ΤΟΠΟΛΟΓΙΕΣ ΣΕ ΧΩΡΟΥΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΣΤΑΘΟΠΟΥΛΟΥ ΑΡΧΟΝΤΟΥΛΑ

ΤΟΠΟΛΟΓΙΕΣ ΣΕ ΧΩΡΟΥΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΣΤΑΘΟΠΟΥΛΟΥ ΑΡΧΟΝΤΟΥΛΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΜΠΣ ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΑΤΡΑ 2009-2010

ΠΡΟΛΟΓΟΣ Η διπλωματική αυτή εργασία, ήρθε να κλείσει τον κύκλο σπουδών μου στον τομέα των θεωρητικών μαθηματικών, καθώς με αυτή ολοκληρώνεται η φοίτηση μου στο Τμήμα Μαθηματικών του Πανεπιστημίου Πατρών Η επιλογή του αντικειμένου ήταν κατά κάποιο τρόπο προκαθορισμένη, αφού τόσο στα προπτυχιακά, όσο και στα μεταπτυχιακά μαθήματα, τα θέματα που αφορούσαν στην τοπολογία, μου ενέπνευσαν το ενδιαφέρον Ευχαριστώ θερμά τον επιβλέποντά μου, επίκουρο καθηγητή του τμήματος κ Δημήτρη Γεωργίου για την καθοδήγησή του Η Μεταπτυχιακή Φοιτήτρια ΣΤΑΘΟΠΟΥΛΟΥ ΑΡΧΟΝΤΟΥΛΑ 2

Εισαγωγή Το 1946 ο R Arens εισήγαγε την έννοια της admissible τοπολογίας Επίσης τo 1951 οι R Arens και J Dugundji εισήγαγαν την έννοια της splitting τοπολογίας Οι τοπολογίες αυτές παίζουν σημαντικό ρόλο στην ανάπτυξη των χώρων συναρτήσεων Ακόμη, από τις πολύ γνωστές τοπολογίες είναι η compact-open τοπολογία που έχει οριστεί από τον R H Fox το 1945 και έχει παίξει σημαντικό ρόλο στην Ανάλυση και στον τομέα των διαφορικών εξισώσεων Αξίζει να αναφερθούν η τοπολογία της σημειακής σύγκλισης όπως επίσης και η τοπολογία που όρισε ο Isbell το 1975 και φέρει το όνομά του Για την τοπολογία αυτή χρησιμοποιήθηκε η Scott τοπολογία που όρισε το 1972 ο D Scott Πάρα πολλοί τοπολόγοι έχουν ασχοληθεί με τους χώρους συναρτήσεων και πολλές τοπολογίες με σημαντικές ιδιότητες έχουν προκύψει Η εργασία αυτή, αναφέρεται στις τοπολογίες σε χώρους συναρτήσεων και δομείται ως εξής : Το Κεφάλαιο 1 είναι μια εισαγωγή στους τοπολογικούς και δίνονται βασικές έννοιες της τοπολογίας Το Κεφάλαιο 2 αναφέρεται σε τοπολογίες σε χώρους συναρτήσεων και μελετώνται κυρίως η compactopen και η σημειακή ανοικτή τοπολογία Στο Κεφάλαιο 3 μελετώνται οι συνδετικά συνεχείς και διαχωριστικές τοπολογίες Στο Κεφάλαιο 4 μελετώνται οι τοπολογίες Scott και Isbell Το Κεφάλαιο 5 αναφέρεται σε ανοικτά προβλήματα των χώρων συναρτήσεων Για μια σύντομη αναφορά στις έννοιες των χώρων συναρτήσεων και των ανοικτών προβλημάτων που υπάρχουν σήμερα, μπορεί κανείς να ανατρέξει στην εργασία [28] που αναφέρεται στη βιβλιογραφία Επίσης, στο τέλος της διπλωματικής εργασίας, υπάρχει εκτενής βιβλιογραφία, που αναφέρεται στις έννοιες των χώρων συναρτήσεων και των ανοιχτών προβλημάτων 3

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 15 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΤΟΠΟΛΟΓΙΑΣ5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 212 ΤΟΠΟΛΟΓΙΕΣ ΣΕ ΧΩΡΟΥΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ12 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 324 ΔΙΑΧΩΡΙΣΤΙΚΕΣ ΚΑΙ ΣΥΝΔΕΤΙΚΑ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΤΟΠΟΛΟΓΙΕΣ24 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 430 Η ISBELL ΤΟΠΟΛΟΓΙΑ30 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 539 ΑΝΟΙΚΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ39 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ41 ` 4

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΤΟΠΟΛΟΓΙΑΣ Στο κεφάλαιο αυτό, αναφέρουμε βασικές έννοιες της τοπολογίας, τις οποίες εμείς χρησιμοποιούμε στην ανάπτυξη της διπλωματικής αυτής εργασίας Ο πρώτος αξιωματικός ορισμός των τοπολογικών χώρων προτάθηκε από τον Hausdorff το 1914 Ο Hausdorff ανέπτυξε μια ιδέα η οποία εμφανίζεται στις εργασίες του Hilbert (1902) και του Weyl (1913) Ένα άλλο σύστημα αξιωμάτων προτάθηκε από τον R L Moore το 1916 Μια λεπτομερής απόδοση της θεωρίας βασισμένης σε αυτά τα αξιώματα μπορεί να βρεθεί στο βιβλίο του R L Moore (1962) Ο ορισμός του τοπολογικού χώρου, μέσω ενός κλειστού τελεστού, δόθηκε από τον Kuratowski το 1922 Ορισμός 11 Έστω ένα σύνολο Μια τοπολογία του είναι μια οικογένεια υποσυνόλων του που ικανοποιεί τα παρακάτω αξιώματα : (i) To και το κενό σύνολο κουν στην (ii) Η τομή πεπερασμένης οικογένειας στοιχείων της είναι στοιχείο της (δηλαδή, αν και τότε ) (iii) Η ένωση αυθαίρετης οικογένειας στοιχείων της είναι στοιχείο της (δηλαδή, αν είναι αυθαίρετο σύνολο δεικτών και για, τότε ) 5

Το ζεύγος (, ) λέγεται τοπολογικός χώρος Τα στοιχεία της λέγονται ανοικτά σύνολα ως προς την ή ανοικτά σύνολα του τοπολογικού χώρου (, ) ή απλώς ανοικτά σύνολα Ένα υποσύνολο ενός τοπολογικού χώρου καλείται κλειστό εάν το σύνολο είναι ανοικτό Η ιδιότητα (ii) μπορεί να αντικατασταθεί από την ισοδύναμη ιδιότητα : (ii ) Η τομή δύο στοιχείων της είναι στοιχείο της (δηλαδή, αν, τότε ) Σε ότι ακολουθεί, αντί της έκφρασης << ο τοπολογικός χώρος (, ) >> πολλές φορές λέμε << η είναι τοπολογία επί του >> ή << ο χώρος είναι εφοδιασμένος με την τοπολογία >> Όταν η τοπολογία επί ενός συνόλου είναι γνωστή ή δεν υπάρχει κίνδυνος σύγχυσης, απλά λέμε << ο τοπολογικός χώρος >> ή << ο χώρος >> Ανάλογα με την περίπτωση των μετρικών χώρων, σ ένα σύνολο είναι δυνατόν να ορίζονται διαφορετικές μεταξύ τους τοπολογίες,, οπότε προκύπτουν διαφορετικοί μεταξύ τους τοπολογικοί χώροι (,, Παράδειγμα 12 Έστω τυχαίο σύνολο Συμβολίζουμε με το σύνολο όλων των υποσυνόλων του Είναι προφανές ότι το σύνολο αυτό είναι τοπολογία επί του Η τοπολογία αυτή καλείται διακριτική τοπολογία και ο χώρος ( διακριτικός χώρος Παράδειγμα 13 Έστω τυχαίο σύνολο Συμβολίζουμε με το σύνολο το αποτελούμενο από το και, δηλαδή Είναι προφανές ότι το σύνολο αυτό είναι τοπολογία επί του καλούμενη τετριμμένη τοπολογία Στην περίπτωση αυτή ο χώρος ( καλείται τετριμμένος Παράδειγμα 14 Έστω ένα σύνολο αποτελούμενο από δύο σημεία και, δηλαδή και έστω Εύκολα επαληθεύεται ότι το σύνολο ικανοποιεί τα αξιώματα της τοπολογίας δηλαδή το ζεύγος ( είναι τοπολογικός χώρος Ο χώρος αυτός καλείται χώρος του Sierpinski Ορισμός 15 Έστω ένα σύνολο και δύο τοπολογίες του Η είναι ασθενέστερη (ή μικρότερη) της αν κάθε ανοικτό σύνολο ως προς την είναι ανοικτό σύνολο και ως προς την δηλαδή αν Στην περίπτωση αυτή, η είναι ισχυρότερη (ή μεγαλύτερη) της Ο ορισμός αυτός εισάγει μια σχέση μερικής διάταξης στην οικογένεια όλων των τοπολογιών ενός συνόλου ( αν και μόνο αν ) 6

