ΕΡΓΟ ΙΧΥ ΚΑΙ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1 Ο Παίρνουμε έναν παίχτη του Γκολφ ο οποίος κτυπά μια μπάλα. Τι ασκεί πάνω στην μπάλα ο παίχτης; Ο παίχτης χρησιμοποιεί το μπαστούνι για να την θέσει σε κίνηση. Η μπάλα αποκτά ταχύτητα. Τι είδος ενέργειας αποκτά η μπάλα; Από πού προέρχεται αυτή η ενέργεια; Εξαιτίας της μεταφοράς ενέργειας λέμε ότι το μπαστούνι εκτέλεσε έργο πάνω στη μπάλα. Πριν όμως η μπάλα κτυπηθεί από το μπαστούνι ο παίχτης εκτέλεσε έργο πάνω στο μπαστούνι, κάνοντας το να κινηθεί. τη φυσική λέμε ότι εκτελείται έργο σε ένα σώμα όταν μεταφέρεται ενέργεια πάνω στο σώμα. Ο παίχτης του Γκολφ εκτελεί έργο πάνω στο μπαστούνι Το μπαστούνι εκτελεί έργο πάνω στη μπάλα Ενέργεια από τον παίχτη του Γκολφ Ενέργεια στο μπαστούνι Ενέργεια στη μπάλα ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 2 Ο Ένα παιδί αφήνει μια σφαίρα και αυτή πέφτει στο έδαφος. Α) Γιατί συμβαίνει αυτό; Β) Τι είδος ενέργειας αποκτά η σφαίρα; Γ) Ποιες μετατροπές ενέργειας έχουμε εδώ; υμπληρώστε τις πιο κάτω προτάσεις: Τόσο στην περίπτωση της μπάλας όσο και στη σφαίρα, για να κινηθούν χρειάστηκε να ασκηθεί πάνω τους μια η οποία μετακινεί το σημείο εφαρμογής της. θεωρούμε ότι εκτελείται έργο πάνω σε ένα σώμα όταν μια εφαρμόζεται πάνω σε αυτό και το σώμα.., ως αποτέλεσμα της δράσης αυτής της δύναμης. Μιχάλης Περικλέους 1
Τύπος του έργου: W = Με W συμβολίζουμε το έργο (Work), με την δύναμη που δρα πάνω στο σώμα και την μετατόπισή του σώματος. Το έργο είναι μονόμετρο μέγεθος. Η μονάδα μέτρησης του έργου στο διεθνές σύστημα S.I. είναι το J (Joule). Ορισμός του Joule: «1J είναι το έργο που παράγει δύναμη 1Ν όταν μετακινήσει ένα σώμα σε μια απόσταση 1m». 1J=1N 1m. υμπληρώστε την πιο κάτω πρόταση: Το έργο ως φυσικό μέγεθος εκφράζει την. που μεταφέρεται από ένα σώμα σε ένα άλλο ή που. από μια μορφή σε άλλη. Ερώτηση: Ποιαν άλλη μορφή μεταφερόμενης ενέργειας γνωρίζετε και πότε αυτή εκδηλώνεται; Μιχάλης Περικλέους 2
Παρατηρήσεις: 1. Όταν η φορά της δύναμης είναι η ίδια με αυτή της μετατόπισής (κίνησής) του σώματος, τότε λέμε ότι το έργο της δύναμης είναι θετικό. W =. Το θετικό έργο έχει πρόσημο +. Φορά της κίνησης το σχήμα ο άνθρωπος τραβά με μια δύναμη το σώμα. Το έργο της είναι θετικό. Αυτό σημαίνει ότι ο άνθρωπος μεταφέρει στο σώμα ενέργεια ίση με το έργο της. Εδώ ο άνθρωπος χάνει ενέργεια (κουράζεται), ενώ το σώμα κερδίζει ενέργεια ( κινείται πιο γρήγορα, αυξάνεται η κινητική του ενέργεια). 