3o ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Τρίγωνα

3o ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Τρίγωνα 4 η διδακτική ενότητα : Ισότητα τριγώνων Ερωτήσεις κατανόησης 1. Να εξετάσετε αν είναι σωστή ή λανθασμένη καθεμιά από τις επόμενες προτάσεις : α) Υπάρχουν σημεία του επιπέδου που ισαπέχουν από τα άκρα ενός ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ και δεν ανήκουν στη μεσοκάθετο του ΑΒ. Σ Λ β) Δύο τρίγωνα με γωνίες ίσες μία προς μία είναι ίσα. Σ Λ γ) Το μόνο σημείο του επιπέδου που ισαπέχει από τα άκρα ενός ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ είναι το μέσο του ΑΒ. Σ Λ δ) Κάθε σημείο της διαμέσου ΑΔ τριγώνου ΑΒΓ απέχει εξίσου από τις πλευρές ΑΒ και ΑΓ. ε) Σε ίσες χορδές δύο κύκλων αντιστοιχούν ίσα τόξα Σ Λ. Να διατυπώσετε το αντίστροφο των παρακάτω προτάσεων και να εξετάσετε αν αληθεύει : Α. Κάθε ισόπλευρο τρίγωνο είναι και ισοσκελές. Β. Αν δύο τρίγωνα είναι ίσα, τότε έχουν τις γωνίες τους ίσες μία προς μία. Γ. Δύο ίσες χορδές κύκλου έχουν ίσα αποστήματα. Θέματα πλήρους ανάπτυξης 3. *Στις πλευρές Οx και Οy μιας γωνίας τέτοια, ώστε να είναι ΟΑ=ΟΒ. xoy παίρνουμε σημεία Α και Β αντίστοιχα α) Να αποδείξετε ότι οποιοδήποτε σημείο Μ της διχοτόμου της xoy απέχει εξίσου από τα Α και Β. β) Αν οι ευθείες ΑΜ και ΒΜ τέμνουν τις Οy και Οx στα σημεία Γ και Δ αντίστοιχα, να αποδείξετε : i) ΑΓ=ΒΔ, ii) ΜΓ=ΜΔ και iii) ΒΓ=ΑΔ. 4. *Προεκτείνουμε τις πλευρές ΑΒ και ΑΓ τριγώνου ΑΒΓ προς το μέρος του Α και στις προεκτάσεις παίρνουμε αντίστοιχα ευθύγραμμα τμήματα ΑΔ=ΑΒ και ΑΕ=ΑΓ. α) Να συγκρίνετε τα ευθύγραμμα τμήματα ΔΕ και ΒΓ. β) Αν η προέκταση του ύψους ΑΜ του τριγώνου ΑΒΓ τέμνει τη ΔΕ στο σημείο Ρ, να αποδείξετε ότι το ευθύγραμμο τμήμα ΑΡ είναι ύψος του τριγώνου ΑΔΕ. 1

γ) Ελέγξτε αν αληθεύει ανάλογη πρόταση για τη διχοτόμο ΑΝ του τριγώνου ΑΒΓ. 5. *Στις προεκτάσεις των πλευρών ΑΒ και ΑΓ τριγώνου ΑΒΓ, προς το μέρος του Α, παίρνουμε αντίστοιχα τα ευθύγραμμα τμήματα ΑΔ=ΑΒ και ΑΕ=ΑΓ. Να αποδείξετε ότι : α) ΑΒΓ = ΑΔΕ. β) η διάμεσος ΑΜ, του ΑΒΓ, αν προεκταθεί προς το μέρος του Α, διέρχεται από το μέσο Ν, του ΔΕ. γ) το Α είναι το μέσο του ΜΝ. 6. *Σε έναν κύκλο κέντρου Ο φέρουμε τη μεσοκάθετο μιας ακτίνας ΟΑ, η οποία τέμνει τον κύκλο στα σημεία Β και Γ. Να δικαιολογήσετε ότι το τετράπλευρο ΑΒΟΓ έχει όλες τις πλευρές του ίσες. 7. *Σε δύο τρίγωνα ΑΒΓ και Α Β Γ είναι ΒΓ=Β Γ, Β = Β και και οι διχοτόμοι δ β δ είναι ίσες. Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΒΓ και Α Β Γ είναι ίσα. β 8. ** Σε τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ<ΑΓ προεκτείνουμε τις πλευρές ΒΑ και ΓΑ προς το Α και παίρνουμε τα ευθύγραμμα τμήματα ΑΔ=ΑΓ και ΑΕ=ΑΒ αντίστοιχα. Αν η ευθεία ΔΕ τέμνει την ευθεία ΒΓ στο σημείο Μ, να αποδείξετε ότι : α) AEB = ABE, AE Δ = ABΓ και το τρίγωνο ΜΒΕ είναι ισοσκελές. β) Η ΑΜ είναι διχοτόμος της γωνίας BME. 9. **Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ). Στην προέκταση της ΒΑ (προς το μέρος του Α) παίρνουμε σημείο Δ και στην προέκταση της ΓΑ (προς το μέρος του Α) παίρνουμε σημείο Ε έτσι ώστε να είναι ΑΔ=ΑΕ. Να αποδείξετε ότι : α) A Ê = Α ˆ Ε β) ΕΒ=ΔΓ γ) ΕΒΓ ˆ = Γˆ Β 10. **Δίνεται ένα ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ και τα σημεία Δ, Ε, Ζ των πλευρών ΒΓ, ΓΑ, ΑΒ αντίστοιχα με ΒΔ=ΓΕ=ΑΖ. Τα ευθύγραμμα τμήματα ΑΔ, ΒΕ, ΓΖ τέμνονται ανά δύο στα σημεία Η, Θ, Κ. ΝΑ αποδείξετε ότι : α) ΑΔ=ΒΕ=ΓΖ β) το τρίγωνο ΗΘΚ είναι ισόπλευρο. 11. **Θεωρούμε δύο οξυγώνια τρίγωνα ΑΒΓ και Α Β Γ και τα ύψη τους ΒΔ και Β Δ καθώς και ΓΕ και Γ Ε αντίστοιχα. Υποθέτουμε ότι ΒΓ=Β Γ, ΒΔ=Β Δ

