Συμβολή κυμάτων και σύνθεση ταλαντώσεων. Δύο σύγχρονες πηγές κυμάτων Π και Π αρχίζουν τη χρονική στιγμή t = 0 να εκτελούν στην αρχικά ήρεμη επιφάνεια υγρού αρμονική ταλάντωση της μορφής 0,4 4 t, (SI). i) Ποια η απομάκρυνση από τη θέση ισορροπίας ενός σημείου Σ στο οποίο η διαφορά φάσης των 4 ταλαντώσεων που εκτελεί λόγω των δύο κυμάτων είναι,τη στιγμή που αρχίζει η συμβολή; ii) Σε πόσο χρόνο μετά την έναρξη της συμβολής το Σ περνά για πρώτη φορά από τη θέση ισορροπίας του; iii) Αν το σημείο Σ του ευθυγράμμου τμήματος Π Π για το οποίο η διαφορά φάσης των ταλαντώσεων που εκτελεί λόγω των δύο κυμάτων είναι την ταχύτητα διάδοσης των κυμάτων. 4, απέχει από το μέσο του Π Π απόσταση m να βρείτε iv) Αν Π Π = d = 8m να παρουσιάσετε σχήμα στο οποίο να φαίνονται τα σημεία τα οποία μετά τη συμβολή των κυμάτων εκτελούν ταλαντώσεις με πλάτος 0,4m. v) Αν μετά την έναρξη της συμβολής στα σημεία Σ και Σ για τις φάσεις τους ισχύει, να δώσετε τις γραφικές παραστάσεις απομάκρυνσης χρόνου κάθε ένα από αυτά. ft και φάσης χρόνου ft για Απάντηση 4 i) Τα δύο κύματα φτάνουν στο σημείο Σ με διαφορά φάσης. Αφού φ > φ το κύμα από την πηγή Π φτάνει πρώτο στο σημείο Σ δηλαδή το σημείο Σ βρίσκεται δεξιά της μεσοκαθέτου όπως φαίνεται στο σχήμα δεξιά. ος τρόπος: Η διαφορά φάσης στο σημείο Σ κάθε χρονική στιγμή είναι η γωνία των στρεφόμενων διανυσμάτων στη στιγμή που αρχίζει η συμβολή. Τα στρεφόμενα διανύσματα των ταλαντώσεων τη χρονική στιγμή που αρχίζει η συμβολή στο Σ φαίνονται στο παρακάτω σχήμα. Μπλε είναι το στρεφόμενο διάνυσμα που αντιστοιχεί στην ταλάντωση από το κύμα της πηγής Π, κόκκινο το στρεφόμενο διάνυσμα που --
αντιστοιχεί στην ταλάντωση από το κύμα της Π και γαλάζιο το στρεφόμενο διάνυσμα που αντιστοιχεί στη συνισταμένη ταλάντωση του σημείου Σ. Παρατηρούμε ότι το παραλληλόγραμμο που σχηματίζουν τα διανύσματα είναι ρόμβος και μάλιστα η κυρτή γωνία των διανυσμάτων είναι ίση με. Συνεπώς από τα ισοσκελή τρίγωνα που σχηματίζονται καταλαβαίνουμε ότι το πλάτος της ταλάντωσης του σημείου Σ μετά τη συμβολή των κυμάτων σε αυτό είναι ίσο με Α. Από το ορθογώνιο τρίγωνο που σχηματίζεται έχουμε: 0, m 0, m 0,4 Επίσης από στο σχήμα των στρεφόμενων διανυσμάτων φαίνεται η φάση της συνισταμένης ταλάντωσης τη στιγμή που αρχίζει η συμβολή είναι ίση με 5. ος τρόπος: Τη χρονική στιγμή που αρχίζει η συμβολή η φάση της ταλάντωσης από το κύμα της Π είναι ίση με μηδέν. Άρα 0,40 0. Για τη φάση της ταλάντωσης από το κύμα της Π έχουμε 4 4. 4 Άρα 0,4 0, m. Συνεπώς 0, m. Σχόλιο: Από το σχήμα των στρεφόμενων φαίνεται ότι τη στιγμή που αρχίζει η συμβολή έχουμε ψ = 0 0,4 0, m 0, m. Άρα 0, m. και ος τρόπος: Η διαφορά φάσης στο σημείο Σ δίνεται από τη σχέση: t r t r r r T T Από την σχέση της συμβολής για τη χρονική στιγμή t έχουμε: r r t r r T t r r r r r T T 0,8 0,8 r r r r r 0,8 0,8 0,8 0,8 0, m.. --
