ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΝΩ ΣΤΑ ΚΥΜΑΤΑ (Εισαγωγή)

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΝΩ ΣΤΑ ΚΥΜΑΤΑ (Εισαγωγή) ΑΣΚΗΣΗ : Η μετατόπιση κύματος που κινείται προς αρνητική -κατεύθυνση είναι D( (5,cm)in(5,5 7, όπου το είναι σε m και το σε. Να υπολογίσετε (α) τη συχνότητα, (β) το μήκος κύματος και (γ) τη ταχύτητα αυτού του κύματος. D(, (5,cm)in(5,5 7 D(, Ain( k Από τη σύγκριση των δυο σχέσεων προκύπτει ότι: k=5,5 m - και ω=7 rad/ 7rad / α. Συχνότητα κύματος f: ω=πf=7 rad/ f,4, 4Hz β. Μήκος κύματος λ: k 5,5 m, 4m 5,5 m γ. Ταχύτητα κύματος: f (,4m) (,4 ) 3, m/ ΑΣΚΗΣΗ : Ειδικοί προσπαθούν να εντοπίσουν κοιτάσματα πετρελαίου. Χρησιμοποιούν εκρηκτικά για την παραγωγή δυνατών ήχων, στη συνέχεια συλλαμβάνουν την ηχώ των υπόγειων κοιτασμάτων πετρελαίου. Οι γεωλόγοι πιστεύουν ότι υπάρχει πετρέλαιο κάτω από τη Λίμνη Φυσικής η οποία έχει βάθος 5 m. Είναι γνωστό ότι η Λίμνη βρίσκεται σε λεκάνη από γρανίτη. Οι ειδικοί εντοπίζουν ασθενή ηχώ.94 μετά την έκρηξη δυναμίτη στην επιφάνεια της λίμνης. Αν υπάρχει όντως πετρέλαιο, πόσο βαθιά θα πρέπει να γεωτρήσουν τον γρανίτη για να βρούνε το κοίτασμα Εξετάζουμε δυο περιπτώσεις. η Περίπτωση: Η έκρηξη των εκρηκτικών γίνεται στον πυθμένα της λίμνης. h Στην περίπτωση αυτή, οι γεωλόγοι είναι πιθανόν να εντοπίσουν τουλάχιστον δυο ηχητικά σήματα ένα θα προέρχεται από την ανάκλαση των ηχητικών κυμάτων στην οροφή της κοιλότητας του κοιτάσματος και το δεύτερο από την ανάκλαση του κύματος στο πυθμένα της κοιλότητας του κοιτάσματος: h Το πρώτο σήμα θα ανιχνευτεί μετά από χρονικό διάστημα = + αφού ο ήχος θα έχει διανύσει διάστημα =h +h όπου h είναι το βάθος της λίμνης και h είναι το πάχος του γρανίτη μεταξύ του πυθμένα της λίμνης και της οροφής της κοιλότητας κοιτάσματος. h () όπου υ ν =48 m/ είναι η ταχύτητα του ήχου στο νερό και h () όπου υ γ =6 m/ είναι η ταχύτητα διάδοσης του ήχου στο γρανίτη

Το δεύτερο σήμα είναι ασθενέστερο του πρώτου και θα ενδιέφερε του γεωλόγους μόνο στην περίπτωση που θα έπρεπε να υπολογίσουν το ύψος h 3 της κοιλότητας του κοιτάσματος. Τους γεωλόγους ενδιαφέρει μόνο το πρώτο σήμα γιατί αυτό προέρχεται από την οροφή της κοιλότητας στην οποία πρέπει να φθάσουν με το γεωτρύπανο. Από τα δεδομένα του προβλήματος γνωρίζουμε ότι =,94 και h =5 m Από τις Σχέσεις (), () καθώς και από τα δεδομένα του προβλήματος έχουμε: h h h h h h h h h 86m η Περίπτωση: Η έκρηξη των εκρηκτικών γίνεται στην επιφάνεια της λίμνης. h h Το διπλανό σχήμα σε συνδυασμό με την πρώτη περίπτωση θα σας βοηθήσουν να υπολογίσετε το πάχος h του γρανίτη που παρεμβάλλεται μεταξύ του πυθμένα της λίμνης και της οροφής της κοιλότητας του κοιτάσματος. Εύκολα διαπιστώνει κανείς ότι το πάχος h που θα υπολογίσετε στη η περίπτωση θα είναι διαφορετικό και μάλιστα μικρότερο από το πάχος h που υπολογίσατε στην η Περίπτωση. Πράγματι: Το ηχητικό κύμα που εκπέμπεται στην επιφάνεια της λίμνης φθάνει στο πάνω μέρος της υποτιθέμενης κοιλότητας αφού αυτό διανύσει: h Διάστημα h =5 m (μέσα σε στο νερό της λίμνης), σε χρονικό διάστημα Διάστημα h =?? μέσα στο γρανίτη σε χρονικό διάστημα h. Το ηχητικό κύμα ανακλάται στο πάνω μέρος της κοιλότητας και φθάνει στην επιφάνεια της λίμνης αφού διανύσει: h Διάστημα h =?? μέσα στο γρανίτη σε χρονικό διάστημα Διάστημα h =5 m (μέσα σε στο νερό της λίμνης), σε χρονικό διάστημα Το συνολικό χρονικό διάστημα =,94 διάδοσης του ηχητικού κύματος από την εκπομπή του μέχρι την ανίχνευση της ασθενούς ηχούς θα είναι ίση με: h h h h (5m) 6m / h,94 h 793m 48m / h

