ΑΣΥΜΠΙΕΣΤΗ, ΑΤΡΙΒΗ (INISCID) ΡΟΗ X Ολα τα παγµατικά ευστά έχουν ιξώδες. Οµως τα ευστά συχνά συµπειφέονται σαν ανιξώδη ή άτιβα (inviscid), π.χ. έχουν αµελητέο ιξώδες. Αυτή η πααδοχή απλοποιεί κατά πολύ τις εξισώσεις Navier Stokes. Σ αυτό το κεφάλαιο θα µελετήσουµε την δυναµική των ιδανικών ευστών (ασυµπίεστα ευστά µε µηδενικό ιξώδες). Η ανιξώδης οή δεν πειλαµβάνει διατµητικές τάσεις παά µόνον κάθετες τάσεις. ΕΞΙΣΩΣΗ ΟΡΜΗΣ ΓΙΑ ΑΤΡΙΒΗ ΡΟΗ Θεωούµε την εξίσωση NavierStokes, +. t και θέτουµε τους ιξώδεις όους ίσον µε το µηδέν +. τ + g +. t + g Αναλύοντας αυτή την εξίσωση στις συνιστώσες της για ένα κατεσιανό σύσηµα συντεταγµένων παίνουµε:
X x συνιστώσα g + x u + w y u + x u + u t u x υ y συνιστώσα g + y + w y + x + u t y υ υ υ υ υ συνιστώσα g + w + w y w + x w +u t w υ Αυτές είναι γνωστές σαν οι εξισώσεις του Euler, οι οποίες ανακαλύφθηκαν από τον Euler πιν οι NavierStokes ανακαλύψουν τις δικές τους εξισώσεις. Οι εξισώσεις Euler µποούν να εφαµοσθούν για άτιβες (frictionless) ή ανιξώδεις (inviscid) οές. Υπάχουν πολλές πειπτώσεις που οι επιδάσεις του ιξώδους είναι µικές. π.χ., οή πάνω από στεεές επιφάνειες (βλέπε σχήµα παακάτω).
X Το πεδίο οής µποεί να διαιεθεί σε ένα στώµα (γνωστό σαν οιακό στώµα) όπου οι ιξώδεις επιδάσεις είναι σηµαντικές και ένα στώµα µακιά από την στεεά επιφάνεια (ελεύθεο εύµαανιξώδης οή) όπου οι ιξώδεις επιδάσεις µποούν να αγνοηθούν. Οι εξισώσεις Euler µποούν να χησιµοποιηθούν στο ελεύθεο εύµα. Σε τέτοιες πειπτώσεις οι ιξώδεις επιδάσεις πειοίζονται σε µία µική επιφάνεια κοντά στην στεεά επιφάνεια (οιακό στώµα boundary layer). Εξω από αυτό το στώµα η οή είναι ανιξώδης ή άτιβη. Η πααδοχή της ανιξώδους οής σε αγωγό υποννοεί επίπεδη κατανοµή ταχύτητας. Μία τέτοια κατανοµή ποσεγγίζει την τυβώδη οή πεισσότεο απ ότι την γαµµική.
ΟΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ EUER ΣΕ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΡΟΊ ΚΩΝ ΓΡΑΜΜΩΝ (STREAMINE COORDINATES) X 4 Οι εξισώσεις Euler γίνονται πολύ χήσιµες όταν εφαµοσθούν σε ένα σωµατίδιο ευστού ακολουθώντας µία οϊκή γαµµή. Θεωούµε ένα τέτοιο σωµατίδιο για ανιξώδη οή. Εφαµόζουµε το ισοζύγιο οµής στις s και n κατευθύνσεις {Accumulation of momentum} {Rate of momentum in} {rate of momentum out} +{body force} + {contact force} Εφαµόζουµε πώτα στην s κατεύθυνση: t ( d [ olume]) [( ) ] s dn. [ ( ) ] s + ds dn.+ + g dn ds.+ s dn. s + ds s dn.
X 5 Θέτοντας d[olume]dn.ds. και διαιώντας µε το dn και θέτοντας τα όια του dn, και ds πος το µηδέν, µποούµε να πάουµε gs + s t s sκατεύθυνση: Για µόνιµες οές /t Εάν αγνοήσουµε την σωµατική δύναµη (βαύτητα) για οή σε οιζόντιο επίπεδο g s, g s g /s, τότε s s η οποία δείχνει ότι µία µείωση της ταχύτητας συνοδεύεται από µία αύξηση της πίεσης. Εάν εφαµόσουµε την αχή διατήησης της οµής στην nκατεύθυνση, nκατεύθυνση: n g n R, g n g n όπου α n R είναι η κεντοµόλος (centrietal) επιτάχυνση και το ανητικό πόσηµο υπάχει επειδή α n δείχνει πος το κέντο καµπυλότητας της οϊκής γαµµής (στην n κατεύθυνση) και R είναι η απόσταση από το κέντο
X 6 καµπυλότητας. Πάλι σε οή σε οιζόντιο επίπεδο, η σωµατική δύναµη δεν παίζει κανένα όλο και η εξίσωση απλοποιείται στην: n R η οποία µας λέει ότι υπάχει αύξηση της πίεσης στην κατεύθυνση που δείχνει πος τα έξω από το κέντο καµπυλότητας, δηλαδή στην κατεύθυνση n.
X 7 Παάδειγµα: Θεωούµε άτιβη, ασυµπίεστη, µόνιµη οή γύω από σφαία ακτίνας " a " όπως φαίνεται στο σχήµα παακάτω. Από την δυναµική (otential) θεωία, η ταχύτητα του ευστού κατά µήκος της οϊκής γαµµής AB δίνεται από: a + x Καθοίστε την κατανοµή πίεσης κατά µήκος της οϊκής γαµµής από το σηµείο A (x A και A ) στο σηµείο B πάνω στηνσφαία (x B a and B ). Σχήµα: Ροή γύω από µία σφαία Επειδή η οή είναι µόνιµη και άτιβη, οι εξισώσεις Eulers κατά µήκος µιας οϊκής γαµµής ισχύουν: s s
X 8 Χησιµοποιώντας την κατανοµή ταχύτητας, x a x a + x s 4 x a x a + 4 Μποούµε να δούµε ότι / s < κατά µήκος της οϊκής γαµµής που δείχνει ότι το ευστό επιβαδύνεται από µακιά από τη σφαία στο µηδέν στην «µύτη» της σφαίας. Αντικαθιστώντας, x a x a + x 4 Αυτή η σχέση δείχνει ότι η πίεση µεγαλώνει στην κατεύθυνση οής και παίνει την µεγαλύτεη τιµή της στην «µύτη» της σφαίας. Εάν υποθέσουµε ότι στο x A και (gage), Ολοκληώνοντας παίνουµε την κατανοµή της πίεσης: ) x / (a + x a 6 Η πίεση στο B, το οποίο είναι ένα σηµείο στασιµότητας (stagnation oint) επειδή B, είναι η υψηλότεη κατά µήκος της οϊκής γαµµής ( B /). Παακάτω βλέπουµε τις κλίσεις και κατανοµή πίεσης κατά µήκος της οϊκής γαµµής.
