1.1 ΗΛΕΚΤΡΙΚΗ ΑΓΩΓΙΜΟΤΗΤΑ

1.1 ΗΛΕΚΤΡΙΚΗ ΑΓΩΓΙΜΟΤΗΤΑ Η σημαντικότερη ηλεκτρική ιδιότητα των σωμάτων, από την πλευρά των τεχνικών εφαρμογών είναι η ηλεκτρική τους αγωγιμότητα. Η ηλεκτρική αγωγιμότητα G ( Ω -1 ) εκφράζει την ευκολία με την οποία μεταφέρεται το ηλεκτρικό ρεύμα διαμέσου του σώματος. Μέτρο της είναι η ειδική ηλεκτρική αγωγιμότητα s ( Ω -1 cm -1 ) : 1 s = [ 1.1 ] r όπου r ( Ω cm ) η ειδική ηλεκτρική αντίσταση του σώματος, η οποία υπολογίζεται ως ακολούθως : RA r = [ 1.2 ] όπου R η αντίσταση του σώματος από το νόμο του Ωhm, A η διατομή του και το μήκος του. Πολλές φορές η αγωγιμότητα ορίζεται και ως η σταθερά αναλογίας που συνδέει την πυκνότητα J του ηλεκτρικού ρεύματος που διαρρέει το σώμα με την ένταση E του εφαρμοζόμενου ηλεκτρικού πεδίου : J s = [ 1.3 ] E 1.2 ΚΑΤΑΤΑΞΗ ΤΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ Ανάλογα με την τιμή ( σε θερμοκρασία δωματίου ) της ηλεκτρικής τους αγωγιμότητας, τα σώματα κατατάσσονται γενικά ( αν και τα όρια δεν είναι εντελώς διακριτά ) σε τρεις κατηγορίες : Αγωγοί ή Μέταλλα Τα υλικά αυτά σώματα έχουν τιμές αγωγιμότητας της τάξης των 10 7 με 10 5 Ω -1 m -1 με περισσότερο αγώγιμα τον καθαρό άργυρο και τον καθαρό χαλκό ( 6.2 10 7 Ω -1 m -1 και 5.2 10 7 Ω -1 m -1 αντίστοιχα ). Τα σημαντικότερα αγώγιμα υλικά είναι τα μέταλλα και τα κράματα. Η αγωγιμότητα των μετάλλων μειώνεται με τη θερμοκρασία 1

Μονωτές Χαρακτηρίζονται από αγωγιμότητα κάτω από 10-6 με σημαντικότερους εκπρόσωπους τα κεραμικά και τα πολυμερή. Ημιαγωγοί Έχουν αγωγιμότητα ενδιάμεση αυτής των μετάλλων και των μονωτών. Είναι της τάξης δηλαδή των 10-7 με 10 5. Η αγωγιμότητα τους αυξάνεται με τη θερμοκρασία. Επιπλέον, υπάρχουν και ειδικές κατηγορίες υλικών όπως οι υπεραγωγοί, οι κρυαγωγοί.. Για να εκδηλώνει ένα σώμα ηλεκτρική αγωγιμότητα πρέπει να διαθέτει ηλεκτρικά φορτία που να μετακινούνται υπό την επίδραση ενός εξωτερικού ηλεκτρικού φορτίου. Η δυνατότητα αυτή εξαρτάται απ τη δομή του. Το πώς ακριβώς θα αναπτυχθεί σε επόμενο κεφάλαιο. 1.3 ΗΜΙΑΓΩΓΙΜΑ ΥΛΙΚΑ ΣΩΜΑΤΑ Συνήθως οι ημιαγωγοί διακρίνονται σε δυο κατηγορίες, τους στοιχειακούς ( elemental semiconductors ) και τους σύνθετους ημιαγωγούς ( compound semiconductors ). Οι στοιχειακοί ημιαγωγοί απαντούν στην IV ομάδα του περιοδικού συστήματος ενώ οι σύνθετοι προκύπτουν με επιλεγμένους συνδυασμούς στοιχείων της III και V ομάδας. Στους ακόλουθους πίνακες δίνονται : τμήμα του περιοδικού πίνακα και οι κυριότεροι σήμερα ημιαγωγοί. III IV V B C Al Si P Ga Ge As In Sb Πίνακας 1 ( Τμήμα του περιοδικού συστήματος ) Elemental Semiconductors Si Πυρίτιο Ge Γερμάνιο 2

Compound Semiconductors AlP Φωσφίδιο του Αργιλίου AlAs Αρσενικούχο Αργίλιο GaP Φωσφίδιο του Γαλλίου GaAs Αρσενικούχο Γάλλιο InP Φωσφίδιο του Ινδίου Πίνακας 2 ( Μερικοί από τους κυριότερους ημιαγωγούς ) Από τους στοιχειακούς ημιαγωγούς το πυρίτιο είναι το πλέον διαδεδομένο και πολυχρησιμοποιημένο ενώ στη σύγχρονη εποχή γίνεται προσπάθεια να πάρει μερίδιο στην κατασκευή ΙC κυκλωμάτων το GaAs. Το GaAs είναι ένας σύνθετος ημιαγωγός που, όπως και οι υπόλοιποι σύνθετοι του πίνακα 2, προκύπτει με συνδυασμό ενός στοιχείου από την ΙΙΙ και ενός στοιχείου από την ΙV ομάδα του περιοδικού πίνακα. Οι καλές του οπτικές ιδιότητες το καθιστούν ιδανικό για οπτικές διατάξεις. Επίσης χρησιμοποιείται όταν απαιτείται υψηλή ταχύτητα. Γενικά οι ημιαγωγοί είναι στερεά σώματα και αφού οι ιδιότητες τους εξαρτώνται από τη δομή τους ας αναφερθούμε λίγο στη δομή των στερεών σωμάτων. 2. ΔΟΜΗ ΣΤΕΡΕΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ 2.1. ΑΜΟΡΦΑ, ΠΟΛΥΚΡΥΣΤΑΛΛΙΚΑ ΚΑΙ ΜΟΝΟΚΡΥΣΤΑΛΛΙΚΑ ΥΛΙΚΑ Το κύριο χαρακτηριστικό των στερεών είναι ότι διαθέτουν εντός της μάζας τους περιοχές όπου οι δομικές τους μονάδες ( άτομα ή μόρια ) είναι διατεταγμένες συμμετρικά και με ορισμένη περιοδικότητα. Ανάλογα με την έκταση των περιοχών αυτών, τα στερεά σώματα διακρίνονται σε τρεις γενικές κατηγορίες ( τύπους ) : Άμορφα Πολυκρυσταλλικά και Μονοκρυσταλλικά Τα άμορφα στερεά υλικά παρουσιάζουν τάξη μόνο σε έκταση μερικών ατομικών ή μοριακών διαστάσεων. Χαρακτηριστική περίπτωση άμορφου 3

υλικού αποτελεί το γυαλί, βασικό συστατικό του οποίου είναι το διοξείδιο του πυριτίου ( SiO 2 ). Τα πολυκρυσταλλικά παρουσιάζουν υψηλό βαθμό τάξης σε μεγάλη έκταση. Αυτές οι περιοχές υψηλής τάξης, ή αλλιώς μονοκρυσταλλικές περιοχές, ποικίλουν σε μέγεθος και προσανατολισμό η μία ως προς την άλλη. Ονομάζονται κόκκοι ( grains ) και χωρίζονται μέσω ορίων που καλούνται όρια κόκκων. Τα μονοκρυσταλλικά υλικά αποτελούν την ιδανική περίπτωση κατά την οποία σε όλο τον όγκο τους οι δομικές τους μονάδες χαρακτηρίζονται από υψηλό βαθμό τάξης και είναι προσανατολισμένες προς την ίδια διεύθυνση. Έχουν το πλεονέκτημα να έχουν καλύτερες ηλεκτρικές ιδιότητες έναντι των άλλων τύπων. Στην εικόνα 1 δίδεται η δισδιάστατη απεικόνιση ενός άμορφου, ενός πολυκρυσταλλικού και ενός μονοκρυσταλλικού στερεού. Εικόνα 1 Οι τρεις γενικοί τύποι στερεών σωμάτων : (a) άμορφο (b) πολλυκρυσταλλικό (c) μονοκρυσταλλικό 2.2 ΚΡΥΣΤΑΛΛΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 2.2.1 ΤΑ ΠΛΕΓΜΑΤΑ BRAVAIS Είπαμε λοιπόν ότι το κύριο χαρακτηριστικό των στερεών σωμάτων είναι η συμμετρική διάταξη των δομικών μονάδων τους, δηλαδή η ύπαρξη κρυσταλλικού πλέγματος ( crystal lattice ). Κάθε κρυσταλλικό πλέγμα προκύπτει από την επανάληψη στο χώρο ενός απλού γεωμετρικού σχήματος που ονομάζεται στοιχειώδης κρύσταλλος ή κυψελίδα του κρυσταλλικού πλέγματος. Μια στοιχειώδης κυψελίδα δίνεται στην εικόνα 2 που ακολουθεί. 4

Εικόνα 2 ( Στοιχειώδης κυψελίδα ) Η σχέση που συνδέει την κυψελίδα με το πλέγμα χαρακτηρίζεται από τρία διανύσματα a, b και c τα οποία δεν είναι απαραίτητο να είναι κάθετα ή ίσα σε μήκος μεταξύ τους. Με τη βοήθεια των διανυσμάτων αυτών, κάθε σημείο του κρυστάλλου στις τρεις διαστάσεις μπορεί να ορισθεί με το διάνυσμα r : r = p a + q b + s c [ 2.1 ] όπου p, q, s ακέραιοι που για απλότητα θεωρούμε πως είναι θετικοί αριθμοί. Τα κρυσταλλικά πλέγματα, με βάση τα στοιχεία συμμετρίας τους ( άξονες συμμετρίας και γωνίες πολυέδρων ), κατατάσσονται σε εφτά ομάδες, τα κρυσταλλικά συστήματα. Συνδυάζοντας τα εφτά αυτά κρυσταλλικά συστήματα με τους τέσσερις δυνατούς τύπους κυψελίδας παίρνουμε τα δεκατέσσερα πλέγματα Bravais, τα οποία δίνονται στην εικόνα 3 : 5

Εικόνα 3 ( Τα δεκατέσσερα πλέγματα Bravais ) 2.2.2 Η ΔΟΜΗ ΤΟΥ ΔΙΑΜΑΝΤΙΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ ΨΕΥΔΑΡΓΥΡΟΥ Οι σπουδαιότεροι ημιαγωγοί έχουν είτε τη δομή του διαμαντιού (diamond structure ), όπως τα Ge, Si είτε τη δομή του.. (zincblende structure ), όπως το GaAs. Για να κατανοήσουμε όμως τις δομές αυτές ας θεωρήσουμε πρώτα την απλή ( sc ), την εδροκεντρωμένη ( fcc ) και την χωροκεντρωμένη ( bcc ) κυβική δομή ( cubic P, I, F της εικόνας 3 αντίστοιχα ). Η απλή κυβική έχει ένα άτομο σε κάθε γωνία. Η εδροκεντρωμένη έχει ένα επιπλέον άτομο τοποθετημένο στο κέντρο του κύβου ενώ η χωροκεντρωμένη έχει επιπλέον, ως προς την απλή, άτομα σε κάθε έδρα του κύβου. Η κυψελίδα της δομής του διαμαντιού (Εικόνα 4) είναι σαφώς πιο σύνθετη από τις δομές που περιγράψαμε προηγουμένως. 6

