ΨΗΦΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ

Π Τ Υ Χ ΙΑ ί< Η Ε Ρ Γ Α Σ ί Α. ^K A B A i\a S ' τ m m. Γίϊίί^ΓΡΟΑΟΠΑΣ Αρ;δμ. fiptur ^ 4 3 MusoounvSa.ϋ ν β ΨΗΦΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ^ ROlARis\^ - β r V x r ilil r ' r(c\ T Λ τ G(s) V τ R(Y) E(z) G(z) Ciz^ G(2) ΣίΙΟΥΔΑΣΤΡίΑ; ηακα ΓΑΡΥΦΑΛΛΙΑ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ: τχιριγωτησ ΓΙΩΡΓΟΣ ΤΕΙΚ.ΑΒΑΛΑΣ ΣΧΟ.ΑΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚίϊΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑΣ ΙΟΥΝΙΟΣ 1998 '

I

ΕΙΣΑΓΩΓΗ Τα ψηφιακά σήματα προσφέρουν σημαντικά πλεονεκτήματα σε σχέση με τα αναλογικά σήματα, και αυτό για τον λόγο ότι γενικά τα ψηφιακά κυκλώματα με τα οποία γίνεται η επεξεργασία είναι περισσότερο σταθερά κατά την λειτουργία τους. Το ψηφιακό σήμα δεν απαιτεί εξομάλυνση και ρύθμιση κατά την παραγωγή του ή κατά την οη-ΐίτ: λειτουργία. Τα ψηφιακά κυκλώματα αποτελούνται κυρίως από ολοκληρωμένα κυκλώματα (1C), που τεχνολογικά υπερτερούν των αναλογικών κυκλωμάτων, γεγονός που έχει σαν αποτέλεσμα τα ψηφιακά συστήματα να έχουν πλεονεκτήματα ως προς το κόστος, το μέγεθος, την ταχύτητα και την αξιοπιστία σε σχέση με τα αναλογικά. Το 1979 η INTEL παρουσίασε στο εμπόριο τον πρώτο επεξεργαστή (real time) πραγματικού χρόνου. DSP ( Digital Signal Processor) τον INTEL 2920. To πλεονέκτημα του σε σχέση με έναν μικροεπεξεργαστή (microprocessor) είναι ότι ο DSP είναι ταχύτερος, ενο) αντίθετα ο μικροεπεξεργαστής είναι περισσότερο εύστροφος και μπορεί να παράγει περισσότερες συναρτήσεις για το σύστημα ελέγχου. Οι ψηφιακοί υπολογιστές χρησιμοποιούνται από συστήματα ελέγχου για δύο κυρίως λόγους,ο πρώτος είναι η εξομοίωση και ο υπολογισμός της δυναμικής των συστημάτων ελέγχου. Σαν παράδειγμα αναφέρουιιε ότι οι μηχανικοί ελεγκτές συχνά βασίζονται σε ψηφιακούς υπολογιστές εξο,ιιοίωσης, για να κατευθύνουν την ανάλυση και τον σχεδιασμό των σύνθετοιν συστημάτο^ν ελέγχου. Η διαδικασία αυτή των υπολογισμών είναι πολύ χρονοβόρα αν οι υπολογισ,ιιοί έπρεπε να γίνουν με το χέρι. Πρέπει

να σημειωθεί ότι οι 'τηφιακτοί υπολογιστές μπορούν να ελέγξουν ή να παρουσιάσουν τα αποτελέσματα που προκύπτουν απ' τις αναλυτικές μεθόδους. Ο δεύτερος λόγος είναι η δυνατότητα τους να λειτουργούν ως ελεγκτές ή ως επεξεργαστές στα συστήματα ελέγχου. Με τα σημερινά δεδομένα λόγω των πλεονεκτημάτων που παρουσκχζουν οι μικροϋπολογιστές, ένας ελεγκτής στις περισσότερες περιπτώσεις μπορεί να πραγματοποιηθεί καλύτερα από ένα μικροϋπολογιστή ή ένα μικροεπεξεργαστή. Επειδή τα περισσότερα ΣΑΕ εμπεριέχουν τόσο αναλογικά όσο και ψηφιακά σήματα μια σημαντική εργασία είναι η μετατροπή των (χναλογικών σημάτων σε ψηφιακά και αντίστροφα. Για παράδειγμα το σήμα που παράγεται από ένα αναλογικό αισθητήριο μέτρησης, πρέπει πρώτα να υποστεί μια αναλ^^γική σε ψηφκχκή (A/D) μετατροπή και μετά να επεξεργαστεί από ψηφιακό ελεγκτή (Analog to Digital). Παρόμοια τα ψηφιακά σήματα που παράγονται από έναν ψηφιακό ελεγκτή ή έναν επεξεργαστή πρέπει πρώτα να αποκωδικοποιηθούν από ένα ψηφιακό σε αναλογικό (Digital to.\nalog D/A) μετατροπέα πριν μπορέσουν να σταλούν για τον έλεγχο του αναλογικού μέρους των ΣΑΕ. Πολλοί μικροεπεξεργαστές σχεδιάστηκαν με σκοπό τον έλεγχο, όπως είναι ο INTEL MCS-96 που έχει στην μνήμη AD μετατροπέα, για ψηφιακές μετατροπές. Στην πραγματικότητα πριν το αναλογικό σήμα διοχετευτεί προς έλεγχο υφίσταται και άλλες επεξεργασίες εξομάλυνσης με φίλτρα χαμηλής διέλευσης ή με άλλες διαδικασίες. Λόγω αυτών των σύνθετων τεχνικών είναι σημαντικό για τα σήματα επεξεργασίας και τα συνεχή σήματα, των ψηφιακών συστημάτων ελέγχου, να περιγραφούν και να τυποποιηθούν στα επόμενα κεφάλαια.

1.1.1. ψηφιακός σε Αναλογικό Μετατροπέας (Digital to Analog Converter) D/A μετατροπέας είναι αυτός που μετατρέπει το ψηφιακό σήμα σε αναλογικό Το παραγόμενο σήμα είναι αναλογικό, συνήθως ένα ρεύμα ή μια τάση. 1.1.2. Αναλογικός σε Ψηφιακό Μετατροπέας (Analog to Digital to Converter) Ένας αναλογικός σε ψηφιακό μετατροπέα είναι μια τεχνική που μετατρέπει ένα αναλογικό σήμα σ ένα κωδικοποιημένο ψηφιακό σήμα. 1.1.3. Δειγματοληψία (Sample and Hold) Η δειγματοληψία S/H εξυπηρετεί πολλούς σκοπούς στην επεξεργασία των ψηφιακών δεδομένων και τα ψηφιακά συστήματα ελέγχου. Η δειγματοληψία επινοήθηκε για να πραγματοποιεί την γρήγορη ανάγνωση ενός αναλογικού σήματος και μετά να το κρατά σε μια σταθερή τιμή μέχρι να γίνει η επόμενη ανάγνωση. Μια δειγματοληψία είναι συχνά ένα κύριο κομμάτι ενός A/D μετατροπέα. 1.1.4. Πολυπλέκτες (Multiplexer) Ένας πολυπλέκτης χρησιμοποιείται για να συνδέσει σήματα από διαφορετικές πηγές έτσι ώστε να μπορέσουν να επεξεργαστούν από τον ίδιο επεξεργαστή ή το κανάλι επικoιvcdvίας. Ο σκοπός είναι να μοιράσει τον χρόνο όλων των εισαγόμένουν σημάτων στον επεξεργαστή. 1.2. Τεχνική δειγματοληψίας Η 8,Ή τεχνική χρησιμοποιείται κυρίοις στα ψηφιακά συστήματα ελέγχου. Η sample είναι μια τεχνική που μετατρέπει ένα αναλογικό σήμα, σε μια ακολουθία από ευρύς διαμορφοϊμένους παλμούς ή σ ένα ψηφιακό σήμα. Μια hold τεχνική απλά συντηρεί ή παγοίνει την τιμή του παλμού ή του ψηφιακού σή,ιιατος για. ένα διάστημα ορισμένης διάρκειας. Στην

πλειοψηφία των πρακτικών ψηφιακών λειτουργιών οι δειγματοληψίες εκτελούνται από μια απλή μονάδα και η τεχνική είναι γνωστή σαν sample and hold ή S/H τεχνική. Μια από τις κύριες εφαρμογές της 8Ή είναι να παγώνει γρήγορα κινούμενα σήματα διάρκειας, όλων των τύπων της λειτουργίας μετατροπής. Μια άλλη κοινή χρήση της S/Ή τεχνικής είναι η αποθήκευση του παραγόμενου σήματος των πολυπλεκτών καθώς το σήμα μετατρέπεται. Θα δείξουμε παρακάτω ότι η 8Ή λειτουργία χρησιμοποιείται στην σύνδεση με Α/Τ) και D/A μετατροπείς. Η 8/Ή λειτουργία διευκρινίζεται από το κύκλωμα που φαίνεται στο σχήμα 1.1. I WVWVNT Rs δΐίχκό^της c ζ ζ Σχήμα 1.1 -ο(-) Το άνοιγμα και το κλείσιμο των διακοπτών ή του δείγματος ελέγχεται από μια εντολή δείγματος. Όταν ο διακόπτης είναι κλειστός η 8Ή τεχνική ελέγχει και ανιχνεύει το εισαγόμενο σήμα es(t). Όταν ο διακόπτης είναι ανοικτός το σήμα που παράγεται κρατείται στην τάση που φορτώνεται ο πυκνωτής. Το σχήμα 1.2 παρουσιάζει την μορφή από μερικά τυπικά εισαγόμενα και παραγόμενα σήματα της S/H τεχνικής όταν η αντίσταση είναι μηδέν. Ό χρόνος ολοκλήρωσης κατά τον οποίο το δείγμα είναι κλειστό ονομάζεται δειγματοληπτική περίοδος ρ. Πρακτικά η αντίσταση Rs δεν είναι μηδέν, και ο πυκνωτής θα φορτωθεί από το ελεγχόμενο δείγμα εισαγωγής σήματος σε ένα σταθερό χρόνο RgC. Άλλωστε. η λειτουργία του δείγματος δεν είναι στιγμιαία, καθώς θα απαιτούσε χρόνο για να αποκριθεί στκ 8/Ή εντολές.

