Firefly Synchronization of adhoc networks Dr. Michael Emmerich Natural Computing Group
Synchronizing using pulse-coupled oscillators: Fireflies, Heart, and Wireless Networks
FIREFLIES SYNCHRONIZATION Simple Systems, Complex Behavior
Fireflies: mysterious mass synchrony Φιρεβυγ σ αρε βεετλεσ κνοων φορ τηειρ χονσπιχυουσ υσε οφ βιολυµινεσχενχε το αττραχτ µατεσ ορ πρεψ Τηαιλανδ, ωιτη φανταστιχ, ουτ οφ τηισ ωορλδ φιρεφλψ σηοωσ; ενορµουσ χονγ ρεγ ατιονσ οφ φιρεφλιεσ βλινκινγ ον ανδ οφφ ιν υνισον, ιν δισπλαψσ τηατ συπποσεδλψ στρετχηεδ φορ µιλεσ αλονγ τηε ριϖερβανκσ. (Αλσο οχχυρινγ ιν Αφριχα, ανδ σοµε µορε πλαχεσ ) ηττπ://ωωω.ψουτυβε.χοµ/ωατχη?ϖ= α ςψ7 ΝΖΤΓοσ Αχχουντσ ον τηισ πηενοµενον βψ Ωεστερν τραϖελερσ το Σουτη Εαστ Ασια γ ο βαχκ ασ φαρ ασ 300 ψεαρσ. Μψστεριουσ φορµ οφ µασσ σψνχηρονψ. Ιν 1 9 1 7 Πηιλιπ Λαυρεντ ωροτε υπ αν εξπλανατιον ιν Σχιενχε: τηε αππαρεντ πηενοµενον ωασ χαυσεδ βψ τηε τωιστινγ ορ συδδεν λοωερινγ ανδ ραισινγ οφ µψ εψλιδσ τηε ινσεχτσ ηαδ νοτηινγ το δο ωιτη ιτ
Early hypothesis Τηε φιρεφλιεσ ηαϖε α χεντραλ χοορδινατορ ορ χονδυχτορ Χρυχιαλ εξπεριµεντ ιν βεδ δισµισσεδ τηισ ηψποτηεσισ: Τηε βιολογ ιστ χουπλε Βυχκ ανδ Βυχκ τοοκ αρβιτραρψ φιρεβυγ σ ιντο τηειρ βεδροοµ ατ νιγ ητ ανδ τηεψ σποντανεουσλψ σψνχηρονιζεδ ωηεν τηεψ ωερε πυτ το τηε χειλινγ, ωιτηουτ εξτερναλ φορχε. Πεσκιν ανδ οτηερσ φουνδ τηατ α σιµπλε υνιϖερσαλ µεχηανισµ χαν βε υσεδ το εξπλαιν δεχεντραλιζεδ σψνχηρονιζατιον; Στρογ ατζ προϖιδεδ α προοφ τηατ α ποπυλατιον χαν σψνχηρονιζε
Pacemaker of the Heart Χη. Πεσκιν αλσο προποσεδ α σχηεµατιχ µοδελ φορ ηοω τηε παχεµακερ χελλσ οφ τηε ηεαρτ σψνχηρονιζε τηεµσελϖεσ Παχεµακερ οφ τηε ηεαρτ µοστ ιµπρεσσιϖε οσχιλλατορ εϖερ χρεατεδ α χλυστερ οφ 1 0,0 0 0 χελλσ χαλλεδ σινοατριαλ νοδε γ ενερατεσ ελεχτριχαλ ρηψτηµ τηατ χοµµανδσ τηε ρεστ οφ τηε ηεαρτ το βεατ ηασ το βε δονε ρελιαβλψ, µινυτε αφτερ µινυτε τηρεε βιλλιον