Ανάπυξη ενός αυτοματοποιημένου συστήματος διαχείρησης δικτύων τεχνητών δορυφόρων

Ανάπυξη ενός αυτοματοποιημένου συστήματος διαχείρησης δικτύων τεχνητών δορυφόρων Ιάσονας Κύτρος Χρήστος Πόριος Νικήτας Τερζούδης Βαρβάρα Χατζηπαύλου Επιβλέπων Καθηγητής: Σιτσανλής Ηλίας Φεβρουάριος 2013 Περίληψη Στην εργασία αυτή θα παρουσιάσουμε την διαδικασία σχεδιασμού και ανάπτυξης μιας προσομοίωσης τεχνητών δορυφόρων σε τροχιές γύρω απο την γη. Αρχικά, θα εξετάσουμε την κίνηση αντικειμένων μικρών μαζών γύρω από πλανήτες καθώς και τους φυσικούς νόμους που περιγράφουν την κίνηση τους. Θα μελετήσουμε τα φυσικά μεγέθη που περιγράφουν την τροχιά ενός δορυφόρου καθώς και την θέση του σε αυτήν. Βασιζόμενοι σε αυτά, θα αναλύσουμε τους διάφορους τρόπους με τους οποίους μπορούμε να προσομοιώσουμε στον υπολογιστή την κίνηση των δορυφόρων, παραθέτοντας βασικά σημεία του κώδικα της προσομοίωσης. Θα ασχοληθούμε με τους τροχιακούς ελιγμούς και θα επεκτείνουμε την εφαρμογή μας ώστε να υπολογίζει και να πραγματοποιεί τις απαραίτητες ενεργειακές μεταβολές στο όχημα για την αλλαγή της τροχιάς του. ΛΕΞΕΙΣ-ΚΛΕΙΔΙΑ: Δορυφόροι, σύστημα διαχείρησης, προσομοίωση, τροχιακοί ελιγμοί 1

1 Εισαγωγή 1.1 Κίνητρο Άνθρωπος... Άνω θρώσκω... Κοιτώ ψηλά... κοιτάμε ψηλά απ'την ώρα που πατάμε στα δυο μας πόδια, παρατηρούμε, ανυσηχούμε, ψάχνουμε. Μερικες δεκάδες χιλιόμετρα έξω από την ατμόσφαιρα της γης βρίσκονται σήμερα σε τροχιά οι εκατοντάδες δορυφόροι πάνω στους οποίους βασίζονται καθημερινά διάφορες ανθρώπινες διαστηριότητες [1]. Απο τις καθημερινές μας επικοινωνίες μέχρι την εθνική άμυνα των μεγάλων δυνάμεων και την εξερεύνηση του διαστήματος, οι τεχνητοί δορυφόροι της Γης μας προσφέρουν τις υπηρεσίες τους καθημερινά. Η διαχείρηση, όμως, των δορυφόρων δεν είναι εύκολη υπόθεση. Με τον όρο σύστημα διαχείρησης δικτύων τεχνητών δορυφόρων θα αναφερόμαστε σε συστήματα λογισμικού που προσομοιώνουν την πτήση ενός συνόλου τεχνητών δορυφόρων σε τροχιά γύρω από έναν πλανήτη και διαχειρίζονται την συμπεριφορά τους. Ένα τέτοιο σύστημα λογισμικού είναι το Systems Tool Kit (STK) [2], το οποίο βρίσκεται συνεχώς σε ανάπτυξη εδώ και μια εικοσαετία και χρησιμοποιείται παγκοσμίως για κάθε είδους διαστημικές αποστολές. Σε αυτήν την εργασία θα περιγράψουμε την ανάπτυξη ενός τέτοιου ενδεικτικού συστήματος λογισμικού το οποίο θεωρούμε πως θα μπορούσε να φανεί χρήσιμο σε πραγματικές αποστολές. Το σύστημα μας θα μπορεί να προβλέπει με ακρίβεια την τροχιά των δορυφόρων που διαχειρίζεται, θα δίνει πληροφορίες για την κατάσταση και την τροχιά τους, θα έχει τη δυνατότητα να δέχεται εντολές για την αλλαγή της τροχιάς ενός δορυφόρου και να υπολογίζει τις καύσεις που είναι απαραίτητες για τη μετάβαση στην νέα τροχιά χωρίς σπατάλη καυσίμων από το όχημα. Η εφαρμογή είναι διαθέσιμη για χρήση στο http://satsim.eu. Ο κώδικας της εφαρμογής που αναπτύξαμε είναι διαθέσιμος υπό άδεια ανοιχτού λογισμικού στο https://github.com/ tech_no_crat/satsim/. Έτσι ο κάθε ενδιαφερόμενος μπορεί να βασιστεί πάνω σε ο,τι κάναμε για να βελτιώσει και επεκτείνει την εφαρμογή μας. 1.2 Προδιαγραφές Πριν αρχίσουμε την ανάπτυξη του συστήματος, θα περιγράψουμε συνοπτικά την εφαρμογή που θέλουμε να δημιουργήσουμε. Η κεντρική οθόνη της εφαρμογής θα παρουσιάζει τρισδιάστατα έναν πλανήτη με κάποιους αρχικούς δορυφόρους σε τροχιά γύρω του. Οι δορυφόροι θα εμφανίζονται ως σφαίρες αρκετά μεγάλες για να είναι ορατές από τον χρήστη, στην πραγματικότητα όμως η εφαρμογή θα διαχειρίζεται τους δορυφόρους ως σημεία. Οι τροχιές των δορυφόρων θα σχεδιάζονται στην οθόνη ως ελλείψεις. Ο χρήστης θα μπορεί να μετακινήσει και να περιστρέψει την κάμερα ώστε να πάρει διαφορετικές εικόνες του πλανήτη, με παρόμοιο τρόπο όπως σε πολλά 3D βιντεοπαιχνίδια. Θα υπάρχει επίσης η δυνατότητα να επιταχυνθεί η ροή του χρόνου στην προσομοίωση, με αποτέλεσμα οι δορυφόροι να κινούνται πιο γρήγορα και να δοθεί στον χρήστη μια σφαιρικότερη εικόνα της κατάστασης. Σε κάποιο σημείο στην οθόνη θα εμφανίζεται μια λίστα με τους δορυφόρους που διαχείριζεται αυτήν την στιγμή η εφαρμογή. Επιλέγοντας έναν απο αυτούς, θα εμφανίζονται στο κάτω μέρος της οθόνης διάφορα δεδομένα για την τρέχουσα κατάσταση του δορυφόρου καθώς και στοιχεία της τροχιάς του, τα οποία θα ανανεώνονται συνεχώς καθώς ο δορυφόρος συνεχίζει να κινείται. Ο χρήστης θα μπορεί να προσθέσει και να διαγράψει δορυφόρους. Η πρόσθεση νέων δορυφόρων θα 2

