Κεφάλαιο 3 ο Παίγνια σε µορφή στρατηγική (ή µήτρας) Το τελευταίο πράγµα µε το οποίο ασχοληθήκαµε στο προηγούµενο κεφάλαιο ήταν να µεταφέρουµε παίγνια από µορφή αναλυτική σε µορφή στρατηγική - µήτρας. Στην ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε καινούργιες έννοιες όπως αυτές: των αυστηρά κυρίαρχων στρατηγικών, των κυριαρχούµενων στρατηγικών, θα δούµε τρόπους επίλυσης των παιγνίων και τέλος θα µιλήσουµε για την ισορροπία σε αυστηρά κυρίαρχες στρατηγικές. Ας ξεκινήσουµε λοιπόν µε το πρώτο παράδειγµα που είναι το «ίληµµα των φυλακισµένων». Ισορροπία σε αυστηρά κυρίαρχες στρατηγικές. Ας υποθέσουµε ότι υπάρχουν δύο άτοµα τα οποία έχουν διαπράξει κάποιο έγκληµα και ότι ήδη έχουν συλληφθεί και βρίσκονται στη φυλακή. Ας υποθέσουµε επίσης ότι τους έχουν βάλει σε δύο διαφορετικά δωµάτια (αποκλεισµένους) και ότι τους ρωτάνε αν διέπραξαν ή όχι το συγκεκριµένο έγκληµα, και ότι ανάλογα µε τις απαντήσεις τους θα πάνε στη φυλακή για ορισµένα χρόνια. Εύκολα µπορούµε να συµπεράνουµε ότι για κάθε φυλακισµένο υπάρχουν δύο στρατηγικές: είτε να οµολογήσει το έγκληµα (C) είτε όχι (N). Με το δεδοµένο αυτό η µήτρα που προκύπτει είναι η εξής: C N C -8, -8 0, -10 N -10, 0-1, -1 Ας προσπαθήσουµε τώρα να δούµε τι είναι σηµαντικό και τι όχι στο παίγνιο αυτό. Η αρχική υπόθεση είναι ότι οι δύο κρατούµενοι βρίσκονται σε δυο διαφορετικά δωµάτια ανάκρισης. Η υπόθεση αυτή δεν είναι σηµαντική, από την άποψη ότι ακόµη και στο ίδιο δωµάτιο να ήταν δεν υπάρχει κάποιο συµβόλαιο το οποίο να τους υποχρεώνει να τηρήσουν τη συµφωνία τους. Από τη µήτρα του παιγνίου µπορούµε να διαπιστώσουµε ότι, ό,τι και να κάνει ο παίκτης 1, ο παίκτης 2 έχει µια στρατηγική που είναι κυρίαρχη. Τι σηµαίνει κυρίαρχη στρατηγική; Πριν δώσουµε την απάντηση ας ρίξουµε µια µατιά στα αποτελέσµατα που πετυχαίνει ο παίκτης 2, όταν ακολουθεί την στρατηγική C καθώς και όταν ακολουθεί την στρατηγική Ν: 27
C N 8 > 10 0 > 1 Όπως βλέπουµε αν οµολογήσει θα πετύχει 8 ή 0 ενώ αν δεν οµολογήσει θα πετύχει 10 ή 1. Είναι ξεκάθαρο ότι η στρατηγική να µην οµολογήσει το έγκληµα είναι κυριαρχούµενη (dominated) ενώ η στρατηγική να οµολογήσει είναι κυρίαρχη (dominant strategy). Κυριαρχούµενες Στρατηγικές Οι κυριαρχούµενες στρατηγικές µπορεί να είναι: ( i ) Αυστηρά (strongly) κυριαρχούµενες ή ( ii ) Ασθενώς (weakly) κυριαρχούµενες. Η στρατηγική να µην οµολογήσει είναι αυστηρά κυριαρχούµενη. ηλαδή υπάρχει µια άλλη στρατηγική, για το παράδειγµά µας η στρατηγική να οµολογήσει, που κυριαρχεί επ αυτής µε αυστηρό τρόπο, γεγονός που σηµαίνει ότι όλα της τα αποτελέσµατα είναι µεγαλύτερα από τα αποτελέσµατα της στρατηγικής αυτής. Εδώ βλέπουµε ότι το διάνυσµα 8 0 είναι κυρίαρχο, σε σχέση µε το διάνυσµα 10 1. Καταλαβαίνουµε λοιπόν ότι, ότι κι αν παίξει ο παίκτης 1, ο παίκτης 2 