Κεθάιαην Επηθακπύιηα θαη Επηθαλεηαθά Οινθιεξώκαηα

Δπηθακπύιηα Οινθιεξώκαηα Κεθάιαην Επηθακπύιηα θαη Επηθαλεηαθά Οινθιεξώκαηα Επηθακπύιηα Οινθιεξώκαηα θαη εθαξκνγέο. Επηθακπύιην Οινθιήξωκα. Έζηω όηη ε βαζκωηή ζπλάξηεζε f(x,y,z) είλαη νξηζκέλε πάλω ζε κία θακπύιε. r(t)=x(t)i+y(t)j+z(t)k (ηελ νπνία ζπκβνιίδνπκε κε ) όπνπ a t b Γειαδή ην x παίξλεη ηηκέο από ην x(t), ην y παίξλεη ηηκέο από ην y(t), ην z παίξλεη ηηκέο από ην z(t) όηαλ a t b. z ( xk, yk, zk ) t a s k rt () t b O y x Γηακεξίδω ηελ θακπύιε ζε πεπεξαζκέλν πιήζνο ηόμωλ κε θέληξν (x k,y k,z k ) θαη ζρεκαηίδω ην άζξνηζκα n S f ( x, y, z ) s n k k k k k. Δάλ ε f(x,y,z) είλαη ζπλερήο θαη νη x(t),y(t),z(t) έρνπλ ζπλερείο πξώηεο παξαγώγνπο ηόηε, όηαλ ν αξηζκόο ηωλ ηόμωλ ηείλεη ζην άπεηξν ην άζξνηζκα απηό ζπγθιίλεη ζε κία πνζόηεηα πνπ νλνκάδνπκε Επηθακπύιην νινθιήξωκα ζπκβνιίδνπκε: ηεο f(x,y,z) επί ηεο θακπύιεο θαη f ( x, y, z) ds Δάλ ε θακπύιε είλαη ιεία γηα a t b, δειαδή ε v=/ είλαη ζπλερήο θαη έρεη κέηξν είλαη πάληα δηάθνξν ηνπ, ηόηε b v f ( x, y, z) ds f ( x( t), y( t), z( t)) ( t) a

Δπηθαλεηαθά Οινθιεξώκαηα Οινθιεξώζηε ηελ f ( x, y, z) x 3y z ηελ αξρή κε ην ζεκείν P(,,). ζην επζύγξακκν ηκήκα πνπ ζπλδέεη z P(,,) O y x Παξακεηξηθνπνηνύκε ην επζύγξακκν ηκήκα. Τν δηάλπζκα OP ( ) i ( ) j ( ) k i j k είλαη παξάιιειν ζην επζύγξακκν ηκήκα. Οπόηε εάλ ζεωξήζεηε ηελ εμίζωζε ωο πξνο ζεκείν αλαθνξάο ηελ αξρή έρνπκε ηελ παξακεηξηθνπνίεζε x t t, y t t, z t t, t d νπόηε r( t) ti tj tk, t όπνπ είλαη ιείν γηαηί v( t) r( t) i j k είλαη ζπλερήο γηαηί όιεο νη ζπληζηώζεο έρνπλ ζπλερείο πξώηεο παξαγώγνπο θαη ην κέηξν ηεο v( t) i jk 3. Οπόηε (,, ) ( ( ), ( ), ( )) v( ) (,, ) 3 3 ( 3 ) f x y z ds f x t y t z t t f t t t t t t 3 3 (t 3 t ) 3 t t Δάλ ε θακπύιε ηθαλνπνηεί... n ηόηε f ( x, y, z) ds f ( x, y, z) ds f ( x, y, z) ds... f ( x, y, z) ds n Οινθιεξώζηε ηελ θαίλνληαη ζην ζρήκα f ( x, y, z) x 3y z ζηα επζύγξακκα ηκήκαηα πνπ

Δπηθακπύιηα Οινθιεξώκαηα z P(,,) O y x Q(,,) Παξακεηξηθνπνηνύκε ηα επζύγξακκα ηκήκαηα. Τν δηάλπζκα OQ ( ) i ( ) j ( ) k i jείλαη παξάιιειν ζην πξώην επζύγξακκν ηκήκα. Οπόηε εάλ ζεωξήζεηε ηελ εμίζωζε ωο πξνο ζεκείν αλαθνξάο ηελ αξρή έρνπκε ηελ παξακεηξηθνπνίεζε x t t, y t t, z t, t d νπόηε r( t) ti tj, t όπνπ είλαη ιείν γηαηί v( t) r( t) i jείλαη ζπλερήο γηαηί όιεο νη ζπληζηώζεο έρνπλ ζπλερείο πξώηεο παξαγώγνπο θαη ην κέηξν ηεο v( t) i j. Τν δηάλπζκα QP ( ) i ( ) j ( ) k k είλαη παξάιιειν ζην πξώην επζύγξακκν ηκήκα. Οπόηε εάλ ζεωξήζεηε ηελ εμίζωζε ωο πξνο ζεκείν αλαθνξάο ην Q έρνπκε ηελ παξακεηξηθνπνίεζε x t, y t, z t t, t d νπόηε r( t) i jtk, t όπνπ είλαη ιείν γηαηί v( t) r( t) k είλαη ζπλερήο γηαηί όιεο νη ζπληζηώζεο έρνπλ ζπλερείο πξώηεο παξαγώγνπο θαη ην κέηξν ηεο v( t) k. Οπόηε f ( x, y, z) ds f ( x, y, z) ds f ( x, y, z) ds f ( t, t,) f (,, t) ( t 3t ) ( 3 t) t 3 t 3 ( t 3 t ) ( ) t t t Παξαηεξνύκε θάηη πνπ ηζρύεη γηα ηηο πεξηζζόηεξεο ζπλαξηήζεηο, όηη ε ηηκή ελόο νινθιεξώκαηνο θαηά κήθνο κίαο θακπύιεο κεηαβάιιεηαη εάλ αιιάμνπκε ηε δηαδξνκή. Υπάξρνπλ ζπλαξηήζεηο πνπ παξακέλεη ζηαζεξό. Αλ ε f(x,y,z)= ζηαζεξή ηόηε ην επηθακπύιην νινθιήξωκα ηζνύηαη κε ην κήθνο ηεο θακπύιεο. 3