γίνεται με τον προσδιορισμό των στοιχείων της τροχιάς που θα ορίσουμε στην ενότητα 2.3. Καθώς ο χρήστης θα τροποποιεί τα στοιχεία της τροχιάς, η εφαρμογή θα εμφανίζει την υποψήφια προς προσθήκη τροχιά στην οθόνη. Θα υπάρχει επίσης η δυνατότητα να ζητηθεί μια αλλαγή τροχιάς από τον επιλεγμένο δορυφόρο. Σε αυτήν την περίπτωση το σύστημα θα υπολογίζει τον απαραίτητο ελιγμό, θα τους εμφανίζει γραφικά στην οθόνη, και θα προσομοιώνει τις απαραίτητες ενεργειακές αλλαγές για να φτάσει ο δορυφόρος στην τροχιά-στόχο, παρουσιάζοντας συγχρόνως τα σχετικά δεδομένα. Τέλος θα υπάρχει και το απαραίτητο γραφικό περιβάλλον εργασίας για να αλλάξουν διάφορες οι ρυθμίσεις και παράμετροι της εφαρμογής και να εμφανιστούν πληροφοριές και οδηγίες χρήσης. 1.3 Στόχοι Ακρίβεια: Η εφαρμογή μας πρέπει να είναι αρκετά ακριβής για να υπολογίσει και να προσομοιώσει τροχιές γνωστών δορυφόρων. Ευχρηστία: Η εφαρμογή μας πρέπει να είναι όσο το δυνατόν πιο απλή στην χρήση, παρόλο που απευθείνεται συγχρόνως σε δύο ομάδες χρηστών: Σε άτομα με γνώσεις αστροφυσικής και αστρονομίας αλλά και απλούς χρήστες που θέλουν απλώς να πειραματιστούν. Επεκτασιμότητα: Ο κώδικας της εφαρμογής πρέπει να είναι έτσι δομημένος ώστε να μπορεί μελλοντικά να επεκταθεί εύκολα με επιπλέον λειτουργίες, αλλά και ευανάγνωστος ώστε να μπορεί να διαβαστεί και να χρησιμοποιηθεί από τρίτους. Ανοιχτό λογισμικό: Θα χρησιμοποιήσουμε εξ ολοκλήρου λογισμικό ανοιχτού κώδικα, και θα δημοσιεύσουμε την τελική εφαρμογή και τον πηγαίο κώδικα υπό άδειες ανοιχτού λογισμικού. 1.4 Συμβολισμοί Όλα τα διανύσματα που θα χρησιμοποιήσουμε θα είναι σχετικά με την θέση του πλανήτη, οπότε θα θεωρήσουμε πως ο πλανήτης βρίσκεται στο σημείο O(0, 0, 0), δηλαδή στην αρχή των αξόνων. Με x θα συμβολίζουμε την πρώτη παράγωγο ως προς τον χρόνο του διανύσματος x, με x την δεύτερη παράγωγο κ.ο.κ. Με ˆx θα συμβολίζουμε το διάνυσμα μοναδιαίου μέτρου ομόρροπο στο x, δηλαδή: ˆx = x x Την γωνία των δύο διανυσμάτων α και β θα την συμβολίζουμε με ˆ ( α, β). (1) 2 Κίνηση δορυφόρων 2.1 Παραδοχές Για να απλοποιήσουμε την εφαρμογή θα κάνουμε κάποιες παραδοχές. Θα παρουσιάσουμε αλλά δεν θα υλοποιήσουμε λύσεις για μερικές από τις παρακάτω παραδοχές στην ενότητα "Προτάσεις για βελτίωση". 3

