ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΦΑΣΜΑΤΟΣΚΟΠΙΑΣ ΦΩΤΟΗΛΕΚΤΡΟΝΙΩΝ ΥΠΕΡΙΩΔΟΥΣ

ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΦΑΣΜΑΤΟΣΚΟΠΙΑΣ ΦΩΤΟΗΛΕΚΤΡΟΝΙΩΝ ΥΠΕΡΙΩΔΟΥΣ A. Η εξίσωση του φωτοηλεκτρικού φαινομένου πειραματικά Μέχρι τώρα κοιτάξαμε τα πειραματικά δεδομένα του φωτοηλεκτρικού φαινομένου θεωρώντας την εξίσωση του φωτοηλεκτρικού φαινομένου σαν δεδομένη. Στην ενότητα αυτή θα δούμε πως μπορεί να προκύψει η εξίσωση αυτή μέσω της εκτέλεσης του πειράματος. Η γραφική παράσταση του Σχήματος που ακολουθεί απεικονίζει την μέγιστη κινητική ενέργεια των εξερχομένων ηλεκτρονίων (στον κατακόρυφο άξονα) συναρτήσει της συχνότητας του φωτός που προσπίπτει στο φωτοευαίσθητο μέταλλο για δύο υλικά: το Κάλιο και το Νάτριο. Η γραφική παράσταση είναι μια ευθεία γραμμή πράγμα που δείχνει ότι η μέγιστη κινητική ενέργεια των εξερχομένων ηλεκτρονίων μεταβάλλεται γραμμικά με τη συχνότητα του φωτός. Η κλίση είναι η ίδια και για τα δύο μέταλλα. Για κάθε μέταλλο υπάρχει μια συχνότητα αποκοπής (cutoff frequency) κάτω από την οποία δεν εξάγονται ηλεκτρόνια από το μέταλλο. Οι συχνότητες αυτές έχουν σημειωθεί σαν f 0,K και f 0,Νa. Επιπλέον, από το σημείο τομής της προέκτασης της ευθείας με τον κατακόρυφο άξονα προσδιορίζουμε το έργο εξαγωγής του φωτοευαίσθητου μετάλλου. H γραφική παράσταση της μέγιστης κινητικής ενέργειας των ηλεκτρονίων ως προς τη συχνότητα των φωτονίων είναι μια ευθεία. Τπ σημείο τομής της με τον κατακόρυφο άξονα είναι ίσο κατ απόλυτη τιμή με το έργο εξαγωγής. Η τομή της με τον οριζόντιο άξονα δίνει την ελάχιστη συχνότητα για να συφμαίνει εξαγωγή φωτοηλεκτρονίων. Η κλίση της ευθείας είναι ανεξάρτητη του δείγματος και είναι ίση με την σταθερά του Planck. Τα συμπεράσματα που προκύπτουν από το γράφημα είναι: Kmax f, Η κλίση των γ. παραστάσεων είναι ίδια και για τα δύο μέταλλα έστω. Εφόσον η κλίση είναι ίδια ανεξάρτητη του δείγματος θα πρέπει να είναι ένας συνδυασμός φυσικών σταθερών. Τέλος, εφόσον η γ. παράσταση τέμνει τον κατακόρυφο άξονα στο σημείο 0. η εξίσωση θα είναι K max 0 a f. Μετρώντας την τιμή της κλίσης a προκύπτει ότι δεν είναι άλλη από την σταθερά του Planck, οπότε η γραφική εξίσωση της ευθείας παίρνει τη γνωστή μορφή της εξίσωσης του Einstein για το φωτοηλεκτρικό φαινόμενο. K max 0 h f ή h f Kmax 0 Μετρήσεις. Τα μεγέθη που γνωρίζουμε ή μπορούμε να μετρήσουμε στη διάρκεια εκτέλεσης του πειράματος είναι: Το μήκος κύματος και η ένταση του φωτός. Η μέγιστη κινητική ενέργεια των εξερχομένων ηλεκτρονίων και την ένταση του φωτορεύματος. Επιλέξτε το Νάτριο. Επιλέξτε μήκος κύματος 200nm. Ρυθμίστε την ένταση στο μέγιστο. Εφαρμόστε ανάστροφη τάση ανάμεσα στο φωτοευαίσθητο υλικό και τον συλλέκτη μέχρις ότου να a 1

μηδενιστεί το ρεύμα. Από την μέτρηση αυτή προσδιορίστε τη μέγιστη κινητική ενέργεια των εξερχομένων ηλεκτρονίων. Επαναλάβετε για τις υπόλοιπες τιμές του πίνακα. Νάτριο λ (nm) V stop (Volts) Κ max (ev) λ -1 (nm -1 ) 200-4 4 5,00x10 6 240-3 3 4,17 x10 6 280-2,2 2,2 3,57 x10 6 320-1,6 1,6 3,13 x10 6 400-0,8 0,8 2,5 x10 6 Απεικονίστε γραφικά τα αποτελέσματα. Στον κατακόρυφο άξονα βάλτε την μέγιστη κινητική ενέργεια και στον οριζόντιο το 1. Οι μονάδες στον οριζόντιο άξονα θα είναι προφανώς 1 1 nm. Γιατί διαλέξαμε να απεικονίσουμε την K max