Δπηθαλεηαθά Οινθιεξώκαηα Τπνινγηζκνί καδώλ θαη ξνπώλ Γηα ειαηήξηα θαη ιεπηέο ξάκβνπο πνπ βξίζθνληαη πάλω ζε ιεία θακπύιε ζην ρώξν κε δεδνκέλε ζπλάξηεζε ππθλόηεηαο δ(x,y,z) (κάδα αλά κνλάδα κήθνπο): Η κάδα ηνπ ειαηεξίνπ ή ηεο ξάβδνπ είλαη M ( x, y, z) ds Η πξώηε ξνπή ωο πξνο ην επίπεδν xy είλαη (,, ) M xy z x y z ds Η πξώηε ξνπή ωο πξνο ην επίπεδν xz είλαη (,, ) M xz y x y z ds Η πξώηε ξνπή ωο πξνο ην επίπεδν yz είλαη (,, ) Οη ζπληεηαγκέλεο ηνπ θέληξνπ κάδαο ηνπ ζπζηήκαηνο είλαη -.5-6.5 - -.5.5 Myz M M xz x, y, z M M M M yz x x y z ds Έλα ειαηήξην πεξηγξάθεηαη από ηελ ειηθνεηδή θακπύιε r( t) (cos t) i (sin t) jtk, t Η ππθλόηεηα ηνπ ειαηεξίνπ είλαη ζηαζεξή. Βξείηε ηε κάδα ηνπ θαη ην θέληξν κάδαο ηνπ. Η θακπύιε είλαη ιεία: d v( t) r( t) (sin t) i (cos t) j k, t, v ( t) ( sin t) (cos t) 7 xy M ( x, y, z) ds 7 7 t (,, ) 7 7 7 M xy z x y z ds t cos t M xz y ( x, y, z) ds sin t 7 7 sin t M yz x ( x, y, z) ds cos t 7 7 Myz M M xz xy Οπόηε x, y, z M M M

Δηαλπζκαηηθά Πεδία Δπηθακπύιηα Οινθιεξώκαηα Δηαλπζκαηηθό πεδίν ζε κία πεξηνρή ηνπ ρώξνπ ή ηνπ επηπέδνπ είλαη κία ζπλάξηεζε πνπ αληηζηνηρίδεη ζε θάζε ζεκείν ηνπ ρώξνπ (ή ηνπ επηπέδνπ αληίζηνηρα) έλα δηάλπζκα. F(x,y,z)=M(x,y,z)i+N(x,y,z)j+P(x,y,z)k ή αληίζηνηρα F(x,y)=M(x,y)i+N(x,y)j Έλα δηαλπζκαηηθό πεδίν είλαη ζπλερέο όηαλ νη ζπληζηώζεο ζπλαξηήζεηο ηνπ είλαη ζπλερείο. Δπίζεο είλαη δηαθνξίζηκν όηαλ νη ζπληζηώζεο ζπλαξηήζεηο ηνπ είλαη δηαθνξίζηκεο. Παξαδείγκαηα: Τα δηαλύζκαηα ηνπ βαξπηηθνύ ή ελόο ειεθηξνκαγλεηηθνύ πεδίνπ. Τα δηαλύζκαηα ηαρύηεηαο ελόο βιήκαηνο νξίδνπλ έλα δηαλπζκαηηθό πεδίν θαηά κήθνο ηεο ηξνρηάο. Αλ ζε θάζε ζεκείν ελόο ξεπζηνύ πνπ ξέεη αληηζηνηρίζνπκε ην δηάλπζκα ηαρύηεηάο ηνπ. 5

Δπηθαλεηαθά Οινθιεξώκαηα Τν επίπεδν ηωλ δηαλπζκάηωλ θιίζεο f ηεο επηθάλεηαο f(x,y,z)=c. Τν πεδίν θιίζεωο κίαο δηαθνξίζηκεο ζπλάξηεζεο f(x,y,z) είλαη ην πεδίν ηωλ δηαλπζκάηωλ θιίζεο: Απόθιηζε 6 f f f f i j k x y z Έζηω έλα δηαλπζκαηηθό πεδίν νξηζκέλν ζε πεξηνρή ηνπ ρώξνπ F(x,y,z)=M(x,y,z)i+N(x,y,z)j+P(x,y,z)k κε ζπληζηώζεο πνπ έρνπλ ζπλερείο πξώηεο ηάμεο κεξηθέο παξάγωγνπο ζε όιν ην πεδίν νξηζκνύ ηνπ. Τόηε κπνξώ λα νξίζω ηελ απόθιηζή ηνπ (divergence) : M N P divf F x y z Η απόθιηζε είλαη κία βαζκωηή ζπλάξηεζε (όρη δηαλπζκαηηθή) ηελ νπνία ζπκβνιίδνπκε κε divf ή F. Η ηειεία εδώ δελ έρεη έλλνηα εζωηεξηθνύ γηλνκέλνπ. Γηα δηαλπζκαηηθά πεδία νξηζκέλα ζην επίπεδν έρνπκε M N divf F x y. Γηα ηελ απόθιηζε ηζρύνπλ νη αθόινπζεο ηδηόηεηεο:

( F G) F G, όπος, ( f G) f G f ( G), όπος f βαθμωηή ζςνάπηηζη Δπηθακπύιηα Οινθιεξώκαηα Βξείηε ηελ απόθιηζε ηνπ δηαλπζκαηηθνύ πεδίνπ F( x, y) ( x y) i xj ηνπ επηπέδνπ xy. Ιζρύεη M ( x y) N ( x), x x y y M N Οπόηε divf = x y Σειεζηήο Laplace Έζηω κία βαζκωηή ζπλάξηεζε f(x,z,y) κε ζπλερείο κέρξη θαη κεξηθέο παξαγώγνπο δεπηέξαο ηάμεο. Γλωξίδνπκε όηη ε θιίζε ηεο είλαη έλα δηαλπζκαηηθό πεδίν f f f f i j k. x y z Δάλ πάξνπκε ηελ απόθιηζε ηνπ δηαλπζκαηηθνύ απηνύ πεδίνπ ηε ζπκβνιίδνπκε κε Laplace. Δάλ ηζρύεη f f f x y z div f f f f θαη ηνλ ηειεζηή (πξάμε) απηή νλνκάδνπκε ηειεζηή f ηόηε ε ζπλάξηεζε ραξαθηεξίδεηαη ωο αξκνληθή. Οη αξκνληθέο ζπλαξηήζεηο ηθαλνπνηνύλ ηελ εμίζωζε ηνπ Laplace Δμεηάζηε εάλ ε ζπλάξηεζε f ( x, y) x y είλαη αξκνληθή. / / 3/ x y x y fx x y xx y x x x y 3x x y 3/ x x y 3 fxx x y x x y x x 3/ 5/ Λόγω ζπκκεηξίαο ηζρύεη yy 3 3/ 5/ 3/ 5/ f x y y x y, f. f f 3/ 5/ 3/ x y 3x y x y x y x y ηελ ηθαλνπνηεί. Οπόηε δελ 7