Εικόνα 4 ( Η δομή διαμαντιού ) Η βασικότερη δομική μονάδα της είναι η τετραεδρική δομή της εικόνας 5. Πρόκειται, πρακτικά, για μια bcc δομή όπου όμως τέσσερα από τα άτομα των κορυφών λείπουν. Κάθε άτομο στην τετραεδρική δομή έχει τέσσερα γειτονικά άτομα και αυτό είναι και το κυριότερο χαρακτηριστικό της δομής του διαμαντιού. Εικόνα 5 ( Η τετραεδρική δομή γειτονικών ατόμων της δομής διαμαντιού ) Τα αυτά ισχύουν και για την zincblende structure ( Εικόνα 6 ), με τη διαφορά ότι στο πλέγμα υπάρχουν δυο ειδών άτομα. Όπως φαίνεται στην 7

εικόνα 7, που απεικονίζει τη βασική τετραεδρική δομική μονάδα της zincblende structure, κάθε άτομο Ga έχει τέσσερα γειτονικά άτομα As και αντίστροφα. Εικόνα 6 Η δομή Εικόνα 7 8

Είναι προφανές ότι στην πράξη οι κρύσταλλοι δεν εκτείνονται στο άπειρο, τελικά τερματίζουν σε κάποια επιφάνεια. Αναλογιζόμενοι ότι οι ημιαγώγιμες διατάξεις κατασκευάζονται πάνω ή κοντά στις επιφάνειες ημιαγώγιμων υλικών, είναι εύκολο να συμπεράνουμε ότι τα χαρακτηριστικά τους επηρεάζονται από τις ιδιότητες των επιφανειών αυτών. Θα μας ήταν λοιπόν χρήσιμο να μπορούμε να τις περιγράψουμε με όρους του πλέγματος. Αυτό επιτυγχάνεται με τη χρήση των δεικτών Miller. Ας θεωρήσουμε το επίπεδο της εικόνας 8 : Εικόνα 8 Βρίσκουμε τα σημεία τομής του επιπέδου ( crystal plane ) με τους άξονες a, b και c που χρησιμοποιούνται για την περιγραφή του πλέγματος. Από την εξίσωση [1.1] προκύπτει p = 3, q = 2, s = 1. 1 1 1 αντιστρέφοντας έχουμε (,, ) και πολλαπλασιάζοντας με το 3 2 1 ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο ( 6 ) παίρνουμε ( 2, 3, 6). Το επίπεδο της εικόνας 8 αναφέρεται ως το ( 2, 3, 6 ) επίπεδο. Οι ακέραιοι αυτοί ονομάζονται δείκτες Miller, γενικά ( h, k, l ). Αξίζει να σημειωθεί ότι κάθε άλλο, παράλληλο σε αυτό που εξετάσαμε, επίπεδο χαρακτηρίζεται από την ίδια τριάδα δεικτών και είναι ισοδύναμό 9

του.στην εικόνα 9 δίνονται τρία επίπεδα που θεωρούνται συχνά σε ένα κρύσταλλο του κυβικού συστήματος. Εικόνα 9 ( Τα τρία συνηθέστερα επίπεδα στο κυβικό σύστημα ) Πολλές φορές είναι επιθυμητό να περιγράψουμε μια συγκεκριμένη διεύθυνση εντός του κρυστάλλου. Αυτό γίνεται με τη χρήση τριών ακέραιων αριθμών που τοποθετούνται σε αγκύλες και αντιστοιχούν στις συντεταγμένες ενός διανύσματος σε αυτή τη διεύθυνση. Στην περίπτωση του απλού κυβικού πλέγματος η διεύθυνση [ h, k, l ] είναι κάθετη στο επίπεδο ( h, k, l ). Σε μη κυβικά πλέγματα αυτό δεν συμβαίνει πάντα. 2.3 ΑΤΕΛΕΙΕΣ ΚΑΙ ΠΡΟΣΜΕΙΞΕΙΣ ΣΤΑ ΣΤΕΡΕΑ Στη μέχρι τώρα θεώρησή μας γύρω από τα στερεά σώματα μιλήσαμε για την περίπτωση που ο κρύσταλλος είναι ιδανικός. Στην πραγματικότητα όμως το πλέγμα δεν είναι τέλειο. Η γεωμετρική περιοδικότητα που το χαρακτηρίζει έχει διαταραχθεί σε κάποιο βαθμό και το γεγονός αυτό επηρεάζει, πολλές φορές με τρόπο καθοριστικό, τις ηλεκτρικές ιδιότητες του υλικού. Η απόκλιση από το ιδανικό οφείλεται είτε σε ατέλειες είτε σε προσμείξεις εντός του κρυστάλλου. 2.3.1 ΑΤΕΛΕΙΕΣ Ένας τύπος ατέλειας, κοινής για όλους τους κρυστάλλους, προκαλείται από την θερμική κίνηση των δομικών μονάδων του πλέγματος. Οι δονήσεις αυτές ( lattice vibrations ) προξενούν τυχαία μεταβολή στις 10

ατομικές αποστάσεις διαταράσσοντας ελαφρώς την γεωμετρία του πλέγματος. Ένα δεύτερο τύπο ατέλειας αποτελούν οι λεγόμενες σημειακές ατέλειες ( point defects ). Μια σημειακή ατέλεια δημιουργείται όταν ένα άτομο λείπει από ένα ορισμένο σημείο του πλέγματος ( vacancy defect ) ή όταν ένα άτομο εντοπίζεται σε μια ενδοπλεγματική θέση ( intersitial defect ). Στην περίπτωση των ατελειών αυτών, εικόνες 10a και 10b αντίστοιχα, δεν διαταράσσεται απλώς η γεωμετρία του πλέγματος αλλά επιπρόσθετα καταστρέφεται και ο ιδανικός χημικός δεσμός μεταξύ των ατόμων. Ας σημειωθεί ότι στην περίπτωση που οι δυο αυτές σημειακές ατέλειες συνυπάρχουν και είναι πλησίον η μια στην άλλη τότε αλληλεπιδρούν προκαλώντας ατέλειες γνωστές με τον αγγλικό όρο Frenkel defects. Εικόνα 10 Ένας τρίτος τύπος ατέλειας είναι η περίπτωση στην οποία μια ολόκληρη γραμμή από άτομα λείπει από την θέση της σε ένα πλέγμα ( line dislocation ). Έχει την ίδια επίδραση με αυτή των σημειακών ατελειών με τη διαφορά πως η αλλαγές στις ηλεκτρικές ιδιότητες του υλικού είναι πιο απρόβλεπτες. Μια ατέλεια του τύπου αυτού δίνεται στην εικόνα 11: 11

Εικόνα 11 ( Διαταραχή γραμμή ) Υπάρχουν και άλλες πιο σύνθετες περιπτώσεις ατελειών που όμως δεν κρίθηκε αναγκαίο να αναλυθούν στην παρούσα εργασία. 2.3.2 ΠΡΟΣΜΙΞΕΙΣ Ξένα άτομα, άτομα πρόσμειξης, είναι πιθανό να βρίσκονται σε ένα πλέγμα. Τα άτομα αυτά μπορεί να είναι τοποθετημένα σε πλεγματικές ( substitutional impurities ) ή ενδοπλεγματικές θέσεις ( intersitial impurities ). Οι προσμείξεις αυτές άλλες φορές είναι επιθυμητές και άλλες όχι. Και οι δύο αυτές περιπτώσεις αποτελούν ελαττώματα του πλέγματος και δίνονται σχηματικά στην εικόνα 12 ( 1.18 σελ 15 ) Εικονα 12 ( α. Πρόσμιξη αντικατάστασης και β. ενδοπλεγματική πρόσμιξη ) 12

4 ΗΛΕΚΤΡΙΚΗ ΑΓΩΓΙΜΟΤΗΤΑ ΣΤΑ ΣΤΕΡΕΑ 4.1 ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΤΗΣ ΑΓΩΓΙΜΟΤΗΤΑΣ ΣΤΑ ΣΤΕΡΕΑ ΜΕ ΒΑΣΗ ΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΖΩΝΩΝ Τώρα έχουμε το απαιτούμενο θεωρητικό υπόβαθρο ώστε εξηγήσουμε την αγωγιμότητα που εμφανίζουν τα διάφορα σώματα και να τα κατατάξουμε σε μέταλλα, μονωτές και ημιαγωγούς με βάση την δομή τους. Όπως είπαμε, για να εκδηλώνει ένα σώμα ηλεκτρική αγωγιμότητα, πρέπει να διαθέτει ηλεκτρικά φορτία που να έχουν τη δυνατότητα να μετακινηθούν υπό την επίδραση ηλεκτρικού φορτίου. Ας θεωρήσουμε πρώτα την περίπτωση ενός μετάλλου. Η δομή των ζωνών του μπορεί να έχει μια από τις δυο ακόλουθες μορφές : Ζώνη αγωγιμότητας κενή και ζώνη σθένους μερικώς κατειλημμένη. Έστω π.χ. το διάγραμμα ζωνών του μεταλλικού νατρίου ( Na ) : Εικόνα 27 ( Απλοποιημένο διάγραμμα ζωνών μεταλλικού Na ) 13

Η ζώνη σθένους του είναι κατά το ήμισυ συμπληρωμένη. Συνεπώς τα ηλεκτρόνια, οι φορείς αγωγιμότητας στην περίπτωση αυτή, έχουν τη δυνατότητα, υπό την επίδραση εξωτερικού ηλεκτρικού πεδίου, να μετακινηθούν προς υψηλότερες ενεργειακές στάθμες μέσα στη ζώνη σθένους προσδίδοντας υψηλή τιμή αγωγιμότητας στο Na. Ομοίως και για τα υπόλοιπα αλκάλια. Η ζώνη σθένους επικαλύπτεται με τη ζώνη αγωγιμότητας Έστω π.χ. το διάγραμμα ζωνών του μαγνησίου ( Mg ) : Εικόνα 28 ( Απλοποιημένο διάγραμμα ζωνών Mg ) Η πλήρως κατειλημμένη ζώνη σθένους επικαλύπτεται μερικώς με τη ζώνη αγωγιμότητας. Έτσι, παρουσία εξωτερικού ηλεκτρικού πεδίου, ηλεκτρόνια της ζώνης σθένους μεταπίπτουν ευχερώς σε ελεύθερες στάθμες της ζώνης αγωγιμότητας, επιταχύνονται, καθίστανται ελεύθερα ηλεκτρόνια αγωγιμότητας και προσδίδουν στο Mg υψηλές τιμές αγωγιμότητας. Ομοίως και με τις υπόλοιπες αλκαλικές γαίες. Η επικάλυψη των ζωνών, εκτός από τις ζώνες σθένους και αγωγιμότητας, μπορεί να περιλάβει και κάποιες από τις χαμηλότερες ζώνες. Δηλαδή, εκτός από την απαγορευμένη ζώνη, εκμηδενίζονται και άλλα ενεργειακά διάκενα όπως π.χ. συμβαίνει στην περίπτωση του χαλκού ( Cu ) και του αργύρου ( Ag ), εξηγώντας, έτσι, τις πολύ υψηλές τιμές αγωγιμότητας που εμφανίζουν. Ας θεωρήσουμε τώρα την περίπτωση ενός μονωτή. 14

