ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΠΟΛΥΤΕΣ ΤΙΜΕΣ Ο ρ ι σ μ ό ς α 0 α = α α < 0 α = - α Ετσι από τον ορισμό : 5>0-5<0 5 = 5, - 5 = - (-5) = 5 και 0 = 0 οπως επίσης : 4- κ+3 + 5 κ- 1) α) Αν χ 3 να γράψετε χωρίς απόλυτο την παράσταση : Α=χ -3 χ - 3 β)ομοια αν α - να γράψετε χωρίς απόλυτα την παράσταση Β= 3 α 3 α+ α) Προφανώς αφού χ 3 χ - 3 0 και επομένως χ - 3 = χ-3 Ετσι: Α= χ -3 χ - 3 = χ 3(χ-3) = χ -3χ +9 = 9 χ β) Αφού α - α + 0 είναι α+ = -(α+) (1) Επί πλέον εφ όσον α - => => α < 0 και έτσι α = -α () Ετσι λόγω των (1) και () Β= 3 α 3 α+ = 3(-α) 3[-(α+)] = - 3α +3(α+) = -3α +3α+6=6 ) Αν -3 < κ < να γράψετε χωρίς απόλυτα την παράσταση : Α= 4- κ+3+ 5 κ- Είναι κ>-3 και κ< κ+3>0 και κ-<0 και επομένως : κ+3 = κ+3 και κ- = -(κ-) συνεπώς Α = 4- κ+3+ 5 κ- = 4-(κ+3)+5[-(κ-)] = 4-κ-6-5κ+10=8-7κ 4) 3) Αν - < χ < και χ 0 αποδείξτε : x - - x + x = -. 1
Είναι : - < χ < επομένως χ > - και χ < χ + > 0 και χ - < 0. Ετσι είναι Ι χ - Ι = - ( χ - ) = - χ + και Ι χ + Ι = χ + και : x - - x + = - x + - ( x + ) x x αποδείχθηκε η ισότητα. = - x + - x - x = - x x = - άρα Παρατήρηση : Ο περιορισμός χ 0 προφανώς υπάρχει στην εκφώνηση λόγω του παρανομαστή. Ετσι πλέον λύνουμε τις ασκήσεις : 1) Να υπολογισθεί η τιμή της παράστασης : Α = 3 - - - I - 6 + 3 I + - I - 1 + 3 I + I - 6 - I ) Αν - 4 < λ < 4 αποδείξτε ότι η παράσταση Α = Ι λ + 4 Ι + Ι λ - 4 Ι λ είναι ανεξάρτητη του λ ε R. 3) Aν α < β < γ απλοποιήστε την παράσταση : Λ = Ι α - β Ι + Ι 3 α - γ Ι + Ι γ - α Ι 4) Αν χ > να απλοποιηθεί η παράσταση : Α= (χ-3) [ 4- χ- ] 5) Αν χ > 1 να απλοποιηθεί η παράσταση : Β = 3 Ι 1 - χ Ι + 4 Ι χ Ι - Ι χ + Ι 4)Εστω Α = Ι χ - 1 Ι - χ + 6 χ ε R. για τις διάφορες τιμές του χ να απλοποιηθεί η παράσταση Α 1) Εστω Α = Ι χ - 1 Ι - χ + 6 χ ε R. α) Αν χ - 1 0 χ 1 τότε βέβαια : Ιχ - 1 Ι = χ - 1 και Α = ( χ - 1 ) - χ + 6 Α = χ - - χ + 6 Α = 4 β) Αν χ - 1 < 0 χ < 1 τότε : Ι χ - 1 Ι = - ( χ - 1 ) = - χ + 1 και Α = ( - χ + 1 ) - χ + 6 Α = - χ + - χ + 6 Α = - 4χ + 8 επομένως τελικά : Α = 4 αν χ 1-4χ + 8 αν χ < 1
5) Ομοια για τις διάφορες τιμές του α ε R να απλοποιηθεί το κλάσμα : α -α-3 α-1 + α) προφανώς αν α-1 0 α 1 τότε α-1 = α-1 και επομένως το κλάσμα α -α-3 α-1 + = α 3α+α-3 α(α+1)-3(α+1) (α+1)(α-3) = = =α-3 α-1+ α+1 α+1 β) αν α-1<0 α<1 τότε α-1 =-( α-1 )= -α+1 και επομένως το κλάσμα α -α-3 α-1 + = α 3α+α-3 α(α+1)-3(α+1) (α+1)(α-3) = = = (α+ 1) -α+1+ 3-α 3-α Επομένως για τις διάφορες τιμές των