ΠΩΣ ΑΝΤΙΜΕΤΩΠΙΖΟΥΝ ΟΙ ΑΡΤΟΠΟΙΟΙ ΤΗΝ ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΑΝΑΛΟΓΙΑΣ ΣΤΗΝ ΕΡΓΑΣΙΑ ΤΟΥΣ

65. Λεμονίδης, Χ., Καραννίκης, Φ. (2009). Η έννοια της αναλογίας στην εργασία και η σχέση της με τη σχολική εμπειρία. Μελέτη περίπτωσης σε Κύπριους αρτοποιούς από την επαρχία Λεμεσού. Πρακτικά 5 ου διεθνούς διημερίδας διδακτικής Μαθηματικών Τόμος 1, σελ. 109-119. Πανεπιστήμιο Κρήτης. ΠΩΣ ΑΝΤΙΜΕΤΩΠΙΖΟΥΝ ΟΙ ΑΡΤΟΠΟΙΟΙ ΤΗΝ ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΑΝΑΛΟΓΙΑΣ ΣΤΗΝ ΕΡΓΑΣΙΑ ΤΟΥΣ Χαράλαμπος Λεμονίδης, Φοίβος Καραννίκης ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΑΓΩΓΗΣ - ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ lemonidi@ucy.ac.cy, sep7kf2@ucy.ac.cy ΠΕΡΙΛΗΨΗ Τα τελευταία χρόνια στο χώρο της έρευνας για τη μαθηματική εκπαίδευση πραγματοποιήθηκαν αρκετές μελέτες σχετικά με τη χρήση των μαθηματικών σε διάφορα επαγγέλματα όπως των νοσοκόμων (Hoyles et al. 2001), των μαραγκών (Millroy, 1992), των πολιτικών μηχανικών (Hall & Stevens, 1995) κ.α. Όλες σχεδόν κατέληξαν στο ίδιο συμπέρασμα, δηλ. στο ότι οι περισσότεροι ενήλικες χρησιμοποιούν τα μαθηματικά για να κατανοήσουν τις καταστάσεις γύρω τους με τέτοιους τρόπους που διαφέρουν ριζικά από εκείνους που διδάσκονται στο σχολείο. Στην παρούσα έρευνα προσπαθούμε να κάνουμε μια πρώτη διερεύνηση για τον αναλογικό συλλογισμό των αρτοποιών. Συγκεκριμένα, εξετάζομε: τις απόψεις τους για τη χρησιμότητα των σχολικών μαθηματικών, τη σχέση των γνώσεων τους στις αναλογίες με το τι χρησιμοποιούν στην εργασία τους και τις στρατηγικές αναλογικού συλλογισμού που χρησιμοποιούν στην εργασία τους. Τα αποτελέσματα δείχνουν ότι οι αρτοποιοί του δείγματος μας πιστεύουν ότι στη δουλειά τους χρησιμοποιούν στρατηγικές επίλυσης αναλογικών προβλημάτων που έμαθαν στο σχολείο και κυρίως τη στρατηγική της αναγωγής στην μονάδα. Έχουν θετική στάση απέναντι στα μαθηματικά και οι περισσότεροι πιστεύουν ότι τα σχολικά μαθηματικά, και γενικά τα μαθηματικά, είναι χρήσιμα στη ζωή και στο επάγγελμα τους. ABSTRACT In the past few years, several studies were realized in the field of mathematic education, with regard to the use of mathematics in various professions, such as the nurses (Hoyles et al. 2001), the carpenters (Millroy, 1992), the civil engineers (Hall and Stevens, 1995) e.t.c. Almost all of these studies led to the same conclusion, which is that: most adults use mathematics, in order to comprehend situations around them, in such ways that differ radically from those that they are taught in school. In the present study, we try to make a first investigation in the proportional reasoning of bakers. Concretely, we examine: their opinions regarding the usefulness of school mathematics, the relation of their knowledge in proportions with what they use in their work and the strategies of proportional reasoning that they use in their work. The results show that the bakers of our sample believe that in their work they use strategies of resolution of proportional problems that they learned at school and they use mainly the unitary method. They have a positive attitude towards mathematics and most of them believe that they need school mathematics and mathematics in general, in their life and in their profession. 1

1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Τα τελευταία 20 χρόνια στις εκπαιδευτικές μεταρρυθμίσεις σε παγκόσμιο επίπεδο κυριάρχησε η αντίληψη ότι η μαθηματική παιδεία είναι απαραίτητη και πρέπει να στοχεύει στην επιτυχία στην εργασία και στην καθημερινή ζωή. Εκτός από αυτή τη χρηστική θεωρία προέκυψε και μια άλλη παράλληλη παιδαγωγική θεωρία που προτείνει τη μεγαλύτερη ευθυγράμμιση των μεθόδων και των περιεχομένων των σχολικών προγραμμάτων με εκείνες τις μαθηματικές μεθόδους που χρησιμοποιούνται στην πραγματικότητα από τους ενήλικες. Οι εθνογραφικές μελέτες για τη χρήση των μαθηματικών από τα παιδιά και τους ενήλικους στην καθημερινή ζωή, καταλήγουν στα ίδια συμπεράσματα, ότι δηλαδή υπάρχει ένα ευρύ χάσμα μεταξύ μαθηματικών μεθόδων που διδάσκονται στα σχολεία και των μαθηματικών που χρησιμοποιούν οι άνθρωποι έξω από αυτά. Το πλαίσιο διαδραματίζει έναν κεντρικό ρόλο στην επίλυση καθημερινών προβλημάτων. Μελέτη των αγροτών, των ξυλουργών και των ψαράδων στη Βραζιλία έδειξε ότι οι ενήλικες στηρίζονται σε ποσοτικά προβλήματα που συναντούν στην εργασία τους για να υπολογίσουν διάφορες καταστάσεις και χρησιμοποιούσαν τρόπους που δεν διδάχθηκαν στο σχολείο (Nunes, Schliemann & Carraher, 1993). Ενώ η σχολική αριθμητική βασίζεται σε κανόνες και διαχωρίζεται από τις έννοιες, «η αριθμητική του δρόμου» διατήρησε τις περιστασιακές έννοιες σε κάθε βήμα υπολογισμού. Στον Ελλαδικό χώρο δεν έχουν πραγματοποιηθεί τέτοιες έρευνες που να εξετάζουν τις γνώσεις ενήλικων εργαζομένων και τη σύνδεση αυτών των γνώσεων με τη σχολική γνώση. 2. ΘΕΩΡΗΤΙΚΟ ΠΛΑΙΣΙΟ 2.1. ΣΧΟΛΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΓΝΩΣΗ, ΕΡΓΑΣΙΑ ΚΑΙ ΜΕΤΑΦΟΡΑ Ακόμη και σήμερα η σχέση σχολείου εργασίας στηρίζεται στο εξής παράδοξο: ενώ η κοινωνία αναμένει από τα σχολεία να προετοιμάζουν τους μαθητές τους για εργασία, οι περισσότεροι δάσκαλοι διδάσκουν ότι αυτοί ξέρουν, δηλ. προετοιμάζουν τους μαθητές για περισσότερο σχολείο (Forman & Steen, 2000). Στα μαθηματικά το 2

