פתרון תרגיל 8. מרחבים וקטורים פרישה, תלות \ אי-תלות לינארית, בסיס ומימד a d U c M ( יהי b (R) a b e ל (R M ( (אין צורך להוכיח). מצאו קבוצה פורשת ל. U בדקו ש - U מהווה תת מרחב ש a d U M (R) Sp,,, c a e : R [ ] בדקו האם קבוצת הפולינומים הבאה תלויה לינארית ב x... ( g ( t) t t + 9t + 5, g ( t) t t 8t +, g ( t) t + t +,β,α לא כולם אפס כך ש- נבדוק לפי ההגדרה כלומר נבדוק אם קיימים γ : α g() t + βg() t + γg() t α( t t + 9t+ 5) + β( t t 8t+ ) + γ ( t + t+ ) α + β t + α β γ t + 9α 8β + γ t+ 5α + β + γ ( ) ( ) ( ) ( ) α + β α β γ L 9α 8β + γ 9 8 5α + β + γ 5 למערכת הומוגנית הנ "ל קיים פתרון יחיד, הפתרון הטריוויאלי γ. α β מסקנה: קבוצת הפולינומים היא בלתי תלוייה לינארית. uuuuuu { v,v,v קבוצת וקטורים בלתי תלויה לינארית. ( תהי } u uu u uu u u uu א. האם הקבוצה S v + v v, v v, v + v בלתי תלויה ליניארית? { }, הוא בהכרח הצירוף הטריוויאלי: נבדוק אם S היא בלתי תלויה ליניארית. נעשה זאת ע"י כך שנבדוק אם צירוף לינארי שלה השווה ל- u uu u uu u u uu x( v+ v v) + y( v v) + z( v+ v) u uu u x+ z v + x+ y+ z v + x y v ( ) ( ) ( ) uu uuuu { v,v,v } קבוצת וקטורים בלתי תלויה לינארית, הצירוף הלינארי היחיד שלה ששווה מכיוון ש- הוא הצירוף הטריוויאלי ולכן נקבל כי:. x+ z x+ y+ z x y
S הוא פתרון כזה פתרו ומצאו שלמערכת הזאת יש פתרון לא טריוויאלי. למשל u uu u uu u u uu v) x( v+ v כלומר + y( v v) + z( v+ v) ולכן הוא גם פתרון למשוואה u uu u uu u u uu. v+ v v + v v + v+ v שנותן ולכן S תלויה ליניארית. ) ( ) ( ) ( מצאנו צירוף לינארי לא טריוויאלי של איברי S { v+v,v+v, u u uu uu uu uu uu בלתי תלויה לינארית?, v+v ב. האם הקבוצה { נבדוק אם S היא בלתי תלויה ליניארית. נעשה זאת ע"י כך שנבדוק אם צירוף לינארי שלה השווה ל-, הוא בהכרח הצירוף הטריוויאלי: u uu u,v {,v קבוצה בלתי תלויה ליניארית v} u uu uu u u u x( v+ v) + y( v + v) + z( v+ v) u uu u x+ z v + x+ y v + y+ z v ( ) ( ) ( ) x+ z x+ y y + z כי פתרו בשיטת גאוס ומצאו שלמערכת קיים פתרון יחיד, הפתרון הטריוויאלי. לכן S היא קבוצה בלתי תלויה ליניארית. פרישה, תלות \ אי תלות, בסיס ומימד? R? R האם היא בסיס של uu t v u t v u v u v uu, v u, v 7) נתונים הוקטורים u uu u. Sp{ v, v, v מצאו בסיס עבור } u uu u,v {,v בלתי תלויה ליניארית? האם היא פורשת את v האם } u uuu Sp ( v, v, v ) L L L L L L t נשתמש בשיטת גאוס כדי למצוא בסיס ל- u uuu u uuu. Sp ( v, v, v) קבוצת הוקטורים באגף ימין היא בסיס ל-. Sp ( v, v, v) Sp, לכן : הסבר: הקבוצה היא פורשת כי פעולות אלמנטריות (פעולות גאוס) על קבוצת וקטורים לא גורמות לשינויי המרחב הנפרש.
