είναι ένα δύσκολο στην κατανόηση θέμα, διότι έχει κατασκευαστεί σε αφηρημένες δομές. Δεδομένου ότι αυτές οι αφηρημένες δομές δεν καλύπτουν τις ζωές

1.1 Η Γεωμετρία Η Γεωμετρία αποτελεί ένα σημαντικό κεφάλαιο των Μαθηματικών και κατέχει ένα βασικό ρόλο στα προγράμματα σπουδών. Η σημασία της διδασκαλίας της συνδέεται τόσο με τη χρησιμότητά της στην καθημερινή ζωή όσο και στα Μαθηματικά ή στις άλλες επιστήμες. Ένα πλήθος από γεωμετρικές γνώσεις είναι απαραίτητες για την αντίληψη καθημερινών καταστάσεων και προβλημάτων και πολλές δράσεις του ατόμου στηρίζονται σε αυτές (αντίληψη και διαχείριση φυσικών και τεχνητών αντικειμένων, έργων τέχνης, διαστάσεις της επιστήμης και της τεχνολογίας και πολλές μορφές μοντελοποίησης). Επίσης οι έννοιες και οι διαδικασίες της Γεωμετρίας στηρίζουν την προσέγγιση πολλών μαθηματικών εννοιών: αξιοποιούνται στην επίλυση προβλήματος με την δημιουργία κατάλληλων διαγραμμάτων, στηρίζουν τη δημιουργία νοερών εικόνων, την κατανόηση συμβόλων, την κατανόηση σχηματισμών για την απόδοση αριθμητικών σχέσεων, την γραμμή των αριθμών, γραφικές παραστάσεις ή άλλες μαθηματικές διαδικασίες που στηρίζονται σε δισδιάστατες ή τρισδιάστατες διατάξεις (πράξεις, υποδιαιρέσεις μονάδων, πίνακες, κ.ά). Τέλος, η δημιουργία και η επεξεργασία νοερών εικόνων και αναπαραστάσεων και η αντίληψη των δισδιάστατων και τρισδιάστατων καταστάσεων που καλλιεργούνται με την κατάλληλη διδασκαλία της Γεωμετρίας έχουν μεγάλη σημασία για τον άνθρωπο και αποκτούν στα προγράμματα σπουδών τα τελευταία χρόνια την ίδια σημασία με την αντίληψη των αριθμών και των νοερών πράξεων (Clements & Battista, 1992). Ο σκοπός της Γεωμετρίας είναι η εκμάθηση των ιδιοτήτων των γεωμετρικών σχημάτων, επίπεδων και στερεών, βρίσκοντας τις σχέσεις μεταξύ τους, περιγράφοντας τη γεωμετρική θέση, εξηγώντας τους μετασχηματισμούς και αποδεικνύοντας γεωμετρικά επιχειρήματα. Οι μαθητές/τριες αρχίζουν να βλέπουν, να γνωρίζουν και να κατανοούν τον φυσικό κόσμο γύρω τους από τα πρώτα χρόνια της σχολικής τους ηλικίας, ενώ τα επόμενα χρόνια συνεχίζουν την εκπαίδευσή τους με υψηλότερα επίπεδα γεωμετρικής σκέψης να αναπτύσσονται επαγωγικά και αφαιρετικά. Επιπλέον, μπορούν να αναλύσουν προβλήματα, να τα επιλύσουν και να οικοδομήσουν μια σχέση ανάμεσα στα μαθηματικά και τη ζωή. Στην πραγματικότητα, οι λύσεις σε πολλά καθημερινά προβλήματα που αντιμετωπίζουν οι άνθρωποι απαιτούν βασικές δεξιότητες στη Γεωμετρία. Για το λόγο αυτό, η εκπαίδευση στη Γεωμετρία καταλαμβάνει εξέχουσα θέση στην πρωτοβάθμια εκπαίδευση. Η Γεωμετρία μπορεί να 1

είναι ένα δύσκολο στην κατανόηση θέμα, διότι έχει κατασκευαστεί σε αφηρημένες δομές. Δεδομένου ότι αυτές οι αφηρημένες δομές δεν καλύπτουν τις ζωές των μαθητών/τριών άμεσα, αυτό συνεπάγεται αρκετές μαθησιακές δυσκολίες. Προκειμένου να ελαχιστοποιηθούν αυτές οι δυσκολίες, τα μαθήματα της Γεωμετρίας στην πρωτοβάθμια εκπαίδευση χρειάζεται να παρουσιάζονται συμβατά με τα επίπεδα κατανόησης των παιδιών. Πολλοί και σημαντικοί είναι οι λόγοι για να μελετάει κανείς τη Γεωμετρία (Van de Walle, 2001, σελ. 427): 1. Με τη Γεωμετρία μπορεί να αποκτηθεί μια πιο σφαιρική εκτίμηση του κόσμου. Η Γεωμετρία συναντάται στη δομή του ηλιακού συστήματος, στα φυτά ακόμα και στο ζωικό βασίλειο. Διαδραματίζει επιπλέον ρόλο στο «σύμπαν» που συνθέτουν οι ίδιοι οι άνθρωποι: η τέχνη, η αρχιτεκτονική, τα αυτοκίνητα, οι μηχανές και ουσιαστικά το καθετί που δημιουργούν διακρίνεται από στοιχεία γεωμετρικής μορφής. 2. Με τις γεωμετρικές διερευνήσεις μπορούν να αναπτυχθούν οι δεξιότητες της επίλυσης προβλημάτων. Η συλλογιστική του χώρου συνιστά σημαντικό μέρος της Γεωμετρίας, η οποία αποτελεί έναν από τους κυριότερους λόγους για να μελετάμε Μαθηματικά. 3. Η Γεωμετρία παίζει ρόλο κλειδί στη μελέτη των άλλων περιοχών των Μαθηματικών. Η έννοια του κλάσματος, για παράδειγμα, συνδέεται με γεωμετρικές κατασκευές του τύπου «μέρος προς όλο». Ο λόγος και η αναλογία συνδέονται άμεσα με τη γεωμετρική έννοια της ομοιότητας. Είναι ολοφάνερη επίσης η σύνδεση της Γεωμετρίας με τις μετρήσεις. 4. Η Γεωμετρία χρησιμοποιείται καθημερινά από πολλούς ανθρώπους. Οι επιστήμες όλων των ειδών, η αρχιτεκτονική και οι τέχνες, η μηχανική και η αξιοποίηση του χώρου είναι μερικοί από τους κλάδους οι οποίοι χρησιμοποιούν τη Γεωμετρία σε τακτική βάση. 5. Η Γεωμετρία είναι ευχάριστη δραστηριότητα. Εάν μεγαλώνει την αγάπη για τα Μαθηματικά, τότε αξίζει τον κόπο η διδασκαλία της. Από τα παραπάνω γίνεται κατανοητό πως η βασική γεωμετρική γνώση φαίνεται να είναι μια καθολική ικανότητα του ανθρώπινου νου και αποτελεί σημαντικό εφόδιο καθώς όχι μόνο υποστηρίζει την ανάπτυξη των αριθμών και των αριθμητικών εννοιών και δεξιοτήτων, αλλά και επειδή συνδέει τα Μαθηματικά με τον φυσικό κόσμο. Το μάθημα της Γεωμετρίας είναι απαραίτητο να εμπεριέχεται στο πρόγραμμα σπουδών του Δημοτικού σχολείου. Ο Τουμάσης (1994) αναφέρει πέντε βασικούς λόγους για τους οποίους είναι αδιαμφισβήτητη η παιδαγωγική αξία του μαθήματος της Γεωμετρίας: - Βοηθάει στην ανάπτυξη της ικανότητας αντίληψης του χώρου. - Καλλιεργεί την ικανότητα νοερής σύλληψης των Μαθηματικών. - Συνδέει άμεσα τα Μαθηματικά με τον πραγματικό κόσμο. 2

- Βοηθάει στην κατανόηση άλλων αφηρημένων μαθηματικών ιδεών από της περιοχές των Μαθηματικών, μέσω των γεωμετρικών μοντέλων ερμηνείας. - Αποτελεί ένα εξαιρετικό παράδειγμα της μαθηματικού συστήματος στην πραγματικότητα του πιο απλού και κατανοητού για τους/τις μαθητές/τριες. Σύμφωνα με τον Λεμονίδη (2003), «οι μαθητές, στα πλαίσια της Γεωμετρίας, μελετούν το χώρο μέσα στον οποίο ζουν και προσανατολίζονται, μετρούν, συγκρίνουν και σχηματίζουν νοερές εικόνες της μορφής των αντικειμένων. Μια από τις σημαντικές πλευρές της γεωμετρικής σκέψης είναι η νοερή απεικόνιση του χώρου που σχηματίζεται με τη χρήση των νοερών αναπαραστάσεων των τρισδιάστατων και δισδιάστατων αντικειμένων και τη θεώρησή τους από διαφορετικές προοπτικές. Οι μαθητές μαθαίνουν τα γεωμετρικά σχήματα, τη δομή τους, αναλύουν τα χαρακτηριστικά και τις σχέσεις τους. Για να διαχειριστούμε και να περιγράψουμε το φυσικό χώρο που μας περιβάλλει διαθέτουμε ως μέσον τα γεωμετρικά μοντέλα και τη συλλογιστική του χώρου. Αυτά αποτελούν σημαντικά εργαλεία για να λύνουμε διάφορα προβλήματα». Η Κολέζα (2000) θεωρεί τη μελέτη της Γεωμετρίας απαραίτητη, γιατί εμπεριέχει τριών ειδών γνωστικές διαδικασίες: α) διαδικασίες οπτικοποίησης για την αναπαράσταση αντικειμένων του χώρου, τη συστηματική διερεύνηση μιας σύνθετης κατάστασης ή τον έλεγχο κάποιων υποθέσεων, β) διαδικασίες κατασκευής με συγκεκριμένα εργαλεία και υπό συγκεκριμένες συνθήκες, γ) διαδικασίες συλλογισμού. Οι διαδικασίες αυτές μπορούν να εκτελεσθούν ανεξάρτητα η μία από την άλλη αλλά ο συνδυασμός τους είναι απαραίτητος για τη γεωμετρική σκέψη. Η συνύπαρξη των τριών αυτών γνωστικών διαδικασιών προσφέρει μεθοδολογικά πλεονεκτήματα στη Γεωμετρία έναντι άλλων γνωστικών περιοχών. Η Γεωμετρία μάλιστα δεν είναι χρήσιμη μόνο όταν διδάσκεται σε ανώτερα και αφηρημένα επίπεδα, αλλά ακόμα και σε άτυπη ή στοιχειώδη μορφή, όπως συμβαίνει στις πρώτες τάξεις του Δημοτικού σχολείου. 1.2 Η Γεωμετρική σκέψη των παιδιών και η γνώση του σχήματος Τα επίπεδα γεωμετρικής σκέψης του van Hiele Τα επίπεδα γεωμετρικής σκέψης του van Hiele δείχνουν τις προσεγγίσεις και τα επίπεδα κατανόησης στη Γεωμετρία. Επειδή η μετάβαση από το ένα επίπεδο στο άλλο εξαρτάται από την ποιότητα της εκπαίδευσης και το αντικείμενο της εκπαίδευσης, μια εκπαιδευτική προσέγγιση καθοδήγησης των μαθητών/τριών προς την ανακάλυψη, την 3

κριτική σκέψη και τη συζήτηση θα προωθήσει την ανάπτυξή τους σε αυτά τα επίπεδα και θα επιτρέψει την ταχεία μετάβαση σε υψηλότερα επίπεδα γεωμετρικής σκέψης. Αν η κατανόηση των επιπέδων της γεωμετρικής σκέψης ελεγχθεί μέσω κάποιας διαδικασίας από τους/τις εκπαιδευτικούς πριν την διδασκαλία, οι εκπαιδευτικοί μπορούν να λάβουν υπόψη τους αυτά τα επίπεδα και έτσι να μπορέσουν να οδηγήσουν τα παιδιά σε υψηλότερα επίπεδα. Επίσης η γνώση αυτών των επιπέδων θα βοηθήσει τους/τις εκπαιδευτικούς να οργανώσουν καλύτερα και πιο αποτελεσματικά τις διδασκαλίες τους. Ο Pierre van Hiele, λοιπόν, κατέληξε στη διατύπωση των πέντε επιπέδων γεωμετρικής σκέψης που αποτελούν μια πρόταση για την οργάνωση της διδασκαλίας της Γεωμετρίας. Τα τρία πρώτα από αυτά τα επίπεδα αφορούν τη διδασκαλία της γεωμετρίας στο Δημοτικό Σχολείο. Τα επίπεδα αυτά περιγράφονται στη συνέχεια (Burger & Shaughnessy, 1986): Επίπεδο 0 (Βασικό Επίπεδο) Οπτικοποίηση (Visualization) ή Αναγνώριση Στο επίπεδο αυτό οι μαθητές/τριες αναγνωρίζουν τα γεωμετρικά σχήματα ως μια ολότητα με βάση τη μορφή τους κι όχι σε σχέση με τις ιδιότητές τους. Μπορούν να τα κατονομάσουν π.χ. ως τρίγωνα ή τετράγωνα αλλά δεν μπορούν να διατυπώσουν τις ιδιότητές τους. Οι ιδιότητες των σχημάτων δε γίνονται αντιληπτές αλλά ούτε και οι σχέσεις μεταξύ των σχηματικών μονάδων ενός σχήματος ή μεταξύ δύο ή περισσοτέρων σχημάτων. Επιπλέον, θεωρείται ότι τα σχήματα έχουν διαφορετικές ιδιότητες, όταν περιστρέφονται ή αλλάζουν οι διαστάσεις τους. Εκείνο που έχει σημασία για το παιδί είναι η μορφή του σχήματος (π.χ. ένα τετράγωνο που έχει περιστραφεί ενδέχεται να μη γίνεται πλέον αντιληπτό ως τετράγωνο). Ταξινομούν τα σχήματα με βάση τη μορφή τους και για την περιγραφή των σχημάτων χρησιμοποιούν οπτικά πρότυπα (π.χ. αναγνωρίζει ένα ορθογώνιο γιατί μοιάζει με πόρτα). Σε αυτό το επίπεδο τα παιδιά είναι σε θέση να δουν ομοιότητες και διαφορές ανάμεσα στα σχήματα που παρατηρούν. Η διδασκαλία σε αυτό το επίπεδο καλό είναι να περιλαμβάνει δραστηριότητες ταξινόμησης, αναγνώρισης και περιγραφής σχημάτων με ποικίλα και διαφορετικά παραδείγματα σχημάτων ούτως ώστε τα άσχετα χαρακτηριστικά των σχημάτων να μην αποκτούν σημασία. 4

5

Επίπεδο 1 Ανάλυση (Analysis) ή Περιγραφή (Description) Οι μαθητές/τριες σε αυτό το επίπεδο αναγνωρίζουν τα σχήματα με τη βοήθεια των ιδιοτήτων τους. Διακρίνουν τα στοιχεία που συνιστούν ένα σχήμα και ταξινομούν τα σχήματα ανάλογα με τις ιδιότητές τους. Βλέπουν το σχήμα που παρατηρούν ως αντιπρόσωπο της κατηγορίας που ανήκει. Έτσι, αν ένα σχήμα ανήκει σε μια κατηγορία, τότε έχει τις ιδιότητες αυτής της κατηγορίας. Οι ιδιότητες περιγράφονται αλλά δεν μπορούν να ορισθούν τυπικά. Οι ιδιότητες του σχήματος εδραιώνονται πειραματικά, με μετρήσεις, σχεδιάσεις ή τοποθετήσεις σχημάτων πάνω σε άλλα ή κατασκευές. Χαρακτηριστικά που δεν έχουν σχέση, όπως το μέγεθος και ο προσανατολισμός, αποκτούν δευτερεύουσα σημασία. Τα παιδιά σε αυτό το επίπεδο είναι σε θέση να καταγράψουν τις ιδιότητες των τετραγώνων, των ορθογωνίων και των παραλληλογράμμων, αλλά αδυνατούν να αντιληφθούν ότι πρόκειται για υποκατηγορίες η μία της άλλης, δεν είναι δηλαδή σε θέση να συμπεράνουν ότι π.χ. το ορθογώνιο είναι παραλληλόγραμμο. 6

