ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΝΟΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗΣ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΚΑΜΠΥΛΩΝ Ανδρέας Αρβανιτογεώργος και Μαρίνα Σταθά Πανεπιστήμιο Πατρών Τμήμα Μαθηματικών 1
Περιγραφή του προβλήματος 2
Θέλουμε να προσαρμόσουμε σε μια κυλινδρική επιφάνεια (σχήμα 1) (π.χ. μια καπνοδόχο ή ένα σιλό αποθήκευσης) μια ελικοειδή μεταλλική λωρίδα (σχήμα 2) κομμένη σε τμήματα. σχήμα 1 σχήμα 2 3
Αυτό που ζητάμε είναι η ακτινά κοπής κάθε τμήματος ώστε η λωρίδα να έχει την βέλτιστη εφαρμογή περί τον κύλινδρο. 4
Ο λόγος που ζητάμε κάτι τέτοιο είναι, π.χ. στην περίπτωση της καπνοδόχου για καλύτερη στήριξη, ενώ για το σιλό η προσαρμογή μιας σκάλας. 5
Στήριξη καπνοδόχου 6
Προσαρμογή σκάλας 7
8
Παρατήρηση Η τομή των δυο επιφανειών που αναφέραμε προηγουμένως μας δίνει την καμπύλη της κυκλικής έλικας, έλικας την οποία θα παρουσιάσουμε στην συνέχεια. 1.0 0.5 0.5 0.0 1.0 2.0 1.5 1.0 0.5 0.0 1.0 0.5 0.0 0.5 1.0 9
Διαφορική Γεωμετρία Η θεωρία καμπυλών και επιφανειών αποτελεί τον κύριο κορμό της κλασικής διαφορικής γεωμετρίας, γεωμετρίας η οποία αναπτύχθηκε τον 18ο αιώνα κυρίως από τον Gauss. Η θεωρία αυτή αποτέλεσε την φυσική εξέλιξη στους προβληματισμούς πολλών μαθηματικών σχετικά με την ύπαρξη μη Ευκλειδείων γεωμετριών. Αντικείμενό της είναι η μελέτη της έννοιας της καμπυλότητας μιας διαφορίσιμης καμπύλης και μιας διαφορίσιμης επιφάνειας στον τρισδιάστατο Ευκλείδειο χώρο. Δινούμε στη συνέχεια κάποιες βασικές έννοιες από τη θεωρια αυτή. 10
Καμπύλες στο επίπεδο και στο χώρο Ορισμος 1. Μια καμπύλη στον Ευκλείδειο χώρο του R 3 είναι μια διαφορίσιμη απεικόνιση γ : (α, β ) Ν R R 3, με (διανυσματική) παραμετρική εξίσωση γ (t ) = ( x1 (t ), x2 (t ), x3 (t )), t Ξ (a, β ) xδιαφορίσιμη σημαίνει ότι οι συναρτήσεις i = 1, 2,3 i : (α, β ) R απεικόνιση, είναι διαφορίσιμες με τη συνήθη έννοια της διαφορισιμότητας. R2 Ανάλογα, μια γ (t )καμπύλη = ( x1 (t ),στον x2 (t )). θα έχει τη μορφή 11
Παραδείγματα 2 y = x R 1. Η ευθεία του επιπέδου. Μια παραμετρική εξίσωση αυτής είναι γ (t ) = (t, t ). 12
2. Ο κύκλος x + y = 1. Η παραμετρική εξίσωση που περιγράφει τον κύκλο είναι η γ (t ) = (cos t, sin t ), t Ξ [0, 2π ). 2 2 13
Στον χώρο R 3 μια καμπύλη είναι η τομή δύο επιφανειών. 3. Η ευθεία του χώρου ως τομή δύο επιπέδων: μ Α 1x + Β 1 y + Γ 1z + 1 = 0 ε :ν ξ Α 2 x+ Β 2 y + Γ 2 z + 2 = 0 Η παραμετρική εξίσωση αυτής είναι: γ (t ) = ( x0 + t µ, y0 + tν, z0 + t ρ ) όπου ( x0, y0, z0 ) σημείο της ευθείας και µ,ν, ρ Ξ R 14
15
4. Η κυκλική έλικα με παραμετρική εξίσωση γ (t ) = (α cos t, α sin t, bt ) t Ξ R 16
Η έλικα αυτή βρίσκεται στην επιφάνεια του κυλίνδρου x2 + y 2 = α 2 α α t ακτίνας. Ο θετικός αριθμός λέγεται ακτίνα της έλικας. Ηxπαράμετρος εκφράζει τη 0, 0) των και τις ευθείας που ενώνει γωνία του(0, άξονα xy την αρχή με την προβολή του τυχαίου 2π πάνω στο επίπεδο (α cos t, α sin. tκαθώς, bt ) σημείου της καμπύλης t z το αυξάνει κατά το σημείο 2π γύρω b 2π b περιστρέφεται μια φορά από τον άξονα των κατά. Ο αριθμόςt = 0 λέγεται βήμα της έλικας. Για βρισκόμαστε στο σημείο (α, 0,παράδειγμα, 0) t για = 2π (α,0, 2π b) ενώ για έχει γίνει μια πλήρης περιστροφή και ερχόμαστε στο σημείο. 17
