ νο η ακολουθία της απαρίθµησης είναι µηχανική διαδικασία. Το ν ηµα που αποδίδεται στην απαρίθµηση είναι η βασική εννοιολογική ιδέα, στη βάση της οποίας αναπτ σσονται λες οι άλλες αριθµητικές έννοιες. Ó appleù ÍË ÙˆÓ ÂÍÈÔÙ ÙˆÓ apple Ú ıìëûë Η απαρίθµηση ενέχει δ ο τουλάχιστον ξεχωριστές δεξι τητες. Πρώτον, το παιδί πρέπει να είναι σε θέση να παράγει µε τη σειρά τη συνηθισµένη λίστα των αριθµητικών λέξεων: «Ένα, δ ο, τρία, τέσσερα...» ε τερον, το παιδί πρέπει να είναι σε θέση να συνδέει ένα προς ένα αυτή την ακολουθία µε τα στοιχεία του συν λου που απαριθµεί. Κάθε στοιχείο πρέπει να πάρει µία και µ νη τιµή. Η εµπειρία και η καθοδήγηση είναι οι κυρι τεροι παράγοντες στην καλλιέργεια αυτών των δεξιοτήτων απαρίθµησης. Πολλά απ τα παιδιά που έρχονται στο νηπιαγωγείο µπορο ν να απαριθµήσουν σ νολα των 10 ή και πάνω. Ταυτ χρονα, παιδιά µε στερηµένο υπ βαθρο µπορεί να χρειαστο ν πολλή εξάσκηση για να αναπληρώσουν την έλλειψη εµπειρίας. Το µέγεθος του συν λου είναι επίσης ένας παράγοντας που σχετίζεται µε την επιτυχία στην απα-

4 124 ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΤΩΝ ΠΡΩΤΩΝ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ΚΑΙ ΤΗΣ ΑΙΣΘΗΣΗΣ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ρίθµηση. Προφανώς, για την εκµάθηση µεγαλ τερων σειρών αριθµών απαιτείται περισσ τερη εξάσκηση. Οι πρώτες 12 τιµές δεν έχουν να κάνουν µε κάποιο πρ τυπο ή επανάληψη και πολλά παιδιά δεν αναγνωρίζουν κάποιο πρ τυπο ακ µη και στους µεγαλ τερους απ το δώδεκα αριθµο ς. Η απαρίθµηση εν ς συν λου αντικειµένων που µπορο ν να µετακινηθο ν καθώς απαριθµο νται είναι πιο ε κολη απ την απαρίθµηση αντικειµένων που δεν µπορο µε να µετακινήσουµε ή να αγγίξουµε. Η απαρίθµηση εν ς συν λου που διαθέτει κάποια οργάνωση, πως µια σειρά απ κουκκίδες ή κάποιο άλλο πρ τυπο, είναι πιο ε κολη απ την απαρίθµηση εν ς συν λου σε τυχαία διάταξη. Φαίνεται πως ελάχιστα είναι τα οφέλη, αν κάνου- µε πιο δ σκολες τις δραστηρι τητες απαρίθµησης. Κατά συνέπεια, στα παιδιά που µαθαίνουν ακ µη τις δεξι τητες της απαρίθµησης µε άλλα λ για, την αντιστοίχιση προφορικών αριθµητικών λέξεων και αντικειµένων πρέπει να δίνουµε σ νολα απ κ βους ή πο λια που µπορο ν να µετακινήσουν ή εικ νες συν λων µε διάταξη κατάλληλη για ε κολη απαρίθµηση. apple Ú ıìëûë appleôîù ËÌ Û Υπάρχει διαφορά ανάµεσα στο να µπορεί κάποιος να µετρήσει ( πως περιγράψαµε µ λις τώρα) και στο να ξέρει τι σηµαίνει η απαρίθµηση. ταν απαριθµο µε ένα σ νολο, η τελευταία αριθµητική λέξη που χρησιµοποιο µε είναι το νοµα της «ποσ τητας» του συν λου ή της πληθυκ τητας του συν λου. Μολον τι τα πολ µικρά παιδιά δείχνουν να έχουν κάποια έννοια της ποσ τητας ή του πλήθους, δεν τη συνδέουν αµέσως µε την πράξη της απαρίθµησης. ταν τα παιδιά καταλαβαίνουν τι η τελευταία αριθµητική λέξη είναι το νοµα της ποσ τητας του συν λου, λέµε πως κατέχουν την αρχή της πληθυκ τητας. Αν και η εµπειρία αποτελεί σηµαντικ παράγοντα, τα περισσ τερα παιδιά έχουν κάνει αυτή τη σ νδεση ώς την ηλικία των ετών (Fuson & Hall, 1983). Για να διαπιστώσουµε αν τα παιδιά κατέχουν τον καν να της πληθυκ τητας, µπορο µε να τους δώσουµε ένα σ νολο αντικειµένων και να τους ρωτήσουµε «Π σα;». Αν επαναλάβουν ή τονίσουν τον τελευταίο αριθµ, τ τε µπορο µε να συµπεράνουµε τι έχουν µεταφέρει τη σηµασία του τελευταίου αριθµο απ την απαριθµητική χρήση στο συµβολισµ του πλήθους. Για παράδειγµα: «Ένα, δ ο, τρία, τέσσερα, πέντε, έξι. Υπάρχουν έξι». Αν αυτή η χρήση ως σ µβολο του πλήθους δεν είναι ξεκάθαρη, µπορείτε να επαναλάβετε την ερώτηση «Π σα;». Αν τ τε το παιδί ανακοινώσει το σ νολο χωρίς να µετρήσει, είναι προφανές τι χρησιµοποιεί την αριθµητική λέξη µε τη σηµασία του πλήθους. Αντίθετα, η εκ νέου απαρίθµηση ολ κληρου του συν λου θα υποδήλωνε τι το παιδί ερµήνευσε το ερώτηµα «Π σα;» ως εντολή να απαριθµήσει και χι ως ερώτηση σχετικά µε την ποσ τητα του συν λου. Στην τάξη, µπορείτε να βοηθήσετε τους µαθητές και τις µαθήτριες να αναπτ ξουν µια βαθ τερη αντίληψη της πληθυκ τητας µέσω οποιασδήποτε σχεδ ν δραστηρι τητας απαρίθµησης. Οι παρακάτω δ ο προτάσεις σάς προσφέρουν κάποιες γνώσεις πάνω στην τρέχουσα ανάπτυξη των παιδιών. 6.4 ÓÔÏ apple Ú ıìëûë µ ÏÙÂ Ù apple È È Ó apple ÚÈıÌ ÛÔ Ó È ÊÔÚ Û ÓÔÏ ÌÂ ÙÔÓ ÈÔ ÚÈıÌfi ÓÙÈÎÂÈÌ ÓˆÓ, ÏÏ ÌÂ ÓÙÈÎÂ ÌÂÓ appleôï È ÊÔÚÂÙÈÎ ˆ appleúô ÙÔ Ì ÁÂıÔ. ËÙ ÛÙÂ ÙÈ ÔÌÔÈfiÙËÙÂ Î È ÙÈ È ÊÔÚ ÙÔ. «Î ÓÂ ÂÓÙ appleˆ- ÛË appleô Ë appleôûfiùëù Â Ó È Ë È ; È Ù Ó È ÁÈ Ù fi È;» 6.5 apple Ú ıìëûë Î È Ó È Ù ÍË µ ÏÙÂ Ù apple È È Ó apple ÚÈıÌ ÛÔ Ó Ó Û ÓÔÏÔ. ÙË Û Ó ÂÈ ÏÏ ÍÙÂ ÙË È Ù ÍË ÙÔ Û ÓfiÏÔ Î È ÚˆÙ - ÛÙÂ «fiû Â Ó È ÙÒÚ ;». Ó ÂÓ ÙÔ ÎÚ ÓÔ Ó apple Ú ÙË- ÙÔ Ó Í Ó ÌÂÙÚ ÛÔ Ó, ÌappleÔÚÂ ÙÂ Ó Û ÌappleÂÚ ÓÂÙÂ fiùè Ô Ó Û Ó ÛÂÈ ÙËÓ appleïëı ÎfiÙËÙ ÌÂ ÙÔ Û ÓÔÏÔ ÓÂ- Í ÚÙËÙ applefi ÙË È Ù Í ÙÔ. Ó ÂappleÈÏ ÍÔ Ó Ó apple - ÚÈıÌ ÛÔ Ó Î È apple ÏÈ, ÚˆÙ ÛÙÂ ÙÔ ÁÈ Ù Î Ù ÙË ÁÓÒ- ÌË ÙÔ Ë apple ÓÙËÛË Â Ó È Ë È. Ú Ê Î È Ó ÁÓÒÚÈÛË ÙˆÓ æëê ˆÓ Το να βοηθήσουµε τα παιδιά να διαβάζουν και να γράφουν µονοψήφιους αριθµο ς είναι παρ µοιο µε το να τα διδάξουµε να διαβάζουν και να γράφουν τα γράµµατα του αλφαβήτου. Παραδοσιακά, η διδασκαλία έκανε χρήση διαφ ρων µορφών εξάσκησης µέσω της επανάληψης. Τα παιδιά αντιγράφουν σελίδες µε αριθµητικά ψηφία, γράφουν επανειληµµένα τους αριθµο ς απ το 0 έως το 10, φτιάχνουν ψηφία απ πηλ, τα σχεδιάζουν στην άµµο, τα γράφουν στον πίνακα ή στον αέρα και