μεταβλητών τους να απλοποηθούν οι παραστάσεις : Α= χ χ-1 - χ, Β = ψ (ψ-3) -ψ (3 ψ ) και Γ= χ+1 ψ-1 + με χ -1, ψ 1 χ+1 ψ-1 Ι Δ Ι Ο Τ Η Τ Ε Σ Α Π Ο Λ Υ Τ Ω Ν 1) - α = α ) α β = α β 3) 4) α 0 5) α α = β β α = α 6) Να απλοποιηθεί η παράσταση : Α = χ + -χ + 3χ με χ ε R Από τις ιδιότητες των απολύτων είναι : -χ = χ (1) και 3χ = 3 χ = 3 χ () Ετσι από (1) και () : Α = χ + -χ + 3χ = χ + χ + 3 χ = 6 χ (3) Προφανώς αν χ 0 είναι Α = 6χ και αν χ<0 είναι Α=-6χ 3
7) Αποδείξτε α- + α + 4-4α = (α-) για κάθε α ε R Από την ιδιότητα α = α => α- = (α-) (1) Επί πλέον είναι α + 4> 0 => α + 4 = α + 4 και επομένως α + 4-4α = α + 4-4α = (α-) = (α-) () (εφ όσον (α-) 0 ) Ετσι πλέον από (1) και () : α- + α + 4-4α = (α-) + (α-) = (α-) άρα το ζητούμενο 8) Αποδείξτε την ισοδυναμία : Ι χ Ι - Ι ψ Ι = χ + ψ χ ψ 0 Γνωρίζουμε ότι Ι α Ι 0 για κάθε α ε R. Αρα είναι Ι χ Ι - Ι ψ Ι 0 και Ι χ + ψ Ι 0 ( μπορούμε δηλαδή να αποδείξουμε την παραπάνω σχέση με ύψωση στο τετράγωνο ) Ι χ Ι - ι ψ Ι = χ + ψ Ι χ Ι - Ι ψ Ι = χ + ψ ( από την ιδιό - τητα Ι α Ι = α ) ( Ι χ Ι - Ι ψ Ι ) = ( χ + ψ ) Ι χ Ι - Ι χ Ι Ι ψ Ι + Ι ψ Ι = χ + χ ψ + ψ χ - Ι χ ψ Ι + ψ = χ + χ ψ + ψ - Ι χ ψ ι - Ι χ ψ Ι = χ ψ = χ ψ Ι χ ψ Ι = - χ ψ - - (από τον ορισμό Ι α Ι = - α α 0 ) άρα χ ψ 0 Παρατήρηση : Ο ορισμός λέει : Ι α Ι = - α α < 0. Προφανώς όμως και 4
για α = 0 ισχύει Ι 0 Ι = - 0 = 0 Ετσι πλέον λύνουμε τις ασκήσεις : 1)Αποδείξτε ότι αν χ-1 + χ- + 1-χ =0 χ=1 ) Να απλοποιηθεί η παράσταση : Α = + I - x + x - 1 I - I x + 1 I + x 3) Αποδείξτε ότι : α + 1 α = α + 1 α 4) Να απλοποιηθεί η παράσταση : για κάθε α ε R με α 0 α + 3 Ι α Ι 3 - Ι α Ι + με α ±3 α - 9 α - 6 Ι α Ι + 9 1)Αν θ θετικός ( θ > 0 ) είναι )Αν α αρνητικός ( α < 0 ) είναι χ = θ χ = - θ ή χ = θ χ = α αδύνατο 3) χ = 0 χ = 0 4) χ = ψ χ = - ψ ή χ = ψ Ετσι χ = 3 χ =-3 ή χ = 3 όπως και χ = 6 χ= -6 ή χ=6 χ-3 = χ-3 = ή χ-3=- χ=5 ή χ=1 Ομοια χ - 1 = 5 χ-1=-5 ή χ-1=5 χ=-4 ή χ=6 χ=- ή χ=3 Η σχέση χ =- 3 είναι προφανώς αδύνατη εφ όσον χ 0 Ομοια χ - 3 = -1 αδύνατο Τέλος χ + 6 = 0 χ+6=0 χ=-6 χ=-3 5
Στον παρακάτω πίνακα να συμπληρώσετε στην δεύτερη γραμμή τις τιμές της μεταβλητής χ για τις οποίες ισχύουν οι αντίστοιχες σχέσεις της πρώτης γραμμής Α γραμμή χ = 4 χ = 3-χ = χ+1 = 3 χ+1 = 0 -χ = 6 χ - 4 = 5 Β γραμμή 1) α + β α + β ) με θ θετικό χ θ - θ χ θ 3) με θ θετικό χ > θ χ < - θ ή χ > θ 4) με θ θετικό χ - χ 0 < θ χ ε (χ 0 θ, χ 0 + θ ) χ 0 θ < χ < χ 0 + θ 5) με θ θετικό χ - χ 0 > θ χ ε (-, χ 0 θ ) ( χ 