Δπηθαλεηαθά Οινθιεξώκαηα ηξνβηιηζκόο Έζηω έλα δηαλπζκαηηθό πεδίν νξηζκέλν ζε πεξηνρή ηνπ ρώξνπ F(x,y,z)=M(x,y,z)i+N(x,y,z)j+P(x,y,z)k κε ζπληζηώζεο πνπ έρνπλ ζπλερείο πξώηεο ηάμεο κεξηθέο παξάγωγνπο ζε όιν ην πεδίν νξηζκνύ ηνπ. Τόηε κπνξώ λα νξίζω ηνλ ζηξνβηιηζκό ηνπ i j k P N M P N M curlf F i j k x y z y z z x x y M N P Ο ζηξνβηιηζκόο είλαη κία δηαλπζκαηηθή ζπλάξηεζε ηελ νπνία ζπκβνιίδνπκε κε curlf ή F. Τν x εδώ δελ έρεη έλλνηα εμωηεξηθνύ γηλνκέλνπ. Όηαλ έλα πεδίν έρεη ζηξνβηιηζκό ην κεδεληθό δηάλπζκα ιέγεηαη αζηξόβηιν. Βξείηε ηνλ ζηξνβηιηζκό ηνπ πεδίνπ i j k F ( x y) i zj x k F ( ) i (x ) j ( ) k i xj k x y z x y z x Γείμηε όηη ην πεδίν F yzi xzj xyk είλαη αζηξόβηιν. Παξαηεξνύκε όηη P N M P N M x, y, z y z z x x y νπόηε i j k F ( x x) i ( y y) j ( z z) k i j k x y z yz xz xy Γηα ηνλ ζηξνβηιηζκό ηζρύνπλ νη αθόινπζεο ηδηόηεηεο: ( F G) F G ( f G) f G f ( G), όπος f βαθμωηή ζςνάπηηζη ( F) F, όπος ( F) F F ( F), ζηποβιλιζμόρ ηηρ κλίζηρ είναι ( F), η απόκλιζη ηος ζηποβιλιζμού είναι Επηθακπύιην Οινθιήξωκα (β είδνπο). Έζηω έλα δηαλπζκαηηθό πεδίν F (x,y,z)=m(x,y,z)i+n(x,y,z)j+p(x,y,z)k είλαη νξηζκέλo πάλω ζε κία θακπύιε r(t)=x(t)i+y(t)j+z(t)k (ηελ νπνία 8

Δπηθακπύιηα Οινθιεξώκαηα ζπκβνιίδνπκε κε) όπνπ a t b. Γειαδή ην x παίξλεη ηηκέο από ην x(t), ην y παίξλεη ηηκέο από ην y(t), ην z παίξλεη ηηκέο από ην z(t) όηαλ a t b. Οξίδνπκε ην επηθακπύιην νινθιήξωκα β είδνπο ηνπ δηαλπζκαηηθνύ πεδίνπ F θαηά κήθνο ηεο θακπύιεο κέζω ηνπ ηύπνπ: Ιζρύεη: tb F F( x( t), y( t), z( t)) ta tb ta F( x( t), y( t), z( t)) tb dx( t) dy( t) dz( t) M ( x( t), y( t), z( t)) i N( x( t), y( t), z( t)) j P( x( t), y( t), z( t)) k i j k ta tb dx dy dz M N P Mdx Ndy Pdz ta B To A B A Mdx Ndy Pdz είλαη κία δηαθνξηθή κνξθή θαη ζα αζρνιεζνύκε κε απηήλ θαη αξγόηεξα ζε απηό ην θεθάιαην. Πωο ππνινγίδνπκε ην επηθακπύιην νινθιήξωκα β είδνπο. Βήκα : Υπνινγίδνπκε ηελ F ζηελ θακπύιε ζπλάξηεζε ηνπ t. Βήκα : Υπνινγίδνπκε ηελ d r (θαη βιέπνπκε εάλ ε θακπύιε είλαη ιεία). Βήκα 3: Υπνινγίδνπκε ηo εζωηεξηθό γηλόκελν F Βήκα : Υπνινγίδνπκε ηo νινθιήξωκα F ta Βξείηε ην επηθακπύιην νινθιήξωκα ηνπ δηαλπζκαηηθνύ πεδίνπ 3 F( x, y, z) ( y x ) i ( z y ) j ( x z ) k επί ηεο θακπύιεο r( t) ti t j t k, t από ην ζεκείν (,,) ζην ζεκείν (,,). tb z P(,,) O y x (,, ) 9

Δπηθαλεηαθά Οινθιεξώκαηα Βήκα : F(x(t),y(t),z(t)) 3 3 6 3 6 F( t, t, t ) ( t t ) i ( t t ) j ( t t ) k i ( t t ) j ( t t ) k Βήκα : t 3t i j k Όπωο βιέπνπκε ε θακπύιε είλαη ιεία δηόηη ε παξάγωγόο ηεο έρεη ζπλερείο ζπληζηώζεο θαη ην κέηξν ηεο t 3t είλαη θαλεξά πάληα δηαθνξεηηθό από ην. Βήκα 3: F ( t i t ) j ( t t ) k i tj 3 t k ( t t ) t ( t t )3t t t 3t 3t 3 6 3 6 5 3 8 t t 5 3 8 5 6 9 F t t t t t t t t Βήκα : 3 3 t t 3 3 9 5 6 9 6 Έξγν εθηεινύκελν από δύλακε επί θακπύιεο ζην ρώξν. Σηε θπζηθή ην έξγν ηζνύηαη κε ην γηλόκελν ηεο δύλακεο επί ηε κεηαηόπηζε ηνπ ζεκείνπ εθαξκνγήο. Έζηω έλα δηαλπζκαηηθό πεδίν F(x,y,z)=M(x,y,z)i+N(x,y,z)j+P(x,y,z)k πνπ αληηζηνηρεί ζε κία δύλακε (βαξπηηθή, ειεθηξνκαγλεηηθή ή άιιε) πνπ δξα ζε κία πεξηνρή ηνπ ρώξνπ θαη ε θακπύιε r(t)=x(t)i+y(t)j+z(t)k a t b είλαη ιεία ζην ρώξν απηό. Έζηω ζε έλα ζεκείν ηεο θακπύιεο (x(t κ ),y(t κ ),z(t κ )) ζην νπνίν αζθείηαη δύλακε F((x(t κ ),y(t κ ),z(t κ )). z ( x( tk ), y( tk ), z( tk )) r k O t a t b F( x( t ), y( t ), z( t )) k k k y x Γηακεξίδω ηελ θακπύιε ζε πεπεξαζκέλν πιήζνο ζηνηρεηωδώλ ηόμωλ κε αξρή (x(t k ),y(t k ),z(t k )). Τν έξγν πνπ εθηειείηαη από ηε δύλακε επί θάζε ηόμνπ ηζνύηαη κε ην γηλόκελν ηεο δύλακεο επί ηε ζηνηρεηώδε κεηαηόπηζε ηνπ ζεκείνπ εθαξκνγήο ηεο πάλω ζηελ θακπύιε. Γειαδή W k = F (x(t k ),y(t k ),z(t k ). Δr k. Τν ζπλνιηθό έξγν θαηά κήθνο ηεο θακπύιεο ηζνύηαη κε ην άζξνηζκα n W F ( xk, yk, zk ) rk. Όηαλ ν αξηζκόο ηωλ ηόμωλ ηείλεη ζην άπεηξν ην k

Δπηθακπύιηα Οινθιεξώκαηα άζξνηζκα απηό ζπγθιίλεη ζε έλα επηθακπύιην νινθιήξωκα πνπ αληηζηνηρεί ζην έξγν πνπ παξάγεη ε δύλακε επί ηνπ ηόμνπ ηεο θακπύιεο. Τν έξγν πνπ εθηειείηαη από ηε δύλακε επί ηεο ιείαο θακπύιεο από ην t=α ζην t=b ηζνύηαη κε ην επηθακπύιην νινθιήξωκα: W F Όπωο είδακε ηζρύεη: tb B W F F Mdx Ndy Pdz ta A Βξείηε ην έξγν πνπ παξάγεη ε δύλακε έιηθαο F( x, y, z) x ( y) z 3 i j k επί ηεο r( t) sin t i cos t j tk, t από ην ζεκείν (,,) ζην ζεκείν (,,π). Βήκα : F(x(t),y(t),z(t)) 3 F(sin t,cos t, t) sin t i cos t j t k cos sin i j k Βήκα : t t Όπωο βιέπνπκε ε θακπύιε είλαη ιεία δηόηη ε παξάγωγόο ηεο έρεη ζπλερείο ζπληζηώζεο θαη ην κέηξν ηεο cos t sin t είλαη θαλεξά πάληα δηαθνξεηηθό από ην. Βήκα 3: 3 F sin t i cost j t k cost i sin t j k 3 3 sin t cos t sin t cos t sin t t sin( t) t Βήκα : t t d r 3 t F sin t t cos t t t