5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΤΩΝ ΠΡΩΤΩΝ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ΚΑΙ ΤΗΣ ΑΙΣΘΗΣΗΣ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 125 ο τω καθεξής. Η επικρατο σα αρχή ήταν πως η µορφή του αριθµο είναι µια µηχανική δραστηρι τητα που µαθαίνεται καλ τερα µε την εξάσκηση. Ο Baroody (1987) υποστηρίζει µε πειστικ τητα τι, ενώ η εξάσκηση στη γραφή των αριθµών είναι προφανώς απαραίτητη έως έναν βαθµ, µπορο - µε να εξοικονοµήσουµε πολ χρ νο υιοθετώντας µια προσέγγιση µε ν ηµα. Μια τέτοια προσέγγιση εστιάζεται απευθείας στα ιδιαίτερα χαρακτηριστικά κάθε αριθµο και σε ένα πλάνο για το σχηµατισµ των αριθµών που στηρίζεται στις κινητικές δεξι τητες οι οποίες απαιτο νται για την γραφή του κάθε ψηφίου. Τα χαρακτηριστικά των αριθµών θα πρέπει να αναφερθο ν και να σχολιαστο ν στην τάξη. Για παράδειγµα, το 1, το 4 και το 7 αποτελο νται απ ευθείες γραµµές, ενώ το 2 και το 5 συνδυάζουν τις ευθείες µε τις καµπ λες. Οι παρ - µοιοι αριθµοί καλ είναι να διδάσκονται µαζί, έτσι ώστε να επικεντρωθεί η προσοχή στις ιδι τητες που απαιτο νται για το διαχωρισµ του εν ς απ τον άλλο. Οι αριθµοί 6 και 9, για παράδειγµα, ξεχωρίζουν απ λους τους άλλους αριθµο ς επειδή έχουν µια κλειστή κουλο ρα στηριγµένη σε ένα µπαστο νι. Η κουλο ρα του 6 βρίσκεται απ κάτω και η κουλο ρα του 9 απ πάνω. Αυτά τα γνωρίσµατα διαχωρίζουν τον ένα αριθµ απ τον άλλο. Η αριθµοµηχανή τσέπης είναι ένα καλ διδακτικ εργαλείο για την αναγνώριση των αριθµών. Εκτ ς απ το τι βοηθο ν τα παιδιά µε τους αριθ- µο ς, οι πρώτες δραστηρι τητες µπορο ν να τα βοηθήσουν να εξοικειωθο ν µε την αριθµοµηχανή τσέπης, έτσι ώστε να είναι σε θέση να εκτελέσουν τις πιο πολ πλοκες δραστηρι τητες. (Μια αριθµο- µηχανή τσέπης θα πρέπει να περιλαµβάνεται στον βασικ εξοπλισµ στα θρανία λων των µαθητών και µαθητριών σε λες τις τάξεις.) 6.6 µúâ Î È ÙËÛ ÙÔ Ï ÎÙÚÔ ÊÔ È ÛÙ fiï Ù apple È È Ì ÚÈıÌÔÌË - Ó ÙÛ appleë. µâ Ȉı Ù fiùè ÍÂÎÈÓÔ Ó apple - ÙÒÓÙ ÙÔ appleï ÎÙÚÔ C. ŒappleÂÈÙ ÂÛÂ Ï ÙÂ Ó Ó ÚÈı- Ìfi Î È Ù apple È È apple ÙÔ Ó ÙfiÓ ÙÔÓ ÚÈıÌfi ÛÙËÓ ÚÈıÌÔÌË Ó. Ó ÂÙ ÌÈ ÚÈıÌÔÌË Ó ÛÙË Û - ÛΠappleúô ÔÏ È Ê ÓÂÈÒÓ, ÌappleÔÚ ÙÂ Ó Â ÍÂÙ ÛÙ apple È È ÙÔ ÛˆÛÙfi appleï ÎÙÚÔ ÁÈ Ó Âapple ÏËı ÛÔ Ó ÙÈ apple ÓÙ ÛÂÈ ÙÔ. ªÈ ÂÓ ÏÏ ÎÙÈÎ Ï ÛË ı Ù Ó Ó ÁÚ ÂÙ ÙÔÓ ÚÈıÌfi ÛÙÔÓ apple Ó Î ÁÈ Ó Î ÓÔ Ó Ù apple È È ÙËÓ Âapple Ï ıâ ÛË. È ÙË Ú ÛÙËÚÈfiÙËÙ Ù ÍÂÎÈÓ ÛÙ Ì ÌÔÓÔ ÊÈÔ ÚÈıÌÔ Î È ÛÙË Û Ó ÂÈ appleúô ˆÚ ÛÙÂ Ï ÁÔÓÙ È Ô ÈÎ Ô ÙÚÂÈ ÚÈıÌÔ.  ÙÂ, ÁÈ apple Ú ÂÈÁÌ, «Ú, ÂappleÙ, Ó» (fi È «ÙÚÈ ÎfiÛÈ Â ÔÌ ÓÙ Ó»). apple È È apple - ÙÔ Ó fiïë ÙË ÛÂÈÚ ÙˆÓ ÚÈıÌÒÓ fiappleˆ ÙËÓ ÎÔ Ó. Στις πιο συνηθισµένες ίσως ασκήσεις σε εγχειρίδια για το νηπιαγωγείο ανατίθεται στα παιδιά να αντιστοιχίσουν σ νολα µε αριθµο ς. Τους δίνονται σ νολα µε εικ νες και τους ζητείται να γράψουν ή να αντιστοιχίσουν τον αριθµ που δηλώνει το π σα. Μια άλλη εναλλακτική είναι να τους δοθεί ένας αριθµ ς και να τους ζητηθεί να φτιάξουν ή να σχεδιάσουν ένα σ νολο µε τ σα αντικείµενα. Πολλά βιβλία αναφοράς για τους εκπαιδευτικο ς περιγράφουν έξυπνες δραστηρι τητες µάθησης στις οποίες τα παιδιά αντιστιχίζουν έναν αριθµ µε το σ νολο του σωστο µεγέθους βατράχους (µε κουκκίδες) σε αριθµηµένα νο φαρα, για παράδειγµα. Είναι ση- µαντικ να σηµειώσουµε τι αυτές οι συχνά τετριµ- µένες δραστηρι τητες αφορο ν τις δεξι τητες µ νο της απαρίθµησης συν λων και της αριθµητικής αναγνώρισης ή γραφής. ταν τα παιδιά ολοκληρώνουν µε επιτυχία αυτές τις δραστηρι τητες, λίγο κέρδος θα έχουµε ταν συνεχίσουµε να τις κάνουµε. O ª πøª à O O π Tα ηλεκτρονικά προγράµµατα τα οποία επιτρέπουν στα παιδιά να δηµιουργο ν σ νολα στην οθ νη µε ένα πάτηµα του ποντικιο είναι πολ διαδεδοµένα. Το Unifix Software (Hickey, 1996) είναι µια ηλεκτρονική εκδοχή των δηµοφιλών κ βων Unifix, πλαστικών, δηλαδή, κ βων οι οποίοι ενώνονται ο ένας µε τον άλλο και φτιάχνουν ράβδους. Το λογισµικ δίνει στο δάσκαλο τη δυνατ τητα να προσθέτει χαρακτηριστικά στις δραστηρι τητες απαρίθµησης τα οποία δεν είναι διαθέσι- µα µ νο µε τους κ βους. Στην πιο βασική µορφή του προγράµµατος, τα παιδιά µπορο ν να κατασκευάσουν ράβδους απ κ βους οποιουδήποτε χρώµατος, να σπάσουν τις ράβδους, να τις µετακινήσουν, να προσθέσουν ήχους σε κάθε κ βο, και άλλα ακ µη. Ο δάσκαλος µπορεί να επιλέξει να εµφανίζεται ένας αριθµ ς σε κάθε ράβδο που να δηλώνει το σ νολο. Γίνεται επίσης να δηµιουργηθο ν ένας µέχρι τέσσερις βρ χοι, µε την εµφάνιση του συν λου του κάθε βρ χου να συνιστά ξεχωριστή επιλογή. χι µ νο µπορο ν οι µαθητές και οι µαθήτριες να απαριθµήσουν µέχρι καθορισµένους

6 126 ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΤΩΝ ΠΡΩΤΩΝ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ΚΑΙ ΤΗΣ ΑΙΣΘΗΣΗΣ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 αριθµο ς και να επιλέξουν την εµφάνιση των ψηφίων για επαλήθευση, αλλά µπορο ν παράλληλα να διερευνο ν, άτυπα, την ιδέα τι δ ο ποσ τητες µπορο ν να σχηµατίσουν ένα µεγαλ τερο ποσ. Μην επιτρέψετε σε αυτά τα ηλεκτρονικά εργαλεία να καταλήξουν απλά παιχνίδια. Είναι σηµαντικ οι δραστηρι τητες να περιέχουν προβλήµατα. Απ τον πρώτο καιρ στο νηπιαγωγείο, για παράδειγµα, τα παιδιά θα µπορο σαν να συγκροτήσουν σε έναν βρ χο ένα σ νολο απ τ σους κ βους (ή περισσ τερους ή λιγ τερους) σους και σε µια ράβδο που έφτιαξε ο δάσκαλος στον πρώτο βρ χο. (Τα αρχεία µπορο ν να ετοιµαστο ν εκ των προτέρων.) Αργ τερα, τα παιδιά µπορο ν να διερευνήσουν τους διαφορετικο ς συνδυασµο ς δ ο ράβδων οι οποίες θα είναι ίσες µε µια τρίτη. Άλλα προγράµµατα που βοηθο ν στην ανάπτυξη των αριθµών είναι τo Number Meanings and Counting (Tenth Planet, 1998c) και Mathkeys: Unlocking Whole Numbers, Grades K-2 (MECC, 1996b). ª ÙÚËÛË appleúô Ù ªappleÚÔ Î È ÓÙ ÛÙÚÔÊ Αν και η προς τα µπρος ακολουθία των αριθµών είναι σχετικά οικεία στα περισσ τερα µικρά παιδιά, η προς τα µπρος και η αντίστροφη απαρίθµηση είναι δ σκολες δεξι τητες για πολλο ς. Συστήνονται σ ντοµες και συχνά επαναλαµβαν µενες ασκήσεις. Μια παραλλαγή της τελευταίας δραστηρι τητας είναι να µετράµε προς τα µπρ ς και αντίστροφα µεταξ δ ο δοσµένων αριθµών. Για παράδειγ- µα, ξεκινήστε µε το 4 και µετρήστε ώς το 11 και πάλι πίσω ώς το 4 και ο τω καθεξής. Κρατάτε το ρυθµ πως και στις άλλες ασκήσεις. Η αριθµοµηχανή παρέχει µια εξαίρετη άσκηση απαρίθµησης επειδή τα µικρά παιδιά βλέπουν τους αριθµο ς τη στιγµή που απαριθµο ν. 6.8 ªappleÚÔ Î È Ûˆ ÛÙËÓ ÚÈıÌÔÌË Ó Û appleë µ ÏÙ Πıâ apple È Ó apple Ù ÛÂÈ + 1 = = = = =. ªÂ Î ıâ apple ÙËÌ ÙÔ = ı Ï appleô Ó ÛÙËÓ ÔıfiÓË ÙÔ ÚÈıÌÔ applefi ÙÔ 1 Ò ÙÔ 5. Ú ıìëûë ı appleú appleâè Âapple ÛË Ó Á ÓÂÙ È ÊˆÓ Ù Î È ÌÂ Ú ıìfi, fiappleˆ Î È ÛÙÈ ÏÏ ÛÎ ÛÂÈ. È Ó ÍÂÎÈÓ ÛÂÙ applefi ÙËÓ Ú apple Ù ÛÙ ÙÔ appleï ÎÙÚÔ ÙË ÂÎÎ ı ÚÈÛË C Î È Âapple Ó Ï ÂÙÂ. ªappleÔÚ Ù Âapple ÛË Ó ÌÂÙÚ ÛÂÙ applefi ÙÔÓ Ú ÈÎfi ÚÈıÌfi Î È ÓÙ ÛÙÚÔ- Ê, ÏÏ ÔÈ ÙÂÏÈÎÔ ÚÈıÌÔ -ÛÙfi ÔÈ ÂÓ ı Âapple Ó Ï Ì- ÓÔÓÙ È. Ú Î Ùˆ Ï appleâùâ ÙÔ apple ÙËÌ ÙˆÓ appleï - ÎÙÚˆÓ Î È Ù appleô ı Ï Ó ٠apple È È ÌÂ Ú ıìfi: = = = = 1 = = = = + 1 = =... «3 Û Ó 1, 4, 5, 6, 7, Ì ÔÓ 1, 6, 5, 4, 3, Û Ó 1, 4, 5,...» 