. Αρμονική ιέγερση στην Βάση Μονοβάθμιου Ταλαντωτή (1-DF) & Ελαστικά Φάσματα Απόκρισης ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ.1 Υπολογισμός σχετικής μετατόπισης Χ. Υπολογισμός ολικής μετατόπισης Υ.3. Ελαστικό φάσμα απόκρισης.4 Κάτι ακόμα για τα ελαστικά φάσματα απόκρισης Πρόσθετο ιάβασμα υναμική απλών συστημάτων από άλλα ελληνικά ή ξένα βασικά βιβλία δυναμικής των κατασκευών (π.χ Chopra 1.1-1.7,.1,., 3.1, 3., 6). Κεφάλαιο από «ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Ε ΑΦΟ ΥΝΑΜΙΚΗΣ» του καθ. Γ. Γκαζέτα
.1 Υπολογισμός σχετικής μετατόπισης Χ Εξίσωση δυναμικής ισορροπίας M Y&& + C& + K = 0 Y = + U M & + C& + K = MU& για αρμονική διέγερση: U iωt = Ue U& = Ω U e iωt και τελικώς: M&& με + C& + K = F = Ω MU F e iωt Υπενθύμιση: [e iωt = cosωt + i sin Ωt] Επίλυση.... 1 + t/t = 1 + όπου Χ 1 είναι η «μεταβατική» συνιστώσα και Χ είναι η «μόνιμη» συνιστώσα της μετατόπισης που παρουσιάζει και το μεγαλύτερο ενδιαφέρον (γιατί;)
Η «μεταβατική» συνιστώσα της μετατόπισης (Χ1) αποτελεί αποσβενυμένη ελεύθερη ταλάντωση με εξίσωση: ξωt 1 = e ( Acosω Dt + B sinω Dt ) K Όπου: ξ = C / KM, = και M ω ω D = ω 1 ξ Προέξτε ότι η συνιστώσα αυτή έχει συχνότητα ίση με την ιδιο-συχνότητα του ταλαντωτή (ΟΧΙ με την συχνότητα της διέγερσης) Η «μόνιμη» συνιστώσα της μετατόπισης (Χ ) είναι αρμονική, με συχνότητα ίση προς αυτή της διέγερσης (Ω) και διαφορά φάσης (φ) από την διέγερση: i( Ωt φ ) = ( ST A) e όπου ST F Ω = = K ω U o A = [1 ( 1 Ω / ω ) ] + 4ξ ( Ω / ω ) tanφ = ξ ( Ω / ω ) 1 ( Ω / ω )
Άσκηση για την τάξη: Με βάση τους προηγούμενους ορισμούς και τα σχήματα για τον δυναμικό συντελεστή Α και την διαφορά φάσης φ, να διατυπώσετε τους βασικούς μηχανισμούς και το φυσικό νόημα της απόκρισης (/U)MA στις παρακάτω τρεις περιπτώσεις: I. Περιοχή Ω/ω <<<1.0 II. Περιοχή Ω/ω = 1.0 III. Περιοχή Ω/ω >>>1.0 Παραδείγματα από την καθημερινή πράξη του μηχανικού (αλλά ακόμη και από την καθημερινή ζωή) θα βοηθήσουν στην καλύτερη κατανόηση και είναι ευπρόσδεκτα.
. Υπολογισμός ολικής μετατόπισης Υ, (ταχύτητας και επιτάχυνσης) Y = U + = U e + iωt iφ iωt Υ = (U + e )e = e i( Ωt φ ) Y e iωt Y = (U + cosφ ) i( sinφ ) Μετά από αδιαστατοποίηση ως προς την διέγερση της βάσης Y U Y U Y iφ = = 1 + e, Ω = A U U U ω και τελικώς, Y Ω iφ ή (από κάποια περίεργη = = 1 + Αe Y Y U ω = A U U σύμπτωση που αξίζει να αποδείξετε) Για αρμονική διέγερση οι αδιαστατοποιημένες εκφράσεις της σχετικής και της ολικής μετατόπισης, που διατυπώθηκαν προηγουμένως, ισχύουν φυσικά και για τις αντίστοιχες ταχύτητες και επιταχύνσεις. Έτσι, μπορούμε να ορίσουμε τους εξής δύο «δυναμικούς συντελεστές»: & && Y Y& Y&& A = = = U U& U& A Y = = = U U& U& A Y Και σε αυτή την περίπτωση αξίζει να ελέγξετε το φυσικό νόημα των ανωτέρω διαγραμμάτων για τις χαρακτηριστικές περιπτώσεις όπου Ω/ω<<<1.0, Ω/ω=1 και Ω/ω>>>1.
