Η ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΙΑΚΗ ΙΚΑΝΟΤΗΤΑ ΤΩΝ ΥΠΟΨΗΦΙΩΝ ΔΑΣΚΑΛΩΝ- ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΩΝΤΑΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΑΝΘΡΩΠΙΣΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Representational Competence of pre-service teachers Representing fractions problems Η ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΙΑΚΗ ΙΚΑΝΟΤΗΤΑ ΤΩΝ ΥΠΟΨΗΦΙΩΝ ΔΑΣΚΑΛΩΝ- ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΩΝΤΑΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΠΑΠΑΪΩΑΝΝΟΥ ΑΙΚΑΤΕΡΙΝΗΣ Α.Μ. : 340 ΕΠΙΒΛΕΠΟΥΣΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ: Κ.ΚΟΛΕΖΑ ΕΥΓΕΝΙΑ Νοέμβριος 2014 ΠΑΤΡΑ 1

Αφιερώνεται Στους γονείς μου Χρήστο και Ελένη ως ελάχιστο δείγμα ευγνωμοσύνης και στην Βασιλική για την συνεχή δύναμη που μου δίνει 2

Ευχαριστίες Θα ήθελα να ευχαριστήσω θερμά την επιβλέπουσα καθηγήτρια της διπλωματικής μου εργασίας, κυρία Κολέζα Ευγενία, καθηγήτρια του Παιδαγωγικού Τμήματος Δημοτικής Εκπαίδευσης του Πανεπιστημίου Πατρών, για την πολύτιμη ευκαιρία που μου έδωσε να συνεργαστούμε μαζί και για την εξαίρετη καθοδήγησή της σε όλα τα στάδια της εκπόνησης αυτής της διπλωματικής εργασίας, παρέχοντας χρήσιμες συμβουλές σε κάθε φάση της. Ευχαριστώ, επίσης, και τα μέλη της τριμελούς επιτροπής, κυρία Σπηλιωτοπούλου Βασιλική, καθηγήτρια, και κύριο Μαρκόπουλο Χρήστο, λέκτορα, για την αποτελεσματική συνεργασίας τους και τη συμβολή τους στη συγγραφή της διπλωματικής αυτής εργασίας. Ευχαριστώ, ακόμα, την κυρία Κοντογιάννη Αριστούλα, διδάκτωρα του Πανεπιστημίου Πατρών, για τη δική της σημαντική βοήθεια σε σημαντικές φάσεις της έρευνας. Ευχαριστώ τους συμφοιτητές μου για τη στενή συνεργασία και τη φιλική σχέση που βοήθησε στη στήριξη όλης της προσπάθειας και συνέβαλαν με τα σχόλια και τις γνώσεις τους στην αντιμετώπιση των δυσκολιών. Ευχαριστώ, επίσης, τους φίλους μου, την Γιάννα και στον Θοδωρή, που με ενθάρρυναν σε κάθε στιγμή των σπουδών μου. Περισσότερες ευχαριστίες, όμως, θέλω να εκφράσω στους γονείς μου Χρήστο και Ελένη, στον αδερφό μου Αντώνη για την αμέριστη αγάπη που μου δείχνουν και την ηθική στήριξη όλων των στόχων και των επιλογών μου. Πάτρα, Μάιος 2014 3

Περιεχόμενα Περιεχόμενα... 4 Εισαγωγή... 6 1.Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ... 8 1.1 Τι είναι αναπαράσταση;... 8 1.2 Η αναπαράσταση στη διδασκαλία των μαθηματικών-μαθηματικές αναπαραστάσεις.... 11 1.3 Θεωρητικά μοντέλα για τις σχέσεις αναπαράστασης και μάθησης των μαθηματικών... 12 1.4 Γιατί χρήση αναπαράστασης στα μαθηματικά;... 14 1.5 Αναπαραστάσεις και μάθηση μαθηματικών εννοιών.... 16 2.ΜΟΝΤΕΛΑ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ-ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΙ... 20 2.1 Μοντέλα αναπαράστασης κλασμάτων... 20 2.2 Περιορισμοί στη χρήση μοντέλων αναπαράστασης των κλασμάτων.... 21 3.ΕΞΩΤΕΡΙΚΕΣ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ... 23 3.1 Επίλυση μαθηματικού προβλήματος... 23 3.2 Κριτήρια αξιολόγησης μιας καλής αναπαράστασης... 27 3.3 Έρευνες για τις σχέσεις αναπαράστασης και μάθησης των μαθηματικών... 30 4 Ερευνητικά ερωτήματα... 34 5.ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ... 35 5.1 Δείγμα... 35 5.2 Υλικό... 35 5.3 Διαδικασία... 37 5.4 ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΚΑΘΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΚΑΙ ΓΙΑ ΚΑΘΕ ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ... 39 6. ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ... 76 6.1 Αποτελέσματα κύριας Έρευνας... 76 4

6.2 Αξιολόγηση λανθασμένων αναπαραστάσεων... 114 Συμπεράσματα... 129 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... 135 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ... 140 5

Εισαγωγή Η παρούσα διπλωματική εργασία εκπονήθηκε στα πλαίσια του Μεταπτυχιακού Προγράμματος Σπουδών του Παιδαγωγικού Τμήματος Δημοτικής Εκπαίδευσης του Πανεπιστημίου Πατρών και έθεσε ως κεντρικό ζήτημα τη διερεύνηση της ικανότητας που διαθέτουν οι υποψήφιοι μελλοντικοί εκπαιδευτικοί της πρωτοβάθμιας εκπαίδευσης, ως προς τη χρήση των αναπαραστάσεων και ειδικότερα τη χρήση των αναπαραστάσεων στην επίλυση προβλημάτων με κλάσματα. Ένα σημαντικό στοιχείο που οδήγησε στην επιλογή του συγκεκριμένου θέματος είναι η αδυναμία μεγάλης μερίδας φοιτητών (υποψηφίων δασκάλων) οι οποίοι φοβούνται και σε πολλές περιπτώσεις δεν ξέρουν πώς να παρουσιάσουν με τη χρήση αναπαράστασης ένα πρόβλημα στους μαθητές τους, για να μπορέσουν αυτοί να ανταποκριθούν, να το κατανοήσουν και να το λύσουν με επιτυχία. Αυτό έχει ως αποτέλεσμα να μεταδίδονται μονομερώς από τους εκπαιδευτικούς συγκεκριμένες μηχανιστικές μέθοδοι, οι οποίοι θα πρέπει απλώς να εφαρμόζονται από τους μαθητές χωρίς την ύπαρξη εναλλακτικών μεθόδων λύσης. Το χαρακτηριστικό αυτό οδηγεί στην απουσία της ευέλικτης μαθηματικής σκέψης από την πλευρά των μαθητών και της ανακάλυψης προσωπικών μεθόδων που θα νοηματοδοτούν και τη χρήση αναπαραστάσεων στην επίλυση μαθηματικών προβλημάτων. Ένας ακόμα παράγοντας επιλογής του συγκεκριμένου θέματος ήταν η μικρή έρευνα που έχει πραγματοποιηθεί στη χώρα μας σχετικά με την δημιουργία και χρήση αναπαραστάσεων για την επίλυση μαθηματικών προβλημάτων από τους υποψηφίους δασκάλους σε σύγκριση με τις έρευνες που έχουν πραγματοποιηθεί σε παγκόσμιο επίπεδο. Οι περισσότερες έρευνες που έχουν ασχοληθεί με το θέμα των αναπαραστάσεων αφορούν τις μαθητικές ηλικίες και συγκεκριμένα αφορούν τις ήδη έτοιμες αναπαραστάσεις και τη χρήση αυτών από τους μαθητές, και όχι την δημιουργία και τη χρήση αυτών από τους ίδιους. Η συγκεκριμένη ερευνητική μελέτη εξέτασε τους 3 ο ετής φοιτητές-υποψηφίους μελλοντικούς δασκάλους του Παιδαγωγικού Τμήματος και αξιολόγησε τόσο την ικανότητά τους στην δημιουργία αναπαράστασης όσο και στην σωστή ερμηνεία και χρήση αυτής στην επίλυση προβλημάτων με κλάσματα. Τα αποτελέσματα της έρευνας παρουσιάστηκαν με 6

έμφαση στην κριτική ερμηνεία αυτών, ενώ ταυτόχρονα συσχετίστηκαν με την εγχώρια και διεθνή βιβλιογραφία. Τα αποτελέσματα που προέκυψαν μπορούν να αξιοποιηθούν από το σύνολο της εκπαιδευτικής κοινότητας ώστε να γίνουν γνωστές οι πτυχές που συμβάλλουν στην επιτυχημένη δημιουργία καθώς και στην σωστή ερμηνεία των αναπαραστάσεων εκ μέρους των υποψηφίων δασκάλων για την επίλυση προβλημάτων αλλά και αυτές που συνδέονται με την ελλιπή κατανόηση των φοιτητών σε αυτή τη μαθηματική περιοχή. Μέσα από αυτή τη διαδικασία, το πλαίσιο των αναπαραστάσεων θα μπορέσει να εντάξει όλες εκείνες τις λεπτομέρειες που θα βοηθήσουν αφενός τους μελλοντικούς υποψηφίους δασκάλους να επιδείξουν μεγαλύτερη επιτυχία στη λύση προβλημάτων με τη χρήση αναπαραστάσεων και αφετέρου τους μαθητές τους καθώς θα είναι σε θέση να διαπιστώσουν εκείνα τα σημεία της διδασκαλίας που μπορούν να βοηθήσουν τους μαθητές τους να ερμηνεύουν, να αξιοποιούν και να ανακαλύπτουν όλα όσα χρειάζονται για μία επιτυχημένη στάση απέναντι στην επίλυση προβλημάτων και στα Μαθηματικά γενικότερα. 7

1.Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ 1.1 Τι είναι αναπαράσταση; Είναι πολύ δύσκολο να ορίσεις μια έννοια σαν την αναπαράσταση που χρησιμοποιείται από τόσο διαφορετικούς μεταξύ τους τομείς, όπως η ψυχολογία η επιστημολογία ή τα μαθηματικά, σε μια ποικιλία πλαισίων. Ένας πιθανός τρόπος προσέγγισης είναι μέσα από την αναζήτηση μιας απάντησης στο ερώτημα: Αναπαράσταση τίνος; Μια αναπαράσταση δεν αναπαριστά από μόνη της τίποτα. Χρειάζεται ερμηνεία, η οποία με την σειρά της εξαρτάται από το άτομο που θα την διατυπώσει. Σύμφωνα με τους Denis και Dubois (1976), ο όρος αναπαράσταση επιδέχεται δύο διαφορετικές ερμηνείες : - Αναπαράσταση μπορεί να είναι μια υλική οργάνωση συμβόλων, όπως τα σχήματα, γραφικές παραστάσεις, κώδικες, γλώσσες κτλ. που αποτελούν τα μοντέλα ποικίλων νοητικών διαδικασικών (εξωτερικές αναπαραστάσεις). - Με τον όρο αναπαράσταση μπορούμε να εννοούμε, όμως, και έναν τρόπο οργάνωσης της γνώσης και υπό την έννοια αυτή αποτελεί κεντρικό σημείο της γνωστικής ψυχολογίας. (εσωτερικές αναπαραστάσεις). Ο όρος αναπαράσταση μεταφράζεται σε διάφορα λεξικά με τον όρο απεικόνιση (Νεοελληνικό Λεξικό Πατάκη), αποτύπωση έργου, πράγματος ή γεγονότος, εικαστική ή γραφική παράσταση γεγονότος ή κατασκευής που δεν υπάρχει ή που δεν έχει πλέον την μορφή που είχε (Λεξικό της Κοινής Ελληνικής). Η έννοια της αναπαράστασης εμφανίζεται μέσα σε μια πληθώρα ορισμών και εκτιμήσεων, αφού η διαπραγμάτευση της ξεπερνά κατά πολύ τα πλαίσια της διδασκαλίας και μάθησης κι ακόμα εκείνα του ανθρώπου. Χρησιμοποιείται για να περιγράφουν γενικότερα νοήμονα συστήματα. Κατά τον Palmer (1977) μία αναπαράσταση είναι ένας σχηματισμός (configuration) ο οποίος ολοκληρωτικά ή εν μέρει συνδέεται, αντιστοιχεί, αλληλεπιδρά, συμβολίζει, αναπαριστά κάτι άλλο. 8

Επικρατέστερος ορισμός μπορεί να θεωρηθεί αυτός που δίνεται από τον Kaput (1987), σύμφωνα με τον οποίο ο όρος αναπαράσταση αναφέρεται σε ένα νοητικό σύμβολο ή έννοια, το οποίο αντιπροσωπεύει ένα συγκεκριμένο υλικό σύμβολο και εμπεριέχει ένα σύνολο νοητικών δραστηριοτήτων και πρακτικών, και ως έννοια περιλαμβάνει πέντε ολότητες: 1. Την ολότητα που αναπαριστάται 2. Την ολότητα που αναπαριστά 3. Τις συγκεκριμένες πτυχές της ολότητας της αναπαράστασης που αναπαριστάνται 4. Τις συγκεκριμένες πτυχές της ολότητας που αναπαριστά, οι οποίες σχηματίζουν την αναπαράσταση και 5. Την αντιστοιχία ανάμεσα στις δύο ολότητες. Πρόκειται δηλαδή, για ένα σχηματισμό από χαρακτήρες, εικόνες, διακριτά αντικείμενα κλπ. τα οποία συμβολίζουν ή αναπαριστούν κάτι άλλο. Ο ορισμός αυτός δεν εστιάζεται στη σχέση που συνδέει ένα αντικείμενο με την αναπαράστασή του αλλά δίνει περισσότερες δυνατότητες στην αναπαράσταση παρά στο ίδιο το αντικείμενο. Θεωρεί με άλλα λόγια ότι η αναπαράσταση είναι αυτόνομη και ανεξάρτητη από το αντικείμενο που παριστά και το άτομο μπορεί να τροποποιήσει και να την επεξεργαστεί χωρίς περιορισμούς. Ο Vergnaud (1998) θεωρεί την αναπαράσταση μια δύσκολη έννοια και αναφέρει ότι υπάρχουν τουλάχιστον δύο λόγοι που καθιστούν τις αναπαραστάσεις σημαντικό θέμα για επιστημονική μελέτη. Ο πρώτος, είναι ότι χρησιμοποιούμε την αναπαράσταση ως έκφραση των εσωτερικών εικόνων, των χειρονομιών και των λέξεων. Ο δεύτερος, είναι ότι οι λέξεις και τα σύμβολα που χρησιμοποιούμε στην επικοινωνία δεν αναφέρονται άμεσα στην πραγματικότητα, αλλά αντιπροσωπεύουν τις οντότητες: αντικείμενα, ιδιότητες, σχέσεις, διαδικασίες, ενέργειες και κατασκευάσματα για τα οποία δεν υπάρχει καμία αυτόματη συμφωνία μεταξύ δύο ατόμων. Η έννοια της αναπαράστασης αποτελεί ένα βοηθητικό θεωρητικό εργαλείο για το χαρακτηρισμό των γνωστικών διαδικασιών στη μάθηση των μαθηματικών και αυτό γιατί η περιγραφή του τρόπου εξέλιξης των συστημάτων αναπαράστασης στο χρόνο περιλαμβάνει τόσο σημειωτικές πράξεις, μέσω των οποίων οι αναπαραστάσεις αποκτούν συγκεκριμένο 9