συναρτήσει του ; Γιατί η γραφική παράσταση βγαίνει ευθεία πράγμα που σημαίνει ότι τα ποσά είναι ανάλογα. Στη συνέχεια θα δούμε πως από την γραφική παράσταση μπορεί κανείς να φτάσει στην εξίσωση του φωτοηλεκτρικού φαινομένου. K max (ev) 4 3 Na 2 1 0 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0-1 λ -1 (x10 6 nm -1 ) -2-3 -4 γραφικά να είναι 2,4eV περίπου Από την γραφική παράσταση βλέπουμε ότι η ευθεία τέμνει: τον οριζόντιο άξονα στο 1,8x10 6 nm -1 τον κατακόρυφο άξονα στο -2,4eV Το σημείο τομής της γραφικής παράστασης με τον κατακόρυφο άξονα δίνει την τιμή του έργου εξαγωγής (κατά απόλυτη τιμή). Στην περίπτωση του παραδείγματος (Νa) το έργο εξαγωγής προκύπτει 1. Επαναλάβετε για 2 ακόμα μέταλλα. Για κάθε μέταλλο διαλέξτε 5 τιμές μήκους κύματος φωτονίων (με την προϋπόθεση ότι εξάγονται ηλεκτρόνια) 2. Σχεδιάστε τις γραφικές παραστάσεις στο ίδιο διάγραμμα. 3. Βρείτε την κοινή κλίση των ευθειών. 4. Βρείτε γραφικά το έργο εξαγωγής για κάθε μέταλλο. 5. Ποιες φυσικές σταθερές πρέπει να συνδυάσετε και με ποιο τρόπο για να βρείτε ένα αποτέλεσμα ίσο με την κλίση των ευθειών; 6. Βρείτε την εξίσωση κάθε ευθείας που σχεδιάσατε. 2

B. Μετρήσεις Φασματοσκοπίας Φωτοηλεκτρονίων Υπεριώδους Β.1 Σε ποιο φαινόμενο βασίζεται η Φασματοσκοπία Φωτοηλεκτρονίων Υπεριώδους; Η εξίσωση του Einstein για το φωτοηλεκτρικό φαινόμενο αναφέρεται στα ηλεκτρόνια που βρίσκονται στη στάθμη Fermi. Τα ηλεκτρόνια αυτά όταν απορροφούν την ενέργεια ενός φωτονίου εξέρχονται από το μέταλλο με την μέγιστη κινητική ενέργεια σε σύγκριση με άλλα ηλεκτρόνια που βρίσκονται πιο χαμηλά στην κλίμακα της ενέργειας των ηλεκτρονίων. Ενέργεια σύνδεσης (Ε Σ) ονομάζεται η ενέργεια που χρειάζεται ένα ηλεκτρόνιο για να φθάσει από την ενεργειακή κατάσταση που βρίσκεται στη στάθμη Fermi (Σχήμα 1). Εισάγοντας την ενέργεια σύνδεσης στην εξίσωση του φωτοηλεκτρικού φαινομένου, αποκτά κανείς μία έκφραση για την κινητική ενέργεια όλων των ηλεκτρονίων που εξάγονται από το μέταλλο h f E K Σχήμα 1: Το φωτόνιο μπορεί να απορροφηθεί από οποιοδήποτε ηλεκτρόνιο του μετάλλου. Η ενέργεια που χρειάζεται ένα ηλεκτρόνιο για να φτάσει από την ενεργειακή στάθμη που βρίσκεται στη στάθμη Fermi, ονομάζεται ενέργεια σύνδεσης Ε Σ. H ενέργεια που χρειάζεται ένα ηλεκτρόνιο για να φτάσει από την στάθμη Fermi στη στάθμη κενού ονομάζεται έργο εξαγωγής. Η φασματοσκοπία φωτοηλεκτρονίων υπεριώδους (ΦΦΥ) είναι μία εφαρμογή του φωτοηλεκτρικού φαινομένου. Το μέταλλο που μελετάμε τοποθετείται σε υψηλό κενό και φωτίζεται με φως συγκεκριμένης ενέργειας. Ο αναλυτής ηλεκτρονίων καταγράφει πόσα ηλεκτρόνια εξάγονται για κάθε τιμή της κινητικής ενέργειας των ηλεκτρονίων. Το διλαγραμμα Πλήθος ηλεκτρονίων (άξονας ψ) ως προς την Κινητική ενέργεια (άξονας x) είναι το φάσμα ΦΥ (Σχήμα 2). Εναλλακτικά (Σχήμα 3), το μετρητικό σύστημα υπολογίζει μέσω της εξίσωσης του Einstein την ενέργεια που είχε το ηλεκτρόνιο όταν βρισκόταν μέσα στο μέταλλο δηλαδή η ενέργεια σύνδεσης (Ε Σ). Η Φασματοσκοπία φωτοηλεκτρονίων υπεριώδους, χρησιμοποιείται όταν θέλουμε να αντλήσουμε πληροφορίες σχετικά με τα ηλεκτρόνια που βρίσκονται στη ζώνη σθένους (Σχήμα 1) ή σε μοριακούς δεσμούς. Η φασματοσκοπία φωτοηλεκτρονίων δεν δίνει πληροφορίες για τις άδειες καταστάσεις στο μέταλλο για τις οποίες χρησιμοποιούνται μετρήσεις απορρόφησης. Η φωτεινή πηγή που συνήθως χρησιμοποιείται, είναι ένας σωλήνας Νέου (Ne) ή Ηλίου (He). Η ενέργεια των εκπεμπόμενων φωτονίων για κάθε πηγή δίνεται στον Πίνακα Ι. Η διάταξη μετράει το πλήθος των ηλεκτρονίων που εξάγονται για κάθε τιμή της κινητικής ενέργειας και έτσι προκύπτει ένα φάσμα του πλήθους των ηλεκτρονίων συναρτήσει της κινητικής ενέργειας. ΠΙΝΚΑΣ Ι Πηγή Ενέργεια (ev) Ne I 16,6 Ne II 26,8 He I 21,2 He II 40,8 3

