ΚΥΚΛΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ. ΛΥΣΗ (α) Το οδόστρωμα στη στροφή είναι οριζόντιο: N. Οι δυνάμεις που ασκούνται πάνω στο αυτοκίνητο είναι:

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΚΥΚΛΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ. ΛΥΣΗ (α) Το οδόστρωμα στη στροφή είναι οριζόντιο: N. Οι δυνάμεις που ασκούνται πάνω στο αυτοκίνητο είναι:"

Άρκτοφόνος Τοκατλίδης
7 χρόνια πριν
Προβολές:

1 ΚΥΚΛΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ ΑΣΚΗΣΗ 1 Μια οριζόντια στροφή μιας ενικής οδού έχει ακτίνα = 95 m. Ένα αυτοκίνητο παίρνει τη στροφή αυτή με ταχύτητα υ = 26, m/s. (α) Πόση πρέπει να είναι η τιμή του συντελεστή μ s της στατικής τριβής ολίσησης ώστε το αυτοκίνητο να μην ολισήσει προς τα έξω; (β) Πόση πρέπει να είναι η κλίση του οδοστρώματος ώστε το αυτοκίνητο να μη φύγει από την πορεία του ακόμα και στην περίπτωση που ο δρόμος είναι τελείως ολισηρός; (π.χ. υπάρχουν λάδια στο οδόστρωμα). (α) Το οδόστρωμα στη στροφή είναι οριζόντιο: Οι δυνάμεις που ασκούνται πάνω στο αυτοκίνητο είναι: υ f s Το βάρος του αυτοκινήτου: Η κάετη δύναμη επαφής Ν που ασκεί το οδόστρωμα πάνω στο αυτοκίνητο. Επειδή το οδόστρωμα είναι οριζόντιο, η δύναμη Ν είναι κατακόρυφη με κατεύυνση προς τα πάνω (αντίετη του βάρους του αυτοκινήτου). Και επειδή στην κατακόρυφη διεύυνση πρέπει ΣF y =, παίρνουμε: Ν + F G = mg = = mg (1) Η στατική τριβή ολίσησης f s είναι η δύναμη που συγκρατεί το αυτοκίνητος πάνω στο οδόστρωμα. H f s ως η μόνη δύναμη που είναι παράλληλη με το οδόστρωμα πρέπει να έχει κατεύυνση προς το κέντρο της κυκλικής τροχιάς και να λειτουργεί ως κεντρομόλος δύναμη F r : f s = F r = mυ2 (2) Για την ταχύτητα του αυτοκινήτου υ = 26, m/s η μέγιστη στατική τριβή ολίσησης f s,max, για να μην ολισήσει το αυτοκίνητο δίνεται από τη σχέση: f s,max = μ s f s,max = μ s mg (3) Από τις Εξισώσεις 2 και 3 παίρνουμε: μ s mg = mυ2 μ s = υ2 g = (26, m/s) 2 (9,8 m/s 2 )(95 m) μ s =,73 (β) Το οδόστρωμα στη στροφή έχει κλίση σε σχέση με το οριζόντιο επίπεδο: Στην περίπτωση αυτή, οι δυνάμεις που ασκούνται πάνω στο αυτοκίνητο είναι: Το βάρος του αυτοκινήτου:. Η κάετη δύναμη επαφής Ν που ασκεί το οδόστρωμα πάνω στο αυτοκίνητο. Επειδή το οδόστρωμα δεν είναι οριζόντιο, σχηματίζει γωνία με το οριζόντιο επίπεδο, η δύναμη

