ΗΛΙΑΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Δ. Κουζούδης Πανεπιστήμιο Πατρών

ΗΛΙΑΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Δ. Κουζούδης Πανεπιστήμιο Πατρών

Συντεταγμένες του τόπου (γεωγραφικό μήκος και πλάτος)

Π.χ. το Google Maps δίνει για το Παν. Πατρών 38.3, 21.8. Προσοχή, το πρώτο είναι το γεωγραφικό πλάτος για το οποίο θα χρησιμοποιήσουμε τη σύμβολο φ και το δεύτερο είναι το γεωγραφικό μήκος. για το οποίο θα χρησιμοποιήσουμε το σύμβολο λ. Έτσι για το Πανεπιστήμιο Πατρών φ = 38.3, λ = 21.8

Τροχιά της γης Απλοϊκά και ιδανικά σκεφτόμαστε την περιστροφή της γης γύρω από τον ήλιο και γύρω από τον εαυτό της σύμφωνα με το παρακάτω σχήμα (η γη έχει σχεδιασθεί μεγεθυμένη για λόγους ευκρίνειας): 3-ΔΙΑΣΤΑΤΗ ΟΨΗ Ήλιος Γη ΚΑΤΟΨΗ Ήλιος Γη Δηλαδή σε αυτή την απλουστευμένη εικόνα 1) Η ετήσια τροχιά της Γης είναι κύκλος 2) Ο Ήλιος βρίσκεται στο κέντρο της τροχιάς 3) Ο άξονας της 24-ωρης περιστροφής της Γης (Βορράς-Νότος) είναι κάθετος στο επίπεδο που περιέχει τον κύκλο

Στην πραγματικότητα όμως υπάρχουν τρεις διορθώσεις σε αυτήν την ιδεατή εικόνα 1) Η ετήσια τροχιά της Γης είναι έλλειψη 2) Ο άξονας της 24-ωρης περιστροφής της Γης (Βορράς-Νότος) ΔΕΝ είναι κάθετος στο επίπεδο που περιέχει την έλλειψη αλλά σχηματίζει ΣΤΑΘΕΡΗ γωνία 23.5 με την κάθετο σε αυτό. 3) Ο Ήλιος βρίσκεται στη μια εστία της έλλειψης (σχετικά κοντά στο κέντρο της) 3-ΔΙΑΣΤΑΤΗ ΟΨΗ 23.5 Ήλιος Γη

ΚΑΤΟΨΗ Ήλιος Γη Ας εξετάσουμε πρώτα την συνέπεια της διόρθωσης 2). Σε πλαϊνή όψη φαίνεται η θέση της γης στο περιήλιο (κοντινότερη θέση στον ήλιο) και στο αφήλιο (μακρύτερη θέση από τον ήλιο). Επειδή εμείς βρισκόμαστε στη γη, είναι πιο βολικό να σκεφτόμαστε με βάση ένα σύστημα συντεταγμένων εύκολο για εμάς. Έτσι στο επόμενο σχήμα, περιστρέφουμε την πλαϊνή όψη έτσι ώστε ο Βορράς να είναι πάνω και ο Νότος κάτω. Αυτό αυτομάτως κάνει το επίπεδο της ετήσιας περιστροφής να είναι κεκλιμένο ΠΛΑΪΝΗ ΟΨΗ Β Αφήλιο 4 Ιουλ Κάθετη στο επίπεδο της τροχιάς Περιήλιο 3 Ιαν 23.5 Ήλιος Γη Ν

ΠΛΑΪΝΗ ΟΨΗ περιστραμμένη κατά 23. 5 Β 23.5 Περιήλιο 3 Ιαν Κάθετη στο επίπεδο της τροχιάς Ν Γη Ήλιος Αφήλιο 4 Ιουλ Αυτό σημαίνει ότι σε σχέση με το επίπεδο του ισημερινού, οι ακτίνες του ήλιου στο περιήλιο (3 Ιανουαρίου) φαίνονται να προσπίπτουν από κάτω του (από τον Νότο) με γωνία 23.5 ενώ αντίθετα, στο αφήλιο (4 Ιουλίου) φαίνονται να προσπίπτουν από πάνω του (από τον Βορρά) με ίση γωνία +23.5

ΠΛΑΪΝΗ ΟΨΗ περιστραμένη κατά 23.5 Β 23.5 Περιήλιο ΙΣΗΜΕΡΙΝΟΣ 23.5 Γη Β Ήλιος Αφήλιο +23.5 ΙΣΗΜΕΡΙΝΟΣ Ν Και φυσικά αυτές είναι οι δυο ακραίες γωνίες στα δυο ακραία σημεία της έλλειψης, και περιμένουμε να υπάρχουν και ενδιάμεσες τιμές με την πιο χαρακτηριστική να είναι η τιμή 0 δηλαδή υπάρχουν μέρες του χρόνου, γνωστές ως ισημερίες (22 Σεπτεμβρίου και 20 Μαρτίου), κατά τις οποίες οι ακτίνες του ήλιου προσπίπτουν παράλληλα με το επίπεδο του ισημερινού (δηλαδή κάθετα στα εδάφη που βρίσκονται επάνω στον ισημερινό).