Β. 2 Μορφή του Φάσματος Φωτοηλεκτρονίων Υπεριώδους Τα φάσματα φωτοεκπομπής ηλεκτρονίων συνήθως αναπαριστούν το πλήθος των ηλεκτρονίων (άξονας ψ) συναρτήσει της ενέργεια σύνδεσης (άξονας x). Αυτό όμως που μετράει στην πραγματικότητα η διάταξη, είναι η κινητική ενέργεια των εξερχομένων ηλεκτρονίων. Στο Σχήμα 2 παρουσιάζεται ένα φάσμα ΦΥ χρυσού ως προς την Κινητική ενέργεια των εξερχομένων ηλεκτρονίων. Αριθμός ηλεκτρονίων Σχήμα 2: Φάσμα φωτοηλεκτρονίων υπεριώδους He I (21,21eV). Ο οριζόντιος άξονας δίνει την Κινητική ενέργεια των εξερχομένων ηλεκτρονίων. Η μέγιστη Κινητική ενέργεια (περίπου 28eV) αντιστοιχεί στα ηλεκτρόνια της στάθμης Fermi. Στο φάσμα του Σχήματος 3, ο οριζόντιος άξονας αντιστοιχεί στην τιμή της ενέργειας σύνδεσης (Ε Σ) που είχαν τα ηλεκτρόνια όταν βρισκόντουσαν μέσα στο δείγμα Au μετρημένη σε ev. Γνωρίζουμε ότι τα πιο γρήγορα ηλεκτρόνια προέρχονται από τη στάθμη Fermi (περίπου 28eV στο Σχήμα 2). Η ενέργεια σύνδεσης για τα ηλεκτρόνια της στάθμης Fermi είναι 0eV. Οπότε μπορεί κανείς από το φάσμα του Σχήματος 2, να έχει ένα νέο φάσμα που θα περιγράφει το πλήθος των εξερχομένων ηλεκτρονίων (άξονας ψ) ως προς την Ενέργεια Σύνδεσης που είχαν τα ηλεκτρόνια μέσα στο δείγμα (άξονας x). Πως θα γίνει αυτό; Απλά μετατοπίζοντας το φάσμα του Σχήματος 2 προς τα δεξιά έτσι ώστε το σκαλί της στάθμης Fermi να φτάσει στην τιμή ενέργειας σύνδεσης μηδέν. Τώρα, ο οριζόντιος άξονας δεν αντιστοιχεί στην Κινητική ενέργεια αλλά στην ενέργεια σύνδεσης. Το Σχήμα 3 παρουσιάζει ένα φάσμα φωτοηλεκτρονίων υπεριώδους στην μορφή που συνήθως έχει. Ο οριζόντιος άξονας μετράει την ενέργεια σύνδεσης των ηλεκτρονίων μέσα στο δείγμα και ο κατακόρυφος άξονας τον αριθμό των ηλεκτρονίων που μετρήθηκαν για κάθε τιμή της ενέργειας σύνδεσης. Ο οριζόντιος άξονας έχει κανονικοποιηθεί έτσι ώστε η τιμή Ε Σ=0 να αντιστοιχεί στην ενέργεια της στάθμης Fermi. Η στάθμη Fermi χωρίζει τις πλήρεις από τις άδειες καταστάσεις γι αυτό στο φάσμα εμφανίζεται ένα σκαλί στην 4

ενέργεια 0eV. Παρατηρήστε ότι οι τιμές στον οριζόντιο άξονα αυξάνονται προς τα αριστερά. Αυτό συμβαίνει γιατί είναι τιμές της ενέργειας πιο χαμηλά από το ηλεκτροχημικό δυναμικό. Αριθμός ηλεκτρονίων Σχήμα 3: Φάσμα φωτοηλεκτρονίων υπεριώδους He I (21,21eV). Ο οριζόντιος άξονας είναι η ενέργεια σύνδεσης που είχαν τα εξερχόμενα ηλεκτρόνια όταν βρισκόντουσαν μ έσα στο δείγμα. Η ενέρεια σύνδεση 0eV αντιστοιχεί στα ηλεκτρόνια της στάθμης Fermi. Το μέρος του φάσματος από τα 0 μέχρι τα 8 ev περίπου, αντιστοιχεί στην εκπομπή ηλεκτρονίων από τη ζώνη σθένους τα οποία δεν έχασαν ενέργεια κατά την διαδρομή τους για να βγουν από το μέταλλο. Οι ισχυρές κορυφές που εμφανίζονται στο δεξί άκρο του φάσματος (περίπου 4 και 6eV) οφείλονται στα τροχιακά d του χρυσού και χαρακτηρίζονται από μεγάλη πυκνότητα