Είσοδος παλμού δείγμα Hoid Σχήμα 1.2: Απλοποιημένα sample και hold σήματα Rs=0. Μια S/H λειτουργία μπορεί να έχει πολλές ατέλειες και λάθη και το παραγόμενο σήμα της τεχνικής ίσως διαφέρει σημαντικά από την ιδανική κυματομορφή που απεικονίζεται στο σχήμα 1.2. Το σχήμα 1.3 παρουσιάζει ένα τυπικό εισαγόμενο σήμα eg(t) και την αποκρινόμενη παραγωγή μιας τεχνικής S/H. Η S/H τυπική παραγωγή χαρακτηρίζεται από διάφορες αιτίες καθυστέρησης και ατελή κρατήματα κατά την διάρκεια του χρόνου κρατήματος. Αυτά τα χαρακτηριστικά διευκρινίζονται στο σχήμα 1.3 και προσδιορίζονται στα παρακάτω. 1.2.1. Χρόνος λήψης Ta (Acquisition Time ) Οταν η εντολή δειγματοληψίας δίνεται στην S/H τεχνική η μονάδα δεν αρχίζει να ανιχνεύει το σήμα εισαγωγής στιγμιαία. Ο χρόνος λήψης μετριέται από τη στιγμή που η εντολή του δείγματος δίνεται μέχρι την στιγμή που η δειγματοληψία εισέρχεται και υπογραμμίζει μια προσδιορισμένη ομάδα λαθιόν (λέμε r 1 επί τοις εκατό) γύρω από τι/, εισαγόμενα σήματα. Ο τυπικός κατάλογος πληροφορκόν για τον χρόνο λήψης δίνεται στην έκφραση επί τοις εκατό του FS για κύρια τάση. βήμα, μέγεθος, π,χ 0.1 επί τοις εκατό για ένα βήμα 10V, <1

Πραγματική Έξοδος βύίη ^ Πτιόση. Sam ple- Hold - Λ\'οικτός ιστός διακόπτης διακόπτης Εντολή Βντολή Sam ple Hold Σχήμα 1.3: Είσοδοι και έξοδοι πεπερασμένων χρονικών καθυστερήσεο^ν. 1.2.2. Χρόνος αναμονής Τρ (Aperture Time) Όταν η εντολή κρατήματος δίνεται στην S/H τεχνική, ενώ είναι σε κατάσταση ανίχνευσης, θα παραμείνει σ αυτή την κατάσταση πριν από την αντίδραση. Αυτός ο χρόνος ανάμεσα στην έκβαση της εντολής κρατήματος και τον χρόνο που ο δείκτης ανοίγει καλείται χρόνος αναμονής (aperture time). Αυτή η καθυστέρηση συνήθως προκαλείται από το διακοπτόμενο κύκλωμα χρονικής καθυστέρησης χωρίς την S,H. Για μια δειγματοληψία ο χρόνος αναμονής δεν είναι σταθερός και οι πληροφορίες που παίρνουμε δίνουν συνήθως την χειρότερη μορφή σήματος. Για παροιδειγμα ο χρόνος αναμονής μιας τυπικής δειγματοληψίας S Ή μπορεί να είναι της τάξης ών 10 ns.

7 1.2.3. Χρόνος αποκατάστ-'.σης Ts (Setting Time) Σ'ο άνοιγμα από *ο δείγμ ' μεθόδου στον τρόπο κρατήματος, προκαλείται παροδικότητα από την πυκνότητα τροφοδοσίας από το ψηφιακό λογικό κύκλωμα διάμεσου ηλεκτρονικής επαφής που μπορεί να προκαλέσει η δίοδος του αναλογικού σήματος. Ο χρόνος που απαιτείται για την παροδικότητα της διακύμανσης χωρίς ποσοστό ετή τοις εκατό ονομάζεται χρόνος αποκατάστασης (settling time). Ο χρόνος αποκατάστασης μιας κοινής S/H τεχνικής μετριέται σε nanoseconds και μερικά microseconds και εξαρτάται από ι,ην τελική ακρίβεια που απαιτείται. 1.2.4. Hold-Mode Droop Κατά την διάρκεια της λειτουργίας hold η τάση που παράγεται από την 8,Ή τεχνική ίσως μειωθεί ελαφρά λόγω της διαρροής ρεύματος με το field-effect-transistor (FET) διακότττη και τον ενισχυτή απόσβεσης του εισαγόμενου κυκλώματος. Η πτώση στην παραγωγή της S/H τεχνικής μπορεί να μειωθεί στο μέγιστο χρησιμοποιώντας έναν αποσβεστήρα με μια πολύ υψηλή εισαγόμενη αντίσταση ΕΡ στην S/H παραγωγή. Παρόμοια ένας εισαγόμενος αποσβεστήρας ενίσχυσης θα μπορούσε να χρησιμοποιηθεί έτσι ώστε να κρατάει το εισαγόμενο ρεύμα από την S/Ή λειτουργία σχετικά σταθερό. Μια 8Ή τεχνική με εισαγόμενους και παραγόμενους ενισχυτές απόσβεσης περιγράφεται από το μπλοκ διάγραμμα στο σχήμα 1.4. Στα ψηφιακά συστήματα η 8/Ή λειτουργία συχνά ελέγχεται από ένα περιοδικό χρόνο. Το σχήμα 1.5 εικονογραφεί ένα κανονικής ταχύτητας τέχνασμα 8/Ή. Και οι δύο πραγματικές και φανταστικές παραγωγές μας παρουσιάζονται για το δεδομένο αναλογικό σήμα. Ο χρόνος διάρκειας ανάμεσα στα δείγματα εντολών λέγεται sampling period Τ. Αναλογιιοί εισαγωγή esin ± Εισαγωγή ρπημισπκού Ε\ισχΐ)τή Εντολή sample & hold Εξοόος ρυθμιστικοί) εντσχυτί] + Αΐ'ίίλογική έξοδος eoiij

Σχήμα 1.4 Τεχνική δειγματοληψίας με είσοδο και έξοδο ρυθμιστικού ενισχυτή. Πραγματική Σχήμα 1.5 Είσοδος και έξοδος σημάτων μιας S/H τεχνικής με ενιαία περιοδική δειγματοληπτική ταχύτητα. 1.3. Μπλοκ διάγραμμα παρουσίασης της δειγματοληψίας χα.ν και το S/H δείγμα είναι διαθέσιμο ηλεκτρονικός σαν ένα απλό ch n για αναλυτικούς κυρίως λόγους είναι περισσότερο βολικό να μεταχειρισθούμε την δειγματοληπτική λειτουργία (sample και hold ) ξεχωριστά. Το σχήμα 1.6 εικονογραφεί ένα ισοδύναμο μπλοκ διάγραμμα που απομονώνει τις S/H συναρτήσεις και τα αποτελέσματα όλων των χρόνων καθυστέρησης και προσο^ρινοίν ταλαντώσεων. Το δείγμα το οποίο μπορεί να προσέρχεται με την μορφή παλμικού διαμορφωτή έχει μια δειγματική περίοδο Τ και μια δειγματική διάρκεια Ps. Η τεχνική hold απλά κοι^τά το δειγματολειπτικό σήμα κατά την διάρκεια της περιόδου συγκράτησης.ο καθαρός χρόνος καθυστέρησης Td προσεγγίζει τον χρόνο λήψης και τον χρόνο αναμονής. Το φίλτρο εκφράζει τον πεπερασμένο σταθερό χρόνο και τον ενισχυτή απόσβεσης. Γενικά η συνάρτηση

μρ,ταφοράς του φίλτρου μπορεί να εκφραστεί σαν ένα σύστημ*'' δεύτερ * τάξης Gf{s) = (ο: ( 1-1) Το παράδειγμα που φαίνεται στο σχη^μρ 6 ένει μια πεπερασμένη δειγματοληπτική διάρκεια ρ καθώς συγκρίνεται με την δειγματοληπτική περίοδο Τ και τον πιο σημαντικό σταθερό χρόνο του εισαγόμενου αναλογικού σήματος. Οι χρόνοι αναμονής της δειγματοληψίας S/H που προκύπτουν είναι μικροί, έτσι ώστε αυτοί να α/ θ τιτσταθερό σημείο του δυναμικού συστήματος. Εισαγωγή exit). S/H Εξοδος βο{ί) καθυστέρηση Σχήμα 1.6 Ένα μπλοκ διάγραμμα προσέγγισης της δειγματοληπτικής τεχνικής. Εισαγωγή esn) Ιδανικό δείγμα Hold - Έξοδος eo(t) Σχήμα 1.7 Μια ιδανική δειγματοληπτική τεχνική es(t) Εντολή sample I

10 Σχήμα t.8 Εισα~"'όΐ' να κ:αι παραγώμενα σήματα μιας ιδοινικής δειγματοληπτικτής τεχνικής. Για παράδειγμα, για μια δοσμένη S/Ή τεχνική το άνοιγμα χρόνου μπορεί να είναι μόνο 10 ns και ο χρόνος ανάγνωσης 300 ns. Ο καθοριστικός χρόνος μπορεί να είναι άλλα ioons. Οι προσωρινές διακυμάνσεις θα φθίνουν με μια ορισμένη ακρίβεια μέσα σε 100 ns. Έτσι ο ολικός χρόνος καθυστέρησης είναι μόνο 410 ns ο οποίος μπορεί να αμεληθεί αφού λίγα συστήματα, ελέγχου θα μπορούσαν να ανταπο^ριθούν σε σήματα ταχύτερα από αυτά του χρόνου σχεδίασης. Αλλωστε για πρακτικούς λόγους αν ρ «Τ και ο χρόνος αναμονής που οφείλεται σε δειγματοληψία είναι μικρός, η δειγματοληψία 8Ή μποοεί να σχεδιαστεί από το μπλοκ διάγραμμα που φαίνεται στο σχήμα 1.7 Σ αυτή την περίπτωση το δείγμα ονομάζεται ιδανικό δείγμα αφού αναλαμβάνεται να έχει μηδενική δειγματοληπτική διάρκεια, ρ=0. Το σχήμα 1.8 δείχνει τυπικές εισαγόμ.νες και παραγόμενες κυματομορφές από μια ιδανική δειγματοληψία 8Ή. 1.4. Ψηφιακή σε αναλογική D/A μετατροπή Η ψηφιακή σε αναλογική μετατροπή ή απλά αποκωδικοποίηση συνίσταται στον μετασχηματισμό των αριθμητικών πληροφορκόν που περιέχονται σε μια ψηφιακή κωδικοποιημένη λέξη μέσα σ ένα ισοδύναμο αναλογικό σήμα. Τα βασικά στοιχεία ενός D/'A μετατροπέα απεικονίζονται από το μπλοκ διάγραμμα του σχήματος 1.9. Ο ρόλος της συνάρτησης του λογικού κυκλώματος είναι να ελέγχει το ανοιγόκλειμα των επαφών κατά την είσοδο τάσεων ή ρευμάτων πηγών και να μετατρέπει αυτές σε κατάλληλα σήματα εισαγωγής μέσω των αντιστάσεων του δικτύου, η μορφή που παίρνουν είναι συνάρτηση της ψηφιακής τιμής και του εισαγόμενου bit. Το σχήμα 1.10 διευκρινίζει ένα απλό 3- bit δυαδικό D/A μετατροπέα. Οι τιμές των αθροκ^μένων αντιστάσεων από του ενισχυτή υπολογίστηκαν με ένα δυαδικό τρόπο. Κάθε μια από τις αντιστάσεις συνδέεται διαμέσου ενός ηλεκτρονικού διακόπτη με την αποδιδόμενη τάση ή με τη γείωση.