και ΓΕ=Γ Ε. α) Να συγκρίνετε τα τρίγωνα ΒΔΓ και Β Δ Γ. β) Να δείξετε ότι Bˆ Bˆ =. γ) Να δείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΒΓ και Α Β Γ είναι ίσα. 1. **Να αποδείξετε ότι δύο τρίγωνα ΑΒΓ και Α Β Γ είναι ίσα, όταν έχουν 90, υ α = υ α και υ β = υ β. Α = Α < 13. **Να αποδείξετε ότι δύο τρίγωνα ΑΒΓ και Α Β Γ είναι ίσα, όταν έχουν ΑΒ=Α Β, ΑΓ=Α Γ και μ =. α μ α 3

5 η διδακτική ενότητα : Βασικοί γεωμετρικοί τόποι - Συμμετρικά σχήματα - Ανισοτικές σχέσεις στα τρίγωνα Σχετικές θέσεις ευθείας και κύκλου Σχετικές θέσεις δύο κύκλων Ερωτήσεις κατανόησης xoy ισαπέχει από τις πλευρές της και απέχει από την κορυφή της σταθερή απόσταση α ; 14. Ποιο σημείο στο εσωτερικό μιας γωνίας 15. Πώς μπορεί να βρεθεί σημείο του επιπέδου που να απέχει από τα άκρα ενός ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ απόσταση ίση με το μήκος του ΑΒ ; 16. Αν ένα σχήμα έχει κέντρο συμμετρίας, θα έχει και άξονες συμμετρίας ; 17. Γιατί η ημιπερίμετρος ενός τριγώνου είναι μεγαλύτερη από κάθε πλευρά του ; 18. Υπάρχει τρίγωνο με μήκη πλευρών 4, 5 και 10 ; 19. Δίνονται δύο κύκλοι με κέντρα Κ, Λ και ακτίνες R=5 και ρ=3 αντίστοιχα. Να αντιστοιχίσετε κάθε στοιχείο της στήλης Α σε ένα μόνο στοιχείο της στήλης Β. ΣΤΗΛΗ Α 1. ΚΛ = 10. ΚΛ = 8 3. ΚΛ = 6 4. ΚΛ = 5. ΚΛ = 1 ΣΤΗΛΗ Β α) Οι κύκλοι εφάπτονται εξωτερικά β) Οι κύκλοι εφάπτονται εσωτερικά γ) Δεν έχουν κοινές εφαπτομένες δ) Έχουν κοινή χορδή ε) Έχουν τέσσερις κοινές εφαπτομένες στ) Είναι ομόκεντροι 0. Δύο κύκλοι με κέντρα Κ και Μ εφάπτονται εσωτερικά στο Α. Η ευθεία που διέρχεται από το Α και είναι κάθετη στην ΚΜ, τι θέση έχει ως προς τους δύο κύκλους ; 4

1. Τοποθετήστε το κατάλληλο σύμβολο (= ή < ή >) σε καθένα από τα παρακάτω κενά. Δικαιολογήστε τις απαντήσεις σας. α) ΑΒ... ΒΓ β) ΑΔ... ΔΕ Β γ) ΓΕ... ΓΔ δ) ΒΔ... ΔΓ ε) ΑΔ... ΔΓ στ) ΒΓ... ΒΔ ω ω ζ) ΑΓ... ΑΒ Ε Α Δ ω Γ Θέματα πλήρους ανάπτυξης. *Να βρείτε τις τιμές του x, ώστε να κατασκευάζεται τρίγωνο με πλευρές x, x+1, x+. 3. *Αν σε κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓΔ ισχύουν Γ ΑΔ=ΔΓ. 4. *Αν σε κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι ΑΒ=ΓΔ και Γ ΑΓ>ΒΔ. Â = ˆ και ΑΒ=ΒΓ, να αποδείξετε ότι Bˆ > ˆ, να αποδείξετε ότι 5. *Να σχεδιάσετε ένα ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ=ΑΓ. Να πάρετε σημείο Μ στην πλευρά ΑΒ και να συγκρίνετε τα τμήματα ΜΑ και ΜΒ. 6. *α) Να αποδείξετε ότι κάθε ύψος τριγώνου δεν υπερβαίνει καμιά από τις προσκείμενες πλευρές του. β) Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ να αποδείξετε τις ανισότητες : i) β + γ υ α < ii) υα + υβ + υ γ < τ 7. *Σε καθε οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ να αποδείξετε ότι ισχύει : α) β + γ - α υ α > β) υα + υβ + υ γ > τ 8. *Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ<ΑΓ φέρουμε τη διάμεσο ΑΜ, να αποδείξετε ότι o AMB < 90 και o AM Γ > 90. 5