ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑ : ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ : ΚΑΡΠΕΤΗΣ ΧΡΗΣΤΟΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑ : ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ : ΚΑΡΠΕΤΗΣ ΧΡΗΣΤΟΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Στατιστικές µονάδες. Στατιστικά γνωρίσµατα και µεταβλητές Οι σηµαντικότερες έννοιες οι οποίες συναντώνται στα πλαίσια της παραγράφου αυτής είναι οι εξής : I. Στατιστική µονάδα καλείται το µέλος ενός πληθυσµού. II. Μεταβλητή καλείται το στατιστικό γνώρισµα, δηλαδή το κοινό χαρακτηριστικό, των µελών ενός πληθυσµού. III. Ποιοτική µεταβλητή συνιστά εκείνη η µεταβλητή της οποίας οι τιµές δεν µπορούν να µετρηθούν αλλά µόνο να ταξινοµηθούν σε µία συγκεκριµένη κατηγορία. IV. Ποσοτική µεταβλητή συνιστά εκείνη η µεταβλητή οι τιµές της οποίας είναι αριθµοί αναφερόµενοι σε συγκεκριµένες µονάδες. V. ιατάξιµη µεταβλητή είναι εκείνη η µεταβλητή οι παρατηρήσεις της οποίας δεν µπορούν να µετρηθούν αλλά µπορούν να καταταγούν κατά µία φυσική ιεράρχηση. Εάν η ιεράρχηση αυτή µπορεί να γίνει κατά τρόπο τυχαίο, χωρίς όµως να χάνονται πολύτιµες πληροφορίες, τότε θα λέµε ότι είµαστε στην ονοµαστική κλίµακα. Στην αντίθετη περίπτωση που η ιεράρχηση είναι τέτοια ώστε να αντλούµε από αυτήν πληροφορίες, θα λέµε ότι είµαστε στην τακτική κλίµακα. VI. Συνεχής µεταβλητή είναι η ποσοτική εκείνη µεταβλητή η οποία µπορεί να πάρει την οποιαδήποτε τιµή από ένα δοσµένο διάστηµα. Συνήθως οι συνεχείς µεταβλητές περιγράφουν στοιχεία που προέρχονται από µετρήσεις και οι τιµές τους µπορεί να είναι ακόµα και δεκαδικοί αριθµοί. VII. ιακριτή µεταβλητή είναι η ποσοτική εκείνη µεταβλητή η οποία µπορεί να πάρει µόνο συγκεκριµένες ( ακέραιες ) τιµές από ένα δοσµένο σύνολο τιµών. Συνήθως οι διακριτές µεταβλητές περιγράφουν στοιχεία που προέρχονται από απαριθµήσεις. VIII. ιαστρωµατικές παρατηρήσεις είναι εκείνες οι οποίες λαµβάνονται την ίδια χρονική στιγµή IX. Χρονολογικές παρατηρήσεις είναι εκείνες οι οποίες λαµβάνονται σε διαδοχικούς χρόνους.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) Ποια από τα παρακάτω στατιστικά γνωρίσµατα είναι διακριτά και ποια συνεχή ; α ) Ο αριθµός των παιδιών σ ένα νοικοκυριό. β ) Η µηνιαία κατανάλωση ηλεκτρικής ενέργειας από ένα νοικοκυριό. γ ) Ο αριθµός των πλοίων που καταφθάνουν σ ένα λιµάνι. δ ) Η τιµή του χρυσού. ε ) Ο αριθµός των υπαλλήλων µίας εταιρίας. στ ) Η θερµοκρασία. ) Ο επόµενος πίνακας µας δίνει πληροφορίες γύρω από πέντε άτοµα. Φύλο Μισθός Εκπαίδευση Έτη Προϋπηρεσίας Α ( άνδρας ) 50.000 δρχ. Πανεπιστηµιακή 8 Γ ( γυναίκα ) 80.000 δρχ. Μέση 4 Α 0.000 δρχ. Μέση 5 Γ 305.500 δρχ. Πανεπιστηµιακή 0 Γ 95.600 δρχ. Μέση 6 α ) Ποιο από τα παραπάνω γνωρίσµατα είναι ποιοτικά και ποια ποσοτικά ; β ) Σε ποια στατιστικά γνωρίσµατα θα χρησιµοποιήσετε την τακτική και σε ποια την ονοµαστική κλίµακα ; 3 ) Ποια από τα επόµενα στατιστικά γνωρίσµατα µας δίνουν χρονολογικά και ποια διαστρωµατικά δεδοµένα ; α ) Η τιµή µίας µετοχής ανά µέρα τα δύο τελευταία χρόνια. β ) Ο αριθµός των τηλεφωνηµάτων που έγινε από κάθε νοικοκυριό χθες. γ ) Η τιµή των σιτηρών τα τελευταία 50 χρόνια. δ ) Οι καταθέσεις που κάνουν 60 άτοµα σε µία τράπεζα. ε ) Το ετήσιο ύψος βροχόπτωσης µίας περιοχής σε µία περίοδο 00 ετών. στ ) Η κατανάλωση λαγάνας από τους κατοίκους µίας αστικής περιοχής. ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ) ιακριτά στατιστικά γνωρίσµατα : ( α ), ( γ ), ( ε ) Συνεχή στατιστικά γνωρίσµατα : ( β ), ( δ ), ( στ ) Θα πρέπει να παρατηρήσουµε ότι οι οικονοµικές µεταβλητές παρά το γεγονός ότι συνιστούν διακριτές µεταβλητές, στην πραγµατικότητα τις θεωρούµε ως συνεχείς δεδοµένου ότι το πλήθος των τιµών που µπορούν να πάρουν µέσα από ένα διάστηµα τιµών, είναι πάρα πολύ µεγάλο. 3

) α. Ποιοτικά χαρακτηριστικά : Φύλο & εκπαίδευση Ποσοτικά χαρακτηριστικά : Μισθός & έτη προϋπηρεσίας. β. Ονοµαστική κλίµακα : Φύλο Τακτική κλίµακα : Μισθός, εκπαίδευση & έτη προϋπηρεσίας. 3 ) Χρονολογικά δεδοµένα : ( α ), ( γ ), ( ε ) ιαστρωµατικά δεδοµένα : ( β ), ( δ ), ( στ ). Κατανοµές Συχνοτήτων &.3Απόλυτη και Σχετική Συχνότητα Άσκηση Στον παρακάτω πίνακα δίνονται οι εκτιµήσεις του Ο.Η.Ε. για το προσδοκώµενο όριο ζωής ( σε χρόνια ) στην περίπτωση 3 εθνών : Πίνακας. 39 44 36 47 4 4 4 47 47 44 44 45 45 45 45 46 5 48 48 50 50 48 48 48 49 46 50 53 53 50 54 5 5 5 5 5 55 59 53 5 57 5 54 5 53 60 6 60 60 56 48 55 57 6 6 6 6 63 55 63 64 64 56 6 5 65 54 65 60 67 64 63 67 65 65 66 64 66 67 64 7 69 70 70 69 70 70 68 7 69 69 7 68 7 7 7 7 70 74 73 74 73 7 7 7 74 75 7 75 74 75 74 74 73 75 73 74 74 75 74 76 76 75 76 75 77 76 77 76 75 77 Να κατασκευασθούν : ο πίνακας συχνοτήτων και σχετικών συχνοτήτων, το πολύγωνο συχνοτήτων καθώς και το κυκλικό διάγραµµα. Λύση Για την κατασκευή του πίνακα συχνοτήτων και του πίνακα σχετικών συχνοτήτων ακολουθούµε τα παρακάτω βήµατα : ο Βήµα : Προσδιορίζουµε το πλάτος d του δείγµατος µε τη βοήθεια της ακόλουθης σχέσης : d = Max x i Mi x i ( ) όπου : Max x i (Mi x i ) το µεγαλύτερο (µικρότερο) στοιχείο του δείγµατος. 4

ο Βήµα : Προσδιορίζουµε τον αριθµό των κλάσεων µέσω του ακόλουθου εµπειρικού τύπου : όπου : το µέγεθος του δείγµατος = + 3,3 log 0 ( ) Να σηµειωθεί ότι ο αριθµός των κλάσεων που προκύπτει βάσει της παραπάνω σχέσεως είναι ενδεικτικός. Συνήθως επιλέγεται ένας αριθµός ελαφρώς µεγαλύτερος. 3 ο Βήµα : Προσδιορίζουµε το πλάτος l των κλάσεων µέσω της ακόλουθης σχέσης : l = d ( 3 ) 4 ο Βήµα : Προσδιορίζουµε τα διαστήµατα και τα σύνορα των κλάσεων. 5 ο Βήµα : Προσδιορίζουµε την κεντρική τιµή χ των κλάσεων µε τη βοήθεια της ακόλουθης σχέσης : Ανώτερο όριο κλάσης + Κατώτερο όριο κλάσης χ = ( 4 ) 6 ο Βήµα : Καθώς διαβάζουµε τα στοιχεία του πίνακα σηµειώνουµε µε µία πλάγια γραµµή ( / ) σε πια κλάση ανήκει κάθε ένα από αυτά. 7 ο Βήµα : Με τη βοήθεια του έκτου βήµατος προσδιορίζουµε τις απόλυτες συχνότητες h(α ) ή h, δηλαδή τον αριθµό των στοιχείων που εµπεριέχει η κάθε κλάση. 8 ο Βήµα : Προσδιορίζουµε τις σχετικές συχνότητες f (α ) ή f µε τη βοήθεια της επόµενης σχέσης : f(α ) = h(α ) ( 5 ) Βάσει των στοιχείων του πίνακα, το µέγιστο και το ελάχιστο στοιχείο του δείγµατος έχουν αντιστοίχως ως εξής : Max x i = x 6 = 77 & Mi x i = x 3 = 36 εδοµένου ότι η απόλυτη συχνότητα h(α ) συνιστά τον αριθµό των στοιχείων της κλάσης, για το σύνολο των απόλυτων συχνοτήτων θα ισχύει ότι h(α ) = = Από τη σχέση (5) προκύπτει ότι f(α = h(α = ) ) = = = 5