2.1.1 Σώματα Το μόνο σώμα σημαντικής μάζας που θα μας απασχολήσει θα είναι ο πλανήτης γύρω από τον οποίο θα περιστρέφονται οι δορυφόροι. Θα θεωρήσουμε δηλαδή πως τα υπόλοιπα ουράνια σώματα σημαντικής μάζας είναι αρκετά μακριά ώστε να προκαλούν είτε πολύ μικρές επιταχύνσεις, είτε επιταχύνσεις που θα είναι σχεδόν ίδιες στον πλανήτη και στους δορυφόρους. Θα θεωρήσουμε επίσης πως οι τεχνητοί δορυφόροι που χειριζόμαστε είναι αμηλητέας μάζας και δεν προκαλούν σημαντικές επιταχύνσεις ούτε στους άλλους δορυφόρους, ούτε στον πλανήτη. Αυτή η παραδοχή μπορεί επίσης να γίνει στον πραγματικό κόσμο. Επίσης, θα θεωρήσουμε όλοι οι δορυφόροι που θα διαχειριζόμαστε θα κάνουν ελλειπτικές ή κυκλικές τροχιές. 2.1.2 Ταχύτητες Για να θεωρηθούν οι νόμοι της νευτώνιας φυσικής ακριβείς προσεγγίσεις των φυσικών συμπεριφορών που παρατηρούνται στον πραγματικό κόσμο, πρέπει να κάνουμε την παραδοχή πως οι σχετικές ταχύτητες με τις οποίες κινούνται οι δορυφόροι είναι πολύ μικρές σε σχέση με την ταχύτητα του φωτός. 2.1.3 Ατμοσφαιρική τριβή και ηλιακή ακτινοβολία Δεν θα λάβουμε καθόλου υπόψιν μας την ατμοσφαιρική τριβή ή την ηλιακή ακτινοβολία. Ως αποτέλεσμα, η προσομοίωση θα είναι λιγότερο ακριβής σε τροχιές μικρού ύψους. 2.1.4 Πλανήτης Θα θεωρήσουμε πως ο πλανήτης γύρω απο τον οποίο θα σχηματίζουν τροχιές οι δορυφόροι είναι τέλεια σφαίρα, με ίδια πυκνότητα παντού. Έτσι το κέντρο της μάζας του πλανήτη θα είναι στο κέντρο της σφαίρας, και θα μπορούμε να υπολογίζουμε εύκολα τα υψόμετρα των δορυφόρων από το επίπεδο της θάλασσας. 2.2 Νευτώνια Φυσική και Καρτεσιανά Διανύσματα Ένα σώμα-δορυφόρος μάζας m βρίσκεται στην θέση r και έχει αρχική ταχύτητα r. Από τον νόμο της παγκόσμιας έλξης [3] έχουμε για το διάνυσμα της δύναμης F που ασκείται στον δορυφόρο από τον πλανήτη: F = ˆr G mm r 2 (2) Από τον 2ο νόμο του Νεύτωνα θα έχουμε για τo διάνυσμα της επιτάχυνσης r που προκαλεί η δύναμη F στον δορυφόρο: F r = GM = ˆr = ˆr µ (3) m r 2 r 2 Σύμφωνα με την παραδοχή που κάναμε στην προηγούμενη ενότητα, η τροχιά θα έιναι κύκλος ή έλλειψη. Αφού (σύμφωνα με τις παραδοχές μας) δεν ασκούνται άλλες δυνάμεις στο σώμα, όλες 4

οι μελλοντικές θέσεις του δορυφόρου, δηλαδή η τροχιά του, εξαρτόνται μόνο από διανύσματα r και r. Δηλαδή: Τα διανύσματα μιας θέσης και αρχικής ταχύτητας r και r είναι αρκετά για να προσδιορίσουν την τροχιά ενός δορυφόρου 2.3 Τροχιές Κέπλερ Αν θεωρήσουμε πως η τροχιά ενός δορυφόρου γύρω απο έναν πλανήτη είναι είτε ελλειπτική είτε κυκλική (δηλαδή το όχημα δεν έχει φτάσει την ταχύτητα διαφυγής), τότε για να περιγράψουμε την τροχιά του δορυφόρου μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε μια σχέση που να δίνει την απόσταση του σώματος r(ν) από τον πλανήτη συναρτήσει της γωνίας ν από την χαμηλότερη (κοντινότερη στον πλανήτη) θέση στην τροχιά. Θα αναφερόμαστε στην χαμηλότερη θέση της τροχιάς ως περίαψη. Επειδή στην κυκλική τροχιά όλα τα σημεία της τροχιάς θα ισαπέχουν από τον πλανήτη μπορούμε να επιλέξουμε ένα οποιοδήποτε σημείο αυθαίρετα από το οποίο θα μετράμε την γωνία ν. Το 1609 η σχέση αυτή δόθηκε από τον Johannes Kepler: Όπου: r(ν) = a(1 e2 ) 1 + e cos(ν) (4) a είναι ο μεγάλος ημιάξονας της τροχιάς που καθορίζει και το μέγεθος της. e είναι η εκκεντρότητα της τροχιάς (0 < e < 1 για ελλειπτικές τροχιές). Τα δύο αυτά στοιχεία επαρκούν για να προσδιορίζουμε το σχήμα και το μέγεθος της τροχιάς. Αν και όλες οι τροχιές είναι επίπεδες, το επίπεδο πάνω στο οποίο βρίσκονται μπορεί να διαφέρει. Επειδή δουλεύουμε στον τρισδιάστατο χώρο, θα χρειαστεί να χρησιμοποιήσουμε τρεις γωνίες για να περιγράψουμε την περιστροφή του επιπέδου πάνω στο οποίο βρίσκεται η τροχιά στον χώρο. i η κλίση τροχιάς, η γωνία μεταξύ ενός επιπέδου αναφοράς και του επιπέδου της τροχιάς. Ω το μήκος του ανερχόμενου συνδέσμου, η γωνία που σχηματίζεται πάνω στο επίπεδο αναφοράς ανάμεσα σε μια διεύθυνση αναφοράς και στη διεύθυνση του ανερχόμενου συνδέσμου. ω το όρισμα της περίαψης, η γωνία ανάμεσα στον ανερχόμενο σύνδεσμο και στην περίαψη. 5