Δπηθαλεηαθά Οινθιεξώκαηα πλαξηήζεηο Δπλακηθνύ θαη πληεξεηηθά πεδία Έζηω έλα δηαλπζκαηηθό πεδίν F(x,y,z)=M(x,y,z)i+N(x,y,z)j+P(x,y,z)k ζε έλα αλνηθηό ρωξίνπ D θαη έζηω όηη γηα δύν ηπρόληα ζεκεία α θαη b ηνπ ρωξίνπ ην έξγν b a F, θαηά ηε κεηαηόπηζε από ην α ζην b, είλαη πάληα ην ίδην αλεμάξηεηα από ηε δηαδξνκή πνπ ζα επηιέμνπκε ηόηε ιέκε όηη ην πεδίν είλαη ζπληεξεηηθό. Έζηω έλα δηαλπζκαηηθό πεδίν F(x,y,z)=M(x,y,z)i+N(x,y,z)j+P(x,y,z)k ζε έλα αλνηθηό ρωξίνπ D θαη ηζρύεη F f γηα θάπνηα βαζκωηή ζπλάξηεζε f ζε θάζε ζεκείν ηνπ ρωξίνπ D, ηόηε δπλακηθνύ ηνπ πεδίνπ F ζην ρωξίν D. ε ζπλάξηεζε f νλνκάδεηαη ζπλάξηεζε Τν ειεθηξηθό δπλακηθό είλαη κία βαζκωηή ζπλάξηεζε ηεο νπνίαο ην πεδίν θιίζεωλ είλαη ην ειεθηξηθό πεδίν θαη ην βαξπηηθό δπλακηθό είλαη κία βαζκωηή ζπλάξηεζε ηεο νπνίαο ην πεδίν θιίζεωλ είλαη ην βαξπηηθό πεδίν. Έζηω έλα δηαλπζκαηηθό πεδίν F(x,y,z) ζε έλα αλνηθηό ρωξίνπ D. Τν πεδίν είλαη ζπληεξεηηθό, (δειαδή ην έξγν είλαη αλεμάξηεην από ηε δηαδξνκή) αλ θαη κόλν αλ ππάξρεη ζπλάξηεζε δπλακηθνύ ( δειαδή f f f ππάξρεη f ηέηνηα ώζηε F f i j k ). x y z Οπόηε ζε κία ηέηνηα πεξίπηωζε ηζρύεη: F f ( b) f ( a) Γηα θάζε θιεηζηή δηαδξνκή ζην ρωξίν F αλ θαη κόλν αλ ην πεδίν είλαη ζπληεξεηηθό Τν πεδίν F(x,y,z)=M(x,y,z)i+N(x,y,z)j+P(x,y,z)k, κε ζπληζηώζεο ζπλαξηήζεηο ζπλερείο κε ζπλερείο παξαγώγνπο πξώηεο ηάμεο, είλαη ζπληεξεηηθό αλ θαη κόλν αλ ην πεδίν είλαη αζηξόβηιν. Γειαδή πξέπεη ηειηθά λα ηζρύεη i j k P N M P N M F i j k i j k x y z y z z x x y M N P ε ηζνδύλακα λα ηζρύεη : P N M P N M,, y z z x x y Δμεηάζηε εάλ ην πεδίν F yzi xzj xyk είλαη ζπληεξεηηθό, βξείηε ηε ζπλάξηεζε δπλακηθνύ ηνπ θαη ππνινγίζηε ην έξγν θαηά κήθνο θάζε θακπύιεο πνπ ζπλδέεη ηα ζεκεία (-,3,9) θαη (,6,-) b a

Δπηθακπύιηα Οινθιεξώκαηα Παξαηεξνύκε όηη P N M P N M x, y, z νπόηε είλαη y z z x x y αζηξόβηιν ην πεδίν άξα θαη ζπληεξεηηθό. Άξα ππάξρεη f ηέηνηα ώζηε f f f F f yzi xzj xyk i j k x y z f f Από yz dx yzdx f ( x, y, z) xyz c ( y, z) x x Η ζηαζεξά νινθιήξωζεο εμαξηάηαη από ηα y,z. Οπόηε από ηελ f c ( y, z) f ( x, y, z) xyz c ( y, z) xz όκωο από ηνλ ηύπν ηνπ δπλακηθνύ y y c ζπκπεξαίλω όηη ( y, z ) νπόηε ε ζηαζεξά νινθιήξωζεο εμαξηάηαη κόλν y από ην z. f c () z Τώξα από ηελ f ( x, y, z) xyz c ( z) xy. z z Όκωο από ηνλ ηύπν ηνπ δπλακηθνύ ζπκπεξαίλω όηη c ( ) z y νπόηε ηειηθά ζηαζεξά νινθιήξωζεο δελ εμαξηάηαη νύηε από ην z. Γειαδή f ( x, y, z) xyz c θαη ην έξγν,6,,3,9 F f, 6, f,3,9 c ( 7 c) 3 Αθξηβείο δηαθνξηθέο κνξθέο. Σπρλά ζπλαληάκε ηα νινθιεξώκαηα έξγνπ ζηελ δηαθνξηθή κνξθή: B A Mdx Ndy Pdz Μία ηέηνηα δηαθνξηθή κνξθή νλνκάδεηαη αθξηβήο ζε ρωξίν D ηνπ ρώξνπ εάλ γηα θάπνηα βαζκωηή ζπλάξηεζε f,νξηζκέλε ζην D, ηζρύεη f f f Mdx Ndy Pdz dx dy dz df x y z Η δηαθνξηθή κνξθή είλαη αθξηβήο εάλ θαη κόλν εάλ ηζρύνπλ P N M P N M,, y z z x x y Μλεκνληθόο θαλόλαο, Πξέπεη λα ηζρύεη i j k P N M P N M i j k i j k x y z y z z x x y M N P Όηαλ ε δηαθνξηθή κνξθή είλαη αθξηβήο ηόηε ην πεδίν F(x,y,z)=M(x,y,z)i+N(x,y,z)j+P(x,y,z)k είλαη ζπληεξεηηθό. 3