ενεργειακών καταστάσεων. Η πλατιά κορυφή στο αριστερό άκρο του φάσματος προκαλείται από πολύ αργά ηλεκτρόνια δηλαδή ηλεκτρόνια με πολύ μικρή κινητική ενέργεια. Τα ηλεκτρόνια αυτά είναι υπεύθυνα τόσο για την δευτερεύουσα κορυφή καθώς και για την κλίση του φάσματος προς τα επάνω μετά τα 8eV. Τα δευτερογενή ηλεκτρόνια προέρχονται από τη ζώνης σθένους απορρόφησαν ένα φωτόνιο και ξεκίνησαν για να βγουν από το μέταλλο αλλά στην πορεία έχασαν την ενέργειά τους μέσω μη ελαστικών σκεδάσεων. Το έργο εξαγωγής προκύπτει από την διαφορά της ενέργειας του φωτονίου 21,21eV στην προκειμένη περίπτωση μείον το εύρος w του φάσματος. Β.3 Τι πληροφορίες μπορεί να αντλήσει κανείς από ένα φάσμα ΦΥ; 1. Πυκνότητα ενεργειακών καταστάσεων: Οι κορυφές στο δεξί άκρο του φάσματος (Σχήμα 3) προέρχονται από πρωτογενή ηλεκτρόνια, δηλαδή ηλεκτρόνια της ζώνης σθένους τα οποία απορρόφησαν ένα φωτόνιο και έφτασαν μέχρι την επιφάνεια του μετάλλου χωρίς να υποστούν μη ελαστικές σκεδάσεις (δηλαδή χωρίς να χάσουν ενέργεια) και στη συνέχεια βγήκαν απ' αυτό. Το σκαλί που φαίνεται στο δεξί άκρο οφείλεται στα ηλεκτρόνια που εξήχθηκαν από την στάθμη Fermi κατά συνέπεια έχουν μέγιστη κινητική ενέργεια και ενέργεια σύνδεσης 0. Διακρίνονται δύο κορυφές στα 4 και 6,2eV χαμηλότερα από την στάθμη Fermi. Οι κορυφές αυτές 5

δείχνουν ότι για ενέργειες σύνδεσης 4 και 6,2eV χαμηλότερα από τη στάθμη Fermi, εξάγονται περισσότερα ηλεκτρόνια κατά συνέπεια σε μια πρώτη ανάγνωση μπορεί κανείς να πει ότι η πυκνότητα ενεργειακών καταστάσεων θα είναι μεγαλύτερη στα 4 και 6,2eV χαμηλότερα από την στάθμη Fermi. Η φασματοσκοπία φωτοηλεκτρονίων είναι η πιο διαδεδομένη και αξιόπιστη μέθοδος για τη μελέτη της ηλεκτρονικής δομής μορίων και στερεών. Τα χαρακτηριστικά των ηλεκτρονίων που εκπέμπονται από το μέταλλο (Κινητική ενέργεια, γωνία με την οποία εξέρχονται τα ηλεκτρόνια από το δείγμα, spin των ηλεκτρονίων) δίνουν πληροφορίες σχετικά με τις ενεργειακές καταστάσεις που καταλάμβαναν πριν βγουν από το μέταλλο. Εάν κανείς περιστρέψει το φάσμα ΦΦΥ έτσι ώστε ο άξονας x της ενέργειας σύνδεσης να έρθει στην κατακόρυφη θέση και ο άξονας που δείχνει το πλήθος των ηλεκτρονίων στην οριζόντια τότε από το ΦΦΥ (Σχήμα 4 επάνω δεξιά) θα μπορεί να βρει το διάγραμμα που δείχνει την πυκνότητα ενεργειακών καταστάσεων συναρτήσει της ενέργειας σύνδεσης (Σχήμα 4 κάτω αριστερά). Σχήμα 4: Συχνά περιστρέφουμε το φάσμα ΦΥ (UPS, επάνω δεξιά) κατά 90 0 έτσι ώστε ο άξονας της ενέργειας σύνδεσης να βρίσκεται σε κατακόρυφη θέση και το πλήθος (N) των ηλεκτρονίων στην οριζόντια. Το πλήθος των εξερχομένων ηλεκτρονίων είναι ανάλογο σε μια πρώτη ανάγνωσητης πυκνότητας ενεργειακών καταστάσεων στο δείγμα. Το Ενεργειακό διάγραμμα κάτω αριστερά, βασίζεται στο φάσμα ΦΥ και δείχνει την πυκνότητα καταστάσεων (οριζόντιος άξονας) συναρτήσει της ενέργειας που έχουν τα ηλεκτρόνια μέσα στο δείγμα. Φαίνεται η στάθμη κενού, η στάθμη Fermi και κάποιες ενεργειακές καταστάσεις δέσμιων ηλεκτρονίων (Ε Β) (συνήθως μερικές 100άδες ev χαμηλότερα από τη στάθμη Fermi. Οι ενέργειες Ε Β περιγράφουν εντοπισμένες καταστάσεις που αντιστοιχούν σε ηλεκτρόνια τα οποία είναι δεσμευμένα από τον πυρήνα. Η εικόνα τους στο ΦΦΥ (Σχήμα 4 επάνω δεξιά) είναι δύο οξείες κορυφές. 2. Κρυσταλλικότητα του δείγματος: Η κορυφή στο αριστερό άκρο του φάσματος οφείλεται σε δευτερογενή ηλεκτρόνια, δηλαδή σε πρωτογενή ηλεκτρόνια τα οποία κατά την διαδρομή τους προς την επιφάνεια του μετάλλου σκεδάστηκαν μη ελαστικά (δηλαδή έχασαν κινητική ενέργεια) και βγήκαν έξω από το μέταλλο με πολύ μικρότερη ενέργεια από αυτή που θα είχαν εάν δεν είχαν υποστεί μη ελαστικές σκεδάσεις. Η κορυφή των δευτερογενών ηλεκτρονίων σκεπάζει ένα μέρος 6