θα παίξει το C (γιατί κάνοντας σύγκριση στοιχείου προς στοιχείο των διανυσµάτων βλέπουµε ότι µε αυτό τον τρόπο ο παίκτης 2 πετυχαίνει λιγότερα χρόνια φυλακή µε την στρατηγική οµολογώ παρά µε την στρατηγική δεν οµολογώ). Με άλλα λόγια είναι σαν να παίζει µόνος του ο παίκτης 2. εν τον ενδιαφέρει τι κάνει ο παίκτης 1. Ό,τι και να κάνει ο παίκτης 1, καλύτερα γι αυτόν είναι να οµολογήσει. Άρα σε αυτή την περίπτωση µπορούµε να διαγράψουµε τελείως από τον χάρτη την στρατηγική Ν για τον παίκτη 2. C N C -8, -8 0, -10 N -10, 0-1, -1 Η ίδια ανάλυση µπορεί να γίνει και για τον παίκτη 1 διότι το παιχνίδι είναι συµµετρικό. Συνεπώς και εδώ η στρατηγική Ν διαγράφεται για τον παίκτη 1, άρα το µόνο αποτέλεσµα που µένει είναι το οµολογώ. Στο σηµείο αυτό ίσως υπάρχει η απορία γιατί σβήνουµε και για τον παίκτη 1 τη στρατηγική Ν. Αν συγκρίνουµε τα διανύσµατα: 28
C N 8 > 10 0 > 1 διαπιστώνουµε ότι η στρατηγική C είναι κυρίαρχη για τον παίκτη 1 ενώ η Ν είναι αυστηρά κυριαρχούµενη και ως εκ τούτου µπορούµε να τη διαγράψουµε. Με βάση λοιπόν την ανάλυσή µας καταλήγουµε στο (C, C) το οποίο και λέγεται ισορροπία σε αυστηρά κυρίαρχες στρατηγικές (equilibrium in strictly dominant strategies). Ίσως αυτή τη στιγµή στο µυαλό µας να υπάρχει η εξής απορία: Πότε µια στρατηγική είναι ασθενώς κυρίαρχη; Για το παράδειγµά µας αν ίσχυε: C N 8 > 10 0 0 τότε θα λέγαµε ότι η στρατηγική C είναι ασθενώς κυρίαρχη. Για να υπάρχει ισορροπία σε αυστηρώς κυρίαρχες στρατηγικές, πρέπει κάθε παίκτης να έχει µια αυστηρώς κυρίαρχη στρατηγική. Γενικά όταν µιλάµε για κυρίαρχες στρατηγικές, θα εννοούµε συνήθως τις αυστηρά κυρίαρχες. Η αλήθεια όµως είναι πως πολύ λίγα παίγνια έχουν αυτό το χαρακτηριστικό. Στα περισσότερα παίγνια δεν υπάρχουν καν κυρίαρχες στρατηγικές, αλλά ακόµη κι αν υπάρχουν µπορεί να τις έχει µόνο ένας από τους παίκτες. Ας µιλήσουµε όµως λίγο παραπάνω για το παίγνιο των φυλακισµένων το οποίο παρουσιάζει ιδιαίτερο ενδιαφέρον. C N C -8, -8 0, -10 N -10, 0-1, -1 29
Όπως µπορούµε να δούµε από την παραπάνω µήτρα το καλύτερο και για τους δύο παίκτες είναι να µην οµολογήσει κανείς ότι διέπραξε το έγκληµα. Με άλλα λόγια το καλύτερο αποτέλεσµα και για τους δυο επιτυγχάνεται όταν αυτοί συνεργάζονται (cooperation). Ας υποθέσουµε λοιπόν ότι αφήνουµε τους δύο παίκτες σε ένα δωµάτιο πριν γίνει η ανάκριση για να µιλήσουν και να φτιάξουν µια κοινή στρατηγική. Το ερώτηµα που γεννάται είναι τι θα συµβεί µετά τις ανακρίσεις; Θα υπάρχει µόνο µια ισορροπία στο παιχνίδι; Ας υποθέσουµε ότι αποφασίζουν µεταξύ τους να πάει ο καθένας χωριστά για ανάκριση. Στην περίπτωση αυτή το κίνητρο να οµολογήσει ο καθένας από τους δυο είναι ακόµα µεγαλύτερο. Και αυτό γιατί αν είναι σίγουρος ότι ο άλλος δεν θα οµολογήσει, το καλύτερο που ο ίδιος έχει να κάνει είναι να