Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα
|
|
- Αδελφά Αθανασιάδης
- 8 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα: Πρόβληµα, Στιγµιότυπο, Αλγόριθµος Εργαλεία εκτίµησης πολυπλοκότητας: οι τάξεις Ο(n), Ω(n), Θ(n) Ανάλυση Πολυπλοκότητας Αλγορίθµων ΕΠΛ 3 Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα -
2 Βασικές Έννοιες Για πληροφορίες για τις πιο κάτω προκαταρτικές/ βασικές έννοιες (τις οποίες αναµένεται ότι ήδη γνωρίζετε) µπορείτε να συµβουλευτείτε τα κεφάλαια Ι και ΙΙ του βιβλίου του µαθήµατος, Introduction to Algorithms, Cormen, Leiserson, Rivest, ή/και τις σηµειώσεις του ΕΠΛ3. Σειρές, σχέσεις, συναρτήσεις, λογάριθµοι Απόδειξη µε τη µέθοδο της επαγωγής Απόδειξη µε τη µέθοδο της αντίφασης Γράφοι, δένδρα και οι σχετικές έννοιες Αναδροµικές Εξισώσεις. Αλγόριθµοι Ταξινόµησης ΕΠΛ 3 Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα -
3 Τι είναι ένας αλγόριθµος; οθέντος ενός προβλήµατος, αλγόριθµος είναι µια καλάπροσδιορισµένη διαδικασία η οποία παρέχει τις οδηγίες σύµφωνα µε τις οποίες τα δεδοµένα του προβλήµατος µετασχηµατίζονται και συνδυάζονται για να προκύψει η λύση του προβλήµατος. al-khowarizmi, Πέρσης µαθηµατικός, 9ος αιώνας µ.χ. Αλγόριθµος του Ευκλείδη για υπολογισµό του µέγιστου κοινού διαιρέτη. Ένας αλγόριθµος πρέπει να αποτελείται από αντικειµενικές/ακριβείς οδηγίες. Και οι πιθανοτικοί αλγόριθµοι;; Η λήψη µιας πιθανοτικής απόφασης δεν είναι το ίδιο µε την λήψη µιας τυχαίας απόφασης. ΕΠΛ 3 Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα -3
4 Πολυπλοκότητα Αλγορίθµων Έννοιες: Πρόβληµα Αλγόριθµος Στιγµιότυπο (instance). Ένας αλγόριθµος πρέπει να ικανοποιεί τις εξής προϋποθέσεις:. πρέπει να εργάζεται σωστά για κάθε σύνολο δεδοµένων εισόδου, δηλ. για κάθε στιγµιότυπο του πεδίου ορισµού του προβλήµατος που λύνει.. πρέπει να είναι απoδοτικός. Υπάρχει ένα σύνολο σωστών αλγορίθµων για κάθε πρόβληµα. Όλοι οι αλγόριθµοι έχουν θεωρητικό ενδιαφέρον. Και πρακτικό ενδιαφέρον όµως παρουσιάζουν αυτοί που είναι αποδοτικοί, δηλαδή αυτοί που ελαχιστοποιούν: το χρόνο που εκτελούνται, το χώρο που χρησιµοποιούν. Στόχος: Εξοικείωση µε τεχνικές σχεδιασµού αλγορίθµων που ελαχιστοποιούν το χρόνο εκτέλεσης και το χώρο που χρησιµοποιούν. Έλεγχος αν και πότε ένας αλγόριθµος είναι άριστος (optimal), δηλαδή ο πιο αποδοτικός για το πρόβληµα για το οποίο σχεδιάστηκε. ΕΠΛ 3 Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα -4
5 Εµπειρική Θεωρητική Ανάλυση Αλγορίθµων Ένας αλγόριθµος µπορεί να µελετηθεί εµπειρικά µετρώντας το χρόνο και χώρο εκτέλεσής του σε συγκεκριµένο υπολογιστή. Θεωρητικά µπορούµε να υπολογίσουµε τοχρόνοκαιτοχώροπουαπαιτείο αλγόριθµος σαν συνάρτηση του µεγέθους των εξεταζοµένων στιγµιότυπων. Τυπικά, µέγεθος ενός στιγµιότυπου αντιστοιχεί στο µέγεθος της µνήµης που απαιτείται για αποθήκευση του στιγµιότυπου στον υπολογιστή. Για απλούστευση της ανάλυσης θα µετρούµε τοµέγεθος ως τον ακέραιο (ή τους ακέραιους) που αντιστοιχούν στο πλήθος των ποσοτήτων του στιγµιότυπου. π.χ. Πρόβληµα: ταξινόµηση λίστας. Στιγµιότυπο: λίστα µε n στοιχεία. Μέγεθος: n Πλεονεκτήµατα της θεωρητικής προσέγγισης υπολογισµού αποδοτικότητας αλγορίθµων περιλαµβάνουν:. δεν εξαρτάται από το υλικό του Η/Υ (µνήµη, cache, κλπ). δεν εξαρτάται από τη γλώσσα προγραµµατισµού ή το µεταφραστή 3. δεν εξαρτάται από τις ικανότητες του προγραµµατιστή. 4. είναι ΓΕΝΙΚΗ ΕΠΛ 3 Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα -5
6 Μονάδα Έκφρασης της Αποδοτικότητας Η αρχή της σταθερότητας ύο διαφορετικές υλοποιήσεις του ίδιου αλγορίθµου (σε διαφορετικές µηχανές ή σε διαφορετικές γλώσσες ή από διαφορετικούς προγραµµατιστές) δεν διαφέρουν στο χρόνο εκτέλεσής τους περισσότερο από κάποιο σταθερό πολλαπλάσιο. δηλ. αν E είναι o χρόνος εκτέλεσης της µίας υλοποίησης και E της άλλης, τότε ισχύει E = c E γιακάποιασταθεράc. Θα λέµε ότι ένας αλγόριθµος απαιτεί (ή εκτελείται σε) χρόνο t(n) αν υπάρχει σταθερά c και εφαρµογή του αλγορίθµου τέτοια ώστε, για κάθε στιγµιότυπο µεγέθους n ο χρόνος εκτέλεσης του αλγορίθµου είναι µικρότερος ή ίσος του c t(n). Eίδη αλγορίθµων t(n) n n k c n log k n Όνοµα γραµµικός πολυωνυµικός εκθετικός λογαριθµικός ΕΠΛ 3 Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα -6
7 Μοντέλο Υπολογισµού Στο µεγαλύτερο µέρος του µαθήµατος θα υποθέσουµε τη χρήση υπολογιστή που εκτελεί οδηγίες διαδοχικά, RAM (random-access machine). Αντιπαραθέστε το µοντέλο RAM µε έναµοντέλο το οποίο, χρησιµοποιώντας n> επεξεργαστές, έχει την δυνατότητα να εκτελεί m, n m 0, οδηγίες παράλληλα. Βασική πράξη θεωρούµε ότι είναι οποιαδήποτε πράξη της οποίας ο χρόνος εκτέλεσης είναι φραγµένος από κάποια σταθερά (δηλ. c, για κάποια σταθερά c). Συνεπώς ο χρόνος εκτέλεσης µιας βασικής πράξης είναι ανεξάρτητος από το µέγεθος ή τις παραµέτρους στιγµιότυπου οποιουδήποτε προβλήµατος. Επειδή ορίζουµε το χρόνο εκτέλεσης ενός αλγορίθµου µε την έννοια του σταθερού πολλαπλασίου, για την ανάλυση θα χρειαστούµε µόνο τον αριθµό των βασικών πράξεων που εκτελούνται από ένα αλγόριθµο και όχι τον ακριβή χρόνο που απαιτούν η κάθε µια από αυτές. Άρα για τον υπολογισµό του χρόνου εκτέλεσης ενός αλγόριθµου απλά µετρούµε τοναριθµό των βασικών πράξεων που εκτελεί. Με τον όρο "βασικές πράξεις" εννοούµε µαθηµατικές πράξεις (πρόσθεση, αφαίρεση ), σύγκριση, καταχώρηση µεταβλητής, επιστροφή αποτελέσµατος. ΕΠΛ 3 Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα -7