Δπηθαλεηαθά Οινθιεξώκαηα Δάλ ηζρύνπλ ηα παξαπάλω B B B f f f Mdx Ndy Pdz dx dy dz f f ( B) f ( A) x y z A A A Οπόηε εάλ ε δηαθνξηθή κνξθή είλαη αθξηβήο ηόηε αξθεί λα βξνύκε ηε ζπλάξηεζε δπλακηθνύ ηνπ πεδίνπ πνπ αληηζηνηρεί ζε απηή θαη λα ππνινγίζνπκε ην επηθακπύιην νινθιήξωκα από ηε δηαθνξά ηωλ ηηκώλ ηεο ζπλάξηεζεο ζηα άθξα. Υπνινγίζηε ην επηθακπύιην νινθιήξωκα,3, 6,, xdx ydy zdz Αθνύ δείμεηε όηη ε δηαθνξηθή κνξθή xdx ydy zdz είλαη αθξηβήο. P N M P N M Παξαηεξνύκε όηη,, νπόηε ε κνξθή y z z x x y είλαη αθξηβήο. Άξα ππάξρεη f ηέηνηα ώζηε f f f xdx ydy zdz df dx dy dz () x y z Με δηαδηθαζία παξόκνηα κε απηή ηνπ πξνεγνύκελνπ παξαδείγκαηνο από f f x dx xdx f ( x, y, z) x c ( y, z) x x Η ζηαζεξά νινθιήξωζεο εμαξηάηαη από ηα y,z. Οπόηε από ηελ f c ( y, z) f ( x, y, z) x c ( y, z) όκωο από ηνλ ηύπν () ζπκπεξαίλω όηη y y c (, ) y z y νινθιεξώλνληαο βξίζθνπκε y c ( y, z) dy ydy c y z y c z y Τώξα από ηελ (, ) ( ) f c () z f ( x, y, z) x y c ( z) z z c () z dz zdz c ( z ) z c z. Καη ηειηθά,3, 6,, f ( x, y, z) x y z c όκωο νινθιεξώλνληαο ζπκπεξαίλω όηη νπόηε θαη ην νινθιήξωκα είλαη ίζν κε xdx ydy zdz f,3, 6 f,, 9 36 c ( c) 9

Ρνή θαη θπθινθνξία. Δπηθακπύιηα Οινθιεξώκαηα Όηαλ ην πεδίν δελ είλαη βαξπηηθό αιιά ην πεδίν ηαρύηεηαο θίλεζεο ελόο ξεπζηνύ ηόηε δελ κηιάκε γηα έξγν αιιά γηα ξνή θαηά κήθνο ηεο θακπύιεο θαη ην νινθιήξωκα ξνήο tb Ροή F T ds ta όηαλ ε θακπύιε είλαη θιεηζηή κηιάκε γηα θπθινθνξία θαηά κήθνο ηεο θακπύιεο. Τν πεδίν ηαρπηήηωλ ελόο ξεπζηνύ είλαη F( x, y, z) xi zj yk. Βξείηε ηε ξνή r( t) cos t i sin t jtk, t / θαηά κήθνο ηεο έιηθάο Βήκα : F(x(t ),y(t ),z(t )) F(cos t,sin t, t) (cos t) i tj sin t k Βήκα : sin t cos t i j k Όπωο βιέπνπκε ε θακπύιε είλαη ιεία δηόηη ε παξάγωγόο ηεο έρεη ζπλερείο ζπληζηώζεο θαη ην κέηξν ηεο sin t cos t είλαη θαλεξά πάληα δηαθνξεηηθό από ην. Βήκα 3: F (cos t) t sin t sin t cos t cos t sin t tcos t sin t i j k i j k Βήκα : cos t F cost sin t t cost sin t t sin t ( ) / / Βξείηε ηε θπθινθνξία ηνπ πεδίνπ F( x, y) ( x y) i xj θαηά κήθνο ηνπ θύθινπ r i j Βήκα : F(x(t ),y(t )) ( t) cos t sin t, t F(cos t,sin t) (cos t sin t) i cos t j Βήκα : sin t cos t i j Όπωο βιέπνπκε ε θακπύιε είλαη ιεία δηόηη ε παξάγωγόο ηεο έρεη ζπλερείο ζπληζηώζεο θαη ην κέηξν ηεο sin t cos t είλαη θαλεξά πάληα δηαθνξεηηθό από ην. Βήκα 3: F cos t sin t sin t cos t cos t sin t Βήκα : / 5

Δπηθαλεηαθά Οινθιεξώκαηα cos t F cost sin t t Ρνή δηακέζνπ θιεηζηήο θακπύιεο ηνπ επηπέδνπ. Θέινπκε λα βξνύκε ην ξπζκό κε ηνλ νπνίν εηζέξρεηαη ή εμέξρεηαη έλα πγξό από κία πεξηνρή πνπ πεξηθιείεηαη από κία ιεία θακπύιε ηνπ επηπέδνπ: z O y x η T Τα βέιε πάλω ζηελ θακπύιε δείρλνπλ ηελ θνξά ηεο θακπύιεο όηαλ ην t απμάλεηαη. Παξόκνηα ζα κπνξνύζα λα έρω έλα ειεθηξηθό ή καγλεηηθό πεδίν. Οπόηε ε έλλνηα ηεο ξνήο δελ ππνλνεί πάληα θίλεζε. Έζηω ην δηαλπζκαηηθό πεδίν (π.ρ. θίλεζεο ηνπ πγξνύ) F(x,y)=M(x,y)i+N(x,y)j θαη ε θακπύιε r(t)=x(t)i+y(t)j a t b είλαη ιεία ζην ρώξν απηό θαη θιεηζηή. Έζηω ζε έλα ζεκείν ηεο θακπύιεο (x(t ),y(t )) ζην νπνίν ην δηάλπζκα ηνπ πεδίνπ F(x(t ),y(t )) θαη T ην κνλαδηαίν δηάλπζκα πνπ εθαπηόκελν ζηελ θακπύιε ζην ζεκείν απηό θαηά ηε θνξά ηεο θακπύιεο όηαλ ην t απμάλεηαη θαη η ην εμωηεξηθά θάζεην δηάλπζκα ζηελ θακπύιε. Τόηε ε Ρνή ηνπ πεδίνπ F(x,y)=M(x,y)i+N(x,y)j θακπύιεο ηνπ επηπέδνπ ηζνύηαη κε δηακέζνπ θιεηζηήο ποή διαμέζος ηηρ F η ds Γηα ιεία παξακεηξηθνπνίεζε ηεο θακπύιεο έρνπκε ποή ηος F Mi Nj διαμέζος ηηρ r x( t) i y( t) j Mdy Ndx Όηαλ ην νινθιήξωκα είλαη ζεηηθό ηόηε ζπλνιηθά ζα εμέξρεηαη ξεπζηό από ην εζωηεξηθό πξνο ην εμωηεξηθό ελώ όηαλ ην νινθιήξωκα ζα είλαη αξλεηηθό ε ζπλνιηθά ζα εηζέξρεηαη. Ο θύθινο ζην νινθιήξωκα είλαη ζέκα ζπκβνιηζκνύ θαη δείρλεη ηε θνξά ηεο θιεηζηήο θακπύιεο όηαλ απμάλεη ην t. 6