νόημα, όσο και τη δομική εξέλιξη νέων συστημάτων, τα οποία οικοδομούνται πάνω στις βάσεις που παρέχουν τα προϋπάρχοντα συστήματα αναπαράστασης (Goldin& Kaput, 1996). Οι γνωστικοί ψυχολόγοι πιστεύουν (Gutiérrez, 1996?. Phillips et al, 2010 ) πως ο τρόπος με τον οποίο ένας οργανισμός αποκτά πληροφορίες από το περιβάλλον εξαρτάται από τρεις βασικές ικανότητες: 1. Την ικανότητα αναπαράστασης του περιβάλλοντος 2. Την ικανότητα του χειρισμού και αλλαγών αυτών των αναπαραστάσεων και 3. Την ικανότητα αξιοποίησης των αποτελεσμάτων της γνωστικής διαδικασίας Οι περισσότεροι θεωρούν το νου ως ενα σύστημα που οικοδομεί και χειρίζεται σύμβολα. Προσπαθούν με αυτό τον τρόπο να κατανοήσουν πώς αναπαρίστανται και χρησιμοποιούντα τα σύμβολα αυτά και πώς σχετίζονται με την ανθρώπινη δραστηριότητα, ιδιαίτερα τη νοητική (Βοσνιάδου, 2002). Η αναπαράσταση αναφέρεται από τους Papa&Tchoshanov (2001) ως μία εσωτερική αφαίρεση μαθηματικών ιδεών ή γνωστικών σχημάτων. Είναι ένα προϊόν μιας διανοητικής ενέργειας, από την οποία το άτομο (ή ομάδα ατόμων) ξαναφτιάχνει το πραγματικό, το οποίο αντιμετωπίζει και του προσδίδει μια ορισμένη σημασία. Ορίζεται επίσης, ως μία νοητική δομή, η οποία καθορίζεται από διάφορα εργαλεία όπως πίνακες, σχήματα, εξισώσεις και γραφικές παραστάσεις και από τον τρόπο που αυτά χρησιμοποιούνται για την παρουσίαση μαθηματικών ιδεών και εννοιών. Οι αναπαραστάσεις για τους Coulombe & Berenson (2001) αποτελούν έναν τρόπο μοντελοποίησης μαθηματικών, έναν τρόπο για να δείξουν οι μαθητές τη σκέψη. Κάνουν τις μαθηματικές ιδέες πιο συγκεκριμένες και διαθέσιμες για στοχασμό. Υποστηρίζουν και επεκτείνουν τον συλλογισμό, βοηθούν τους μαθητές να επικεντρωθούν σε βασικά χαρακτηριστικά των μαθηματικών καταστάσεων, να αναγνωρίσουν τα κοινά μαθηματικά στοιχεία διαφόρων καταστάσεων (Fennell&Rowan, 2001). Παράλληλα, δίνουν στους μαθητές χρήσιμα εργαλεία για την οικοδόμηση της κατανόησης, την επικοινωνία της πληροφορίας και την απόδειξη του συλλογισμού (Greeno,&Hall, 1997). Κανένας όμως ορισμός από τους παραπάνω δεν είναι ικανοποιητικός. Η αιτία είναι πως κάθε αναπαράσταση δεν μπορεί να θεωρηθεί μεμονωμένα, καθώς οι αναπαραστάσεις 10

ανήκουν σε εξαιρετικά δομημένα συστήματα και είτε έχουν ένα υποκειμενικό χαρακτήρα είτε ένα πιο συμβατικό και πολιτισμικό (Goldin&Kaput, 1996). Αυτά τα συστήματα ονομάζονται συμβολικά σχήματα (Kaput, 1987) ή αναπαραστατικά συστήματα (Goldin, 1987; Lesh, Landau& Hamilon, 1983). 1.2 Η αναπαράσταση στη διδασκαλία των μαθηματικών-μαθηματικές αναπαραστάσεις. Τα είδη των αναπαραστάσεων που περιλαμβάνει η μαθηματική γλώσσα είναι ποικίλα: φυσική καθημερινή γλώσσα, εξειδικευμένη ορολογία, γραφικές παραστάσεις, γεωμετρικά σχήματα, σύμβολα κτλ. Κάποιες αναπαραστάσεις μάλιστα, είναι τόσο στενά συνδεδεμένες με μια μαθηματική έννοια που είναι αδύνατον να αναφερθούμε σε αυτήν την έννοια χωρίς να χρησιμοποιήσουμε την ή τις συγκεκριμένες αναπαραστάσεις. Η μαθηματική γλώσσα, λοιπόν, είναι ένα ψηφιδωτό από αναπαραστάσεις και ο μαθηματικός τρόπος σκέψης δεν είναι στην ουσία παρά το πέρασμα από μια μορφή αναπαράστασης σε μια άλλη. Μια μαθηματική έννοια ή μια μαθηματική δομή, όμως, δεν προσεγγίζεται με μια μόνο αναπαράσταση, αλλά μέσα από διάφορες αναπαραστάσεις. Παρουσιάζοντας αυτές τις αναπαραστάσεις κατά την διάρκεια της διδασκαλίας, αποσκοπούμε στο να μπορέσει ο μαθητής να συλλάβει την κοινή εσωτερική δομή τους, τα κοινά χαρακτηριστικά τους, που θα τον οδηγήσουν στην κατανόηση της έννοιας που αναπαριστά, και που αποτελεί αντικείμενο διδασκαλίας. 11

1.3 Θεωρητικά μοντέλα για τις σχέσεις αναπαράστασης και μάθησης των μαθηματικών Όπως αναφέραμε αρχικά η έννοια της αναπαράστασης περιλαμβάνει τις ακόλουθες πέντε ολότητες: (α) την ολότητα που αναπαρίσταται, (β) την ολότητα που αναπαριστά, (γ) τις συγκεκριμένες πτυχές της ολότητας προς αναπαράσταση που αναπαρίστανται, (δ) τις συγκεκριμένες πτυχές της ολότητας που αναπαριστά, οι οποίες κάνουν την αναπαράσταση και (ε) την αντιστοιχία ανάμεσα στις δύο ολότητες (Kaput, 1987). Ο όρος εσωτερικές αναπαραστάσεις αναφέρεται σε νοητικές εικόνες που κατασκευάζουν τα υποκείμενα, για να αναπαραστήσουν την εξωτερική πραγματικότητα βρισκόμαστε στο επίπεδο του σημαινόμενου (Dufour Janvier et al., 1987). Είναι νοητικοί σχηματισμοί που οικοδομούν τα υποκείμενα μαθητές ή λύτες προβλημάτων για να αναπαραστήσουν την πραγματικότητα. Εξαιτίας της φύσης τους οι εσωτερικές αναπαραστάσεις δεν είναι άμεσα παρατηρήσιμες. Η ύπαρξη τους δηλώνεται από την εξωτερική συμπεριφορά των υποκειμένων. Πολλές φορές η διδασκαλία αποσκοπεί στη δημιουργία συγκεκριμένων νοητικών αναπαραστάσεων. Με τη σύνδεση των διαφορετικών εσωτερικών αναπαραστάσεων, σύμφωνα με τον Δημητρίου (1993), δημιουργούνται νέες νοητικές μονάδες, οι οποίες περιλαμβάνουν σχέσεις ανάμεσα στις ικανότητες και στις διαδικασίες που ανήκουν σε διαφορετικά γνωστικά πεδία. Με τον τρόπο αυτό τα υποκείμενα αναπτύσσουν ικανότητες, οι οποίες σχετίζονται με την επιτυχημένη μετάβαση από τη μια αναπαράσταση μιας έννοιας σε άλλη και συμβάλλουν στην ολοκληρωμένη κατανόηση της έννοιας και στην ανάπτυξη της ικανότητας επίλυσης προβλήματος. Ο όρος εξωτερικές/ σημειωτικές αναπαραστάσεις αναφέρεται σε όλους τους εξωτερικούς συμβολικούς φορείς σύμβολα, σχήματα, διαγράμματα οι οποίοι έχουν στόχο να 12

αναπαραστήσουν εξωτερικά μια συγκεκριμένη μαθηματική πραγματικότητα βρισκόμαστε στο πεδίο του σημαίνοντος (Dufour-Janvier et al., 1987). Οι εξωτερικές αναπαραστάσεις είναι «οι παρατηρήσιμες ενσωματώσεις των εσωτερικών εννοιολογικών δομών των μαθητών» (Lesh, Post&Behr, 1987), δηλαδή του τρόπου με τον οποίο κατανοούν τις έννοιες εσωτερικά οι μαθητές. Υπάρχουν πέντε διαφορετικά είδη συστημάτων εξωτερικών αναπαραστάσεων σε σχέση με τη μάθηση των Μαθηματικών και την επίλυση προβλήματος (Lesh, Post&Behr, 1987): 1. Κείμενα στα οποία η γνώση είναι οργανωμένη με βάση γεγονότα της καθημερινής ζωής και τα οποία αποτελούν το πλαίσιο για την ερμηνεία και επίλυση άλλων καταστάσεων προβλήματος. 2. Χειριστικά αντικείμενα/ μοντέλα όπως είναι οι κύβοι αριθμητικής, οι ράβδοι κλασμάτων, η αριθμητική γραμμή, οι κύβοι Dienes, όπου τα επιμέρους στοιχεία του συστήματος/ μοντέλου δεν έχουν νόημα αυτά καθ αυτά, ωστόσο οι σχέσεις και οι λειτουργίες που προκύπτουν από το χειρισμό και συνδυασμό των επιμέρους στοιχείων ταιριάζουν με πολλές καταστάσεις της καθημερινής ζωής. 3. Εικόνες ή διαγράμματα στατικά εικονικά μοντέλα τα οποία, όπως και τα χειριστικά μοντέλα, είναι δυνατόν να εσωτερικευθούν ως νοητικές εικόνες. 4. Γλώσσες συμπεριλαμβανομένων και των εξειδικευμένων γλωσσών, που σχετίζονται με τα διάφορα επιμέρους πεδία (π.χ. μαθηματική λογική). 5. Γραπτά σύμβολα τα οποία, όπως και οι γλώσσες, είναι δυνατόν να περιλαμβάνουν εξειδικευμένες προτάσεις και φράσεις καθώς επίσης συνηθισμένες προτάσεις και φράσεις στην ομιλούμενη γλώσσα. Ο όρος μετάφραση αναφέρεται στις ψυχολογικές διαδικασίες που εμπλέκονται στη μετάβαση από μια αναπαράσταση σε άλλη, για παράδειγμα, από μια εξίσωση σε μια γραφική παράσταση (Janvier, 1987a). Η διαδικασία μετάφρασης από μια εξωτερική αναπαράσταση σε άλλη, στοχεύει στην ενίσχυση της σύνδεσης ανάμεσα στις εξωτερικές αναπαραστάσεις. Η ερμηνεία των εξωτερικών αναπαραστάσεων και των σχέσεων αναπαράστασης δεν είναι αντικειμενική ή απόλυτη, αλλά εξαρτάται από τις εσωτερικές αναπαραστάσεις των ατόμων 13

που δίνουν την ερμηνεία (Goldin&Kaput, 1996). Σύμφωνα με μια από τις βασικές αρχές του οικοδομισμού (Von Glaserfeld, 1987b) μια αναπαράσταση δεν αναπαριστά από μόνη της, αλλά χρειάζεται ερμηνεία και για να ερμηνευθεί πρέπει να υπάρχει το άτομο που θα την ερμηνεύσει. Το κάθε άτομο αντιλαμβάνεται και ερμηνεύει μια εξωτερική αναπαράσταση με βάση τις νοητικές αναπαραστάσεις που έχει ήδη οικοδομήσει ως αποτέλεσμα προηγούμενων γνώσεων και εμπειριών. Η ερμηνεία μπορεί να επέλθει και με το συνδυασμό επιμέρους γνωστών στοιχείων με αποτέλεσμα να οικοδομηθεί μια νέα έννοια. 1.4 Γιατί χρήση αναπαράστασης στα μαθηματικά; Τα μαθηματικά παρουσιάζουν μια ιδιαιτερότητα σε σχέση με τα άλλα γνωστικά αντικείμενα λόγω του ότι η μαθηματική γνώση δεν μπορεί να γίνει κατανοητή με εμπειρικό τρόπο, αφού μια έννοια των μαθηματικών δεν είναι δυνατόν να έχει άμεση δίοδο πρόσβασης (Duval, 2006). Τα τελευταία χρόνια έχει αναγνωριστεί ευρέως η κεντρική θέση που κατέχουν οι διάφορες μορφές αναπαράστασης στη διδασκαλία και μάθηση των μαθηματικών (Gagatsis&Elia, 2005; Gagatsis, Kyriakides, &Panaoura, 2004). Ενδεικτικά, ένα από τα κριτήρια που περιλήφθηκε πρόσφατα στο Principles and Evaluation Standards for School Mathematics (NCTM, 2000) σχετίζεται με τη χρήση αναπαραστάσεων κατά τη μαθησιακή διαδικασία. Σε αυτό επισημαίνεται ότι είναι πολύ σημαντικό οι μαθητές να αναπαριστούν τις μαθηματικές έννοιες με τρόπο που να έχει νόημα για τους ίδιους έστω και αν οι αναπαραστάσεις που πιθανόν να χρησιμοποιήσουν να μην είναι οι συμβατικές. Ταυτόχρονα, θα πρέπει να μαθαίνουν να χρησιμοποιούν τις συμβατικές μορφές αναπαράστασης κατά τρόπο που να διευκολύνεται η μάθηση και η επικοινωνία των μαθηματικών εννοιών (NCTM, 2000). Οι αναπαραστάσεις που χρησιμοποιούνται στη μαθησιακή διαδικασία καθορίζουν σε σημαντικό βαθμό τα όσα μαθαίνει ο μαθητής και το πόσο εύκολα επιτυγχάνεται η κατανόηση των εννοιών στα μαθηματικά (Cheng, 2000). Λειτουργούν δηλαδή ως χρήσιμα εργαλεία για την 14