Κατά συνέπεια το πλάτος d του δείγµατος θα έχει ως εξής : d = Max x i Mi x i = 77 36 d = 4 έτη εδοµένου ότι το µέγεθος του δείγµατος ισούται µε 3, δηλαδή = 3, ο αριθµός των κλάσεων [ ο οποίος προσδιορίζεται µέσω της σχέσης ( ) ] θα έχει ως ακολούθως : = + 3,3 log0 3 = + (3,3) (,7) 7,986 ή = 8 Με άλλα λόγια τα στοιχεία του πίνακα θα τα οµαδοποιήσουµε σε 8 κλάσεις, το πλάτος των οποίων, l, θα το προσδιορίσουµε µε τη βοήθεια της σχέσης ( 3 ). Ειδικότερα : l = d l = 4 = 5,5 = 5 έτη 8 εδοµένου ότι η µικρότερη παρατήρηση είναι τα 36 χρόνια, ως κατώτερο όριο της κλάσεως θα µπορούσαµε να θέσουµε τα 35 έτη ( καθώς τα 35 έτη αποτελεί το πολλαπλάσιο του 5 το οποίο βρίσκεται εγγύτερα της µικρότερης παρατήρησης, δηλαδή των 36 ετών). Η πρώτη λοιπόν κλάση θα δίνεται από το διάστηµα [ 35, 40 ) 3. Η δεύτερη κλάση θα δίνεται από το διάστηµα [ 40, 45 ), η τρίτη από το διάστηµα [ 45, 50 ) κ.ο.κ.. εδοµένου ότι ο µέγιστος αριθµός των κλάσεων έχει οριστεί στις 8, η τελευταία κλάση θα δίνεται από το διάστηµα [ 70, 75 ). Η τελευταία ωστόσο αυτή Πίνακας. Κλάσεις Κεντρική Τιµή Κλάσης χ Σηµείωση Απόλυτη Συχνότητα h Σχετική Συχνότητα f [ 35, 40 ) 37,5 // /3 0,05 [ 40, 45 ) 4,5 ////// 6 6/3 0,046 [ 45, 50 ) 47,5 //////////////// 6 6/3 0, [ 50, 55 ) 5,5 ///////////////////// /3 0,60 [ 55, 60 ) 57,5 //////// 8 8/3 0,06 [ 60, 65 ) 6,5 ////////////////// 8 8/3 0,37 [ 65, 70 ) 67,5 /////////////// 5 5/3 0,5 [ 70, 75 ) 7,5 ///////////////////////////// 9 9/3 0, [ 75, 80 ) 77,5 //////////////// 6 6/3 0, 9 h = 3 f = = 9 = 3 Το άνω όριο της πρώτης αυτής κλάσης, δηλαδή τα 40 έτη, αποτελούν το άθροισµα του κάτω ορίου της κλάσης, δηλαδή των 35 ετών, µε το πλάτος l της κλάσης (το οποίο όπως είδαµε ισούται µε 5 έτη). Με άλλα λόγια έχουµε ότι 40 = 35 + 5. 6

κλάση δεν περιλαµβάνει συνολικά 6 παρατηρήσεις. Έτσι υποχρεωνόµαστε να προσθέσουµε µία ακόµα κλάση, η οποία δίνεται από το διάστηµα [ 75, 80 ). Κατ αυτόν τον τρόπο ο αριθµός των κλάσεων αυξάνεται από 8 σε 9 και το σύνολο αυτών παρουσιάζεται στην πρώτη στήλη του πίνακα. Στο πέµπτο βήµα υπολογίζουµε τη κεντρική τιµή της κάθε κλάσης µε τη βοήθεια της σχέσης ( 4 ). Για παράδειγµα η κεντρική τιµή της πρώτης κλάσης υπολογίζεται ως εξής : χ = 35 + 40 = 75 = 37,5 Κατά τρόπο ανάλογο υπολογίζουµε και της κεντρικές τιµές των υπολοίπων κλάσεων, οι οποίες και παρουσιάζονται στη δεύτερη στήλη του πίνακα.. Στα πλαίσια του έκτου βήµατος διαβάζουµε ένα προς ένα τα στοιχεία του πίνακα. και σηµειώνουµε µε µία πλάγια γραµµή την κλάση στην οποία κάθε ένα από αυτά ανήκει. Στη συνέχεια αθροίζουµε τις πλάγιες γραµµές και κατ αυτόν τον τρόπο προσδιορίζουµε τις απόλυτες συχνότητες, οι οποίες και παρουσιάζονται στην τέταρτη στήλη του πίνακα.. ιαιρώντας τέλος τις απόλυτες συχνότητες µε το συνολικό αριθµό των παρατηρήσεων,, παίρνουµε τις σχετικές συχνότητες f. Για παράδειγµα η σχετική συχνότητα της πρώτης κλάσης έχει ως εξής : f = 3 0,05 Με άλλα λόγια το προσδοκώµενο όριο ζωής δε ξεπερνά τα 40 έτη, για το,5 % των εθνών. Βάσει του πίνακα. κατασκευάζεται και το πολύγωνο των συχνοτήτων ( frequecy polygo ), το οποίο και παρουσιάζεται µέσω του γραφήµατος.. Το γράφηµα αυτό δεν είναι τίποτα άλλο από το ιστόγραµµα των απόλυτων συχνοτήτων, ενώ η κόκκινη γραµµή ενώνει το µέσω του άνω µέρους του παραλληλογράµµου που αντιστοιχεί σε κάθε κλάση 4. Tο τρισδιάστατο κυκλικό γράφηµα ( pie chart ) των απόλυτων συχνοτήτων παρουσιάζεται στο γράφηµα.. Για να κατασκευάσουµε το γράφηµα αυτό θα πρέπει καταρχήν να προσδιορίσουµε τον αριθµό των µοιρών που αντιστοιχεί στο κάθε κοµµάτι της πίττας. Για να το πετύχουµε αυτό πολλαπλασιάζουµε την σχετική συχνότητα f, =,., 9, µε το 360 ( µε τον αριθµό δηλαδή των µοιρών του κύκλου ). Στη συνέχεια κατασκευάζουµε ένα κύκλο και µε τη βοήθεια ενός µοιρογνωµονίου χαράσσουµε τα κοµµάτια της πίττας. Για παράδειγµα, για να κατασκευάσουµε το κοµµάτι της πίττας που αντιστοιχεί στην πρώτη κλάση, πολλαπλασιάζουµε την σχετική συχνότητα f = /3 µε το 360. Έτσι βρίσκουµε ότι η γωνία που θα σχηµατίζει το πρώτο κοµµάτι της πίττας θα ισούται µε ( /3 ) 360 ο 5,5 ο Βάσει του παραπάνω αποτελέσµατος και µε τη βοήθεια του µοιρογνωµονίου σχηµατίζουµε το πρώτο κοµµάτι της πίττας. Ενεργώντας κατά τρόπο ανάλογο χωρίζουµε το υπόλοιπο µέρος του κύκλου σε 8 κοµµάτια. 4 Αυτό το µέσο αντιστοιχεί στην κεντρική τιµή της κάθε κλάσης που υπολογίσαµε στο πέµπτο βήµα 7

Frequecy Polygo 33 30 7 4 No of obs 8 5 9 6 3 0 [35,40) [40,45) [45,50) [50,55) [55,60) [60,65) [65,70) [70,75) [75,80) Life Expectacy. Pie Chart 6 6 6 9 5 8 8. 8

Άσκηση Σ ένα εργοστάσιο ρωτήθηκαν 40 εργαζόµενοι µε τι τρόπο πηγαίνουν στη δουλειά τους. Είχαµε τις ακόλουθες παρατηρήσεις : 4 3 5 5 4 4 5 4 5 3 όπου = ηµόσιο Μέσο, = Ιδιωτικό Μέσο, 3 = Μηχανή, 4 = Ποδήλατο, 5 = Οδοιπορικώς. Να κατασκευασθούν : ο πίνακας συχνοτήτων, το ακιδωτό και το κυκλικό διάγραµµα. Λύση Όπως διαπιστώνουµε, ο αριθµός των παρατηρήσεων της παρούσης άσκησης είναι κατά πολύ µικρότερος σε σχέση µε εκείνον του προηγούµενου προβλήµατος. Ως εκ τούτου τίθεται ένα ερώτηµα αναφορικά µε την αναγκαιότητα κατάταξης των παρατηρήσεων σε κλάσεις συγκεκριµένου αριθµού και εύρους. Εάν ακολουθούσαµε την γνωστή διαδικασία προσδιορισµού του αριθµού και του εύρους των κλάσεων θα βρισκόµασταν προ εκπλήξεως. Ακολουθώντας τα βήµατα έως και 3 θα βρίσκαµε ότι : ον Το πλάτος του δείγµατος, d, ισούται µε d = Max x i Mi x i = 5 d = 4 ον Ο αριθµός των κλάσεων,, θα έχει ως εξής : = + 3,3 log0 40 = + (3,3) (,60) 6,87 ή = 6 3 ον Το εύρος των κλάσεων, l, θα ισούται µε l = d = 4 6,87 0,636 l = Όπως προκύπτει από το τρίτο βήµα, κάθε µία από τις κλάσεις δεν µπορεί να περιλαµβάνει περισσότερες από µία παρατηρήσεις. εδοµένου ότι οι δυνατές τιµές της µεταβλητής Χ είναι,, 3, 4 & 5 και δεδοµένου ότι κάθε µία από αυτές τις τιµές αντιστοιχεί σε ένα συγκεκριµένο τύπο µεταφορικού µέσου, η ταξινόµηση των παρατηρήσεων θα µπορούσε να γίνει βάσει των τιµών αυτών. Θέτοντας όπου α =, α =,., α 5 = 5, κατασκευάζουµε τον ακόλουθο πίνακα συχνοτήτων : 9

Πίνακας.3 α Σηµείωση Απόλυτη Συχνότητα Σχετική h(α ) Συχνότητα f(α ) α = ////////// 0 0/40 0,5 α = //////////////////// 0 0/40 0,50 α 3 = 3 // /40 0,05 α 4 = 4 //// 4 4/40 0,0 α 5 = 5 //// 4 4/40 0,0 5 h(α ) = 40 f(α ) = = 5 = Στη δεύτερη στήλη του παραπάνω πίνακα έχουµε σηµειώσει τη συχνότητα εµφάνισης της απάντησης ( όπου =,., 5 ). Αθροίζοντας τις γραµµές αυτές βρίσκουµε τις απόλυτες συχνότητες, οι οποίες παρουσιάζονται στην τρίτη στήλη του πίνακα και το άθροισµα των οποίων ισούται µε τον συνολικό αριθµό των παρατηρήσεων ( = 40). ιαιρώντας τις απόλυτες συχνότητες µε το προσδιορίζουµε τις σχετικές συχνότητες, οι οποίες παρουσιάζονται στην τέταρτη στήλη του πίνακα.3. Όπως προκύπτει από τη στήλη αυτή το 5 % των εργαζοµένων χρησιµοποιεί δηµόσιο µεταφορικό µέσο προκειµένου να µεταβεί στην εργασία του. Το 50 % χρησιµοποιεί ιδιωτικό µεταφορικό µέσο, το 5 % πηγαίνει στη δουλειά του µε µηχανή, το 0 % πηγαίνει µε ποδήλατο ενώ ένα 0 % µεταβαίνει στην εργασία του οδοιπορικώς. Bar Chart 0 8 6 4 f(a ) 0 8 6 4 0 3 4 5 a.3 0