Δπηθακπύιηα Οινθιεξώκαηα Βξείηε ηε ξνή ηνπ πεδίνπ F( x, y) ( x y) i xj δηακέζνπ ηνπ θύθινπ x ηνπ επηπέδνπ xy. r( t) cos t i sin t j, t Η παξακεηξηθνπνίεζε ηνπ θύθινπ είλαη Βήκα : F(x(t ),h(t )) F(cos t,sin t) (cos t sin t) i cos t j, νπόηε M cos t sin t Βήκα : sin t cos t θαη N cos t i j νπόηε dx sin t θαη dy cos t. y Δπίζεο βιέπνπκε όηη ε θακπύιε είλαη ιεία δηόηη ε παξάγωγόο ηεο έρεη ζπλερείο ζπληζηώζεο θαη ην κέηξν ηεο sin t cos t είλαη θαλεξά πάληα δηαθνξεηηθό από ην. Βήκα 3: Βήκα : Mdy Ndx cos t sin t cos t cos t sin t cos t cos t t sin t Mdy Ndx cos t αθνύ ηζρύεη cos t cos t Θεώξεκα ηνπ Green ζην επίπεδν Ππθλόηεηα ξνήο ζε ζεκείν ή απόθιηζε Η ππθλόηεηα εμεξρόκελεο ξνήο ελόο δηαλπζκαηηθνύ πεδίνπ F(x,y)=M(x,y)i+N(x,y)j ζην ζεκείν (x,y) ηζνύηαη κε ηελ απόθιηζε ηνπ πεδίνπ ζην ζεκείν απηό Πςκνόηηηα εξεπσόμενηρ ποήρ = div = M F N x y Δάλ θαληαζηνύκε λεξό λα εηζξέεη ζε κία πεξηνρή κέζω κίαο κηθξήο ηξύπαο ζε έλα ζεκείν (x,y) θαη νη γξακκέο ξνήο ζα απνθιίλνπλ από ην ζεκείν, ε απόθιηζε ζα είλαη ζεηηθή θαη λεξό ζα ρύλεηαη έμω από έλα νξζνγώλην πνπ πεξηέρεη ην ζεκείν. Δάλ λεξό απνξξνθάηαη ηόηε ε απόθιηζε ζα είλαη αξλεηηθή. divf( x, y) divf( x, y) ( xy, ) ( xy, ) 7

Δπηθαλεηαθά Οινθιεξώκαηα Ππθλόηεηα θπθινθνξία; Η ππθλόηεηα θπθινθνξίαο ελόο δηαλπζκαηηθνύ πεδίνπ F(x,y)=M(x,y)i+N(x,y)j ζην ζεκείν (x,y) ηζνύηαη κε ηελ θ ζπληζηώζα ηνπ ζηξνβηιηζκνύ ηνπ πεδίνπ ζην ζεκείν απηό Πςκνόηηηα κςκλοθοπίαρ = curl = N F k M x y Δάλ θαληαζηνύκε λεξό λα ξέεη ζε ιεπηό ζηξώκα ηνπ επηπέδνπ ηόηε θ ζπληζηώζα ηνπ ζηξνβηιηζκνύ ζην ζεκείν (x,y) απνηειεί κέηξν ηνπ ξπζκνύ πεξηζηξνθήο ηνπ πγξνύ ζην ζεκείν. ( curlf) k ( curlf) k k k ( xy, ) ( xy, ) Κπθινθνξία θαηά ηε ζεηηθή θνξά Κπθινθνξία θαηά ηελ αξλεηηθή θνξά Κάζεηε κνξθή ζεωξήκαηνο Green H εμεξρόκελε ξνή ηνπ πεδίνπ F(x,y)=M(x,y)i+N(x,y)j δηακέζνπ θιεηζηήο απιήο θακπύιεο ηνπ επηπέδνπ ηζνύηαη κε ην δηπιό νινθιήξωκα ηεο απόθιηζεο ζην ρωξίν R πνπ πεξηθιείεη ε θακπύιε M N F η ds Mdy Ndx dxdy x y R Εθαπηνκεληθή κνξθή ζεωξήκαηνο Green H θπθινθνξία ηνπ πεδίνπ F(x,y)=M(x,y)i+N(x,y)j θαηά κήθνο ηεο θιεηζηήο απιήο θακπύιεο ηνπ επηπέδνπ ηζνύηαη κε ην δηπιό νινθιήξωκα θ ζπληζηώζαο ηνπ ζηξνβηιηζκνύ ζην ρωξίν R πνπ πεξηθιείεη ε θακπύιε N M F T ds Mdy Ndx dxdy x y R Απιή θακπύιε Με απιή θακπύιε 8

Δπηθακπύιηα Οινθιεξώκαηα Αο ιύζνπκε ηώξα δύν παξαδείγκαηα πνπ είδακε παξαπάλω κε ηε ρξήζε ηωλ ζεωξεκάηωλ Green Βξείηε ηε θπθινθνξία ηνπ πεδίνπ F( x, y) ( x y) i xj θαηά κήθνο ηνπ θύθινπ x y ηνπ επηπέδνπ xy. N ( x) M ( x y), x x y y N x M y, curlf k = ( ) N M Mdy Ndx dxdy dxdy dxdy x y R R R Ιζνύηαη κε ην δηπιάζην ηνπ εκβαδνύ κνλαδηαίνπ θύθινπ. y x y Τν δηπιό νινθιήξωκα ηζνύηαη κε R x x dxdy dydx y dx x dx x sint / / / cos t t sin t sin t cos t cos t Βξείηε ηε ξνή ηνπ πεδίνπ F( x, y) ( x y) i xj δηακέζνπ ηνπ θύθινπ x ηνπ επηπέδνπ xy. M ( x y) N ( x) M N,, divf = x x y y x y M N F η ds Mdy Ndx dxdy dxdy dxdy x y R R R / y Ιζνύηαη κε ην εκβαδόλ κνλαδηαίνπ θύθινπ. Τν νινθιήξωκα έρεη ππνινγηζηεί ζην πξνεγνύκελν παξάδεηγκα. 9

Δπηθαλεηαθά Οινθιεξώκαηα Επηθαλεηαθά νινθιεξώκαηα Παξακεηξηθνπνίεζε επηθαλεηώλ: Μία ζπλερήο δηαλπζκαηηθή ζπλάξηεζε r(u,v)= x(u,v)i+y(u,v)j+z(u,v)k πνπ νξίδεηαη ζε ρωξίν ηνπ επηπέδνπ uv καδί κε ην εύξνο ηωλ u,v καο δίλνπλ κία παξακεηξηθή έθθξαζε κηαο επηθάλεηαο. Γηα λα βξνύκε κία παξακεηξηθή έθθξαζε κία επηθάλεηαο S ρξεζηκνπνηνύκε ηηο ζθαηξηθέο ή ηηο θπιηλδξηθέο ζπληεηαγκέλεο. Παξακεηξηθνπνίεζε ηνπ θώλνπ z x y, z. r( r, ) ( r cos ) i ( r sin ) j rk r, r r r Μία παξακεηξηθνπνηεκέλε επηθάλεηα είλαη ιεία εθόζνλ ηα, είλαη ζπλερή u v r r θαη ην δελ κεδελίδεηαη πνηέ ζην πεδίν ηωλ παξακέηξωλ. u v Τν εκβαδό κίαο ιείαο επηθάλεηαο r( u, v) x( u, v) i y( u, v) j z( u, v) k, a u b, c v d είλαη b d r r A dudv a c u v Σπκβνιίδω d r r u v dudv, νπόηε A Δκβαδό επηθαλείαο ηνπ θώλνπ z x y, z. Δίδακε όηη r( r, ) ( r cos ) i ( rsin ) j rk, r, R d