οικοδόμηση της μαθηματικής γνώσης, την εννοιολογική κατανόηση και την επικοινωνία μαθηματικών εννοιών (Greeno&Hall, 1997). Ειδικότερα, η ανάγκη χρήσης ποικιλίας αναπαραστάσεων συνδέεται με την οικονομία επεξεργασίας, τη συμπληρωματικότητα των πεδίων αναπαράστασης και τη δομή της αναπαράστασης σε σχέση με την κατανόηση (Duval, 1987; Duval, 1993; Gagatsis, 1997). Ο Duval (1987) επισημαίνει ότι κάθε πεδίο αναπαράστασης χαρακτηρίζεται από διαφορετικές δυνατότητες. Κάθε αναπαράσταση είναι γνωστικά μερική ως προς αυτό που παριστάνει και το κάθε πεδίο αναπαριστά διαφορετικές πτυχές του πεδίου μιας κατάστασης, οπότε η όσο το δυνατόν πληρέστερη κατανόηση μιας έννοιας βασίζεται στο συνδυασμό τουλάχιστον δύο πεδίων αναπαράστασης (Γαγάτσης et al., 2001). Άρα ο συντονισμός των διαφόρων σημειωτικών συστημάτων δεν αποτελεί συνέπεια, αλλά προϋπόθεση της κατανόησης στα μαθηματικά (Duval, 2006). Ωστόσο, αυτή η πολλαπλότητα των αναπαραστάσεων αυξάνει τη δυσκολία και την πολυπλοκότητα της μάθησης των μαθηματικών αφού αναμένεται από το μαθητή να αντιληφθεί τις κοινές ιδιότητες των διαφορετικών αναπαραστάσεων που αναφέρονται στην ίδια έννοια, την κοινή υποκείμενη μαθηματική έννοια ώστε να κατορθώσει να οικοδομήσει την έννοια που αποτελεί στόχο της διδασκαλίας (Γαγάτσης et al., 2001). Κατά συνέπεια, η αναγνώριση και αξιοποίηση των σχέσεων δομής ανάμεσα σε αναπαραστάσεις που διαφέρουν όσον αφορά στα εξωτερικά χαρακτηριστικά είναι σύμφυτη με τη μαθηματική γνώση (Greer&Harel, 1998). Η δυσκολία ορισμένων μαθητών να συνδέσουν τα διάφορα πεδία αναπαράστασης υποδηλώνει την ύπαρξη στεγανοποίησης. Το φαινόμενο αυτό υποδεικνύει μια γνωστική δυσκολία στην επίτευξη μιας ευέλικτης μετάβασης μεταξύ διαφορετικών αναπαραστάσεων για την ίδια μαθηματική έννοια (Duval, 2002). Οι Vinner και Dreyfus (1989) χρησιμοποιούν τον όρο της στεγανοποίησης όχι μόνο όσον αφορά στις αναπαραστάσεις αλλά με μια πιο διευρυμένη ερμηνεία. Συγκεκριμένα, οι ερευνητές αυτοί επισημαίνουν ότι η στεγανοποίηση προκύπτει όταν ένα άτομο διαθέτει δύο διαφορετικά, πιθανόν αντίθετα σχήματα μίας γνωστικής δομής. Η ασυνέπεια στη συμπεριφορά του αποτελεί ένδειξη του συγκεκριμένου φαινομένου. 15

1.5 Αναπαραστάσεις και μάθηση μαθηματικών εννοιών. Oι εξωτερικές αναπαραστάσεις βοηθούν τους μαθητές να συλλάβουν το νόημα των μαθηματικών εννοιών. Ωστόσο, η κατανόηση των μαθηματικών εννοιών, όπως έχει διαπιστωθεί από αρκετούς ερευνητές, δεν προωθείται πάντα από την απλή παρουσία αναπαραστάσεων. Σημαντικό ρόλο διαδραματίζει η προϋπάρχουσα γνώση, καθώς επίσης και η επεξήγηση και η κατάλληλη ερμηνεία των σχετικών εξωτερικών αναπαραστάσεων, το νόημα των οποίων μπορεί να διαστρεβλωθεί, ιδιαίτερα όταν αυτές έρχονται σε σύγκρουση με τις προηγούμενες πεποιθήσεις του μαθητή. Η ιδέα της αναπαράστασης αποτελεί ένα βασικό εργαλείο της σύγχρονης Διδακτικής των Μαθηματικών. Η ιδέα αυτή, που κυριαρχεί σε όλη την έκταση της Θεωρίας Γνώσης και Γνωστικής Ψυχολογίας (Billman 1999 Stufflebeam 1999). Ο ρόλος των αναπαραστάσεων στη μάθηση των μαθηματικών εννοιών αποτελεί ένα σημείο αιχμής των ερευνών της Διδακτικής των Μαθηματικών και της Ψυχολογίας. Η ανθρώπινη σκέψη όπως γνωρίζουμε χαρακτηρίζεται από τη χρήση πολλών ειδών αναπαράστασης για την ίδια έννοια, γεγονός που τη διαφοροποιεί από τη νοημοσύνη των ζώων αλλά όχι από την τεχνητή νοημοσύνη. Ο Granger (1979) υπογραμμίζει ότι η πρόοδος των γνώσεων συνοδεύεται από τη δημιουργία και την ανάπτυξη νέων ειδικών σημειωτικών συστημάτων, που συνυπάρχουν και λειτουργούν παράλληλα με το πρώτο σύστημα, αυτό της φυσικής γλώσσας (αναφορά στο Gagatsis e tal., 1999). Για τον Vygotsky εξάλλου η αφομοίωση του εξωτερικού κοινωνικού λόγου είναι προϋπόθεση του εσωτερικού εγωκεντρικού λόγου. Η δυνατότητα προσφυγής σε πολλαπλά συστήματα αναπαράστασης αποτελεί βασικό χαρακτηριστικό της ανθρώπινης σκέψης. Κατά συνέπεια, η εκπαιδευτική πράξη, η οποία είναι μια από τις εκφράσεις της ανθρώπινης σκέψης, χαρακτηρίζεται από τη χρήση πολλαπλών αναπαραστάσεων με στόχο την απόδοση ιδεών με διαφορετικούς τρόπους. Η Μαθηματική Εκπαίδευση ως αναπόσπαστο μέρος της εκπαιδευτικής πράξης, που περιλαμβάνει σύνολα ιδεών και εννοιών, αποτελεί επίσης τομέα της ανθρώπινης δραστηριότητας και σκέψης, ο οποίος χαρακτηρίζεται από τη χρήση πολλαπλών αναπαραστάσεων. 16

Η ανάγκη μελέτης της έννοιας της αναπαράστασης προκύπτει τόσο για πρακτικούς όσο και για θεωρητικούς λόγους (Kaput, 1985, 1987a, 1987b). Οι πρακτικοί λόγοι αφορούν τις δυσκολίες που αντιμετωπίζουν οι μαθητές στη μετάφραση από τη μια αναπαράσταση στην άλλη σε σχέση με τις μαθηματικές έννοιες, καθώς επίσης ανάμεσα στην καθημερινή εμπειρία και τα Μαθηματικά. Οι θεωρητικοί λόγοι αφορούν την ανάγκη για ύπαρξη ενός συστηματικού θεωρητικού πλαισίου σε σχέση με τα διάφορα συστήματα αναπαράστασης, ώστε να μπορούν να αντιμετωπιστούν αποτελεσματικά οι πρακτικές δυσκολίες, που προκύπτουν σε σχέση με την κατανόηση και τη χρήση των αναπαραστάσεων. «Το θεωρητικό πλαίσιο θεωρείται ότι παρέχει ένα γλωσσικό/ σημειωτικό συμπλήρωμα στην καθαρά γνωστική προσέγγιση των πιο πάνω προβλημάτων» (Kaput, 1987a). Τα παιδιά από μικρή ηλικία έρχονται καθημερινά σε επαφή με μεγάλη ποικιλία εξωτερικών αναπαραστάσεων στο πλαίσιο της διδασκαλίας των Μαθηματικών. Στόχος της διδασκαλίας είναι η σε βάθος κατανόηση μαθηματικών εννοιών μέσα από τη δημιουργία πλαισίων καλά οργανωμένων νοητικών αναπαραστάσεων. Η κατανόηση μιας έννοιας προϋποθέτει την ικανότητα αναγνώρισης της έννοιας, όταν αυτή παρουσιάζεται με μια ποικιλία ποιοτικά διαφορετικών συστημάτων αναπαράστασης, την ικανότητα ευέλικτου χειρισμού της έννοιας μέσα στα συγκεκριμένα συστήματα αναπαράστασης και την ικανότητα μετάφρασης της έννοιας από το ένα σύστημα στο άλλο (Lesh, Post&Behr, 1987 Seeger, 1998). Η ικανότητα μετάφρασης από το ένα σύστημα αναπαράστασης μιας έννοιας στο άλλο είναι ιδιαίτερα σημαντική για την επίλυση μαθηματικού προβλήματος και γενικότερα για τη μάθηση των μαθηματικών εννοιών (Janvier, 1987a). Σχετικά, οι Lesh κ.ά. (1987) υποστηρίζουν ότι η κατανόηση μιας έννοιας προϋποθέτει την ικανότητα αναγνώρισης της έννοιας, όταν αυτή παρουσιάζεται με μια ποικιλία ποιοτικά διαφορετικών συστημάτων αναπαράστασης, την ικανότητα ευέλικτου χειρισμού της έννοιας μέσα στα συγκεκριμένα συστήματα αναπαράστασης και την ικανότητα μετάφρασης της έννοιας από το ένα σύστημα αναπαράστασης στο άλλο. Η ταξινομία του Hitt (1998) προχωρεί ένα βήμα πάρα πέρα από αυτήν των Lesh κ.ά. (1987), διακρίνοντας τα εξής επίπεδα οικοδόμησης της έννοιας: 17

Επίπεδο1: Τα υποκείμενα έχουν ανακριβείς ιδέες για την έννοια (μη συναφές μείγμα διαφόρων αναπαραστάσεων της έννοιας. Επίπεδο2: Τα υποκείμενα είναι σε θέση να εντοπίζουν διαφορετικές αναπαραστάσεις της έννοιας. Επίπεδο3: Τα υποκείμενα είναι σε θέση να κάνουν μετάφραση με διατήρηση του νοήματος από το ένα σύστημα αναπαράστασης σε άλλο. Επίπεδο4: Τα υποκείμενα είναι σε θέση να συνδυάζουν δύο συστήματα αναπαράστασης. Επίπεδο5: Τα υποκείμενα είναι σε θέση να συνδυάζουν διάφορα συστήματα αναπαράστασης με στόχο την επίλυση προβλήματος. Ευρήματα ερευνών καταδεικνύουν την συχνή ύπαρξη δυσκολιών από τους μαθητές όσον αφορά τα τρία τελευταία επίπεδα, δηλαδή, τη μετάφραση από το ένα πεδίο αναπαράστασης στο άλλο και τη μεταξύ τους σύνδεση (Gagatsis, 1997), που εν μέρει οφείλονται στον τρόπο διδασκαλίας της έννοιας στη μέση εκπαίδευση, ο οποίος συνήθως προάγει ένα συγκεκριμένο είδος μετάφρασης συναρτήσεων (από αλγεβρική έκφραση σε γραφική παράσταση). Επιπλέον, μια άλλη σχετική δυσκολία που επισημαίνεται από την Καλδρυμίδου, αφορά την αρνητική τάση των μαθητών, των φοιτητών αλλά και των εκπαιδευτικών, προς τις εικονικές αναπαραστάσεις και την προτίμηση τους σε προσεγγίσεις αλγεβρικού τύπου. Οι λόγοι που σύμφωνα με την ίδια οδηγούν στη δημιουργία αυτής της δυσκολίας είναι: Γνωστικής φύσης, που αφορούν τη δυσκολία της ολιστικής και επιλεκτικής φύσης της εικόνας ως τρόπου παράστασης πληροφοριών Επιστημολογικής φύσης που αναφέρονται στην επιστημολογία της μαθηματικής κοινότητας και της διδακτικής των σχολικών μαθηματικών Συναισθηματικής φύσης, που σχετίζονται με την αβεβαιότητα και το άγχος που αισθάνονται τα υποκείμενα όταν έρχονται αντιμέτωποι με εικονικές ή γραφικές παραστάσεις (στο Γαγάτσης, 1995). 18

Ο σημαντικός ρόλος που διαδραματίζουν τα συστήματα αναπαράστασης και η αλλαγή πεδίου αναπαράστασης στην επίλυση μαθηματικού (και όχι μόνο) προβλήματος και στην κατανόηση των μαθηματικών εννοιών φαίνεται από το μεγάλο αριθμό ερευνητικών εργασιών, που εξετάζουν το θέμα αυτό (Ασβεστά & Γαγάτσης, 1995 Boulton-Lewis, 1998 Cifarelli, 1998 Duval, 1987 Even, 1998 Gagatsis, 1997 Gagatsisetal., 1999 Goldin&Kaput, 1996 Greer&Harel, 1998 Hitt, 1998 Janvier, 1987a Janvier 1987b Janvier, 1998 Kaput, 1985 Kaput,1987a, Kaput, 1987b Lesh, Behr&Post, 1987 Lesh, Post&Behr, 1987). Οι αναπαραστάσεις είναι «σύμφυτες» με τα Μαθηματικά (Dufour-Janvier, Bednarz&Belanger, 1987). Υπάρχουν περιπτώσεις όπου οι αναπαραστάσεις είναι τόσο στενά συνδεδεμένες με μια έννοια, όπως για παράδειγμα οι συναρτήσεις και η γραφική παράσταση, ώστε είναι δύσκολο να γίνει κατανοητή η έννοια, χωρίς τη χρήση της συγκεκριμένης αναπαράστασης. Σύμφωνα με τους Καλδρυμίδου και Οικονόμου (1992) κάθε αναπαράσταση παρέχει πληροφορίες για ορισμένες πτυχές της έννοιας, χωρίς να μπορεί να την περιγράψει ολοκληρωτικά, αντίθετα οι διάφορες αναπαραστάσεις της ίδιας έννοιας αλληλοσυμπληρώνονται. Σύμφωνα με αποτελέσματα ερευνών η μετάβαση από τη μια αναπαράσταση στην άλλη παρουσιάζει αρκετές δυσκολίες τόσο σε μαθητές γυμνασίου (Kerslake, 1986) και αποφοίτους λυκείου (Καλδρυμίδου & Οικονόμου, 1992) όσο και σε φοιτητές Μαθηματικών και Φυσικής (Artigue, 1992). 19

