Κωνσταντίνου Παν. Κούλη

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΙ ΧΑΡΑΚΤΗΡΕΣ ΚΑΙ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΑΔΕΣ ΣΤΟΥΣ ΤΟΠΟΛΟΓΙΚΟΥΣ ΧΩΡΟΥΣ Μεταπτυχιακή Διπλωματική εργασία Κωνσταντίνου Παν. Κούλη Επιβλέπων Καθηγητής: Ιωάννης Ν. Σταμπάκης Πάτρα 006

ΠΡΟΛΟΓΟΣ Η Διπλωματική αυτή εργασία εισάγει τη θεωρία χαρακτηριστικών ομάδων άμεσα συνδεόμενων με τους τοπολογικούς χώρους. Συγχρόνως θέλει να επισημάνει γεωμετρικά χαρακτηριστικά τοπολογικών εννοιών. Λέγεται συχνά ότι ένα χαρακτηριστικό της μοντέρνας επιστήμης είναι το υψηλό και ακόμη αυξανόμενο- επίπεδο ειδίκευσης. Παρ ότι αυτό είναι αληθές, είναι, επίσης χαρακτηριστικό της σημερινής επιστήμης μια αυξανόμενη συνύφανση παλαιότερα χωριστών θεωριών. Αυτό είναι αποτέλεσμα του γεγονότος ότι η επιστημονική ανάπτυξη έφερε στο φως πάλι και πάλι- κρυμμένες αναλογίες μεταξύ διαφορετικών περιοχών ώστε οι νέες θεωρίες να περιέχουν ευρύτερους χώρους και ευρύτερες συνδέσεις. Η συνολοθεωρητική Τοπολογία εκφράζει ό,τι έχει σχέση με εγγύτητα, γειτνίαση, σύγκλιση σ οποιαδήποτε επιστήμη. Εμφανίσθηκε αρχικά στα Μαθηματικά ως μια μελέτη θέσεως γι αυτό χρησιμοποιήθηκε ο όρος Τοπολογία από την ελληνική λέξη τόπος και στις αρχικές εργασίες, ο Poincaré έδωσε τον λατινικό τίτλο analysis situs. Γρήγορα ενδιαφέρθηκε για ιδιότητες, οι οποίες παρ ότι έχουν γεωμετρικό, άρα μεταβαλλόμενο, χαρακτήρα, μένουν σταθερές λ.χ. στη σύνθλιψη και στην έκταση των σχημάτων. Επί παραδείγματι η στρογγυλάδα ενός κύκλου δεν μας ενδιαφέρει, επειδή θα μπορούσε κάποιος μ ένα σύρμα να φτιάξει ένα κύκλο και χωρίς κόψιμο- να φτιάξει ένα τετράγωνο. Ομοίως ένα κομμάτι πλαστελίνης θα μπορούσαμε να το μετασχηματίσουμε σε σφαίρα, κύβο, και τελικά να καταλήξει σε μια κούπα. Τα προβλήματα αρχίζουν όταν θα θέλαμε αυτή η κούπα να γίνει φλιτζάνι, δηλαδή οι παραπάνω μετασχηματισμοί, που χαρακτηρίζονται από την συνέχεια, να δημιουργήσουν το χέρι του φλιτζανιού με

την τρύπα, ή όταν θέλουμε με μαθηματικούς μετασχηματισμούς, να απεικονίσουμε (σχ. ) τον κόμπο που είναι αριστερά, στο σχήμα που βρίσκεται δεξιά (σχ.). Παρ ότι μπορούμε, όπως δείχνει το παρακάτω σχήμα, να μετασχηματίσουμε έναν torus, δηλαδή μια σαμπρέλα, σ ένα φλιτζάνι, που να έχει τρύπα στο χέρι του, δεν μπορούμε να μετασχηματίσουμε ένα πιάτο σ ένα στερεό με μια τρύπα στη μέση, ή μια σφαίρα σ έναν torus, μια σαμπρέλα. (σχ.) Έτσι εμφανίζεται το πρόβλημα της τοπολογικής ισοδυναμίας. Από μια απλούστερη σκοπιά θα μπορούσαμε να έχουμε μια άλλη θεώρηση. Στην Ευκλείδεια Γεωμετρία λ.χ. η ισότητα (στην πραγματικότητα η ισοδυναμία ) των τριγώνων και των άλλων σχημάτων σημαίνει τη δυνατότητα να ταυτίσουμε δύο σχήματα με τοποθέτηση του ενός πάνω στο άλλο. Δηλαδή τα δύο σχήματα ταυτίζονται σε όλα εκτός από τη θέση τους. Η ομοιότητα είναι ένα άλλο είδος ισοδυναμίας. Σχήματα όμοια έχουν την ίδια μορφή, όχι όμως κατ ανάγκη το ίδιο μέγεθος. Έτσι η ομοιότητα είναι μια

3 ασθενέστερη μορφή ισοδυναμίας. Στην Προβολική Γεωμετρία, μια εξ ολοκλήρου διαφορετική μορφή ισοδυναμίας, βασισμένη στην έννοια της προοπτικής, παίζει ανάλογο ρόλο. Στην περίπτωση αυτή οι μορφές και τα μεγέθη διαφέρουν, όμως υπάρχουν κοινές ιδιότητες στα ισοδύναμα σχήματα. Λόγου χάριν μια ευθεία γραμμή σ ένα σχήμα αντιστοιχεί επίσης σε ευθεία στο ισοδύναμο σχήμα. Σε κάθε μία από τις παραπάνω ισοδυναμίες αντιστοιχεί ένας χαρακτηριστικός μετασχηματισμός. Στην ισότητα, υπάρχει η μετακίνηση ώστε να συμπέσουν τα σχήματα, στην ομοιότητα η ομοιοθεσία, στην προβολικότητα οι προβολικοί μετασχηματισμοί. Και για να ολοκληρώσουμε τα παραδείγματα αναφέρουμε ότι στη Γραμμική Άλγεβρα τα ισοδύναμα στοιχεία είναι αυτά, που το ένα προκύπτει από το άλλο με γραμμικούς μετασχηματισμούς, όπου θεμελιώδες στοιχείο είναι η διατήρηση της ευθείας. Ο θεμελιώδης τύπος ισοδυναμίας στην Τοπολογία είναι ο ομοιομορφισμός, ο οποίος εκφράζει και τους θεμελιώδεις μετασχηματισμούς των σχημάτων. Δύο γεωμετρικά σχήματα είναι τοπολογικά ισοδύναμα αν είναι ομοιόμορφα. Παρά την τεράστια ποικιλία των τοπολογικά ισοδύναμων σχημάτων, τα οποία οι ομοιομορφισμοί εισάγουν, από την πρώτη στιγμή εμφάνισης της Τοπολογίας, εμφανίσθηκαν τοπολογικές ισοδυναμίες τοπολογικών αναλλοίωτων. Ο Poincaré ήδη εισάγει αλγεβρικές ομάδες, συνδεδεμένες μονοσήμαντα με χώρους, που αποδεικνύονται ως τοπολογικά αναλλοίωτες με την έννοια ότι στους ομοιόμορφους χώρους αντιστοιχούν πάντα ισόμορφες ομάδες. Μια τυπική διαδικασία στην Αλγεβρική Τοπολογία έγκειται ακριβώς στο να συσχετισθούν αλγεβρικές ομάδες με τοπολογικούς χώρους. Είναι όντως εντυπωσιακό πώς μια ομάδα εμφανίζεται, εξελίσσεται και αξιοποιείται ως τοπολογική αναλλοίωτος. Στο σκοπό αυτό είναι αφιερωμένη η παρούσα εργασία. Προσπαθούμε να θέσουμε μια γεωμετρική ιδέα, οπότε χρησιμοποιώντας άλγεβρα οικοδομούμε ένα μηχανισμό, που μελετάμε σε κάποια έκταση. Η συνεκτικότητα και η ομοτοπία αποτελούν βασικές έννοιες για τον ορισμό των αλγεβρικών ομάδων ενός χώρου, γι αυτό και αναφερόμαστε σ αυτές με λεπτομέρειες. Οι περισσότερες επιφάνειες στη στοιχειώδη γεωμετρία είναι συνεκτικές, κυρίως με την έννοια ότι δύο σημεία της επιφάνειας μπορούν να συνδεθούν με συνεχή καμπύλη (ουσιαστικά κατά τόξα συνεκτικοί χώροι). Ένα παράδειγμα μη συνεκτικού χώρου είναι ένα δίχωνο υπερβολοειδές. Οι μη συνεκτικές επιφάνειες είναι, σε πολλές περιπτώσεις, συνδυασμός δύο ή περισσοτέρων 3

4 συνεκτικών επιφανειών ξένων, και γι αυτό στη στοιχειώδη γεωμετρία δεν χάνεται η γενικότητα για τις επιφάνειες, θεωρώντας μόνο τις συνεκτικές. Υπάρχουν, εν τούτοις, διαφορετικά είδη συνεκτικότητας. Ας θεωρήσουμε επί παραδείγματι, μια κανονική κλειστή καμπύλη στην επιφάνεια της σφαίρας. Μια τέτοια καμπύλη μπορεί να συσταλεί συνεχώς σ ένα σημείο της (χωρίς να εγκαταλείψει την επιφάνεια). Αυτό μπορεί να μην είναι δυνατό στην επιφάνεια ενός torus. Για παράδειγμα (σχ.3) ο κύκλος C του σχήματος 3 δεν μπορεί να συσταλεί συνεχώς σε ένα σημείο του torus χωρίς να εγκαταλείψει την επιφάνεια του torus. Μια συνεκτική επιφάνεια για την οποία κάθε συνήθης κλειστή καμπύλη μπορεί να συσταλεί συνεχώς σε ένα σημείο χωρίς να εγκαταλείψει την επιφάνεια, καλείται απλά συνεκτική. Έτσι, η σφαίρα είναι απλά συνεκτική επιφάνεια, αλλά όχι η επιφάνεια του torus. Μια άλλη ιδιότητα η οποία διαχωρίζει τις απλά συνεκτικές επιφάνειες από τις άλλες, είναι ότι σ αυτές μια απλή κλειστή καμπύλη, μπορεί να μετασχηματισθεί με συνεχή τρόπο σε μια άλλη μέσα στην οποία ευρίσκεται, ενώ στις άλλες επιφάνειες (τις μη απλά συνεκτικές), αυτό δεν είναι πάντα δυνατό. Αυτή είναι η βασική ιδέα της ομοτοπίας. Μια καμπύλη, η οποία μπορεί να μετασχηματισθεί με συνεχή τρόπο σε μια άλλη λέγεται ομοτοπική προς αυτή. Στο σχήμα 3 η καμπύλη C είναι ομοτοπική της C της επιφάνειας του torus, αλλά δεν είναι ομοτοπική της C. Το θεώρημα της καμπύλης του Jordan παρέχει μια άλλη επιτυχή περιγραφή των διαφορετικών τύπων συνεκτικότητας των επιφανειών σφαίρας και torus. Κάθε καμπύλη ομοιόμορφη σ έναν κύκλο ονομάζεται καμπύλη Jordan. Το σχετικό θεώρημα λέει ότι, στο επίπεδο ή στη σφαίρα, κάθε καμπύλη Jordan διαιρεί την επιφάνεια σε δύο συνεκτικά μέρη τα οποία είναι ξένα, αλλά έχουν κοινό σύνορο. Κάτι τέτοιο προφανώς δεν ισχύει στον torus. Το θεώρημα των καμπύλων Jordan εκ 4

