Ορισμός της Πιθανότητας (Ι)

Ορισμός της Πιθανότητας (Ι) Κλασσικός Ορισμός Πιθανότητα ενδεχομένου Α ( ) N( ) N ( ) Ν(Α): πλήθος ευνοϊκών αποτελεσμάτων του ενδεχ. Α Ν(Ω): πλήθος συνολικών αποτελεσμάτων του δ.χ. Ω Περιορισμοί: - μόνο για διακριτούς χώρους, - υποθέτει ισοπίθανα αποτελέσματα Πιθανότητες & Στατιστική 205 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ2 ( )

Ορισμός της Πιθανότητας (Ι) Κλασσικός Ορισμός N( ) ( ) N ( ) Παραδείγματα - Πείραμα: Ρίψη νομίσματος, δ.χ. Ω={Κ, Γ}, Πιθανότητα ενδεχομένου Α= Κορώνα, ={K} () = N()/N(Ω) = /2 - Πείραμα: Ρίψη νομίσματος 2 φορές, δ.χ. Ω={ΚΚ,ΚΓ,ΓΚ,ΓΓ} Πιθανότητα ενδεχομένου Α= τουλάχ. Κορώνα ={ΚΚ,ΚΓ,ΓΚ} ()=N()/N(Ω)=3/4 - Πείραμα: Ρίψη ζαριού, δ.χ. Ω={, 2, 3, 4, 5, 6}, Πιθανότητα ενδεχομένου Α= αριθμός > 4 ={5, 6}, () = N()/N(Ω) = 2/6 Πιθανότητες & Στατιστική 205 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ2 ( 2 )

Ορισμός της Πιθανότητας (ΙΙ) Στατιστικός Ορισμός Βασίζεται στην έννοια της σχετικής συχνότητας που υπολογίζεται μετά από επαναλήψεις. Δηλ. Εκτελούμε το πείραμα φορές και υπολογίζουμε: - f () πλήθος εμφανίσεων (συχνότητα) του ενδεχ. Α - f ()/ : η σχετική συχνότητα ( ) lm ( ) Περιορισμοί: υψηλό υπολογιστικό κόστος (ικανός αριθμός επαναλήψεων), εμπειρικός κανόνας (όχι αυστηρός μαθηματικά) f Πιθανότητες & Στατιστική 205 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ2 ( 3 )

Ορισμός της Πιθανότητας (ΙΙΙ) Αξιωματικός Ορισμός (Kolmogorov 933) Θεμελιώδης ορισμός της έννοιας πιθανότητας Μέτρο πιθανότητας: ένας κανόνας (μία συνάρτηση) που καθορίζει σε κάθε ενδεχόμενο Α ενός δ.χ. Ω έναν αριθμό () που ονομάζεται πιθανότητα για την οποία ισχύουν τα επόμενα 3 βασικά αξιώματα: (Ι). () 0 (πιθανότητα μη αρνητικός αριθμός) (II). (Ω) = (πιθανότητα του δ.χ. Ω σταθερή και ίση με ) (III). ( )=()+() αν = δηλ αν Α, Β ασυμβίβαστα (ανάλογο: ενδεχόμενα ως αντικείμενα με φυσική μάζα) Πιθανότητες & Στατιστική 205 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ2 ( 4 )

Πορίσματα του Αξιωματικού ορισμού (Π) ( )=-() Απόδειξη: καθώς Α, Α είναι ασυμβίβαστα ενδεχ. (Α Α =) από αξίωμα ΙΙΙ έχουμε ( )=()+( ) Αλλά, Α Α =Ω. Έτσι από αξίωμα ΙΙ παίρνουμε: =(Ω)=( )=()+( ) (Π2) () Απόδειξη: από το Π έχουμε () = -( ), καθώς ( ) 0 (αξίωμα Ι) (Π3) ()=0 Απόδειξη: καθώς Ω= από Π έχουμε ()=-( )=-(Ω)=-=0 Πιθανότητες & Στατιστική 205 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ2 ( 5 )

Πορίσματα του Αξιωματικού ορισμού (συν.) (Π4) Για ενδεχόμενα ανά δύο ασυμβίβαστα, δηλ. j =,j ισχύει 2 2 απόδειξη: επαγωγικά (Π5) () = () + () - () απόδειξη: Επειδή Α = () ( ) ένωση ασυμβίβαστων ενδεχομένων έχουμε () = ( ) + ( ) Παρόμοια () = ( ) + ( ) και () = ( ) + ( ) + ( ) Πιθανότητες & Στατιστική 205 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ2 ( 6 )

Πορίσματα του Αξιωματικού ορισμού (συν.) (Π6) Γενίκευση του Π5 για ενδεχόμενα Για =3 ενδεχόμενα,, C έχουμε απόδειξη Γενικά ισχύει ότι (Π7). Αν τότε () () απόδειξη k j k j j j... ) (... 2 C C C C C Πιθανότητες & Στατιστική 205 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ2 ( 7 )

Υπολογισμός της Πιθανότητας Σε διακριτούς δ.χ (dscrete sample spaces) Έστω δ.χ. Ω={a,a 2,, a ) αποτελούμενος από (ασυμβίβαστα) αποτελέσματα, δηλ. (a a j ) = ( ) = 0 Για ένα ενδεχόμενο ={α, α 2,,α k ) αποτελούμενο από k αποτελέσματα του Ω. Τότε (από αξίωμα ΙΙΙ) () = (α α 2 α k ) = (α )+(α 2 )+ +(α k ) Στην ειδική περίπτωση όπου έχουμε ισοπίθανα αποτελέσματα, δηλ. ( a )=/, τότε: N N k όπου Ν(Α): πλήθος αποτελεσμάτων του ενδεχ. Α. Πιθανότητες & Στατιστική 205 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ2 ( 8 )