7

Επίπεδο 2 Άτυπη Παραγωγή (Informal Deduction) ή Διάταξη (Order) Στο επίπεδο αυτό οι μαθητές/τριες κατανοούν τις σχέσεις μεταξύ των ιδιοτήτων των σχημάτων, καθώς και τις σχέσεις μεταξύ των σχημάτων. Συνδέουν τα σχήματα με βάση τις ιδιότητές τους και τα ταξινομούν σε κατηγορίες π.χ. «κάθε τετράγωνο είναι ορθογώνιο, κάθε ορθογώνιο είναι παραλληλόγραμμο». Μπορούν να κατηγοριοποιήσουν τα σχήματα χρησιμοποιώντας λιγότερα χαρακτηριστικά τους (π.χ. τα ορθογώνια είναι παραλληλόγραμμα που έχουν μια ορθή γωνία). Είναι σε θέση να αντιληφθούν ότι μια ιδιότητα είναι συνέπεια της άλλης και αρχίζουν να αντιλαμβάνονται το ρόλο του ορισμού, αλλά δε λειτουργούν μέσα σε ένα μαθηματικό σύστημα. Μπορούν να κάνουν απλούς παραγωγικούς συλλογισμούς, αλλά δεν μπορούν να κατανοήσουν ή να συνθέσουν πλήρεις αποδείξεις των ισχυρισμών τους. Επιπλέον, δεν έχουν κατανοήσει το ρόλο των αξιωμάτων και δε διακρίνουν τη λογική σύνδεση των προτάσεων, ενώ έχουν ανάγκη να στηρίζονται στον πειραματισμό προκειμένου να αντιληφθούν κάποιες ιδιότητες. 8

Στη διδασκαλία ιδιαίτερη βαρύτητα χρειάζεται να δίνεται στον προσδιορισμό των ιδιοτήτων. Τα παιδιά κρίνεται χρήσιμο να εντοπίζουν ποιες ιδιότητες είναι αναγκαίες και ποιες επαρκείς προϋποθέσεις για ένα συγκεκριμένο σχήμα ή έννοια. Επίπεδο 3 Τυπική Παραγωγή (Formal deduction) ή Αφαίρεση (Abstraction) Οι μαθητές/τριες δεν είναι απλώς σε θέση να εξετάζουν τις ιδιότητες των σχημάτων αλλά και τις σχέσεις μεταξύ των ιδιοτήτων. Μπορούν να διακρίνουν ένα αξίωμα από ένα θεώρημα και να συμπεράνουν ότι μια πρόταση είναι λογικό επακόλουθο μιας άλλης πρότασης. Αναπτύσσουν συλλογισμούς για να αποδείξουν μια πρόταση χρησιμοποιώντας δεδομένα. Μπορούν να αναπτύξουν μια απόδειξη με περισσότερους από έναν τρόπους. Δημιουργούν θεωρήματα βασιζόμενοι σε αξιώματα και ορισμούς και τα αποδεικνύουν χρησιμοποιώντας εκφράσεις λογικής αιτιολόγησης. Αρχίζουν να κατανοούν την αναγκαιότητα ύπαρξης ενός συστήματος, αποτελούμενο από αξιώματα, 9

ορισμούς, θεωρήματα, πορίσματα και δεδομένα για την εδραίωση της γεωμετρικής αλήθειας. Αντιλαμβάνονται τη λειτουργία και τη συσχέτιση των ικανών και αναγκαίων συνθηκών και τη διάκριση μεταξύ μιας πρότασης και της αντίστροφής της. Δεν αναγνωρίζουν όμως την ανάγκη για αυστηρότητα στην απόδειξη και δεν κατανοούν τις σχέσεις μεταξύ διαφόρων αξιωματικών συστημάτων. Στα Αναλυτικά Προγράμματα Σπουδών η ουσιαστική μελέτη της Ευκλείδειας Γεωμετρίας αρχίζει από αυτό το επίπεδο. Επίπεδο 4 Αυστηρότητα (Rigor) Οι μαθητές/τριες αντιλαμβάνονται τη σπουδαιότητα της ακρίβειας/αυστηρότητας για τη διατύπωση των γεωμετρικών θεωριών και είναι σε θέση να αναλύσουν διάφορα αξιωματικά συστήματα με μεγάλη αυστηρότητα. Γνωρίζουν την ύπαρξη και άλλων αξιωματικών θεμελιώσεων για την Ευκλείδεια Γεωμετρία. Κατανοούν ιδιότητες όπως η συνέπεια, η ανεξαρτησία και η πληρότητα των αξιωμάτων. Μπορούν να συγκρίνουν την Ευκλείδεια και τις μη Ευκλείδειες Γεωμετρίες (π.χ. σφαιρική Γεωμετρία). Αναπτύσσουν μια θεωρία χωρίς να προσπαθούν να της δώσουν κάποια συγκεκριμένη ερμηνεία. Σ αυτό το επίπεδο η Γεωμετρία αποκτά ένα γενικό χαρακτήρα και ευρύτερες εφαρμογές. Μία μειοψηφία των μαθητών/τριών φτάνει σε αυτό το επίπεδο κατά τη διάρκεια της τριτοβάθμιας εκπαίδευσης. Οι περισσότεροι δεν φτάνουν ποτέ. Η θεωρία των van Hiele θέτει ως χαρακτηριστικά των επιπέδων γεωμετρικής σκέψης τα παρακάτω: Η σειρά με την οποία οι μαθητές/τριες περνούν από το ένα επίπεδο στο άλλο είναι αμετάβλητη. Τα επίπεδα έχουν μια καθοριστική σειρά. Με άλλα λόγια, ένας μαθητής/μια μαθήτρια δεν μπορεί να είναι σε ένα επίπεδο χωρίς να περάσει από το προηγούμενό του. Δύο μαθητές/τριες που βρίσκονται σε διαφορετικά επίπεδα δεν μπορούν να επικοινωνήσουν μεταξύ τους. Όταν η διδασκαλία ή η γλώσσα είναι κατά ένα επίπεδο μεγαλύτερα από εκείνο του παιδιού, θα υπάρξει έλλειψη επικοινωνίας. Η μάθηση επιτυγχάνεται μόνο όταν η διδασκαλία ανταποκρίνεται στο γεωμετρικό επίπεδο που βρίσκεται το παιδί. Τα επίπεδα είναι διακριτά και σφαιρικά. Σε κάθε επίπεδο σκέψης αυτό που ήταν εγγενές στο προηγούμενο επίπεδο γίνεται εξωγενές στο τρέχον επίπεδο. Κάθε επίπεδο έχει τα ιδιαίτερα γλωσσικά σύμβολά του και το δίκτυο σχέσεών του που συνδέουν εκείνα τα σύμβολα. 10

1.3 Τα Γεωμετρικά σχήματα/στερεά και οι διαδικασίες της Σύνθεσης και Ανάλυσής τους Τα γεωμετρικά σχήματα αποτελούν ένα είδος αναπαράστασης και μάλιστα λειτουργούν με ένα διαφορετικό τρόπο από ότι οι άλλες εικονικές αναπαραστάσεις. Οι αναπαραστάσεις αυτές αποτελούν ένα ιδιαίτερα δύσκολο στοιχείο προς σύλληψη και κατανόηση από πλευράς των παιδιών, λόγω του ότι όπως αναφέρει και ο Duval (1995) δεν υπάρχει ούτε ένα αντικείμενο στο φυσικό χώρο το οποίο να μπορεί να αναπαρασταθεί πλήρως και με απόλυτη ακρίβεια από ένα γεωμετρικό σχήμα. Συνεπώς οι γνώσεις των παιδιών για τον πραγματικό χώρο δεν μπορούν να τους οδηγήσουν ταυτόχρονα και στη γνώση των γεωμετρικών εννοιών. Αναφερόμενος στη διττή φύση του γεωμετρικού σχήματος παρατηρεί ότι το γεωμετρικό σχήμα έχει μια ιδιότητα που δεν έχουν οι άλλες μαθηματικές έννοιες. Συγκεκριμένα περιέχει την νοητική αναπαράσταση των ιδιοτήτων του χώρου. Αυτή η διττή λειτουργία των γεωμετρικών σχημάτων, δηλαδή η αλληλεπίδραση έννοιας και εικόνας στο γεωμετρικό συλλογισμό, αποτελεί τη βασική πηγή δυσκολιών των μαθητών/τριών όταν επιλύουν προβλήματα Γεωμετρίας. Ακόμη, ο Duval διακρίνει δύο επίπεδα κατανόησης του γεωμετρικού σχήματος. Το πρώτο επίπεδο είναι αυτό που περιγράφεται ως «perception» και αφορά μια μορφιστική κατανόηση του σχήματος, στα πλαίσια της οποίας αναγνωρίζονται οι δομικές μονάδες του σχήματος. Το δεύτερο επίπεδο αφορά τη λειτουργική κατανόηση του σχήματος. Αξίζει να επισημανθεί πως η ενασχόληση των παιδιών μόνο με τα επίπεδα σχήματα (δυσδιάστατα σχήματα) είναι πιθανόν να προκαλέσει κάποια δυσκολία στην εκμάθηση των στερεών σωμάτων (τρισδιάστατα σχήματα). Η απτή κιναισθητική εμπειρία με τον χειρισμό γεωμετρικών στερεών βοηθά τους/τις μαθητές/τριες στο να κατανοήσουν ευρύτερα τις γεωμετρικές έννοιες. Επίσης, η εμπειρία των παιδιών με υλικά κατασκευής στερεών όπως τα τουβλάκια (τα λεγόμενα building blocks) είναι σημαντική για την ανάπτυξη της έννοιας των σχημάτων και την καλλιέργεια της συνθετικής ικανότητας. Τα παιδιά αντιμετωπίζουν ευκολότερα τα στερεά σώματα παρά τις τυπωμένες μορφές δυσδιάστατων σχημάτων, διότι στην πρώτη περίπτωση χρησιμοποιούν περισσότερες αισθήσεις τους (Clements & Sarama, 2009). Η διδασκαλία, επίσης, χρειάζεται να δώσει έμφαση πέρα από τον εντοπισμό των απομονωμένων δισδιάστατων σχημάτων και τρισδιάστατων στερεών. Κρίνεται σημαντικό να βοηθήσει τους/τις μαθητές/τριες να κατανοήσουν τις φυσικές σχέσεις μεταξύ των σχημάτων και των στερεών όταν αυτά συνδυάζονται (συνθέτονται) ή 11

χωρίζονται (αναλύονται). Οι εμπειρίες στην οικοδόμηση σχημάτων με γεωμετρικές μορφές, στην οργάνωση σχημάτων για να δημιουργηθούν εικόνες και σχέδια, και στο διαχωρισμό γεωμετρικών μορφών σε επιμέρους σχήματα επιτρέπουν στα παιδιά να κατανοήσουν πώς τα σχήματα μπορούν να συνδυαστούν ή να αναλυθούν για να δημιουργήσουν άλλα σχήματα, μεγαλύτερα ή μικρότερα αντίστοιχα. Οι εμπειρίες αυτές δίνουν την ευκαιρία στα παιδιά να σκεφτούν πώς τα σχήματα μπορούν να συνδυαστούν μεταξύ τους για λειτουργικούς σκοπούς (π.χ. για το σχεδιασμό μιας μηχανής) και για αισθητικούς σκοπούς (π.χ. για τη δημιουργία ενός σχεδίου). Η ικανότητα περιγραφής, χρήσης και απεικόνισης των αποτελεσμάτων της σύνθεσης και της ανάλυσης των γεωμετρικών σχημάτων είναι ένα σημαντικό εννοιολογικό πεδίο στον τομέα της Γεωμετρίας. Οι ικανότητες αυτές περιλαμβάνουν την ικανότητα του παιδιού να κάνει εικόνες ή σχέδια με σχήματα, να δημιουργεί και να διατηρεί ένα σχήμα ως μία μονάδα, και να συνδυάζει αυτό το σχήμα με ένα άλλο σχήμα για να δημιουργήσει ένα νέο σχήμα που γίνεται αντιληπτό ως ανεξάρτητη οντότητα. Το πεδίο αυτό είναι σημαντικό στο ότι οι έννοιες και δράσεις για τη δημιουργία και επανάληψη των μονάδων στο πλαίσιο της κατασκευής μοτίβων, για τη μέτρηση και τον υπολογισμό δημιουργούν βάσεις για τη μαθηματική κατανόηση και ανάλυση (Clements, Wilson & Sarama, 2009, σελ. 3-4). Η σύνθεση και η ανάλυση γεωμετρικών σχημάτων είναι σύνθετες γεωμετρικές διαδικασίες που «χτίζουν» την εμπειρία των παιδιών με τις ιδιότητες των σχημάτων. 12

ΤΡΟΧΙΑ ΜΑΘΗΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ Τα ερευνητικά δεδομένα στο πεδίο της Διδακτικής των Μαθηματικών καθιστούν σαφές ότι οι μαθητές/τριες ακολουθούν μια εξελικτική πορεία μάθησης και ανάπτυξης των μαθηματικών νοημάτων. Όταν οι εκπαιδευτικοί κατανοούν αυτήν την πορεία και τους βασικούς σταθμούς της και οργανώνουν τη δραστηριοποίηση των παιδιών με αναφορά σε αυτήν, είναι αυτονόητο ότι οικοδομούν περιβάλλοντα μάθησης της μαθηματικής γνώσης που μπορούν να στηρίξουν αποτελεσματικά την επιτυχή μαθητεία των μαθητών/τριών στα Μαθηματικά (Clements & Sarama, 2009). Σε αυτήν την κατεύθυνση είναι εξαιρετικά σημαντική η έννοια της Τροχιάς Μάθησης και Διδασκαλίας, καθώς προσφέρει απαντήσεις σε κρίσιμα διδακτικά ερωτήματα, όπως «Ποιοι είναι οι εκάστοτε στόχοι μάθησης», «Ποια είναι η αφετηρία εκκίνησης», «Πως και που μετακινείται κάθε φορά ο/η μαθητής/τρια» κ.α. Μια Τροχιά Μάθησης και Διδασκαλίας αποτυπώνει μια συνολική θέαση της μαθησιακής εμπειρίας των μαθητών/τριών σε μια συγκεκριμένη θεματική του Προγράμματος Σπουδών των Μαθηματικών και στοχεύει στη διαφάνεια και στην προσβασιμότητα στην αντίστοιχη εκπαιδευτική τους πορεία. Οι έρευνες στο πεδίο των Τροχιών Μάθησης και Διδασκαλίας καταλήγουν σε ένα βασικό συμπέρασμα σχετικά με την φύση αυτών των τροχιών (Clements & Sarama, 2004). Κάθε Τροχιά Μάθησης και Διδασκαλίας συναπαρτίζεται από τρία μέρη: - έναν μαθηματικό στόχο, - ένα αναπτυξιακό μονοπάτι, μια αναπτυξιακή πορεία που περιλαμβάνει διάφορα επίπεδα μαθηματικής σκέψης, μέσα από την οποία οι μαθητές/τριες αναπτύσσονται για να επιτύχουν αυτόν τον στόχο, και, - ένα σύνολο διδακτικών δραστηριοτήτων που αντιστοιχεί σε καθένα από τα επίπεδα σκέψης της αναπτυξιακής πορείας που βοηθούν τα παιδιά να φτάσουν σε υψηλότερα επίπεδα μαθηματικής σκέψης. Πιο συγκεκριμένα, το πρώτο συστατικό μέρος της τροχιάς μάθησης και διδασκαλίας είναι ο μ α θ η μ α τ ι κ ό ς σ τ ό χ ο ς. Πρόκειται για συστάδες εννοιών, δεξιοτήτων και ικανοτήτων που είναι μαθηματικά και μαθησιακά θεμελιώδεις. Είναι οι μεγάλες ιδέες (οι λεγόμενες Big Ideas ) των Μαθηματικών. Για παράδειγμα, μια μεγάλη ιδέα είναι ότι η καταμέτρηση μπορεί να χρησιμοποιηθεί από τα παιδιά για να μάθουν πόσα αντικείμενα είναι σε μια συλλογή. Το δεύτερο συστατικό μέρος μιας τροχιάς μάθησης και διδασκαλίας περιλαμβάνει την ε ξ ε λ ι κ τ ι κ ή δ ι α δ ρ ο μ ή κατά την 13