2.ΜΟΝΤΕΛΑ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ-ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΙ 2.1 Μοντέλα αναπαράστασης κλασμάτων Σύμφωνα με τον Van de Walle (2001/2005) τα μοντέλα για την αναπαράσταση κλασμάτων χωρίζονται σε τρεις κατηγορίες: τα μοντέλα περιοχής ή εμβαδού, τα μοντέλα μήκους ή μέτρησης και τα μοντέλα συνόλων. Στα μοντέλα περιοχής ή εμβαδού περιλαμβάνονται ορθογώνιες επιφάνειες, κυκλικοί δίσκοι, γεωπίνακες, διάστικτοι καμβάδες, ορθογώνιοι, pattern blocks, διπλωμένο χαρτί. Σε αυτά τα μοντέλα μια επιφάνεια αποτελεί τη μονάδα αναφοράς, η οποία διαιρείται σε ίσα μέρη. Τα μοντέλα μήκους ή μέτρησης δεν έχουν μεγάλες διαφορές από τα μοντέλα περιοχής ή εμβαδού. Η βασική διαφορά συνίσταται στο ότι στα μοντέλα μήκους συγκρίνουμε μήκη, ενώ στα μοντέλα εμβαδού συγκρίνουμε εμβαδά. Σε αυτή την κατηγορία περιλαμβάνονται οι λωρίδες κλασμάτων και οι ράβδοι Cuisenaire, ευθύγραμμα τμήματα, διπλωμένες λωρίδες χαρτιού, και η αριθμογραμμή Van de Walle(2001/2005). Από την παραπάνω περιγραφή των μοντέλων που συνήθως χρησιμοποιούνται για την αναπαράσταση κλασματικών εννοιών διαπιστώνουμε ότι στα μοντέλα περιλαμβάνονται τόσο εικονικές αναπαραστάσεις όσο και διάφορα υλικά. Στη χρήση μοντέλων για την αναπαράσταση κλασμάτων εντάσσουμε. Σύμφωνα με τον Streefland (1997) οι μαθητές χρησιμοποιώντας τα μοντέλα μαθαίνουν τα κλάσματα σε ένα συγκεκριμένο πλαίσιο. Απώτερος στόχος είναι να αποδεσμευτεί η έννοια του κλάσματος από κάποιο συγκεκριμένο πλαίσιο. Αυτό μπορεί να πραγματοποιηθεί με την επανειλημμένη χρήση των κλασμάτων σε διάφορα πλαίσια, ώστε τελικά οι μαθητές να διαπιστώσουν ότι αυτό που κάθε φορά μένει σταθερό είναι η έννοια του κλάσματος, να αποδεσμεύσουν το κλάσμα από τις διάφορες αναπαραστάσεις και να κατασκευάσουν το τυπικό μαθηματικό περιεχόμενο του κλάσματος. Παρόλα αυτά, δεν εξασφαλίζεται ότι όλοι οι 20

μαθητές οδηγούνται στο μαθηματικό φορμαλισμό. Όσοι μαθητές δεν κατορθώσουν να αποδεσμεύσουν το κλάσμα από τις διάφορες αναπαραστάσεις, θα έχουν τουλάχιστον δημιουργήσει τις απαραίτητες νοητικές εικόνες που θα τους καθιστούν ικανούς να λειτουργούν στα πλαίσια της σχολικής τάξης. Παρόμοια άποψη εκφράζουν και οι Behr et al (1983) για το ρόλο των μοντέλων στη μάθηση των μαθηματικών εννοιών. 2.2 Περιορισμοί στη χρήση μοντέλων αναπαράστασης των κλασμάτων. Η χρήση των διαφόρων μοντέλων για τη διδασκαλία των κλασματικών εννοιών υπόκειται σε περιορισμούς σε σχέση με το βαθμό δυσκολίας στη χρήση τους ή με την έννοια που θέλουμε να διδάξουμε. Πιο συγκεκριμένα, η χρήση των μοντέλων επιφάνειας ή εμβαδού θεωρείται πιο εύκολη από τη χρήση των διακριτών μοντέλων και ίσως η χρήση τους πρέπει να προηγείται κατά τη διδασκαλία (Van de Walle, 2001/2005 Κολέζα, 2000). Η δυσκολία στη χρήση των μοντέλων συνόλων έγκειται στην ανάγκη αναγνώρισης ενός συνόλου ως μία μονάδα και καθενός από τα ισοπληθή υποσύνολά του ως ένα μέρος του όλου (Behr&Post, 1992 Κολέζα, 2000). Παρόλα αυτά, ο περιορισμός σε ένα από αυτά τα δύο είδη μοντέλων είναι δυνατόν να περιορίσει την αντίληψη των μαθητών για τα κλάσματα (Pitkethly&Hunting, 1996). Από τα συνεχή μοντέλα, η χρήση της αριθμογραμμής ενέχει τις περισσότερες δυσκολίες (Van dewalle, 2001/2005 Behr et al., 1983 Charalambous&Pitta-Pandazi, 2007 Κολέζα,2000). Οι μαθητές δυσκολεύονται να αντιστοιχίσουν ένα κλάσμα στην αριθμογραμμή όταν ο αριθμός των ίσων μερών που έχει διαμεριστεί η αριθμογραμμή είναι πολλαπλάσιος ή υποπολλαπλάσιος του παρονομαστή του κλάσματος (Behr et al., 1983 Charalambous&Pitta-Pandazi, 2007). Οι Cramer (2002) και Cramer et al. (2008) υποστηρίζουν ότι η χρήση του συνεχούς μοντέλου των κυκλικών μοντέλων ενδείκνυται τόσο για την κατανόηση βασικών κλασματικών εννοιών όσο και για την κατανόηση της πρόσθεσης κλασμάτων, ενώ οι Cramer, Post&delMas(2002) υποστηρίζουν ότι χρησιμοποιώντας διαφορετικούς κυκλικούς τομείς ως μονάδα αναφοράς παρακάμπτεται η πιθανότητα να ενισχυθεί η σκέψη που βασίζεται σε ακέραιους αριθμούς. 21

Οι ράβδοι Cuisenaire μπορούν να δημιουργήσουν την ανάγκη εισαγωγής της έννοιας του κλάσματος και να βοηθήσουν στην εκμάθηση της έννοιας του κλάσματος, αλλά αν οι μαθητές απομνημονεύσουν την αντιστοιχία των χρωμάτων με τα μήκη τους, τότε χάνεται το πλεονέκτημά τους κάθε ράβδος να αναπαριστά διαφορετικά κλάσματα ανάλογα με την ράβδο που θα επιλεγεί ως μονάδα αναφοράς (Szendrei, 1996). Ένας γενικότερος περιορισμός που υπάρχει στη χρήση μοντέλων για τη διδασκαλία είναι ότι τα μοντέλα δεν διαθέτουν εγγενή μαθηματικά χαρακτηριστικά που να παραπέμπουν άμεσα στις μαθηματικές έννοιες (Ball, 1992 Moyer, 2001). Οι παραπάνω ερευνητές υποστηρίζουν ότι παρόλο που οι εκπαιδευτικοί χρησιμοποιούν τα μοντέλα με στόχο να τα συνδέσουν με μια μαθηματική έννοια, οι μαθητές είναι δυνατόν να δημιουργήσουν διαφορετικό νόημα από τη χρήση του μοντέλου. Αυτό οφείλεται στο ότι οι εκπαιδευτικοί διαθέτουν ήδη τη μαθηματική έννοια, την οποία αναγνωρίζουν στο μοντέλο, ενώ οι μαθητές χρειάζεται να αναπτύξουν την έννοια με τη χρήση του μοντέλου. Για αυτό το λόγο, η απλή παρουσία των μοντέλων στη διδασκαλία δεν εξασφαλίζει την αποτελεσματικότητά τους. Η αποτελεσματική χρήση των μοντέλων εξαρτάται από το διδακτικό πλαίσιο στο οποίο χρησιμοποιούνται. 22

3.ΕΞΩΤΕΡΙΚΕΣ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ 3.1 Επίλυση μαθηματικού προβλήματος Η επίλυση προβλήματος θεωρείται μια από τις σημαντικότερες περιοχές των μαθηματικών σε όλες τις βαθμίδες τις εκπαίδευσης. Για να οδηγηθεί ο μαθητής στην ορθή λύση του προβλήματος, σημαντικό ρόλο διαδραματίζει και ο τρόπος ο οποίος παρουσιάζεται το πρόβλημα σ αυτόν, γι αυτό και η χρήση αναπαραστάσεων ως μέσων για την επίλυση προβλημάτων έχει απασχολήσει ερευνητές της διδακτικής των μαθηματικών. Μία από τις βασικές παραδοχές της θεωρίας των αναπαραστάσεων, όπως προαναφέρθηκε, είναι ότι οι εξωτερικές και εσωτερικές αναπαραστάσεις βρίσκονται σε συνεχή σχέση και αλληλεπίδραση (Cifarelli, 1998). Ως εκ τούτου, η αξιοποίηση των κατάλληλων εξωτερικών αναπαραστάσεων κατά την επίλυση μαθηματικού προβλήματος είναι δυνατό να οδηγήσει στην ανάπτυξη πλούσιων εσωτερικών αναπαραστάσεων που χρησιμοποιούνται ως βάση κατά την επίλυση μαθηματικού προβλήματος (Diezmann & English, 2001) O Schoenfeld (1992) αναφέρει ότι ο όρος «επίλυση μαθηματικού προβλήματος» (ΕΜΠ) έχει χρησιμοποιηθεί με ποικίλα νοήματα, τα οποία αρχίζουν από την απλή εκτέλεση πράξεων από μνήμης και φτάνουν μέχρι τη δημιουργία μαθηματικών από τον επαγγελματία επιστήμονα. Σύμφωνα με τους Mayer & Hegarty (1996) η επίλυση μαθηματικών προβλημάτων ορίζεται ως μια σειρά από νοητικές διεργασίες που κλείνουν το χάσμα ανάμεσα στην αρχική δοθείσα και την επιδιωκόμενη τελική κατάσταση. Οι Charles et al. (1992) επισημαίνουν ότι πρόκειται για μια εξαιρετικά πολύπλοκη διαδικασία, εφόσον περιλαμβάνει την ανάκληση γνωστικών σχημάτων και γεγονότων, τη χρήση ποικίλων δεξιοτήτων και διαδικασιών, την αξιολόγηση της σκέψης και τον έλεγχο του βαθμού προόδου κατά την πορεία επίλυσης του προβλήματος. Ο Polya (1985) θεωρεί την ΕΜΠ ως τέχνη και δεξιότητα που μπορεί να διδαχθεί και να αναπτυχθεί με τη μίμηση και την άσκηση. Ο ίδιος προτείνει μια σειρά από ερωτήσεις ερεθίσματα με τις οποίες ο διδάσκων μπορεί να οδηγεί το μαθητή να αποκτήσει και να εφαρμόζει στρατηγικές προς επίλυση προβλήματος και διακρίνει τέσσερα στάδια κατά τη διαδικασία επίλυσης: 23

1. κατανόηση του προβλήματος 2. κατάστρωση σχεδίου επίλυσης του προβλήματος 3. εκτέλεση του σχεδίου και 4. αναδρομική διερεύνηση Στο στάδιο της κατανόησης η κατάσταση περιγράφεται λεκτικά, ώστε να γίνει μια εσωτερική αναπαράστασή της. Κατά την κατάστρωση σχεδίου επίλυσης κατασκευάζεται από τους μαθητές ένα κατάλληλο μαθηματικό μοντέλο με βάση τα στοιχεία και τις σχέσεις που περιγράφονται από το κείμενο του προβλήματος. Στο τρίτο στάδιο εκτελούνται οι πράξεις που περιλαμβάνονται στο μαθηματικό μοντέλο του προηγούμενου σταδίου ώστε να καταλήξουμε σε κάποιο μαθηματικό αποτέλεσμα και τέλος στο τέταρτο στάδιο ερμηνεύεται το αποτέλεσμα σε σχέση με την αρχική κατάσταση και αξιολογούνται οι λύσεις της κατάστασης που περιγράφεται στο πλαίσιο του προβλήματος. Από το αρχικό κιόλας στάδιο της κατανόησης του προβλήματος, η λεκτική περιγραφή του προβλήματος σε συνδυασμό με τις εξωτερικές αναπαραστάσεις που τυχόν θα το συνοδεύουν συμβάλουν σημαντικά στην προσπάθεια επίλυσης του. Οι Mayer & Hegarty (1996) περιγράφοντας τα στάδια από τα οποία περνά η επίλυση ενός προβλήματος τονίζουν τη σημασία των αναπαραστάσεων στη διαδικασία αυτή. Συγκεκριμένα: Το πρώτο στάδιο αποτελεί η μετάφραση των εξωτερικών αναπαραστάσεων, δηλαδή η μετατροπή των στοιχείων του προβλήματος, σε νοητική αναπαράσταση. Το δεύτερο στάδιο είναι η ολοκλήρωση, δηλαδή ο συνδυασμός όλων των επιμέρους αναπαραστάσεων σε μια περιεκτική, συνολική νοητική εικόνα του προβλήματος Το τρίτο στάδιο είναι ο σχεδιασμός, δηλαδή η επινόηση και ο έλεγχος ενός σχεδίου επίλυσης μιας στρατηγικής προσέγγισης των ζητούμενων. Στο στάδιο αυτό, οι μαθητές χρησιμοποιούν εξωτερικές αναπαραστάσεις (π.χ. σύμβολα, διαγράμματα) τα οποία θα τους βοηθήσουν να οδηγηθούν στη λύση. Τελικό στάδιο στην επίλυση ενός προβλήματος αποτελεί η εκτέλεση, δηλαδή η μετατροπή του σχεδίου σε συγκεκριμένες αριθμητικές πράξεις και η εύρεση του αποτελέσματος. 24