Παράδειγμα 16 Έστω ( ο τοπολογικός χώρος του παραδείγματος 14 Επί του ορίζουμε και μια άλλη τοπολογία θέτοντας Είναι προφανές ότι και, δηλαδή οι τοπολογίες και δεν συγκρίνονται Ορισμός 17 Έστω α σημείο του Κάθε ανοικτό σύνολο που περιέχει το α καλείται ανοικτή περιοχή ή απλώς περιοχή του α Ορισμός 18 Έστω τοπολογικός χώρος και υπάρχει ανοικτό σύνολο του τέτοιο ώστε είναι ανοικτό Ένα υποσύνολο του καλείται γειτονιά του εάν Παρατηρούμε ότι το σύνολο μπορεί να μην Ορισμός 19 Έστω Μ υποσύνολο του Ένα σημείο α του καλείται σημείο επαφής του Μ εάν κάθε ανοικτή περιοχή του α περιέχει σημείο του Μ, δηλαδή Ορισμός 110 Το σύνολο όλων των σημείων επαφής ενός υποσυνόλου Μ του καλείται κλειστή θήκη (ή περίβλημα) του Μ και συμβολίζεται με Το σύνολο είναι το μικρότερο κλειστό υποσύνολο του που περιέχει το Μ Ορισμός 111 Ένας τοπολογικός χώρος καλείται -χώρος εάν για κάθε δύο σημεία, διάφορα μεταξύ τους, υπάρχει ανοικτό σύνολο που περιέχει το ένα από τα παραπάνω σημεία και δεν περιέχει το άλλο Ορισμός 112 Ένας τοπολογικός χώρος καλείται -χώρος εάν για κάθε δύο σημεία, διάφορα μεταξύ τους, υπάρχει ανοικτό σύνολο που περιέχει το σημείο, δηλαδή το πρώτο, και δεν περιέχει το δεύτερο σημείο Πρόταση 113 Ένας τοπολογικός χώρος είναι -χώρος εάν και μόνο εάν για κάθε σημείο μονοσύνολο είναι κλειστό σύνολο το Απόδειξη Έστω ότι κάθε μονοσύνολο του είναι κλειστό Θεωρούμε δύο διάφορα μεταξύ τους σημεία Τότε, το σύνολο είναι ανοικτό, περιέχει το και δεν περιέχει το Άρα ο χώρος είναι -χώρος Αντιστρόφως, έστω ότι ο χώρος είναι -χώρος και έστω τυχαίο σημείο του Θα αποδείξουμε ότι το μονοσύνολο είναι κλειστό Πράγματι, για κάθε σημείο, διάφορου του υπάρχει ανοικτό σύνολο τέτοιο ώστε και Άρα, Τα σύνολα είναι κλειστά και Συνεπώς το σύνολο ως τομή κλειστών συνόλων είναι κλειστό σύνολο 7

Ορισμός 114 Ένας τοπολογικός χώρος είναι Hausdorff (ή χώρος ) αν για κάθε με υπάρχουν ανοικτά υποσύνολα του, ώστε και = Στην περίπτωση αυτή η τοπολογία του χώρου καλείται τοπολογία Hausdorff Είναι σαφές ότι κάθε είναι χώρος και κάθε είναι χώρος (το αντίστροφο δεν ισχύει) Επίσης, αν ο τοπολογικός χώρος (, ) είναι και είναι μια τοπολογία του μεγαλύτερη της τότε και ο χώρος (, είναι Ορισμός 115 Ένας τοπολογικός χώρος είναι χώρος, αν για κάθε κλειστό υποσύνολο του και για κάθε ώστε, υπάρχουν ανοικτά υποσύνολα του, ώστε, και = Ορισμός 116 Ένας τοπολογικός χώρος καλείται κανονικός (regular) χώρος, εάν αυτός είναι ταυτοχρόνως -χώρος και -χώρος Πρόταση 117 Κάθε κανονικός τοπολογικός χώρος είναι Απόδειξη Πράγματι, έστω ότι ο χώρος είναι κανονικός Θεωρούμε σημεία Το σύνολο είναι κλειστό διότι ο χώρος είναι -χώρος Οπότε από τον Ορισμό 115 υπάρχουν ανοικτά σύνολα Επειδή τα σύνολα πληρούν τις συνθήκες του Ορισμού 114 και συνεπώς ο είναι Hausdorff Το αντίστροφο δεν ισχύει, δηλαδή υπάρχει Hausdorff χώρος που δεν είναι κανονικός Παρατήρηση 118 Κάθε -χώρος δεν είναι Hausdorff Πρόταση 119 Έστω ένας τοπολογικός χώρος Τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα: I Ο είναι κανονικός χώρος II Για κάθε και κάθε περιοχή του υπάρχει περιοχή του ώστε III Για κάθε σύνολα υπάρχει μια βάση περιοχών του που αποτελείται από κλειστά Ορισμός 120 Έστω τοπολογικός χώρος και και δύο ξένα μεταξύ τους κλειστά υποσύνολα αυτού Λέγεται ότι τα σύνολα και διαχωρίζονται με συνάρτηση εάν υπάρχει συνεχής συνάρτηση του χώρου τέτοια ώστε για κάθε 8

Ορισμός 121 Ένας τοπολογικός χώρος καλείται - χώρος εάν για κάθε σημείο και για κάθε κλειστό σύνολο που δεν περιέχει το, τα σύνολα και διαχωρίζονται με συνάρτηση, δηλαδή υπάρχει του τέτοια ώστε για κάθε Ορισμός 122 Ένας τοπολογικός χώρος καλείται πλήρως κανονικός ή χώρος Tychonoff εάν ο χώρος αυτός είναι ένας - χώρος και - χώρος Ορισμός 123 Ένας τοπολογικός χώρος είναι αν για κάθε κλειστά υποσύνολα του ώστε = υπάρχουν ανοικτά υποσύνολα του, ώστε, και = Ορισμός 124 Ένας τοπολογικός χώρος καλείται φυσικός χώρος εάν είναι -χώρος και -χώρος Παρατήρηση 125 Κάθε φυσικός χώρος είναι κανονικός χώρος Πρόταση 126 Έστω τοπολογικός χώρος Τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα : I Ο είναι II Για κάθε κλειστό και ανοικτό, ώστε, υπάρχει ανοικτό ώστε Ορισμός 127 Έστω, τοπολογικοί χώροι, μια συνάρτηση και Η είναι συνεχής στο αν για κάθε περιοχή του υπάρχει περιοχή του, ώστε Η είναι συνεχής αν είναι συνεχής σε κάθε σημείο Θεώρημα 128 Έστω, τοπολογικοί χώροι, ισοδύναμα μια συνάρτηση Τα ακόλουθα είναι I Η είναι συνεχής II Για κάθε ανοικτό υποσύνολο του, το είναι ανοικτό υποσύνολο του III Για κάθε κλειστό υποσύνολο του, το είναι κλειστό υποσύνολο του 9