Pie Chart 0,0 % 0,0 % 4 5 5,0 % 5,0 % 3 50,0 %.4 Στα γραφήµατα.3 &.4 παρουσιάζονται αντιστοίχως το ακιδωτό και το κυκλικό διάγραµµα, για την κατασκευή των οποίων χρησιµοποιήθηκαν τα δεδοµένα του πίνακα.3. Άσκηση 3 Να σχεδιασθεί το κυκλικό διάγραµµα των επόµενων δεδοµένων : Πίνακας.4 : Μέσα µηνιαία έξοδα σε χιλ. δρχ. Είδος 988 990 Τρόφιµα 64 84 Ρούχα 0 8 Ενοίκιο 4 5 ιάφορα 7 30 Λύση Το κυκλικό διάγραµµα χρησιµοποιείται όταν επιθυµούµε να παρουσιάσουµε την ποσοστιαία συµµετοχή επιµέρους µεγεθών σ ένα ολικό µέγεθος. Στην προκειµένη περίπτωση, το ολικό µέγεθος είναι η συνολική µέση µηνιαία κατανάλωση για τα έτη 988 και 990 ενώ τα επί µέρους µεγέθη είναι οι δαπάνες κατ είδος. Ως εκ τούτου για τα έτη 988 και 990 µπορούµε να παράγουµε δύο κυκλικά διαγράµµατα ( ένα για το κάθε έτος ) στα οποία θα παρουσιάζουµε την ποσοστιαία συµµετοχή των δαπανών κατ είδος στη µέση µηνιαία δαπάνη.

Εάν x i, i = (τρόφιµα), (ρούχα), 3 (ενοίκια) & 4 (διάφορα), είναι η δαπάνη κατ είδος, η συνολική µέση µηνιαία δαπάνη (Χ, = 988, 990) για τα έτη 988 και 990 έχει αντιστοίχως ως εξής : 4 X = x = 43 & X = x = 94 988 i 990 i = Βάσει των µεγεθών Χ 988 και Χ 990 προκύπτει ο ακόλουθος πίνακας : Πίνακας.5 Είδος 988 990 [()/()] 00 ( ) ( 3 ) [(3)/(4)] 00 Τρόφιµα 64 44,76 % 84 43,30 % Ρούχα 0 3,99 % 8 4,43 % Ενοίκιο 4 9,37 % 5 6,80 % ιάφορα 7,89 % 30 5,46 % Χ 988 = 43 Χ 00 % 990 = 94 ( ) ( 4 ) 00 % 4 i = i Με τη βοήθεια των δεδοµένων του παραπάνω πίνακα παίρνουµε τα διαγράµµατα.5 &.6 στα οποία παρουσιάζουµε τη συµµετοχή των εξόδων κατά κατηγορία δαπάνης στη συνολική δαπάνη για τα έτη 988 και 990 αντιστοίχως. Pie Chart for 988 % 9% 45% 4% Τρόφιµα Ρούχα Ενοίκιο ιάφορα.5

Pie Chart for 990 5% 7% 44% 4% Τρόφιµα Ρούχα Ενοίκιο ιάφορα.6 Όπως προκύπτει από τη µελέτη των δύο παραπάνω γραφηµάτων, µεταξύ των ετών 988 και 990 είχαµε µία ελαφριά µείωση της συµµετοχής των τροφίµων στη µέση µηνιαία δαπάνη από 45 % σε 44 %. Ελαφρώς µεγαλύτερη ήταν η µείωση στην περίπτωση των δαπανών για ενοίκια ( από 9 % σε 7 % ). Αντιθέτως η ποσοστιαία συµµετοχή των διαφόρων δαπανών στη µέση µηνιαία δαπάνη αυξήθηκε σηµαντικά από % σε 5 %. Τέλος η συµµετοχή της δαπάνης για ρούχα στη µέση µηνιαία δαπάνη παρέµεινε σταθερή στο 4 % περίπου..5 Αθροιστικές Κατανοµές Συχνοτήτων Η απόλυτη αθροιστική κατανοµή συχνοτήτων ( absolute cumulative frequecy distributio ) H υπολογίζεται µε τη βοήθεια της ακόλουθης σχέσης : q H q = h ( 6 ) όπου q =,.,. = Η σχετική αθροιστική κατανοµή συχνοτήτων ( relative cumulative frequecy distributio ) F προσδιορίζεται µε τη βοήθεια της σχέσης ( 5 ) ως εξής : q ( 5) q q h (6) Hq F q = f ( 7 ) F q = F q = h F q = ( 8 ) = όπου q =,.,. = = 3

Άσκηση Οι τιµές του πίνακα.6 είναι τα βάρη 48 αθλητών πυγµαχίας : Πίνακας.6 4 06 0 36 4 5 93 34 03 5 9 5 09 37 48 7 4 7 8 5 6 04 3 5 53 33 35 88 8 5 9 5 05 7 3 00 55 30 95 5 0 06 0 38 Να οµαδοποιηθούν οι παραπάνω τιµές και να κατασκευασθούν ( i ) ο πίνακας συχνοτήτων, σχετικών συχνοτήτων, αθροιστικών συχνοτήτων και αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων. ( ii ) Να κατασκευασθεί το ιστόγραµµα, το πολύγωνο συχνοτήτων, το ραβδόγραµµα και το πολύγωνο των αθροιστικών συχνοτήτων. Λύση Στο πρώτο βήµα της ακολουθούµενης διαδικασίας για την κατασκευή του πίνακα συχνοτήτων, θα προσδιορίσουµε το εύρος του δείγµατος µε τη βοήθεια της σχέσης ( ). Πιο συγκεκριµένα θα έχουµε ότι : d = Max x i Mi x i = 55 88 d = 67 κιλά εδοµένου ότι έχουµε στη διάθεσή µας συνολικά 48 τιµές ( δηλ. = 48 ), ο αριθµός των κλάσεων ( βάσει των οποίων θα µπορούσαµε να οµαδοποιήσουµε τα βάρη των αθλητών ) θα προσδιορισθεί µε τη βοήθεια της σχέσης ( ). Ειδικότερα : = + 3,3 log048 = + 5,548 = 6,548 7 κλάσεις Το εύρος των κλάσεων θα προσδιορισθεί µε τη βοήθεια της σχέσης ( 3 ). Πιο συγκεκριµένα από τη σχέση αυτή προκύπτει ότι : l = d l 0 = 67 = 0,3 κιλά 6,548 Αν το εύρος της κάθε κλάσης οριστεί στα 0 κιλά, κάποιες τιµές του πίνακα.6 δε θα περιλαµβάνονται σε καµία από τις 7 κλάσεις. Για το λόγο αυτό προσθέτουµε ακόµα µία κλάση, δεχόµαστε δηλαδή ότι = 8. Κατά συνέπεια οι τιµές του πίνακα.6 θα ταξινοµηθούν σε 8 κλάσεις µε εύρος 0 κιλά. εδοµένου ότι το 80 είναι το πλησιέστερο πολλαπλάσιο του 0 το οποίο βρίσκεται εγγύτερα του 88 ( δηλαδή της µικρότερης παρατήρησης ), ως κάτω όριο της πρώτης κλάσης µπορούµε να θεωρήσουµε τα 80 κιλά. Οι κλάσεις παρουσιάζονται στην πρώτη στήλη του πίνακα.7 ενώ στη δεύτερη στήλη του ίδιου πίνακα παρουσιάζονται οι κεντρικές τιµές των κλάσεων. Στη συνέχεια διαβάζουµε τις τιµές του πίνακα.6 και σηµειώνουµε µε µία γραµµή στην τρίτη στήλη του πίνακα.7, την κλάση που ανήκει κάθε µία από αυτές. Αθροίζοντας τις γραµµές αυτές προσδιορίζουµε τις απόλυτες συχνότητες h, = έως 8, και τις παραθέτουµε στην τέταρτη στήλη του πίνακα.7. Το άθροισµα των απόλυτων συχνοτήτων για από έως 8 ισούται µε το µέγεθος του δείγµατος, δηλαδή 8 = h = 48 4

Πίνακας.7 Κεντρική Τιµή Κλάσεις Κλάσης χ Σηµείωση Απόλυτη Συχνότητα h Σχετική Συχνότητα f Απόλυτη Αθροιστική Συχνότητα H q Σχετική Αθροιστική Συχνότητα F q [80,90 ) 85 / /48 0,0 0,0 [90,00) 95 /// 3 3/48 0,06 4 0,083 [00,0) 05 /////// 7 7/48 0,46 0,9 [0,0) 5 ///////////// 3 3/48 0,7 4 0,500 [0,30) 5 ///////////// 3 3/48 0,7 37 0,77 [30,40) 35 /////// 7 7/48 0,46 44 0,97 [40,50) 45 // /48 0,04 46 0,959 [50,60) 55 // /48 0,04 48 8 h = 48 f = = 8 = ιαιρώντας τις απόλυτες συχνότητες µε το µέγεθος του δείγµατος ( ) παίρνουµε τις σχετικές συχνότητες f, =,., 8, οι οποίες και παρουσιάζονται στην πέµπτη στήλη. Το άθροισµα των σχετικών συχνοτήτων για από έως 8 ισούται µε τη µονάδα, δηλαδή 8 = f = Οι απόλυτες αθροιστικές συχνότητες παρουσιάζονται στην έκτη στήλη του πίνακα.7 και προσδιορίζονται µε τη βοήθεια της σχέσης (6). Πιο συγκεκριµένα έχουµε ότι : Για q = : H = h = h = = Για q = : H = h = h + h = + 3 = 4 = 3 Για q = 3 : H = h = h + h + h = + 3 + 7 = 3 = 3 9 Για q = 9 : H = h = + 3 + 7 + 3 + 3 + 7 + + = 48 9 = Οι σχετικές αθροιστικές συχνότητες παρουσιάζονται στην έβδοµη στήλη του πίνακα.7 και προσδιορίζονται µε τη βοήθεια της σχέσης (7). Πιο συγκεκριµένα έχουµε ότι : 5