οµολογήσει και άρα να πετύχει το µηδέν. Για το λόγο αυτό όλη η προηγούµενη συζήτηση λέγεται cheap talk. ηλαδή συζήτηση χωρίς νόηµα χωρίς ουσία αφού τις περισσότερες φορές δεν έχει κανένα αποτέλεσµα. Τι σηµαίνει να έχει εµπιστοσύνη ο ένας στον άλλον; Η εµπιστοσύνη είναι ένα δεδοµένο που θα µπορούσε να µπει στο παιχνίδι µόνο αν αλλάζαµε τα αποτελέσµατα (του παιχνιδιού). ηλαδή, αν το να σπάσει µια συµφωνία µεταξύ των δυο, άλλαζε την χρησιµότητα και των δύο τότε δεν θα είχαµε αυτό το παίγνιο αλλά κάποια διαφορετική µήτρα - µε διαφορετικά νούµερα. Το δεδοµένο όµως αυτό δεν υπάρχει στις υποθέσεις που εµείς κάναµε εξαρχής. Με άλλα λόγια είναι στοιχεία δεδοµένα που θα µπορούσαν να µπουν σε ένα εκτεταµένο παίγνιο - αλλά τότε δεν θα µιλάγαµε για το παίγνιο του ιλήµµατος των φυλακισµένων. Για να δούµε όµως τώρα που υπάρχει πρόβληµα; Ας υποθέσουµε ότι ο ένας έχει πολύ µεγάλη θέληση και σκέφτεται ότι: «Εγώ θέλω να συνεργαστώ. Ξέρω όµως ότι ακόµα και αν εγώ θέλω (να συνεργαστώ), ο άλλος έχει κίνητρο να οµολογήσει. Οπότε τι µπορώ να κάνω εγώ; Πάλι θα οµολογήσω». Άρα ακόµα και αν ο ένας έχει όλη την καλή διάθεση δεν έχει την δυνατότητα να ξεφύγει από τον φαύλο κύκλο. Εδώ φαίνεται καθαρά ποιος είναι ο ρόλος της υπόθεσης του ορθολογισµού: οι παίκτες είναι ορθολογικοί. Με άλλα λόγια καθένας ξέρει ότι ο άλλος θα δράσει µε κριτήριο τη µεγιστοποίηση της ευηµερίας του, οπότε πάντοτε θα επιλέγει κάτι που του δίνει µεγαλύτερη χρησιµότητα από κάτι άλλο. ( εν υπάρχει κανένας τρελός τύπος που ν αναζητά κάτι διαφορετικό). 30
Το παίγνιο αυτό θα µπορούσαµε να το αλλάξουµε κάπως και να πούµε ότι ο ένας από τους δυο παίκτες έχει ένα συγκεκριµένο τύπο ώστε να µην ακολουθεί τον ορθολογισµό. Το τι ακριβώς χρειάζεται για να αλλάξει το αποτέλεσµα δεν θα το αναλύσουµε εδώ. (Για να πάρουµε µια µικρή γεύση του τι θα µπορούσε να συµβεί θα πρέπει να υποθέσουµε ότι κάθε ένας έχει απέναντι του ένα άτοµο, όπου µε µια πιθανότητα είναι ορθολογικό και µε µια άλλη δεν είναι. Το ερώτηµα που τίθεται είναι τι πιθανότητα χρειάζεται να µην είναι ορθολογικά τα δυο άτοµα και να µπορέσουνε να συνεργαστούν µεταξύ τους χωρίς να µιλήσουν; Αν υπήρχε ένας τρόπος έτσι ώστε υπογράφοντας ένα συµβόλαιο να ακολουθούσαν το (Ν, Ν)..) Πολλές φορές στα οικονοµικά, η υπερβολική πληροφόρηση ή η υπερβολική ορθολογικότητα δεν είναι πράγµατα που επιλέγουµε. Συνοψίζοντας θα λέγαµε ότι χρησιµοποιώντας το παίγνιο «το δίληµµα των φυλακισµένων» έχουµε: (i) oρίσει τι σηµαίνει αυστηρά κυριαρχούµενη στρατηγική (ii) δει ότι όταν κάθε παίκτης έχει στα χέρια του µια αυστηρά κυρίαρχη στρατηγική τότε στο παίγνιο υπάρχει µια ισορροπία που ονοµάζεται ισορροπία σε αυστηρά κυρίαρχες στρατηγικές (ii) δει ότι όταν µια στρατηγική είναι αυστηρά κυριαρχούµενη µπορούµε να την «πετάξουµε» έξω / να την αφήσουµε. Γιατί; ιότι ένα άτοµο που είναι ορθολογικό ποτέ δεν θα χρησιµοποιήσει µια στρατηγική η οποία είναι αυστηρά κυριαρχούµενη. As δούµε τώρα τι προβλήµατα δηµιουργούνται αν προσπαθήσουµε να σβήσουµε µια ασθενώς κυριαρχούµενη στρατηγική. Γενικά η λογική µας είναι η εξής: αν µια στρατηγική δίνει καλύτερα αποτελέσµατα από µια άλλη, τη στρατηγική αυτή θα τη χρησιµοποιήσουµε στην θέση της άλλης. Με άλλα λόγια µπορούµε να αντικαταστήσουµε τη στρατηγική µε τα χειρότερα αποτελέσµατα, µε εκείνη που δίνει τα καλύτερα (αποτελέσµατα). Αυτό είναι το λογικό για ένα ορθολογικό άτοµο. Αν όµως θέλουµε να δώσουµε λύση σε ένα παίγνιο απαλείφοντας στρατηγικές που δεν είναι αυστηρά κυριαρχούµενες, τότε δυστυχώς βρισκόµαστε µπροστά σε προβλήµατα. Τα προβλήµατα που µπορούν να δηµιουργηθούν είναι τα εξής: (i) χάνονται ορισµένες ισορροπίες, οι οποίες είναι οι πιο ενδιαφέρουσες. (ii) η ισορροπία εξαρτάται από το αρχικό σηµείο, δηλαδή από το που ξεκινάµε την απαλοιφή. Πριν εστιάσουµε στα προβλήµατα αυτά, θα δούµε µια ακόµη επίλυση των παιγνίων που λέγεται: ιαδοχική Απαλοιφή Αυστηρά Κυριαρχούµενων Στρατηγικών Σηµείωση:: Τα προβλήµατα (i) και (ii) δεν ισχύουν για την περίπτωση αυτή. 31
Παράδειγµα: Ας υποθέσουµε ότι έχουµε το παίγνιο που παρουσιάζεται στην παρακάτω µήτρα: Αριστερά Μέσος εξιά Πάνω 1, 0 1, 2 0, 1 Κάτω 0, 3 0, 1 2, 0 Όπως παρατηρούµε στο παίγνιο αυτό έχουµε δύο παίκτες. Ο παίκτης 1 µπορεί να πάει πάνω ή κάτω ενώ ο παίκτης 2 αριστερά, µεσαία ή δεξιά. Το ερώτηµα που τίθεται τώρα είναι αν υπάρχει κάποιος παίκτης ο οποίος να έχει αυστηρά κυρίαρχη στρατηγική. Ο παίκτης 1 έχει: 1 > 0 1 > 0 0 < 2. Άρα καµιά από τις δύο δεν κυριαρχεί. Για τον παίκτη 2 έχουµε: 0 3 2 1 1 0 Υπάρχουν άραγε εδώ αυστηρά κυρίαρχες στρατηγικές; Σηµείωση: Για να υπάρχει µια αυστηρά κυριαρχούµενη στρατηγική, πρέπει να βρούµε µια αυστηρά κυρίαρχη της κυριαρχούµενης. Από τη µήτρα παρατηρούµε ότι: Μέσος εξιά 2 > 1 1 > 0 Εκείνο που ψάχνουµε εµείς είναι να βρούµε µια στρατηγική την οποία ο παίκτης δεν θα χρησιµοποιήσει ποτέ. Και δεν θα χρησιµοποιήσει µια στρατηγική, αν υπάρχει µια καλύτερη από όλες τις απόψεις την οποία µπορεί να χρησιµοποιήσει αντί αυτής. Για το παίγνιο που εξετάζουµε ο παίκτης 2 δεν πρόκειται να χρησιµοποιήσει ποτέ τη στρατηγική δεξιά αφού χρησιµοποιώντας τη µεσαία, µπορεί να πετύχει καλύτερα αποτελέσµατα. Άρα, η δεξιά είναι µια αυστηρά κυριαρχούµενη στρατηγική. Όταν µιλάγαµε για ορθολογικούς παίκτες είπαµε ότι αυτοί ποτέ δεν χρησιµοποιούν µια αυστηρά κυριαρχούµενη στρατηγική. Είναι common knowledge (κοινή γνώση). 32