Ορισμός 129 Έστω τοπολογικός χώρος Ένα υποσύνολο του καλείται βάση της τοπολογίας ή βάση του χώρου εάν κάθε μη κενό ανοικτό υποσύνολο του είναι ένωση στοιχείων του Σημειώνουμε ότι κάθε χώρος έχει τουλάχιστον μια βάση πχ το σύνολο Τα στοιχεία της είναι βασικά (ανοικτά) σύνολα του (, ) Πολλές φορές λέμε ότι << η είναι μια βάση του χώρου >> ή ότι << η βάση παράγει την τοπολογία >> Σύμφωνα με τον ορισμό που μόλις δόθηκε, κάθε ανοικτό σύνολο είναι ένωση στοιχείων της βάσης Επίσης, οι ενώσεις στοιχείων της βάσης είναι ανοικτά σύνολα, εφ όσον Επομένως τα ανοικτά σύνολα είναι ακριβώς οι ενώσεις των βασικών ανοικτών συνόλων Με αυτόν τον τρόπο λοιπόν μια βάση παράγει την τοπολογία Πρόταση 130 Έστω (, ) τοπολογικός χώρος και Τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα : (i) Η είναι μια βάση για την (ii) Για κάθε και x υπάρχει Β ώστε x Β Πρόταση 131 Έστω (, ) τοπολογικός χώρος, μια βάση για την και ισοδύναμα : Τα ακόλουθα είναι (i) Το είναι ανοικτό (ii) Για κάθε x υπάρχει Β ώστε x Β Ορισμός 132 Έστω υποσύνολο της τοπολογίας ενός χώρου Το σύνολο καλείται υποβάση της τοπολογίας ή του χώρου ) εάν το σύνολο το αποτελούμενο από τις πεπερασμένες τομές στοιχείων ου είναι βάση της τοπολογίας Παρατηρούμε ότι μια τοπολογία γενικά έχει πολλές υποβάσεις που την παράγουν Αλλά, είναι σαφές από τον ορισμό, ότι αν μια οικογένεια είναι υποβάση για κάποια τοπολογία, τότε η τοπολογία αυτή καθορίζεται κατά τρόπο μοναδικό από την Θεώρημα 133 Ένα υποσύνολο του είναι βάση του χώρου εάν και μόνο εάν για κάθε και για κάθε ανοικτή περιοχή του υπάρχει στοιχείο του τέτοιο ώστε Συμβολισμός 134 10

Έστω, σύνολα και το καρτεσιανό γινόμενο των συνόλων αυτών Η συνάρτηση : με για είναι η -προβολή ή προβολή -τάξης για αντίστοιχα Ορισμός 135 Έστω και,,, τοπολογικοί χώροι Η οικογένεια είναι βάση για μια (μοναδική) τοπολογία του καρτεσιανού γινομένου Η τοπολογία λέγεται καρτεσιανή τοπολογία ή τοπολογία γινόμενο του και η οικογένεια κανονική βάση της καρτεσιανής τοπολογίας του Ορισμός 136 Ένα σύνολο ενός τοπολογικού χώρου καλείται κάλυμμα του εάν η ένωση όλων των στοιχείων του είναι το Το κάλυμμα καλείται ανοικτό (αντίστοιχα, κλειστό ) εάν όλα τα στοιχεία του είναι ανοιχτά (αντίστοιχα, κλειστά ) Ένα κάλυμμα του καλείται υποκάλυμμα του καλύμματος εάν κάθε στοιχείο του είναι στοιχείο του Δηλαδή, Ορισμός 137 Ένας τοπολογικός χώρος είναι συμπαγής αν για κάθε ανοικτό κάλυμμα του υπάρχει ένα πεπερασμένο υποκάλυμμα (δηλαδή υπάρχουν ώστε = Ένα υποσύνολο ενός τοπολογικού χώρου είναι σχετικά συμπαγές αν το τοπολογία είναι συμπαγής χώρος με τη σχετική Πρόταση 138 Έστω συμπαγής χώρος και κλειστό υποσύνολο του Τότε, ο είναι συμπαγής υπόχωρος του Ορισμός 139 Έστω ένα σύνολο Μια οικογένεια πεπερασμένης τομής αν για κάθε υποσυνόλων του έχει την ιδιότητα της Πρόταση 140 Έστω τοπολογικός χώρος Οι επόμενες προτάσεις είναι ισοδύναμες I Ο είναι συμπαγής 11

II Για κάθε οικογένεια πεπερασμένης τομής ισχύει από κλειστά υποσύνολα του με την ιδιότητα της Ορισμός 141 Έστω τοπολογικός χώρος και Η οικογένεια είναι μια τοπολογία του, η σχετική τοπολογία του ως προς Ο τοπολογικός χώρος (, καλείται υπόχωρος του Τα στοιχεία της είναι ανοικτά στο Αντίστοιχα, αν και κλειστό ως προς την, τότε το είναι κλειστό στο Ορισμός 142 Ένας τοπολογικός χώρος είναι k-χώρος αν τα ανοικτά υποσύνολά του είναι τα, με την ιδιότητα το να είναι ανοικτό στο για κάθε συμπαγές υποσύνολο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΤΟΠΟΛΟΓΙΕΣ ΣΕ ΧΩΡΟΥΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Έστω τοπολογικοί χώροι Με συμβολίζουμε το σύνολο των συνεχών απεικονίσεων από το χώρο στο χώρο Αν t είναι τοπολογία επί του συνόλου, τότε τον αντίστοιχο τοπολογικό χώρο τον συμβολίζουμε με Έστω υποσύνολο του και υποσύνολο του Θέτουμε (, )= : } 12

Εάν ={x}, τότε γράφουμε (x, ) αντί ({x}, ) Έστω τοπολογικός χώρος Με (αντίστοιχα, ( )) συμβολίζουμε το σύνολο όλων των ανοιχτών (αντίστοιχα, συμπαγών υποσυνόλων του ) Στα επόμενα με συμβολίζουμε δύο τυχαίους τοπολογικούς χώρους Η συμπαγής ανοικτή τοπολογία ορίστηκε το 1945 από τον RH Fox ως εξής : Ορισμός 21 Έστω και τοπολογικοί χώροι Η τοπολογία επί του που έχει ως υποβάση τα σύνολα (, ), όπου Κ και U (, καλείται συμπαγής ανοικτή τοπολογία επί του και συμβολίζεται με Θεώρημα 22 Έστω Τότε, ισχύουν οι παρακάτω προτάσεις : (1) (2) (3) (4) Στο χώρο έχουμε (, ), ( )) Απόδειξη : (1) Έστω Τότε ) (2) Έστω 13

Τότε (3) Έστω Τότε, ) (4) Αρκεί να αποδείξουμε ότι αν, τότε Έ ) Τότε, για κάποιο Οπότε, το σύνολο είναι ανοικτή περιοχή της απεικόνισης στο χώρο (Y, Z) Επειδή Θεώρημα 23 Για κάθε θεωρούμε τη σταθερή απεικόνιση : για κάθε Η απεικόνιση είναι ομοιομορφισμός του επί ενός υποχώρου του Απόδειξη: Έστω Δεν είναι δύσκολο να αποδείξει κανείς ότι η απεικόνιση είναι 1-1, επί και συνεχής Επίσης η είναι συνεχής Άρα η είναι ομοιομορφισμός Θεώρημα 24 Ο χώρος είναι Hausdorff εάν και μόνο εάν ο είναι Hausdorff 14

Απόδειξη: Έστω ότι ο χώρος είναι Hausdorff Από το θεώρημα 23 ο χώρος Ζ είναι ομοιόμορφος με υπόχωρο του Συνεπώς, ο χώρος είναι επίσης Hausdorff Αντιστρόφως, έστω ότι ο χώρος είναι Hausdorff Έστω Τότε, υπάρχει τέτοιο ώστε Επειδή ο χώρος είναι Hausdorff, υπάρχουν ανοικτά σύνολα και του χώρου τέτοια ώστε και = Προφανώς και Συνεπώς, ο χώρος είναι Hausdorff Θεώρημα 25 Ο χώρος Απόδειξη: Έστω ότι ο χώρος κανονικός είναι κανονικός εάν και μόνο εάν ο είναι κανονικός είναι κανονικός Όπως και στο θεώρημα 24, ο χώρος είναι Αντιστρόφως, έστω ότι ο χώρος είναι κανονικός και έστω και Τότε, Επειδή το είναι συμπαγές υποσύνολο του κανονικού χώρου, υπάρχει ανοικτό σύνολο του τέτοιο ώστε Οπότε, Επίσης επειδή ο είναι -χώρος, ο χώρος -χώρος Η απόδειξη αυτού είναι ανάλογη της απόδειξης του Θεωρήματος 24 Συνεπώς ο χώρος είναι κανονικός είναι Θεώρημα 26 Έστω -χώρος, συμπαγής υπόχωρος του και Β κλειστό υποσύνολο του τέτοιο ώστε = Τότε, υπάρχει συνεχής συνάρτηση τέτοια ώστε για κάθε και για κάθε Β Θεώρημα 27Ο χώρος είναι Tychonoff εάν και μόνο εάν ο είναι Tychonoff Παρατήρηση 28 Εάν ο είναι φυσικός, τότε ο δεν είναι απαραίτητο πως είναι φυσικός Ορισμός 29 Η τοπολογία επί του που έχει ως υποβάση τα σύνολα ( ), καλείται σημειακή-ανοικτή τοπολογία επί του και συμβολίζεται με 15

