Ηλεκτρονική δομή ημιαγωγών-περίληψη. Σχέση διασποράς για ελεύθερα ηλεκτρόνια στα μέταλλα-

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Ηλεκτρονική δομή ημιαγωγών-περίληψη. Σχέση διασποράς για ελεύθερα ηλεκτρόνια στα μέταλλα-"

Ēᾍιδης Παπαγεωργίου
7 χρόνια πριν
Προβολές:

1 E. K. Παλούρα Οπτοηλεκτρονική_semis_summary.doc Ηλεκτρονική δομή ημιαγωγών-περίληψη Σχέση διασποράς για ελεύθερα ηλεκτρόνια στα μέταλλα- Η κυματοσυνάρτηση ψ(r) του ελεύθερου e είναι λύση της Schrödinger: H ψ ( r ) h n + V ( r ) ψ n( r ) Enψ n( r m n όπου Ε n ιδιοτιμές του ηλεκτρονίου. ) Για ελεύθερο ηλεκτρόνιο : V (r) 0 h ψn(r) Enψn(r) m Υποθέτουμε λύση της μορφής επίπεδου κύματος: ψ ( r) ψ ir o e Αντικαθιστούμε την ψ (r) στην Schrödinger E n h m p m συνεχής κατανομή ενεργειών δεν προβλέπεται η ύπαρξη χασμάτων. Στο μοντέλο του ελεύθερου ηλεκτρονίου η σχέση Ε- είναι παραβολική. Σελίδα 1 από 9

2 E. K. Παλούρα Οπτοηλεκτρονική_semis_summary.doc Απλοποίηση : Το πρόβλημα σε 1D: το ηλεκτρόνιο περιορίζεται σε μεταλλικό σύρμα μήκους L το φράγμα δυναμικού είναι ix Υποθέτουμε λύση : x) ψ e ψ ( cos x isin x) ψn ( o ο x + x Οριακές συνθήκες: ψ n (0)ψ n (L)0 ψ ( x) sin xx n ψ o Επειδή ψ(l)0 x nπ όπου n1,,3 L nπx ψn (x) ψο sin στάσιμο κύμα L E n nπ h η ενέργεια είναι κβαντισμένη m L H συνεχής γραμμή ελεύθερο Μεταβολή της Ε συναρτήσει της ορμής p, όπου α (L) είναι το εύρος του πηγαδιού. ηλεκτρόνιο και τα σημεία ηλεκτρόνιο περιορισμένο στην 1 διάσταση (σημεία). Αυξανομένου του εύρους α του πηγαδιού δυναμικού τα σημεία πλησιάζουν μεταξύ τους και προς την αρχή των αξόνων. Σελίδα από 9

E. K. Παλούρα Οπτοηλεκτρονική_semis_summary.doc Για να τακτοποιηθούν τα Ν ηλεκτρόνια χρειαζόμαστε n F το πλήθος στάθμες εκ των οποίων η κάθε μία δέχεται ηλεκτρόνια n F N.

3 E. K. Παλούρα Οπτοηλεκτρονική_semis_summary.doc Για να τακτοποιηθούν τα Ν ηλεκτρόνια χρειαζόμαστε n F το πλήθος στάθμες εκ των οποίων η κάθε μία δέχεται ηλεκτρόνια n F N. Η ενέργεια της Fermi είναι: E F h m nfπ L h m Nπ L Το ηλεκτρόνιο σε στερεό σώμα. Ενεργειακές ταινίες στα στερεάεπίδραση της συμμετρίας-θεώρημα Bloch Όταν ένα ηλεκτρόνιο βρίσκεται σε στερεό, το δυναμικό V (r) στην εξίσωση Schrödinger περιλαμβάνει την αλληλεπίδραση του ηλεκτρονίου τόσο με τα ιόντα όσο και με τα άλλα ηλεκτρόνια. h m + V(r) ψ(r) Eψ(r) Το περιοδικό δυναμικό του κρυστάλλου που βλέπει το e Περιοδικότητα του δυναμικού V (r + R) V(r) όπου R είναι διάνυσμα του πλέγματος. Θεώρημα Bloch: συνδέει την τιμή της κυματοσυνάρτησης σε κάποια μοναδιαία κυψελίδα με αυτή σε ισοδύναμο σημείο κάποιας άλλης κυψελίδας. Σελίδα 3 από 9