Παραπάνω, με τον όρο ανερχόμενος σύνδεσμος εννοούμε το σημείο όπου η τροχιά διέρχεται από το επίπεδο αναφοράς με βόρεια κατεύθυνση. Η επιλογή του επιπέδου αναφοράς και της διεύθυνσης αναφοράς δεν έχει σημασία, αρκεί να είναι κοινή για όλες τις τροχιές τις οποίες θα εξετάσουμε. Πρακτικά, το επίπεδο της τροχιάς είναι συνήθως το επίπεδο του ισημερινού. Με τις πέντε αυτές παραμέτρους και την γωνία ν μπορούμε να ορίσουμε κάθε ελλειπτική και κυκλική τροχιά στον τρισδιάστατο χώρο. Στο εξής θα αναφερόμαστε σε αυτές τις παραμέτρους ως στοιχεία τροχιάς. 2.4 Απο τα καρτεσιανά διανύσματα στις κεπλεριανές τροχιές Δεδομένης μιας αρχικής θέσης r και ταχύτητας r ενος σώματος, είναι βασικό να μπορούμε να βρούμε την τροχιά Κέπλερ που πρόκειται να ακουλουθήσει το σώμα ώστε να μπορούμε μετά να προβλέψουμε κάθε μελλοντική θέση του δορυφόρου, όπως θα δούμε στην επόμενη ενότητα. Ένας εύκολος αλγόριθμος για την μετάβαση αυτή από τα διανύσματα r και r στις εξι παραμέτρους της τροχιάς Κέπλερ που αναφέρθηκαν στην προηγούμενη ενότητα περιγράφεται στο Memorandum 2 του René Schwarz [5]. Μια λίγο απλοποιημένη μορφή αυτού του αλγορίθμου χρησιμοποιούμε στην εφαρμογή μας και δίνεται παρακάτω: Αρχικά θα υπολογίσουμε την ειδική σχετική στροφορμή του σώματος, που είναι απλά το εξωτερικό γινόμενο των διανύσματων της θέσης και της ταχύτητας και το διάνυσμα n με κατεύθυνση προς τον ανερχόμενο σύνδεσμο για χρήση στους επόμενους υπολογισμούς: h = r r (5) n = ( h y, h x, 0) (6) Ο ημιάξονας της τροχιάς δίνεται άμεσα από την θέση και την ταχύτητα του σώματος: a = 1 2 r 2 r µ (7) όπου µ = GM, M η μάζα του πλανήτη. Θα βρούμε το διάνυσμα της εκκεντρότητας, που είναι διάνυσμα που με κατεύθυνση από το σώμα προς το σημείο της περίαψης και μέτρο ίσο με την εκκεντρότητα e της τροχιάς: e = r h µ ˆr (8) 6

e = e (9) 'Eχοντας προσδιορίσει την τροχιά στο επίπεδο, θα βρούμε το επίπεδο της τροχιάς από τους τύπους για τις γωνίες i, Ω και ω: i = arccos h z h { arccos n x για n n y 0 Ω = 2π arccos nx αλλιώς n { ( n, e) ˆ για e z 0 ω = 2π ( n, e) ˆ αλλιώς H πραγματική ανωμαλία δίνεται από τον τύπο: { ( e, r) ˆ για ( e, r) ˆ π 2 ν = 2π ( e, r) ˆ αλλιώς Μένει να υπολογίσουμε τα βοηθητικά μεγέθη της εκκεντρικής και μέσης ανωμαλίας: E = 2 arctan tan ν 2 1+e 1 e (10) (11) (12) (13) (14) M = E e sin E (15) 2.5 Από τις κεπλεριανές τροχιές στα καρτεσιανά διανύσματα Εξίσου σημαντική είναι και η μετάβαση από τα στοιχεία της τροχιάς στα καρτεσιανά διανύσματα της θέσης και της ταχύτητας. Ο αλγόριθμος που παρουσιάζεται παρκάτω είναι από το Memorandum 1 του René Schwarz [4] και είναι υλοποιημένος στην εφαρμογή μας. Θα περιγράψουμε έναν τρόπο μετάβασης από τα στοιχεία μιας τροχιάς (τον ημιάξονα, την εκκεντρότητα και τις γωνίες i, ω και Ω) και την μέση ανωμαλία M 0 μιας χρονικής στιγμής t 0 στα διανύσματα της θέσης και της ταχύτητας μιας χρονικής στιγμής t t 0. Αρχικά θα υπολογίσουμε την μέση ανωμαλία M την χρονική στιγμή t ως εξής: µ M = M 0 + t (16) a 3 όπου Δt η διαφορά του χρόνου μεταξύ t και t 0 σε δευτερόλεπτα. Για την σχέση εκκεντρικής και μέσης ανωμαλίες έχουμε την σχέση (15), ομώς δεν μπορούμε να λύσουμε ως προς E και θα πρέπει να προσεγγίσουμε το E αριθμητικά ως εξής: E i+1 = E i E i e sin E i M 1 e cos E i, E 0 = M (17) 7