Από τον παραπάνω ορισμό προκύπτει άμεσα το εξής θεώρημα Θεώρημα 210 Για τις τοπολογίες και επί του έχουμε Απόδειξη : Επειδή κάθε μονοσύνολο είναι συμπαγές, έπεται από τον ορισμό της το ζητούμενο Θεώρημα 211 Ο χώρος είναι ομοιόμορφος υποχώρου του χώρου γινόμενο, όπου για κάθε Απόδειξη : Θεωρούμε την απεικόνιση με για κάθε Η απεικόνιση είναι ομοιομορφισμός του επί του Θεώρημα 212 Αν ο χώρος είναι Hausdorff ή κανονικός ή Tychonoff, τότε και ο χώρος Hausdorff ή κανονικός ή Tychonoff, αντίστοιχα είναι Απόδειξη : Από το Θεώρημα 211, ο χώρος είναι ομοιόμορφος υποχώρου του χώρου γινόμενο, όπου, για κάθε Έστω ότι ο χώρος είναι Hausdorff Τότε και ο χώρος γινόμενο όπως και κάθε υπόχωρός του είναι Hausdorff Συνεπώς, και ο χώρος είναι Hausdorff Ανάλογα αποδεικνύεται το θεώρημα όταν ο χώρος είναι κανονικός ή Tychonoff Θεώρημα 213 Έστω τοπολογικός χώρος και με για κάθε, είναι συνεχής συνεχής απεικόνιση Τότε, η απεικόνιση Απόδειξη : Έστω (Z) και Τότε, 16

Δηλαδή Συνεπώς η είναι συνεχής Θεώρημα 214 Για κάθε και κλειστό το σύνολο είναι κλειστό στο Απόδειξη : Έχουμε Εφόσον το = \ είναι κλειστό για κάθε, το είναι κλειστό Πόρισμα 215 Για κάθε και κλειστό το σύνολο είναι κλειστό στο Πόρισμα 216 Εάν ο χώρος είναι, όπου, τότε ο χώρος, είναι επίσης Πόρισμα 217 Εάν ο χώρος είναι όπου, τότε ο χώρος, είναι επίσης Θεώρημα 218 Για κάθε η απεικόνιση με, για κάθε, είναι συνεχής Απόδειξη : Από το Θεώρημα 211, η όπου για κάθε, είναι συνεχής Επίσης η προβολή είναι συνεχής Οπότε, η είναι συνεχής Προφανώς,, για κάθε Συνεπώς, η είναι συνεχής Θεώρημα 219 Έστω Hausdorff χώρος και συμπαγές υποσύνολο του Τότε, το είναι κλειστό και για κάθε το σύνολο είναι συμπαγές υποσύνολο του Απόδειξη : Επειδή ο χώρος είναι Hausdorff, ο χώρος είναι επίσης Hausdorff Συνεπώς, το ως συμπαγές υποσύνολο Hausdorff χώρου είναι κλειστό Έστω Θεωρούμε την απεικόνιση : με, για κάθε Από το Θεώρημα 218, η απεικόνιση αυτή είναι συνεχής Συνεπώς το σύνολο είναι συμπαγές υποσύνολο του 17

Ορισμός 220 Μια ακολουθία απεικονίσεων ( όταν η ακολουθία συγκλίνει στο για κάθε, συγκλίνει σημειακά στην απεικόνιση Θεώρημα 221 Μια ακολουθία απεικονίσεων (, συγκλίνει σε μια απεικόνιση εάν και μόνο εάν η ( συγκλίνει σημειακά στην απεικόνιση Απόδειξη : Έστω μια ακολουθία απεικονίσεων ( συγκλίνει στο χώρο στην απεικόνιση Αποδεικνύουμε ότι η ( συγκλίνει σημειακά στην απεικόνιση Έστω και ( ) έτσι ώστε Τότε, Επειδή η ακολουθία ( συγκλίνει στο χώρο στην απεικόνιση, υπάρχει τέτοιος ώστε για κάθε Αυτό σημαίνει ότι, για κάθε δηλαδή η ακολουθία ( συγκλίνει σημειακά στην απεικόνιση Αντιστρόφως, έστω ότι μια ακολουθία ( συγκλίνει σημειακά στην απεικόνιση Αποδεικνύουμε ότι η ( συγκλίνει στο χώρο Έστω και ( ) έτσι ώστε Τότε Οπότε υπάρχει έτσι ώστε ( για κάθε Δηλαδή, η ( συγκλίνει στο χώρο στην απεικόνιση Έστω,, τρείς χώροι Για η σύνθεση ανήκει στο και ορίζει μια απεικόνιση : συνέχεια της Θα ερευνήσουμε τη Θεώρημα 222 (1) H είναι μια συνεχής απεικόνιση: για κάθε σταθεροποιημένη (2) Η είναι μια συνεχής απεικόνιση : για κάθε σταθεροποιημένη Θεώρημα 223 Έστω ότι οι είναι Hausdorff και τοπικά συμπαγής Τότε, η απεικόνιση είναι συνεχής 18

Ορισμός 224 Για κάθε δύο χώρους, η απεικόνιση καλείται απεικόνιση εκτίμησης με τύπο Θεώρημα 225 (1) Για κάθε σταθεροποιημένο η απεικόνιση : με τύπο είναι συνεχής Συμβολισμός (2) Εάν ο Y είναι τοπικά συμπαγής, τότε η : είναι συνεχής Δεδομένων τριών χώρων,, μια απεικόνιση ή ως μια οικογένεια απεικονίσεων μπορεί να θεωρηθεί ως μια απεικόνιση, με ως το χώρο παραμέτρων Έστω ότι η α : είναι συνεχής στο για κάθε σταθεροποιημένο Ο τύπος [ (x)] (y) =, ορίζει για κάθε σταθεροποιημένο μια (x): και έτσι (x) είναι μια απεικόνιση : Αντιστρόφως, δεδομένης μιας :, ο τύπος ορίζει μια α : συνεχή στο για κάθε σταθεροποιημένο Δύο απεικονίσεις α : και :, που σχετίζονται μέσω του παραπάνω τύπου, καλούνται συσχετισμένες Θεώρημα 226 (1) Εάν η α : είναι συνεχής, τότε η : είναι επίσης συνεχής (2) Εάν η είναι συνεχής και αν ο είναι τοπικά συμπαγής, τότε η α : είναι επίσης συνεχής Πόρισμα 227 Εάν : είναι συνεχής και εάν είναι κ-χώρος, τότε η α : είναι συνεχής 19

Θεώρημα 228 Έστω ένας -χώρος και ένας τοπικά συμπαγής χώρος Τότε, ο είναι ένας -χώρος Για τους χώρους που θεωρήσαμε προηγουμένως, ο μόνος περιορισμός για τον, ήταν να είναι Hausdorff Από εδώ και πέρα, θα υποθέτουμε ότι ο είναι ένας μετρικός χώρος Το γεγονός ότι κάποιο δεδομένο υποσύνολο του είναι συμπαγές, συνήθως έχει σημαντικές εφαρμογές στην ανάλυση Έστω, b με b Με συμβολίζουμε το σύνολο των συνεχών πραγματικών συναρτήσεων που ορίζονται στο κλειστό διάστημα Ορισμός 229 Έστω και Η οικογένεια καλείται ισοσυνεχής στο σημείο εάν για κάθε υπάρχει δ έτσι ώστε για κάθε και με δ Η καλείται ισοσυνεχής εάν είναι ισοσυνεχής σε κάθε σημείο Παραδείγματα 230 (1) Η οικογένεια όλων των σταθερών συναρτήσεων είναι ισοσυνεχής (2) Κάθε πεπερασμένο υποσύνολο του είναι ισοσυνεχές Πράγματι, έστω και Επειδή η συνάρτηση είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα θα είναι και ομοιομόρφως συνεχής στο Άρα υπάρχει έτσι ώστε για κάθε με να έχουμε Θέτουμε Τότε, για κάθε με δ και για κάθε θα έχουμε Συνεπώς, η οικογένεια είναι ισοσυνεχής (3) Έστω, όπου Η οικογένεια δεν είναι ισοσυνεχής στο Πράγματι, έστω Για κάθε δ υπάρχει με δ και θετικός ακέραιος έτσι ώστε Τότε, και συνεπώς η δεν είναι ισοσυνεχής στο Ορισμό231 Ο μετρικός χώρος, όπου η μετρική που ορίζεται από τον τύπο, είναι πλήρης 20