8 Ανάλυση Χειρίστης Περίπτωσης Αν D n είναι το σύνολο όλων των εισόδων (στιγµιότυπων)µεγέθους n, και t(i) οαριθµός βασικών πράξεων που εκτελούνται από τον αλγόριθµο γιακάθεi D n τότε ορίζουµετηνπολυπλοκότητα Χειρίστης Περίπτωσης του αλγορίθµου ως W(n) = max {t(i) I D n } ηλαδή, οορισµός δίνει ένα άνω φράγµα της πολυπλοκότητας του αλγορίθµου. ΕΠΛ 3 Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα -8
9 Ανάλυση Μέσης Περίπτωσης Υποθέτουµε πωςµπορούµε να αντιστοιχίσουµε µια πιθανότητα p(i) σε κάθε είσοδο I D n. Ορίζουµετην πολυπλοκότητα Μέσης Περίπτωσης ως A ( n) = p( I) t( I) i D n ΕΠΛ 3 Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα -9
10 Εργαλεία Εκτίµησης Πολυπλοκότητας Ορισµός: Θεωρούµε συνάρτησητ(n). Ορίζουµε. Τ(n) Ο(f (n)), αν υπάρχουν σταθερές c και n 0 ώστε Τ(n) c f(n), για κάθε n n 0.. Τ(n) Ω(g(n)), αν υπάρχουν σταθερές c και n 0 ώστε Τ(n) c g(n), για κάθε n n Τ(n) Θ(h(n)), αν Τ(n) Ο(h(n)) και Τ(n) Ω(h(n)). Αν Τ(n) Ο(f (n)), τότε λέµε πως η συνάρτηση Τ είναι της τάξεως f(n). Αν Τ(n) Ω(f (n)), τότε λέµεπωςητείναιτηςτάξεως ωµέγα της f (n). Αν Τ(n) Θ(f (n)), τότε λέµε πως η Τ είναι της τάξεως θήτα της f (n). ΕΠΛ 3 Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα -0
11 Εργαλεία Εκτίµησης Πολυπλοκότητας Θεώρηµα: Αν T O(f) και T O(g), τότε. T + T max (O(f),O(g)),. T T O(f g), 3. αν T(x) είναι πολυώνυµοβαθµού k τότε T(x) Θ(x k ), 4. log k n O(n) για κάθε σταθερά k. Απόδειξη του : Αφού T O(f) και T O(g) τότε υπάρχουν n,n,c,c τέτοια ώστε Τ (n) c f(n), για κάθε n n και Τ (n) c g(n), για κάθε n n. Θέτουµε c= c c και m= max(n, n ). Τότε Τ (n) Τ (n) c f(n) c g(n) = c f(n) g(n), για κάθε n m Εποµένως το ζητούµενο έπεται. ΕΠΛ 3 Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα -
12 Εργαλεία Εκτίµησης Πολυπλοκότητας Παραδείγµατα: 5n + 3 Ο(n) 34 Ο() 5n Θ(n ) n + 4n + O(n ), O(n 3 ), Με αυτό το τρόπο µπορούµε να εκφράζουµεανώτερα(τάξη Ο) και κατώτερα όρια (τάξη Ω) του χρόνου εκτέλεσης ενός αλγορίθµου. Προφανώς, κατά την ανάλυση αλγορίθµων στόχος µας είναι αυτά τα όρια να είναι όσο το δυνατό πιο ακριβή. ΕΠΛ 3 Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα -
13 Αλγόριθµοι και Προβλήµατα Τι σηµαίνουν Ο αλγόριθµος Α είναι της τάξης Ο,Θ(f(n)), Το πρόβληµα Π είναι της τάξης Ο,Θ(f(n)); Ο αλγόριθµος Bubblesort είναι της τάξης Θ(n²) Τρέχει σε χρόνο n² Το πρόβληµα ταξινόµησης n στοιχείων είναι της τάξης Ο(n lg n) Υπάρχει αλγόριθµος για το πρόβληµα µε χρόνο εκτέλεσης Ο(n lg n) Το πρόβληµα ταξινόµησης n στοιχείων είναι της τάξης Θ(n lg n) Υπάρχει αλγόριθµος για το πρόβληµα µε χρόνο εκτέλεσης Θ(n lg n) και δεν υπάρχει πιο αποδοτικός αλγόριθµος. Το πρόβληµα πολλαπλασιασµού n-αψήφιων ακεραίων είναι της τάξης O(n ²) Υπάρχει αλγόριθµος για το πρόβληµα µε χρόνο εκτέλεσης O(n²). ΕΠΛ 3 Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα -3
14 Υπολογισµός Χρόνου Εκτέλεσης. Ο χρόνος που απαιτείται για την εκτέλεση µιας εντολής for είναι το πολύ ο χρόνος εκτέλεσης του βρόχου επί τον αριθµό επαναλήψεων του βρόχου.. Φωλιασµένοι βρόχοι: Η ανάλυση γίνεται από τα µέσα προς τα έξω. Προσοχή: αν ο χρόνος εκτέλεσης του εσωτερικού βρόχου εξαρτάται από τον εξωτερικό βρόχο, η ανάλυση πρέπει να το λάβει υπόψη. 3. Ο χρόνος εκτέλεσης της εντολής S ; S παίρνει χρόνο ίσο του αθροίσµατος των χρόνων εκτέλεσης των S και S. 4. Ο χρόνος εκτέλεσης της εντολής if b then S else S παίρνει χρόνο λιγότερο του αθροίσµατος των χρόνων εκτέλεσης των b, S και S. 5. Ο χρόνος εκτέλεσης µιας αναδροµικής διαδικασίας µπορεί να υπολογιστεί µετηλύσηµιας αναδροµικής εξίσωσης. ΕΠΛ 3 Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα -4
15 Παραδείγµατα. int k=0; for ( int i=0; i<n; i++) for ( int j=0; j<n; j++) k++;. int k=0; for ( int i=; i<n; i = *i) for ( int j=; j<n; j++) k++ 3. int sum=0; for ( int i=0; i<n; i++) for ( int j=0; j<i*i; j++) sum++; ΕΠΛ 3 Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα -5
16 Παράδειγµα Παρατηρούµε ότι ο χρόνος εκτέλεσης του εσωτερικού βρόχου εξαρτάται από την τιµή i, η οποία καθορίζεται από τον εξωτερικό βρόχο. Ο πιο κάτω πίνακας δείχνει το πόσες φορές εκτελείται ο εσωτερικός βρόχος, Ν(i), σαν συνάρτηση του i: i 0 n- N(i) 0 4 (n-)² Άρα Ν(i)=i². Ο χρόνος εκτέλεσης του προγράµµατος είναι ίσος µε το άθροισµα του χρόνου εκτέλεσης κάθε επανάληψης του εσωτερικού βρόχου, δηλαδή: n T( n ) = i= 0 i n( n )( n ) = Θ( n 6 3 ) ΕΠΛ 3 Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα -6
17 Γραµµική - υαδική ιερεύνηση εδοµένα Εισόδου: Πίνακας Χ µε n στοιχεία, ταξινοµηµένος από το µικρότερο στο µεγαλύτερο, και ακέραιος k. Στόχος: Να εξακριβώσουµε αν το k είναι στοιχείο του Χ. Γραµµική ιερεύνηση: εξερευνούµε τον πίνακα από τα αριστερά στα δεξιά. int linear( int X[], int n, int k){ int i=0; while ( i < n ) if (X[i] == k) return i; if (X[i] > k) return -; i++; return -; } Χρόνος εκτέλεσης: Εξαρτάται από το που (και αν) ο k βρίσκεται στον Χ[n]. Χείριστη περίπτωση: Μέση περίπτωση: ΕΠΛ 3 Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα -7
18 Γραµµική - υαδική ιερεύνηση υαδική ιερεύνηση: βρίσκουµε το µέσο του πίνακα και αποφασίζουµε αν το k ανήκει στο δεξιό ή το αριστερό µισό. Επαναλαµβάνουµε την ίδια διαδικασία στο "µισό" που µας ενδιαφέρει. int binary( int X[],int n,int k){ int low = 0, high = n-; int mid; while ( low < high ){ mid = (high + low)/; if (X[mid] < k) low = mid + ; else if (X[mid] > k) high=mid-; else return mid; } return -; } Χρόνος εκτέλεσης; ΕΠΛ 3 Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα -8