Δπηθακπύιηα Οινθιεξώκαηα i j k r r cos sin ( r cos ) ( r sin ) ( r cos r sin ) r i j k rsin rcos ( r cos ) i ( r sin ) j rk r r r cos r sin r r r r r r r A d rd d r ηεηξαγωληθέο κνλάδεο κήθνπο. Αλ S είλαη κία ιεία επηθάλεηα πνπ νξίδεηαη παξακεηξηθά θαη G(x,y,z) είλαη ζπλερήο ζπλάξηεζε νξηζκέλε ζηελ επηθάλεηα ηόηε ην νινθιήξωκα ηεο G ζηελ S είλαη S b d r r G( x, y, z) d G( x( u, v), y( u, v), z( u, v)) dudv ac u v Οινθιεξώζηε ηελ z x y, z. R G( x, y, z) x ζηελ επηθάλεηα ηνπ θώλνπ r r G( x, y, z) d G( x( r, ), y( r, ), z( r, )) d r 3 r r cos r d r cos d cos d cos sin cos d d Θεώξεκα ηνπ Stokes ζην ρώξν Τν ζεώξεκα ηνπ Stokes γεληθεύεη ηελ εθαπηνκεληθή κνξθή ηνπ ζεωξήκαηνο ηνπ Green. Σηηο ηξεηο δηαζηάζεηο ε θπθινθνξία γύξω από θάπνην ζεκείν ηνπ επηπέδνπ πεξηγξάθεηαη από έλα δηάλπζκα πνπ είλαη θάζεην ζην επίπεδν θπθινθνξίαο θαη έρεη θνξά ηέηνηα ώζηε λα απνθηά κηα δεμηόζηξνθε ζρέζε κε ηε γξακκή θπθινθνξίαο,

Δπηθαλεηαθά Οινθιεξώκαηα ( xy, ) curlf Τν κέηξν ηνπ δηαλύζκαηνο καο δίλεη ην ξπζκό πεξηζηξνθήο ηνπ ξεπζηνύ ν νπνίνο κεηαβάιιεηαη ζπλήζωο θαζώο γέξλνπκε ην επίπεδν θπθινθνξίαο ωο πξνο ην ζεκείν. Ο κέγηζηνο ξπζκόο πεξηζηξνθήο (ππθλόηεηα θπθινθνξίαο) γηα έλα πεδίν F(x,y,z)=M(x,y,z)i+N(x,y,z)j+P(x,y,z)k πξνθύπηεη ζηελ θαηεύζπλζε ηνπ δηαλύζκαηνο ζηξνβηιηζκνύ Όπωο έρνπκε δεη ην δηάλπζκα ζηξνβηιηζκνύ είλαη ην i j k P N M P N M curlf F i j k x y z y z z x x y M N P Θεώξεκα ηνπ Stokes Η θπθινθνξία ελόο δηαλπζκαηηθνύ πεδίνπ θαηά κήθνο κίαο ζπλνξηαθήο θακπύιεο κηαο πξνζαλαηνιηζκέλεο επηθάλεηαο S, πνπ δηαγξάθεηαη θαηά ηε ζεηηθή θνξά ωο πξνο ην κνλαδηαίν θάζεην ζηελ επηθάλεηα δηάλπζκα n, ηζνύηαη κε ην νινθιήξωκα ηεο θάζεηεο ζπληζηώζαο ηνπ ζηξνβηιηζκνύ F η ζηελ επηθάλεηα S. Κπθινθνξία θαηά ηε ζεηηθή δεμηόζηξνθε θνξά F F η d S η

Βξείηε ηελ θπθινθνξία ηνπ πεδίνπ θακπύιεο ηνπ θώλνπ ζεηηθή θνξά. η Δπηθακπύιηα Οινθιεξώκαηα F ( x y) i zj x k θαηά κήθνο ηεο z x y, z θαη πνπ δηαγξάθεηαη θαηά ηε z r( r, ) ( r cos ) i ( r sin ) j rk r, x y Έρνπκε από πξνεγνύκελα παξαδείγκαηα ηελ παξακεηξηθή έθθξαζε ηεο επηθάλεηαο. Τν κνλαδηαίν θάζεην δηάλπζκα είλαη: r r r ( r cos ) i ( r sin ) j rk η cosi sinj k r r r r r r d d r d r i j k F ( ) i (x ) j ( ) k i xj k i r cos j k x y z x y z x F η ( i r cos j k) cosi sin j k cos r cos sin cos r sin F F ηd cos r sin r d S r r cos sin r d cos sin d sin cos Λπκέλεο Αζθήζεηο:. Να ππνινγηζζεί ην κήθνο ηεο πεξηθέξεηαο ηεο θακπύιεο x y. Λύζε Η θακπύιε είλαη θύθινο κε θέληξν ηελ αξρή ηωλ αμόλωλ θαη αθηίλα. Οπόηε ε παξακεηξηθή ηεο έθθξαζε είλαη : x cos t, y sin t t. 3

Δπηθαλεηαθά Οινθιεξώκαηα νπόηε r( t) cos ti sin tj, t όπνπ είλαη ιείν γηαηί d v( t) r( t) sin ti cos tj, t είλαη ζπλερήο γηαηί όιεο νη ζπληζηώζεο έρνπλ ζπλερείο πξώηεο παξαγώγνπο θαη ην κέηξν ηεο v ( t) sin t cos t.. Γλωξίδνπκε όηη αλ ε f(x,y,z)= ζηαζεξή ηόηε ην επηθακπύιην νινθιήξωκα ηζνύηαη κε ην κήθνο ηεο θακπύιεο. Οπόηε ds v ( t).. Οινθιεξώζηε ην ( x y) ds όπνπ ην επζύγξακκν ηκήκα πνπ ζπλδέεη ηα ζεκεία Ρ(,,) θαη Q(,,). Λύζε c Τν δηάλπζκα QP ( ) i ( ) j ( ) k i j k είλαη παξάιιειν ζην πξώην επζύγξακκν ηκήκα. Η παξακεηξηθή εμίζωζε ηνπ επζύγξακκνπ ηκήκαηνο είλαη x t t, y t, z t, t νπόηε r( t) ti ( t) j k, t όπνπ είλαη ιείν γηαηί d v( t) r( t) i j k είλαη ζπλερήο γηαηί όιεο νη ζπληζηώζεο έρνπλ ζπλερείο πξώηεο παξαγώγνπο θαη ην κέηξν ηεο v( t) k. Τειηθά f ( x, y, z) ds f ( x( t), y( t), z( t)) v( t) f ( t, t,) t ( t) 3. Βξείηε ηε κάδα ελόο θαιωδίνπ πνπ θείηαη πάλω ζηελ θακπύιε r( t) i ( t ) j tk, t εάλ ε ππθλόηεηα ηνπ είλαη ( x, y, z) y z / z. Η κάδα δίλεηαη από ην επηθακπύιην νινθιήξωκα M ( x, y, z) ds. 3 Λύζε Η θακπύιε είλαη ιεία δηόηη d v( t) r( t) i tj k, t, είλαη ζπλερήο γηαηί όιεο νη ζπληζηώζεο έρνπλ ζπλερείο πξώηεο παξαγώγνπο θαη ην κέηξν ηεο v ( t) t t είλαη θαλεξά κε κεδεληθό. t 3 M ( x, y, z) ds ( x( t), y( t), z( t)) v ( t) t t t / 3/ ' 3/ 3 3 3 t t t t t t