ΑΣΚΗΣΗ 3: Ένα κύμα πάνω σε χορδή περιγράφεται με τη εξίσωση ( (3,cm)in ( /,4m) /(,) D, όπου το είναι σε m και το σε. α. Προς ποια κατεύθυνση διαδίδεται το κύμα; β. Ποια είναι η ταχύτητα του κύματος, η συχνότητα και ο κυματαριθμός; γ. Σε =.5, ποια θα είναι η μετατόπιση της χορδής στη θέση =, m; Συγκρίνουμε τη δεδομένη εξίσωση κύματος: D ( (3,cm)in D( (3,cm)in,4 m,,4 m, με τη γενική εξίσωση ενός κύματος που διαδίδεται προς τη θετική κατεύθυνση: k Ain D( Ain D( Ain φ T Από τη σύγκριση προκύπτουν οι τιμές των παραμέτρων του κύματος: Πλάτος: A=3, cm Μήκος Κύματος: λ=,4 m Περίοδος Κύματος: T=, Αρχική Φάση Κύματος: φ =π rad α) Η εξίσωση κύματος που δίνεται είναι της μορφής: D( Aink φ Το θετικό πρόσημο του παράγοντα ω στην εξίσωση που δίνεται δηλώνει ότι το συγκεκριμένο κύμα διαδίδεται προς την αρνητική κατεύθυνση. β) Ταχύτητα κύματος: f,4m,m T, / Συχνότητα κύματος: f f 5, Hz T, Κυματαριθμός κύματος: k k,6rad m,4m / γ) Τη χρονική στιγμή =,5, η μετατόπιση της χορδής στη θέση =, m θα είναι ίση με:,m,5 D(,m,,5) (3,cm)in rad (3,cm)in, 5rad,4 m, D(,m,,5), 5cm ΑΣΚΗΣΗ 4: Ημιτονοειδές κύμα διαδίδεται κατά μήκος τεντωμένης χορδής. Ένα σωματίδιο πάνω στη χορδή έχει μέγιστη ταχύτητα. m/ και μέγιστη επιτάχυνση m/. Ποια είναι η συχνότητα και το πλάτος του κύματος;

Μέγιστη ταχύτητα με την οποία ταλαντώνεται το σημείο: υ =, m/ (Δεν είναι η ταχύτητα διάδοσης του κύματος). Μέγιστη επιτάχυνση του σημείου: a = m/. Από την εξίσωση του κύματος ( Aink D βρίσκουμε ότι: D( (, A cok ( cok όπου A ( a ( A ink a( a ink όπου a A Διαιρώντας κατά μέλη τις σχέσεις που δίνουν τις μέγιστες τιμές της επιτάχυνσης και της ταχύτητας βρίσκουμε: a A a f m / f, m / Από τη σχέση που δίνει την μέγιστη ταχύτητα βρίσκουμε: f 5,9, m / A A f A A, m ή Α=, cm f 5,9 ή f=5,9 Hz ΑΣΚΗΣΗ 5: Πάνω σε ένα τεντωμένο σκοινί διαδίδεται ένα εγκάρσιο μηχανικό κύμα. Να αποδείξετε ότι η κλίση του σκοινιού, σε ένα οποιοδήποτε σημείο του σκοινιού, είναι ίση με το λόγο της ταχύτητας υ της ταλάντωσης του συγκεκριμένου σημείου προς την ταχύτητα υ με την οποία διαδίδεται το κύμα κατά μήκος του σκοινιού. υ υ Η εξίσωση του εγκάρσιου κύματος κατά μήκος του σκοινιού είναι: ( Aink Στο παραπάνω σχήμα δίνουμε ένα στιγμιότυπο του εγκάρσιου κύματος στο οποίο εξ ορισμού, η κλίση σε κάθε σημείο του σκοινιού είναι ίση με τη μερική παράγωγο της μετατόπισης ( ως προς : ( Κλίση: Ak cok () Εξ ορισμού, η ταχύτητα ταλάντωσης κάθε σημείου του σκοινιού είναι ίση με τη μερική παράγωγο της μετατόπισης ( ως προς το χρόνο : ( Ταχύτητα ταλάντωση στο ίδιο σημείο του σκοινιού: A cok ()