X 9
X Παάδειγµα: Ροή σε καµπύλη αγωγού (bend) Η ογκοµετική παοχή αέα σε STP σε ένα επίπεδο αγωγό (flat duct) µποεί να µετηθεί µε την εγκατάσταση δύο κουνών πίεσης (ressure tas) κατά πλάτος της καµπύλης. Ο αγωγός είναι. m βαθύς (dee) και. m πλατύς (wide). Η εσωτεική ακτίνα της καµπύλης είναι.5 m. Εάν η διαφοά πιέσης που µετείται µεταξύ των δύο κουνών είναι 4 mm νεού, υπολογίστε ποσεγγιστικά την ογκοµετική παοχή υποθέτοντας ότι η ταχύτητα είναι οµοιόµοφη κατά πλάτος της καµπύλης. Υποθέτουµε: Ατιβη, ασυµπίεστη και οµοιόµοφη οή Υποθέτουµε ότι η rκατεύθυνση είναι κάθετη στη οή όπως φαίνεται στο σχήµα. Η βασική εξίσωση Euler γίνεται ή / n / R
X r dr d r dr d r lnr r dr d r r r r ) r / r ( or r r / ln ln ή τελικά (χησιµοποιώντας ότι το του αέα σε Standard T και P (STP) είναι.8 kg/m ).8m/s or ) r / r ( h g O H / ln Για οµοιόµοφη οή: Q A (r r )W.94 m /s. Λόγω αυτής της πίεσης, καµπύλες σε συστήµατα οής πέπει να στηίζονται µε χήση υποστηιγµάτων για να αποφεύγουµε ζηµιές.
XI Η ΕΞΙΣΩΣΗ BERNOUI Ολοκλήωση τηε εξίσωσης Euler κατά µήκος µιας οϊκής γαµµής για µόνιµη οή Η Εξίσωση Euler για µόνιµη οή κατά µήκος µιας οϊκής γαµµής δίνεται από: s g s s Εάν ένα σωµατίδιο του ευστού κινείται κατά µία απόσταση, ds, κατά µήκος µίας οϊκής γαµµής τότε: Η αλλαγή της πίεσης κατά µήκος του s µποεί να εκφασθεί ως: s ds d Η υψοµετική αλλαγή κατά µήκος του s ως: s ds d
XI Η αλλαγή της ταχύτητας κατά µήκος του s ως: ds d s Πολλαπλασιάζοντας την εξίσωση του Euler µε ds, και χησιµοποιώντας τις πααπάνω εκφάσεις παίνουµε: d g d d (along s) ή d + g d + d (along s) Ολοκλήωση αυτής της εξίσωσης µεταξύ δύο σηµείων ("", and "") πάνω σε µία οϊκή γαµµή δίνει: d + g ( )+ ( ) ( along s) Για ασυµπίεστα ευστά, const, έτσι ( ) + g ( )+ ( ) (along s) ή + + g + + g
XI Γενικά µποούµε να γάψουµε: + g + constant (along s) Αυτή είναι η εξίσωση Bernoulli πού µποεί να χησιµοποιηθεί κάτω από τις εξής πααδοχές: () Μόνιµη οή () Ασυµπίεστη οή () Ατιβη ή ανιξώδη οή (inviscid) (4) Ροή κατά µήκος µίας οϊκής γαµµής. Υπογαµµίζεται ότι διαφοετικές οϊκές γαµµές έχουν διαφοετικές σταθεές. Bernoulli constants h o / + / + g (5) Κανένα έγο µεταξύ των σηµείων και : δεν παεµβάλλονται αντλίες ή τουµπίνες στην οϊκή γαµµή. (6) Καµµία µεταφοά θεµότητας µεταξύ των σηµείων και : είτε ποστιθέµενη είτε αφαιούµενη. Η εξίσωση Bernoulli είναι χήσιµη επειδή συσχετίζει αλλαγές πίεσης µε αλλαγές ταχύτητας και υψοµέτου κατα µήκος των οϊκών γαµµών. Οµως δίνει σωστά αποτελέσµατα µόνο όταν όλες οι πααδοχές είναι ικανοποιητικές.
XI 4 Το σχήµα παακάτω επεξηγεί µεικούς πακτικούς πειοισµούς της χήσης της εξίσωσησς Bernoulli: Για το wind tunnel η εξίσωση Bernoulli ισχύει στις πειοχές µακιά από τα τοιχώµατα. Γιατί? Στην οή της ποπέλλας, η εξίσωση Bernoulli ισχύει είτε πιν ή µετά την ποπέλλα, αλλά µε διαφοετική σταθεά λόγω της πόσθεσης του έγου. Για τη οή στην καµινάδα, η εξίσωση Bernoulli ισχύει πιν και µετά την φωτιά αλλά µε αλλαγή της σταθεάς που ποκαλείται από την πόσθεση της θεµότητας.
XI 5 EXAMPE: A U tube of diameter. m acts as a water sihon. The bend in the tube is m above the water surface; the tube outlet is 7 m below the water surface. If the flow is frictionless as a first aroximation, and the fluid issues from the bottom of the sihon as a free jet at atmosheric ressure, determine the velocity of the free jet and the absolute ressure of the fluid in the flow at the bend (oint A). Assumtions:. Neglect friction (inviscid flow). Steady flow. Incomressible flow 4. Flow along a streamline 5. Reservoir is large comared to the ie, so that level does not dro. Aly Bernoulli between "" and "". + g + + g + However, because (Area of Reservoir) >> (Area of ie),, (gage), and the above equation simlifies to: g g + or g ( )
XI 6 or g ( ).7 m/s and π D Q or Q.9 m 4 To determine the ressure at "A", aly Bernoulli between "" and "A". A A + g + A + g + / s Again and from conservation of mass A. Thus or g A ( A A + g + g ) A + g ( A ) substitute to get: 5 N kg m N s kg. + 999 9.9 A ( m ) 999 (.7 m / m m s kg m m or A.8 kpa (Pa N / m ) s N s ) kg m
XI 7 EXAMPE: A stream of water of diameter d. m flows steadily from a tank of diameter D m as shown. Determine the flow rate, Q, needed from the inflow ie if the water deth remains constant at h. m. Assumtions:. Incomressible flow. Steady flow. Inviscid flow 4. Flow along a streamline Aly Bernoulli between oints "" and "", that is: + g + + g + However, (ambient gage ressure), h and (reference datuum level). Thus the Bernoulli equation simlifies to: + g h Although hconst, there is an average velocity across section () because of the flow from the tank. Alying conservation of mass requires for steadystate oeration: Q Q
XI 8 or π D 4 π d 4 or d D Combining with the Bernoulli equation we get: g h 4 (d/d ) or 9.8 m/s 4 (./ ) m 6.6 m/s Then follows that the volumetric flow rate Q : Q v A π d / 4.49 m / s In this examle we have not neglected the kinetic energy of the water ( ). If D>>d, the continuity indicates that << and the assumtion is reasonable. The error associated with this assumtion can be seen by calculating the ratio of the flowrate when denoted as Q to the flowrate when denoted as Q.