2 Ν δεν είναι κατακόρυφη αλλά σχηματίζει γωνία με αυτήν. Η γωνία είναι το ζητούμενο στο συγκεκριμένο πρόβλημα. Επειδή το οδόστρωμα είναι ολισηρό, η στατική τριβή ολίσησης είναι μηδέν. z =cos υ mg υ2 sin = m cos tan =,73 = 36 ο F r = Νsin sin cos = υ2 g Αναλύουμε την κάετη δύναμη Ν στην κατακόρυφη συνιστώσα Ν z = Ν cos και στην οριζόντια ακτινική συνιστώσα Ν r = F r = sin. Συνήκη ισορροπίας στο κατακόρυφο άξονα: ΣF y = cos mg = cos = mg ή = mg (4) cos Η οριζόντια ακτινική συνιστώσα της δύναμης Ν λειτουργεί ως κεντρομόλος δύναμη: r = sin = F r = m υ2 (5) Αντικαιστούμε τη δύναμη Ν που υπάρχει στην Εξίσωση 5 με το αποτέλεσμα της Εξίσωσης 4 για να πάρουμε: tan = υ2 g = (26, m/s) 2 (9,8 m/s 2 (95 m) ΑΣΚΗΣΗ 2 Η ακτίνα ενός κατακόρυφου τροχού (μύλου) σε ένα Λούνα Παρκ είναι = 15, m. (α) Αν ο τροχός εκτελεί μια πλήρη περιστροφή σε χρονικό διάστημα Δτ = 12, s, να υπολογίσετε το φαινόμενο βάρος ενός επιβάτη που έχει μάζα m = 85, kg στο ανώτατο και στο κατώτατο σημείο της διαδρομής του τροχού. (β) Πόσο πρέπει να είναι το χρονικό διάστημα μιας πλήρους περιστροφής του τροχού ώστε το φαινόμενο βάρος του επιβάτη στο ανώτατο σημείο της διαδρομής του τροχού να είναι ίσο με μηδέν; Στην ειδική αυτή περίπτωση, πόσο α είναι το φαινόμενο βάρος του επιβάτη στο κατώτατο σημείο της διαδρομής του τροχού; Σε κάε περίπτωση, εωρούμε τον y-άξονα να είναι κατακόρυφος με ετική φορά προς τα πάνω. (α) Στο ανώτατο και στο κατώτατο σημείο του μύλου οι δυνάμεις που ασκούνται πάνω τον επιβάτη είναι: Το βάρος του, το οποίο έχει φορά προς τα κάτω:. Η κάετη δύναμη επαφής Ν την οποία ασκεί το κάισμα πάνω στον επιβάτη. Αν ο επιβάτης καότανε πάνω σε ζυγό, τότε ο ζυγός αυτός α μετρούσε τη δύναμη Ν. Και στις δυο περιπτώσεις (επάνω και κάτω σημείο τροχού), η συνισταμένη των δυνάμεων

3 F G και Ν α είναι ίση με την κεντρομόλο δύναμη F r που ασκείται πάνω στον επιβάτη καώς ο μύλος περιστρέφεται: Ν + F G = F r (1) όπου F r = mω 2 = m 4π2 (2) Τ2 Στην Εξίσωση 2 οι ποσότητες ω και T είναι η γωνιακή ταχύτητα και η περίοδος περιστροφής του μύλου, αντίστοιχα. Από το Σχήμα της άσκησης προκύπτει ότι στο ανώτατο σημείου του μύλου η κεντρομόλος δύναμη F r έχει φορά προς τα κάτω, δηλαδή είναι αρνητική, ενώ στο κατώτατο σημείο του μύλου η φορά της κεντρομόλου δύναμης είναι προς τα πάνω, δηλαδή είναι ετική. Με βάση αυτές τις παρατηρήσεις έχουμε: F G F r F r ω Στο ανώτατο σημείο του μύλου: Στη έση αυτή η Εξίσωση 1 γράφεται: F G = F r = F G F r = mg m 4π2 T 2 = m (g 4π2 ) (3) T2 = (85, kg) ((9,8 m s 4(3,14)2 (15, m)) Ν = 484 (12, s) 2 Στο κατώτατο σημείο του μύλου: Στη έση αυτή η Εξίσωση 1 γράφεται: F G = F r = F G + F r = mg + m 4π2 T 2 = m (g + 4π2 ) (4) T2 = (85, kg) ((9,8 m s + 4(3,14)2 (15, m)) = 118 (12, s) 2 Το πραγματικό βάρος του επιβάτη είναι F G = mg =(85, kg)(9,8 m/s 2 ) = 833 (β) Από την Εξίσωση 3 προκύπτει ότι όσο μικραίνει η περίοδος (δηλαδή, όσο μεγαλώνει η γωνιακή ταχύτητα) του μύλου τόσο μικραίνει το φαινομενικό βάρος Ν του επιβάτη του μύλου. Κατά συνέπεια, α υπάρχει μια κρίσιμη περίοδος T c για την οποία το φαινομενικό βάρος του επιβάτη του μύλου α είναι ίσο με μηδέν (Ν = ). Στην περίπτωση αυτή, η Εξίσωση 3 γίνεται: = m (g 4π2 T2 ) 4π 2 c T2 = g T c 2 = 4π2 c g T c = 2π g