Εικόνα 29 ( Απλοποιημένο διάγραμμα ζωνών ενός μονωτή ) Σε ένα μονωτικό υλικό η ζώνη αγωγιμότητας είναι κενή ενώ η ζώνη σθένους είναι πλήρης. Επιπρόσθετα, το εύρος Ε g της απαγορευμένης ζώνης είναι αρκετά μεγάλο ( 3.5 έως 6eV και μεγαλύτερο ) ώστε είναι εξαιρετικά απίθανο κάποια από τα ηλεκτρόνια σθένους να αποκτήσουν την ενέργεια που απαιτείται για να μεταπέσουν στη ζώνη αγωγιμότητας και να καταστούν ηλεκτρόνια αγωγιμότητας. Δεν υπάρχουν δηλαδή φορείς με δυνατότητα μετακίνησης, υπό την επίδραση εξωτερικού ηλεκτρικού πεδίου, και πρακτικά τα υλικά αυτά δεν άγουν το ηλεκτρικό ρεύμα. Ας έρθουμε και στην περίπτωση που μας ενδιαφέρει, σε αυτή των ημιαγωγών. Το διάγραμμα ζωνών ενός ημιαγωγού έχει ήδη δοθεί ( εικόνα 19 ). Είναι της ίδιας μορφής με εκείνο των μονωτών με μια όμως ειδοποιό διαφορά : το εύρος Ε g της απαγορευμένης ζώνης είναι μικρό, μέχρι περίπου 2.5eV. έτσι είναι δυνατό μερικά ηλεκτρόνια, απορροφώντας ενέργεια με τη μορφή θερμότητας ή ακτινοβολίας, να μεταπηδήσουν στη ζώνη αγωγιμότητας μετατρεπόμενα σε ηλεκτρόνια αγωγιμότητας. Επιπρόσθετα, σε αντιδιαστολή με τα μέταλλα, φορείς αγωγιμότητας δεν είναι μόνο τα ηλεκτρόνια στη ζώνη αγωγιμότητας αλλά και ένα δεύτερο είδος φορέα με θετικό ηλεκτρικό φορτίο, ο οποίος 15

καλείται οπή και εντοπίζεται στη ζώνη σθένους. Ας δούμε το φαινόμενο λίγο πιο αναλυτικά, προσπαθώντας να ορίσουμε το νέο αυτό φορέα. 4.2 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΩΝ ΟΠΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΗΜΙΑΓΩΓΟ Θεωρούμε την εικόνα 30 η οποία αποτελεί δισδιάστατη απεικόνιση του ομοιοπολικού δεσμού μεταξύ των ατόμων πυριτίου σε ένα μονοκρύσταλλο Si. Πυρίτιο Εικόνα 30 ( Ομοιοπολικός δεσμός σε μονοκρύσταλλο Si ) Όλα τα ηλεκτρόνια σθένους που απεικονίζονται παραπάνω βρίσκονται στη ζώνη σθένους και η ζώνη αγωγιμότητας είναι κενή ( Τ = 300 ο Κ ). Αν η θερμοκρασία αυξηθεί, μερικά ηλεκτρόνια σθένους ίσως αποκτήσουν ικανοποιητική ενέργεια ώστε να σπάσουν τον χημικό δεσμό και να μεταπηδήσουν στη ζώνη αγωγιμότητας ( εικόνα 31 ). 16

+ -e Πυρίτιο Εικόνα 31 Περαιτέρω άνοδος της θερμοκρασίας θα έχει ως αποτέλεσμα να σπάσουν κι άλλοι δεσμοί και περισσότερα ηλεκτρόνια να μεταπηδήσουν στη ζώνη αγωγιμότητας. Καθώς αυτά μεταπηδούν στη ζώνη αγωγιμότητας αφήνουν ισάριθμες κενές θέσεις, θετικά φορτισμένες με φορτίο +e, στη ζώνη σθένους. Ηλεκτρόνια από τη ζώνη σθένους, απορροφώντας θερμική ενέργεια, είναι δυνατόν να μετακινηθούν προς την κενή αυτή θέση καταλαμβάνοντας την. Δημιουργείται, όμως, με αυτόν τον τρόπο μια νέα κενή θέση εκεί απ όπου έφυγαν. Η μετακίνηση ενός ηλεκτρονίου σθένους προς την κενή αυτή θέση ισοδυναμεί με μετακίνηση της ίδιας ( εικόνες 32α, 32β, 32γ ). 17

+ Πυρίτιο Εικόνα 32α + Πυρίτιο Εικόνα 32β 18

+ Πυρίτιο Εικόνα 32γ Η κίνηση αυτή μπορεί να θεωρηθεί ως κίνηση ενός θετικού φορτίου εντός της ζώνης αγωγιμότητας. Δηλαδή, στον κρύσταλλο του ημιαγωγού μπορούμε να ορίσουμε και ένα δεύτερο φορέα ηλεκτρικού φορτίου, ο οποίος συμβάλλει στην αγωγιμότητά του. Ονομάζεται οπή ( hole ), έχει ηλεκτρικό φορτίο ίσο με +e και υπό την επίδραση εξωτερικού ηλεκτρικού πεδίου κινείται προς την ίδια με το πεδίο διεύθυνση. 4.3 Η ΕΝΕΡΓΟΣ ΜΑΖΑ ΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΑΓΩΓΙΜΟΤΗΤΑΣ Έστω ένα ηλεκτρόνιο το οποίο κινείται σε ένα κρυσταλλικό πλέγμα με ταχύτητα v, υπο την επίδραση ενός ηλεκτροστατικού πεδίου έντασης F. Σε ένα στοιχειώδες χρονικό διάστημα dt, η αύξηση της ενέργειας του ηλεκτρονίου de θα ισούται με το έργο για τη μετατόπισή του κατά την απόσταση vdt. Το έργο αυτό ισούται με το γινόμενο της δύναμης - ef που δρα στο ηλεκτρόνιο επί τη μετατόπισή του : de = - ef Χvdt [ 4.1 ] Από την κβαντομηχανική γνωρίζουμε ότι για τα ηλεκτρόνια ισχύει : 19

1 de v = [ 4.2 ] dk Αντικαθιστώντας την τιμή της v από την [ 4.2 ] στην [ 4.1 ] έχουμε : dk dk dv - ef = = [ 4.3 ] dt dv dt Ας θεωρήσουμε τώρα ένα ελεύθερο ηλεκτρόνιο μάζας m, το οποίο κινείται στο κενό, υπό την επίδραση ηλεκτροστατικού πεδίου έντασης F. Η δύναμη που δρα στο σωματίδιο είναι : dv - ef = m [ 4.4 ] dt Συγκρίνοντας τις [ 4.3 ] & [ 4.4 ] βλέπουμε ότι για να παρομοιάσουμε τη συμπεριφορά ενός ηλεκτρονίου που κινείται σε ένα κρυσταλλικό πλέγμα με τη συμπεριφορά ενός εντελώς ελεύθερου ηλεκτρονίου, πρέπει * να αποδώσουμε στο πρώτο μια υποθετική μάζα m ίση με : * dk m = [ 4.5 ] dv Στη συνέχεια, με μερικές μαθηματικές πράξεις, καταλήγουμε : m -1 2-1 2-1 * = ζdvφ ζ1 dek ( ) φ ζ 2 dek ( ) φ η η χ = 2 χ = η 2 χ ηθdk ψ χ η dk χ θ ψ ηθ dk ψχ Ϋ [ 4.6 ] 2 1 1 dek ( ) * 2 2 m = dk [ 4.7 ] * Η ποσότητα m ονομάζεται ενεργός μάζα και καθορίζεται από τη μορφή της καμπυλότητας της συνάρτησης Ek ( ). Όταν η καμπύλη E- k έχει τα κοίλα προς τα πάνω, όπως είναι ο * πυθμένας της ζώνης αγωγιμότητας, η m είναι θετική, ενώ όταν έχει τα * κοίλα προς τα κάτω, όπως είναι η ζώνη σθένους, η m είναι αρνητική. Ώστε ένα ηλεκτρόνιο κινούμενο στη ζώνη σθένους συμπεριφέρεται σα να έχει αρνητική μάζα κινούμενο προς την ίδια με το πεδίο διεύθυνση. Είδαμε προηγουμένως ότι η κίνηση των ηλεκτρονίων στη ζώνη σθένους ισοδυναμεί με αντίθετη κίνηση φορέων με θετικό φορτίο τους οποίους ονομάσαμε οπές. Δηλαδή οι οπές επιταχύνονται από το πεδίο προς μια 20

