Διδάσκων: Κωνσταντίνος Κώστα Διαφάνειες: Δημήτρης Ζεϊναλιπούρ

Διάλεξη - Πολυπλοκότητα Αλγορίθμων / Επανάληψη Χρήσιμων Μαθηματικών Ορισμών Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Αλγόριθμοι, Κριτήρια Αξιολόγησης Αλγόριθμων, Γιατί αναλύουμε τους Αλγορίθμων Εμπειρική Θεωρητική Ανάλυση Αλγορίθμων, Αρχή Σταθερότητας Εργαλεία εκτίμησης πολυπλοκότητας: οι τάξεις Ο), Ω), Θ ) Γραφική Απεικόνιση Ο), Ω), Θ ) Παραδείγματα Ανάλυσης Πολυπλοκότητας Χρήσιμοι μαθηματικοί ορισμοί, Μαθηματική Επαγωγή Διδάσκων: Κωνσταντίνος Κώστα Διαφάνειες: Δημήτρης Ζεϊναλιπούρ ΕΠΛ 35 Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι για Ηλ. Μηχ. και Μηχ. Υπολ. -

Αλγόριθμοι Αλγόριθμος: είναι μια πεπερασμένη ακολουθία εντολών, αυστηρά καθορισμένων και εκτελέσιμων σε πεπερασμένο χρόνο, οι οποίες αν ακολουθηθούν επιτυγχάνεται κάποιο επιθυμητό αποτέλεσμα. Προγράμματα: Υλοποίηση αλγορίθμου σε μια γλώσσα προγραμματισμού Ένα σωστό πρόγραμμα δεν είναι αρκετό Τι είναι σημαντικό σε ένα Αλγόριθμο; Ορθότητα: όταν τα δεδομένα εισόδου ικανοποιούν τις αναγκαίες συνθήκες, τότε το πρόγραμμα τερματίζει με το αναμενόμενο αποτέλεσμα Χρόνος Εκτέλεσης: Ο χρόνος που χρειάζεται το πρόγραμμα για να δημιουργήσει το αναμενόμενο αποτέλεσμα. Απαίτηση στην Μνήμη, Δίκτυο, Μαγνητικό Δίσκο ανάλογα με την εφαρμογή): Τους υπολογιστικούς πόρους τους οποίους χρειάζεται η εφαρμογή, πέρα από τον επεξεργαστή, για να δημιουργηθεί το αναμενόμενο αποτέλεσμα. ΕΠΛ 35 Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι για Ηλ. Μηχ. και Μηχ. Υπολ. -

Ανάλυση Αλγορίθμων Θέλουμε να μπορούμε να υπολογίζουμε τον χρόνο εκτέλεσης ενός αλγορίθμου / και να τον βελτιώνουμε, προτού τον τρέξουμε σε κάποια μηχανή. Η σημερινή διάλεξη θα απαντήσει τις ερωτήσεις: Τι είναι η θεωρητική ανάλυση ενός αλγόριθμου; Ποια είναι τα κριτήρια ανάλυσης αλγορίθμων; Πως παριστάνουμε και υπολογίζουμε την απόδοση ενός αλγορίθμου με μαθηματικά εργαλεία; ΕΠΛ 35 Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι για Ηλ. Μηχ. και Μηχ. Υπολ. -3

Ανάλυση Αλγορίθμων Γιατί? Γιατί πρέπει να αναλύσουμε την πολυπλοκότητα ενός αλγορίθμου; Όταν ένα πρόγραμμα πρόκειται να επεξεργαστεί ένα μεγάλο όγκο δεδομένων, πρέπει να βεβαιωθούμε ότι θα τερματίσει σε αποδεκτά χρονικά πλαίσια. Αν ένας αλγόριθμος εύρεσης του πιο φθηνού εισιτηρίου σε ένα ηλεκτρονικό σύστημα αεροπορικών κρατήσεων θέλει μήνες για να εκτελεστεί, τότε το σύστημα δεν είναι χρήσιμο. Η θεωρητική ανάλυση, επιτρέπει σε ένα προγραμματιστή να υπολογίσει με την χρήση μαθηματικών εργαλείων τον αναμενόμενο χρόνο προτού κωδικοποιήσει το πρόγραμμα. Εάν ο αναμενόμενος χρόνος είναι πολύ μεγάλος, τότε θα σχεδιάσει κάποιο βελτιωμένο αλγόριθμο. ΕΠΛ 35 Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι για Ηλ. Μηχ. και Μηχ. Υπολ. -4

