Χωρικά Φίλτρα
ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΦΙΛΤΡΑΡΙΣΜΑΤΟΣ Οι Τεχνικές Φιλτραρίσματος χωρίζονται σε Τεχνικές : στο Πεδίο του Χώρου (Spatial Domain) και σε Τεχνικές στο Πεδίο της Συχνότητας (Frequency Domain). ιακρίνονται επίσης και ως Γραμμικές ή μη Γραμμικές Τεχνικές Φιλτραρίσματος. 2
ΕΙ Η ΦΙΛΤΡΩΝ ΦΙΛΤΡΟ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ (mean FILTER) ΦΙΛΤΡΟ ΜΕΣΑΙΑΣ ΤΙΜΗΣ (median FILTER) ΦΙΛΤΡΟ max-min min ΦΙΛΤΡΟ max/median median ΦΙΛΤΡΑ GAUSS 3
ΦΙΛΤΡΟ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ (mean FILTER) Η λειτουργία του φίλτρου μέσης τιμής συνίσταται με την αντικατάσταση της φωτεινότητας σε κάθε εικονοστοιχείο με τη μέση φωτεινότητα σε μια γειτονιά του. Αν Ν είναι η γειτονιά του εικονοστοιχείου (i,j) μιας εικόνας I, τότε η τιμή του εικονοστοιχείου (i,j) αντικαθίσταται με τη βοήθεια της σχέσης: 1 I '( i, j) = I( x, y) M ( xy, ) N όπου Μ το πλήθος των εικονοστοιχείων της γειτονιάς Ν. 4
ΦΙΛΤΡΟ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ (mean FILTER) Η γειτονιά Ν είναι συνήθως καθορισμένη για κάθε επεξεργασία και συνήθως αντιστοιχεί σε τετράγωνες μάσκες. Έτσι για ακτίνα ίση με ένα έχουμε ουσιαστικά μια γειτονιά διαστάσεων 3 3. 3. Ένα 3 3 φίλτρο μέσης τιμής μπορεί πρακτικά να υλοποιηθεί με μια μάσκα της μορφής: 1 1 1 1 1 1 1 9 1 1 1 5
ΦΙΛΤΡΟ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ (mean FILTER) Το φίλτρο μέσης τιμής μπορεί να θεωρηθεί ως ένα βαθυπερατό φίλτρο. Αν θέλουμε να τονίσουμε περισσότερο τη συνεισ- φορά των εικονοστοιχείων ανάλογα με την από- στασή τους, τότε μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε μάσκες εξομάλυνσης όπως η παρακάτω 1 2 1 1 2 4 2 16 1 2 1 6
ΦΙΛΤΡΟ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ (mean FILTER) Μια παραλλαγή του φίλτρου μέσης τιμής είναι τα φίλτρα μέσης τιμής υπό συνθήκες (conditional local averaging filters), όπου ανήκει η μέθοδος των Lev, Zucker σύμφωνα με την οποία η τιμή του εικονο- στοιχείου (i,j) αντικαθίσταται με τη μέση τιμή των εικονοστοιχείων της γειτονιάς του: όπου 1 I'( i, j) = I( x, y) n ( xy, ) S { (, ) : (,) (, ) } S= I x y N I i j Ixy < T και n το πλήθος των στοιχείων του S. 7
ΦΙΛΤΡΟ ΜΕΣΑΙΑΣ ΤΙΜΗΣ (median FILTER) Το φιλτράρισμα με ένα φίλτρο μεσαίας τιμής είναι μια μη γραμμική τεχνική. Η τιμή median ενός συνόλου Α είναι ίση με τη μεσαία τιμή του συνόλου. Συγκεκριμένα, έστω A= { a, a,..., a 1 2 n το σύνολο με στοιχεία α 1 α 2 α n R. } Το φίλτρο μεσαίας τιμής χρησιμοποιείται για την εξομάλυνση (smoothing) των ακμών και τη μείωση του θορύβου μιας εικόνας. 9
ΦΙΛΤΡΟ ΜΕΣΑΙΑΣ ΤΙΜΗΣ (median FILTER) Το median του Α ισούται με median( A) = a n+1 2 1 2 a + a n n 2 n,περιττος 2 +1 n,αρτιος Για παράδειγμα median{4,3,5,8,2}=4, median{4,3 {4,3 5 8 2,6}=4.5 Από τον ορισμό του median προκύπτει: median(k+α) ) = k+median(α) median(k Α) ) = k median(α) median(α+β) median( median(α)+ median(β) 10
ΦΙΛΤΡΟ ΜΕΣΑΙΑΣ ΤΙΜΗΣ (median FILTER) Εφαρμογή του φίλτρου median σε μονοδιάστα τα σήματα. η ακτίνα του παραθύρου είναι ίση με ένα, δηλαδή έχει τη μορφή 11