5 πρώτης όψεως φαίνεται τετριμμένο, διότι η ιδιότητα για την οποία μιλάει, είναι φυσικώς περισσότερο ή λιγότερο προφανής. Εν τούτοις στην τοπολογία συχνά τα φαινόμενα απατούν και το θεώρημα, όπως πολλά άλλα φαινομενικά προφανή, είναι δύσκολα στην απόδειξή τους. Ενδιαφέρει πάντα πώς θα μπορούσαν να κατασκευασθούν οι βασικές επιφάνειες, από τις οποίες (κατασκευές) φαίνεται η δυνατότητα εμφάνισης των ομάδων, η οικοδόμηση βασικών τοπολογικών χώρων, αλλά και η σχέση των επιφανειών αυτών. Οι κατασκευές αυτές έχουν μείνει χωρίς επεκτάσεις στο αλγεβρικό μέρος και αποτελούν μέρος του πρώτου εισαγωγικού Κεφαλαίου. Το Κεφάλαιο I ολοκληρώνεται με αναγκαία στοιχεία από τη θεωρία των ομάδων. Τα Κεφάλαια ΙΙ και ΙΙΙ αναφέρονται αντίστοιχα στις έννοιες της συνεκτικότητας και της ομοτοπίας, στις οποίες αναφερθήκαμε προηγουμένως. Στα Κεφάλαια αυτά εμφανίζονται και οι βασικές ομάδες, οι οποίες χαρακτηρίζουν τους τοπολογικούς χώρους. Στο Κεφάλαιο ΙΙΙ ειδικότερα, 3, εισάγεται η έννοια της θεμελιώδους ομάδας ενός χώρου σε σημείο αυτού, η οποία χαρακτηρίζει τον τύπο ομοτοπίας αυτού. Δίνουμε τρεις προτάσεις, μια για χώρο κατά τόξα συνεκτικό και δύο σχετίζοντας θεμελιώδεις ομάδες χώρων μέσω συνεχών συναρτήσεων, δίνονται δε και τρέχοντα παραδείγματα. Στο Κεφάλαιο VI επανερχόμαστε στο θέμα, με δύο όμως σημαντικές διαφοροποιήσεις. Κατ αρχήν τα τόξα στις θεωρούμενες ομοτοπίες δίνονται μέσω συναρτήσεων και οι αποδείξεις των ομοτοπικών πολλαπλοτήτων εμφανίζουν ιδιαίτερη πολυπλοκότητα, την οποία εν τούτοις κάποια στιγμή θα έπρεπε να αντιμετωπίσουμε. Το δεύτερο στοιχείο είναι ότι οι θεμελιώδεις ομάδες δίνονται σε συσχέτιση με τους λεγόμενους χώρους κάλυψης. Στο Κεφάλαιο IV μελετούμε το πρόβλημα του λεγόμενου lifting καθώς και της επέκτασης συναρτήσεως με τιμές στον μοναδιαίο μιγαδικό κύκλο. Ορίζουμε το βαθμό τέτοιων συναρτήσεων, δίνουμε εφαρμογές της έννοιας αυτής, όπως στο θεώρημα του Brower (για σταθερό σημείο στο επίπεδο) και στο θεμελιώδες θεώρημα της Άλγεβρας. Γενικεύουμε την έννοια του lifting και καταλήγουμε στο θεώρημα Mayer-Vietoris, του οποίου δίνουμε εφαρμογές σε σχέση με τις χαρακτηριστικές ομάδες τοπολογικού χώρου. Το Κεφάλαιο V είναι αφιερωμένο στο περίφημο θεώρημα δυϊσμού του Aleander. Το θεώρημα του Jordan για το επίπεδο: κάθε χώρος του επιπέδου ομοιόμορφος προς τον μοναδιαίο κύκλο, χωρίζει το επίπεδο σε δύο ακριβώς ξένους συνεκτικούς κατά τόξα υποχώρους, προκύπτει ως απλή συνέπεια του προηγούμενου. 5

6 Στο Κεφάλαιο VI εισάγονται οι λεγόμενοι χώροι κάλυψης. Όπως προαναφέραμε, συσχετίζουμε τους χώρους αυτούς με την ομοτοπική ιδιότητα τόξων και τη θεμελιώδη ομάδα τοπολογικών χώρων. Λόγω της έκτασης της ύλης έχουν παραλειφθεί οι αποδείξεις αρκετών προτάσεων. Κύρια, διότι ο στόχος μας ήταν η εισαγωγή συγκεκριμένων γεωμετρικών και αλγεβρικών χαρακτηριστικών τοπολογικών χώρων, ανεξαρτήτως λεπτομερειών. Τα συγγράμματα [3] και [4] υπήρξαν πηγή έμπνευσης και βοήθειας για το συγγραφέα, μπορούν όμως ν αποτελέσουν βοήθημα για οποιονδήποτε ήθελε να δει ορισμούς, λεπτομέρειες ή αποδείξεις μερικών θεωρημάτων. 6

7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ι ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Στο εισαγωγικό αυτό κεφάλαιο αναφερόμαστε σε βασικές ιδέες από την Τοπολογία και την Άλγεβρα. Για την Τοπολογία μας ενδιαφέρει να καταδειχθεί ο γεωμετρικός χαρακτήρας ορισμένων εννοιών. Στο πρώτο μέρος της πρώτης παραγράφου παρουσιάζουμε στοιχειώδη σχήματα χώρους ως τοπολογικά γεωμετρικά αντικείμενα. Στην παράγραφο αυτή επίσης αναφέρουμε την compact open topology. Καταγράφουμε επίσης ορισμένους ιδιαίτερα ενδιαφέροντες ομοιομορφισμούς μεταξύ τρεχόντων χωρίων του επιπέδου. Στη δεύτερη παράγραφο αναφερόμαστε σε αλγεβρικά θέματα αρχικής ύλης ειδικού ενδιαφέροντος, επί των αβελιανών ομάδων.. Τοπολογικές έννοιες Α. ΣΤΕΡΕΕΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΚΑΙ ΕΠΙΠΕΔΑ ΟΡΘΟΓΩΝΙΑ Γνωστές επιφάνειες στη στοιχειώδη γεωμετρία των τριών διαστάσεων είναι οι σφαίρες, ο κυκλικός κύλινδρος, ο κυκλικός κώνος, το ελλειψοειδές, το υπερβολοειδές ενός ή δύο κλάδων και το παραβολοειδές. Επειδή όλες οι σφαίρες είναι ομοιόμορφες λέμε μάλλον η σφαίρα αντί μία σφαίρα με την έννοια ότι κάθε φορά όπου έχουμε 7

8 σφαίρα, έχουμε μια κλάση και έναν εκπρόσωπο αυτής, παρά μία συγκεκριμένη σφαίρα. Η ίδια σύμβαση υπάρχει και για τις άλλες επιφάνειες. Λιγότερο οικεία επιφάνεια είναι ο torus, ο διπλός ή n-πλός torus. (Βλ. σχ., ο n-πλός torus είναι ο ίδιος με n-τρύπες). (σχ.) (σχ.) Ο κύλινδρος και ο torus μπορούν να κατασκευασθούν ενώνοντας απέναντι πλευρές ενός ορθογωνίου, μια διαδικασία, την οποία θα ονομάσουμε ταύτιση προσανατολισμένων πλευρών. Έστω ABCD ένα ορθογώνιο. Ενώνουμε μαζί την ΑΒ και τη CD ούτως, ώστε το Α να συμπέσει με το D και το Β με το C, όπως φαίνεται στο σχ.. Το αποτέλεσμα της ταύτισης είναι ένας πεπερασμένος κύλινδρος. Παρίσταται με ένα ορθογώνιο με δύο απέναντι πλευρές ταυτιζόμενες. Τα βέλη σ αυτές τις πλευρές υποδεικνύουν ότι έχουν ενωθεί μαζί κατ ευθείαν, όπως φαίνεται στο σχήμα 3. (σχ.3) Περαιτέρω κατ ευθείαν ταύτιση των δύο ελεύθερων πλευρών του αρχικού ορθογωνίου παράγει τον torus. Τα κατάλληλα διαγράμματα γι αυτή την ταύτιση 8

9 δείχνονται στο σχήμα 4. Η όλη κατασκευή από το ορθογώνιο μέχρι τον torus δείχνεται στο σχήμα 5. (σχ.4) (σχ.5) Ξεκινώντας από το ίδιο ορθογώνιο ABCD, μπορούμε να πάρουμε, άλλες επιφάνειες, χρησιμοποιώντας άλλου είδους ταυτίσεις. Εάν ταυτίσουμε τις ΑΒ και CD σε τρόπο ώστε το Α να συμπίπτει με το C και το Β με το D, παίρνουμε μια επιφάνεια γνωστή ως η ζώνη του Möbius. Σ αυτήν την περίπτωση οι πλευρές ΑΒ και CD ταυτίζονται με την αντίθετη φορά, ούτως ώστε τα βέλη στο δεύτερο διάγραμμα του σχήματος 6 να πρέπει να μπουν στην αντίθετη διεύθυνση. (Είναι εύκολο να κατασκευάσουμε μια ζώνη Möbius παίρνοντας ένα ορθογώνιο κομμάτι χαρτί, περιστρέφοντας τη μια άκρη κατά 80 μοίρες και κολλώντας αυτό στην άλλη άκρη. Η επιφάνεια, η οποία προκύπτει φαίνεται στο σχήμα 7). (σχ.6) (σχ.7) Τοπολογικά η ζώνη του Möbius είναι μια διαφορετική επιφάνεια από τον κύλινδρο, πράγμα, το οποίο σημαίνει ότι οι δύο επιφάνειες δεν είναι ομοιόμορφες. Θα μπορούσε κανείς να το δει αυτό κατασκευάζοντας από χαρτί μοντέλα των δύο επιφανειών, όπως ήδη περιγράψαμε αυτά και κατόπιν να κόψουμε κάθε μια (από τις επιφάνειες) κατά μήκος της γραμμής, η οποία αρχικά ένωνε τα μέσα των πλευρών 9

