Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α. Τρόποι απόδειξης
|
|
- Ἑστία Αναγνώστου
- 9 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α Ο πυρήνας των μαθηματικών είναι οι τρόποι με τους οποίους μπορούμε να συλλογιζόμαστε στα μαθηματικά. Τρόποι απόδειξης Επαγωγικός συλλογισμός (inductive) Παραγωγικός συλλογισμός (deductive) Εις άτοπον απαγωγή Μαθηματική επαγωγή Οι τρόποι (μέθοδοι) απόδειξης είναι μαθηματικοί τρόποι τους οποίους χρησιμοποιούμε για να φτάσουμε σε κάποια συμπεράσματα. Συμπληρώστε την σειρά: 3, 6, 9, 1, 15,? Βλέπουμε ότι αυξάνεται κατά 3, γι αυτό λέμε ότι το επόμενο θα είναι το 18 (πολλαπλάσια του 3). Υπάρχει πιθανότητα όμως μετά να είναι το 4, γιατί οι πέντε πρώτοι αριθμοί είναι πολλαπλάσια του 3 (1x3, x3, 3x3, 4x3, 5x3) και οι επόμενοι πέντε να είναι πολλαπλάσια του 4 (1x4, x4, 3x4, ). Σύμφωνα με τον επαγωγικό συλλογισμό, πιο σωστό θα ήταν να λέγαμε κατά πάσα πιθανότητα ο επόμενος αριθμός θα είναι το 18, δηλαδή να υποθέσουμε. Εκτός, αν μας πουν ότι οι αριθμοί είναι πολλαπλάσια του 3, δηλαδή αν μας πουν τον κανόνα, οπότε σίγουρα θα είναι το 18. Αν δεν μας πουν όμως τον κανόνα, τότε κάνουμε έναν συλλογισμό σχετικά με την διαδοχή των αριθμών και διατυπώνουμε μία υπόθεση για το τι ενδεχομένως ακολουθεί αλλά δεν μπορούμε να το πούμε με σιγουριά. Στον επαγωγικό συλλογισμό, δηλαδή, διατυπώνουμε απλά μια υπόθεση για το τι θα ακολουθήσει χωρίς απόλυτη βεβαιότητα (δεν μπορούμε να είμαστε ποτέ σίγουροι, εκτός αν κάποιος μας έχει πει τον κανόνα). Ένα παιχνίδι που παίξαμε ήταν το εξής : Σκέψου έναν αριθμό Πολλαπλασίασέ τον με το 8 Πρόσθεσε 6 στο γινόμενο Διαίρεσε το άθροισμα με Αφαίρεσε 3 από το αποτέλεσμα Μετά το παιχνίδι έγινε σε ζευγάρια και ο καθένας προσπαθούσε να βρει τον αρχικό αριθμό που σκέφτηκε το ζευγάρι του καθώς και την συσχέτιση αρχικού και τελικού αριθμού.
2 Κάποια παιδιά προκειμένου να βρουν ποιον αριθμό σκέφτηκε αρχικά ο διπλανός τους ακολούθησαν την αντίθετη πορεία. Ο τελικός αριθμός βρέθηκε σε κάθε περίπτωση συγκεκριμένων αριθμών τετραπλάσιος του αρχικού. Φαίνεται λοιπόν ότι όταν ακολουθείς τα βήματα μάλλον σε οδηγούν σε έναν αριθμό που είναι τετραπλάσιος του αρχικού. Άρα, άμα ξέρω ότι ο τελικός αριθμός είναι τετραπλάσιος του αρχικού, διαιρώ με το 4 και βρίσκω τον αρχικό. Μέχρις εδώ είμαστε στο πλαίσιο του επαγωγικού συλλογισμού: έχουμε μία υποψία ότι ακολουθώντας τα βήματα καταλήγουμε σε έναν αριθμό τετραπλάσιο του αρχικού δεν είμαστε όμως απολύτως σίγουροι, γι αυτό για να βεβαιωθούμε ότι ισχύει για οποιονδήποτε αριθμό κι αν χρησιμοποιήσουμε, θα πρέπει να καταλάβουμε γιατί τα συγκεκριμένα βήματα οδηγούν σε τετραπλάσιο αποτέλεσμα ακολουθώντας την εξής διαδικασία. Αρχικά θέτουμε ως x τον αρχικό αριθμό (συμβολίζει τον οποιονδήποτε αριθμό). Μετά ακολουθούμε τα βήματα της άσκησης και αντί για τον αριθμό χρησιμοποιούμε το x. x 8 = 8x 8x + 6 = 8x + 6 8x 6 8x 6 (8x + 6) : = 4x + 3 ή 4x 3 (4x + 3) 3 = 4x Άρα επιβεβαιώσαμε ότι ακολουθώντας αυτά τα βήματα, ανεξαρτήτως αριθμού, ο τελικός αριθμός θα είναι πάντα τετραπλάσιος του αρχικού, χωρίς καμία αμφιβολία, μετά από συγκεκριμένες ενέργειες είμαστε απολύτως σίγουροι. Έτσι διατυπώσαμε ένα γενικό συμπέρασμα πέρα από κάθε αμφιβολία. Τα βήματα τα οποία χρησιμοποιήσαμε για να αποδείξουμε ότι αυτό ισχύει ανήκουν στον παραγωγικό συλλογισμό (με μαθηματικούς συλλογισμούς καταλήγουμε στην απόλυτη βεβαιότητα). SOS: Στον επαγωγικό συλλογισμό υποθέτουμε ότι το φαινόμενο θα επαναληφθεί και ουσιαστικά κάνουμε δοκιμές μέχρι να καταλήξουμε σε μία πρόταση, την οποία στη συνέχεια θα αποδείξουμε με αυστηρά μαθηματικά, ενώ στον παραγωγικό συλλογισμό βασιζόμενοι στην υπόθεση καταλήγουμε σε ένα συμπέρασμα, αφού στα μαθηματικά για να έχουμε παραγωγικό συλλογισμό πρέπει να αποδείξουμε κάτι. Μετά μας ζητήθηκε να φτιάξουμε κι εμείς ένα παρόμοιο παιχνίδι όπου ο τελικός αριθμός θα είναι τριπλάσιος του αρχικού. Ένα παιχνίδι που φτιάχτηκε ήταν το εξής: Σκέψου έναν αριθμό Πολλαπλασίασέ τον με το 6 Πρόσθεσε στο γινόμενο Διαίρεσε το άθροισμα με το Αφαίρεσε 1 από το αποτέλεσμα Μετά από επαγωγικό συλλογισμό βρίσκουμε ότι αυτό ισχύει για μερικούς αριθμούς. Στη συνέχεια θέλουμε να αποδείξουμε ότι ισχύει για κάθε αριθμό (παραγωγικός συλλογισμός):