Απόδειξη Έστω ακολουθία Cauchy Θα αποδείξουμε ότι η ακολουθία αυτή συγκλίνει σε σημείο Έστω Επειδή η είναι ακολουθία Cauchy, υπάρχει τέτοιο ώστε, για κάθε Δηλαδή, για κάθε και για κάθε (*) Από τα παραπάνω προκύπτει ότι για κάθε σταθερό η είναι ακολουθία Cauchy Επειδή ο χώρος είναι πλήρης, υπάρχει τέτοιο ώστε Θεωρούμε τη συνάρτηση με και αποδεικνύουμε ότι η ακολουθία συγκλίνει ομοιομόρφως στην συνάρτηση Για σταθερό και σταθερό από τη σχέση (*) έχουμε Η παραπάνω σχέση δείχνει ότι η ακολουθία και ο χώρος είναι πλήρης συγκλίνει ομοιομόρφως στην συνάρτηση Άρα Θεώρημα 232 Κάθε πλήρως φραγμένο υποσύνολο του μετρικού χώρου είναι ισοσυνεχές Απόδειξη Έστω ώστε Επειδή το είναι πλήρως φραγμένο, υπάρχουν στοιχεία Επειδή το είναι πεπερασμένο υποσύνολο του θα είναι και ισοσυνεχές Συνεπώς, υπάρχει δ έτσι ώστε για κάθε με δ και Αποδεικνύουμε τώρα ότι το υποσύνολο είναι ισοσυνεχές Έστω Υπάρχει τέτοιο ώστε Οπότε Δηλαδή, για κάθε έχουμε 21

Άρα για κάθε με δ έχουμε = Που σημαίνει ότι η οικογένεια είναι ισοσυνεχής Θεώρημα 233 Κάθε συμπαγές υποσύνολο του είναι ισοσυνεχές Απόδειξη Επειδή το είναι συμπαγές υποσύνολο θα είναι και πλήρως φραγμένο Οπότε είναι ισοσυνεχές Θεώρημα 234 Έστω ισοσυνεχές και φραγμένο υποσύνολο του Για κάθε και για κάθε ακολουθία στοιχείων του υπάρχει υπακολουθία, της και θετικός ακέραιος έτσι ώστε για κάθε Απόδειξη Έστω και ακολουθία στοιχείων του Επειδή το είναι ισοσυνεχές, για κάθε υπάρχει ώστε για κάθε με και για κάθε να έχουμε Επειδή και το είναι συμπαγές, υπάρχουν έτσι ώστε 22

Επειδή το είναι φραγμένο, για κάθε η είναι φραγμένη ακολουθία πραγματικών αριθμών και συνεπώς έχει συγκλίνουσα υπακολουθία Επειδή το σύνολο είναι πεπερασμένο υπάρχει υπακολουθία της τέτοια ώστε οι ακολουθίες να συγκλίνουν και συνεπώς να είναι ακολουθίες Cauchy Άρα, υπάρχει φυσικός αριθμός τέτοιος ώστε για κάθε να έχουμε Θέτουμε Τότε, για κάθε έχουμε Έστω και Τότε υπάρχει ώστε Οπότε, Συνεπώς, για κάθε έχουμε Αποδεικνύοντας το θεώρημα Θεώρημα 235 (Ascoli-Arzela) Έστω Οι παρακάτω προτάσεις είναι ισοδύναμες: (1) Το σύνολο είναι συμπαγές (2) Το σύνολο είναι ισοσυνεχές, κλειστό και φραγμένο Απόδειξη (1) (2) Επειδή το είναι συμπαγές υποσύνολο του χώρου φραγμένο Επίσης από το θεώρημα 233, το είναι ισοσυνεχές, είναι κλειστό και (2) (1) Επειδή το είναι κλειστό υποσύνολο του πλήρους μετρικού χώρου, ο υπόχωρος είναι πλήρης Επειδή κάθε πλήρως φραγμένος και πλήρης μετρικός χώρος είναι συμπαγής, αρκεί να δείξουμε ότι το είναι πλήρως φραγμένο Ας υποθέσουμε ότι το δεν είναι πλήρως φραγμένο και έστω Επιλέγουμε ένα σημείο του Τότε, υπάρχει τέτοιο ώστε 23

Ομοίως, υπάρχει τέτοιο ώστε και Συνεχίζοντας με τον ίδιο τρόπο κατασκευάζουμε μια ακολουθία σημείων του τέτοια ώστε για Για την ακολουθία δεν υπάρχει υπακολουθία που να ικανοποιεί τη συνθήκη του θεωρήματος 234 που είναι άτοπο Άρα το είναι πλήρως φραγμένο αποδεικνύοντας το θεώρημα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΔΙΑΧΩΡΙΣΤΙΚΕΣ ΚΑΙ ΣΥΝΔΕΤΙΚΑ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΤΟΠΟΛΟΓΙΕΣ Ορισμός 31 Έστω τοπολογικοί χώροι και συνεχής απεικόνιση Για κάθε με συμβολίζουμε τη συνεχή απεικόνιση για την οποία =, για κάθε Με : : συμβολίζουμε την απεικόνιση για την οποία =, για κάθε 24

Έστω απεικόνιση Με συμβολίζουμε την απεικόνιση για την οποία, για κάθε Ορισμός 32 Έστω τοπολογικοί χώροι και έστω τοπολογία επί του συνόλου Η καλείται διαχωριστική (splitting) όταν για κάθε χώρο η συνέχεια της απεικόνισης συνεπάγεται τη συνέχεια της απεικόνισης : Η τοπολογία στο συνέχεια της απεικόνισης καλείται συνδετικά συνεχής (jointly continuous) όταν για κάθε χώρο η συνεπάγεται τη συνέχεια της απεικόνισης Υπενθυμίζουμε και πάλι τη συνάρτηση εκτίμησης Ορισμός 33 Έστω τοπολογικοί χώροι Με συμβολίζουμε την απεικόνιση για την οποία για κάθε Η απεικόνιση καλείται απεικόνιση εκτίμησης (evaluation map) 25

Θεώρημα 34 Μία τοπολογία επί του συνόλου απεικόνιση εκτίμησης είναι συνδετικά συνεχής εάν και μόνο εάν η είναι συνεχής Απόδειξη Έστω ότι μια τοπολογία επί του συνόλου η είναι συνεχής Η απεικόνιση είναι συνδετικά συνεχής Αποδεικνύουμε ότι με = για κάθε, είναι συνεχής Επειδή η είναι συνδετικά συνεχής η είναι συνεχής Προφανώς Συνεπώς, η απεικόνιση εκτίμησης είναι συνεχής Αντιστρόφως, έστω ότι η απεικόνιση εκτίμησης Είναι συνεχής Θα αποδείξουμε ότι η τοπολογία είναι συνδετικά συνεχής Έστω συνεχής απεικόνιση Πρέπει να αποδείξουμε ότι η απεικόνιση είναι συνεχής Έχουμε ότι η απεικόνιση, όπου για κάθε και για κάθε είναι συνεχής Επειδή η απεικόνιση είναι συνεχής, ως σύνθεση συνεχών απεικονίσεων Θεώρημα 35 Μια τοπολογία επί του συνόλου είναι επίσης συνδετικά συνεχής μεγαλύτερη από μια συνδετικά συνεχή τοπολογία Απόδειξη Έστω συνδετικά συνεχής τοπολογία και τοπολογία επί του έτσι ώστε Αποδεικνύουμε ότι η τοπολογία είναι συνδετικά συνεχής Παρατηρούμε ότι η τοπολογία του χώρου Συνεπώς επειδή η απεικόνιση είναι μεγαλύτερη της τοπολογίας του χώρου 26