Για q = : F = f = f = 0,0 = Για q = : F = f = f + f = 0,0 + 0,06 = 0,083 = 3 Για q = 3 : F = f = f + f + f = 0,0 + 0,06 + 0,46 = 0,9 3 = 3 Για q = 9 : 9 F = f = 0,0 + 0,06 + 0,46 + 0,7 + 0,7 + 0,46 + 0,04 + 0,04 = 9 = Αναφορικά µε τις σχετικές αθροιστικές συχνότητες, η χρήση της σχέσης ( 8 ) θα µας οδηγούσε στα ίδια αποτελέσµατα. Για παράδειγµα για q = 9 θα είχαµε ότι H F = = 48 9 48 = 9. Στο γράφηµα.7 παρουσιάζεται το ιστόγραµµα και στο γράφηµα.8 παρουσιάζεται το ραβδόγραµµα. Η διαφορά µεταξύ των δύο γραφηµάτων έγκειται στο ότι µεταξύ των παραλληλογράµµων του ραβδογράµµατος υπάρχει ένα κενό διάστηµα. Τέλος στα γραφήµατα.9 &.0 παρουσιάζονται αντιστοίχως το πολύγωνο των συχνοτήτων και το πολύγωνο αθροιστικών συχνοτήτων. h Histogram 5 4 3 3 3 0 9 8 7 7 7 6 5 4 3 3 0 70 80 90 00 0 0 30 40 50 60 X.7 6

h 4 3 0 9 8 7 6 5 4 3 0 3 7 Bar Chart 3 3 7 80<=x<90 00<=x<0 0<=x<30 40<=x<50 90<=x<00 0<=x<0 30<=x<40 50<=x<60.8 h Frequecy Polygo 4 5 5 3 0 9 8 05 35 7 6 5 4 95 3 45 55 85 0 70 80 90 00 0 0 30 40 50 60 X.9 7

60 Cumulative Frequecy Polygo 55 50 45 44 46 48 40 35 37 H 30 5 4 0 5 0 5 0 4 80 90 00 0 0 30 40 50 60 X.0 Άσκηση Για τα δεδοµένα της άσκησης των παραγράφων. &.3 να κατασκευασθούν οι πίνακες των απόλυτων και των σχετικών αθροιστικών συχνοτήτων. Λύση Πίνακας.8 Κλάσεις Κεντρική Τιµή Κλάσης χ Απόλυτη Συχνότητα h Απόλυτη Αθροιστική Συχνότητα Η q Σχετική Συχνότητα f Σχετική Αθροιστική Συχνότητα F [ 35, 40 ) 37,5 /3 /3 [ 40, 45 ) 4,5 6 8 6/3 8/3 [ 45, 50 ) 47,5 6 4 6/3 4/3 [ 50, 55 ) 5,5 45 /3 45/3 [ 55, 60 ) 57,5 8 53 8/3 53/3 [ 60, 65 ) 6,5 8 7 8/3 7/3 [ 65, 70 ) 67,5 5 86 5/3 86/3 [ 70, 75 ) 7,5 9 5 9/3 5/3 [ 75, 80 ) 77,5 6 3 6/3 9 h = 3 f = = 9 = 8

Προκειµένου να διευκολυνθούµε στην κατασκευή των δύο πινάκων, θα χρησιµοποιήσουµε τα στοιχεία του πίνακα. τα οποία παρουσιάζονται εκ νέου στον πίνακα.8. Οι απόλυτες αθροιστικές συχνότητες ( H q ) υπολογίζονται βάσει της σχέσης ( 6 ) και παρουσιάζονται στην τέταρτη στήλη του εν λόγω πίνακα. Οι σχετικές αθροιστικές συχνότητες ( F q ) υπολογίζονται βάσει της σχέσης ( 8 ) και παρουσιάζονται στην τελευταία στήλη του πίνακα.8..6 Παράµετροι Θέσης ( ή Κεντρικής Τάσης ) Στην περίπτωση που τα δεδοµένα δεν είναι οµαδοποιηµένα σε κλάσεις ο αριθµητικός µέσος ( mea ) x µπορεί να προσδιορισθεί µε έναν από τους παρακάτω τύπους : x = ( x + x +... + x ) = i i= x ( 9 ) x = = ha = ha = = h = ( 0 ) x = f a ( ) όπου x i : η i παρατήρηση του δείγµατος a : η εµφανισθείσα τιµή του Χ γνωρίσµατος h : ο αριθµός εµφάνισης της a ή η απόλυτη συχνότητα f : η σχετική συχνότητα Στην περίπτωση που οι παρατηρήσεις είναι οµαδοποιηµένες σε κλάσεις ο αριθµητικός µέσος προσδιορίζεται µέσω των ακόλουθων σχέσεων : x = = h χ = h χ = = h = ( ) x = f χ ( 3 ) όπου χ : η κεντρική τιµή της κλάσης η οποία προσδιορίζεται µε τη βοήθεια της σχέσης ( 4 ). Για να προσδιορίσουµε τη διάµεσο ( media ) m στην περίπτωση που οι παρατηρήσεις µας δεν είναι οµαδοποιηµένες σε κλάσεις, ον διατάσουµε τις x παρατηρήσεις από την µικρότερη προς την µεγαλύτερη, δηλαδή τις διατάσουµε κατά τρόπο ώστε x < x <. < x, και ον ανάλογα µε το εάν ο συνολικός αριθµός των παρατηρήσεων είναι άρτιος ή περιττός αριθµός, χρησιµοποιούµε έναν από τους δύο κλάδους της ακόλουθης σχέσης προκειµένου να υπολογίσουµε τη διάµεσο : 9

m x + = x + x +, αν, αν = + ( περιττός ) = ( άρτιος ) ( 4 ) Στην περίπτωση που οι παρατηρήσεις µας είναι οµαδοποιηµένες σε κλάσεις, για να προσδιορίσουµε την διάµεσο ον εντοπίζουµε την κλάση για την οποία ικανοποιείται µία από τις παρακάτω σχέσεις : H H ( 5 ) ή F F ( 6 ) όπου H : η απόλυτη αθροιστική συχνότητα & F : η σχετική αθροιστική συχνότητα Εάν για την κλάση [α -, α ) ικανοποιείται µία από τις παραπάνω σχέσεις, τότε είναι πολύ πιθανόν ο διάµεσος να εντοπίζεται εντός αυτής της κλάσης. ον Για την κλάση [α -, α ) για την οποία ικανοποιείται η σχέση ( 5 ) ή ( 6 ) υπολογίζουµε τη διάµεσο µε τη βοήθεια µίας εκ των παρακάτω σχέσεων : m = α + α α h H ( 7 ) m = α + α α f F ( 8 ) Ο γεωµετρικός µέσος ( Geometric Mea ) των παρατηρήσεων x, x,., x, στην περίπτωση που αυτές δεν είναι οµαδοποιηµένες, ορίζεται ως η νιοστή ρίζα του γινοµένου των παρατηρήσεων, δηλαδή : G = x = i x x... x ( 9 ) i= Εάν οµαδοποιήσουµε τις παρατηρήσεις µας και διαπιστώσουµε ότι η α τιµή παρατηρείται h φορές, όπου =,,., ο γεωµετρικός µέσος µε τη βοήθεια της ακόλουθης σχέσης : h h h h G = = α = α α... α = h ( 0 ) όπου h= = Στην περίπτωση που οι παρατηρήσεις µας είναι οµαδοποιηµένες σε κλάσεις, ο γεωµετρικός µέσος προσδιορίζεται µέσω της ακόλουθης σχέσης : 0

h h h h G = = χ = χ χ... χ = h ( ) όπου = h= & χ : η κεντρική τιµή της κλάσης Να παρατηρήσουµε στο σηµείο αυτό ότι ο γεωµετρικός µέσος οµαδοποιηµένων παρατηρήσεων είναι γνωστός και ως σταθµισµένος γεωµετρικός µέσος ( Weighted Geometric Mea ) Άσκηση Οι τιµές του παρακάτω πίνακα είναι οι χρόνοι που µεσολαβούν µεταξύ δύο διαδοχικών τηλεφωνικών κλήσεων, που φτάνουν σ ένα τηλεφωνικό κέντρο. Πίνακας.9 4,0 4,6 4,0 4, 4,5 3,5 4,7 4,9 3,9 4,8 5, 4,4 4,7 4, 4,6 4,9 4, 5,8 4, 4, 4, 5,0 4,8 4,3 3,7 5,4 4,9 4,6 4,3 5,4 5,0 4,5 4,7 4,3 4,8 4, 5,6 4,5 5, 4,6 4,3 5, 4,7 4,7 3, 3, 4,0 3,8 4, 5,3 4, 3,6 4,5 4,4 3,8 5,3 4,5 4,6 4,0 5, Ζητείται : α ) Να προσδιορισθεί ο αριθµητικός µέσος, ο γεωµετρικός µέσος και η διάµεσος ον µε τη χρήση των σχέσεων ( 9 ), ( 9 ) & ( 4 ) και ον µε τη χρήση των σχέσεων ( ), ( 0 ) & ( 8 ) αντιστοίχως. β ) Αφού οµαδοποιηθούν οι παρατηρήσεις σε κλάσεις να προσδιορισθεί ο αριθµητικός µέσος, ο γεωµετρικός µέσος και η διάµεσος. Λύση α. ) Με τη βοήθεια των σχέσεων ( 9 ), ( 9 ) βρίσκουµε ότι: x = 60 60 x = 60 ( x + x +... + x = i 60) 60 i= ( 4,0 + 4,6 +... + 5, ) = = 60 69,7 x = 4,495 60 G = 60 x i = 60 x x... x 60 = 60 60 (4,0) (4,6)... (5,) = 9,09983 0 38 i=