0 ΑΒ και CD του ορθογωνίου. Όταν το κόψουμε πλήρως ο κύλινδρος θα έχει χωρισθεί σε δύο κομμάτια, αλλά αφήνει ένα μόνο κομμάτι χαρτιού στην περίπτωση της ζώνης του Möbius. Αυτό το κομμάτι χαρτιού έχει δύο περιστροφές και είναι ομοιόμορφο στον κύλινδρο (αλλά η ιδιότητα αυτή δεν μπορεί να αποδειχθεί με ένα φυσικό πείραμα). Περαιτέρω ταύτιση των πλευρών του αρχικού ορθογωνίου αν πραγματοποιηθεί, όπως υποδεικνύονται στο σχήμα 8, δίνει μια επιφάνεια γνωστή ως η μποτίλια του Klein. Η ταύτιση στην περίπτωση αυτή είναι κατ ευθείαν, αλλά στην πραγματικότητα δεν μπορούμε να κατασκευάσουμε ένα μοντέλο της μποτίλιας του Klein στο φυσικό χώρο χωρίς να αυτοτμηθεί. Η επιφάνεια πρέπει να διαπεράσει τον ίδιο τον εαυτό της χωρίς να τον τμήσει. Αυτή η φυσική μας αδυναμία δεν θα υπήρχε, εάν είχαμε δυνατότητα κατασκευών στις τέσσερις διαστάσεις. Στην ανωτέρω κατασκευή της μποτίλιας του Klein τα απέναντι ζεύγη των πλευρών του ορθογωνίου ταυτίζονται, το ένα ζεύγος κατ ευθείαν και το άλλο στην αντίθετη φορά. Εάν και τα δύο ζευγάρια των πλευρών ταυτιζόντουσαν σε αντίθετη φορά, το αποτέλεσμα, το οποίο θα προέκυπτε είναι γνωστό ως το πραγματικό προβολικό επίπεδο. Η κατασκευή υποδεικνύεται στο σχήμα 9. (σχ. 8) (σχ. 9) Το πραγματικό προβολικό επίπεδο μπορεί να απεικονισθεί με διάφορους τρόπους. Ο συνήθης είναι ο εξής: έστω Ρ τυχαίο σημείο του τρισδιάστατου Ευκλείδειου χώρου. Τότε κάθε ευθεία δια του Ρ ονομάζεται σημείο τον πραγματικού προβολικού επιπέδου και το πραγματικό προβολικό επίπεδο είναι το σύνολο αυτών των σημείων. Καθώς κάθε σφαίρα κέντρου Ρ συναντά μια ευθεία δια του Ρ ακριβώς σε δυο σημεία, διαμετρικά αντίθετα, ο πραγματικός προβολικός χώρος μπορεί να θεωρηθεί ως η επιφάνεια, η οποία λαμβάνεται όταν τα διαμετρικά αντίθετα σημεία της επιφάνειας της σφαίρας ταυτισθούν. Για να πάρουμε την αναπαράσταση που υποδεικνύει το 0

σχήμα 9, θεωρούμε ένα ημισφαίριο και τον ισημερινό του. Κάθε σημείο του ημισφαιρίου, αλλά όχι του ισημερινού, παριστούν κατά μοναδικό τρόπο ένα σημείο του πραγματικού προβολικού επιπέδου. Αντικαθιστώντας κάθε σημείο του ημισφαιρίου με τον πόδα της καθέτου από το σημείο στο επίπεδο του ισημερινού, έχουμε μια αναπαράσταση στην οποία το πραγματικό προβολικό επίπεδο εμφανίζεται ότι αποτελείται από τα σημεία του εσωτερικού ενός κύκλου καθώς και της περιφέρειάς του, όπου τα αντιδιαμετρικά σημεία ταυτίζονται. Β. ΤΟΠΟΛΟΓΙΚΕΣ ΑΝΑΛΛΟΙΩΤΕΣ Η ταξινόμηση αποτελεί ενδιαφέρουσα επιδίωξη σε πολλούς κλάδους των μαθηματικών. Ιστορικά, αλλά κυρίως η ανάγκη συσχέτισης τοπολογικών χώρων, όχι ομοιόμορφων, οδήγησε στο χαρακτηρισμό κατηγοριών τοπολογικών χώρων μέσω συγκεκριμένων μαθηματικών οντοτήτων (λ.χ. αριθμών ή ομάδων), οι οποίες είναι ίδιες για όλα τα αντικείμενα μιας συγκεκριμένης κατηγορίας. Αυτές είναι οι τοπολογικές αναλλοίωτες. Κάποιες αναλλοίωτες μπορεί να είναι ίσες για αρκούντως διαφορετικά είδη μη ισοδύναμων τοπολογικών χώρων. Μια πλήρης κλασσικοποίηση θα απαιτούσε δύο μη διαφορετικοί τοπολογικοί χώροι να έχουν όλες τις αναλλοίωτες ίσες. Η κλασσικοποίηση των τοπολογικών χώρων υπήρξε φροντίδα των μαθηματικών από τα πρώτα χρόνια ανάπτυξης της τοπολογίας και έχει λυθεί πλήρως για τις συμπαγείς πολλαπλότητες δύο διαστάσεων δηλαδή για τις συνήθεις φραγμένες επιφάνειες δύο διαστάσεων χωρίς άκρα, όπως είναι η σφαίρα, ο torus, η μποτίλια του Klein και το πραγματικό προβολικό πεδίο, όπου παίζουν ρόλο οι παρατηρήσεις του πρώτου μέρους της παραγράφου. Ειδικότερα έχει αποδειχθεί ότι κάθε συμπαγής προσανατολισμένη πολλαπλότητα δύο διαστάσεων είναι ομοιόμορφη με μια σφαίρα ή μ ένα torus με m τρύπες για κάποιο ακέραιο m. Μη προσανατολισμένες συμπαγείς πολλαπλότητες δύο διαστάσεων ταξινομούνται με όμοιο τρόπο. Για περισσότερους πολύπλοκους χώρους το πρόβλημα παραμένει άλυτο. Αυτό που προσπαθούμε στην παρούσα εργασία είναι να εισαγάγουμε αλγεβρικές αναλλοίωτες των τοπολογικών χώρων, αναλλοίωτες, τις οποίες ήδη ο Poincaré είχε παρουσιάσει. Μια αναλλοίωτη των πολυέδρων, ο λεγόμενος αριθμός

του Euler, παρουσίασε ιδιαίτερο ενδιαφέρον, ιδιαίτερα για τη μορφή που κατά περιόδους έπαιρνε και για τις αποδείξεις, που κάθε φορά εδίδοντο. (Βλέπε το σχετικό βιβλίο του Imre Lacatos: Αποδείξεις και ανασκευές (Η Λογική της Μαθηματικής Ανακάλυψης, Proofs and Refutations The logic of mathematical discovery, Ambridge Press, 976, Ελληνική Μετάφραση Τροχαλίας, Αθήνα 996). Γ. Η c-τοπολογια Έστω Χ, Ψ τοπολογικοί χώροι. Με Ψ συμβολίζουμε το σύνολο όλων των συνεχών συναρτήσεων του Χ στον Ψ. Επιθυμούμε να εκφράσουμε την εγγύτητα δύο συναρτήσεων από την εγγύτητα, που παρουσιάζουν όταν ορισθούν σε δύο συμπαγή υποσύνολα του Χ. Εάν η f ικανοποιεί μια συνθήκη f ( A ) V, όπου A X συμπαγές και V Ψ ανοικτό, τότε συναρτήσεις εγγύς κείμενες της f πρέπει να ικανοποιούν την ίδια συνθήκη. Η μικρότερη τοπολογία στο Ψ που είναι συμβιβαστή με την παραπάνω απαίτηση ονομάζεται compact-open τοπολογία (συμβολικά c- τοπολογία). ΟΡΙΣΜΟΣ: Για κάθε ζευγάρι συνόλων A X και B Ψ θέτουμε ( A,B) { f Ψ f ( A) B} =. Η c-τοπολογία στο Ψ είναι αυτή που έχει ως υπό βάση όλα τα σύνολα (Α, V), όπου A X είναι συμπαγές και V Ψ ανοικτό. Παρατήρηση. Αν ο χώρος Χ είναι discrete, τότε ο Ψ είναι ομοιόμορφος του { Ψ X} Π όπου κάθε Ψ είναι αντίγραφο του Ψ. Παρατήρηση. Επειδή τα βασικά ανοικτά σύνολα του Ψ είναι πεπερασμένες τομές των υποβασικών συνόλων έχουμε: n I i= n n n ( Ai,W ) = U A i,w, I ( An,Wi ) = A, I Wi και I ( A i,wi ) U A i, U Wi i= i= i= i= i= i= Παρατήρηση 3. Για Hausdorff χώρο έχουμε τον τύπο (, W) ( A, W) n n A, όπου για τυχαίο υποσύνολο A, A είναι η κλειστή του θήκη για την αντίστοιχη τοπολογία. Η απόδειξη είναι απλή: n

Αν g ( A, W), τότε g ( α, Ψ W) (, Ψ W) έχουμε g ( A, W). Έτσι (,W ) ( A,W ) 3 για κάποιο Α α. Επειδή { } A,W α είναι συμπαγές, I ( α, Ψ W ) α είναι γειτονιά του g στην c-τοπολογία, και επειδή ( ) = A. Δ. ΟΜΟΙΟΜΟΡΦΙΣΜΟΙ (α) Της σφαίρας (, ) {( ) + } T = = : { + = } S = και του τετραγώνου (σχ. 0) Οι αντίστροφοι ομοιομορφισμοί f : S T και f - : T S δίδονται από τους τύπους: f ( ) =,, + + ( ) = f,, + + (β) Οι τρεις χώροι του σχ. είναι ομοιόμορφοι: 3

4 Χ Χ Χ 3 (σχ. ) X = {(, )/ (, ) ( 0, 0) },X = {(,, )/ + }, 3 = {(,,3 ) + 3 } X Ορίζουμε h : X X, h :X X με τιμές 3 = = h και ( ) = ( ),,, ln + + + 3 (,, ) = e, e 3 h 3. Οι h και h - είναι συνεχείς και αμφιμονοσήμαντοι, άρα οι Χ και Χ είναι ομοιόμορφοι. Ομοίως ορίζουμε Κ: Χ Χ 3 και την αντίστροφη αυτής Κ - : Χ 3 Χ με τιμές - ( ) K,,3 = + 3, + 3, 3 και K ( ) = ( ) ( ) + +,,3 3, 3, 3 (γ) Υπάρχει (τοπολογική) διαφοροποίηση μεταξύ της παραπάνω σφαίρας S και του δίσκου D (, ) { + } = 4