είναι συνεχής, και η απεικόνιση θα είναι συνεχής, δηλαδή η τοπολογία επί του είναι συνδετικά συνεχής Θεώρημα 36 Μια τοπολογία επί του συνόλου επίσης διαχωριστική μικρότερη από μια διαχωριστική τοπολογία είναι Απόδειξη Έστω διαχωριστική τοπολογία επί του συνόλου και τοπολογία επί του τέτοια ώστε Αποδεικνύουμε ότι η είναι διαχωριστική Έστω συνεχής απεικόνιση Πρέπει να αποδείξουμε ότι η απεικόνιση είναι συνεχής Επειδή η τοπολογία είναι διαχωριστική, η απεικόνιση είναι συνεχής Επίσης η απεικόνιση με Άρα, η απεικόνιση που συμπίπτει με την απεικόνιση Συνεπώς, η είναι διαχωριστική τοπολογία Θεώρημα 37 Επί του συνόλου υπάρχει μέγιστη διαχωριστική τοπολογία, δηλαδή υπάρχει διαχωριστική τοπολογία που είναι μεγαλύτερη από κάθε διαχωριστική τοπολογία και συνεπώς είναι μοναδική Απόδειξη Έστω το σύνολο όλων των διαχωριζουσών τοπολογιών επί του συνόλου και έστω η τοπολογία επί του που έχει ως υπόβαση το σύνολο Προφανώς, για κάθε Αποδεικνύουμε ότι η τοπολογία είναι διαχωριστική Έστω συνεχής απεικόνιση Είναι αρκετό να αποδείξουμε ότι η : Είναι συνεχής Έστω 27

Τότε, υπάρχει τέτοιο ώστε Επειδή η απεικόνιση είναι συνεχής, το σύνολο είναι ανοικτό υποσύνολο του Άρα η είναι συνεχής Συνεπώς η είναι η μέγιστη διαχωριστική τοπολογία επί του και ως εκ τούτου αυτή είναι μοναδική Θεώρημα 38 Η συμπαγής ανοικτή τοπολογία επί του είναι διαχωριστική Απόδειξη Έστω συνεχής απεικόνιση Αποδεικνύουμε ότι η : είναι συνεχής Έστω ανοικτό υποσύνολο του τέτοιο ώστε Αποδεικνύουμε ότι υπάρχει ανοικτό σύνολο τέτοιο ώστε και Παρατηρούμε ότι η σχέση είναι ισοδύναμη με τη σχέση Επειδή, για κάθε υπάρχει ανοικτή περιοχή του στο χώρο και μια ανοικτή περιοχή του στον χώρο έτσι ώστε Είναι φανερό ότι Επειδή το σύνολο είναι συπαγές υποσύνολο του υπάρχουν σημεία τέτοια ώστε Θέτουμε Τότε, το σύνολο είναι ανοικτό υποσύνολο του και ότι Για τη συνέχεια της αρκεί να αποδείξουμε 28

δηλαδή για κάθε, ή ισοδύναμα Έστω και Επειδή, υπάρχει τέτοιο ώστε Τότε, και άρα Συνεπώς, η είναι συνεχής, που σημαίνει ότι η τοπολογία είναι διαχωριστική Θεώρημα 39 Η σημειακή ανοικτή τοπολογία επί του συνόλου Απόδειξη Η συμπαγής ανοικτή τοπολογία είναι διαχωριστική Επίσης, είναι διαχωριστική είναι διαχωριστική Συνεπώς, η τοπολογία Θεώρημα 310 Έστω τοπικά συμπαγής χώρος Τότε, η συμπαγής ανοικτή τοπολογία επί του είναι συνδετικά συνεχής Απόδειξη Αρκεί να αποδείξουμε ότι η συνάρτηση εκτίμησης είναι συνεχής Έστω, W και Επειδή ο χώρος είναι τοπικά συμπαγής και W 29

υπάρχει ανοικτή περιοχή του στο χώρο τέτοια ώστε και το σύνολο να είναι συμπαγές υποσύνολο του Θέτουμε Τότε, το σύνολο είναι ανοικτή περιοχή του στο χώρο και Συνεπώς, η απεικόνιση εκτίμησης είναι συνεχής που σημαίνει ότι η είναι συνδετικά συνεχής ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Η ISBELL ΤΟΠΟΛΟΓΙΑ 30

Ορισμός 41 Έστω L σύνολο και Η διμελής σχέση είναι σχέση μερικής διάταξης όταν : (i) (ii) (iii) (ανακλαστική) (αντισυμμετρική) (μεταβατική) Το ζεύγος καλείται μερικώς διατεταγμένο σύνολο (partial ordered set) Έστω Γράφουμε Ορισμός 42 Έστω μερικώς διατεταγμένο σύνολο και έστω Το στοιχείο καλείται άνω φράγμα του όταν Επίσης, το στοιχείο καλείται κάτω φράγμα του, όταν Το ελάχιστο των άνω φραγμάτων του καλείται supremum του και συμβολίζεται με Το μέγιστο των κάτω φραγμάτων του καλείται infimum του και συμβολίζεται με Αν, τότε για το sup ( ) και inf ( ) έχουμε τους παρακάτω συμβολισμούς : sup ( ) inf ( )= Επίσης, αν, τότε sup ( )= inf ( )= Οπότε αν μερικώς διατεταγμένο σύνολο και, τότε : Παρατήρηση 43 Δεν έχουν όλα τα σύνολα supremum και infimum Ορισμός 44 Το μερικώς διατεταγμένο σύνολο καλείται ολικώς ή γραμμικώς διατεταγμένο όταν Ένα ολικώς διατεταγμένο σύνολο αναφέρεται πολλές φορές και ως αλυσίδα Παρατήρηση 45 (1) Έστω μερικώς διατεταγμένο σύνολο Αν τότε δεν ισχύει απαραίτητα ότι, διότι τα μπορεί να μη συγκρίνονται 31

(2) Έστω ολικώς διατεταγμένο σύνολο Αν, τότε, διότι αφού έχουμε ότι και Άρα, διότι όλα τα στοιχεία του συγκρίνονται Ορισμός 46 Έστω μερικώς διατεταγμένο σύνολο και Τότε το καλείται ελάχιστο στοιχείο του, όταν και μέγιστο στοιχείο του, όταν Επιπλέον, αν τότε το καλείται ελάχιστο στοιχείο, αντίστοιχα μέγιστο στοιχείο του Ορισμός 47 Έστω ότι ένα μερικώς διατεταγμένο σύνολο και ένα υποσύνολο του Λέμε ότι το είναι κατευθυνόμενο (directed), αν κάθε πεπερασμένο υποσύνολο του έχει άνω φράγμα μέσα στο Παρατήρηση 48 Το είναι κατευθυνόμενο αν και μόνο αν για κάθε υπάρχει τέτοιο ώστε και Συμβολισμοί Έστω ένα μερικώς διατεταγμένο σύνολο, Τότε : I II III IV Πρόταση 49 Έστω ένα μερικώς διατεταγμένο σύνολο και Τότε : i ii Απόδειξη : (1) Έστω Τότε, υπάρχει Προφανώς, το Οπότε 32

Αντιστρόφως, έστω ότι το Τότε υπάρχει τέτοιο ώστε Οπότε υπάρχει τέτοιο ώστε Συνεπώς Επιπλέον, έχουμε ότι (2) Έστω Τότε υπάρχει Προφανώς, το Οπότε Αντιστρόφως, έστω ότι το Τότε υπάρχει τέτοιο ώστε Οπότε υπάρχει τέτοιο ώστε Συνεπώς Επιπλέον, έχουμε ότι Ορισμός 410 Έστω ένα μερικώς διατεταγμένο σύνολο και Λέμε ότι το είναι άνω σύνολο (upper set) (αντίστοιχα, κάτω σύνολο (lower set)) όταν (αντίστοιχα, Ορισμός 411 Έστω ένα μερικώς διατεταγμένο σύνολο και Λέμε ότι το είναι ιδεώδες, όταν το είναι κατευθυνόμενο και κάτω σύνολο Ορισμός 412 Ένα πλήρες δικτυωτό είναι ένα μερικώς διατεταγμένο σύνολο στο οποίο κάθε υποσύνολό του έχει supremum και infimum Επειδή όμως σε ένα μερικώς διατεταγμένο σύνολο αν κάθε υποσύνολό του έχει supremum, θα έχει και infimum και το αντίστροφο, αρκεί να υποθέσουμε ότι για κάθε υποσύνολό του υπάρχει πάντα το supremum ( ή υπάρχει πάντα το infimum) Ορισμός 413 Ένα δικτυωτό (lattice) είναι ένα μερικώς διατεταγμένο σύνολο στο οποίο κάθε μη κενό πεπερασμένο υποσύνολό του έχει και supremum και infimum Το 1972 ο D Scott όρισε την scott τοπολογία ως εξής : 33