G = 4,460 Για να προσδιορίσουµε τη διάµεσο κατατάσσουµε τις παρατηρήσεις µας κατά αύξουσα τάξη µεγέθους οπότε προκύπτει ο παρακάτω πίνακας : Πίνακας.0 α/α x α/α x α/α x α/α x α/α x α/α x 3, 4,0 4, 3 4,5 4 4,7 5 5, 3, 4,0 4,3 3 4,5 4 4,7 5 5, 3 3,5 3 4, 3 4,3 33 4,6 43 4,8 53 5, 4 3,6 4 4, 4 4,3 34 4,6 44 4,8 54 5, 5 3,7 5 4, 5 4,3 35 4,6 45 4,8 55 5,3 6 3,8 6 4, 6 4,4 36 4,6 46 4,9 56 5,3 7 3,8 7 4, 7 4,4 37 4,6 47 4,9 57 5,4 8 3,9 8 4, 8 4,5 38 4,7 48 4,9 58 5,4 9 4,0 9 4, 9 4,5 39 4,7 49 5,0 59 5,6 0 4,0 0 4, 30 4,5 40 4,7 50 5,0 60 5,8 εδοµένου ότι ο συνολικός αριθµός των παρατηρήσεων ( ) είναι άρτιος ( = = 60 ), η διάµεσος θα προκύψει από τον δεύτερο κλάδο της σχέσης ( 4 ) και θα έχει ως εξής : m = ( ) x + x = x + x = 60 60 30 3 ( 4,5 + 4,5 ) m 60 = 4,5 60+ α. ) Στον πίνακα. έχουµε οµαδοποιήσει τις παρατηρήσεις µας βάσει της συχνότητας εµφάνισης της τιµής ( α ) την οποία παίρνει η µεταβλητή Χ. Στον πίνακα αυτό εκτός από την κατανοµή της απόλυτης συχνότητας ( h ) έχουµε υπολογίσει βάσει της σχέσης ( 6 ) την κατανοµή της αθροιστικής απόλυτης συχνότητας ( Η ), τη σχετική συχνότητα ( f ), την αθροιστική σχετική συχνότητα ( F ), καθώς και τρεις h στήλες στις οποίες παρουσιάζουµε τα γινόµενα α h, α f & α για =,., 3. Η τιµή του αριθµητικού µέσου που προκύπτει βάσει της σχέσης ( ) έχει ως εξής : 3 x = α f x = 4,495 = Όπως διαπιστώνουµε η τιµή του αριθµητικού µέσου που προκύπτει βάσει της σχέσης ( ) είναι ακριβώς η ίδια µε εκείνη που προκύπτει βάσει της σχέσεως ( 9 ). Η τιµή του γεωµετρικού µέσου που προκύπτει βάσει της σχέσης ( 0 ) έχει ως ακολούθως : h h G = χ = 60 h h h 38 = 60 60 α α... α = 9,09983 0 G = 4,460 = 60

Πίνακας. α h H f F α h α f 3, 0,0333333 0,0333333 6,40 0,066667 0,400000 3,5 3 0,066667 0,0500000 3,50 0,0583333 3,5000000 3 3,6 4 0,066667 0,0666667 3,60 0,0600000 3,6000000 4 3,7 5 0,066667 0,0833333 3,70 0,066667 3,7000000 5 3,8 7 0,0333333 0,66667 7,60 0,66667 4,4400000 6 3,9 8 0,066667 0,333333 3,90 0,0650000 3,9000000 7 4,0 4 0,0666667 0,000000 6,00 0,666667 56,0000000 8 4, 4 6 0,0666667 0,666667 6,40 0,733333 8,576000 9 4, 5 0,0833333 0,3500000,00 0,3500000 306,9300 0 4,3 4 5 0,0666667 0,466667 7,0 0,866667 34,880000 4,4 7 0,0333333 0,4500000 8,80 0,466667 9,3600000 4,5 5 3 0,0833333 0,5333333,50 0,3750000 845,8500 3 4,6 5 37 0,0833333 0,666667 3,00 0,3833333 059,697600 4 4,7 5 4 0,0833333 0,7000000 3,50 0,396667 93,4500700 5 4,8 3 45 0,0500000 0,7500000 4,40 0,400000 0,590000 6 4,9 3 48 0,0500000 0,8000000 4,70 0,450000 7,6490000 7 5,0 50 0,0333333 0,8333333 0,00 0,666667 5,0000000 8 5, 5 0,066667 0,8500000 5,0 0,0850000 5,000000 9 5, 3 54 0,0500000 0,9000000 5,60 0,600000 40,6080000 0 5,3 56 0,0333333 0,9333333 0,60 0,766667 8,0900000 5,4 58 0,0333333 0,9666667 0,80 0,800000 9,600000 5,6 59 0,066667 0,9833333 5,60 0,0933333 5,6000000 3 5,8 60 0,066667 5,80 0,0966667 5,8000000 Άθροισµα ~ 60 ~ ~ 69,70 4,495 ~ Γινόµενο ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ 9,09983E+38 εδοµένου ότι οι παρατηρήσεις µας είναι οµαδοποιηµένες, για την εύρεση της διάµεσου θα χρησιµοποιήσουµε τη σχέση ( 8 ) αφού όµως προηγουµένως εντοπίσουµε για ποια τιµή ικανοποιείται η σχέση ( 6 ). Όπως διαπιστώνουµε και από την έκτη στήλη του πίνακα., το / = 0,5 εντοπίζεται µεταξύ F και F ( καθώς 0,450 = F < 0,5 < F = 0,533 ). Ως εκ τούτου έχουµε ότι = και από τη σχέση ( 8 ) προκύπτει ότι : m = α + α α 60 f F = α + α α f ( ) 0,5 F = = 4,4 + 4,5 4,4 0,0833333 ( 0,5 0,45 ) m = 4,55 60 β ) Για να προσδιορίσουµε τον κατά προσέγγιση αριθµό των κλάσεων θα χρησιµοποιήσουµε τη σχέση ( ) από την οποία προκύπτει ότι : = + 3,3 log060 = 6,868 ή 7 3

Με άλλα λόγια θα µπορούσαµε να οµαδοποιήσουµε τις παρατηρήσεις µας σε 7 κλάσεις το εύρος των οποίων θα το προσδιορίσουµε µε τη βοήθεια της σχέσης ( 3 ), αφού όµως προηγουµένως προσδιορίσουµε το πλάτος του δείγµατος µέσω της σχέσης ( ). Από την τελευταία αυτή σχέση, και δεδοµένου ότι Μax x = 5,8 & Mi x = 3,, προκύπτει ότι : d = Max x Mi x = 5,8 3, d =,6 κλήσεις Το εύρος της κλάσης θα έχει κατά συνέπεια ως εξής : l = d =,6 6,868 = 0,379 ή l 0,4 κλήσεις Βάσει των παραπάνω, θα µπορούσαµε να οµαδοποιήσουµε τα δεδοµένα µας σε 7 κλάσεις εύρους 0.4, µε το κάτω όριο της πρώτης κλάσης να ισούται µε 3,. Οι κλάσεις παρουσιάζονται στην πρώτη στήλη του πίνακα.. Στη δεύτερη στήλη του ιδίου πίνακα παρουσιάζονται οι κεντρικές τιµές των κλάσεων, οι οποίες προσδιορίζονται µε τη βοήθεια της σχέσης ( 4 ). Στην τρίτη και τέταρτη στήλη παρουσιάζονται αντιστοίχως οι κατανοµές των απόλυτων συχνοτήτων και των αθροιστικών απόλυτων συχνοτήτων. Τέλος στην πέµπτη στήλη παρουσιάζουµε υπολογισµένες τις δυνάµεις h χ. Πίνακας. Κλάσεις χ h H χ h [3., 3.6) 3,4 3 3 0, 39,304 [3.6, 4.0) 3,8 5 8 9,0 79,3568 [4.0, 4.4) 4, 7 5 7,4 39376574867 [4.4, 4.8) 6,8 7 4 5,6,49 0 4 [4.8, 5.) 5,0 9 5 45,0 9535 [5., 5.6) 5,4 7 58 37,8 3389,5 [5.6, 6.0) 5,8 60,6 33,64 Άθροισµα ~ 60 ~ 30,6 ~ Γινόµενο ~ ~ ~ ~,5336 0 4 Για τον προσδιορισµό του αριθµητικού µέσου θα χρησιµοποιήσουµε τη σχέση ( ). Από τη σχέση αυτή προκύπτει ότι : 7 h χ = x = = 30,6 7 x = 5,77 60 h = Όπως διαπιστώνουµε ο αριθµητικός µέσος που προκύπτει από τη σχέση ( ) είναι µεγαλύτερος εκείνου που προκύπτει από τη σχέση ( 9 ). 4

Για τον προσδιορισµό του γεωµετρικού µέσου θα χρησιµοποιήσουµε τη σχέση ( ) από την οποία προκύπτει ότι : h h 4 G = = 60 χ =,5336 0 G = 5,048 = Όπως γίνεται εύκολα αντιληπτό, ο γεωµετρικός µέσος που προκύπτει από τη σχέση ( ) είναι µεγαλύτερος εκείνου που προκύπτει από τη σχέση ( 9 ). Η διάµεσος θα προσδιορισθεί µε τη βοήθεια της σχέσης ( 7 ), αφού όµως προηγουµένως προσδιορίσουµε την τιµή του για την οποία ικανοποιείται η σχέση ( 5 ). Ο αριθµός / = 60/ = 30 εντοπίζεται µεταξύ των Η 3 = 5 και Η 4 = 4. Εφόσον έχουµε ότι Η 3 < / < Η 4, οδηγούµαστε στο συµπέρασµα ότι = 4 και ως εκ τούτου H = H 4 = 4, Η - = H 3 = 5, α = α 4 = 4,8 & α - = α 3 = 4,4. Κατά συνέπεια από τη σχέση ( 7 ) προκύπτει ότι : m = α + α 60 3 α h 4 3 3 60 4,8 4,4 60 H 3 = 4,4 + 5 m 60 = 4,58 7 Όπως διαπιστώνουµε η διάµεσος που µόλις υπολογίσαµε βρίσκεται πολύ κοντά σε εκείνον που υπολογίσαµε βάσει της σχέσης ( 4 ). Άσκηση ίνονται τα παρακάτω στοιχεία που είναι πρωτογενή στοιχεία µίας έρευνας αγοράς : Πίνακας.3 4,6 8, 3,7 7,8 6,4 5,6 4, 7,7 5,5 7,5 8,6 5,5 7,9 5,3 9,0 9,5 8,0 5,0 7,9 5, 5,4 8,3 7,3 8,8 4,9 5,8 5,0 8,0 5, 6,9 7,7 6,6 8,5 7,8 9,3 4,0 8, 5,9 8,4 4,5 3,6 5,4 4,7 5,5 7,6 5,4 6, 8,3 5,4 7, Ζητείται : Λύση α ) Η οµαδοποίηση των στοιχείων του πίνακα σε κλάσεις. β ) Ο υπολογισµός του αριθµητικού µέσου, της διαµέσου και του γεωµετρικού µέσου α ) Απαραίτητη προϋπόθεση για την οµαδοποίηση των στοιχείων του πίνακα.3 σε κλάσεις, είναι να έχουµε προηγουµένως προσδιορίσει τον αριθµό καθώς και το εύρος των κλάσεων. 5