6. Η καμπύλη με παραμετρική εξίσωση 1 γ (t ) = (cos t +,sin t cos t,sin t ) 2 2 είναι η τομή της σφαίρας με ακτίνα 1 και κέντρο 1 (, 0, 0) και του κυλίνδρου περί τον άξονα z και 2 ακτίνα 1/2. Η καμπύλη αυτή λέγεται καμπύλη του Viviani. 18
Μήκος τόξου Για να μετρήσουμε το μήκος μιας καμπύλης εργαζόμαστε ως εξής: Ξέρουμε ότι το μήκος του ευθύγραμμου τμήματος μεταξύ των σημείων u = (u1, u2, u3 ) και v = (v1, v2, v3 ) του R 3 είναι u v = (v1 u1 ) + (v2 u2 ) + (v3 u3 ) 2 2 2 19
Για να βρούμε το μήκος ενός τμήματος μιας καμπύλης, την προσεγγίζουμε με μια πολυγωνική γραμμή (βλ. σχήμα), υπολογίζουμε το μήκος κάθε ευθύγραμμου τμήματος και τέλος αθροίζουμε. 20
Με βάση τα παραπάνω ορίζουμε το μήκος τόξου μιας καμπύλης. 3 γ :[ α, β ] R Ορισμός 2. Το μήκος τόξου μια καμπύλης γ (t ) = ( x1 (t ), x2 (t ), x 3 (t )) s(t ) εξίσωση με διανυσματική t συνάρτηση που δίνεται ως εξής s (t ) = ς γ Ά(u ) είναι η du t0 όπου t0 ένα συγκεκριμένο σημείο της καμπύλης. 21
Παράδειγμα Με βάση τον παραπάνω ορισμό, το μήκος τόξου του κύκλου με κέντρο το (0,0) και ακτίνα r και με παραμετρική εξίσωση γ (t ) = (r cos t, r sin t ) t Ξ [0, 2π ] είναι s= 2π ς 0 2π γ& (t ) dt = ς rdt = 2π r 0 22
Καμπυλότητα Η καμπυλότητα ελέγχει το πόσο καμπυλώνει μια καμπύλη και ορίζεται ως εξής Ορισμός 3. Έστω γ μια καμπύλη μοναδιαίας ταχύτητας με παράμετρο t(δηλαδή γ Ά(t ) = 1 ). Η καμπυλότητα ορίζεται ως κ (t ) = γ&&(t ). Συγκεκριμένα, όταν η καμπύλη μας είναι μια ευθεία τότε η καμπυλότητά της είναι μηδεν σε κάθε σημείο της. 23
Στην περίπτωση που η καμπύλη μας δεν είναι μοναδιαίας ταχύτητας δηλαδή γ Ά(t ) Ή 1 τότε υπολογίζουμε την καμπυλότητα σύμφωνα με τον παρακάτω τύπο κ = Ά γ Ά γά γά 3 1 Το αντίστροφο της καμπυλότητας ρ (t ) = κ (t ) λέγεται ακτίνα καμπυλότητας της καμπύλης στο σημείο γ (t ) 24
Συνοδεύον τρίεδρο του Frenet Σε κάθε σημείο μιας καμπύλης γ : (α, β ) R3 με παράμετρο το μήκος τόξου της s ορίζεται μια ορθοκανονική βάση { T ( s), N (s), B( s)} η οποία λέγεται συνοδεύον τρίεδρο Frenet, Frenet όπου 1 & &, N ( s ) = T ( s), B( s ) = T ( s ) N ( s ) T (s) = γ (s) κ (s) 25
Μέσω αυτών των διανυσμάτων ορίζουμε τρία επίπεδα για κάθε σημειο της καμπύλης ως εξής: Το εφαπτόμενο διάνυσμα T και το πρώτο κάθετο N ορίζουν το εγγύτατο επίπεδο Το πρώτο κάθετο N και το δεύτερο κάθετο B ορίζουν το κάθετο επίπεδο Το εφαπτόμενο διάνυσμα T και το δεύτερο κάθετο B ορίζουν το ευθειοποιούν επίπεδο. 26
Βασική Παρατήρηση Αν έχουμε μια καμπύλη γ μοναδιαίας ταχύτητας με παράμετρο το μήκος τόξου της s και καμπυλότητα κ ( s0 ) > 0 για κάποιο s0 στο πεδίο ορισμού της, τότε αποδεικνύεται ότι υπάρχει μοναδικός κύκλος με διανυσματική παραμετρική εξίσωση γ 1 ο οποίος βρίσκεται στο εγγύτατο επίπεδο της γ στο σημείο s0 και προσεγγίζει την καμπύλη στο σημείο αυτό με την εξής έννοια: γ ( s0 ) = γ 1 ( s0 ), γ& ( s0 ) = γ&1 ( s0 ), και γ&&( s0 ) = γ&&1 ( s0 ) 27