Ορισμός 414 Έστω τοπολογικός χώρος Η Scott τοπολογία επί του είναι η τοπολογία που έχει ως βάση τα σύνολα για τα οποία έχουμε : i Αν ii Για κάθε οικογένεια ανοικτών υποσυνόλων του Y τέτοια ώστε, υπάρχει πεπερασμένο πλήθος στοιχείων του έτσι ώστε Το υποσύνολο του scott κλειστό καλείται scott ανοικτό, ενώ το συμπλήρωμα ενός τέτοιου συνόλου καλείται Παρατήρηση 415Προφανώς, (1) (2) Αν (3) Αν τέτοια ώστε Δηλαδή το ζεύγος είναι τοπολογικός χώρος Πρόταση 416 Έστω ένα μερικώς διατεταγμένο σύνολο και έστω τέτοιο ώστε :, δηλαδή το είναι άνω σύνολο κάθε κατευθυνόμενο σύνολο του τέτοιο ώστε sup, έχουμε ότι (Δηλαδή υπάρχει ένα Έστω η οικογένεια όλων των υποσυνόλων που έχει τις παραπάνω ιδιότητες (1) και (2) Τότε, το ζεύγος ( είναι τοπολογικός χώρος Απόδειξη Για να δείξουμε ότι το ( τοπολογικός χώρος, αρκεί να δείξουμε ότι ισχύουν οι τρεις ιδιότητες των τοπολογικών χώρων 1 Προφανώς 2 (i) Έστω Αποδεικνύουμε ότι 34

(ii) Έστω ότι είναι ένα κατευθυνόμενο υποσύνολο του τέτοιο ώστε sup Τότε sup και sup Επειδή ισχύει ότι και Δηλαδή υπάρχουν τέτοια ώστε και Εφόσον το είναι κατευθυνόμενο, υπάρχει τέτοιο ώστε και Αφού, και, έχουμε ότι Ομοίως, επειδή, και, έχουμε ότι Άρα Συνεπώς, και 3 (i) Έστω Αποδεικνύουμε ότι Επειδή, έχουμε ότι (ii) Έστω κατευθυνόμενο υποσύνολο του τέτοιο ώστε sup τέτοιο ώστε sup Επειδή έχουμε ότι Οπότε Άρα Τότε υπάρχει Συνεπώς ο είναι ένας τοπολογικός χώρος Παράδειγμα 417 Έστω (,τ) τοπολογικός χώρος και συμπαγές υποσύνολο του Τότε το = είναι scott ανοικτό Πράγματι, (1) Έστω Τότε Οπότε (2) Έστω μια οικογένεια ανοικτών συνόλων τέτοια ώστε 35

Τότε Επειδή το είναι συμπαγές σύνολο, υπάρχουν πεπερασμένου πλήθους στοιχεία της οικογένειας τέτοια ώστε Οπότε Συνεπώς το είναι scott ανοικτό Παράδειγμα 418 Έστω τοπολογικός χώρος και Τότε προφανώς το είναι scott ανοικτό Παράδειγμα 419 Έστω (1) Τα σύνολα = και = είναι προφανώς scott ανοικτά (2) Το σύνολο = δεν είναι scott ανοικτό, διότι, και αλλά Το 1975 η Isbell τοπολογία ορίστηκε από τον JRIsbell ως εξής : Ορισμός 420 H Isbell τοπολογία επί του είναι η τοπολογία που έχει ως υποβάση τα σύνολα και Θεώρημα 421 Η είναι μικρότερη ή ίση της Απόδειξη : Έστω Θέτουμε Θα δείξουμε ότι (1) Έστω (2) Έστω Τότε Επειδή το είναι συμπαγές, υπάρχουν τέτοια ώστε Άρα Παρατηρούμε ότι 36

Άρα Θεώρημα 422 Εάν ο χώρος Ζ είναι,όπου τότε ο χώρος είναι επίσης Απόδειξη : Επειδή και η είναι για, όταν ο Ζ είναι, έχουμε ότι η είναι επίσης είναι για Θεώρημα 423 Η Isbell τοπολογία επί του είναι splitting Απόδειξη Έστω συνεχής Θα δείξουμε ότι η απεικόνιση είναι συνεχής Έστω υποβασικό στοιχείο της τέτοιο ώστε Τότε Έστω Εφόσον η είναι συνεχής, υπάρχουν ανοικτές περιοχές των αντίστοιχα έτσι ώστε (1) Έχουμε Εφόσον και, έχουμε Οπότε, υπάρχουν, τέτοια ώστε Έστω Προφανώς Θα αποδείξουμε ότι Έστω Θα αποδείξουμε ότι ή ισοδύναμα ότι Εφόσον αρκεί να δείξουμε ότι Έστω Τότε υπάρχει τέτοιο ώστε Επειδή από τη σχέση (1) έχουμε Οπότε Ορισμός 424 Ένα υποσύνολο ενός χώρου καλείται περατωμέο (bounded) εάν κάθε ανοικτό κάλυμμα του περιέχει ένα πεπερασμένο υποκάλυμμα για το 37

Ορισμός 425 Ένας χώρος καλείται καρδιακά συμπαγής (corecombact) αν για κάθε ανοικτή περιοχή ενός σημείου, υπάρχει μια ανοικτή περιοχή του τέτοια ώστε ο υπόχωρος να είναι περατωμένος στο χώρο Θεώρημα 426 Αν ο χώρος Υ είναι corecompact τότε η στο σύνολο είναι συνδετικά συνεχής Απόδειξη : Αρκεί να αποδείξουμε ότι η απεικόνιση εκτίμησης και έστω έτσι ώστε είναι συνεχής Έστω Τότε έχουμε Θεωρούμε το σύνολο = και θα αποδείξουμε ότι το σύνολο ανήκει στην scott τοπολογία Πράγματι, έστω Τότε έχουμε, και επομένως, Έστω τώρα ένα ανοιχτό κάλυμμα του Υ τέτοιο ώστε Αφού το είναι περατωμένο, υπάρχει πεπερασμένος αριθμός στοιχείων,, αυτού του συνόλου τέτοια ώστε Επομένως και έτσι το σύνολο είναι ένα στοιχείο της scott τοπολογίας Επιπλέον, αφού, έχουμε Έτσι το υποσύνολο είναι μια ανοικτή γειτονιά του στο Τελικά αποδεικνύουμε ότι Έστω Τότε, και επομένως, Άρα, η απεικόνιση εκτίμησης e είναι συνεχής και επομένως η τοπολογία Isbell στο είναι συνδετικά συνεχής 38

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΑΝΟΙΚΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Πρόβλημα 1 Χαρακτηρίστε τη μεγαλύτερη splitting τοπολογία στο δομών και από άποψη των τοπολογικών Πρόβλημα 2 Χαρακτηρίστε από άποψη των τοπολογικών δομών και χώρους τέτοιους ώστε το μονοσύνολο να είναι ισοδύναμο με μια γνωστή (ή δεδομένη ) κλάση χώρων Σχετικά με τον ορισμό της σχέσης βλέπε εργασία [22] στη βιβλιογραφία Πρόβλημα 3 Χαρακτηρίστε από άποψη των τοπολογικών δομών και χώρους τέτοιους ώστε 39

