2 η ΑΣΚΗΣΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΚΦΩΝΗΣΗ

2 η ΑΣΚΗΣΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΚΦΩΝΗΣΗ Διαθέτουμε τροχό ο οποίος αποτελείται από έναν ομογενή λεπτό δακτύλιο μάζας m = 1 kg και ακτίνας R και τέσσερις λεπτές ομογενείς ράβδους μάζας Μ ρ = ¾m και μήκους l = 2R η καθεμία. Οι ράβδοι είναι ενωμένες στο μέσο τους, το οποίο συμπίπτει με το κέντρο μάζας του δακτυλίου, και τα άκρα τους είναι στερεωμένα στο δακτύλιο, όπως φαίνεται στο σχήμα. Στο κέντρο μάζας του τροχού αυτού είναι συνδεδεμένο ιδανικό ελατήριο σταθεράς k = 150 N/m, το άλλο άκρο του οποίου είναι στερεωμένο σε ακλόνητο τοίχο. Το σύστημα τροχός - ελατήριο ισορροπεί επάνω σε ομογενή ράβδο μάζας Μ = 10m και μήκους L = 4m, με το κέντρο μάζας του τροχού να βρίσκεται πάνω από το μέσο της ράβδου. Η ράβδος ισορροπεί με τη βοήθεια αβαρούς και μη εκτατού νήματος στο άκρο της Γ και άρθρωσης στο άκρο της Α. Εκτρέπουμε τον τροχό κατά Δl με φορά προς το άκρο Α της ράβδου και τον αφήνουμε ελεύθερο να κινηθεί, οπότε αυτός αρχίζει να κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει οριακά επάνω στη ράβδο, ενώ η ράβδος διατηρεί την ισορροπία της καθ όλη τη διάρκεια της κίνησης του τροχού. α. Να αποδειχθεί πως ο τροχός εκτελεί Απλή Αρμονική Ταλάντωση και να βρεθεί η περίοδος της ταλάντωσής του. Χωρίς να προκαλέσουμε αλλαγή στην ταλάντωση που εκτελεί ο τροχός τοποθετούμε μικρό, αβαρή ανιχνευτή ηχητικών κυμάτων στο κέντρο μάζας του τροχού και μικρή αβαρή ηχητική πηγή σε ένα σημείο του νήματος, ώστε τα κύματα συχνότητας f s = 680 Hz τα οποία εκπέμπει η πηγή να βρίσκονται στην ίδια ευθεία με τον ανιχνευτή. Η ελάχιστη συχνότητα των ηχητικών κυμάτων της ηχητικής πηγής που μετρά ο ανιχνευτής είναι f Α = 678 Hz. 1

β. Να υπολογιστεί ο συντελεστής στατικής τριβής που εμφανίζει ο τροχός με τη ράβδο. γ. Να γραφεί η χρονική εξίσωση της δύναμης που δέχεται η ράβδος από το νήμα, θεωρώντας ως χρονική στιγμή t 0 = 0 τη στιγμή που ο τροχός αφήνεται αρχικά ελεύθερος. δ. Να υπολογιστεί η δύναμη που δέχεται η ράβδος από το νήμα όταν ο ανιχνευτής μετρά συχνότητα ηχητικών κυμάτων ίση με τη συχνότητα των ηχητικών κυμάτων που εκπέμπει η πηγή. Δίνονται: Η επιτάχυνση της βαρύτητας: g = 10m/s 2. Η ταχύτητα διάδοσης του ήχου στον ακίνητο αέρα: U ηχ = 340 m/s. Η ροπή αδράνειας ομογενούς ράβδου ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας της και είναι κάθετος σε αυτή: I cm = 1 / 12 ML 2. 2

2 η ΑΣΚΗΣΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΛΥΣΗ α. Θα ξεκινήσουμε υπολογίζοντας τη ροπή αδράνειας του τροχού. Ι δακτ = mr 2, αφού η μάζα του κατανέμεται ομοιόμορφα στην περιφέρειά του. Ι = Ι δακτ + 4Ι cm I = mr 2 + 4 Μ ρ l 2 I = mr 2 + 4 m 4R 2 I = 2mR 2. Σε μία τυχαία θέση απομάκρυνσης x από τη Θέση Ισορροπίας (μετρώντας από το c.m. του τροχού), έχουμε: Στ = Ια γων Τ στ R = 2mR 2 α γων Τ στ = 2mRα γων (1) Αφού ο τροχός κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει θα έχουμε α cm = α γων R (2) ΣF = M ολ α cm F ελ Τ στ = 4mα cm T στ = F ελ 4mα cm (3) (1), (3) F ελ 4mα cm = 2mRα γων ( ) F ελ = 6mα cm α cm = ελ (4) 3