κατεύθυνση αντίθετη από εκείνη της επιτάχυνσης των ηλεκτρονίων και συνεπώς η ενεργός τους μάζα θα είναι θετική ποσότητα. Από την εξίσωση [ 4.7 ] μπορούμε να εξάγουμε το συμπέρασμα ότι η απόλυτη τιμή της ενεργού μάζας των φορέων είναι ανάλογη προς την ακτίνα καμπυλότητας της καμπύλης E- k. Γενικά, η μορφή των καμπυλών μεταβάλλεται με το k. Τα τμήματα όμως των καμπυλών γύρω από την κορυφή της ζώνης σθένους και τον πυθμένα της ζώνης αγωγιμότητας, τα οποία κυρίως περιγράφουν τους φορείς των ημιαγωγών, μπορούν να θεωρηθούν ως παραβολικά ( εικόνα 33 ). Επομένως, οι τιμές των ενεργών μαζών των οπών της ζώνης σθένους ( * * m p ) και των ηλεκτρονίων της ζώνης αγωγιμότητας ( m n ) κάθε ημιαγωγού μπορούν να θεωρούνται σταθερές. Εικόνα 33 2.21 σελ59 4.4 ΤΑ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ ΖΩΝΩΝ ΣΤΙΣ ΤΡΕΙΣ ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ Αναλύσαμε μέχρι τώρα πως εφαρμόζεται η εξίσωση κύματος, όταν το δυναμικό είναι περιοδικό, στην περίπτωση μονοδιάστατου πλέγματος και πώς προκύπτουν τα αντίστοιχα διαγράμματα Ε k. Για να περιγράψουμε, όμως, με ακρίβεια τις ηλεκτρικές ιδιότητες των ημιαγωγών πρέπει να θεωρήσουμε τα διαγράμματα αυτά στις τρεις διαστάσεις και πώς διαμορφώνονται σε ένα τρισδιάστατο κρύσταλλο. Στην εικόνα 34 απεικονίζεται μια εδροκεντρωμένη κυβική δομή όπου σημειώνονται και οι [100], [110] κρυσταλλογραφικές διευθύνσεις. Εικόνα 34 a. σελ 66 Είναι εμφανές ότι η απόσταση μεταξύ των ατόμων του κρυστάλλου ποικίλλει συναρτήσει της διεύθυνσης. Ηλεκτρόνια κινούμενα σε διαφορετικές διευθύνσεις νιώθουν διαφορετικά προφίλ δυναμικού και συνεπώς διαφορετικά όρια στο χώρο k. Τα διαγράμματα Ε k είναι, γενικά, συνάρτηση της κρυσταλλογραφικής διεύθυνσης στο χώρο k. 4.4.1 ΤΑ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ ΤΟΥ ΠΥΡΙΤΙΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ ΑΡΣΕΝΙΚΟΥΧΟΥ ΓΑΛΛΙΟΥ 21

Είδαμε στην περίπτωση του μονοδιάστατου μοντέλου ότι τα διαγράμματα Ε k είναι συμμετρικά ως προς k, ώστε δεν είναι απαραίτητο να απεικονίζουμε και τους δυο άξονες. Συνήθης πρακτική είναι να απεικονίζουμε τη μορφή του διαγράμματος Ε k για την [100] διεύθυνση στον κανονικό + k άξονα και στη θέση του - k άξονα να απεικονίζουμε την μορφή του για τη διεύθυνση [111], πάλι όμως για τις θετικές τιμές του κυματαριθμού. Αυτό είναι ιδιαίτερα βολικό καθώς στην περίπτωση των δομών diamond και zincblende οι ενέργειες E v, E v απαντούν είτε για k = 0 είτε κατά μήκος μιας εκ των δυο κρυσταλλογραφικών διευθύνσεων. Ο αντίστροφος χώρος στην περίπτωση του GaAs διαμορφώνεται όπως φαίνεται στην εικόνα 35 : Εικόνα 35 2,28 α σελ 67 Οι ενέργειες E v, E c απαντούν για k = 0. Τα ηλεκτρόνια στη ζώνη αγωγιμότητας τείνουν να συγκεντρωθούν στην ελάχιστη ενέργεια αυτής ενώ οι οπές στη ζώνη σθένους στην μέγιστη ενέργεια αυτής. Όταν το μέγιστο της ζώνη σθένους και το ελάχιστο της ζώνης αγωγιμότητας απαντούν στην ίδια τιμή του k τότε λέμε ότι το ενεργειακό διάκενο είναι άμεσο ( direct bandgap ). Στην περίπτωση αυτή μπορεί να λάβει χώρα μετάβαση ηλεκτρονίων από τη μια ζώνη στην άλλη χωρίς μεταβολή στην hk κρυσταλλική ορμή ( P = ). Το άμεσο ενεργειακό διάκενο έχει 2 p σημαντική επίδραση στις οπτικές ιδιότητες του υλικού, καθιστώντας το ιδανικό για κατασκευή οπτικών διατάξεων. Στην περίπτωση του Si ο αντίστροφος χώρος διαμορφώνεται όπως φαίνεται στην εικόνα 36 : Εικόνα 36 2.28σελ 67 Η μέγιστη ενέργεια της ζώνης σθένους απαντά για k = 0, όπως και στο GaAs. Όμως η ελάχιστη ενέργεια της ζώνης αγωγιμότητας απαντά κατά μήκος της [100] κρυσταλλογραφικής διεύθυνσης. Ένα ενεργειακό διάκενο που οι E v, E c απαντούν σε διαφορετικές τιμές του k ονομάζεται έμμεσο ( indirect bandgap ). Στην περίπτωση του έμμεσου διάκενου, κατά την μετάβαση ηλεκτρονίων μεταξύ των ζωνών σθένους και αγωγιμότητας, οφείλουμε να πάρουμε υπ όψιν το νόμο της διατήρησης της ορμής. Η μετάβαση αυτή θα πρέπει οπωσδήποτε να περιλαμβάνει αλληλεπίδραση με τον κρύσταλλο ώστε η κρυσταλλική ορμή να διατηρείται. 22

Και το Ge έχει έμμεσο ενεργειακό διάκενο, με τη διαφορά ότι η E c απαντά κατά μήκος της [111] κρυσταλλογραφικής διεύθυνσης ενώ η E v απαντά για k = 0. 4.4.2 Η ΕΝΕΡΓΟΣ ΜΑΖΑ ΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΣΤΙΣ ΤΡΕΙΣ ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ Η καμπυλότητα των διαγραμμάτων Ε k κοντά στο ελάχιστο της ζώνης αγωγιμότητας είδαμε ότι συνδέεται με την ενεργό μάζα των ηλεκτρονίων. Συγκρίνοντας τις εικόνες 35 & 36 μπορούμε να πούμε ότι η καμπυλότητα της ζώνης αγωγιμότητας στο ελάχιστο αυτής του GaAs είναι μεγαλύτερη αυτής του Si. Επομένως η αντίστοιχη ενεργός μάζα των ηλεκτρονίων στη ζώνη αγωγιμότητας του GaAs θα είναι μικρότερη από εκείνη του Si. Η εξίσωση [ 4.7 ] έδωσε την ενεργό μάζα των φορέων στην περίπτωση του μονοδιάστατου μοντέλου. Για την περιγραφή της ενεργού μάζας σε ένα πραγματικό τρισδιάστατο κρύσταλλο χρειαζόμαστε τρεις τιμές, μια για κάθε κρυσταλλογραφική διεύθυνση στο χώρο k. Άρα : 1 1 J E( k) = m * i 2 2 2 Jki i = 1, 2,3. [ 4.8 ] 5 ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΑΓΩΓΙΜΟΤΗΤΑΣ Δείξαμε ότι στους ημιαγωγούς φορείς αγωγιμότητας είναι τα ηλεκτρόνια στη ζώνη αγωγιμότητας και οι οπές στη ζώνη σθένους. Το επόμενο σημαντικό βήμα είναι να υπολογίσουμε τον αριθμό των φορέων αυτών που είναι διαθέσιμοι και συνεισφέρουν στην αγωγιμότητα. Ο αριθμός αυτός είναι συνάρτηση του αριθμού των διαθέσιμων κβαντικών καταστάσεων ενεργειακών σταθμών αφού η απαγορευτική αρχή του Pauli απαιτεί μονάχα ένα ηλεκτρόνιο να καταλαμβάνει μια δοσμένη κβαντική κατάσταση. Επομένως, χρειάζεται να γνωρίζουμε δυο πράγματα : Την πυκνότητα των επιτρεπτών ενεργειακών σταθμών συναρτήσει της ενέργειας Ε Την κατανομή των φορέων στις στάθμες αυτές 5.1 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΤΗΣ ΠΥΚΝΟΤΗΤΑΣ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ Η πυκνότητα των επιτρεπτών ενεργειακών σταθμών στη ζώνη αγωγιμότητας δίνεται από την ακόλουθη εξίσωση : 23

* 3/2 4 p(2 mn ) gc( E) = E- E 3 h c [ 5.1 ] Η [ 5.1 ] ισχύει για E E c. Καθώς η ενέργεια του ηλεκτρονίου στη ζώνη αγωγιμότητας μειώνεται, μειώνεται και ο αριθμός των διαθέσιμων κβαντικών καταστάσεων. Αντίστοιχα για τη ζώνη σθένους ισχύει : g v ( E ) = * 3/2 p 3 4 p(2 m ) h E v - E [ 5.2 ] η οποία ισχύει για E E v. Καθώς έχουμε δείξει ότι εντός της απαγορευμένης ζώνης δεν υπάρχουν διαθέσιμες κβαντικές καταστάσεις θα πρέπει g (E) = 0 για E v < E < E c. Η εικόνα 3.. δίνει την πυκνότητα των κβαντικών καταστάσεων * * συναρτήσει της ενέργειας. Ας σημειωθεί ότι αν m n = m p τότε οι g v ( E ), g c ( E ) θα είναι συμμετρικές ως προς το μέσον της απαγορευμένης ζώνης. Εικόνα 3.. 2.29 sελ 70 5.2 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ ΤΩΝ FERMI & DIRAC Η πιθανότητα κατάληψης μιας ενεργειακής στάθμης E από ένα ηλεκτρόνιο δίνεται απ την ονομαζόμενη συνάρτηση πιθανότητας Fermi Dirac : NE ( ) 1 = ff ( E) = ge ( ) E- EF 1+ exp( ) kt [ 5.2 ] όπου k η σταθερά του Boltzman, N (E), g(e) ο αριθμός των σωματιδίων και ο αριθμός των ενεργειακών σταθμών, ανά μονάδα όγκου και ενέργειας, αντίστοιχα και E η ενέργεια Fermi. Η [ 5.2 ] μπορεί να F 24

θεωρηθεί και ως ο λόγος των κατειλημμένων ενεργειακών σταθμών προς το σύνολο των ενεργειακών σταθμών σε κάθε τιμή της E. Η εικόνα 36 δίνει την γραφική παράσταση της συνάρτησης κατανομής Fermi Dirac για διάφορες θερμοκρασίες, με την προϋπόθεση ότι η E είναι ανεξάρτητη της θερμοκρασίας. F Εικόνα 36 2.34 σελ 73 Για Τ = 0 ο K, τα ηλεκτρόνια καταλαμβάνουν τις ενεργειακές στάθμες με τις χαμηλότερες ενέργειες. Για E < E F, η πιθανότητα μια ενεργειακή στάθμη να είναι κατειλημμένη ισούται με τη μονάδα ενώ αν E > E F η πιθανότητα είναι μηδενική. Άρα, στη θερμοκρασία του απολύτου μηδενός, όλες οι στάθμες κάτω από την EF είναι πλήρως κατειλημμένες ενώ όλες οι στάθμες πάνω από την E F κενές. Να τονίσουμε στο σημείο αυτό ότι η E F καθορίζει την στατιστική κατανομή των ηλεκτρονίων και δεν αντιστοιχεί απαραίτητα σε κάποια ενεργειακή στάθμη. Για μεγαλύτερες θερμοκρασίες, παρατηρούμε ότι η πιθανότητα κάποιες στάθμες πάνω από την E F να ναι κατειλημμένες ή κάποιες κάτω απ την EF να ναι κενές είναι μη μηδενική. Δηλαδή, ορισμένα ηλεκτρόνια απέκτησαν την απαιτούμενη θερμική ενέργεια ώστε να μεταπηδήσουν σε ανώτερες ενεργειακές στάθμες. Η πιθανότητα αυτή αυξάνει με την αύξηση της θερμοκρασίας. Η συνάρτηση ff ( E) είναι συμμετρική, ως προς EF με τη συνάρτηση 1- f ( ) F E η οποία δίνει την πιθανότητα που έχει μια ενεργειακή στάθμη να είναι κενή. Η συμμετρία αυτή φαίνεται στην εικόνα 37 : Εικόνα 37 2.35σελ 75 Αν E - E F >> k T, τότε μπορούμε να παραλείψουμε τη μονάδα στον παρανομαστή της [ 5.2 ] οπότε : ff ( E ) -( E-E ) exp{ F } kt [ 5.3 ] Η [ 5.4 ] είναι γνωστή ως η προσέγγιση Maxwell Boltzman στη συνάρτηση πιθανότητας Fermi Dirac. 25