19 Ο Αλγόριθµος Ταξινόµησης InsertionSort void ΙnsertionSort(int A[], int n){ int temp; } for (int i=; i<=n; i++){ temp=a[i]; for (int j=i;(j>)&&(temp < A[j-]); j--) A[j]=A[j-]; A[j]=temp; } Χρόνος Εκτέλεσης Χειρίστης Περίπτωσης: ΕΠΛ 3 Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα -9
20 Ανάλυση Μέσης Περίπτωσης Έστω ότι έχουµε n στοιχεία, το καθένα διαφορετικό από όλα τα άλλα. Υπάρχουν n! διαφορετικές τοποθετήσεις των στοιχείων. Έστω ότι είναι όλες εξίσου πιθανές. Για να υπολογίσουµε τον χρόνο εκτέλεσης µέσης περίπτωσης µπορούµε. να προσθέσουµε τους χρόνους που απαιτούνται για τις ταξινοµήσεις της κάθε µιας από τις πιθανές τοποθετήσεις και να διαιρέσουµε δια n!, ή. να αναλύσουµε άµεσα το χρόνο εκτέλεσης µέσης περίπτωσης επιχειρηµατολογώντας πιθανοτικά: Για κάθε i n, θεωρήστε τον υποπίνακα Α[..i]. Ορίζουµε τη συνάρτηση θέση(i) που για κάθε i µας δίνει τη θέση στην οποία θα βρισκόταν το στοιχείο Α[i] αν ο πίνακας Α[..i] ήταν ταξινοµηµένος. π.χ. Αν Α=[4,,,5,7,3] τότε θέση[3]=. ΕΠΛ 3 Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα -0
21 Ανάλυση Μέσης Περίπτωσης Παρατήρηση: Αν όλες οι τοποθετήσεις των στοιχείων του πίνακα Α είναι εξίσου πιθανές, τότε όλες οι τιµές της συνάρτησης θέση(i), οι οποίες µπορεί να ανήκουν στο σύνολο [..i] είναι επίσης εξίσου πιθανές. Αυτή η ιδιότητα ισχύει κάθε φορά που εκτελούµε τον εσωτερικό βρόχο του InsertionSort. Αν θέση(i) = k, τότε ο εσωτερικός βρόχος θα εκτελεστεί i-k+ φορές. Άρα ο µέσος όρος βηµάτων κατά την i-οστή εκτέλεση του εξωτερικού βρόχου είναι i i + ci = ( i k + ) = i k = Και ο συνολικός µέσος όρος βηµάτων είναι n i = c i n = i = i + ( n )( n + 4) = = Θ ( n ) 4 ΕΠΛ 3 Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα -
22 Ανάλυση Αναδροµικού Αλγόριθµου The Towers of Hanoi Η πιο κάτω διαδικασία µεταφέρει τους m πιο µικρούς δακτυλίους από τη στήλη i στη στήλη j. void Hanoi(m,i,j){ if m>0 then Hanoi(m-, i, 6-i-j); move top ring from rod i to rod j Hanoi(m-, 6-i-j, j) } Έστω Τ(n) ο χρόνος εκτέλεσης της διαδικασίας Hanoi µε δεδοµένο εισόδου m=n. Τότε έχουµε T ( n) = 0, T(n-) +, if n = 0 otherwise ΕΠΛ 3 Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα -
23 ΕΠΛ 3 Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα -3 Ανάλυση Αναδροµικού Αλγόριθµου Λύση της αναδροµικής εξίσωσης µε την µέθοδο της επανάληψης: Μπορεί να αποδειχθεί ότι ο αλγόριθµος είναι άριστος για το πρόβληµα. δηλ. ότι το πρόβληµα είναι της τάξης Θ( n ) = + = + = = + + = + + = + = = n n n- n i i n- ) T(n ) ) T(n ( ) T(n T(n)
Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα
Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα: Πρόβληµα, Στιγµιότυπο, Αλγόριθµος Εργαλεία εκτίµησης πολυπλοκότητας: οι τάξεις Ο(), Ω(), Θ( ) Ανάλυση Πολυπλοκότητας Αλγορίθµων
Διαβάστε περισσότεραΠολυπλοκότητα Αλγορίθµων
Πολυπλοκότητα Αλγορίθµων Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής επιµέρους θέµατα: Πρόβληµα, Στιγµιότυπο, Αλγόριθµος Εµπειρική Θεωρητική Ανάλυση Αλγορίθµων Εργαλεία εκτίµησης πολυπλοκότητας: οι τάξεις
Διαβάστε περισσότεραΔιάλεξη 04: Παραδείγματα Ανάλυσης
Διάλεξη 04: Παραδείγματα Ανάλυσης Πολυπλοκότητας/Ανάλυση Αναδρομικών Αλγόριθμων Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: - Παραδείγματα Ανάλυσης Πολυπλοκότητας : Μέθοδοι, παραδείγματα
Διαβάστε περισσότεραΕΠΛ231 Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι 4. Παραδείγματα Ανάλυσης Πολυπλοκότητας Ανάλυση Αναδρομικών Αλγόριθμων
ΕΠΛ31 Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι 4. Παραδείγματα Ανάλυσης Πολυπλοκότητας Ανάλυση Αναδρομικών Αλγόριθμων Διάλεξη 04: Παραδείγματα Ανάλυσης Πολυπλοκότητας/Ανάλυση Αναδρομικών Αλγόριθμων Στην ενότητα
Διαβάστε περισσότεραΟρισµός. Εστω συναρτήσεις: f : N R και g : N R. η f(n) είναι fi( g(n) ) αν υπάρχουν σταθερές C 1, C 2 και n 0, τέτοιες ώστε:
Συµβολισµός Ω( ) Τάξη των Συναρτήσεων () Εκτίµηση Πολυπλοκότητας Αλγορίθµων Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Ορισµός. Εστω συναρτήσεις: f : N R και g : N R η f(n) είναι Ω( g(n) ) αν υπάρχουν σταθερές C
Διαβάστε περισσότεραΔιάλεξη 04: Παραδείγματα Ανάλυσης Πολυπλοκότητας/Ανάλυση Αναδρομικών Αλγόριθμων
Διάλεξη 04: Παραδείγματα Ανάλυσης Πολυπλοκότητας/Ανάλυση Αναδρομικών Αλγόριθμων Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: - Παραδείγματα Ανάλυσης Πολυπλοκότητας : Μέθοδοι, παραδείγματα
Διαβάστε περισσότεραΕνότητα 1: Εισαγωγή Ασκήσεις και Λύσεις
Ενότητα 1: Εισαγωγή Ασκήσεις και Λύσεις Άσκηση 1 Αποδείξτε τη µεταβατική και τη συµµετρική ιδιότητα του Θ. Λύση Μεταβατική Ιδιότητα (ορισµός): Αν f(n) = Θ(g(n)) και g(n) = Θ(h(n)) τότε f(n)=θ(h(n)). Για
Διαβάστε περισσότεραΣτοιχεία Αλγορίθµων και Πολυπλοκότητας
Στοιχεία Αλγορίθµων και Πολυπλοκότητας Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Πολυπλοκότητα 1 / 16 «Ζέσταµα» Να γράψετε τις συναρτήσεις
Διαβάστε περισσότεραΔιδάσκων: Παναγιώτης Ανδρέου
Διάλεξη 04: ΠαραδείγματαΑνάλυσης Πολυπλοκότητας/Ανάλυση Αναδρομικών Αλγόριθμων Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: -Παραδείγματα Ανάλυσης Πολυπλοκότητας : Μέθοδοι, παραδείγματα -Γραμμική
Διαβάστε περισσότεραΔιαίρει-και-Βασίλευε. Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Διαίρει-και-Βασίλευε 2
Διαίρει-και-Βασίλευε Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Διαίρει-και-Βασίλευε 2 Διαίρει-και-Βασίλευε Γενική µέθοδος σχεδιασµού αλγορίθµων: Διαίρεση σε ( 2) υποπροβλήµατα (σηµαντικά) µικρότερου µεγέθους.