4 T c = 2π 15, m 9,8 m/s 2 T c = 7,77 s Όταν ο μύλος περιστρέφεται με περίοδο T c = 7,77 s, τότε σύμφωνα με την Εξίσωση 4, το φαινομενικό βάρος του επιβάτη α είναι: c = m (g + 4π2 T2 ) = (85, kg) ((9,8 m 4(3,14)2 c s2) + (15, m)) (7,77 s) 2 c = 167 ΑΣΚΗΣΗ 3 Ένα σώμα κινείται σε περιφέρεια κύκλου ακτίνας r = 3, m υπό την επίδραση της δύναμης F = (2x y)i + (x + y)j. Ο κύκλος βρίσκεται πάνω στο xy-επίπεδο και το κέντρο του κύκλου είναι στην αρχή του συστήματος συντεταγμένων. Να υπολογίσετε το έργο που παράγει η συγκεκριμένη δύναμης όταν το σώμα διανύσει την περιφέρεια του κύκλου. Η δύναμη F δεν είναι σταερή. Τόσο τη μέτρο της όσο και η κατεύυνσή της αλλάζουν από σημείο σε σημείο πάνω στην περιφέρεια του κύκλου. Σε μια στοιχειώδη μετατόπιση dr πάνω στην περιφέρεια του κύκλου, η δύναμη F παράγει στοιχειώδες έργο: dw = F dr y F y dr r x x dw = [(2x y)i + (x + y)j ] (dxi + dyj ) dw = (2x y)dx + (x + y)dy (1) Για να υπολογίσουμε το έργο που παράγει ή καταναλίσκει η δύναμη F α πρέπει να ολοκληρώσουμε την Εξίσωση 1 κατά μήκος όλης της περιφέρειας της κυκλικής τροχιάς. Όμως, η εξίσωση αυτή έχει δυο μεταβλητές. Την x και την y μεταβλητή. Για να γίνει η ολοκλήρωση α πρέπει να πρώτα να μετατρέψουμε την Εξίσωση 1 σε εξίσωση μιας μεταβλητής. Στην προκειμένη περίπτωση μπορούμε να γράψουμε τις μεταβλητές x και y συναρτήσει τη γωνίας που σχηματίζει το διάνυσμα έσης του σώματος (δηλαδή η ακτίνα r της κυκλικής τροχιάς) με τον άξονα x. Συγκεκριμένα, από το Σχήμα της άσκησης προκύπτει ότι: x = rcos και dx = rsin d y = rsin και dy = rcos d Οπότε η Εξίσωση 1 γίνεται: dw = (2rcos rsin)( rsin)d + (rcos + rsin)rcos d dw = 2r 2 cossin d + r 2 sin 2 d + r 2 cos 2 d + r 2 sincos d dw = r 2 cossin d + r 2 d dw = r 2 cos d(cos) + r 2 d (2)

5 Για να υπολογίσουμε το ζητούμενο έργο ολοκληρώνουμε την Εξίσωση 2 από τη γωνία 1 = rad έως τη γωνία 2 = 2π rad: W = [r 2 cos d(cos) + r 2 d] = r 2 cos d(cos) + r 2 d W = r 2 cos d(cos) + r 2 d = r cos2 2π + r 2 2π W = r (cos2 2π cos 2 ) + r 2 (2π ) = + (3, m) 2 6,28 W = 56,5 J

Σχετικά έγγραφα

Μια μεταβαλλόμενη κυκλική κίνηση. Φ.Ε.

Μια μεταβαλλόμενη κυκλική κίνηση. Φ.Ε. ) Ένα σώμα ηρεμεί σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Σε μια στιγμή ασκείται πάνω του μια οριζόντια σταερή δύναμη F, όπως στο σχήμα. i) Σε ποια διεύυνση α κινηεί το σώμα;