Εικόνα 38 2.36 σελ 75 5.3 Ο ΗΜΙΑΓΩΓΟΣ ΣΕ ΣΥΝΘΗΚΕΣ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ Έχοντας προσδιορίσει την πυκνότητα των επιτρεπτών καταστάσεων και τη συνάρτηση που περιγράφει την κατανομή των φορέων αγωγιμότητας σε αυτές, είμαστε σε θέση να προσδιορίσουμε τον αριθμό των ηλεκτρονίων στη ζώνη αγωγιμότητας και των οπών στη ζώνη σθένους. Ως βάση της ανάλυσης που θα ακολουθήσει θα χρησιμοποιήσουμε την παραδοχή ότι ο ημιαγωγός σε κάθε περίπτωση βρίσκεται σε συνθήκες ισορροπίας ( thermal equilibrium ). Δηλαδή δεχόμαστε ότι δεν υπόκειται σε καμία εξωτερική δύναμη όπως τάση, ηλεκτρικό ή μαγνητικό πεδίο ή βάθμωση της θερμοκρασίας. Ο κρύσταλλος τότε είναι ηλεκτρικά ουδέτερος. 5.3.1 ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΑΓΩΓΙΜΟΤΗΤΑΣ Η κατανομή, συναρτήσει της ενέργειας, των ηλεκτρονίων στη ζώνη αγωγιμότητας δίνεται από το γινόμενο της πυκνότητας των επιτρεπτών κβαντικών καταστάσεων με την πιθανότητα μια κβαντική κατάσταση να είναι κατειλημμένη από ένα ηλεκτρόνιο : ne ( ) = g ( E) f ( E) [ 5.5 ] όπου ff ( E ) η συνάρτηση πιθανότητας Fermi Dirac και gc( E ) η πυκνότητα των κβαντικών καταστάσεων στη ζώνη αγωγιμότητας. Ολοκληρώνοντας βρίσκουμε τη συνολική συγκέντρωση των ηλεκτρονίων ανά μονάδα όγκου στη ζώνη αγωγιμότητας : c F n 0 = ς g c( E ) f F( E ) de [ 5.6 ] Ως κάτω όριο ολοκλήρωσης τίθεται η το πάνω τμήμα της ζώνης αγωγιμότητας. Επειδή όμως η συνάρτηση πιθανότητας Fermi Dirac πλησιάζει ραγδαία το μηδέν αυξανομένης της E c. Άνω όριο θα έπρεπε να είναι ενέργειας, τίθεται ως άνω όριο ολοκλήρωσης το άπειρο. Υποθέτοντας ότι η ενέργεια Fermi βρίσκεται εντός του E g και ότι E - F E >> k T, καταλήγουμε έπειτα από σειρά πράξεων στην ακόλουθη έκφραση για τη συγκέντρωση των ηλεκτρονίων : 26

n 0 - ( Ec- EF) = Nc exp{ } [ 5.7 ] kt Η παράμετρος Nc ονομάζεται συνάρτηση της ενεργού πυκνότητας καταστάσεων στη ζώνη αγωγιμότητας (effective density of states function in the conduction band ) και ισούται με : N c = * 2pmnkT 3/2 2( ) 2 h [ 5.8 ] Τώρα, ξεκινώντας από την εξίσωση : { } pe ( ) = g( E) 1 - f ( E) [ 5.9 ] v και ακολουθώντας ανάλογους φορμαλισμούς, καταλήγουμε στις ακόλουθες εξισώσεις : p 0 F - ( EF - Ev) = Nv exp{ } [ 5.10 ] kt και N v = * 2pmpkT 3/2 2( ) 2 h [ 5.11 ] όπου p 0 η συγκέντρωση ανά μονάδα όγκου των οπών στη ζώνη σθένους και N v η συνάρτηση της ενεργού πυκνότητας καταστάσεων στη ζώνη σθένους ( effective density of states function in the valence band ). Οι συναρτήσεις N c, N v για έναν ημιαγωγό είναι σταθερές, για δοσμένη θερμοκρασία. Στον πίνακα 4 δίνονται οι τιμές τους ( Τ = 300 ο K ) για τα Si, Ge, GaAs. 3 N ( ) c cm - N ( 3 ) v cm - m * n m0 m * p m 0 Πυρίτιο 2.8 10 19 1.04 10 19 1.08 0.56 Αρσενικούχο Γάλλιο 4.7 10 17 7.0 10 18 0.067 0.48 Γερμάνιο 1.04 10 19 6.0 10 18 0.55 0.37 Πίνακας 4 27

( ) 5.4 Ο ΕΝΔΟΓΕΝΗΣ ΗΜΙΑΓΩΓΟΣ 5.4.1 ΟΡΙΣΜΟΣ Ο ιδανικός ενδογενής ημιαγωγός ( intrinsic semiconductor ) είναι ένα καθαρό, ανόθευτο, χωρίς προσμίξεις και άνευ ατελειών στην κρυσταλλική δομή του ημιαγώγιμο υλικό. Στον ενδογενή ημιαγωγό, στη θερμοκρασία του απολύτου μηδενός, όλες οι ενεργειακές στάθμες στη ζώνη σθένους είναι πλήρεις και όλες στη ζώνη αγωγιμότητας κενές. Οι φορείς αγωγιμότητας προέρχονται από τη θερμική διέγερση ιονισμό των ατόμων του πλέγματος. Η ενέργεια Fermi ( E Fi από το intrinsic ) βρίσκεται κάπου μεταξύ των E v και E. 5.4.2 ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΣΥΓΚΕΝΤΡΩΣΗΣ ΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΑΓΩΓΙΜΟΤΗΤΑΣ ΣΕ ΕΝΔΟΓΕΝΗ ΗΜΙΑΓΩΓΟ Στον ενδογενή ημιαγωγό οι συγκεντρώσεις των ηλεκτρονίων στη ζώνη αγωγιμότητας ( n i ) και των οπών στη ζώνη σθένους ( p i ) είναι ίσες. Οι εξισώσεις [ 5.6 ] και [ 5.10 ] παίρνουν τη μορφή : Πολλαπλασιαζόμενες μεταξύ τους : c - ( Ec - EFi) n0 = ni = Ncexp{ } [ 5.12 ] kt και - ( EFi - Ev ) p0 = pi = ni = Nvexp{ } [ 5.13 ] kt n - E = exp( g ) [ 5.14 ] kt 2 i NN c v Για δοσμένο ημιαγωγό, σε σταθερή θερμοκρασία, η τιμή του n i είναι σταθερή και ανεξάρτητη της ενέργειας Fermi. Οι τιμές του n i που προκύπτουν από την εξίσωση [ 5.14 ], αντικαθιστώντας τα N c, N v από τον πίνακα 4 συνήθως διαφέρουν από τις πειραματικώς προσδιοριζόμενες τιμές. Η διαφορά όμως αυτή, τις περισσότερες φορές δεν είναι σημαντική. Στον πίνακα 5 δίνονται οι πιο κοινά αποδεκτές τιμές του n i στους 300 0 Κ για τα Si, Ge, GaAs. 28

Πυρίτιο Αρσενικούχο Γάλλιο Γερμάνιο ni ni ni = 1.5 10 10-3 cm 6-3 = 1.8 10 cm = 2.4 10 13-3 cm Πίνακας 5 3.2 σελ 92 Η τιμή του n i επηρεάζεται δραστικά από την θερμοκρασία, όπως φαίνεται και στην εικόνα.. Εικόνα 3.2 σελ 94 5.4.3 ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΘΕΣΗΣ ΤΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ FERMI ΣΕ ΕΝΔΟΓΕΝΗ ΗΜΙΑΓΩΓΟ Δείξαμε ότι n i = p i. Τότε : N c - ( ) ( ) exp{ Ec - EFi - } Nvexp{ EFi - = Ev } [ 5.15 ] kt kt Λογαριθμίζουμε με βάση το e, λύνουμε ως προς τα N, N και τελικά καταλήγουμε : c v E Fi, αντικαθιστούμε * m ( p ) * mn 3 EFi - Emidgap = kt ln [ 5.16 ] 4 1 όπου Emidgap = ( Ec+ Ev ) η ενέργεια που αντιστοιχεί στο μέσο της 2 * * απαγορευμένης ζώνης. Αν mp = mn, τότε η E Fi απαντά στο μέσο * * ακριβώς της απαγορευμένης ζώνης. Αν m m, τότε απαντά ελαφρώς πιο * * πάνω απ το μέσο. Τέλος, αν mp mn, απαντά ελαφρώς πιο κάτω απ το μέσο. Η συνάρτηση πυκνότητας των καταστάσεων είναι ανάλογη της ενεργού μάζας των φορέων. Για να ισχύει n i = p i, η E Fi πρέπει να απομακρύνεται απ τη ζώνη με τη μεγαλύτερη πυκνότητα καταστάσεων, η οποία προφανώς θα περιέχει τους φορείς με τη μεγαλύτερη ενεργό μάζα. p Εικόνα 40 n 29

