ΕΠΑΛΛΗΛΙΑ (ή ΥΠΕΡΘΕΣΗ) ΚΥΜΑΤΩΝ Πριν τη συνάντηση Κατά τη συνάντηση Μετά τη συνάντηση Θεωρούμε ότι κατά μήκος ενός γραμμικού εαστικού μέσου διαδίδονται ταυτόχρονα δύο κυματικοί παμοί που βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο. Στο διπανό σχήμα φαίνεται το αποτέεσμα της ταυτόχρονης διάδοσης δύο κυματικών παμών που κινούνται σε αντίθετες κατευθύνσεις. Τη στιγμή της συνάντησης τα σημεία του εαστικού μέσου έχουν απομάκρυνση ίση με το αγεβρικό άθροισμα των απομακρύνσεων που θα είχαν αν οι δύο παμοί διαδίδονταν ξεχωριστά. Πώς διατυπώνεται η αρχή της επαηίας (ή υπέρθεσης) κυμάτων; Όταν σ' ένα εαστικό μέσο διαδίδονται δύο ή περισσότερα κύματα, η απομάκρυνση ενός σημείου του μέσου είναι ίση με τη συνισταμένη των απομακρύνσεων που οφείονται στα επιμέρους κύματα. Τα κυματικά φαινόμενα που απαντώνται στη φύση είναι αρκετά σύνθετα. Με βάση την αρχή της επαηίας μπορούμε να θεωρούμε ότι ένα σύνθετο κύμα είναι το αποτέεσμα της επαηίας ενός αριθμού αρμονικών κυμάτων με επιεγμένα πάτη και μήκη κύματος. Έτσι, ένα σύνθετο κύμα αναύεται σε περισσότερα απά αρμονικά κύματα. Ποια συμπεράσματα προκύπτουν από την επαηία δύο κυμάτων που διαδίδονται στο ίδιο εαστικό μέσο; α. Τα κύματα διέρχονται το ένα μέσα από το άο χωρίς να μεταβάονται. β. Τα κύματα δεν αηεπιδρούν μεταξύ τους. γ. Κάθε κύμα διαδίδεται σα να μην υπήρχε το άο. δ. Η συνεισφορά κάθε κύματος στην απομάκρυνση κάθε σημείου του μέσου από τη θέση ισορροπίας του είναι ανεξάρτητη από την παρουσία του άου κύματος. ΔΟΥΚΑΤΖΗΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΦΥΣΙΚΟΣ 697 7, 69756063 W.U.
Πότε παραβιάζεται η αρχή της επαηίας Η αρχή της επαηίας παραβιάζεται μόνο στην περίπτωση που τα κύματα είναι τόσο ισχυρά, ώστε να μεταβάουν τις ιδιότητες του μέσου στο οποίο διαδίδονται. Στην περίπτωση αυτή, οι δυνάμεις μεταξύ των σωματιδίων του μέσου δεν είναι εαστικές και κατά συνέπεια δε δρουν ως δυνάμεις επαναφοράς. Τέτοιες περιπτώσεις παραβίασης της αρχής της επαηίας έχουμε στα κύματα που δημιουργούνται από μια έκρηξη. Πότε δύο πηγές κυμάτων είναι σύμφωνες και πότε σύγχρονες Σύμφωνες ονομάζονται δύο πηγές όταν η διαφορά φάσης των τααντώσεων τους παραμένει σταθερή. Οι σύμφωνες πηγές έχουν την ίδια συχνότητα και διαφορετική αρχική φάση. Σύγχρονες ονομάζονται δύο πηγές όταν η διαφορά φάσης των τααντώσεων τους είναι συνεχώς ίση με μηδέν. Οι σύγχρονες πηγές έχουν την ίδια συχνότητα και την ίδια αρχική φάση. Ποιο φαινόμενο ονομάζεται συμβοή Συμβοή ονομάζεται το αποτέεσμα της επαηίας δύο ή περισσότερων κυμάτων τα οποία διαδίδονται ταυτόχρονα στην ίδια περιοχή του εαστικού μέσου. Αν τα κύματα που διαδίδονται είναι στο ίδιο επίπεδο και η διεύθυνση ταάντωσης των υικών σημείων του εαστικού μέσου είναι ίδια και για τα δύο κύματα, τότε η απομάκρυνση κάθε σημείου του εαστικού μέσου είναι ίση με το αγεβρικό άθροισμα των απομακρύνσεων που προκαεί κάθε κύμα ξεχωριστά στο σημείο αυτό. Μεετώντας τη συμβοή δύο κυμάτων που διαδίδονται στην επιφάνεια ενός υγρού, διαπιστώνουμε ότι υπάρχουν σημεία που παραμένουν ακίνητα και σημεία που τααντώνονται πού έντονα. ΔΟΥΚΑΤΖΗΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΦΥΣΙΚΟΣ 697 7, 69756063 W.U.