XI 9 This is: Q Q, g h / [ (d g h / D ) 4 ] (d / D ) 4 This is lotted below with < d/d <.4. It follows that < Q/Q <., so the error is less than %. Thus it is often reasonable to assume.
XI EXAMPE: Air flows steadily from a tank, through a hose of diameter D. m and exits to the atmoshere from a nole of diameter d. m as shown in the figure below. The ressure in the tank remains constant at. kpa (gage) and the atmosheric conditions are standard temerature and ressure. Determine the flow rate and the ressure in the hose. For flow steady, inviscid and incomressible aly Bernoulli's equation two times ("" to "" and "" to ""), that is: + g + + g + + g + + g + However, (large tank), (free jet). Using these:
XI The density of the air in the tank is: R T [ + ] kn / m x N / kn ( 86.8 Nm / kg K ) ( 5 + 7 ) K.6 kg / m Thus, ( x.6 N / m kg / m ) 69 m / s Thus, QA.54 m /s (Because a uniform velocity rofile is assumed). Note that is determined from, indeendent of the "shae" of the nole. The ressure within the hose can be obtained as follows: first use continuity to determine, d A A or D 7.67 m/s
XI Thus from the above Bernoulli equation x N / m (.6 kg / m ) ( 7.67 m/s ) 96 N/ m In the absence of viscous effects the ressure throughout the hose is constant and equal to. Physically, this decrease in ressure from to to accelerates the air. The ressure change from () to () is not too great, that is ( )/ /... From erfect gas law, it follows that the density change is also not significant. Hence, the incomressibility assumtion is reasonable for this roblem.
XII ΣΤΑΤΙΚΗ (STATIC), ΣΤΑΣΙΜΗ (STAGNATION) ΚΑΙ ΥΝΑΜΙΚΗ (DYNAMIC) ΠΙΕΣΗ Η πίεση την οποία χησιµοποιήσαµε στην πααγωγή της εξίσωσης Bernoulli είναι η στατική πίεση (static ressure). Η στατική πίεση είναι η πίεση που θα µετούσε ένα όγανο εάν εκινείτο µαζί µε το ευστό. Οµως αυτό δεν είναι πολύ πακτικό. είναι: Η εξίσωση του Euler κάθετα στις οϊκές γαµµές για µόνιµη οή + g n n R Εάν οι οϊκές γαµµές είναι ευθύγαµµες (οή σε αγωγό) τότε R και αυτό δίνει: n + g n Εάν επίσης οι µετήσεις γίνονται σε οιζόντιο αγωγό µε µική διάµετο τότε οι υψοµετικές διαφοές µποούν να αγνοηθούν: n Το οποίο µας λέει ότι δεν υπάχει αλλαγή της πίεσης κάθετα στις οϊκές
XII ευθύγαµµες γαµµές. Χησιµοποιώντας αυτό, δύο πιθανές διευθετήσεις για µέτηση της στατικής πίεσης δείχνονται παακάτω: Η στάσιµη πίεση (stagnation ressure) είναι η τιµή που θα παίναµε όταν ένα ευστό επιβαδύνονταν σε µηδενική ταχύτητα µε µία άτιβη διεγασία (frictionless rocess). Σε ασυµπίεστη οή, η εξίσωση Bernoulli µποεί να χησιµοποιηθεί για το συσχετισµό αλλαγών στην ταχύτητα και πίεση κατά µήκος οϊκών γαµµών. Εάν αγνοήσουµε υψοµετικές διαφοές, µποούµε να γάψουµε : + constant Εάν η στατική πίεση είναι στο σηµείο όπου η ταχύτητα είναι, τότε η στάσιµη πίεση,, είναι στο σηµείο όπου η ταχύτητα είναι. Ετσι, + +
XII ή + όπου είναι η στάσιµη πίεση και ο όος / είναι η δυναµική πίεση. Ενα παάδειγµα είναι η οή γύω από σφαία όπου η στάσιµη πίεση είναι στη µύτη της σφαίας. Λύνοντας την πιο πάνω εξίσωση για την ταχύτητα παίνουµε ότι: ( ) Ετσι εάν ξέουµε και τις δύο πιέσεις, την στατική και την στάσιµη σε κάποιο σηµείο, τότε µποούµε να υπολογίσουµε την ταχύττηα σ αυτό το σηµείο. ύο τέτοια όγανα είναι ο σωλήνας Πιτό (itot tube) και ο στατικός σωλήνας Πιτό (itotstatic tube).
XII 4 Ο ΣΩΛΗΝΑΣ ΠΙΤΟ (PITOT TUBE) Είναι ένα όγανο που χησιµοποιείται για να µετήσουµε την ταχύτητα των κινούµενων οχηµάτων (βάκες, αεοπλάνα) δια µέσου ενός στάσιµου ευστού. Εφαµόζοντας την εξίσωση Bernoulli µεταξύ σηµείων "" και "", µποούµε να γάψουµε: + + g + + g Παίνοντας το υψόµετο σε αναφοά µε το τοίχωµα και θέτοντας : + g d + g h Οµως η πίεση στο σηµείο "" είναι η υδοστατική πίεση, ίδια µε αυτή µακιά από την κινούµενη διεπιφάνεια. Ετσι χησιµοποιώντας Συνδιάζοντας παίνουµε ότι atm+ g d g h
XII 5 ΣΤΑΤΙΚΟΣ ΣΩΛΗΝΑΣ ΠΙΤΟ (PITOTSTATIC TUBE) Ενα σχήµα αυτού του ογάνου δείχνεται στο σχήµα. Χησιµοποιείται για να µετήσουµε κατανοµές ταχύτητας, ταχύτητες σε διαφοετικά σηµεία του αγωγού. Χησιµοποιώντας την εξίσωση Bernoulli στις θέσεις "" και "": + + g + + g Οµως,, (στάσιµο σηµείο), atm +gd και atm +g(d+h). Χησιµοποιώντας αυτές τις σχέσεις µποούµε να απλοποιήσουµε την εξίσωση Bernoulli: g h Ετσι χησιµοποιώντας ένα τέτοιο όγανο, η ταχύτητα σε διάφοα σηµεία του καναλιού µποούν να µετηθούν.