εν είναι ότι οι ίδιοι οι παίκτες δεν χρησιµοποιούν αυτή την κυριαρχούµενη στρατηγική. Είναι ότι ο αντίπαλος τους ξέρει πολύ καλά, ότι δεν θα τη χρησιµοποιήσει και αυτός ο ίδιος ξέρει ότι ο αντίπαλος του ξέρει ότι δεν θα την χρησιµοποιήσει....κ.λ.π., µέχρι το άπειρο. Συνοψίζοντας θα λέγαµε ότι κοινή γνώση είναι ότι εγώ ξέρω τι ξέρεις και εσύ ξέρεις ότι εγώ ξέρω ότι ξέρεις και κ.λ.π., µέχρι το άπειρο. Άρα, από την στιγµή που ο παίκτης 2 είναι ορθολογικός δεν θα παίξει την στρατηγική δεξιά. Αριστερά Μέσος εξιά Πάνω 1, 0 1, 2 0, 1 Κάτω 0, 3 0, 1 2, 0 Ο παίκτης 1 ξέρει ότι ο παίκτης 2 είναι ορθολογικός και άρα ξέρει ότι δεν θα παίξει στην στρατηγική δεξιά. Ο παίκτης 2 ξέρει ότι ο παίκτης 1 ξέρει ότι είναι ορθολογικός και άρα δεν θα παίξει την στρατηγική δεξιά κ.λ.π. µέχρι το άπειρο. Με δεδοµένο λοιπόν την «κοινή γνώση» µπορούµε να απαλείψουµε τη στρατηγική δεξιά. Ας επιστρέψουµε τώρα στον παίκτη 1 και ας ψάξουµε να δούµε αν υπάρχει καµιά αυστηρά κυριαρχούµενη στρατηγική για αυτόν. Παρατηρούµε ότι: Π άνω Κάτω 1 > 0 1 > 0 Σηµείωση: Αποκλείουµε τελείως τη στρατηγική δεξιά, διότι είναι κοινή γνώση και για τους δύο. Με βάση την «κοινή γνώση» και ακολουθώντας την ίδια λογική πορεία που χρησιµοποιήσαµε παραπάνω για τον παίκτη 2 αποκλείουµε τη στρατηγική κάτω για τον παίκτη 1. Αριστερά Μέσος εξιά Πάνω 1, 0 1, 2 0, 1 Κάτω 0, 3 0, 1 2, 0 33
Στόχος µας είναι να απαλείφουµε διαδοχικά τις αυστηρά κυριαρχούµενες στρατηγικές προκειµένου να καταλήξουµε σε µια ισορροπία. Έτσι ο παίκτης 2 θα επιλέξει τη στρατηγική µέσος αφού η στρατηγική αριστερά είναι αυστηρά κυριαρχούµενη ( 0 < 2). Καταλήξαµε λοιπόν σε µια ισορροπία που είναι πάνω - µέσο µε τιµή (1, 2). Επαναλαµβάνουµε την λογική: Ο παίκτης 1 δεν θα επιλέξει το κάτω ξέροντας ότι ο παίκτης 2 δεν θα επιλέξει ποτέ δεξιά. Ο 1 ξέροντας ότι ο 2 δεν θα επιλέξει ποτέ δεξιά δεν θα επιλέξει ποτέ δεξιά θα επιλέξει πάνω αντί κάτω. Βλέπουµε λοιπόν ότι οι παίκτες πριν ξεκινήσουν το παιχνίδι κάνουν όλη αυτή την ανάλυση στο µυαλό τους (mental thought). Σηµείωση: Αν έχουµε αυστηρά κυριαρχούµενες στρατηγικές, θα καταλήξουµε στο ίδιο αποτέλεσµα, οποιαδήποτε σειρά και αν ακολουθήσουµε. Σηµείωση: Στο σηµείο αυτό θα πρέπει να τονίσουµε ότι πολύ λίγα παίγνια έχουν ισορροπία σε αυστηρά κυρίαρχες στρατηγικές. (Μέχρι τώρα έχουµε δει και έχουµε µιλήσει για τέτοια παίγνια) Συνήθως στα περισσότερα παίγνια υπάρχουν µερικές αυστηρά κυριαρχούµενες στρατηγικές. Στις περιπτώσεις αυτές ενεργούµε όπως και πριν. ηλαδή απαλείφουµε διαδοχικά τις αυστηρά κυριαρχούµενες στρατηγικές έως φτάσουµε σ ένα κουτάκι κελί (της µήτρας) ή σ ένα µικρότερο παίγνιο. Στο παίγνιο µε τους φυλακισµένους ύστερα από διαδοχικές απαλοιφές αυστηρά κυριαρχούµενων στρατηγικών καταλήξαµε στην ισορροπία (πάνω, µέσος). Ας υποθέσουµε τώρα ότι έχουµε ένα παίγνιο το οποίο παριστάνεται µε µια µήτρα 10 10. Έστω επίσης ότι απαλείφουµε όλες τις αυστηρά κυριαρχούµενες στρατηγικές και φτάνουµε σε µια µήτρα 2 2. Τι κάνουµε από εκεί και πέρα; Προκειµένου να φτάσουµε σε ισορροπία βρίσκουµε κάποιο κριτήριο π.