6.7 ÚÔ Ù ªappleÚÔ Î È ÚÔ Ù Ûˆ apple Ú ıìëûë apple Ú ıìëûë appleúô Ó Ó ÚÈıÌfi-ÛÙfi Ô Î È ÓÙ - ÛÙÚÔÊ ÌÂ Ú ıìèîfi ÙÚfiappleÔ Â Ó È ÌÈ ÛËÌ ÓÙÈÎ ÛÎË- ÛË apple Ú ıìëûë. È apple Ú ÂÈÁÌ, ÏÙ ÛÙË ÛÂÈÚ apple ÓÙ apple È È Î È apple ÓÙÂ Î Ú ÎÏ ÌappleÚÔÛÙ ÛÙËÓ applefi- ÏÔÈappleË Ù ÍË. ÓÒ fiïë Ë Ù ÍË ÌÂÙÚ applefi ÙÔ 1 Ò ÙÔ 5, Ù apple È È Î ıôóù È Ó Ó ÛÙÈ Î Ú ÎÏÂ. ŸÙ Ó ÊÙ ÛÂÙ ÛÙÔÓ ÚÈıÌfi-ÛÙfi Ô, ÛÙÔ 5, ÙÔ Âapple Ó Ï Ì - ÓÂÙÂØ ËÏ, ÙÔ apple È appleô Î ıèûâ Ì ÙÔ 5 ÙÒÚ ÛË- ÎÒÓÂÙ È fiúıèô Î È Ë apple Ú ıìëûë Û Ó ÂÈ apple ÏÈ Ò ÙÔ 1. ÓÒ Á ÓÂÙ È Ë ÓÙ ÛÙÚÔÊË apple Ú ıìëûë, Ù apple È- È ÛËÎÒÓÔÓÙ È Ó Ó fiúıè, «1, 2, 3, 4, 5, 5, 4, 3, 2, 1,...». apple È È ÙÔ ÓËappleÈ ÁˆÁÂ Ô Î È ÙË appleúòùë ËÌÔÙÈÎÔ Ú ÛÎÔ Ó ÙÈ ÛÎ ÛÂÈ ÙÔ ÙÔ Â Ô È ÛΠÛÙÈÎ Î È Û Ó Úapple ÛÙÈÎ. OappleÔÈ appleôùâ Î - ÓËÛË (apple Ï Ì ÎÈ, appleâúèûùúôê, Ó appleë ÛÂÈ ) ÌappleÔÚÂ Ó ÚËÛÈÌÔappleÔÈËıÂ, ÂÓÒ Ë apple Ú ıìëûë appleëá ÓÂÈ ÌÂ Ú ıìfi appleúô Ù ÂÌappleÚfi Î È appleúô Ù apple Ûˆ. Οι δ ο παραπάνω δραστηρι τητες είναι έτσι σχεδιασµένες ώστε να βοηθήσουν τους µαθητές να αποκτήσουν άνεση µε τα αριθµητικά τ σο στην α ξουσα σειρά σο και αντίστροφα και να αρχίσουν να µετρο ν και µε άλλους αριθµο ς εκτ ς του 1. Μολον τι δεν είναι ε κολες για τους µικρο ς µαθητές, αυτές οι δραστηρι τητες δεν ακολουθο ν κάποια συστηµατική µέθοδο απαρίθµησης προς τα εµπρ ς ή προς τα πίσω. Για το σκοπ αυτ ν προορίζονται οι επ µενες δ ο δραστηρι τητες. 6.9 apple Ú ıìëûë ÌÂ Ô ÏÈ ÒÛÙ Û Πıâ apple È ÌÈ Û ÏÏÔÁ applefi ÌÈÎÚ appleô ÏÈ appleô Ù Ô Ó ÛÙË ÛÂÈÚ applefi Ù ÚÈÛÙÂÚ appleúô Ù ÂÍÈ apple Óˆ ÛÙ ıú Ó ÙÔ.  Ù ÙÔ Ó ÌÂÙÚ ÛÔ Ó Ù ÛÛÂÚ appleô ÏÈ Î È Ó Ù ÎÚ Ô Ó Î Ùˆ applefi ÙËÓ ÚÈÛÙÂÚ ÙÔ apple Ï ÌË ( Ï. Ì 6.3). ÙË Û Ó ÂÈ appleâ Ù «Â ÍÙ ÙËÓ apple Ï ÌË Û. fiû apple Ú-

7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΤΩΝ ΠΡΩΤΩΝ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ΚΑΙ ΤΗΣ ΑΙΣΘΗΣΗΣ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 127 Ô Ó ÂΠ;» ( ÛÛÂÚ ) «ÌÂÙÚ ÛÔ ÌÂ, ÏÔÈapplefiÓ, ÙÛÈ: Ù- -Û-Û-Â-Ú- (  ÓÔÓÙ ÙËÓ apple Ï ÌË ÙÔ ), apple ÓÙÂ, ÍÈ,...». apple Ó Ï ÂÙ Ì ÏÏÔ ÚÈıÌÔ Î Ùˆ applefi ÙËÓ apple Ï ÌË. ÛÛÂÚ apple ÓÙÂ, ÍÈ,... à ª 6.3 apple ÚÈıÌÒÓÙ : «Ú Ù ٠ÛÛÂÚ. ªÂÙÚ - ÛÙÂ Ú ÔÓÙ applefi ÙÔÓ ÚÈıÌfi fiûˆó ÎÚ Ù». Η επ µενη δραστηρι τητα αναφέρεται στην ίδια έννοια µε λίγο διαφορετικ τρ πο ÏËıÈÓ apple Ú ıìëûë ÙË Û ÛΠappleúô ÔÏ È Ê ÓÂÈÒÓ, Î Ï Ù ÌÂÚÈÎ appleô ÏÈ Ì ÌÈ Î ÚÙ appleúèó Ó ÂÙ ÙÔ Êˆ Î È ÙÔappleÔıÂÙ ÛÙÂ Î È Î appleôè ÂappleÈappleÏ ÔÓ appleô ÏÈ appleï ÛÙËÓ Î Ú- Ù, fiappleˆ ÛÙÔ Ì 6.4.  ÍÙ appleúô ÙËÓ Î ÚÙ Î È appleâ Ù ÛÙ apple È È applefiû Â Ó È ÎÚ Ì Ó. ƒˆù ÛÙ applefiû Â Ó È fiï Ù appleô ÏÈ. O ÙÚfiappleÔ appleô apple ÓÙÔ Ó Ù apple È È Â Ó È ÌÈ Î Ï ÍÈÔÏfiÁËÛË ÙÔ ÛÙ Ô ÂÍ ÏÈÍË Ù ÙË ÛËÌ - ÓÙÈÎ È. apple ÚÈıÌÔ Ó Ù appleô ÏÈ ÙÔ appleúòùô Û - ÓfiÏÔ ; Ó È apple Ú ÙËÙÔ ÁÈ Ù Ó Ï appleô Ó ÙÔ Î - Ï ÌÌ ÓÔ Û ÓÔÏÔ; apple ÚÈıÌÔ Ó Ì Π٠ÓfiËÛË Î È ÙÔappleÂappleÔ ıëûë; ªËÓ apple Ú Ï ÂÙÂ Ó ÌÊÈÛ ËÙ ÛÂ- Ù ÙÈ apple ÓÙ ÛÂÈ. «È Ù ÓÔÌ ÂÈ fiùè Â Ó È 12;» à ª 6.4 «Àapple Ú Ô Ó Ù ÛÛÂÚ Î Ùˆ applefi ÙËÓ Î ÚÙ. fiû Â Ó È Û ÓÔÏÈÎ ; ªÂÙÚ ÛÙÂ!» Η εφαρµογή των δεξιοτήτων αντίστροφης απαρίθµησης είναι πιο δ σκολη για τα παιδιά, αλλά µπορεί να αναπτυχθεί µε τρ πο παρ µοιο µε την ευθεία απαρίθµηση. Για να µάθουν την αντίστροφη απαρίθµηση, τα παιδιά µετρο ν πρώτα ένα σ νολο, πως έκαναν και στις δραστηρι τητες της ευθείας απαρίθµησης. Το καλ πτουν. είχνουν το καλυµµένο σ νολο λέγοντας τον αριθµ που κάλυψαν. Έπειτα, καθώς βγάζουν τα πο λια ένα ένα, κάνουν την αντίστροφη απαρίθµηση. Ως πιθαν πρ βληµα θα µπορο σατε να µετρήσετε και να καλ ψετε ένα σ νολο. Βγάλτε µερικά πο λια και ρωτήστε π σα µένουν καλυµµένα. Ã π ª À ø ƒπ ªø O O 1 ø O 10 Η αντιστοίχιση συν λου-αριθµο και άλλες δραστηρι τητες απαρίθµησης είναι ζωτικής σηµασίας για την εκµάθηση των αριθµών. Ωστ σο, εστιάζονται µ νο στη βασική σηµασία του αριθµο και στη δεξι τητα της ακριβο ς απαρίθµησης. Απ τη στιγµή που τα παιδιά θα έχουν αναπτ ξει την έννοια της πληθυκ τητας εν ς συν λου και είναι σε θέση να χρησιµοποιήσουν σωστά τις δεξι τητες απαρίθµησης µε λογικ τρ πο, δεν έχουν πολλά πλέον να αποκοµίσουν απ το είδος των δραστηριοτήτων απαρίθµησης που περιγράψαµε µέχρι τώρα. Χρειάζεται να δηµιουργηθο ν περισσ τερες σχέσεις για να αναπτ ξουν τα παιδιά τη λεγ µενη αντίληψη του αριθµο, µια ευέλικτη έννοια του αριθµο που δεν είναι απ λυτα δεµένη µε την απαρίθµηση. ªÈ ÏÏÔÁ ÚÈıÌËÙÈÎÒÓ ÛÂˆÓ Το Σχήµα 6.5, σ. 128, δείχνει τους τέσσερις διαφορετικο ς τ πους σχέσεων που µπορο ν και πρέπει να αναπτ ξουν τα παιδιά σε,τι αφορά τους αριθµο ς: Χωρικές Σχέσεις: Τα παιδιά µπορο ν να µάθουν να αναγνωρίζουν σ νολα αντικειµένων σε πρ τυπη σχηµατική διάταξη και να λένε π σα είναι χωρίς απαρίθµηση. Για τους περισσ τερους αριθµο ς υπάρχουν διάφορα συνηθισµένα πρ τυπα. Επίσης, για τους µικρ τερους αριθµο ς είναι δυνατ ν να φτιάξουµε πρ τυπα µε δ ο ή περισσ τερα πιο ε κολα πρ τυπα. Ένα - δ ο περισσ τερο, ένα - δ ο λιγ τερο: Οι σχέσεις του «δ ο περισσ τερο» και «δ ο λιγ τερο» δεν αφορο ν µ νο την ικαν τητα να µετράµε δ ο προς τα εµπρ ς ή δ ο προς τα πίσω. Τα παιδιά θα πρέπει να γνωρίζουν τι το 7, για παράδειγµα, είναι 1 περισσ τερο απ το 6 και 2 λιγ τερο απ το 9. Άγκυρες ή «σηµεία αναφοράς» του 5 και του 10:

8 128 ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΤΩΝ ΠΡΩΤΩΝ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ΚΑΙ ΤΗΣ ΑΙΣΘΗΣΗΣ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 Αφο το 10 παίζει τ σο µεγάλο ρ λο στο σ στη- µα αρίθµησης και επειδή δ ο πεντάρια µάς κάνουν 10, είναι πολ χρήσιµο να αναπτ ξουµε σχέσεις για τους αριθµο ς απ το 1 έως το 10 σε σχέση µε τα σηµαντικά σηµεία αναφοράς 5 και 10. Σχέσεις µέρους - µέρους - λου: Η εννοιολογική σ λληψη εν ς αριθµο ως συνδυασµο εν ς ή περισσ τερων τµηµάτων είναι η πιο σηµαντική σχέση που µπορο µε να αναπτ ξουµε σχετικά µε τους αριθµο ς. Για παράδειγµα, µπορο µε να à ª 6.5 ÛÛÂÚÈ Û ÛÂÈ appleúô Ó appleù ÍË Û ÂÙÈÎ Ì ÌÈÎÚÔ ÚÈıÌÔ. ÈÚÈÎ Û ÛÂÈ ÓÙ (Âapple ÎÙËÙÔ Û ÈÔ) ŒÓ appleâúèûûfiùâúô / Ô appleâúèûûfiùâúô / ŒÓ ÏÈÁfiÙÂÚÔ / Ô ÈÁfiÙÂÚÔ 1 ƒπ O ƒo π O ƒo ËÌÂ Ó ÊÔÚ ÁÈ ÙÔ 5 Î È ÙÔ 10 ÓÙÂ Î È ÙÚ ÎfiÌË ª ÚÔ - ª ÚÔ - ŸÏÔ ŒÍÈ (3 Î È 3) 2 ƒπ O ƒo «ŒÍÈ Î È ÙÚ Î ÓÔ Ó ÂÓÓ» 2 π O ƒo appleù (6 Î È 1 ÎfiÌË) 9 Ô Ì ÎÚÈ applefi ÙÔ Î δο µε το 7 ως ένα σ νολο των 3 και ένα σ νολο των 4 ή ένα σ νολο των 2 και ένα σ νολο των 5. Το παραδοσιακ αναλυτικ πρ γραµµα για τον αριθµ δεν έδινε σχεδ ν καθ λου έµφαση σε αυτές τις σχέσεις. ταν τα παιδιά είχαν µάθει να µετρο ν, να διαβάζουν και να γράφουν τους αριθ- µο ς, το επ µενο βήµα ήταν, δυστυχώς, να αρχίζουν µε την πρ σθεση και την αφαίρεση. Η ανάπτυξη αυτών των σχέσεων δεν συντελείται απ τη µια στιγµή στην άλλη, αλλά απαιτεί πολλο ς µήνες στο νηπιαγωγείο και στις πρώτες τάξεις του δηµοτικο. Το κ ριο εργαλείο που θα χρησιµοποιήσουν τα παιδιά σε αυτή την ανάπτυξη είναι το µοναδικ αριθµητικ εργαλείο που κατέχουν: η απαρίθµηση. Αρχικά, λοιπ ν, θα παρατηρήσετε πολ συχνή χρήση της απαρίθµησης και ίσως αναρωτηθείτε αν σηµειώνεται πράγµατι καµία πρ οδος. Υποµονή! Η απαρίθµηση θα γίνεται ολοένα και λιγ τερο απαραίτητη καθώς τα παιδιά θα οικοδοµο ν αυτές τις νέες σχέσεις και θα αρχίσουν να χρησιµοποιο ν πιο δυνατές ιδέες. ÈÚÈÎ ÛÂÈ : Ó ÁÓÒÚÈÛË ËÌ ÙÈÎÒÓ ÚÔÙ appleˆó Û ÓÔÏ Πολλά παιδιά µαθαίνουν να αναγνωρίζουν τη διάταξη των κουκκίδων στα συνηθισµένα ζάρια επειδή έχουν παίξει πολλά παιχνίδια που χρησιµοποιο ν ζάρια. Παρ µοια άµεση αναγνώριση µπορο ν να αναπτ ξουν και για άλλα πρ τυπα. Οι δραστηρι τητες που προτείνουµε εδώ είναι σχεδιασµένες να ενθαρρ νουν τη συλλογιστική σκέψη, έτσι ώστε να είναι δυνατή η οικοδ µηση των σχέσεων. Τα πρ τυπα δεν αντιπροσωπε ουν απλά αφηρηµένα σ µβολα για τον αριθµ των κουκκίδων. Απ τη στιγµή που η επαναλαµβαν µενη απαρίθµηση στοχε ει σε µεγάλο βαθµ στην αναγνώριση των προτ πων, αυτά συνδέονται στενά µε τις αριθµητικές έννοιες. Η αναγνώριση του προτ που ενισχ ει τη γνώση της συγκεκριµένης αριθµητικής έννοιας. Τις ποσ τητες µέχρι το 10 µπορεί να τις µάθει και να τις κατονοµάσει κάποιος χωρίς τη ρουτίνα της απαρίθµησης. Αυτή η γνώση µπορεί στη συνέχεια να βοηθήσει στην απαρίθµηση (απ ένα γνωστ σ νολο) ή στην εκµάθηση αριθµητικών συνδυασµών (βλέποντας ένα πρ τυπο δ ο µικρ τερων γνωστών προτ πων). Σε γενικές γραµ- µές, το σκεπτικ είναι να βοηθήσουµε τα παιδιά να προσεγγίσουν τις πραγµατικές ποσ τητες αποφε γοντας τη µονοτονία της απαρίθµησης. Υλικ ιδανικ να χρησιµοποιηθεί σε δραστη-

9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΤΩΝ ΠΡΩΤΩΝ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ΚΑΙ ΤΗΣ ΑΙΣΘΗΣΗΣ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 129 ρι τητες αναγνώρισης προτ πων είναι ένα σ νολο απ πιάτα µε κουκκίδες. Μπορείτε να τις κατασκευάσετε χρησιµοποιώντας µικρά χάρτινα πιάτα και αυτοκ λλητες κουκκίδες που διατίθενται συνήθως στα χαρτοπωλεία. Στο Σχήµα 6.6 βλέπουµε µια λογική συλλογή σχεδίων. Παρατηρήστε τι ορισµένα πρ τυπα αποτελο ν συνδυασµο ς δ ο µικρ τερων προτ πων ή εν ς προτ που µε µία ή περισσ τερες επιπλέον κουκκίδες. Αυτά θα τα φτιάξετε µε δ ο χρώµατα. Φροντίστε τα πρ τυπά σας να είναι συµπτυγµένα. Αν οι κουκκίδες είναι διασκορπισµένες, δ σκολα φαίνονται τα πρ τυπα ª ı ÓÔÓÙ ÚfiÙ apple È Ó apple ÚÔ ÛÈ ÛÂÙ ٠appleúfiù apple, ÒÛÙ Û Πıâ Ì ıëù Î È Ì ı ÙÚÈ appleâú appleô 10 appleô ÏÈ Î È Ó ÎÔÌ- à ª 6.6 ªÈ Ú ÛÈÌË Û ÏÏÔÁ applefi Û È ÎÔ ÎÎ ˆÓ ÁÈ «appleè Ù Ì ÎÔ ÎΠ». Ì ÙÈ ÚÙfiÓÈ ÁÈ Ó Ù ÎÔ ÌappleÔ Ó. ËÎÒÛÙ ËÏ Ó appleè ÙÔ Ì ÎÔ ÎÎ Â ÁÈ 3 appleâú appleô  ÙÂÚfiÏÂappleÙ. «fiûâ ÎÔ ÎÎ Â Â ÙÂ; Ò ÙÈ Â ÙÂ; ºÙÈ ÍÙ ÙÔ Û ÈÔ appleô  Ù ÚËÛÈÌÔappleÔÈÒÓÙ Ù appleô ÏÈ ÛÙÔ ÚÙfiÓÈ». ÔÏÈ ÛÙ ÁÈ Ï ÁÔ ÙÔ appleï ıô Î È ÙË È Ù - ÍË ÙˆÓ ÎÔ ÎÎ ˆÓ. ÓÂÙ ÙË Ú ÛÙËÚÈfiÙËÙ apple ÚÔ - ÛÈ ÔÓÙ ÌÂÚÈÎ Ó appleúfiù apple Î ıâ Ì Ú È Ó È ªÓ ÌË ÁÈ È Ù ÌÂ Ô ÎÎ Â Ú Ù ÛÙ ËÏ Ó appleè ÙÔ Ì ÎÔ ÎÎ Â ÌfiÓÔ ÁÈ 1 Ì 3  ÙÂÚfiÏÂappleÙ. «fiûâ Ù Ó; Ò ÙÈ Â ÙÂ;» Ù apple È È Ú ÛÂÈ Ó Ú ÛÎÔ Ó applefiûô ÁÚ ÁÔÚ ÌappleÔÚÔ Ó Ó Ó ÁÓˆÚ ÛÔ Ó Î È Ó appleô Ó ÙÔÓ ÚÈıÌfi ÙˆÓ ÎÔ ÎÎ - ˆÓ. ÌappleÂÚÈÏ ÂÙ appleôïï  ÎÔÏ Û È Î È ÔÚÈ- ÛÌ Ó Ì appleâúèûûfiùâúâ ÎÔ ÎÎ Â Î ıò ı ÔÈÎÔ Ô- Ì Ù ÙËÓ ÙÔappleÂappleÔ ıëû ÙÔ. ø Ú ÛÙËÚÈfiÙËÙ Û ÔÌ Â, Ù apple È È ÌappleÔÚÔ Ó Âapple ÛË Ó Â ÓÔ Ó ÛÙÈÁÌÈ ÙÔ Ó ÛÙÔ ÏÏÔ Ù appleè Ù Ì ÙÈ ÎÔ ÎÎ Â ÙfiÌÈÓÔ ºÙÈ ÍÙ ÌÈ ÛÂÈÚ applefi ÓÙfiÌÈÓÔ Ì ÚÙfiÓÈ Î È ÏÙÂ Ó appleúfiù appleô Ì ÎÔ ÎÎ Â Û Πıâ ÎÚË. ÓÙfiÌÈÓÔ Â Ó È appleâú appleô 6 Âapple 12 ÂÎ ÙÔÛÙ. È appleúfiù apple ÌappleÔÚÔ Ó Ó ÂÌÊ Ó ÔÓÙ È Û appleôïï ÓÙfiÌÈÓÔ Ì Πıâ ÓÙfiÌÈÓÔ, Ó appleôùâïâ Ù È applefi È ÊÔÚÂÙÈÎ Â ÁË appleúô- Ù appleˆó. Ê ÛÙ ٠apple È È Ó apple Ô Ó Ì ٠ÓÙfiÌÈÓÔ Ì ÙÔÓ Û ÓËıÈÛÌ ÓÔ ÙÚfiappleÔ, Ù ÈÚÈ ÔÓÙ, ËÏ, ÙÈ ÎÚÂ. ªÈ Ú ÛÙËÚÈfiÙËÙ Ù ÙËÙ Â Ó È Ó appleïòûâùâ fiï Ù ÓÙfiÌÈÓÔ Î È Ó Â Ù applefiûô ÁÚ ÁÔÚ ÌappleÔÚÔ Ó Ó Ù ÚËÛÈÌÔappleÔÈ ÛÔ Ó fiï ÛÙÔ apple È Ó È Ó apple ÍÔ Ó ˆ fiùô ÂÓ apple Ú Ô Ó ÏÏ appleô Ó ÌappleÔÚÔ Ó Ó ÚËÛÈÌÔappleÔÈËıÔ Ó. ÌappleÔÚÔ Û Ù Âapple - ÛË Ó ÚËÛÈÌÔappleÔÈ ÛÂÙÂ Î È Û ÓËıÈÛÌ Ó ÓÙfiÌÈÓÔ, ÏÏ ÂÓ ı apple Ú Ô Ó ÙfiÛ appleôïï appleúfiù apple. Γενικά, τα πιάτα µε τις κουκκίδες και τα σ νολα των σχεδίων µπορο ν ε κολα, πως θα δο µε, να χρησιµοποιηθο ν σε πολλές άλλες δραστηρι τητες. Ωστ σο, οι δραστηρι τητες της άµεσης αναγνώρισης µε τα πιάτα είναι συναρπαστικές και µπορο ν να γίνουν µέσα σε 5 λεπτά οποιαδήποτε στιγµή της µέρας ή ανάµεσα στα µαθήµατα. Αξίζει να τα χρησιµοποιήσετε σε οποιαδήποτε τάξη του δηµοτικο και οποιαδήποτε στιγµή της χρονιάς.