H απόσταση από τον πλανήτη θα είναι: Η πραγματική ανωμαλία θα είναι: d = a(1 e cos E) (18) ν = 2atan2( 1 + e sin E 2, 1 e cos E 2 ) (19) Τώρα μπορούμε να βρούμε την θέση r και την ταχύτητα r του σώματος πάνω στο επίπεδο της τροχιάς (θα θεωρήσουμε πως ο άξονας z'z είναι κάθετος στο επίπεδο της τροχιάς): r = d(cos ν, sin ν, 0) (20) µa r = d ( sin E, 1 e 2 cos E, 0) (21) Μένει μόνο να χρησιμοποιήσουμε τις γωνίες i, ω και Ω για να περιστρέψουμε τα διανύσματα που βρήκαμε πάνω στο σωστό επίπεδο. Οι γωνίες αυτές είναι και οι γωνίες euler που προσδιορίζουν τον προσανατολισμό του επιπέδου στον χώρο. Για την περιστροφή αυτή των διανυσμάτων r και r θα εφαρμόσουμε ακριβώς τον τύπο του βήματος 6 του Memorandum 1 του Rene Schwarz [4] 3 Τροχιακοί ελιγμοί Κατά διάρκεια λειτουργίας πολλών δορυφόρων μπορεί να χρειαστεί για τεχνικούς λόγους και για λόγους εξυπηρέτησης αναγκών να μεταβληθεί η τροχιά τους. Για να επιτευχθεί η λεγόμενη μετάβαση ενός δορυφόρου από τη μία τροχιά στην άλλη πρέπει να γίνει αλλαγή στο διάνυσμα της ταχύτητας με χρήση των προωθητήρων (thrusters) του δορυφόρου σε κάποιο σημείο της τροχιάς. Τα συστήματα προώθησης λειτουργούν για λίγο χρονικό διάστημα, και για να γίνει ο τροχιακός ελιγμός πρέπει να πραγματοποιηθεί σε σημείο όπου η παλιά τροχιά τέμνεται απο τη νέα. Αν οι τροχιές δεν τέμνονται, τότε αναγκαστηκά ο δορυφόρος θα πρέπει να μεταβεί σε μια ενδιάμεση μεταβατική τροχιά που εφάπτεται με την αρχική και την τελική. Θα επεκτείνουμε την εφαρμογή μας ώστε να υπολογίζει και να πραγματοποιεί τροχιακούς ελιγμούς για τους δορυφόρους. Θα θεωρήσουμε πως οι δορυφόροι που διαχειριζόμαστε έχουν την δυνατότητα να αλλάξουν την ταχύτητα τους στιγμιαία, και πως οι καύσεις δεν αλλάζουν την μάζα του οχήματος (λόγο ελλάτωσης της ποσότητας των καυσίμων). 3.1 Κυκλοποίηση τροχιάς Πολλές φορές χρειάζεται ένας δορυφόρους να κυκλοποίησει την τροχιά του, δηλαδή να μηδενίσει την εκκεντρότητα του. Θα περιγράψουμε έναν απλό τρόπο για τον υπολογισμό της αλλαγής της ταχύτητας που απαιτείται για την κυκλοποίηση της τροχιάς στο χαμηλότερη σημείο της. Με άλλα λόγια, θέλουμε να μεταβούμε σε μια νέα τροχιά με e = 0 που εφάπτεται με την παλιά τροχιά στο σημείο της περίαψης. Σε κάθε ελλειπτική τροχιά, η μέγιστη ταχύτητα του δορυφόρου σημειώνεται στην περίαψη [8], και μέτρο της V i = rp er δίνεται από τον τύπο: 8