Για τον κατά προσέγγιση προσδιορισµό του αριθµού των κλάσεων, και δεδοµένου ότι έχουµε συνολικά = 50 παρατηρήσεις, θα χρησιµοποιήσουµε τη σχέση ( ) από την οποία προκύπτει ότι : = + 3,3 log050 = 6,607 ή 7 κλάσεις ε δοµένου ότι η µέγιστη ( Max x ) και η ελάχιστη ( Mi x ) παρατήρηση είναι ίση µε 9,5 και 3,6 αντιστοίχως, το εύρος του δείγµατος θα είναι ίσο µε d = Max x Mi x = 9,5 3,6 d = 5,9 κλήσεις Ως εκ τούτου το εύρος των κλήσεων θα είναι ίσο µε l = d = 5,9 6,607 = 0,8939 ή l 0,9 κλήσεις Όπως γίνεται αντιληπτό από την παραπάνω ανάλυση, οι παρατηρήσεις του πίνακα.3 θα µπορούσαν να οµαδοποιηθούν σε 7 κλάσεις, εύρους 0,9 κλήσεων και µε το κάτω όριο της πρώτης κλάσης να αποτελείται από την µικρότερη παρατήρηση ( καθώς το 3,6 είναι πολλαπλάσιο του 0,9 ). Το σύνολο των κλάσεων και η οµαδοποίηση σ αυτές των παρατηρήσεων παρουσιάζονται στην πρώτη και τρίτη στήλη του πίνακα.4. Στη δεύτερη στήλη του ίδιου πίνακα παρουσιάζονται οι κεντρικές τιµές των κλάσεων οι οποίες προσδιορίζονται µέσω της σχέσης ( 4 ). Στην τέταρτη στήλη παρουσιάζονται οι απόλυτες αθροιστικές συχνότητες ( Η ). Στην πέµπτη και έκτη στήλη παρουσιάζονται αντιστοίχως οι σχετικές συχνότητες ( f ) και αθροιστικές σχετικές συχνότητες ( F ). Στην έβδοµη και όγδοη στήλη παρουσιάζεται, για κάθε h κλάση, το γινόµενο χ f και το µέγεθος χ. Τέλος στην προτελευταία και στην τελευταία γραµµή παρουσιάζονται αντιστοίχως το άθροισµα και το γινόµενο συγκεκριµένων στηλών. Πίνακας.4 Κλάσεις χ h H f F χ f [3.6, 4.5) 4,05 4 4 0,08 0,08 0,3 69,04 [4.5, 5.4) 4,95 9 3 0,8 0,6 0,9 7843,374 [5.4, 6.3) 5,85 4 0, 0,48,3,746 0 8 [6.3, 7.) 6,75 3 7 0,06 0,54 0,4 307,547 [7., 8.) 7,65 39 0,4 0,78,8 40,73 0 9 [8., 9.0) 8,55 8 47 0,6 0,94,4 8558074, [9.0, 9.9) 9,45 3 50 0,06 0,6 843,909 Άθροισµα ~ 50 ~ ~ 6,678 ~ Γινόµενο ~ ~ ~ ~ ~ ~ 3,953 0 40 6

β) Από την έβδοµη στήλη του παραπάνω πίνακα προκύπτει ότι f χ = 6,678. Το µέγεθος αυτό αποτελεί και τον αριθµητικό µέσο των παρατηρήσεων του δείγµατος, καθώς από τη σχέση ( ) έχουµε ότι : 7 x = f χ = 6,678 = Για τον προσδιορισµό της διάµεσου θα χρησιµοποιήσουµε τη σχέση ( 8 ) αφού όµως προηγουµένως προσδιορίσουµε την τιµή για την οποία ικανοποιείται η σχέση ( 6 ). εδοµένου ότι το ½ = 0,5 βρίσκεται µεταξύ των σχετικών αθροιστικών συχνοτήτων F 3 = 0,48 & F 4 = 0,54, δηλαδή 0,48 = F 3 < / = 0,5 < F 4 = 0,54, οδηγούµαστε στο συµπέρασµα ότι = 4, α = α 4 = 7,, α - = α 3 = 6,3, f = f 4 = 0,06 & F - = F 3 = 0,48. Από τη σχέση ( 8 ) προκύπτει λοιπόν ότι η διάµεσος έχει ως εξής : 7 = m= α + α α f F = α + α α 4 3 f 4 3 F 3 = = 6,3 + 7, 6,3 0,06 0,48 m = 6,6 50 Τέλος για τον προσδιορισµό του γεωµετρικού µέσου θα χρησιµοποιήσουµε τη σχέση ( ) από την οποία προκύπτει ότι : h h 40 G = = 50 χ = 3,953 0 G = 6,484 =.7 Παράµετροι Απόκλισης Στα πλαίσια αυτής της παραγράφου θα ασχοληθούµε µε τον προσδιορισµό της διακύµανσης και της τυπικής απόκλισης συνεχών και ασυνεχών µεταβλητών, καθώς και της απόλυτης διακύµανσης και του συντελεστή µεταβλητότητας. Αν x, x,., x είναι οι παρατηρούµενες τιµές µίας µεταβλητής Χ από ένα δείγµα µεγέθους, η διακύµανση ή διασπορά ( variatio ) του δείγµατος προσδιορίζεται µε τη βοήθεια της ακόλουθής σχέσης : S = όπου x : ο µέσος του δείγµατος. ( x x ) i ( ) i= Στο σηµείο αυτό θα πρέπει να επισηµάνουµε το γεγονός ότι συχνά, η διακύµανση του δείγµατος υπολογίζεται εναλλακτικά και µέσω της ακόλουθης σχέσης 5 : 5 Συνήθως η σχέση αυτή χρησιµοποιείται όταν το µέγεθος του δείγµατος είναι µικρό ( δηλαδή 30 ). 7

S = ( x x ) i ( 3 ) i= Αν πάρουµε τώρα την τετραγωνική ρίζα της δειγµατικής διακύµανσης, το µέγεθος που προκύπτει συνιστά την τυπική απόκλιση ( stadard deviatio ) του δείγµατος. Στην περίπτωση λοιπόν που η διακύµανση υπολογίστηκε µε τη χρήση των σχέσεων ( ) ή ( 3 ), η τυπική απόκλιση των παρατηρήσεων από το µέσο του δείγµατος θα έχει αντιστοίχως ως εξής : S = ( 4 ) & ( 5 ) ( x i x ) S = ( x i x ) i= i= Έστω τώρα ότι οι παρατηρήσεις των τιµών µιας ασυνεχούς µεταβλητής Χ είναι οµαδοποιηµένες και ας υποθέσουµε ότι α, α,., α είναι οι παρατηρούµενες τιµές, ενώ h, h,., h και f, f,., f είναι οι απόλυτες και οι σχετικές συχνότητες αντιστοίχως. Σ αυτήν την περίπτωση η διακύµανση και η τυπική απόκλιση του δείγµατος προσδιορίζονται αντιστοίχως από τις ακόλουθες σχέσεις : S = = ( ) h( α x ) h α x ( 6 ) & S = ( 7 ) = ή εναλλακτικά από τις σχέσεις S = = ( ) h( α x ) h α x ( 8 ) & S = ( 9 ) = Στην περίπτωση που οι παρατηρήσεις µας είναι οµαδοποιηµένες σε κλάσεις 6, τότε στις σχέσεις ( 6 ) ~ ( 9 ) όπου α θέτουµε χ ( αντικαθιστούµε δηλαδή την α µε την κεντρική τιµή της κλάσης ). Σ αυτήν λοιπόν την περίπτωση η διακύµανση και η τυπική απόκλιση προσδιορίζονται αντιστοίχως µε τη βοήθεια των παρακάτω σχέσεων S = = ( ) h( χ x ) h χ x ( 30 ) & S = ( 3 ) = ή εναλλακτικά από τις σχέσεις : S = = ( ) h( χ x ) h χ x ( 3 ) & S = ( 33 ) = Επειδή ο υπολογισµός της διακύµανσης µέσω κάποιου από τους παραπάνω τύπους είναι αφενός δύσκολος και αφετέρου όχι και τόσο ακριβής ( κυρίως λόγω των στρογγυλοποιήσεων στις οποίες προβαίνουµε κατά τη διάρκεια των υπολογισµών των 6 Το δείγµα δηλαδή περιλαµβάνει τιµές µίας ποιοτικής µεταβλητής 8

επιµέρους µεγεθών ), θα µπορούσαµε να προσδιορίσουµε κάποιους περισσότερο εύχρηστους τύπους για τον υπολογισµό των εν λόγω µεγεθών. Για παράδειγµα από τη σχέση ( 4 ) µπορούµε να πάρουµε τον ακόλουθο τύπο προσδιορισµού της διακύ- µανσης : S = ( i ) ( i i ) x i i i= x x = i= x x x + x = i= x i= x + i= x = = x x x + x = i x i x + x S= x i x i= i= i= ( 34 ) Επίσης από τη σχέση ( 6 ) προκύπτουν οι παρακάτω σχέσεις : S = = ( ) ( ) h α x = = h α α x + x = = x h α h α + hx = = = = = = h α x x + x h = h α x + x = = S = = h α x ( 34 ) S = h α + h α +... + h α x = = f α + f α +... + f α x S = f α x = ( 35 ) Στην περίπτωση που x, x,..., x είναι παρατηρούµενες τιµές της µεταβλητής Χ, για τον προσδιορισµό της µέσης απόκλισης ( mea deviatio ) των παρατηρήσεων από την παράµετρο θέσης λ χρησιµοποιούµε την παρακάτω σχέση 7 : S = x i λ ( 36 ) i= Στην περίπτωση που α, α,., α είναι παρατηρούµενες τιµές της ασυνεχούς µεταβλητής Χ και h, h,., h είναι οι απόλυτες συχνότητες, τότε η µέση απόκλιση προσδιορίζεται µε τη βοήθεια της ακόλουθης σχέσης : 7 Η σχέση αυτή ελαχιστοποιείται όταν λ = m, όπου m η διάµεσος του δείγµατος. 9