βεατσ ιν α λιφετιµε υνλικε µοστ χελλσ ιν ηεαρτ, τηε παχεµακερ χελλσ οσχιλλατε αυτοµατιχαλλψ: ισολατεδ ιν πετρι διση, τηειρ ϖολταγ ε ρισεσ ανδ φαλλσ ινρεγ υλαρ ρηψτηµ Αλλ οφ ωηιχη ραισεσ τηε θυεστιον: Ωηψ δο ωε νεεδ σο µανψ χελλσ, ιφ ονε χαν δο τηε ϕοβ? προβαβλψ βεχαυσε α χεντραλιζεδ χοντρολλερ ισ νοτ ροβυστ δεσιγ ν: α χεντραλ χοντρολλερ χαν µαλφυνχτιον ορ διε ανδ τηισ ωιλλ δεσταβιλιζε εντιρε σψστεµ Charles S. Peskin http://www.math.nyu.edu/faculty/peskin/ also site for the book: Modeling and simulation in the life sciences
http://math.nyu.edu/faculty/peskin/heartnotes/ http://hermes.ffn.ub.es/~albert/peskinen.html 2 1.5 1 0.5 0 Peskin model (1975) of the heart pacemaker Τηε φυνχτιον φ ισ χαλλεδ πηασε ρεσπονσε χυρϖε (ΠΡΧ) αν ελεχτριχαλ ϖολταγ ε. Φορ φ ι (τ) < φ τη ιτ οβεψσ τηε φολλοωινγ διφφερεντιαλ λαω: φ i (t)=t/t+c δφ ι /δτ = (φ ι (τ+δτ) φ ι (τ)) / δτ = 1 /Τ T (χονσταντλψ ινχρεασινγ ποτεντιαλ) Ωηεν τηισ πηασε αρριϖεσ ατ σοµε τιµε τ το α τηρεσηολδ ϖαλυε φ ι (τ)= φ τη, τηε πηασε ισ ρεσετ το 0 ανδ τηε πηασε οφ τηε νειγ ηβορινγ σιτεσ ισ µοδιφιεδ βψ αν οφφσετ φ(φ κ (τ)): φ ι (τ) = = > 0 φ κ (τ+δτ) = = > φ κ (τ) + φ(φ κ ) φορ αλλ κ: κ ι φ(φ) = (α 1)φ +β, α>1, β>0 Πυλσε χουπλεδ, ωηεν οσχιλλατορσ αρριϖεσ το α ϖαλυε φ τη σψνχηρονουσλψ Ιφ τηε χουπλινγ ισ ποσιτιϖε (εξχιτατορψ) τηε ποπυλατιον τενδσ το σψνχηρονιζε, ι.ε., το αρριϖε το τηε τηρεσηολδ ατ τηε σαµε τιµε. 0 0.5 1 1.5 2 t
Uniform oscillator, phase portrait Remark: Phase portrait resembles a clock. Can be modeled as the complex function (x(t),y(t)) = exp(i 2 π t/t ), where i denotes the imaginary number i= (-1) and φ= 2 π (t MODULO 1)
Phase response diagram Oscillator receives firing signal from other oscillator
Coupled oscillator Τωο νοδεσ ωιτη πηασε φυνχτιονσ φ 1 ανδ φ 2 φ 0 ισ τηε σιγ ναλ οφ νοδε 2 ϕυστ αφτερ ιτ ηασ ρεχειϖεδ τηε πυλσε φροµ νοδε 1 ανδ υπδατεδ.