3 Ορίζω ως κάθε αριθμό τον x 6 x = 6x 6x + = 6x + (6x + ) : = 3x + 1 3x = 3x Στα μαθηματικά όλα ξεκινούν από υποθέσεις. Ένας συνδυασμός επαγωγικού και παραγωγικού συλλογισμού είναι το πώς ο Γαλιλαίος ανακάλυψε τον νόμο του εκκρεμούς, έναν νόμο που συνδέει την περίοδο της ταλάντωσης (Τ) με το μήκος του σκοινιού που κρέμεται το μπαλάκι: πήγε στο εργαστήριό του πήρε ένα εκκρεμές με μήκος 10cm, χρονομέτρησε κι έφτιαξε έναν πίνακα, ομοίως και για άλλες μετρήσεις. Στο τέλος, εξετάζοντας τα δεδομένα προσπάθησε να ανακαλύψει τον τύπο, δηλαδή να βρει αν αυτά τα δύο νούμερα (μήκος σχοινιού και χρόνος ταλάντωσης) συνδέονται μεταξύ τους με μαθηματικό τρόπο και με ποιον τύπο. Με βάση τα δεδομένα διατύπωσε μία υπόθεση. Ποτέ δεν μπορείς να πεις ότι ο τύπος στον οποίο φτάνω είναι αληθής μόνο και μόνο επειδή παρατηρείς κάποια αριθμητικά δεδομένα, διατυπώνεις απλώς κάποιες υποθέσεις για το ποιο μπορεί να είναι το μοτίβο. Επίσης παραγωγικό συλλογισμό ακολουθώ όταν έχω μια βάσιμη υποψία και αποδεικνύω γιατί συμβαίνει κάτι. Αντίθετα, στον επαγωγικό συλλογισμό κάνω πολλές δοκιμές. Με βάση τα δεδομένα διατύπωσε μια υπόθεση: Αν προσθέσουμε δύο περιττούς αριθμούς το άθροισμά τους είναι περιττός αριθμός; Παίρνω πολλά παραδείγματα που θα με βοηθήσουν αρχικά να διατυπώσω μία υπόθεση. 3+5=8 (επαγωγικός συλλογισμός) 1+7=8 Η υπόθεση πως όταν προσθέσουμε δύο περιττούς καταλήγουμε σε 5+7=1 περιττούς φαίνεται να μην ισχύει για τα συγκεκριμένα ζευγάρια 3+11=14 αριθμών, αφού καταλήγουμε σε άρτιο αποτέλεσμα. Πρέπει να επιβεβαιώσω την υποψία μου με αυστηρό μαθηματικό τρόπο (παραγωγικός συλλογισμός). Θέτω τον έναν περιττό αριθμό ν+1 και τον άλλο κ+1 ακολουθώντας τις γενικές μαθηματικές αρχές (μαθηματικές παραδοχές). Ο περιττός αριθμός δεν διαιρείται με το άρα δεν έχει την μορφή ν αλλά μπορούμε να τον συναντήσουμε με τις εξής μορφές: ν+1 ή ν-1. Επίσης τον δεύτερο περιττό τον θέτω κ+1 για να τον ξεχωρίζω απλά από τον πρώτο.
4 (ν+1)+(κ+1)=ν+κ+ 1=(ν+κ+1) άρα καταλήγουμε στο συμπέρασμα με αποδεκτά βήματα πως οποιουσδήποτε δύο περιττούς αριθμούς κι αν προσθέσω θα προκύπτει ένα άρτιο αποτέλεσμα. Άμα πολλαπλασιάσω δύο περιττούς, το γινόμενό τους τι θα είναι; 3x5=15 Υποθέτουμε ότι το γινόμενο δύο περιττών αριθμών 9x9=81 θα είναι περιττός αριθμός. 3x11=33 3x3=9 3x7=1 Έστω ο ένας περιττός αριθμός ν+1 και ο άλλος κ+1. (ν+1) (κ+1)= κν + ν +κ + 1= (νκ+ν+κ) + 1 Μπορώ το νκ+ν+κ να το θέσω ως Α, άρα (νκ+ν+κ)+1 = Α + 1 Άρα καταλήγουμε στο συμπέρασμα πως αν πολλαπλασιάσεις δύο περιττούς αριθμούς, το γινόμενό τους θα είναι σίγουρα περιττός αριθμός. Για διευκόλυνση σε όσους δεν θυμούνταν την επιμεριστική ιδιότητα δόθηκε το εξής παράδειγμα: Ένας πατέρας μοίρασε και έδωσε στους δύο γιούς του το παρακάτω χωράφι. Τα παιδιά σκέφτηκαν να το πουλήσουν και θέλησαν να υπολογίσουν το εμβαδόν του χωραφιού. Καθένας τους το έκανε με εντελώς διαφορετικό τρόπο. Ποιοι είναι οι δύο τρόποι με τους οποίους τα παιδιά υπολόγισαν το εμβαδόν του χωραφιού; α β γ Οι δύο τρόποι με τους οποίους υπολόγισαν τα παιδιά το εμβαδόν του οικοπέδου και έβγαλαν το ίδιο αποτέλεσμα, ήταν οι εξής: α(β+γ) (βρήκε το μήκος της μίας πλευράς και υπολόγισε το εμβαδόν του ορθογώνιου οικοπέδου) αβ+αγ (εμβαδόν κάθε τμήματος του χωραφιού ξεχωριστά) Η ιδιότητα α(β+γ)=αβ+αγ στο δημοτικό είναι γνωστή ως ελληνικός πολλαπλασιασμός ενώ σε μεγαλύτερες τάξεις ως επιμεριστική ιδιότητα.
5 Ομοίως η ιδιότητα (α+β)(γ+δ) που είναι η επιμεριστική με μία πιο σύνθετη μορφή, ουσιαστικά είναι σαν να έχω δύο επιμεριστικές(κρύβω πρώτα το β και μετά το α). α β γ δ άρα θα ισχύει: (α+β)(γ+δ)=αγ+αδ+βγ+βδ Το τετράγωνο περιττού αριθμού τι αριθμός είναι; Θέτω τον περιττό αριθμό ν+1. (ν+1) = 4ν +4ν+1=(ν +ν)+1 άρα είναι περιττός αριθμός. Η ιδιότητα (α+β) με ένα σχήμα: α β α α αβ α β αβ β β α β άρα (α+β) =α +αβ+αβ+β =α +αβ+β ή (α+β) = (α+β)(α+β)=αα+αβ+αβ+ββ=α +αβ+β Ομοίως και το x. x x Δεν πρέπει ποτέ να στηριζόμαστε στον επαγωγικό συλλογισμό. Πάνω στην περίμετρο ενός κύκλου έχω ένα τυχαίο σημείο. Σε πόσα μέρη χωρίζεται ο κύκλος; Σε ένα.
6 Αν είχαμε δύο σημεία, σε πόσα μέρη χωρίζεται ο κύκλος; Σε δύο. Σημείωση: Τα μέρη είναι μη επικαλυπτόμενα Σημείο Μέρη sos! Δεν ακολουθούμε τον επαγωγικό συλλογισμό γιατί μας βγάζει λάθος αποτέλεσμα, καθώς τα μέρη στα οποία χωρίζεται ο κύκλος όταν έχουμε 6 σημεία είναι 31, και όχι 3 που βγαίνει από τον επαγωγικό συλλογισμό. Παραγωγικό συλλογισμό έχουμε όταν κάνουμε χρήση αντιπαραδειγμάτων. Δηλαδή αν κάποιος πει ότι αυτό ισχύει πάντα και θέλουμε να το καταρρίψουμε, φτάνει να βρούμε ένα αντιπαράδειγμα με επαγωγικό συλλογισμό για το οποίο δεν θα ισχύει. Άρα έτσι καταρρίπτεται όλη η θεωρία. Δηλαδή στα μαθηματικά η εξαίρεση δεν επιβεβαιώνει τον κανόνα. Τι είναι η απόλυτη τιμή ενός αριθμού; Είναι η απόστασή του από το 0 (δεν υπάρχει θετική ή αρνητική απόσταση, καθώς είναι ένας καθαρός αριθμός). π.χ. το x >0 ισχύει πάντα; Η απάντηση είναι ότι δεν ισχύει πάντα, καθώς δεν περιλαμβάνει την περίπτωση όπου x=0. Π.χ. -3 =3 3 =3 άρα -3 = 3 Ένα πρόβλημα το οποίο συνδυάζει επαγωγικό και παραγωγικό συλλογισμό είναι το πρόβλημα με τις χειραψίες.