οποία οι μαθητές/τριες αναπτύσσονται για να επιτύχουν το συγκεκριμένο μαθηματικό στόχο. Πρόκειται για ένα εξελικτικό «μονοπάτι» με επάλληλα, προοδευτικά αναπτυσσόμενα επίπεδα σκέψης που οδηγούν στην επίτευξη του στόχου που τέθηκε. Το κάθε ένα από αυτά τα επίπεδα σκέψης είναι πιο εξελιγμένο από το προηγούμενο και βοηθάει το παιδί να έρθει πιο κοντά στην επίτευξη του στόχου. Το τρίτο μέρος της τροχιάς μάθησης και διδασκαλίας περιλαμβάνει ένα σύνολο από δ ι δ α κ τ ι κ έ ς δ ρ α σ τ η ρ ι ό τ η τ ε ς, αντίστοιχες των επιπέδων σκέψης που διακρίνονται στη διαδρομή ή τη χαρακτηρίζουν, οι οποίες θα προσφέρουν την κατάλληλη υποστήριξη στους/τις μαθητές/τριες για να αναπτύξουν ανώτερα επίπεδα σκέψης. Γι αυτό, ο/η εκπαιδευτικός χρειάζεται να χρησιμοποιήσει αυτές τις δραστηριότητες προκειμένου να προωθήσει την ανάπτυξη των παιδιών και το πέρασμά τους από το ένα επίπεδο στο άλλο. Θεωρείται σημαντικό να τονιστεί ότι μια τροχιά μάθησης και διδασκαλίας δεν είναι μια γραμμική, βήμα-προς-βήμα περιγραφή πορείας όπου κάθε βήμα συνδέεται αναγκαία με το επόμενο. Ούτε ένα μοναδικά ορισμένο μονοπάτι, καθώς καλείται να λάβει υπόψη του: τις ατομικές μαθησιακές πορείες, το γεγονός ότι πολλαπλές δεξιότητες και έννοιες αναπτύσσονται ταυτόχρονα στο πλαίσιο του ίδιου αντικειμένου μάθησης αλλά και εκτός αυτού και τις διαφορές μεταξύ της άτυπης και της τυπικής μάθησης. Σε μια τροχιά μάθησης και διδασκαλίας, αυτό που μαθαίνεται σε μια φάση επιτελείται σε ανώτερο επίπεδο στην αμέσως επόμενη, δηλαδή, η μαθησιακή διαδικασία εξελίσσεται σε επίπεδα. Καθώς το παιδί μετακινείται από επίπεδο σε επίπεδο, εργαζόμενο ατομικά ή συλλογικά, οι γνώσεις, οι δεξιότητες και οι ικανότητες που αναπτύσσει αποκτούν συνοχή. Τα επίπεδα προσφέρουν δυνατότητες οργάνωσης και ρύθμισης της διδασκαλίας, με στόχο την μετάβαση σε ανώτερα επίπεδα μάθησης. Τα επίπεδα των τροχιών μάθησης και διδασκαλίας βοηθούν τους/τις εκπαιδευτικούς, καθώς και τους υπεύθυνους για την ανάπτυξη των προγραμμάτων σπουδών, να αξιολογήσουν και να διδάξουν τις προτεινόμενες δραστηριότητες. Οι εκπαιδευτικοί που κατανοούν τις τροχιές μάθησης και τα αναπτυξιακά επίπεδά τους είναι πιο αποτελεσματικοί και αποδοτικοί, καθώς μέσα από μια διδασκαλία, σχεδιαζόμενη με βάση τα επίπεδα των τροχιών, βοηθούν τα παιδιά να αποκτήσουν τη γνώση σε ένα πιο κατάλληλο και βαθύτερο επίπεδο. 14

COMMON CORE STATE STANDARDS FOR MATHEMATICS (CCSS) Το Common Core State Standards είναι ένα πλαίσιο αρχών και στόχων για τη διδασκαλία των Μαθηματικών στα σχολεία. Αφορά στις Ηνωμένες Πολιτείες Αμερικής και εκτείνεται από το Νηπιαγωγείο ως το Λύκειο. Πρόκειται για ένα πρόγραμμα σπουδών που αναφέρεται σε διάφορες διδακτικές θεματικές των Μαθηματικών και αφορά στο Νηπιαγωγείο (Kindergarten), το Δημοτικό σχολείο (Επίπεδα 1 5 / grades 1 5), το Γυμνάσιο (Επίπεδα 6 8 / grades 6 8) και το Λύκειο. Το Common Core State Standards περιγράφει εξελικτικές πορείες που αφορούν τις εξής μαθηματικές θεματικές: Γεωμετρία από το Νηπιαγωγείο ως το πρώτο επίπεδο του Γυμνασίου (επίπεδο 6), Μετρήσεις και δεδομένα (έμφαση στις μετρήσεις) από το Νηπιαγωγείο ως το Δημοτικό, Μετρήσεις και δεδομένα (έμφαση στα δεδομένα) από το Νηπιαγωγείο ως το Δημοτικό, Αριθμοί και πράξεις στο δεκαδικό σύστημα από το Νηπιαγωγείο ως το Δημοτικό, Απαρίθμηση, πληθικότητα, αριθμητικές πράξεις και αλγεβρική σκέψη από το Νηπιαγωγείο ως το Δημοτικό, Αριθμοί και πράξεις των κλασμάτων από το επίπεδο 3 έως το επίπεδο 5 του Δημοτικού, Στατιστική και πιθανότητες στα επίπεδα 6 8 (Γυμνάσιο), Αλγεβρικές αναπαραστάσεις και εξισώσεις στα επίπεδα 6 8 (Γυμνάσιο), Αριθμητικό σύστημα και αριθμός στα επίπεδα 6 8 (Γυμνάσιο), Αναλογίες και Αναλογικές Σχέσεις στα επίπεδα 6 7 του Γυμνασίου, Στατιστική και πιθανότητες στο Λύκειο, Άλγεβρα στο Λύκειο, Πράξεις στο Λύκειο, Μοντελοποίηση στο Λύκειο. Πρόκειται για ένα μέρος ενός διευρυμένου αναλυτικού προγράμματος σπουδών για τα Μαθηματικά, που σύμφωνα με την ομάδα ανάπτυξης και συγγραφής του, είναι πηγή μεθόδων για την κατανόηση των 15

μαθηματικών εννοιών. Αποτελεί οδηγό που απευθύνεται σε όσους λαμβάνουν αποφάσεις με συνέπειες στη διδασκαλία των Μαθηματικών. Το Common Core State Standards παρέχει μια συνεπή, σαφή κατανόηση του τι αναμένεται από τους/τις μαθητές/τριες σε κάθε επίπεδο τάξης (grade). Έτσι, οι εκπαιδευτικοί, οι γονείς και η κοινότητα θα είναι καλύτερα καταρτισμένοι και εφοδιασμένοι και θα γνωρίζουν τι χρειάζεται να κάνουν για να βοηθήσουν τα παιδιά να αποκτήσουν τη γνώση. Τα Standards έχουν σχεδιαστεί για να έχουν ισχύ και να είναι σχετικά με τον πραγματικό κόσμο, να αντικατοπτρίζουν τη γνώση και τις δεξιότητες που οι νέοι χρειάζονται για την επιτυχία στο σχολείο και την επαγγελματική τους σταδιοδρομία. Εστιάζουν στις βασικές εννοιολογικές αντιλήψεις που αρχίζουν στα πρώτα επίπεδα, δίνοντας έτσι τη δυνατότητα στους/τις εκπαιδευτικούς να αξιοποιήσουν κατάλληλα το χρόνο που απαιτείται για να διδάξουν τις βασικές έννοιες και διαδικασίες και να δώσουν στα παιδιά την ευκαιρία να τις κατακτήσουν ουσιαστικά. Στόχος του Common Core State Standards είναι να προετοιμάσει πλήρως τους/τις Αμερικάνους μαθητές/τριες για το μέλλον, ώστε η κοινότητα της Αμερικής να είναι σε θέση να ανταγωνιστεί με επιτυχία την παγκόσμια οικονομία. Αυτό επιτρέπει στους/τις εκπαιδευτικούς να είναι καλύτερα εξοπλισμένοι/ες για να γνωρίζουν ακριβώς πως πρέπει να βοηθήσουν τα παιδιά να αποκτήσουν τη γνώση και να δημιουργήσουν εξατομικευμένα σημεία αναφοράς για τους/τις ίδιους/ες. Το Common Core State Standards επικεντρώνεται στις βασικές εννοιολογικές αντιλήψεις και τις διαδικασίες που αρχίζουν στα πρώτα επίπεδα, δίνοντας έτσι τη δυνατότητα στους εκπαιδευτικούς να έχουν το χρόνο που απαιτείται για να διδάξουν τις βασικές έννοιες και διαδικασίες καθώς και να δώσουν στους/τις μαθητές/τριες την ευκαιρία να τις κατακτήσουν. Το Common Core State Standards των Μαθηματικών σχεδιάστηκε βασισμένο στην εξελικτική πορεία των μαθητών/τριών. Πρόκειται για ένα πλαίσιο αρχών και στόχων που περιγράφει την εξέλιξη ενός διδακτικού θέματος σε μια σειρά από επίπεδα (grade levels), ενημερωμένα τόσο από την έρευνα στη γνωστική ανάπτυξη του παιδιού όσο και από την λογική δομή των Μαθηματικών. Οι αρχές και οι στόχοι αυτοί ενώνονται μεταξύ τους και στη συνέχεια τεμαχίζονται σε Standards για κάθε επίπεδο. Με τους/τις μαθητές/τριες, τους γονείς και τους/τις εκπαιδευτικούς να εργάζονται μαζί για κοινούς στόχους, μπορεί να διασφαλιστεί ότι τα παιδιά σημειώνουν πρόοδο κάθε χρόνο και αποφοιτούν από το σχολείο προετοιμασμένα για την επιτυχία στο επόμενο επίπεδο εκπαίδευσης και σε ένα σύγχρονο εργατικό δυναμικό. 16

Σαράντα-πέντε πολιτείες της Αμερικής, η περιοχή της Κολούμπια, τέσσερις επικράτειες, και το αντίστοιχο Υπουργείο Παιδείας έχουν υιοθετήσει το Common Core State Standards. Η εξελικτική πορεία στη Γεωμετρία, σύμφωνα με το Common Core State Standards, αναφέρεται στους πιο σημαντικούς στόχους του Δημοτικού σύμφωνα με τρεις κατηγορίες: Τα γεωμετρικά σχήματα, τα συστατικά τους, οι ιδιότητές τους και η κατηγοριοποίησή τους με βάση αυτές τις ιδιότητες. Η σύνθεση και η ανάλυση των γεωμετρικών σχημάτων. Οι χωρικές σχέσεις και η χωρική διάρθρωση. Κλείνοντας το κεφάλαιο αυτό, κρίνεται χρήσιμο να επισημανθεί πως τα Standards αφορούν τρεις διαστάσεις εξέλιξης: τη γνωστική ανάπτυξη, τη μαθηματική συνοχή, και τις πραγματολογίες των διδακτικών διαδικασιών. Η λέξη Standards που χρησιμοποιείται στην εκπαίδευση έχει τρεις έννοιες που διαφέρουν μεταξύ τους αρκετά όσον αφορά στη λήψη αποφάσεων. Standards σημαίνει: 1. Ο προσδιορισμός του γνωστικού περιεχομένου και των απαραίτητων ικανοτήτων που πρέπει να αποκτηθούν. 2. Το επίπεδο που πρέπει να επιτευχθεί, ένα όριο βαθμολογίας σε ένα τεστ. 3. Τι προσδοκούν οι άνθρωποι από τους εαυτούς τους και από τους άλλους όσο αφορά στη συμπεριφορά και στην σχολική επίδοση. Τα Standards του Common Core State Standards αφορούν πρωτίστως στην πρώτη έννοια. 17

ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΗΣ ΕΞΕΛΙΚΤΙΚΗΣ ΠΟΡΕΙΑΣ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΣΥΜΦΩΝΑ ΜΕ ΤΗΝ ΤΡΟΧΙΑ ΤΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ ΣΠΟΥΔΩΝ ΤΟΥ COMMON CORE STATE STANDARDS FOR MATHEMATICS Παρακάτω παρουσιάζεται η εξελικτική πορεία της τροχιάς που προτείνεται από το πρόγραμμα σπουδών του Common Core State Standards για τα γεωμετρικά σχήματα, την ανάλυση και σύνθεση γεωμετρικών σχημάτων και άλλων σχετικών γεωμετρικών εννοιών με το θέμα της παρούσας εργασίας. Κρίνεται σημαντικό να επισημανθεί πως οι βαθμίδες της υποχρεωτικές εκπαίδευσης στις Ηνωμένες Πολιτείες Αμερικής είναι το λεγόμενο K-8, που περιλαμβάνει το Νηπιαγωγείο (Kindergarten), το Δημοτικό σχολείο (grades 1-5) και το Γυμνάσιο (grades 6-8). Η τροχιά που ακολουθεί παρουσιάζει την εξελικτική πορεία που προτείνεται από το Νηπιαγωγείο έως το επίπεδο 6 (grade 6) που αντιστοιχεί στην Στ τάξη του Δημοτικού σχολείου στο Ελληνικό εκπαιδευτικό σύστημα. Συγκεκριμένα: KINDERGARTEN (ΝΗΠΙΑΓΩΓΕΙΟ) Τα παιδιά στο Νηπιαγωγείο μπορούν να: Αναγνωρίζουν και να περιγράφουν σχήματα. - Ονομάζουν τα σχήματα ανεξάρτητα από τους προσανατολισμούς ή το συνολικό μέγεθος. - Αναγνωρίζουν σχήματα ως δυσδιάστατα/επίπεδα ή τρισδιάστατα/στερεά. Συγκεκριμένα, τα παιδιά μπορούν να ονομάζουν και να περιγράφουν τρισδιάστατα σχήματα με μαθηματικό λεξιλόγιο όπως «σφαίρα», «κύβος», «κύλινδρος» και «κώνος». Αναγνωρίζουν την όψη τρισδιάστατων σχημάτων ως δυσδιάστατα σχήματα, και αναγνωρίζουν σχήματα ως δυσδιάστατα (αναφερόμενα στον όρο «επίπεδο» ή «πάνω σε ένα επίπεδο») ή ως τρισδιάστατα (αναφερόμενα στον όρο «στερεό»). Μπορούν, επίσης, να ονομάζουν σχήματα όπως κύκλους, τρίγωνα και τετράγωνα, των οποίων οι ονομασίες χρησιμοποιούνται στην καθημερινή γλώσσα, και να διακρίνουν τα σχήματα αυτά από τα μη παραδείγματα των κατηγοριών τους, βασιζόμενα αρχικά σε οπτικά πρωτότυπα σχήματα. Αναλύουν, συγκρίνουν, δημιουργούν και συνθέτουν σχήματα. 18