Εμπειρική Θεωρητική Ανάλυση Αλγορίθμων Ένας αλγόριθμος μπορεί να μελετηθεί: Εμπειρικά, μετρώντας το χρόνο και χώρο εκτέλεσής του σε συγκεκριμένο υπολογιστή. Μπορούμε να υλοποιήσουμε τον αλγόριθμο και να μετρήσουμε τον χρόνο με την βιβλιοθήκη <tme.h> Θεωρητικά, μπορούμε να υπολογίσουμε το χρόνο και το χώρο που απαιτεί ο αλγόριθμος σαν συνάρτηση του μεγέθους των εξεταζομένων στιγμιότυπων. π.χ. Πρόβλημα: ταξινόμηση λίστας. Στιγμιότυπο: λίστα με στοιχεία. Μέγεθος: Τυπικά, μέγεθος ενός στιγμιότυπου αντιστοιχεί στο μέγεθος της μνήμης που απαιτείται για αποθήκευση του στιγμιότυπου στον υπολογιστή. Θεωρητική Ανάλυση Vs. Εμπειρική Ανάλυση Η θεωρητική ανάλυση:. δεν εξαρτάται από το υλικό του Η/Υ μνήμη, cache, κλπ). δεν εξαρτάται από τη γλώσσα προγραμματισμού ή το μεταφραστή 3. δεν εξαρτάται από τις ικανότητες του προγραμματιστή. 4. δεν απαιτεί την υλοποίηση του αλγόριθμου προτού την δοκιμή! 4. είναι ΓΕΝΙΚΗ ΕΠΛ 35 Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι για Ηλ. Μηχ. και Μηχ. Υπολ. -5

Θεωρητική Ανάλυση Αλγορίθμων Κάνουμε χρήση μιας υψηλού επιπέδου περιγραφής του αλγόριθμου και όχι της υλοποίησης του δηλαδή χρήση Ψευδοκώδικα. Θα χαρακτηρίσουμε τον χρόνο εκτέλεσης του αλγόριθμου σαν συνάρτηση του μεγέθους των δεδομένων, N Η ανάλυση μας θα λάβει υπόψη όλες τις δυνατές εισόδους. π.χ. βρείτε τον αριθμό 5 σε ένα πίνακα ακέραιων. - Στην καλύτερη περίπτωση: το βρίσκουμε στην πρώτη θέση - Στην χειρότερη περίπτωση: δεν τον βρίσκουμε καθόλου Επομένως, ένα αλγόριθμος μπορεί να εκτελείται γρηγορότερα σε συγκεκριμένα σύνολα δεδομένων από ότι σε κάποια άλλα. Η εύρεση της μέσης περίπτωσης είναι συνήθως δύσκολη, για αυτό οι αλγόριθμοι μετριούνται με βάση την χειρότερη περίπτωση. Σε συγκεκριμένα πεδία ar traffc cotrol, συστήματα πραγματικού χρόνου, κτλ), η γνώση της χειρότερης περίπτωσης είναι πολύ σημαντική ΕΠΛ 35 Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι για Ηλ. Μηχ. και Μηχ. Υπολ. -6

Παράδειγμα Ανάλυσης Υποθέστε ότι θέλετε να βρείτε το μεγαλύτερο στοιχείο σε μια λίστα θετικών ακεραίων. t largest t X[], t ){ t curret, ; Χ 3 7 9 5 whle < ){ f X[] > curret){ curret X[]; // σημείωσε τον μεγαλύτερο } ; } retur curret; } Μέγεθος δεδομένων εισόδου: Στόχος: υπολογισμός του αριθμού βασικών πράξεων Χειρότερη Περίπτωση: εξέταση όλων των στοιχείων t) Βέλτιστη Περίπτωση: εξέταση όλων των στοιχείων t) ΕΠΛ 35 Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι για Ηλ. Μηχ. και Μηχ. Υπολ. -7