Convergence analysis (1) Ασσυµε φ τη = 1, ανδ τωο νοδεσ ωιτη πηασε φυνχτιον φ 1 ανδ φ 2 φ 0 ισ τηε ποσιτιον οφ νοδε 2 αφτερ νοδε 1 ηασ φιρεδ Φιρστ λινεαρ εϖολυτιον: (φ 1, φ 2 )= (0, φ 0 ) το (1 φ 0,0) Νοω νοδε 2 ισ ρεσετ το φ 2 = 0 ανδ νοδε 1 ϕυµπσ το φ 1 = η φ (φ 0 )= α φ 1 + β = α φ 0 + (α+β) Ονλψ ϖαλιδ ιφ νοδε 2 δοεσ ρεαχη φ τη νοτ φορχε νοδε 1 το φιρε ιµµεδιατελψ, ιν ωηιχη χασε βοτη πυλσεσ αρε σψνχηρονιζεδ. Τηισ µεανσ φ 0 ]1 φ λ,1[ ωιτη φ λ := (1 β)/α (φ λ ισ χαλλεδ χηαραχτεριστιχ ηοριζον)
Convergence analysis (2) Αφτερ φιρινγ οφ νοδε 2 τηε σψστεµ ισ ιν στατε (φ 1,φ 2 )= (η φ (φ 0 ),0). Τηε νεξτ νοδε το φιρε ισ νοδε 1. Νοω, φ 1 = 0, ανδ φ 1 ισ οβταινεδ βψ η Ρ (φ 0 )= η φ (η φ (φ 0 ))= α(1 η φ (φ 0 ))+β= α 2 φ 0 +(1 α)(α+β) ωηιχη ισ ονλψ ϖαλιδ ιφ τηε ιντιαλ πηασε οφ νοδε 2 ισ ιν ιντερϖαλ ]1 φ λ,1 φ λ (1 1/α)[, (οτηερωισε σψνχηρονιζατιον ηασ αλρεαδψ τακεν πλαχε) Ωε χαν νοω στυδψ τηε ρετυρν µαπ η Ρ (φ 0 ) ωηετηερ ιτ ηασ σταβλε φιξ ποιντσ φ 0 = η Ρ (φ 0 )., σοµετηινγ λικε η Ρ (η Ρ (φ 0 )), ετχ.
Convergence analysis (3) Ρετυρν µαπσ: Study dynamics of a recurrent system x i+1 = f(x i ), x i [0,1] (automorphism) Use Verhulst diagram ( cobweb ): x i+1 f(x i ) x i+1 f(x i ) x 3 x 2 x 3
Convergence Analysis (4) Τηε ρετυρν µαπ ατ α φιξ ποιντ ξ φιξ ωιτη ξ φιξ = φ(ξ φιξ ) Φιξποιντσ αρε ιντερσεχτιον ποιντσ ωιτη βισεχτριξ Αφτερ α σµαλλ περτυρβατιον οφ ξ φιξ : for stable fixpoint the system bounces back to point; for instable fixpoint it moves away from fixpoint Σλοπε φ (ξφιξ) < 1 = = > σταβλε; Σλοπε φ (ξφιξ) > 1 = = > ινσταβλε x i+1 f(x i ) x i+1 x i+1 f(x i ) f(x i ) x fix2 x fix1 x fix1 +ε x i x fix2 +ε x i
Verhulst diagram animation http://en.wikipedia.org/wiki/cobweb_diagram
Convergence Analysis (5) Ρετυρν µαπσ οφ η Ρ (φ 0 ) διφφερεντ α ανδ β Τηε τωο φιξποιντσ ατ λεφτ ανδ ριγ ητ βουνδαρψ αρε σταβλε: φ (ξ) = 0 <1 Τηε φιξ ποιντ ιν τηε µιδδλε ισ αλωαψσ ινσταβλε: φ (ξ)= α 2 >1 Ηενχε: Σψστεµ ωιλλ πραχτιχαλλψ αλωαψσ χονϖεργ ε το φ 0 = 1 ορ φ 1 = 1, ωηερε σψνχηρονψ ισ ρεαχηεδ.
More than two oscillators Μορε διφφιχυλτ το αναλψζε. Προοφ ιν [1]. Πηασε πορτραιτ υσεφυλ τοολ φορ ϖισυαλιζατιον Φιρστ σµαλλ χλυστερσ σψνχηρονιζε (γ ρεψ ποιντσ). Τηεν χλυστερσ σψνχηρονιζε Phase portrait for N=20 nodes with one node firing; grey nodes will synchronize with the black nodes in next step. [1] R. Mirollo and S. Strogatz, Synchronization of pulse-coupled Biological oscillators, SIAM J. APPL. MATH, vol. 50, no. 6, pp. 1645 1662, Dec. 1990.