7 Μία τάξη στην έκτη δημοτικού είχε 5 παιδιά. Ο δάσκαλος είπε στα παιδιά να συστηθούν μεταξύ τους κάνοντας χειραψίες μία φορά με όλους (και φυσικά όχι με τους εαυτούς τους). Τελικά πόσες χειραψίες έγιναν; Μία σκέψη που διατυπώθηκε ήταν πως αν ο ένας έκανε 4 χειραψίες τότε τα 5 άτομα θα έκαναν 4x5=600 χειραψίες. Μία συμβουλή που δίνει ο Goliath (πατέρας της επίλυσης προβλημάτων) είναι πως αν δεν μπορείς να λύσεις ένα πρόβλημα, ξαναδιατύπωσέ το με μικρότερους αριθμούς. Δηλαδή 5 άνθρωποι σε ένα πάρτι είναι πολλοί αν λέγαμε π.χ. ότι ήταν 3 άνθρωποι στο πάρτι το πρόβλημα θα λυνόταν πιο απλά. Επίσης ένα πρόβλημα το οποίο μπορεί να μας φαίνεται δύσκολο και να μην ξέρουμε πώς να ξεκινήσουμε να το λύνουμε, με απλή σκέψη και καταγραφή των δεδομένων μπορεί να λυθεί. Αν οι μαθητές ήταν 3, θα γίνονταν 3 χειραψίες. Αν ακολουθούσαμε την παραπάνω σχέση θα έπρεπε να πούμε το εξής: Αν ο 1 κάνει χειραψίες τότε οι 3 κάνουν 6 χειραψίες. Εφαρμόζοντάς το όμως στην πραγματικότητα είδαμε ότι κάνουν 3 χειραψίες, δηλαδή κάποιες χειραψίες έχουν ξαναγίνει. Ένας τρόπος να δείξουμε κάποια πράγματα είναι να τα ζωγραφίσουμε. Αν ήταν 4 άτομα θα γίνονταν 6 χειραψίες. Αν ήταν 5 άτομα θα γίνονταν 10 χειραψίες. Μετά όμως από τα πέντε άτομα αρχίζει και δυσκολεύει η απεικόνιση, επομένως προσπαθούμε να βρούμε έναν κανόνα (βρισκόμαστε στον επαγωγικό συλλογισμό). Όταν θα είναι 6 άτομα, θα γίνουν κατά πάσα πιθανότητα χειραψίες. Οπότε βελτιώνοντας την πρόταση που διατυπώθηκε, πως αν ο ένας έκανε 4 χειραψίες τότε τα 5 άτομα θα έκαναν 4 5=600 θα διαιρέσουμε το 600 με το, άρα το αποτέλεσμα
8 των χειραψιών είναι 300 χειραψίες (διαιρούμε με το γιατί οι χειραψίες μετριούνται δύο φορές). Δεν είμαστε απολύτως βέβαιοι, απλά είναι ένα συμπέρασμα και θέλουμε να σιγουρευτούμε ακόμα περισσότερο, δηλαδή να είμαστε απολύτως σίγουροι για τον τύπο που βρήκαμε. Αν οι άνθρωποι ήταν ν τότε: Ο 1 θα κάνει ν-1 χειραψίες Α τρόπος (με αναλογίες) v( v 1) ν νομίζω ότι αυτός είναι ο τύπος. Β τρόπος (αποτέλεσμα σαν άθροισμα) (ν-1)+(ν-)+(ν-3) κατά πάσα πιθανότητα εκφράζουν. v( v 1) Εάν αποδεικνύαμε ότι το με το (ν-1)+(ν-)+ +1 είναι το ίδιο ακριβώς πράγμα, θα είχαμε πειστεί ότι αυτή είναι η λύση στο πρόβλημά μας, δηλαδή με ποιο τρόπο αν το προσεγγίζαμε και το γενικεύαμε να καταλήγαμε σε μία λύση. Επίσης και οι δύο είναι τύποι που φτάσαμε κάνοντας δοκιμές και κατά πάσα πιθανότητα εκφράζουν την λύση του προβλήματος. Χρησιμοποιώντας αυτό που είχε σκεφτεί ο μικρός Gauss όταν τους έδωσε το παρακάτω πρόβλημα ο δάσκαλός τους: = = 100 *101 Δηλαδή παρατήρησε ότι ο πρώτος (1) και ο τελευταίος (100) αριθμός κάνουν μαζί 101, ο δεύτερος () και ο προτελευταίος αριθμός (99) κάνουν 101, ομοίως και οι υπόλοιποι, και 100 υπολογίζοντας πως είχε 50 ( ) ζευγάρια, κατέληξε στο αποτέλεσμα. Έτσι, ακολουθώντας την λογική του Gauss: v 1 Έχουμε ν-1 αριθμούς, άρα ζευγάρια και κάθε ζευγάρι δίνει άθροισμα ν, άρα όλα τα v( v 1) ζευγάρια θα έχουν άθροισμα, δηλαδή καταλήξαμε πάλι στον ίδιο τύπο. ν (ν-1)+(ν-)+(ν-3)+ +1 ν-1 v( v 1) άρα, όπου ν το άθροισμα των ατόμων και (ν-1) τα ζευγάρια.
9 Ερώτηση: Πόσες διαγώνιες έχει ένα δεκαπεντάγωνο; Αφού έχει 15 κορυφές τότε =105, στην πραγματικότητα όμως υπολογίσαμε πως αν αυτοί είναι άνθρωποι που κάνουν χειραψίες, πόσες χειραψίες θα γίνουν. Το πρόβλημα όμως ζητάει μόνο τις διαγώνιες, γι αυτό θα αφαιρέσουμε 15, γιατί το 105 δεν είναι μόνο οι διαγώνιες αλλά και οι πλευρές. Άρα = 90 διαγώνιες. Άρα ενός ν-γώνου οι διαγώνιες θα είναι: v( v 1) v v v v v 3v Διαγώνιες είναι οι ευθείες που ενώνουν δύο γωνίες. Και το πιο δύσκολο πράγμα στα μαθηματικά μπορεί να εξηγηθεί με απλά λόγια, όπως είναι το ολοκλήρωμα, το οποίο είναι το εμβαδόν μίας περίεργης περιοχής. Μία ακόμη μέθοδος που θα δούμε αργότερα είναι η μέθοδος της εξάντλησης. Άσκηση Να αποδείξετε ότι το άθροισμα δύο άρτιων αριθμών είναι άρτιος και γιατί;
με μ,ν ακέραιους και ν 0 και δημιουργήθηκε το σύνολο Q ( ρητοί). Το σύνολο Ζ επεκτάθηκε με την προσθήκη αριθμών της τύπου
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΚΑΙ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ Η ΑΛΓΕΒΡΑ ασχολείται με τους αριθμούς και τις μεταξύ τους σχέσεις Οι φυσικοί αριθμοί (συμβολίζονται με το γράμμα Ν) Ν={ 1,,3 }επινοήθηκαν από τον
Οι φυσικοί αριθμοί. Παράδειγμα
Οι φυσικοί αριθμοί Φυσικοί Αριθμοί Είναι οι αριθμοί με τους οποίους δηλώνουμε πλήθος ή σειρά. Για παράδειγμα, φυσικοί αριθμοί είναι οι: 0, 1,, 3,..., 99, 100,...,999, 1000, 0... Χωρίζουμε τους Φυσικούς
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ Περιεχόμενα : Α) Προτάσεις-Σύνθεση προτάσεων Β)Απόδειξη μιας πρότασης Α 1 ) Τι είναι πρόταση Β 1 ) Βασικές έννοιες Α ) Συνεπαγωγή Β ) Βασικές μέθοδοι απόδειξης Α 3 ) Ισοδυναμία
Μεθοδολογία Επίλυσης Προβλημάτων ============================================================================ Π. Κυράνας - Κ.