Υπολογισμός της Πιθανότητας Σε διακριτούς δ.χ (dscrete sample spaces) (συν.) Παράδειγμα Έστω δοχείο με 0 αριθμημένες σφαίρες {0,,2,,9}. Ορίζουμε τα ενδεχόμενα: Α = αριθμός σφαίρας περιττός = {, 3, 5,7, 9} = αριθμός σφαίρας πολλαπλάσιο του 3 = {3, 6, 9} Γ = αριθμός σφαίρας μεγαλύτερο του 5 = {6, 7, 8, 9} Υπολογισμός πιθανοτήτων: N N 5 0,3,5,6,7,9 ή N N 6 0 3 0 5 0 3 0 2 0 6 0 N N 4 0 Πιθανότητες & Στατιστική 205 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ2 ( 9 )

Υπολογισμός της Πιθανότητας Σε συνεχείς δ.χ. (cotuous sample spaces) Υπάρχουν άπειρα αποτελέσματα. Τα ενδεχόμενα είναι συνεχής περιοχές του δ.χ. Ω. Η πιθανότητα είναι ανάλογη του όγκου (volume) που καταλαμβάνει μια περιοχή στον Ω. vol vol Παραδείγματα (). Επιλογή αριθμού στο [0,2], ενδεχόμενο Α={x: 0.2<x<0.5} ()=vol() / vol(ω) = 0.3 / 2 = 0.5 (2). Επιλογή σημείου στο [0, 2] x [0, 2], ενδεχόμενο ={(x,y): 0<x<y<} ()= vol() / vol(ω) = /8 Πιθανότητες & Στατιστική 205 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ2 ( 0 )

Δεσμευμένη (ή υπο-συνθήκη) Πιθανότητα (Codtoal robablty) Συχνά μας ενδιαφέρει η συσχέτισή 2 ενδεχομένων Α και Β, δηλ. να δούμε το κατά πόσο η γνώση του ενός από τα δύο (π.χ. Β) επηρεάζει τη πιθανότητα εμφάνισης του άλλου (π.χ. Α). ( ) : δεσμευμένη ή υπο-συνθήκη πιθανότητα να συμβεί το Α υπό την γνώση (δοθέντος) του Β. Ερμηνεία Η γνώση του Β σημαίνει ότι όλα τα αποτελέσματα του πειράματος περιορίζονται στο Β. Το Α συμβαίνει μόνο όταν το αποτέλεσμα βρίσκεται στη τομή τους. ( ) 0 Πιθανότητες & Στατιστική 205 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ2 ( )

Δεσμευμένη Πιθανότητα (συν.) Παρατηρήσεις:. Αν Α=Β τότε 2. Αν, 2 ασυμβίβαστα ενδεχόμενα 3. Ισχύει ότι ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 2 2 2 2 2 ) ( ) ( ' Πιθανότητες & Στατιστική 205 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ2 ( 2 )

Δεσμευμένη Πιθανότητα (συν.) Παραδείγματα ) Από δοχείο με 4 Μαύρες {,2,3,4} και 6 Λευκές {5,6,7,8,9,0} σφαίρες επιλέγουμε μία σφαίρα και σημειώνουμε χρώμα και αριθμό. Ορίζουμε τα ενδεχόμενα: Α= σφαίρα Μαύρη, = αριθμός ζυγός, Γ= αριθμός > 5. Να υπολογίσετε τις πιθανότητες ( ) και ( Γ). Πιθανότητες & Στατιστική 205 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ2 ( 3 )

Δεσμευμένη Πιθανότητα (συν.) Παραδείγματα 2) Η πιθανότητα να ζήσει ένας άντρας τουλάχιστον 70 έτη είναι 0.85, ενώ τουλαχ. 75 έτη είναι 0.80. Αν επιλέξουμε έναν άντρα 70 ετών, ποια ή πιθανότητα να ζήσει επιπλέον τουλάχιστον 5 έτη (δηλ. να ξεπεράσει τα 75)? Πιθανότητες & Στατιστική 205 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ2 ( 4 )

Δεσμευμένη Πιθανότητα (συν.) Παραδείγματα 3) Σε ένα ανσανσέρ υπάρχουν 2 άτομα που πρόκειται να κατέβουν στον 2 ο, 3 ο ή 4 ο όροφο. Αν η επιλογή ορόφου γίνεται ισοπίθανα, να υπολογιστεί η πιθανότητα να κατέβουν σε διαφορετικό όροφο. Πιθανότητες & Στατιστική 205 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ2 ( 5 )

Δεσμευμένη Πιθανότητα (συν.) Παραδείγματα 4) Πολυκατάστημα μελέτησε τις αγοραστικές συνήθειες των πελατών του για 3 προϊόντα και πήρε τον διπλανό πίνακα. Να υπολογιστούν οι πιθανότητες: ) Να αγοράσει το α δεδομένου ότι αγόρασε το β ή το γ προϊόν ) Να αγοράσει τα β και γ δεδομένου ότι αγόρασε το α προϊόν ) Να αγοράσει το β ή το γ δεδομένου ότι αγόρασε το α προϊόν Προϊόν Ποσοστό α 0,5 β 0,25 γ 0,38 α & β 0,07 α & γ 0,0 β & γ 0,08 α & β & γ 0,03 Πιθανότητες & Στατιστική 205 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ2 ( 6 )