Δπηθακπύιηα Οινθιεξώκαηα 3 ' Γηόηη t t t 3t t 3/ / /. Βξείηε ηε κάδα ηνπ θαη ην θέληξν κάδαο ωο πξνο ηελ αξρή ηωλ αμόλωλ ελόο ηέηαξηνπ θπθιηθνύ δίζθνπ z r( t) ( acos t) i () j ( asin t) k, t α ηνπ νπνίνπ ε ππθλόηεηα είλαη ζηαζεξή xz. ( a ) y Λύζε Η θακπύιε είλαη ιεία: v( t) d r( t) asin ti j acos k, v ( ) ( sin ) () ( cos ) (sin cos ) t a t a t a t t a a Η κάδα ηνπ ζώκαηνο είλαη: / M ( x, y, z) ds ( a cos t,, asin t) v( t) / / / a cost asin t a a cost sin t a sin td cost a 3 / sin t a 3 3 / / / 5 / 5 / 5 / 5 M x( x, y, z) ds a cos t( a cos t,, asin t) v( t) a cost a cost asint a yz a a a cos t a cost sin t cost sin t sin t 5 / / 5 5 a a / / a cos t t sin t 8 8 6 cos t Όπνπ καο ρξεηάζηεθε ε ηαπηόηεηα sin t. / M y( x, y, z) ds ( a cos t,, asin t) ( t) xz v / / / / / 5 5 3 5 3 5 sin t a M z( x, y, z) ds asin t( a cos t,, asin t) v( t) asint a cost asint a xy a cost sin t a sin td sin t a x α Οπόηε νη ζπληεηαγκέλεο ηνπ θέληξνπ κάδαο είλαη: 5

Δπηθαλεηαθά Οινθιεξώκαηα Myz 3 a M M xz xy 3a x, y, z M 6 M M 5. Δμεηάζηε εάλ ην πεδίν F xi yj zk Mi Nj Pk είλαη ζπληεξεηηθό, βξείηε ηε ζπλάξηεζε δπλακηθνύ ηνπ θαη ππνινγίζηε ην έξγν θαηά κήθνο θάζε θακπύιεο πνπ ζπλδέεη ηα ζεκεία (,,) θαη (,3,6). Λύζε Πξέπεη λα ηζρύεη i j k P N M P N M i j k i j k x y z y z z x x y M N P P N M P N M Παξαηεξνύκε όηη,, νπόηε είλαη y z z x x y ζπληεξεηηθό ην πεδίν. Άξα ππάξρεη f ηέηνηα ώζηε Από f f f F f xi yj zk i j k x y z f f x x x dx xdx f ( x, y, z) x c ( y, z) Η ζηαζεξά νινθιήξωζεο εμαξηάηαη από ηα y,z. Οπόηε από ηελ f c ( y, z) f ( x, y, z) x c ( y, z) όκωο από ηνλ ηύπν ηνπ δπλακηθνύ y y c ζπκπεξαίλω όηη ( y, z ) y νπόηε ε ζηαζεξά νινθιήξωζεο y c( y, z) c( y, z) y dy ydy c( y, z) y c( z) y y Τώξα από ηελ f c () z f ( x, y, z) x y c( z) όκωο από ηνλ ηύπν ηνπ δπλακηθνύ z z c ζπκπεξαίλω όηη () z z νπόηε ε ζηαζεξά νινθιήξωζεο y c( z) c( z) z dz zdz c( z) z c z z. Γειαδή,3,6,, f ( x, y, z) x y z c θαη ην έξγν F f,3, 6 f,,9 9 c ( c) 9 6. Δμεηάζηε εάλ ην πεδίν F xyi ( x z ) j yzk Mi Nj Pk είλαη ζπληεξεηηθό, βξείηε ηε ζπλάξηεζε δπλακηθνύ ηνπ θαη ππνινγίζηε ην έξγν θαηά κήθνο θάζε θακπύιεο πνπ ζπλδέεη ηα ζεκεία (,,) θαη (,,3) 6

Δπηθακπύιηα Οινθιεξώκαηα Λύζε Πξέπεη λα ηζρύεη i j k P N M P N M i j k i j k x y z y z z x x y M N P Παξαηεξνύκε όηη P z N, M P, N x M νπόηε είλαη y z z x x y ζπληεξεηηθό ην πεδίν. Άξα ππάξρεη f ηέηνηα ώζηε Από f f f x y z F f xyi ( x z ) j yzk i j k f f x x xy dx xydx f ( x, y, z) x y c ( y, z) Η ζηαζεξά νινθιήξωζεο εμαξηάηαη από ηα y,z. Οπόηε από ηελ f c ( y, z) f ( x, y, z) x y c ( y, z) x όκωο από ηνλ ηύπν ηνπ δπλακηθνύ y y ζπκπεξαίλω όηη z. y c( y, z) c( y, z) z dy z dy c( y, z) yz c( z) y y Τώξα από ηελ f c () z f ( x, y, z) x y yz c( z) zy z z όκωο από ηνλ ηύπν ηνπ δπλακηθνύ ζπκπεξαίλω όηη c ( ) z y νπόηε ηειηθά ζηαζεξά νινθιήξωζεο δελ εμαξηάηαη από ην z. Γειαδή f ( x, y, z) x y yz c,,3,, θαη ην έξγν F f f c c,,3,, 9 ( ) 6 ΠΑΡΑΣΗΡΗΗ: Τν παξόλ πιηθό δελ απνηειεί απηόλνκν δηδαθηηθό πιηθό, βαζίδεηαη ζην ζύγγξακκα πνπ δηαλέκεηαη θαη ζηελ πξνηεηλόκελε βηβιηνγξαθία ηνπ καζήκαηνο. Τν πεξηερόκελν ηνπ αξρείνπ απιά απνηειεί πεξίγξακκα ηωλ παξαδόζεωλ ηνπ καζήκαηνο. Απνηεινύλ ηηο δηαθάλεηεο ηεο δηδαζθαιίαο καζήκαηνο από ην δηδάζθνληα γηα δηθή ηνπ ρξήζε θαη παξαθαιώ λα κε ρξεζηκνπνηεζεί θαη λα κελ αλαπαξαρζεί θαη δηαλεκεζεί γηα άιιν ζθνπό. Ιδηαίηεξα παξαδείγκαηα θαη ζρήκαηα έρνπλ αληιεζεί από ηα ζπγγξάκκαηα :. Thomas alculus th edition, Wier, Hass, Jiordano, Pearson AW 7

Δπηθαλεηαθά Οινθιεξώκαηα. Thomas Απεηξνζηηθόο Λνγηζκόο, Finney, Hass, Jiordano, Παλεπηζηεκηαθέο εθδόζεηο Κξήηεο 3. Αλώηεξα Μαζεκαηηθά ΙΙ γηα Μεραληθνύο Α. Αζαλαζηάδε Δθδόζεηο Τδηόια. Καη ππόθεηληαη ζην opyright ηωλ εθδόζεωλ απηώλ. 8