Στο παρακάτω σχήμα φαίνονται όλα τα παραπάνω σε τρισδιάστατη απεικόνιση Κάτοψη (Στην πραγματικότητα οι μέγιστες γωνίες ±23.5 επιτυγχάνονται λίγες ημέρες πριν τα περιήλια αφήλια, γνωστές ως ηλιοστάσια).

Απόκλιση του ήλιου Πρακτικά το μόνο που χρειάζεται να γνωρίζουμε είναι ότι η γωνιακή θέση του ήλιου μεταβάλλεται με τη διάρκεια του έτους σε σχέση με το επίπεδο του ισημερινού. Β +23.5 23.5 επίπεδο Ισημερινού Ν Αυτή η γωνία του ήλιου δ που παίρνει τιμές στο διάστημα ±23.5 ονομάζεται απόκλιση και είναι εύκολο να γράψουμε μια εξίσωση για αυτή αν δεχθούμε ότι ο ήλιος κάνει μια ταλαντωτική γωνιακή κίνηση στη διάρκεια ενός έτους. Για το σκοπό αυτό θα εισάγουμε μια μεταβλητή n η οποία θα αριθμεί τις ημέρες του έτους με το n = 1 να είναι η πρώτη, δηλαδή 1 η Ιανουαρίου και n = 365 η τελευταία 31 η Δεκεμβρίου (για μη δίσεκτο έτος). n = 1,2,3,365 Ημέρα του έτους Συναρτήσει αυτής της μεταβλητής, το δ μεταβάλλεται ημιτονοειδώς δ = 23.5sin (2π (n + 284) ) Απόκλιση 365 (προσοχή στους υπολογισμούς, ο αριθμός μέσα στην παρένθεση είναι σε ακτίνια ενώ το πλάτος και άρα και η δ είναι σε μοίρες, με την αντικατάσταση π 180 γίνονται όλα σε μοίρες). Η γραφική παράσταση της παραπάνω σχέσης φαίνεται στο επόμενο σχήμα.

Απόκλιση δ 20 10 10 50 100 150 200 250 300 350 Ημέρα του έτους n 20 Πως μπορούμε εμείς να παρατηρήσουμε την απόκλιση δ; Εμείς προφανώς δεν στεκόμαστε στο επίπεδο του ισημερινού, από όπου ορίζεται η δ, αλλά βρισκόμαστε κάθετα στην επιφάνεια της γης σε τυχαίο σημείο της. Έστω στο παρακάτω σχήμα η κατακόρυφος στο Πανεπιστήμιο Πατρών (κόκκινο βέλος) η οποία φυσικά σχηματίζει με το επίπεδο του Ισημερινού γωνία φ ίση με το γεωγραφικό πλάτος 38.3. Ένας στεκούμενος φοιτητής σε αυτή την τοποθεσία, παρατηρεί κατά την ηλιακή μεσημερία 12:00 που ο ήλιος είναι στο υψηλότερο σημείο, μια άλλη γωνία, την γωνία ζενίθ θ Ζ που είναι η γωνία που σχηματίζει ο ήλιος με την κατακόρυφο. Εύκολα προκύπτει από το σχήμα ότι θ Ζ0 = φ δ Γωνία ζενίθ στις 12:00 φ = 38.3 θ Ζ κατακόρυφος στο Π.Π. φοιτητής Β δ επίπεδο Ισημερινού Ν