11 3 Έξοδος ρεύματος ψηφιακές εισαγωγές... ^ Aoyiico Κύκλωαα t IReicTpomOi Διακόπτες Αντιστασιι δικτύου Ακριβής παραπομπή Γ /?/ ± Εο οέξοόος τάστις X Σχήμα 1.9 Βασικά στοιχεία ενός D/A μετατροπέα. Ιχήμα 1.10 Μια γεφυρωμένη αντίσταση ενός 3-bit D/A μετατροπέα. Όταν ένα δυαδικό 1 εμφανίζεται στο κύκλωμα ελέγχου από ένα διακόπτη, κλείνει τον διακόπτη και συνδέει την αντίσταση σ*^ην αναφερόμενη τάση. Στην άλλη μεριά ένα δυαδικό μηδέν συνδέει την αντίσταση στην γείωση. Για υψηλού κέρδους λειτουργικό ενισχυτή, η εισαγόμενη σύνθετη αντίσταση Ε.Ρ. είναι πολύ χαμηλή έτσι ώστε η τάση στο συνολικό σημείο 0 να είναι μηδέν. Μετά εάν ο διακόπτης του MSB διακλαδωτή συνδέεται στην αναφερόμενη τάση Er και οι άλλοι δυο διακόπτες συνδέονται στην γείωση, αυτό ανταποκρίνεται σε μια ψηφιακή λέξη των 100. η παραγόμενη τάση Εο είναι X., = RJ. ( 1.2)

12 Αφού I, = /, και /, = E J R έχουμε Rf (1-3) E0CVη ψηφιακή λέξη 110 είναι προς μετατροπή οι διακόπτες στο MSB και στις επόμενες σημαντικές διακλαδώσεις συνδέονται στην αναφορά. Η παραγόμενη τάση γίνεται α-4) ^0 = IR Η μέγιστη τιμή των 3-bit λέξης ανταποκρίνεται στην τάση που παράγετε Εο = + 2 R ^ 4R (1-5) RfEr To LSB το οποίο ανταποκρίνεται στην ψηφιακή λέξη 001 είναι 4R SR.-E, 1R,-E,. Έτσι το πλήρες είναι Ο επόμενος πίνακας δίνει την 4R R παραγόμενη τάση από την D/A μετατροπή που ανταποκρίνεται σε όλες τις 3- bit λέξεις για ένα FS των 10 V. Επεκτεινόμενοι σε μια n-bit δυαδική λέξη, το δίκτυο στο σχήμα 1.10 θα περιέχει η παράλληλες διακλαδώσεις αντιστάσεων. Η αντίσταση στην LSB διακλάδωση έχει την τιμή 2 "* /?. Η τάση που παράγεται γράφεται τότε I!_ ccr, α,! R 2R _ )Π-Ι R] ΚΕ, ( 1-6) όπου είναι είτε 1 ή 0 και εξαρτώνται από την ψηφιακή δυαδική λέξη η οποία πρόκειται να μετατραπεί. Αφού ένας D μετατροπέας μετατρέπει ένα ψηφιακό σήμα σε ένα αναλογικό σήμα του αντίστοιχου μεγέθους, από το συναρτησιακό σημείο I

13 ίσως πρέπει να προσεχθεί σαν υπάρχουσα, τεχνική από αποκωδικοποιητή και μια S/H μονάδα όπως φαίνεται στο σχήμα 1.1.α

15 Ο αποκωδικοποιητής αποκωδικοποιεί την ψηφιακή λέξη σε μια ακολουθία από διαμορφωμένους παλμούς. Στην πραγματικότητα το δείγμα πλεονάζει στην συναρτησιακή παρουσίαση του σχήματος 1.12. Αφού η S/Ή τεχνική εξετάζεται συνήθως σαν μια μονάδα, η δειγματοληπτική λειτουργία περιλαμβάνεται αν και δεν είναι απαραίτητη. Η σχέση μεταφοράς του αποκωδικοποιητή είναι ένα σταθερό κέρδος και στην ιδανική περίπτωση είναι μια μονάδα. Είναι ενδιαφέρον να σημειώσουμε ότι ο λειτουργικός ενισχυτής στην παραγωγή του D/A μετατροπέα είναι ικανός για παραγωγή ταλαντώσεων και σφηνών στην προσωρινή παραγωγή και πρακτικά μια 8Ή τεχνική μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να απομακρύνει τις σφήνες. Έτσι η χρήση της S/Ή μονάδας στο σχήμα 1.12 έχει μια ρεαλιστική δικαιολογία σαν συναρτησιακή παρουσίαση. 1.5. Αναλογική σε ψηφιακή μετατροπή Η αναλογική σε ψηφιακή μετατροπή αποτελείται από μετατροποιημένες αριθμητικές λειτουργίες που περιέχονται σε ένα αναλογικό σήμα μιας ψηφιακά κωδικοποιημένης λέξης. Η A/D μετατροπή είναι πιο σύνθετη μέθοδος από την D/A μετατροπή και απαιτεί μεγαλύτερη επεξεργασία. Σε σύγκριση με τον D/A μετατροπέα ο AD μετατροπέας είναι πιο ακριβός σε κόστος και έχει πιο αργές αντιδράσεις για την ίδια μετατροπή. Όταν ένας αριθμός δίνεται σαν εισαγωγή σε ένα ΑΈ) ο μετατροπέας εκτελεί λειτουργίες ποσοτικοποίησης και κωδικοποίησης. Όταν ένα οριακό αλλαγμένο σήμα (τάσης ή ρεύματος) πρόκειται να μετατραπεί από αναλογική σε ψηφιακή μορφή ο AD μετατροπέας συνήθως παριστάνει την παρακάτω λειτουργία με επιτυχία: sample and hold, κβαντισμό και encoding. Η δειγματοληπτική λειτουργία για να λειτο ργήσει χρειάζεται το αναλογικό σήμα να είναι σε μόνιμα περιοδικά διαστήματα. Θεωρητικά η λειτουργία κρατήματος δεν είναι απαραίτητη, άλλωστε η AD μετατροπή χρόνου δεν είναι μηδέν. Για να μεκοθεί το αποτέλεσμα της παραλλαγής σήματος κατά την διάρκεια της μετατροπής το δείγμα σήματος κρατείται

16 μέχρι να ολοκληρωθεί η μετατροπή. Το σχήμα 1.13 δίνει το μπλοκ διάγραμμα παρουσίασης ενός A/D μετατροπέα. Τα σήματα που εισάγονται σε ένα AD μετατροπέα συνήθως είναι του τύπου του ρεύματος ή της τάσης που είναι ποσότητα κατά την διάρκεια της μεθόδου μετατροπής. Η ιδανική σχέση εισαγωγής παραγωγής για ένα 3-bit φυσικό δυαδικό μετατροπέα AD είναι οδοντική, στην ποσότητα που χαρακτηριστικά φαίνεται στο σχήμα 1.13. Ενώ όλες οι εισαγόμενες τιμές περιέχουν μια συνέχεια η παραγωγή διαιρείται σε 8 (2^) ξεχωριστές κατευθύνσεις. Έτσι όπως φαίνεται στο σχήμα 1.14 στην περίπτωση της ποσοτικής στρογγυλοποίησης μια εσωτερική ± Vz LSB ποσότητα λάθους υπάρχει στην μέθοδο της πρόσθεσης για πιθανά λάθη μετατροπής. Εάν το σήμα χρειάζεται μεγαλύτερη ανάλυση ο αριθμός των bit που εκφράζουν το σήμα που παράγεται θα πρέπει να αυξηθεί. Αυτό σε συνέχεια θα αυξήσει την πολυπλοκότητα του κυκλώματος και πιθανόν τον ολικό χρόνο μετατροπής. Αν και ένας μεγάλος αριθμός από A/D κυκλώματα είναι διαθέσιμος μόνο μερικοί τύποι είναι κατάλληλοι για ικανές και εμπορικές μονάδες. Οι πιο γνωστές χρήσεις των AD μετατροπέων είναι οι παρακάτω : Μετρητής Σχήμα 1.13 Μπλοκ διάγραμμα παρουσίασης ενός AD μετατροπέα. 1. Επιτυχής προσέγγιση 2. Ολοκλήρωση (απλή ή διπλή κλίση) 3. Μετρητής ή τύπος ρυθμιστή

17 4. Παράλληλος τύπος Κάθε ένας από τους Α/Ό τύπους μετατροπέα που καταγράφονται έχει τα δικά του πλεονεκτήματα και περιορισμούς. Κάθε τύπος είναι χρήσιμος για μια ειδική τάξη εφαρμογών βασισμένη στην ταχύτητα μετατροπής το κόστος την ακρίβεια και το μέγεθος. Εμπορικές AID μονάδες είναι διαθέσιμες από 6 bits σε 16 bits. Τυπικά η ακρίβεια μετατροπής είναι 0.01 επί τοις εκατό FS ± 'ά LSB. Για να διευκρινίσουμε την βασική AID μετατροπή επεξεργασίας τύπος του AD κατά προσέγγιση περιγράφεται πupακατω. Α Υπολογιστικό σφάλμα Σχήμα.!.14 Εισαγίογές και έξοδοι ενός ΑΌ 3-bit στρογγυλοποίησην: Το σχήμα 1.15 δείχνει το απλοποιημένο μπλοκ διάγραμμα ενός πετυχημένου κατά προσέγγιση τύπου ενός AD μετατροπέα. Βασικά