Μεθοδολογία Επίλυσης Προβλημάτων ============================================================================ Π. Κυράνας - Κ. Σάλαρης Πολλές φορές μας δίνεται να λύσουμε ένα πρόβλημα που από την πρώτη
Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 10 ο, Τμήμα Α
Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 10 ο, Τμήμα Α Ορθογώνιο παραλληλόγραμμο 3 cm 5 cm Ο τύπος όπως είναι γραμμένος δείχνει ότι μπορούμε να πολλαπλασιάσουμε δύο μήκη. Ε=3cm x 5cm=15cm 2. Πώς καταλαβαίνετε
Μαθηματικά Α' Γυμ. - Ερωτήσεις Θεωρίας 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ. (1) Ποιοι είναι οι φυσικοί αριθμοί; Γράψε τέσσερα παραδείγματα.
Μαθηματικά Α' Γυμ. - Ερωτήσεις Θεωρίας 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ (1) Ποιοι είναι οι φυσικοί αριθμοί; Γράψε τέσσερα παραδείγματα. (2) Ποιοι είναι οι άρτιοι και ποιοι οι περιττοί αριθμοί; Γράψε από τρία παραδείγματα.
Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 6 ο, Τμήμα Α. Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης (Μ.Κ.Δ.) και Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο (Ε.Κ.Π.)
Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 6 ο, Τμήμα Α Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης (Μ.Κ.Δ.) και Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο (Ε.Κ.Π.) Ε.Κ.Π. (Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο) Κοινό όταν δύο άτομα έχουν ένα κοινό
Περιληπτικά, τα βήματα που ακολουθούμε γενικά είναι τα εξής:
Αυτό που πρέπει να θυμόμαστε, για να μη στεναχωριόμαστε, είναι πως τόσο στις εξισώσεις, όσο και στις ανισώσεις 1ου βαθμού, που θέλουμε να λύσουμε, ακολουθούμε ακριβώς τα ίδια βήματα! Εκεί που πρεπει να
Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο της θεωρίας αριθμών θα πρέπει να είναι σε θέση:
Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο της θεωρίας αριθμών θα πρέπει να είναι σε θέση: Να γνωρίζει: την αποδεικτική μέθοδο της μαθηματικής επαγωγής για την οποία πρέπει να γίνει κατανοητό ότι η αλήθεια
2.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ Ρητός ονομάζεται κάθε αριθμός που έχει ή μπορεί να πάρει τη μορφή κλάσματος, όπου, είναι ακέραιοι με 0. Ρητοί αριθμοί : Q /, 0. Έτσι π.χ.
2. Να γράψετε έναν αριθμό που είναι μεγαλύτερος από το 3,456 και μικρότερος από το 3,457.
1. Ένα κεφάλαιο ενός βιβλίου ξεκινάει από τη σελίδα 32 και τελειώνει στη σελίδα 75. Από πόσες σελίδες αποτελείται το κεφάλαιο; Αν το κεφάλαιο ξεκινάει από τη σελίδα κ και τελειώνει στη σελίδα λ, από πόσες
Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών
Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών TINΑ ΒΡΕΝΤΖΟΥ www.ma8eno.gr www.ma8eno.gr Σελίδα 1 Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Στους πραγματικούς αριθμούς ορίστηκαν οι
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ.3 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ Α. Επίλυση εξισώσεων δευτέρου βαθμού με ανάλυση σε γινόμενο παραγόντων 1. ΕΡΩΤΗΣΗ Ποια εξίσωση λέγεται εξίσωση ου βαθμού
ΝΟΕΡΟΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ- ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΕΣ Ε.Κολέζα
ΝΟΕΡΟΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ- ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΕΣ Ε.Κολέζα Οι νοεροί υπολογισμοί απαιτούν ικανότητα οπτικοποίησης: να μπορείς να φανταστείς κάτι και να δουλέψεις με το νου.. Είναι ένα είδος νοητικού πειράματος, η νοερή
Φ1: ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
Φ: ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΓΙΑΝΝΗΣ ΧΡΑΣ 0-0 ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α - ΘΕΩΡΙΑ - ΣΩΣΤΟ-ΛΑΘΟΣ - ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ - ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΗΣΗΣ - ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ-ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΘΕΜΑ Β - ΑΣΚΗΣΕΙΣ
Μαθηματικά Α Γυμνασίου
Μαθηματικά Α Γυμνασίου Επαναληπτικές ασκήσεις Στέλιος Μιχαήλογλου Ασκήσεις. Δίνεται η παράσταση 7 : α) Να αποδείξετε ότι Α=8. β) Ο αριθμός Α είναι πρώτος ή σύνθετος; γ) Να αναλύσετε τον αριθμό Α σε γινόμενο
Άλγεβρα Α Λυκείου Κεφάλαιο 2ο. οι πράξεις και οι ιδιότητές τους
οι πράξεις και οι ιδιότητές τους Μερικές ακόμη ταυτότητες (επιπλέον από τις αξιοσημείωτες που βρίσκονται στο σχολικό βιβλίο) ) Διαφορά δυνάμεων με ίδιο εκθέτη: ειδικά αν ο εκθέτης ν είναι άρτιος υπάρχει
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ Α': ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: Αλγεβρικές παραστάσεις Παράγραφος A..: Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) Β: Πράξεις με μονώνυμα Τα σημαντικότερα σημεία
Α. ΔΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ
ΜΕΡΟΣ Α.5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ 9. 5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ- ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ Α. ΔΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ Εάν έχουμε δύο πραγματικούς αριθμούς α και β τότε λέμε ότι ο α είναι μεγαλύτερος
ΒΑΣΙΚΕΣ ΥΠΕΝΘΥΜΙΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΡΙΘΜΩΝ. Διαιρετότητα. Πρώτοι αριθμοί
ΟΜΙΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 2013-14 Mathematics knows no races or geographic boundaries; for mathematics, the cultural world is one country. David Hilbert ΒΑΣΙΚΕΣ ΥΠΕΝΘΥΜΙΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΡΙΘΜΩΝ Διαιρετότητα
Διάταξη Πραγματικών Αριθμών. Έστω α, β πραγματικοί αριθμοί. Τι σχέση μπορεί να έχουν αυτοί οι αριθμοί; Μπορεί, να είναι ίσοι: Να είναι άνισοι, δηλαδή:
Διάταξη Πραγματικών Αριθμών Έστω α, β πραγματικοί αριθμοί. Τι σχέση μπορεί να έχουν αυτοί οι αριθμοί; Μπορεί, να είναι ίσοι: α=β ή Να είναι άνισοι, δηλαδή: Πρόσθεση πραγματικών αριθμών Αν α, β ομόσημοι
σ αυτή την περίπτωση; = 610 και το άθροισμα των 12 πρώτων όρων της S 12 = 222. Να βρείτε τη διαφορά και τον 1 ο όρο της.