Ο δείκτης 0 στην παραπάνω σχέση συμβολίζει την μεσημβρία 12:00. Βέβαια η γωνία ζενίθ ορίζεται για οποιαδήποτε ώρα της ημέρας όπως φαίνεται και στο παρακάτω σχήμα. Σχετική με τη γωνία ζενίθ θ Ζ είναι και η συμπληρωματική της γωνία α, γνωστή ως το ηλιακό ύψος, η οποία εκφράζει την γωνία των ακτινών του ήλιου σε σχέση με το έδαφος (τον ορίζοντα) α = π 2 θ Ζ Ηλιακό ύψος ακτινοβολία θ Ζ κατακόρυφος ορίζοντας α Συνδυάζοντας με τις παραπάνω σχέσεις έχουμε α 0 = π (φ δ) 2 ή α 0 = π 2 (n + 284) φ + 23.5sin (2π ) 365 Ηλιακό ύψος στις 12:00 κατά την ημέρα n του έτους όπου και πάλι ο δείκτης 0 σημαίνει ότι η παραπάνω σχέση ισχύει μόνο όταν ο ήλιος βρίσκεται στο υψηλότερο σημείο, δηλαδή στις 12:00. Βέβαια στην διάρκεια μιας ημέρας, ο ήλιος δεν αλλάζει θέση, αλλά είναι η γη είναι αυτή που περιστρέφεται γύρω από τον εαυτό της. Έτσι όλες οι παραπάνω εξισώσεις ισχύουν μόνο για τον μεσημβρινό που τυγχάνει να βρίσκεται στο ίδιο επίπεδο με τον ήλιο, (δείτε το παρακάτω σχήμα) δηλαδή για τον μεσημβρινό που είναι ο εγγύτερος στον ήλιο με τοπική ώρα 12:00 την συγκεκριμένη στιγμή. Π.χ. για τους επόμενους δυο μεσημβρινούς που η τοπική ώρα είναι 13:00 και 14:00 ο ήλιος φαίνεται χαμηλότερα επειδή αυτοί οι μεσημβρινοί απομακρύνονται από τον ήλιο. Και πάλι ορίζουμε την γωνία α, ως ηλιακό ύψος, η οποία εκφράζει την γωνία των ακτινών του ήλιου με το

12:00 14:00 13:00 έδαφος (τον ορίζοντα) αλλά αυτή η γωνία είναι μικρότερη από ότι για τον μεσημβρινό με ώρα 12:00. Υπάρχει και πάλι μια εξίσωση για αυτή τη γωνία αλλά πρέπει πρώτα να ορίσουμε μια νέα μεταβλητή, την ωριαία γωνία. Ωριαία γωνία Αυτή η γωνία απλά περιγράφει την ημερήσια περιστροφή της γης σε μοίρες. Δηλαδή αυτή η γωνία ισούται με 0 όταν η τοπική ώρα είναι 12:00 ενώ αντιθέτως ισούται με 180 για τα σημεία που έχουν ώρα 24:00 δηλαδή αυτά που είναι κρυμμένα από την πίσω μεριά της γης, αντιδιαμετρικά από τον μεσημβρινό με ώρα 12:00. Εάν t = 0 έως 23 είναι ο τοπικός χρόνος σε ένα τόπο (σε ακέραιες ώρες), τότε εύκολα βλέπουμε ότι η γωνία ω είναι ίση με ω = 15(t 12) Ωριαία γωνία κατά την ώρα t της ημέρας Αυτή η μεταβλητή αλλάζει συνεχώς με τον χρόνο σε κάποιο τόπο. Π.χ., επαληθεύσετε ότι στις 12:00 έχουμε ω = 0 ενώ στις 24:00 ω = 180. Επίσης κατά τις προ-μεσημβρίας ώρες ω < 0 ενώ για τις μετά μεσημβρίας ω > 0 (στην ουσία τα όρια της γωνίας είναι ±180 ). Κατακόρυφος στο Παν. Πατρών a επίπεδο Μεσημβρινού 12:00 επίπεδο Ισημερινού δ φ PM Με την βοήθεια της ωριαίας γωνίας ω, το ηλιακό ύψος α για οποιαδήποτε ώρα t = 0 23 της ημέρας, δίνεται από τον τύπο sinα = cosθ z = sinδsinφ + cosδcosφcosω Ηλιακό ύψος