S = h α λ ( 37 ) = Τέλος ο συντελεστής µεταβλητότητας ή διαφορετικά συντελεστής σχετικής διασποράς ( coefficiet of relative dispersio ) προσδιορίζεται µε τη βοήθεια της ακόλουθης σχέσης : V = S x ( 38 ) Ο παραπάνω συντελεστής εκφράζει την τυπική απόκλιση του δείγµατος ως ποσοστό του αριθµητικού µέσου και είναι απαλλαγµένος από τις µονάδες µέτρησης των δεδοµένων µας. Άσκηση Κατά τη διάρκεια ενός έτους, 0 υπάλληλοι µιας ασφαλιστικής εταιρείας έκαναν τις παρακάτω ασφάλειες ζωής : 7, 54, 46, 37, 5, 7, 64, 3, 46, 58 Να προσδιορισθεί η µέση τιµή, η διασπορά, η τυπική απόκλιση, ο διάµεσος και η τιµή της µέσης απόκλισης. Λύση Το µέγεθος της µέσης τιµής και της διασποράς θα το προσδιορίσουµε µε τη βοήθεια του πίνακα.5. Στην πρώτη στήλη ( x i ) του πίνακα αυτού παραθέτουµε το πλήθος των ασφαλειών ζωής που έκανε ο κάθε υπάλληλος. Η δεύτερη στήλη περιλαµβάνει το µέγεθος της διαφοράς της x i από το δειγµατικό µέσο ( x x). Στην i Πίνακας.5 x i 7 8,8 353,44 54 0,8 0,64 46-7, 5,84 37-6, 6,44 5 -, 4,84 7 8,8 353,44 64 0,8 6,64 3 -, 449,44 46-7, 5,84 58 4,8 3,04 0 0 xi = 53 ( x i x ) = 667,60 i= i= 30

[ ] i τρίτη στήλη παρουσιάζεται το τετράγωνο των µέσων αποκλίσεων ( x x). Στην τελευταία τέλος γραµµή του πίνακα παρουσιάζονται τα αθροίσµατα των επιµέρους στηλών. Για τον προσδιορισµό του µέσου θα χρησιµοποιήσουµε τη σχέση ( 9 ) από την οποία προκύπτει ότι : x = 0 0 x = 53 i x = 53, 0 i= Όπως διαπιστώνουµε, κατά τη διάρκεια ενός έτους ο κάθε υπάλληλος έκανε κατά µέσο όρο 53, ασφαλιστήρια. Για τον προσδιορισµό της διασποράς, και δεδοµένου ότι το µέγεθος του δείγµατος είναι µικρό, θα χρησιµοποιήσουµε τη σχέση (3) από την οποία προκύπτει ότι : S = 0 0 ( x i x) = ( i ) = S = 85,89 i= i= x x 667,60 9 Παίρνοντας την τετραγωνική ρίζα της διασποράς που µόλις προσδιορίσαµε, προκύπτει το µέγεθος της τυπικής απόκλισης το οποίο έχει ως εξής : S = 0 0 ( x i x) = ( x i x ) = 85,89 S = 3,6 i= i= Να σηµειώσουµε εδώ ότι η διακύµανση και η τυπική απόκλιση που θα προέκυπτε εάν έναντι της σχέσης ( 3 ) χρησιµοποιούσαµε τη σχέση ( ) θα είχε ως εξής : S = 0 0 ( x i x) = ( i ) = S = 66,76 S = 66,76 =,94 i= i= x x 667,6 0 Όπως διαπιστώνουµε υπάρχει µια µικρή διαφορά µεταξύ των αποτελεσµάτων που µας δίνουν οι δύο τύποι υπολογισµού της διασποράς. Η διαφορά αυτή είναι τόσο µικρότερη όσο µεγαλύτερο είναι το µέγεθος του δείγµατος. Ως πρώτο βήµα για τον προσδιορισµό της διαµέσου, κατατάσσουµε τις παρατηρήσεις µας κατά αύξουσα τάξη µεγέθους : Πίνακας.6 x x x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 x 0 3 37 46 46 5 54 58 64 7 7 εδοµένου ότι το µέγεθος του δείγµατος ( = 0 ) είναι ένας άρτιος αριθµός, θα χρησιµοποιήσουµε τον δεύτερο κλάδο της σχέσης (4) προκειµένου να υπολογίσουµε τη διάµεσό του. Πιο συγκεκριµένα έχουµε ότι : 3

x + x = 05 0 5 6 5 + 54 = m = 5,5 0 m= x + x m = ( ) ( ) + Πίνακας.7 x i x i m 0 7 9,5 9,5 54,5,5 46-6,5 6,5 37-5,5 5,5 5 -,5,5 7 9,5 9,5 64,5,5 3-0,5 0,5 46-6,5 6,5 58 5,5 5,5 0 i= x m = 08 i 0 Με τη βοήθεια του πίνακα.7 θα προσδιορίσουµε στη συνέχεια το µέγεθος της µέσης απόκλισης. Από την τελευταία γραµµή της τρίτης στήλης παίρνουµε ότι 0 i= x m = 08. Αντικαθιστώντας το µέγεθος αυτό στη σχέση ( 36 ) βρίσκουµε το i 0 µέγεθος της µέσης απόκλισης το οποίο έχει ως εξής : S = i= x m = 0 x m = 08 i i 0 0 0 S = 0,8 i= Άσκηση Το διάστηµα του χρόνου ( σε εβδοµάδες ) µεταξύ της εµφάνισης µιας αρρώστιας και της ίασής της έχει καταγραφεί για 50 αρρώστους και παρουσιάζεται στον παρακάτω πίνακα : Πίνακας.8, 4,4,7 3,3 9,9 9,0,0 6,6 3,9,6 4,7 9,6 6,7 7,4 8, 9, 6,9 4,3 3,3, 4, 8,4 0, 6, 3,5 7,4 0, 8,3 0,3,3 4,,0,4,4 8,0 8,7 4,0,4 8, 5,8,6 3,5,4 8,0 6,7 3,7,6 3, 5,6 0,4 3

Για τα δεδοµένα του παραπάνω πίνακα ζητείται : α ) Η οµαδοποίηση των παρατηρήσεων σε κλάσεις και η κατασκευή του ραβδογράµ- µατος των σχετικών συχνοτήτων. β ) Ο υπολογισµός του αριθµητικού µέσου και της διαµέσου γ ) Ο υπολογισµός της διασποράς και της τυπικής απόκλισης δ ) Να προσδιορισθεί το µέγεθος της µέσης απόκλισης ε ) Ο υπολογισµός του συντελεστή µεταβλητότητας. Λύση α) Η οµαδοποίηση των παρατηρήσεων σε κλάσεις θα ξεκινήσει µε τον κατά προσέγγιση προσδιορισµό του αριθµού των κλάσεων. εδοµένου ότι έχουµε στη διάθεσή µας 50 παρατηρήσεις ( = 50 ), από τη σχέση ( ) προκύπτει ότι αυτές θα µπορούσαν να οµαδοποιηθούν σε περίπου = + 3,3log = + 3,3log 50 = 6,607 0 0 = 7 κλάσεις Το πλάτος του δείγµατος θα το προσδιορίσουµε µε τη βοήθεια της σχέσης ( ) από την οποία προκύπτει ότι : d = Max x Mi x = 3,3 0, d = 3, εβδοµάδες Από τη σχέση ( 3 ) προκύπτει ότι το εύρος της κάθε κλάσης θα είναι ίσο µε l = d = 3, 6,607 4,858 l 5 εβδοµάδες Βάσει της παραπάνω ανάλυσης θα µπορούσαµε να οµαδοποιήσουµε τις παρατηρήσεις µας σε 7 κλάσεις εύρους 5 εβδοµάδων η κάθε µία, θέτοντας το κάτω όριο της πρώτης κλάσης ίσο µε το µηδέν 8. Οι 7 κλάσεις και το πλήθος των παρατηρήσεων που αντιστοιχεί σε κάθε µία από αυτές ( δηλαδή οι απόλυτες συχνότητες ) παρουσιάζονται στην πρώτη και τρίτη στήλη του πίνακα.9 αντιστοίχως. Στη δεύτερη στήλη παρουσιάζονται οι κεντρικές τιµές των κλάσεων ( χ ), όπως αυτές Πίνακας.9 Κλάσεις χ h H f F χ f [0, 5),5 0,44 0,44,0 [5,0) 7,5 4 36 0,8 0,7,0 [0, 5),5 5 4 0,0 0,8,5 [5, 0) 7,5 5 46 0,0 0,9,75 [0, 5),5 48 0,04 0,96 0,90 [5, 30) 7,5 49 0,0 0,98 0,55 [30, 35) 3,5 50 0,0 0,65 Άθροισµα ~ 50 ~ ~ 8,30 8 Εάν ως κάτω όριο της πρώτης κλάσης θέταµε την ελάχιστη παρατηρούµενη τιµή ( δηλαδή το 0, ) η οµαδοποίηση των παρατηρήσεων δεν θα διαφοροποιούνταν και ιδιαίτερα. 33

προσδιορίζονται από τη σχέση (4), στην τέταρτη στήλη παρουσιάζονται οι απόλυτες αθροιστικές συχνότητες ( H ) οι οποίες προσδιορίζονται µε τη βοήθεια της σχέσης (6), στην πέµπτη και έκτη στήλη παρουσιάζονται αντιστοίχως οι σχετικές συχνότητες ( f ) και οι αθροιστικές σχετικές συχνότητες ( F ), ενώ στην έβδοµη στήλη παρουσιάζονται τα γινόµενα των τιµών της δεύτερης και πέµπτης στήλης. Τέλος στην τελευταία γραµµή του πίνακα παρουσιάζεται το άθροισµα των επί µέρους στηλών. Το ραβδόγραµµα των σχετικών συχνοτήτων παρουσιάζεται γραφικά στο διάγραµµα.. 0,5 Bar Chart of f 0,44 0,4 0,3 0,8 f 0, 0, 0,0 0,0 0,0 0,04 0,0 0,0 [0,5) [5,0) [0,5) [5,0) [0,5) [5.30) [30,35). 7 = β ) Από την τελευταία γραµµή της έβδοµης στήλης του πίνακα.9 έχουµε ότι f χ = 8,30. Βάσει της σχέσης ( 3 ) το µέγεθος αυτό αποτελεί τον αριθµητικό µέσο των παρατηρήσεών µας, δηλαδή : 7 x = f χ = 8,30 = Με άλλα λόγια ο µέσος χρόνος που µεσολαβεί µεταξύ της εκδήλωσης και της ίασης µίας ασθένειας είναι 8,3 εβδοµάδες. εδοµένου ότι οι παρατηρήσεις µας έχουν ήδη οµαδοποιηθεί σε κλάσεις, για τον προσδιορισµό της διαµέσου θα χρησιµοποιήσουµε τη σχέση ( 7 ). Προκειµένου να χρησιµοποιήσουµε όµως τη σχέση ( 7 ), θα πρέπει προηγουµένως να έχουµε προσδιορίσει την τιµή για την οποία ικανοποιείται η σχέση ( 5 ). Από τα δεδοµένα του πίνακα.9 προκύπτει ότι : 34