4 E. K. Παλούρα Οπτοηλεκτρονική_semis_summary.doc Θεώρημα Bloch η λύση της Schrοdinger για περιοδικό δυναμικό είναι ir ψ ( r) e u(r) δηλ. οδεύον κύμα με πλάτος που διαμορφώνεται από τη συνάρτηση u (r) που έχει την ίδια συμμετρία με το πλέγμα Επειδή το ηλεκτρόνιο συμπεριφέρεται ως κύμα με π κυματοδιάνυσμα έχει μήκος κύματος λ και ορμή p h Η συνάρτηση Bloch είναι μη-εντοπισμένη το ηλεκτρόνιο ανήκει σε ολόκληρο τον κρύσταλλο. Ενεργειακές ταινίες ποιο είναι το φάσμα των ενεργειών που προκύπτουν από την επίλυση της Schrödinger? Αν αντικαταστήσουμε στην Schrödinger τη συνάρτηση Bloch, προκύπτει η εξίσωση ιδιοτιμών h m ( + i) + V(r ) u (r) E u (r) Που έχει πολλές λύσεις για κάθε πολλές διακριτές ενέργειες Ε 1, Ε κλπ που μεταβάλλονται συνεχώς με το ΤΑΙΝΙΕΣ Σελίδα 4 από 9

5 E. K. Παλούρα Οπτοηλεκτρονική_semis_summary.doc Οι ταινίες είναι άπειρες αλλά μόνον οι χαμηλότερες είναι κατηλειμμένες. Εμφανίζονται χάσματα και λόγω του διανυσματικού χαρακτήρα του η μορφή των ταινιών αλλάζει κατά τις x, y, z. Ιδιότητες συμμετρίας των ταινιών E-: Ε n (+G)E n () όπου G διάνυσμα του αντιστρόφου πλέγματος η Ε n () έχει την ίδια περιοδικότητα με το αντίστροφο πλέγμα. E n (-)E n () : έχουν συμμετρία αντιστροφής ως προς 0. H E n () έχει την ίδια συμμετρία περιστροφής με το ευθύ πλέγμα. Βήμα 1: Αποτέλεσμα των ιδιοτήτων συμμετρίας Περιορίζουν την περιοχή τιμών του όπου πρέπει να υπολογίσουμε την ενέργεια, π.χ λόγω συμμετρίας αντιστροφής υπολογίζουμε την Ε() μόνον στην μισή ΖΒ. Βήμα : Εισάγουμε το δυναμικό Το μοντέλο του σχεδόν ελεύθερου e. Yποθέτουμε ότι το δυναμικό του κρυστάλλου είναι τόσο ασθενικό ώστε το e να συμπεριφέρεται σαν ελεύθερο και η επίδραση του πλέγματος εισάγεται σαν διαταραχή. Σελίδα 5 από 9

E. K. Παλούρα Οπτοηλεκτρονική_semis_summary.doc Ειδικότερα η επίδραση του δυναμικού του κρυστάλλου είναι: Αμελητέα για τα e που έχουν λ >> ενδοατομικής απόστασης α.