18 αποτελείται α^ο ένα (^"γκριτή, από ένα D/A μετατροπέα και μερικούς σχετικούς ελεγκτές. Στην αρχή μετατροπής όλα τα bit της παραγωγής του.λ/τ) μετατροπέα τοποθετούνται στο μηδέν (καθάρισμα) και το MSB τοποθετείται μετά στο ένα. Το MSB ξαναπαρουσιόιζεται στο ένα μισό της ολικής κλίρακας, μετατ ιέπεται μετά από τον D/A μετατροπέα εσωτερικά και συγκρίνεται με την αναλογική εισαγωγή. Εάν η εισαγωγή είναι μεγαλύτερη από τα μετατρέψιμα MSB τότε το MSB = 1, είναι αριστερά, δηλαδή τοποθετείται στο μηδέν. Χρονική) Σχήμα 1.15 Απλοποιημένο διάγραμμα μιας τυπικής επιτυχημένης προσέγγισης ενός AD μετατροπέα. Το επόμενο σπουδαίο bit ανάβει, συγκρίνεται και τοποθετείται, σ'αυτό το σημείο μία σταθερή γραμμή δηλώνει ότι η σύγκριση έχει ολοκληρωθεί και,] ψηφιακή παραγωγή είναι διαθέσιμη για μεταφορά. Ένα τυπικό οριακό διάγραμμα για έναν AD μετατροπέα ενός πετυχημένου τύπου προσέγγισης φαίνεται στο σχήμα 1.16.

19 Ο χρόνος },ΐί;τ(χτροπής μιας ΑΛ9 τεχνικής ο\'θ}^ιχχζεται χρόνος καθυοτέρησης, έτσι είναι γνχοστό ότι έχει αρνητικά αποτελέσματα στην ευστάθεια ενός συστήματος κλειστού βρόγχου. Επιπλέον ο χρόνος μετατροπής εςαρτάται από την ανάλυση της AD μονάδας που χρησιμοποιείτε σαν μέθοδος μετατροπής. Ί'υπικά ο χρόνος μετατροπής A/Ds κατεύθυνσης κυμαίνεται από 100ns σε 200us. Στην περίπτωση που το εισαγόμενο αναλογικό σήμα, είναι σταθερό, ο χρόνος μετατροπής μιας Λ ^0 ιιονάδας είναι ασήμαντος αφού το εισαγόιιενο σήμα δε διαφέρει όταν συγκρίνεται ιιε τα διαφορετικά bir ενός AD μετατροπέα. ΓΙρακτικα το εισαγόμενο σήμα διαφέρει στο χρόνο, όπως αναφέρθηκε στα προηγούμενα, το αναλογικό σήμα αρχικά λειτουργεί από μια S Η τεχνική, η οποία δειγματίζει και κρατά το εισαγόμενο σήμα μέχρι να ολοκληρωθεί η μετατροπή. Για να παράγουμε συμπεράσματα για τον χρόνο μετατροπής ας εξετάσουμε το αναλογικό σήμα που φαίνεται στο σχήμχχ 1.17. Αρχή μετατροπήί I ο Τέλος μετατροπής Τέλος 1 0 1 ο Σειριακή μνήμη B it 1 Bit 2, B it η-ι ; B it η LSB 1 Bit 1. MSB B it II LSB -ο I ο

20 Σχήμα 1.16 Ένα τυτηκό χρονικό διάγραμμα μιας πετυχημένης προσέγγισης μιας AT) μετατροπής. Σχήμα 1.17 Χρόνος μετατροπής και αποκρίσεις πλάτους σε μια A/D μετατροπή. Η εργασία που εκτελεί ο A/D μετατροπέας είναι να μετατρέψει την τιμή Vs σε ένα ψηφιακό αριθμό. Εάν ο χρόνος που απαιτείται για να γίνει μια καταμέτρηση ή μετατροπή είναι Ts υπάρχει απόκριση πλάτους στο μετρούμενο εύρος αν το σήμα είναι μεγαλύτερο από το διάστημα Το. Αν θεωρήσουμε ότι το σύνολο των τιμών της κλίμακας του σχήματος 1.17 ανήκουν στο σήμα εισόδου, συμπεραίνουμε από την Vps και την AT) τεχνική ότι είναι ένας n-bit δυαδικός μετατροπέας. Αυτό σημαίνει ότι το σήμα πρόκειται να ακεραιοποιηθεί σε μια n-bit ανάλυση ή σε μια ανάλυση ενός μέρους του 2". Η οριακή αλλαγή του σήματος μετατροπής Το μπορεί να προσεγγιστεί από Δ Ε : Για μια ανάλυση του 2 " dt ί l=ts πάνω στον χρόνο _ ' Π-'^) ΤC Τ ζ < 7 ' (1-8)

21 Έτσι χρησιμοποιοίντας τις δυο αυτές εξισώσεις έχουμε dt <, - Έ Tc (1-9) Η δεξιά μεριά της εξίσωσης 1-9 παρουσιάζει το πάνω όριο της ταχύτητας αλλαγής του εισαγόμενου σήματος πάνω από κάθε περίοδο μετατροπής, έτσι ώστε η ανάλυση της μετατροπής μπορεί να κρατηθεί στο ένα μέρος του 2". Η αιτία για αυτό είναι ότι η ψηφιακή παραγωγή μπορεί να παρουσιάσει έτσι κόίθε σημείο του εισαγόμενο σή}«τος κατά την διάρκεια της περιόδου μετατροπής. Πρακτικά ίσως μετρήσουμε ένα εισαγόμενο σήμα από την υψηλότερη συνθετική συχνότητα ενός κύματος ημίτονου. Σαν διευκρινιστικό παράδειγμα ας θεωρήσουμε ότι ο χρόνος μετατροπής ενός 10-bit δυαδικού A/D μετατροπέα είναι Ιμε. Ξαναπαρουσιάζοντας το es(t) σαν em) έχουμε από την εξίσωση (1.9) 2 8ΐηωί 17!=0 < 2 x 2-10 τ c (1-10) (1-11) Στην εξίσωση 1.11 έχουμε επιλέξει η δειγματοληψία να γίνει για t = 0, αφού αυτό δίνει την μέγιστη τιμή για οοβωΐ (ή την πιο απότομη κλίση για 8Ϊηω!). I -9 ω < 10' ξ1953 rad/sec ( 1-12) Έτσι το σήμα εισόδου δεν θα διαφέρει σε ταχύτητα στην υπερβολή των 311 Ηζ. Παρόλο λοιπόν που ο μετατροπέας είναι ικανός να πραγματοποιεί 10 μετατροπές κάθε δευτερόλεπτο δεν μπορεί με ακρίβεια να κωδικοποιήσει σήματα των οποίων η χωρητικότητα είναι μεγαλύτερη από 311 Η^Γενικά η μέγ'στη συγ' ότητα δίνεται από, «^ 1 (1-13) ^!T13X~ 7 ' ' Ί' όπου η είναι ο αριθμός τιον bits της,ιιετατροπής. Η εξίσοιση 1.13 δείχνει ότι η ω^ιχ είναι αντιθέτως ανάλογη ως προς τον χρόνο μετατροπής Tc. Αφού ο

22 αριθμός των bits αυΐ,χνεται η μεγίστη επιτρεπτή συχνότητα ελαττώνεται γεωμετρικά. 1.6. Εξέταση δειγματοληπτικής περιόδου Α/χό τις προηγούμενες αναλύσεις μπορούμε να δούμε ότι ο χρόνος μετατροπής Ts έχει ένα ρόλο ισχύος στην απεικόνιση του συστήματος μιας A/D μετατροπής. Τα αποτελέσματα δεν μπορούν να μειωθούν σημαντικά, εκτός αν χρησιμοποιηθεί ένας πιο γρήγορος μετατοοπέας, αντίθετα η μείωση της μέγιστης συχνότητας εισόδου στον μετατροπέα μπορεί να επηρεασθεί αν χρησιμοποιήσουμε μια δειγματοληψία S/H στην είσοδο του AD μετατροπέα. Ο ρόλος της συνάρτησης της δειγματοληψίας S/Ή είναι να δειγματίσει το σήμα εισόδου και να κρατά την τιμή του κατά χην διάρκεια μετατροπής. Το ερώτημα που τίθεται συνεχώς κατά τον σχεδίασμά ενός ψηφιακού συστήματος είναι πόσο υψηλή μπορεί να γίνει η συχνότητα δειγματοληψίαε: Ας ορίσουμε την συχνότητα δειγματοληψίας σαν Fg σε Ηζ ή ω8 σε rad/s. Η συχνότητα δειγματοληψίας συνδέεται δειγματοληπτική περίοδο Ts διαμέσου των σχέσεων Ηζ 2π Ύ με την Γενικά η συχνότητα δειγματοληψίας μιας S/H τεχνικής εξαρτάται από το σύνολο των σημάτων επεξεργασίας και σήματα παράστασης της παραγωγής. Η μικρότερη περίοδος δειγματοληψίας μιας 8Ή λειτουργίας καθορίζεται από τον χρόνο μετατροπής μιας ΑΌ μονάδας και τον χρόνο αναμονής μιας SH τεχνικής Για παράδειγμα εάν ο ολικός χρόνος μετατροπής ενός 10 bit σήματος δειγματοληψίας S Η και ενός συγκριτή AD. είναι Ιμβ η μικρότερη δειγματοληπτική περίοδος είναι 1 με. Η αποκρινόμενη ^ γισ τη δειγματοληπτική συχνότητα είναι ΙΜΗζ. Άλλωστε πρακτικά οι οριακές τιμές της δειγματοληπτικής περιόδου και της δειγματοληπτικής συχνότητας συντάσσονται μέσα από τα χαρακτηριστικά των άλλων σύνθετων συστημάτων, και εξαρτιόνται από το πόσο γρήγορα ψηφιακή μνήμη μπορεί να επεξεργαστεί. Εάν περιλαμβάνετε ο