10 130 ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΤΩΝ ΠΡΩΤΩΝ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ΚΑΙ ΤΗΣ ΑΙΣΘΗΣΗΣ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ŒÓ - Ô ÂÚÈÛÛfiÙÂÚ, ŒÓ - Ô ÈÁfiÙÂÚ ταν τα παιδιά µετρο ν, δεν έχουν κανέναν λ γο να σκεφτο ν τη σχέση ανάµεσα στον έναν και τον άλλο αριθµ. Ο µ νος στ χος είναι να αντιστοιχίσουν λέξεις µε αντικείµενα µέχρι να ολοκληρώσουν την απαρίθµηση. Για να µάθουν τι το 6 και το 8 συνδέονται µε το ζε γος των σχέσεων «δ ο περισσ τερα» και «δ ο λιγ τερα», χρειάζεται να σκεφτο ν αυτές τις ιδέες µέσα απ δραστηρι τητες που επιτρέπουν την απαρίθµηση. Η ευθεία ή αντίστροφη απαρίθµηση ένα ένα ή δ ο δ ο κάθε φορά είναι ένα χρήσιµο εργαλείο για την οικοδ - µηση αυτών των ιδεών Ô ÙfiÌÈÓÔ ÙÔ «ŒÓ ÈÁfiÙÂÚÔ» ÃÚËÛÈÌÔappleÔÈ ÛÙ ٠ÓÙfiÌÈÓÔ Ì ÙÈ ÎÔ ÎÎ Â Ó Î ÓÔÓÈÎfi ÛÂÙ ÁÈ Ó apple ÍÂÙ ÙÔ ÓÙfiÌÈÓÔ ÙÔ «Ì ÔÓ Ó». ÍÙ Ì ÙÔÓ Û ÓËıÈÛÌ ÓÔ ÙÚfiappleÔ, ÏÏ ÓÙ Ó Ù ÈÚÈ ÂÙ ÙÈ ÎÚÂ, ı ÙÔappleÔıÂ٠٠Πıâ Ó Ô ÓÙfiÌÈÓÔ Ó Ë ÌÈ ÙÔ ÎÚË Â Ó È Î Ù Ó ÏÈÁfiÙÂÚÔ applefi ÙËÓ ÎÚË appleô Ú ÛÎÂÙ È ÛÙÔ ÙÚ apple È. ÚfiÌÔÈÔ apple È Ó È ÌappleÔÚ ÙÂ Ó apple ÍÂÙ ÌÂ Ô ÏÈÁfiÙÂÚ, Ó appleâúèûûfiùâúô Ô appleâúèûûfiùâú. Οι ακ λουθες δραστηρι τητες µπορο ν να γίνουν για οποιαδήποτε απ τις τέσσερις σχέσεις εµείς εδώ θα τις περιγράψουµε για µία µ νο. µε έναν αριθµ γραµµένο πάνω της) σε κάθε σ νολο µε το οποίο ασχολο νται. Μπορείτε επίσης να τα ενθαρρ νετε να διαβάζουν µε τη σειρά µια αριθµητική πρ ταση στον διπλαν τους. Αν, για παράδειγµα, το παιδί έχει φτιάξει ένα σ νολο που υπερβαίνει κατά δ ο ένα σ νολο των τεσσάρων, µπορεί να το διαβάσει λέγοντας την αριθµητική πρ ταση «ο περισσ τερα απ το τέσσερα µας κάνουν έξι». Οι παρακάτω δραστηρι τητες αφορο ν µαζί αριθµο ς και σ νολα ή µ νο αριθµο ς. Είναι ιδιαίτερα σηµαντικές απ το τέλος της Α ώς και την Γ δηµοτικο ÚÙ apple ÓÙËÛË ÙÔ «ŒÓ ÂÚÈÛÛfiÙÂÚÔ applefi» ÒÛÙ Û Πıâ apple È ÍÈ Ì ÔÎÙÒ ÚÈıÌÔÎ ÚÙ appleâú - appleô ÛÙÔ Ì ÁÂıÔ ÙˆÓ Î ÚÙÒÓ Ú ÂÈÔı ÙËÛË. ( apple È È ÌappleÔÚÔ Ó Ó Îfi Ô Ó ÚÙfiÓÈ Î È Ó ÙÈ ÊÙÈ - ÍÔ Ó ÌfiÓ ÙÔ.) Óˆ ÛÙÈ Î ÚÙÂ, ÏÙ ÙÔ ÚÈıÌÔ appleô ı ÚÂÈ Û٠٠ÙË Û ÁÎÂÎÚÈÌ ÓË Ì Ú (apple.. applefi ÙÔ 5 Ò ÙÔ 10). ÒÚ Â ÍÙ ÛÙÈÁÌÈ Ó appleè ÙÔ Ì ÎÔ ÎÎ Â Î È ÏÙ ٠apple È È Ó ÛËÎÒÛÔ Ó ËÏ ÙËÓ Î ÚÙ appleô ÂÈ Ì apple Ú apple Óˆ applefi ÙÔ appleè - ÙÔ. ÂÓ Ï ÁÂÙ È Ù appleôù ÊˆÓ Ù Î È apple ÓÙÔ Ó fiïôè ÔÈ Ì ıëù Î È ÔÈ Ì ı ÙÚÈÂ. ªÂ apple ÚfiÌÔÈÔ ÙÚfiappleÔ, ÌappleÔÚ ÙÂ Ó ÛËÎÒÛÂÙ ËÏ ÌÈ ÚÈıÌÔÎ ÚÙ Ó appleâ ÙÂ Ó Ó ÚÈıÌfi appleúôêôúèî Î È Ù apple È È Ó apple - ÓÙ ÛÔ Ó Ì ÙÈ ÈÎ ÙÔ ÚÈıÌÔÎ ÚÙ ºÙÈ ÍÙÂ Ó ÓÔÏÔ ÁÈ ÙË ÛË «Ô ÂÚÈÛÛfiÙÂÚ» ÒÛÙ ÛÙ apple È È appleâú appleô ÍÈ Î ÚÙ Ì ÎÔ ÎÎ Â. ËÙ ÛÙÂ Ó ÊÙÈ ÍÔ Ó Ó Û ÓÔÏÔ Ì appleô ÏÈ appleô Ó Â Ó È Ô appleâúèûûfiùâú applefi ÙÔ Û ÓÔÏÔ appleô Ó apple ÚÈ- ÛÙ Î ıâì applefi ÙÈ Î ÚÙÂ. Ù apple ÚfiÌÔÈÔ ÙÚfiappleÔ, appleïòûùâ ÔÎÙÒ Ì ΠΠÚÙ Ì ÎÔ ÎÎ Â Î È Ú ÙÂ Î È ÌÈ ÏÏË Î ÚÙ ÁÈ ÙËÓ Î ıâì appleô Ó ÂÈ Ô ÎÔ ÎÎ Â ÏÈÁfiÙÂÚ applefi ÙËÓ Î ÚÙ appleô  ÓÂÙÂ. ( Ú Ï Ù ÙËÓ Î ÚÙ Ì ÙÔ 1 Î È ÙÔ 2 ÁÈ ÙÔ «Ô ÏÈÁfiÙÂÚ applefi» Î.Ô.Î.) Σε δραστηρι τητες που τα παιδιά βρίσκουν ένα σ νολο ή φτιάχνουν ένα σ νολο, µπορο ν να προσθέσουν µια αριθµοκάρτα (µια µικρή κάρτα Η αριθµοµηχανή τσέπης µπορεί να αποτελέσει µια συναρπαστική συσκευή για την εξάσκηση στις σχέσεις εν ς περισσ τερου, δ ο περισσοτέρων, εν ς λιγ τερου και δ ο λιγ τερων ÚÈıÌÔÌË Ó «Ô ÂÚÈÛÛÔÙ ÚˆÓ applefi» È ÍÙ ٠apple È È appleò Ó Î Ù ÛÎÂ Ô Ó ÌÈ ÌË Ó «Ô appleâúèûûôù ÚˆÓ». Ù ÛÙ =. ªÂ Ùfi Ë ÚÈıÌÔÌË Ó ÌÂÙ ÙÚ appleâù È Û ÌÈ Ù ÙÔÈ ÌË Ó. Ù ÛÙ ÙÒÚ Ó Ó ÔappleÔÈÔÓ appleôùâ ÚÈıÌfi ÙÔ 5, ÁÈ apple Ú ÂÈÁÌ. apple È È ÎÚ ÙÔ Ó ÙÔ Ù Ïfi ÙÔ apple Óˆ applefi ÙÔ appleï ÎÙÚÔ = Î È appleúô Ï appleô Ó ÙÔÓ ÚÈıÌfi Ô ÔappleÔ Ô Â Ó È Ô appleâúèûûfiùâú applefi 5. ŒappleÂÈ-

11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΤΩΝ ΠΡΩΤΩΝ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ΚΑΙ ΤΗΣ ΑΙΣΘΗΣΗΣ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 131 Ù apple ÙÔ Ó = ÁÈ Âapple Ï ıâ ÛË. Ó ÂÓ apple Ù ÛÔ Ó Î Ó Ó applefi Ù appleï ÎÙÚ ÙˆÓ appleú ÍÂˆÓ (+,,, ), Ë «ÌË Ó» ı Û Ó ÛÂÈ Ó ÏÂÈÙÔ ÚÁ Π٠ÙfiÓ ÙÔÓ ÙÚfiappleÔ. Αυτ που συµβαίνει στην πραγµατικ τητα µε τη µηχανή «των δ ο περισσοτέρων απ» είναι τι η αριθµοµηχανή «θυµάται» ή αποθηκε ει την τελευταία πράξη, το +2 εδώ, και το προσθέτει σε οποιονδήποτε αριθµ βρίσκεται στο παράθυρο ταν πατο µε το =. Αν το παιδί εξακολουθήσει να πατάει το =, η αριθµοµηχανή θα µετρά ανά 2. Καινο ργιοι αριθµοί µπορο ν να πληκτρολογηθο ν ποια στιγµή θέλουµε ακολουθο µενοι απ το =. Για να κάνουµε µια µηχανή «δ ο λιγ τερων απ», πατάµε 2 2 =. (Με το πρώτο πάτηµα του 2 αποφε γουµε τον αρνητικ αριθµ.) Οι µαθητές στην αρχή ξεχνιο νται και πατο ν τα πλήκτρα των πράξεων, το οποίο αλλάζει αυτ που κάνει η αριθµοµηχανή. Σ ντοµα, ωστ σο, αποκτο ν οικει τητα µε τη συγκεκριµένη χρήση της αριθµοµηχανής. ÚÈıÌÔ Ì ËÌÂ Ó ÊÔÚ ÙÔ 5 Î È ÙÔ 10 Kαι σε αυτή την περίπτωση θέλουµε να βοηθήσουµε τα παιδιά να συνδέσουν έναν δοσµένο αριθ- µ µε άλλους αριθµο ς και ιδιαίτερα µε το 5 και το 10. Αυτές οι σχέσεις είναι εξαιρετικά χρήσιµες ταν σκέφτονται διάφορους συνδυασµο ς αριθ- µών. Για παράδειγµα, σε καθεµία απ τις ακ λουθες περιπτώσεις σκεφτείτε τι ρ λο µπορεί να παίξει η γνώση τι το 8 είναι «5 συν 3» και «10 µείον 2»: 5 + 3, 8 + 6, 8 2, 8 3, 8 4, (Σε αυτ το σηµείο αξίζει να σταµατήσετε και να σκεφτείτε το ρ λο του 5 και του 10 σε καθένα απ αυτά τα παραδείγµατα.) Αργ τερα, παρεµφερείς σχέσεις µπορο ν να χρησιµοποιηθο ν για την ανάπτυξη νοερών υπολογιστικών δεξιοτήτων µε µεγαλ τερους αριθµο ς, πως το Το πιο συνηθισµένο και ίσως πιο σηµαντικ µοντέλο για τη σχέση αυτή είναι το πλαίσιο των δέκα (ten-frame). Το πλαίσιο των δέκα, που αποδίδεται στον Robert Wirtz (1974), είναι απλά ένας πίνακας 2 5, στον οποίο τοποθετο νται πο λια ή κουκκίδες για να απεικονίσουν αριθµο ς. Τα πλαίσια των δέκα µπορείτε απλά να τα σχεδιάσετε σε ένα κοµµάτι χαρτ νι (ή χρησιµοποιήστε εκείνα απ το Έτοιµο για Αναπαραγωγή Υλικ, σσ. 689 κ.