παράδοξο συντίθεται στην απομόνωση των «προηγμένων» σχολικών Μαθηματικών από τις προσδοκίες και τις απαιτήσεις των διαφόρων επαγγελμάτων (Forman & Steen, 2000). Ως εκ τούτου, οι ιθύνοντες της εκπαίδευσης, σε όλες τις προηγμένες χώρες, συστήνουν ένα πυρήνα σχολικών Μαθηματικών, ο οποίος περιέχει κυρίως στοιχεία στατιστικής και ανάλυσης (Forman & Steen, 2000 Zwaart, 2000 και Hogan & Morony, 2000). Άρα, όπως υποστηρίζει ο Wedege (2000), η διττή φύση της μαθηματικής γνώσης έχει ως αποτέλεσμα τα σχολικά Μαθηματικά να εστιάζουν στην παραδοσιακή ακαδημαϊκή εκπαίδευση και τα επαγγελματικά στη μαθητεία και στην επαγγελματική κατάρτιση. Πολλές έρευνες, που ασχολήθηκαν με τη χρήση των μαθηματικών στην εργασία, κατέδειξαν την ύπαρξη «άτυπων» μαθηματικών διαδικασιών. Ο Evans (2000a, 1999) υποστηρίζει ότι μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε και να μεταφέρουμε εντός της σχολικής τάξης δραστηριότητες που περικλείουν μαθηματικά της καθημερινότητας, αλλά αυτό πρέπει να γίνεται με πολλή προσοχή και η επιλογή παραδειγμάτων πρέπει να γίνεται με γνώμονα το συμφέρον των μαθητών. Η μεταφορά στο σχολείο δραστηριοτήτων από την καθημερινότητα και κυρίως από διάφορους εργασιακούς χώρους θα βοηθήσει κυρίως τους ανήλικους μαθητές που δεν θέλουν να συνεχίσουν τις σπουδές τους σε ανώτερα εκπαιδευτικά ιδρύματα. Το ερωτήματα που προκύπτουν είναι τα εξής: «Με ποιο τρόπο μπορεί να γίνει αυτό;» και «Αυτό τι αποτελέσματα θα έχει για τους μαθητές;». Ο Zwaart (2000) και οι συνεργάτες του, προσπαθώντας να δώσουν μία απάντηση, μετέφρασαν διάφορα εργασιακά σενάρια σε «ιστοριούλες» και τις έδωσαν σε δασκάλους για να τις χρησιμοποιήσουν μέσα στην τάξη. Ο ίδιοι ερευνητές παρατήρησαν ότι: Η χρήση των «ιστοριούλων» αποδείχθηκε αρκετά αποτελεσματική όταν εφαρμοζόταν από καλά προετοιμασμένους δασκάλους και η εργασία των μαθητών ήταν πολύ σοβαρή, σε αντίθεση με τη στάση που επιδεικνύουν απέναντι στα παραδοσιακά σχολικά Μαθηματικά. 3

Επομένως, η πιο πάνω έρευνα έδειξε ότι η μεταφορά δραστηριοτήτων από διάφορα επαγγέλματα έχει θετική επίδραση στη συμπεριφορά των μαθητών. Επίσης, με αυτό τον τρόπο επιτυγχάνεται η σύνδεση των σχολικών μαθηματικών με την πραγματικότητα, άρα διευκολύνεται η μεταφορά. Άρα, η σχέση μεταξύ σχολικών Μαθηματικών, επαγγελματικών μαθηματικών και μεταφοράς είναι κυκλική. 2.2. ΣΥΝΑΙΣΘΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΜΑΘΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΠΟ ΕΝΗΛΙΚΕΣ Ο Evans (2000b) διερεύνησε το ρόλο των συναισθημάτων όσον αφορά στη μάθηση μαθηματικών από ενήλικες. Στην εργασία του υποστηρίζει ότι η σκέψη και τα συναισθήματα είναι αδιαχώριστα, έτσι ώστε οι ανθρώπινες μαθηματικές δραστηριότητες είναι και συναισθηματικές κι όχι απλώς γενετικές. Επίσης, ερεύνησε διάφορες πτυχές σχετικά με: (α) το άγχος στα μαθηματικά και (β) το ρόλο των κοινωνικών διαφορών και της αυτοπεποίθησης στην επίδοση των ενηλίκων στα μαθηματικά. Ο Evans (2002) σε ένα άλλο άρθρο του συζητά τη διαδικασία ανάπτυξης συναισθημάτων από ενήλικες μαθητές για τα μαθηματικά. Η έκθεση του Singh (1993:335) για τη διαθέσιμη έρευνα που αφορά στη συμπεριφορά των ενηλίκων απέναντι στα μαθηματικά δείχνει ότι: Κυρίως η δυσαρέσκεια των ενήλικων μαθητών για τα μαθηματικά και η αποτυχία τους σε αυτά, είναι απόρροια του γεγονότος ότι τα μαθηματικά έχουν να κάνουν με αφηρημένες έννοιες, αλλά και το ότι απουσιάζει από αυτά η σχέση με τις εφαρμογές τους στην πραγματικότητα. Ο φόβος για την αποτυχία στην εξέταση και η φύση της παιδαγωγικής των μαθηματικών, είναι μια από τις αιτίες του άγχους των ενηλίκων. Οι διδάσκοντες μπορούν να επηρεάσουν σε μεγάλο βαθμό τους μαθητές είτε ενθαρρύνοντας είτε αποθαρρύνοντάς τους. Οι γυναίκες ενήλικες τείνουν να έχουν αρνητικές συμπεριφορές για τα μαθηματικά τόσο λόγω των κοινωνικών διαδικασιών και του περιεχόμενού τους, όσο και λόγω της παιδαγωγικής των μαθηματικών. 4