ΦΙΛΤΡΟ ΜΕΣΑΙΑΣ ΤΙΜΗΣ (median FILTER) Τα φίλτρα median μπορούν να θεωρηθούν ως ειδική περίπτωση των φίλτρων rank (κατάταξης). Εφαρμογή φίλτρου median (α) αρχική εικόνα με κρουστικό θόρυβο, (β) αποτέλεσμα της εφαρμογής ενός φίλτρου median ακτίνας ίσης με ένα. 12
ΦΙΛΤΡΟ ΜΕΣΑΙΑΣ ΤΙΜΗΣ (median FILTER)
ΦΙΛΤΡΟ ΜΕΣΑΙΑΣ ΤΙΜΗΣ (median FILTER)
ΦΙΛΤΡΟ ΜΕΣΑΙΑΣ ΤΙΜΗΣ (median FILTER) Σχήμα 5: Εφαρμογή φίλτρου median: (α) αρχική εικόνα με θόρυβο και λεπτές γραμμές (β) αποτέλεσμα της εφαρμογής ενός φίλτρου median ακτίνας ίσης με ένα. 16
ΦΙΛΤΡΟ ΜΕΣΑΙΑΣ ΤΙΜΗΣ (median FILTER) Εναλλακτική μορφή μάσκας. Εφαρμογή φίλτρου median με γειτονιά αυτή του προηγούμενου σχήματος 17
ΦΙΛΤΡΑ min και max Τα φίλτρα min και max (ελαχίστου και μεγίστου) είναι μη γραμμικά φίλτρα τάξης. Το φίλτρο ελαχίστου έχει ως αποτέλεσμα να απλώνει μαύρες περιοχές και να συρρικνώνει λευκές. Το φίλτρο μεγίστου συρρικνώνει μαύρες. απλώνει λευκές περιοχές και 18
ΦΙΛΤΡΑ min και max
ΦΙΛΤΡΟ max/median median ιατήρηση των γεωμετρικών χαρακτηριστικών y = max( z, z,..., z ) m, m,..., m 1 2 k 1 2 N z i [ ] = rank S i π.χ. median 20
ΦΙΛΤΡΟ max/median median z i [ ] = rank S Τα υβριδικά φίλτρα max/median median ανήκουν και αυτά στην κατηγορία των φίλτρων τάξης (ranked order filters). η απόκριση ενός max/ranked φίλτρου στο Ν-δισδιάστατο χώρο ορίζεται ως ym 1, m2,..., m = max( z1, z2,..., z ) N k όπου τα z i είναι το χαρακτηριστικό τάξης του υποσυ- νόλου i μιας γειτονιάς. ηλαδή με k το πλήθος των υποσυνόλων και S i, το υποσύνο- λο i. i 21
ΦΙΛΤΡΟ max/median median Οι τέσσερις ευθείες των. υποσυνόλων. Αν ορίσουμε με α m,n και y m,n την είσοδο και την έξοδο αντίστοιχα ενός 2Ν+1 max/median φίλτρου στη θέση (m,n) τότε ymn, = max [ z1, z2, z3, z4] όπου z = median( a,..., a,..., a ) 1 mn, N mn, mn, + N z = median( a,..., a,..., a ) 2 m N, n m, n m N, n z = median( a,..., a,..., a ) 3 m+ N, n N mn, m N, n+ N z = median( a,..., a,..., a ) 4 m N, n N mn, m+ N, n+ N Άρα για ένα παράθυρο, διαστάσεων (2Ν +1) (2Ν+1), το φίλτρο max/median median χρησιμοποιεί 8Ν + Ι τιμές. 22
ΦΙΛΤΡΟ max/median median
ΦΙΛΤΡΟ max/median median
ΦΙΛΤΡΑ GAUSS Τα φίλτρα Gauss είναι βαθυπερατά (low-pass) φίλτρα και συνεπώς εκτός της ικανότητας φιλτρα- ρίσματος εικόνα. θορύβου επιφέρουν θάμπωση στην Για τον προσεγγιστικό σχεδιασμό των φίλτρων Gauss μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τους συντελεστές του διωνυμικού αναπτύγματος: n n n n + x = + x+ x + + x 0 1 2 n n 2 (1 )... n 28
ΦΙΛΤΡΑ GAUSS Μια άλλη προσέγγιση στο σχεδιασμό φίλτρων Gauss είναι να υπολογίσουμε τα βάρη της μάσκας απευθείας από την ασυνεχή κατανομή Gauss: 2 2 ( i + j ) 2 2 σ gi [, j] = ce Όπου το c είναι σταθερά κανονικοποίησης. Έτσι: gi [, j] = c e 2 2 ( i + j ) 2 2σ και επιλέγοντας μια τιμή για το σ 2, μπορούμε να το υπολογίσουμε σε ένα n n παράθυρο για να πάρου- με μια μάσκα για την οποία η τιμή στο [0,0] είναι 1. 29
ΦΙΛΤΡΑ GAUSS
ΦΙΛΤΡΑ GAUSS Για σ 2 = 2 και n=7. 31
ΦΙΛΤΡΑ GAUSS
ΦΙΛΤΡΑ GAUSS