Παράδειγμα Ανάλυσης Αν ήταν ταξινομημένη η λίστα σε αύξουσα σειρά) τότε το μεγαλύτερο στοιχείο μπορεί να βρεθεί σε σταθερό χρόνο δηλαδή πάντα το τελευταίο στοιχείο). t largest t X[], t ){ f <) retur -; // error; retur X[-]; Μέγεθος δεδομένων εισόδου: Χειρότερη Περίπτωση: εξέταση τελευταίου στοιχείου t) Βέλτιστη Περίπτωση: εξέταση τελευταίου στοιχείου t) ΕΠΛ 35 Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι για Ηλ. Μηχ. και Μηχ. Υπολ. -8

Μονάδα Σύγκρισης της Αποδοτικότητας Η αρχή της σταθερότητας Δύο διαφορετικές υλοποιήσεις του ίδιου αλγορίθμου σε διαφορετικές μηχανές ή σε διαφορετικές γλώσσες ή από διαφορετικούς προγραμματιστές) δεν διαφέρουν στο χρόνο εκτέλεσής τους περισσότερο από κάποιο σταθερό πολλαπλάσιο. δηλ. αν E είναι o χρόνος εκτέλεσης της μίας υλοποίησης και E της άλλης, τότε ισχύει E c E για κάποια σταθερά c. Για παράδειγμα έχουμε ένα πρόγραμμα το οποίο ταξινομεί ένα πίνακα μεγέθους Ν, στον υπολογιστή PC του σπιτιού μας σε χρόνο Ε και σε ένα ΙΒΜ Power System AC9 σε χρόνο Ε. Παρατηρούμε ότι ισχύει : Ε,, * Ε Η σταθερά c,, δεν εξαρτάται από το Ν αλλά από το περιβάλλον εκτέλεσης μεταγλωττιστής, υλικό, λειτουργικό σύστημα, κτλ). Επομένως εάν αυξηθεί το Ν, τότε και πάλι θα εκτελείται,, πιο αργά στο PC μας ΕΠΛ 35 Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι για Ηλ. Μηχ. και Μηχ. Υπολ. -9

Eίδη αλγορίθμων t) Όνομα ένα) Σταθερός costat) 3 c,,3 ) log Γραμμικός lear) Πολυωνυμικός polyomal) Τετραγωνικός δευτεροβάθμιος quadratc), π.χ., Shortest Path Djstra Κυβικός - τριτοβάθμιος cubc), π.χ., All-Par- Shortest Path Floyd-Warshall Εκθετικός expoetal) Λογαριθμικός logarthmc) ΕΠΛ 35 Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι για Ηλ. Μηχ. και Μηχ. Υπολ. -

Ρυθμός Αύξησης μιας Συνάρτησης Ο ρυθμός αύξησης μιας συνάρτησης είναι σημαντικός όταν ο αριθμός των δεδομένων εισόδου N, είναι σημαντικά μεγάλος. Για 4 6 και 6 Για.6* 3 και, ίδια Εάν ένας αλγόριθμος εκτελείται σε και μια άλλη έκδοση πράξεις τότε για μικρές τιμές θα έχουν παρόμοιο χρόνο εκτέλεσης. Για μεγάλες τιμές αυτό βέβαια δεν ισχύει ΕΠΛ 35 Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι για Ηλ. Μηχ. και Μηχ. Υπολ. -

Ρυθμός Αύξησης Διάφορων Συνάρτησης βάση του μεγέθους εισόδου ) Υπόθεση: πράξεις χρειάζονται 6x -6 secods mcrosecods)* * Οι πιο γρήγοροι υπολογιστές κάνουν απλές πράξεις,-, ) σε -9 secods aosecod) ενώ το pc μας σε -6 secods mcrosecod) ΕΠΛ 35 Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι για Ηλ. Μηχ. και Μηχ. Υπολ. -

Ρυθμός Αύξησης μιας Συνάρτησης Σημειώστε ότι η τιμή μιας συνάρτηση, καθορίζεται κυρίως από τον μεγαλύτερο όρο για μεγάλες τιμές του. Π.χ. Ένας αλγόριθμος μας θέλει f) χρόνο για να ολοκληρώσει: f) * 3 4* 8 Για f),,4,8 Χρησιμοποιώντας μόνο τον πιο μεγάλο όρο * 3,,, θα μπορούσαμε να υπολογίσουμε τον χρόνο εκτέλεσης του προγράμματος με 99.99% ακρίβεια! Επομένως τα 4* 8 είναι αχρείαστα στην ανάλυση μας ΕΠΛ 35 Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι για Ηλ. Μηχ. και Μηχ. Υπολ. -3