1 ηη Άσκηση για το το σπίτι: Για Για αρμονική σεισμική διέγερσητου εδάφους, με με εύρος μετατόπισης U Ο =0.15m και και περίοδο Τ διεγ διεγ.=0.40sec, να να υπολογισθούν: 1) 1) Η μέγιστη επιτάχυνση, ταχύτητακαι μετατόπιση στην κορυφήτου πλαισίου του του σχήματος. ) ) Η μέγιστη τέμνουσα δύναμη Τκαι ροπή Μοι οι οποίες ασκούνται στην κορυφήτων τωνδύο υποστυλωμάτων. Ναγίνειηπαραδοχήότιηδοκόςτου πλαισίου είναι απολύτως άκαμπτηκαι και φέρει συνολικό βάρος (ίδιοκαι πρόσθετο) 500 500 kn. kn. Αντίθετα, τα τα υποστυλώματα είναι εύκαμπτακαι και έχουν μηδενική μάζα. ΕΙ=x10 4 4 knm knm H=5m, ξ=5%
.3 Ελαστικό φάσμα απόκρισης Αρμονική διέγερση Το διάγραμμα μεταβολής του δυναμικού συντελεστή R Υ (Ω/ω) μπορεί να ερμηνευθεί κατά δύο βασικούς τρόπους: A. Για δεδομένο ταλαντωτή, οπότε ω=π/τ=σταθερό, περιγράφει την δυναμική απόκριση για διεγέρσεις διαφορετικής συχνότητας Ω=π/Τ διεγ. B. Για δεδομένη διέγερση, οπότε Ω=σταθερό, περιγράφει την απόκριση διάφορων μονοβάθμιων ταλαντωτών συναρτήσει της ιδιοσυχνότητας ταλάντωσης τους ω=π/τ α, δίνει δηλαδή το ΦΑΣΜΑ (πιθανό εύρος) της ιξωδο-ελαστικής απόκρισης του ταλαντωτή. Η δεύτερη αυτή θεώρηση έχει ιδιαίτερο πρακτικό ενδιαφέρον για τον αντισεισμικό σχεδιασμό των κατασκευών μια και αποτελεί γραφική παράσταση των μέγιστων δράσεων (μετατόπιση, ταχύτητα και επιτάχυνση) που επιβάλλονται στην μάζα μιας κατασκευής λόγω διέγερσης στην βάση της. Έτσι, επεκτάθηκε και σε μη αρμονικές-σεισμικές διεγέρσεις υπό την μορφή των γνωστών μας «Φασμάτων Ελαστικής Απόκρισης», αρχικά από τον Biot (193) και ακολούθως από τον Housner. Ελαστικό «ΦΑΣΜΑ» απόκρισης για αρμονική διέγερση 1.6 1. 6 R Y 5 4 3 1 ιέγερση με (Ü) max =0.30g και Ω=31.4 rad/s ήτ=0.0sec Sa (g) 0.8 0.4 0 0 1 3 Ω/ω 0 0 0.1 0. 0.3 0.4 T (sec)
Ελαστικό «ΦΑΣΜΑ» επιτάχυνσης για ΣΕΙΣΜΙΚΗ διέγερση Φασματική επιτάχυνση Περίοδος, Τ διέγερση ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ελαστικού φάσματος επιταχύνσεων Καταγραφή Λευκάδας Μ=6.4 14/08/003 S a (g) 1.6 1. 0.8 LNG TRANS Μέγιστη επιτάχυνση 0.4 0 διέγερσης 0 0.4 0.8 1. 1.6 T str (s) Εύρος σημαντικών περιόδων της διέγερσης
.4 Κάτι ακόμη για τα Ελαστικά Φάσματα Απόκρισης Οι τρεις «δείκτες δυναμικής συμπεριφοράς» που απεικονίζονται στα συνήθη φάσματα είναι οι εξής: Η μέγιστη σχετική μετατόπιση Χ Ο. Ο δείκτης αυτός είναι ο μόνος που ταυτίζεται με την αντίστοιχη παράμετρο της πραγματικής απόκρισης, μπορεί δε να χρησιμοποιηθεί άμεσα για τον υπολογισμό της μέγιστης τέμνουσας δύναμης στην βάση του ταλαντωτή, από την σχέση F Ο =K. ΗμέγιστηΨΕΥΔΟ-ταχύτητα V Ο =ωχ Ο =(π/τ)χ Ο. Ο δείκτης αυτός έχει μονάδες ταχύτητας, αλλά δεν αντιστοιχεί στην μέγιστη σχετική ή απόλυτη ταχύτητα ταλάντωσης του συστήματος. Ποσοτικά ακριβής είναι η χρήση του στον υπολογισμό της μέγιστης ελαστικής ενέργειας (του ελατηρίου) που συσσωρεύεται στο σύστημα Ε Ο = ½ (Κ Χ Ο ) = ½ (ΜV ) (γιατί;). Επιπλέον, είναι περίπου ίσος προς την τιμή της μέγιστης σχετικής ταχύτητας ταλάντωσης για συστήματα με ιδοσυχνότητα παρεμφερή προς τις δεσπόζουσες συχνότητες της σεισμικής διέγερσης ΗμέγιστηΨΕΥΔΟ-επιτάχυνση Α Ο =ω Χ Ο =(π/τ) Χ Ο. Ο δείκτης αυτός έχει μονάδες επιτάχυνσης, και αντιστοιχεί (με πολύ καλή προσέγγιση) στην μέγιστη απόλυτη επιτάχυνση ταλάντωσης του συστήματος. Ποσοτικά ακριβής είναι η χρήση του στον υπολογισμό της μέγιστης τέμνουσας δύναμης στην βάση του συστήματος, από την σχέση F Ο =K = ΜΑ Ο (γιατί;).