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στην Ανάλυση Αλγορίθμων (2-3)
Εισαγωγή στην Ανάλυση Αλγορίθμων (2-3) 3.1 Ασυμπτωτικός συμβολισμός (Ι) Οι ορισμοί που ακολουθούν μας επιτρέπουν να επιχειρηματολογούμε με ακρίβεια για την ασυμπτωτική συμπεριφορά. Οι f(n) και g(n) συμβολίζουν
Διαβάστε περισσότεραΔιάλεξη 09: Αλγόριθμοι Ταξινόμησης I
Διάλεξη 09: Αλγόριθμοι Ταξινόμησης I Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: - Οι αλγόριθμοι ταξινόμησης: Α. SelectionSort Ταξινόμηση με Επιλογή Β. InsertionSort Ταξινόμηση με Εισαγωγή
Διαβάστε περισσότεραΔιδάσκων: Κωνσταντίνος Κώστα Διαφάνειες: Δημήτρης Ζεϊναλιπούρ ΕΠΛ 035 Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι για Ηλ. Μηχ. και Μηχ. Υπολ.
Διάλεξη : Παραδείγματα Ανάλυσης Πολυπλοκότητας / Ανάλυση Αναδρομικών Αλγόριθμων Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Παραδείγματα Ανάλυσης Πολυπλοκότητας : Μέθοδοι, 6 παραδείγματα
Διαβάστε περισσότεραΔιδάσκων: Παναγιώτης Ανδρέου
Διάλεξη 6: ΠαραδείγματαΑνάλυσης Πολυπλοκότητας/Ανάλυση Αναδρομικών Αλγόριθμων Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: -Παραδείγματα Ανάλυσης Πολυπλοκότητας : Μέθοδοι, παραδείγματα -Γραμμική
Διαβάστε περισσότεραΔιδάσκων: Κωνσταντίνος Κώστα Διαφάνειες: Δημήτρης Ζεϊναλιπούρ
Διάλεξη - Πολυπλοκότητα Αλγορίθμων / Επανάληψη Χρήσιμων Μαθηματικών Ορισμών Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Αλγόριθμοι, Κριτήρια Αξιολόγησης Αλγόριθμων, Γιατί αναλύουμε τους Αλγορίθμων
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 1 ΛΥΣΕΙΣ Ανάλυση Πολυπλοκότητας
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΠΛ 231: Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 1 ΛΥΣΕΙΣ Ανάλυση Πολυπλοκότητας ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ Σε αυτή την άσκηση καλείστε να αναλύσετε και να υπολογίσετε το
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Δομές δεδομένων Άσκηση αυτοαξιολόγησης 1 Παναγιώτα Φατούρου Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Ενότητα 1: Εισαγωγή Ασκήσεις και Λύσεις Άσκηση 1 Αποδείξτε τη µεταβατική
Διαβάστε περισσότεραΣτην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα:
υναµικός Προγραµµατισµός Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα: Σχεδιασµός αλγορίθµων µε υναµικό Προγραµµατισµό Το πρόβληµα του πολλαπλασιασµού πινάκων ΕΠΛ 3 Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα 3- υναµικός
Διαβάστε περισσότεραιαίρει-και-βασίλευε ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
ιαίρει-και-βασίλευε ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο ιαίρει-και-βασίλευε Γενική μέθοδος σχεδιασμού αλγορίθμων: ιαίρεση σε ( 2) υποπροβλήματα
Διαβάστε περισσότεραΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ Ενότητα 3: Ασυμπτωτικός συμβολισμός Μαρία Σατρατζέμη Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
Διαβάστε περισσότερα1o Φροντιστήριο ΗΥ240
1o Φροντιστήριο ΗΥ240 Άσκηση 1 Αποδείξτε τη μεταβατική και τη συμμετρική ιδιότητα του Θ Μεταβατική Ιδιότητα (ορισμός): Αν f(n) = Θ(g(n)) και g(n) = Θ(h(n)) τότε f(n)=θ(h(n)) Για να ισχύει f(n)= Θ(h(n))
Διαβάστε περισσότεραΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ. Αρχές Ανάλυσης Αλγορίθµων Κεφάλαιο 2. Ε. Μαρκάκης Επικ. Καθηγητής
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Αρχές Ανάλυσης Αλγορίθµων Κεφάλαιο 2 Ε. Μαρκάκης Επικ. Καθηγητής Περίληψη Εµπειρική ανάλυση αλγορίθµων Μαθηµατική ανάλυση αλγορίθµων Αύξηση συναρτήσεων Συµβολισµός µεγάλου όµικρον Παραδείγµατα
Διαβάστε περισσότεραΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ Ενότητα 13: Αλγόριθμοι-Μεγάλων ακεραίων- Εκθετοποίηση- Πολλαπλασιασμός πινάκων -Strassen Μαρία Σατρατζέμη Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΠΛ 23: οµές εδοµένων και Αλγόριθµοι Ενδιάµεση Εξέταση Ηµεροµηνία : ευτέρα, 3 Νοεµβρίου 2008 ιάρκεια : 2.00-4.00 ιδάσκουσα : Άννα Φιλίππου Ονοµατεπώνυµο: ΣΚΕΛΕΤΟΙ
Διαβάστε περισσότεραΕργαστήριο 6: Αναζήτηση, Ανάλυση Πολυπλοκότητας
Εργαστήριο 6: Αναζήτηση, Ανάλυση Πολυπλοκότητας Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: - Αναζήτηση με linearsearch, binarysearch, ternarysearch - Ανάλυση Πολυπλοκότητας ternarysearch
Διαβάστε περισσότεραΚατ οίκον Εργασία 1 Σκελετοί Λύσεων
ΕΠΛ 1 Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Σεπτέμβριος 009 Κατ οίκον Εργασία 1 Σκελετοί Λύσεων Άσκηση 1 Αρχικά θα πρέπει να υπολογίσουμε τον αριθμό των πράξεων που μπορεί να εκτελέσει ο υπολογιστής σε μια ώρα,
Διαβάστε περισσότεραΣτην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα:
υναµικός Προγραµµατισµός Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα: Σχεδιασµός αλγορίθµων µε υναµικό Προγραµµατισµό Το πρόβληµα του πολλαπλασιασµού πινάκων ΕΠΛ 3 Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα 3- υναµικός
Διαβάστε περισσότεραοµές εδοµένων 3 ο Εξάµηνο Τµήµα Πανεπιστήµιο Πληροφορικής Ιωαννίνων ΟΜΕΣ Ε ΟΜΕΝΩΝ
Τµήµα Πανεπιστήµιο Πληροφορικής Ιωαννίνων ΟΜΕΣ Ε ΟΜΕΝΩΝ ΕΝΟΤΗΤΑ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1 εδοµένα Σύνολο από πληροφορίες που πρέπει να αποθηκευτούν σε έναν υπολογιστή Υπολογιστικό Μοντέλο ένας επεξεργαστής και µεγάλος