5 (σχ. ) Αποδεικνύεται ότι δεν υπάρχει ομοιομορφισμός μεταξύ αυτών των δύο τοπολογικών χώρων του R. Για περαιτέρω παραδείγματα μπορεί να χρησιμοποιηθεί το Καρτεσιανό γινόμενο: Εάν X R m και Υ R n ορίζουμε το Χ Υ ως το σύνολο των σημείων (,,..., m+n ) R m+n, όπου (, ),..., m είναι ένα στοιχείο του Χ και ( n +,..., m+ n) ένα στοιχείο του Y. Παρατηρούμε λ.χ. ότι ο κύλινδρος, ο οποίος αναφέρθηκε ανωτέρω είναι γινόμενο S R. Αποδεικνύονται ότι οι χώροι R n και R m, n m, δεν είναι ομοιόμορφοι. (δ) Οι χώροι (0,] [0,) και [0,] [0,) είναι ομοιόμορφοι. (Βλ.σχ.3) (σχ. 3) Πράγματι, διαιρούμε κάθε τετράγωνο σε τρεις περιοχές, ένας υποδεικνύεται στο σχήμα 3 από τις διακεκομμένες γραμμές. Ορίζουμε συνάρτηση f με τη βοήθεια των ανωτέρω περιοχών: 5

6 f, 3, 3,, +, 3, 3 (, ) = + ( ) Αποδεικνύεται ότι η f είναι ομοιομορφισμός. για 3 +, για 3 + για 3.. Έννοιες από τη θεωρία αβελιανών ομάδων Με Hom (A, X) συμβολίζουμε το σύνολο των ομομορφισμών του Α στο Χ, όπου Α και Χ ομάδες. Θεωρούμε πάντοτε τις ομάδες αβελιανές.. ΠΡΟΤΑΣΗ. Έστω Α, Β, Χ (αβελιανές) ομάδες. Έστω, επίσης, ότι η συνάρτηση φ: X Α Β έχει συνιστώσες φ : Χ Α, φ : Χ Β, δηλαδή φ ( ) = (φ ( ),φ ( )) για κάθε X. Τότε η φ είναι ομομορφισμός, αν και μόνον αν αμφότερες οι φ και φ είναι ομομορφισμοί. Η πρόταση αυτή ουσιαστικά ορίζει μια αμφιμονοσήμαντη αντιστοίχηση: ( X,A B) Hom( X,A) Hom( X,B) Hom.. ΠΡΟΤΑΣΗ. Α, Β, Υ αβελιανές (προσθετικές) ομάδες. Για τους ομομορφισμούς ψ : A Y, ψ : B Y, η συνάρτηση (ψ, ψ ): A B Y ορισμένη από την (ψ,ψ )(α,β)=ψ (α)+ψ (β) είναι ομομορφισμός. Αντιστρόφως, κάθε ομομορφισμός ψ: A B Y μπορεί να εκφρασθεί (μοναδικά) ως μία συνάρτηση της μορφής (ψ,ψ ). Απόδειξη. Αποδεικνύεται απ ευθείας ότι η (ψ, ψ ) είναι ομομορφισμός. Αντιστρόφως, δοθείσης συναρτήσεως ψ ορίζουμε ψ και ψ από τις ψ (α) = ψ(α,0) ψ (β) = ψ(0,β). Άμεσα αποδεικνύεται ότι είναι ομομορφισμοί και είναι: ψ(α,β) = ψ((α,0)+(0,β)) = ψ(α,0)+ψ(0,β) = ψ (α)+ψ (β) = (ψ,ψ )(α,β), έτσι ψ = (ψ,ψ ) και η ανάλυση είναι μοναδική. Μια συνάρτηση φ με συνιστώσες φ και φ θα συμβολίζεται με έναν από τους δύο κατωτέρω συμβολισμούς: 6

7 φ = ϕ = ( ϕ, ϕ ), ϕ (ο δεύτερος για τυπογραφική διευκόλυνση). Ας θεωρήσουμε τη σύνθεση των κατωτέρω συναρτήσεων: X ( ϕ, ϕ ) ( ψ, ψ ) A B Υ, όπου (φ,φ ) = ϕ ϕ = φ είναι όπως στην (ανωτέρω) πρόταση. και (ψ,ψ ) όπως στην πρόταση.. Έχουμε τότε: (ψ, ψ ) ϕ = ψ ϕ φ +ψ φ και ειδικότερα (ψ,ψ ) ϕ ϕ ( ) ( ) ( ) ϕ = (ψ,ψ ) ϕ (ψ φ + ψ φ ) ( ). Έστω τώρα η συνάρτηση: Είναι φ = φ: X Y A B = ψ φ ( ) +ψ φ ( ) = ϕ, όπου φ ϕ : X Y A και φ : X Y B. Θα μπορούσαμε να συνεχίζαμε και να γράφαμε φ = (α, α ) και φ = (α, α ). Προφανώς η φ θα μπορούσε να συμβολισθεί ως Εάν θέσουμε α α α α. ψ = α : X A B α ψ = α : X A B, α τότε φ = (φ, φ ). Θα μπορούσαμε να εύρουμε κάθε συνάρτηση του πίνακα από πού σε ποιο σύνολο πάει, αντιστοιχώντας στις στήλες του πίνακα τα Χ και Υ και στις γραμμές τα Α και Β, κατά το σχήμα: Χ Υ α α α α A B 7

8.3 ΠΡΟΤΑΣΗ. Εάν m n θετικοί ακέραιοι, τα m Z και n Z δεν είναι ισόμορφα. Απόδειξη. Έστω κατ αρχήν μία (προσθετική) αβελιανή ομάδα Α. Ορίζουμε σ αυτήν μία σχέση R : α R β εάν υπάρχει γ A ώστε α β = γ + γ. Η σχέση είναι σχέση ισοδυναμίας. Πράγματι α α = 0 + 0. Επίσης αν α β = γ + γ τότε β α = (-γ) + (-γ). Για την μεταβατικότητα έχουμε: αν α α = β + β και α - α =β +β τότε α α = (β+β )+(β+β ). Άρα είναι σχέση ισοδυναμίας. Σημειώνουμε με t(a) τον αριθμό των κλάσεων ισοδυναμίας στις οποίες χωρίζεται η Α από τη σχέση R. Έστω τώρα Α = Z n. Βρίσκουμε αμέσως ότι (α,α,,α n ) R(β,β,,β n ) αν και μόνον αν για κάθε i, α i β i είναι άρτιος. Επειδή (για κάθε συνιστώσα) υπάρχουν δύο δυνατότητες (άρτιος ή περιττός) έχουμε ότι t(z n ) = n. Εάν φ: Α Β είναι ομομορφισμός και α, α A, ο ορισμός δείχνει ότι αν αrα, τότε φ(α) Rφ(α ). Έτσι αν φ είναι ισομορφισμός, αrα αν και μόνον αν φ(α) R φ(α ). Στην περίπτωση αυτή η φ απεικονίζει κάθε ισοδύναμη κλάση του Α σε μια του Β και αντιστρόφως. Άρα t(a) = t(b). Εάν n m m n, τότε t(z n ) = = t(z m ). Συνεπώς δεν είναι δυνατόν να είναι ισόμορφα τα Z n και Z m. Παράδειγμα α) t(z) = =. Οι δύο κλάσεις είναι οι C και C, όπου C είναι όλοι οι άρτιοι και C όλοι οι περιττοί ακέραιοι. Β) t(z ) = = 4. Οι τέσσερες κλάσεις είναι οι C, C, C3, C 4 που ορίζονται ως εξής: C = {(α i,β i ) α i = άρτιος και β i άρτιος} = { (,), (,4),(,6), } C = {(α i,β i ) α i = άρτιος και β i περιττός} = { (,), (,3),(,5), } C 3 = {(α i,β i ) α i = περιττός και β i περιττός} = { (,3), (,5),(,7), } C 4 = {(α i,β i ) α i = περιττός και β i άρτιος} = { (,), (,4),(,6), }.4 ΟΡΙΣΜΟΣ. Δοθεισών τριών ομάδων και δύο ομομορφισμών σχηματίζοντας την ακολουθία ϕ ϕ A A A3, 8

9 η ακολουθία λέγεται ακριβής, εάν kerφ = Imφ. Αυτό σημαίνει ότι πληρούνται δύο επιτάγματα: (i) Ιmφ kerφ, δηλαδή για κάθε y της μορφής φ ( ) είναι φ (y) = 0 ή ισοδυνάμως για κάθε A, φ ο φ ( ) = 0 ή (συντομώτερα) φ φ =0. (ii) kerφ Ιmφ, δηλαδή, εάν y A, που ικανοποιεί την φ (y) = 0, τότε υπάρχει A,., ώστε y = φ ( ) Μια ακολουθία ομάδων και ομομορφισμών ονομάζεται ακριβής, εάν κάθε δύο διαδοχικοί ομομορφισμοί της ακολουθίας επαληθεύουν την ανωτέρω συνθήκη. Με τη γενικώτερη αυτή μορφή του ορισμού, η παραπάνω ακολουθία θα λέγεται ακριβής στο A. Παραδείγματα. Έστω Β υποομάδα της A. Τότε η {0} Β Α είναι ακριβής. Γενικώτερα η {0} A ϕ X είναι ακριβής αν και μόνον αν η φ είναι αμφιμονοσήμαντος και η A ϕ X {0} είναι ακριβής αν και μόνον αν η φ είναι επί. Έτσι η {0} A ϕ X {0} είναι ακριβής μόνον εάν η φ είναι αμφιμονοσήμαντος και επί. Για κάθε ζεύγος αβελιανών ομάδων Α και Β η ακολουθία (, 0) ( 0, ) {0} A A B B {0} είναι ακριβής..5 ΘΕΩΡΗΜΑ. Δοθείσης ακριβούς ακολουθίας α β γ P Q R J {0} και ομομορφισμού δ : S R με γδ =, η ακολουθία ( α, 0) ( β, δ ) P Q S R {0} είναι ακριβής. Απόδειξη. Υπάρχουν τρία πράγματα να ελεχθούν, καθώς πρέπει να δείξουμε ότι η ακολουθία είναι ακριβής στο Q S και στο R. Ιm(α, 0) ker(β, δ) : Έχουμε (β, δ) a = βα = 0. 0 Ker(β, δ) Ιm(α, 0) : Εστω (β, δ) (q, s) = 0. Τότε 0 = γ(β, δ)(q, s) = (γβ, γδ))(q, s) = (0,)(q, s) = s και έτσι επίσης, αντικαθιστώντας s = 0 έχουμε 0 = (β, δ)(q, 0) = β(q). 9