28
Επιφάνειες Ορισμός 4. Κανονική επιφάνεια του R3 λέγεται ένα υποσύνολο Μ Μ R3 αν για κάθε p Ξ Μ υπάρχουν ανοιχτά σύνολα U,V του R 2 και R3 αντίστοιχα και μια απεικόνιση X : U Ν R 2 V Η Μ Ν R3, που ικανοποιούν τις παρακάτω συνθήκες: 1. Η X είναι διαφορίσιμη. 2. Η X είναι ομοιομορφισμός (δηλ. είναι 1-1, επί, συνεχής και η X 1 είναι συνεχής) 3. Η X είναι κανονική σε κάθε σημείο q = (u0, v0 ) Ξ U με X (q) = p Ξ Μ (δηλ. X u (q) X v (q) Ή 0) 29
Παράδειγμα Αποδεικνύεται ότι ο κύλινδρος με ακτίνα 1 περί τον άξονα z Μ = {( x, y, z ) Ξ R / x + y = 1} 3 2 2 είναι κανονική επιφάνεια. 30
Δεδομένα προβλήματος Μας δίνουν μια κυλινδρική επιφάνεια με ακτίνα a = 1 m και ύψος h=10 m και μια μεταλλική ελικοειδή λωρίδα, την οποία πρέπει να κόψουμε σε κατάλληλα κομμάτια ώστε να έχουν τη βέλτιστη εφαρμογή στον κύλινδρο. Όπως είπαμε και στην αρχή η τομή των δύο επιφανειών θα μας δώσει την κυκλική έλικα, όπου στην περίπτωσή μας το βήμα της είναι 10 m, 5 2 π b = 10 δηλαδή άρα b = επομένως η εξίσωση της π κυκλικής έλικας θα είναι 5 γ (t ) = (cos t,sin t, t ). π 31
32
Ζητάμε Την ακτίνα κοπής που θα έχει κάθε κομμάτι, δηλαδη: 33
Διαισθητική Λύση Γνωρίζουμε ότι το μήκος του κύκλου με κέντρο το (0, 0) και ακτίνα r είναι s = 2π r. Άρα θα έχουμε s r= 2π Με το ίδιο σκεπτικό η ακτίνα που ζητάμε θα ισούται με το μήκος τόξου της κυκλικής έλικας για μια περιστροφή, δηλαδή για t Ξ [0, 2π ] προς 2π. Υπολογίζουμε το μήκος τόξου της έλικας : s= 2π ς 0 γ Ά(t ) dt = 2π ς 0 25 sin t + cos t + 2 dt π 2 2 ζ 25 φ ηη 1 + χχ 2π 1,88 Χ2π 9,86 ψ θ 34
Άρα η ζητούμενη ακτίνα θα είναι s r= 1,88 m 2π Πειραματιζόμενοι όμως σε ένα μικρό μοντέλο διαπιστώνουμε ότι η ακτίνα αυτή είναι πολύ μικρή και κατ επέκταση τα κομμάτια δεν θα εφαρμόσουν στον κύλινδρο. Μετά από μερικές δοκιμές βρίσκουμε ότι η καλύτερη ακτίνα πρέπει να είναι η r = 3, 5m. 35
Η μαθηματική λύση Η καμπυλότητα της κυκλικής έλικας με διανυσματική παραμετρική εξήσωση γ (t ) = (a cos t, a sin t, bt ), t Ξ R και a, b θετικοί πραγματικοί αριθμοί, είναι: κ (t ) = γ Ά (t ) γ Ά(t ) γ Ά(t ) 3 = ( a 2b 2 + a 4 a 2 + b2 ) 3 a a 2 + b2 a = = 2 2 (a 2 + b 2 ) a 2 + b 2 a + b δηλαδή σταθερή για κάθε σημείο της έλικας. Οπότε 5 a = 1 στην περίπτωσή μας για και b = θα είναι: 1 κ (t ) = 0, 28. 25 1+ 2 π π 36
Γνωρίζουμε ότι σε κάθε σημείο μιας καμπύλης υπάρχει μοναδικός κύκλος (εγγύτατος κύκλος) ο οποίος προσεγγίζει την καμπύλη και έχει ακτίνα την 1 ακτίνα καμπυλότητας της καμπύλης, δηλ. r (t ) = κ (t ) 37
Επομένως, επειδή η καμπυλότητα της κυκλικής έλικας είναι σταθερή, η ακτίνα που ζητάμε είναι η ακτίνα του εγγύτατου κύκλου, δηλαδή 1 1 r= 3,57m κ (t ) 0, 28 Παρατηρούμε ότι η τιμή αυτή είναι πολύ κοντά σε αυτή που είχαμε βρεί κάνοντας δοκιμές. Άρα η ιδανική ακτίνα για να κόψουμε την ελικοειδή μας λωρίδα σε κομμάτια είναι η ακτίνα καμπυλότητας της κυκλικής έλικας. 38
Το πρόβλημα αυτό ήταν μια μόνο ενδεικτική εφαρμογή της διαφορικής γεωμετρίας. Υπάρχουν επιπλέον πολλές εφαρμογές σε τομείς όπως ο βιομηχανικός σχεδιασμός, αεροναυπηγική, χημική μηχανική κ.ά. 39