EXAMPE XII 6 Water flows through a ie reducer as is shown in the figure below. The static ressures at "" and "" are measured by the inverted Utube manometer containing oil of SG <. Determine the manometer reading h. Using the assumtions of steady, inviscid, incomressible flow and that of flow along a streamline, the Bernoulli equation can be written as: + + g + + g Using also the continuity Q A A Combining these two equation to eliminate, we get: g ( )+ A A
XII 7 To find, note that D E h g SG g l h g g l ) g ( or ) SG ( h g )+ g ( Now using this ressure difference we can obtain A A ) SG ( h g However, Q/A so that ( ) [ ] ) SG g ( A / A A Q h
XII 8 EXAMPE The flowing system of arallel disks shown contains water. The water flows from the container to the sace between the two arallel disks and then to the atmoshere. Assume that water is added continuously in the reservoir so that H is always constant. Consider frictionless, incomressible flow and state clearly all your assumtions. If R mm, and R C 5 mm, calculate the following quantities: a. The discharge volume flow rate. b. The velocity at oint C. c. The ressure at oint C. Assumtions: Incomressible flow Frictionless flow Flow along a streamline Uniform flow a. Aly Bernoulli between oints "" and "" + + g + + g However, atm, and (large reservoir), thus
XII 9 or g + g or g ( ) 4.4 m/s and Q A π R h.5 b. Aly continuity between oint "C" and "" m /s C π R C h π R h or C 8.86 m/s c. Finally aly Bernoulli between oints "" and "C" + C + g + C + g C Setting, and atm, then C atm g ( ) C or C atm 9.4 kpa Thus, the gage ressure at C is equal to 9.4 kpa, or the absolute ressure is: C atm 9. 4 kpa. kpa 9.4 kpa 7.6 kpa
XII EXAMPE Air flows steadily and at low seed through a horiontal nole, discharging to the atmoshere. At the nole inlet, the area is. m. At the nole exit the area is. m. The flow is essentially incomressible, and frictional effects are negligible. Determine the gage ressure required at the nole inlet to roduce an outlet seed of 5 m/s. Assumtions: Incomressible flow Frictionless flow Flow along a streamline Uniform flow at all sections Using the continuity for incomressible flow (density constant): Q Q or A A or A A m/s For air at standard conditions,. kg/m. Then, aly Bernoulli's equation between oints "" and "" to obtain: + + g + + g However,, and atm so that
XII atm + + or ( atm ) or kg m m. 5 atm m s s N s kg m or atm.48 kpa
XIII ΙΑΣΤΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ (DIMENSIONA ANAYSIS) ΚΑΙ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ (SIMIITUDE) Μέχι τώα αναπτύξαµε τις βασικές εξισώσεις της ευστοδυναµικής και µεικές από τις αναλυτικές λύσεις των εξισώσεων. υστυχώς τα παγµατικά ποβλήµατα που µποούν να λυθούν αναλυτικά είναι πολύ λίγα και πειοίζονται µόνο στη γαµµική οή. Οµως τα πεισσότεα ποβλήµατα πειλαµβάνουν πείπλοκες γεωµετίες και τυβώδη οή. Σε αυτές τις πειπτώσεις συχνά χτίζουµε µοντέλα τα οποία µας βοηθούν να καταλάβουµε τη ευστοδυναµική. Για παάδειγµα δεν χτίζουµε ένα αεοπλάνο που κοστίζει µεικά εκατοµµύια ΕΥΡΩ για να διαπιστώσουµε ότι δεν έχει ακετή άντωση. Μετάµε την άντωση σε ένα µικό µοντέλο και µετά χησιµοποιούµε ένα νόµο διακλίµακωσης (scaling law) για να ποβλέψουµε την άντωση στο πωτότυπο σε πλήη κλίµακα (fullscale rototye) (Re model Re rototye ). Για να χτίσουµε ένα τέτοιο µοντέλο, βασιζόµαστε σε µία τεχνική που λέγεται διαστατική ανάλυση (dimensional analysis).
XIII Μελετώντας µεταφοά πετελαίου (crude oil) από πολύ µακινές πειοχές χησιµοποιούµε µεγάλους σωλήνες. Πώτα µελετάµε την οή σε µικότεους σωλήνες και µετά χησιµοποιούµε το νόµο διακλιµάκωσης (scaling law) που ποκύπτει από την διαστατική ανάλυση για να ποβλέψουµε τη οή σε µεγαλύτεους σωλήνες. Η τεχνική της διαστατικής ανάλυσης είναι επίσης χήσιµη για τον σχεδιασµό ενός εφικτού αιθµού πειαµάτων τα οποία θα µα σ επιτέψουν να κατανοήσουµε πλήως ένα ποβληµα και να παάγουµε τον νόµο διακλιµάκωσης (scaling law). Ετσι η σηµασία της διαστατικής ανάλυσης είναι:. Σχεδιασµός και βλετιστοποίηση αιθµού πειαµάτων. Κατασκευή κλιµακωτών µοντέλων (scale u models) (από το εγαστήιο στην βιοµηχανία). Συσχετισµός πειαµατικών δεδοµένων για την πααγωγή του νόµου διακλιµάκωσης (scaling law).
Παάδειγµα XIII Θεωούµε την οπισθέλκουσα δύναµη (drag force) σε µία στάσιµη σφαία σε ένα οµοιόµοφ εύµα ευστού. Τι πειάµατα πέπει να κάνουµε για να καθοίσουµε την οπισθέλκουσα δύναµη πάνω στη σφαία? Πειµένουµε ότι η οπισθέλκουσα δύναµη θα εξατάται από το µέγεθος της σφαίας (διάµετο, D), την ταχύτητα του ευστού, το ιξώδες και την πυκνότητα του ευστού. Ετσι, F f ( D,,, µ ) Κατασκευάζουµε µία συσκευή και είµαστε έτοιµοι να κάνουµε πειάµατα. Για να βούµε πως το F εξατάται από το για ένα συγκεκιµένο ευστό χειαζόµαστε σηµεία. Για να βούµε την επίδαση του D, τα πειάµατα πέπει να επαναληφθούν φοές για σταθεά και µ, το οποίο σηµαίνει πειάµατα για να µελετήσουµε τις επιδάσεις των και D σε συνδιασµό. Για να µελετήσουµε τις επιδάσεις των και µ σε συνδιασµό µε τα ποηγούµενα πειάµατα πέπει να κάνουµε 4 µετήσεις. Κάθε µεταβλητή αυξάνει τον αιθµό πειαµάτων κατά µία τάξη µεγέθους. Αυτή η µέθοδος είναι: επίπονη και χονοβόα (timeconsuming). τα αποτελέσµατα είναι πολλά και δύσκολο να παουσιασθούν.
XIII 4 Ευτυχώς µποούµε να χησιµοποιήσουµε την µέθοδο της διαστατικής ανάλυσις και να βούµε ότι οι µεταβλητές µποούν να οµαδοποιηθούν σε δύο αδιάστατες οµάδες (dimensionless grous) στη µοφή: F D f µ D or C F f (Re) όπου C F είανι ο συντελεστής οπισθέλκουσας και Re είναι ο αιθµός Reynolds. Για να βούµε τη σχέση που διέπει τις δύο οµάδες κάνουµε µόνο πειάµατα αντί για 4. Σ αυτή την πείπτωση το θεώηµα ΠΙ του Buckingham (PI theorem) είναι χήσιµο για να βούµε τις αδιάστατα οµάδες.