0 Από την ακρίβεια της αρχικής ακολουθίας στο Q, υπάρχει p με q = α(p). Αλλά τότε (q, s) = (q, 0) = (α(p),0) = (α, 0)(p).Τέλος, Ιm(β, δ) = R : επειδή γδ =, έχουμε, για κάθε r R, γ(r) = γδγ(r). Συνεπώς r δγ(r) Kerγ. Αλλά τότε, από την ακρίβεια της δοθείσης ακολουθίας στο R, kerγ = Ιmβ. Έτσι για κάποιο q Q, r δγ(r) = βq και τελικώς r = (β, δ)(q, γ(r)). ΠΟΡΙΣΜΑ. Δοθείσης ακριβούς ακολουθίας β γ {0} Q R S {0} και δ: S R με γδ =, η συνάρτηση (β, δ): Q S R είναι ισομορφισμός. Πράγματι, θέτοντας p = 0 στο θεώρημα.5 παίρνουμε την ακριβή ακολουθία ( β,δ ) {0} Q S R {0}.6 ΟΡΙΣΜΟΣ. Εάν υπάρχει ομομορφισμός, όπως ο δ στο ανωτέρω πόρισμα, λέμε ότι η ακριβής ακολουθία διασπάται (splits) και η R διασπάται (splits) ως ευθύ άθροισμα των Q και S..7 ΘΕΩΡΗΜΑ. Δοθείσης ακριβούς ακολουθίας X ( κ, λ ) Α Β T ( κ, λ ) Α Β Χ όπου α Τ = c b d και B B είναι ισομορφισμός, τότε η ακουλουθία k a bd c k X A A X είναι ακριβής και επίσης Κerk = Ker(k, λ), Imk = Ιm(k, λ ). 0

Απόδειξη: Είναι α b k ak + b 0 = = λ + λ λ. c d ck a Επειδή ο d είναι ισομορφισμός, έχει αντίστροφο. Έτσι, από την 0 = ck + dλ συμπεραίνουμε ότι 0 = d -l (ck + dλ) = d - ck + λ, δηλαδή λ = -d - ck. Από αυτό προκύπτει ότι για X, k = 0 συνεπάγεται λ = 0, δηλαδή k και λ είναι συγχρόνως μηδέν. Δηλαδή Κerk = Κer(k,λ). Έχουμε, επίσης, ka + λb = 0 ή, αντικαθιστώντας το λ, 0 = kα + b(-d - ck) = (α bd - c)k, αποδεικνύοντας το πρώτο μέρος του ακριβούς της ακολουθίας στο Α. Για το άλλο μέρος, θεωρούμε u A τέτοιο ώστε (α bd - c)u = 0. Θέτουμε υ = -d - c(u ), ούτως ώστε c(u ) + d(υ) = 0, u + d(υ) = 0, και επίσης α(u ) + β(υ) = 0. Έτσι (u,υ) είναι στον πυρήνα της μεσαίας συνάρτησης στη δοθείσα ακολουθία. Λόγω της ακριβείας της δοθείσης ακολουθίας ευρίσκεται, επίσης, στην εικόνα του ομομορφισμού (k,λ). Έτσι υπάρχει συνάρτησης στο Α. S ώστε k( ) = u (επίσης λ( ) = υ) αποδεικνύοντας την ακρίβεια της Η απόδειξη του δευτέρου μέρους του θεωρήματος είναι πολύ όμοιο με το πρώτο. Κατ αρχάς: ( ) α 0 = k, λ ( k c,k b d ) c b d = α + λ + λ, έτσι λ = - k bd - και k (α bd - C) = 0. Η δεύτερη πρόταση δίνει το μισό της ακρίβειας στο Α. Η πρώτη συνεπάγεται ότι Imk = Im(k, λ ). Διότι, Imk = Im(k, λ ). Αντιστρόφως κάθε στοιχείο του lm(k, λ ) είναι της μορφής ( ), ( p) + ( q) = k p bd ( q) k λ έτσι ανήκει στο Imk. Τέλος, εάν p A με k (p) = 0, τότε ( k, λ )( p, 0 ) = k ( p) = 0,

και λόγω του ακριβούς της ακολουθίας, υπάρχει (u,υ) A B με α c b d ( u, υ) = ( p, 0), δηλαδή α ( u ) + b( υ) = p,c( u) + d( υ) = 0 άρα υ = - d -l c(u) και p = (α bd - c)(u). ΠΟΡΙΣΜΑ. Εάν α c b d : A B A B είναι ένας ισομορφισμός και επίσης ο d: Β Β είναι ισομορφισμός, τότε Α και Α είναι ισόμορφα. Ιδιαιτέρως, εάν b (ή c) είναι 0, ο α είναι ισομορφισμός. Προκύπτει από το θεώρημα θέτοντας Χ = Χ = {0}..8 ΟΡΙΣΜΟΣ. Έστω σύνολο Χ, αβελιανή ομάδα G και συνάρτηση i : X G. Λέμε ότι το ζεύγος (G, i) έχει την καθολική ιδιότητα (universal property) για το Χ, εάν για κάθε αβελιανή ομάδα Α και συνάρτηση ομομορφισμός φ: G A τέτοιος ώστε j = φ ο i. j : X A υπάρχει ένας μοναδικός (σχ. 4) Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι η G είναι ελεύθερη αβελιανή ομάδα με γεννήτορες τα στοιχεία του i(x). Ο πληθικός αριθμός του Χ ονομάζεται βαθμός (rank) της G.

3.9 ΠΡΟΤΑΣΗ. Κάθε βραχεία ακριβής ακολουθία (short eact sequence) i p 0 A G B 0 με Β ελεύθερη αβελιανή ομάδα, διασπάται (splits). Απόδειξη. Έστω b : X B είναι τέτοια ώστε το (Β, b) να έχει την καθολική ιδιότητα για το Χ. Για κάθε δυνατό επειδή ο p είναι επί. X, επιλέγουμε g( ) G με p(g()) = b(). Αυτό είναι (σχ. 5) Από την καθολική ιδιότητα υπάρχει ομομορφισμός j : B C με j o b = g. Τότε p o j o b = p o g = b. Από τη μοναδικότητα του αντίστοιχου μέρους της καθολικής ιδιότητας, έπεται ότι ο ομομορφισμός p o j συμπίπτει με την B. Έτσι η ακολουθία διασπάται..0 ΠΡΟΤΑΣΗ. Υποθέτουμε ότι (G,i) και (Η, j) αμφότερα έχουν την καθολική ιδιότητα για το Χ. Τότε υπάρχει μοναδικός ισομορφισμός φ: G H με j = ϕ o i. Απόδειξη. Από την καθολική ιδιότητα παίρνουμε έναν τέτοιον ομομορφισμό φ. Ομοίως ψ: H G με i = ψ o j. Θεωρούμε, τώρα, το διάγραμμα (σχ. 6) 3

4 Από την καθολική ιδιότητα υπάρχει μοναδικός ομομορφισμός χ: G G με i = χ ο i. Αλλά ήδη έχουμε δύο παραδείγματα τέτοιων χ, την G και την ψ ο φ, επειδή είναι ψ ο(φ ο i)= ψ ο j = i. Άρα ψ ο φ = G. Ομοίως φ ο ψ = Η, συνεπώς η φ είναι αμφιμονοσήμαντος, είναι και επί, άρα αμφιμονοσήμαντος και επί. Εξετάζουμε τώρα το πρόβλημα της ύπαρξης ελεύθερης αβελιανής ομάδας.. ΠΡΟΤΑΣΗ. Έστω ότι Χ έχει μόνο ένα στοιχείο. Εάν θεωρήσουμε συνάρτηση i : X Z με i() =, τότε το (Z, i) έχει την καθολική ιδιότητα για το Χ. Απόδειξη. Έστω Α (αβελιανή) ομάδα και j : X A. Θέτουμε j() = α. Έχουμε να δείξουμε ότι υπάρχει ένας μοναδικός ομομορφισμός φ : Z A με j = φ ο i, α = j() και συγχρόνως φ(i()) = φ(). Επειδή φ είναι ομομορφισμός, έχουμε: φ() = φ( + ) = φ() + φ() = α + α φ(3) = φ( + ) = φ() + φ() = (α + α) + α. Από τα ανωτέρω μπορούμε να ορίσουμε επαγωγικά την φ: F : φ(0) = 0 F : φ(n + ) = φ(n) + α και στη συνέχεια για τους αρνητικούς αριθμούς F 3 : φ(-n) = -φ(n). Ασφαλώς δεν υπάρχει άλλη συνάρτηση με τις ιδιότητες αυτές. Απομένει να δειχθεί ότι η φ (όπως ορίσθηκε) είναι ομομορφισμός. Αποδεικνύουμε κατ' αρχήν ότι η F ισχύει για κάθε n Z. Για n 0 έχουμε: φ(-n - ) = -φ(n + ) = -φ(n) - α = φ(-n) - α, ήτοι φ(-n) = φ(-n - ) + α. Ξαναγράφουμε την F με τη μορφή φ(n + ) = φ(n) + φ(), n Z. Με επαγωγή αποδεικνύεται, επίσης, ότι: φ(n + m) = φ(n) + ψ(m) για m 0. 4

5 (Για m = 0 είναι προφανές, αν ισχύει για k, τότε: φ(n + k + ) = φ(n + k) + φ() = φ(n) + φ(k) + φ() κ.λ.π. ισχύει όμως και για k < 0: φ(n - k) = -φ(-n + k) = -[φ(-n)+φ(k)] = -φ(-n)+φ(k) = φ(n) + φ(-k)). Συμπληρώνεται έτσι η απόδειξη ότι η φ είναι ομομορφισμός και η πρόταση έχει αποδειχθεί. ΣΗΜΕΙΩΣΗ. Στα επόμενα θα γράφουμε ως n.α το φ(n) Α, το οποίο ορίσαμε στα προηγούμενα. ΠΟΡΙΣΜΑ. Σε κάθε αβελιανή ομάδα Α, η συνάρτηση eυ : Hom (Z, A) A ορισμένη από την f : Z A με e υ ( f ) = f ( ), είναι ισομορφισμός. Πράγματι η eυ, από την ιδιότητα πρόσθεσης των ομομορφισμών, είναι ομομορφισμός ομάδων. Επίσης είναι αμφιμονοσήμαντος και επί (από την αποδειχθείσα καθολική ιδιότητα, για κάθε α Α υπάρχει μοναδικός ομομορφισμός f : Z A f. με () = α ). ΠΡΟΤΑΣΗ. Υποθέτουμε ότι τα (G,i ) και (G,i ) έχουν την καθολική ιδιότητα για τα Χ και Χ αντιστοίχως, Χ και Χ ξένα. Ορίζουμε i : X X G G U με i( ) = ( i ( ), 0), ( 0,i ( ) ), X X Τότε ( G,i) G έχει την καθολική ιδιότητα για το X U X. Απόδειξη. Έστω Α αβελιανή ομάδα και απεικόνιση j : X A. Λόγω της καθολικής ιδιότητας του (G,i ) για τη Χ, υπάρχει μοναδικός ομομορφισμός φ : G A με j X = ϕ o i. Ομοίως, έχουμε φ : G A με j X = ϕ o i. Τότε αν φ = (φ, φ ) : G G A, προκύπτει φi() = φ(i (),0) = φ i () = j() για X. Ομοίως 5