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5ο ΑΡΙΜΗΤΙΚΗ ΚΑΙ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ. Σε μια αριθμητική πρόοδο είναι 6 και 9. Να βρείτε α) τη διαφορά και β) τον 0 ο όρο της προόδου.. Σε μια αριθμητική πρόοδο είναι 3 και 7.
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ. Άρτιοι αριθμοί ονομάζονται οι αριθμοί που διαιρούνται με το 2 και περιττοί εκείνοι
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ 1)Ποιοι αριθμοί ονομάζονται άρτιοι και ποιοι περιττοί ; Άρτιοι αριθμοί ονομάζονται οι αριθμοί που διαιρούνται με το 2 και περιττοί εκείνοι που δεν διαιρούνται
Επαναληπτικές ασκήσεις για τα Χριστούγεννα.
Μαθηματικά B Γυμνασίου Επαναληπτικές ασκήσεις για τα Χριστούγεννα. Μέρος Α Άλγεβρα. 1. Να γίνουν οι πράξεις: α. Α=(-3)(-4)+3[(-3).4+(-6) ] β. Β=--8.3+7[7(-3)+(-)(-1)] 8 γ. Γ= 3 ( ) ( 8) 3 9 3 δ. Δ=(-3+9-)(3-9)+(9-0)(4:+).
ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 8. Πότε το γινόμενο δύο ή περισσοτέρων αριθμών παραγόντων είναι ίσο με το μηδέν ;
ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ( ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ) ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Το κεφάλαιο αυτό περιέχει πολλά θέματα που είναι επανάληψη εννοιών που διδάχθηκαν στο Γυμνάσιο γι αυτό σ αυτές δεν θα επεκταθώ αναλυτικά
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Α.1. 1) Ποιοι φυσικοί αριθμοί λέγονται άρτιοι και ποιοι περιττοί; ( σ. 11 ) 2) Από τι καθορίζεται η αξία ενός ψηφίου σ έναν φυσικό αριθμό; ( σ. 11 ) 3) Τι
Απαντήσεις θεωρίας Κεφάλαιο 1ο. (α μέρος)
Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Απαντήσεις θεωρίας Κεφάλαιο 1ο. (α μέρος) 1. Πως προσθέτουμε δυο πραγματικούς αριθμούς; Για να προσθέσουμε δύο ομόσημους αριθμούς, προσθέτουμε τις απόλυτες τιμές τους και στο άθροισμά
Σχέδιο Μαθήματος - "Ευθεία Απόδειξη"
Σχέδιο Μαθήματος - "Ευθεία Απόδειξη" ΤΑΞΗ: Α Λυκείου Μάθημα: Άλγεβρα Τίτλος Ενότητας: Μέθοδοι Απόδειξης - Ευθεία απόδειξη Ώρες Διδασκαλίας: 1. Σκοποί Να κατανοήσουν οι μαθητές την διαδικασία της ευθείας
αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί;
Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία Ρητοί και άρρητοι αριθμοί. α) Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί; iv) άρρητοι; v) πραγματικοί; β) Να βρείτε
Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός
1 Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο Ερώτηση 1 : Ποιες είναι οι ιδιότητες της πρόσθεσης των φυσικών; Το άθροισμα ενός φυσικού αριθμού με το 0 ισούται με τον ίδιο αριθμό. α+0=α Αντιμεταθετική ιδιότητα. Με βάση την οποία
Α Γυμνασίου, Μέρο Α : Αριθμητική Άλγεβρα, Κεφάλαιο 1 - Οι φυσικοί αριθμοί
Α Γυμνασίου, Μέρο Α : Αριθμητική Άλγεβρα, Κεφάλαιο 1 - Οι φυσικοί αριθμοί Μαθηματικά Α Γυμνασίου Μέρο Α - Κεφάλαιο 1 Α. 1.2. Οι αριθμοί 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6... 98, 99, 100... 1999, 2000, 2001,... ονομάζονται
ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8
ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,
ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ
ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός Αγαπητοί μαθητές. αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα βοήθημα στην ύλη της Άλγεβρας Α Λυκείου, που είναι ένα από
Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 4 ο, Τμήμα Α
Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 4 ο, Τμήμα Α Τι συμβαίνει όταν η περίοδος δεν ξεκινάει αμέσως μετά το κόμμα όπως συμβαίνει με τον αριθμό 3,4555 και θέλουμε να γραφεί σαν κλάσμα; 345 Υπήρχαν πολλές
Μαθηματικά Γ Γυμνασίου
Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται
ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ο ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ο Εξισώσεις και Προβλήματα ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1. Εξίσωση με έναν άγνωστο λέγεται... 2. Λύση ή ρίζα της εξίσωσης λέγεται...... 3. Επίλυση εξίσωσης
Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου
Web page: www.ma8eno.gr e-mail: vrentzou@ma8eno.gr Η αποτελεσματική μάθηση δεν θέλει κόπο αλλά τρόπο, δηλαδή ma8eno.gr Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Αριθμητική - Άλγεβρα Γεωμετρία Άρτιος λέγεται
Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ
Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ 1 Συνοπτική θεωρία Ερωτήσεις αντικειμενικού τύπου Ασκήσεις Διαγωνίσματα 2 ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ-ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 1. Πότε ένας φυσικός αριθμός λέγεται άρτιος; Άρτιος
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ Άσκηση 1 Δίνονται οι ανισώσεις: 3x και 2 x α) Να βρείτε τις λύσεις τους (Μονάδες 10) β) Να βρείτε το σύνολο των κοινών τους λύσεων (Μονάδες 15) α) Έχουμε 3x 2x x 2
Σημειώσεις Ανάλυσης Ι. Θεωρούμε γνωστούς τους φυσικούς αριθμούς
Σημειώσεις Ανάλυσης Ι 1. Οι ρητοί αριθμοί Θεωρούμε γνωστούς τους φυσικούς αριθμούς 1, 2, 3, και τις πράξεις (πρόσθεση - πολλαπλασιασμό)μεταξύ αυτών. Οι φυσικοί αριθμοί είναι επίσης διατεταγμένοι με κάποια
Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου. Άλγεβρα...
Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Άλγεβρα 1.1 Β: Δυνάμεις πραγματικών αριθμών. 1. Πως ορίζεται η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού ; Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα
Οδύσσεια Τα απίθανα... τριτάκια! Tετάρτη τάξη ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Δ ΤΑΞΗ Συμπεράσματα Ενοτήτων
Οδύσσεια Τα απίθανα... τριτάκια! Tετάρτη τάξη ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Δ ΤΑΞΗ Συμπεράσματα Ενοτήτων Πηγή πληροφόρησης: e-selides ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Δ ΤΑΞΗΣ 1η ΕΝΟΤΗΤΑ (ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ) Δεν μπορώ να βρω το ζητούμενο ενός προβλήματος
Παράδειγμα 1 Γράψε ένα δεκαδικό αριθμό μεταξύ του 2 και του 3 που δεν περιέχει το 5 που περιέχει το 7 και που βρίσκεται όσο πιο κοντά γίνεται με το
Παράδειγμα 1 Γράψε ένα δεκαδικό αριθμό μεταξύ του 2 και του 3 που δεν περιέχει το 5 που περιέχει το 7 και που βρίσκεται όσο πιο κοντά γίνεται με το 5/2 1 Παράδειγμα 2: Γράψε ένα κλάσμα που χρησιμοποιεί
Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου
Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Άλγεβρα 1.1 Β : Δυνάμεις πραγματικών αριθμών. 1. Πως ορίζεται η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού ; Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα
Μαθηματική Λογική και Απόδειξη
Μαθηματική Λογική και Απόδειξη Σύντομο ιστορικό σημείωμα: Η πρώτη απόδειξη στην ιστορία των μαθηματικών, αποδίδεται στο Θαλή το Μιλήσιο (~600 π.χ.). Ο Θαλής απέδειξε, ότι η διάμετρος διαιρεί τον κύκλο
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ
1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1. α. Τι γνωρίζετε για την Ευκλείδεια διαίρεση; Πότε λέγεται τέλεια; β. Αν σε μια διαίρεση είναι Δ=δ, πόσο είναι το πηλίκο και
3. α) Να λύσετε την εξίσωση x 2 = 3. β) Να σχηματίσετε εξίσωση δευτέρου βαθμού με ρίζες, τις ρίζες της εξίσωσης του α) ερωτήματος.
. Δίνεται η εξίσωση λ + 4(λ ) = 0, με παράμετρο λ R α) Να βρείτε τη διακρίνουσα της εξίσωσης. β) Να αποδείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση έχει ρίζες πραγματικές για κάθε λ R. γ) Αν, είναι οι ρίζες της παραπάνω
Οι Φυσικοί Αριθμοί. Παρατήρηση: Δεν στρογγυλοποιούνται αριθμοί τηλεφώνων, Α.Φ.Μ., κωδικοί αριθμοί κλπ. Πρόσθεση Φυσικών αριθμών
Οι Φυσικοί Αριθμοί Γνωρίζουμε ότι οι αριθμοί είναι ποσοτικές έννοιες και για να τους γράψουμε χρησιμοποιούμε τα αριθμητικά σύμβολα. Οι αριθμοί μετρούν συγκεκριμένα πράγματα και φανερώνουν το πλήθος της
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ
2 ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΥΜΗΤΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ - Σελίδα 1 από 6 - 1. Η ΔΟΜΗ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Στις εξετάσεις του Μαίου-Ιουνίου µας δίνονται δύο θέµατα θεωρίας και
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΝΔΡΕΣΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΦΥΛΛΑ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΕΝΟΤΗΤΑ Α.1.2. ΠΡΑΞΕΙΣ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΚΑΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ
ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΕΝΟΤΗΤΑ Α.1.2. ΠΡΑΞΕΙΣ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΚΑΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ / / ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 12+ 7 = 19 Οι αριθμοί 12 και 7 ονομάζονται ενώ το 19 ονομάζεται.. 3+5 =, 5+3 =...
Β ΤΑΞΗ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟΥ ΑΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑ
1 Β ΤΑΞΗ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟΥ ΑΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΕΝΟΤΗΤΑ 1 ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕΧΡΙ ΤΟ 20 2 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ ΕΝΟΤΗΤΑΣ -Αριθμοί μέχρι το 20. -Αξία θέσης ψηφίου - Έννοια δεκάδας και μονάδας. -Πρόσθεση
Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ
Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ (Α ΜΕΡΟΣ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ) Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών
ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ - ΑΝΔΡΕΣΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
Ποιες είναι οι ιδιότητες της πρόσθεσης; Ποιες είναι οι ιδιότητες του πολλαπλασιασμού; Τι ονομάζουμε νιοστή δύναμη του άλφα; Ποια είναι η βάση και ποιος ο εκθέτης; Ποια είναι η προτεραιότητα των πράξεων
5.4. ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΕΡΕΥΝΩΝ ΜΕ ΡΗΤΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ ΤΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΗΣ ΦΥΣΗΣ ΚΑΙ ΤΗΣ ΖΩΗΣ
5.4. ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΕΡΕΥΝΩΝ ΜΕ ΡΗΤΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ ΤΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΗΣ ΦΥΣΗΣ ΚΑΙ ΤΗΣ ΖΩΗΣ 5.4.1. Αποτελέσματα από το πρόγραμμα εξ αποστάσεως επιμόρφωσης δασκάλων και πειραματικής εφαρμογής των νοερών
Ασκήσεις και δραστηριότητες
Ασκήσεις και δραστηριότητες 1. Ποιος είναι ο Ευκλείδης, συγγραφέας των Στοιχείων; Πότε έζησε; Τι γνωρίζουμε γι αυτόν και για το έργο του; Από πού; Να διαβάσεις σχετικά σε μιαν εγκυκλοπαίδεια ή ένα βιβλίο
4.2 ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ
14 4 ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να βρούμε το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης του με τον Σύμφωνα με το γνωστό αλγόριθμο της διαίρεσης, το πηλίκο θα είναι ένας ακέραιος κ, τέτοιος,
Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση»
1 2.1 ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ Ιδιότητες των πράξεων Στους πραγματικούς αριθμούς ορίστηκαν οι πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού και με την οήθειά τους η αφαίρεση και η διαίρεση. Για
ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ
ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΑ ΑΠΟ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ομόσημοι Ετερόσημοι αριθμοί Αντίθετοι Αντίστροφοι αριθμοί Πρόσθεση ομόσημων και ετερόσημων ρητών αριθμών Απαλοιφή παρενθέσεων Πολλαπλασιασμός και Διαίρεση ρητών αριθμών
Όταν οι αριθμοί είναι ομόσημοι Βάζουμε το κοινό πρόσημο και προσθέτουμε
Κανόνες των προσήμων Στην πρόσθεση Όταν οι αριθμοί είναι ομόσημοι Βάζουμε το κοινό πρόσημο και προσθέτουμε (+) και (+) κάνει (+) + + 3 = +5 (-) και (-) κάνει (-) - - 3 = -5 Όταν οι αριθμοί είναι ετερόσημοι
ΑΛΓΕΒΡΑ. Θέματα: - Εξισώσεις - Σχέσεις/μοτίβα
ΑΛΓΕΒΡΑ Θέματα: - Εξισώσεις - Σχέσεις/μοτίβα 1 Εξισώσεις 1. Η Αντωνία διάβασε τις πρώτες 78 σελίδες ενός βιβλίου, που έχει συνολικά 130 σελίδες. Ποια μαθηματική πρόταση μπορεί να χρησιμοποιήσει η Αντωνία,
2. 3 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ
ΜΕΡΟΣ Α.3 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 193. 3 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ Με την βοήθεια των εξισώσεων δευτέρου βαθμού λύνουμε πολλά προβλήματα της καθημερινής ζωής και διαφόρων επιστημών.