Οι ενήλικες είναι πιθανόν να αναπτύξουν μια ευροκεντρική οπτική για την ιστορία των μαθηματικών μέσα από τις εμπειρίες τους από τα σχολικά μαθηματικά. 2.3. ΑΝΑΛΟΓΙΚΟΣ ΣΥΛΛΟΓΙΣΜΟΣ Ο αναλογικός συλλογισμός αποτελεί ένα από τους βασικούς πυλώνες της μαθηματικής κατανόησης (Hoyles et al, 2001). Η αναλογία αποτελεί θεμελιώδης έννοια του αναλυτικού προγράμματος. Ως έννοια πρωτοεμφανίζεται στις πρώτες τάξεις του Δημοτικού σε λεκτικά προβλήματα πολλαπλασιασμού και διαίρεσης και σταδιακά καταλήγει υπό μορφή βασικής γνώσης για την ανάπτυξη αλγεβρικών σχέσεων, τριγωνομετρίας και πιθανοτήτων στο Λυκείου (Ηροδότου κ.α., 2006). Σύμφωνα με τους Χρίστου & Φιλίππου (2002, στο Ηροδότου κ.α., 2006) η αναλογία είναι μία σχέση δεύτερης τάξης, η οποία περιλαμβάνει μία ισοδύναμη τάξη μεταξύ δύο λόγων. Σύμφωνα με το Lamon (1994, στο Ηροδότου κ.α., 2006) η αναλογία περιλαμβάνει τέσσερα στοιχεία, όπου το είδος της σχέσης ανάμεσα τους καθορίζει το είδος της στρατηγικής που θα ακολουθηθεί για να επιλυθεί το αναλογικό πρόβλημα. Οι σχέσεις αυτές, σύμφωνα με τους Kaput & West (1994, στο Ηροδότου κ.α., 2006), χωρίζονται σε δύο κατηγορίες: (α) σχέσεις «εντός», δηλ. σχέσεις ποσοτήτων ίδιου είδους, και (β) σχέσεις «εκτός», δηλ. σχέσεις ποσοτήτων διαφορετικού είδους, που σε κάποιες περιπτώσεις όταν τις συγκρίνουμε προκύπτουν νέα μεγέθη, πχ ταχύτητα κινητού (S=U/t). Οι στρατηγικές επίλυσης αναλογικού προβλήματος χωρίζονται με βάση τη δομή τους σε στρατηγικές με πολλαπλασιαστική και σε στρατηγικές με προσθετική δομή (άτυπη μορφή αναλογικού συλλογισμού) (Vergnaud, 1982, στο Hoyles, Noss & Pozzi, 2001). Στη πρώτη κατηγορία ανήκουν η αναγωγή στη μονάδα, ο συντελεστής αλλαγής, η μέθοδος των τριών και τα ισοδύναμα κλάσματα (Bart, et.al., 1994 στο Ηροδότου κ.α., 2006). Παρά το ότι η αναλογία ως έννοια εμφανίζεται από τις πρώτες τάξεις του Δημοτικού, εντούτοις πολλές έρευνες έδειξαν ότι είναι δυσνόητη περιοχή, αφού ένας πολύ μικρός αριθμός μαθητών της Μέσης Εκπαίδευσης χρησιμοποιούν σωστά τις αναλογίες και το 5