Διαβάστε περισσότεραΚατ οίκον Εργασία 1 Σκελετοί Λύσεων
ΕΠΛ Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Σεπτέμβριος 008 Κατ οίκον Εργασία Σκελετοί Λύσεων Άσκηση Παρατηρούμε ότι ο χρόνος εκτέλεσης μέσης περίπτωσης της κάθε εντολής if ξεχωριστά: if (c mod 0) for (k ; k
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 1 ΛΥΣΕΙΣ Ανάλυση Πολυπλοκότητας
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΠΛ 231: Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Εαρινό Εξάμηνο 2013 ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 1 ΛΥΣΕΙΣ Ανάλυση Πολυπλοκότητας Διδάσκων Καθηγητής: Παναγιώτης Ανδρέου Ημερομηνία Υποβολής:
Διαβάστε περισσότεραΆπληστοι Αλγόριθµοι (CLR, κεφάλαιο 17)
Άπληστοι Αλγόριθµοι (CLR, κεφάλαιο 17) Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα: Σχεδιασµός αλγορίθµων µε Άπληστους Αλγόριθµους Στοιχεία άπληστων αλγορίθµων Το πρόβληµα επιλογής εργασιών ΕΠΛ 232
Διαβάστε περισσότεραQuicksort [Hoare, 62] Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Quicksort 1
Quicksort [Hoare, 62] Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Quicksort 1 Quicksort [Hoare, 62] Στοιχείο διαχωρισµού (pivot), π.χ. πρώτο, τυχαίο, Αναδιάταξη και διαίρεση εισόδου σε δύο υπο-ακολουθίες:
Διαβάστε περισσότεραΑνάλυση Αλγορίθµων. Σύντοµη επανάληψη (ΕΠΛ 035).
Ανάλυση Αλγορίθµων Σύντοµη επανάληψη (ΕΠΛ 035). Περίληψη Ανάλυση αλγορίθµων Ο, Θ, Ω Ανάλυση µη αναδροµικών αλγόριθµων Ανάλυση αναδροµικών αλγόριθµων Εµπειρική Ανάλυση Visualization Απόδοση Αλγορίθµων Απόδοση
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στους Αλγόριθµους. Αλγόριθµοι. Ιστορικά Στοιχεία. Ο πρώτος Αλγόριθµος. Παραδείγµατα Αλγορίθµων. Τι είναι Αλγόριθµος
Εισαγωγή στους Αλγόριθµους Αλγόριθµοι Τι είναι αλγόριθµος; Τι µπορεί να υπολογίσει ένας αλγόριθµος; Πως αξιολογείται ένας αλγόριθµος; Παύλος Εφραιµίδης pefraimi@ee.duth.gr Αλγόριθµοι Εισαγωγικές Έννοιες
Διαβάστε περισσότεραQuicksort. Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Μικροαλλαγές: Α. Παγουρτζής. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών
Quicksort Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Μικροαλλαγές: Α. Παγουρτζής Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Quicksort [Hoare, 6] Στοιχείο διαχωρισμού (pivot),
Διαβάστε περισσότεραΤηλ , Fax: , URL:
Τµήµα Πανεπιστήµιο Πληροφορικής Ιωαννίνων ΟΜΕΣ Ε ΟΜΕΝΩΝ Παναγιώτα Φατούρου faturu@cs.uoi.gr Σεπτέµβριος, 2005 Τµήµα Πληροφορικής, Πανεπιστήµιο Ιωαννίνων, Τ.Θ. 1186, Γραφείο Α26, Τηλ. +30 26510 98808, Fax:
Διαβάστε περισσότεραΑ Ν Α Λ Τ Η Α Λ Γ Ο Ρ Ι Θ Μ Ω Ν Κ Ε Υ Α Λ Α Ι Ο 5. Πως υπολογίζεται ο χρόνος εκτέλεσης ενός αλγορίθμου;
5.1 Επίδοση αλγορίθμων Μέχρι τώρα έχουμε γνωρίσει διάφορους αλγόριθμους (αναζήτησης, ταξινόμησης, κ.α.). Στο σημείο αυτό θα παρουσιάσουμε ένα τρόπο εκτίμησης της επίδοσης (performance) η της αποδοτικότητας
Διαβάστε περισσότεραΕπιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Τροποποιήσεις-προσθήκες: Α. Παγουρτζής. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών
Διαίρει-και-Βασίλευε Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Τροποποιήσεις-προσθήκες: Α. Παγουρτζής Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Διαίρει-και-Βασίλευε Γενική
Διαβάστε περισσότεραΔιδάσκων: Κωνσταντίνος Κώστα Διαφάνειες: Δημήτρης Ζεϊναλιπούρ
Διάλεξη 14: Αλγόριθμοι Ταξινόμησης Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Οι αλγόριθμοι ταξινόμησης 3) Mergesort Ταξινόμηση με Συγχώνευση 4) BucketSort Ταξινόμηση με Κάδους Διδάσκων:
Διαβάστε περισσότεραQuicksort. ημήτρης Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών. Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Quicksort ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Quicksort [Hoare, 62] Στοιχείο διαχωρισμού (pivot), π.χ. πρώτο, τυχαίο, Αναδιάταξη και διαίρεση
Διαβάστε περισσότεραQuicksort. Πρόβλημα Ταξινόμησης. Μέθοδοι Ταξινόμησης. Συγκριτικοί Αλγόριθμοι
Πρόβλημα Ταξινόμησης Quicksort Διδάσκοντες: Σ. Ζάχος, Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Είσοδος : ακολουθία n αριθμών (α 1, α 2,..., α n
Διαβάστε περισσότεραΔιαίρει-και-Βασίλευε. Διαίρει-και-Βασίλευε. MergeSort. MergeSort. Πρόβλημα Ταξινόμησης: Είσοδος : ακολουθία n αριθμών (α 1
Διαίρει-και-Βασίλευε Διδάσκοντες: Σ. Ζάχος, Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Διαίρει-και-Βασίλευε Γενική μέθοδος
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 5 Ανάλυση Αλγορίθμων
Κεφάλαιο 5 Ανάλυση Αλγορίθμων 5.1 Επίδοση αλγορίθμων Τα πρωταρχικά ερωτήματα που προκύπτουν είναι: 1. πώς υπολογίζεται ο χρόνος εκτέλεσης ενός αλγορίθμου; 2. πώς μπορούν να συγκριθούν μεταξύ τους οι διάφοροι
Διαβάστε περισσότεραΔομές Δεδομένων Ενότητα 2
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 2: Θέματα Απόδοσης Απόστολος Παπαδόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
Διαβάστε περισσότεραΔομές Δεδομένων (Data Structures)
Δομές Δεδομένων (Data Structures) Ανάλυση - Απόδοση Αλγορίθμων Έλεγχος Αλγορίθμων. Απόδοση Προγραμμάτων. Χωρική/Χρονική Πολυπλοκότητα. Ασυμπτωτικός Συμβολισμός. Παραδείγματα. Αλγόριθμοι: Βασικές Έννοιες