Convergence and time to synchronicity [1] R. Mirollo and S. Strogatz, Synchronization of pulse-coupled Biological oscillators, SIAM J. APPL. MATH, vol. 50, no. 6, pp. 1645 1662, Dec. 1990. ιτ ωασ σηοων ιν [1 ] τηατ ιφ τηε νετωορκ ισ φυλλψ µεσηεδ ανδ ε> 0 ανδ β> 0, τηε σψστεµ αλωαψσ χονϖεργ εσ αλλ οσχιλλατορσ ωιλλ φιρε ασ ονε ινδεπενδεντλψ οφ ινιτιαλ χονδιτιονσ. τηε τιµε το σψνχηρονψ ισ ινϖερσελψ προπορτιοναλ το τηε προδυχτ βε ιν
clear; t=1; TMAX=20000; PHITH=2000; PHI1(1)=1000; PHI2(1)=400; d=1; epsilon=0.1; b =0.8; Experiment in MATLAB 2000 1800 1600 alpha = exp(b*epsilon); beta = (exp(b*epsilon)-1) / (exp(b)-1); 1400 1200 1000 for (i=1:tmax-1) PHI1(t+1) = PHI1(t) + d; PHI2(t+1) = PHI2(t) + d; 800 600 400 200 if (PHI1(t+1) > PHITH) PHI1(t+1) = 0; PHI2(t+1) = min(alpha*phi2(t) + beta, PHITH ); end if (PHI2(t+1) > PHITH) PHI2(t+1) = 0; PHI1(t+1) = min(alpha*phi1(t) + beta, PHITH ); end t=t+1 end figure(6); plot(phi1, 'blue'); figure(7); plot(phi2, 'red'); 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2000 1800 1600 1400 1200 1000 800 600 400 200 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 Τηε πηασε φυνχτιον σψνχηρονιζεσ χα. ατ τιµε στεπ 1.3, 5 τη ιτερατιον x 10 4 x 10 4
Wireless sensor networks εφ.: Α ωιρελεσσ σενσορ νετωορκ (ΩΣΝ) ισ α ωιρελεσσ νετωορκ χονσιστινγ οφ σπατιαλλψ διστριβυτεδ αυτονοµουσ δεϖιχεσ υσινγ σενσορσ το χοοπερατιϖελψ µονιτορ πηψσιχαλ ορ ενϖιρονµενταλ χονδιτιονσ, συχη ασ τεµπερατυρε, σουνδ, ϖιβρατιον, πρεσσυρε, µοτιον ορ πολλυταντσ. Αδ ηοχ νετωορκσ: διστριβυτεδ ρανδοµλψ ανδ χοµµυνιχατε το νειγ ηβορσ; οφτεν αχχυ ενεργ ψ ισ λιµιτεδ. Observer Source: Wikipedia
Application to ad-hoc networks Τηε ΠΧΟ σψνχηρονιζατιον σχηεµε δεσχριβεδ πρεϖιουσλψ χαν βε αππλιεδ το ωιρελεσσ σψστεµσ. Εξχηανγ ε οφ ινφορµατιον ρεθυιρεσ ενεργ ψ ανδ χαν βε δονε ονλψ ιν χερταιν σψνχηρονιζεδ τιµε σλοτσ. Νοδεσ χαν βε ον λοω ενεργ ψ λεϖελ (ηιλβερνατε) φορ τηε ρεµαινινγ τιµε. Τηισ σαϖεσ ενεργ ψ ανδ ινχρεασεσ οπερατιον τιµε ανδ ρανγ ε οφ αυτονοµουσ βαττερψ δριϖεν ωιρελεσσ αδ ηοχ νετωορκσ Σψνχηρονιζατιον µυστ τακε ιντο αχχουντ πραχτιχαλ προβλεµσ, µαινλψ χαυσεδ βψ δελαψσ