(1 + e)µ V i = (22) (1 e)a i Όπου e και a i η εκκεντρότητα και ο ημιάξονας της αρχικής τροχιάς. Στην νέα επιθυμητή κυκλική τροχιά, το μέτρο της ταχύτητας του δορυφόρου V f θα είναι ίδιο σε κάθε σημείο της τροχιάς και αφού e = 0 θα δίνεται και από τον τύπο: µ V f = (23) a f Όπου a f ο ημιάξονας και η ακτίνα της νέας τροχιάς. Όπως είδαμε στην ενότητα 2.2, τα διανύσματα της θέσης ορίζουν την μελλοντική τροχιά του δορυφόρου. Αφού οι δύο τροχιές εφάπτονται στο σημείο της περίαψης, αρκεί να αλλάξουμε το διάνυσμα της ταχύτητας στο σημείο αυτό στην ταχύτητα της νέας κυκλικής τροχιάς. Άρα: µ (1 + e)µ V = V f V a = (24) a f (1 e)a i Και αφού η αλλαγή της ταχύτητας θα γίνει στιγμιαία, θα αλλάξει μόνο το μέτρο του διανύσματος της ταχύτητας. Με παρόμοιο τρόπο μπορεί να γίνει και κυκλοποίηση της τροχιάς στο υψηλότερο σημείο της τροχιάς. 4 Ανάπτυξη της εφαρμογής 4.1 Επιλογή τεχνολογιών Θέλουμε η εφαρμογή μας να είναι εκτελέσιμη σε όσο το δυνατόν περισσότερες πλατφόρμες και συστήματα γίνεται και να βασίζεται σε τεχνολογίες ανοιχτού κώδικα. Για αυτούς τους δύο λόγους επιλέξαμε τις τεχνολογίες του διαδικτύου και συγκεκριμένα την HTML5, CSS και javascript για να αναπτύξουμε μια εφαρμογή που θα τρέχει μέσα σε κάθε σύγχρονο περιηγητή ιστού ως μια κανονική ιστοσελίδα. Για την δική μας διευκόλυνση θα χρησιμοποιήσουμε τις πιο ευανάγωνστες HAML, SASS και Coffeescript, γλώσσες οι οποίες μεταγλωτίζονται σε HTML, CSS και Javascript αντίστοιχα. Θα χρησιμοποιήσουμε επίσης τις βιβλιοθήκες jquery και Three.js για το γραφικό περιβάλλον εργασίας και τα τρισδιάστατα γραφικά που θα χρειαστούμε. 4.2 Προσομοίωση της κίνησης δορυφόρων Για να δώσουμε την εντύπωση της κίνησης στον υπολογιστή, αρκεί να σχεδιάσουμε το σώμα σε διαδοχικές του θέσεις κατά την πορεία την κίνησης του αρκετές φορές το δευτερόλεπτο (πρακτικά, τουλάχιστον 30). Για να μπορέσουμε όμως να το κάνουμε αυτό πρέπει πρώτα να έχουμε την δυνατότητα να υπολογίσουμε τις θέσεις αυτές με ακρίβεια. Στην ενότητα αυτή θα προταθούν δύο τρόποι υπολογισμού των μελλοντικών θέσεων του δορυφόροι και θα παρουσιαστούν οι λόγοι επιλογής του δεύτερου. 9