23 πολυπλέκτης ή αν η μνήμη επεξεργάζεται από ένα μικροεπεξεργαστή οι S/H και Α/Ό μονάδες δεν είναι οι μόνοι οριακοί παράγοντες της δειγματοληπτικής συχνότητας. Αφού ο μικρό επεξεργαστής είναι συχνά ένας αργός υπολογιστής η μνήμη μπορεί να επεξεργαστεί μόνο με μια ορισμένη μεγίστη ταχύτητα. Έτσι στα ψηφιακά συστήματα ελέγχου η μεγίστη δειγματοληπτική συχνότητα σπανίως ορίζεται από τις S/H και A/D τεχνικές. Αντίθετα μπορούιιε να παρατηρήσουμε ότι το χαμηλότερο όριο υπάρχει ανάλογα με το πόσο αργή. τορεί να γίνει η δειγματοληπτική συχνότητα. Είναι φανερό ότι η S/Ή τεχνική θα μπορούσε να ελέγξει το δείγμα σε μια επαρκάς γρήγορη ταχύτητα έτσι ώστε η πληροφορία που περιέχεται στο εισαγόμενο σήμα να μην χάνεται κατά την διάρκεια της δειγματοληψίας. Για να διευκρινίσουμε το συγκεκριμένο σημείο μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε ένα ημιτονοειδές σήμα. Υποθέτουμε ότι δειγματολητιτούμαι ένα ημιτονοειδές κύμα ΙΜΗζ μόνο μια φορά κάθε Ιμε. Εάν οι δειγματοληψίες πραγματοποιούνται καθώς το ημιτονοειδές κύμα περνάει διαμέσου του μηδενός το αποτέλεσμα που λανθασμένα παίρνουμε θα παρουσιάσει ένα σήμα μηδενικού μεγέθους. Στην πραγματικότητα η παραγωγή του δείγματος ελέγχου θα είναι μηδέν εάν η δειγματοληπτική περίοδος είναι ακριβώς 0.5 με, και οι χρόνοι δειγματοληψίας στο μηδέν λόγο του ημιτονοειδούς κύματος. Αλλωστε για να παρουσιάσουμε τα χαρακτηριστικά του ημιτονοειδούς κύματος με ακρίβεια πρέπει να δειγματήσουμε σε μια συχνότητα μεγαλύτερη από τη\ διπλάσια συχνότητα του σήματος. Γενικά δίνοντας ένα σήμα εισόδου του οποίου η υψηλότερη σύνθετη συχνότητα είναι ωη rad s για να συγκρατήσουμε πληροφορίες κατά την δειγματοληψία η μικρότερη δειγματοληπτική συχνότητα πρέπει να είναι 2ωη. Για παράδειγμα πάνω στην διευκρίνιση που δόθηκε για τους λειτουργικούς μετατροπείς των 10 bit S/H και AD, ο ολικός χρόνος καθυστέρησης είναι Ιμε. Εάν χρησιμοποιήσουμ. μια δειγματοληπτική συχνότητα του ΙΜΗζ (η μέγιστη θεωρητική δειγματοληπτική ταχύτητα από το S H και.a.d σημείο) το σήμα εισόδου δεν μπορεί να περιέχει σύνθετες συχνότητες στην υπερβολή των 0.5 ΜΗζ.

24 Η ικανότητα ενός ψηφιακού συστήματος κλειστού βρόγχου είναι πολύ συνδεδεμενη με την δειγματολητττική περίοδο. Στις περισσότερες περιπτώσεις χαμηλές δειγματοληπτικές περίοδοι έχουν επιζήμια αποτελέσματα στην ικανότητα του συστήματος κλειστού βρόγχου. Αλλωστε η επιλογή μιας κατάλληλης δειγματοληπτικής περιόδου για ένα ψηφιακό σύστημα κλειστού βρόγχου πρέπει να γίνει με την ικανότητα που διακρίνει ένα σήμα επεξεργασία. 1.7. Απλοποιημένο μ/τ:λοκ διάγραμμα παρουσίασης των A/D και D/A μετατροπέων Είναι ενδιαφέρον να συγκρίνουμε το μπλοκ διάγραμμα παρουσίασης του D/A σχήμα 1.12 και του AD σχήμα 1.13 μετατροπέα. Εάν η ανάλυση του A/D μετατροπέα είναι πολύ υψηλή το μη γραμμικό αποτέλεσμα της ποσότητας μπορεί να αμεληθεί και αφού η κωδικοποίηση και αποκωδικοποίηση της σχέσης μεταφοράς μπορούν να παρουσιαστούν από σταθερό κέρδος, τα δύο μπλοκ διαγράμματα αισθητά ελαττώνονται σε μια S/H λειτουργία. Για παράδειγμα για ανάλυση το ψηφιακό αυτοχείριστο σύστημα που φαίνεται στο σχήμα 1.17 παρουσιόιζεται από το μπλοκ διάγραμμα του σχήματος 1.19 όπου οι A/D και D/A μετατροπείς αντικαθίστανται από μια ξεχωριστή συνάρτηση μεταφοράς D(z) και τα αναλογικά στοιχεία παρουσιάζονται από τις δικές τους αξιόλογες συναρτήσεις μεταφοράς. Ίσως μια άλλη καλή αιτία για να αμελήσουμε την ποσοτική λειτουργία είναι αυτή όπου η ποσότητα είναι ένα μη γραμμικό στοιχείο. Ενώ η μη γραμμική ποσότητα μπορεί να μεταχειριστεί αναλυτικά και το σφάλμα παραγωγής να εκτιμηθεί ποσοτικά υπάρχει μια ουσιαστική μη γραμμική μέθοδος ώστε να επιτρέπει το σχεδίασμά μιας τάξης ψηφιακών συστημάτων ποσοτικά.

25 t.vτoa,^ αυμπεριψύιίάς -------- ρ / ) j Prc filter Αναλογικός ελ γχος j Airframe dynamics Συμπεριφορά ό ^ Θ. Μηόβ^Ίκή ιαχι>τητα J θέση j μεταφοράς Εντολή συμπεριφοράς ψυριχν I--- ^ ^------ ---- -,---------------1. ' -------. ^ \ε)χγκτχ)ς ' ^ yjynamics Θέση μεταιροράς Μηδενική ταχύτητα ^ Σχήμα 1.18 (α) Ένα απλοποιημένο απλής γωνίας αυτόματο σύστημα ελέγχου με αναλογική μνήμη. (β)ένα απλοποιημένο απλής γωνίας αυτόματο σύστημα ελέγχου με ψηφιακή μνήμη. Ψηφιακός ελεγκτής Airframe dynamics μεταφοράς -χήμα 1.19 Ένα αναλυτικό μπλοκ διάγραμμα του ψηφιακού αυτοματισμού του σχήματος 1.18.

91

27 ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ

28 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Γενικά οι μέθοδοι ανάλυσης και σχεδιασμού συστημάτων ελέγχου μπορούν να ταξινομηθούν σε κλασσικές και σύγχρονες. Οι κλασσικές μέθοδοι χαρακτηρίζονται από τεχνικές μετασχηματισμού και συναρτήσεις μεταφοράς, ενώ τα σύγχρονα θεωρήματα ελέγχου βασίζονται στην μοντελοποίηση των συστημάτων από σταθερές μεταβλητές ή σταθερές εξισώσεις. Ο μετασχηματισμός Laplace είναι το βασικό εργαλείο στις τυπικές αναλύσεις και τον σχεδιασμό των (χναλογικών συστημάτων. Αρχικά ο μετασχηματισμός Laplace μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να σχεδιάσουμε ψηφιακά συστήματα ελέγχου. Αλλωστε οι τυπικές εκφράσεις του μετασχηματισμού Laplace για συστήματα ελέγχου που περιέχουν ψηφιακά ή δειγματολητττικά σήματα περιέχουν αντιπροσωπευτικούς όρους του τύπου e.σκοπός μας είναι να αναπτύξουμε ένα μετασχηματισμό που να περιέχει την πληροφορία της δειγματοληψίας από κάθε σύστημα δειγματοληψίας, έτσι ώστε να μπορεί να μοντελοποιηθεί. με συναρτήσεις μετασχηματισμού, και να σχεδιάζεται με την ευκολία που θα μπορούσαμε να το σχεδιάζουμε και στον μετασχηματισμό Laplace. Αυτός είναι ο λόγος που αναλύουμε τον μετασχηματισμό ζ. 2.1.1. Ορισμός Μετασχηματισμού ζ Η παραγωγή ενός ιδανικού δείγματος εκφράζεται από την εξίσωση ; ω (2-1ΐ κ=0 Ο,ιιετασχηματισμός Laplace αυτής της εξίσωσης δίνεται από την σχέση F*{s)= 2 f{kt)e^^- (2-2)

29 Αφού η έκφραση F*(s) περιέχει τον όρο e συνεπάγεται ότι όεν είνα αία λογική συνάρτηση του s. Επιθυμούμε λοιπόν να μετασχηματίσουμε την συνάρτηση F*(s) σε μια λογική συνάρτηση διαμέσου ενός μετασχηματισμού, από την σύνθετη μεταβλητή s σε μια άλλη σύνθετη μεταβλητή ζ.θέτουμε ζ = e το ίδιο θα ίσχυε αν θέταμε ζ = e Λύνοντας την εξίσωση 2-3 πετυχαίνουμε 1 S = Ιηζ Τ (2-3) (2-4) Σ αυτές τις δύο τελευταίες εξισώσεις το Τ είναι η περίοδος δειγματοληψίας σε δευτερόλετιτα και το ζ είναι η σύνθετη μεταβλητή που τα πραγματικά και φανταστικά μέρη της σχετίζονται με αυτά του s διαμέσου των τύπων Re ζ = e cos ωτ (2-5) και Im ζ = e sin ωτ με S= σ + )ω (2-6) (2-7) Η σχέση ανάμεσα στα s και ζ στην εξίσωση 2-3 μπορεί να οριστεί σαν μετασχηματισμός ζ. Όταν η εξίσωση 2-3 αντικατασταθεί στην εξίσωση 2-2 έχουμε: 1 " (2-8) - 1 η ζ ] = F(z)= Z fik T )z ^ η οποία όταν γραφεί σε κλειστό τύπο μπορεί να γίνει μια λογική συνάρτηση του ζ. Άλλωστε μπορούμε να ορίσουμε την F(z) σαν,ιιετασχηματισμό ζ της /(ί) που είναι F(z) = μετασχηματισμός ζτης /(ί)= ^/(Ο ] (2-9) οπού σημειώνει τον μετασχηματισμό ζ. m m Στην λογική της λειτουργίας του' μετασχηματισμού ζ που είναι ορισμένος στις εξισοόσεις 2-8 και 2-2 μπορούμε ακόμη να γράψουμε τον μετασχηματισμό ζτης