2. Όταν η φορά της δύναμης είναι η αντίθετη με αυτή της μετατόπισής (κίνησής) του σώματος, τότε λέμε ότι το έργο της δύναμης είναι αρνητικό. W = -. Το αρνητικό έργο έχει πρόσημο -. Φορά της κίνησης Όταν το έργο μιας δύναμης που ασκείται σ ένα σώμα είναι αρνητικό, τότε το σώμα μεταβιβάζει ενέργεια στον υπεύθυνο της δύναμης. Όταν ρίξουμε οριζόντια ένα σώμα με αρχική ταχύτητα υ 0 πάνω σε οριζόντιο δάπεδο, τότε, λόγω της τριβής, το σώμα μετά από λίγο θα σταματήσει. Εδώ το σώμα έχασε ενέργεια (κινητική), ενώ το δάπεδο αύξησε τη θερμική του ενέργεια, δηλαδή έχουμε μεταφορά ενέργειας από το σώμα, μέσω του έργου της τριβής, στο δάπεδο. υ Τ υ=0 3. Όταν η φορά της δύναμης είναι η κάθετη με αυτή της μετατόπισής (κίνησής) του σώματος, τότε λέμε ότι το έργο της δύναμης είναι μηδέν. Φορά της κίνησης Μιχάλης Περικλέους 3
Άσκηση: ώμα μάζας m=2kg κινείται σε οριζόντιο δάπεδο με σταθερή ταχύτητα υπό την επίδραση σταθερής οριζόντιας δύναμης. Αν Τ = 4Ν, να βρείτε το έργο των δυνάμεων, Ν, Β και το έργο της Τ, για μετατόπισή του σώματος κατά =10m. Δίνεται: g=10m/s 2. υ N υ T B τον πιο πάνω τύπο (W = ) ορίσαμε το έργο μιας σταθερής δύναμης η οποία έχει την ίδια φορά με τη μετατόπιση. Ερώτηση: Ποια μορφή όμως παίρνει ο τύπος μας όταν η σταθερή δύναμη σχηματίζει γωνία φ με τη μετατόπισή του σώματος; Απάντηση: W την περίπτωση αυτή αναλύουμε τη δύναμη σε δύο συνιστώσες μια κατά τον άξονα x ( x) και μια κατά τον άξονα y ( y). Φορά μετατόπισης y y φ φ x x Ποιας συνιστώσας το έργο είναι θετικό και ποιας είναι μηδέν; Άσκηση: ώμα μάζας m=10kg κινείται πάνω σε οριζόντιο επίπεδο υπό την επίδραση δύναμης με μέτρο =100N, της οποίας η διεύθυνση σχηματίζει με το οριζόντιο επίπεδο γωνία φ=30 0. Αν 1 = 50N, να βρείτε το έργο της δύναμης και το έργο της 1 για μετατόπιση του σώματος πάνω στο οριζόντιο επίπεδο κατά =10m. Δίνεται: g=10m/s 2. Μιχάλης Περικλέους 4
1 φ Υπολογισμός του έργου μιας δύναμης από τη γραφική παράσταση Δύναμη - Μετατόπιση Χρησιμοποιώντας τη γραφική παράσταση =f(x), μπορούμε να υπολογίσουμε γραφικά το μέτρο του έργου W μιας σταθερής δύναμης η οποία μετατοπίζει το σημείο εφαρμογής της πάνω στη διεύθυνση x, στην οποία ασκείται, κατά απόσταση. Από τη γραφική παράσταση βλέπουμε ότι για να υπολογίσουμε το έργο αρκεί μόνο να υπολογίσουμε το εμβαδόν του γραμμοσκιασμένου σχήματος. Εμβαδόν = Έργο = W=. (N) W = x x (m) Πάνω σε ένα ελατήριο του οποίου το ένα άκρο βρίσκεται στερεωμένο στο ταβάνι ασκούμε δύναμη και αυτό επιμηκύνεται. x 1=3cm 1=3N x 2 =6cm (N) 2=6N x (cm) Η δύναμη αυτή παραμένει σταθερή ή μεταβάλλεται; Ποια μορφή νομίζετε ότι θα έχει η γραφική παράσταση της δύναμης () σε σχέση με την επιμήκυνση (x) ; χεδιάστε την. Πώς θα υπολογίσετε το έργο της δύναμης από τη γραφική παράσταση; Υπολογίστε το έργο της δύναμης =3N για μετατόπισή του ελατηρίου κατά 3cm. Μιχάλης Περικλέους 5