ε.). εν χρειάζεται κάτι εξεζητηµένο, και κάθε παιδί µπορεί να έχει απ ένα. Το πλαίσιο των δέκα έχει ενσωµατωθεί σε ποικίλες δραστηρι τητες σε αυτ το βιβλίο και γίνεται ολοένα και πιο δηµοφιλές στα καθιερωµένα διδακτικά βιβλία για παιδιά. Τα παιδιά στο νηπιαγωγείο ή στις αρχές της Α δηµοτικο, τα οποία δεν έχουν διερευνήσει ακ µη τα πλαίσια του δέκα, είναι καλή ιδέα να αρχίσουν µε πλαίσια του πέντε. Αυτή η σειρά των πέντε τµη- µάτων σχεδιάζεται επίσης και σε ένα φ λλο χαρτί (ή χρησιµοποιήστε εκείνα απ το Έτοιµο για Αναπαραγωγή Υλικ ). ώστε στα παιδιά δέκα περίπου πο λια τα οποία θα ταιριάζουν στα τµήµατα των πλαίσιων των πέντε, και διεξάγετε την επ µενη δραστηρι τητα È ª ÓÂ Ù Ï ÛÈ ÙˆÓ ÓÙ ÍËÁ ÛÙ fiùè ÌfiÓÔ Ó appleô ÏÈ ÂappleÈÙÚ appleâù È Û Πıâ ÙÌ Ì ÙˆÓ appleï ÈÛ ˆÓ ÙˆÓ apple ÓÙÂ. Ó Ó ÏÏÔ appleô ÏÈ ÂÓ ÂappleÈÙÚ appleâù È ÛÙÔÓ apple Ó Î ÙˆÓ appleï ÈÛ ˆÓ ÙˆÓ apple - ÓÙÂ. µ ÏÙ ٠apple È È Ó apple Ú ÛÙ ÛÔ Ó ÙÔ 3 ÛÙÔ appleï - ÛÈÔ ÙˆÓ apple ÓÙÂ. «È Ï Ù ÁÈ ÙÔ ÙÚ ÎÔÈÙ ÔÓÙ ÛÙÔÓ apple Ó Î Û ;» ÊfiÙÔ ÎÔ ÛÂÙÂ È ÊÔÚ apple È È, Ô- ÎÈÌ ÛÙ ÏÏÔ ÚÈıÌÔ applefi ÙÔ 0 ˆ ÙÔ 5. apple È- È ÂappleÈÙÚ appleâù È Ó ÙÔappleÔıÂÙ ÛÔ Ó Ù appleô ÏÈ ÙÔ ÛÙÔ appleï ÛÈÔ ÙˆÓ apple ÓÙ Ì ÔappleÔÈÔÓ appleôùâ ÙÚfiappleÔ. - Ùfi appleô apple Ú ÙËÚÔ Ó ı È Ê ÚÂÈ ÚÎÂÙ applefi apple È Û apple È. È apple Ú ÂÈÁÌ, Ì ٠ÛÛÂÚ appleô ÏÈ, Ó apple È ÌÂ Ô Û Πıâ ÎÚË ÌappleÔÚÂ Ó appleâè: «Œ ÂÈ Ó ÎÂÓfi ÛÙÔ Ì ÛÔ» «Ó È Ô Î È Ô». Óı ÛÌ Ó apple ÓÙ ÛÂÈ ÂÓ apple Ú Ô Ó. appleèîâóùúòûùâ ÙËÓ appleúô- ÛÔ ÛÙÔ applefiû appleô ÏÈ ÚÂÈ ÔÓÙ È ÎfiÌË ÁÈ Ó Ô Ì 5 ÙÔ applefiûô Ì ÎÚÈ applefi ÙÔ 5 Â Ó È Ó ÚÈı- Ìfi. ÙË Û Ó ÂÈ ÔÎÈÌ ÛÙ ÚÈıÌÔ ÌÂÙ Í 5 Î È 10. O Î ÓfiÓ Ó appleô ÏÈ Û Πıâ ÙÌ Ì ÈÛ ÂÈ Îfi- ÌË, ÏÏ ÌËÓ ÂÍËÁ ÛÂÙ ÙÔ appleò Á ÓÂÙ È Ùfi. Ÿappleˆ à ª 6.7 Ï ÛÈ ÙˆÓ Î. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΟ ΗΜΟΤΙΚΟ ΚΑΙ ΤΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ 11

12 132 ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΤΩΝ ΠΡΩΤΩΝ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ΚΑΙ ΤΗΣ ΑΙΣΘΗΣΗΣ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 Ï appleô Ì ÛÙÔ Ì 6.8, ÔÈ ÚÈıÌÔ appleô Â Ó È ÌÂÁ - Ï ÙÂÚÔÈ applefi 5 Ó apple Ú ÛÙ ÓÙ È ÌÂ Ó appleï Ú appleï - ÛÈÔ ÙˆÓ apple ÓÙÂ Î È ÂappleÈappleÚfiÛıÂÙ appleô ÏÈ ÛÙÔÓ apple Ó Î ÏÏ fi È ÛÙÔ appleï ÛÈÔ. Ù ÙË Û ÙËÛË ÂÛÙÈ ÛÙ ÙËÓ appleúôûô Û ÙÔ ÙÔ ÌÂÁ Ï ÙÂÚÔ ÚÈı- ÌÔ fiappleˆ ÙÔ 5 Î È Ï Á ÎfiÌË: «Ô ÔÎÙÒ Â Ó È apple - ÓÙÂ Î È ÙÚ ÎfiÌË». αφαιρέσουν λα τα πι νια και θα αρχίσουν την αναπάραστη εν ς νέου αριθµο απ άδειο πλαίσιο. Κάποια άλλα θα µάθουν σ ντοµα να προσαρ- µ ζουν τους αριθµο ς προσθέτοντας ή αφαιρώντας µ νο τον απαιτο µενο αριθµ απ πο λια, εκµεταλλευ µενα συχνά µια σειρά των πέντε χωρίς να την απαριθµο ν. Με συνεχή εξάσκηση, λα τα παιδιά θα βελτιωθο ν. Ο τρ πος µε τον οποίο τα παιδιά χρησιµοποιο ν τα πλαίσια των δέκα προσφέρει γνώσεις σχετικά µε την εκάστοτε ανάπτυξη της έννοιας των αριθµών εκ µέρους τους. à ª 6.8 ŒÓ appleï ÛÈÔ ÙˆÓ apple ÓÙ ÂÛÙÈ ÂÙ È ÛÙÔ 5 ˆ ÛËÌÂ Ô Ó ÊÔÚ. ıâ appleô ÏÈ ÙÔappleÔıÂÙÂ Ù È ÛÂ Ì ı ÛË Î È Ù apple È È Ï Ó appleò Ï appleô Ó ÙÔÓ ÚÈıÌfi ÙÔ ÛÙÔ appleï ÛÈÔ È ÚÂÏÔ ªappleÂÚ ÂÌ ÓÔÈ ÚÈıÌÔ «OÈ ÚÂÏÔ ªappleÂÚ ÂÌ ÓÔÈ ÚÈıÌÔ» Â Ó È Ó ı Ì ÛÈÔ ÂÈÛ ÁˆÁÈÎfi apple È Ó È È ÛΠÛÌ ÓÔ applefi ÙÔ Mathematics Their Way (Baratta-Lorton, 1976). ŸÏ Ù apple È- È ÊÙÈ ÓÔ Ó ÙÔÓ ÈÔ ÚÈıÌfi ÛÙÔ appleï ÛÈÔ ÙˆÓ Î. ÛÎ Ï ÛÙË Û Ó ÂÈ Ï ÂÈ Ù Ô ÚÈıÌÔ Ó ÌÂÛ ÛÙÔ 0 Î È ÛÙÔ 10. ŒappleÂÈÙ applefi Î ıâ ÚÈıÌfi, Ù apple È È ÂÍÂÙ Ô Ó Ù appleï ÛÈ ÙˆÓ Î Î È Ù Ï- Ï Ô Ó ÒÛÙÂ Ó Â ÓÔ Ó ÙÔÓ Ó Ô ÚÈıÌfi. apple È È ÌappleÔÚÔ Ó Ó apple ÍÔ Ó Ùfi ÙÔ apple È Ó È ÓÂÍ ÚÙËÙ ÂÙÔÈÌ ÔÓÙ ÛÂÈÚ applefi 15 appleâú appleô «ÙÚÂÏÔ ÌappleÂÚ ÂÌ ÓÔ ÚÈıÌÔ». ŒÓ apple È apple ÂÈ ÙÔ «- ÛÎ ÏÔ» Î È Ù applefiïôèapple ÚËÛÈÌÔappleÔÈÔ Ó Ù appleï ÛÈ ÙˆÓ Î. Ù apple È È Ú ÛÂÈ Ó ÊÙÈ ÓÔ Ó ÙÈ ÈÎ ÙÔ ÛÂÈÚ ÚÈıÌÒÓ. Σηµειώστε τι το πλαίσιο των πέντε εστιάζεται στην πραγµατικ τητα στη σχέση του 5 ως σηµείο αναφοράς για αριθµο ς αλλά δεν συσχετίζει αριθ- µο ς µε το 10. Ύστερα απ µια εβδοµάδα περίπου χρήσης των πλαισίων των πέντε, εισάγετε τα πλαίσια των δέκα. Ενδεχοµένως να επιθυµείτε να παίξει η τάξη µια εκδοχή της ραστηρι τητας 6.18 µε πλαίσια των δέκα, αλλά φροντίστε να εισάγετε σ ντοµα τον ακ λουθο καν να αναπαράστασης των αριθµών στα πλαίσια των δέκα: Γεµίζουµε πάντα την πάνω σειρά πρώτα, αρχίζοντας απ τα αριστερά, πως διαβάζουµε. ταν γεµίσουν λα τα κενά στην πρώτη σειρά, τα πο λια µπορο ν να τοποθετηθο ν στην κάτω σειρά, επίσης απ τα αριστερά. Με αυτ ν τον καν να εφαρµ ζεται ο «συνηθισµένος» τρ πος αναπαράστασης των αριθµών στο πλαίσιο των δέκα, πως στο Σχήµα 6.7, σ Για µικρ διάστηµα, πολλά παιδιά θα µετρο ν κάθε πο λι στο πλαίσιο των δέκα. Ορισµένα θα Η τελευταία ραστηρι τητα έχει σε µεγαλ τερο βαθµ χαρακτήρα προβλήµατος απ,τι φαίνεται αρχικά. Με ποιον τρ πο αλλάζετε το δικ σας πλαίσιο των δέκα; Ορισµένα παιδιά θα καθαρίσουν τελείως ολ κληρο το πλαίσιο και θα αρχίσουν απ την αρχή µε κάθε αριθµ. Άλλα θα έχουν µάθει πώς µοιάζει κάθε αριθµ ς πάνω στο πλαίσιο. Για να προσθέσετε άλλη µια διάσταση, βάλτε τα παιδιά να σας πουν, πριν αλλάξουν τα πλαίσιά τους, π σα πο λια χρειάζεται να προστεθο ν ακ µη («συν») ή να αφαιρεθο ν («µείον»). Τ τε θα σας πουν το ανάλογο ποσ που πρέπει να προστεθεί ή να αφαιρεθεί. Αν, για παράδειγµα, στα πλαίσια υπήρχε ο αριθµ ς 6 και ο δάσκαλος έλεγε «τέσσερα», τα παιδιά θα απαντο σαν «Μείον δ ο!» και µετά θα άλλαζαν ανάλογα τα πλαίσια των δέκα. Αξίζει να ακολουθήσει µια συζήτηση σχετικά µε το πώς ξέρουν τι να κάνουν.