- Αναλύουν και συγκρίνουν δυσδιάστατα και τρισδιάστατα σχήματα, σε διαφορετικούς προσανατολισμούς και μεγέθη. - Χρησιμοποιούν μη τυπική γλώσσα για να περιγράψουν τις ομοιότητες, τις διαφορές, τα μέρη και άλλες ιδιότητες (π.χ. έχει πλευρές ίδιου μήκους). - Μοντελοποιούν σχήματα της καθημερινής ζωής συνθέτοντας τα από τα συστατικά τους μέρη και σχεδιάσουν σχήματα. - Συνθέτουν απλά σχήματα προκειμένου να σχηματίσουν μεγαλύτερα. Συγκεκριμένα, τα παιδιά, μπορούν να αναπαριστούν σχήματα άτυπα σε ζωγραφιές και συνθέτοντάς τα από τα συστατικά τους (π.χ. χρήση χειραπτικών υλικών όπως τα ξυλάκια). Με επαναλαμβανόμενες εμπειρίες τα παιδιά γίνονται πιο ακριβή. Τα παιδιά, επίσης, όχι μόνο κατασκευάζουν σχήματα από τα συστατικά τους αλλά και συνθέτουν σχήματα προκειμένου να κατασκευάσουν εικόνες και σχέδια. Αρχικά στερούμενα της ικανότητας να συνθέτουν γεωμετρικά σχήματα, αποκτούν την ικανότητα να συνδυάζουν σχήματα φτιάχνοντας εικόνες, πρώτα μέσα από διαδικασίες δοκιμής-λάθους και σταδιακά λαμβάνοντας υπόψη τα συστατικά μέρη/σχήματα. Αρχικά, το μήκος της πλευράς είναι τη μόνη συνιστώσα που λαμβάνεται υπόψη. Τα παιδιά στο τέλος του Νηπιαγωγείου συνδυάζουν δυσδιάστατα σχήματα και λύνουν προβλήματα όπως π.χ. αποφασίζοντας ποιο κομμάτι ταιριάζει σε μια θέση ενός παζλ. Α ΤΑΞΗ (GRADE 1) Οι μαθητές/τριες στο επίπεδο αυτό μπορούν να: Αιτιολογούν τα σχήματα και τις ιδιότητές τους. - Διακρίνουν τις εξ ορισμού ιδιότητες (π.χ. το τρίγωνο είναι κλειστό και τρίπλευρο σχήμα) από τις μη εξ ορισμού ιδιότητες (π.χ. χρώμα, προσανατολισμό, συνολικό μέγεθος) και σχεδιάζουν σχήματα που έχουν εξ ορισμού ιδιότητες. Συγκεκριμένα, τα παιδιά περιγράφουν και ταξινομούν σχήματα, που περιλαμβάνουν σχέδια, χειραπτικά υλικά, και φυσικά αντικείμενα από την άποψη των γεωμετρικών χαρακτηριστικών τους. Δηλαδή, αναγνωρίζοντας, ονοματοδοτώντας και κατασκευάζοντας σχήματα από τα συστατικά τους περιγράφουν με δικά τους λόγια γιατί ένα σχήμα ανήκει σε μια συγκεκριμένη κατηγορία όπως τα τετράγωνα, τα τρίγωνα, τους κύκλους, τα ορθογώνια, τους ρόμβους, τα (κανονικά) εξάγωνα και τα τραπέζια (με βάσεις διαφορετικών μηκών και μη παράλληλες πλευρές του ίδιου μήκους). Με αυτόν τον τρόπο, μπορούν να διακρίνουν τις καθοριστικές γεωμετρικές ιδιότητες (π.χ. τα εξάγωνα έχουν έξι ίσες 19

πλευρές) από τις μη καθοριστικές ιδιότητες (π.χ. το χρώμα, το συνολικό μέγεθος του σχήματος, ο προσανατολισμός). Οι μαθητές/τριες σε αυτό το επίπεδο μπορούν να εξηγούν γιατί αυτές οι παραλλαγές των σχημάτων ανήκουν στις γνωστές κατηγορίες σχημάτων και γιατί οι δύσκολες αναγνωριστικές περιπτώσεις δεν ανήκουν, και είναι σε θέση να σχεδιάζουν παραδείγματα και μη παραδείγματα των κατηγοριών των σχημάτων. Οι μαθητές/τριες μαθαίνουν να ταξινομούν με ακρίβεια τα σχήματα με βάση τις ιδιότητές τους, περιγράφοντας τις ομοιότητες και τις διαφορές των γνωστών σχημάτων και κατηγοριών. - Χρησιμοποιούν δυσδιάστατα σχήματα (ορθογώνια, τετράγωνα, τραπέζια, τρίγωνα, ημικύκλια κ.α.) και τρισδιάστατα σχήματα (κύβους, ορθογώνια πρίσματα, κώνους και κυλίνδρους) προκειμένου να δημιουργήσουν ένα σύνθετο σχήμα και να συνθέσουν νέα σχήματα από το σύνθετο σχήμα. - Διαιρούν κύκλους και ορθογώνια σε δύο και τέσσερα ισομεγέθη μέρη, περιγράφοντας τα μέρη χρησιμοποιώντας λέξεις όπως «μισά», και «τέταρτα», και εκφράσεις όπως «μισό του», «ένα τέταρτο του» κ.α. Περιγράφουν το όλον ως «δύο από» ή «τέσσερα από τα μέρη». Κατανοούν ότι η ανάλυση σε περισσότερα ισομεγέθη μέρη δημιουργεί μικρότερα μέρη. Συγκεκριμένα, τα παιδιά μπορούν να συνθέτουν και να αναλύουν επίπεδα σχήματα και στερεά σώματα (π.χ. βάζοντας δύο ισοσκελή τρίγωνα μαζί με σκοπό να κάνουν έναν ρόμβο), κατανοώντας τις σχέσεις μέρος-όλο καθώς και τις ιδιότητες των αρχικών και των σύνθετων σχημάτων. Μ αυτόν τον τρόπο μπορούν να αντιλαμβάνονται έναν συνδυασμό σχημάτων σαν ένα νέο σχήμα (αναγνωρίζοντας π.χ. ότι τα δύο ισοσκελή τρίγωνα μπορούν να συνδυαστούν να κάνουν τον ρόμβο, και ταυτόχρονα να αναγνωρίζουν τον ρόμβο και τα δύο τρίγωνα). Επίσης, μπορούν σκόπιμα να συνδυάσουν δύο ορθογώνια τριγωνικά πρίσματα για να δημιουργήσουν ένα ορθογώνιο πρίσμα και να αναγνωρίσουν ότι κάθε τριγωνικό πρίσμα είναι το μισό του ορθογωνίου πρίσματος. Έτσι, αναπτύσσουν ικανότητες που περιλαμβάνουν τον σχηματισμό παζλ και την κατασκευή σχεδίων με σχήματα, τη δημιουργία και διατήρηση ενός σχήματος σαν μια μονάδα και τον συνδυασμό σχημάτων για δημιουργία σύνθετων σχημάτων που γίνονται αντιληπτά σαν ανεξάρτητες οντότητες. Μαθαίνουν, επίσης, να αντικαθιστούν ένα σύνθετο σχήμα με άλλα ίδια σύνθετα, που αποτελούνται από διάφορα μέρη. Οι μαθητές/τριες στο επίπεδο 1 μαθαίνουν να κάνουν απλές κατασκευές αναδίπλωσης του χαρτιού, κάνοντας δυσδιάστατα ή τρισδιάστατα σχήματα. 20

Β ΤΑΞΗ (GRADE 2) Οι μαθητές/τριες στο επίπεδο αυτό μπορούν να: Αιτιολογούν τα σχήματα και τις ιδιότητές τους. - Αναγνωρίζουν και να σχεδιάζουν σχήματα με συγκεκριμένες ιδιότητες, όπως έναν δοσμένο αριθμό γωνιών ή ένα δοσμένο αριθμό ίσων επιφανειών. Αναγνωρίζουν τρίγωνα, παραλληλόγραμμα, πεντάγωνα, εξάγωνα και κύβους. Συγκεκριμένα, οι μαθητές/τριες στο επίπεδο αυτό μπορούν να περιγράφουν πεντάγωνα, εξάγωνα, επτάγωνα, οκτάγωνα και άλλα πολύγωνα από τον αριθμό των πλευρών τους. Επειδή τα παιδιά έχουν αναπτύσσει και τις προφορικές περιγραφές αυτών των κατηγοριών, τις εξ ορισμού ιδιότητες και πλούσιες νοητές εικόνες, είναι ικανά να σχεδιάσουν σχήματα με συγκεκριμένες ιδιότητες, όπως π.χ. ένα σχήμα με πέντε πλευρές ή ένα σχήμα με έξι γωνίες. Μπορούν να χρησιμοποιήσουν το μήκος για να αναγνωρίσουν τις ιδιότητες των σχημάτων (π.χ. ένα σχήμα είναι ρόμβος επειδή όλες οι τέσσερις πλευρές του έχουν ίδιο μήκος). Μπορούν να αναγνωρίζουν ορθογώνια τρίγωνα και μπορούν να εξηγήσουν τη διάκριση μεταξύ ενός ορθογωνίου και ενός παραλληλογράμμου που δεν έχει ορθές γωνίες και με πλευρές διαφορετικών μηκών. - Διαιρούν ορθογώνια σε γραμμές και στήλες με τέτοιο τρόπο ώστε να σχηματιστούν ισομεγέθη τετράγωνα και υπολογίζουν τον συνολικό αριθμό αυτών. - Διαιρούν κύκλους, ορθογώνια και άλλα σχήματα σε δύο, τρία ή τέσσερα ισομεγέθη μέρη, περιγράφοντας τα μέρη χρησιμοποιώντας εκφράσεις όπως «μισά», «τρίτα», «μισό του», «ένα τρίτο του» κ.α. και περιγράφουν το όλον ως «δύο μισά», «τρία τρίτα», «τέσσερα τέταρτα». Αναγνωρίζουν ότι τα ισομεγέθη μέρη του όλου δεν χρειάζεται να έχουν το ίδιο σχήμα. Έτσι, εξασκούνται και πάλι στις διαδικασίες της σύνθεσης και ανάλυσης. Συγκεκριμένα, τα παιδιά στο επίπεδο αυτό μπορούν να συνδυάζουν τις ικανότητές τους στη σύνθεση και ανάλυση γεωμετρικών σχημάτων προκειμένου να κατασκευάσουν και να λειτουργήσουν σύνθετες μονάδες (μονάδες μονάδων) αντικαθιστώντας μεγαλύτερα σχήματα στην θέση πολλών μικρότερων σχημάτων χρησιμοποιώντας τη γεωμετρική γνώση. Για παράδειγμα, κατασκευάζουν το ίδιο σχήμα από διαφορετικά μέρη π.χ. φτιάχνοντας ένα κανονικό εξάγωνο με δύο τραπέζια, ή τρεις ρόμβους ή έξι ισόπλευρα τρίγωνα (όπως φαίνεται στην εικόνα παρακάτω). Αναγνωρίζουν ότι όλα αυτά τα εξάγωνα που σχηματίζονται έχουν 21

ισοδύναμο εμβαδόν και ότι κάθε τραπέζιο έχει το μισό εμβαδόν, κάθε ρόμβος έχει το ένα τρίτον του εμβαδού κ.ο.κ. Οι μαθητές/τριες μπορούν να κατασκευάζουν και να αναγνωρίζουν πιο δύσκολα σύνθετα σχήματα και να λύνουν παζλ με πολλά κομμάτια. Για παράδειγμα χρησιμοποιούν το παιχνίδι tangram για να σχηματίσουν σιλουέτες ή σκιαγραφίες. Τα παιδιά αντιμετωπίζουν στο παιχνίδι αυτό και εικόνες που γίνονται πιο δύσκολες με την αλλαγή του προσανατολισμού των σχημάτων, έτσι ώστε οι πλευρές των ορθογώνιων τριγώνων να μην είναι παράλληλες προς τις ακμές της σελίδας στην οποία εκθέτονται. Γ ΤΑΞΗ (GRADE 3) Οι μαθητές/τριες στο επίπεδο αυτό μπορούν να: Αιτιολογούν τα σχήματα και τις ιδιότητές τους. - Κατανοούν ότι τα σχήματα σε διαφορετικές κατηγορίες (π.χ. ρόμβοι, ορθογώνια, κ.α.) πιθανόν να μοιράζονται ιδιότητες (π.χ. να έχουν τέσσερις πλευρές) και ότι οι κοινές αυτές ιδιότητες μπορούν να ορίσουν μια μεγαλύτερη κατηγορία (π.χ. τα τετράπλευρα). Αναγνωρίσουν ρόμβους, ορθογώνια και τετράγωνα ως παραδείγματα τετραπλεύρων και σχεδιάζουν παραδείγματα τετραπλεύρων που δεν ανήκουν σε καμιά από αυτές τις υποκατηγορίες. Συγκεκριμένα, οι μαθητές/τριες μπορούν να αναλύουν, να συγκρίνουν και να ταξινομούν δυσδιάστατα σχήματα από τις ιδιότητές τους. Επειδή έχουν χτίσει μια σταθερή βάση από διάφορες κατηγορίες σχημάτων, οι κατηγορίες αυτές μπορούν να αποτελέσουν την πρώτη ύλη για την σκέψη σχετικά με τις σχέσεις ανάμεσα στις κατηγορίες σχημάτων. Για παράδειγμα, οι μαθητές/τριες μπορούν να σχηματίσουν μεγαλύτερες, ανωτέρου επιπέδου κατηγορίες, όπως η κατηγορία όλων των σχημάτων με τέσσερις πλευρές (τετράπλευρα), και αναγνωρίζουν ότι αυτή η κατηγορία περιλαμβάνει και άλλες κατηγορίες, όπως τα τετράγωνα, τα ορθογώνια, τους ρόμβους, τα παραλληλόγραμμα και τα τραπέζια. Μπορούν, επίσης, να αναγνωρίζουν ότι υπάρχουν τετράπλευρα που δεν εμπίπτουν σε καμία από αυτές τις υποκατηγορίες. Ομοίως, οι μαθητές/τριες στο επίπεδο αυτό μπορούν να σχεδιάζουν σχήματα με προκαθορισμένες ιδιότητες, χωρίς να κάνουν από πριν 22

παραδοχές σχετικά με την κατάταξή τους σε κατηγορίες σχημάτων. Για παράδειγμα, τα παιδιά μπορούν να επιλύσουν το πρόβλημα του να κάνουν ένα σχήμα με δύο μεγάλες πλευρές του ίδιου μήκους και δύο μικρές πλευρές του ίδιου μήκους που να μην είναι ορθογώνιο. Πιο προχωρημένες δραστηριότητες όπως η αναδίπλωση του χαρτιού (origami) μπορούν επίσης να αναδείξουν πολλές γεωμετρικές έννοιες. Για παράδειγμα, διπλώνοντας ένα κομμάτι χαρτί δημιουργείται ένα ευθύγραμμο τμήμα. Διπλώνοντας ένα τετράγωνο χαρτί δύο φορές με τέτοιο τρόπο που η οριζόντια ακμή να ακουμπά στην οριζόντια ακμή, και η κατακόρυφη ακμή στην κατακόρυφη ακμή, δημιουργείται μια ορθή γωνία η οποία μπορεί να ξεδιπλωθεί ώστε να φανερωθούν τέσσερις ορθές γωνίες. Οι μαθητές/τριες μπορούν να κληθούν να βρουν τρόπους για να διπλώσουν το χαρτί σε τετράγωνα ή σε ορθογώνια και να εξηγήσουν γιατί τα σχήματα ανήκουν σε αυτές τις κατηγορίες. Δ ΤΑΞΗ (GRADE 4) Οι μαθητές/τριες στο επίπεδο αυτό μπορούν να: Σχεδιάζουν και να αναγνωρίζουν πλευρές και γωνίες, και ταξινομούν τα σχήματα με βάση τις ιδιότητες των πλευρών και των γωνιών τους. - Σχεδιάζουν σημεία, γραμμές, ευθύγραμμα τμήματα, ακτίνες, γωνίες (οξεία, ορθή, αμβλεία) και κάθετες και παράλληλες γραμμές και προσδιορίζουν αυτά τα στοιχεία σε δυσδιάστατα σχήματα. - Ταξινομούν δυσδιάστατα σχήματα με βάση την παρουσία/απουσία των παράλληλων ή κάθετων γραμμών ή την παρουσία/απουσία γωνιών συγκεκριμένου μεγέθους. Αντιλαμβάνονται τα ορθογώνια τρίγωνα ως μια κατηγορία και εξασκούνται στην αναγνώρισή τους. Συγκεκριμένα, οι μαθητές/τριες μπορούν να περιγράφουν, να αναλύουν, να συγκρίνουν και να ταξινομούν δυσδιάστατα σχήματα με βάση τις ιδιότητές τους σε βαθύτερο επίπεδο. Μπορούν να χρησιμοποιήσουν το μήκος της πλευράς για να ταξινομήσουν τρίγωνα ως ισόπλευρα, ισοσκελή ή σκαληνά, και μπορούν να χρησιμοποιήσουν το μήκος της γωνίας για να τα ταξινομήσουν ως οξυγώνια, ορθογώνια ή αμβλυγώνια. Οι μαθητές/τριες αναπτύσσουν σαφή επίγνωση και λεξιλόγιο για πολλές γεωμετρικές έννοιες που έχουν αναπτυχθεί, συμπεριλαμβανομένων των σημείων, των γραμμών, των ευθύγραμμων τμημάτων, των ακτινών, των γωνιών και των κάθετων και των παράλληλων γραμμών. Τέτοιοι μαθηματικοί όροι είναι χρήσιμοι στην επικοινωνία σχετικά με τις γεωμετρικές ιδέες, αλλά το πιο σημαντικό είναι στην κατασκευή σχημάτων. Έτσι, τα παιδιά, σε αυτό το επίπεδο, μπορούν και διαμορφώνουν πλουσιότερες εννοιολογικές εικόνες που συνδέονται με 23