Μοντέλο Υπολογισμού της Ανάλυσης Μας Υπολογιστής που εκτελεί οδηγίες διαδοχικά. όχι παράλληλες μηχανές) Βασική πράξη θεωρούμε ότι είναι οποιαδήποτε πράξη της οποίας ο χρόνος εκτέλεσης είναι φραγμένος από κάποια σταθερά δηλ. c, για κάποια σταθερά c). πχ μαθηματικές πράξεις πρόσθεση, αφαίρεση ), σύγκριση, καταχώρηση μεταβλητής, επιστροφή αποτελέσματος. Συνεπώς ο χρόνος εκτέλεσης μιας βασικής πράξης μπορεί να προσδιοριστεί ανεξάρτητα από το στιγμιότυπο πχ 3 ή 3 θέλουν τον ίδιο ακριβώς χρόνο εκτέλεσης) Επειδή ορίζουμε το χρόνο εκτέλεσης ενός αλγορίθμου με την έννοια του σταθερού πολλαπλασίου C, για την ανάλυση θα χρειαστούμε μόνο τον αριθμό των βασικών πράξεων που εκτελούνται από ένα αλγόριθμο και όχι τον ακριβή χρόνο που απαιτούν η κάθε μια από αυτές. Άρα για τον υπολογισμό του χρόνου εκτέλεσης ενός αλγόριθμου απλά μετρούμε τον αριθμό των βασικών πράξεων που εκτελεί. ΕΠΛ 35 Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι για Ηλ. Μηχ. και Μηχ. Υπολ. -4

Ασυμπτωτική Προσέγγιση: Bg-O Μας επιτρέπει να υπολογίσουμε τον ρυθμό αύξησης μιας συνάρτησης χωρίς να ανησυχούμε για: a) σταθερά πολλαπλάσια C) ή b) για μικρότερους όρους, οι οποίοι έτσι και αλλιώς δεν επηρεάζουν τον χρόνο εκτέλεσης ενός προγράμματος. Επομένως δεν έχουμε να ανησυχούμε για το υλικό, μεταγλωττιστή, κτλ με τα οποία θα εκτελεστεί ο αλγόριθμος μας. Η προσέγγιση Bg-O, μας επιτρέπει να ορίσουμε μια σχετική σειρά στις συναρτήσεις συγκρίνοντας τους επικρατέστερους όρους. π.χ. ένας αλγόριθμος θέλει f) 7 4 πράξεις ενώ ένας άλλος θέλει g) 3 πράξεις τότε ξέρουμε ότι o πρώτος εκτελείται πιο γρήγορα για μεγάλες τιμές του ΕΠΛ 35 Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι για Ηλ. Μηχ. και Μηχ. Υπολ. -5

Εργαλεία Εκτίμησης Πολυπλοκότητας Ορισμός: Θεωρούμε συνάρτηση Τ). Ορίζουμε. Τ)Οf )), αν υπάρχουν σταθερές c> και ώστε Τ) cf), για κάθε. f)μπορεί να είναι οποιαδήποτε συνάρτηση >,, lg Οf)) T). Τ)Ωf)), αν υπάρχουν σταθερές c> και ώστε Τ)cf), για κάθε. 3. Τ)Θf)), αν Τ)Οf)) και Τ)Ωf)). Ωf)) Αν Τ)Οf )), τότε λέμε πως η συνάρτηση Τ είναι της τάξεως f). Αν Τ) Ωf )), τότε λέμε πως η Τ είναι της τάξεως ωμέγα της f ). Αν Τ) Θf )), τότε λέμε πως η Τ είναι της τάξεως θήτα της f ). λέγεται και ακριβής τάξη) ΕΠΛ 35 Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι για Ηλ. Μηχ. και Μηχ. Υπολ. -6

Γραφική Απεικόνιση Βg-O H συνάρτηση fx) είναι Ogx)) Δηλαδή υπάρχουν σταθερές C> και ώστε: f) Cg), για κάθε. H συνάρτηση x x είναι Οx ) ΕΠΛ 35 Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι για Ηλ. Μηχ. και Μηχ. Υπολ. -7