ίδιο παρατηρείται στην Ανώτατη Εκπαίδευση (Ηροδότου κ.α., 2006). Τέλος, ένα μεγάλο ποσοστό του πληθυσμού δεν κατακτά επαρκώς αναλογική σκέψη (Hoffer, 1988, στο Ηροδότου κ.α., 2006). Στην έρευνα μας παρατηρήσαμε ότι η συντριπτική πλειοψηφία του δείγματος μας όταν επιλύει αναλογικό πρόβλημα εφαρμόζει τη στρατηγική της αναγωγής στην μονάδα, αγνοώντας τις υπόλοιπες στρατηγικές. Επιπλέον, οι Hoyles et. al. (2001) παρατήρησαν ότι οι νοσοκόμες για να λύσουν αναλογικά προβλήματα: είτε χρησιμοποιούν το συντελεστή αλλαγής, είτε άτυπη προσθετική στρατηγική, είτε μία δική τους στρατηγική την ούτω καλούμενη "what you want rule", η οποία είναι συνδυασμός των δύο παραπάνω. Επιπλέον, οι ίδιοι ερευνητές παρατήρησαν ότι οι νοσοκόμες ποτέ δεν κάνουν υπολογισμούς με υπολογιστική μηχανή. Αυτό δείχνει ότι δεν έχουν μεγάλη εμπιστοσύνη στην τεχνολογία. 3. ΕΡΕΥΝΑ 3.1. ΣΚΟΠΟΣ ΚΑΙ ΕΡΩΤΗΜΑΤΑ ΤΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ Σκοπός της παρούσας έρευνας ήταν να μελετηθεί ο τρόπος με τον οποίο οι αρτοποιοί συνδέουν τον αναλογικό συλλογισμό που εφαρμόζουν στο επάγγελμα τους με τα αντίστοιχα μαθηματικά που έμαθαν στο σχολείο. Θέλουμε να εξετάσουμε πως κρίνουν τη γνώση που έλαβαν από το σχολείο σε αυτό το θέμα και αν θεωρούν ότι εφαρμόζουν τη γνώση αυτή στο επάγγελμα και στην καθημερινή τους ζωή. Ποιο συγκεκριμένα τα ερωτήματα που θέτουμε είναι τα εξής: Ποιο είναι το μορφωτικό επίπεδο των αρτοποιών; Θεωρούν χρήσιμα τα μαθηματικά στη ζωή και στο επάγγελμά τους; Ποια είναι τα συναισθήματά τους για τα μαθηματικά; Θεωρούν ότι στο σχολείο έμαθαν να λύνουν προβλήματα με αναλογίες; Χρησιμοποιούν στο επάγγελμά τους τις αναλογίες; Στην καθημερινή ζωή όταν λύνουν προβλήματα με αναλογίες εφαρμόζουν τεχνικές που διδάχτηκαν στο σχολείο; Ποια είναι η πιο συχνή στρατηγική που χρησιμοποιούν; 6

Το μορφωτικό επίπεδο των αρτοποιών σχετίζονται με τη στρατηγική με την οποία λύνουν τα προβλήματα των αναλογιών; Τα συναισθήματα των αρτοποιών για τα Μαθηματικά σχετίζονται με τη στρατηγική με την οποία λύνουν τα προβλήματα των αναλογιών; 3.2. ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Η μεθοδολογία που χρησιμοποιήσαμε στην έρευνά μας ήταν η εθνογραφική παρατήρηση με μελέτη περίπτωσης ενός αρτοποιού, του κύριου Γιώργου, και η εξέταση με ερωτηματολόγιο. Το δείγμα των αρτοποιών που εξετάστηκε ήταν 50 άτομα και προέρχονταν από την Λεμεσό της Κύπρου. Η μελέτη περίπτωσης του κ. Γιώργου πραγματοποιήθηκε μέσω προσωπικής συνέντευξης η οποία διήρκησε περίπου δύο ώρες. Στο τέλος της συνέντευξη ο κ. Γιώργο συμπλήρωσε ένα δοκίμιο, το οποίο περιλάμβανε τέσσερα αναλογικά προβλήματα. Τα προβλήματα του δοκιμίου ήταν τα εξής: 1. Η οικογένεια του Γιώργου σε 5 μέρες καταναλώνει 15 τόνους νερό. Πόσους τόνους νερό θα καταναλώσει σε 22 μέρες; 2. Ένας ηλεκτρολόγος αγόρασε ένα καλώδιο 10m και του στοίχισε 320. Στη συνέχεια χρειάστηκε ακόμη ένα κομμάτι 12m από το ίδιο καλώδιο. Πόσα χρήματα έδωσε για να αγοράσει το δεύτερο κομμάτι; 3. Ο μανάβης της γειτονιάς έχει προσφορά τις ντομάτες και πουλάει τα 3 Kg προς 3,20. Η κυρία Μαρία έχει καλεσμένους για το Σαββατοκύριακο και έτσι αγόρασε 12Kg ντομάτες. Πόσα πλήρωσε η κα. Μαρία στο μανάβικο; 4. Για να ασφαλτωθούν 12m δρόμου σε 3 μέρες χρειάζονται 42 εργάτες. Για να ασφαλτωθούν 36m δρόμου σε 4 μέρες πόσοι εργάτες χρειάζονται; Το ερωτηματολόγιο που χορηγήθηκε στους υπόλοιπους αρτοποιούς περιείχε 8 ερωτήσεις και συμπληρώθηκε στην παρουσία ερευνητή, ο οποίος έδινε επεξηγήσεις. Η ανάλυση των αποτελεσμάτων του ερωτηματολογίου έγινε με το στατιστικό πακέτο SPSS.15. 4. ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ 7