Πότε έμε ότι σ' ένα σημείο του μέσου διάδοσης συμβαίνει ενισχυτική συμβοή και πότε ακυρωτική συμβοή Θεωρούμε ότι στα σημεία Π και Π της επιφάνειας ενός υγρού υπάρχουν δύο σύγχρονες πηγές παραγωγής αρμονικών κυμάτων του ίδιου πάτους που τααντώνονται κατακόρυφα, με αποτέεσμα να δημιουργούν ταυτόχρονα μέγιστα ("όρη") και ταυτόχρονα εάχιστα ("κοιάδες"). Π r Κ Λ r Π Τα κύματα που ξεκινούν ταυτόχρονα από τις πηγές φτάνουν ταυτόχρονα στο σημείο Α της μεσοκαθέτου Π Π. Συνεπώς, όταν στο σημείο Κ φτάνει "όρος" από την πηγή Π, θα φτάνει "όρος" και από την πηγή Π. Το αποτέεσμα, σύμφωνα με την αρχή της επαηίας, θα είναι να δημιουργηθεί "όρος" στο σημείο Κ με διπάσιο ύψος. Μετά από χρόνο φτάνουν ταυτόχρονα στο σημείο Κ δύο "κοιάδες", με αποτέεσμα να εμφανίζεται τώρα στο σημείο αυτό κοιάδα με διπάσιο βάθος. Όταν συμβαίνουν τα παραπάνω, έμε ότι τα κύματα συμβάουν ενισχυτικά στο σημείο Κ. Αντίστοιχα αποδεικνύεται ότι υπάρχουν σημεία στα οποία τα κύματα αηοαναιρούνται. Ένα τέτοιο σημείο είναι το σημείο Λ. Στο σημείο αυτό φτάνει ταυτόχρονα "όρος" από τη μια πηγή και "κοιάδα" από την άη. Το αποτέεσμα είναι τα κύματα να αηοαναιρούνται και το σημείο Λ να παραμένει ακίνητο. Τότε έμε ότι τα κύματα συμβάουν ακυρωτικά στο σημείο Λ. ΔΟΥΚΑΤΖΗΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΦΥΣΙΚΟΣ 697 7, 69756063 W.U. 3
Ποια είναι η χρονική εξίσωση απομάκρυνσης της ταάντωσης ενός σημείου του μέσου διάδοσης στο οποίο συμβάουν δύο αρμονικά κύματα Υποθέτουμε ότι δύο σημεία Π και Π της επιφάνειας του υγρού είναι σύγχρονες πηγές παραγωγής αρμονικών κυμάτων ίδιας συχνότητας και ίδιου πά- r Σ r τους που έχουν εξίσωση y A t. Επειδή τα κύματα διαδίδονται με την Κ Π Λ Π ίδια ταχύτητα, θα έχουν και το ίδιο μήκος κύματος. Θεωρούμε ένα σημείο Σ της επιφάνειας το οποίο απέχει αποστάσεις x και x από τις πηγές Π και Π αντίστοιχα. Η απομάκρυνση του σημείου Σ που οφείεται σε κάθε κύμα χωριστά υποογίζεται κάθε χρονική στιγμή από τις εξισώσεις: t r y A και y A t r Σύμφωνα με την αρχή της επαηίας, η απομάκρυνση του υικού σημείου Σ κάθε χρονική στιγμή t είναι ίση με το αγεβρικό άθροισμα των απομακρύνσεων y και y. Άρα: t r y y y A t r Χρησιμοποιώντας την τριγωνομετρική σχέση καταήγουμε στον π(r r ) t r + r τύπο: y = Aσυν ημπ Τ Από την τεευταία αυτή σχέση συμπεραίνουμε ότι κάθε σημείο του μέσου διάδοσης εκτεεί ταάντωση με την ίδια συχνότητα και με πάτος που εξαρτάται από τις αποστάσεις του σημείου από τις δύο πηγές. Το πά- π(r r ) τος της ταάντωσης υποογίζεται από τη σχέση: A = Aσυν και η φάση της ταάντωσης από τη t r + r σχέση: φ = π Τ ΔΟΥΚΑΤΖΗΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΦΥΣΙΚΟΣ 697 7, 69756063 W.U. 4