13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΤΩΝ ΠΡΩΤΩΝ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ΚΑΙ ΤΗΣ ΑΙΣΘΗΣΗΣ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ªÂÙ ÊÚ ÛË ÛÙÔ Ï ÛÈÔ ÙˆÓ Î ÒÛÙ ÛÙ apple È È Ó Ó ÚÈıÌfi Û ÌÔÚÊ È ÊÔÚÂ- ÙÈÎ applefi Ù ÙÔ appleï ÈÛ Ô ÙˆÓ Î Î È ËÙ ÛÙ ÙÔ Ó Û Â ÍÔ Ó ÙfiÓ ÙÔÓ ÚÈıÌfi ÛÙ appleï ÛÈ ÙÔ.  ÍÙ ÙÔ ÌÈ Î ÚÙ Ì ÎÔ ÎÎ Â, ÛËÎÒÛÙ ËÏ Ù Ù Ï Û,  ÍÙ ÙÔ ÌÂÚÈÎ appleô ÏÈ ÛÙË Û ÛΠappleúô ÔÏ È Ê ÓÂÈÒÓ, ÎÚ Ù ÛÙ ËÏ ÌÈ ÚÈıÌÔÎ ÚÙ appleï appleâ ÙÂ ÊˆÓ Ù Ó Ó ÚÈı- Ìfi. Ù ÔÈ Ú ÛÙËÚÈfiÙËÙ ÌappleÔÚÔ Ó Âapple ÛË Ó Á - ÓÔ Ó Î È ÓÂÍ ÚÙËÙ Û ÔÌ Â, Ó ÂÊÔ È ÛÂÙ ٠apple È È Ì ÚÈıÌÔÎ ÚÙÂ Û ÓÔÏ Ì Ì ٠appleï ÛÈ ÙˆÓ Î Î È Ù appleô ÏÈ. ÌappleÔÚÔ Û ÙÂ Ó ÂÙÔÈÌ - ÛÂÙ ÙÔÌÈÎ Ê ÏÏ Î Ù ÁÚ Ê ÁÈ Ó ÂÚÁ ÛÙ Πıâ apple È ÓÂÍ ÚÙËÙ, fiappleˆ  ÓÂÈ ÙÔ Ì 6.9. apple È È ı ÚËÛÈÌÔappleÔÈ ÛÔ Ó Ó ÏËıÈÓfi appleï ÛÈÔ ÙˆÓ Î Î È ÛÙË Û Ó ÂÈ ı Î Ù ÁÚ Ô Ó ÙÔ appleô- Ù ÏÂÛÌ ÛÙÔ ÚÙ. ŸÓÔÌ 8 6  ÍÙÂ Ú Ù ÙÔÓ ÚÈıÌfi à ª 6.9 ŒÓ Ê ÏÏÔ Î Ù ÁÚ Ê Ì appleï ÛÈ ÙˆÓ Î. apple È È ÌappleÔÚÔ Ó Ó ÚËÛÈÌÔappleÔÈ ÛÔ Ó Ó ÌÂ- Á ÏÔ appleï ÛÈÔ ÙˆÓ Î Ì appleô ÏÈ Î È appleâèù Ó Û Â È - ÛÔ Ó ÎÔ ÎÎ Â ÛÙ appleï ÛÈ ÙˆÓ Î apple Óˆ ÛÙÔ Ê ÏÏÔ ÂÚÁ Û. Οι κάρτες µε τα πλαίσια των δέκα είναι άλλη µια χρήσιµη παραλλαγή. Φτιάξτε κάρτες απ χαρτ νι περίπου στο µέγεθος µιας µικρής καρτέλας αρχειοθέτησης και σχεδιάστε σε καθεµία απ ένα πλαίσιο των δέκα. Τις κουκκίδες θα τις σχεδιάζετε µέσα στα πλαίσια. Ένα σετ απ 20 κάρτες αποτελείται απ µια κάρτα µε το 0, µια κάρτα µε το 10 και απ δ ο κάρτες για κάθε αριθµ απ το 1 έως το 9. Οι κάρτες δίνουν τη δυνατ τητα για απλές ασκήσεις ενίσχυσης της χρήσης του 5 και του 10 ως σηµείων αναφοράς È Ó È ªÓ ÌË ÌÂ Ù Ï ÛÈ ÙˆÓ Î Â ÍÙ ÛÙÈÁÌÈ Î ÚÙ Ì appleï ÛÈ ÙˆÓ Î ÛÙËÓ Ù - ÍË ÛÙËÓ ÔÌ Î È apple Ú ÙËÚ ÛÙ applefiûô ÁÚ ÁÔÚ ÌappleÔÚÔ Ó Ó Û appleô Ó applefiûâ ÎÔ ÎÎ Â apple Ú Ó. Ù Ë Ú ÛÙËÚÈfiÙËÙ Á ÓÂÙ È ÁÚ ÁÔÚ, È ÚΠÌfiÓÔ ÌÂ- ÚÈÎ ÏÂappleÙ, ÌappleÔÚÂ Ó Á ÓÂÈ ÙËÓ Î ıâ ÛÙÈÁÌ Î È Â Ó È appleôï È ÛΠÛÙÈÎ Ó ÂÓı ÚÚ ÓÂÙ ÙËÓ Ù ÙËÙ. Μεταξ των κυρι τερων παραλλαγών της ραστηρι τητας 6.21 περιλαµβάνονται και οι εξής: Τα παιδιά λένε τον αριθµ των κενών στην κάρτα αντί για τον αριθµ των κουκκίδων. Τα παιδιά λένε ένα παραπάνω απ τον αριθµ των κουκκίδων (ή δ ο παραπάνω, καθώς και παρακάτω). Τα παιδιά αναφέρουν µια πράξη σχετική µε το «δέκα» για παράδειγµα «Έξι και τέσσερα κάνουν δέκα». Αφο τα παιδιά θα έχουν εξοικειωθεί µε το πλαίσιο των δέκα, απλά σχεδιάζοντας ένα πλαίσιο των δέκα µε µεγάλα κενά στον πίνακα µπορείτε να επηρεάσετε εποικοδοµητικά τη σκέψη των παιδιών σχετικά µε το 5 και το 10, ενώ ασχολο νται µε αριθµητικές δραστηρι τητες ή ποια στιγµή συζητο ν για αριθµο ς. Προσπαθήστε να κοιτάζετε ένα πλαίσιο των δέκα σο κάνετε τις δ ο ακ λουθες δραστηρι τητες ÓÙÂ È ÙÔ «ÓÙ Ȼ Ë ÛÎ Ï Ï ÂÈ Ó Ù Î appleôèô ÚÈıÌÔ applefi ÙÔ 5 Ò ÙÔ 10. apple È È apple ÓÙÔ Ó «ÓÙ ΠȻ ÚËÛÈÌÔappleÔÈÒÓÙ ÙÔÓ Î Ù ÏÏË- ÏÔ ÚÈıÌfi. Ó appleâ ÙÂ, ÁÈ apple Ú ÂÈÁÌ, «OÎÙÒ!», Ù apple È È ı apple ÓÙ ÛÔ Ó «ÓÙÂ Î È ÙÚ».