4.1. ΜΕΛΕΤΗ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗΣ Ο κ. Γιώργος είναι περίπου 40 ετών και είναι ιδιοκτήτης αρτοποιείου σε χωριό της Κύπρου. Όπως μας είπε όταν ήταν μαθητής δεν ήταν και πολύ καλός στα μαθηματικά. Τα Μαθηματικά ήταν από τα μαθήματα που δεν συμπαθούσε. Όταν τελείωσε το σχολείο συνέχισε τις σπουδές του σε σχολή ζαχαροπλαστικής. Όπως μας είπε ο ίδιος στη σχολή που πήγε «αναγκάστηκε» να μάθει κάποια στοιχειώδη μαθηματικά και να δει μαθηματικά που έχουν σχέση με την έννοια της αναλογίας, διότι όπως μας είπε: «Τα γλυκά ή τα αλμυρά ή το ψωμί για να πετύχει και να είναι εύγευστο πρέπει να ακολουθείς με ευλάβεια τις αναλογίες των υλικών (αλεύρι, νερό, ζάχαρη, αρωματικά κ.α.)». Ακολούθως, μας είπε ότι εδώ και πέντε χρόνια ασχολείται μόνο με τα διοικητικά της επιχείρησης του έτσι «άφησε» την κουζίνα. Συγκεκριμένα, μας ανάφερε ότι πλέον ασχολείται με την κοστολόγηση των προϊόντων που πωλούνται στο μαγαζί του. Έτσι, μας περιέγραψε τον τρόπο με τον οποίο κοστολογεί τα διάφορα προϊόντα. Αναγνωρίζει ότι κατά την κοστολόγηση των προϊόντων χρησιμοποιεί αναλογίες και ποσοστά. Χαρακτηριστικά αναφέρει: «Τώρα για τα προϊόντα που αγοράζω και πουλώ για να βγάλω τιμή προσθέτω το κόστος τους και 15% του κόστους αν δεν έχουν ΦΠΑ. Για παράδειγμα τα παξιμάδια τα αγοράζω 1 το σακούλι, έτσι προσθέτω ακόμα 0,15 και πουλώ 1,15 το κάθε σακούλι. Τα προϊόντα που έχουν ΦΠΑ και θέλουν ψυγείο πάνω στο κόστος τους προσθέτω 5%-15% του κόστους που είναι το ΦΠΑ (ανάλογα με το προϊόν) και 10% του κόστους για απόσβεση ψυγείου και ρεύμα». Θα πρέπει να τονίσουμε ότι ο κ. Γιώργος εξοικειώθηκε με τη χρήση της τεχνολογίας και κυρίως του Ηλεκτρονικού Υπολογιστή 1 και της Αριθμομηχανής. Αυτό τον βοήθησε πάρα πολύ στην εργασία του. Παρατηρήσαμε όμως ότι δεν είχε εμπιστοσύνη στον εαυτό του κατά την εκτέλεση πράξεων. Γι αυτό όταν του ζητήθηκε να επιλύσει το Δοκίμιο με τα αναλογικά προβλήματα μας ρώτησε εάν επιτρέπεται η χρήση αριθμομηχανής. Τελικά, ο ίδιος είπε ότι θα το κάνει χωρίς την αριθμομηχανή. 1 Στο πρόγραμμα Microsoft Excel έφτιαξε μόνος του, αφού παρακολούθησε μαθήματα για να μάθει πως χρησιμοποιούμε το συγκεκριμένο πρόγραμμα, φύλο κοστολόγησης του ψωμιού. 8

Από τις απαντήσεις στα προβλήματα του δοκιμίου παρατηρήσαμε ότι γνωρίζει και μπορεί να εργάζεται με τη στρατηγική της αναγωγής στη μονάδα, αλλά και με τις αναλογικές σχέσεις ποσοτήτων ίδιου και διαφορετικού είδους. Στο πρώτο πρόβλημα απάντησε σωστά, όμως εργάστηκε με ένα σχετικά πολύπλοκο τρόπο. Σκέφτηκε ότι οι 22 μέρες είναι 4πλάσιες των 5 ημερών και μένουν ακόμη 2 μέρες (συντελεστής αλλαγής). Μετά πολλαπλασίασε το 4 με τους 15τόνους που χρειάζονται σε 5 μέρες και βρήκε 60 τόνους. Ακολούθως, διαίρεσε τους 15 τόνους με τις 5 μέρες για να βρει πόσους τόνους κατανάλωναν σε μία μέρα (αναγωγή στη μονάδα), δηλ. 3 τόνους, και το πολλαπλασίασε με τις 2 μέρες που έμειναν, δηλ. 6 τόνους. Τέλος, πρόσθεσε το 60 με το 6 και βρήκε 66 τόνους. Στο δεύτερο πρόβλημα εργάστηκε με την αναγωγή στη μονάδα: 320:10=32, 32x12=384. Στο τρίτο πρόβλημα χρησιμοποίησε τον συντελεστή αλλαγής: 12:3=4, 4x3,20=12,80. Στο τελευταίο πρόβλημα, το οποίο ήταν πρόβλημα τριπλής αναλογίας, αν και αναμέναμε να δυσκολευτεί, δεν δυσκολεύτηκε. Εργάστηκε σωστά με τις αναλογίες των διαφορετικών ποσοτήτων. 12m 3μ 42 εργ. 36m 3μ 126 εργ. 36m 1μ 378 εργ. 36m 4μ 378:4=92 εργ. Το μόνο λάθος που έκανε ήταν η εκτέλεση της τελευταίας διαίρεσης και έτσι βρήκε λάθος αποτέλεσμα. Συμπερασματικά, παρατηρήσαμε ότι ο κ. Γιώργος: Γενικά, δεν έχει θετική στάση απέναντι στα μαθηματικά, αλλά δεν μπορούμε να πούμε ότι φοβάται τα μαθηματικά. Αυτό, εν μέρει, οφείλεται όπως λέει και ο ίδιος στο ότι: «Οι δάσκαλοι μου των μαθηματικών ήταν ένας κι ένας». Νοιώθει ανασφάλεια κυρίως κατά την εκτέλεση των πράξεων, αλλά δεν παρατηρήσαμε το ίδιο κατά την ανάγνωση του προβλήματος και την ανεύρεση του τρόπου επίλυσης του. Αυτή του 9