4.2.1 Πρώτη ιδέα: Εκτίμιση θέσης από τα καρτεσιανά διανύσματα νευτώνιας φυσικής Ο πιο απλός τρόπος προσομοίωσης είναι να αγνοήσουμε εντελώς τις έξι παραμέτρους της τροχιάς που περιγράφηκαν στην ενότητα 2.3, και να χρησιμοποιήσουμε απλώς την εξίσωση (3) της ενότητας 2.2. Η διαδικασία είναι η εξής: Θα διατηρούμε δύο διανύσματα r και r, αυτά της θέσης και της ταχύτητας. C φορές το δευτερόλεπτο, θα ανανεώνουμε το διάνυσμα της ταχύτητας r ώστε να βρούμε τη νέα ταχύτητα του σώματος με χρήση της εξίσωσης (3) ως εξής: Έχοντας την νέα ταχύτητα του σώματος, θα θεωρήσουμε πως η ταχύτητα του σώματος θα παραμείνει σταθερή μέχρι την επόμενη επανάληψη της διαδικασίας, δηλαδή για C 1 δευτερόλεπτα. Θα ανανεώνουμε την θέση προσθέτοντας της το διάνυσμα της νέας ταχύτηας, όπως περιγράψαμε στην ενότητα 2.1. Ο τρόπος αυτός, αν και λειτουργεί, δεν είναι ακριβής αφού ανανεώνουμε την ταχύτητα και την επιτάχυνση ανά κάποιο χρονικό διάστημα, και θεωρούμε πως μεταξύ των ανανεώσεων αυτών η ταχύτητα και η επιτάχυνση μένουν σταθερές, κάτι που δεν ισχύει. Αν και με αυτήν την μέθοδο δεν μπορούμε ποτέ να προσομοιώσουμε ακριβώς την τροχιά του σώματος, μπορούμε θεωρητικά να φτάσουμε όσο κοντά στην πραγματική τροχιά θέλουμε, αρκεί να χρησιμοποιήσουμε ένα αρκετά μεγάλο C. Πρακτικά όμως, ένα C μεγαλύτερο από μερικές εκατοντάδες μονάδες θα επηρεάσει έντονα την απόδοση της εφαρμογής σε κάθε σύγχρονο υπολογιστή. 4.2.2 Δεύτερη ιδέα: Χρήση της Μέσης Ανωμαλίας για την συσχέτιση χρόνου-θέσης-ταχύτητας Στην ενότητα 2.3 ανφέρθηκαν τα βοηθητικά μεγέθη ν, M και E, δηλαδή η πραγματική, μέση και εκκεντρική ανωμαλία αντίστοιχα. Στην ενότητα 2.5 είδαμε πως γνωρίζοντας το M και τα στοιχεία της τροχιάς, μπορούμε να μεταβούμε στα ν και E και μετά στα καρτεσιανά διανύσματα της θέσης και της ταχύτητας. Και επειδή το M έχει την ιδιότητα να αυξάνεται σταθερά σε όλη την διάρκεια της τροχιάς, μπορούμε εύκολα να υπολογίσουμε κάθε μελλοντική τιμή του με χρήση της εξίσωσης (16). Για την προσομοίωση μας θα επιλέξουμε να χρησιμοποιήσουμε τον αλγόριθμο που δόθηκε στην ενότητα 2.5 για την μετάβαση από τα στοιχεία της τροχιάς Κέπλερ στα καρτεσιανά διανύσματα για μια οποιαδήποτε χρονική στιγμή. Αυτό θα μας επιτρέψει να υλοποιήσουμε εύκολα και την λειτουργία της επιτάχυνσης του χρόνου. Γνωρίζοντας τα στοιχεία της τροχιάς και την μέση ανωμαλία σε μια χρονική στιγμή t, θα ανανεώνουμε την θέση του δορυφόρου πολλές φορές τον δευτερόλεπτο και θα τον σχεδιάζουμε στην νέα του θέση. Για να ανανεώσουμε την θέση του δορυφόρου θα εκτελούμε την υλοποίηση του αλγορίθμου της ενότητας 2.5 με t = t real A, όπου t real ο πραγματικός χρόνος που πέρασε από την προηγούμενη ανανέωση της θέσης και A το πόσες φορές πιο γρήγορα από τον πραγματικό χρόνο θέλουμε να τρέχει η προσομοίωση μας. Ο αλγόριθμος θα μας δίνει, μεταξύ άλλων, το διάνυσμα r, την νέα θέση του δορυφόρου στον τρισδιάστατο χώρο, ο,τι δηλαδή χρειαζόμαστε για να σχεδιάσουμε τον δορυφόρο στην οθόνη. 4.3 Βασικά σημεία του κώδικα Το πιο ενδιαφέρον κομμάτι του κώδικα είναι σίγουρα η κλάση Orbit στο αρχείο orbit.coffee, η οποία διαχειρίζεται την τροχιά ενός δορυφόρου, και περιλαμβάνει μεθόδους για τον υπολογισμό διάφορων πλγοροφιρών για αυτήν. Συγκεκριμένα, η κλάση κρατάει τόσο τα στοιχεία της τροχιάς 10

όσο και την τρέχουσα κατάσταση του δορυφόρου στα διανύσματα της θέσης και της ταχύτητας και στα μεγέθη M, E και ν που αλλάζουν κατά την διάρκεια της τροχιάς. Η ακόλουθη μέθοδος step είναι η υλοποίηση του αλγορίθμου που περιγράφεται στην ενότητα 2.5. Η μέθοδος ανανεώνει την θέση του δορυφόρου στην θέση που θα έχει μετά απο dt δευτερόλεπτα. 1 2 step: (dt, iterations = 100) -> 3 @m += dt * Math.sqrt(@gm/Math.pow(@a, 3)) 4 @m -= 2 * Math.PI if @m > 2 * Math.PI 5 6 @ea = @m 7 for i in [1..iterations] 8 @ea -= (@ea - @e.length() * Math.sin(@ea) - @m)/(1 - @e.length() * Math.cos(@ea)) 9 10 @nu = 2 * Math.atan2(Math.sqrt(1+@e.length()) * Math.sin(@ea/2), Math. sqrt(1-@e.length()) * Math.cos(@ea/2)) 11 @d = @a * (1 - @e.length() * Math.cos(@ea)) 12 @r = new THREE.Vector3(Math.cos(@nu) * @d, Math.sin(@nu) * @d, 0) 13 @v = new THREE.Vector3(-Math.sin(@ea), Math.sqrt(1-Math.pow(@e.length(), 2)) * Math.cos(@ea), 0).multiplyScalar(Math.sqrt(@a * @gm)/@d) 14 15 x1 = Math.cos(@omega) * Math.cos(@o) - Math.sin(@omega) * Math.cos(@i) * Math.sin(@o) 16 x2 = Math.sin(@omega) * Math.cos(@o) + Math.cos(@omega) * Math.cos(@i) * Math.sin(@o) 17 y1 = - Math.cos(@omega) * Math.sin(@o) - Math.sin(@omega) * Math.cos(@i) * Math.cos(@o) 18 y2 = - Math.sin(@omega) * Math.sin(@o) + Math.cos(@omega) * Math.cos(@i) * Math.cos(@o) 19 z1 = Math.sin(@i) * Math.sin(@omega) 20 z2 = - Math.sin(@i) * Math.cos(@omega) 21 @r = new THREE.Vector3( 22 x1 * @r.x + x2 * @r.y, 23 y1 * @r.x + y2 * @r.y, 24 z1 * @r.x + z2 * @r.y 25 ) Στις γραμμές 3 και 4 υπολογίζεται η νέα μέση ανωμαλία M. Στις γραμμές 6-8 εκτιμάται αριθμητικά η εκκεντρική ανωμαλία. Στις γραμμές 10-13 προσδιορίζεται η πραγματική ανωμαλία, η θέση και η ταχύτητα στο επίπεδο αναφοράς. Τέλος στις γραμμές 15-24 γίνεται η περιστροφή των διανυσμάτων από το επίπεδο αναφοράς στο σωστό επίπεδο της τροχιάς. 11