14 134 ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΤΩΝ ΠΡΩΤΩΝ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ΚΑΙ ΤΗΣ ΑΙΣΘΗΣΗΣ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ºÙÈ ÍÙÂ Î Â ÙÂ Ó Ù ÚÈıÌÔ applefi ÙÔ 0 Ò ÙÔ 10. apple È È apple ÓÙÔ Ó Ï ÁÔÓÙ applefiû ÚÂÈ ÔÓÙ È ÎfiÌË ÁÈ Ó Î ÓÔ ÌÂ 10. Ú ÛÙËÚÈfiÙËÙ Â Ó È È È ÙÂÚ appleôùâ- ÏÂÛÌ ÙÈÎ ÌÂ ÚÈıÌÔ Ó ÌÂÛ ÛÙÔ 5 Î È ÙÔ 10. Οι δραστηρι τητες µε τα πλαίσια των δέκα προάγουν εκπληκτικά τον προβληµατισµ. Ακ µη και µε τις ασκήσεις που µ λις περιγράψαµε, τα παιδιά πρέπει να προβληµατιστο ν αναφορικά µε τις δ ο σειρές των πέντε, τα κενά που αποµένουν και για το π σο πάνω ή κάτω απ το 5 είναι ένας συγκεκριµένος αριθµ ς απ κουκκίδες. Οι συζητήσεις απ τα αρχικά ήδη βήµατα αναφορικά µε τον τρ πο θεώρησης των αριθµών στα πλαίσια των πέντε ή των δέκα αποτελο ν παραδείγµατα σ ντοµων ανακεφαλαιωτικών δραστηριοτήτων κατά τις οποίες τα παιδιά µαθαίνουν το ένα απ το άλλο. ÛÂÈ ª ÚÔ - ª ÚÔ - ŸÏÔ Αναλογιστείτε τι σκέφτεστε ταν απαριθµείτε ένα σ νολο επτά αντικειµένων. Αυτ που έχει σηµασία είναι αυτ που δεν σκέφτεστε. Πιο συγκεκριµένα, η απαρίθµηση εν ς συν λου ποτέ δεν θα σας κάνει να επικεντρωθείτε στο γεγον ς τι θα µπορο σε να αποτελείται απ δ ο µέρη, ο τε στο µέγεθος αυτών των µερών. Χωρίς δραστηρι τητες που να εξετάζουν τις ποσ τητες ως συνιστώσες δ ο ή περισσοτέρων µερών, τα παιδιά απλά εξακολουθο ν να χρησιµοποιο ν την απαρίθµηση ως πρωταρχικ µέσο προσέγγισης της έννοιας «ποσ τητα». Ένας γνωστ ς ερευνητής των αριθµητικών εννοιών των παιδιών, ο Lauren Resnick (1983), δηλώνει: Ίσως η κυρι τερη εννοιολογική επίτευξη των πρώτων σχολικών χρ νων να είναι η ερµηνεία των αριθ- µών µε βάση σχέσεις µέρους και λου. Με την εφαρ- µογή εν ς σχήµατος Μέρους - λου σε µια ποσ τητα, δίνεται στα παιδιά η δυνατ τητα να συλλάβουν τους αριθµο ς ως συνθέσεις άλλων αριθµών. Αυτ ς ο εµπλουτισµ ς της καταν ησης των αριθµών ανοίγει το δρ µο σε τρ πους επίλυσης µαθηµατικών προβληµάτων και ερµηνείας που δεν είναι διαθέσι- µοι στα µικρ τερα παιδιά (σ. 114). Μια µελέτη σε παιδιά του νηπιαγωγείου εξέταζε λες τις επιπτώσεις των δραστηριοτήτων του τ που «µέρος - µέρος - λο» στις αριθµητικές έννοιες (Fischer, 1990). Με 20 µ νο µέρες διδασκαλίας στη διάθεσή τους για να µάθουν τη δοµή µέρος - µέρος - λο, τα παιδιά σηµείωσαν σηµαντικά υψηλ τερες επιδ σεις στις αριθµητικές έννοιες, στα προβλήµατα πλοκής και στις έννοιες της αξίας θέσης ψηφίου σε σ γκριση µε την οµάδα ελέγχου. µ ÛÈÎ ÛÙ ÙÈÎ ÙˆÓ Ú ÛÙËÚÈÔÙ ÙˆÓ ÙÔ appleô ª ÚÔ - ª ÚÔ - ŸÏÔ Οι περισσ τερες δραστηρι τητες του τ που µέρος - µέρος - λο εστιάζονται αποκλειστικά σε έναν και µ νο αριθµ. Έτσι, το παιδί ή η οµάδα παιδιών που εργάζονται µαζί µπορεί να ασχολο νται µε τον αριθµ 7 απ την αρχή ώς το τέλος της δραστηρι τητας. Τα παιδιά χτίζουν τη συγκεκριµένη ποσ τητα απ δ ο ή περισσ τερα µέρη, ή αλλιώς ξεκινο ν µε ολ κληρο το ποσ και το διαχωρίζουν σε δ ο ή περισσ τερα µέρη. Μια οµάδα δ ο ή τριών παιδιών µπορεί να εργάζεται µε έναν αριθ- µ σε µια δραστηρι τητα για 5 ώς 20 λεπτά. Συνήθως τα παιδιά του νηπιαγωγείου πρωτοκάνουν αυτές τις δραστηρι τητες µε το 4 ή το 5. Καθώς οι έννοιες αναπτ σσονται, τα παιδιά µπορο ν να επεκταθο ν στους αριθµο ς απ το 6 ώς το 12. εν είναι ασυνήθιστο να βρίσκουµε παιδιά στη Β δηµοτικο που δεν έχουν αναπτ ξει ακ µη στέρεες δοµές του τ που µέρος - µέρος - λο για τους αριθµο ς της κλίµακας 7 µε 12. ταν τα παιδιά κάνουν αυτές τις δραστηρι τητες, βάλτε τα να πουν ή να «διαβάσουν» φωναχτά τα µέρη ή να τα γράψουν σε ένα φ λλο σηµειώσεων (ασφαλώς µπορείτε να ζητήσετε να τα κάνουν και τα δ ο). Η ανάγνωση ή το γράψιµο των συνδυασµών σάς εξυπηρετεί για να ενθαρρ νετε τη συλλογιστική σκέψη γ ρω απ τη σχέση µέρος - µέρος - λο. Το γράψιµο µπορεί να έχει τη µορφή σχεδίων, αριθµών γραµµένων σε κενά ( και ) ή εξισώσεων πρ σθεσης, αν έχουν ήδη διδαχθεί (3 + 5 = 8). Υπάρχει µια σαφής σ νδεση ανάµεσα στις έννοιες µέρος - µέρος - λο και στην ιδέα της πρ σθεσης και της αφαίρεσης. Μια ξεχωριστή και σηµαντική παραλλαγή των δραστηριοτήτων του τ που µέρος - µέρος - λο είναι γνωστή ως δραστηρι τητες του µέρους που λείπει. Σε αυτές τις δραστηρι τητες τα παιδιά γνωρίζουν το συνολικ ποσ και χρησιµοποιο ν την ήδη ανεπτυγµένη γνώση τους για τα µέρη αυτο του συν λου για να βρουν ποιο είναι το καλυµµένο ή κρυµµένο τµήµα. Αν δεν ξέρουν ή δεν είναι σίγουρα, απλά ξεσκεπάζουν το άγνωστο µέρος και λένε ολ κληρο το συνδυασµ πως θα έκαναν κανονικά. Αυτές οι δραστηρι τητες δεν πρέπει ποτέ

15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΤΩΝ ΠΡΩΤΩΝ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ΚΑΙ ΤΗΣ ΑΙΣΘΗΣΗΣ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 135 να διεξάγονται ως «προβλήµατα» ή «δοκιµασίες» µε σωστές και λάθος απαντήσεις. Είναι απλά δραστηρι τητες µάθησης, που τα παιδιά προσπαθο ν να σκεφτο ν ένα µέρος που δεν µπορο ν να δουν. Οι δραστηρι τητες του µέρους που λείπει δραστηριοποιο ν στον µέγιστο βαθµ το συλλογισµ γ ρω απ τους συνδυασµο ς που υπάρχουν για έναν αριθµ. Επιπλέον, λειτουργο ν ως προποµποί των εννοιών της αφαίρεσης. Με ένα σ νολο των 8, που µ νο ένα 3 είναι ορατ, το παιδί µπορεί αργ τερα να µάθει να γράφει «8 3 = 5». Στις περισσ τερες δραστηρι τητες του τ που µέρος - µέρος - λο που απαιτο ν χρήση χειραπτικών υλικών, τα παιδιά επιδεικν ουν σ νολα µε τον ζητο µενο αριθµ αντικειµένων σε δ ο ή περισσ τερα µέρη το καθένα. Είναι λογικ να ζητήσετε απ τα παιδιά να δείξουν µε οκτώ τουλάχιστον τρ πους έναν αριθµ µε τέτοια υλικά. Η κάθε αναπαράσταση µπορεί να τοποθετηθεί πάνω σε ένα κοµµάτι χαρτ νι. ο ή τρία παιδιά που δουλε ουν µαζί µπορο ν να έχουν στη διάθεσή τους έναν αρκετά µεγάλο αριθµ τέτοιων πλαισίων, που να χρησιµοποιο ν λα τα ίδια υλικά και να αναπαριστο ν λα την ίδια ποσ τητα σε δ ο ή περισσ τερα µέρη. πως θα περνάτε απ το θρανίο για να τα παρακολουθήσετε, ζητήστε απ το κάθε παιδί να «διαβάσει µια αριθµητική πρ ταση» που να αντιστοιχεί στις αναπαραστάσεις. Ενθαρρ νετε τα παιδιά να διαβάζουν το ένα στο άλλο τις αναπαραστάσεις τους. Ως παραλλαγή της παρακάτω δραστηρι τητας, βάλτε τα παιδιά να φτιάξουν αναπαραστάσεις µε διαφορετικά υλικά. Κάθε αναπαράσταση θα έχει τον ίδιο ζητο µενο κάθε φορά αριθµ αντικειµένων. ταν συζητάτε µε τα παιδιά για τις αναπαραστάσεις τους, ρωτήστε τα πώς µπορο ν να τις δουν σε δ ο ή σε τρία µέρη. Φτιάξτε διατάξεις απ ξ λινους κ βους. Φτιάξτε αναπαραστάσεις µε pattern blocks 1. Μια καλή ιδέα είναι να χρησιµοποιήσετε µ νο ένα ή δ ο σχήµατα τη φορά. Φτιάξτε αναπαραστάσεις µε επίπεδες οδοντογλυφίδες. Μπορείτε να τις βουτήξετε σε λευκή κ λλα και να τις τοποθετήσετε σε µικρά τετράγωνα απ χαρτ νι για να κατασκευάσετε ένα µ νιµο αρχείο. Φτιάξτε αναπαραστάσεις βάζοντας πλάι πλάι τετράγωνα ή τρίγωνα. Κ ψτε µεγάλο αριθµ απ µικρά τετράγωνα ή τρίγωνα απ χαρτ νι. Μπορείτε επίσης και να τα κολλήσετε. Είναι ταυτ χρονα διασκεδαστικ και χρήσιµο να κεντρίσετε τα παιδιά να δουν τις αναπαραστάσεις τους µε διαφορετικο ς τρ πους, παράγοντας διαφορετικο ς αριθµητικο ς συνδυασµο ς. Στο Σχήµα 6.11, προσδιορίστε πώς βλέπουν τα παιδιά τις αναπαραστάσεις ώστε να φτάσουν στους συνδυασµο ς που αναγράφονται κάτω απ την καθεµία Ù ÛΠ۠ª ÚË OÈ apple Ú Î Ùˆ È Â appleâèîôó ÔÓÙ È ÛÙÔ Ì «ÓÙÂ Î È Ó» ÊËÓÔÙÔ Ï ÎÈ «Ô Î È Ô Î È Ô» Ú ÛÙËÚÈfiÙËÙ ÙÔ Ù appleô Ì ÚÔ - Ì ÚÔ - fiïô 1. Σ.τ.Ε.:Το χειραπτικ υλικ pattern blocks είναι µια συλλογή απ επίπεδα σχήµατα (τετράγωνο, ισ πλευρο τρίγωνο, ισοσκελές τραπέζιο, πλάγιο παραλληλ γραµµο, ρ µβος, κανονικ εξάγωνο). Το χρησιµοποιο µε συνήθως για την κάλυψη επιφανειών (ψηφιδωτά) πως επίσης και στη διδασκαλία κλασµατικών εννοιών. «ÓÙÂ Î È Ó» «ŒÓ Î È ÙÚ Î È Ô» «Ú Î È ÙÚ» à ª 6.10 ÔÈÎ Ï ÏÈÎ ÁÈ ÙË Û ÓıÂÛË ÌÂÚÒÓ ÙÔ 6. ºÙÈ ÍÙÂ Û ÓÔÏ Ì «ÚˆÌ ÏÈλ, fiappleˆ Ê Ûfi- ÏÈ Á Á ÓÙ ÌÌ Ó Ì ÛappleÚ È applefi ÙË ÌÈ appleïâ Ú. ºÙÈ ÍÙÂ Ú Ô Û Ó ÔÓÙ ÛÊËÓÔÙÔ Ï ÎÈ ÏÏ appleï ÛÙÈÎ Û ËÓÔÙÔ Ï ÎÈ appleô Û Ó ÚÌÔÏÔ- ÁÔ ÓÙ È. ºÙÈ ÍÙ Πıâ Ú Ô ÌÂ Ô ÚÒÌ Ù.