προφορικούς ορισμούς. Γι αυτό, έχουν πιο ολοκληρωμένες και ακριβείς νοητικές εικόνες και σχετικό λεξιλόγιο για τις γεωμετρικές ιδέες (π.χ. κατανοούν ότι οι γωνίες μπορούν να είναι μεγαλύτερες από 90 μοίρες και οι εννοιολογικές τους εικόνες για τα τρίγωνα περιλαμβάνουν πολλές εικόνες αμβλυγωνίων τριγώνων). Ομοίως, βλέπουν τα σημεία και τις γραμμές ως αφηρημένα αντικείμενα. Οι γραμμές μπορούν και εκτείνονται στο άπειρο και τα σημεία έχουν θέση, αλλά όχι διάσταση. Τα πλέγματα φτιάχνονται από σημεία και γραμμές και δεν τελειώνουν στην άκρη του χαρτιού. Ε ΤΑΞΗ (GRADE 5) Οι μαθητές/τριες στο επίπεδο αυτό μπορούν να: Ταξινομούν δυσδιάστατα σχήματα σε κατηγορίες με βάση τις ιδιότητές τους. - Κατανοούν ότι οι ιδιότητες που αφορούν σε μια κατηγορία δυσδιάστατων σχημάτων επίσης αφορούν σε όλες τις υποκατηγορίες αυτής της κατηγορίας σχημάτων. Για παράδειγμα, κατανοούν ότι όλα τα ορθογώνια έχουν τέσσερις ορθές γωνίες και τα τετράγωνα είναι ορθογώνια, έτσι όλα τα ορθογώνια έχουν τέσσερις ορθές γωνίες. - Ταξινομούν δυσδιάστατα σχήματα σε μια ιεραρχία βασιζόμενη στις ιδιότητες σχημάτων. Στο τέλος αυτού του γνωστικού επιπέδου οι ικανότητες στην σύνθεση και ανάλυση σχημάτων αναπτύσσονται σε μεγάλο βαθμό. Οι μαθητές/τριες χρειάζονται αυτές τις αναπτυγμένες ικανότητες καθώς δημιουργούν τα θεμέλια για την κατανόηση του πολλαπλασιασμού, του εμβαδού, του όγκου και των επίπεδων συντεταγμένων. Στην επίλυση, για παράδειγμα, προβλημάτων εμβαδού, η ικανότητα σύνθεσης και ανάλυσης σχημάτων παίζει πολλαπλούς ρόλους. Οι μαθητές/τριες μπορούν να αναλύουν και να συσχετίζουν κατηγορίες δυσδιάστατων και τρισδιάστατων σχημάτων με βάση τις ιδιότητές τους. Βασισμένοι στην ανάλυση των ιδιοτήτων των σχημάτων, ταξινομούν τα δυσδιάστατα σχήματα σε ιεραρχίες. Για παράδειγμα, συμπεραίνουν ότι όλα τα ορθογώνια είναι παραλληλόγραμμα επειδή είναι όλα τετράπλευρα με δύο ζεύγη αντίθετων, παράλληλων, ίσων σε μήκος πλευρών. Με αυτόν τον τρόπο, συσχετίζουν κατηγορίες σχημάτων ως υπο-κατηγορίες άλλων κατηγοριών. Για παράδειγμα, τα παιδιά κατανοούν ότι τα τετράγωνα έχουν όλες τις ιδιότητες των ρόμβων και των ορθογωνίων. Ως εκ τούτου, εάν δείξουν ότι οι διαγώνιοι των ρόμβων τέμνονται κάθετα η μία με την άλλη, τότε θα συμπεράνουν ότι οι διαγώνιοι των τετραγώνων τέμνονται επίσης κάθετα η μία με την άλλη. 24

ΣΤ ΤΑΞΗ (GRADE 6) Οι μαθητές/τριες στο επίπεδο αυτό μπορούν να: Λύνουν προβλήματα του πραγματικού κόσμου που αφορούν τη σύνθεση και ανάλυση. - Βρίσκουν το εμβαδόν ορθογωνίων τριγώνων, άλλων τριγώνων, ειδικών τετραπλεύρων και πολυγώνων με διαδικασίες σύνθεσης σε ορθογώνια ή διαδικασίες ανάλυσης σε τρίγωνα και άλλα σχήματα. Εφαρμόζουν αυτές τις τεχνικές στο πλαίσιο επίλυσης καταστάσεων και προβλημάτων του πραγματικού κόσμου. - Αναπαριστούν τρισδιάστατα σχήματα χρησιμοποιώντας δίκτυα αποτελούμενα από ορθογώνια και τρίγωνα. Στο επίπεδο αυτό, οι μαθητές/τριες αναπτύσσουν ακόμα βαθύτερα τις ικανότητες στην σύνθεση και ανάλυση σχημάτων. Με βάση τις γνώσεις τους για τη σύνθεση και την ανάλυση, οι μαθητές/τριες μπορούν να αναλύουν ευθύγραμμα πολύγωνα σε ορθογώνια, και αναλύουν ειδικές περιπτώσεις τετραπλεύρων και άλλων πολυγώνων σε τρίγωνα και άλλα σχήματα, χρησιμοποιώντας τέτοιες αναλύσεις για να καθορίσουν τα εμβαδά τους, και να αιτιολογήσουν και να βρουν τις σχέσεις μεταξύ των τύπων των εμβαδών των διαφόρων πολυγώνων. Οι μαθητές/τριες σε αυτό το επίπεδο, ακόμη, μπορούν να αναλύουν και να συνθέτουν πολυεδρικά στερεά. Περιγράφουν τα σχήματα των επιφανειών των στερεών, καθώς επίσης και τον αριθμό των επιφανειών, των ακμών και των κορυφών. Δημιουργούν και χρησιμοποιούν σχέδια στερεών σχημάτων και μαθαίνουν ότι τα στερεά σώματα έχουν μια εξωτερική επιφάνεια, όπως καθώς και ένα εσωτερικό. Μαθαίνουν να σχεδιάζουν τα αναπτύγματα περίπλοκων τρισδιάστατων σύνθετων σωμάτων μέσω της δημιουργίας δισδιάστατων δικτύων (π.χ. μέσω μιας διαδικασίας ψηφιακής κατασκευής). Χρησιμοποιώντας τις ικανότητες σύνθεσης και ανάλυσης σχημάτων που αποκτήθηκαν σε προηγούμενα επίπεδα, τα παιδιά εδώ μπορούν να αναπτύσσουν τύπους παραλληλογράμμων και τριγώνων. Μπορούν να αντιμετωπίζουν τρεις διαφορετικές περιπτώσεις τριγώνων: τρίγωνα όπου το ύψος του τριγώνου είναι μια πλευρά της ορθής γωνίας (ορθογώνια τρίγωνα), τρίγωνα όπου το ύψος βρίσκεται στο εσωτερικό του τριγώνου (οξυγώνια τρίγωνα) και τρίγωνα όπου το ύψος είναι έξω από το τρίγωνο (αμβλυγώνια τρίγωνα). Μέσα από μια τέτοια δραστηριότητα, τα παιδιά μαθαίνουν ότι οποιαδήποτε πλευρά του τριγώνου μπορεί να θεωρηθεί ως βάση του τριγώνου και η επιλογή της βάσης καθορίζει και το ύψος του τριγώνου (έτσι, η βάση δεν είναι 25

απαραίτητα οριζόντια και το ύψος δεν είναι πάντα εσωτερικό του τριγώνου). ΜΕΓΑΛΕΣ ΙΔΕΕΣ ΣΤΗΝ ΕΞΕΛΙΚΤΙΚΗ ΤΡΟΧΙΑ ΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ (BIG IDEAS) Κατά την ανάπτυξη μιας διδακτικής τροχιάς, είναι ζωτικής σημασίας να δοθεί έμφαση στις Μεγάλες Ιδέες, ή «Big Ideas», όπως αλλιώς λέγονται στη διεθνή βιβλιογραφία, δηλαδή τις γνώσεις και τις δεξιότητες που συμβαδίσουν με τις έννοιες αυτές. Τροχιές διδασκαλίας που οργανώνονται γύρω από τις σημαντικές αυτές μαθηματικές έννοιες παρέχουν συνεκτικές ευκαιρίες μάθησης που επιτρέπουν στους/τις μαθητές/τριες να διερευνήσουν τις έννοιες σε βάθος. Οι λεγόμενες, λοιπόν, «Μεγάλες Ιδέες» παρέχουν μια σχετικά ισχυρή και γενική βάση για την προσαρμοστική εμπειρία ουσιαστική μάθηση που μπορεί να εφαρμοστεί σε διδακτικές δραστηριότητες. «Όλες οι μορφές μάθησης, και ιδίως οι νέες μορφές μάθησης, θα πρέπει να ενσωματωθούν σε καλά επιλεγμένα περιβάλλοντα μάθησης, δηλαδή, περιβάλλοντα που είναι αρκετά ευρέα για να επιτρέπουν τους/τις μαθητές/τριες να ερευνήσουν τις αρχικές αντιλήψεις, να προσδιορίσουν και να αναπτύξουν σχετικές δεξιότητες και να αποκτήσουν εμπειρία με ποικίλες και ενδιαφέρουσες εφαρμογές της νέας γνώσης. Τέτοια πλούσια περιβάλλοντα μάθησης ανοίγουν την πόρτα στα παιδιά να δουν τις "Μεγάλες Ιδέες", ή τις βασικές αρχές των μαθηματικών». (The Ontario Curriculum Mathematics, 2005, σελ. 6) Η ομαδοποίηση των προσδοκιών γύρω από τις μεγάλες ιδέες παρέχει στόχους τόσο για τη μάθηση του παιδιού όσο και για την επαγγελματική ανάπτυξη των εκπαιδευτικών στα Μαθηματικά. Οι εκπαιδευτικοί διαπιστώνουν ότι η διερεύνηση και η συζήτηση αποτελεσματικών στρατηγικών διδασκαλίας για τις κρίσιμες μαθηματικές έννοιες είναι πιο πολύτιμες από το να προσπαθούν να καθορίσουν συγκεκριμένες στρατηγικές και προσεγγίσεις για να βοηθήσουν τους/τις μαθητές/τριες να επιτύχουν ατομικές προσδοκίες. Στην πραγματικότητα, η χρήση των Μεγάλων Ιδεών βοηθά τους/τις εκπαιδευτικούς να κατανοήσουν ότι οι μαθηματικές έννοιες που προβάλλονται από το πρόγραμμα σπουδών δεν πρέπει να διδάσκονται ως 26

μεμονωμένα κομμάτια πληροφοριών, αλλά ως ένα δίκτυο αλληλένδετων εννοιών. Στην οργάνωση μιας διδακτικής τροχιάς, οι εκπαιδευτικοί χρειάζεται να κατανοήσουν τις βασικές μαθηματικές έννοιες κλειδιά και να κατανοήσουν το πώς αυτές οι έννοιες συνδέονται με την προηγούμενη και τη μελλοντική γνώση των παιδιών. Η κατανόηση αυτή περιλαμβάνει την εννοιολογική δομή και τις βασικές στάσεις των Μαθηματικών που ενυπάρχουν στο πρόγραμμα σπουδών του Δημοτικού και τον καλύτερο τρόπο για να διδαχθούν οι έννοιες αυτές στα παιδιά. Η έμφαση στην κατανόηση αυτή θα ενισχύσει την αποτελεσματική διδασκαλία. Οι μαθητές/τριες, έτσι, θα είναι σε καλύτερη θέση για να δουν τις συνδέσεις στα Μαθηματικά και, επομένως, να μάθουν Μαθηματικά όταν είναι οργανωμένα σε μεγάλα, συνεκτικά «κομμάτια» (Baroody, Cibulskis, Lai, & Li, 2004). Σύμφωνα με το πρόγραμμα σπουδών του Οντάριο (The Ontario Curriculum Mathematics, 2005, σελ. 3) η έμφαση στις Μεγάλες Ιδέες παρέχει στους/τις εκπαιδευτικούς μια σφαιρική άποψη των μαθηματικών εννοιών. Οι Μεγάλες Ιδέες λειτουργούν ως "φακοί" για: - τη λήψη διδακτικών αποφάσεων (π.χ. για την επιλογή ενός θέματος για μια διδασκαλία ή ένα σύνολο διδασκαλιών), - την αναγνώριση της προηγούμενης γνώσης των μαθητών/τριών, - τον εντοπισμό, από μέρους των εκπαιδευτικών, του βαθμού της γεωμετρικής σκέψης και κατανόησης των μαθητών/τριών σε σχέση με τις μαθηματικές έννοιες στις οποίες απευθύνεται το πρόγραμμα σπουδών (να γνωρίσουν π.χ. οι εκπαιδευτικοί τους τρόπους με τους οποίους ένα παιδί ταξινομεί δυσδιάστατα σχήματα με βάση τις ιδιότητες), - τη συλλογή παρατηρήσεων, - την παροχή ανατροφοδότησης στους/τις μαθητές/τριες, - τον καθορισμό των επόμενων διδακτικών βημάτων από τους/τις εκπαιδευτικούς, - την «επικοινωνία» των ιδεών και την ανατροφοδότηση σχετικά με την επίδοση των μαθητών/τριών στους γονείς τους. Οι εκπαιδευτικοί, επομένως, χρειάζεται να προσφέρουν βοήθεια στους/τις μαθητές/τριες ώστε αυτοί/ές να ανακαλύψουν και να κατανοήσουν τις Μεγάλες Ιδέες, τις ιδέες κλειδιά, που αποτελούν τη βάση πολλών εννοιών και διδακτικών διαδικασιών. Αν τα παιδιά κατανοήσουν τις Μεγάλες Ιδέες, τα περισσότερα θα είναι σε θέση να βρουν εκ νέου τις αρχές, τις ιδιότητες και τις διαδικασίες στο επίκεντρο της στοιχειώδης Αριθμητικής και Γεωμετρίας. Η κατανόηση των Μεγάλων Ιδεών μπορεί να βοηθήσει τα παιδιά να δουν τον τρόπο με τον 27