Συνήθη Ελαστικά Φάσματα Απόκρισης Σεισμός El Centro, ξ=% Μέγιστη σχετική μετατόπιση Χ Ο. Μέγιστη ΨΕΥΔΟ-ταχύτητα V Ο =ωχ Ο =(π/τ)χ Ο [Μέγιστη ελαστική ενέργεια Ε Ο = ½ (Κ Χ Ο ) = ½ (ΜV )] Μέγιστη ΨΕΥΔΟ-επιτάχυνση Α Ο =ω Χ Ο =(π/τ) Χ Ο [Μέγιστη τέμνουσα βάσης F Ο =K = ΜΑ Ο ] ΤΡΙ-ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ παρουσίαση φασμάτων Χ Ο V Ο =ωχ Ο Α Ο =ω Χ Ο
ΤΡΙ-ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ παρουσίαση φασμάτων μέγιστη εδαφική επιτάχυνση μέγιστηεδαφική μετατόπιση Σύγκριση: Ψευδο-ταχύτητας με μέγιστη σχετική ταχύτητα
Σύγκριση: Ψευδοεπιτάχυνσης με μέγιστη επιτάχυνση η Άσκηση για το σπίτι: Για την σεισμική διέγερση El Centro, να υπολογισθούν: 1) Η μέγιστη επιτάχυνση, ψευδοταχύτητα και ψελυδο-μετατόπιση στην κορυφή του πλαισίου του σχήματος. ) Η μέγιστη τέμνουσα δύναμη Τ και ροπή Μ οι οποίες ασκούνται στην βάση των δύο υποστυλωμάτων. Ναγίνειηπαραδοχήότιηδοκόςτου πλαισίου είναι απολύτως άκαμπτη και φέρει συνολικό βάρος (ίδιο και πρόσθετο) 500 kn. Αντίθετα, τα υποστηλώματα είναι εύκαμπτα και έχουν μηδενική μάζα. K=1EI/H 3 3 ΕΙ=x10 4 4 knm knm H=5m, ξ=5%
3 ηη Άσκηση για το το σπίτι: Για Για αρμονική σεισμική διέγερση, με με εύρος μετατόπισης U Ο =0.15m και και περίοδο Τ διεγ διεγ.=0.40sec, να να υπολογισθούνκαι καινα να σχεδιασθούν: 1)Το ελαστικό φάσματης σχετικής μετατόπισηςγια ξ=%. )Το ελαστικό φάσματης Ψευδο-ταχύτηταςκαι καιτο το ελαστικό φάσμα της της μέγιστης σχετικής ταχύτηταςγια ξ=% (ένα διάγραμμα) 3)Το ελαστικό φάσματης Ψευδο-επιτάχυνσηςκαι καιτο το ελαστικό φάσμα της της μέγιστης επιτάχυνσηςγια ξ=% (σε (σεένα σχήμα) 4)Ο λόγοςτων φασμάτωντου του ερωτήματος και και ο λόγοςτων φασμάτωντου του ερωτήματος 3 (σε (σεένα σχήμα) Να Να γίνει σύγκρισημε μετα τα αντίστοιχα διαγράμματα-φάσματααπό απότον σεισμότου τουel El Centro και καινα να εντοπισθούνοι οι βασικές ομοιότητεςκαι καιοι οι διαφορές.