Αντίστοιχα, ο Duval (2006) αναφέρει ότι η επεξεργασία και η μετάφραση των αναπαραστάσεων εφαρμόζεται στην πράξη κατά τη διαδικασία της επίλυσης προβλήματος η οποία, σύμφωνα με τον ερευνητή διέρχεται από τρεις φάσεις: 1η φάση: Εκφώνηση του προβλήματος. Η εκφώνηση πρέπει να προσεγγίζεται με πολύ διαφορετικό τρόπο από άλλα κείμενα καθημερινής γλώσσας αφού επιβάλει τη συνύπαρξη δύο διαφορετικών περιγραφών: η μία αναφέρεται σε ένα σενάριο της καθημερινής ζωής και η άλλη περιλαμβάνει ζευγάρια εκφράσεων που φέρουν αριθμητικά δεδομένα. 2η φάση: Επεξεργασία μέσω μετάφρασης ή μετασχηματισμού. Οι μαθητές μεταφράζουν τη λεκτική περιγραφή του προβλήματος σε άλλου είδους αναπαράσταση, που θα τους βοηθήσει να οδηγηθούν στη λύση. 3η φάση: Συμβολική Επεξεργασία. Η φάση αυτή αναφέρεται στη συμβολική επεξεργασία της λύσης που προτείνεται για το πρόβλημα, εκτελούνται δηλαδή, οι αριθμητικές πράξεις και οι υπολογισμοί που θα οδηγήσουν στην τελική απάντηση. Οι Lesh et al. (1987a) εξέτασαν το ρόλο των αναπαραστάσεων στη μάθηση των μαθηματικών και την επίλυση προβλήματος δίνοντας ιδιαίτερη έμφαση στις μεταφράσεις από το ένα σύστημα αναπαράστασης στο άλλο και στους μετασχηματισμούς μέσα στο ίδιο σύστημα. Οι ίδιοι ερευνητές διαπίστωσαν δυσκολίες μετάφρασης από το ένα σύστημα αναπαράστασης στο άλλο, καθώς οι μετασχηματισμοί μέσα στο ίδιο σύστημα αποτελούν σημαντικούς παράγοντες, οι οποίοι επηρεάζουν τόσο τη μάθηση των μαθηματικών όσο και την επίδοση των μαθητών στην επίλυση προβλήματος. Σύμφωνα με τον Janvier (1987b) η ιδανική μέθοδος για τη μάθηση των μαθηματικών θα ήταν η χρήση διαφορετικών αναπαραστάσεων του ίδιου αντικειμένου. Ιδιαίτερα, δε, σημαντική για την επίλυση μαθηματικού προβλήματος είναι η ικανότητα μετάφρασης από το ένα σύστημα αναπαράστασης μιας έννοιας στο άλλο. Πιο συγκεκριμένα, ως ικανότητα «μετάφρασης αναπαραστάσεων», ο Janvier (1987a) ορίζει την ψυχολογική διαδικασία μέσω της οποίας το άτομο μεταφέρεται απλά από ένα σύστημα αναπαράστασης στο άλλο και αποτελεί σημαντικό κριτήριο αξιολόγησης για την κατανόηση των μαθηματικών εννοιών και παράλληλα αποτελεσματικό μέσο επίλυσης μαθηματικού προβλήματος. 25

Όσο κι αν το πέρασμα αυτό φαίνεται φυσικό, για μερικές περιπτώσεις, ώστε να χαρακτηρίζεται ως φυσική ερμηνεία (Duval, 1987), στα μαθηματικά αποτελεί μια από τις σημαντικότερες δυσκολίες, επίλυσης μαθηματικού προβλήματος. Μία μετάφραση περιλαμβάνει δύο μορφές αναπαράστασης: την «πηγή» (αρχική αναπαράσταση) και το «στόχο» (τελική αναπαράσταση) (Janvier, 1987a). Οι αρχικές συνθήκες αποτελούν το ερέθισμα που τροφοδοτεί με πληροφορίες το υποκείμενο και η τελική αναπαράσταση αποτελεί τη στόχευση της «μετάφρασης» (Lesh, et al., 1987). Όπως επισημαίνουν οι ίδιοι ερευνητές, προκειμένου να πραγματοποιηθεί άμεσα και σωστά μια μετάφραση είναι απαραίτητο να επιλεγούν και να αξιοποιηθούν τα στοιχεία της πηγής που είναι απαραίτητα για να δημιουργηθεί ο στόχος. Ο τρόπος «ανάγνωσης» της αρχικής μορφής του προβλήματος οφείλει να βρίσκεται σε στενή συνάφεια με τη μορφή της τελικής αναπαράστασης. Από την άλλη, η ικανότητα «ανάγνωσης» και ερμηνείας της τελικής αναπαράστασης από το μαθητή δεν είναι μια φυσική συνέπεια της γνωστικής ωρίμανσής του, αλλά εξαρτάται κυρίως από μια εμπρόθετη και συστηματική διδακτική παρέμβαση (Saljo, 1991). Η μεγάλη σημασία των αναπαστάσεων κατά την επίλυση προβλημάτων αναγνωρίζεται κατά το σχεδιασμό των εθνικών επιπέδων εκπαίδευσης και αξιολόγησης για τα μαθηματικά στην Αμερική από το National Council of Teachers of Mathematics (NCTM 2000). Στο κείμενο του 2000 τονίζεται ιδιαίτερα η χρήση των ακόλουθων μαθηματικών διαδικασιών στα σχολικά μαθηματικά: Λύση προβλημάτων, Αιτιολόγηση, Συνδέσεις, Επικοινωνία και Αναπαραστάσεις. Τόσο το NCTM όσο και το National Rerearch Council (NRC, 1996) επισημαίνουν ότι οι μαθητές θα πρέπει να είναι ικανοί να χρησιμοποιήσουν διάφορες μορφές αναπαραστάσεων με ευχέρεια, να ερευνούν και να επικοινωνούν για φαινόμενα του πραγματικού κόσμου. Συγκεκριμένα, όλοι οι μαθητές καλούνται να γίνουν ικανοί: (α) να δημιουργούν και να χρησιμοποιούν αναπαραστάσεις για να οργανώσουν, καταγράψουν και επικοινωνήσουν μαθηματικές ιδέες (β) να επιλέγουν, να εφαρμόζουν και να μεταφράζουν ανάμεσα σε διαφορετικές αναπαραστάσεις με στόχο την κατανόηση και επίλυση μιας προβληματικής κατάστασης, 26

(γ) να χρησιμοποιούν αναπαραστάσεις στη μοντελοποίηση και ερμηνεία φυσικών, κοινωνικών και μαθηματικών φαινομένων. Οι αναπαραστάσεις που αναφέρονται σε κάθε μια από αυτές τις δηλώσεις μπορεί να θεωρηθούν ως εσωτερικά, γνωστικά σχήματα ή εξωτερικοποιήσεις αυτών των νοητικών δομών. Αυτό σημαίνει ότι οι μαθητές μπορούν να δημιουργήσουν εσωτερικές αναπαραστάσεις για να οργανώσουν μαθηματικές ιδέες ή να λύσουν προβλήματα καθώς επίσης να παράγουν εξωτερικές αναπαραστάσεις για να διεκπεραιώσουν τις ίδιες διαδικασίες (Pape & Tchoshanov, 2001) 3.2 Κριτήρια αξιολόγησης μιας καλής αναπαράστασης Ένα ερώτημα που τίθεται είναι πότε θεωρείται μια αναπαράσταση καλή. Δηλαδή ποιες είναι οι ιδιότητες μιας καλής αναπαράστασης. Ο όρος καλή χρησιμοποιείται με την έννοια ότι η αναπαράσταση διευκολύνει- σε μεγαλύτερο ή μικρότερο βαθμό- την κατανόηση μιας έννοιας ή μιας κατάστασης η οποία περιγράφεται π.χ. στην εκφώνηση ενός προβλήματος και κατά προέκταση την επίλυση αυτού του προβλήματος. Ένα δεύτερο ερώτημα τίθεται σχετικά με τα κριτήρια επιλογής μιας αναπαράστασης ως προς ένα συγκεκριμένο στόχο. Τι είδους αναπαράσταση θα επιλέξουμε: εικόνα, γεωμετρικό σχήμα, γραφική παράσταση αριθμογραμμή; Μήπως κάποια είδη αναπαραστάσεων λειτουργούν καλύτερα ως προς όλες τις περιπτώσεις; Ποια είναι τα λειτουργικά όρια μιας αναπαράστασης; Τι υποδεικνύει η μέχρι σήμερα βιβλιογραφία; Κάτι που επίσης πρέπει να μας απασχολήσει σοβαρά είναι τα κριτήρια σύμφωνα με τα οποία αποφασίζεται η χρησιμοποίηση μιας αναπαράστασης και ο τρόπος χρήσης από τον δάσκαλο και τον μαθητή. Πιο συγκεκριμένα ποια είναι τα κίνητρα που ωθούν τους μαθητές και τον δάσκαλο στην χρήση των αναπαραστάσεων; Πόσο έυχρηστο εργαλείο είναι μια αναπαράσταση στα χέρια του ατόμου που την χρησιμοποιεί; 27

Βασική ικανότητα είναι κατά την διαδικασία επίλυσης ενός προβλήματος να μπορούν να απορρίψουν κάποια αναπαράσταση σαν λιγότερο αποτελεσματική έναντι κάποιας άλλης προσφορότερης και να έχουν απόλυτη συνείδηση της επιλογής τους. Η επιλογής μιας αναπαράστασης μεταξύ άλλων υποψηφίων προυποθέτει μια ευελιξία περάσματος από την μια μορφή αναπαράστασης στην άλλη. Η ευελιξία αυτή με την σειρά της, προυποθέτει ότι το άτομο πρέπει να έχει κατανοήσει τον τρόπο λειτουργίας μιας αναπαράστασης, τις δυνατότητες που προσφέρει, τα όρια και το βαθμό αποτελεσματικότητά της. Μία άλλη σημαντική ικανότητα που πρέπει να έχουν τα άτομα είναι να μπορούν να διακρίνουν τις κοινές ιδιότητες ενός αριθμού αναπαραστάσεων της ίδιας έννοιας και να κάνουν σύνδεση με το περιεχόμενο αυτής της έννοιας. Πολλές φορές στα πλαίσια του ίδιου μαθήματος χρησιμοποιούνται πολλές αναπαραστάσεις αθροιστικά χωρίς καμία σύνδεση μεταξύ τους. Δεδομένου ότι η αναπαράσταση δεν μπορεί να περιγράψει πλήρως ένα μαθηματικό κατασκεύασμα και ότι κάθε αναπαράσταση έχει διαφορετικά πλεονεκτήματα, χρησιμοποιώντας πολλαπλές αναπαραστάσεις για την ίδια μαθηματική κατάσταση, αυτό είναι ο πυρήνας της μαθηματικής κατανόησης. Στην εργασία του με τίτλο Assesing diagram quality: Making a difference to represenetation, ο Diezmann (1999), υποστηρίζει ότι η ποιότητα ενός διαγράμματος εξαρτάται από τους εξής παράγοντες: Ορθότητα: η ορθότητα περιλαμβάνει την επιλογή του κατάλληλου τύπου διαγράμματος και την δημιουργία ενός διαγράμματος το οποίο αναπαριστά με ακρίβεια τη δομή του προβλήματος. Αποτελεσματικότητα: «Η αποτελεσματικότητα ενός διαγράμματος στην επίλυση προβλημάτων εξαρτάται από τη χρησιμότητά του ως ένα γνωστικό εργαλείο" Στην έρευνα του στην επίλυση προβλημάτων με αναπαραστασιακά μοντέλα ο K.S.Yuen (1988), θεωρεί ποιοτικά διαγράμματα εκείνα τα οποία τα οποία τηρούν της εξής προϋποθέσεις, έχουν δηλαδή: 28

Αφαιρετικότητα: Το διάγραμμα απεικονίζει μια μαθηματική αφαίρεση του προβλήματος, και παραλείπει τα χωρίς σημασία δεδομένα του. Πληρότητα: Το διάγραμμα δείχνει όλες τις μαθηματικές πληροφορίες του προβλήματος με ολοκληρωμένο τρόπο. Ακρίβεια: Το διάγραμμα είναι μια σωστή ερμηνεία του προβλήματος. Σαφήνεια: Το διάγραμμα δείχνει με σαφήνεια τη μαθηματική σχέση μεταξύ όλων των στοιχείων του προβλήματος. Ως αναπαραστασιακή ικανότητα (representational competence) ορίζεται η ικανότητα των μαθητών να δημιουργούν εξωτερικές αναπαραστάσεις καθώς και η ικανότητα τους να ερμηνεύουν εξωτερικές αναπαραστάσεις (Cai, 2011). Κοινώς ως αναπαραστασιακή ικανότητα ορίζεται ένα σύνολο δεξιοτήτων για την κατασκευή, την ερμηνεία, την μετατροπή εξωτερικών αναπαραστάσεων για την επίλυση προβλημάτων. (Kozma & Russell, 1997; Kozma, Chin, 29

Russell,&Marx, 2000;Wu,Krajcik,&Soloway, 2001; Nathan, Stephens,Masarik, Alibali, & Koedinger, 2002). 3.3 Έρευνες για τις σχέσεις αναπαράστασης και μάθησης των μαθηματικών. Πριν προχωρήσουμε στην περιγραφή της έρευνας μας, κρίνεται σκόπιμο να γίνει μια σύντομη αναφορά σε διάφορες έρευνες για τις σχέσεις αναπαράστασης και μάθησης των μαθηματικών. Στη διεθνή βιβλιογραφία έχει μελετηθεί ο ρόλος των αναπαραστάσεων και έχει αποδειχθεί ότι μπορούν να λειτουργήσουν ως εργαλείο για τη μάθηση των Μαθηματικών (Billman, 1999, Stufflebeam, 1999). Ωστόσο οι απλές αναπαραστάσεις, όπως έχουν υποδείξει αρκετοί ερευνητές, δεν είναι δυνατόν από μόνες τους να βοηθήσουν στην κατανόηση των Μαθηματικών. Σημαντικό ρόλο παίζουν οι προϋπάρχουσες γνώσεις των μαθητών, αλλά και η κατάλληλη επεξήγηση και ερμηνεία που συνοδεύει μια αναπαράσταση. Οι Lowrie και Diezmann (2005) αναφέρουν ότι οι μη αυθόρμητες αναπαραστάσεις, δηλαδή εκείνες που υπάρχουν στα εγχειρίδια και χρησιμοποιούνται κατά τη διδασκαλία απαιτούν αποκωδικοποίηση. Οι μαθητές χρειάζεται να διδαχθούν τον τρόπο «ανάγνωσης» μιας αναπαράστασης, ώστε να μπορέσουν να τις δημιουργήσουν και οι ίδιοι στο πλαίσιο επίλυσης προβλημάτων (Roth, 2002). Το βέβαιο όμως, είναι πως δουλεύοντας οι μαθητές με εικόνες, αναπτύσσουν την χωρική και οπτική τους νοημοσύνη (Lowrie και Diezmann, 2005). Μια τέτοια έρευνα, σχετικά με το ρόλο της εικόνας στην επίλυση μαθηματικού προβλήματος, είναι αυτή της Ριάνας Θεοδούλου και του Αθανάσιου Γαγάτση (Πανεπιστήμιο Κύπρου, Τμήμα Επιστημών της Αγωγής), με θέμα: «Μια εικόνα χίλιες λέξεις Ποιο είδος εικόνας βοηθά στην επίλυση μαθηματικού προβλήματος;» Στην έρευνα αυτή μπορούμε να διακρίνουμε, με βάση τη λειτουργία τους στην επίλυση μαθηματικού προβλήματος, τέσσερα είδη εικόνας: διακοσμητική, βοηθητική-αναπαραστατική, βοηθητική-οργανωτική, πληροφοριακή. Οι διακοσμητικές εικόνες δεν παρέχουν πληροφορίες στους μαθητές για τη λύση του προβλήματος, αλλά πρόκειται για καθαρά διακοσμητικά στοιχεία, οι βοηθητικές-αναπαραστατικές εικόνες αναπαριστούν ολόκληρο ή μέρος του 30