Firefly synchronizations in wireless networks literature Α. Τψρρελλ, Γ. Αυερ, ανδ Χ. Βεττστεττερ, Φιρεφ λψ σψνχηρονιζατιον ιν αδ ηοχ νετωορκσ, ιν Προχ. ΜιΝΕΜΑ Ωορκσηοπ 2 0 0 6, Φεβ. 2 0 0 6. (βασιχ ιδεασ) Ψ. Ω. Ηονγ ανδ Α. Σχαγ λιονε, Α σχαλαβλε σψνχηρονιζατιον προτοχολ φορ λαργ ε σχαλε σενσορ νετωορκσ ανδ ιτσ αππλιχατιονσ, ΙΕΕΕ ϑουρναλ ον Σελεχτεδ Αρεασ ιν Χοµµυνιχατιονσ, ππ. 1085 1099, Μαψ 2005. (προοφσ φορ δελαψ τρεατµεντ) Αλεξανδερ Τψρελλ, Φιρεφλψ σψνχηρονιζατιον ιν ωιρελεσσ νετωορκσ, ισσερτατιον, Υνιϖερσιτ τ Κλαγ ενφυρτ, 2009 (χοµπρεηενσιϖε οϖερϖιεω, ρανγ ε οφ αππλιχατιονσ)
Propagation delays Ιφ α προπαγ ατιον δελαψ Τ 0 οχχυρσ βετωεεν τωο πυλσε χουπλεδ οσχιλλατορσ, τηε σψστεµ χαν βεχοµε ινσταβλε Τηε πυλσε οφ ονε οσχιλλατορ χουλδ χαυσε τηε οτηερ οσχιλλατορ το τρανσµιτ αφτερ Τ 0, ανδ τηισ τρανσµιττεδ πυλσε χαυσεσ τηε φιρστ οσχιλλατορ το φιρε αγ αιν αφτερ Τ 0, ανδ σο ον. Το αϖοιδ τηισ αϖαλανχηε εφφεχτ α ρεφραχτορψ περιοδ οφ δυρατιον Τ ρεφρ νεεδσ το βε αδδεδ αφτερ τρανσµισσιον. υρινγ τηισ περιοδ, τηε πηασε φυνχτιον οφ α νοδε σταψσ εθυαλ το 0 ανδ ισ νοτ µοδιφιεδ ιφ ρεχειϖινγ α πυλσε Σταβιλιτψ ισ µαινταινεδ ονλψ ιφ εχηοεσ αρε νοτ ρεχειϖεδ, ωηιχη τρανσλατεσ το α χονδιτιον Τ ρεφρ > 2 Τ 0 U. Ernst, K. Pawelzik, and T. Geisel, Synchronization induced by temporal delays in pulse-coupled oscillators, Physical Review Letters, vol. 74, no. 9, pp. 1570 1573, Feb. 1995.
Multiple delays Τ 0 : Προπαγ ατιον δελαψ: τιµε το προπαγ ατε φροµ αν εµιττινγ νοδε το α ρεχειϖινγ νοδε. Τηισ τιµε ισ προπορτιοναλ το τηε διστανχε βετωεεν τωο νοδεσ. Τ ξ : Τρανσµιττινγ δελαψ: λενγ τη οφ τηε βυρστ. Ωηιλε τρανσµιττινγ, α νοδε ισ ιν α τρανσµιτ στατε ανδ χαννοτ λιστεν το οτηερ σψνχηρονιζατιον µεσσαγ εσ. Τ δεχ εχοδινγ δελαψ: τιµε ρεθυιρεδ βψ τηε ρεχειϖερ το δεχοδε α σψνχηρονιζατιον µεσσαγ ε. Τ ρεφρ Ρεφραχτορψ δελαψ: τιµε νεχεσσαρψ αφτερ τρανσµιττινγ το µαινταιν σταβιλιτψ. Α νοδε ισ ιν ρεφραχτορψ στατε δυρινγ τηισ περιοδ.