30 7 ^[Mεΐaxτχημmiσβ:>s hs^hct τηςο^' (»)] s=(lnz)/t Αφού o μετασχηματισμός Laplace της fit) επιτυγχάνεται από τον μετασχηματισμό Laplace της f*{t) παριστάνοντας τον μετασχηματισμό ζ σαν ζ,,ts μπορούμε: να πούμε γενικά ότι, η συνάρτηση /(ί) που είναι μετασχηματισμένη Laplace έχει επίσης μετασχηματισμό ζ. Περιλητττικά η τεχνική για να πάρουμε τον μετασχηματισμό ζ για μια συνάρτηση συνεχώ ν δεδομένων / (ί) περιέχει τα ακόλουθα 3 βήματα 1. Η F(t) δειγματίζεται από ένα ιδανικό δείγμα για να δώσει την /*{(). Διαφορετικά οι τιμές της fit) για t = kt ορίζονται σαν ακολουθία fik n ^=0,1,2 2. Ο μετασχηματισμός Laplace της f*{t) παίρνεται για να δώσει την F*(s) F*(5)=3[F*(0]=,ic=0 (2-11) 3. Αντικαθιστώντας το e από ζ στην F*(s) παίρνουμε την F(z) F{z)= Y,fik T )z'^ k=0 (2-12) Η εξίσωση 2-12 είναι μια χρήσιμη έκφραση για τον ορισμό του μετασχηματισμού ζ της συνάρτησης fit). Το μόνο μειονέκτημα της εξίσωσης 2-11 είναι ότι η έκφραση έχει άπειρες σειρές ζ *^έτσι ώστε η κατά συνθήκη προσπάθεια χρειάζεται να επιτύχει μια κλειστού τύπου έκφραση για την F(z). Αν ο μετασχηματισμός ζ εξαρτάται από το αρχικό σημείο μπορεί να οριστεί κάτω από τις παρακάτω δύο προϋποθέσεις. 1. Οι τιμές της fit) για t - kt ορίζονται σαν ακολουθία fikt), λ =0,1,2...Τότε οι εξισώσεις F*(s) και F(z) ορίζονται αξιόπιστα από τις εξισώσεις 2-11 και 2-12. 2. Δίνεται η ακολουθία των αριθμών των συμβάντων /(λ)για k = 0, 1, 2,.... Ο μετασχηματισμός ζγια /( f) ορίζεται σαν μετασχηματισμός ζτου (2-13) fik)^zffik)]^j^fik)z-

31 2.1.2. Σχέση ανάμεσα στον μετασχηματισμό Laplace και τον μετασχηματισμό ζ Παρουσιάζει ενδιαφέρον η σύγκριση των εξισώσεων ορισμού του μετασχηματισμού Laplace με τις αντίστοιχες του μετασχηματισμού ζ. Δίνοντας μια συνάρτηση f{t) που είναι μετασχηματισμένη Laplace, ο μετασχηματισμός Laplace και ο μετασχηματισμός ζ αυτής της εξίσωσης είναι (2-14) Fis)= f [/(0]= Μ (2-15) Η F(z) παράγεται από την πρώτη δειγματοληψία της /( /) με ένα ιδανικό δείγμα, σε μια δειγματοληπτική περίοδο Τ, φαίνεται ότι όταν η δειγματοληπτική περίοδος Τ προσεγγίζει το μηδέν, τότε η F(z) θα προσεγγίζει την F(s). Στην πραγματικότητα είναι I j m / * ( 0 ^ / ( 0 (2-16) i-»0 Αφού η f*{t) παρουσιάζει έναν όρο ημιπαλμών, διαστήματος Ts, καθώς η Τ γίνεται απειροστά μικρή ο όρος ημιπαλμός καταρρέει σε ένα παρακλάδι του ημιπαλμού για t = 0 και το αποτέλεσμα δεν έχει καμία σχέση με την /(/). Ο αντίστοιχος χρόνος της εξίσωσης 2-16 είναι U m /* (0 ^ /( Ο (2-17) 2.1.3. Μια διαφορετική έκφραση για την F(z) Συχνά στην ανάλυση ενός γραμμικού συστήματος η συνάρτηση μεταφοράς F(s) δίνεται^και ο μετασχηματισμός F(z) ορίζεται. Σ 'αυτή την περίπτιοση δεν είναι απαραίτητο να βρούμε πρώτ^λ την f{t) και μετά να ακολουθήσουμε τα τρία βήματα που περιγράφηκαν παραπάνω. Το κείμενο που ακολουθεί διευκρινίζει πο>ς η F(z) μπορεί να οριστεί ακριβώς από την F(s).

32 1. Όταν η F(s) έχει απλούς πόλους. Ο μετασχηματισμός ζ της συνάρτησης fit) μπορεί να οριστεί ακριβώς από τον μετασχηματισμό Laplace της fit), αντικαθιστώντας το e ' από το ζ στην εξίσωση ^ N(q) 1 (2-18) Γ., > ^ 'V(4) 1 εχουμε F(z)= 2. /i=i A (4) 1-^ - οποί) F i ζ ) - 0{ξ) (2-19) (2-20) Έχει κ απλούς πόλους για ξ = ξ η = 1,2,... k. Η D,(4 )ορίζεται σαν dd(f)\ (2-2 1) άξ \ξ=ξη 2. Όταν η F(s) έχει πόλους πολλαπλών τάξεων. Όταν η F(s) έχει πόλους πολλαπλών τάξεων Si,S2...s k με πολυπλοκότητα mi,m2...mk ο μετασχηματισμός ζ της F(s) γράφεται χρησιμοποιώντας την εξίσωση 1 (2-23) οπού 1 Γ 3'-' Ί 7ΐγ(;? - F(s) (2-24) για ένα πόλο όταν s = s με πολυπλοκότητα m (>1) το υπόλοιπο μπορεί να γραφεί σαν I f _ 1 Ί (2-25) I Qm,-l ι is-sj'^ n F(s) On, - 1)! 3:

U 33 2.1.4.Παραδείγματα με λύση διαμέσου μετασχηματισμέ*' ζ Η εξίσωση του μετασχηματισμού ζ στην 2-12 είναι χρήσιμη για την επίλυση της F(z) όταν δίνονται είτε η /(f) είτε η f{kt). Αυτό σημαίνει ότι όταν δίνεται η /( ί) αντικαθιστούμε το t με kt στην f{i) και αντικαθιστούμε αυτήν στη 2-12 για να πάρουμε την F(z). Μερικές φορές μια σειρά αριθμών ή μία σειρά χρόνων που δίνονται είναι του τύπου /(0)/'(7^,/(27).../(λΤ)...τότε η F(z) δίνετα. απά^ το άθροισμα των από k = 0 ως k - CO. Γενικά ο χρόνος συνάρτησης μπορεί να παραχθεί από κάθε τύπο χωρίς περιορισμό αν πάρουμε την εξίσωση 2-12 όπως έχει οριστεί. Αλλωστε όπως σημειώθηκε, όταν η F(z) ορίζεται χρησιμοποιώντας αυστηρά το μετασχηματισμό Laplace τότε η /( f) πρέπει να είναι μετασχηματισμένη Laplace. Μια άλλη εκδοχή είναι ότι, για να είναι δυνατόν να εκφράσουμε την F(z) σε ένα κλεισ ^ό τύπο για την ανάγκη ανάλυσης συστημάτων, οι άπειρες σειρές της εξίσωσης 2-12 πρέπει να συγκλίνουν. Οι εξισώσεις 2-18 και 2-23 είναι χρήσιμες στο μετασχηματισμό ζ όταν η /(ί)είναι γνωστή. Η εξίσωση 2-18 αφορά την F(s) όταν αυτή έχει απλούς πόλους πραγματικούς ή σύνθετους. Η εξίσωση 2-23 αναφέρεται στην F(s) όταν αυτή έχει τουλάχιστον ένα πόλο πολλαπλής τάξης. Τα παρακάτω παραδείγματα διευκρινίζουν πώς είναι τόσο εύχρηστες οι μετασχηματισμένες ζ εξισώσεις, καθώς και μερικούς ισοδύναμους μετασχηματισμούς ζ. Παράδειγμα 2.1 Βρείτε το μετασχηματισμό ζ της μοναδιαίας βηματικής συνάρτησης L\(f) που ορίζεται σαν ** UAr, 1 t>0-1'λ() = 0 t<0 (2-26) Ενεργού,ιιε σύ,υφωνα,ιιε τα βή,υατα που ση,ιιειώθηκαν στις προηγού,ιιενες παραγράφους.

34 l.h μοναδιαία βήματο' συνάρτηση δειγματίζεται από ένα ιδανικό δείγμα. Αυτό περιέχει μία σειρά από μονάδες ημιπαλμών (κάθε ημιπαλμός έχει δύναμη ένα ) ξεκινώντας για t = 0 και συνεχίζοντας για t = kt, k = 0, 1, 2... lu(t) (α) (t) Σχήμα 2-1 (α) Μονοιδιαίου βήματος συνάρτηση. U.s(t) 0 Τ 2Τ 3Τ 4Τ 5Τ 6Τ 7Τ 8Τ (β) Σχήμα 2-1 ( (β)δειγματοληπτική μοναδιαίου βήματος συνάρτηση. Η είσοδος και το αποτέλεσμα του ιδανικού δείγματος φαίνονται στο σχήμα 2.1. Το δειγματιζόμενο σήμα περιγράφεται από " (2-27) u,*(!)= S,ii)=XS((-kT) 2. Παίρνοντας τον μετασχηματισμό Laplace και για τα δύο μέρη της εξίσωσης 2-27 έχουμε Δ.(5)= k- 0 kts (2-28.) I

