WΒϑΕΕ (Ασωερσ & Ηιτσ) 85 [Θ. Βοοκλετ Νυmβερ]. Τηε ϖαλυε οφ χοτ τα χοτ ισ ΑΝΣWΕΡΣ & ΗΙΝΤΣ φορ WΒϑΕΕ βψ Αακαση Ιστιτυτε & Αακαση ΙΙΤ ϑεε ΜΥΛΤΙΠΛΕ ΧΗΟΙΧΕ ΘΥΕΣΤΙΟΝΣ ΣΥΒ : ΜΑΤΗΕΜΑΤΙΧΣ! σι χοσ χοσ σι χοσ χοσ σι σι χοσ σι. Τηε υmβερ οφ ποιτσ οφ ιτερσεχτιο οφ ψ = αδ ψ = σι, ι ισ χοσ χοσ... (8) ψ = = σι Νο. οφ σολ 5 7,,, 6 6 6 6. Λετ Ρ βε τηε σετ οφ ρεαλ υmβερσ αδ τηε mαππιγ φ : Ρ Ρ αδ γ : Ρ Ρ βε δεφιεδ βψ φ() = 5! αδ γ() =!, τηε τηε ϖαλυε οφ (φογ)(!) ισ!!5!!6 φ(γ(!)) = φ(!!) = φ(!7) = 5! 9 =!. Α = {,,, }, Β = {,,,, 5, 6} αρε τωο σετσ, αδ φυχτιο φ : Α Β ισ δεφιεδ βψ φ() = + Α, τηε τηε φυχτιο φ ισ βιϕεχτιϖε οτο οε!οε mαψ!οε φ() = φ(ψ) + = ψ + = ψ οε!οε Α αδ Β 5. Ιφ τηε mατριχεσ, τηε ΑΒ ωιλλ βε 5 7 Ρεγδ. Οφφιχε : Αακαση Τοωερ, Πλοτ Νο., Σεχτορ, Dωαρκα, Νεω Dεληι 75 Πη. : 7656 Φα : 767 7 Αακαση Ιστιτυτε Ρεγδ. Οφφιχε: Αακαση Τοωερ, Πλοτ Νο., Σεχτορ, Dωαρκα, Νεω Dεληι 75 Πη.: 7656 Φα : 767 ()
WΒϑΕΕ (Ασωερσ & Ηιτσ) 7 ΑΒ 5 6. ισ α ιmαγιαρψ χυβε ροοτ οφ υιτψ αδ = τηε οε οφ τηε ϖαλυεσ οφ ισ! Χ Χ Χ Χ {( )( ) } 7. Ιφ Α τηε Α! ισ 7 Ασ : Βοτη & Α =! + 8 = 7 7 ( ) () αδϕ ( ) () Α 7 8. Τηε ϖαλυε οφ 6... ισ 5 7 Βοτη (Α αδ Χ) = Οε ϖαλυε οφ = 7 ε ε! ε τ ( ) ( ) ( ) () ( ) τ... ε 5 9. Ιφ συm οφ α ιφιιτε γεοmετριχ σεριεσ ισ 5 αδ ιτσ στ τερm ισ, τηε ιτσ χοmmο ρατιο ισ Dοεσ οτ ειστ ε 7 6 9 6 9 7 9 Αακαση Ιστιτυτε Ρεγδ. Οφφιχε: Αακαση Τοωερ, Πλοτ Νο., Σεχτορ, Dωαρκα, Νεω Dεληι 75 Πη.: 7656 Φα : 767 ()
WΒϑΕΕ (Ασωερσ & Ηιτσ) α ρ Τηε ρ 9 7 ρ 6 6. Τηε υmβερ οφ περmυτατιοσ βψ τακιγ αλλ λεττερσ αδ κεεπιγ τηε ϖοωελσ οφ τηε ωορδ ΧΟΜΒΙΝΕ ι τηε οδδ πλαχεσ ισ 96 5 576 ςοωελσ : Ο, Ι, Ε Νο. οφ Οδδ πλαχε : Νο οφ ωαψσ = Π = 576. Ιφ! Χ +! Χ > Χ, τηε ισ ϕυστ γρεατερ τηα ιτεγερ 5 6 7! Χ +! Χ > Χ Χ Χ 7 ( ) ( ) ( ). Ιφ ι τηε επασιο οφ (α! β), τηε συm οφ τηε 5τη αδ 6τη τερm ισ ζερο, τηε τηε ϖαλυε οφ α β ισ 5 ρ ρ (α β) Χ ρ(α) ( β) τ 5 + τ 6 = ρ ( ) 5 5 5 5 Χ (α) ( β) Χ 5 (α) ( β) α ( β) (α) ( β) ( ) 5 ( 5) α ( ) α ( β) ( ) 5 β 5. ωιλλ βε διϖισιβλε βψ ( Ν) 5 5 5 8 7 = (8) = ( + 7) = Χ Χ 7 Χ 7... Χ 7 7 Χ Χ 7... Χ 7 διϖισιβλε βψ 7. Συm οφ τηε λαστ χοεφφιϖιετσ ι τηε επασιο οφ ( + ) 59, ωηε επαδεδ ι ασχεδιγ ποωερσ οφ ισ 59 58 9 Τοταλ τερmσ = 6 59 Συm οφ αλλ τηε τερmσ 58 Συm οφ φιρστ τερmσ = = 5. Ιφ (! + ) = α + α +...+ α τηε τηε ϖαλυε οφ α + α + α +... + α ισ, 5 ( ) Αακαση Ιστιτυτε Ρεγδ. Οφφιχε: Αακαση Τοωερ, Πλοτ Νο., Σεχτορ, Dωαρκα, Νεω Dεληι 75 Πη.: 7656 Φα : 767 ()
WΒϑΕΕ (Ασωερσ & Ηιτσ) = α α α α... α, α α α α... α!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! [α α α... α ] α α α... α 6. Ιφ βε τηε ροοτσ οφ τηε θυαδρατιχ εθυατιο + + = τηε τηε εθυατιο ωηοσε ροοτσ αρε 9, 7 ισ! + =!! = +! = + + = Ροοτσ αρε Λετ Εθυατιο ρεmαισ σαmε ι.ε. + + = 7. Τηε ροοτσ οφ τηε θυαδρατιχ εθυατιο αρε : ιmαγιρψ ρεαλ, ρατιοαλ αδ εθυαλ ρεαλ, ιρρατιοαλ αδ υεθυαλ ρεαλ, ρατιοαλ αδ υεθυαλ D ( ) χοεφφσ αρε ιρρατιοαλ, 88 Ροοτσ αρε ιρρατιοαλ, ρεαλ, υεθυλ. 8. Τηε θυδρατιχ εθυατιο + 5 + = ηασ ολψ ποσιτιϖε σολυτιοσ ολψ εγατιϖε σολυτιοσ ο σολυτιο βοτη ποσιτιϖε αδ εγατιϖε σολυτιο + 5 + > Ηεχε ο σολυτιο 9. Ιφ ζ, τηε ζ ισ (ωηερε ζ ισ χοmπλε χοϕυγατε οφ ζ ) ι ( + ι) ( + ι) ζ ι ζ ι ι ι Αακαση Ιστιτυτε Ρεγδ. Οφφιχε: Αακαση Τοωερ, Πλοτ Νο., Σεχτορ, Dωαρκα, Νεω Dεληι 75 Πη.: 7656 Φα : 767 ()
WΒϑΕΕ (Ασωερσ & Ηιτσ). Ιφ αργ(ζ) τηε αργ ζ αργ( ζ) ισ! (Ζ)(,ψ) Ζ (, ψ) Ζ ιφ αργ(ζ) αργ(ζ) αργ( ζ) αργ(ζ) αργ( ζ) ( ). Τωο διχε αρε τοσσεδ οχε. Τηε προβαβιλιτψ οφ γεττιγ α εϖε υmβερ ατ τηε φιρστ διε ορ α τοταλ οφ 8 ισ 6 6 Ασ : () Α = γεττιγ εϖε ο ο στ διχε Β = γεττιγ συm 8 Σο Α = 8 Β = 5 Α Β 8 5 Σο Π(Α Β) (Νο οπτιο mατχηεσ) 6 6. Τηε προβαβιλιτψ τηατ ατ λεαστ οε οφ Α αδ Β οχχυρσ ισ.6. Ιφ Α αδ Β οχχυρ σιmυλταεουσλψ ωιτη προβαβιλιτψ., τηε Π(Α ) Π(Β ) ισ.9.5.. Π(Α Β).6 Π Π Π(Α Β) Π(Α Β).9 Π(Α Β). Π(Α ) Π(Β ).9. λογ 5 λογ5 7 λογ9 7. Τηε ϖαλυε οφ λογ ισ 8 6 λογ 5 λογ λογ 7 λογ λογ 5 λογ 7 λογ λογ 6 6 Αακαση Ιστιτυτε Ρεγδ. Οφφιχε: Αακαση Τοωερ, Πλοτ Νο., Σεχτορ, Dωαρκα, Νεω Dεληι 75 Πη.: 7656 Φα : 767 (5)