όπου θυμίζουμε ότι δ είναι η απόκλιση του ήλιου και φ το γεωγραφικό πλάτος του τόπου. Επαληθεύστε ότι κατά την μεσημβρία όπου t = 12 και ω = 0, το ηλιακό ύψος συμπίπτει με τον προηγούμενο ορισμό αφού τότε sinα 0 = sinδsinφ + cosδcosφcos0 sinα 0 = sinδsinφ + cosδcosφ sinα 0 = cos(δ φ) Αφού το ημίτονο μιας γωνίας είναι ίσο με το συνημίτονο της συμπληρωματικής της γωνίας, τότε το παραπάνω αποτέλεσμα σημαίνει ότι α 0 = π/2 δ + φ Μπορούμε επίσης εύκολα να βρούμε την ώρα ω δ που δύει ο ήλιος θέτοντας το ηλιακό ύψος ίσο με μηδέν: Λύνοντας ή sinα = sin0 = 0 => sinδsinφ + cosδcosφcosω δ = 0 cosω δ = sinδsinφ cosδcosφ cosω δ = tanδtanφ Ωριαία γωνία δύσης H ώρα ω α που ανατέλλει ο ήλιος είναι συμμετρική με την ώρα που δύει, δηλαδή ω α = ω δ. ω α = ω δ Ωριαία γωνία ανατολής Παράδειγμα: Να υπολογισθεί το ηλιακό ύψος στην Πανεπιστημιούπολη Πατρών κατά την 22 Μαΐου 2018 κατά την μεσημβρία. Λύση: Η ημέρα του έτους είναι n = 31 + 28 + 31 + 30 + 22 = 142 (ημέρες Ιανουαρίου + Φεβρουαρίου + Μαρτίου + Απριλίου + Μαΐου). Η απόκλιση ισούται με

(n + 284) δ = 23.5sin (2π ) = 20.4 365 Για την Πανεπιστημιούπολη Πατρών φ = 38.3. Η γωνία ζενίθ είναι ίση με και η συμπληρωματική της θ z = φ δ = 38.3 20.4 = 17.9 α = 90 θ z = 72.1 Παράδειγμα: Για την Πανεπιστημιούπολη Πατρών, βρείτε την ωριαία γωνία δύσης αλλά και την ώρα δύσης στη μέση του κάθε μήνα. Λύση: Για την Πανεπιστημιούπολη Πατρών φ = 38.3. Θεωρώντας την 15 η του μήνα ως την μεσαία ημέρα εκτός από τον Φεβρουάριο που είναι η 14 η, μπορούμε να συμπληρώστε τον παρακάτω πίνακα για την ωριαία γωνία δύσης από την cosω δ = tanδtanφ και τον χρόνο από την t = 12 + ω/15 : Μήνας Μεσαία ημέρα n δ ω δ t(0 24 h) Ιανουάριος 15-21 72 17 Φεβρουάριος 45-14 79 17 Μάρτιος 74-3 88 18 Απρίλιος 105 9 98 19 Μάιος 135 19 106 19 Ιούνιος 166 23 110 19 Ιούλιος 196 22 108 19 Αύγουστος 227 14 101 19 Σεπτέμβριος 258 2 92 18 Οκτώβριος 288-10 82 17 Νοέμβριος 319-19 74 17 Δεκέμβριος 349-23 70 17 Αζιμούθιος γωνία Η τελευταία γωνία με την οποία θα μάθουμε είναι η αζιμούθιος γωνία η οποία έχει να κάνει με την σκίαση του ηλίου. Θεωρήστε το παρακάτω σχήμα όπου μπήγουμε στο έδαφος κάπου στην Πανεπιστημιούπολη Πατρών έναν πάσσαλο Ρ σχήματος βέλους την ώρα που η ώρα είναι 12:00. Τότε επειδή ο ήλιος βρίσκεται στο επίπεδο αυτού του μεσημβρινού, η αντίστοιχη σκιά Ρ θα εφάπτεται στον μεσημβρινό και θα έχει κατεύθυνση προς το βορρά τον χειμώνα ή προς τον νότο το καλοκαίρι. Θεωρήστε τώρα ένα παρόμοιο πάσσαλο σε έναν άλλο μεσημβρινό με μεγαλύτερο γεωγραφικό μήκος (αλλά ίδιο πλάτος), όπως ο Σ στο σχήμα, τότε η σκιά αυτού, η Σ, δεν βρίσκεται ευθυγραμμισμένη με αυτόν τον μεσημβρινό αλλά έχει στρίψει ελαφριά προς τον επόμενο μεσημβρινό. Η αζιμούθιος γωνία γ εκφράζει αυτήν την απόκλιση από τον άξονα Βορρά Νότου.

Επίπεδο Μεσημβρινού 12:00 Κατακόρυφος στο Παν. Πατρών Ρ Β Ρ Σ Σ Ν Όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα, η αζιμούθιος γωνία γ ορίζεται ως η γωνία που σχηματίζει στο οριζόντιο έδαφος η προβολή Οα της ακτινοβολίας του ήλιου Οα με την κατεύθυνση του Νότου. Πρακτικά η αζιμούθιος γωνία μπορεί να μετρηθεί με την βοήθεια της παραπληρωματικής της γωνίας γ σ που σχηματίζει η σκιά ΟΚ του πασάλλου ΟΚ σε σχέση με την κατεύθυνση του Νότου. Εξ ορισμού η γ παίρνει την τιμή 0 όταν η σκιά δείχνει προς τον νότο, ενώ παίρνει θετικές τιμές από τον Νότο προς την Δύση και αρνητικές προς την Ανατολή. Π.χ. στο εν λόγω σχήμα η γ όπως είναι σχεδιασμένη είναι θετική αφού η προβολή Οα δείχνει προς τη Δύση. α Ακτίνες ήλιου Κ Βορράς α Κ Δύση Ανατολή Προβολή α γ Ο γ σ Νότος