περιεχομένου του προβλήματος, αλλά δεν είναι απαραίτητο να χρησιμοποιηθούν για να λυθεί το πρόβλημα, οι οργανωτικές βοηθούν τους μαθητές να λύσουν το πρόβλημα καθοδηγώντας τους να σχεδιάσουν κάτι, χωρίς να είναι απαραίτητο να χρησιμοποιηθούν στη λύση του προβλήματος και οι πληροφοριακές δίνουν πληροφορίες που είναι απαραίτητες για τη λύση του προβλήματος. Τις κατηγορίες αυτές θα τις δούμε στην συνέχεια πιο αναλυτικά. Τα αποτελέσματα της έρευνας αυτής έδειξαν ότι η παρουσία της διακοσμητικής και της πληροφοριακής εικόνας δεν επηρεάζει σημαντικά την επίδοση των μαθητών, σε αντίθεση με τις βοηθητικές-οργανωτικές εικόνες οι οποίες εμφανίζονται να έχουν στατιστικά σημαντική επίδραση. Οι βοηθητικές-αναπαραστατικές εικόνες άλλοτε εμφανίζουν επίδραση και άλλοτε όχι, ανάλογα με το είδος της πράξης που περιλαμβανόταν στο πρόβλημα Από τα αποτελέσματα φάνηκε ότι ο χαρακτήρας του μετασχηματισμού, δηλαδή το είδος πράξης (π.χ. πρόσθεση, αφαίρεση), υπερισχύει του είδους της εικόνας. Επίσης όπως φάνηκε από τα αποτελέσματα της έρευνας αυτής, η χρήση της εικόνας από τα παιδιά γινόταν ασυνείδητα, καθώς πολλά από αυτά ενώ χρησιμοποιούσαν την εικόνα για να λύσουν τα προβλήματα, αμφισβητούσαν τη χρησιμότητα της εικόνας δηλώνοντας ότι δεν τους βοήθησε στη λύση του προβλήματος. Γενικά βλέπουμε ότι οι εικόνες, και γενικότερα οι αναπαραστάσεις, διαδραματίζουν ένα σημαντικό ρόλο στον τομέα της διδασκαλίας και της μάθησης των μαθηματικών, καθώς τα σύγχρονα και διδακτικά υλικά περιλαμβάνουν περισσότερες εικόνες, διαγράμματα και γραφικές παραστάσεις όσο ποτέ προηγουμένως (Schnotz, 2002 Carney & Levin, 2002). Η ιδέα της χρήσης εικονικών αναπαραστάσεων στην πρακτική των μαθηματικών δεν είναι βέβαια καινούρια, καθώς οι οπτικές αναπαραστάσεις, όπως τα διαγράμματα, οι γραφικές παραστάσεις και τα σχέδια θεωρούνταν ανέκαθεν απαραίτητα εργαλεία στο έργο των μαθηματικών (Rival, 1987). Μεγάλοι μαθηματικοί παιδαγωγοί, όπως οι Hadamard (1945) Poincare (1963), εισηγήθηκαν ότι η χρήση εικονικών αναπαραστάσεων αποτελεί απαραίτητο στοιχείο στην επίλυση μαθηματικού προβλήματος και υποστήριξαν τη χρήση οπτικών αναπαραστάσεων από τους μαθητές στην επίλυση δικών τους προβλημάτων. Επιπρόσθετα, ο Polya (1945) εισηγήθηκε την στρατηγική «κάνε ένα σχέδιο» στο πλαίσιο των ευρηματικών στρατηγικών που πρότεινε για την επίλυση μαθηματικού προβλήματος. 31

Η χρήση των εικονικών αναπαραστάσεων στην επίλυση μαθηματικού προβλήματος υποστηρίζεται τα τελευταία χρόνια και από τη μαθηματική εκπαιδευτική κοινότητα. Το NCTM (2000) στα Principles and Evaluation Standards for School Mathematics ενθαρρύνει τη χρήση τέτοιων αναπαραστάσεων στην επίλυση προβλήματος στο δημοτικό και στο γυμνάσιο. Επιχειρήματα για τη χρήση των εικόνων προβάλλονται και από γνωστικούς ψυχολόγους (π.χ. Larkin & Simon, 1987), οι οποίοι υποστήριξαν ότι η χρήση εικονικών αναπαραστάσεων μπορεί να διευκολύνει την επίλυση μαθηματικού προβλήματος σε όλες τις φάσεις της συγκεκριμένης διαδικασίας. Σχετικά με το ερώτημα που οφείλεται η τόσο έντονη παρουσία αυτών των εικονικών αναπαραστάσεων, μπορούν να γίνουν δύο υποθέσεις. Η πρώτη έχει να κάνει με θεωρίες μάθησης οι οποίες εμπλέκουν την έννοια των νοερών αναπαραστάσεων (Gagatsis et al., 1999 Gagatsis & Michaelidou, 2002). Σύμφωνα με τις αυτές, άτομα που διακρίνονται για την ποικιλία και τον πλούτο των νοερών τους αναπαραστάσεων έχουν αυξημένη ικανότητα κατανόησης και μάθησης των μαθηματικών και επομένως της επίλυσης μαθηματικού προβλήματος. Η δεύτερη, την οποία ερμηνεύουμε ως μια πρόχειρη ερμηνεία της προηγούμενης, δηλαδή των θεωριών μάθησης, είναι ότι κάθε εικόνα ή αναπαράσταση βοηθάει την κατανόηση. Ο ρόλος των αναπαραστάσεων στην επίλυση μαθηματικού προβλήματος είναι ένα από τα πιο σημαντικά θέματα έρευνας στη μαθηματική παιδεία. Παρά το γεγονός ότι στο ρόλο των αναπαραστάσεων γενικώς στη μάθηση έχουν γίνει πάρα πολλές έρευνες (Behr, Lesh, Post, & Silver, 1983 Confrey & Smith, 1991 Gagatsis & Christou, 2002 Dienes, 1964 Janvier, 1987 Lesh, Post, & Behr, 1987 Even, 1998), ειδικά για το ρόλο της εικόνας στη μάθηση των μαθηματικών δεν έχουν βρεθεί σημαντικά αποτελέσματα. Προηγούμενες έρευνες στην κατανόηση κειμένων και εικόνων επικεντρώθηκαν κυρίως στη μνημονική λειτουργία των εικόνων στα κείμενα (Schnotz, 2002). Το κύριο εύρημα αυτών των ερευνών είναι ότι ένας αναγνώστης θυμάται τις πληροφορίες ενός κειμένου καλύτερα όταν αυτό συνοδεύεται από εικόνες, παρά όταν δεν υπάρχουν καθόλου εικόνες (Carney & Levin, 2002). Ωστόσο, οι έρευνες αυτές επικεντρώθηκαν στα λογοτεχνικά κείμενα και δεν επεκτάθηκαν στα μαθηματικά 32

κείμενα. Έτσι, παραμένει ακόμα ασαφές πώς οι εικονικές αναπαραστάσεις χρησιμοποιούνται στην επίλυση προβλήματος (Eisenberg & Dreyfus, 1991). Εδώ να παρατηρήσουμε ότι θα ήταν χρήσιμο να εξετάσει κανείς το αν οι μαθητές (π.χ. δημοτικού σχολείου) χρησιμοποιούν συνειδητά ή ασυνείδητα την εικόνα στην επίλυση μαθηματικού προβλήματος και με ποιους τρόπους. Ο Hittleman (1985) αναφέρει ότι όταν στον μαθητή δίνεται ένα μαθηματικό πρόβλημα μαζί με ένα διάγραμμα για παράδειγμα, το παιδί μπερδεύεται πολύ εύκολα, γιατί «μοιράζει» την σκέψη του μεταξύ του κειμένου και της αναπαράστασης. Αναλώνει τον χρόνο του στο να αναλύσει τα επιμέρους στοιχεία της αναπαράστασης και δεν αφιερώνει χρόνο στο να κατανοήσει την ολότητα της και να βγάλει συμπεράσματα ( Carpenter και Shah, 1989). Για αυτό, τα λάθη που κάνουν τα παιδιά στην επεξεργασία αναπαραστάσεων, αποδίδονται όχι στην περιορισμένη γνωστική τους ικανότητα ή στην αντίληψή τους, αλλά ότι στο δεν έχουν εξοικειωθεί με αυτές (Roth, 2002). Για αυτό είναι σημαντικό οι δάσκαλοι να διδάσκουν την χρήση των αναπαραστάσεων στην τάξη και το πώς να μεταφράζουν τα παιδιά τις πληροφορίες που λαμβάνουν από αυτές. Μάλιστα από τον Γαγάτση (2006) τονίζεται ότι χρειάζεται ιδιαίτερη προσοχή στη χρήση της αριθμογραμμής και των πληροφοριακών εικόνων, ώστε κάθε φορά να βρίσκονται σε συμφωνία με το μαθηματικό πρόβλημα. Επίσης έχει παρατηρηθεί ότι πολλοί μαθητές δημιουργούν αναπαραστάσεις που επικεντρώνονται απλά στα επιφανειακά χαρακτηριστικά του προβλήματος εις βάρος της αναπαράστασης της δομής του προβλήματος. (Dufoir-Janvier, Bednarz & Belanger, 1987). 33

4 Ερευνητικά ερωτήματα: Παρακάτω παρουσιάζονται τα ερευνητικά ερωτήματα της παρούσας εργασίας που τέθηκαν προς εξέταση: 1. Υπάρχουν επίπεδα αναπαραστασιακής ικανότητας (στο θέμα της επίλυσης προβλήματος) στα οποία ανήκουν οι υποψήφιοι μελλοντικοί δάσκαλοι 2. Υπάρχει αντιστοίχιση μεταξύ των επιπέδων αναπαραστασιακής ικανότητας με τα επίπεδα ταξινομίας solo; 3. Επηρεάζει η φύση των μεγεθών στο πρόβλημα (συνεχή ή διακριτά) το είδος της αναπαράστασης που χρησιμοποιείται για την έκφραση της σχέσης αυτών των μεγεθών ή/και την επίλυση του προβλήματος; 4. Υπάρχει συσχέτιση μεταξύ επιπέδου αναπαραστασιακής ικανότητας και επιπέδου μαθηματικών γνώσεων; (Για τους συγκεκριμένους φοιτητές του δείγματός μας, το επίπεδο αναπαραστασιακής ικανότητας καθορίζεται σε σχέση με το επίπεδο SOLO στο οποίο ανήκουν, ενώ το επίπεδο μαθηματικών γνώσεων τεκμηριώνεται απο τον βαθμό πρόσβασης στα Μαθηματικά, κατά την εισαγωγή τους στο πανεπιστήμιο). 34

5.ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 5.1 Δείγμα Οι συμμετέχοντες στην έρευνα είναι 100 υποψήφιοι εκπαιδευτικοί πρωτοβάθμιας εκπαίδευσης, οι οποίοι φοιτούσαν στο Πάτρας το ακαδημαϊκό έτος 2012-2013. Παιδαγωγικό Τμήμα Δημοτικής Εκπαίδευσης της 5.2 Υλικό Για την πραγματοποίηση της παρούσας έρευνας σχεδιάστηκε και εφαρμόστηκε ένα σύνολο έξι (6) ερωτήσεων προβλημάτων τα οποία είχαν σκοπό να εξετάσουν την αναπαραστασιακή ικανότητα των φοιτητών που θα συμμετείχαν στην έρευνα μας. Τα προβλήματα που χρησιμοποιήθηκαν στην έρευνα παρουσίαζαν τρία κοινά χαρακτηριστικά. Επιλύονται με μία μόνο πράξη Εμπεριέχουν τα (δυο) ίδια αριθμητικά δεδομένα Σε κάθε πρόβλημα ζητείται η λύση και η αναπαράστασή της. Τα προβλήματα σχεδιάστηκαν με τρόπο τέτοιο ώστε η λύση τους να δίνεται κάθε φορά με τη χρήση διαφορετικής αλγοριθμικής πράξης. Επίσης οι μεταβλητές που χρησιμοποιήθηκαν στα προβλήματα ήταν συνεχής και διακριτές. Με τον τρόπο αυτό θα είναι εφικτή η ανάλυση των αποτελεσμάτων σε βάθος και θα υπάρχει η δυνατότητα για τη μελέτη της επίδρασης των παραγόντων αυτών στην ικανότητα δημιουργίας και ερμηνείας της αναπαράστασης των 35