του φάσματος πρωτογενών ηλεκτρονίων και κρύβει ένα μέρος από τις πληροφορίες που μεταφέρει σχετικά με την πυκνότητα ενεργειακών καταστάσεων στο μέταλλο. Η κορυφή των δευτερογενών ηλεκτρονίων είναι ιδιαίτερα σημαντική γιατί μας επιτρέπει να υπολογίσουμε με ασφάλεια το εύρος του φάσματος και από εκεί το έργο εξαγωγής. Επιπλέον θα πρέπει να σημειωθεί ότι η πληροφορία που χάνουμε σε ότι αφορά την πυκνότητα ενεργειακών καταστάσεων δεν είναι σημαντική γιατί κατά την μελέτη των ηλεκτρικών ιδιοτήτων ενδιαφερόμαστε μόνο για τα ηλεκτρόνια που βρίσκονται κοντά στη στάθμη Fermi μιας και αυτά είναι που συμμετέχουν στην αγωγιμότητα. Εάν ένα δείγμα υποστεί κατεργασία (για παράδειγμα ιοντοβολή) και μετά την κατεργασία αυξηθεί η ισχύς της κορυφής των δευτερογενών ηλεκτρονίων αυτό σημαίνει ότι η κατεργασία χάλασε σε κάποιο βαθμό την κρυσταλλικότητα που είχε αρχικά το δείγμα. 3. Υπολογισμός του έργου εξαγωγής: Δίνεται ότι η ενέργεια των φωτονίων που προσπίπτουν στο δείγμα Au κατά την μέτρηση είναι 21,21eV. Από το φάσμα του Σχήματος 1 προκύπτει ότι η μέγιστη κινητική ενέργεια των εξερχομένων ηλεκτρονίων είναι περίπου 28eV ενώ η ελάχιστη είναι ~16eV. Γνωρίζουμε ότι τα ηλεκτρόνια που εξέρχονται με την μέγιστη κινητική ενέργεια είναι αυτά που βρίσκονται επάνω στη στάθμη Fermi και η μέγιστη Κινητική ενέργεια που έχουν είναι (21,21-φ)eV. Αντίστοιχα η ελάχιστη Κινητική ενέργεια θα είναι 0eV. Το φάσμα δείχνει ότι η ελάχιστη κινητική ενέργεια των εξερχομένων ηλεκτρονίων είναι ~16eV. Οι αυξημένες τιμές στο διάγραμμα οφείλονται στο γεγονός ότι έχει εφαρμοστεί μια τάση ανάμεσα στο δείγμα και τον συλλέκτη των φωτοηλεκτρονίων. Τα ηλεκτρόνια εξέρχονται από το δείγμα και επιταχύνονται από το ηλεκτρικό πεδίο. Με βάση αυτό το συλλογισμό, η τιμή της ενέργειας που καταγράφει το όργανο είναι αυξημένη κατά q V. Για τον λόγο αυτό η τιμή της ενέργειας στο σκαλί στο δεξιό άκρο του φάσματος είναι Kmax q V. Η τιμή της ενέργειας για το αριστερό άκρο του διαγράμματος θα είναι q V. Εάν κανείς αφαιρέσει την ενέργεια του αριστερού άκρου του φάσματος από αυτή του δεξιού θα βρει την μέγιστη Κινητική ενέργεια. Με βάση την εξίσωση του Einstein το έργο εξαγωγής είναι h f. Στην προκειμένη περίπτωση 21,21-16=5,2eV K max Β.3 Λεπτομέρειες μετρήσεων Πως προσδιορίζουμε την ενέργεια Fermi στο φάσμα ΦΥ; Πως προσδιορίζουμε την ενέργεια κατωφλίου των δευτερογενών ηλεκτρονίων στο ΦΦΥ; Απάντηση: Η απάντηση γίνεται πιο κατανοητή με ένα παράδειγμα. Το Σχήμα 5 (a) παρουσιάζει το ΦΦΥ από ένα δείγμα ΙΤΟ (Indium Tin Oxide). Το ΙΤΟ είναι ένα υλικό που χρησιμοποιείται σαν αγώγιμη διαφανής επαφή σε φωτοδιόδους. Επιπλέον, στα διαγράμματα (b) και (c) φαίνονται οι λεπτομέρειες του φάσματος στο αριστερό και δεξιό άκρο αντίστοιχα. Το φάσμα ΦΥ (a) παρουσιάζεται ως προς την Κινητική ενέργεια των εξερχομένων ηλεκτρονίων. Η μέγιστη κινητική ενέργεια των εξερχομένων ηλεκτρονίων όπως προκύπτει (c) από το φάσμα είναι 22eV. Για να προσδιοριστεί η τιμή της στάθμης Fermi κάνουμε το εξής: Προσεγγίζουμε το σκαλί που εμφανίζεται με μια ευθεία. Η ενέργεια Fermi τοποθετείται στο μέσο του ευθύγραμμου τμήματος που σχηματίζεται. Σύμφωνα με το (c) η τιμή είναι 21,75eV. Με τον ίδιο τρόπο βρίσκουμε το κατώφλι των δευτερογενών ηλεκτρονίων να βρίσκεται στα ~5eV (σχήμα 5b). Αυτό σημαίνει ότι το εύρος του φάσματος είναι: 7