3.1 σελ 88 5.5 Ο ΕΞΩΓΕΝΗΣ ΗΜΙΑΓΩΓΟΣ 5.5.1 ΟΡΙΣΜΟΣ Η σημαντικότερη, για τις τεχνολογικές εφαρμογές, ιδιότητα των ημιαγωγών είναι το γεγονός ότι μπορούμε να ελέγξουμε και να κατευθύνουμε τα ηλεκτρικά χαρακτηριστικά τους, μέσω της διαδικασίας της νόθευσης ( doping ), εισάγοντας, δηλαδή, μικρές, ελεγχόμενες ποσότητες συγκεκριμένων ατόμων στο πλέγμα τους. Τα άτομα αυτά ονομάζονται άτομα πρόσμιξης. Το ημιαγώγιμο υλικό που προκύπτει ονομάζεται ημιαγωγός προσμίξεων ή εξωγενής ημιαγωγός ( extriinsic semiconductor ). Ως αποτέλεσμα της νόθευσης, δεν υπάρχει πια ισότητα μεταξύ των φορέων αγωγιμότητας. Είτε τα ηλεκτρόνια είτε οι οπές θα υπερισχύουν και θα χαρακτηρίζονται ανάλογα ως φορείς πλειοψηφίας ( majority carriers ) ή μειοψηφίας (minority carriers ). 5.5.2 ΕΞΩΓΕΝΕΙΣ ΗΜΙΑΓΩΓΟΙ ΤΥΠΟΥ n Προκύπτουν αν σε ένα ενδογενή ημιαγωγό εισαχθούν άτομα πρόσμιξης μεγαλύτερου σθένους από αυτό των ατόμων του ημιαγωγού. Ας θεωρήσουμε τη δισδιάστατη απεικόνιση του κρυσταλλικού πλέγματος σε ένα μονοκρύσταλλο Si. Έστω ότι εισάγουμε στο πλέγμα ένα άτομο στοιχείου από την ομάδα V του περιοδικού συστήματος, π.χ. ένα άτομο φωσφόρου ( P ), ως πρόσμιξη αντικατάστασης ( substitutional imputity ). O P, o οποίος διαθέτει πέντε ηλεκτρόνια σθένους, εντάσσεται στο κρυσταλλικό πλέγμα υποκαθιστώντας ένα άτομο Si. Τέσσερα από τα ηλεκτρόνια του ατόμου του Ρ θα χρησιμοποιηθούν για τη δημιουργία ομοιοπολικού δεσμού με τα γειτονικά άτομα Si, αφήνοντας το πέμπτο ασθενέστερα συνδεδεμένο με το άτομο Ρ. Σε πολύ χαμηλές θερμοκρασίες, το ηλεκτρόνιο αυτό ( donor electron ) δεσμεύεται από το άτομο του Ρ ( εικόνα ). Απορροφώντας όμως μικρά ποσά ενέργειας μπορεί, ευκολότερα από τα υπόλοιπα τέσσερα τα οποία παίρνουν μέρος στο χημικό δεσμό, να μεταπηδήσει στη ζώνη αγωγιμότητας και να καταστεί ηλεκτρόνιο αγωγιμότητας. Το άτομο της πρόσμιξης καθίσταται κατιόν. 30

-e Πυρίτιο Φωσφόρος Εικόνα Η παρουσία των ατόμων της πρόσμιξης έχει ως αποτέλεσμα την εισαγωγή μιας πρόσθετης επιτρεπόμενης ενεργειακής στάθμης, της στάθμης πρόσμιξης ( donor state με ενέργεια E d ), μέσα στην απαγορευμένη ζώνη και πολύ κοντά στη ζώνη αγωγιμότητας. 31

Εικόνα.. Έτσι, ηλεκτρόνια απ τη στάθμη πρόσμιξης μπορούν πολύ εύκολα, απορροφώντας μικρά μόνο ποσά ενέργειας, που βρίσκονται ακόμα και στη συνήθη θερμοκρασία, να μεταπηδήσουν στη ζώνη αγωγιμότητας και να καταστούν ηλεκτρόνια αγωγιμότητας. Τα άτομα πρόσμιξης που παρέχουν ηλεκτρόνια στη ζώνη αγωγιμότητας, χωρίς να δημιουργούν οπές στη ζώνη σθένους, ονομάζονται δότες ( donors ). 5.5.3 ΕΞΩΓΕΝΕΙΣ ΗΜΙΑΓΩΓΟΙ ΤΥΠΟΥ p Προκύπτουν αν σε ένα ενδογενή ημιαγωγό εισαχθούν άτομα πρόσμιξης με σθένος μικρότερο απ εκείνο των ατόμων του ημιαγωγού. Επανερχόμαστε στο παράδειγμα του μονοκρυστάλλου Si που προηγήθηκε. Έστω ότι εισάγουμε στο πλέγμα ως πρόσμιξη αντικατάστασης ένα άτομο στοιχείου της III ομάδας του περιοδικού συστήματος, π.χ. ένα άτομο βορίου ( Β ). Το άτομο του Β διαθέτει τρία ηλεκτρόνια σθένους. Επομένως, κατά την ένταξή του στο πλέγμα, μια θέση ομοιοπολικού δεσμού παρουσιάζεται κενή. 32

Πυρίτιο Βόριο Εικόνα Ένα ηλεκτρόνιο σθένους από κάποιο γειτονικό άτομο Si, απορροφώντας μικρά ποσά ενέργειας, μπορεί να μετακινηθεί προς την κενή αυτή θέση καταλαμβάνοντας τη. Το άτομο του Β καθίσταται ανιόν, ενώ εκεί όπου έφυγε το ηλεκτρόνιο δημιουργείται μια κενή θέση η οποία μπορεί να θεωρηθεί ως οπή. 33

+ Πυρίτιο Βόριο Εικόνα. Η παρουσία των ατόμων της πρόσμιξης έχει ως αποτέλεσμα την εισαγωγή μιας πρόσθετης επιτρεπόμενης ενεργειακής στάθμης, της στάθμης πρόσμιξης ( acceptor state με ενέργεια E a ) μεσα στην απαγορευμένη ζώνη και πολύ κοντά στη ζώνη σθένους. Εικόνα.. 3.7 σελ 99 Έτσι, ηλεκτρόνια από τη ζώνη σθένους μπορούν πολύ εύκολα, απορροφώντας μικρά μόνο ποσά ενέργειας, που βρίσκονται ακόμη και στη συνήθη θερμοκρασία, να μεταπηδήσουν στη στάθμη πρόσμιξης. Καθώς αυτή απέχει ακόμη σημαντικά από τη ζώνη σθένους, παραμένουν εκεί αλλά ως αποτέλεσμα της μεταπήδησής τους δημιουργούνται στη ζώνη σθένους ισάριθμες οπές. Τα άτομα των προσμίξεων που δημιουργούν οπές στη ζώνη σθένους, χωρίς να προσθέτουν ηλεκτρόνια στη ζώνη αγωγιμότητας, ονομάζονται αποδέκτες ( acceptors ). Συμπερασματικά, ένας εξωγενής ημιαγωγός είναι τύπου n όταν έχει περίσσια ηλεκτρονίων και τύπου p όταν έχει περίσσια οπών. 34

5.5.4 ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΙΟΝΙΣΜΟΥ Η διαφορά Ec - Ed, στην περίπτωση ημιαγωγού τύπου n, και η διαφορά Ea- Ev, στην περίπτωση ημιαγωγού τύπου p, ισούται με την ενέργεια που απαιτείται για να δημιουργηθεί ο αντίστοιχος φορέας αγωγιμότητας. Η ενέργεια αυτή ονομάζεται ενέργεια ιονισμού ( ionization energy ) και στον πίνακα.δίνονται οι τιμές της για τις σημαντικότερες προσμίξεις στο Si και στο Ge. Ενέργεια Ιονισμού ( ev ) Πρόσμιξη Πυρίτιο Γερμάνιο Δότες Φωσφόρος 0.045 0.012 Αρσενικό 0.05 0.0127 Αποδέκτες Βόριο 0.045 0.0104 Αλουμίνιο 0.06 0.0102 Πίνακας 6 ( Ενέργειες ιονισμού προσμίξεων στο Si και στο Ge ) 5.5.5 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΑΤΌΜΩΝ ΠΡΟΣΜΙΞΗΣ ΣΕ ΣΥΝΘΕΤΟΥΣ ΗΜΙΑΓΩΓΟΥΣ Έστω ένας ημιαγωγός τύπου III V, π.χ. το GaAs. Στοιχεία της ομάδας ΙΙ του περιοδικού συστήματος, όπως το βηρύλλιο ( Beryllium ), ο ψευδάργυρος ( Zinc ), το κάδμιο (Cadmium ) κ.τ.λ., μπορούν να εισέλθουν στο πλέγμα, ως προσμίξεις αντικατάστασης, στη θέση του Ga ( ομάδα ΙΙΙ ). Τα στοιχεία αυτά δρουν ως δότες. Ομοίως, στοιχεία της ομάδας VI εισέρχονται στο πλέγμα υποκαθιστώντας το As ( ομάδα V ) και δρουν ως αποδέκτες. Στοιχεία της ομάδας ΙV μπορούν, επίσης, να χρησιμοποιηθούν ως προσμίξεις στο GaAs, η δράση τους όμως δεν είναι καθορισμένη μονοσήμαντα. Τα στοιχεία αυτά ονομάζονται..( amphoteric ) και δρουν είτε ως δότες είτε ως αποδέκτες. Πειραματικά έχει δειχθεί ότι το Ge δρα κυρίως ως αποδέκτης ενώ το Si ως δότης. Οι ενέργειες ιονισμού για τις διάφορες προσμίξεις στο GaAs δίνονται στον πίνακα 7. 35

Πρόσμιξη Ενέργεια ιονισμού ( Ev ) Δότες Σελήνιο 0.0059 Τελλούριο 0.0058 Πυρίτιο 0.0058 Γερμάνιο 0.0061 Αποδέκτες Βηρύλλιο 0.028 Ψευδάργυρος 0.0307 Κάδμιο 0.0347 Πυρίτιο 0.0345 Γερμάνιο 0.0404 Πίνακας 7 ( Ενέργειες ιονισμού προσμίξεων στο GaAs ) 5.5.6 ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΣΥΓΚΕΝΤΡΩΣΗΣ ΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΑΓΩΓΙΜΟΤΗΤΑΣ ΣΕ ΕΞΩΓΕΝΗ ΗΜΙΑΓΩΓΟ Στην περίπτωση εξωγενούς ημιαγωγού, η συγκέντρωση των ηλεκτρονίων στη ζώνη αγωγιμότητας και των οπών στη ζώνη σθένους δίνεται αντίστοιχα από τις εξισώσεις : p n 0 o EF - EFi = niexp{ } [ 5.17 ] kt και - ( EF - EFi) = ni exp{ } [ 5.18 ] kt Η εισαγωγή των ατόμων της πρόσμιξης έχει σαν αποτέλεσμα την αλλαγή της θέσης της στάθμης Fermi. Όπως φαίνεται από τις [ 5.17 ] & [ 5.18 ], καθώς η στάθμη Fermi διαφοροποιείται από την E Fi, τα n 0, p 0 διαφοροποιούνται από το n i. Αν EF EFi, τότε n0 ni & p0 ni. Άρα n0 p0 και ο ημιαγωγός είναι τύπου n. Αν EF EFi, τότε n0 ni & p0 ni. Άρα p0 n0 και ο ημιαγωγός είναι τύπου p. Τα ως άνω απεικονίζονται στις εικόνες & 36