6 προκύπτει για Χ. Έτσι φo i = j. Αντιστρόφως, εάν ψ = (ψ,ψ ) ικανοποιούν την ψ o i = j, συμπεραίνουμε με τους ίδιους συλλογισμούς ότι ψ o i = j, έτσι από την καθολική ιδιότητα του i,ψ = φ. Ομοίως ψ = φ. Η πρόταση γενικεύεται με επαγωγή για περισσότερους όρους στο ευθύ άθροισμα. Τότε, από την Πρόταση. προκύπτει ότι εάν Χ είναι πεπερασμένο, υπάρχει (G, i) με την καθολική ιδιότητα για το Χ, και η Πρόταση. εξασφαλίζει την μοναδικότητα. Περιγράφουμε την κατασκευή της ομάδας G. Έστω Χ σύνολο με n στοιχεία,,..., n. Σχηματίζουμε το ευθύ άθροισμα n ομάδων, κάθε μία ένα αντίτυπο του Z. Κάθε στοιχείο του αθροίσματος θα είναι μία n- άδα ακεραίων (τ, τ,..., τ n ). Μπορούμε να θεωρήσουμε την αντιστοίχηση αυτή ως συνάρτηση του Χ στο Z n στέλνοντας το i στο τ i, i {,,..., n } και να ορίσουμε στο σύνολο Z n την πρόσθεση (r,..., r n ) + (s,..., s n ) = (r + s,..., r n + s n ). Γράφουμε, επίσης με Z n την ομάδα αυτή. Τότε το (Z n, i) έχει την καθολική ιδιότητα για το Χ, όπου i : X Z n με i( k ) την μονάδα στην k-συνιστώσα του Z n. Με τον τρόπο αυτό το Z n γίνεται ελεύθερη αβελιανή ομάδα (πεπερασμένης τάξεως η). Η τάξη είναι άμεσα καθορισμένη από την αφηρημένη αλγεβρική δομή. Θα κατασκευάσουμε τώρα ελεύθερη ομάδα τυχαίας (άπειρης) τάξης. Το μοντέλο παραμένει ίδιο. Έστω Χ τυχόν σύνολο. F(X) ας είναι οι συναρτήσεις ξ : X Z με ξ() = 0 για όλα πλην πεπερασμένου αριθμού Χ. Επίσης, εάν ξ, η στοιχεία του F(X) ορίζουμε για κάθε Χ : (-ξ)() = -ξ() και (ξ + η)() = ξ() + η(), οπότε το F(X) γίνεται ομάδα αβελιανή. Ορίζουμε i : X F(X) με 0, αν i ( )( y) = i, αν y y = 6

7.3 ΘΕΩΡΗΜΑ. Το ζεύγος (F(X),i ) έχει την καθολική ιδιότητα για το Χ. Απόδειξη. Κατ' αρχήν παρατηρούμε ότι αν Y X, μπορούμε να ταυτίσουμε το F(Y) με την υποομάδα του F(X), η οποία αποτελείται από αυτές τις συναρτήσεις ξ : X Z με ξ(χ - Y) = 0. Είναι προφανές ότι αν ξ F(X), υπάρχει ένα πεπερασμένο υποσύνολο Y του Χ με ξ(χ - Υ) = 0 και έτσι ξ F(Y). Συνεπώς: F ( X ) = U F( Ψ) { : Y X,Y πεπερασμένο}. Στη συνέχεια παρατηρούμε ότι, από την Πρόταση., προκύπτει πως εάν Υ είναι πεπερασμένο, τότε (F(Y), i Y ) έχει την καθολική ιδιότητα για το Υ. Έστω, τώρα, Α τυχούσα αβελιανή ομάδα και Ψ f : X A μία συνάρτηση. Για κάθε πεπερασμένο υποσύνολο Υ του Χ υπάρχει ένας μοναδικός ομομορφισμός φ Y : F(Ψ) A με ψ Y o i Y = j. Εάν F( Z ) F( Y ), τότε i = iy και (φ Y F ( z) ) o i z = j z. Από τη μοναδικότητα των ομομορφισμών είναι Ζ = ϕ Ψ F( Z ) ϕ Z Z. Ορίζουμε φ : F(X) Α ως εξής. Για κάθε ξ F(Χ) διαλέγουμε πεπερασμένο υποσύνολο Υ του Χ με ξ F(Ψ) και ορίζουμε φ(ξ) = φ Y (ξ). Αυτό είναι ανεξάρτητο του Υ, διότι αν ξ F(Y) για ένα Y Y, έχουμε ϕ (ξ) = φ Ψ Y U Y (ξ) = ϕ (ξ) Ψ από τα ανωτέρω. Επίσης, φ είναι ομομορφισμός. Διότι δοθέντων ξ, ξ F(X) επιλέγουμε υποσύνολα Υ, Υ του Χ με ξ F(Y ), ξ F(Y ) και γράφουμε Y = Y U Y. Τότε: φ(ξ + ξ ) = φ Υ (ξ + ξ ) = φ Υ (ξ ) + φ Υ (ξ ) = φ(ξ ) + φ(ξ ), επειδή φ y είναι ομομορφισμός. Για κάθε Χ έχουμε Άρα φ o i = j. φ(i()) = φ {} (i {} ()) = i(). 7

8 Τέλος, δοθέντος τυχαίου ομομορφισμού ψ : F(X) Α με ψo i = j, έχουμε για κάθε πεπερασμένο Y X. Ψ F o i = ψ o iy = j Y = ϕ o i = ϕ o i ( Y ) Y ( ) Y Y F( Y ) Y και συνεπώς ψ F( Y ) = ϕ F( Y ) από την μοναδικότητα, την οποία ήδη έχουμε αποδείξει για το Υ. Αλλά, επειδή F(X) είναι η ένωση αυτών των υποομάδων F(Y), προκύπτει ότι ψ = φ. Έτσι για κάθε Χ κατασκευάσαμε (F(X),i ), η οποία έχει την καθολική ιδιότητα για τον Χ. Ονομάζουμε το F(X) ελεύθερη ομάδα επί του Χ. Δοθείσης συναρτήσεως f : X Y υπάρχει (από την καθολική ιδιότητα) ένας μοναδικός ομομορφισμός F(f) : F(X) F(Y) τέτοιος ώστε F(f) o i = i y o f ή σε διάγραμμα. (σχ. 7) 8

9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙ ΣΥΝΕΚΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ. ΟΙ ΠΡΩΤΕΣ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΕΣ ΟΜΑΔΕΣ Είναι γνωστή η έννοια της συνεκτικότητας. Δίνουμε αρχικά μερικούς βασικούς ορισμούς και προτάσεις χωρίς αποδείξεις.. Βασικές Προτάσεις. Σε τοπολογικό χώρο (Χ, τ) οι παρακάτω προτάσεις είναι ισοδύναμες () Υπάρχει ανοικτό και κλειστό υποσύνολο του Χ, διάφορο του και του Χ. () Υπάρχουν δύο ανοικτά συμπληρωματικά υποσύνολα του Χ, διάφορα του Χ και του. (3) Υπάρχουν δύο κλειστά συμπληρωματικά υποσύνολα του Χ, διάφορα του Χ και του.. ΟΡΙΣΜΟΙ () Ένας τοπολογικός χώρος καλείται μη συνεκτικός αν πληρεί τις ιδιότητες.. () Ο χώρος καλείται συνεκτικός αν δεν είναι μη συνεκτικός. (3) Ένα υποσύνολο Α ενός τοπολογικού χώρου καλείται συνεκτικό αν ο υπόχωρος (Α, τ A ) είναι συνεκτικός. (4) Ένα ανοικτό και συνεκτικό υποσύνολο σε τοπολογικό χώρο καλείται πεδίο. 9

30.3 Παραδείγματα () Κάθε διακριτικός τοπολογικός χώρος με περισσότερα του ενός σημεία δεν είναι συνεκτικός. () Το R με τη φυσική τοπολογία είναι συνεκτικός χώρος..4 ΘΕΩΡΗΜΑ. Αν Α είναι συνεκτικό υποσύνολο ενός τοπολογικού χώρου και Β υποσύνολο τέτοιο ώστε Α Β cla, τότε το Β είναι συνεκτικό. Ειδικά το cla, είναι συνεκτικό..5 ΘΕΩΡΗΜΑ. Αν μία οικογένεια συνεκτικών υποσυνόλων έχει τομή διάφορο του θα έχει ένωση συνεκτικό υποσύνολο. Παρατήρηση. Η συνθήκη: η τομή των στοιχείων της οικογένειας είναι μη κενή, μπορεί ν αντικατασταθεί με τη γενικότερη: τα στοιχεία της οικογένειας τέμνονται ανά δύο..6 ΘΕΩΡΗΜΑ. Στο R για τη φυσική τοπολογία ένα υποσύνολο είναι συνεκτικό τότε και μόνον τότε όταν είναι διάστημα. Παρατήρηση. Το θεώρημα επεκτείνεται στην επεκτεταμένη πραγματική ευθεία..7 ΘΕΩΡΗΜΑ. Εάν f : (X, τ ) (Ψ, τ ) συνεχής και επί συνάρτηση και Χ συνεκτικός χώρος, τότε και ο Ψ είναι συνεκτικός. ΠΟΡΙΣΜΑ. Κάθε συνεχής πραγματική συνάρτηση, ορισμένη σε κλειστό διάστημα του R έχει ως σύνολο τιμών κλειστό διάστημα..8 ΘΕΩΡΗΜΑ. Εάν τοπολογικός χώρος είναι τέτοιος ώστε κάθε συνεχής πραγματική συνάρτηση του χώρου να μη δύναται να λάβει δύο τιμές χωρίς να λαμβάνει όλες τις ενδιάμεσες, τότε ο χώρος είναι συνεκτικός. ΣΗΜΕΙΩΣΗ. Εάν συνάρτηση έχει την ιδιότητα του παραπάνω θεωρήματος, λέμε ότι πληροί την ιδιότητα των ενδιαμέσων τιμών. Παρ ότι το θεώρημα.8 είναι αντίστροφο του.7, εν τούτοις υπάρχουν ασυνεχείς πραγματικές συναρτήσεις σε 30

3 συνεκτικό χώρο, οι οποίες πληρούν την ιδιότητα των ενδιαμέσων τιμών. Λόγου χάριν ημ, η f με f () = 0, ενδιαμέσων τιμών 0 = 0 δεν είναι συνεχής και όμως πληροί την ιδιότητα των.9 ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ. (α) Το σύνολο {0, } R είναι μη συνεκτικό (β) Ο χώρος (Χ, τ) είναι μη συνεκτικός τότε και μόνον όταν υπάρχει συνεχής συνάρτηση του Χ επί του {0, }. ΕΦΑΡΜΟΓΗ. Η υπερβολή - y = είναι μη συνεκτικό υποσύνολο του R (ως ένωση δύο ξένων κλειστών υποσυνόλων της των δύο κλάδων της)..0 ΘΕΩΡΗΜΑ. Το τοπολογικό γινόμενο δύο χώρων είναι συνεκτικό τότε και μόνον όταν και οι δύο χώροι είναι συνεκτικοί. Παρατήρηση. Από το θεώρημα αυτό προκύπτει ότι ο Ευκλείδειος χώρος είναι συνεκτικός, αφού ο R είναι συνεκτικός.. ΠΡΟΤΑΣΗ. Έστω τοπολογικός χώρος (Χ, τ) και 0 Χ. Υποθέτουμε δε ότι για κάθε X υπάρχει συνεχής συνάρτηση f : [0,] X τέτοια ώστε f (0) = 0 και f () =. Τότε ο (Χ, τ) είναι συνεκτικός.. Κατά τόξα συνεκτικοί χώροι. ΟΡΙΣΜΟΙ. Σε τοπολογικό χώρο (Χ, τ) καλούμε τόξο (του χώρου) κάθε συνεχή συνάρτηση α : I X, όπου Ι είναι διάστημα του R για τη φυσική του τοπολογία (και για απλούστευση ας είναι Ι = [0,]). Τα σημεία α(0) και α() καλούνται αρχή και πέρας αντιστοίχως του τόξου. Το αντίστροφο τόξο α δοθέντος τόξου α είναι το τόξο, που ορίζεται από την α (u) = α ( - u). 3

3 Εάν α : [0,] Χ και β : [0,] Χ είναι δύο τόξα και εάν α() = β(0) ούτως ώστε το πέρας του α να συμπίπτει με την αρχή του β, τότε το τόξο γινόμενο α. β (ή απλώς αβ) των α, β ορίζεται από το τόξο γ : [0,] Χ τέτοιο ώστε γ ( u) α = β ( u) ( u - ),, 0 u / / u Η γ είναι συνεχής, δηλαδή ένα τόξο. Διαισθητικά το α β μπορεί να θεωρηθεί ως το τόξο α ακολουθούμενο από το τόξο β. Ένα τόξο α τέτοιο ώστε το α(ι) να είναι ένα μόνο σημείο του Χ (δηλαδή η α είναι σταθερή συνάρτηση) καλείται μηδενικό τόξο. Ένα τόξο καλείται κλειστό, εάν το πέρας του συμπίπτει με την αρχή του, δηλαδή α(0) = α(). Λόγου χάριν τα αα και α α είναι κλειστά τόξα. Εάν α και β είναι δύο τόξα στο Χ, τα οποία έχουν την ίδια αρχή και το ίδιο πέρας ώστε α(0) = β(0) και α() = β(), τότε το α καλείται ομοτοπικό του β. Συμβολίζουμε με α ~ β. Οι κατωτέρω προτάσεις αναφέρονται σε τοπολογικό χώρο (Χ, τ). Ι είναι πάντοτε το διάστημα [0,].. ΠΡΟΤΑΣΗ. Εάν α, β, γ, δ είναι τόξα τέτοια ώστε α ~ γ και β ~ δ και εάν αβ υπάρχει, τότε γδ υπάρχει επίσης και αβ ~ γδ. Απόδειξη. Επειδή αβ υπάρχει, είναι α() = β(0). Επειδή α ~ γ και β ~ δ α() = γ() και β(0) = δ(0). Άρα γ() = δ(0) και έτσι γ δ υπάρχει. Επειδή α ~ γ υπάρχει συνεχής συνάρτηση F : I I X τέτοια ώστε: F ( u, 0 ) = α( u), F( u, ) = γ ( u), F( 0,u) = α ( 0) = γ ( 0), F (,u) = α ( ) = γ ( ) Ομοίως, επειδή β ~ δ, υπάρχει συνεχής απεικόνιση G : I I X τέτοια ώστε: G ( u, 0 ) = β ( u), G( u, ) = δ ( u), ( 0, υ ) = β ( 0) = δ ( ), G (, υ ) = β ( ) = δ ( ) G 0 Ορίζουμε: Η : I I X από 3

Η ( u, υ) 33 ( u, υ), ( ) F 0 u / = G u -,/ u Τότε, Η είναι συνεχής και H (u, 0) = α (u), για 0 u /, H (u, 0) = β (u - ), για / u, H (u, 0) = γ (u), για 0 u /, H (u, ) = δ (u - ), για / u, H (0, υ) = F (0, υ) = α (0) = γ (0), H (, υ) = G (, υ) = β () = δ (). Συνεπώς αβ ~ γδ..3 ΠΡΟΤΑΣΗ. Εάν α και β είναι τόξα τέτοια ώστε α ~ β, τότε α ~ β. Απόδειξη. Επειδή α ~ β υπάρχει συνεχής συνάρτηση F : I I X τέτοια ώστε: F (u, 0) = α (u), F (u, ) = β (u), F (0, υ) = α (0) = β (0), F (, υ) = α () = β (). Ορίζουμε G : I I X με G (u, υ) = F ( u, υ). Τότε η G είναι συνεχής και G (u, υ) = α ( u), G (u, ) = β ( u), G (0, u) = F (, υ) = u () = β (), G (u, υ) = F (0, υ) = α(0) = β(0). Συνεπώς α - ~ β -..4 ΠΡΟΤΑΣΗ. Εάν α είναι τόξο και β είναι μηδενικό τόξο τέτοιο ώστε ο αβ να υπάρχει, τότε αβ ~ α. Ομοίως, αν γ είναι μηδενικό τόξο τέτοιο ώστε να υπάρχει το γα, τότε γα ~ α. Απόδειξη. Επειδή αβ υπάρχει και β είναι μηδενικό τόξο β (u) = α(). Ορίζουμε F : I I X με : F ( u, υ) α = α u, + υ 0 u (), ( + υ) ( + υ) u Τότε: F(u, 0) = α(u) για 0 u, F(υ,0) = α() για u και F(0, υ) = α(0), F (,υ) = α() και η F είναι συνεχής. Άρα αβ ~ α. Ομοίως γα ~ α..5 ΠΡΟΤΑΣΗ Εάν α, β και γ είναι τόξα τέτοια ώστε αβ και βγ να υπάρχουν, τότε (αβ)γ και α(βγ) υπάρχουν και (αβ)γ ~ α(βγ). 33

34 Απόδειξη: Η απεικόνιση F : I ορισμένη από: ( ) I X 4υ F : u, υ = α για 0 + υ u (+υ), : ( u, υ ) = β ( 4υ υ ) F για (+υ) u (+υ) και 4 4 ( u) 4 F : ( u, υ) = γ για υ ( u, 0) α( u) F : = 4 για 0 u ( u, 0) = ( u ) F : γ για (+υ) u, είναι συνεχής. Επίσης: 4, : ( u, 0 ) = ( 4u ) 4 F β για 4 u, F : ( u, ) α( u) F : ( u, ) = β ( 4u ) για u 3/4, : ( u, ) = ( 4u 3) u = για 0 u F γ για 3/4 u. Συνεπώς F (u,0) = δ 0 (u), όπου δ 0 = (αβ)γ και F(u,) = δ (u), όπου δ = α(βγ). Επίσης F (0,υ) = α(0) = δ 0 (0) και F(,υ ) = γ() = δ (). Άρα (αβ)γ ~ α(βγ).,,.6 ΠΡΟΤΑΣΗ. Εάν α είναι τόξο, τότε αα και α α είναι ομοτοπικά τόξα. Απόδειξη. Ορίζουμε ( u, υ) = α( ( u)( υ) ) F : για ( u, 0) α( u) F : = για 0 u F : ( u, ) = α( 0), F : ( 0, υ ) α( 0) = F(, υ) F : I I X, F (u, υ) = α(u ( -υ)) για 0 u =., u. Τότε η F είναι συνεχής και, F : ( u, 0 ) ( u ) = α για u, Συνεπώς το αα είναι ομοτοπικό στο μηδενικό τόξο, του οποίου η εικόνα είναι α(0). Ομοίως ο α α είναι ομοτοπικό του μηδενικού τόξου, του οποίου η εικόνα είναι α()..7 ΠΡΟΤΑΣΗ. Έστω α και β δύο τόξα τέτοια ώστε το αβ υπάρχει και είναι κλειστό τόξο. Τότε α ~ β. Απόδειξη. Αφού το αβ υπάρχει α() = β (0) = β(-0) = β() δηλαδή α() = β(). Επίσης αφού το αβ είναι κλειστό έχουμε αβ (0) = αβ - (). 34