w 21,75 5,00 16, 75eV. Κατά συνέπεια το έργο εξαγωγής είναι 21,21 w 21,21 16,75 4, 46eV. Σχήμα 5: Φάσμα UPS (HeI, 21,21eV) από ITO. Το δείγμα ήταν σε τάση -3000Volt. a) Οι κύκλοι b και c δείχνουν το όριο των δευτερογενών ηλεκτρονίων και των ηλεκτρονίων της στάθμης Fermi αντίστοιχα. b) Το όριο του φάσματος των δευτερογενών ηλεκτρονίων, το όριο της ενέργειας των δευτερογενών ηλεκτρονίων έχει σημειωθεί με μια κατακόρυφη γραμμή. c) Το όριο του φάσματος των πρωτογενών ηλεκτρονίων, η κιν. ενέργεια των ηλεκτρονίων από την στάθμη Fermi έχει σημειωθεί με μια κατακόρυφη γραμμή. Y.Park et al. Appl. Phys. Lett. 68 (19), 6 May 1996 Β. 4 Η κατανομή Fermi, πως επηρεάζει τα φάσματα ΦΥ Στη συζήτηση του φωτοηλεκτρικού φαινομένου είπαμε ότι η στάθμη Fermi είναι η τιμή της ενέργειας που χωρίζει τις άδειες από τις γεμάτες καταστάσεις. Όλες οι καταστάσεις που βρίσκονται κάτω (έχουν πιο αρνητική ενέργεια) από την στάθμη Fermi είναι πλήρεις ενώ όλες οι καταστάσεις που βρίσκονται επάνω από την ενέργεια Fermi είναι άδειες. Αυτό το χαρακτηριστικό της στάθμης Fermi, να χωρίζει τις άδειες από τις γεμάτες καταστάσεις απεικονίζεται στο Σχήμα 6. Ε=0eV Ε=0e V μ μ Σχήμα 6: Η ενέργεια Fermi διαχωρίζει τις άδειες καταστάσεις από τις γεμάτες στάθμες. Οι καταστάσεις που είναι κάτω από την ενέργεια Fermi (μ) είναι γεμάτες και οι καταστάσεις που είναι πάνω από την ενέργεια Fermi είναι άδειες. Δεξιά έχουμε σχεδιάσει το ενεργειακό διάγραμμα στο οποίο έχουν απομείνει μόνο οι πλήρεις στάθμες. Η περιγραφή αυτή είναι ακριβής μόνο στους 0 0 Κelvin. 8

Εάν τα πράγματα ήταν έτσι θα περίμενε κανείς πως η μορφή του φάσματος ΦΦΥ κοντά στην ενέργεια Fermi θα ήταν ένα απότομο σκαλί (κάτι σαν την βαθμωτή συνάρτηση). Αυτό όμως δεν συμβαίνει. Πειράματα έχουν δείξει πως κοντά στην στάθμη Fermi, το φάσμα ΦΥ σε θερμοκρασία δωματίου, παρουσιάζει μια μύτη που ακολουθείται από ένα ομαλό σκαλί (Σχήμα 7, καμπύλη 300Κ) Σχήμα 7: Φάσματα ΦΥ χρυσού κοντά στην στάθμη Fermi στους 300 0 Κ και στους 40 0 Κ (οι στάθμες που βρίσκονται πιο χαμηλά από τη στάθμη Fermi είναι σημειωμένες με αρνητικές τιμές). Οι συνεχείς καμπύλες είναι αποτέλεσμα προσομοίωσης σύμφωνα με ένα προσεγγιστικό μοντέλο. Το άπλωμα του φάσματος στους 300 0 Κ οφείλεται στο γεγονός ότι κατανομή Fermi-Dirac απλώνει με την αύξηση της θερμοκρασίας. Στους 300 0 Κ η μετάβαση από τις άδειες καταστάσεις (από τις οποίες δεν εξάγονται ηλεκτρόνια) στις γεμάτες (από τις οποίες εξάγονται τα ηλεκτρόνια που μετράει το φάσμα), γίνεται με πιο ομαλό τρόπο πράγμα που έχει σαν αποτέλεσμα το σχηματισμό της μύτης στο φάσμα των 300 0 Κ. (H. Hovel, I. Barke / Progress in Surface Science 81 (2006) 53 111) Ο λόγος είναι ο εξής: Η στάθμη Fermi χωρίζει τις γεμάτες από τις άδειες καταστάσεις αλλά αυτή η εικόνα είναι ακριβής μόνο