Διαιρούμε κατά μέλη τις σχέσεις () και (): ( Ak cok k (, ) co( k ) f f ( ΑΣΚΗΣΗ 6: Στο διπλανό σχήμα δίνεται το ιστορικό D(=, ενός κυματικού παλμού ο οποίος διαδίδεται προς τα δεξιά κατά μήκος ενός σκοινιού με ταχύτητα υ= cm/. α. Να περιγράψετε το πώς ένας παρατηρητής αντιλαμβάνεται την εξέλιξη του κυματικού παλμού όταν αυτός βρίσκεται στις θέσεις = m και = m. D (cm) β. Τη χρονική στιγμή = κατά την οποία εσείς βρίσκεστε στη θέση = cm, να σχεδιάσετε το στιγμιότυπο του κυματικού παλμού D( =). = m Β Α Γ,, 4, () α. Ο παρατηρητής βρίσκεται στη θέση = m. Στη θέση αυτή ο ιστορικό του κύματος είναι αυτό που απεικονίζεται στο παραπάνω σχήμα. Ο κυματικός παλμός αρχίζει να γίνεται αντιληπτός από τον παρατηρητή τη χρονική στιγμή =, (σημείο Α). Ο κυματικός παλμός θα αυξάνει το πλάτος του βαθμιαία μέχρι την τιμή D= cm (σημείο Β) και τη χρονική στιγμή =3, απότομα το πλάτος του παλμού γίνεται D= cm (σημείο Γ). Ο παρατηρητής βρίσκεται στη θέση =, m. Επειδή ο κυματικός παλμός διαδίδεται προς τα δεξιά με ταχύτητα υ= cm/, ο παλμός αυτός αρχίζει να γίνεται αντιληπτός από τον παρατηρητή που βρίσκεται στη θέση αυτή μετά από χρονικό διάστημα Δ=(Δ/υ)=(,m/,m/)=,. Αυτό σημαίνει ότι στη θέση =, m το ιστορικό του κυματικού παλμού θα είναι μετατοπισμένο χρονικά κατά χρονικό διάστημα Δ=, σε σχέση με το ιστορικό του κυματικού παλμού στη θέση =, m (βλέπε διπλανό σχήμα) D (cm) =, m Α Γ,, 4, β. Ο κυματικός παλμός διαδίδεται προς τα δεξιά με ταχύτητα υ= cm/ και φθάνει στη θέση =, m σε χρονικό διάστημα Δ=,. Αυτό σημαίνει ότι τη χρονική στιγμή =, ο κυματικός παλμός θα βρίσκεται αριστερά από τη θέση =, m. Επειδή ο κυματικός παλμός αρχίζει να γίνεται αντιληπτός μετά από χρονικό διάστημα Δ=,, στο χρονικό αυτό διάστημα, το σημείο Α του παλμού θα έχει διανύσει ένα διάστημα Δ=υΔ=(,m/)(,)=, m. Επειδή το διάστημα Δ=, m διανύθηκε στον αρνητικό άξονα με τελική θέση το =, m, συμπεραίνουμε ότι η αρχική θέση του σημείο Α του κυματικού παλμού τη χρονική στιγμή =, θα είναι η = -, m. Κατά αντιστοιχία, επειδή τα σημεία Β και Γ γίνονται αντιληπτά στη θέση =, m τη χρονική στιγμή =3,, συμπεραίνουμε ότι, τα σημεία αυτά πριν από τα χρονικό Β ()

διάστημα Δ=3, θα βρίσκονται στη θέση = -3, m. Μεταφράζοντας την περιγραφή που κάναμε σε γράφημα παίρνουμε το διπλανό στιγμιότυπο του κυματικού παλμού τη χρονική στιγμή =, =, m D (cm) ΑΣΚΗΣΗ 7: (m) -4, -,, Η εξίσωση κύματος ενός μηχανικού κύματος είναι: ( (,7 cm)in.56.. Ο χρόνος και το διάστημα δίνονται σε δευτερόλεπτα και εκατοστά, αντίστοιχα. Να υπολογίσετε: α. Το πλάτος A του κύματος β. Τον κυματαριθμό k του κύματος γ. Το μήκος κύματος λ του κύματος δ. Τη συχνότητα f του κύματος ε. Την ταχύτητα υ και την κατεύθυνση του κύματος στ. Την αρχική φάση φ του κύματος ζ. Τη μέγιστη ταχύτητας υ, ταλάντωσης των υλικών σημείων του μέσου διάδοσης. Η γενική μορφή της εξίσωσης κύματος είναι: ( Ain k Για να προσδιορίσουμε τις ζητούμενες παραμέτρους πρέπει πρώτα να μετατρέψουμε την εξίσωση κύματος που μας δίνεται στη γενική μορφή. Για τη μετατροπή αυτή χρησιμοποιούμε την τριγωνομετρική ταυτότητα: in(α)=in(π α), όπου α=.56 (.56. ) ( (.7 cm)in.. ( (.7cm)in 56 α. Α=.7 cm β. k=, cm - γ. k 3. cm k,cm 4 δ..56 f.56.56 f f. ε. f (3.4cm)(. ) 6.8 cm / Το κύμα διαδίδεται προς τη θετική κατεύθυνση του άξονα (γιατί;) στ. Η αρχική φάση του κύματος είναι φ = π. ( ζ. A co ( k ), co ( k ) ( Hz), A A f (.7cm)(. ), 8.79cm /