χ. ισορροπία κατά Nash. Με άλλα λόγια, η λογική πάνω στην οποία στηριζόµαστε προκειµένου να φτάσουµε σε ισορροπία σε παίγνια όπως αυτό µε τους φυλακισµένους είναι να απαλείφουµε διαδοχικά τις αυστηρά κυριαρχούµενες στρατηγικές. Και αυτό µπορούµε να το κάνουµε πάντοτε διότι ποτέ οι ορθολογικοί παίκτες δεν χρησιµοποιούν αυστηρά κυριαρχούµενες στρατηγικές όταν αποφασίζουν. Έτσι το (πάνω, µέσος) που βρήκαµε στο παράδειγµα, είναι η ισορροπία µετά την διαδοχική απαλοιφή αυστηρά κυριαρχούµενων στρατηγικών. Αλλά, δεν είναι τα πολλά παιγνίδια που έχουν τέτοιες ισορροπίες. Σηµείωση: Όλες αυτές οι πιθανές λύσεις που δίνουµε είναι επίσης ισορροπίες κατά Nash. Όµως επειδή η διαδοχική απαλοιφή αυστηρά κυριαρχούµενων στρατηγικών είναι πιο ο 34
«καθαρός» τρόπος που υπάρχει προκειµένου να βρίσκουµε ισορροπίες στα παίγνια, τον ξεχωρίζουµε και τον βάζουµε σε µια ξεχωριστή κατηγορία. Απαλοιφή ασθενώς κυριαρχούµενων στρατηγικών Ας δούµε τώρα τα προβλήµατα που προκύπτουν από την απαλοιφή ασθενώς κυριαρχούµενων στρατηγικών. Για το σκοπό αυτό θα εξετάσουµε το ακόλουθο παίγνιο. Έστω ότι υπάρχουν δυο παίκτες όπου οι επιλογές του ενός είναι πάνω ή κάτω ενώ του άλλου αριστερά ή δεξιά. Όπως βλέπουµε από τη µήτρα το παιχνίδι είναι συµµετρικό. Θα δούµε τώρα ότι η ισορροπία εξαρτάται από το αρχικό σηµείο απαλοιφής. Αριστερά εξιά Πάνω 0, 0 0, 1 Κάτω 1, 0 0, 0 Παρατηρούµε ότι για τον παίκτη 2 έχουµε : Αριστερά εξιά 0 < 1 0 0 ηλαδή η στρατηγική αριστερά είναι ασθενώς κυριαρχούµενη. Σαν ασθενώς κυριαρχούµενη, «µπορούµε» να την απαλείψουµε. Παρατηρούµε τώρα ότι για τον παίκτη 1 οι δύο στρατηγικές (πάνω ή κάτω) δεν έχουν καµία διαφορά αφού πετυχαίνουν τα ίδιο αποτέλεσµα. Καταλήγουµε λοιπόν στο να έχουµε δύο πιθανές ισορροπίες: το (0,1) και το (0,0). Αριστερά εξιά Πάνω 0, 0 0, 1 Κάτω 1, 0 0, 0 Ας δούµε τώρα τι θα συµβεί αν ξεκινήσουµε αλλιώς να κάνουµε την απαλοιφή. Από τον πίνακα βλέπουµε ότι για τον παίκτη 1 η στρατηγική πάνω είναι ασθενώς κυριαρχούµενη αφού: 35
Πάνω Κάτω 0 0 1 > 0 Συνεπώς «µπορούµε» να απαλείψουµε το πάνω. Αριστερά εξιά Πάνω 0, 0 0, 1 Κάτω 1, 0 0, 0 Παρατηρούµε ότι για τον παίκτη 2 οι δυο στρατηγικές (αριστερά ή δεξιά) δεν έχουν καµία διαφορά αφού δίδουν τα ίδια ακριβώς αποτελέσµατα. Έχουµε δηλαδή και εδώ δυο πιθανές ισορροπίες. Συνοψίζοντας θα λέγαµε ότι όταν σ ένα παίγνιο υπάρχουν ασθενώς κυριαρχούµενες στρατηγικές και εµείς διαδοχικά τις απαλείψουµε τότε θα οδηγηθούµε σε διαφορετικά αποτελέσµατα ανάλογα µε την αρχική απαλοιφή (από το σηµείο που αρχίζουµε). Με άλλα λόγια είναι προβληµατική η απαλοιφή ασθενώς κυριαρχούµενων στρατηγικών. 36
ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΚΑΤΑ NASH. To κουτί του Skinner. Το παίγνιο που θα εξετάσουµε λέγεται το κουτί του Skinner. Υποθέτουµε ότι µέσα στο κουτί υπάρχει ένα µικρό γουρουνάκι και ένα µεγάλο γουρουνόπουλο. Επίσης ότι στη µια γωνιά του κουτιού υπάρχει φαγητό το οποίο για να πέσει πρέπει να πατήσει το γουρούνι το κουµπί. Υπάρχουν 10 µονάδες τροφής. Το κόστος του να πατήσουµε το κουµπί είναι 2 µονάδες φαγητού. Οι στρατηγικές καθώς και τα αποτελέσµατα φαίνονται στον παρακάτω πίνακα: (µ) Πιέζω Περιµένω Πιέζω 7, 3 6, 4 (Μ) Χωρίς κόστος Περιµένω 9, 1 0, 0 (Μ) (µ) Πιέζω Περιµένω Πιέζω 5, 1 4, 4 Περιµένω 9,- 1 0, 0 Μείον κόστος Το ερώτηµα που γεννάται τώρα είναι αν υπάρχει καµιά κυρίαρχη στρατηγική για τους δυο παίκτες; Παρατηρούµε ότι: Πιέζω Περιµένω 1 4 1 0 Το περιµένω είναι µια κυρίαρχη στρατηγική, αλλά µόνο για τον ένα από τους δύο παίκτες (µ). Για το µεγάλο γουρούνι (Μ) δεν υπάρχει κυρίαρχη στρατηγική αφού: 5 < 9 4 > 0 Ας δούµε τώρα πως θα επιτευχθεί η ισορροπία κατά Nash στην οποία υπάρχει κοινή λογική. Η ισορροπία κατά Nash ερµηνεύεται µε 2 τρόπους: 37
είναι ένα διάνυσµα στρατηγικών έτσι ώστε, δεδοµένου του τι κάνουν οι υπόλοιποι παίκτες ο παίκτης που εξετάζουµε κάνει το καλύτερο δυνατό (δίνει την καλύτερη απάντηση). Και αυτό ισχύει για όλους τους παίχτες την ίδια στιγµή. Για παράδειγµα: ισορροπία κατά Nash για 2 παίκτες είναι µια δυάδα στρατηγικών, έτσι ώστε, δεδοµένου του τι κάνει ο παίκτης 2, η απάντηση του παίκτη 1 είναι η καλύτερη δυνατή και δεδοµένου του τι κάνει ο παίκτης 1, η απάντηση του παίκτη 2 είναι επίσης η καλύτερη δυνατή. είναι ένα διάνυσµα στρατηγικών, έτσι ώστε δεδοµένου του τι κάνουν οι αντίπαλοι, ο παίκτης που εξετάζουµε δεν έχει κανένα κίνητρο να αλλάζει την απόφασή του - να αλλάζει την στρατηγική του. Ας επιστρέψουµε τώρα στο παίγνιο που αφορά το κουτί του Skinner και ας δούµε πως εφαρµόζονται τα παραπάνω: (Μ) (µ) Πιέζω Περιµένω Πιέζω 5, 1 4, 4 Περιµένω 9,- 1 0, 0 Ας υποθέσουµε ότι το µεγάλο γουρούνι πιέζει. Ποια κίνηση είναι καλύτερη για το µικρό γουρούνι; Είναι φανερό πως το να περιµένει είναι ότι καλύτερο αφού 1< 4. Ας υποθέσουµε τώρα ότι το µεγάλο γουρούνι περιµένει. Είναι προφανές ότι το καλύτερο που έχει να κάνει το µικρό γουρούνι είναι να περιµένει αφού 1< 0. (Μ) (µ) Πιέζω Περιµένω Πιέζω 5, 1 4, 4 Περιµένω 9,- 1 0, 0 Τώρα θα κάνουµε το ίδιο πείραµα για το µικρό γουρούνι. Αν πούµε ότι το µικρό γουρουνάκι πιέζει, τότε το καλύτερο για το µεγάλο είναι να περιµένει αφού: 5 < 9. Αν πάλι το µικρό περιµένει, τότε το µεγάλο θα πιέζει αφού: 4 > 0 38