Όπως και με τις άλλες γωνίες, έτσι και για την γ υπάρχει μαθηματική έκφραση η οποία είναι η εξής: sinγ = cosδsinω cosα Αζιμούθιος γωνία Παράδειγμα: Περιγράψτε το σκιά που θα σχηματισθεί από κτίριο ύψους 6 m υποθέτοντας πλήρη ηλιοφάνεια κατά την 25 η Σεπτεμβρίου ενός έτους στις 3 μ.μ. στην περιοχή του Πανεπιστημίου Πατρών. Λύση: Ξεκινάμε από τις χρονικές συντεταγμένες, η 25 η Σεπτεμβρίου είναι η 268 η ημέρα για μη δίσεκτο έτος αφού αθροίζοντας τις ημέρες των μηνών πριν τον Σεπτέμβριο οδηγεί στο αποτέλεσμα: n = 5 31 + 28 + 2 30 + 25 = 268 Επίσης, αφού η ώρα είναι t = 15, τότε η ωριαία ώρα είναι ίση με ω = 15(t 12) = 45 Από το n = 268 βρίσκουμε για την απόκλιση του ήλιου δ = 23.5sin (2π (268 + 284) ) = 1.82 365 Βλέπουμε ότι η γωνία αυτή είναι αρνητική που σημαίνει ότι ο ήλιος φωτίζει περισότερο το νότιο ημισφαίριο σε αυτή την εποχή του χρόνου. Όπως προαναφέρθηκε, για το Πανεπιστήμιο Πατρών φ = 38.3 και έτσι το ηλιακό ύψος κατά την συγκεκριμένη ώρα ισούται με ενώ η αζιμούθια γωνία ισούται με α = sin 1 (sinδsinφ + cosδcosφcosω) = 32.3 γ = sin 1 ( cosδsinω cosα ) = 56.8 Εφόσον 0 < γ < 90, η προβολή του ήλιου Οα είναι προς ΝΔ ενώ η σκιά ΟΚ, η οποία είναι αντίθετη από την προβολή, είναι προς ΒΑ με γωνία 56.8 ως προς το Βορρά ή γ σ = 180 56.8 = 123.2 ως προς το Νότο.

α Ακτίνες ήλιου Κ Βορράς 32.3 Κ Δύση Ανατολή Προβολή α 56.8 Ο γ σ Νότος Θέτοντας το μήκος ΟΑ ίσο με το ύψος του κτιρίου h = 6 m, τότε το μήκος της σκιάς ΟΑ είναι ίση με h = tan(32.34 ) h Η σκιά αποκλίνει από τον Βορρά κατά 180 123.2 = 56.8 = 0.105 Παράδειγμα: Να βρεθεί η γωνία πρόσπτωσης της ηλιακής ακτινοβολίας στις 13:06 στο Ηράκλειο Κρήτης και στις 17 Αυγούστου για δύο επιφάνειες με γωνία κλίσης ως προς το οριζόντιο επίπεδο 45 και 90 και προσανατολισμό εναλλακτικά ανατολικό, νότιο και δυτικό. Λύση: Για το Ηράκλειο Κρήτης φ = 35.3. Η 17 Αυγούστου είναι η 229 η ημέρα του έτους αφού n = 4 31 + 28 + 2 30 + 17 = 229 Ο χρόνος ισούται με t = 13.1 h σε δεκαδική μορφή και άρα η ωριαία ώρα είναι ίση με Έτσι η απόκλιση του ήλιου ισούται με ω = 15(13.1 12) = 16.5 δ = 23.5sin (2π (229 + 284) ) = 13.15 365 Βλέπουμε ότι η γωνία αυτή είναι θετική που σημαίνει ότι ο ήλιος φωτίζει περισότερο το βόρειο ημισφαίριο σε αυτή την εποχή του χρόνου. Το ηλιακό ύψος κατά την συγκεκριμένη ώρα ισούται με ενώ η αζιμούθια γωνία ισούται με α = sin 1 (sinδsinφ + cosδcosφcosω) = 63.3

γ = sin 1 ( cosδsinω cosα ) = 38.0