35 Για να εκφράσοϋμε την ί\*(3}σε μια κλειστού τύπου συνάρτηση, πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέρη τις εξίσωσης 2-28 με e και μετά αφαιρούμε το αποτέλεσμα από την 2-28. Το τελικό αποτέλεσμα είναι 1 (2-29) U,*(s)= Δ.(5)= για < 1 3. Αντικαθιστώντας το από ζ στην εξίσωση 2-29 και έχουμε τον μετασχηματισμό ζτης συνάρτησης μοναδιαίου βήματος. 1 ζ (2-30) ύ /,( ζ ) =.3 Κ ( 0 ] = ^ = για \ζ^' \ -<1 ή Ν >-1 Στο ίδιο αποτέλεσμα μπορούμε να καταλήξουμε χρησιμοποιώντας την εςισωση 2-19. Ο μετασχηματισμός Laplace της η^(ί)εί\αχ u^(t)= - που έχει ένα απλό πόλο για s = 0.Έτσι από την εξίσωση 2-20 Ν(ξ) = 1και ϋ(ξ) = ξ ^ ξ > άεκξ) =1 άξ (2-31) Ο μετασχηματισμός ζ της μοναδιαίου βήματος από την εξίσωση 2-19 γράφεται σαν Ι! ζ (2-32) UXz)-- ^τ?ζ-μί=ο- ζ _ ι Παράδειγμα 2.2 Να βρεθεί ο μετασχηματισμός ζ της εκθετικής συνάρτησης /(/)= a είναι μια πραγματική σταθερά. όπου

36 Χωρίς να ακολουθήσουμε τα βήματα όπως στο παράδειγμα 2.1 αντικαθιστούμε την f(t) στην εξίσωση 2-12 και έχουμε A A (2-33) F{z)= J,f(kT)2-^ = k=0 k=0 Αυτές oi άπειρες τιμές συγκλίνουν για όλες τις τιμές του ζ που ικανοποιούν -ατ -W την σχέση \e -<1. Για να πετύχουμε την κλειστού τύπου έκφραση της 2-33 πολλαπλασιάζουμε τα δύο μέρη τις εξίσωσης με e και αφαιρούμε το αποτέλεσμα από την εξίσωση 2-33. Το τελικό αποτέλεσμα είναι F(z)= 1 ζ (2-34) για e ζ Iκΐή \ζ \<e -ατ Μπορούμε να αποδείξουμε ότι και με την εξίσωση 2-19 καταλήγουμε στο ίδιο αποτέλεσμα. Ο μετασχηματισμός Laplace του e είναι 1 (2-35) Fis)-- s-^ a που έχει έναν πόλο για s = -a. Στην εξίσωση 2-20 Ν(ξ)=1 0(ξ)=ξ+α,, Οι(ξ)=1. Έτσι η εξίσωση 2-19 δίνει Fizy- Μ 4) I I DSA)\-e^' z ξσ^-\ ifi=a \-e 1 ζ (2-36) Παράδειγμα 2.3 Να βρεθεί ο μετασχηματισμός ζ της F{t)= sinii^. Αντικαθιστώντας την fit) στην εξίσοοση 2-12 έχουμε S3 F{z)~'^smcokTz~ ' (.-=0 (2-37) Σ αυτή την περίπτιοση είναι πιο βολικό να εκφράσουμε το smcokt στον εκθετικό τύπο. Η εξίσο^ση 2-37 γίνεται 05 ^-JajkT (2-38) F(z)=X 2J

37 Αυτές οι άπειρες σειρές συγκλίνουν για και μπορο' να γραφούν σε ένα κλειστό τύπο χρησιμοποιώντας τις ίδιες μεθόδους που περιγράψαμε στα προηγούμενα παραδείγματα. Το αποτέλεσμα είναι 1 Γ 1 1 1 (2-39) Μετά την απλοποίηση η τελευταία εξίσωση γράφεται F(z)-- ζ%\ηωτ -Ιζοο&ωΤ+1 (2-40) - Τώρα για να πάρουμε το ίδιο αποτέλεσμα με την εξίσωση 2-19 αναγνωρίζουμε ότι ο μετασχηματισμός Laplace της f{t) είναι ω F{s)= f [sin6«]= Γ s" + ω~ Από την εξίσωση 2-19 έχουμε Ν(ξ)= ω 0 (ξ)= ξ 2+ 2 0.(ξ)= 2(ξ) Οι πόλοι της F(s) είναι για ξ=ξι=)ω και ξ=ξ2 =-j(o έτσι Ν(ξ,)=Ν(ξ2)=ω αφού η Ν(ξ) δεν είναι συνάρτηση του (ξ) Η εξίσωση 2-19 μιας δίνει ϋ ι(ξ ι)= 2)ω Οι(ξ2)=-2)ω (2-41) -τ^~ι «=1 D^ii) l-e 1 I 1 2 7 ΐ 1-β'"'"ζ ' Το αποτέλεσμα είναι το ίδιο μιε τη 2-40 (2-42) Παράδειγμα 2.4 Να βρεθεί ο μετασχηματισμός ζτης συνάρτησης /(?)= 0 ^ ( 0 Χρησιμοποιώντας την εξίσωση 2-12 αρχικά έχουμε

38 F{z)= 'Σ.ι^Γζ-'^ = Τζ-' +1Τζ fc=0 (2-43) Για να εκφράσουμε την F(z) σε μια κλειστού τύπου συνάρτηση πολλαπλασιάζουμε πρώτα τα δύο μέρη της εξίσωσης 2-43 με το ζ \Το αποτέλε^ιια είναι z''fiz)=tz-^ +1Τζ-^+... (2-44) Αφαιρώντας την τελευταία εξίσωση από την εξίσωση 2-43 έχουμε (1- z )F(z)= 7'z Τζ'^ + Τζ'^+... (2-45) Επειδή δεν μπορούμε να ελαττώσουμε το μόνο το δεξί μέρος της εξίσο^σης 2-43 σε ένα πεπερασμένο αριθμό όρων, πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέρη της εξίσωσης εξίσωση 2-45 έχουμε Έτσι η Ε(ζ) γίνεται Fiz)-- 2-45 πάλι με ζ ' και αφαιρούμε το αποτέλεσμα από την (1- z-'ffiz)= Τζ~' 7z" {\~ζ~'ϋ Τζ {ζ-\γ ο μετασχηματισμός Laplace της /(γ)είναι Fis)^i[f(t)]=f[tu,{t)]=^ S (2-46) (2-47) (2-48) Που έχει ένα διπλό πόλο για s=0.για να επιτύχουμε την κλειστού τύπου λύση της F(z) από την F(s) πρέπει να χρησιμοποιήσουμε την εξίσωση 2-23 αφού η F(s) σ αυτή την περίπτωση έχει ένα πόλο δεύτερης τάξης. Έτσι από τις εξισιόσεις 2-23 και 2-24 αναγνωρίζουμε ότι k=l. Si=0 και ηΐι=0.η εξίσωση 2-23 δίνει /ύ, = 1 Γό*'-', 1 ^ ~izts lc Έτσι kn=l και ku=0.η εξίσωση 2-23 δίνει F{z)= Σ 1 Τζ (2-/)! S r (--Ο που είναι το ίδιο αποτέλεσμα με την εξίσωση 2-47. (2-49) (2-50)

39 Μπορούμε επίσης να χρησ μοποιήσουμε την εξίσωση 2-25 για να φθάσουμε στο ίδιο αποτέλεσμα όπ(ο* στην εξίσωση 2-50. Έχουμε 3 F U ) - -,1 I Ί Τζ (2-51) (ζ -ΐ)' Παράδειγμα 2.5 Να βρεθεί ο μετασχηυατισμ<^ς ζ από την σειρά /(λ)=(1,'2)^ για k =0,1,2,... Πολλαπλασκχζοντας την fik) με και παίρνοντας το άθροισμα από k=0 εώς k=co ή αντικαθιστούμε την f{k) στην 2-13 Α:=0 fc=0 1, 1 2 1 = 1+ ι 2 + 2 +-Ζ +... 2 4 8 (2-52) (2-53) Σημειώστε ότι η δειγματοληπτική περίοδος Τ δεν εμφανίζεται σ αυτή την περίπτωση και μπορεί να θεωρηθεί ίση με μονάδα Για να εκφράσουμε την F(z) σε κλειστό τύπο πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέρη της εξίσωσης 2-53 με ( / 2)ζ *και αφαιρούμε το αποτέλεσμα από την εξίσωση 2-53. Στη συνέχεια λύνουμε για F(z) και έχουμε 1 2 (2-54) F(z)=- Ι 1- ν! Ζ -- \ 2 ^ 2 υ

40 Ο αντίστροφος μετασχηματισμός ζ Όπως tcai στην ανάλυση του μετασχηματισμού Laplace ο μετασχηματισμός ζ χρησιμοποιείται για να διευκολύνει τον αλγεβρικό χειρισμό των συναρτήσεων μεταφοράς. Περιστασιακά η αντίστροφη μεταφορά του ζ πρέπει να χρησιμοποιηθεί για να μεταβούμε από τον μετασχηματισμένη στην κύρια συνάρτηση. 2.2.1. Μ η μοναδικότητα του μετασχηματισμού ζ Είναι γνωστό ότι ο μονόπλευρος μετασχηματισμός Laplace και ο αντίστροφος μετασχηματισμός του είναι μοναδικοί, έτσι αν η F(s) είναι ο μετασχηματισμός Laplace της fit) τότε η /(?) είναι ο αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace της F(s). Στον μετασχηματισμό ζ, δίνοντας την συνάρτηση F(z), ο αντίστροφος μετασχηματισμός ζ δεν είναι γενικά μοναδικός. Ξεκινώντας από την συνάρτηση fit), ο μετασχηματισμός ζ είναι F(z), αλλά ο αντίστροφος μετασχηματισμός ζ δεν είναι απαραιτήτως, και γενικά ίσος με την /(.') Το σωστό αποτέλεσμα του αντίστροφου μ'-τασχηματισμού ζ της F(z) είναι fikl) που είναι ίσος με fit) μόνο στα δειγματοληπτικά παραδείγματα. Αυτό το αποτέλεσμα δεν θα πρέπει να μας εκπλήσσει, αφού όταν η fit) δειγματίζεται από ιδανικό δείγμα, η πληροφορία ανάμεσα στα δειγματοληπτικά παραδείγματα είναι τελείως χαμένη και δεν μπορούμε να παράγουμε πάλι την fit) του F(z). Το σχήμα 2.2 διευκρινίζει την απλή περίπτιοση του να πάρουμε τον μετασχηματισμό ζ μιας μοναδιαίας συνάρτησης και η σχετική λειτουργία περιέχει μια σειρά...οναδιαίων ημιπαλμων με δειγματοληπτική περίοδο Ts. Παράγεται το συμπέρασμα λοιπόν ότι ο αντίστροφος μετασχηματισμός ζ της F(z) δεν είναι μοναδικός. αφού η fit) μπορεί να είναι κάθε συνάρτηση του t.