Ορισμός 51 Για κάθε κλάση χώρων, υπάρχει η μεγαλύτερη splitting τοπολογία η οποία συμβολίζεται με Σχετικά με την έννοια splitting βλέπε εργασία [22] Πρόβλημα 4 Να χαρακτηριστούν κλάσεις χώρων τέτοιες ώστε, όπου η μέγιστη splitting τοπολογία Πρόβλημα 5 Να χαρακτηριστούν κλάσεις χώρων τέτοιες ώστε η να είναι και Σχετικά με την έννοια βλέπε εργασία [22] Ορισμός 52 Στα παρακάτω όπου,θα θεωρούμε το σύνολο με την τοπολογία να είναι ο χώρος Sierpinski Το σύνολο μπορεί να ταυτιστεί με το Τότε, η Isbell τοπολογία στο είναι η Scott τοπολογία στο και για = Ορισμός 53 Οι παρακάτω ισοδύναμες συνθήκες μπορούν να χρησιμοποιηθούν ως ορισμός για τους εναρμονισμένους (consonant) χώρους i Ο είναι εναρμονισμένος ii Η compact-open τοπολογία συμπίπτει με την Isbell τοπολογία στο iii Η compact-open τοπολογία συμπίπτει με την Isbell τοπολογία στο, για κάθε χώρο Ένας χώρος καλείται -εναρμονισμένος (consonance) εάν η compact-open τοπολογία συμπίπτει με την Isbell τοπολογία στο Πρόβλημα 7 Για ποιους χώρους, η εναρμόνιση συνεπάγεται εναρμόνιση; Για ανοικτά προβλήματα σε χώρους συναρτήσεων ο αναγνώστης μπορεί να δει την εργασία [28] 40

ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ (1) R Arens, A topology of spaces of transformations, Annals of Math47(1946),480-495 (2) R Arens and J Dugundji,Topologies for function spaces,pacific JMath1(1951), 5-31 (3) R Beattie and H P Butzmann,Convergence Structures and Applications to Functional Analysis, Kluwer Academic, 2002 (4) E Binz, Continuous convergence on C(X), Springer-Verlag, Lecture Notes in Math 469,1975 (5) A Bouziard, H-trivial spaces, Top Appl 132 (2003), 159-174 (6) A Bouziard, Consonance and topological completeness in analytic spaces, Proc AmerMathSoc 127(12): 3733-3737, 1999 (7) A Bouziard, Borel measures in consonant spaces, Toplogy Appl 70: 125-138, 1996 (8) C Constantini and S Watson, On the dissonance of some metrizable spaces, Topology Appl 84: 259-286, 1998 (9) B Day, A reflection theorem for closed categories, J Pure Appl Algebra 2 (1972),1-11 (10) B J Day and G M Kelly, On toplogical quotient maps preserved by pull backs or products, Proc, of the Cambridge Phil Soc 57(1970), 553-558 (11) G Di Maio, L Hola, D Holy, R McCoy, Topologies on the space of continuous functios, Top Appl 86 (1998), no2, 105-122 (12) G Di Maio, E Meccariello, S Naimplally, Hyper-continuous convergence in function spaces, Q and A in Gen Top 22 (2004), no2, 157-162 41

(13) S Dolecki, G H Greco, and A Lechicki, Sur la topologie de la convergence superieure de Kurtowski,CR Acad Sci Paris 312: 923-926, 191 (14) S Dolecki, G H Greco, and A Lechicki, When do the upper Kuratowski topology (homeomorphically, Scott topology) and the co-compact topology coincide?, Trans Amer Math Soc347 (1995), 2869-2884 (15) S Dolecki, and F Mynard, Hyperconvergences, Appl Gen Topol 4 (2003), no2, 391-419 (16) JDugundji, Topology, Allyn and Bacon, Inc Boston 1968 (17) R Engelking, General Topology, Warsawa 1977 (18) M Escardo, J Lawson, and A Simpson, Comparing Cartesian closed categories of (core) compactly generated spaces, Top Appl 143(2004), 105-145 (19) R H Fox, On topologies for function spaces, Bull Amer Math Soc 51(1945), 429-432 (20) O Frink, Topology in lattices, Trans Amer Math Soc 51(1942), 569-582 (21) C Kuratowsi, Sur la notion de limite topologique d ensembles, Ann Soc Pol Math 21 (1948-49), 219-225 (22) D N Georgiou, S D Illiadis, and B K Papadopoulos, Topologies on function spaces, Studies in Topology VII, Zap Nauchn Sem S-Peterburg Ot-del Mat Inst Steklov (POMI) 208(1992), 82-97 (Russian) Translated in: J Math Sci, New York 81, (1996), no 2, 2506-2514 (23) D N Georgiou, S D Illiadis, On the compact open and finest splitting topologies To appear in Top Appl (24) D N Georgiou, S D Illiadis, On finest splitting and admissible topologies for some function spaces Sumbitted for publication (25) D N Georgiou and B K Papadopoulos, A note on the finest splitting tplogy, Q and A in General Topology, Vol 15(1997), 137-144 (26) D N Georgiou and S D Illiadis, Some problems concerning splittin and admissible topologies Q and A in General Topology, 23(2005), 101-105 (27) D N Georgiou, S D Illiadis, and B K Papadopoulos, On dual topologies, Top Appl 140 (2004), no 1, 57-68 (28) DN Georgiou, SD Illiadis and F Mynard In: Elliott Pearl, Editor, Function Space Topologies, Open Problems in Topology vol2, Elsevier (2007), pp 15-22 (29) K H Hofmann, Continuous lattices, topology and topological algebra, Top Proc2 (1997), 179-212 (30) K H Hofmann and J Lawson, The Spectral theory of distributive continuous lattice, Trans Amer Math Soc 246 (1978), 285-310 (31) G Gierz, K H Hofmann, K Keimel, J D Lawson, M Mislove and D S Scott, Continuous Lattices and Domains,Cambridge University Press 2003 (32) S D Iliads and B K Papadopoulos, The Continuous Convergence of Function Spaces, Panamer Math J 4(194), 33-42 (33) J R Isbell, Function spaces and adjoints, Symposia Math 36(1975), 317-339 (34) J K Kelley, General Topology, Springer, Berlin-Heidelerg-New York, 1955 42

(35) P Th Lambrinos, The bounded-open topology on function spaces, Manuscr Math 36 (1981), 47-66 (36) P Lambrinos and B K Papadopoulos, The (strong) Isbell topology and (weakly) continuous lattices, Continuous Lattices and Applications, Lecture Notes in Pure and Appl Math No 101, Marcel Dekker, New York 1984, 191-211 (37) J D Lawson and M Mislove, Problems in Domain Theory and To pology, Open Problems in Topology (J van Mill and GM Reed(editors)) Elsevier Science Publishers BV (North-Holland) (1990), 350-372 (38) R McCoy and I Ntantu, Topological properties, of spaces of continuous functions, Lecture Notes in Mathematics, 1315, Springer Verlag (39) E Michael, A Quintuple Quotient Quest, Gen Top Appl 2: 91-138, 1972 (40) F Mynard, First countability, sequentiality and tightness of the upper Kuratowski convergence Rocky Mountain J of Math, Vol 33, No3 (2003), 1011-1038 (41) F Mynard, Coreflectively modified continuous duality applied to classical product theorems, Appl Gen Topol 2, 119-154 (42) T Nogura and D Shakhmatov, When does the Fell topology on a hyper-space of closed sets coincide with the meet if the upper Kuratowski and the lower Vietoris topologies?, TopAppl 70:213-243, 1996 (43) B K Papadopoulos, Proper topologies on the set, Clasnik Mathematicki, Vol 23 (43), (1998), 143-146 (44) H Render, Nonstandard topology on function spaces with applications to hyperspaces, Trans of the Amer Math Soc, Vol 336, No 1 (1993), 101-119 (45) F Schwarz and S Weck, Scott topology, Isbell topology, and continuous convergence, Lecture Notes in Pure and Appl Math No101, Marcel Dekker, New York 1984, 251-271 (46) D Scott, Continuous lattices Toposes, algebraic geometry and logic (Conf, Dalhousie Univ, Halifax, N S, 1971), PP 97-136 Lecture Notes in Math, Vol 274, Springer, Berlin, 1972 (47) P Wilker, Adjoint product and HOM functors in general topology, Pacific Math 34(1970), 269-283 (48) A J Ward, Problem in Proceedings of the International Symposium on Topology and its Applications, (Herger-Novi 1968), (D R Kupera ed), Beograd 1969, 352 43