Ποια σχέση ικανοποιούν οι αποστάσεις r και r από τις πηγές για τα σημεία στα οποία συμβαίνει ενισχυτική συμβοή: Το πάτος της ταάντωσης είναι μέγιστο και ίσο με Α στα σημεία όπου οι αποστάσεις τους r και r από τις (r r ) r r δύο πηγές ικανοποιούν τη σχέση: r r = Ν όπου Ν = 0,,,... ή r r = Ν, όπου Ν = 0,±,±,... Ποια σχέση ικανοποιούν οι αποστάσεις x και x από τις πηγές για τα σημεία στα οποία συμβαίνει ακυρωτική συμβοή: Τα σημεία που παραμένουν ακίνητα είναι εκείνα των οποίων οι αποστάσεις x και x από τις δύο πηγές ι- (r r ) r r κανοποιούν τη σχέση: 0 ( ) r r = (Ν +), όπου Ν = 0,,,... r r = (Ν +), όπου Ν = 0, ±, ±,... ή Είναι γνωστό ότι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων για τα οποία ισχύει r r = σταθ. είναι υπερβοή. Κατά συνέπεια, τα σημεία στα οποία συμβαίνει ενισχυτική συμβοή και τα σημεία στα οποία συμβαίνει ακυρωτική συμβοή βρίσκονται πάνω σε υπερβοές (εκτός από τα σημεία που βρίσκονται στη μεσοκάθετο του Π Π ). Ν = Ν = Ν = 0 Ν = 0 Ν = Ν = Στο σχήμα φαίνονται με μπε διακεκομμένη γραμμή οι υπερ- Κ Λ βοές ακυρωτικής συμβοής και με συνεχόμενη κόκκινη Π Π γραμμή οι υπερβοές ενισχυτικής συμβοής. Παρατήρηση: Πρέπει να σημειώσουμε ότι η παραπάνω μεέτη της συμβοής αφορούσε δύο κύματα οι πηγές των οποίων έχουν κάθε στιγμή την ίδια φάση. Συμβοή όμως συμβαίνει σε κάθε περίπτωση όπου δύο κύματα Ν = διαδίδονται στο ίδιο μέσο, ανεξάρτητα αν προέρχονται από συμφασικές πηγές ή όχι. Ν = Ν = 0 Ν = Ν = ΔΟΥΚΑΤΖΗΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΦΥΣΙΚΟΣ 697 7, 69756063 W.U. 5
ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΓΙΑ ΤΗ ΛΥΣΗ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. Μεέτη της κίνησης ενός υικού σημείου του μέσου στο οποίο συμβάουν δύο κύματα Έστω δύο σύγχρονες πηγές Π και Π, οι οποίες βρίσκονται σε επαφή με την ήρεμη επιφάνεια υγρού και παράγουν αρμονικά κύματα του ίδιου πάτους Α και της ίδιας συχνότητας, χωρίς αρχική φάση. Θεωρούμε ένα τυχαίο σημείο Κ r Π Σ r Λ Π Σ του εαστικού μέσου το οποίο απέχει, αντίστοιχα, r και r (r < r ) από τις δύο πηγές. Τα κύματα διαδίδονται στο εαστικό μέσο με την ίδια ταχύτητα. Στο σημείο Σ φτάνει πρώτα το κύμα από την πησιέστερη πηγή r Π (τη χρονική στιγμή t ) και στη συνέχεια το κύμα από την πιο απομακρυσμένη πηγή Π (τη χρονική r στιγμή t ). Η απομάκρυνση του σημείου Σ από τη θέση ισορροπίας του που οφείεται σε καθένα από τα t r t r δύο κύματα είναι: y A και y A Έχουμε αναυτικά: r 0 t < t = υ Σε αυτό το χρονικό διάστημα κανένα από τα δύο κύματα δεν έχει φτάσει στο σημείο Σ, επομένως το σημείο Σ δεν έχει αρχίσει να τααντώνεται: y Σ = 0 για 0 t < t r t t < t = υ Τη χρονική στιγμή t φτάνει στο σημείο Σ το κύμα από την πησιέστερη πηγή Π, οπότε το σημείο Σ αρχί- t r ζει να εκτεεί απή αρμονική ταάντωση με εξίσωση: y = Aημπ για t t < t Τ t t Τη χρονική στιγμή t φτάνει στο σημείο Σ και το κύμα από την πιο απομακρυσμένη πηγή Π, οπότε η συνοική απομάκρυνση y του σημείου Σ από τη θέση ισορροπίας του ισούται με το άθροισμα των απομακρύν- ΔΟΥΚΑΤΖΗΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΦΥΣΙΚΟΣ 697 7, 69756063 W.U. 6