Διαβάστε περισσότεραΣχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων
Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Ενότητα 2.0 Πολυπλοκότητα Αλγορίθμων Ασυμπτωτική Πολυπλοκότητα Αναδρομικές Σχέσεις Σταύρος Δ. Νικολόπουλος 2016-17 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων
Διαβάστε περισσότεραΔομές Δεδομένων & Αλγόριθμοι
Απόδοση Αλγορίθμων Πληροφορικής 1 Απόδοση Αλγορίθμων Συνήθως υπάρχουν πολλοί τρόποι (αλγόριθμοι) για την επίλυση ενός προβλήματος. Πώς επιλέγουμε μεταξύ αυτών; Πρέπει να ικανοποιηθούν δύο (αντικρουόμενοι)
Διαβάστε περισσότεραΠρογραμματιστικές Τεχνικές
Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Αγρονόμων Τοπογράφων Μηχανικών Προγραμματιστικές Τεχνικές Βασίλειος Βεσκούκης Δρ. Ηλεκτρολόγος Μηχανικός & Μηχανικός Υπολογιστών ΕΜΠ v.vescoukis@cs.ntua.gr Ρωμύλος Κορακίτης
Διαβάστε περισσότεραΚατ οίκον Εργασία 2 Σκελετοί Λύσεων
Κατ οίκον Εργασία 2 Σκελετοί Λύσεων 1. (α) Αλγόριθµος: ηµιούργησε το σύνολο P που αποτελείται από τα άκρα όλων των ευθυγράµµων τµηµάτων. Βρες το κυρτό περίβληµα του P µε τον αλγόριθµο του Graham. Ορθότητα:
Διαβάστε περισσότεραΑλγόριθμοι ταξινόμησης
Αλγόριθμοι Ταξινόμησης Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Οι αλγόριθμοι ταξινόμησης BuubleSort, SelectionSort, InsertionSort, Merger Sort, Quick Soft ΕΠΛ Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι
Διαβάστε περισσότεραΑλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα
Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Ανάλυση Αλγορίθμων Δημήτρης Μιχαήλ Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Ανάλυση Αλγορίθμων Η ανάλυση αλγορίθμων περιλαμβάνει τη διερεύνηση του τρόπου
Διαβάστε περισσότεραΔιακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά
Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων
Διαβάστε περισσότεραΠΛΗ111. Ανοιξη Μάθηµα 2 ο. Αλγόριθµοι και Αφηρηµένοι Τύποι εδοµένων. Τµήµα Ηλεκτρονικών Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Πολυτεχνείο Κρήτης
ΠΛΗ111 οµηµένος Προγραµµατισµός Ανοιξη 2005 Μάθηµα 2 ο Αλγόριθµοι και Αφηρηµένοι Τύποι εδοµένων Τµήµα Ηλεκτρονικών Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Πολυτεχνείο Κρήτης Αλγόριθµοι Ορισµός Παράδειγµα Ασυµπτωτική
Διαβάστε περισσότεραΠρόβληµα Επιλογής. Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Επιλογή 1
Πρόβληµα Επιλογής Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Επιλογή 1 Πρόβληµα Επιλογής Πίνακας Α[ Αριθµός k, 1 k n. ] µε n στοιχεία (όχι ταξινοµηµένος). Υπολογισµός του k-οστού µικρότερου στοιχείου (στοιχείο
Διαβάστε περισσότεραQuicksort. ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών
Quicksort ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται
Διαβάστε περισσότεραΕΠΛ 232 Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα 2-1
ιαίρει και Βασίλευε Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα: Η Μέθοδος Σχεδιασµού Αλγορίθµων ιαίρει και Βασίλευε Επίλυση Αναδροµικών Εξισώσεων ΕΠΛ 3 Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα - ιαίρει και Βασίλευε
Διαβάστε περισσότεραΥπολογιστική Πολυπλοκότητα
Υπολογιστική Πολυπλοκότητα Υπολογιστική πολυπλοκότητα αλγόριθµου Α: Ποσότητα υπολογιστικών πόρων που απαιτεί Α ως αύξουσα συνάρτηση µεγέθους στιγµιότυπου εισόδου. Χρόνος, µνήµη, επεξεργαστές, επικοινωνία,
Διαβάστε περισσότεραΔιακριτά Μαθηματικά [Rosen, κεφ. 3] Γιάννης Εμίρης Τμήμα Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών, ΕΚΠΑ Οκτώβριος 2018
Διακριτά Μαθηματικά [Rosen, κεφ. 3] Γιάννης Εμίρης Τμήμα Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών, ΕΚΠΑ Οκτώβριος 2018 Αλγόριθμοι Ρυθμός αύξησης συναρτήσεων [Rosen 3.2] Αριθμητικές συναρτήσεις Τάξη αριθμητικών συναρτήσεων
Διαβάστε περισσότεραΠαράλληλοι Αλγόριθµοι
Παράλληλοι Αλγόριθµοι Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα: Το µοντέλο PRAΜ Πολλαπλασιασµός πινάκων Υπολογισµός αθροισµάτων προθέµατος ΕΠΛ 232 Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα 13-1 Παράλληλοι Αλγόριθµοι
Διαβάστε περισσότεραΔομές Δεδομένων & Αλγόριθμοι
Δομές Δεδομένων & Αναζήτηση & Ταξινόμηση 1 Αναζήτηση Έχω έναν πίνακα Α με Ν στοιχεία. Πρόβλημα: Βρες αν το στοιχείο x ανήκει στον πίνακα Αν ο πίνακας είναι αταξινόμητος τότε μόνη λύση σειριακή αναζήτηση
Διαβάστε περισσότεραΑλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα
Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα Ν. Μ. Μισυρλής Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών, Πανεπιστήµιο Αθηνών Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής () Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα 25 Φεβρουαρίου 2015 1 / 53 Περιεχόµενα
Διαβάστε περισσότεραΑναδροµή. Σε αυτήν την (βοηθητική) ενότητα θα µελετηθούν τα εξής : Η έννοια της αναδροµής Υλοποίηση και αποδοτικότητα Αφαίρεση της αναδροµής
Αναδροµή Σε αυτήν την (βοηθητική) ενότητα θα µελετηθούν τα εξής : Η έννοια της αναδροµής Υλοποίηση και αποδοτικότητα Αφαίρεση της αναδροµής 1 Αναδροµή Βασική έννοια στα Μαθηµατικά και στην Πληροφορική.