0,44 = F < 0,5 < F = 0,7 Ως εκ τούτου θα έχουµε ότι α = α = 0, α - = α = 5, f = f = 0,8 & F - = F = 0,44. Από τη σχέση ( 8 ) προκύπτει λοιπόν ότι η τιµή της διαµέσου θα είναι ίση µε : m= α + α α f F = α + α α f F = = 5 + 0 5 0,8 0,44 m 6,07 50 γ ) Για τον προσδιορισµό της διασποράς και της τυπικής απόκλισης θα χρησιµοποιήσουµε τα δεδοµένα του πίνακα.0. Οι τρεις πρώτες στήλες είναι ακριβώς οι ίδιες µε εκείνες του πίνακα.9. Στην τέταρτη και πέµπτη στήλη παρουσιάζονται οι διαφορές των στοιχείων της δεύτερης στήλης ( δηλαδή των κεντρικών τιµών των κλάσεων ) από τον αριθµητικό µέσο ( την τιµή του οποίου προσδιορίσαµε στο δεύτερο υποερώτηµα ) και οι τετραγωνικές τιµές των µέσων αποκλίσεων αντιστοίχως. Τέλος στην έκτη στήλη παρουσιάζεται το γινόµενο των στοιχείων της τρίτης κλάσης µε εκείνα της πέµπτης κλάσης. Στην τελευταία γραµµή της έκτης στήλης παρουσιάζεται το άθροισµα των τιµών της στήλης αυτής για =,. 7. Πίνακας.0 Κλάσεις χ h [0, 5),5-5,8 33,64 740,08 [5,0) 7,5 4-0,8 0,64 8,96 [0, 5),5 5 4, 7,64 88,0 [5, 0) 7,5 5 9, 84,64 43,0 [0, 5),5 4, 0,64 403,8 [5, 30) 7,5 9, 368,64 368,64 [30, 35) 3,5 4, 585,64 585,64 Άθροισµα ~ 50 ~ ~ 68 7 εδοµένου ότι = 50 & h ( χ x) S = = = 68, από τη σχέση (30) προκύπτει ότι : = 7 ( ) ( ) h χ x h χ x = 68 = S = 5,36 50 50 = Παίρνοντας την τετραγωνική ρίζα της διακύµανσης, προσδιορίζουµε το µέγεθος της τυπικής απόκλισης το οποίο έχει ως ακολούθως : S = 5,36 S 7,36 35

δ ) Η µέση απόκλιση θα προσδιορισθεί µε τη βοήθεια της σχέσης ( 36 ) και των δεδοµένων του πίνακα.. Από την τελευταία γραµµή της τρίτης και έκτης στήλης του πίνακα αυτού παίρνουµε ότι : 5 x m = 30,487 & x m = 56,97 i 50 i= i= 6 50 i 50 Αντικαθιστώντας τα δύο παραπάνω µεγέθη στη σχέση ( 36 ) παίρνουµε το µέγεθος της µέσης απόκλισης το οποίο έχει ως εξής : S = x m = 50 x m = 5 50 i i 50 x i m 50 + x i m 50 = 50 50 i= i= i= i= 6 = 30,487 + 56,97 50 S = 5,749 Πίνακας. i x i i x i, 3,97 6 7,4,39 4,4,67 7 0, 5,87 3,7 3,37 8 8,3,9 4 3,3 6,9 9 0,3 5,77 5 9,9 3,89 30,3 4,77 6 9,99 3 4, 8,09 7 4,07 3 5,07 8 6,6 0,59 33,4 3,67 9 3,9,7 34,4 3,67 0,6 4,47 35 8,99 4,7 8,69 36 8,7,69 9,6 3,59 37 4 7,99 3 6,7 0,69 38,4 4,67 4 7,4,39 39 8,,9 5 8,,9 40 5,8 0,7 6 9, 3,9 4,6 4,47 7 6,9 0,89 4 3,5,57 8 4,3,77 43,4 5,39 9 3,3,77 44 8,99 0, 4,87 45 6,7 0,69 4,,97 46 3,7,37 8,4,39 47,6 6,59 3 0, 5,87 48 3, 7,09 4 6, 0,09 49 5,6 0,47 5 3,5 7,49 50 0,4 5,67 Άθροισµα 30,487 56,97 36

ε ) Το µέγεθος του συντελεστή µεταβλητότητας θα το προσδιορίσουµε µε τη βοήθεια της σχέσης ( 38 ) από την οποία προκύπτει ότι : V = S x = 7,36 8,30 V 0,87.8 Άλλες παράµετροι κατανοµών συχνοτήτων Η ν οστή ροπή ( momet ) από την παράµετρο θέσης λ ενός συνόλου στοιχείων x, x,., x ορίζεται (ισοδύναµα) µέσω µίας εκ των παρακάτω σχέσεων : λ M = ν = ν ( x λ ) ή M = λ ν h( α λ ) ( 39 ) ( 40 ) = ν ( ) λ ή M = f α λ ν = ν ( 4 ) όπου ν Ν = { 0,,,. }, α : η παρατηρούµενη τιµή της µεταβλητής Χ, h : η απόλυτη συχνότητα εµφάνισης της α & f : η σχετική συχνότητα της α. Στην περίπτωση που οι παρατηρήσεις µας είναι οµαδοποιηµένες σε κλάσεις µε κεντρικές τιµές χ και απόλυτες & σχετικές συχνότητες h & f αντιστοίχως, η ν οστή ροπή δίνεται από τις σχέσεις : λ M = ν = ν λ ( ) ν ( ) h χ λ ( 4 ) ή M = f χ λ ( 43 ) = ν Όταν λ = x, η ροπή που προκύπτει ονοµάζεται κεντρική (cetral momet), ενώ εάν αντί για (x λ) θέσουµε x λ τότε η ροπή ονοµάζεται απόλυτη ( absolute momet ). Επικρατούσα τιµή ( the mode ) D καλείται η συχνότερα εµφανιζόµενη τιµή α των παρατηρήσεων x, x,., x. Με άλλα λόγια ισχύει ότι 9 : Στην περίπτωση που ισχύει ότι : D = Max h ( 44 ) x ( αριθµητικός µέσος ) = m ( διάµεσος ) = D ( επικρατούσα τιµή ) ( 45 ) 9 Στην περίπτωση που η µεταβλητή Χ είναι συνεχής και οι παρατηρήσεις x, x,., x είναι οµαδοποιηµένες σε τάξεις ίσου πλάτους, τότε η επικρατούσα τιµή προσδιορίζεται µέσω της ακόλουθης h h σχέσης : D = α + d, όπου η τυπική κλάση ( δηλ. η κλάση στην οποία h h h + εµφανίζεται η Max h ) και α - : το κάτω όριο της τυπικής κλάσης. 37

τότε η κατανοµή συχνοτήτων θα καλείται συµµετρική. Εάν δεν ικανοποιείται η σχέση ( 45 ), η κατανοµή συχνοτήτων θα καλείται λοξή ή ασύµµετρη. Ειδικότερα διακρίνουµε µεταξύ των ακόλουθων περιπτώσεων : ( i ) Αν x > m > D η κατανοµή συχνοτήτων είναι λοξή προς τα δεξιά ( ii ) Αν D > x > m η κατανοµή συχνοτήτων είναι λοξή προς τα αριστερά Για τον προσδιορισµό της ασυµµετρίας (sewess) µίας κατανοµής συχνοτήτων µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε και έναν από τα παρακάτω µέτρα ασυµµετρίας : (α) Pearso : (β) Yule Pearso : g= x D S ( ) g= 3x m S ( 46 ) ( 47 ) (γ) Μέτρο λοξότητας τρίτης ροπής : g = 3 x M 3 3 ( 48 ) S Στην περίπτωση που g i = 0, i =,,3, τότε η κατανοµή είναι συµµετρική. Εάν g i > 0 ( g i < 0 ), i =,,3, η κατανοµή είναι ασύµµετρη προς τα αριστερά ( δεξιά ). Τέλος η κυρτότητα ( urtosis ) µίας κατανοµής συχνοτήτων προσδιορίζεται µέσω της ακόλουθης σχέσης : W = M x 4 4 3 ( 49 ) S Εάν W >,=,< 0 τότε η κατανοµή θα είναι αντιστοίχως λεπτόκυρτη, µεσόκυρτη, πλατόκυρτη. Άσκηση : Στον πίνακα. δίνονται τα αποτελέσµατα της µέτρησης του αριθµού των παιδιών σε 30 οικογένειες Πίνακας. 0 7 3 0 3 0 3 3 4 4 3 0 9 5 Ζητείται : (α) Να οµαδοποιηθούν οι παρατηρήσεις σε µία κατανοµή συχνοτήτων και να δηµιουργηθεί το ιστόγραµµα των συχνοτήτων. (β) Να υπολογιστεί η µέση τιµή, η διακύµανση, η τυπική απόκλιση και η διάµεσος. (γ) Να υπολογιστεί η τρίτη κεντρική ροπή (δ) Να ελεγχθεί η κατανοµή των συχνοτήτων ως προς την ασυµµετρία και την κυρτότητα. 38

Λύση (α) Στον πίνακα.3 έχουµε οµαδοποιήσει της παρατηρήσεις µας και έχουµε υπολογίσει τις απόλυτες συχνότητες h ( η στήλη ), τις απόλυτες αθροιστικές συχνότητες Η ( 3 η στήλη ) και τα µεγέθη α h ( 4 η στήλη ), (α x) ( 5 η στήλη ) και h(α x) ( 6 η στήλη ). Πίνακας.3 α h H α h 0 4 4 0 5,9,6 7 7,69,83 3 9 0 8 0,09 0,8 4 3 5 5 5 0,49,45 5 4 7 8,89 5,78 6 5 8 5 7,9 7,9 7 7 9 7,09,09 8 9 30 9 44,89 44,89 Άθροισµα 30 69 6,3 Στο γράφηµα. παρουσιάζεται το ιστόγραµµα συχνοτήτων 0 9 9 Histogram 8 7 7 h 6 5 4 4 5 3 0 0 0-0 3 4 5 6 7 8 9 0 a. Όπως διαπιστώνουµε από το παραπάνω γράφηµα η κατανοµή συχνοτήτων είναι λοξή προς τα δεξιά. 39