Γραφική Απεικόνιση Βg-Ω και Bg-Θ H συνάρτηση f) ε Ωg)) Δηλαδή υπάρχουν σταθερές c> και ώστε: f)cg), για κάθε. H συνάρτηση f) ε Θg)) Δηλαδή υπάρχουν σταθερές c >,c > και ώστε: c.g) f) c.g), για κάθε. ΕΠΛ 35 Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι για Ηλ. Μηχ. και Μηχ. Υπολ. -8

Παράδειγμα 7-3 είναι Ο) Τεκμηρίωση Παραδείγματα Βg-O Πρέπει να δείξουμε ότι υπάρχει c>, o έτσι ώστε: 7-3 c*, Για c7, o η παραπάνω ανισότητα ικανοποιείται, επομένως 7-3 είναι Ο) π.χ., 7*-3 7* 4 7) 7*-3 7* 4) 7*3-3 7*3 8 ) κοκ Επαγωγική απόδειξη ή με όρια) παραλείπεται προς το παρόν ΕΠΛ 35 Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι για Ηλ. Μηχ. και Μηχ. Υπολ. -9

Παράδειγμα 3 log5 είναι Ο 3 ) Παραδείγματα Βg-O Τεκμηρίωση Πρέπει να δείξουμε ότι υπάρχει c>, o έτσι ώστε 3 log5 c* 3 3 log5 3 3 5 3 3 3 5 3 35 3 >) Για c35, o η παραπάνω ανισότητα ικανοποιείται, επομένως 3 log5 είναι Ο 3 ) ΕΠΛ 35 Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι για Ηλ. Μηχ. και Μηχ. Υπολ. -

Ιδιότητες Bg-O Στις περισσότερες περιπτώσεις μας ενδιαφέρει μόνο το άνω φράγμα χείριστη περίπτωση εκτέλεσης ενός αλγορίθμου), δηλαδή το O. Η συνάρτηση O έχει τις ακόλουθες ιδιότητες:. OXY) OX) OY) max OX),OY)). OX*Y) OX)*OY) OX * Y) 3. Oc * X) OX) c σταθερά > ) Ισχύει η ακόλουθη σειρά < log < < log < < 3 < <! < < είναι ασυμπτωτικά μικρότερο Παράδειγμα Έστω ότι ένας αλγόριθμος έχει την ακόλουθη συνάρτηση αύξησης f) 6 log 3 7 Τότε απλοποιούμε την συνάρτηση αύξησης ως εξής 6 log διαγράφουμε τις μικρότερες τιμές του Κανόνας ) log διαγράφουμε τις σταθερές Κανόνας 3) δηλαδή f) ε Ο log) ΕΠΛ 35 Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι για Ηλ. Μηχ. και Μηχ. Υπολ. -

Παραδείγματα Ιδιοτήτων Bg-O Παραδείγματα: 5 3 Ο) * 7 ) Ο 7 ) 34 Ο) 7 )*m Ο 7 m ) 5 O ) 5lg 4 Οlg) Προφανώς, κατά την ανάλυση αλγορίθμων στόχος μας είναι αυτά τα όρια να είναι όσο το δυνατό πιο ακριβή. Εάν 7-4 είναι Ο), τότε προφανώς 7-4 είναι Ο ), Ο 3 ), Ο 4 ),. Ωστόσο, οι χαρακτηρισμοί bg-o πρέπει να είναι όσο το δυνατό πιο μικρής τάξης. δηλαδή το Ο) είναι το πιο στενό άνω όριο). ΕΠΛ 35 Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι για Ηλ. Μηχ. και Μηχ. Υπολ. -

Παράδειγμα Ανάλυσης Υποθέστε ότι θέλετε να βρείτε την θέση κάποιο στοιχείου K σε μια λίστα Χ[] μήκους ). t dex t X[],t,t ){ t ; whle < ) 3 f X[]) // tem foud 4 retur ; 5 ; 6 retur error; } Μέγεθος δεδομένων εισόδου: 7? > θέση Χ 3 7 9 5 Χειρότερη Περίπτωση: εξέταση όλων των στοιχείων π.χ. ψάχνουμε το 5) t) > O) Βέλτιστη Περίπτωση: το στοιχείο βρίσκετε στην θέση π.χ. ψάχνουμε το 3) t) > Ω) Άρα εκτός από το μέγεθος εισόδου και το ίδιο το στιγμιότυπο εισόδου παίζει κάποιο σημαντικό ρόλο στην ανάλυση κάποιου αλγορίθμου η συνάρτησης) ΕΠΛ 35 Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι για Ηλ. Μηχ. και Μηχ. Υπολ. -4