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στην Ανάλυση Αλγορίθμων (1) Διαφάνειες του Γ. Χ. Στεφανίδη
Εισαγωγή στην Ανάλυση Αλγορίθμων (1) Διαφάνειες του Γ. Χ. Στεφανίδη 0. Εισαγωγή Αντικείμενο μαθήματος: Η θεωρητική μελέτη ανάλυσης των αλγορίθμων. Στόχος: επιδόσεις των επαναληπτικών και αναδρομικών αλγορίθμων.
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στην Ανάλυση Αλγορίθμων
Εισαγωγή στην Ανάλυση Αλγορίθμων (4) Μεθοδολογία αναδρομικών σχέσεων (Ι) Με επανάληψη της αναδρομής Έστω όπου r και a είναι σταθερές. Βρίσκουμε τη σχέση που εκφράζει την T(n) συναρτήσει της T(n-) την T(n)
Διαβάστε περισσότεραΔιάλεξη 19: Αλγόριθμοι ΤαξινόμησηςII. Διδάσκων: Παναγιώτης Ανδρέου
Διάλεξη 19: Αλγόριθμοι ΤαξινόμησηςII Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: - Οι αλγόριθμοι ταξινόμησης: Γ. MergeSort Ταξινόμηση με Συγχώνευση Δ. BucketSort Ταξινόμηση με Κάδους Διδάσκων:
Διαβάστε περισσότεραΔομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι
Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Χρήστος Γκόγκος ΤΕΙ Ηπείρου, Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Χειμερινό Εξάμηνο 2014-2015 (Παρουσίαση 5) 1 / 17 Απόδοση προγραμμάτων Συχνά χρειάζεται να εκτιμηθεί η απόδοση
Διαβάστε περισσότεραΔομές Δεδομένων & Αλγόριθμοι
- Πίνακες 1 Πίνακες Οι πίνακες έχουν σταθερό μέγεθος και τύπο δεδομένων. Βασικά πλεονεκτήματά τους είναι η απλότητα προγραμματισμού τους και η ταχύτητα. Ωστόσο δεν παρέχουν την ευελιξία η οποία απαιτείται
Διαβάστε περισσότεραΑλγόριθµοι Ταξινόµησης
Αλγόριθµοι Ταξινόµησης Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής επιµέρους θέµατα: Οι αλγόριθµοι ταξινόµησης SelectionSort, InsertionSort, Mergesort, QuickSort, BucketSort Κάτω φράγµα της αποδοτικότητας
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στους Αλγόριθμους. Παύλος Εφραιμίδης, Λέκτορας
Εισαγωγή στους Αλγόριθμους Παύλος Εφραιμίδης, Λέκτορας http://pericles.ee.duth.gr 1 Περιεχόμενα Μαθήματος Εισαγωγή στου Αλγόριθμους Πολυπλοκότητα Αλγορίθμων Ασυμπτωτική Ανάλυση Θεωρία Γράφων Κλάσεις Πολυπλοκότητας
Διαβάστε περισσότεραΑναδρομικοί Αλγόριθμοι
Αναδρομικός αλγόριθμος (recursive algorithm) Επιλύει ένα πρόβλημα λύνοντας ένα ή περισσότερα στιγμιότυπα του ίδιου προβλήματος. Αναδρομικός αλγόριθμος (recursive algorithm) Επιλύει ένα πρόβλημα λύνοντας
Διαβάστε περισσότερα1 Ανάλυση αλγορίθµων. 2 Συµβολισµοί O, Ω και Θ. 3 Αναδροµικές εξισώσεις
Γενικό πλάνο Μαθηµατικά για Πληροφορική 6ο Μάθηµα 1 Ανάλυση αλγορίθµων Ηλίας Κουτσουπιάς, Γιάννης Εµίρης 2 Συµβολισµοί O, Ω και Θ Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήµιο Αθηνών 27/11/2008 3
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στην C. Μορφή Προγράµµατος σε γλώσσα C
Εισαγωγή στην C Μορφή Προγράµµατος σε γλώσσα C Τµήµα Α Με την εντολή include συµπεριλαµβάνω στο πρόγραµµα τα πρότυπα των συναρτήσεων εισόδου/εξόδου της C.Το αρχείο κεφαλίδας stdio.h είναι ένας κατάλογος
Διαβάστε περισσότεραΜαθηµατικά για Πληροφορική
Μαθηµατικά για Πληροφορική 6ο Μάθηµα Ηλίας Κουτσουπιάς, Γιάννης Εµίρης Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήµιο Αθηνών 27/11/2008 27/11/2008 1 / 55 Γενικό πλάνο 1 Ανάλυση αλγορίθµων 2 Συµβολισµοί
Διαβάστε περισσότεραΕπιλογή. Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών. Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Επιλογή Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Πρόβλημα Επιλογής Πίνακας Α[ ] με n στοιχεία (όχι ταξινομημένος). Αριθμός k,
Διαβάστε περισσότεραΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ Ενότητα 1: Εισαγωγή Μαρία Σατρατζέμη Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΑναδρομή Ανάλυση Αλγορίθμων
Αναδρομή Ανάλυση Αλγορίθμων Παράδειγμα: Υπολογισμός του παραγοντικού Ορισμός του n! n! = n x (n - 1) x x 2 x 1 Ο παραπάνω ορισμός μπορεί να γραφεί ως n! = 1 αν n = 0 n x (n -1)! αλλιώς Παράδειγμα (συνέχ).