οποίο διάφορες μαθηματικές έννοιες και διαδικασίες συσχετίζονται. Αυτό θα βοηθήσει τα παιδιά να διαπιστώσουν ότι τα Μαθηματικά είναι ένα οργανωμένο σύστημα γνώσης. Με τη σειρά του αυτό μπορεί να κάνει την εκμάθηση διαφόρων εννοιών πολύ πιο εύκολη διαδικασία (Baroody, Cibulskis, Lai, & Li, 2004). Παρακάτω καταγράφονται οι κρίσιμες γεωμετρικές έννοιες, τα κομβικά, δηλαδή, σημεία (Μεγάλες Ιδέες) της εξελικτικής τροχιάς που αφορούν τα γεωμετρικά σχήματα, την σύνθεση και την ανάλυση των γεωμετρικών σχημάτων και στερεών που πραγματεύεται η παρούσα εργασία. Μεγάλη Ιδέα Ονομασία δυσδιάστατων σχημάτων και τρισδιάστατων σωμάτων Τα μικρά παιδιά ονομάζουν ένα σχήμα από την εμφάνιση του ως σύνολο. Για παράδειγμα μπορούν να ονομάσουν το σχήμα Α ως τρίγωνο καθώς ταιριάζει στην νοητική εικόνα που έχουν τα παιδιά του πως μοιάζει το τρίγωνο. Ίσως να μην θεωρήσουν το σχήμα Β ως τρίγωνο, καθώς μπορούν να υποστηρίξουν πως το σχήμα είναι πολύ μακρύ ή πολύ λεπτό για να είναι τρίγωνο. Καθώς τα παιδιά εμβαθύνουν τη γνώση τους για τις ιδιότητες των σχημάτων, αρχίζουν να τις εφαρμόζουν στην ανάλυση και στην ονομασία των σχημάτων. Με την κατανόηση των ιδιοτήτων του τριγώνου, τα παιδιά θα συμπεράνουν ότι το σχήμα Β είναι επίσης τρίγωνο επειδή, όπως και το σχήμα Α, έχει τρεις γωνίες. Πριν μάθουν τα παιδιά τις ονομασίες των τρισδιάστατων σωμάτων, συχνά τα ονομάζουν λανθασμένα χρησιμοποιώντας τις ονομασίες των δυσδιάστατων σχημάτων. Για παράδειγμα, δεν είναι ασυνήθιστο το γεγονός για ένα μικρό παιδί να ονομάζει μια σφαίρα ως κύκλο ή έναν κύβο ως τετράγωνο. Μεγάλη Ιδέα Οπτικοποίηση δυσδιάστατων σχημάτων και τρισδιάστατων σωμάτων Πρόκειται για την οπτικοποίηση των μορφών στα σχήματα προκειμένου να ταξινομηθούν και να κατηγοριοποιηθούν. Η οπτική κατηγοριοποίηση των σχημάτων οδηγεί στην σύνδεση του να «βλέπεις» με το να «μαθαίνεις» τις ιδιότητες. Για παράδειγμα, οι μαθητές/τριες ταξινομούν τα τετράπλευρα στην κατηγορία των παραλληλογράμμων για να δουν τις 28

διαφορές και τις ομοιότητες ανάμεσα στα τετράγωνα, τους ρόμβους και τα ορθογώνια. Αυτή η οπτικοποίηση συνδέεται με την εκμάθηση των ιδιοτήτων των σχημάτων. Κατά τον σχεδιασμό της διδασκαλίας, ο/η εκπαιδευτικός χρειάζεται να παρέχει ευκαιρίες στους/τις μαθητές/τριες του προκειμένου αυτοί/ές να οπτικοποιήσουν το αντικείμενο από πολλαπλές οπτικές γωνίες. Αυτή η οπτικοποίηση θα τους/τις βοηθήσει ώστε να δουν καλύτερα το σχήμα, να είναι ικανοί/ές να αναλύσουν το σχήμα σε άλλα σχήματα ή να το χρησιμοποιήσουν μαζί με άλλα σχήματα προκειμένου να συνθέσουν ένα νέο σχήμα. Μεγάλη Ιδέα Ιδιότητες δυσδιάστατων σχημάτων και τρισδιάστατων στερεών Τα βασικά σημεία που σχετίζονται με τις ιδιότητες των δισδιάστατων σχημάτων και τρισδιάστατων σωμάτων είναι τα εξής: Περιγραφή, ανάλυση, σύγκριση και ταξινόμηση δυσδιάστατων σχημάτων με βάση τον αριθμό των πλευρών και των γωνιών τους και των τρισδιάστατων σωμάτων με βάση τις επιφάνειες, τις κορυφές και τις ακμές τους. Τα ιδιαίτερα μέρη των σχημάτων και στερεών όπως οι πλευρές, οι κορυφές ή οι γωνίες γίνονται αντιληπτές με πρακτικό τρόπο. Για παράδειγμα, τα παιδιά θεωρούν τη γωνία ως «μύτη» ή μέρος συνάντησης, ή σπαστή γραμμή ή κίνηση, δηλαδή της δίνουν αρκετά νοήματα που κατά περίπτωση είναι διαφορετικά από τη γεωμετρική τους διάσταση. Τα γεωμετρικά στοιχεία επηρεάζονται σημαντικά από τη φυσική τους υπόσταση στις πρακτικές εμπειρίες και δημιουργούν λανθασμένες αντιλήψεις που ξεπερνιούνται δύσκολα. Τα ευρήματα αυτά ενισχύουν την άποψη ότι για την ανάπτυξη της γεωμετρικής σκέψης σε επίπεδο μερών και ιδιοτήτων των σχημάτων είναι σημαντικό οι μαθητές/τριες να έχουν τις κατάλληλες δράσεις και, κατά συνέπεια, προσανατολισμένες εμπειρίες. Αναγνώριση δυσδιάστατων σχημάτων και τρισδιάστατων σωμάτων σε διαφορετικά μεγέθη και προσανατολισμούς. Τα παιδιά προσχολικής ηλικίας μαθαίνουν να αναγνωρίζουν δυσδιάστατα σχήματα και τρισδιάστατα σώματα από την εμφάνισή τους π.χ. λένε: "Είναι ένα ορθογώνιο, γιατί μοιάζει με μια πόρτα". Στα πρώτα στάδια ανάπτυξης της γεωμετρικής σκέψης τους, τα παιδιά έχουν μικρή κατανόηση των γεωμετρικών ιδιοτήτων, δηλαδή των χαρακτηριστικών που ορίζουν ένα σχήμα. Οι μαθητές/τριες μαθαίνουν για τις γεωμετρικές 29

ιδιότητες καθώς χειρίζονται τα διάφορα αντικείμενα. Αρχικά, τα παιδιά περιγράφουν αντικείμενα χρησιμοποιώντας το λεξιλόγιο που σχετίζεται με παρατηρήσιμα χαρακτηριστικά: χρώμα, μέγεθος, υφή (π.χ. λείο, τραχύ, ανώμαλο), κίνηση (π.χ. γλιστράει), υλικό (π.χ. ξύλο, πλαστικό). Η διδασκαλία βοηθάει τα παιδιά να εστιάσουν την προσοχή τους σε γεωμετρικά χαρακτηριστικά των δισδιάστατων σχημάτων και των τρισδιάστατων σωμάτων έτσι ώστε να αρχίσουν να σκέφτονται σχετικά με τις ιδιότητες που κάνουν ένα ορθογώνιο να είναι ορθογώνιο, ή έναν κύλινδρο να είναι ένας κύλινδρος. Η εμπειρία με δισδιάστατα σχήματα και τρισδιάστατα σώματα πρέπει να εμπεριέχει μία ποικιλία μορφών, μεγεθών, και προσανατολισμών, ώστε να επιτρέπει στα παιδιά να κατανοήσουν αυτές τις ιδιότητες. Τα μικρά παιδιά αναπτύσσουν κάποιες σταθερές αντιλήψεις σχετικά με το πώς μοιάζουν τα σχήματα, επειδή τα οπτικά πρωτότυπα κάθε κατηγορίας σχημάτων με τα οποία έρχονται πιο συχνά σε επαφή έχουν συνήθως τη μορφή και τον προσανατολισμό που φαίνεται στην παρακάτω εικόνα: κύκλος τετράγωνο ορθογώνιο τρίγωνο Τείνουν να βλέπουν μόνο τις τυπικές μορφές των σχημάτων, τα τυπικά δηλαδή οπτικά πρωτότυπα κάθε κατηγορίας σχημάτων (π.χ. αδυνατούν πολλές φορές να αντιληφθούν ως τρίγωνο ένα τρίγωνο που στέκεται σε μια κορυφή του). Η έκθεση σε μια ποικιλία σχημάτων σε διαφορετικά μεγέθη, μορφές και προσανατολισμό, δίνει την ευκαιρία να κατανοηθούν βαθύτερα οι ιδιότητες των σχημάτων. Τα δυσδιάστατα σχήματα και τα τρισδιάστατα στερεά έχουν ιδιότητες που τους επιτρέπουν να αναγνωριστούν, να συγκριθούν και να ταξινομηθούν. Πολλές ιδιότητες συνδέονται μεταξύ τους η μία με την άλλη λόγω συγκεκριμένων χαρακτηριστικών. Για παράδειγμα, οι ιδιότητες που υπάρχουν για τα μήκη των πλευρών του τριγώνου συναντιούνται και στο τραπέζιο (όταν οι δυο μη παράλληλες πλευρές ενός τραπεζίου είναι ίσες τότε το τραπέζιο είναι ισοσκελές). Μεγάλη Ιδέα Γεωμετρικές σχέσεις Τα βασικά σημεία που σχετίζονται με τις γεωμετρικές σχέσεις είναι: 30

Η κατανόηση των στερεών και των ιδιοτήτων τους, βοηθάει τα παιδιά να κατανοήσουν τον τρισδιάστατο κόσμο στον οποίο ζουν και να κάνουν συνδέσεις ανάμεσα στην δυσδιάστατη και τρισδιάστατη γεωμετρία. Υπάρχουν σχέσεις ανάμεσα στην επίπεδη και την στερεά Γεωμετρία, γι αυτό χρειάζεται να γίνει ανάλυση τρισδιάστατων σωμάτων σε δυσδιάστατα συστατικά. Για παράδειγμα, οι επιφάνειες ενός πολυέδρου είναι πολύγωνα. Επίσης, η όψη ενός στερεού σώματος μπορεί να αναπαρασταθεί σε ένα δυσδιάστατο σχέδιο. Τα παιδιά χρειάζεται να σκέφτονται τις ιδιότητες και τις σχέσεις που αναπτύσσονται ανάμεσα στα σχήματα και τα στερεά σώματα, καθώς και τη σύνδεση ανάμεσα στις ιδιότητες και τις σχέσεις ώστε να μην αντιλαμβάνονται κάθε ιδιότητα ως μια νέο οντότητα αλλά ως μια επέκταση της σχέσης που ήδη γνωρίζουν. Μεγάλη Ιδέα Σύνθεση και ανάλυση δυσδιάστατων σχημάτων και τρισδιάστατων στερεών. Τα επίπεδα σχήματα και τα στερεά σώματα μπορούν να συντεθούν και να αναλυθούν σε άλλα δυσδιάστατα σχήματα και τρισδιάστατα σώματα αντίστοιχα. Η Μεγάλη αυτή Ιδέα αφορά, επίσης, την περιγραφή των γεωμετρικών χαρακτηριστικών και ιδιοτήτων των συστατικών μερών (μικρότερων σχημάτων και στερεών) και του όλου (μεγαλύτερο σχήμα ή στερεό που συντίθεται ή αναλύεται) που καθορίζουν πως τα συστατικά μέρη και το όλον μοιάζουν και διαφέρουν μεταξύ τους. Κλείνοντας αυτό το κεφάλαιο θεωρείται σημαντικό να επισημανθεί ξανά πως όταν η διδασκαλία εστιάζει στις λεγόμενες «Μεγάλες Ιδέες», οι μαθητές/τριες μπορούν να κάνουν συνδέσεις και να κατανοούν ότι τα Μαθηματικά είναι ένα ενιαίο σύνολο, παρά μια συλλογή άσχετων θεματικών ενοτήτων. Η ανάπτυξη της μαθηματικής γνώσης είναι μια σταδιακή διαδικασία. Ένα συνεχές, συνεκτικό πρόγραμμα που συνδέει όλα τα επίπεδα είναι απαραίτητο για να βοηθήσει τους μαθητές να αναπτύξουν την κατανόηση των «Μεγάλων Ιδεών» των Μαθηματικών - που είναι οι αλληλένδετες έννοιες που σχηματίζουν ένα πλαίσιο για την εκμάθηση των Μαθηματικών με συνεκτικό τρόπο. 31

(The Ontario Curriculum Mathematics, 2005, σελ. 4) ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ ΓΙΑ ΤΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΩΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ Οι κρίσιμες γεωμετρικές έννοιες (Μεγάλες Ιδέες) που αναλύθηκαν παραπάνω αποτελούν κομβικά σημεία στη διδασκαλία της Γεωμετρίας. Προκειμένου να ξεπεραστούν οι δυσκολίες που πιθανόν να αντιμετωπίσουν οι μαθητές/τριες κατά τη διδασκαλία αυτών των εννοιών ο/η εκπαιδευτικός κρίνεται σημαντικό να σχεδιάσει διδακτικές ευκαιρίες που θα βοηθήσουν τα παιδιά να κατανοήσουν τις Μεγάλες Ιδέες (Big Ideas) και να υπερπηδήσουν τα κρίσιμα σημεία χωρίς να αντιμετωπίσουν προβλήματα κατανόησης. Παρακάτω προτείνονται ορισμένες δραστηριότητες που μπορούν να χρησιμοποιηθούν στη διδασκαλία της Γεωμετρίας όσο αφορά στις θεματικές της εργασίας αυτής (Γεωμετρικά σχήματα, Ανάλυση & Σύνθεση γεωμετρικών σχημάτων). Οι διδακτικές δραστηριότητες που προτείνονται ακολουθούν μια εξελικτική παρουσίαση και είναι σύμφωνες με την πορεία μάθησης και ανάπτυξης των γεωμετρικών νοημάτων έτσι όπως παρουσιάζεται στο Common Core State Standards, αντιστοιχούν δηλαδή, σε καθένα από τα επίπεδα της αναπτυξιακής πορείας. Επίσης, καταγράφονται οι στόχοι των προτεινόμενων δραστηριοτήτων, τα διδακτικά υλικά, οι ηλεκτρονικές πηγές κτλ. που μπορούν να εμπλουτίσουν τις δραστηριότητες και να παρέχουν στους/τις εκπαιδευτικούς χρήσιμο και - όσο το δυνατόν -πιο ολοκληρωμένο υλικό για τη διδασκαλία των εννοιών των γεωμετρικών σχημάτων και της σύνθεσης και ανάλυσής τους. ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ ΓΙΑ ΤΟ ΝΗΠΙΑΓΩΓΕΙΟ Δραστηριότητα 1 η Στόχος: Οι μαθητές/τριες: - να εξασκηθούν στην ονομασία δυσδιάστατων σχημάτων και τρισδιάστατων σωμάτων, - να εξασκηθούν στο σχεδιασμό δυσδιάστατων σχημάτων, - να εξασκηθούν στην παρατήρηση των ιδιοτήτων των γεωμετρικών 32

σχημάτων και στερεών σωμάτων, - να παρατηρήσουν τις γεωμετρικές σχέσεις μεταξύ των διαφόρων κατηγοριών σχημάτων και στερεών σωμάτων (να παρατηρήσουν ότι διαφορετικά σχήματα/στερεά μπορούν να είναι όμοια), - να παρατηρήσουν τις γεωμετρικές σχέσεις μεταξύ σχημάτων και στερεών (να κατανοήσουν ότι οι επιφάνειες των στερεών σωμάτων είναι επίπεδα σχήματα). Υλικά: σχεδιασμένα δυσδιάστατα σχήματα σε χαρτόνι και στερεά σώματα ως χειραπτικά υλικά. Παρουσιάζονται στα παιδιά από την μία μια ποικιλία σχεδιασμένων δυσδιάστατων σχημάτων σε χαρτόνι και από την άλλη απτών τρισδιάστατων σωμάτων (ξύλινα μοντέλα γεωμετρικών στερεών). Καλούνται να τα ονομάσουν και έπειτα να τα ταξινομήσουν με βάση κάποια γεωμετρική ιδιότητα που ορίζεται κάθε φορά (η διαδικασία της ταξινόμησης γίνεται πρώτα στα δυσδιάστατα σχήματα και έπειτα στα τρισδιάστατα σώματα). Προτείνονται, λοιπόν, κάθε φορά διαφορετικά κριτήρια ταξινόμησης που βοηθούν τα παιδιά να επικεντρώσουν την προσοχή τους στις διάφορες γεωμετρικές ιδιότητες των σχημάτων/στερεών σωμάτων και τις γεωμετρικές σχέσεις που υπάρχουν μεταξύ τους. Για παράδειγμα: «Ταξινομήστε τα δυσδιάστατα σχήματα σε δύο ομάδες ώστε στη μία ομάδα να υπάρχουν σχήματα με μία τουλάχιστον καμπυλωτή πλευρά και στην άλλη ομάδα σχήματα με όλες τις πλευρές ίσιες». Σχήματα με μία τουλάχιστον καμπυλωτή πλευρά Σχήματα με όλες τις πλευρές ίσιες «Ταξινομήστε τα τρισδιάστατα σώματα με βάση τα σχήματα των επιφανειών τους». Εικόνα 1 Εικόνα 2 Εικόνα 3 Οι συζητήσεις μεταξύ του/τις εκπ/κού και των μαθητών/τριών τόσο κατά τη διάρκεια όσο και μετά την υλοποίηση των δραστηριοτήτων βοηθά τα 33