Ανάλυση Χειρίστης Περίπτωσης Στις περισσότερες περιπτώσεις, μας ενδιαφέρει η ανάλυση χείριστης περίπτωσης, επειδή μας δίδει ένα άνω φράγμα στον χρόνο εκτέλεσης ενός αλγόριθμου. Αν D είναι το σύνολο όλων των εισόδων στιγμιοτύπων*) μεγέθους, και ti) ο αριθμός βασικών πράξεων που εκτελούνται από τον αλγόριθμο για κάθε ID τότε ορίζουμε την : Πολυπλοκότητα Χειρίστης Περίπτωσης: W) max {ti) I D } Ι: Στιγμιότυπο εισόδου Βασικές πράξεις Ι Δηλαδή, ο ορισμός δίνει ένα άνω φράγμα upper boud) της πολυπλοκότητας του αλγορίθμου. * D { {3,,7,,9,5}, {,3,7,,9,5},., 6!7 διατάξεις) } ΕΠΛ 35 Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι για Ηλ. Μηχ. και Μηχ. Υπολ. -5

Ανάλυση Μέσης Περίπτωσης Υποθέτουμε πως μπορούμε να αντιστοιχίσουμε μια πιθανότητα pi) σε κάθε είσοδο ID. Ορίζουμε την πολυπλοκότητα Μέσης Περίπτωσης ως A ) p I) t I) Παράδειγμα: Ψάχνουμε το 3 σε μια λίστα 6 αριθμών) To 3 μπορεί να βρίσκεται σε μια από τις πιο κάτω θέσεις: Ι {3,x,x,x,x,x} Ι {x,3,x,x,x,x} Ι 3 {x,x,3,x,x,x} Ι 4 {x,x,x,3,x,x} Ι 5 {x,x,x,x,3,x} Ι 6 {x,x,x,x,x,3} Υποθέτουμε ότι και οι 6 καταστάσεις έχουν πιθανότητα εμφάνισης pi)/ Πολυπλοκότητα Μέσης Περίπτωσης D / * πράξη) / * πράξεις) / * 3 πράξεις) / * 4 πράξεις) / * 5 πράξεις) / * 6 πράξεις) A ). ) ) ti): αριθ. βασικών πράξεων pi): Πιθανότητα εμφάνισης στιγμιοτύπου D ΕΠΛ 35 Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι για Ηλ. Μηχ. και Μηχ. Υπολ. -6

Παράδειγμα : Υπολογισμός Χρόνου Εκτέλεσης Υποθέστε ότι ένα πρόβλημα επιλύνεται με τον πιο κάτω κώδικα: t ; for ; <; ) ; Ανάλυση ; // H βασική πράξη η οποία χρειάζεται Ο) χρόνο Ο αλγόριθμος εκτελεί την βασική πράξη φορές - O αλγόριθμος έχει πολυπλοκότητα της τάξης O) - Στην βέλτιστη περίπτωση χρειάζεται Ω) > O) & Ω) > Θ) ΕΠΛ 35 Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι για Ηλ. Μηχ. και Μηχ. Υπολ. -7

Επανάληψη Χρήσιμων Μαθηματικών Ορισμών Ορισμός : Χρήσιμοι νόμοι λογάριθμων: Ορισμός : π.χ. log log a / b) b log b log x a b ff x a ab log a log b b x x log a log b log log) log*log log log log log log log logloglog log commo), log e l - atural), log lg - bary) Π.χ. log log log δεν ορίζεται x 63 max{ a a x,t a)} x m{ a a x,t a)} 5.7 6, 5.634 5 a a a b b a floor) cel) blog a ΕΠΛ 35 Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι για Ηλ. Μηχ. και Μηχ. Υπολ. -8 c c b a

Ακολουθίες και Αθροίσματα... /4 / 6 ) ) ) log a a a {,,,3,...,} {,,4,9,, } {,,4,8,, } Άθροισμα Γεωμετρικής Προόδου * log log log Το οποίο προκύπτει αλλιώς ως: ΕΠΛ 35 Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι για Ηλ. Μηχ. και Μηχ. Υπολ. -9