WΒϑΕΕ (Ασωερσ & Ηιτσ). Ι α ριγητ αγλεδ τριαγλε, τηε σιδεσ αρε α, β αδ χ, ωιτη χ ασ ηψποτευσε, αδ χ β,χ β. Τηε τηε ϖαλυε οφ (λογ α λογ α) / (λογ α λογ α) ωιλλ βε χβ χβ χβ χβ! χ = α + β χ! β = α λογ α λογ α λογ(χ β) λογ(χ β) λογ α(λογ(χ β )) λογ α λογ α λογ α λογ α λογ α λογ α λογ(χ β) λογ(χ β) 5. Συm οφ τερmσ οφ τηε φολλοωιγ σεριεσ + + 5 + 7 +... ισ (! ) (! ) + 8 + + ( ) {(8.. )} ( ) ( )( ) ( ) [ ] 6 =! = (!) 6. Γ.. Μ. αδ Η. Μ. οφ τωο υmβερσ αρε αδ 8 ρεσπεχτιϖελψ. Τηε υmβερσ αρε : 5,, 5, 5, αβ αβ αβ α β 8 α + β = 5 Σο α = 5, β = 7. Τηε ϖαλυε οφ φορ ωηιχη ψ ψ ισ τηε γεοmετριχ mεα οφ αδ ψ ισ = =! ψ ψ ψ( ψ ) ψ ψ ψ ψ ψ, ψ Αακαση Ιστιτυτε Ρεγδ. Οφφιχε: Αακαση Τοωερ, Πλοτ Νο., Σεχτορ, Dωαρκα, Νεω Dεληι 75 Πη.: 7656 Φα : 767 (6)
WΒϑΕΕ (Ασωερσ & Ηιτσ) 8. Ιφ αγλεσ Α, Β αδ Χ αρε ι Α.Π., τηε α χ β ισ εθυαλ το σι Α Χ Β = Α + Χ χοσ Α Χ χοσ Α Χ σι Α Χ Α Χ Α Χ σι χοσ σι Α σι Χ = σι Β Α Χ Α χοσ χοσ Χ σι Β σι Β σι Β 9. Ιφ χοσ Α χοσ Β, Α, Β τηε ϖαλυε οφ σια + σιβ ισ 5!! χοσ Α σι Α 5 5 χοσ Β σι Β 5 5 5 5 5. Τηε ϖαλυε οφ χοτ 5 τα ισ τα 6 χοτ 7 ο ο ο ο χοτ 5 τα τα6 τα ο ο ο ο τα6 χοτ 7 τα6 τα. Ιφ σι6 + σι + σι = τηε τηε γεεραλ ϖαλυε οφ ισ, ±, ± 6 σι χοσ + σι = σι = χοσ =! = χοσ = = χοσ, Α Β + Χ. Ι α ΑΒΧ, αχσι ισ εθυαλ το, ±, ± 6 α β χ χ α β β α χ χ α β Α Χ Β αχ σι Α Χ Β, αχ σι Β αχ χοσ Β α χ β Αακαση Ιστιτυτε Ρεγδ. Οφφιχε: Αακαση Τοωερ, Πλοτ Νο., Σεχτορ, Dωαρκα, Νεω Dεληι 75 Πη.: 7656 Φα : 767 (7)
WΒϑΕΕ (Ασωερσ & Ηιτσ) σι. ςαλυε οφ τα χοσ ισ σι τα χοσ χοσ σιχοσ σι σι χοσ τα χοσ σι τα χοσ σι. Τηε στραιγητ λιε +ψ=9 διϖιδεσ τηε λιε σεγmετ ϕοιιγ τηε ποιτσ (,) αδ (,7) ι τηε ρατιο : ετεραλλψ : ιτεραλλψ : 5 ιτεραλλψ 5 : 6 ετεραλλψ 9 Ρατιο ιτ εραλλψ 6 7 9 5. Ιφ τηε συm οφ δισταχεσ φροm α ποιτ Π ο τωο mυτυαλλψ περπεδιχυλαρ στραιγητ λιεσ ισ υιτ, τηε τηε λοχυσ οφ Π ισ α παραβολα α χιρχλε α ελλιπσε α