παιδιά να κατανοήσουν περαιτέρω τις γεωμετρικές ιδιότητες. Ενθαρρύνεται έτσι ο προβληματισμός για τις γεωμετρικές ιδιότητες με ερωτήματα όπως: «Ποιος είναι ο κανόνας της ταξινόμησής σας;», «Γιατί αυτό το σχήμα δεν περιλαμβάνεται σε αυτή την ομάδα σχημάτων;», «Υπάρχει άλλος τρόπος για να ταξινομήσετε τα σχήματα σε ομάδες;» κ.α. Για καλύτερη εμπέδωση της ταξινόμησης των επίπεδων σχημάτων και των στερεών σωμάτων μπορούν να υλοποιηθούν συμπληρωματικά οι παρακάτω δραστηριότητες: «Συμπληρώστε τον πίνακα» «Δημιουργήστε τα αποτυπώματα στερεών στο χαρτόνι και έπειτα διερευνήστε τις επιφάνειές τους». Τα παιδιά καλούνται να δημιουργήσουν τα αποτυπώματα των στερεών της τάξης τους (κύβος, κύλινδρος, κώνος, πυραμίδα, κ.α.) πάνω σε ένα χαρτόνι και να οδηγηθούν, στη συνέχεια, παρατηρώντας τα σχήματα των επιφανειών των στερεών, σε συμπεράσματα σχετικά με τις σχέσεις στερεών και επίπεδων σχημάτων. Δραστηριότητα 2 η Στόχοι: Οι μαθητές/τριες να εξασκηθούν: 34

- στην αναγνώριση και ονομασία των γεωμετρικών στερεών, - στην περιγραφή και ταξινόμηση των γεωμετρικών στερεών, - στην αναγνώριση των ιδιοτήτων των γεωμετρικών στερεών, (σφαίρα, κώνος, κύβος, τετραγωνική και τριγωνική πυραμίδα, κύλινδρος κ.α.). Υλικά: - σετ τρισδιάστατων στερεών σωμάτων (σφαίρα, κύβος, κώνος, κύλινδρος, τριγωνική και τετραγωνική πυραμίδα κ.α.), - σάκος που θα περιέχει τα στερεά σώματα (μια τσάντα για κάθε ομάδα παιδιών). Τα παιδιά χωρίζονται σε ομάδες. Τους δίνεται χρόνος να επεξεργαστούν μια ποικιλία από χειραπτικά τρισδιάστατα στερεά σώματα. Αφού τα παιδιά ονομάσουν τα στερεά, θα χρησιμοποιήσουν τα υλικά ως εργαλεία μάθησης και θα επικεντρωθούν στις μαθηματικές έννοιες και όχι στα ίδια τα υλικά. Εμφανίζεται στα παιδιά μια σειρά από τρισδιάστατα σώματα: σφαίρα, κύβος, κώνος, κύλινδρος, πυραμίδες κ.α. Επίσης, φανερώνεται στα παιδιά ένας σάκος και εξηγείται ότι περιέχει ανακατωμένα τα στερεά που επεξεργάστηκαν πριν. Τα παιδιά βάζουν το χέρι τους στον σάκο και χωρίς να βλέπουν αγγίζουν τα σώματα και περιγράφουν τι πιάνουν (π.χ. «Αισθάνομαι ένα σώμα που έχει επίπεδες επιφάνειες. Έχει οκτώ γωνίες. Όλες οι γραμμές είναι ίσιες»). Ζητείται από τα παιδιά να δείξουν από τα σώματα που φαίνονται μπροστά τους ποιο είναι το σώμα που πιάνουν μέσα στον σάκο. Έπειτα αφαιρούν το σώμα από τον σάκο και το τοποθετούν δίπλα στο σώμα-ταίρι του. Τα παιδιά καλούνται έπειτα να εξηγήσουν γιατί αυτά τα δύο σώματα μοιάζουν. Έτσι, κατανοούν σε βάθος τις ιδιότητες των στερεών. Όταν ολοκληρωθεί αυτή η διαδικασία και βγουν από τον σάκο όλα τα στερεά, τα παιδιά καλούνται να τα ταξινομήσουν σε κατηγορίες με βάση τον κανόνα που τους λέει κάθε φορά ο/η εκπαιδευτικός (π.χ. «Βάλτε τα σώματα σε ομάδες ώστε σε κάθε ομάδα να υπάρχουν σώματα με τουλάχιστον μία κοινή επιφάνεια»). Δραστηριότητα 3 η (Ανάλυση & Σύνθεση δυσδιάστατων σχημάτων) Στόχος: Οι μαθητές/τριες να εξασκηθούν στην ονομασία και αναγνώριση δυσδιάστατων σχημάτων σε καταστάσεις σύνθεσης και ανάλυσης. «Παρατηρήστε τα πιο κάτω σήματα τροχαίας και ονομάστε τα γεωμετρικά σχήματα που διακρίνετε σε αυτά» 35

Δραστηριότητα 4 η (Κόβοντας τα στερεά) Υλικά: πηλός χειροτεχνίας που δεν ξεραίνεται εύκολα ή πλαστελίνη, σύρμα με δύο λαβές ή χάρακας (για το κόψιμο των στερεών). Στόχοι: Οι μαθητές/τριες να εξασκηθούν: - στην ονομασία στερεών σωμάτων, - κατασκευή τρισδιάστατων σωμάτων με υλικά όπως πηλό ή πλαστελίνη, - στην παρατήρηση των ιδιοτήτων και των στοιχείων των στερεών (σχήμα επιφανειών, αριθμός κορυφών και ακμών κ.α.), - στην ανάλυση και σύνθεση τρισδιάστατων σωμάτων. Τα παιδιά κατασκευάζουν στερεά σώματα με υλικά που μπορούν εύκολα να τεμαχιστούν (πλαστελίνη/πηλός) και τα ονομάζουν. Τα παιδιά παρατηρούν τα σχήματα και περιγράφουν τις ιδιότητές τους. Έπειτα, κόβουν τα στερεά που κατασκεύασαν σε «φέτες» (για να κοπεί ο πηλός χρησιμοποιούν λεπτό σύρμα με δύο λαβές, για να κοπεί η πλαστελίνη μπορούν να χρησιμοποιήσουν ακόμη και τον χάρακά τους). Τα παιδιά κόβουν τα στερεά σε μικρότερα στερεά (έτσι εξασκούνται στην ανάλυση των τρισδιάστατων σωμάτων σε άλλα μικρότερα, και κατ επέκταση στη σύνθεση τρισδιάστατων σωμάτων, καθώς αυτές οι δύο διαδικασίες είναι συμπληρωματικές). Παρατηρούν τις ιδιότητες των μικρότερων στερεών και τα ονομάζουν. Δραστηριότητα 5η Η εφαρμογή διατίθεται στον παρακάτω σύνδεσμο: http://www.primaryresources.co.uk/online/longshape3d.html Στόχοι: Oι μαθητές/τριες να εξασκηθούν: - στις πολλαπλές αναπαραστάσεις των γεωμετρικών σχημάτων, - στην αναγνώριση των τρισδιάστατων σωμάτων, - στην ονομασία των τρισδιάστατων σωμάτων. 36

Αυτή η απλή αλλά διασκεδαστική εφαρμογή παρουσιάζει διάφορα εικονικά περιβάλλοντα που περιέχουν γεωμετρικά στερεά τα οποία είναι μερικώς κρυμμένα, ώστε να φαίνονται μερικά μόνο χαρακτηριστικά τους. Τα παιδιά καλούνται να αντιστοιχίσουν κάθε στερεό του εικονικού περιβάλλοντος με το στερεό που θα επιλέξουν από μια λίστα με εικόνες στερεών που βρίσκεται στο κάτω μέρος της οθόνης. Κάθε φορά που το παιδί επιλέγει το σωστό στερεό η εφαρμογή τού παρέχει ανατροφοδότηση καθώς ακούγεται το όνομα του στερεού που επιλέχτηκε και σημειώνεται η σωστή επιλογή. Σε περίπτωση λάθους, ακούγεται ένας ήχος και σημειώνεται στο πλαίσιο Mistakes ( Λάθη ) ο αριθμός των λαθών, ενώ το παιδί έχει την ευκαιρία να ξαναπροσπαθήσει να αντιστοιχίσει το στερεό του εικονικού περιβάλλοντος με το σωστό στερεό της λίστας. Δραστηριότητα 6 η Η εφαρμογή διατίθεται στον παρακάτω σύνδεσμο: http://www.ictgames.com/y2shape.html Στόχος οι μαθητές/τριες να εξασκηθούν: - στην αναγνώριση των τρισδιάστατων σωμάτων μέσα από την παρατήρηση των ιδιοτήτων τους, - στην ονομασία των τρισδιάστατων σωμάτων. 37

Σε αυτή την εφαρμογή τα παιδιά καλούνται να βρουν κάθε φορά το γεωμετρικό στερεό που είναι κρυμμένο. Μπορούν να δουν τις χαρακτηριστικές του ιδιότητες χρησιμοποιώντας τον φακό από ένα κιάλι, το οποίο εμφανίζει περιορισμένο μέρος του στερεού. Τα παιδιά χρησιμοποιώντας το κιάλι (το οποίο μετακινούν στην επιφάνεια της εφαρμογής με τη βοήθεια του ποντικιού τους) παρατηρούν τα χαρακτηριστικά και τις ιδιότητες του στερεού και όταν είναι σίγουροι σχετικά με το ποιο στερεό κρύβεται κάθε φορά, πατούν πάνω στην εικόνα και τότε εμφανίζεται το στερεό. Πατώντας την εικόνα μπορούν να αυξομειώσουν το μέγεθος του φακού του κιαλιού τους, ενώ πατώντας το αστέρι ή τον κύκλο της εικόνας ρυθμίζουν το σχήμα του φακού. Παρακάτω ακολουθεί το παράδειγμα του κύβου, και κάποια από τα γεωμετρικά στερεά της εφαρμογής. 38

ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΤΑΞΗ Δραστηριότητα 1 η Στόχοι: Οι μαθητές/τριες να εξασκηθούν: - στις πολλαπλές αναπαραστάσεις των τετραπλεύρων (ποικιλία μεγεθών και προσανατολισμών), - στην ονομασία των σχημάτων των τετραπλεύρων, - στον σχεδιασμό τετραπλεύρων, - στον εντοπισμό των ιδιοτήτων των τετραπλεύρων, - στην ανάπτυξη του αισθησιοκινητικού συντονισμού τους. 39

Υλικά: «Χαλί τετραπλεύρων», κάρτες, χαρτί, μολύβι. Οι μαθητές/τριες χωρίζονται σε ομάδες των τεσσάρων ατόμων. Κάθε παιδί έχει ένα ρόλο στην ομάδα του (Διαχειριστής καρτών, Αναγνώστης καρτών, Παίκτης 1 και Παίκτης 2). Στα πλαίσια κάθε ομάδας ο Διαχειριστής καρτών ανακατεύει τις κάρτες και τις κρατάει. Ο Αναγνώστης καρτών τραβάει μια κάρτα για κάθε έναν από τους παίκτες 1 και 2 και διαβάζει τις ιδιότητες της κάρτας σε καθέναν από αυτούς ξεχωριστά. Ο κάθε παίκτης με τη σειρά του επιλέγει από το «Χαλί τετραπλεύρων» το τετράπλευρο που νομίζει ότι αντιστοιχεί στην κάρτα, χωρίς να βλέπει ο άλλος παίκτης το σχήμα του τετραπλεύρου που επέλεξε. Ο Αναγνώστης καρτών επιβεβαιώνει ότι ο παίκτης έχει επιλέξει το σωστό σχήμα (τα ονόματα των σχημάτων είναι γραμμένα στο κάτω μέρος των καρτών). Ο παίκτης κρύβει το σχήμα που επέλεξε από το Χαλί και κρατά ψηλά το χέρι ή το πόδι που καθορίζει η εκάστοτε κάρτα του τετράπλευρου μέχρι ο άλλος παίκτης να σχεδιάσει το τετράπλευρο που ορίζει η κάρτα με βάση τις ιδιότητες που αναγράφονται. Όταν τελειώσει τον σχεδιασμό του τετραπλεύρου (κάθε παίκτης σχεδιάζει το τετράπλευρο του άλλου παίκτη και όχι το δικό του), συγκρίνεται το σχέδιό του με το τετράπλευρο που επιλέχτηκε αρχικά από τον παίκτη από το Χαλί τετραπλεύρων, προκειμένου να διαπιστωθεί αν είναι ίδια τα σχέδια των σχημάτων. Η ίδια διαδικασία επαναλαμβάνεται και με τον άλλον παίκτη. Η δραστηριότητα συνεχίζεται μέχρι να ταιριάξουν όλες οι κάρτες με τα τετράπλευρα του Χαλιού. Τα ζευγάρια τότε αλλάζουν ρόλους (ο Διαχειριστής καρτών και ο Αναγνώστης καρτών γίνονται Παίκτες και αντίστροφα) και ξεκινάει καινούργιος γύρος. 40

Κάρτες 41 Χαλί τετραπλεύρων Η δραστηριότητα αυτή μπορεί να πραγματοποιηθεί και με άλλες κατηγορίες δυσδιάστατων σχημάτων πέρα από τα τετράπλευρα, με αντίστοιχο «Χαλί σχημάτων» και ανάλογες κάρτες. Με κάρτες, επίσης, μπορεί να πραγματοποιηθεί και δραστηριότητα σχετική με την κατασκευή τρισδιάστατων γεωμετρικών στερεών. Υλικά: «Χαλί στερεών», κάρτες, καλαμάκια, πλαστελίνη. Στόχοι: Οι μαθητές/τριες να εξασκηθούν:

- στην ονομασία των στερεών σωμάτων, - στην κατασκευή στερεών σωμάτων με βάση τις ιδιότητές τους, χρησιμοποιώντας ως υλικά καλαμάκια και πλαστελίνη. Τα παιδιά χωρίζονται σε ομάδες. Κάθε ομάδα έχει και πάλι έναν Διαχειριστή καρτών, έναν Αναγνώστη καρτών, έναν Παίκτη 1 και έναν Παίκτη 2. Οι κάρτες αυτή τη φορά περιγράφουν ιδιότητες στερεών σωμάτων. Μερικά παραδείγματα καρτών φαίνονται παρακάτω: Στα πλαίσια κάθε ομάδας, ο Διαχειριστής καρτών ανακατεύει τις κάρτες και τις κρατάει. Ο Αναγνώστης καρτών τραβάει μια κάρτα και διαβάζει τις ιδιότητες της κάρτας στον έναν παίκτη. Οι Παίκτης καλείται να κατασκευάσει το στερεό της κάρτας που του διάβασε ο Αναγνώστης καρτών με υλικά που του δίνονται (πλαστελίνη ως κορυφές, καλαμάκια ως ακμές) ώστε να εμπεδώσει καλύτερα τις γεωμετρικές ιδιότητες των στερεών (αριθμός ακμών, αριθμός κορυφών, σχήμα και αριθμός επιφανειών κ.α.), και έπειτα καλείται να εξηγήσει στον άλλο παίκτη γιατί το στερεό που κατασκεύασε είναι το στερεό που περιγράφει η κάρτα. Στη συνέχεια, επιλέγεται μια κάρτα για τον άλλο παίκτη και ακολουθείται η αντίστοιχη διαδικασία. Η δραστηριότητα συνεχίζεται μέχρι να κατασκευαστούν τα στερεά όλων των καρτών. Τα ζευγάρια τότε αλλάζουν και πάλι ρόλους και ξεκινάει καινούργιος γύρος. Δραστηριότητα 2 η 42