την ανασφάλεια πιστεύουμε ότι την έχει καλύψει με την εκμάθηση και χρήση του Ηλεκτρονικού Υπολογιστή και της Αριθμομηχανής. Είναι σε θέση να επιλύει αναλογικά προβλήματα πέραν από τον εργασιακό του χώρο χρησιμοποιώντας διαφορετικές στρατηγικές. Άρα, μπορούμε να πούμε ότι μπορεί να εφαρμόσει τη μέθοδο που γνωρίζει καλά σε προβλήματα εκτός του επαγγέλματος του, έτσι η γνώση του δεν είναι στατική-τοπική, αλλά έχει επιτευχθεί η μεταφορά της και σε άλλα πλαίσια. 4.2. ΠΟΣΟΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΩΝ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ ΤΟΥ ΕΡΩΤΗΜΑΤΟΛΓΙΟΥ ΠΙΝΑΚΑΣ I: Επίπεδο σπουδών των αρτοποιών του δείγματος Απόφοιτος Δημοτικού Απόφοιτος Γυμνασίου / Λυκείου Απόφοιτος Ανώτερης Σχολής 10 (20%) 33 (66%) 7 (14%) Σύμφωνα με τον πίνακα I παρατηρούμε ότι το 66% του δείγματος είναι απόφοιτοι Μέσης Εκπαίδευσης, το 20% είναι απόφοιτοι δημοτικού και τέλος, το 14% είναι απόφοιτοι ανώτερης σχολής. ΠΙΝΑΚΑΣ II: Η γνώμη των αρτοποιών του δείγματος για τη χρησιμότητα των σχολικών μαθηματικών και τα συναισθήματα τους απέναντι στα Μαθηματικά Αχρείαστα στη ζωή Αχρείαστα στο επάγγελμα Μου αρέσουν Δεν μου αρέσουν 5 (10%) 6 (12%) 38 (76%) 12 (24%) 15 Τα φοβάμαι (30%) Στην πρόταση: τα Μαθηματικά του σχολείου δεν μου χρειάστηκαν στη ζωή μου, απαντά καταφατικά μόνο το 10% των αρτοποιών. Στην πρόταση: τα Μαθηματικά του σχολείου δεν μου χρειάστηκαν στο επάγγελμά μου, απαντά καταφατικά μόνο το 12% των 10

αρτοποιών. Η πλειοψηφία δηλαδή του δείγματος θεωρεί ότι τα Μαθηματικά του σχολείου ήταν χρήσιμα στη ζωή και το επάγγελμά τους. Τα άτομα που θεωρούν ότι τα σχολικά Μαθηματικά είναι αχρείαστα, είναι κυρίως απόφοιτοι πανεπιστημίου ή άτομα τα οποία στο Λύκειο επέλεξαν ενισχυμένα μαθηματικά (Πρακτικό και Οικονομικό). Σύμφωνα με τον πίνακα ΙΙ παρατηρούμε ότι το 76% του δείγματος δηλώνουν ότι τους αρέσουν τα Μαθηματικά, ενώ το 24% δηλώνουν ότι δεν τους αρέσουν. Ένα ποσοστό 30% δηλώνουν ότι φοβούνται τα Μαθηματικά. Από αυτούς το 20% δηλώνουν ότι τους αρέσουν τα Μαθηματικά αλλά τα φοβούνται και το 10% δηλώνουν ότι δεν τους αρέσουν και τα φοβούνται. ΠΙΝΑΚΑΣ ΙΙΙ: Η άποψη των αρτοποιών του δείγματος σχετικά με τη διδασκαλία στρατηγικών επίλυσης αναλογικών προβλημάτων στο σχολείο και την εφαρμογή τους στην καθημερινή τους ζωή Έμαθα Δεν έμαθα Δεν θυμάμαι Εφαρμόζω τεχνικές του σχολείου Εφαρμόζω δικές μου τεχνικές 49 (98%) 0 (0%) 1 (2%) 49 (98%) 1 (2%) Στον πίνακα ΙΙΙ παρουσιάζονται οι απαντήσεις των αρτοποιών στις ερωτήσεις: Στο σχολείο έμαθες να λύνεις προβλήματα με αναλογίες; Στην καθημερινή σου ζωή όταν αντιμετωπίζεις προβλήματα με αναλογίες: Εφαρμόζεις τεχνικές που διδάχθηκες στο σχολείο. Εφαρμόζεις δικές σου τεχνικές που έμαθες στη δουλειά. Παρατηρούμε ότι το 98% του δείγματος δηλώνει ότι έμαθε στο σχολείο να λύνει αναλογικά προβλήματα, ενώ μόνο το 2% λέει ότι δεν θυμάται αν διδάχθηκε και κανένα υποκείμενο δεν απάντησε ότι δεν διδάχθηκε. Από τον ίδιο πίνακα παρατηρούμε ότι το 98% του δείγματος θεωρεί ότι στην καθημερινότητα εφαρμόζει τεχνικές επίλυσης αναλογικού προβλήματος που διδάχθηκε στο σχολείο. Μόνο ένα άτομο (2%) θεωρεί ότι εφαρμόζει δικές του τεχνικές, το οποίο όμως δεν μας περιέγραψε κάποια άλλη μέθοδο. Γενικά, κανένα 11

υποκείμενο δεν μας περιέγραψε κάποια άλλη στρατηγική επίλυσης αναλογικών προβλημάτων, την οποία έμαθε μέσα από την εμπειρία του στη δουλειά και να είναι διαφορετική από αυτές που διδάσκονται στο σχολείο. ΠΙΝΑΚΑΣ IV: Η γνώμη των αρτοποιών του δείγματος σχετικά με τη χρησιμότητα των αναλογιών στο επάγγελμα τους και τη στρατηγική που συνήθως χρησιμοποιούν κατά την επίλυση αναλογικών προβλημάτων Χρησιμοποιώ Δεν χρησιμοποιώ Χρησιμοποιώ λίγο Αναγωγή στη μονάδα Μέθοδος των τριών Συντελεστής αλλαγής 43 (86%) 2 (4%) 5 (10%) 42 (84%) 1 (2%) 7 (14%) Στον πίνακα VI παρουσιάζονται οι απαντήσεις των αρτοποιών του δείγματος στις πιο κάτω ερωτήσεις: Στο επάγγελμά σου χρησιμοποιείς αναλογίες; Όταν λύνεις προβλήματα με αναλογίες, συνήθως τι κάνεις; βρίσκεις πόσα αντιστοιχούν στο ένα και μετά πολλαπλασιάζεις αυτά που θέλεις να υπολογίσεις. βρίσκεις τη σχέση μεταξύ των ποσοτήτων του προβλήματος. εφαρμόζεις τη μέθοδο των τριών. Σύμφωνα με τον παραπάνω πίνακα παρατηρούμε ότι το 86% του δείγματος δηλώνει ότι χρησιμοποιεί αναλογίες στο επάγγελμα του και το 10% δηλώνει ότι τις χρησιμοποιεί πολύ λίγο. Μόνο το 4% απάντησε ότι δεν χρησιμοποιεί τις αναλογίες. Το 84% του δείγματος δήλωσε ότι χρησιμοποιεί την αναγωγή στη μονάδα για να λύσει αναλογικά προβλήματα. Μόνο το 2% απάντησε ότι χρησιμοποιεί τη μέθοδο των τριών και το 14% ότι χρησιμοποιεί το συντελεστή αλλαγής. Η πλειοψηφία των αρτοποιών λοιπόν (84%) δηλώνει ότι χρησιμοποιεί τη μέθοδο της αναγωγής στη μονάδα. Σχέση μεταξύ της στρατηγικής επίλυσης αναλογικών προβλημάτων, την οποία οι αρτοποιοί του δείγματος υποστηρίζουν ότι χρησιμοποιούν, και του μορφωτικού τους επιπέδου 12