σεων y και y που οφείονται σε καθένα από τα δύο κύματα. Η απομάκρυνση του σημείου Σ από τη θέση r r t r + r ισορροπίας του θα είναι: y y y y = Aσυν π ημπ Τ για t t Συνοψίζοντας:. Το πάτος κάθε σημείου στο χώρο εξαρτάται μόνο από τις αποστάσεις των δύο πηγών από το σημείο ( και συγκεκριμένα από τη διαφορά των αποστάσεων ) και είναι πάντα θετικό. Το συνημίτονο στο πάτος έχει απόυτη τιμή όχι όμως και στην εξίσωση της απομάκρυνσης 3. Υπάρχουν σημεία που μένουν διαρκώς ακίνητα και σημεία που τααντώνονται με μέγιστο πάτος 4. Η κίνηση όων των σημείων είναι απή αρμονική ταάντωση (εκτός των σημείων που ανήκουν σε υ- περβοές αναίρεσης και παραμένουν διαρκώς ακίνητα) και μπορούμε να βρούμε την εξίσωση τους αντικαθιστώντας τα r, r στην εξίσωση της συμβοής Συμβοή δύο πηγών σε κάποιο σημείο με αρχική φάση t r y Aημπ φ T 0 t r y Aημπ φ T 0 r r φ φ r + r φ + φ y = Aσυν π + ημ ωt π + 0 0 0 0 Με πάτος r r φ φ Α = A συν π + 0 0 Αν στην παραπάνω εξίσωση θέσουμε φ 0 =φ 0 =φ τότε προκύπτει y Aημπ φ y Aημπ φ t r T r r r r t r T y Aσυν π ημ t π φ r r Με πάτος Α A συν π ΔΟΥΚΑΤΖΗΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΦΥΣΙΚΟΣ 697 7, 69756063 W.U. 7
Όπως βέπουμε για φ 0 = φ 0 = φ δεν επηρεάζεται η εξίσωση του πάτους, ενώ για φ 0 = φ 0 = 0 προκύπτει ο γνωστός μας τύπος της συμβοής. Παρατηρήσεις. Σε κάθε περίπτωση κατά την οποία ζητείται η απομάκρυνση ενός σημείου του υικού μέσου από τη θέση ισορροπίας του σε μία χρονική στιγμή, εέγχουμε αν αυτή τη χρονική στιγμή έχει φτάσει κάποιο από τα κύματα στο σημείο ή έχουν φτάσει και τα δύο κύματα σε αυτό και στη συνέχεια αντικαθιστούμε τη χρονική στιγμή στην αντίστοιχη εξίσωση για να υποογίσουμε την απομάκρυνση του σημείου από τη θέση ισορροπίας του.. Από τη χρονική στιγμή κατά την οποία έχουν φτάσει και τα δύο κύματα στο σημείο και έπειτα: r r α. για να υποογίσουμε το πάτος ταάντωσης του σημείου χρησιμοποιούμε τη σχέση: A β. για να υποογίσουμε την απομάκρυνση y του σημείου από τη θέση ισορροπίας του κάθε χρονική στιγμή χρησιμοποιούμε τη σχέση: r r t y A r r γ. η ταχύτητα ταάντωσης του σημείου κάθε χρονική στιγμή υποογίζεται από τη σχέση: r r t r r A όπου η μέγιστη ταχύτητα ταάντωσης του σημείου είναι: max A r r 3. Για να εξετάσουμε αν ένα σημείο του μέσου αποτεεί σημείο ενισχυτικής ή ακυρωτικής συμβοής, μπορούμε να εργαστούμε με δύο τρόπους: ος τρόπος: Υποογίζουμε τη διαφορά των αποστάσεων του από τις δύο πηγές: r r =N, όπου N = 0,,,..., τότε Α' = Α Αν r r N + Αν = (δηαδή το κάσμα είναι 0,5,,5,,5, 3,5,...), όπου N = 0,,,..., τότε Α' = 0 ΔΟΥΚΑΤΖΗΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΦΥΣΙΚΟΣ 697 7, 69756063 W.U. 8