3, ( 4), ( 3),( 2), 2017
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. α. Τι γνωρίζετε για την Ευκλείδεια διαίρεση; Πότε λέγεται τέλεια; β. Αν σε μια διαίρεση είναι Δ=δ, πόσο είναι το πηλίκο και
ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.
ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε
ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 1. 2 ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΚΑΙ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ
ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 1. 2 ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΚΑΙ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΕΙΣ ( 1 ) Να υπολογίσετε τις παραστάσεις Α = 3 + 23 + 19 Β = 8 +13 +45-7 Γ = 3 + 0 Α = 3+23 +19 =
x < y ή x = y ή y < x.
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Εαρινό Εξάμηνο 011-1 Τμήμα Μαθηματικών Διδάσκων: Χ.Κουρουνιώτης Μ8 ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Φυλλάδιο 1 Ανισότητες Οι πραγματικοί αριθμοί είναι διατεταγμένοι. Ενισχύουμε αυτήν την ιδέα με
Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις - συμπληρώσεις )
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ α x +β
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο : ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1. Όταν ένα μέγεθος ή ένα σύνολο χωριστεί σε ν ίσα μέρη, το κάθε ένα από αυτά ονομάζεται.. και συμβολίζεται : 2. Κάθε τμήμα του μεγέθους ή του συνόλου αντικειμένων,
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο : ΟΙ ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1. Η ιδιότητα α+ β = β+ α λέγεται.. 2. Η ιδιότητα α ( β γ) ( ) + + = α+ β + γ λέγεται. 3. Ο αριθμός 0 είναι το..της πρόσθεσης φυσικών αριθμών αφού ισχύει:
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.3 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 113 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ ΘΕΩΡΙΑ Θα ασχοληθούμε με την εγγραφή μερικών βασικών κανονικών πολυγώνων σε κύκλο και θα υπολογίσουμε
Α Γυμνασίου, Μέρο Α : Αριθμητική Άλγεβρα, Κεφάλαιο 2 - Κλάσματα
Α Γυμνασίου, Μέρο Α : Αριθμητική Άλγεβρα, Κεφάλαιο 2 - Κλάσματα Μαθηματικά Α Γυμνασίου Μέρο Α - Κεφάλαιο 2 Α. 2.1. Όταν ένα μέγεθο ή ένα σύνολο ομοειδών αντικειμένων χωρισθεί σε ν ίσα μέρη, το κάθε ένα
Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών
Σελ. 1 Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών 1. Ποια είναι τα πρόσηµα των ακεραίων αριθµών; Ζ={... -3,-2,-1,0,+1,+2,+3,... } 2. Ποιοι αριθµοί λέγονται θετικοί και ποιοι αρνητικοί; Γράψε από έναν. 3. Στον άξονα
με Τέλος πάντων, έστω ότι ξεκινάει ένα άλλο υποθετικό σενάριο που απλά δεν διευκρινίζεται. Για το i) θα έχουμε , 2
Άσκηση 75 Σε έναν οργανισμό, αρχικά υπάρχουν 04800 βακτήρια. Μετά από 1 ώρα υπάρχουν 10400 βακτήρια, μετά από ώρες 5100 βακτήρια, και γενικά ο αριθμός των βακτηρίων υποδιπλασιάζεται κάθε μια ώρα. α) Πόσα
Πρόγραμμα Σπουδών Εκπαίδευσης Παιδιών-Προφύγων Τάξεις Ε+ΣΤ Δημοτικού
Πρόγραμμα Σπουδών Εκπαίδευσης Παιδιών-Προφύγων 2016-2017 Τάξεις Ε+ΣΤ Δημοτικού Περιεχόμενα Στόχοι Πηγή Υλικού 3.1 Αριθμοί Οι μαθητές πρέπει: Σχολικά βιβλία Ε και ΣΤ Φυσικοί, Δεκαδικοί, μετρήσεις Να μπορούν
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ
ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΠΑΤΕΡΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Ακολουθία ονομάζουμε
ΝΕΑ ΦΙΛΟΣΟΦΙΑ ΚΑΙ ΝΕΕΣ ΑΝΤΙΛΗΨΕΙΣ ΣΤΗ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. Παρασχίδης Κυριαζής Σχολικός Σύμβουλος 3 ης Περιφέρειας ν. Ξάνθης
ΝΕΑ ΦΙΛΟΣΟΦΙΑ ΚΑΙ ΝΕΕΣ ΑΝΤΙΛΗΨΕΙΣ ΣΤΗ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Παρασχίδης Κυριαζής Σχολικός Σύμβουλος 3 ης Περιφέρειας ν. Ξάνθης ΠΑΛΙΕΣ ΚΑΙ ΝΕΕΣ ΑΝΤΙΛΗΨΕΙΣ ΣΤΗ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΛΙΕΣ ΑΝΤΙΛΗΨΕΙΣ
Ορισμένες σελίδες του βιβλίου
Ορισμένες σελίδες του βιβλίου 7. Θεωρούμε το σύνολο αναφοράς 0,,. Να οριστούν τα σύνολα: Α. των τριψηφίων αριθμών που σχηματίζουν τα στοιχεία του Ω. Β. των τριψηφίων αριθμών με διαφορετικά ψηφία Γ. των
Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Εισαγωγή στα Πρότυπα Τεστ. Πειραματικά Λύκεια ΕΠΕΣ Π.Π. ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής Συντάκτης Λυγάτσικας Ζήνων ΠΕ 03 Χρόνος
Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Εισαγωγή στα Πρότυπα Τεστ Πειραματικά Λύκεια ΕΠΕΣ Π.Π. ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής Συντάκτης Λυγάτσικας Ζήνων ΠΕ 03 Χρόνος 0 λεπτά Βαθμολογία Το διαγώνισμα είναι βαθμολογημένο με άριστα
Πρόλογος. Κ. Τζιρώνης Θ. Τζουβάρας Μαθηματικοί
Πρόλογος Το βιβλίο αυτό περιέχει όλη την ύλη των Μαθηματικών της Β Γυμνασίου, χωρισμένη σε ενότητες, όπως ακριβώς στο σχολικό βιβλίο. Κάθε ενότητα περιλαμβάνει: Τη θεωρία Λυμένες ασκήσεις Χρήσιμες παρατηρήσεις
ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΠΡΑΞΕΙΣ
ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΠΡΑΞΕΙΣ Να δείξετε ότι (x 2) 3 + (3x 4) 3 + (6 4x) 3 = 3(x 2)(3x 4)(6 4x). Λύση Στο 1 0 μέλος βλέπουμε άθροισμα κύβων 3 αριθμών, εξετάζουμε αν έχουν άθροισμα 0, (x 2) + (3x 4) + (6
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ :. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σε κάθε τετραγωνικό πίνακα ) τάξης n θα αντιστοιχίσουμε έναν πραγματικό ( ij αριθμό, τον οποίο θα ονομάσουμε ορίζουσα του πίνακα. Η ορίζουσα θα συμβολίζεται det ή Α ή n n
Κάθε αριθμός που δεν είναι ρητός, ονομάζεται άρρητος αριθμός.