Κινητική Ενέργεια Θεώρημα έργου ενέργειας Με βάση τον ορισμό του έργου, του δεύτερου νόμου του Νεύτωνα και των εξισώσεων κίνησης, μπορούμε εύκολα να αποδείξουμε τη σχέση που υπάρχει μεταξύ του έργου και της ενέργειας ενός σώματος. Θεώρημα έργου-κινητικής ενέργειας: «ε κάθε μετατόπιση το ολικό έργο των δυνάμεων που ασκήθηκαν σε ένα σώμα είναι ίσο με τη μεταβολή της κινητικής ενέργειας μεταξύ δύο θέσεων». 1 2 1 2 W E2 E1 W m 2 m 1 2 2 Άσκηση: ε σώμα μάζας m=2kg, που αρχικά ηρεμεί σε οριζόντιο επίπεδο, ασκείται οριζόντια δύναμη μέτρου =20N. Αν το σώμα δέχεται από το επίπεδο δύναμη τριβής Τ=8Ν, να βρείτε την ταχύτητά του μετά από μετατόπιση κατά =5m. υ=0 N υ T B Παρατήρηση: Όταν το έργο γίνεται ενάντια στη δύναμη τριβής, μέρος της κινητικής ενέργειας του σώματος μετατρέπεται σε άλλες μορφές ενέργειας, όπως θερμική και ηχητική. Μιχάλης Περικλέους 6
Ισχύς Κάθε σύστημα το οποίο μπορεί να μετατρέπει ενέργεια από μια μορφή σε άλλη, άρα και να παράγει έργο, ονομάζεται μηχανή. Ακόμη και ο άνθρωπος μπορεί να θεωρηθεί ως μηχανή, μια που μπορεί να μετατρέψει τη μυϊκή του ενέργεια σε δυναμική ενέργεια ενός αντικειμένου. Το αυτοκίνητο, όταν κινείται, μετατρέπει τη χημική ενέργεια των καυσίμων του σε κινητική. Καμιά μηχανή όμως δεν μπορεί να παράξει έργο, αν δεν τροφοδοτηθεί με ενέργεια. Εκείνο που έχει σημασία για μια μηχανή δεν είναι το ποσό του έργου που μπορεί να παράξει ή της ενέργειας που μπορεί να μετατρέψει, αλλά ο ρυθμός με τον οποίο επιτυγχάνει το αποτέλεσμα. Για τον λόγο αυτόν, ορίζουμε ένα νέο φυσικό μέγεθος, την ισχύ P ως τον ρυθμό παραγωγής έργου (W) ή ως τον ρυθμό μεταφοράς ή μετατροπής μιας μορφής ενέργειας σε άλλη. W P t Μονάδα μέτρησης της ισχύος είναι το 1 Watt (W). 1 Watt (W) είναι η ενέργεια σε Joules (J) που μεταφέρεται η μετατρέπεται από μια μορφή σε μια άλλη ανά δευτερόλεπτο. Ασκήσεις: 1. Μια αντλία νερού, λειτουργώντας συνεχώς με σταθερούς ρυθμούς, ανεβάζει 1800kg νερού σε ύψος 10m σε μια ώρα. Ποια είναι η ισχύς που αποδίδει η αντλία; ( g = 10 m/s 2 ) 2. Η ισχύς μιας μηχανής Μ 1 είναι P 1 = 400W, ενώ η ισχύς μιας άλλης μηχανής Μ 2 είναι P 2 = 50W. Α. Πόσο έργο παράγει η μηχανή Μ 1 αν λειτουργήσει για χρόνο 6 min; Β. Πόσο χρόνο ( σε min ) θα πρέπει να λειτουργήσει η μηχανή Μ 2 για να παραγάγει το ίδιο έργο με το έργο που παράγει η μηχανή Μ 1 στο χρόνο των 6 min; Μιχάλης Περικλέους 7