στραιγητ λιε ψ 6. Τηε στραιγητ λιε + ψ! = mεετσ τηε χιρχλε ψ 6 8ψ ατ Α αδ Β. Τηε τηε εθυατιο οφ τηε χιρχλε οφ ωηιχη ΑΒ ισ α διαmετερ ισ ψ ψ 6 ψ ψ 6 ψ 6 8ψ ψ Χετρε. Λιε ο + ψ! =, 6 ψ 6 8ψ 6 6ψ 6 ; ψ ψ 6 ψ ψ 6 ψ ψ 6 7. Ιφ τ αδ τ βε τηε παραmετερσ οφ τηε εδ ποιτσ οφ α φοχαλ χηορδ φορ τηε παραβολα ψ = α, τηε ωηιχη οε ισ τρυε? ττ τ τ ττ τ τ τ τ =! Φαχτ 8. Σ αδ Τ αρε τηε φοχι οφ α ελλιπσε αδ Β ισ εδ ποιτ οφ τηε mιορ αισ. Ιφ ΣΤΒ ισ α εθυιλατεραλ τριαγλε, τηε εχχετριχιτψ οφ τηε ελλιπσε ισ β αε ; β αε α α ε ε ε ; α ε ε Αακαση Ιστιτυτε Ρεγδ. Οφφιχε: Αακαση Τοωερ, Πλοτ Νο., Σεχτορ, Dωαρκα, Νεω Dεληι 75 Πη.: 7656 Φα : 767 (8)
WΒϑΕΕ (Ασωερσ & Ηιτσ) 9. Φορ διφφερετ ϖαλυεσ οφ, τηε λοχυσ οφ τηε ποιτ οφ ιτερσεχτιο οφ τηε τωο στραιγητ λιεσ ψ αδ ψ ισ α ηψπερβολα ωιτη εχχετριχιτψ α ελλιπσε ωιτη εχχετριχιτψ α ηψπερβολα ωιτη εχχετριχιτψ ψ...() ; 9 6 ψ...() α ελλιπσε ωιτη εχχετριχιτψ ψ () () ψ 8 6 8 8 6 ε 6. Τηε αρεα οφ τηε ρεγιο βουδεδ βψ ψ = αδ ψ = ισ σθ.υιτ ψ σθ.υιτ 6 δ 6 6 σθ.υιτ σθ.υιτ. Ιφ τηε δισπλαχεmετ, ϖελοχιτψ αδ αχχελερατιο οφ α παρτιχλε ατ τιmε, τ βε, ϖ αδ φ ρεσπεχτιϖελψ, τηε ωηιχη οε ισ τρυε? δ τ φ ϖ δ δ τ φ ϖ δ δτ δ δ δ ϖ δ δ ϖ δτ ϖ δ τ δϖ δ δ τ φ = ϖ φ δ δ τ φ ϖ δ δ τ φ ϖ δ. Τηε δισπλαχεmετ οφ α παρτιχλε ατ τιmε τ ισ γιϖε βψ Ατ Βτ Χ ωηερε Α, Β, Χ αρε χοστατσ αδ ϖ ισ ϖελοχιτψ οφ α παρτιχλε, τηε τηε ϖαλυε οφ Α!ϖ ισ ΑΧ + Β ΑΧ! Β ΑΧ! Β ΑΧ + Β = Ατ + Βτ + χ ϖ = Ατ + Β ϖ = Α τ + ΑΒ τ + Β Α = Α τ + ΑΒ τ + ΑΧ ϖ! α = Β! ΑΧ Α! ϖ = ΑΧ! Β Αακαση Ιστιτυτε Ρεγδ. Οφφιχε: Αακαση Τοωερ, Πλοτ Νο., Σεχτορ, Dωαρκα, Νεω Dεληι 75 Πη.: 7656 Φα : 767 (9)
WΒϑΕΕ (Ασωερσ & Ηιτσ). Φορ ωηατ ϖαλυεσ οφ, τηε φυχτιο φ () ισ mοοτοε δεχρεασιγ? < < < < < < < < 5 φ() =! + 8 = (! + ) = (! ) (! ) + +!! ισ δεχρεασιγ φορ (, ). Τηε δισπλαχεmετ οφ α παρτιχλε ατ τιmε τ ισ, ωηερε τ κτ. Ιφ τηε ϖελοχιτψ οφ τηε παρτιχλε ατ τιmε τ = ισ mιιmυm, τηε κ = κ =! κ = 8 κ =!8 δ δτ τ! κτ δϖ δτ τ 6κτ ατ τ = δϖ, 8 κ δτ ; κ = 5. Τηε ποιτ ι τηε ιτερϖαλ,, ωηερε φ() = ε (σι + χοσ) φ() = ε (σι + χοσ + χοσ! σι) φ () = ε χοσ = 6. Τηε mιιmυm ϖαλυε οφ φ () ε ισ 7. φ () ε σι ηασ mαιmυm σλοπε, ισ ε!