Στόχος Μαθηματική Επαγωγή Να αποδειχθεί ότι η μαθηματική) πρόταση Π) ισχύει για κάθε. Μέθοδος. Επαληθεύουμε πως η Π ισχύει για,. Υποθέτουμε πως η Π ισχύει για και 3. Αποδεικνύουμε πως η Π ισχύει για. Παραλλαγές Αντί του, σε ορισμένες περιπτώσεις ενδιαφερόμαστε για a, όπου το a είναι κάποιος ακέραιος. Στο δεύτερο βήμα: Υποθέτουμε πως η Π ισχύει για και αποδεικνύουμε πως η Π ισχύει για. ΕΠΛ 35 Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι για Ηλ. Μηχ. και Μηχ. Υπολ. -3

Λογική πίσω από την Μαθηματική Επαγωγή Έστω ότι κάποιος ισχυρίζεται ότι ο ακόλουθος τύπος ισχύει πάντα ) Καλούμαστε να αποδείξουμε δηλαδή να δείξουμε ότι για κάθε τιμή του Χ ισχύει) η να το διαψεύσουμε ότι δηλ., υπάρχει κάποια τιμή του που κάνει αναληθή τον ισχυρισμό. Δοκιμή για : *)/ το οποίο είναι το ίδιο με το! Δοκιμή για : *3)/ 3 το οποίο είναι το ίδιο με το! Δοκιμή για 3 : 3*4)/ 6 το οποίο είναι το ίδιο με το 3! Δοκιμή για 4 : 4*5)/ το οποίο είναι το ίδιο με το 34!. Ας υποθέσουμε ότι ισχύει και για Μπορούμε να δείξουμε ότι ισχύει και για με βάσει την προηγούμενη υπόθεση; Εάν ναι τότε το έχουμε αποδείξει. Εάν όχι τότε δεν το έχουμε διαψεύσει, απλά δεν έχουμε βρεί την απάντηση! ΕΠΛ 35 Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι για Ηλ. Μηχ. και Μηχ. Υπολ. -3

Παράδειγμα Τυπική Απόδειξη Να αποδείξετε ότι ). Απόδειξη: Θα αποδείξουμε με τη μέθοδο της μαθηματικής επαγωγής την πρόταση ) Π) ). Επαληθεύουμε την Π) ως εξής:. Υποθέτουμε ότι ισχύει η Π), δηλαδή ότι 3. Και θα αποδείξουμε ότι ισχύει η Π): ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) Επαγωγική υπόθεση ΕΠΛ 35 Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι για Ηλ. Μηχ. και Μηχ. Υπολ. -3

Παράδειγμα Τυπική Απόδειξη Να αποδείξετε ότι Απόδειξη: Θα αποδείξουμε με τη μέθοδο της μαθηματικής επαγωγής την πρόταση Π). Επαληθεύουμε την Π) ως εξής:. Υποθέτουμε ότι ισχύει η Π), δηλαδή ότι 3. Και θα αποδείξουμε ότι ισχύει η Π): 3 4 ) 4 ) ) 4 4) 4 ) 4 )) 4 ) 4 )) 4 ) 4 ) 4 ) ) 4 ) ) 3 3 3 3 3 3 4 ) 4 ) 3 3 4 ) 4 ) ) 3 Κοινός παράγων Επαγωγική υπόθεση -33

Παράδειγμα 3 Τυπική Απόδειξη 3! Να αποδείξετε ότι για >7. Απόδειξη: Θα αποδείξουμε με τη μέθοδο της μαθηματικής επαγωγής την πρόταση Π) για >7.. Επαληθεύουμε την Π7) ως εξής:.. Υποθέτουμε ότι ισχύει η Π), δηλαδή ότι. 3. Και θα αποδείξουμε ότι ισχύει η Π): 3 3.3 3.! ).! )! 3! 3 7 87 7! 3! 3 )! 54 [Επαγωγική υπόθεση] [Για >7 ισχύει πάντα >3)] [Το οποίο είναι το ζητούμενο] ΕΠΛ 35 Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι για Ηλ. Μηχ. και Μηχ. Υπολ. -34