Βαρυτική δυναμική ενέργεια Παρατηρώντας τη διπλανή εικόνα να συμπληρώσετε την πιο κάτω πρόταση: Το βάρος είναι η. που δέχεται ένα σώμα όταν βρεθεί σε. πεδίο και έργο όταν προκαλεί μετατόπιση του σώματος. Β Β ΓΗ Ύψος h ενός σώματος ονομάζουμε την απόσταση μεταξύ του οριζοντίου επιπέδου, το οποίο ονομάζουμε επίπεδο αναφοράς και του επιπέδου όπου βρίσκεται το σώμα. Το επίπεδο αναφοράς μπορεί να είναι οτιδήποτε η επιφάνεια της Γης, ή ένα τραπέζι, ή η στέγη ενός σπιτιού. Εξετάζοντας το διπλανό σχήμα βλέπουμε ότι μπορούμε να βρούμε την δυναμική ενέργεια που έχει το σώμα ως προς δύο διαφορετικά επίπεδα αναφοράς. Δ A B Γ B h Με επίπεδο αναφοράς το ΑΒ: Ε Δ=mgh Με επίπεδο αναφοράς το ΓΔ: Ε Δ=mgh άλλα το h=0 Ε Δ=0. Ένα αερόστατο μάζας m κατεβαίνει από το Α στο Γ ακολουθώντας τρεις διαφορετικές διαδρομές. Θέτοντας την ευθύγραμμη μετατόπιση από το Α στο Γ, ΑΓ=h, να εξηγήσετε αν το έργο του βάρους και στις τρεις διαδρομές είναι το ίδιο. υμπέρασμα: Μιχάλης Περικλέους 8
Ελαστική δυναμική ενέργεια Η ελαστική δυναμική ενέργεια ενός σώματος είναι το έργο που παράγεται στο σώμα από μια δύναμη της μορφής = K x, όπου x είναι η επιμήκυνση ή η συσπείρωση του σώματος ( όπως ένα ελατήριο) και Κ είναι μια σταθερά, χαρακτηριστική του σώματος. Δύναμη () Όπως είδαμε στον υπολογισμό του έργου μεταβλητής δύναμης, το έργο παριστάνεται από το γραμμοσκιασμένο εμβαδό. Επιμήκυνση (x) x Έτσι, 1 1 1 1 E ά ύ x E Kx x E Kx 2 2 2 2 2 Ασκήσεις: 1. Μια γυναίκα βάρους 600Ν ανεβαίνει σε μια ζυγαριά η οποία στο εσωτερικό της έχει ένα ελατήριο ( μεγάλης σκληρότητας) όπως φαίνεται στο σχήμα. Αν στην περίπτωση ισορροπίας το ελατήριο κάτω από το βάρος της γυναίκας συσπειρώνεται κατά 1 cm, να υπολογίσετε τη σταθερά K του ελατηρίου και το έργο της δύναμης η οποία συσπειρώνει το ελατήριο. 2. Για ένα ελατήριο το διάγραμμα του μέτρου της δύναμης που ασκεί σε συνάρτηση με την παραμόρφωση του δίνεται στο σχήμα. Να βρείτε: α. Τη σταθερά Κ του ελατηρίου, β. τη δυναμική ενέργεια του ελατηρίου όταν η παραμόρφωσή του είναι x = 4 cm, γ. το έργο της δύναμης του ελατηρίου όταν η παραμόρφωσή του αυξάνεται από 2 σε 6 cm. (N) 45 40 35 30 25 20 15 10 5 0 0 2 4 6 8 10 x (cm) Μιχάλης Περικλέους 9