6 E. K. Παλούρα Οπτοηλεκτρονική_semis_summary.doc Ειδικότερα η επίδραση του δυναμικού του κρυστάλλου είναι: Αμελητέα για τα e που έχουν λ >> ενδοατομικής απόστασης α. Σε αυτή την περίπτωση η ενέργεια των e προσεγγίζεται ικανοποιητικά από την παραβολική προσέγγιση. Σημαντική για τα e με υψηλή E in ή ισοδύναμα μεγάλο ή ισοδύναμα μικρό λ. Στην μονοδιάστατη αλυσίδα για την οριακή περίπτωση που λ α ικανοποιείται η συνθήκη του Bragg τα κύματα ανακλώνται και δημιουργούνται στάσιμα κύματα. Η σχέση διασποράς για ελεύθερο και σχεδόν ελεύθερο ηλεκτρόνιο σε 1D σύστημα. Η συνθήκη για ανάκλαση Bragg ικανοποιείται όταν ±nπ/α, όπου α η πλεγματική σταθερά. Επίδραση του δυναμικού του κρυστάλλου: εισάγονται χάσματα στα σημεία όπου τέμνονται οι ζώνες, δηλ. στα σημεία όπου η επίδραση του πλέγματος είναι ισχυρή. Γιατί εμφανίζονται τα χάσματα? Λόγω των ανακλάσεων Bragg για ±nπ/α Σελίδα 6 από 9

7 E. K. Παλούρα Οπτοηλεκτρονική_semis_summary.doc Στα σημεία όπου συμβαίνει ανάκλαση κατά Bragg oι κυματοσυναρτήσεις είναι στάσιμα κύματα : ψ( + ) eiπ x / α + e iπx / α cos( πx / α) ψ( ) eiπ x / α e iπx / α i sin( πx / α) Αυτά τα στάσιμα κύματα συσσωρεύουν φορτίο σε διαφορετικές περιοχές έχουν διαφορετικές τιμές δυναμικής ενέργειας χάσματα. Πυκνότητα καταστάσεων g(e) Ορισμός ο αριθμός ενεργειακών καταστάσεων ανά μονάδα όγκου στην ενεργειακή περιοχή (E,E+dE) ή αριθμός e ή τροχιακών ανά μονάδα ενέργειας g (E) dn de g(e)de * 3 1 m π h 1 E Η g(e) είναι καθοριστική για τη συγκέντρωση φορέων είναι ιδιαίτερα σημαντική για τις ιδιότητες μεταφοράς. Σελίδα 7 από 9

8 E. K. Παλούρα Οπτοηλεκτρονική_semis_summary.doc Το πλήθος των e που καταλαμβάνουν τις διαθέσιμες καταστάσεις στην περιοχή ενεργειών (Ε,Ε+dE) είναι: dn(e)g(e)f(e)de όπου f(e) η πιθανότητα κατάληψης, δηλ. η κατανομή Fermi-Dirac. H g(e) εξαρτάται από τη μορφή των ταινιών και οι αποκλίσεις τους από τον παραβολικό χαρακτήρα επηρεάζουν και την πυκνότητα καταστάσεων. Στην παραβολική περιοχή των ταινιών Η g(e) E 1/ παραβολικό σχήμα Η g(e) m *3/ η g(e) με την m * Αυξανομένης της Ε παύει να ισχύει ο παραβολικός χαρακτήρας των ταινιών και στα όρια της ζώνης και μέσα στο χάσμα g(e)0. H g(e) αυξάνεται όταν αρχίζει η επόμενη ταινία. Η δυναμική ενεργός μάζα. m * h de d Δηλαδή το e-bloch συμπεριφέρεται σαν ελεύθερο e με mm *. Σελίδα 8 από 9

9 E. K. Παλούρα Οπτοηλεκτρονική_semis_summary.doc H m* είναι αντιστρόφως ανάλογη της καμπυλότητας των ταινιών. K 0 m* σταθερή. όταν και η m*. Για > C σημείο καμπής η m*<0. Γιατί?? για ±π/α το e υφίσταται επιβράδυνση από το πλέγμα. Σελίδα 9 από 9

Σχετικά έγγραφα

Ελεύθερα ηλεκτρόνια στα μέταλλα-σχέση διασποράς

Ελεύθερα ηλεκτρόνια στα μέταλλα-σχέση διασποράς Στόχος : Να εξηγήσουμε την επίδραση του δυναμικού του κρυστάλλου στις Ε- Ειδικώτερα: Το δυναμικό του κρυστάλλου 1. εισάγονται χάσματα στα σημεία όπου τέμνονται