היא בת"ל כי אלכסון ללא אפסים. הוקטורים בקבוצה יכולים לשמש כחלק מהעמודות של מטריצה משולשית עם u uuu,v {,v תלויה ליניארית (קבוצה בגודל במרחב ממימד ). מכאן נובע ש- {v u S v, uu v, u פורשת מרחב ממימד ולכן איננה פורשת את R ובוודאי לא מהווה בסיס ל- v { }. R? R 8 u uu u v, v, v (8 נתונים הוקטורים 9 u uu u מצאו בסיס עבור Sp v, v, v. { } האם u uu u,v {,v בלתי תלויה ליניארית? האם היא פורשת את v? R האם היא בסיס של u uuu : Sp ( v, v, v ) נשתמש שיטת גאוס כדי למצוא בסיס ל- u v uu v 7 8 8 7 8 8 L L+ L L L L u L L+ 8L v 8 9 5 u uuu 7. Sp ( v, v, v) Sp,, לכן: 8 8 u uuu. Sp ( v, v, v קבוצת הוקטורים באגף ימין היא בסיס ל- ( הסבר: הקבוצה היא פורשת כי פעולות אלמנטריות (פעולות גאוס) על קבוצת וקטורים לא גורמות לשינויי המרחב הנפרש. היא בת"ל כי הוקטורים בקבוצה יכולים לשמש כחלק מהעמודות של מטריצה משולשית עם אלכסון ללא אפסים. { } מכאן נובע ש בילתי תלויה ליניארית (קבוצה בגודל הפורשת מרחב ממימד היא u uu u v v,, v} בסיס למרחב זה ובוודאי בלתי תלוייה לינארית).. u, uu v v, u v היא קבוצה בגודל ולכן בוודאי שאיננה פורשת את R ובוודאי לא מהווה בסיס ל- { }. R... ) נתונים הפולינומים p ( x) x + x, p ( x) x +, p ( x) x, p ( x) x 8, p 5 ( x) x ] [ ל ] X? R [ א.מי מהקבוצות הבאות היא בלתי תלויה ליניארית? פורשת את? R X בסיס ש S א. } p { p, 5
תלות ליניארית: צריך לבדוק אם קיים פתרון לא טריוויאלי למערכת λ + λ λ ( x + ) + λ x λ p + λ p5 λ למערכת הזאת יש פתרון יחיד λ λ ולכן S p, p היא קבוצה בלתי תלויה ליניארית { } 5 R X היא בעלת איברים לפחות. ל - ] X. R [ R X ובוודאי שאיננה בסיס פרישה: [ ] ] X dim R[ ולכן קבוצה פורשת של [ ] S { p, איננה פורשת את לכן {p5 ב. },, { S p p p תלות ליניארית: : צריך לבדוק אם קיים פתרון לא טריוויאלי למערכת λ + λ λ + λ λ ( x + x) + λ ( x + ) + λ ( x 8) λ p + λ p + λ p λ 8λ 8 L L L 8 L L + L למערכת הזאת יש אינסוף פתרונות ובפרט גם פתרון לא טריוויאלי (למעשה יש אינסוף פתרונות לא טריוויאלים...) ולכן } p S { p, p, היא קבוצה תלויה ליניארית {,, } S p p p תלויה לינארית, היא פורשת מרחב שמימדו הוא לכל היותר, לכן פרישה: מכיוון ש-.( dim R[ X ] (כי R [ X ] S פורשת את לא יתכן ש- ת ] X R [ ובוודאי שאיננה בסיס ל - ] X R [ כלומר, S לא פורשת א. ) בכל אחד מהסעיפים הבאים מצאו בסיס עבור המרחב הוקטורי : U t {(, a, a, a) R ai, ai R} i,u a Sp,, הוא: ai אוסף הפתרונות של המערכת (משוואה אחת, נעלמים) i a ושאר המשתנים הם חופשיים. אוסף הפתרונות (בדקו זאת בעצמכם--- יש במערכת משתנה קשור הוא כפי שרשמנו כאן). היא בסיס ל- U.,, הקבוצה א)
הסבר: קבוצה זו בלתי תלויה לינארית כי הוקטורים בקבוצה יכולים לשמש כחלק מהעמודות של. Sp,, מטריצה משולשית עם אלכסון ללא אפסים. לכן היא בסיס ל-.U {( a, a, a, a ) R a + a a, a + a a } t ב) Sp, הוא: ושאר המשתנים הם a + a a a + a a a, a אוסף הפתרונות של המערכת ( משוואות, נעלמים) (בדקו זאת בעצמכם--- המערכת כבר מדורגת. יש משתנים קשורים חופשיים. אוסף הפתרונות הוא כפי שרשמנו כאן). היא בסיס ל-. U, הקבוצה הסבר: קבוצה זו בלתי תלויה לינארית כי הוקטורים בקבוצה יכולים לשמש כחלק מהעמודות של. Sp, מטריצה משולשית עם אלכסון ללא אפסים. לכן היא בסיס ל- וקטור קואורדינאטות של וקטור נתון ביחס לבסיס סדור. R[x] א. הוכיחו שהקבוצה הסדורה } ) - (x S {, x -, (x - ), מהווה בסיס של (6 S היא בסיס, [ ] S R ומספר האיברים ב- S הוא גם כן. לכן כדי להראות ש- x, dim R [x] מספיק להראות שהיא בלתי תלויה לינארית. נפתח את הסוגריים x 8}.S{, x, x -x+, x -6x + נראה שהצירוף הלינארי היחיד של איברי הקבוצה שנותן הוא הצירוף הטריוויאלי: נניח ש - ) x 8 a +a( x ) +a( x -x+ ) +a( x -6x + a a +a -8a + a a + a x+ a 6 a x +a x אז ) ( ) ( ) (. a a a a ולכן a a +a-8a a a + a מכאן ש a 6a a
ביחס gx ( ) הקואורדינאטות של (וקטור [ gx)] ( S x), g( מצאו את 5x + 6x ב. יהי x לבסיס הסדור S). 5x+ 6x x α + β x + γ x -x+ + δ x -6x + x 8 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 5x + 6x x α - β +γ 8 δ + β -γ + δ x+ γ 6 δ x + δx α - β +γ 8δ α 8 β -γ δ 5 + β 7 ע"י השוואת מקדמים נמצא את המקדמים γ 6δ 6 γ δ δ 8 7 [ gx ( )] S. U מהווה בסיס ל-... x -x U x, y,z R (8 יהי z y S,, הוכיחו שהקבוצה הסדורה. U קבוצה פורשת של S לכן.U Sp( (S שימו לב כי.. נראה ש- S בלתי תלוייה לינארית ולכן היא בסיס ל- U. נראה שהצירוף הלינארי היחיד של איברי הקבוצה שנותן, הוא הצירוף הטריוויאלי: a + a + a נניח ש- a a אז ולכן a. a a a a S