3.8 σελ 102 κ 3.9 σελ 103 Πολλαπλασιάζοντας τις [ 5.17 ] & [ 5.18 ] παίρνουμε : μ E ό g n0 p0 NN c vexpο- = ν ο ύ οkt ξ οώ [ 5.19 ] που σημαίνει ότι το γινόμενο n0 p0, για έναν ημιαγωγό σε δοσμένη θερμοκρασία είναι σταθερό. 5.5.7 ΕΚΦΥΛΙΣΜΕΝΟΙ ΚΑΙ ΜΗ ΕΚΦΥΛΙΣΜΕΝΟΙ ΗΜΙΑΓΩΓΟΙ Μη εκφυλισμένος ( nondegenarate ) χαρακτηρίζεται ένας ημιαγωγός όταν η συγκέντρωση των ατόμων της πρόσμιξης είναι μικρή, συγκρινόμενη με την πυκνότητα των ατόμων του. Τα άτομα της πρόσμιξης είναι διασκορπισμένα στη μάζα του ημιαγωγού σε απόσταση μεταξύ τους τέτοια ώστε να μην αλληλεπιδρούν οι φορείς αγωγιμότητας που προκύπτουν από την ένταξή τους στο πλέγμα. Καθώς η συγκέντρωση τους αυξάνει, η απόσταση αυτή μειώνεται και κάποια στιγμή παίρνει τέτοια τιμή που επιτρέπει την μεταξύ τους αλληλεπίδραση. Τότε η στάθμη πρόσμιξης διευρύνεται σε ζώνη ενεργειών και, αν η συγκέντρωση των προσμίξεων αποκτήσει τιμή παραπλήσια της ενεργού πυκνότητας καταστάσεων, η ζώνη, πια, πρόσμιξης επικαλύπτεται με τον πυθμένα της ζώνης αγωγιμότητας (τύπος n ) ή με την κορυφή της ζώνης σθένους (τύπος p ). Στην πρώτη περίπτωση, όταν η συγκέντρωση των ηλεκτρονίων στη ζώνη αγωγιμότητας υπερβαίνει τη N c, η στάθμη Fermi βρίσκεται εντός της ζώνης αγωγιμότητας. Αντίστοιχα, όταν η συγκέντρωση των οπών στη ζώνη σθένους υπερβαίνει τη N v, η στάθμη Fermi βρίσκεται εντός της ζώνης σθένους. Τα ως άνω απεικονίζονται στις εικόνες &. 3.11 α+β σελ 109 Οι ημιαγωγοί αυτοί ονομάζονται εκφυλισμένοι ( degenerate ) και η προσέγγιση των Maxwell Boltzman της συνάρτησης κατανομής παύει να ισχύει. Για το Si, συνήθως δεχόμαστε ως οριακή τιμή συγκέντρωσης προσμίξεων την 3 10 17 cm -3 περίπου. 37

5.5.8 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Η συνάρτηση της πιθανότητας που έχει η στάθμη των δοτών να είναι κατειλημμένη με ηλεκτρόνια δίνεται από την εξίσωση : n d = Nd 1 Ed - EF 1+ exp( ) g kt [ 5.20 ] όπου n d η πυκνότητα των ηλεκτρονίων στη στάθμη των δοτών, E d η ενέργεια της στάθμης των δοτών και N d η συγκέντρωση των ατόμων δοτών. Ο παράγοντας g ονομάζεται παράγοντας εκφυλισμού ( degeneracy factor ) και έχει την τιμή 2. Η [ 5.20 ] μπορεί να γραφεί και ως : nd = Nd - N + d [ 5.21 ] όπου N + d η συγκέντρωση των ατόμων δοτών που έχουν ιονισθεί. Ομοίως, για την περίπτωση των αποδεκτών ισχύει η εξίσωση : Na p = = N - N 1 EF - Ea 1+ exp( ) g kt - a a a [ 5.22 ] όπου p a η συγκέντρωση των οπών στη ζώνη σθένους, Ea η ενέργεια της στάθμης των αποδεκτών, N a η συγκέντρωση των αποδεκτών και Na - η συγκέντρωση των αποδεκτών που έχουν ιονιστεί. Στην περίπτωση των αποδεκτών, για το Si & το GaAs, το g ισούται με 4. 5.5.9 ΠΛΗΡΗΣ ΙΟΝΙΣΜΟΣ ΚΑΙ FREEZE OUT Αν ( E - E ) kt η [ 5.21 ] γίνεται : d F n d 1 exp 2 Nd - ( Ed - EF ) = 2Nd exp{ } Ed - EF kt kt ( ) [ 5.23 ] Επίσης, ισχύει για τα ηλεκτρόνια στη ζώνη αγωγιμότητας η [ 5.7 ] : 38

n 0 = N c - ( Ec- EF) exp{ } kt Τότε, ο λόγος των ηλεκτρονίων στη στάθμη των δοτών προς το άθροισμα των ηλεκτρονίων στη ζώνη αγωγιμότητας και στη ζώνη των δοτών υπολογίζεται ως : nd n + n d 0 = 1 Nc - ( Ec - Ed) 1+ exp 2N kt d { } [ 5.24 ] όπου ( Ec - Ed ) η ενέργεια ιονισμού των ηλεκτρονίων των δοτών. Παρατηρούμε ότι ο λόγος αυτός είναι ανεξάρτητος της ενέργειας Fermi. Έστω πυρίτιο n-τύπου, το οποίο έχει νοθευτεί με άτομα φωσφόρου. 16 3 Έστω ότι η συγκέντρωση της νόθευσης είναι Nd = 10 cm -. Στη nd θερμοκρασία δωματίου ισχύει : 0.41% nd n =. Δηλαδή, συγκριτικά με + 0 τα ηλεκτρόνια στη ζώνη αγωγιμότητας, ο αριθμός των ηλεκτρονίων στη στάθμη των δοτών είναι ελάχιστος. Δεχόμαστε, λοιπόν, ότι στους 300 0 Κ όλα τα ηλεκτρόνια της στάθμης πρόσμιξης βρίσκονται στη ζώνη αγωγιμότητας. Έχουμε, δηλαδή, πλήρη ιονισμό των ατόμων δοτών. Τα αυτά ισχύουν και στην περίπτωση των αποδεκτών, πάντα για τυπικές τιμές συγκέντρωσης ατόμων πρόσμιξης ( της τάξης των 10 16 cm -3 ). Εικόνα 3.12σελ 112 Το αντίθετο φαινόμενο παρατηρείται στη θερμοκρασία του απόλυτου μηδενός. Αν θεωρήσουμε έναν ημιαγωγό n-τύπου τότε κάθε στάθμη πρόσμιξης πρέπει να περιέχει ένα ηλεκτρόνιο ώστε nd = Nd ή N d + = 0. Απ την [ 5.20 ] εξάγουμε το συμπέρασμα ότι EF Ed που συνεπάγεται ότι η στάθμη Fermi απαντά πιο πάνω από τη στάθμη των δοτών. Ομοίως, σε έναν ημιαγωγό p-τύπου, η στάθμη Fermi απαντά κάτω από τη στάθμη των αποδεκτών. Πιο συγκεκριμένα, αποδεικνύεται ότι η E F απαντά στο μέσο της απόστασης Ec - Ed ( n-τύπος ) ή στο μέσο της απόστασης Ea- Ev ( p-τύπος ). Όπως παρατηρούμε και στην εικόνα.κανένα ηλεκτρόνιο της στάθμης των δοτών δεν έχει μεταπηδήσει θερμικά στη ζώνη αγωγιμότητας και κανένα ηλεκτρόνιο απ τη ζώνη σθένους δεν έχει 39

μεταπηδήσει θερμικά στη στάθμη των αποδεκτών. Το φαινόμενο αυτό καλείται πάγωμα των φορέων ( freeze out ). Eik;ona. 3.13sel 112. 0 0 Για θερμοκρασία Τ, με 0 T 300, συμβαίνει μερικός ιονισμός των ατόμων δοτών και αποδεκτών. 5.6 COMPENSATED SEMICONDUCTORS 5.6.1 ΟΡΙΣΜΟΣ Ως compensated ημιαγωγός ορίζεται ένα ημιαγώγιμο υλικό το οποίο περιέχει, στην ίδια περιοχή, τόσο άτομα δότες όσο και άτομα αποδέκτες. Αν Nd Na τότε ονομάζεται compensated ημιαγωγός n-τύπου ενώ αν Na Nd ονομάζεται compensated ημιαγωγός p-τύπου. Στην περίπτωση που Nd = Na τότε προκύπτει ένας πλήρως compensated ημιαγωγός ο οποίος έχει τα χαρακτηριστικά ενός ενδογενούς. Η εικόνα.δίνει το διάγραμμα των ζωνών στην περίπτωση ενός compensated ημιαγωγού. 5.6.2 ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΣΥΓΚΕΝΤΡΩΣΗΣ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΩΝ ΚΑΙ ΟΠΩΝ Η συγκέντρωση των ηλεκτρονίων ( n 0 ) σε ένα compensated ημιαγωγό n-τύπου δίνεται από την ακόλουθη εξίσωση : n 0 ( ) ( Nd -Na) Nd -Na = + 2 + 2 2 n 2 i [ 5.25 ] όπου N d, N a οι συγκεντρώσεις δοτών και αποδεκτών και n i η ενδογενής συγκέντρωση των φορέων αγωγιμότητας. Ας σημειωθεί ότι η εξίσωση αυτή ισχύει και για την περίπτωση που N a = 0. Τα ηλεκτρόνια είναι οι φορείς πλειοψηφίας. Η συγκέντρωση των φορέων μειοψηφίας υπολογίζεται έμμεσα ως : p 0 2 n i = [ 5.26 ] n 0 40