στους 0 0 Kelvi! Καθώς η θερμοκρασία αυξάνεται, σχηματίζεται μια ζώνη από μισογεμάτες και μισοάδειες καταστάσεις, που το εύρος της είναι ανάλογο της θερμοκρασίας. Στο Σχήμα 8 οι καταστάσεις με πληρότητα 100% φαίνονται με μαύρο χρώμα και εκείνες με πληρότητα 0% με γαλάζιο. Στους 0 0 Κ η μετάβαση από τις άδειες στις γεμάτες καταστάσεις γίνεται απότομα. Για θερμοκρασίες Τ>0 0 Κ η μετάβαση από τις εντελώς πλήρεις στις εντελώς άδειες καταστάσεις γίνεται με διαδοχικό τρόπο. Αυτό σημειώνεται με μια ζώνη σε τόνους του γκρι. Παρατηρείστε ότι το εύρος της γκρι περιοχής είναι μεγαλύτερο για θερμοκρασία Τ 2>Τ 1. Η σχηματική αυτή περιγραφή παρουσιάζεται με πιο αυστηρό τρόπο στη γραφική παράσταση του Σχήματος 8. Η γραφική παράσταση έχει στραφεί κατά 90 0 έτσι ώστε ο άξονας της ενέργειας που είναι η ανεξάρτητη μεταβλητή να βρίσκεται σε κατακόρυφη θέση. Η εξαρτημένη μεταβλητή f(e) απεικονίζει τον βαθμό κατάληψης των καταστάσεων και παίρνει τιμές από 0 (βαθμός κατάληψης 0%, δηλ. εντελώς άδειες καταστάσεις) έως 1 (βαθμός κατάληψης 100%, δηλ. γεμάτες καταστάσεις). Η συνάρτηση αυτή ονομάζεται κατανομή Fermi-Dirac. Στους 0 0 Κ (μπλε καμπύλη) η μετάβαση από τις πλήρεις στις άδειες καταστάσεις γίνεται απότομα: για ενέργειες μικρότερες της στάθμης Fermi ο βαθμός κατάληψης είναι 1 και για ενέργειες μεγαλύτερες της στάθμης Fermi ο βαθμός κατάληψης είναι 0. Στην πορτοκαλί καμπύλη (70 0 Κ) η καμπύλη δεν είναι απότομη όπως στους 0 0 Κ αλλά παρουσιάζει μια περιοχή ενεργειών γύρω από την στάθμη Fermi για τις οποίες ο βαθμός κατάληψης παίρνει ενδιάμεσες τιμές μεταξύ 0 και 1. Τέλος, για την περίπτωση της κόκκινης καμπύλης (300 0 Κ) υπάρχει και πάλι μια περιοχή ενεργειών γύρω από την στάθμη Fermi για τις οποίες ο βαθμός κατάληψης παίρνει ενδιάμεσες τιμές μεταξύ 0 και 1 και μάλιστα το εύρος της εν λόγω περιοχής είναι μεγαλύτερο από το αντίστοιχο των 70 0 Κ. Παρατηρήσεις: 1. Η τιμή της κατανομής Fermi-Dirac επάνω στη στάθμη Fermi είναι 0,5 για κάθε θερμοκρασία. 2. Το εύρος των ενεργειών για τις οποίες ο βαθμός κατάληψης των καταστάσεων πηγαίνει από το 1 στο 0 είναι μερικά k B T, όπου k B η σταθερά Boltzmann. Είναι 9

γνωστό ότι kb T 300K 25meV. Από την γραφική παράσταση φαίνεται ότι η περιοχή με τιμές κατάληψης μεταξύ 0 και 1 δηλαδή 0 f ( E) 1 εκτείνεται πάνω και κάτω από τη στάθμη Fermi. ~ 4k B T ~ 4k B T -3,8-3,9 Energy (ev) -4,0-4,1-4,2 0,0 0,5 1,0 f(e) Σχήμα 8: Στους 0 0 Κ η μετάβαση από τις εντελώς γεμάτες (μαύρο) στις εντελώς άδειες (γαλάζιο) καταστάσεις είναι απότομη. Σε μεγαλύτερες θερμοκρασίες παρεμβάλλεται μια περιοχή ενεργειών με ενδιάμεσο βαθμό κατάληψης η οποία χωρίζει τις εντελώς γεμάτες από τις εντελώς άδειες καταστάσεις. Το εύρος της περιοχής αυτής (γκρι χρώμα) είναι της τάξης των μερικών ~k BT. Η γραφική παράσταση παρουσιάζει τον βαθμό κατάληψης των ενεργειακών καταστάσεων κοντά στη στάθμη Fermi η οποία έχει επιλεγεί να είναι μ=-4ev. Μπλε χρώμα για 0 0 Κ, πορτοκαλί για 70 0 Κ και κόκκινο για 300 0 Κ. Επιστρέφοντας στα φάσματα του Σχήματος 7 είναι προφανές ότι η μύτη που παρουσιάζει το φάσμα των 300 0 Κ οφείλεται στο γεγονός ότι οι καταστάσεις που βρίσκονται μέχρι και ~100meV πιο ψηλά από τη στάθμη Fermi είναι σε κάποιο βαθμό κατειλημμένες με αποτέλεσμα να υπάρχει εκπομπή ηλεκτρονίων που βρίσκονται σε αυτές. 10