Διασταυρώνοντας το επίπεδο σπουδών των αρτοποιών με την στρατηγική με την οποία λύνουν τα αναλογικά προβλήματα βρίσκουμε ότι υπάρχει στατιστική συσχέτιση (Χ 2 =6,621, DF=2, p=0,037). Παρατηρούμε ότι οι απόφοιτοι Δημοτικού, Γυμνασίου και Λυκείου χρησιμοποιούν κυρίως τη στρατηγική της αναγωγής στη μονάδα. Ενώ οι απόφοιτοι Ανώτερης Σχολής χρησιμοποιούν τόσο τη στρατηγική της αναγωγής στη μονάδα όσο και τη στρατηγική με το συντελεστή αλλαγής. Η στρατηγική με το συντελεστή αλλαγής απαιτεί μια συνολική θεώρηση της έννοιας της αναλογίας, ενώ η στρατηγική της αναγωγής στη μονάδα είναι μια πιο τυποποιημένη στοιχειώδης μέθοδος που μπορεί να εφαρμοστεί στις περισσότερες περιπτώσεις. Φαίνεται ότι αυτή την ικανότητα της συνολικής θεώρησης της αναλογίας τη διαθέτουν περισσότερο οι αρτοποιοί που είναι απόφοιτοι Ανώτερης Σχολής και όχι οι αρτοποιοί που είναι απόφοιτοι Δημοτικού αλλά και Γυμνασίου και Λυκείου. Σχέση μεταξύ της στρατηγικής επίλυσης αναλογικών προβλημάτων, την οποία οι αρτοποιοί του δείγματος υποστηρίζουν ότι χρησιμοποιούν, και των συναισθημάτων τους απέναντι στα Μαθηματικά Διαχωρίζουμε την ομάδα των αρτοποιών που δηλώνουν ότι τους αρέσουν τα μαθηματικά και δεν τα φοβούνται, δηλαδή αυτούς που έχουν θετικά συναισθήματα ως προς τα Μαθηματικά, από αυτούς που δεν τους αρέσουν ή δεν τους αρέσουν και τα φοβούνται. Αν διασταυρώσουμε αυτούς που δηλώνουν θετικά ή μη συναισθήματα απέναντι στα μαθηματικά με την στρατηγική με την οποία λύνουν τα προβλήματα των αναλογιών βρίσκουμε ότι δεν υπάρχει σημαντική σχέση μεταξύ συναισθημάτων και στρατηγικής (ακριβής δίπλευρος έλεγχος Fisher, p=0,382). Δηλαδή αυτοί που τους αρέσουν και δεν φοβούνται τα Μαθηματικά δεν χρησιμοποιούν με διαφορετικό τρόπο τις στρατηγικές της αναγωγής στη μονάδα και του συντελεστή αλλαγής, από αυτούς που δείχνουν αρνητικά συναισθήματα απέναντι στα Μαθηματικά. 5. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ 13

Στην πρώτη αυτή έρευνα στο χώρο των αρτοποιών τόσο από τη μελέτη περίπτωσης όσο και από την έρευνα με το ερωτηματολόγιο βρήκαμε αρκετά αποτελέσματα που δίνουν πληροφορίες και θέτουν ερωτήματα για περαιτέρω έρευνα. Από τη μελέτη περίπτωσης είδαμε ότι ο κ. Γιώργος δεν έχει θετική στάση απέναντι στα Μαθηματικά και νοιώθει ανασφάλεια κατά την εκτέλεση των πράξεων, όμως από την άλλη μπορεί και εφαρμόζει στρατηγικές υπολογισμού αναλογικών προβλημάτων, αναγωγή στη μονάδα και συντελεστή αλλαγής, αρκετά καλά τόσο στη δουλειά του όσο και σε προβλήματα σχολικού τύπου. Για να ξεπεράσει αυτή του την ανασφάλεια κατά την εκτέλεση των πράξεων χρησιμοποιεί νέες τεχνολογίες, όπως το πρόγραμμα Excel και κάνει μοντελοποίηση και υπολογισμούς αρκετά υψηλού επιπέδου. Παρατηρούμε δηλαδή ότι η χρήση της νέας τεχνολογίας από το κ. Γιώργο καλύπτει κάποια κενά και αδυναμίες του στα μαθηματικά. Υπάρχουν πολλές έρευνες στην διεθνή βιβλιογραφία που κατέληξαν σε παρόμοια συμπεράσματα. Πολλοί ερευνητές (π.χ. Hall, Stevens, Hutchins, Lave) υπέδειξαν το σημαντικό ρόλο που διαδραματίζουν τα διάφορα πολιτισμικά εργαλεία και οι νέες τεχνολογίες, από το μολύβι και το χαρτί μέχρι τα υπολογιστικά προγράμματα του Ηλεκτρονικού Υπολογιστή, στις καθημερινές μαθηματικές δραστηριότητες των ενηλίκων (Gainsburg, 2005). Επιπλέον, η ίδια ερευνήτρια προσθέτει ότι οι νέες τεχνολογίες αποτελούν ένα υποστηρικτικό εργαλείο στα χέρια των ενηλίκων για την επίλυση καθημερινών μαθηματικών προβληματικών καταστάσεων. Ακόμη, οι νέες τεχνολογίες μπορούν να βοηθήσουν στην εκμάθηση μαθηματικών εννοιών, τόσο από ενήλικες όσο και από ενήλικες. Τα αποτελέσματα με το ερωτηματολόγιο στους αρτοποιούς μας δείχνουν ότι η πλειοψηφία (76%) έχει θετική στάση απέναντι στα μαθηματικά και θεωρούν χρήσιμη την σχολική μαθηματική γνώση για τη ζωή (90%) και για το επάγγελμά τους (82%). Όσον αφορά στη μάθηση των αναλογιών στο σχολείο και την εφαρμογή τους στην καθημερινή ζωή σχεδόν όλοι δηλώνουν (98%) ότι εφαρμόζουν τεχνικές που έμαθαν στο σχολείο. Δηλώνουν επίσης ότι στο επάγγελμά τους χρησιμοποιούν αναλογίες και εφαρμόζουν κυρίως τη στρατηγική της αναγωγής στη μονάδα (84%) και λιγότερο το συντελεστή αλλαγής (14%). 14