41 Η μη μοναδικότητα του αντίστροφου μετασχηματισμού 7 είναι έχ ^'* από τους περιορισμούς που μας επιβάλει μετασχηματισμός ζ. Αυτό όμως το ξεπερνάμε καθώς τα πλεονεκτήματα του μετασχηματισμού ζ αντισταθμίζουν τα μειονεκτήματα που έχει. Εάν η δειγματοληπτική περίοδος Τ είναι προσεκτικά επιλεγμένη και ^^^ετική με την παραλλαγμένη χρονική συνάρτηση f(i). την ακολουθία f(ki) ο μετασχηματισμός ζ της F(z), μπορεί να παρουσιαστεί ακριβώς από την συνεχή συνάρτηση f{t). Για να μπορέσει να εφαρμοστεί ο μετασχηματισμός ζ στην λύση των εξισώσεων πρέπει να καθορίσουμε τον αντίστροφο μετασχηματισμό ζ. Σχήμα 2.2 Εικονογράφηση της μη μοναδικότητας του αντίστροφου μετασχηματισμού ζ. 2.2.2. Εξίσωση ορισμού του αντίστροφου μετασχηματισμού ζ Δίνοντας τον μετασχηματισμό ζ της συνάρτησης Ε(ζ) ο αντίστροφος μετασχηματισμός της Ε(ζ) σημειώνεται από την σχέση f(kt)=zs'\fiz)] Γενικά ο αντίστροφος μετασχηματισμός ζ μπορεί να παραχθεί με μια από τις ακόλουθες μεθόδους.

42 Πίνακες Μετασ//*ματισμού Για απλές συναρτήσεις προκειμένου να παράγουμε τον αντίστροφο μετασχηματισμό ζ μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τους πίνακες μετασχηματισμού του παραρτήματος. 2.2.4. Μέθοδος γεωμετρικής σειράς (Power series method) Η μέθοδος γεωμετρικής σειράς για την εύρεση του αντίστροφου μετασχηματισμού ζ, μιας συνάρτησης F(z) που εκφρόιζεται σαν αναλογία δύο πολυωνύμων του ζ, περιέχει διαίρεση του παρονομαστή της F(z) με τον αριθμητή όπως είναι ο τύπος ; Fiz)=f^+f,z-' + / 2Ζ"^+... Από τον ορισμό του μετασχηματισμού ζ μπορεί να φανεί ότι οι τιμές της /(λ ) είναι απλά οι συντελεστές στις γεωμετρικές σειρές. Παράδειγμα 2.6 Είναι επιθυμητό να βρεθούν οι τιμές της / (λ), της F{z) που δίνεται από τον τύπο ζ (2-55) F(z)=.2...,..., ζ -3ζ+2 Χρησιμοποιώντας διαρκείς διαιρέσεις επιτυγχάνουμε z^ +3ζ ^+7ζ" ^15z +... - J2 ') ' Ύ -L)L ζ-3-2: 3-2z 3-9ζ'' +6ζ^- 7ζ^' - 6 ζ' 1ζ -21ζ-' -14 15ζ " -14ζ'... (2-56)

43 και έτσι / (0)=0 / ( 1)=1 /(2)=3 /(3)=7 /(4)-15 fik)=l k-l Σ αυτήν ειδικά την περίτττωση, μπορούμε να αναγνωρίσουμε την γενική έκφραση της f(k) σαν συνάρτηση του λ'[/(α:)=2''-ΐ]. Γενικά αυτό δεν μπορεί να γίνει χρησιμοποιοίντας την μέθοδο των γεωμετρικών σειρών. 2.2.5. Μέθοδος μερικής κλασματικής διάσπασης. (Partial-Fraction Expansion Method) Με ένα παρόμοιο τρόπο μ αυτό που εργαζόμαστε στον μετασχηματισμό Laplace, μια συνάρτηση F(z) μπορεί να υποστεί κλασματική διάσπαση και μετά χρησιμοποιώντας πίνακες γνωστών ζευγαριών μετασχηματισμού ζ να καθορίσουμε τον αντίστροφο μετασχηματισμό ζ. Τέτοιοι αναλυτικοί πίνακες μετασχηματισμίόν ζ που βασίζονται σε συναρτήσεις δειγματοληπτικού χρόνου υπάρχουν στο παράρτημα όπως επίσης ένας τέτοιος πίνακας είναι και ο πίνακας Α. Πριν συνεχίσουμε με ένα παράδειγμα της μεθόδου μερικής κλασματικής διάσπασης θεωρούμε την συνάρτηση Fi ζ)= = 1+ Γ- a Εξετάζοντας τις γεωμετρικές σειρές φαίνεται ότ' ζ- a (2-57) (2-58)

44 όπου 3 3- [----- ζ - a (2-58) δηλώνει τον αντίστροφο μετασχηματισμό ζ. Αυτή η ειδική συνάρτηση είναι ίσως ο πιο κοινός μετασχηματισμός ζ που συναντάται αφού η ακολουθία {α*^} είναι εκθετική. Φαίνεται από τον πίνακα μετασχηματισμού του παραρτήματος ότι μια παράγωγος του ζ ταιριάζει στον αριθμητή του μετασχηματισμού που δίνεται. Έτσι η μερική κλασματική διάσπαση θα τυποποιηθεί σε F(z)/z και το αποτέλεσμα θα είναι το ίδιο με τους τύπους του πίνακα A του παραρτήματος. Παράδειγμα 2.7 Θεωρείστε την συνάρτηση F(z) ζ (2-59) F(z)= ( ζ - 1)(ζ- 2) Αφού Fiz) Ι -1 1 ' + ζ (ζ-ί)(ζ- 2) ζ -1 ζ - 2 Τότε ζ -1 ζ - 2 Από την εξίσωση 2-57 ή τον πίνακα A του παραρτήματος η τιμή της /(λ ) δίνεται από f{k)=-\+r (2-60) που είναι το ίδιο αποτέλεσμα με αυτό του παραδείγματος 2.6. Θεωρούμε στην συνέχεια την εξίσωση 1 (2-61) F,(z)= ζ F(z)= ( ζ - 1)(ζ- 2) Τότε F\{z) Ι 1/2-1 1/2 Γζ-1)(ζ- 2) ζ ζ -1 ζ - 2 ΡΛζ) 1 - ζ (1/2)ζ 2 ζ -1 ζ - 2 Έτσι 1 /,(Α')= α - 1- - 2' = α - 1^2 1

45 οπού a = 1 fc=0 «>1 Αφού από τον πίνακα A 3 ' [: -]=-ό'(α:) (c=0 k>\ (2-62) Έτσι έχουμε ορίσει τον αντίστροφά..^ιαγχηματισμό με την υ'^'^οδο μερικής κλασματικής διάσπασης, για συναρτήσεις που έχουν πραγματικούς πόλους. Ο ίδιος τρόπος εφαρμόζεται και για τις συναρτήσεις που έχουν σύνθετους πόλους, άλλωστε ο αντίστροφος μετασχηματισμός περιέχει σύνθετες συναρτήσεις. Αναπτύσσουμε τώρα τον αντίστροφο μετασχηματισμό ζ σε πραγματικές συναρτήσεις. Πρώτα θεωρούμε την πραγματική συνάρτηση ν(λ)= cos(bkt + S)= Ae okt [ej jb k. j A, (2-63) όπου a και b είναι πραγματικά. Η σχέση του Euler s που δίνεται από τον τύπο cosx = (2-64) εφαρμόζεται στην εξίσωση 2-63. Ο μετασχηματισμός ζ αυτής δίνεται από τους πίνακες του παραρτήματος η^)-- ζ,ατ+jbt z-e at-jbt (Ae'Vl)z {Ae-'^l2)z kz Kz (2-65) jt-jbt z-p, z~p, όπου o αστερίσκος δηλώνει την σύνθετη ένωση. Η συνηθισμένη μέθοδος μερικής κλασματικής διάσπασης, παράγει όρους σύμφωνα με τον τύπο της εξίσωσης 2-65. Έτσι δίνοντας τον συντελεστή της μερικής διάσπασης ki και τον πόλο ρι στην εξίσωση 2-65 μπορούμε να λύσουμε για την πραγματική συνάρτηση της εξίσωσης 2-65 χρησιμοποιώντας την ακόλουθη σχέση από την εξίσωση 2-65

46 bt = arg/i, (2-66) και k, = 2 A A =2 A, 3 = ar%k.^ (2-67) Έτσι υπολογίζουμε τα ατ και bt από τους πόλους, και τα A και θ από την μερική κλασματική διάσπαση. Μπορούμε τώρα να εκφράσουμε τον αντίστροφο μετασχηματισμό ζ σαν την καμπύλη της εξίσωσης 2-63. Ένα διευκρινιστικό παράδειγμα δίνεται παρακάτω. Παράδειγμα 2.8 Βρίσκουμε τον αντίστροφο μετασχηματισμό ζ της συνάρτησης -3.894Ζ -3.894Ζ }%ζ)= ----------------------------- +0.6065 (z-yo.7788)(z+;o.7788) Αγ,ζ ζ + z-jo.nss ζ+ γό.7788 Διαιρώντας και τα δύο μέρη με ζ υπολογίζουμε το ki -3.894 λ, =(z-y0.7788) [(ζ-;0.7788)(ζ + γό.7788) ;Ό.7788-3.894-3.894 ζ+ γό.7788 2(70.7 7 8 8) =2.5(90 Από τις εξισώσεις 2-66 και 2-67 με ρι=0.7788 ατ = Inipi! = 1η (0.7788)= - 0.250 bt = argpi = π/2 A = 2 kil =2(2.5) =5 Έτσι από την εξίσωση 2-63 έχουμε y(k)= cos(bkt = 3) θ = argkj = Till -Ze-^ ^^cd-k-r- USe-^ ^^ k.a-k \ 2 2J 2 Αυτό το αποτέλεσμα μπορεί να επα?^ηθευτεί αν το συγκρίνουμε με το αποτέλ,εσμα που θα πάρουμε αν χρησιμοποιήσουμε τους πίνακες του παραρτήματος για να βρούμε τον,ιιετασχηματισμό ζ.