Αν r r N και r r (N+), τότε 0 < Α' < Α ος τρόπος: Αντικαθιστούμε τις αποστάσεις r και r του σημείου από τις δύο πηγές στον τύπο υποογισμού r r του πάτους: A 4. Πήθος υπερβοών ενίσχυσης και απόσβεσης Έστω δύο σύγχρονες πηγές Π και Π οι οποίες είναι σε επαφή με εαστικό μέσο και απέχουν μεταξύ τους. α. Το πήθος των σημείων του ευθύγραμμου τμήματος Π Π που βρίσκονται σε ενισχυτική συμβοή Για να υποογίσουμε το πήθος των σημείων του ευθύγραμμου τμήματος Π Π που βρίσκονται σε ενισχυτική συμβοή εργαζόμαστε ως εξής: Θεωρούμε ένα σημείο Σ του ευθύγραμμου τμήματος που ενώνει τις δύο πηγές, το οποίο απέχει r και r, αντίστοιχα, από καθεμία από τις πηγές. Αν στο σημείο αυτό παρατηρείται ενίσχυση, θα ισχύει: r r = κ () όπου κ = 0, ±, ±,... Για το σημείο αυτό ισχύει επίσης: r + r = () Λύνουμε το σύστημα των δύο εξισώσεων για να υποογίσουμε τον αριθμό των σημείων του ευθύγραμμου τμήματος που βρίσκονται σε ενίσχυση. Προσθέτω κατά μέη τις (), () και έχω r r με περιορισμό 0 r 0 κ Καθένα από αυτά τα σημεία αποτεεί σημείο τομής μιας υπερβοής ενισχυτικής συμβοής και του ευθύγραμμου τμήματος Π Π (εκτός των σημείων της μεσοκαθέτου τα οποία βρίσκονται πάνω σε ευθεία γραμμή). β. Το πήθος των σημείων του ευθύγραμμου τμήματος Π Π που βρίσκονται σε ακυρωτική συμβοή Για να υποογίσουμε το πήθος των σημείων του ευθύγραμμου τμήματος Π Π που βρίσκονται σε ακυρωτική συμβοή εργαζόμαστε ως εξής: Θεωρούμε ένα σημείο Ρ του ευθύγραμμου τμήματος που ενώνει τις δύο πη- ΔΟΥΚΑΤΖΗΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΦΥΣΙΚΟΣ 697 7, 69756063 W.U. 9
γές, το οποίο απέχει r και r, αντίστοιχα, από καθεμία από τις πηγές. Αν στο σημείο αυτό παρατηρείται απόσβεση, θα ισχύει: r r (κ+) (), όπου κ = 0, ±, ±,... Για το σημείο αυτό ισχύει επίσης: r + r = () προσθέτω κατά μέη τις () και () και έχω: r r 4 με περιορισμό 0 r 0 4 4 4 κ Καθένα από αυτά τα σημεία αποτεεί σημείο τομής μιας υπερβοής ακυρωτικής συμβοής και του ευθύγραμμου τμήματος Π Π. 5. Η διατήρηση της ενέργειας Η ενέργεια ενός σωματιδίου του μέσου διάδοσης στο οποίο συμβάουν δύο αρμονικά κύματα διατηρείται σταθερή κατά την ταάντωση του. Ισχύει η αρχή διατήρησης της ενέργειας: U D m Dy m m m y ω Α = υ + ω y 6. Ταχύτητα ταάντωσης των διαφόρων σημείων Η ταχύτητα ταάντωσης των διαφόρων σημείων δίνεται από τη σχέση r r t r + r υ = ωaσυνπ συνπ Τ μετά την συμβοή. Προσοχή όταν θέουμε να βρούμε την μέγιστη ταχύτητα ταάντωσης ενός σημείου στην επιφάνεια της συμ- r r βοής τότε υ max = ωa συνπ ενώ στην εξίσωση της ταχύτητας δεν έχουμε την απόυτη τιμή ΔΟΥΚΑΤΖΗΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΦΥΣΙΚΟΣ 697 7, 69756063 W.U. 0