Βρίσκουμε ότι υπάρχει στατιστική συσχέτιση μεταξύ του επιπέδου σπουδών και των στρατηγικών που χρησιμοποιούν οι αρτοποιοί στα αναλογικά προβλήματα. Οι απόφοιτοι του Δημοτικού, του Γυμνασίου και του Λυκείου χρησιμοποιούν περισσότερο την απλοϊκή στρατηγική της αναγωγής στη μονάδα, ενώ οι απόφοιτοι ανώτερων σχολών χρησιμοποιούν τη στρατηγική του συντελεστή αλλαγής (συσχέτισης). Αυτό δείχνει ότι οι απόφοιτοι ανώτερων σχολών έχουν μια πιο ολιστική θεώρηση των αναλογικών καταστάσεων. Παρατηρήσαμε επίσης ότι δεν υπάρχει στατιστική συσχέτιση μεταξύ των συναισθημάτων τους απέναντι στα μαθηματικά και της στρατηγικής που δηλώνουν ότι χρησιμοποιούν στα αναλογικά προβλήματα. Τα αποτελέσματα αυτά θέτουν ερωτήματα και υποθέσεις για περαιτέρω έρευνα και εθνογραφική μελέτη των αναλογικών καταστάσεων που χρησιμοποιούν οι αρτοποιοί στο επάγγελμά τους. Μπορεί να μελετηθούν οι στρατηγικές που χρησιμοποιούν, αν υπάρχει ευκαμψία στη χρήση των στρατηγικών, καθώς αν χρησιμοποιούν την τεχνολογία για την αντιμετώπιση των αναλογικών καταστάσεων που αντιμετωπίζουν. ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ - Evans, J. (1999). Building bridges: reflections on the problem of transfer of learning in mathematics. In Educational Studies in Mathematics, 39, 23-44. - Evans, J. (2000a). Adult Mathematics and Everyday Life: Building Bridges and facilitating learning Transfer. In D. Coben et al. (eds.), Perspectives on Adults Learning Mathematics, 289-305. - Evans, J. (2000b). Adults Mathematical Thinking and Emotions: A study of numerate practices. London: Routledge/Falmer, Taylor & Francis Group. - Εvans, J. (2002). Developing research conceptions of emotion among adult learners of mathematics. In Literacy and Numeracy Studies, 11(2), 79-94. - Forman, S. L., & Steen L. A., (2000). Making Authentic Mathematics work for all students. In Bessot & Ridgway (eds.), Education for Mathematics in the Workplace, 115-126. Kluwer Academic Publishers. Printed in the Netherlands. - Gainsburg, J., (2005). School mathematics in work and life: what we know and how we can learn more. In Technology in Society (Elsevier), 27, 1-22. - Ηροδότου κ.α., (2006). Επίλυση των αριθμητικών και λεκτικών προβλημάτων αναλογίας. Στο Α. Γαγάτσης κ.α. (επιμ. έκδ.), Σύγχρονη Έρευνα στη Μαθηματική Παιδεία, 239-269. - Hall. R., & Stevens, R. (1995). Making spaces: A comparison of mathematical work in school and professional design practices. In S. L. Star (Ed.), The cultures of computing, 118-143. London: Basil Blackwell. - Hogan, J., & Morony, W., (2000). Classroom Teachers doing research in the workplace. In Bessot & Ridgway (eds.), Education for Mathematics in the Workplace, 101-115. Kluwer Academic Publishers. Printed in the Netherlands. - Hoyles, C., et al., (2001). Proportional Reasoning in Nursing Practice. In Journal for Rescarch in Mathemadcs Education, 32, 1, 4-27. 15

- Nunes T., Schliemann A.D., Carraher D.W., (1993). Street mathematics and school mathematics. New York: Cambridge University Press. - Singh, E. (1993). The political dimension of adult numeracy: Conclusions of a survey into attitudes to mathematics. In C. Julie, D. Angelis & Z. Davis (Eds.), Political Diemnsions of Mathematics Education 2: Curriculum Reconstruction for Society in Transition (pp. 335-341). Cape Town: Miller Maskew Longman (Pty) Ltd. - Wedege, T., (2000). Mathematics knowledge as a vocational qualification. In Bessot & Ridgway (eds.), Education for Mathematics in the Workplace, 127-137. Kluwer Academic Publishers. Printed in the Netherlands. - Zwaart V. D. P., (2000). Working mathematics for learners with lower abilities. In Bessot & Ridgway (eds.), Education for Mathematics in the Workplace, 87-101. Kluwer Academic Publishers. Printed in the Netherlands. 16