Όμως αβ - (u)= α β ( u),u [ 0, / ] ( u ),u [ /, ] 35 β - = β(+) = β(0), δηλαδή α(0) = β(0). Άρα α ~ β. Άρα αβ - (0) = α( 0) = α(0) και αβ - () =.8 ΟΡΙΣΜΟΣ. Λέμε ότι ένας χώρος είναι συνεκτικός κατά τόξα εάν για κάθε δύο σημεία του υπάρχει τόξο με αρχή το ένα και πέρας το δεύτερο σημείο..9 Παραδείγματα. () Μια έλλειψη είναι σύνολο συνεκτικό κατά τόξα. Πράγματι, για μια συγκεκριμένη επιλογή συντεταγμένων, η εξίσωση σε y καρτεσιανές συντεταγμένες θα είναι + =. Ορίζουμε συνάρτηση f : R E, E b a η έλλειψη, με τιμή f (θ) = (αcosθ, bsinθ). Η συνάρτηση είναι συνεχής και επί, συνεπώς δύο τυχαία σημεία του Ε μπορούν να θεωρηθούν ως f (θ 0 ) και f (θ ). Το ζητούμενο τόξο είναι, λοιπόν, το g(t) = f (( t)θ 0 + tθ ). (Από το τελευταίο μέρος της απόδειξης φαίνεται ότι αντί του [0,] μπορεί να χρησιμοποιηθεί οποιοδήποτε άλλο πραγματικό διάστημα). () Το σύνολο D n = { R n / = (,,, n, i, i {,,, n}} είναι συνεκτικό κατά τόξα. Πράγματι, είναι σύνολο κυρτό, συνεπώς κάθε δύο σημεία αυτού μπορούν να συνδεθούν με τόξο. (3) Η επιφάνεια της σφαίρας S n = { R n / = (,,, n, i =, i {,,, n}} είναι σύνολο συνεκτικό κατά τόξα. Πράγματι, δοθέντων δύο σημείων θεωρούμε επίπεδο διερχόμενο από αυτά (λόγου χάριν και από την αρχή των αξόνων), το οποίο συναντά την επιφάνεια κατά ένα τόξο διερχόμενο από τα σημεία..0 ΘΕΩΡΗΜΑ. Κάθε συνεκτικός κατά τόξα χώρος είναι συνεκτικός. Απόδειξη. Έστω (Χ, τ) χώρος συνεκτικός κατά τόξα και μη συνεκτικός. Τότε υπάρχει συνεχής συνάρτηση f : X {0,}. (Πρόταση.9β). Εν συνεχεία για δύο τυχαία σημεία, y του Χ με f() = 0 και f(y) = υπάρχει τόξο g : I X με g(0) = και g() 35

36 = y. Τότε η συνάρτηση f o g : I {0,} είναι συνεχής (ως σύνθεση συνεχών) και επιπλέον ισχύουν ( f o g)( 0 ) = f ( g( 0) ) = f ( ) = 0 και ( g)( ) = f ( g( ) ) = f ( y) = f o. Έτσι το Ι δεν είναι συνεκτικό, αφού υπάρχει η συνεχής συνάρτηση f g : I { 0, } o. Αυτό όμως είναι άτοπο, διότι το Ι ως διάστημα του R είναι συνεκτικό. Άρα ο Χ είναι συνεκτικός.. Παρατήρηση. Η συνεκτικότητα δεν συνεπάγεται τη συνεκτικότητα κατά τόξα. Παράδειγμα Θεωρούμε το σύνολο = (, ) sin, 0 < S E : = θα 0, = 0 δείξουμε ότι το S είναι συνεκτικό, αλλά δεν είναι κατά τόξα συνεκτικό. Ο (σχ. ) Πράγματι. Έστω ότι το S δεν είναι συνεκτικό. Τότε υπάρχουν ανοικτά σύνολα O και O, που έχουν τις ιδιότητες: ( S O ) U ( S I O ) S, S I ( S O ) I ( S I )= I O. Έστω ότι το 0(0,0) S I O I = O S I O και και το (b, sin b ) με b (0,] ανήκει στο S I O (Σχ. ). Επειδή το Ο είναι ανοικτό και Ο(0,0) Ο υπάρχει ανοικτή γειτονιά S 0 του Ο(0,0) με S 0 Ο. Η γειτονιά S 0 όμως περιέχει ένα τουλάχιστον σημείο (α, sin α ) του S με α (0,b). 36

37 Έστω S* = {(, ) S : α b}. Με τη βοήθεια του συνεχούς τόξου = sin με 0 < α b αποδεικνύεται ότι το S* είναι κατά τόξα συνεκτικό άρα βάσει του θεωρήματος.0 είναι και συνεκτικό. Για το S* έχουμε επίσης τα εξής: (i) S* O U O αφού S * O U O (ii) S * I O και S* I O, αφού α, sin O, b,sin O και α b S * * I S I O I O, αφού ( S I O ) I ( S I ). Άρα το S* δεν είναι (iii) ( ) ( )= O συνεκτικό, πράγμα άτοπον. Έτσι αποδείξαμε ότι το S είναι συνεκτικό. Το S όμως δεν είναι κατά τόξα συνεκτικό. Δηλαδή: αν S είναι κατά τόξα συνεκτικό και Χ = Χ(t), με t [0,] = Ι, είναι ένα συνεχές τόξο, που συνδέει το σημείο Ο(0,0) με το σημείο (, sin), τότε X (I) = S (δηλαδή η X(t) διέρχεται από όλα τα σημεία του S). (σχ. ) Πράγματι: Έστω ότι Χ(I) S. Τότε υπάρχει κάποιο σημείο (b, sin ) του S, το οποίο b δεν περιέχεται στο X(I). Θεωρούμε τα ανοικτά υποσύνολα Α, Β του επιπέδου με Α = {(, ) Ε : < b} και Β = {(, ) Ε με > b}. Προφανώς Α, Β. Όπως φαίνεται και από το σχήμα τα Α, Β καλύπτουν το Χ(Ι), είναι ξένα μεταξύ τους και έχουν με το Χ(Ι) μη κενές τομές. Άρα το Χ(Ι) είναι μη συνεκτικό. Αυτό όμως είναι άτοπο, διότι το Ι είναι συνεκτικό και η Χ συνεχής, άρα το Χ(Ι) είναι συνεκτικό (θεώρημα.7). Άρα το Χ(Ι) = S. Επειδή το Ι είναι συμπαγές και η Χ είναι συνεχής έχουμε ότι X(I) = S είναι συμπαγές. Άρα το S είναι και κλειστό. Έτσι το S περιέχει όλα τα σημεία συσσωρεύσεώς του. Όμως το σημείο (0, /) δεν είναι 37

38 στοιχείο του S, αλλά είναι σημείο συσσωρεύσεως του S αφού κάθε μικρή γειτονιά του (0, /) περιέχει ένα τουλάχιστον σημείο του S. Έτσι το S είναι συμπαγές, αλλά όχι κλειστό, πράγμα το οποίο είναι άτοπο. Άρα το S δεν είναι κατά τόξα συνεκτικό.. ΠΡΟΤΑΣΗ. Έστω D ένα σύνολο που είναι συνεκτικό και συγχρόνως ανοικτό (δηλαδή πεδίο). Τότε το D είναι και κατά τόξα συνεκτικό. Απόδειξη. Έστω ότι το συνεκτικό D δεν είναι κατά τόξα συνεκτικό. Τότε υπάρχουν δύο σημεία P 0 και Q 0 του D τα οποία δεν μπορούν να ενωθούν με ένα συνεχές τόξο του D. Εάν Α είναι το σύνολο σημείων του D, που μπορούν να ενωθούν με τόξο με το P 0 και Β το σύνολο των σημείων του D που δεν μπορούν να ενωθούν με τόξο με το P 0, τότε: Α, Β, D = A U B και Α I Β =. Τα σύνολα Α, Β είναι ανοικτά σύνολα, Πράγματι, αν P* σημείο του Α, τότε το P* μπορεί να ενωθεί με το P 0. (σχ. 3) Επειδή Α D και D ανοικτό υπάρχει γειτονιά S(P*) του P* με S(P*) D. Κάθε σημείο P της S(P*) μπορεί να ενωθεί (σχ. 3) με το P* με ένα ευθύγραμμο τμήμα. Έτσι το Ρ μπορεί να ενωθεί με το Ρ 0 με ένα συνεχές τόξο. Άρα κάθε σημείο της S(Ρ*) μπορεί να ενωθεί με το Ρ 0. Έτσι S(Ρ*) Α, και Α ανοικτό. Ομοίως έστω Q* σημείο του Β. Τότε Q* D και επειδή το D είναι ανοικτό υπάρχει γειτονιά S(Q*) του Q* με S(Q*) D. Κάθε σημείο Q της S(Q*) μπορεί να ενωθεί με το Q*. Επειδή το Q* δεν μπορεί να ενωθεί με το Ρ 0, ούτε το Q μπορεί να ενωθεί με το Ρ 0. Άρα κάθε σημείο της S(Q*) δεν μπορεί να ενωθεί με το Ρ 0. Άρα S(Q*) Β και Β ανοικτό. Έτσι το D είναι μη συνεκτικό, πράγμα άτοπο. Άρα το D είναι κατά τόξα συνεκτικό. 38

39 3. Συνεκτικές συνιστώσες. Τοπικώς συνεκτικοί χώροι 3. ΟΡΙΣΜΟΣ. Δύο σημεία ενός τοπολογικού χώρου λέγονται συνεκτικά, αν υπάρχει συνεκτικό υποσύνολο του χώρου, που τα περιέχει. Παρατήρηση. Δύο σημεία, τα οποία μπορούν να συνδεθούν με τόξο, είναι συνεκτικά. 3. ΠΡΟΤΑΣΗ. Η σχέση R οριζομένη ως εξής, σε τυχόντα τοπολογικό χώρο Ry αν και μόνον αν τα, y είναι συνεκτικά είναι σχέση ισοδυναμίας. Απόδειξη. Η σχέση, προφανώς είναι αυτοπαθής και συμμετρική. Αποδεικνύουμε τη μεταβατικότητα: Ry και yrz, άρα υπάρχουν αντιστοίχως συνεκτικά Κ και Κ, τα οποία περιέχουν τα, y και z. Είναι y K I K, το K U K είναι συνεκτικό (θεώρημα.5) στο οποίο ανήκουν τα και z. Άρα Rz. 3.3 ΟΡΙΣΜΟΙ. () Μία κλάση ισοδυναμίας της ανωτέρω σχέσεως R σ ένα τοπολογικό χώρο καλείται συνεκτική συνιστώσα του χώρου. () Συνεκτική συνιστώσα σημείου καλείται η συνεκτική συνιστώσα του χώρου στην οποία ανήκει το σημείο. (3) Συνεκτική συνιστώσα υποσυνόλου ενός χώρου καλείται η ένωση των συνεκτικών συνιστωσών στις οποίες ανήκουν τα σημεία του υποσυνόλου. 3.4 Παραδείγματα () Εάν ο χώρος είναι συνεκτικός, η μόνη συνεκτική συνιστώσα του χώρου είναι ο ίδιος ο χώρος. () Οι συνεκτικές συνιστώσες του Q είναι τα μονοσύνολα {}, Q. (3) Οι συνεκτικές συνιστώσες του R - {0} είναι τα υποσύνολα (, 0) και (0, + ). (4) Στον R R ο υπόχωρος, Q R έχει συνεκτικές συνιστώσες τις ευθείες {} R, Q. (5) Στον R, ο υπόχωρος, ο οποίος αποτελείται από την υπερβολή y = και τις ασύμπτωτες αυτής, δέχεται τρεις συνεκτικές συνιστώσες. (6) Ένας διακριτικός χώρος έχει ως συνεκτικές συνιστώσες, τα μονοσύνολά του, 39