ε! φ() = ε ( ), φ () = ε ε φ() ισ δεχρεασιγ φορ <, ιχρεασιγ φορ > Μιιmυm ισ ατ φ () ε λογ δ ισ εθυαλ το λογ Χ λογ Χ τ λογ Χ λογ Χ τ τ τ τδτ δτ χ χ τ τ Αακαση Ιστιτυτε Ρεγδ. Οφφιχε: Αακαση Τοωερ, Πλοτ Νο., Σεχτορ, Dωαρκα, Νεω Dεληι 75 Πη.: 7656 Φα : 767 ()
WΒϑΕΕ (Ασωερσ & Ηιτσ) 8. ε δ ισ εθυαλ το ε Χ ε Χ ε Χ ε Χ ε ε δ ε δ χ 9. Τηε ϖαλυε οφ τηε ιτεγραλ δ ισ ε ε ε Χ ε Χ ε Χ ε δ ε ε τ ; ε δ δτ τδτ χ τ ε 5. Τηε ϖαλυε οφ χ τ σι χοσ Λτ ισ σι χοσ χοσ χοσ χοσ Λιm Λιm Λιm χοσ σι Λιm 5. Τηε ϖαλυε οφ 5 Λτ ισ ε ε ε ε ε Χ 5 Λιm Λιm 5 Λιm ε ε ε Αακαση Ιστιτυτε Ρεγδ. Οφφιχε: Αακαση Τοωερ, Πλοτ Νο., Σεχτορ, Dωαρκα, Νεω Dεληι 75 Πη.: 7656 Φα : 767 ()
WΒϑΕΕ (Ασωερσ & Ηιτσ) 5. Ι ωηιχη οφ τηε φολλοωιγ φυχτιοσ, Ρολλε#σ τηεορεm ισ αππλιχαβλε? φ () ι φ () τα ι φ () ι φ() = οτ διφφερετιαβλε ατ = φ() = τα δισχοτιυουσ ατ = φ () οτ διφφερετιαβλε ατ = φ() = (!) πολψοmιαλ διφφερετιαβλε Ρ Ηεχε Ρολλε#σ τηεορεm ισ αππλιχαβλε φ () ι φ(5) 5φ() 5. Ιφ φ (5) 7 αδ φ (5) 7 τηε Λτ 5 5 ισ γιϖε βψ 5!5 8!8 φ (5) τφ () φ (5) 5φ () Λτ Λτ φ (5) 5φ (5) 7 5 7 8 5 5 5 δψ τηε τηε ϖαλυε οφ δ 5. Ιφ ψ...! Τ λογ & Dιφφερετιατε δψ ψ... Πυτ δ δψ δ χοσ χοσ 55. Τηε ϖαλυε οφ φ() σο τηατ τηε φυχτιο φ () ισ χοτιυουσ εϖερψωηερε ισ χοσ χοσ Λιm σι σι σι σι σι Λιm Λιm σι ισ 6 σι Λιm 8 8 Αακαση Ιστιτυτε Ρεγδ. Οφφιχε: Αακαση Τοωερ, Πλοτ Νο., Σεχτορ, Dωαρκα, Νεω Dεληι 75 Πη.: 7656 Φα : 767 ()
WΒϑΕΕ (Ασωερσ & Ηιτσ) 56. χοσ δ ισ εθυαλ το χοσ Χ σι Χ χοσ Χ σι Χ χοσ δ χοσ δ σι χ 57. Τηε φυχτιο φ () σεχ λογ 58. ισ οδδ εϖε ειτηερ οδδ ορ εϖε χοστατ φ () σεχ σεχ ισ α εϖε φυχτιο σι λιm ισ εθυαλ το =σεχ (οδδ φυχτιο) = εϖε φυχτιο ποσιτιϖε ιφιιτψ δοεσ οτ ειστ σι Λιm ΛΗΛ ΡΗΛ Λιmιτ δοεσ οτ ειστ 59. Τηε χο ορδιατεσ οφ τηε ποιτ ο τηε χυρϖε ψ =! + ωηερε τηε ταγετ ισ περπεδιχυλαρ το τηε στραιγητ λιε ψ = αρε (, ) (, ) (!, 6) (,!) ψ δψ ατ, ψ δ Ποιτ ισ, 6. Τηε δοmαι οφ τηε φυχτιο φ () χοσ ισ (!, ) [!, ], Υ,, Υ, φ () χοσ, 6. Ιφ τηε λιε α + βψ + χ = ισ α ταγετ το τηε χυρϖε ψ =, τηε α <, β > α, β > α <, β < α, β < Αακαση Ιστιτυτε Ρεγδ. Οφφιχε: Αακαση Τοωερ, Πλοτ Νο., Σεχτορ, Dωαρκα, Νεω Dεληι 75 Πη.: 7656 Φα : 767 ()
WΒϑΕΕ (Ασωερσ & Ηιτσ) Σλοπε οφ λιε δψ ψ, δ α β α α β β, α <, β < 6. Ιφ τηε ορmαλ το τηε χυρϖε ψ = φ() ατ τηε ποιτ (, ) mακε α αγλε / ωιτη τηε ποσιτιϖε αισ, τηε φ() ισ!! δψ φ (), Σλοπε οφ ορmαλ δ, φ () τα φ () φ () δ ψ δψ 6. Τηε γεεραλ σολυτιο οφ τηε διφφερετ εθυατιο ψ ισ δ δ ψ (χ χ )ε π! π + = (Π! ) =, Π ψ (χ χ )ε ψ (χ χ )ε ψ (χ χ )ε 6. Ιφ ψ! ψ+ ψ = ωηερε ψ() =, ψ() =, τηε τηε ϖαλυε οφ ψ ατ = λογ, ισ! δ ψ δψ ψ δ δ m! m + =, ψ = Αε + Βε m =, m =, ψ = Αε + Βε ψ =, Α + Β = Α + Β =, Α =, Β =! ψ = ε! ε ψ = ατ = ψ χ ε χ ε δψ δψ δψ 65. Τηε δεγρεε οφ τηε διφφερετιαλ εθυατιο... δ δ δ οτ δεφιεδ δψ ε, δψ λογ δ δ ε 66. Τηε εθυατιο οφ οε οφ τηε χυρϖεσ ωηοσε σλοπε ατ αψ ποιτ ισ εθυαλ το ψ + ισ ψ ε ψ ε ψ ε ψ ε Αακαση Ιστιτυτε Ρεγδ. Οφφιχε: Αακαση Τοωερ, Πλοτ Νο., Σεχτορ, Dωαρκα, Νεω Dεληι 75 Πη.: 7656 Φα : 767 ()
WΒϑΕΕ (Ασωερσ & Ηιτσ) δψ ψ δ Πυτ ψ + = ζ δψ δζ ζ δ δ δζ ζ δ, δζ ζ δ δζ ζ δ λογ(ζ + ) = + χ, λογ (ψ + + ) = + χ ψ + + = + χ, ψ = (ε!! ) 67. Σολυτιο οφ τηε διφφερετιαλ εθυατιο δψ! ψδ = ρεπρεσετσ α παραβολα χιρχλε ηψπερβολα στραιγητ λιε.δψ! ψ.δ = δψ = ψδ δψ δ λογ ψ λογ λογ χ ψ ψ = χ 68. Τηε ϖαλυε οφ τηε ιτεγραλ 5 / 5 σι δ ισ 8 5 Ι σι δ χοσ = φ, σιδ = δτ = ( τ ) δτ = = τ τ δτ 5 5 8 τ (τ ) (τ) = 5 5 5 5 5 β δ φ () γ(), τηε φ ()γ()δ δ ισ εθυαλ το 69. Ιφ φ (β) φ (α) φ() = γ()δ β α α β β γ (β) γ (α) φ ().γ().δ φ ().φ () γ().φ ()δ α α Ι ΙΙ Ι = φ (β)! φ (α)! Ι Ι φ (β) φ (α) 8 5 φ(β)! φ(α) 5 φ (β ) φ (α ) Αακαση Ιστιτυτε Ρεγδ. Οφφιχε: Αακαση Τοωερ, Πλοτ Νο., Σεχτορ, Dωαρκα, Νεω Dεληι 75 Πη.: 7656 Φα : 767 (5)