Εργασία στο Εργαστήριο Δίνεται το ακόλουθο φάσμα ΦΥ ενός δείγματος Αργύρου. α) Ποιες από τις κορυφές του φάσματος δίνουν πληροφορίες για την πυκνότητα καταστάσεων στη ζώνη σθένους; (B3.1) β) Ποια κορυφή αντιστοιχεί στη δευτερογενή εκπομπή ηλεκτρονίων; (B3.2) γ) Να υπολογιστεί το έργο εξαγωγής.(b3.3) δ) Ποια περιμένετε να είναι η μορφή του φάσματος κοντά στην στάθμη Fermi; (B.4) ε) Να σχεδιαστεί το ενεργειακό διάγραμμα ζωνών του δείγματος. στ) Παρακάτω δίνονται οι λεπτομέρειες των άκρων του φάσματος. Σημειώστε την Ενέργεια Fermi και το κατώφλι των δευτερογενών ηλεκτρονίων. Υπολογίστε το εύρος του φάσματος. ζ) Ποια από τα ηλεκτρόνια της ζώνης σθένους συμμετέχουν στην αγωγιμότητα; η) Γράψτε την συνάρτηση της κατανομής Fermi-Dirac για το δείγμα Αργύρου. Για ποιες τιμές της ενέργειας ο βαθμός κατάληψης είναι 0,9 και 0,1 αντίστοιχα. Ενέργεια Σύνδεσης (ev) He I UPS spectrum 21,21eV Πλήθος ηλ/νίων (a.u) Sample: Ag 20 21 22 23 24 25 Κινητική Ενέργεια (ev) 11

Προεργασία Ερωτήσεις από τα video 1. Τι πληροφορία δίνουν οι μετρήσεις UPS; 2. Πως ονομάζεται η γεμάτη κατάσταση που είναι πιο κοντά στην στάθμη κενού; 3. Πόσο απέχουν δύο καταστάσεις σε ένα μέταλλο; 4. Σε ένα μέταλλο ρίχνουμε φωτόνια 21eV. Με ένα κατάλληλο σύστημα αισθητήρων βλέπουμε ότι βγαίνουν 2000 ηλεκτρόνια με κινητική ενέργεια 4eV και 3000 ηλεκτρόνια κινητική ενέργεια 16eV, που είναι και η μέγιστη τιμή της κινητικής ενέργειας. α) Ποια είναι η τιμή της ενέργειας Fermi; β) Πόση ενέργεια είχαν τα ηλεκτρόνια κινητικής ενέργειας 3 και 16eV όταν βρισκόντουσαν μέσα στο μέταλλο; γ) Ποια είναι η σχέση ανάμεσα στις πυκνότητες καταστάσεων; 5. Τι μετράμε σε ένα πείραμα UPS; Τι δείχνει ο οριζόντιος και τι ο κατακόρυφος άξονας σε ένα φάσμα UPS; 6. Σε ένα φάσμα UPS από πού προέρχονται τα ηλεκτρόνια με την μέγιστη κινητική ενέργεια; 7. Τι είναι τα πρωτογενή και τα δευτερογενή ηλεκτρόνια; 8. Πως υπολογίζεται το έργο εξαγωγής από ένα φάσμα UPS; 9. Σε ένα φάσμα UPS η ενέργεια κατωφλίου είναι 6eV. Τι σημαίνει αυτό; 10. Ποιο μέρος του φάσματος UPS μας δίνει πληροφορίες για την πυκνότητα ενεργειακών καταστάσεων; 11. Στα προβλήματα αγωγιμότητας ποιο μέρος του φάσματος UPS μας ενδιαφέρει; 12. Ποια μορφή έχουν τα φάσματα UPS κοντά στη στάθμη Fermi; 13. Σχολιάστε την ορθότητα της φράσης: Η στάθμη Fermi χωρίζει τις γεμάτες από τις άδειες καταστάσεις. 14. Από τι εξαρτάται το εύρος των ενεργειακών καταστάσεων, γύρω από τη στάθμη Fermi, που έχουν ενδιάμεσες τιμές πληρότητας; 15. Σχεδιάστε την συνάρτηση Fermi-Dirac στους 300 και στους 30 0 Kelvin, σημειώνοντας στο διάγραμμα όλες τις λεπτομέρειες. Θεωρείστε ότι μ=-2ev 16. Σχεδιάστε το ενεργειακό διάγραμμα ζωνών για ένα μέταλλο και έναν ημιαγωγό. Τι διαφορές υπάρχουν ανάμεσα στην ζώνη σθένους, την ζώνη αγωγιμότητας και το ενεργειακό χάσμα; 17. Τι είναι αυτοφυής ημιαγωγός; Που βρίσκεται η στάθμη Fermi; 18. Τι ονομάζουμε έργο εξαγωγής και τι ηλεκτραρνητικότητα και τι ενέργεια ιονισμού σε ένα ημιαγωγό; 19. Σε ένα φάσμα UPS ημιαγωγού: από πού προέρχονται τα ηλεκτρόνια που βγαίνουν με μέγιστη κινητική ενέργεια; 20. Τι τιμές παίρνει το ενεργειακό χάσμα στους ημιαγωγούς και τους μονωτές; 21. Πως βρίσκουμε την θέση της στάθμης Fermi σε ένα διάγραμμα UPS ενός ημιαγωγού; 12