7. Επιτάχυνση των διαφόρων σημείων στην επιφάνεια που συμβάουν δύο κύματα Η επιτάχυνση των διαφόρων σημείων δίνεται από την σχέση α = ω y και αυτός ο τύπος ισχύει γενικά είτε έχουμε συμβοή είτε όχι. 8. Παραμετροποίηση με βάση το κέντρο της ευθείας που ενώνει τις δύο πηγές Ποές φορές στην συμβοή δύο κυμάτων μας ζητείται να βρούμε κάτι που συμβαίνει στην ευθεία Π Π που ενώνει τις δύο πηγές π.χ. πόσες υπερβοές μέγιστων έχουμε ή πόσο απέχει το σημείο Μ από το κέντρο Κ Π r M x Z r Λ Π κ.τ.. Σε αυτή την περίπτωση καό είναι να κάνουμε τα εξής r r = + x x = x και το x πρέπει να ικανοποιεί τη σχέση x 9. Σε ποιο σημείο να κόβει η υπερβοή ενίσχυσης ή αναίρεσης την ευθεία Π Π Έστω σημείο Μ που τααντώνεται με μέγιστο πάτος δηαδή ικανοποιεί M τη σχέση r r = κ (). r r Η υπερβοή που βρίσκεται το Μ τέμνει την ευθεία Π Π στο Δ, έτσι οιπόν αν θέουμε να βρούμε πόσο απέχει το σημείο Δ από τις πηγές ή από Π x Δx Π το κέντρο θα πρέπει να έχουμε υπόψιν ότι ισχύουν τα εξής: x x = κ () (με κ αυτό που χρησιμοποιήσαμε στη σχέση ()) και x + x = (3) (στο παράδειγμά μας r > r και x > x οπότε μπορούμε να βγάουμε και μετά μπορού- κ τις απόυτες τιμές), έτσι οιπόν από τις () και (3) έχουμε: x = + με να υποογίσουμε από την (3) το x. r r x = + ή Aν θέουμε να βρούμε πόσο απέχει από το κέντρο το σημείο Δ χρησιμοποιούμε την παραμετροποίηση με βάση το κέντρο που αναφέρθηκε r M r παραπάνω και τεικά προκύπτει r r x x= r r Π x Δ Π ΔΟΥΚΑΤΖΗΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΦΥΣΙΚΟΣ 697 7, 69756063 W.U.
0. Ποια η εάχιστη μεταβοή στην συχνότητα ώστε ένα σημείο π.χ. το Μ από σημείο ακυρωτικής συμβοής να γίνει σημείο ενισχυτικής συμβοής. Αρχικά για το σημείο Μ θα ισχύει: r r ( N ) και η αρχική συχνότητα είναι: f N μετά την ααγή θα ισχύει: r r N r r N f f r r από την σχέση αυτή προκύπτει ότι η εάχιστη συχνότητα για την οποία έχουμε ενισχυτική συμβοή στο σημείο Μ είναι για Ν = 0 f min r r ενώ όταν θέουμε την εάχιστη μεταβοή στην συχνότητα θα πρέπει να επιέξουμε εκείνη την τιμή του Ν για την οποία η συχνότητα f είναι όσο το δυνατόν πιο κοντά στην συχνότητα f, ώστε η μεταβοή στην συχνότητα να είναι εάχιστη.. Διαφορά φάσης με την οποία τα δύο κύματα φτάνουν στο Μ και η γραφική παράσταση της Δφ = f(t) Τα κύματα που προέρχονται από τις πηγές Π Π είναι μεν πανομοιότυπα αά έχουν να διανύσουν διαφορετική απόσταση έτσι φτάνουν Δφ στο σημείο M με διαφορά φάσης: φ φ πt Τ πt Τ πr πr φ φ π(r r ) φ φ 0 t ) θ t εφθ = ω t Όπως βέπουμε ως τη στιγμή t δεν έχει φτάσει κανένα κύμα μετά την στιγμή t έχει φτάσει το κύμα και η φ αυξάνεται με το χρόνο ενώ μετά την στιγμή t φτάνουν και τα δύο κύματα και έτσι Δφ = σταθερό ΔΟΥΚΑΤΖΗΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΦΥΣΙΚΟΣ 697 7, 69756063 W.U.