Όπως ήδη έχουμε αναφέρει, η προσθήκη ατόμων δοτών αυξάνει την συγκέντρωση των ηλεκτρονίων στη ζώνη αγωγιμότητας πάνω από την ενδογενή συγκέντρωση. Συγχρόνως, η συγκέντρωση των οπών στη ζώνη σθένους μειώνεται σε τιμή κατώτερη της ενδογενούς. Η προσθήκη των προσμίξεων έχει σαν αποτέλεσμα την ανακατανομή των ηλεκτρονίων στις διαθέσιμες ενεργειακές στάθμες ( εικόνα. ) Εικόνα 3.15 σελ 117. Κάποια από τα ηλεκτρόνια που προκύπτουν από τον ιονισμό των δοτών θα μεταπέσουν σε οπές της ζώνης σθένους και θα τις εκμηδενίσουν. Επομένως δε συνεισφέρουν όλα στην αγωγιμότητα του υλικού. Η συγκέντρωση των ηλεκτρονίων στη ζώνη αγωγιμότητας δεν ισούται απλά με το άθροισμα της συγκέντρωσης των ηλεκτρονίων που προκύπτουν από τον ιονισμό των δοτών και της ενδογενούς συγκέντρωσης. Η συγκέντρωση των οπών ( p 0 ) σε ένα compensated ημιαγωγό p-τύπου δίνεται από την εξίσωση : p 0 ( ) Na-Nd Na-Nd = + 2 + 2 2 n 2 i [ 5.27 ] η οποία ισχύει και για N d = 0. Η συγκέντρωση των φορέων μειοψηφίας υπολογίζεται έμμεσα ως : n 0 2 n i = [ 5.28 ] p 5.6.3 Η ΕΠΙΔΡΑΣΗ ΤΗΣ ΘΕΡΜΟΚΡΑΣΙΑΣ ΣΤΟΥΣ ΕΞΩΓΕΝΕΙΣ ΗΜΙΑΓΩΓΟΥΣ Είδαμε στην παράγραφο 5.4.2 ότι η ενδογενής συγκέντρωση ( n i ) είναι ισχυρή συνάρτηση της θερμοκρασίας. Καθώς η θερμοκρασία αυξάνεται, επιπρόσθετα ζεύγη οπών ηλεκτρονίων δημιουργούνται 2 θερμικά και τότε ο όρος n i της [ 5.25 ] κυριαρχεί. Από κάποια τιμή της θερμοκρασίας και έπειτα, ο ημιαγωγός χάνει τον εξωγενή του χαρακτήρα. Στην εικόνα..δίνεται η μεταβολή της συγκέντρωσης των ηλεκτρονίων συναρτήσει της θερμοκρασίας στην περίπτωση πυριτίου 14 3 νοθευμένου με άτομα δότες συγκέντρωσης N = 5 10 cm. 0 d 41

Εικόνα. 3.16 σελ 117. Η μετατροπή των ημιαγωγών πρόσμιξης σε ενδογενής ημιαγωγούς με την αύξηση της θερμοκρασίας έχει μεγάλη πρακτική σημασία διότι επιβάλλει ένα μέγιστο θερμοκρασιακό όριο για τη χρησιμοποίηση των ημιαγώγιμων διατάξεων. 5.7 ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΘΕΣΗΣ ΤΗΣ ΣΤΑΘΜΗΣ FERMI Υποθέτοντας ότι ο ημιαγωγός δεν είναι εκφυλισμένος, από την [ 5.7 ] λύνοντας ως προς ( E - E ) έχουμε : c F Nc Ec- EF = kt ln ζ φ ηn [ 5.29 ] ηθ ψχ 0 όπου το n 0 υπολογίζεται από την [ 5.25 ]. Στην περίπτωση ενός ημιαγωγού n-τύπου, όπου n @ N οπότε : 0 d Nd n, ισχύει i ζn φ c Ec- EF = kt ln η [ 5.30 ] ηθn χψ Απ την [ 5.30 ] μπορούμε να εξάγουμε το συμπέρασμα ότι όταν η συγκέντρωση των δοτών αυξάνει τότε η E F πλησιάζει τη ζώνη αγωγιμότητας και το αντίστροφο. Στην περίπτωση compensated ημιαγωγού αντικαθιστούμε στην ως άνω εξίσωση το N d με τη διαφορά Nd - Na. Ας σημειωθεί ότι οι ημιαγωγοί αυτού του τύπου συνήθως χρησιμοποιούνται για τη δημιουργία υλικού με συγκεκριμένη στάθμη Fermi. Μπορούμε, επίσης, να υπολογίσουμε τη διαφορά μεταξύ της στάθμης Fermi και της ενδογενούς στάθμης Fermi ( E Fi ) ως συνάρτηση της συγκέντρωσης των δοτών : d n - [ 5.31 ] ψ 0 EF EFi = kt ln ζ φ η ηθn χ i όπου πάλι το n 0 δίνεται από την [ 5.25 ]. 42

Χρησιμοποιώντας τις ίδιες παραδοχές μπορούμε να καταλήξουμε σε ανάλογους φορμαλισμούς για την περίπτωση ενός ημιαγωγού p-τύπου. ζn φ v EF - Ev = kt ln η [ 5.32 ] ηθp ψχ 0 και αν Na ni τότε : Nv E - F Ev = kt lnη ζ φ ηθ χψ ln ζn φ EF Ev = kt v η ηθn χψ - [ 5.33 ] Όταν η συγκέντρωση των αποδεκτών αυξάνει, η στάθμη Fermi πλησιάζει τη ζώνη σθένους και αντίστροφα. Στην περίπτωση ενός compensated ημιαγωγού, αντικαθιστούμε το N a με τη διαφορά Na - Nd. Επίσης ισχύει : a 0 Fi - F = ln η [ 5.34 ] ηθn χ i ψ E E kt ζp χ φ η όπου το p 0 δίνεται από την εξίσωση [ 5.27 ]. Από τις εξισώσεις [ 3.65 ] & [ 3.68 ] προκύπτει ότι σε έναν ημιαγωγό n- τύπου ( n0 ni ) ισχύει EF EFi και σε έναν ημιαγωγό p-τύπου ( p0 ni ) ισχύει EF EFi. Εικόνα. 3.17 σελ 122. 5.8 ΜΕΤΑΒΟΛΗ ΤΗΣ ΣΤΑΘΜΗΣ FERMI ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙ ΤΗΣ ΘΕΡΜΟΚΡΑΣΙΑΣ ΚΑΙ ΤΗΣ ΣΥΓΚΕΝΤΡΩΣΗΣ ΤΩΝ ΠΡΟΣΜΙΞΕΩΝ Η μεταβολή της θέσης της στάθμης Fermi συναρτήσει της συγκέντρωσης των προσμίξεων δίνεται στην εικόνα.. Εικόνα 3.18 σελ 124. 43

Καθώς η συγκέντρωση των προσμίξεων αυξάνει, η στάθμη Fermi μετατοπίζεται προς την ζώνη αγωγιμότητας ( n-τύπος ) ή προς τη ζώνη σθένους ( p-τύπος ). Η εικόνα.δίνει την μεταβολή της θέσης της ενέργειας Fermi με τη θερμοκρασία στην περίπτωση του πυριτίου και για διάφορες τιμές συγκέντρωσης δοτών και αποδεκτών. Εικόνα. 3.19 σελ 124. Αυξανομένης της θερμοκρασίας το n i αυξάνει και η E F πλησιάζει την E Fi. Σε υψηλές θερμοκρασίες το υλικό αρχίζει να χάνει τα εξωγενή χαρακτηριστικά του και μετατρέπεται σε ενδογενή ημιαγωγό. Σε πολύ χαμηλές θερμοκρασίες εμφανίζεται freeze out οπότε και η προσέγγιση Boltzman παύει να έχει ισχύ. Σε αυτές τις θερμοκρασίες η E F βρίσκεται πάνω από την E d ( n-τύπος ) ή κάτω από την E a ( p-τύπος ). Στη θερμοκρασία του απόλυτου μηδενός όλες οι ενεργειακές στάθμες κάτω από την στάθμη Fermi είναι κατειλημμένες και όλες οι ενεργειακές στάθμες πάνω από την στάθμη Fermi κενές. 6 ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΦΟΡΕΩΝ ΑΓΩΓΙΜΟΤΗΤΑΣ 6.1 ΟΛΙΣΘΗΣΗ ΦΟΡΕΩΝ 6.1.1 ΟΡΙΣΜΟΣ Αν σε έναν ημιαγωγό εφαρμόσουμε ηλεκτρικό πεδίο, το πεδίο αυτό θα παράγει μια δύναμη που θα ενεργεί στα ηλεκτρόνια και στις οπές του. Υπό την προϋπόθεση ότι υπάρχουν διαθέσιμες ενεργειακές στάθμες στη ζώνη αγωγιμότητας και στη ζώνη σθένους, η δύναμη αυτή θα έχει σαν αποτέλεσμα την επιτάχυνση και μεταφορά των φορέων φορτίου. Η μεταφορά φορέων που οφείλεται σε εφαρμογή ηλεκτρικού πεδίου καλείται ολίσθηση ( drift ) και συνεπάγεται τη δημιουργία, εντός του ημιαγωγού, ηλεκτρικού ρεύματος το οποίο ονομάζεται ρεύμα ολίσθησης ( drift current ). 6.1.2 ΠΥΚΝΟΤΗΤΑ ΡΕΥΜΑΤΟΣ ΟΛΙΣΘΗΣΗΣ ΚΑΙ ΚΙΝΗΤΙΚΟΤΗΤΑ ΦΟΡΕΩΝ 44

Ας θεωρήσουμε έναν όγκο με πυκνότητα φορτίου r. Έστω ότι τα φορτία αυτά είναι θετικά και κινούνται με μέση ταχύτητα ολίσθησης u d. Τα ως άνω ισοδυναμούν με ρεύμα ολίσθησης πυκνότητας J drf ( amps/ cm 2 ή coul/ cm 2 sec ) : J drf = ru [ 6.1 ] d Αν υποθέσουμε ότι τα φορτία είναι οπές τότε : J \ = ( ep) ud [ 6.2 ] p drf Η εξίσωση κίνησης, παρουσία ηλεκτρικού πεδίου, μιας οπής είναι : * F = m p a = ee [6.3 ] * όπου e το στοιχειώδες ηλεκτρικό φορτίο, a η επιτάχυνση, m p η ενεργός μάζα της οπής και E η ένταση του ηλεκτρικού πεδίου. Θα περιμέναμε λοιπόν, δεδομένου ότι το πεδίο E διατηρείται σταθερό, γραμμική με το χρόνο αύξηση της ταχύτητας των οπών. Κάτι τέτοιο όμως δεν παρατηρείται στην πράξη. Οι φορείς αγωγιμότητας εμπλέκονται σε συγκρούσεις με τα άτομα του πλέγματος που υφίστανται θερμικές δονήσεις και με τα ιονισμένα άτομα πρόσμιξης. Η προκαλούμενη σκέδαση των φορέων μεταβάλλει τα χαρακτηριστικά της ταχύτητάς τους. Καθώς, υπό την επίδραση του πεδίου, η οπή επιταχύνεται εντός του κρυστάλλου, η ταχύτητά της αυξάνει. Όταν συγκρουσθεί π.χ. με ένα άτομο του κρυστάλλου χάνει την ενέργειά της ή σημαντικό ποσοστό αυτής. Εν συνεχεία επιταχύνεται ξανά και αυξάνει την ενέργειά της ως την επόμενη σκέδαση. Η διαδικασία αυτή συνεχίζεται αδιάλειπτα. Μπορούμε να δεχθούμε ότι κατά τη διάρκεια της διαδικασίας αυτής η οπή αποκτά μια μέση ταχύτητα ολίσθησης η οποία, για χαμηλά ηλεκτρικά πεδία, είναι ευθέως ανάλογη του ηλεκτρικού πεδίου. Ισχύει : u dp = me [ 6.4 ] p όπου m p ο συντελεστής αναλογίας. Ονομάζεται κινητικότητα της οπής ( hole mobility ), είναι θετική ποσότητα και έχει μονάδες μέτρησης συνήθως cm 2 / Vsec. Η κινητικότητα είναι σημαντική παράμετρος του 45