ΜΕΡΟΣ Α. ΑΡΡΗΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ-ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 69. ΑΡΡΗΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ-ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΡΡΗΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Κάθε αριθμός που δεν είναι ρητός, ονομάζεται άρρητος αριθμός. Για παράδειγμα ο αριθμός που στην προηγούμενη
Α. 27 Β. 29 Γ. 45 Δ. 105 Ε. 127
Α - Β Γυμνασίου η Κυπριακή Μαθηματική Ολυμπιάδα Απρίλιος 0. Αν = M = 60, η τιμή του M + N είναι: 5 45 N Α. Β. 9 Γ. 45 Δ. 05 Ε.. Ένα τετράγωνο και ένα τρίγωνο έχουν ίσες περιμέτρους. Το μήκος των τριών
Θαλής Α' Λυκείου 1995-1996
Θαλής Α' Λυκείου 1995-1996 1. Δυο μαθητές Α και Β παίζουν το ακόλουθο παιχνίδι: Τους δίνεται ένα κανονικό πολύγωνο με άρτιο πλήθος πλευρών, μεγαλύτερο από 6 (π.χ. ένα 100-γωνο). Κάθε παίκτης συνδέει δυο
R={α/ αρητός ή άρρητος αριθμός }
o ΛΥΚΕΙΟ ΠΕΤΡΟΥΠΟΛΗΣ Οι ρητοί και οι άρρητοι αριθμοί λέγονται πραγματικοί αριθμοί. Το σύνολο που περιέχει όλους τους πραγματικούς αριθμούς λέγεται σύνολο των πραγματικών αριθμών και συμβολίζεται με R.
Σημεία Προσοχής στην Παράγραφο Ε1.
Σημεία Προσοχής στην Παράγραφο Ε1. 1. Πότε μια πρόταση που περιέχει το ή είναι αληθής; Μια πρόταση που περιέχει τον σύνδεσμο "ή", ουσιαστικά αποτελείται από δύο ισχυρισμούς. Μπορεί και οι δύο ισχυρισμοί
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
0 ΘΕΩΡΙΑ ΜΕΘΟΔΟΙ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Βαγγέλης Α Νικολακάκης Μαθηματικός . ΠΡΑΞΕΙΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΒΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ. ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΟΜΟΣΗΜΩΝ- ΕΤΕΡΟΣΗΜΩΝ Σε ομόσημους κάνω πρόσθεση και βάζω το κοινό
Πρόλογος. Κ. Τζιρώνης Θ. Τζουβάρας Μαθηματικοί
Πρόλογος Το βιβλίο αυτό περιέχει όλη την ύλη των Μαθηματικών της Β Γυμνασίου, χωρισμένη σε ενότητες, όπως ακριβώς στο σχολικό βιβλίο. Κάθε ενότητα περιλαμβάνει: Τη θεωρία Λυμένες ασκήσεις Χρήσιμες παρατηρήσεις
ΙΣΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ ΣΧΗΜΑΤΩΝ
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ Ερώτηση 1 η Ποια καλούνται κύρια και ποια δευτερεύοντα στοιχεία ενός τριγώνου; Τι ονομάζεται τριγωνική ανισότητα; Κύρια στοιχεία ενός τριγώνου είναι οι πλευρές και οι γωνίες του. Οι
ΕΝΟΤΗΤΑ 5 ΜΟΤΙΒΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΥ, ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΕΜΒΑΔΟΝ ΚΑΙ ΠΕΡΙΜΕΤΡΟΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ
ΜΟΤΙΒΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΥ, ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΕΜΒΑΔΟΝ ΚΑΙ ΠΕΡΙΜΕΤΡΟΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΑΡΙΘΜΟΙ Διερεύνηση αριθμών Αρ2.5 Αναπαριστούν, συγκρίνουν και σειροθετούν ομώνυμα κλάσματα και δεκαδικούς αριθμούς,
Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας- Άλγεβρα Β ΓΕ.Λ.-Σχολικό έτος 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ. Σχολικό έτος: 2014-2015
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Σχολικό έτος: 014-015 Τα θέματα εμπλουτίζονται με την δημοσιοποίηση και των νέων θεμάτων από το Ι.Ε.Π. Γ ε ν ι κ ή Ε π ι μ έ λ ε ι
Κεφάλαιο 7 ο : Θετικοί και Αρνητικοί αριθμοί
ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΙΩΝ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ Κεφάλαιο 7 ο : Θετικοί και Αρνητικοί αριθμοί Α. 7. 1 1. Τι είναι τα πρόσημα και πως χαρακτηρίζονται οι αριθμοί από αυτά; Τα σύμβολα
Κάνοντας ακριβέστερες μετρήσεις με την βοήθεια των Μαθηματικών. Ν. Παναγιωτίδης, Υπεύθυνος ΕΚΦΕ Ν. Ιωαννίνων
Κάνοντας ακριβέστερες μετρήσεις με την βοήθεια των Μαθηματικών Ν. Παναγιωτίδης, Υπεύθυνος ΕΚΦΕ Ν. Ιωαννίνων Αν κάναμε ένα τεστ νοημοσύνης στους μαθητές και θέταμε την ερώτηση: Πως μπορεί να μετρηθεί το
11. Ποιες είναι οι άμεσες συνέπειες της διαίρεσης;
10. Τι ονομάζουμε Ευκλείδεια διαίρεση και τέλεια διαίρεση; Όταν δοθούν δύο φυσικοί αριθμοί Δ και δ, τότε υπάρχουν δύο άλλοι φυσικοί αριθμοί π και υ, έτσι ώστε να ισχύει: Δ = δ π + υ. Ο αριθμός Δ λέγεται
απλοποιείται, γιατί οι όροι της είναι γινόμενα και έχουν κοινό παράγοντα το xy. Αν διαιρέσουμε και τους δύο όρους με τον κοινό παράγοντα,
ΜΕΡΟΣ Α 9 ΡΗΤΕΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 9 ΡΗΤΕΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ Ρητές αλγεβρικές παραστάσεις Μια αλγεβρική παράσταση με την μορφή κλάσματος που οι όροι του είναι πολυώνυμα λέγεται ρητή αλγεβρική
1 Arq thc Majhmatik c Epagwg c
Μαθηματικός Λογισμός Ι Φθινόπωρο 0 Σημειώσεις 7-0- Μ. Ζαζάνης Arq thc Majhati c Epagwg c Θα συμβολίζουμε το σύνολο των ϕυσικών αριθμών, {,,,...} με το σύμβολο N. Το σύνολο των ϕυσικών αριθμών, συμπεριλαμβανομένου
1.2 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο όριο ακολουθίας
.2 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο όριο ακολουθίας Θέμα της δραστηριότητας Αυτή η δραστηριότητα εισάγει στην έννοια του Ορίου Ακολουθίας. Δυο φύλλα εργασίας οδηγούν τους μαθητές στον ορισμό της σύγκλισης μηδενικής
Μαθηματικά της Φύσης και της Ζωής
Μαθηματικά της Φύσης και της Ζωής Τάξη: Ε Η ομάδα χορού 1. Σε μια ομάδα παραδοσιακών χορών συμμετέχουν 39 αγόρια και 23 κορίτσια. Κάθε εβδομάδα προστίθενται στην ομάδα 6 νέα αγόρια και 8 νέα κορίτσια.
ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ
ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Ο ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 1. Όταν μπροστα" (αριστερα") απο" ε"ναν αριθμο" γραφει" το συ"μβολο + το"τε ο αριθμο"ς
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)
6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,