WΒϑΕΕ (Ασωερσ & Ηιτσ) 7. Ιφ Ι φ (χοσ )δ αδ Ι φ (χοσ )δ, τηε Ι = Ι Ι = Ι Ι = Ι Ι = 5Ι Ι = φ (χοσ )δ Ι [ περιοδ ισ ] 7. Τηε ϖαλυε οφ Ι σι δ ισ / /!! < Ι < Ι σι δ () 7. Ιφ Ι Ι δ /, τηε λογ ε < < / λογ ε > Ι = / Ι = λογ ε, Ι (λογ(+)), Ι λογ 7. Τηε αρεα εχλοσεδ βψ ψ =! 5, ψ =, = αδ = 5 ισ σθ. υιτσ σθ. υιτσ σθ. υιτσ σθ. υιτσ Α ( 5)δ 5 5 5 ( ) 5(),.6! 5() =! = [5 9] 5(5 ) 7. Τηε αρεα βουδεδ βψ τηε παραβολασ ψ =, ψ = αδ τηε λιε ψ = ισ 9 5 σθ. υιτσ σθ. υιτσ 5 σθ. υιτσ σθ. υιτσ Αακαση Ιστιτυτε Ρεγδ. Οφφιχε: Αακαση Τοωερ, Πλοτ Νο., Σεχτορ, Dωαρκα, Νεω Dεληι 75 Πη.: 7656 Φα : 767 (6)
WΒϑΕΕ (Ασωερσ & Ηιτσ) ψ =... (ι) ψ = Α = ρ... (ιι) ψ ψ δψ ψδψ ψ 5 / 5 (ψ ) = =, Αρεα οφ βουδεδ φιγυρε = Α = 75. Τηε εθυατιο οφ ορmαλ οφ + ψ! + ψ! 5 = ατ (, ) ισ ψ =! 5 ψ =! ψ = + ψ = + (,! ) Α (, ) ψ Σλοπε Α, ψ, ψ! = (! ) ψ =! 5 76. Ιφ τηε τηρεε ποιτσ (θ, ), (, π) αδ (, ) αρε χολλιεαρ τηε ωηιχη οε ισ τρυε? π θ Α(θ, ) Β (, π) Χ () Σλοπε = ΑΧ = 5 λογ ΒΧ π θ, π θ = (! π) (! θ), =! θ! π + 9πθ π + θ = 9 πθ, θ π 77. Τηε εθυατιοσ ψ, ψ = αρε τηε σιδεσ οφ π θ π θ π θ α εθυιλατεραλ τριαγλε α ριγητ αγλεδ τριαγλε α ισοσχελεσ τριαγλε α οβτυσε αγλεδ τριαγλε ψ = τα6, ψ =! τα6 ψ =, εθυιλατεραλ 78. Τηε εθυατιοσ οφ τηε λιεσ τηρουγη (, ) αδ mακιγ αγλεσ οφ 5 ωιτη τηε λιε + ψ = αρε! =,! ψ =! ψ =, ψ! = + ψ! =, ψ! =! =, ψ! = m τα 5 m =, ψ ( ), m τα 5 ψ =, = ( ) ψ ( ) Αακαση Ιστιτυτε Ρεγδ. Οφφιχε: Αακαση Τοωερ, Πλοτ Νο., Σεχτορ, Dωαρκα, Νεω Dεληι 75 Πη.: 7656 Φα : 767 (7)
WΒϑΕΕ (Ασωερσ & Ηιτσ) π Θ 79. Ι α τριαγλε ΠΘΡ, Ρ /. Ιφ τα αδ τα αρε ροοτσ οφ α + β + χ =, ωηερε α, τηε ωηιχη οε ισ τρυε? χ = α + β α = β + χ β = α + χ β = χ Π Θ Π Θ τα,! β = α! χ α + β = χ β α β χ α χ α σι 55 χοσ55 8. Τηε ϖαλυε οφ σι σι 55 σι 5 χοσ 5.σι σι σι ισ Αακαση Ιστιτυτε Ρεγδ. Οφφιχε: Αακαση Τοωερ, Πλοτ Νο., Σεχτορ, Dωαρκα, Νεω Dεληι 75 Πη.: 7656 Φα : 767 (8)