ii) ος τρόπος Όπως φαίνεται στο παραπάνω σχήμα το στρεφόμενο διάνυσμα του Σ (γαλάζιο) θα βρίσκεται στην οριζόντια θέση όταν διαγράψει γωνία. Άρα t 4t t s. ος τρόπος Η χρονική διάρκεια που ζητάμε είναι t t t όπου t είναι η χρονική στιγμή έναρξης της συμβολής στο Σ. Από τη σχέση της συμβολής παίρνουμε: r r t r r T t t r r t r r r T T T 0,8 0,8 r r 0,8 t 0,8 t 0,8 4 t 0,8 4 t 5 0,4 4 t 0,4 4 t Για ψ = 0 έχουμε: 5 5 5 4 4 t 0 4 t t t s. iii) Για το σημείο Σ έχουμε r r 4 r r r r (). d d Από το σχήμα έχουμε: r r x x r r x (). Από (),() x m. Επίσης f 4 f f Hz m Συνεπώς f. s --
iv) Για τα σημεία που εκτελούν ταλάντωση πλάτους 0,4m A έχουμε: (r r ) (r r ) (r r ) (r r ) () r r x x x των πηγών είναι d 8m άρα 4 x 4. Συνεπώς: Επίσης 5 4 x 4 4 4 5 δηλαδή κ = -, 0,. 5 4 x 4 4 4 5 δηλαδή κ = -, 0,. Συνεπώς τα σημεία με πλάτος Α επαληθεύουν τις παρακάτω σχέσεις: (). Η απόσταση r r 4 r r x r r r r 0 r r 8 r r 8 r r x r r r r 0 r r 4 Στο παρακάτω σχήμα φαίνονται με συνεχείς γραμμές οι γεωμετρικοί τόποι των σημείων έχουν πλάτος ίσο με Α και με διακεκομμένες οι γεωμετρικοί τόποι των σημείων με πλάτος Α (κόκκινες γραμμές) και των σημείων που παραμένουν διαρκώς ακίνητα (μπλε γραμμές). -4-
d v) Η αποστάσεις του Σ από τις πηγές είναι r x r d m και r x r m. ος τρόπος Για τη συμβολή στο Σ έχουμε: (r r ) t r r T ( ) 0,8 t 0,8 t 4 4 4 0,8 4 t 0,4 4 t 0,4 4 t 0,4 4 t. Για τη συμβολή στο Σ έχουμε: r r r r 0,8 t 0, 4 t r r r r 0,4 4 t 0,4 4 t Για τη διαφορά φάσης Σ, Σ έχουμε: r r r r 4 t 4 t r r 0 () ισχύει r r 4 (4). Από () + (4) παίρνουμε r 7m άρα r m.. Όμως για το Σ Έτσι για το Σ έχουμε: r 0 όταν t < s r r 7 7 0,44t όταν s t. t 0,4 4 t όταν s t < s -5-
Ενώ για το Σ : r 0 όταν t < s r r 0,44t όταν s t. t 0,4 4 t όταν s t < s Οι γραφικές παραστάσεις φαίνονται στο παρακάτω σχήμα.. Για τις φάσεις των Σ και Σ έχουμε: 7 4 t όταν s t < s 7 4 t όταν s t r 4 t όταν s t < s 4 t όταν s t Οι γραφικές παραστάσεις φαίνονται στο διπλανό σχήμα. r --
ος τρόπος Τα σημεία Σ και Σ βρίσκονται στον ίδιο γεωμετρικό τόπο συμβολής επομένως η συμβολή και στα δύο αρχίζει με τον ίδιο τρόπο αλλά σε διαφορετικές χρονικές στιγμές, πρώτα στο Σ και μετά στο Σ r( ) r( ) t t t t. Η χρονική στιγμή που αρχίζει η συμβολή στο Σ είναι r t t s t 0,5s. Η διαφορά φάσης των συνιστάμενων ταλαντώσεων των Σ και Σ είναι η γωνία των στρεφόμενων διανυσμάτων στη στιγμή που αρχίζει η συμβολή στο Σ. 7 t 4 t t s. Συνεπώς t t t t s. Άρα r t r 7m και r r 4 r m. Στη συνέχεια γράφουμε τις σχέσεις και κάνουμε τις γραφικές παραστάσεις όπως στον ο τρόπο. Πάλμος Δημήτρης dimpalmos@gmail.com -7-