προβλημάτων από τους φοιτητές. Παρακάτω παρουσιάζονται αναλυτικά τα προβλήματα που χρησιμοποιήθηκαν στην έρευνα: Λύστε και αναπαραστήστε: 1.Ο Τάσος κόβει 12 μέτρα σύρμα σε κομμάτια των ¾. Πόσα κομμάτια θα πάρει; (διαίρεση μέτρησης 12:3/4) /συνεχής μεταβλητή) 2.Είχα 12 κεϊκάκια και έφαγα τα ¾.Πόσα έφαγα; (πολλαπλασιασμός/ διακριτή μεταβλητή) 3. Είχα 12 κιλά παγωτό στο ψυγείο. Το βράδυ σέρβιρα τα ¾ του κιλού σε φίλους. Πόσο μου έμεινε (αφαίρεση/συνεχής μεταβλητή) 4. Η κυρία Άννα επιστρέφει με τα παιδιά της από το σχολείο. Τα παιδιά κουράστηκαν και την ρωτάνε : πόσο έχουμε ακόμα;. Τους απαντάει ότι έχουνε ακόμα να διανύσουν 12 χιλιόμετρα που είναι τα 3/4 της συνολικής διαδρομής. Πόσο απέχει το σχολείο των παιδιών από το σπίτι τους ; (12:3/4 / συνεχής μεταβλητή) 5.Το εμβαδόν του κήπου μου είναι τα ¾ του στρέμματος. Τον χώρισα σε 12 παρτέρια. Ποιο είναι το μέγεθος του κάθε παρτεριού; (διαίρεση μερισμού 3/4:12 /συνεχής μεταβλητή) 6. Η Κάτια αγόρασε ¾ του μέτρου ύφασμα και έδωσε 12 ευρώ. Πόσο κόστιζε το μέτρο; (διαίρεση μερισμού 12:3/4/συνεχής μεταβλητή) Οι ενδεικτικές απαντήσεις των παραπάνω προβλημάτων παρουσιάζονται στην παράγραφο 5.4 αναλυτικά. 36

5.3 Διαδικασία Η συλλογή και η ανάλυση των δεδομένων αποτέλεσε ένα βασικό κορμό της παρούσας έρευνας και ταυτόχρονα ήταν ένα πολυσύνθετο στάδιο με πολλές διαστάσεις. Για την ανάλυση των δεδομένων που συλλέξαμε χρησιμοποιήσαμε την ποιοτική ανάλυση γραπτού κειμένου με μονάδα ανάλυσης το νόημα (Mayring, 2000). Η ανάπτυξη των κατηγοριών προέκυψε με την επαγωγική μέθοδο, κατά την οποία στοιχεία από το κείμενο και από τη βιβλιογραφική ανασκόπηση συντελούν στην ανάδειξη των κατηγοριών. Όσον αφορά στον τρόπο βαθμολόγησης των προβλημάτων, χρησιμοποιήθηκαν τεχνικές μέτρησης της ποσοτικής έρευνας και της ποιοτικής έρευνας αντίστοιχα. Η μέθοδος αυτή προσδίδει την τριγωνοποίηση των αποτελεσμάτων, δηλαδή ερμηνεύει και αναλύει ποσοτικά τα δεδομένα, αλλά ταυτόχρονα μπορεί να παρουσιάσει και στοιχεία που μπορούν να διαφανούν μόνο μέσα από μία ποιοτικότερη ανάλυση αυτών. Οι κατηγορίες συνεχώς ελέγχονται και αναδιαμορφώνονται ώσπου να προκύψει η τελική κατηγοριοποίηση. Στόχος της ανάλυσης των δεδομένων ήταν να προκύψουν κατηγορίες οι οποίες θα μπορούσαν να περιγράψουν τον τρόπο σκέψης των συμμετεχόντων. Αρχικά τα αντίγραφα από τα γραπτά των μελλοντικών εκπαιδευτικών αριθμήθηκαν τυχαία με αριθμούς από το 1 έως το 100, ώστε κατά την ανάλυση των δεδομένων να καταχωρούνται τα στοιχεία με βάση τον αριθμό του γραπτού και να υπάρχει η δυνατότητα να επανεξετάσουμε μια απάντηση. Αρχικά, έγινε μια ανάγνωση των γραπτών με στόχο να αναδειχθούν βασικές κατηγορίες στις οποίες θα μπορούσαν να ενταχθεί το σύνολο των απαντήσεων. Οι βασικές κατηγορίες που προέκυψαν ήταν οι εξής : α) Καμία ή λανθασμένη αναπαράσταση β) Αναπαράσταση μόνο της εκφώνησης του προβλήματος γ) Πλήρης αναπαράσταση Στη συνέχεια έγινε λεπτομερής ανάγνωση των γραπτών ξεκινώντας από το γραπτό με αριθμό 1. Σε αυτή τη δεύτερη ανάγνωση στόχος ήταν να προκύψουν υποκατηγορίες οι οποίες θα εξειδίκευαν και θα ανέλυαν τις βασικές κατηγορίες σε υποκατηγορίες. Έγινε ποιοτική 37

ανάλυση των αποτελεσμάτων και δημιουργήθηκαν τόσες διαφορετικές κατηγορίες απαντήσεων όσες και οι διαφορετικοί τρόποι λύσεις-αναπαράστασης που χρησιμοποίησαν οι φοιτητές. Οι κατηγορίες αυτές δεν ήταν σχεδιασμένες από την αρχή της έρευνας αλλά προέκυψαν μετά την ανάλυση των δεδομένων. Η δεύτερη αυτή ανάλυση οδήγησε στα τελικά κριτήρια κατηγοριοποίησης δίνοντας τις εξής τελικές κατηγορίες. α) καμία αναπαράσταση-λάθος αναπαράσταση β) αναπαράσταση μόνο της εκφώνησης του προβλήματος γ)αναπαράσταση της πράξης επίλυσης του προβλήματος (αλγοριθμική αναπαράσταση) δ) σωστή αναπαράσταση πράξης και διαδικασίας ε) σωστή λύση με χρήση μόνο σωστής αναπαράστασης Για την καταγραφή της κατηγοριοποίησης των γραπτών κειμένων χρησιμοποιήθηκε το λογισμικό Microsoft Excel for Windows, με την βοήθεια του οποίου ο τρόπος καταγραφής παρείχε διπλή εικόνα τόσο για το σύνολο των γραπτών που εντάσσονταν σε κάθε κατηγορία όσο και για μια συνολική εικόνα κάθε γραπτού ξεχωριστά. Σε κάθε γραμμή (κατηγορία) απεικονιζόταν όχι μόνο το σύνολο των γραπτών που εντάσσονται σε αυτή, αλλά και ποια συγκεκριμένα γραπτά (με βάση την αρίθμησή τους) εντάσσονται, ώστε να είναι δυνατόν να γίνει έλεγχος της αξιοπιστίας του αξιολογητή. Τα δεδομένα στις στήλες παρείχαν μια συνολική και συνοπτική εικόνα για το συνολικό περιεχόμενο του κάθε γραπτού και επέτρεπαν τη διερεύνηση συσχετίσεων μεταξύ των διαφόρων κατηγοριών. Στη συνέχεια με την βοήθεια των ήδη έτοιμων περασμένων στοιχείων στο Excel περάστηκαν τα δεδομένα στο SPSS 19 για να γίνει η καταμέτρηση των δεδομένων, να υπολογιστούν τα ποσοστά των γραπτών κειμένων που εντάσσονται σε κάθε κατηγορία, με βάση τις αντίστοιχες συναρτήσεις που βρίσκονται ενσωματωμένες στο λογισμικό. Στη συνέχεια έγιναν οι αντίστοιχες συσχετίσεις μεταξύ των μεταβλητών προκειμένου να απαντήσουμε στα ερευνητικά μας ερωτήματα. Η παρουσίαση των αποτελεσμάτων έγινε με περιγραφική στατιστική (ποσοστά, διαγραμμάτα), λαμβάνοντας υπόψη τον ποιοτικό χαρακτήρα της έρευνας και την ποιοτική ανάλυση των δεδομένων. Τα αποτελέσματα της έρευνας παρουσιάζονται κατά κατηγορία και σε κάθε κατηγορία αναφέρονται το σύνολο και το ποσοστό των συμμετεχόντων που 38

εντάσσονται σε αυτή. Παράλληλα, παρουσιάζονται και κάποιες χαρακτηριστικές απαντήσεις της συγκεκριμένης κατηγορίας. Τέλος, τα αποτελέσματα παρουσιάζονται και γραφικά όπου ακολουθείται και η εξήγηση αυτών. Στο παράρτημα παρουσιάζονται αναλυτικά σε πίνακα οι αρχικές κατηγορίες που δημιουργήθηκαν καθώς και οι τελικές μετά την επεξεργασία τους. 5.4 ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΚΑΘΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΚΑΙ ΓΙΑ ΚΑΘΕ ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑ 1 : Ο Τάσος κόβει 12 μέτρα σύρμα σε κομμάτια των ¾. Πόσα κομμάτια θα πάρει; Καμία Λάθος Αναπαράσταση Όχι ή λάθος αλγοριθμική διαδικασία Λάθος αποτέλεσμα 39

Αναπαράσταση μόνο της εκφώνησης Όχι ή λάθος αλγοριθμική διαδικασία Λάθος ή Όχι αποτέλεσμα α) ΜΕ ΧΡΗΣΗ BAR MODEL β)με ΧΡΗΣΗ ΑΡΙΘΜΟΓΡΑΜΜΗΣ 40

Αναπαράσταση μόνο της εκφώνησης Σωστή αλγοριθμική διαδικασία Σωστό αποτέλεσμα α) ΜΕ ΧΡΗΣΗ BAR MODEL β) ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΑΡΙΘΜΟΓΡΑΜΜΗΣ 41

Αριθμητική αναπαράσταση Σωστή αλγοριθμική διαδικασία Σωστό αποτέλεσμα α) ΜΕ ΧΡΗΣΗ BARMODEL β) ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΑΡΙΘΜΟΓΡΑΜΜΗΣ 42

Πλήρης αναπαράσταση Σωστή αλγοριθμική διαδικασία Σωστό αποτέλεσμα α) ΜΕ ΧΡΗΣΗ BARMODEL β) ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΑΡΙΘΜΟΓΡΑΜΜΗΣ 43

Πλήρης Αναπαράσταση ΚΑΜΙΑ αλγοριθμική διαδικασία Σωστό αποτέλεσμα α) ΜΕ ΧΡΗΣΗ BARMODEL β) ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΑΡΙΘΜΟΓΡΑΜΜΗΣ 44

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 2 : Είχα 12 κεϊκάκια και έφαγα τα ¾.Πόσα έφαγα; Καμία-Λάθος Αναπαράσταση Όχι ή λάθος αλγοριθμική διαδικασία Λάθος αποτέλεσμα Αναπαράσταση μόνο της εκφώνησης Όχι ή λάθος αλγοριθμική διαδικασία Λάθος ή Όχι αποτέλεσμα α) ΜΕ ΧΡΗΣΗ BAR MODEL 45

β) ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΑΡΙΘΜΟΓΡΑΜΜΗΣ 12-3/4 γ) ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΕΙΚΟΝΑΣ 46

Αναπαράσταση μόνο της εκφώνησης Σωστή αλγοριθμική διαδικασία Σωστό αποτέλεσμα α) ΜΕ ΧΡΗΣΗ BAR MODEL β) ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΑΡΙΘΜΟΓΡΑΜΜΗΣ 47

γ) ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΕΙΚΟΝΑΣ Αριθμητική αναπαράσταση Σωστή αλγοριθμική διαδικασία Σωστό αποτέλεσμα α) ΜΕ ΧΡΗΣΗ BAR MODEL 48

β) ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΑΡΙΘΜΟΓΡΑΜΜΗΣ Πλήρης αναπαράσταση Σωστή αλγοριθμική διαδικασία Σωστό αποτέλεσμα α )ΜΕ ΧΡΗΣΗ BAR MODEL 49

β)με ΧΡΗΣΗ ΑΡΙΘΜΟΓΡΑΜΜΗΣ γ) ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΕΙΚΟΝΑΣ 50

Πλήρης Αναπαράσταση ΚΑΜΙΑ αλγοριθμική διαδικασία Σωστό αποτέλεσμα α) ΜΕ ΧΡΗΣΗ BARMODEL β) ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΑΡΙΘΜΟΓΡΑΜΜΗΣ γ) ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΕΙΚΟΝΑΣ 51

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 3: Είχα 12 κιλά παγωτό στο ψυγείο. Το βράδυ σέρβιρα τα ¾ του κιλού σε φίλους. Πόσο μου έμεινε ; Αναπαράσταση μόνο της εκφώνησης Όχι ή λάθος αλγοριθμική διαδικασία Λάθος ή Όχι αποτέλεσμα α )ΜΕ ΧΡΗΣΗ BAR MODEL β)με ΧΡΗΣΗ ΑΡΙΘΜΟΓΡΑΜΜΗΣ 52

Αναπαράσταση μόνο της εκφώνησης Σωστή αλγοριθμική διαδικασία Σωστό αποτέλεσμα α) ΜΕ ΧΡΗΣΗ BARMODEL β) ME ΧΡΗΣΗ ΑΡΙΘΜΟΓΡΑΜΜΗΣ 53

γ) ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΕΙΚΟΝΑΣ Αριθμητική αναπαράσταση Σωστή αλγοριθμική διαδικασία Σωστό αποτέλεσμα α) ΜΕ ΧΡΗΣΗ BAR MODEL 54

β) ME ΧΡΗΣΗ ΑΡΙΘΜΟΓΡΑΜΜΗΣ Πλήρης αναπαράσταση Σωστή αλγοριθμική διαδικασία Σωστό αποτέλεσμα α )ΜΕ ΧΡΗΣΗ BAR MODEL 55

β) ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΑΡΙΘΜΟΓΡΑΜΜΗΣ 56

Πλήρης Αναπαράσταση (ΑΠ) ΚΑΜΜΙΑ αλγοριθμική διαδικασία Σωστό αποτέλεσμα α) ΜΕ ΧΡΗΣΗ BAR MODEL β) ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΑΡΙΘΜΟΓΡΑΜΜΗΣ 57

γ)με ΧΡΗΣΗ ΕΙΚΟΝΑΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑ 4 Η κυρία Άννα επιστρέφει με τα παιδιά της από το σχολείο. Τα παιδιά κουράστηκαν και την ρωτάνε : πόσο έχουμε ακόμα;. Τους απαντάει ότι έχουνε ακόμα να διανύσουν 12 χιλιόμετρα που είναι τα3/4 της συνολικής διαδρομής. Πόσο απέχει το σχολείο των παιδιών από το σπίτι τους ; Καμία-Λάθος Αναπαράσταση Όχι ή λάθος αλγοριθμική διαδικασία Λάθος αποτέλεσμα 58

Αναπαράσταση μόνο της εκφώνησης Όχι ή λάθος αλγοριθμική διαδικασία Λάθος ή Όχι αποτέλεσμα α) ΜΕ ΧΡΗΣΗ BAR MODEL β) ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΑΡΙΘΜΟΓΡΑΜΜΗΣ 59