Εφαρμογή του Ε.Λ. του Π.Ι. για την Α και Β τάξη που βρίσκεται διαθέσιμη στον σύνδεσμο: http://www.pi-schools.gr/software/dimotiko/ Στόχοι: Οι μαθητές/τριες να εξασκηθούν: - στον σχεδιασμό των γεωμετρικών σχημάτων με διαφορετικούς προσανατολισμός και μεγέθη, - στην μελέτη των εξ ορισμού ιδιοτήτων των γεωμετρικών σχημάτων. Τα παιδιά καλούνται να σχεδιάσουν ποικιλία γεωμετρικών σχημάτων με διαφορετικούς προσανατολισμούς και μεγέθη και να μελετήσουν τις εξ ορισμού ιδιότητές τους. Ο σχεδιασμός των σχημάτων γίνεται σε ένα πλέγμα από τελίτσες, οι οποίες βοηθούν τα παιδιά να κατανοήσουν τις ιδιότητες των σχημάτων (π.χ. να μετρήσουν τις τελίτσες των πλευρών του ορθογωνίου και να διαπιστώσουν ότι οι παράλληλες πλευρές έχουν ίδιο μήκος). Δραστηριότητα 3 η (Tagrams) Χωρίζουμε τα παιδιά σε ομάδες. Δίνουμε σε κάθε ομάδα τα κομμάτια του τάγκραμ (ροζ κομμάτια) και σε χαρτόνια τα τρία μεγάλα σχήματα. 43

Τα παιδιά καλούνται τα υλοποιήσουν τα εξής: «Καλύψτε πλήρως τα τρία μεγάλα σχήματα με κομμάτια του τάγκραμ. Ποια κομμάτια χρησιμοποιήσατε σε κάθε σχήμα; Ονομάστε τα κομμάτια του τάγκραμ». Στόχοι: Οι μαθητές/τριες να εξασκηθούν: - στην ονομασία των γεωμετρικών σχημάτων, - στην αναγνώριση γεωμετρικών σχημάτων με διαφορετικούς προσανατολισμούς, - στην ανάλυση και σύνθεση δυσδιάστατων σχημάτων κάνοντας συνδυασμούς γεωμετρικών σχημάτων και ανακαλύπτοντας τις μεταξύ τους σχέσεις. «Η Μαρίνα λέει πως μπορεί να καλύψει το τετράγωνο και το ορθογώνιο με όλα τα κομμάτια του τάγκραμ. Συζητήστε και γράψτε αν είναι σωστή η άποψή της. Συζητήστε με πόσους τρόπους μπορείτε να καλύψετε το τετράγωνο, το ορθογώνιο και το πλάγιο παραλληλόγραμμο με τα κομμάτια του τάγκραμ. Ανακοινώστε τα συμπεράσματά σας». Στόχοι: Οι μαθητές/τριες να εξασκηθούν: - στην αναγνώριση γεωμετρικών σχημάτων με διαφορετικούς προσανατολισμούς, - στην αναγνώριση γεωμετρικών σχημάτων σε διαδικασίες σύνθεσης, - στην ανάλυση και σύνθεση δυσδιάστατων σχημάτων κάνοντας συνδυασμούς γεωμετρικών σχημάτων και ανακαλύπτοντας τις μεταξύ τους σχέσεις, βιώνοντας δημιουργικές διαδικασίες όπως προβληματισμό, παρατήρηση, πρόβλεψη και αιτιολόγηση. Δραστηριότητα 4 η (Ψηφιδωτά) 44

Στόχοι: Οι μαθητές/τριες να είναι σε θέση να: - αναγνωρίσουν τα γεωμετρικά σχήματα σε συνθέσεις, - κάνουν οι ίδιοι/ες συνδυασμούς γεωμετρικών σχημάτων, - εξασκηθούν στην ανάλυση και σύνθεση δυσδιάστατων σχημάτων κάνοντας συνδυασμούς γεωμετρικών σχημάτων και ανακαλύπτοντας τις μεταξύ τους σχέσεις με διαισθητικό τρόπο. Υλικά: φωτογραφίες ψηφιδωτών, λευκά χαρτιά και ψηφίδες (χρωματιστά κομματάκια χαρτιού) Μοιράζονται σε κάθε παιδί δύο φωτογραφίες ψηφιδωτών, ένα λευκό χαρτί και ψηφίδες (χρωματιστά κομματάκια χαρτιού). Τα παιδιά καλούνται να παρατηρήσουν τα ψηφιδωτά (σε αυτό το στάδιο εξασκούνται στην ανάλυση γεωμετρικών σχημάτων προκειμένου να κατανοήσουν πως δημιουργήθηκε το ψηφιδωτό) και να φτιάξουν το δικό τους ψηφιδωτό (εδώ εξασκούνται στη σύνθεση γεωμετρικών σχημάτων). ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ ΓΙΑ ΤΗΝ Β ΤΑΞΗ Δραστηριότητα 1 η «Ποιο μοιάζει με αυτό?» Στόχοι: Οι μαθητές/τριες να εξασκηθούν: - στην ονομασία δυσδιάστατων σχημάτων και τρισδιάστατων στερεών, - στις πολλαπλές αναπαραστάσεις των γεωμετρικών σχημάτων (ποικιλία μεγεθών και προσανατολισμών) και στην οπτικοποίηση στα γεωμετρικά σχήματα και σώματα, - στον εντοπισμό κοινών ιδιοτήτων μεταξύ των σχημάτων/των στερεών. 45

Όπως το σχήμα 4: «Έχει τις ίδιες γωνίες σε αριθμό και μέγεθος. Είναι ίδιο, μόνο που είναι γυρισμένο». Όπως το σχήμα 5: «Όλες οι πλευρές παράλληλες, λίγο συμπιεσμένο ώστε αλλάζει το μέγεθος των γωνιών». Όπως το σχήμα 6: «Έχει μια γωνία ορθή. Μοιάζει με το μισό του». Όπως το σχήμα 2: «Είναι ίδιο, μόνο που είναι μακρύτερο». Όπως τα σχήματα 1 & 3: «Κανένα κοινό χαρ/κό». Έπειτα ονομάζουν όλα τα σχήματα. Δραστηριότητα 2 η (Tagrams) Τα παιδιά καλούνται να φτιάξουν με τα κομμάτια του τάγκραμ τις παρακάτω φιγούρες. Στόχοι: Οι μαθητές/τριες να εξασκηθούν: - στην ανάλυση και σύνθεση δυσδιάστατων σχημάτων κάνοντας συνδυασμούς γεωμετρικών σχημάτων και ανακαλύπτοντας τις μεταξύ τους σχέσεις με διαισθητικό τρόπο. 46

ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ ΓΙΑ ΤΗΝ Γ ΤΑΞΗ Δραστηριότητα κατασκευής δυσδιάστατων σχημάτων και τρισδιάστατων σωμάτων με την τεχνική Origami Κατασκευή δυσδιάστατου σχήματος Παράδειγμα: Κατασκευή τετραγώνου. Η διαδικασία κατασκευής του τετραγώνου διατίθεται αναλυτικά στον παρακάτω σύνδεσμο: http://www.origami-instructions.com/origami-square-letter-fold.html Στόχοι: Οι μαθητές/τριες να εξασκηθούν: - στην κατασκευή δυσδιάστατου σχήματος με την τεχνική origami, - στην ανάλυση και σύνθεση δυσδιάστατου σχήματος (κατά τη διαδικασία της κατασκευής τα παιδιά θα χωρίσουν επιφάνειες του χαρτιού σε μικρότερα σχήματα, είτε σχεδιάζοντάς τα είτε διπλώνοντάς τα). Με αυτή τη διαδικασία θα εξασκηθούν στη σύνθεση δυσδιάστατου σχήματος από μικρότερα σχήματα (οι διαδικασίες ανάλυσης και σύνθεσης είναι συμπληρωματικές). Κατασκευή τρισδιάστατου στερεού Παράδειγμα: Κατασκευή κύβου. 47

Η διαδικασία κατασκευής του κύβου διατίθεται στον σύνδεσμο: http://www.origami-instructions.com/origami-fujimoto-cube.html Στόχοι: Οι μαθητές/τριες να εξασκηθούν: - στην κατασκευή τρισδιάστατου σώματος με την τεχνική origami, - στην ανάλυση και σύνθεση δυσδιάστατου σχήματος (κατά την κατασκευή τα παιδιά θα χωρίσουν ένα τετραγωνικό χαρτί σε δεκαέξι μικρότερα τετράγωνα, καθένα από τα οποία θα τα χωρίσουν στη συνέχεια σε δύο τρίγωνα). Με αυτή τη διαδικασία θα εξασκηθούν στη σύνθεση δυσδιάστατου σχήματος από μικρότερα σχήματα (οι διαδικασίες ανάλυσης και σύνθεσης είναι συμπληρωματικές). ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ ΓΙΑ ΤΗ Δ ΤΑΞΗ Δραστηριότητα 1 η Εκπαιδευτικό λογισμικό Geometer s Sketchpad που βρίσκεται διαθέσιμο στην ιστοσελίδα: http://e-yliko.gr/lists/list40/dispform.aspx?id=30 Στόχοι: Οι μαθητές/τριες να εξασκηθούν: - στον σχεδιασμό σχημάτων με τη χρήση του λογισμικού, - στον σχεδιασμό σχημάτων με διαφορετικούς προσανατολισμούς (χρησιμοποιώντας τη λειτουργία της περιστροφής) και μεγέθη, ώστε να κατανοήσουν τις εξ ορισμού ιδιότητες των σχημάτων, - στην ικανότητα σύνθεσης σχημάτων από άλλα σχήματα και στην ικανότητα ανάλυσης σχημάτων σε άλλα σχήματα. Τα παιδιά καλούνται να σχεδιάσουν το παρακάτω σχέδιο με τη βοήθεια του λογισμικού. Το σχέδιο αποτελείται από σύνθετα σχήματα τα οποία προτού τα σχεδιάσουν χρειάζεται να τα αναλύσουν σε άλλα μικρότερα. 48

Έπειτα, χρησιμοποιώντας το κανονικό εξάγωνο του παραπάνω σχεδίου καλούνται να φτιάξουν ένα ακόμη σύνθετο σχήμα που αποτελείται από τρία κανονικά εξάγωνα ενωμένα στις γωνίες τους. Τα παιδιά πρέπει, στη συνέχεια, να βρουν τα σχήματα που εμφανίζονται στο νέο σχέδιο, εξασκώντας την ικανότητα ανάλυσης σχήματος σε άλλα μικρότερα (τρία κανονικά εξάγωνα και ένα ισόπλευρο τρίγωνο). Δραστηριότητα 2 η Εφαρμογή GCompris Ελεύθερο Λογισμικό/Λογισμικό Ανοικτού Κώδικα που διατίθεται στον σύνδεσμο: http://gcompris.net/-el- Στόχοι: Οι μαθητές/τριες να εξασκηθούν: - στις πολλαπλές αναπαραστάσεις των γεωμετρικών σχημάτων με διαφορετικούς προσανατολισμούς και μεγέθη, ώστε να κατανοήσουν τις εξ ορισμού ιδιότητες των σχημάτων, - στην ικανότητα σύνθεσης σχημάτων από άλλα σχήματα (καλύπτοντας ένα σύνθετο σχήμα με απλούστερα σχήματα). Με τα ανοιχτοπράσινα βέλη τα παιδιά διαλέγουν το τάγκραμ που θέλουν να σχηματίσουν. Μπορούν να χρησιμοποιήσουν τα υπόλοιπα κουμπιά για 49

να σχηματίσουν το περίγραμμα του τάγκραμ, να περιστρέψουν τα κομμάτια του κατά όσες μοίρες επιθυμούν και να κάνουν λοιπές ενέργειες για να διεκπεραιώσουν τη δραστηριότητα. Το παιχνίδι τελειώνει όταν τοποθετηθούν σωστά και τα 7 κομμάτια του τάγκραμ. ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ ΓΙΑ ΤΗΝ Ε ΤΑΞΗ Εκπαιδευτικό λογισμικό «Γεωπίνακας» Στόχοι: Οι μαθητές/τριες να εξασκηθούν: - στον σχεδιασμό σχημάτων με τη χρήση του ηλεκτρονικού Γεωπίνακα. - στις πολλαπλές αναπαραστάσεις των γεωμετρικών σχημάτων και στον σχεδιασμό σχημάτων με διαφορετικούς προσανατολισμούς και μεγέθη, ώστε να κατανοήσουν τις εξ ορισμού ιδιότητες των σχημάτων, - στην ονομασία των γεωμετρικών σχημάτων, - στην ικανότητα σύνθεσης σχημάτων από άλλα σχήματα (καλύπτοντας ένα σύνθετο σχήμα με απλούστερα σχήματα), - στην ικανότητα ανάλυσης σχημάτων σε άλλα σχήματα. Μοιράζεται στα παιδιά ένα φύλλο εργασίας. Οι μαθητές/τριες εμφανίζουν στην εφαρμογή το τετραγωνικό πλέγμα και εξασκούνται στον σχεδιασμό σχημάτων (τρίγωνα, ορθογώνια, ρόμβοι κ.α.) με τη βοήθεια του εργαλείου του ευθύγραμμου τμήματος. Σε κάθε σχήμα που σχεδιάζουν καλούνται να κάνουν ορισμένες τροποποιήσεις (αλλάζοντας π.χ. τον προσανατολισμό του σχήματος μετακινώντας τις κορυφές όπως φαίνεται στην εικόνα παρακάτω, αλλάζοντας τα μήκη των πλευρών, το συνολικό μέγεθος κ.α.) και καταγράφουν στο φύλλο εργασίας τι άλλαξαν και ποιες ιδιότητες έμειναν ίδιες. 50

Στη συνέχεια διαβάζουν τις οδηγίες του φύλλου εργασίας και κατασκευάζουν τα σχήματα και το ρομπότ στο πλέγμα της εφαρμογής. Αφού ονομάσουν τα σχήματα, πρέπει να γεμίσουν το ρομπότ με αυτά. Μετά το τέλος της διαδικασίας αυτής, τα παιδιά ενθαρρύνονται σε συζητήσεις που αναδεικνύουν τις ιδιότητες των σχημάτων και τις σχέσεις μεταξύ τους (π.χ. «Γιατί τοποθέτησες τα κομμάτια με αυτόν τον τρόπο;», κ.α.). ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ ΓΙΑ ΤΗ ΣΤ ΤΑΞΗ Ιστοσελίδες: http://www.edumedia-sciences.com/en/a570-nets-of-a-cube http://www.edumedia-sciences.com/en/a569-net-of-a-polyhedron Στόχοι: Οι μαθητές/τριες να εξασκηθούν: - στον σχεδιασμό των αναπτυγμάτων των στερεών σωμάτων, - στην κατασκευή στερεών σωμάτων από τα αναπτύγματά τους, - στην περιγραφή σχέσεων μεταξύ επίπεδων σχημάτων και στερεών σωμάτων (π.χ. τετραγώνου κύβου, κύκλου σφαίρας κ.α.) «Με τη βοήθεια της εφαρμογής βρείτε από πόσα και ποια επίπεδα σχήματα αποτελούνται τα αναπτύγματα ενός κύβου, ενός ορθογωνίου 51