5 Παραδείγματα χρήσης 5.1 Διεθνής Διαστημικός Σταθμός Πειραματιστήκαμε εισάγοντας τα δεδομένα της τροχιάς του διεθνούς διαστημικού σταθμού στην εφαρμογή μας, θέλοντας να εξετάσουμε την απόκλιση από τα πραγματικά δεδομένα. Βρήκαμε τον ημιάξονα, την εκκεντρότητα και τις γωνίες i, ω, Ω στο διαδίκτυο [6] και προσθέσαμε την συγκεκριμένη τροχιά στην εφαρμογή. Η τροχιά που υπολογίστηκε μαζί με τα στοιχεία της εμφανίζονται στην επόμενη εικόνα: 5.2 Hubble Telescope Επαναλάβαμε το πείραμα με τα δεδομένα της τροχιάς του διαστημικού τηλεσκοπίου Hubble [7]. Tα αποτελέσματα φαίνονται στην εικόνα: 12

6 Συμπεράσματα Στις δύο εβδομάδες που ασχοληθήκαμε με τον διαγωνισμό, εργαστήκαμε αρχικά για να κατανοήσουμε την κίνηση των δορυφόρων και τους φυσικούς νόμους που τη διέπουν. Θέσαμε τις γνώσεις μας σε πράξη αναπτύσσοντας την εφαρμογή, την οποία προσπαθήσαμε να τελειοποιήσουμε κατά το μέγιστο δυνατό με βάση τους χρονικούς και γνωστικούς περιορισμούς μας. Η προσομοίωση μας είναι σχετικά ακριβής στο βαθμό του δυνατού, αλλά το σημαντικότερο, είναι εύκολο να επεκταθεί περαιτέρω και απο τρίτους αφού ο κώδικας είναι διαθέσιμος ελεύθερα στο διαδίκτυο. Στην αναζήτηση μας δεν βρήκαμε κάποια άλλη παρόμοια αξιόλογη προσομοίωση ανοιχτού λογισμικού. Ο διαγωνισμός αποτέλεσε για μας το εφαλτήριο για να εντρυφίσουμε σε ένα αντικείμενο το οποίο αποδείχτηκε πολύ ενδιαφέρον. Έτσι, σκοπεύουμε να συνεχίσουμε ενεργά την ανάπτυξη της εφαρμογής ακόμα και μετά το πέρας του διαγωνισμού odysseus. 6.1 Προτάσεις για βελτίωση Ιδέες για επιπλέον λειτουργίες στην εφαρμογή είναι: Υπολογισμός τροχιακών συναντήσεων, και πραγματοποίηση τροχιακών ελιγμών για την πραγματοποίηση ή την αποφυγή τους. Υπολογισμός κάλυψης του δικτύου στην επιφάνεια της Γης και σχεδιασμός των τροχιών στον δισδιάστατο χάρτη της Γης. Περισσότεροι τροχιακοί ελιγμοί. 13

Υπολογισμός τροχιακών παρεκκλίσεων λόγο της ατμόσφαιρας, της ηλιακής ακτινοβολίας και της βαρυτικής έλξης του φεγγαριού για μεγαλύτερη ακρίβεια. Καλύτερο γραφικό περιβάλλον εργασίας. Μερικές από αυτές τις ιδέες δεν είναι δύσκολες στην υλοποίηση, αλλά δυστηχώς δεν προλάβαμε να τις υλοποιήσουμε μέσα στις δύο εβδομάδες που ασχοληθήκαμε με τον διαγωνισμό Odysseus. Προτρέπουμε κάθε ενδιαφερόμενο να συνεισφέρει στην προσπάθεια μας μετά την λήξη του διαγωνισμού, είτε υλοποιόντας κάποιες από τις παραπάνω ιδέες είτε κάποιες δικές του χρησιμοποιόντας την πλατφόρμα συνεργασίας ανοιχτού λογισμικού github στην οποία βρίσκεται ο κώδικας της εφαρμογής. Η τελική εφαρμογή: http://satsim.eu Βιβλιογραφικές αναφορές [1] US Space Objects Registry: http://usspaceobjectsregistry.state.gov/ 14

[2] Η σελίδα του STK: http://www.agi.com/products/stk/modules/default.aspx/id/ stk-free [3] Isaac Newton, The mathematical principles of Natural Philosophy [4] René Schwarz, Memorandum 1, Keplerian Orbit Elements Cartesian State Vectors [5] René Schwarz, Memorandum 2, Cartesian State Vectors Keplerian Orbit Elements [6] http://www.heavens-above.com/orbit.aspx?satid=25544 [7] http://www.spacetelescope.org/about/general/fact_sheet/ [8] Robert A. Braeunig, Orbital Mechanics: http://www.braeunig.us/space/orbmech.htm 15