XIII 5 ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ BUCKINGHAM (PI THEOREM) ίνεται ένα φυσικό πόβληµα στο οποίο η εξατηµένεη µεταβλητή (deendent arameter) είναι συνάτηση των n αωεξάτητων µεταβλητών. Μποούµε να το εκφάσουµε ως: q f ( q, q,..., Στο ποηγούµενο πόβληµα η εξατηµένη µεταβλητή είναι το F, έτσι το q, ενώ οι ανεξάτητες µεταβλητές ή παάµετοι είναι D,, και µ, µε n5. q n ) Μποούµε να οίσουµε µία νέα συνάτηση: q f ( q, q,..., q n ) g ( q, q,..., q n ) Ετσι έχουµε µία συνάτηση µε n πααµέτους. Θεώηµα: Οι n παάµετοι µποούν να ταξινοµηθούν σε nm ανεξάτητες αδιάστατες οµάδες, όπου m είναι ίσος µε τον ελάχιστο αιθµό των βασικών διαστάσεων (fundamental dimensions) που απαιτούνται για να καθοίσουµε τις διαστάσεις (dimensions) όλων των πααµέτων q, q,..., q n. Με άλλα λόγια Π G ( Π, Π,..., nm Π Υποσηµείωση: Μία Π οµάδα δεν είναι ανεξάτητη εάν µποεί να σχηµατισθεί µε συνδιασµό των άλλων οµάδων Π. Για παάδειγµα, εάν: )
XIII 6 Π Π Π5 or Π6 Π Π Π 4 τότε Π 5, και Π 6 δεν είναι ανεξάτητες αδιάστατες οµάδες. 4/5 ΚΑΘΟΡΙΣΜΟΣ ΤΩΝ ΟΜΑ ΩΝ Π ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ: Μόνιµη οή σε κυλινδικό αγωγό Θεωούµε µόνιµη ασυµπίεστη οή Νευτώνειου υγού σε κυλινδικό αγωγό διαµέτου D. Εφαµόστε διαστατική ανάλυση για την πτώση πίεσης (ressure dro) ανά µονάδα µήκους του αγωγού. ίνεται: f ( D,, µ, υ, ε ) όπου ε είναι η ταχύτητα (roughness) της επιφάνειας (είναι το µέσο µήκος των ποεξοχών της επιφάνειας στη οή). Μία εξατηµένη µεταβλητή: Τέσσεεις ανεξάτητες µεταβλητές: / D,, µ, υ, ε ΒΗΜΑ : Συντάξτε (list) ολες τις πααµέτους του ποβλήµατος /, D,, µ, υ, ε
XIII 7 ΒΗΜΑ : ιαλέξτε ένα σύστηµα βασικών διαστάσεων (fundamental dimensions) M,, t (Μάζα, Μήκος, χόνος) ή F,, t (δύναµη, Μήκος, Χόνος) ΒΗΜΑ : Συντάξτε όλες τις διαστάσεις των µεταβλητών M t, D, M,, M t ε µ υ, t Από αυτό βλέπουµε ότι r (τεις βασικές διαστάσεις) ΒΗΜΑ 4: ιαλέξτε από την λίστα των πααµέτων εναν αιθµό επαναλαµβανόµενων πααµέτων ίσο µε τον αιθµό των βασικών διαστάσεων, rm. Επειδή έχουµε 5 πααµέτους αυτό δεν µποεί να γίνει µε µοναδικότητα. Οµως ακολουθούµε οισµένους κανόνες. (i) εν διαλέγουµε την εξατηµένη µεταβλητή (ii) εν διαλέγουµε δύο µεταβλητές µε τις ίδιες µονάδες. Για παάδειγµα έαν έχουµε στη λίστα, µήκος, επιφάνεια και όγκο, διαλέγουµε µόνο µία από τις τείς επειδή και οι τεις έχουν τις ίδιες διαστάσεις (µήκος). (iii) εν δια λέγουµε µία «άσηµη» παάµετο επειδή αυτή η παάµετος πιθανά θα εµφανισθεί σε όλες τις οµάδες.. Στη πείπτςση µας διαλέγουµε:, υ, and D.
XIII 8 ΒΗΜΑ 5: ηµιουγήστε τις αδιάστατες οµάδες. Εχουµε να δηµιουγήσουµε nm6 οµάδες. t M D c b a υ ή t M M t t M c b a ή t M t M ) b ( ) c + a +b ( ) + c ( M : + c : + a + b c t : b Λύνοντας βίσκουµε: a, b, c. Ετσι η πώτη οµάδα είναι: ) number Euler ( u D ) / ( Π Παόµοια: t M D c b a υ µ Μποούµε να πάουµε: ) number Reynolds ( Re D u µ Π
XIII 9 Τελικά: ε D a υ b c M t Μποούµε να πάουµε: Π ε D Ετσι: Π f ( Π, Π ) ΒΗΜΑ 6: Επαληθεύουµε να δούµε εάν ολες οι οµάδες είναι αδιάστατες.
XIII ΜΟΝΑ ΙΚΟΤΗΤΑ ΤΩΝ ΟΜΑ ΩΝ Π Σ αυτό το παάδειγµα διαλέξαµε D, υ, και σαν επαναλαµβανόµενες µεταβλητές. Αυτό µας οδήγησε στην φόµουλα: ( / υ ) D f u D µ, ε D Εάν κάποιος επαναλάµβανε την µέθοδο για λεία επιφάνεια (ε), τότε ( / ) D υ D f υ µ Τι θα γινόταν εάν διαλέγαµε D, u και µ σαν επαναλαµβανόµενες πααµέτους? Επαναλαµβάνοντας την µέθοδο θα παίναµε: / ) D µ υ ( υ D g µ Και τα δύο αποτελέσµατα είναι σωστά και χησιµοποιώντας πειαµατικά δεδοµένα ουσιαστικά θα παίναµε την ίδια φόµουλα για το /. Αυτό αποδεικνύεται µε ένα παάδειγµα παακάτω. Σε ένα εγαστήιο ευστοδυναµικής η πτώση πίεσης µετήθηκε σε ένα µήκος λείου σωλήνα ίσο µε 5ft και µε εσωτεική διάµετο.496 in. Το ευστό ήταν νεό στους 6 F (µ.4x 5 lbs/ft,.94 slug/ft ). Tα αποτελέσµατα συνοψίζονται στον παακάτω πίνακα:
XIII υ (ft/s).7.95.9 5.84. 6.9.4 8.7 (lb/ft ) for 6.6 5.6.9 6 9 68 7 5ft length Παάγετε µία φόµουλα για την πτώση πίεσης ανά µονάδα µήκους. f ( D,, µ, υ, ε ) ιαστατική ανάλυση έδωσε ποηγουµένως: ( / ) D υ f υ D µ Ετσι απεικονίζουµε D( / )/ 95 75 55 94 89 υ 4 (υ D/µ) 4.4.67..8.58.8 9.85 Η σχέση µεταξύ των δύο οµάδων δεν είναι γαµµική, οπότε χησιµοποιούµε loglog lot, και βλέπουµε ότι η κλίση είναι ίση µε /4.