Μηχανική ενέργεια Όπως έχουμε αναφέρει, κάθε σώμα, λόγω της θέσης του έχει δυναμική ενέργεια και λόγω της κίνησής του έχει κινητική ενέργεια. Μια μπάλα η οποία πέφτει κατακόρυφα προς τα κάτω έχει και κινητική και δυναμική ενέργεια. Τι ενέργεια έχει στο μέγιστο ύψος από το οποίο αφήνεται και τι ενέργεια έχει στο σημείο που μόλις ακουμπά το έδαφος; A B h A Πώς μεταβάλλεται η δυναμική ενέργεια της μπάλας, καθώς κινείται προς τα κάτω; Μπορείτε να προβλέψετε πως μεταβάλλεται η κινητική ενέργεια της μπάλας καθώς κινείται προς τα κάτω; h B Γ Το άθροισμα της κινητικής και της δυναμικής ενέργειας ενός σώματος θα το ονομάσουμε μηχανική ενέργεια του σώματος. Ε Μ = Ε Δ + Ε Κ Θεώρημα διατήρησης της μηχανικής ενέργειας: ε συστήματα όπου παρατηρούνται μόνο μετατροπές δυναμικής σε κινητική ενέργεια ή αντίστροφα, η μηχανική ενέργεια διατηρείται σταθερή. Εφαρμογή Ε Μ (Α) = Ε Μ(Β) Ε Δ(Α) + Ε Κ(Α) = Ε Δ(Β) + Ε Κ(Β) Ένα αγόρι με πατίνια κινείται κατά μήκος μιας καμπύλης διαδρομής πίστας όπως φαίνεται στο σχήμα. Η μάζα του αγοριού είναι m = 25 kg. Ξεκινά από την κορυφή της διαδρομής ύψους 1,2m, από την ηρεμία και καταλήγει στο επίπεδο του εδάφους. Βρείτε την ταχύτητα με την οποία κινείται, όταν καταλήγει στο επίπεδό του εδάφους. Μιχάλης Περικλέους 10
Ασκήσεις: 1. Πέτρα μάζας 2kg αφήνεται να πέσει ελεύθερη από ύψος h = 45m. Δίνεται g = 10m/s. Να βρείτε: α. τη δυναμική ενέργεια της πέτρας σε αυτό το ύψος. β. τις μετατροπές ενέργειας που γίνονται μέχρι η πέτρα να φτάσει στο έδαφος. γ. πόση είναι η κινητική ενέργεια της πέτρας όταν φτάνει στο έδαφος. δ. με πόση ταχύτητα η πέτρα κτυπά στο έδαφος. ε. πόση είναι η ταχύτητα της πέτρας σε ύψος 25m πάνω από το έδαφος. στ. σε ποιο ύψος η ταχύτητά της πέτρας είναι 15 m/s. 2. Α. Να διατυπώσετε το θεώρημα διατήρησης της μηχανικής ενέργειας. Β. Ένας μαθητής ρίχνει μια πέτρα μάζας m = 2kg από το έδαφος κατακόρυφα προς τα πάνω και το μέγιστο ύψος που φτάνει είναι Η = 20m. Κατά την κίνησή της πέτρας δεν υπάρχουν απώλειες ενέργειας. Να υπολογίσετε: Ι. Τη μηχανική ενέργεια της πέτρας ως προς το έδαφος, στο μέγιστο ύψος (θέση Β). ΙΙ. Την ταχύτητα ( υ Α ) με την οποία βάλλεται η πέτρα προς τα πάνω ( θέση Α ). ΙΙΙ. Την ταχύτητά της πέτρας σε ύψος σε ύψος h Γ = 3,8m πάνω από το έδαφος ( θέση Γ ). 3. Ένα σώμα 4kg ρίχνεται προς τα κάτω με ταχύτητα 10 m/s, από το άκρο μιας πολυκατοικίας ύψους h = 20m, όπως φαίνεται στο σχήμα. Θεωρήστε ότι δεν υπάρχουν απώλειες μηχανικής ενέργειας κατά την πτώση του σώματος. α. Διατυπώστε το θεώρημα διατήρησής της μηχανικής ενέργειας. β. Υπολογίστε τη μηχανική ενέργεια στο ύψος των 20m από το έδαφος ( σημείο Α ). γ. Πόση είναι κινητική ενέργεια του σώματος στο σημείο Γ, που απέχει 4m από τα έδαφος. δ. Με πόση ταχύτητα το σώμα χτυπά στο έδαφος; Μιχάλης Περικλέους 11