Synchronization with multiple delays (1) Το χοµβατ τηε λοσσ οφ αχχυραχψ τηε τρανσµιττερ ισ δελαψεδ ιν ιτσ τρανσµισσιον φορ α χερταιν τιµε Τ ωαιτ εθυαλ το: Τ ωαιτ = Τ (Τ ξ + Τ δεχ ) ωηερε Τ δενοτεσ τηε σψνχηρονιζατιον περιοδ. Τηισ σχηεµε µοδιφιεσ τηε νατυραλ οσχιλλατορψ περιοδ οφ αν οσχιλλατορ, ωηιχη ισ νοω εθυαλ το 2 Τ. Τηε τιµε δυρινγ ωηιχη τηε πηασε φυνχτιον ωιλλ ινχρεµεντ ισ ρεδυχεδ βψ τηε ωαιτινγ, τρανσµιττινγ ανδ ρεφραχτορψ δελαψσ. Ιτ ισ νοω εθυαλ το Τ Ρξ = 2Τ Τ ωαιτ Τ ξ Τ ρεφρ Y.-W. Hong and A. Scaglione (2009)
Synchronization with multiple delays Ατ ινσταντ 0, οσχιλλατορ 1 ρεαχηεσ φ τη. Ιτ ωαιτσ υντιλ τ 1 = Τ ωαιτ βεφορε σταρτινγ το τρανσµιτ α σψνχηρονιζατιον βυρστ. Ατ τ 2 = Τ ωαιτ + Τ ξ + Τ δεχ = Τ, οσχιλλατορ 2 ηασ συχχεσσφυλλψ ρεχειϖεδ ανδ δεχοδεδ τηε βυρστ. Ασ τηε τωο οσχιλλατορσ αρε αλρεαδψ σψνχηρονιζεδ, ιτ ωιλλ φολλοω τηε σαµε σχηεµε ασ οσχιλλατορ 1 ανδ ωαιτ υντιλ τ 3 = Τ + Τ ωαιτ βεφορε τρανσµιττινγ. t 2
Other types of synchronization and periodicity in nature Χοντρολλεδ βψ χεντραλ σιγ ναλ (παχεµακερ) θυαρτζ χλοχκσ, σεασονσ, µοντηλψ ρηψτηµσ (µοον), δαψ νιγ ητ ρηψτηµσ (συν), σεασοναλ ρηψτηµ, ΧΠΥσ χλοχκ, χλασσιχαλ µυσιχ ορχηεστρα Αντιχιπατιον βασεδ, σενσε οφ ρηψτηµ ιν ηυµανσ ιµπροϖισατιον ιν ϕαζζ ενσεµβλε, σινγ ινγ σοχχερ συππορτερσ Σουρχεσ οφ περιοδιχ σιγ ναλσ ιν νατυρε: Waves = periodic limit cycles in dynamical systems; fix points of f(f(x)), f(f(f(x))) and so on. Intermittence/pseudo-periodicity: Regular peaks in chaotic systems followed by periods of deterministic chaos, often periods are multiples of 3; caused by near tangential return maps of f(f(x)), f(f(x)), f(f(f(x))), and so on.
Summary Χουπλεδ Οσχιλλατορσ χαν εξπλαιν σποντανεουσ σψνχηρονιζατιον οφ φιρεφλιεσ Τηε σαµε µοδελ χαν βε υσεδ φορ µοδελινγ ηεαρτβεατ (10000 οσχιλλατορσ), βραιν χελλ σψστεµσ, εαρτηθυακεσ. Χοµπυτερ σχιενχε αππλιχατιον το ωιρελεσσ σενσορ νετωορκ σψνχηρονιζατιον ελαψ σ (νο ινσταντανεουσ τρανσµισσιον) δεµανδ φορ αδαπτατιονσ συχη ασ ρεφραχτορψ τιµεσ