Διαβάστε περισσότεραΕπιλογή. Πρόβλημα Επιλογής. Μέγιστο / Ελάχιστο. Εφαρμογές
Επιλογή Διδάσκοντες: Σ. Ζάχος, Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Πρόβλημα Επιλογής Πίνακας Α[]με n στοιχεία (όχι ταξινομημένος). Αριθμός
Διαβάστε περισσότεραΑν ένα πρόβλημα λύνεται από δύο ή περισσότερους αλγόριθμους, ποιος θα είναι ο καλύτερος; Με ποια κριτήρια θα τους συγκρίνουμε;
Αν ένα πρόβλημα λύνεται από δύο ή περισσότερους αλγόριθμους, ποιος θα είναι ο καλύτερος; Με ποια κριτήρια θα τους συγκρίνουμε; Πως θα υπολογίσουμε το χρόνο εκτέλεσης ενός αλγόριθμου; Για να απαντήσουμε
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 5ο: Εντολές Επανάληψης
Χρήστος Τσαγγάρης ΕΕ ΙΠ Τµήµατος Μαθηµατικών, Πανεπιστηµίου Αιγαίου Κεφάλαιο 5ο: Εντολές Επανάληψης Η διαδικασία της επανάληψης είναι ιδιαίτερη συχνή, αφού πλήθος προβληµάτων µπορούν να επιλυθούν µε κατάλληλες
Διαβάστε περισσότεραΟρθότητα Χωρική αποδοτικότητα. Βελτιστότητα. Θεωρητική ανάλυση Εμπειρική ανάλυση. Αλγόριθμοι - Τμήμα Πληροφορικής ΑΠΘ -4ο εξάμηνο 1
Ανάλυση Αλγορίθμων Θέματα Θέματα: Ορθότητα Χρονική αποδοτικότητα Χωρική αποδοτικότητα Βελτιστότητα Προσεγγίσεις: Θεωρητική ανάλυση Εμπειρική ανάλυση Αλγόριθμοι - Τμήμα Πληροφορικής ΑΠΘ -4ο εξάμηνο 1 Θεωρητική
Διαβάστε περισσότεραΑναδρομικές Σχέσεις «ιαίρει-και-βασίλευε»
Αναδρομικές Σχέσεις «ιαίρει-και-βασίλευε» ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο ιαίρει-και-βασίλευε
Διαβάστε περισσότεραΔομές Δεδομένων & Αλγόριθμοι
Δομές Δεδομένων & Αναζήτηση & Ταξινόμηση 1 Αναζήτηση Έχω έναν πίνακα Α με Ν στοιχεία. Πρόβλημα: Βρες αν το στοιχείο x ανήκει στον πίνακα Αν ο πίνακας είναι αταξινόμητος τότε μόνη λύση σειριακή αναζήτηση
Διαβάστε περισσότεραΑσυμπτωτικός Συμβολισμός
Ασυμπτωτικός Συμβολισμός ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Υπολογιστική Πολυπλοκότητα Υπολογιστική
Διαβάστε περισσότεραΕπιλογή. ημήτρης Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών. Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Επιλογή ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Πρόβλημα Επιλογής Πίνακας Α[]με n στοιχεία (όχι ταξινομημένος). Αριθμός k, 1 k n. Υπολογισμός
Διαβάστε περισσότεραίκτυα Ταξινόµησης (CLR κεφάλαιο 28)
ίκτυα Ταξινόµησης (CLR κεφάλαιο 28) Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα: ίκτυα σύγκρισης, δίκτυα ταξινόµησης Αρχή - ιτονική ταξινόµηση ΕΠΛ 232 Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα 2- Μοντέλο στο οποίο
Διαβάστε περισσότεραΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ Ενότητα 2: Ασυμπτωτικός συμβολισμός Μαρία Σατρατζέμη Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
Διαβάστε περισσότεραΑλγόριθµοι Ταξινόµησης
Αλγόριθµοι Ταξινόµησης Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής επιµέρους θέµατα: Οι αλγόριθµοι ταξινόµησης SelectionSort, InsertionSort, Mergesort, QuickSort, BucketSort Κάτω φράγµα της αποδοτικότητας
Διαβάστε περισσότερα(CLR, κεφάλαιο 32) Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα: Παραστάσεις πολυωνύµων Πολυωνυµική Παρεµβολή ιακριτός Μετασχηµατισµός Fourier
Ταχύς Μετασχηµατισµός Fourier CLR, κεφάλαιο 3 Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα: Παραστάσεις πολυωνύµων Πολυωνυµική Παρεµβολή ιακριτός Μετασχηµατισµός Fourier Ταχύς Μετασχηµατισµός Fourier
Διαβάστε περισσότεραΑσυμπτωτικός Συμβολισμός
Ασυμπτωτικός Συμβολισμός Επιμέλεια διαφανειών: Δημήτρης Φωτάκης (λίγες προσθήκες: Άρης Παγουρτζής) Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Υπολογιστική Πολυπλοκότητα
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html Τετάρτη 7 Φεβρουαρίου 03 Ασκηση. είξτε ότι
Διαβάστε περισσότεραΣχεδίαση Αλγορίθμων -Τμήμα Πληροφορικής ΑΠΘ - Εξάμηνο 4ο
Πολλαπλασιασμός μεγάλων ακεραίων (1) Για να πολλαπλασιάσουμε δύο ακεραίους με n 1 και n 2 ψηφία με το χέρι, θα εκτελέσουμε n 1 n 2 πράξεις πολλαπλασιασμού Πρόβλημα ρβημ όταν έχουμε πολλά ψηφία: A = 12345678901357986429
Διαβάστε περισσότεραΘεωρητικό Μέρος. int rec(int n) { int n1, n2; if (n <= 5) then return n; else { n1 = rec(n-5); n2 = rec(n-3); return (n1+n2); } }
Πανεπιστήµιο Ιωαννίνων, Τµήµα Πληροφορικής 2 Νοεµβρίου 2005 Η/Υ 432: οµές εδοµένων Χειµερινό Εξάµηνο Ακαδηµαϊκού Έτους 2005-2006 Παναγιώτα Φατούρου Ηµεροµηνία Παράδοσης 1 ο Σετ Ασκήσεων Θεωρητικό Μέρος:
Διαβάστε περισσότεραΑνάλυση αλγορίθμων. Χρόνος εκτέλεσης: Αναμενόμενη περίπτωση. - απαιτεί γνώση της κατανομής εισόδου
Ανάλυση αλγορίθμων Παράμετροι απόδοσης ενός αλγόριθμου: Χρόνος εκτέλεσης Απαιτούμενοι πόροι, π.χ. μνήμη, επικοινωνία (π.χ. σε κατανεμημένα συστήματα) Προσπάθεια υλοποίησης Ανάλυση της απόδοσης Θεωρητική
Διαβάστε περισσότεραΠρογραμματιστικές Τεχνικές
Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Αγρονόμων Τοπογράφων Μηχανικών Προγραμματιστικές Τεχνικές Βασίλειος Βεσκούκης Δρ. Ηλεκτρολόγος Μηχανικός & Μηχανικός Υπολογιστών ΕΜΠ Επικ. Καθηγητής ΕΜΠ v.vescoukis@cs.ntua.gr
Διαβάστε περισσότεραΔυναμικός Προγραμματισμός
Δυναμικός Προγραμματισμός Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Τροποποιήσεις: Α. Παγουρτζής Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Διωνυμικοί Συντελεστές Διωνυμικοί
Διαβάστε περισσότεραΑσυμπτωτικός Συμβολισμός
Ασυμπτωτικός Συμβολισμός ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Υπολογιστική Πολυπλοκότητα Υπολογιστική πολυπλοκότητα αλγόριθμου Α: Ποσότητα
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Αλγόριθµοι
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Αλγόριθµοι 5.1 Η έννοια του αλγορίθµου 5.2 Αναπαράσταση αλγορίθµων 5.3 Επινόηση αλγορίθµων 5.4 Δοµές επανάληψης 5.5 Αναδροµικές δοµές 1 Αλγόριθµος: Ορισµός Ένας αλγόριθµος είναι ένα διατεταγµένο
Διαβάστε περισσότεραΔιάλεξη 17: O Αλγόριθμος Ταξινόμησης HeapSort
Διάλεξη 17: O Αλγόριθμος Ταξινόμησης HeapSort Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Η διαδικασία PercolateDown, Δημιουργία Σωρού O Αλγόριθμος Ταξινόμησης HeapSort Υλοποίηση, Παραδείγματα
Διαβάστε περισσότεραΣχεδίαση & Ανάλυση Αλγορίθμων
Σχεδίαση & Ανάλυση Αλγορίθμων Ενότητα 1 Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Σταύρος Δ. Νικολόπουλος Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων Webpage: www.cs.uoi.gr/~stavros Εισαγωγή Ας ξεκινήσουμε
Διαβάστε περισσότερα11.1 Συναρτήσεις. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11: Θεωρία υπολογισµών
ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Θεωρία υπολογισµών. Συναρτήσεις και ο υπολογισµός τους. Μηχανές Turig.3 Καθολικές γλώσσες προγραµµατισµού.4 Μια µη υπολογίσιµη συνάρτηση.5 Πολυπλοκότητα προβληµάτων.6 Κρυπτογραφία δηµόσιου κλειδιού.
Διαβάστε περισσότερα