0 + θ, + ) χ < χ 0 θ ή χ > χ 0 + θ Ετσι : 1) χ < - < χ < ) χ > 3 χ < -3 ή χ > 3 3) χ 4-4 χ 4 4) χ 5 χ - 4 ή χ 5 5) χ - 1-1 χ- 1-1 + χ 1 + 1 χ 3 6) χ + 3 > χ + 3 < - ή χ + 3 > χ < - 5 ή χ > - 1 Όμως : 1) χ < - είναι αδύνατη αφού χ 0 για κάθε χ ε R ) χ > - προφανώς ισχύει για κάθε χ ε R 3) χ - 1-1 και πάλι ισχύει για κάθε χ ε R 4) χ + 3-1 είναι αδύνατη αφού χ + 3 0 για κάθε χ ε R 5) χ - 3 > 0 χ 3 0 χ 3 6) χ - 1 0 χ - 1 = 0 χ-1 = 0 χ=1 6
Στον παρακάτω πίνακα να συμπληρώσετε στην δεύτερη γραμμή τις τιμές της μεταβλητής χ για τις οποίες ισχύουν οι αντίστοιχες σχέσεις της πρώτης γραμμής Α γραμμή χ < 4 χ > 3-χ χ+1 3 χ+1 0 -χ > 6 χ > 5 Β γραμμή Α γραμμή χ < 4 χ > 0 3-χ < 1 χ 4 χ+1 < 0 -χ > -χ 3 Β γραμμή 7
ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΣΤΑ ΑΠΟΛΥΤΑ 1) Αντιστοιχίστε σε κάθε στοιχείο της Α ΓΡΑΜΜΗΣ το κατάλληλο στοιχείο της Β ΓΡΑΜΜΗΣ x = 0 x > 0 x < 0 x 0 Α ΓΡΑΜΜΗ x > 0 x = 0 Ισχύει για αδύνατη x 0 Β ΓΡΑΜΜΗ Κάθε x ε R ) Ομοια αντιστοιχίστε σε κάθε στοιχείο της Α ΓΡΑΜΜΗΣ το κατάλληλο στοιχείο της Β ΓΡΑΜΜΗΣ Α ΓΡΑΜΜΗ x < 3 x > 3 x = 3 x <- 3 x > - 3 Β ΓΡΑΜΜΗ x = 3 ή Ισχύει για -3 < x < 3 x < - 3 ή Αδύνατη x < ± 3 x = - 3 κάθε x ε R x > 3 3) Να συμπληρώσετε τις σχέσεις : Α) x - < 3......................... Β) x - > 3......................... Γ) x - = 3......................... 4) Χαρακτηρίστε Σωστή ή Λάθος κάθε μία από τις παρακάτω προτάσεις : Α) x + 3 = x + 3 Β) 3 x = 3 x Γ) x + x y + y = ( x + y ) Δ) x - y = y - x Ε) x + y = x - y ΣΤ) x + 1 + x = x + 1 8
* Προφανώς Λάθος θεωρούνται όποιες δεν ισχύουν για κάθε τιμή της ή των μεταβλητών τους 5) Να εξετάσετε εκείνες τις οποίες στην άσκηση 4) χαρακτηρίσατε Λάθος για ποιες τιμές της ή των μεταβλητών τους ισχύουν 6) Α) Το x - 1 με x 1 ισούται με : ι) x + 1 ιι) x 1 iii) 1 x iv) x = 1 Β) το x - 4 με x < 4 ισούται με : i) x + 4 ii) x 4 iii) 4 x iv) x = 4 Γ) Αν 3 x = 3 x τότε : i) x 0 ii) x < 0 iii) για κάθε x ε R iv) Για καμία τιμή του x Δ) Αν y + = - y τότε : i) y - ii) y < - iii) y 0 iv) y < 0 Σε κάθε ένα από τα Α), Β), Γ), Δ) επιλέξτε την σωστή απάντηση 7) Από τους φυσικούς αριθμούς τους μικρότερους του 10 να βρείτε ποιοι επαληθεύουν τις παρακάτω σχέσεις ( σε κάποιες μπορεί να είναι περισσότεροι από ένας σε κάποιες μπορεί και κανένας ) Α) y - 5 = 3 Β) y - 5 3 Γ) y - 5 = - 3 Δ) y - 5-3 8) Να αναφέρετε όλους τους πραγματικούς αριθμούς που επαληθεύουν τις σχέσεις Α), Β), Γ), Δ) της προηγούμενης άσκησης 7) 9
10