Αναπαράσταση μόνο της εκφώνησης Σωστή αλγοριθμική διαδικασία Σωστό αποτέλεσμα α) ΜΕ ΧΡΗΣΗ BAR MODEL β) ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΑΡΙΘΜΟΓΡΑΜΜΗΣ 60

Αριθμητική αναπαράσταση Σωστή αλγοριθμική διαδικασία Σωστό αποτέλεσμα α) ΜΕ ΧΡΗΣΗ BAR MODEL β) ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΑΡΙΘΜΟΓΡΑΜΜΗΣ 61

Πλήρης αναπαράσταση Σωστή αλγοριθμική διαδικασία Σωστό αποτέλεσμα α )ΜΕ ΧΡΗΣΗ BAR MODEL β) ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΑΡΙΘΜΟΓΡΑΜΜΗΣ 62

Πλήρης Αναπαράσταση ΚΑΜΙΑ αλγοριθμική διαδικασία Σωστό αποτέλεσμα α) ΜΕ ΧΡΗΣΗ BAR MODEL 63

β) ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΑΡΙΘΜΟΓΡΑΜΜΗΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑ 5 Ο κήπος μου είναι ¾ του στρέμματος. Τον χώρισα σε 12 παρτέρια. Ποιο είναι το μέγεθος του κάθε παρτεριού; Καμία-Λάθος Αναπαράσταση Όχι ή λάθος αλγοριθμική διαδικασία Λάθος αποτέλεσμα 64

Αναπαράσταση μόνο της εκφώνησης Όχι ή λάθος διαδικασία αλγοριθμική Λάθος ή Όχι αποτέλεσμα α) ΜΕ ΧΡΗΣΗ BAR MODEL β) ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΑΡΙΘΜΟΓΡΑΜΜΗΣ 65

Αναπαράσταση μόνο της εκφώνησης Με διαδικασία αλγοριθμική Σωστό αποτέλεσμα α) ΜΕ ΧΡΗΣΗ BAR MODEL β) ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΑΡΙΘΜΟΓΡΑΜΜΗΣ 66

Αριθμητική αναπαράσταση Σωστή αλγοριθμική διαδικασία Σωστό αποτέλεσμα α) ΜΕ ΧΡΗΣΗ BAR MODEL 67

β) ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΑΡΙΘΜΟΓΡΑΜΜΗΣ 68

Πλήρης αναπαράσταση Σωστή αλγοριθμική διαδικασία Σωστό αποτέλεσμα α ) ΜΕ ΧΡΗΣΗ BARMODEL 69

β) ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΑΡΙΘΜΟΓΡΑΜΜΗΣ Πλήρης Αναπαράσταση ΚΑΜΙΑ αλγοριθμική διαδικασία Σωστό αποτέλεσμα α) ΜΕ ΧΡΗΣΗ BAR MODEL 70

β) ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΑΡΙΘΜΟΓΡΑΜΜΗΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑ 6 Η Κάτια αγόρασε ¾ του μέτρου υφασμα και έδωσε 12 ευρώ. Πόσο κόστιζε το μέτρο; Καμία Λάθος Αναπαράσταση Όχι ή λάθος αλγοριθμική διαδικασία Λάθος αποτέλεσμα 71

Αναπαράσταση μόνο της εκφώνησης Όχι ή λάθος διαδικασία αλγοριθμική Λάθος ή Όχι αποτέλεσμα α) ΜΕ ΧΡΗΣΗ BAR MODEL β) ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΑΡΙΘΜΟΓΡΑΜΜΗΣ 72

Αναπαράσταση μόνο της εκφώνησης Με διαδικασία αλγοριθμική Σωστό αποτέλεσμα α) ΜΕ ΧΡΗΣΗ BAR MODEL β) ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΑΡΙΘΜΟΓΡΑΜΜΗΣ Αριθμητική αναπαράσταση Σωστή αλγοριθμική διαδικασία Σωστό αποτέλεσμα α) ΜΕ ΧΡΗΣΗ BAR MODEL 73

β) ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΑΡΙΘΜΟΓΡΑΜΜΗΣ Πλήρης αναπαράσταση Σωστή αλγοριθμική διαδικασία Σωστό αποτέλεσμα α) ΜΕ ΧΡΗΣΗ BAR MODEL 74

β) ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΑΡΙΘΜΟΓΡΑΜΜΗΣ Πλήρης Αναπαράσταση ΚΑΜΜΙΑ αλγοριθμική διαδικασία Σωστό αποτέλεσμα α) ΜΕ ΧΡΗΣΗ BAR MODEL β) ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΑΡΙΘΜΟΓΡΑΜΜΗΣ 75

6. ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ 6.1 Αποτελέσματα κύριας Έρευνας Στην έρευνα που διεξήχθη συμμετείχαν 100 φοιτητές, οι οποίοι ο καθένας απάντησε σε 6 διαφορετικά προβλήματα. Στα γραφήματα που παρουσιάζονται παρακάτω φαίνεται το ποσοστό απαντήσεων (τρόπος απάντησης λύσης) των φοιτητών ξεχωριστά. για κάθε πρόβλημα ΠΡΟΒΛΗΜΑ 1: Ο Τάσος κόβει 12 μέτρα σύρμα σε κομμάτια των ¾. Πόσα κομμάτια θα πάρει; Παρατηρούμε ότι στο πρόβλημα1 που έχουμε συνεχές μέγεθος (μέτρα σύρμα) από τους 100 φοιτητές μόνο ένα 2% έδωσε λύση στο πρόβλημα χρησιμοποιώντας καθαρά αναπαράσταση και μόνο, χωρίς χρήση κάποιου αριθμητικού αλγορίθμου. Αξιοσημείωτο είναι 76

το γεγονός ότι το 34% των φοιτητών δεν μπόρεσε να δώσει κάποια λύση. Το 22% στηρίχθηκε στον αλγόριθμο για να μπορέσει να κάνει την αναπαράσταση. ΠΡΟΒΛΗΜΑ 2: Είχα 12 κεκάκια και έφαγα τα ¾.Πόσα έφαγα; Στο παραπάνω πρόβλημα με το διακριτό μέγεθος (κεικάκια), πάλι ένα μικρό ποσοστό της τάξεως 8% έκανε χρήση μόνο της αναπαράστασης για την επίλυση του προβλήματος. Οι περισσότεροι φοιτητές κατάφεραν να κάνουν μόνο την αναπαράσταση της εκφώνησης του προβλήματος, ή να στηριχθούν στον αλγόριθμο για την δημιουργία κάποιας αναπαράστασης. 77

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 3: Είχα 12 κιλά παγωτό στο ψυγείο. Το βράδυ σέρβιρα τα ¾ του κιλού σε φίλους. Πόσο μου έμεινε ; Στο συγκεκριμένο πρόβλημα στο οποίο έχουμε συνεχές μέγεθος (κιλά) παρατηρήθηκε δυσκολία στην επίλυση. Ένα αρκετά μεγάλο ποσοστό 40% δεν έδωσε καμία λύση ή έδωσε τελείως άσχετη λύση. Επίσης, και σε αυτό το πρόβλημα διακρίνεται η δυσκολία επίλυσης του προβλήματος μόνο μέσω καθαρής αναπαράστασης αφού μόνο 7 φοιτητές από τους 100 το έλυσαν χωρίς την χρήση μαθηματικού αλγορίθμου και μόνο με τη δημιουργία και χρήση σωστής αναπαράστασης. 78

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 4: Η κυρία Άννα επιστρέφει με τα παιδιά της από το σχολείο. Τα παιδιά κουράστηκαν και την ρωτάνε : πόσο έχουμε ακόμα;. Τους απαντάει ότι έχουνε ακόμα να διανύσουν 12 χιλιόμετρα που είναι τα 3/4 της συνολικής διαδρομής. Πόσο απέχει το σχολείο των παιδιών από το σπίτι τους; Στο πρόβλημα 4 στο οποίο έχουμε συνεχές μέγεθος (χιλιόμετρα), μόνο 6 φοιτητές από τους 100 το επιλύουν με χρήση μόνο αναπαράστασης χωρίς κάποιον μαθηματικό αλγόριθμο. Το 31% φτιάχνουν την αναπαράσταση αφού πρώτα έχουν κάνει κάποια αριθμητική διαδικασία και το 13% χρησιμοποιούν-ερμηνεύουν σωστά την αναπαράσταση καθώς και κάνουν χρήση κάποιου μαθηματικού αλγορίθμου. 79

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 5: Ο κήπος μου είναι ¾ του στρέμματος. Τον χώρισα σε 12 παρτέρια. Ποιο είναι το μέγεθος του κάθε παρτεριού; Στο πρόβλημα 5 που έχουμε συνεχές μέγεθος (στρέμματα) το 27% των φοιτητών δεν έδωσε κάποια λύση και το 41% έμεινε μόνο στην αναπαράσταση της εκφώνησης του προβλήματος. Μόνο 1% αναπαράσταση. έλυσε το συγκεκριμένο πρόβλημα χρησιμοποιώντας μόνο την ΠΡΟΒΛΗΜΑ 6: Η Κάτια αγόρασε ¾ του μέτρου ύφασμα και έδωσε 12 ευρώ. Πόσο κόστιζε το μέτρο; 80

Στο πρόβλημα 6 που έχουμε συνεχές μέγεθος (μέτρο) έχουμε ένα 23% των φοιτητών που δεν δίνουν καμία λύση στο πρόβλημα και επίσης 31% που παραμένουν μόνο στην αναπαράσταση της εκφώνησης. Μόνο 6 φοιτητές κατάφεραν και στηρίχθηκαν μόνο στην αναπαράσταση για την λύση του προβλήματος ενώ 20 φοιτητές έκαναν πρώτα την αλγοριθμική διαδικασία. 81

ΣΥΓΚΕΝΤΡΩΤΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΚΑΘΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΚΑΜΙΑ ΛΥΣΗ ΕΙΚΟΝΙΚΗ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΤΗΣ ΕΚΦΩΝΗΣΗΣ ΧΩΡΙΣ ΛΥΣΗ ΕΙΚΟΝΙΚΗ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΤΗΣ ΕΚΦΩΝΗΣΗΣ ΜΕ ΛΥΣΗ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΠΟΥ ΣΤΗΡΙΖΕΤΑΙ ΣΤΗΝ ΠΡΑΞΗ ΠΛΗΡΗΣ ΕΙΚΟΝΙΚΗ ΚΑΙ ΣΥΜΒΟΛΙΚΗ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ Πρόβλημα1 34% 13% 6% 22% 23% 2% ΠΛΗΡΗΣ ΕΙΚΟΝΙΚΗ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΧΩΡΙΣ ΧΡΗΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥ 28% Πρόβλημα2 15% 3 30% 25% 19% 8% 55% Πρόβλημα3 40% 9% 13% 14% 17% 7% 27% Πρόβλημα4 24% 9% 17% 31% 13% 6% 48% Πρόβλημα5 27% 20% 21% 23% 8% 1% 44% Πρόβλημα6 23% 8% 23% 20% 20% 6% Πίνακας 1 31% 82

Παρατηρούμε ότι μπορούμε να κάνουμε αντιστοίχιση μεταξύ των επιπέδων αναπαραστασιακής ικάνότητας των φοιτητών με τα επίπεδα ταξινομίας solo. Στον παρακάτω πίνακα φαίνεται αναλυτικά η αντιστοιχία. ΕΠΙΠΕΔΑ-ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ SOLO ΤΑΞΙΝΟΜΙΑΣ ΕΠΙΠΕΔΑ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΙΑΚΗΣ ΙΚΑΝΟΤΗΤΑΣ ΤΩΝ ΦΟΙΤΗΤΩΝ ΤΟΥ ΔΕΙΓΜΑΤΟΣ ΜΑΣ 0 Προδομικό (prestructural ) ο μαθητής δεν καταφέρνει να αντιμετωπίσει την άσκηση 1 Μονοδομικό (unistructural): ένα μέρος της δραστηριότητας έχει κατανοηθεί και δεν υπάρχει σύνδεση μεταξύ των ιδεών. 2 Μονοδομικό (unistructural): ένα μέρος της δραστηριότητας έχει κατανοηθεί και δεν υπάρχει σύνδεση μεταξύ των ιδεών. 3 Πολυδομικό(multistructural): δύο ή περισσότερες πτυχές του προβλήματος έχουν κατανοηθεί αλλά όχι συσχετιστικά. 4 Συσχετιστικόέχει αποκτηθεί μία γνωστική δομή που επιτρέπει συσχετισμούς μεταξύ των πτυχών του προβλήματος και έχει επιτευχθεί η κατανόηση. 5 Εκτεταμένης αφαίρεσης η κατανόηση γενικεύεται σε ένα υψηλότερο αφαιρετικό επίπεδο. Καμία Λύση / άσχετη λύση Εικονική Αναπαράσταση μόνο της εκφώνησης, χωρίς λύση Εικονική Αναπαράσταση μόνο της εκφώνησης, με σωστή λύση Αναπαράσταση συμβολική, (δημιουργία εικονικής αναπαράστασης μέσω πράξης) Αναπαράσταση πλήρης (εικονική και συμβολική),σωστή λύση μέσω και των δύο. Πλήρης εικονική αναπαράσταση με λύση, χωρίς χρήση μαθηματικού αλγορίθμου (όχι συμβολική αναπαράσταση) Πίνακας 2 83

Από τον πίνακα1 (Συγκεντρωτικό πίνακα) παρατηρείται ότι σε όλα τα προβλήματα ένα μικρό ποσοστό φοιτητών χρησιμοποιεί καθαρά και μόνο την αναπαράσταση για να επιλύσει το πρόβλημα. Δηλαδή μόνο ένα μικρό ποσοστό των φοιτητών ανήκει στο τελευταίο επίπεδο της ταξινομίας solo. Αυτό επιβεβαιώνεται και από το παρακάτω γράφημα, στο οποίο φαίνονται τα ποσοστά των απαντήσεων και των 100 φοιτητών και για τα 6 προβλήματα, άρα για 600 απαντήσεις. Όπως παρατηρείται η πλειοψηφία των φοιτητών ανήκει στα πρώτα τρία επίπεδα της ταξινομίας solo, και μόνο το 5% στο ανώτερο επίπεδο της εκτεταμένης αφαίρεσης. Στο παρακάτω γράφημα φαίνεται για κάθε πρόβλημα ξεχωριστά ο αριθμός των φοιτητών που χρησιμοποίησαν bar model για την αναπαράσταση του προβλήματος, και ο αριθμός των φοιτητών που χρησιμοποίησαν αριθμογραμμή. 84