XIII (D( / )/υ )x 4. (υd/µ)x 4 Ετσι: ( / ) D υ.58 υ D µ /4 Υποθέστε ότι αχίζαµε µε: ( / ) D µ υ g υ D µ
XIII Τότε θα απεικονίζαµε την πώτη οµάδα µε την δεύτεη σε loglog. Θα βλέπαµε ότι η κλίση θα ήταν ίση µε ¾ οπότε η φόµουλα θα ήταν: ( / ) D µ υ.58 υ D µ /4 Συγκίνοντας τις δύο εξισώσεις βλέπουµε ότι είναι ακιβώς οι ίδιες. ( / ) D υ.58 υ D µ /4
XIX ΚΑΘΟΡΙΣΜΟΣ ΤΩΝ ΟΜΑ ΩΝ Π Παάδειγµα: Η οπισθέλκουσα σε σφαία µέσα σε κινούµενο ευστό Η οπισθέλκουσα δύναµη εξατάται από το µέγεθος της σφαίας (διάµετο, D), την ταχύτητα του ευστού,, το ιξώδες και την πυκνότητα του ευστού. Βείτε τις αδιάστατες οµάδες που µποούν να χησιµοποιηθούν για να συσχετίσετε πειαµατικά δεδοµένα. ίνεται: F f (,, D, µ ) Μία εξατηµένη µεταβλητή: Τέσσεεις αναξάτητες µαταβλητές: F, µ,, D ΒΗΜΑ : Συντάξτε (list) ολες τις πααµέτους του ποβλήµατος F µ D ΒΗΜΑ : ιαλέξτε ένα σύστηµα βασικών διαστάσεων (fundamental dimensions) M,, t (Μάζα, Μήκος, χόνος) ΒΗΜΑ : Συντάξτε όλες τις διαστάσεις των µεταβλητών
XIX M M,, D,, µ t t F M t Ετσι r (τείς κύιες µεταβλητές) ΒΗΜΑ 4: ιαλέξτε από την λίστα των πααµέτων εναν αιθµό επαναλαµβανόµενων πααµέτων ίσο µε τον αιθµό των βασικών διαστάσεων, rm. Επειδή έχουµε 5 πααµέτους αυτό δεν µποεί να γίνει µε µοναδικότητα. Οµως ακολουθούµε οισµένους κανόνες. (i) εν διαλέγουµε την εξατηµένη µεταβλητή (ii) εν διαλέγουµε δύο µεταβλητές µε τις ίδιες µονάδες. Για παάδειγµα έαν έχουµε στη λίστα, µήκος, επιφάνεια και όγκο, διαλέγουµε µόνο µία από τις τείς επειδή και οι τεις έχουν τις ίδιες διαστάσεις (µήκος). (iii) εν δια λέγουµε µία «άσηµη» παάµετο επειδή αυτή η παάµετος πιθανά θα εµφανισθεί σε όλες τις οµάδες.. Στη πείπτωση µας διαλέγουµε,, and D. ΒΗΜΑ 5: ηµιουγήστε τις αδιάστατες οµάδες. Εχουµε να δηµιουγήσουµε nm6 οµάδες. a b D c F M t ή a b t M M c M t t
XIX M : a + : a + b + c + t : b Λύνοντας µποούµε να βούµε ότι: a, b, c. Ετσι η πώτη αδιάστατη οµάδα είναι: Π F D F D Παόµοια: Μποούµε να πάουµε: Ετσι καταλήγουµε: a Π b D c µ µ D M Re t F D f D µ ΒΗΜΑ 6: Επαληθεύουµε να δούµε εάν όλες οι οµάδες είναι αδιάστατες.
XIX 4 Παάδειγµα: Οπισθέλκουσα δύναµη σε µία οθογώνια πλάκα Μία λεπτή οθογώνια πλάκα µε πλάτος w και ύψος h τοποθετείται κάθετα σε ένα κινούµενο εύµα ευστού. Υποθέστε την οπισθέλκουσα, D, που το ευστό ασκεί στην πλάκα ότι είναι συνάτηση του W και h, το ιξώδες και πυκνότητα του ευστού και την ταχύτητα,, του ευστού. Βείτε τις αδιάστατες οµάδες που µποούν να χησιµοποιηθούν για να συσχετίσετε πειαµατικά δεδοµένα. ίνεται: D f ( w, h, Μία εξατηµένη µεταβλητή: Τέσσεεις ανεξάτητες µεταβλητές: µ,, ) D w, h, µ,, ΒΗΜΑ : Συντάξτε (list) ολες τις πααµέτους του ποβλήµατος D w h µ ΒΗΜΑ : ιαλέξτε ένα σύστηµα βασικών διαστάσεων (fundamental dimensions) M,, t (Μάζα, Μήκος, χόνος) ΒΗΜΑ : Συντάξτε όλες τις διαστάσεις των µεταβλητών
XIX 5 M M M, w, h, µ,, t t D t Από αυτό βλέπουµε ότι r (τεις βασικές διαστάσεις) ΒΗΜΑ 4: ιαλέγουµε τείς επαναλαµβανόµενες πααµέτους rm. Στη πείπτωση µας διαλέγουµε: w,, and. ΒΗΜΑ 5: ηµιουγήστε τις αδιάστατες οµάδες. Εχουµε να δηµιουγήσουµε nm6 οµάδες. w a b c D M t Χησιµοποιώντας τη γνωστή διαδικασία µποούµε να πάουµε: Παόµοια: Π w D w a b c h M t Μποούµε να πάουµε: Π h w Τελικά
XIX 6 t M w c b a µ Μποούµε να πάουµε: µ w Π Τελικά: w, w h f w D µ όπου w/h είναι το είναι το asect ratio της πλάκας και µ/(w)/re. Ετσι µποούµε να γάψουµε: Re, w h f w D ΒΗΜΑ 6: Επαληθεύουµε να δούµε εάν ολες οι οµάδες είναι αδιάστατες.
XIX 7 Α ΙΑΣΤΑΤΕΣ ΟΜΑ ΕΣ ΣΤΗΝ ΡΕΥΣΤΟ ΥΝΑΜΙΚΗ Οι διάφοες αδιάστεταες οµάδες στη ευστοδυναµική έχουν πάει τα ονόµατα τους από διακεκιµένους επιστήµονες που πώτοι τις ανακάλυψαν. Στη ευστοδυναµική οι αδιάστατες οµάδες συνήθως δείχνουν την σχετική σηµασία διαφόων δυνάµεων. Ετσι, για να κατανοήσουµε τη σηµασία αυτών αδιάστατων οµάδςν, ας εκφάσουεµε τις δυνάµεις χησιµοποιώντας χαακτηιστικές διαστάσεις, ταχύτητες κλπ. Inertia Force Momentum Area U iscous Force τ. Area U µ y U µ µ U Pressure Force. Area. Gravity Force m. g g Surface Tension Force σ
XIX 8 Τώα οίζουµε τις ακόλουθες αδιάστατες οµάδες.ο αιθµός Reynolds (Reynolds number) Re Inertia iscous U µ U U µ. Ο αιθµός Froude (Froude number) Gravity Fr Inertia g U g U. Ο αιθµός Caillary (Caillary number) iscous µ U µ U Ca surface tension σ σ 4. Ο αιθµός Weber (Weber number) We Inertia surface tension U σ U σ 5. Ο αιθµός Euler (Euler number) Eu Pressure Inertia U U
XIX 9 6. Ο αιθµός Strouhal (Strouhal number) St oscillation mean seed ω U για πειπτώσεις όπου η δοµή της οής είναι ταλαντευόµενη (oscillating), 7. Ο αιθµός Mach number Flow seed U Ma Sound seed α, όπου α είναι η ταχύτητα ήχου. Ροές ευστών µε µεγάλα ιξώδη χαακτηίζονται από µικούς αιθµούς Re (creeing flows). Ο αιθµός Reynolds επίσης χησιµοποιείται για να δείξει την µετάβαση από γαµµική σε τυβώδη οή. Για παάδειγµα για Re <, παίνουµε γαµµική οή σε κυλινδικούς σωλήνες, ενώ για Re >, έχουµε µετάβαση σε τυβώδη οή. Πλήως ανεπτυγµένη τυβώδη οή παίνεται σε πολύ πιό µεγάλους αιθµούς Reynolds. Ο αιθµός Fr είναι µηδέν για οιζόντιες οές. Τελικά οι αιθµοί We και Caillary εµφανίζονται σε οές που πειλαµβάνουν ελεύθεες επιφάνειες και διεπιφάνειες.
Α ΙΑΣΤΑΤΙΚΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ NAIERSTOKES XX Θα µποούσαµε να χησιµοποιήσουµε το θεώηµα Π που συζητήσαµε πoηγουµένως για να αναλύσουµε όλα τα ποβλήµατα έτσι ώστε να βούµε τις αδιάστατες οµάδες που παίζουν σηµαντικό όλο σε κάθε πείπτωση. Μία διαφοετική και πιο δυναµική τεχνική είναι η ανάλυση των µικοσκοπικών εξισώσεων, δηλαδή της εξίσωσης συνεχείας και των NavierStokes. Ακόµα και άν είναι δύσκολο να τις λύσουµε µποούµε να τις αδιαστικοποιήσουµε για να βούµε τις αδιάστατες οµάδες, όπως τον αιθµό Reynolds, που παίζουν όλο στο πόβληµα κάτω από εξέταση. Οι εξισώσεις οής για ένα ασυµπίεστο Νευτώνειο υγό µε σταθεές φυσικές ιδιότητες είναι: Συνεχείας: NavierStokes: t + (. ) g + µ Αυτές οι εξισώσεις πειέχουν τεις βασικές διαστάσεις M,, και t. Ολες οι µεταβλητές µποούν να αδιαστατικοποιηθούν χησιµοποιώντας την πυκνότητα και δύο σταθεές αναφοάς που είναι χαακτηιστικά στην οή κάτω από εξέταση. Ταχύτητα αναφοάς (reference velocity)u Μήκος αναφοάς (reference length) Για παάδειγµα U µποεί να είναι η µέση ταχύτητα του ευστού σε
XX οή δια µέσου ενός κυλινδικού αγωγού και µήκος η διάµετος του αγωγού. Τώα οίζουµε όλες τις σχετικές αδιάστατες µεταβλητές. x t * * *, * U t x U,, y * * y, U * + g Τα διαφοικά µποούν επίσης να αδιαστατικοποιηθούν ως εξής: u ( * u U ) U * u x ( * ) * x x Αντικαθιστώντας: Συνεχείας : * * * µ NavierStokes: + ( *. *) * * * + * ( *) t U Αναγνωίζοντας ότι µ / U / Re τότε: * NavierStokes: + ( *. *) * * * + * ( *) t Re Για γαµµικές οές µακιά από στεεές επιφάνειες όπου η τοπικές ταχύτητες είναι υψηλές, ο αιθµός Re γίνεται πολύ υψηλός και ο τελευταίος όος µποεί να αγνοηθεί. Σ αυτή την πείπτωση παίνουµε την
XX εξίσωση Euler: * Euler equation: + ( *. *) * * * t Εάν η χαακτηιστική πίεση οισθεί (ξεχωίζοντας τον όλο της βαύτητας): t * t U, * U Τότε οι NavierStokes µποούν να γαφούν ως: t * + ( *. *) * * * + * Re ( *) + Fr όπου Fr είναι ο αιθµός που οίζεται ως: Fr U / g. Εώτηση: Ποιά είναι η σηµασία των αδιάστατων NavierStokes?. Θεωούµε σαν παάδειγµα την πλήως ανεπτυγµένη οή µεταξύ δύο παάλληλων πλακών στην x κατεύθυνση. Εάν γάψουµε τις NavierStokes στην xκατεύθυνση για µόνιµη, ασυµπίεστη, Νευτώνεια οή για ευστό µε σταθεές φυσικές ιδιότητες τότε:
XX 4 x * * + Re y u * * Με τις εξής οιακές συνθήκες: B.C. : Στο y *, u * /y *, και B.C. : Στο y *, u * (µηολίσθηση) όπου D είναι η απόσταση µεταξύ των δύο πλακών. Η λύση εξατάται µόνο από τον αιθµό Re. Ετσι εάν κατήσουµε ίδιο τον αιθµό Re, η λύση θα είναι η ίδια, ανεξάτητη απο τις απόλυτες τιµές των D,, και µ. Για παάδειγµα παίνουµε τη οή µεταξύ δύο παάλληλων πλακών που βίσκονται σε απόσταση D (µεγάλη κλίµακα) και D (µική κλίµακα) αντίστοιχα, όπου τα δύο ευστά έχουν διαφοετικές ιδιότητες οής. Εάν οι αιθµοί Reynolds είναι ίδιοι, τότε οι αδιάστατες κατανοµές ταχύτητες θα είναι επίσης ίδιες.
XX 5 Ετσι, εάν Re Re, Τότε, u ( D ) u ( D ) µ µ Αυτή η παaτήηση είναι πολύ σπουδαία για scale u, επειδή µποούµε να κάνουµε πειάµατα στο εγαστήιο σε µική κλίµακα και µετά να χησιµοποιήσουµε τα αποτελέσµατα για να καταλάβουµε την συµπειφοά της διεγασίας σε βιοµηχανική κλίµακα..
ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ ΡΟΩΝ (FOW SIMIARITY) ΚΑΙ ΜΕΛΕΤΕΣ ΜΟΝΤΕΛΩΝ (MODE STUDIES) XX 6 Η διαστατική ανάλυση είναι χήσιµη: στον συσχετισµό πειαµατικών δεδοµένων (correlate data) στο σχεδιασµό/βελτιστοποίηση αιθµό πειαµάτων στη διακλιµάκωση (scaleu) διεγασιών Tο τελευταίο ίσως είναι το πιο δύσκολο επειδή απαιτεί ακιβό καθοισµό των σπουδαίων µεταβλητών. Αφού οι µαταβλητές καθοισθούν, εφαµόζουµε την διαστατική ανάλυση και ο πειαµατικός επιστήµονας ποσπαθεί να επιτύχει οµοιότητα (similarity) µεταξύ του µοντέλου και του πωτότυπου (rototye). Χησιµοποιώντας πειαµατικά δεδοµένα η επιθυµητή αδιάστατη σχέση µεταξύ των µεταβλητών µποεί να πααχθεί: Π f ( Π, Π,... Π k Με τη βοήθεια αυτής της φόµουλας η οµοιότητα µποεί να επιτευχθεί. Οι συνθήκες οής σε ένα µοντέλο είναι παόµοιες µε αυτές στο πωτότυπο όταν όλες οι αδιάστατες οµάδες έχουν τις ίδιες αντίστοιχες τιµές. Αυτό σηµαίνει ότι: Εάν Π m Π, Π m Π τότε Π m Π Τις πεισσόοτεες φοές αυτό δεν είναι εύκολο να επιτευχθεί πλήως, )
XX 7 αλλά µόνο µεικώς. Οι πιό συνιθισµένοι τύποι οµοιοτήτων είναι η γεωµετική (geometric), η κινηµατική (kinematic), και η δυναµική (dynamic) οµοιότητα. Γεωµετική οµοιότητα (geometric similarity) Ενα µοντέλο και το πωτότυπο είναι γεωµετικά παόµοια εάν και µόνο εάν σε όλους τους άξονες συντεταγµένων έχουν τον ίδιο γαµµικό λόγο κλίµακα ς (linearscale ratio). Αυτό είναι το ίδιο µε το να πούµε ότι η αχική και οι οιακές συνθήκες στο µοντέλο και πωτότυπο είναι ίδιες. Ξέχωα από τους λόγους (ratios) των αντίστοιχων διαστάσεων, όλες οι γωνίες πέπει να είναι ίδιες όπως και οι ποσανατολισµοί του µοντέλου και του πωτότυπου (βλέπε το σχήµα παακάτω)
XX 8 Μοντέλα που εµφανίζονται παόµοια στο σχήµα αλλά δεν ικανοποιούν ακιβώς την γεωµετική οµοιότητα δεν πέπει να συγκίνονται. Το σχήµα παακάτω επεξηγεί αυτό το σηµείο. Οι σφαίες είναι γεωµετικά παόµοιες και εάν οι αιθµοί Re και Fr κατηθούν ίδιοι, τότε το scale u θα είναι επιτυχηµένο. Από την άλλη πλευά, τα ελλιψοειδή δεν είναι γεωµετικά όµοια, αν και σε µία πώτη µατιά φαίνονται παόµοια.. Ακόµα και εάν κτήσουµε του αιθµούς Re και Fr ίδιους, το scale u δεν θα είναι επιτυχηµένο.
XX 9 Κινηµατική οµοιότητα (kinematic similarity) Η κινηµατική οµοιότητα απαιτεί ότι το µοντέλο και το πωτότυπο να έχουν τούς ίδιους λόγους µήκους και χόνου. Αυτό σηµαίνει ότι οι λόγοι ταχύτητας να είναι ίδιοι. Αυτό σηµαίνει: Οι κινήσεις στα δύο συστήµατα είναι κινηµατικά όµοια εάν οµόλογα σωµατίδια βίσκονται σε οµόλογα σηµεία σε οµόλογους χόνους. Ισοδυναµία κλίµακας µήκους σηµαίνει απλά γεωµετική οµοιότητα, αλλά ισοδυναµία κλίµακας χόνου απαιτεί πόσθετη δυναµική τέτοια ώστε οι αιθµοί Reynolds και Mach να είναι ίδιοι. Μία ειδική πείπτωση είναι η ασυµπίεστη άτιβη οή γύω από σφαία (βλέπε σχήµα). Αυτές οι οές είναι όµοιες ανεξάτητα από κλίµακες χόνου και µήκους.
XX Ατιβες οές µε ελεύθεη επιφάνεια (tsunami) είναι κινηµατικά παόµοιες εάν οι αιθµοί Froude είναι ίσοι. m m Fr m g g Fr Ο αιθµός Froude πειέχει µόνο διαστάσεις µήκους και χόνου. Η κλίµακα µήκους είναι: α m όπου α είναι ένας αδιάστατος λόγος. Ο λόγος της κλίµακας ταχύτητων, m m / α και η κλίµακα χόνου είναι,
XX T T m m / / m α Αυτές οι κινηµατικές σχέσεις επεξηγούνται στο πααπάνω σχήµα για την πείπτωση της µοντελλοποίησης της κίνησης κυµάτων. Εάν τα κύµατα σχετίζονται µε κλίµακα µήκους, τότε η πείοδος κύµατος, η ταχύτητα µετάδοσης και οι ταχύτητες σωµατιδίων σχετίζονται µε το α. υναµική οµοιότητα (dynamic similarity) Υπάχει όταν το µοντέλο και το πωτότυπο έχουν τον ίδιο λόγο κλιµάκας µήκους, χόωου και δύναµης (ή µάζας). Πάλι η πώτη απαίτηση είναι γεωµετική οµοιότητα. Η δυναµική οµοιότητα υπάχει µαζί µε την κινηµατική οµοιότητα έαν οι συντελεστές δύναµης και πίεσης στο µοντέλο και στο πωτότυπο είναι όµοιες. i. Για συµπιεστή οή, το µοντέλο και το πωτότυπο να έχουν τους ίδιους αιθµούς Re και Mach. ii. Για ασυµίεστη οή χωίς ελεύθεη επιφάνεια, οι αιθµοί Re είναι ίδιοι. Με ελεύθεη επιφάνεια οι αντίστοιχοι αιθµοί Re, Fr, We και Ca να είναι ίδιοι. Μαθηµατικά, ο νόµος του Νεύτωνα για ένα σωµατίδιο απαιτεί ότι το άθοισµα της δύναµης πίεσης, βαύτητας και τιβής είναι ίσον µε την δύναµη αδάνειας (επιτάχυνση),
XX F + F + F g f F i Η δυναµική οµοιότητα απαιτεί ότι όλες αυτές οι δυνάµεις έχουν το ίδιο λόγο και αντίστοιχες διευθύνσεις στο µοντέλο και στο πωτότυπο. Το σχήµα παακάτω δείχνει ένα παάδειγµα. Tα πολύγωνα δύναµης σε οµόλογα σηµεία έχουν το ίδιο σχήµα εάν οι αιθµοί Re και Fr είναι ίσοι.
Παάδειγµα (Οµοιότητα: Οπισθέλκουσα (Drag) σε ένα ηχητικό εντοπιστή αντικειµένων sonar transducer) XX The drag of a sonar transducer is to be redicted, based on wind tunnel test data. The rototye, a ft diameter shere, is to be towed at 5 knots (nautical miles er hour) in seawater at 5 o C. The model is 6 in. in diameter. Determine the required test seed in air. If the drag of the model at test conditions is 5.58 lb f, estimate the drag of the rototye. Prototye Model Since the rototye oerates in water and the model test is to be erformed in air, useful results can be exected only if cavitation effects are absent in the rototye flow and comressibility effects are absent from the model test. Under these conditions,
XX 4 F D f µ and to satisfy dynamic similarity, the test should be run at D Re m o d e l Re r o t o t y e For seawater at 5 o C,.99 slug/ft, and v.68x 5 ft /s. At rototye conditions, 5 nmi hr x 68 ft nmi x hr 6 8.44 s ft/s D Thus, Re 5. x v 5 So that Re m m D vm m 5. x For air at STP,.8 slug/ft, and v.56x 4 ft /s. The wind tunnel must be oerated at: 5 m Re m ν D m m 5. x 5 x.56 x 4 ft s x.5 56 ft This seed is low enough to neglect comressibility effects. ft/s
XX 5 At these conditions, the model and rototye flows are dynamically similar. Hence, F m m m D m F D or F F m m m D D m 54.6 lbf Note again that these calculations are only valid in the absence of cavitation henomena.