WΒϑΕΕ (Ασωερσ & Ηιτσ). Προϖε τηατ τηε εθυατιο χοσ + α σι = α! 7 ποσσεσσεσ α σολυτιο ιφ α 6. Α. χοσ + α σι = α! 7 σι! ασι + (α! 8) = α (α 8) α Σιχε σι ΙΡ, σι,, σι Γιϖε εθυατιο ηασ σολυτιο οφ α 6. DΕΣΧΡΙΠΤΙςΕ ΤΨΠΕ ΘΥΕΣΤΙΟΝΣ ΣΥΒ : ΜΑΤΗΕΜΑΤΙΧΣ. Φιδ τηε ϖαλυεσ οφ, (! < <, ) σατισφψιγ τηε εθυατιο, χοσ χοσ... 8 Α. χοσ χοσ... (8) χοσ 6 8, 6 χοσ χοσ,,,. Προϖε τηατ τηε χετρε οφ τηε σmαλλεστ χιρχλε πασσιγ τηρουγη οριγι αδ ωηοσε χετρε λιεσ ο ψ = + ισ, Α. Λετ χετρε βε χ(η, η + ), (, ) ρ οχ η (η ) η η = η φορ mι ραδιυσ ρ, η, η Χετρε,. Προϖε βψ ιδυχτιο τηατ φορ αλλ Ν, + ισ α εϖε ιτεγερ ( ) Α. =, + = ισ α εϖε ιτεγερ Λετ φορ = κ, κ + κ ισ εϖε Νοω φορ = κ +, (κ + ) + (κ + )! (κ + κ) = κ + κ + + κ +! κ! κ = κ + ωηιχη ισ εϖε ιτεγερ αλσο κ + κ ισ εϖε ιτεγερ Ηεχε (κ + ) + (κ + ) ια αλσο α εϖε ιτεγερ Αακαση Ιστιτυτε Ρεγδ. Οφφιχε: Αακαση Τοωερ, Πλοτ Νο., Σεχτορ, Dωαρκα, Νεω Dεληι 75 Πη.: 7656 Φα : 767 (9)
WΒϑΕΕ (Ασωερσ & Ηιτσ) Ηεχε + ισ εϖε ιτεγερ φορ αλλ Ν. 5. Ιφ Α, Β αρε τωο σθυαρε mατριχεσ συχη τηατ ΑΒ = Α αδ ΒΑ = Β, τηε προϖε τηατ Β = Β Α. Β = Β.Β = (ΒΑ)Β = Β (ΑΒ) = Β = ΒΑ = Β (Προϖεδ) 6. Ιφ Ν = (Ν, > ), τηε φιδ Ν Α. λιm λογ λογ... λογ Ν λιm λογ (...) = Ν Ν Ν Ν Ν = λιm λογ Ν Ν λιm λογ Ν λογ Ν... (λογ Ν) = λιm Ν α 7. Υσε τηε φορmυλα λτ λογε α, το χοmπυτε Α. λιm λιm λιm = ε ε λογ λογ λτ δψ ψ 8. Ιφ προϖε τηατ, ψ ψ Α ωηερε Α ισ χοστατ δ Α. δψ ψ δ δψ δ ψ σι! + σι! ψ = χ σι ψ ψ χ σι ψ σι χ [χ ισ α χοστατ] ωηερε Α ισ α ψ ψ σι χ = Α χοστατ Αακαση Ιστιτυτε Ρεγδ. Οφφιχε: Αακαση Τοωερ, Πλοτ Νο., Σεχτορ, Dωαρκα, Νεω Dεληι 75 Πη.: 7656 Φα : 767 ()
WΒϑΕΕ (Ασωερσ & Ηιτσ) 9. Εϖαλυατε τηε φολλοωιγ ιτεγραλ σι δ Α. Ι σι δ = σι δ.σι δ σι δ.σι δ = Ι! Ι.σι δ.σι δ Ι = σι δ =! χοσ χοσ δ = Ι χοσ σι σι δ = = χοσ σι = Σο, Ι! Ι = γ(α)φ (α) γ(α)φ (). Ιφ φ(α) =, φ (α) =, γ(α) =! αδ γ(α) =, φιδ τηε ϖαλυε οφ λιm. α α Α. γ (α)φ (α) γ(α)φ () λιm α = γ(α) φ(α)! γ(α) φ(α) = ()()! (!) () = + = 5 [υσιγ Λ Ηοσπιταλ Ρυλε] Αακαση Ιστιτυτε Ρεγδ. Οφφιχε: Αακαση Τοωερ, Πλοτ Νο., Σεχτορ, Dωαρκα, Νεω Dεληι 75 Πη.: 7656 Φα : 767 ()