(3), (4) T στ = F ελ 4m ελ T στ = F ελ - Τ στ = (5) ΣF = Τ στ F ελ ( ) ΣF = ΣF = kx Άρα ο τροχός εκτελεί Α.Α.Τ. σταθεράς D = k D = 100 N/m Ισχύει D = Μ ολ ω 2 100 = 4ω 2 ω 2 = 25 ω = 5 rad/s Τ = π ω T = 0.4π s. β. Ισχύει f A = f S. Παρατηρούμε πως f A = min όταν U A = U max, άρα: f A = f S 678 = 680 U max = 1 m/s Εφαρμόζουμε την Αρχή Διατήρησης της Ενέργειας από τη στιγμή που ο τροχός αφέθηκε ως τη στιγμή που έφτασε στη Θέση Ισορροπίας της ταλάντωσής του: Ε αρχ = Ε τελ kδl 2 = M ολ U max 2 + Iω max 2 kδl 2 = 4mU max 2 + 2mR 2 ω max 2 kδl 2 = 6mU max 2 Δl = U max Δl = 0.2 m Όμως ο τροχός ξεκινά την ταλάντωσή του με μηδενική αρχική ταχύτητα, άρα αρχικά βρίσκεται σε ακραία θέση της ταλάντωσής του. Κατά συνέπεια θα ισχύει πως Δl = A, όπου Α το πλάτος της ταλάντωσής του. Ισχύει για τον τροχό: ΣF y = 0 W = N N = 4mg (6) Προκειμένου ο τροχός να κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει θα πρέπει: Τ max T ορ Τ max μν ( ) T max μ4mg μ Γνωρίζουμε όμως πως η κύλιση χωρίς ολίσθηση γίνεται οριακά, άρα στην παραπάνω σχέση ισχύει το ίσο. Έχουμε, δηλαδή: μ = (7) Από τη σχέση (5) του προηγούμενου ερωτήματος έχουμε: Τ στ = Τ στ = x T στ = 50x T max = 50x max T max = 50A Τ max = 10 N (8) (7), (8) μ = 0.25. γ. Στο παρακάτω σχήμα φαίνονται οι δυνάμεις που ασκούνται στη ράβδο κάποια τυχαία στιγμή κατά την οποία ο τροχός απέχει από τη θέση ισορροπίας του απόσταση d. 4

Η δύναμη Ν είναι η αντίδραση της δύναμης Ν που ασκείται στον τροχό από τη ράβδο. Όπως υπολογίσαμε στο προηγούμενο ερώτημα ισχύει Ν = 4mg και αφού κατά μέτρο ισχύει Ν = Ν, τότε θα έχουμε αντίστοιχα Ν = 4mg (9). Η δύναμη F A είναι η δύναμη που δέχεται η ράβδος από την άρθρωση, ενώ η δύναμη Τ ν είναι η τάση του νήματος, τη χρονική εξίσωση της οποίας πρέπει να υπολογίσουμε. Λαμβάνουμε υπ όψιν πως η ράβδος παραμένει ακίνητη σ όλη τη διάρκεια της κίνησης του τροχού, άρα θα ισχύει πως η συνισταμένη των ροπών σε κάθε της σημείο ισούται με μηδέν. Για το σημείο (Α) θα ισχύει, λοιπόν: Στ (Α) = 0 F A 0 + N ( - d) + Mg Τ ν L = 0 ( ) 4mg (2 d) + 10mg 2 = 4T ν 8mg 4mgd + 20mg = 4Τ ν Τ ν = 7mg mgd Τ ν = 70 10d (S.I.) (10). Όμως η απόσταση d του τροχού από τη θέση ισορροπίας του δίνεται από τη σχέση d = Aημ(ωt + φ 0 ), εφόσον εκτελεί Α.Α.Τ. Από το ερώτημα (α) έχουμε υπολογίσει πως ω = 5 rad/s και από το ερώτημα (β) γνωρίζουμε πως Α = 0. m. Επίσης γνωρίζουμε πως ο τροχός ξεκινά την ταλάντωσή του από ακραία θέση. Λαμβάνοντας υπ όψιν τη δεδομένη θετική φορά, η ακραία αυτή θέση είναι η θετική, επομένως μέσω του περιστρεφόμενου διανύσματος καταλήγουμε πως η αρχική φάση της ταλάντωσης θα είναι φ 0 = rad. Θα έχουμε λοιπόν d = 0.2ημ(5t + ) (S.I.), άρα η χρονική εξίσωση της τάσης του νήματος θα είναι, λόγω της σχέσης (10): Τ ν = 70 2ημ(5t + ) (S.I.). δ. Θέλουμε να ισχύει f A = f S, όμως f A = f S = 1 U A = 0 Η ταχύτητα του τροχού μηδενίζεται σε δύο θέσεις της ταλάντωσής του, τις θέσεις απομάκρυνσης ±Α (ακραίες θέσεις). Θα πρέπει λοιπόν να υπολογίσουμε την τάση 5

του νήματος σε καθεμία από αυτές. Αρκεί να θέσουμε στην σχέση (10) του ερωτήματος (γ) όπου d = ±Α: Τάση στη Θετική Ακραία Θέση: Τ ν = 70-10 0.2 Τ ν = 68 Ν. Τάση στην Αρνητική Ακραία Θέση: Τ ν = 70 + 10 0.2 Τ ν = 72 Ν. 6