(Μ) (µ) Πιέζω Περιµένω Πιέζω 5, 1 4, 4 Περιµένω 9,- 1 0, 0 Παρατηρούµε ότι µόνο σε ένα από τα παραθυράκια συµπίπτει ο κύκλος και ο ρόµβος. Τι σηµαίνει αυτό; εδοµένου ότι το µικρό γουρούνι «περιµένει» το καλύτερο για το µεγάλο είναι να «πιέσει». Επίσης δεδοµένου ότι «πιέζει» το µεγάλο γουρούνι, το καλύτερο για το µικρό είναι να «περιµένει». Συνεπώς το (4, 4) είναι εκείνο το διάνυσµα στρατηγικών, το οποίο δεδοµένου του τι κάνει ο αντίπαλος, ο παίκτης που εξετάζουµε κάνει το καλύτερο δυνατό (best response). Αυτή είναι η ισορροπία κατά Nash. Σηµείωση: Η ισορροπία σε κυρίαρχες στρατηγικές είναι και ισορροπία κατά Nash. Αντίστροφα µια ισορροπία κατά Nash, δεν είναι ισορροπία σε κυρίαρχες στρατηγικές. Συνοψίζοντας θα λέγαµε ότι η ισορροπία κατά Nash είναι µια πιο γενική επίλυση που µπορεί να εφαρµοστεί σε πάρα πολλά παίγνια, ενώ η ισορροπία σε κυρίαρχες στρατηγικές είναι πιο περιορισµένη. Ας δούµε τώρα την δεύτερη ερµηνεία που δώσαµε στην ισορροπία κατά Nash: κανένας από τους δυο παίκτες δεν έχει κίνητρο να αλλάξει την στρατηγική του, δεδοµένου του τι κάνει ο αντίπαλος του. Ας υποθέσουµε ότι το µικρό γουρούνι περιµένει. (µ) Πιέζω Περιµένω Πιέζω 5, 1 4, 4 (Μ) Περιµένω 9,- 1 0, 0 Το ερώτηµα που τίθεται είναι αν το µεγάλο γουρούνι έχει κίνητρο να περιµένει, µε άλλα λόγια αν έχει κίνητρο να αλλάξει τη στρατηγική του (από πιέζω σε περιµένω). Η απάντηση είναι πως ΟΧΙ, διότι αν αλλάξει εκεί που είχε 4 θα έχει 0. 39
εδοµένου τώρα, ότι το µεγάλο γουρούνι πιέζει, το µικρό δεν θα αλλάξει στρατηγική διότι αν αλλάξει και πιέσει και αυτό, αντί για 4 θα πετύχει 1. Άρα δεν έχει κίνητρο να αποκλίνει. Συνοψίζοντας θα λέγαµε ότι ανάλογα µε την περίπτωση θα χρησιµοποιούµε είτε τη µια ερµηνεία είτε την άλλη για το Nash Equilibrium. ηλαδή είτε είναι το best response είτε το no incentive to deviate. Και τα δύο οδηγούν στο ίδιο πράγµα, αλλά ανάλογα µε το πρόβληµα (Υπάρχουν παίγνια τα οποία είναι δύσκολο ν αναλυθούν. Στις περιπτώσεις αυτές χρησιµοποιώ τη δεύτερη ερµηνεία) θα χρησιµοποιήσουµε την µια ή την άλλη ερµηνεία. Ουσιαστικά, η ισορροπία του Nash, έχει να κάνει µε την ευστάθεια των φυσικών σωµάτων. Για παράδειγµα όταν έχουµε µια σφαίρα πάνω σε µια επιφάνεια τύπου (Α) και τη µετακινήσουµε λιγάκι: είναι φανερό ότι θα πέσει. Αν όµως η σφαίρα είναι σε µια επιφάνεια τύπου Β και την µετακινήσουµε λίγο, τότε αυτή θα επανέλθει και πάλι στο αρχική της θέση. Λίγο πολύ η ίδια λογική υπάρχει στην ισορροπία κατά Nash. ηλαδή αν αλλάξουµε λιγάκι κάποιο παράγοντα θα ξαναγυρίσει πίσω το παιγνίδι. Αλλά όπως βλέπουµε υπάρχει και η κοινή λογική. εδοµένου του τι κάνει ο ένας απαντά ο άλλος µε τον καλύτερο τρόπο. Αλλά την ίδια στιγµή, δεδοµένου του τι κάνει ο ένας, απαντά µε τον καλύτερο τρόπο ο δεύτερος. Η δεύτερη ερµηνεία έχει την εξής λογική: υπάρχει ένας κεντρικός σχεδιαστής / εξωτερικός παράγοντας που λέει στο µικρό γουρουνάκι περίµενε και στο µεγάλο πίεσε. Έχουν κίνητρο να ακολουθήσουν την σύσταση; Αν δεν αλλάξουν συµπεριφορά, σηµαίνει ότι η σύσταση αυτή είναι ισορροπία κατά Nash. Αν όχι, δεν είναι ισορροπία κατά Nash. 40